KELOMPOK 2

1. ALIFANTO DHIASTAMA

2. DHEA ISRA ATMIKA K 3. M.MARCO SAYPUTRA4. SALMA ISNAINI

JURUSAN TEKNIK KIMIA POGRAM STUDI TEKNIK ENERGI POLITEKNIK NEGERI SRIWIJAYA

TAHUN AKADEMIK 2015

DOSEN PEMBIMBING : YOHANDRI BOW

BAGIAN III.

ANALISIS KELAKUAN DINAMIK

PROSES-PROSES KIMIA

ANALISIS KELAKUAN DINAMIK PROSES-

PROSES KIMIA

SIMULASI MENGGUNAKAN KOMPUTER DAN LINIERISASI SISTEM NON-LINEAR

TRANSFORMASI LAPLACE

Pada Bagian III ini pertama-tama akan dibahas konsep linierisasi dan

cara-cara untuk mendekati sistem-sistem non-linier menggunakan sistem

linier, kemudian juga akan dibahas mengenai Transformasi Laplace, yang

merupakan cara sederhana untuk menyelesaikan persamaan-persamaan

diferensial linier.

SIMULASI MENGGUNAKAN KOMPUTER

DAN LINEARISASI SISTEM-SISTEM

NONLINIER

Hal-hal yang dapat dilakukan untuk mengatasi kesulitan dalam

anlisis kelakuan dinamik sistem non-linier adalah sebagai berikut:

a. Melakukan simulasi sistem non-linier pada komputer analog

atau digital, dan menghitung penyelesaiannya secara numerik.

b. Mentransformasikan sistem non-linier menjadi suatu sistem

yang linier dengan melalui transformasi variabel-variabel

sistem non-linier tersebut.

c. Mengembangkan suatu model linier yang kelakuan dinamiknya

mendekati sistem linier pada daerah kondisi operasi tertentu

yang telah ditetapkan.

6.1. Simulasi Dinamika Proses Menggunakan Komputer

Jenis komputer yang pertama kali digunakan untuk simulasi proses kimia

adalah komputer analog.

Komputer analog mempunyai beberapa kelemahan,yaitu:

1. Untuk melakukan set-up masalah dan menjalankan analisis numerik terhadap

masalah tersebut dibutuhkan waktu yang cukup lama.

2. Untuk setiap operasi matematik dibutuhkan satu elemen perangkat keras,

sehingga simulasi sistem-sistem yang rumit dan besar menjadi sulit.

3. Sistem-sistem yang non-linier hanya dapat disimulasikan dengan perangkat

keras yang mahal ( generator fungsi ) dengan fleksibilitas yang rendah.

4. Komputer analog tidak memiliki memory seperti pada komputer digital.

Beberapa kategori metoda numerik yang dapat digunakan untuk

menyelesaikan persamaan diferensial dan aljabar non-linier adalah sebagai

berikut:

1.Metoda numerik untuk penyelesaian persamaan-persamaan

aljabar

Beberapa metode interasi persamaan aljabar yang sering digunakan adalah

metode setengah interval (interval halfing), metode substitusi berurut (successive

substitution), and metode newtor-Raphson.

2.Pengintegrasian numerik persamaan-persamaan differensial

Beberapa metode pengintegrasian secara numerik digunakan adalah metode

eksplisit dan implisit.Kunci pemilihan suatu teknik integrasi yang tepat adalah

kestabilan prosedur dan kecepatannya, dalam mencapai penyelesaian. Metode

integrasi yang paling populer adalah metode integrasi runge-kutta Orde -4

6.2. Linierisasi Sistem Satu Variabel

Linierisasi adalah suatu cara mendekati suatu sistem non-linier dengan

sistem yang linier. Linearisasi digunakan secara luas untuk mempelajari dinamika

proses dan perancangan sistem pengendali untuk alasan-alasan berikut:

1. Dengan linerisasi akan didapatkan sistem linier yang dapat diselesaikan

secara analitis dan memberikan gambaran kelakuan proses secara lengkap

untuk berbagai nilai parameter proses dan variabel input. Simulasi komputer

untuk proses non-linier hanya akan memberikan gambaran mengenai

kelakuan sistem pada nilai parameter proses dan variabel input tertentu.

