Př. Určete první 4 členy posloupnosti a znázorněte graficky :

a)

743

633

523

413

3

4

3

2

1

a

a

a

a

nan b)

64)4(

27)3(

8)2(

1)1(

)(

34

33

32

31

3

a

a

a

a

n c) 2,1)11*6,0(

0)11*6,0(

2,1)11*6,0(

0)11*6,0(

)11*6,0(

44

33

22

11

41

a

a

a

a

nn

d)

1

1

2

1

n

n e)

12

4

n

nfn

f) 152 2 nn

Př. U dané posloupnosti určete uvedené neznámé členy :

28210*3

1325*3

,,23

10

5

105

a

a

aana) b)

1100011100

,,1

2

2100

1002

kb

b

bbn

k

k

c)

d)

e)

f)

142

13101

315

320

,,6

,,21

,,12

,,1

kn

nn

k

k

bbnb

aana

ddnn

ccn

n

Př.Vypočítejte, kolikátý člen posloupnosti určené uvedeným vztahem má danou hodnotu :

a) (5n-1), 19

5n-1 = 19

5n = 19 + 1

5n = 20

n = 4 ………….. Čtvrtý člen posloupnosti

b) (7-3n) , -41

7-3n=-41 … 7+41 = 3n … 48 = 3n … 16 = n … šestnáctý člen posloupnosti

Posloupnosti, řadyPosloupnost je každá funkce daná nějakým předpisem, jejímž definičním oborem je množina všech přirozených čísel n=1,2,3,…

Zapisujeme : nnnn aaaaaa ,.......,,, 3211

0,5

7

14,53

4,214

3

11,

1

43

60,2

2

1

2

2

nn

n

n

n

nn

n

c)

d)

e)

f)

g)

Př. Určete , od kterého členu počínaje splňuje daná posloupnost uvedenou rovnici :

25,3

134

854

8,54

n

n

n

ana nna)

Od 4.členu

b)

15

22

2215

83015

30158

635

8

6,35

8

n

n

n

n

n

ana nn

n je vždy 1 a více, tedy od 1.členu

c)

d)

e)

f)

g)

h) 2,53

4

1,2

1

4

3

5,2

4,2

36,25

2,32

2

3

2

5

2

nn

n

n

n

nn

nn

n

nn

nn

anna

aa

anna

aa

ana

an

na

Př. Určete vztah n-tý člen posloupnosti :

a) 1,2,3,4,5,…

b) 2,4,6,8,….

c) 1,3,5,7,…..

d) 1, ½ , 1/3 , ¼ , …

nan *1

nan *2

Př. Určete vztah pro n-tý člen posloupnosti :

a) -6, -6, -6, -6, ….

b) -3, 3, -3, 3, -3, 3,….

c) -4, -8, -12, -16, ….

d) 2, 5, 8, 11, 14,………..

Př. Vypočítejte prvních 5 členů posloupnosti dané rekurentně :

a)

3121

2111

1101

0111

1,1

45

34

23

12

11

aa

aa

aa

aa

aaa nn b)

3

13

13

13

1

,3

1

45

34

23

12

11

aa

aa

aa

aa

aaa nn

c)

d)

e)

f)

g)

h) na

aaaa

aaaaa

aaaaa

aaaaa

naaa

aaa

n

nn

nnn

nnn

nnn

nn

nn

1221

1221

1221

1221

11

11

,3

2,2

1

12,1,2

5,0,16,0

,1,2

22

1,44

35,1

Př. Je dáno :

a) , určete a5 , a63,0,

3

171 aaa nn

7,23*9,0

9,03*3,0

3*3

1

5

6

7667

a

a

aaaa

b) 4,2 51 aaa nn Určete a2 , a4

5,02

1

2

12

2

2

22

4

2

22

32

43

54

11

aa

aa

aa

aaaa nnnn

c)

d) 8,34

1,0,

2

1

41

6512

aana

aaaaa

nn

nnnUrčete a1,a7

Určete a2,a5

Posloupnost je rostoucí, právě když pro všechna nN platí

an+1 > an , tj. an+1 - an > 0

Posloupnost je klesající, právě když pro všechna nN platí

an+1 < an , tj. an+1 - an < 0

Př. Rozhodněte, zda je posloupnost rostoucí nebo klesající :

a)

25,24

9

22

12*5

333,13

4

21

11*5

2

15

2

1

a

a

n

n

……………. rostoucí

b)

14

12

5

23

34

6

5

4

3

2

15

8

6

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

c)

d)

e)

f)

g)

h)

