KAIDAH SIMPSON 3/8 DAN INTEGRASI NUMERIK

KAIDAH SIMPSON 3/8DANINTEGRASI NUMERIKKelompok 6

ANGGOTARian Triastuti (4101410020)Mardiyani(4101410053)Gias Atikasari(4101410060)Agil Dwijayanti(4101410074)Diah Aprilia(4101410090)Nur Khasanah(4101410093)1. Kaidah Simpson 3/82. Metode Integrasi Numerik Untuk h yang Berbeda-BedaSub judul:1. KAIDAH SIMPSON 3/8Seperti halnya pada kaidah simpson , hampiran nilai integrasi yang lebih teliti dapat ditingkatkan terus dengan menggunakan polinom interpolasi berderajat lebih tinggi pula. Misalkan sekarang fungsi f(x) kita hampiri dengan polinom interpolasi berderajat 3. Luas daerah yang dihitung sebagai daerah hampiran nilai integrasi adalah daerah di bawah kurva polinom berderajat 3 tersebut parabola.Untuk membentuk polinom interpolasi derajat 3, dibutuhkan 4 buah titik data, misalkan titik-titik tersebut (0, f (0)), (h, f (h)), (2h, f (2h)), dan (3h, f (3h)).

Polinom interpolasi Newton-Gregory derajat 3 yang melalui keempat buah titik itu adalah

Integrasi di dalam selang [0,3h] adalah:

Dengan cara penurunan yang sama seperti pada kaidah Simpson 1/3 , diperoleh:

Galat Kaidah simpson 3/8 adalah

Jika kaidah 3/8 ditambah dengan galatnya:

Sehingga, diperoleh Kaidah simpson 3/8 adalahSedangkan kaidah simpson gabungan adalah:

Persamaan ini (i) mudah dihafalkan dengan mengingat pola suku-sukunya:1, 3, 3, 2,3,3,23,3,2, . . . ,2,3,3,1Namun menggunakan kaidah 3/8 simpson mensyaratkan jumlah upaselang (n) harus kelipatan 3.Galat kaidah 3/8 simpson gabungan adalah

Jadi, kaidah simpson ditambah dengan galatnya dapat dinyatakan sebagai

Kaidah simpson 3/8 memiliki orde galat yang sama dengan orde galat 1/3.Namun dalam praktik kaidah simpson 1/3 lebih disukai dari pada kaidah simpson 3/8 , karena dengan tiga titik kaidah simpson 1/3 sudah diperoleh orde ketelitian yang sama dengan empat titik (simpson 3/8).

Tetapi, untuk n kelipatan 3, kita hanya dapat menggunakan kaidah simpson 3/8 dan bukan kaidah simpson 1/3.Contoh Soal

1

2

Algoritma Program Kaidah Simpson 3/8Masukkannilai n (jumlahupaselang) dan (x, y) dengan x sebagaititikdan y = f(x)Hitung h= (x[0] - x[n-1])/n dimana x[0] merupakan titik awal, dan x[n-1] merupakan titik akhirHitung I = y[0] + y[n-1]Jika r kelipatan 3, maka sigma:= sigma + 2*y[r] dan jika tidak sigma:= sigma + 3*y[r]Hitung I = (I + sigma)*3*h/8Diagram Alur Program Kaidah Simpson 3/8Program Kaidah Simpson 3/8BahasaPemrogamanprogramsimpson;useswincrt;varn,m: integer;x,y : Array[0..30] of real;I, h, z, sigma,a,b : real;r : integer;Beginwrite(' Masukkanjumlahtitik-titik data:');readln(n);for m:=0 to n dobeginwrite('Input data x[',m:2,'] y[',m:2,']= ');read(x[m],y[m]);end;h:= (x[0] - x[n]) / n ;z:= x[0]; I:= y[0] + y[n]; Sigma:= 0;for r:= 1 to (n - 1) dobeginif r mod 3 = 0 then {r = 3, 6, 9, . . . , n-3}sigma:= sigma + 2*y[r];if r mod 3 0 then {r ? 3, 6, 9, . . . , n-1}sigma:= sigma + 3*y[r];end; I:= (I + sigma)*3*h/8;Writeln(' MakanilaiIntegrasiNumeriknya:',I);end.Program pascal2. Metode Integrasi Numerik Untuk h yang Berbeda-BedaMisalkan jarak antara titik-titik data dalam selang [a, b] tidak seragam. Beberapa titik data mempunyai jarak h1, beberapa titik data lain h2, sedangkan sisanya berjarak h3. Integrasi numerik dalam selang [a, b] dilakukan dengan mengkombinasikan kaidah integrasi yang sudah ada, misalnya kombinasi kaidah trapesium, kaidah 1/3 simpson, dan kaidah 3/8 simpson. Berdasarkan orde galatnya, kaidah 1/3 simpson dan 3/8 simpson lebih teliti dari pada kaidah trapesium.Karena itu, kaidah 1/3 simpson diterapkan bila jumlah upaselang berurutan yang berjarak sama adalah genap, sedangkan kaidah 3/8 simpson diterapkan bila jumlah upaselang berurutan yang berjarak sama adalah kelipatan tiga.Sisanya, jika jumlah upa selang yang tidak berjarak sama dengan tetangganya, maka gunakan kaidah trapesium.xyy = f(x)kaidah simpson 1/3kaidah simpson 3/8traptrapContohnya dapat dilihat pada gambar berikutEmpat buah upaselang pertama berjarak sama, lebih baik menggunakan kaidah simpson 1/3 (karena jumlah upaselang genap).

Tiga buah upaselang berikutnya berjarak sama, lebih baik menggunakan kaidah simpson 3/8 (karena jumlah upaselang kelipatan 3).

Dua buah upaselang berikutnya masing-masing berbeda lebarnya, maka setiap upaselang dihitung integrasinya dengan kaidah trapesium .Terimakasih

Hitunglah dengan menggunakan kaidah dan upselang yang digunakan adalah n = 12.

Penyelesaian:Dipunyai: dan n = 12. tabel titik-titik di dalam selang [0,1] dengan h = 0,08333:rxrfr

001

10,083330,99308

20,166660,97261

30,249990,93942

40,333320,89485

50,416650,84064

60,499980,77882

70,583310,71159

80,666640,6412

90,749970,56981

100,83330,49938

110,916630,43162

1210,36788

Nilai integrasi f(x) di dalam selang [0,1] adalah:

Hitunglah

dengan menggunakan kaidah dan upaselang yang digunakan adalah n = 7.

Penyelesaian:Dipunyai:

dan n = 7. tabel titik-titik di dalam selang [2,3] dengan h = 0,142857:rxrfr

02-0,29426

12,142857-0,36982

22,285714-0,43361

32,428571-0,48537

42,571429-0,52496

52,714286-0,5524

62,857143-0,56783

73-0,57157

Nilai integrasi f(x) di dalam selang [2,3] adalah: