[PPT]KAKULUS 1informatikaunindra.org/file/KALKULUS 1/Bahan Ajar/01-02... · Web viewHimpunan semua...
Transcript of [PPT]KAKULUS 1informatikaunindra.org/file/KALKULUS 1/Bahan Ajar/01-02... · Web viewHimpunan semua...
Pertemuan I
Secara Teknis Kalkulus adalah metode matematika yang menggunakan proses infinite untuk menyelesaikan masalah2 finite.
Tujuan utama Kalkulus adalah menganalisa dua masalah fundamental:
- problems of change (e.g. motion) - problems of content (e.g. area, volume)
Bilangan Real dan Notasi Selang
Bilangan real : meliputi bilangan rasional (seperti ½ dan 2)
dan irasional (seperti √2 dan π).
Bilangan rasional: meliputi semua bilangan bulat (positif, nol,
dan negatif) dan pecahan murni.
Himpunan semua bilangan real dilambangkan dengan R.
Bilangan real memenuhi sifat aljabar (terhadap operasi penjumlahan dan perkalian), sifat urutan (tentang <, =, dan >), dan sifat kelengkapan.
Sifat kelengkapan memungkinkan kita menyatakan R sebagai suatu garis (yang tak berlubang), yang disebut garis bilangan real.
Pada garis bilangan real, setiap titik menyatakan sebuah bilangan real. Sebaliknya, setiap bilangan real dapat dinyatakan sebagai sebuah titik pada garis bilangan real. (Sebagai perbandingan, himpunan semua bilangan rasional tidak dapat dinyatakan sebagai sebuah garis.) Untuk selanjutnya, R menjadi himpunan semesta kita.
Notasi selang di bawah ini akan sering dipakai:
(a,b) = { x є R | a < x < b }[a,b] = { x є R | a ≤ x ≤ b }[a,b) = { x є R | a ≤ x < b }(a,b] = { x є R | a < x ≤ b }
(-∞,b)= { x є R | x < b }(-∞,b]= { x є R | x ≤ b }(a,∞) = { x є R | x > a }[a,∞) = { x є R | x ≥ a }
Buat macam – macam selang dan Gambarkan
Presentasikan sesuai urutan kelompok Siapkan Pertanyaan untuk kelompok
lainnya Kerjakan Beberapa soal yang berkaitan
N : bilangan asli
Z : bilangan bulat
Q : bilangan rasional
R : bilangan real
N : 1,2,3,….Z :…,-2,-1,0,1,2,..
0,,, bZbabaq
Q :
IrasionalQR
,3,2
Contoh Bil Irasional
Bilangan
Nyata Khayal
Irrasional Rasional
Bulat Pecahan
2; -2; 1,1
24
0,126827684340------
0,1236
1; 8 ;4 ½; 2/7 10
Semua bilangan bulat adalah bilangan rasional, tapi tidak semua bilangan rasional berupa bilangan bulat
Semua bilangan pecahan adalah bilangan rasional, tapi tidak semua bilangan rasional berupa bilangan pecahan
Semua bilangan irrasional adalah bilangan berdesimal, tapi tidak semua bilangan berdesimal adalah bilangan irrasional.
Bilangan Asli : Semua bilangan bulat positif, tidak termasuk nol. A = {1,2,3,4,5,6,…..}
Bilangan Cacah : Semua bilangan positif atau nol. A = {0,1,2,3,4,5,6,…..}
Bilangan Prima : bilangan asli yang besarnya tidak sama dengan satu dan hanya habis dibagi oleh dirinya sendiri. P = {2,3,5,7,11…..}
11
Pertemuan II
Sifat-sifat urutan :Trikotomi Jika x dan y adalah suatu bilangan, maka pasti
berlaku salah satu dari x < y atau x > y atau x = y
Ketransitifan Jika x < y dan y < z maka x < zPerkalian Misalkan z bilangan positif dan x < y maka xz <
yz, sedangkan bila z bilangan negatif, maka xz > yz
0 1
Setiap bilangan real mempunyai posisi pada suatu garis yang disebutdengan garis bilangan(real)
-32
Himpunan bagian dari garis bilangan disebut selang
Selang
Himpunan selang axx a,
axx a,
bxax ba,
bxax ba,
bxx ,b
bxx ,b
xx ,
Jenis-jenis selang
Grafik
a
a
a b
a b
b
b
Pertidaksamaan satu variabel adalah suatu bentuk aljabar dengan satu variabel yang dihubungkan dengan relasi urutan.