Aritmetická posloupnostPř. : V továrně dokončí každou hodinu montáž 3 automobilů. Na začátku směny bylo ve skladu (po předchozí směně) 5 neodvezených automobilů. Kolik hotových automobilů bude na skladě na konci směny (po 8 hodinách), pokud v jejím průběhu žádný hotový automobil neodvezou? Příklad řeš jako rekurentní posloupnost. Budeme sledovat počet automobilů po hodinách:a1 = 5 (na začátku směny)

Př. 2: V zemské troposféře platí, že s rostoucí výškou klesá teplota. Vzrůst nadmořské výšky o 1 km znamená pokles teploty o 6,5°C. Urči teplotu v nadmořské výšce 5 km, pokud je při hladině moře 25°C. Příklad řeš jako rekurentně zadanou posloupnost.Postupujeme podobně jako v předchozím příkladě, postupně počítáme teploty v jednotlivýchvýškách:

U obou předchozích posloupností platí, že rozdíl mezi dvěma sousedními členy v posloupnosti je konstantní (v prvním případě jsme pořád přičítali stejné číslo, ve druhém případě jsme stále stejné číslo odečítali).

Př. V předchozích příkladech určete diferenci :

Př. Načrtněte grafy aritmetických posloupností z příkladů 1 a 2. Jaký typ funkce jeanalogií aritmetické posloupnosti?

V obou případech leží všechny body grafu v přímce , takže aritmetická posloupnost je speciálnípřípad lineární funkce.

Př. Určete prvních 5 členů aritmetické posloupnosti a znázorněte graficky :

a)

110

011

112

213

1,3

45

34

23

12

1

daa

daa

daa

daa

da b)

c)

d)

e)

f) 4

1,5.7

5.2,6

2,2.3

1,3

1

1

1

1

da

da

da

da

Př. Určete prvních pět členů aritmetické posloupnosti, je-li dáno :

a)

3.61.12.5

2.51.11.4

9.11.13

1.131.4

1.4,3

45

34

21

23

32

daa

daa

daa

aad

aa b)

c)

d)

e) 12,8

1,2

5.3,4

5.0,2.0

54

21

43

32

aa

aa

aa

aa

Př. V aritmetické posloupnosti je dáno :

a)

5.2963*)1100(2

1*)1(

5.323*)112(2

1*)1(

3,2

1

112

112

1

dnaa

dnaa

da Určete a12 , a100

b)

c)

d)6

1,3

2,54

1,2

1

1

1

da

da

da Určete a17 , a25

Určete a20 , a34

Určete a25 , a100

Př. Určete první 4 členy posloupnosti, je-li dáno :

a)

10)4(*)14(22*)1(

14)4(*)13(22*)1(

18)4(*)12(22*)1(

22)4(*)17(2*)1(

*)1(*)1(

4,2

14

13

12

71

11

7

dnaa

dnaa

dnaa

dnaa

dnaadnaa

da

nn

b) a10=5,d=-2

c) a12=10,d=-2

d) a8=-1,d=-3

Př. V aritmetické posloupnosti je dáno :

a)

2)5

1(*)188(4*)188(

1)5

1(*)1833(4

*)1833(*)(5

1,4

188

33

1833

18

daa

a

daadsraa

da

sr

Určete a33, a8

b) a22= -2/3 , d=1 určete a40 , a15

c) a21= 2 , d= -1/8 určete a37 , a13

d) a19=-1/4 , d=2 určete a28 , a12

Př. V aritmetické posloupnosti určete první člen a diferenci, je-li :

a) a14=3 , a23 = 21

b) a7=21 , a13 = 15

c) a11=9 , a19 = 33

d) a9=6 , a16 = -8

Př. V aritmetické posloupnosti je dáno :

a) a6=9 , a17 = 20 , určete s200

20700

)2034(*100

*2

200

203

1*1994

*)1200(

4

1*59

*)16(

1

1111

11920

*)617(

200

200

2001200

200

200

1200

1

1

16

617

s

s

aas

a

a

daa

a

a

daa

d

d

d

daa

b) a1=4 , a21 = 14 , určete s35

c) a1=6 , a15 = 27 , určete s25

d) a1=2 , a16 = 12 , určete s70

e) a1=-3 , a40 = 36 , určete s10

f) a8=10 , a21 = 23 , určete s100

g) a9=18 , a21 = 42 , určete s200

h) a4=7 , a12 = 23 , určete s50

i) a10=-65 , a20 = -135 , určete s40