2. Perkembangan berarti untuk perancangan sistem pengendali yang efektif baru

dicapai sebatas untuk proses-proses linier.

Persamaan non-linier umum yang digunakan untuk memodelkan

proses adalah sebagai berikut:

Fungsi f(x)b pada persamaan tersebut dapat diekspansikan dalam

bentuk Deret Taylor di sekitar titik x˳ sebagai berikut:

Jika suku orde kedua dan selebihnya dari Deret Taylor tersebut

diabaikan, maka f(x) dapat didekati sebagai berikut:

Kesalahan yang akan diakibatkan oleh pendekatan diatas adalah

sebagai berikut:

Dari penjelasan diatas terlihat bahwa linierisasi 6.3 hanya akan cocok diginakan bila nilai x sangat dekat dengan x , sehingga nilai suku I menjadi sangat kecil.

Pada gambar 6.1 diperlihatkan secara jelas perbandingan antara fungsi non-linier f(x) dan fungsi hasil linierisasi di sekitar titik x˳. Dari gambar tersebut juga terlihat bahwa hasil pendekatan linierisasi amat sangat bergantung pada letak titik x˳ yang disekitarnya dilakukan ekspansi taylor. Pada gambar terlihat jelas perbedaan hasil linearisasi pada dua titik yang letaknya berbeda (linierisasi f(x) pada titik x˳ dan . Pendekatan system non-linier dengan linierisasi hanya akan memiliki nilai yang tepat pada titik linierisasi.

Contoh 6.1 Linierisasi untuk Suatu Sistem Tangki

Gambar 6.2 a. Sistem tangki dalam contoh 6.1 b. Pendekatan terhadap Respons

Ketinggian Cairan

Pada saat tangki dalam gambar 6.2.a., neraca massa total system akan menghasilkan persamaan berikut :

Jika laju alir keluar F˳ adalah fungsi linier dari ketinggian cairan, atau F˳ = h, dengan suatu konstanta, 𝛼 𝛼maka persamaan 6.6 akan menjadi :

Yang merupakan persamaan diferensial linier dan tidak membutuhkan linierisasi

Jika F˳ berubah terhadap ketinggian cairan menurut fungsi F˳ = , 𝛽maka neraca massa total yang dihasilkan akan memberikan model dinamik non-linier sebagai brikut :

Suku yang tidak linier pada persamaan tersebut hanya , Ekspansi Deret Taylor pada suku ini di sekitar titk h˳ akan menghasilkan linierisasi berikut :

Pengabaian terhadap suku-suku orde kedua dan seterusnya akan menghasilkan :

Yang jika diterapkan pada system dinamik non-linier awal akan memberikan model pendekatan linierisasi berikut :

6.3 Variable Penyimpangan

Jika x(s) adalah nilai x pada keadaan tunak yang menggambarkan keadaan dinamik awal system , maka :

Jika adalah titik linierisasi untuk persamaan 6.1 (x˳ = ) , maka persamaan 6.1. akan menghasilkan model linier berikut :

Pengurangan 6.9 dari 6.10. akan menghasilkan persamaan berikut :

Jika variable penyimpangan x didefinisikan sebagai x΄ = x- maka persamaan 6.11 dapat ditulis kembali sebagai berikut :

Contoh 6.2 penggunaan variable penyimpangan untuk system tangki pada contoh 6.1

Pada model hasil linierisasi system tangki dalam contoh 6.1. jika nilai tunak ketinggian cairan untuk laju alir masuk tertentu akan menghasilkan persamaan model berikut :

Pada keadaan tunak , juga didapatkan persamaan keadaan system sebagai berikut

Pengurangan persamaan 6.14 dari 6.13 akan menghasilkan :

Dengan mendifinisikan variable penyimpangan h’ = h - dan akan didapatkan model hasil linierisasi dalam variable penyimpangan berikut