Bentuk umum pertidaksamaan :
dengan A(x), B(x), D(x), E(x) adalah suku banyak (polinom) dan B(x) ≠ 0, E(x) ≠ 0
xExD
xBxA
Menyelesaikan suatu pertidaksamaan adalah mencari semua himpunan bilangan real yang membuat pertidaksamaan berlaku. Himpunan bilangan real ini disebut juga Himpunan Penyelesaian (Hp)
Cara menentukan Hp :1. Bentuk pertidaksamaan diubah menjadi :
, dengan cara :0)()(
xQxP
Ruas kiri atau ruas kanan dinolkan Menyamakan penyebut dan
menyederhanakan bentuk pembilangnya2. Dicari titik-titik pemecah dari pembilang
dan penyebut dengan cara P(x) dan Q(x) diuraikan menjadi faktor-faktor linier dan/ atau kuadrat
3. Gambarkan titik-titik pemecah tersebut pada garis bilangan, kemudian tentukan tanda (+, -) pertidaksamaan di setiap selang bagian yang muncul
53213 x
352313 x
8216 x48 x
84 x
8,4Hp = 4 8
1
8462 x248 x
248 x842 x
221
x
2,
21
22
1
Hp 2
3,
21
0352 2 xx
0312 xxTitik Pemecah (TP) :
21
x dan 3x
3
++ ++--
21
3
Hp =
637642 xxxxx 7642 6376 xxdan
4672 xx dan 6637 xx
4
109 x 010 xdan
910
x 010 xdan
910
x dan 0x
Hp =
,0
910,
09
10
Dari gambar tersebut dapat disimpulkan :
Hp =
910,0
0131
3
xx
x
132
11
xx
013
21
1
xx
0131
2213
xxxx
5.
TP : -1, 31
, 3
3
++ ++--
-1
--
31
Hp =
3,
311,
xx
xx
321
032
1
xx
xx
0
32231
xx
xxxx
032322 2
xxxx
6.
Untuk pembilang 322 2 xx mempunyai nilaiDiskriminan (D) < 0, sehingga nilainya selalu positif, Jadi TP : 2,-3Pembilang tidak menghasilkan titik pemecah.
-3 2-- ++ --
,23,Hp =
Nilai mutlak x (|x|) didefinisikan sebagai jarak x dari titik pusat pada garis bilangan, sehingga jarak selalu bernilai positif.
Definisi nilai mutlak :
0,0,
xxxx
x
Sifat-sifat nilai mutlak:
yx
yx
yxyx
2xx axaaax 0,
axaax 0, atau ax
yx 22 yx
6. Ketaksamaan segitiga
12
3
4
5
yxyx
5432 xx
2221 2 xx
Cari himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan
3232 xx
1
2
3
xx
x
1242
4
312
2
xx
xx
5
23 xx6
Sistem Koordinat Cartesius dan Grafik Persamaan
Sistem koordinat Cartesius untuk bidang terdiri dari dua sumbu koordinat, sumbu x dan sumbu y, yang saling tegak lurus dan berpotongan di titik asal (0,0).
Bidang Cartesius terbagi atas empat kuadran. Setiaptitik pada bidang Cartesius dapat dinyatakan sebagai pasangan bilangan (x,y), dan sebaliknya pasangan bilangan (x,y) menyatakan titik tertentu pada bidang.Jarak antara dua titik P(x1,y1) dan Q(x2,y2) adalah d(P,Q) = [(x1 – x2)2 + (y1 – y2)2]1/2.Persamaan lingkaran yang berpusatdi (a,b) dan berjari-jari r pada bidangAdalah (x – a)2 + (y – b)2 = r2.
(x – a)2 + (y – b)2 = r2.
Persamaan umum garis lurus pada bidang adalahAx + By + C = 0
dengan A, B tak keduanya nol. Jika B ≠ 0, persamaan
tadi dapat dinyatakan sebagaiy = mx + c
dengan m menyatakan gradien atau kemiringan garis
tersebut. Persamaan garis lurus yang melalui P(x0,y0)
dengan gradien m adalahy – y0 = m(x – x0)
Diberikan suatu persamaan (dalam x dan y), seperti y =x2
menggambar grafiknya pada bidang Cartesius. Perhatikan bahwa grafik y = x2 simetris
terhadap sb-y. (Buat dengan menghitung beberapa titik y sebagai ordinat, setelah menetapkan titik x
sebagai absis)
Gambarkan Garfik Persamaan Berikut :
x2 + (y – 7)2 = 12.6x – 5y = 8.
x = y2.
Selesaikan soal di Buku PurcellTiap sub Bab berikut : 1.2 no. 14,15, 17. 1.3 no. 3,5, 7, 13, 17, 21 1.4 no. 3, 11, 17, 21, 25 1.5 no. 7, 10, 12. 1.6 no. 9, 13, 17, 23 1.7 no. 1, 11, 17, 19.