PR 1 Matematicke Osnove Fizike

1

1 - Uvod u fiziku 1

Fizikalne veliFizikalne veliččineine

METROLOGIJA – mjeriteljska znanost i tehnika

- uskladiti i pronaći najpogodnije mjerne jedinice i oznake, te uvesti jedinstveni meñunarodni sustav jedinica u sve grane znanosti i tehnike

Podjela fizikalnih veličina (s obzirom na broj podataka koji su potrebni za njihovojednoznačno odreñenje):

1) skalarne fizikalne veličine – jedan podatak (SKALAR)(ρ− gustoća, V-volumen, T-temperatura, m-masa, t-vrijeme, f-frekvencija,...)

2) vektorske fizikalne veličine – 3 podatka (VEKTOR)(brzina, ubrzanje, sila, moment sile,...)

, , v a F�� vrh

hvatišteduljina

1 - Uvod u fiziku 2

Vektorski račun

2

1 - Uvod u fiziku 3

Vektorski račun

- skalar je veličina odreñena iznosom i mjernom jedinicom (m = 5 kg, T = 300 K, t = 1 s)

-vektor (usmjerena dužina) je veličina odreñena:- pravcem na kojem leži- smjerom- iznosom (intenzitet, modul, apsolutna vrijednost)

= duljina vektora (udaljenost od hvatišta do vrha)

- oznaka:

- translacija ne mijenja vektor

, , ,r v a F� � � ��

v�

A

B

AB��

p

b�

b�

b�

1 - Uvod u fiziku 4

Vektorski račun

Zbrajanje vektora

a b c+ =� � �

a�

b�

a�

b�

c�

a�

b�

c�

d��

R��

R a b c d= + + +�� vektorski poligon

a�

b� c a b= +

� � �

metoda paralelograma

2 2 2 cosc a b ab ϕ= + +

ϕ ϑ

2 2 2

co s2

a c b

a cϑ + −=

3

1 - Uvod u fiziku 5

Vektorski račun

Oduzimanje vektora → zbrajanje

( )c a b a b= − = + −� � � � �

a�

b�

b−�

( )a b+ −� �

a b−� �

1 - Uvod u fiziku 6

Skalarni produkt vektora

cos ( , )a b a b a b

a b b a

⋅ = ⋅ ⋅

⋅ = ⋅

� �� ∡

� ��

4

1 - Uvod u fiziku 7

Vektorski produkt vektoraVektorski produkt vektora

( )( ) 0sin ,

( ) ( )

( ) ( )

c a b a b a b c

a b b a

a b c a b c

a c b a c b

= × = ⋅ ⋅ ⋅

× = − ×

× × = × × =

= − × × = − × ×

� �� ∡

� ��

� ��

� ��

1 - Uvod u fiziku 8

Vektorski produkt vektoraVektorski produkt vektora

5

1 - Uvod u fiziku 9

KartezijevKartezijev pravokutni koordinatni pravokutni koordinatni sustavsustav:

1 - Uvod u fiziku 10

KartezijevKartezijev pravokutni koordinatni sustavpravokutni koordinatni sustav: jedinični vektori, vektori položaja

ˆˆ ˆ

1

0

x y z

x x y y z z

a a i a j a k

a b a b a b a b

i i j j k k

i j j k i k

= + +

⋅ = + +

⋅ = ⋅ = ⋅ =

⋅ = ⋅ = ⋅ =

�

��

� ��

� ��

ˆˆ ˆˆ ˆ ˆ

x y z x y z

x y z x y z

x y z i j k

a b a a a a a a

b b b b b b

× = =

��

6


JediniJediniččni vektorni vektor

ôa a a a a= ⋅ = ⋅� �

Jedinični vektor ili ORT je vektor iznosa 1.

Oznaka : ôa a=�

Za bilo koji vektor vrijedi

MnoMnožženje vektora sa skalaromenje vektora sa skalarom

( ) ( ) ôa a a a aλ λ λ⋅ = ⋅ = ⋅� �


Vektorski raVektorski raččununPrimjeri:Primjeri:

1. Vektori i zatvaraju kut 60°. Koliki je a�

b�

ia b a b⋅ ×� � � �

ako je 3 i 5 ?a b= =� �

2. Zadana su dva vektora 3 2 i 5 2a i j k b i j k= + + = − +� � � � � � � �

Odredite , , , .a b a b a b a b+ − ⋅ ×� � � � � � � �

Koliki je vektor tako da jec�

0?a b c× × =� � �

2. Zadana su tri vektora: 2 , 3 2 , 4 .a i j k b i j k c i j k= − + + = − − = + +� � � � � � � � � � � �

Izračunajte:a)

b)

c) Pokažite da vrijedi:

( ) ( )a b c i a b c× × × ×� � � � � �

( ) ( )a b c i a b c⋅ × × ⋅� � � � � �

( ) ( ) ( ) .a b c a c b a b c× × = ⋅ − ⋅� � � � � � � � �

7


KartezijevKartezijev pravokutni koordinatni pravokutni koordinatni sustavsustav:


Vektor poloVektor položžaja (radijus vektor)aja (radijus vektor)

- opisuje položaj točke u prostoru

2 2 2

ˆˆ ˆ

ˆ , o

r xi yj zk

r r x y z r r r r r

= + +

= = + + = ⋅ = ⋅

�

� � �

- Jedinični vektor u smjeru vektora definira se :ˆor r=� r�

2 2 2

ˆˆ ˆˆ

ˆˆ ˆˆ cos cos cos

cos cos cos 1

o

o

r x y zr r i j k

r r r r

r r i j kα β γα β γ

= = = + +

= = + +

+ + =

��

�

8


VEKTORI U KOORDINATNIM SUSTAVIMAVEKTORI U KOORDINATNIM SUSTAVIMA

Kartezijev koord. sustav Polarni (ravninski) koord. sustav



CilindriCilindriččni koord. sustavni koord. sustav

9



Sferni (prostorni) koord. sustavSferni (prostorni) koord. sustav



Sferni (prostorni) koord. sustavSferni (prostorni) koord. sustav

10


DerivacijeDerivacije

Derivacija je matematička veličina koja govori o naglosti promjene vrijednosti funkcije pri infinitezimalno maloj promjeni varijable o kojoj ta funkcija ovisi.

I. Newton je uveo pojam derivacije i dao matematičku definiciju za njeno izračunavanje:

( )0

( )limx

f x x f xdf

dx x∆ →

+ ∆ −=

∆

Derivacija funkcije u nekoj točki je nagib tangente na krivulju u toj točki. df

tgdx

α =


Derivacija vektorske funkcijeDerivacija vektorske funkcije

� Derivacija vektora je derivacija svake pojedine njegove komponente

� Promjena položaja čestice: Promjena brzine čestice:

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆdr dx dy dzv r i j k xi yj zk

dt dt dt dt= = = + + = + +

�� ɺ ɺ ɺ ɺ

( ) ( )2 1r r t r t∆ = −� � � ( ) ( )2 1v v t v t∆ = −� � �

11


Derivacija vektorske funkcijeDerivacija vektorske funkcije

� Trenutna (prava) brzina

Naglost promjene položaja čestice u vremenu je brzina.

� Trenutno (pravo) ubrzanje

Naglost promjene brzine čestice u vremenu je ubrzanje.

( )0

limt

r drv t

t dt∆ →

∆= =∆

� ��

0lim

t

v dva

t dt∆ →

∆= =∆

� ��


Integracija

� Integral neke funkcije je površina ispod krivulje koja predstavlja ovisnost te funkcije o varijabli x po kojoj se integrira u području od x1 do x2

2

1

( )x

x

I f x dx= ∫

12


IntegracijaIntegracija

� Integral neke funkcije je površina ispod krivulje koja predstavlja ovisnost te funkcije o varijabli x po kojoj se integrira u području od x1 do x2

2

1

)

(

(

)

B

x

x

A

W F

I

s

x dx

s

f

d=

= ∫

∫

PR 1 Matematicke Osnove Fizike

Documents

Transcript of PR 1 Matematicke Osnove Fizike