PPT 6 -Diagramas de Hasse

Diagramas de HasseDiagramas de Hasse

DIAGRAMAS DE HASSEDIAGRAMAS DE HASSE

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¿Qué es una relación de Equivalencia?¿Qué es una relación de Orden?¿Qué es la relación menor?¿Qué es la transitividad?¿Qué diferencia un relación de orden parcial de una de orden?

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Al finalizar la sesión, el estudiante construye Diagramas de Hasse, usando las definiciones básicas de Matemática Discreta e interpretando los resultados de forma correcta.


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Dado el organigrama de una empresa, queremos dar respuesta a las siguientes interrogantes: 1) ¿Qué personas están subordinadas al jefe de contabilidad?2) ¿Quiénes son los superiores del auxiliar?3) ¿Qué personas son jefes?

Si denotamos por letras cada uno de los cargos y llamamos A al conjunto de todos ellos, es claro que la categoría profesional determina una comparación entre los elementos de A = {a, b, c, d, e, f, g, h, i}. Mediante la traducción al lenguaje matemático podemos obtener un gráfico que nos represente el conjunto ordenado.

Primero debemos comprobar que realmente es una relación de orden :

R={{a,a},{a,b},{a,c},{a,d},{a,e},{a,f},{a,h},{a,i},{b,b},{b,e},{b,f},{b,h},{b,i},{c,c},{d,d},{d,e},{d,f},{d,h},{d,i},{e,e},{e,f},{e,h},{e,i},{f,f},{f,i},{g,g},{g,i},{h,h},{h,i},{i,i}};


Pasamos ahora a responder a las preguntas que nos formulaba el ejemplo:a. los empleados a cargo del jefe contable (e)

{a,b,c,}b. los superiores que tiene el auxiliar

{b,c,d,e,f,h,i}c. Y los jefes de la empresa serán

{d,i}



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Un diagrama de Hasse es una representación de un conjunto parcialmente ordenado finito. La idea del diagrama de Hasse (y de todos los diagramas en general) es eliminar información superflua y concentrarse en la información más relevante relativa al orden. La representación se hace mediante un grafo, o sea un diagrama.

¿QUE ES UN DIAGRAMA DE HASSE?


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Para obtener el diagrama de Hasse conviene seguir los pasos.1.- Eliminar los lazos (aristas que salgan de un vértice y regresan a él), puesto que se tiene que la relación es reflexiva porque es parcialmente ordenada2.- Eliminar la tercera arista de la transitividad. Se sabe que para que una relación R sea transitiva se debe cumplir que si aRb y bRc entonces aRc. Por lo tanto la tercera arista de la transitividad es aRc y esa es precisamente la que se debe eliminar ya que con las dos aristas anteriores es suficiente.3.- Se cambian todas las flechas por líneas.


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R5 = {(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,12) (2,2) (2,4) (2,12) (3,3)(3,12) (4,4) (4,12) (12,12) }

Dada la Relación R5

¿Hallar el Diagrama de Hasse?

Solución:

Con estos diagramas las relaciones de orden son muy fácil de representar y sobretodo de entender.

EJEMPLO :

Hallamos el grafo correspondiente


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4

12

2

3

1

R5 = {(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,12) (2,2) (2,4) (2,12) (3,3)(3,12) (4,4) (4,12) (12,12}


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4

12

2

3

1

R5 = {(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,12) (2,2) (2,4) (2,12) (3,3) (3,12) (4,4) (4,12) (12,12) }

1. Eliminamos los pares reflexivos


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4

2

3

1

R5 = {(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,12) (2,2) (2,4) (2,12) (3,3) (3,12) (4,4) (4,12)}

2. Eliminamos los pares transitivos12


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4

2

3

1Diagrama de Hasse de R5

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3. Eliminamos los sentidos


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R7 = {(a,a) (a,b) (a,c) (b,b) (b,c) (c,c)}

Dado A = { a, b, c}, se cumple que a < b <c, y la Relación R7 = { (a,b) ͼ A x A / a ≤ b},



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Hallar el diagrama de Hasse definido en A= { x ͼ N / x es divisor de 20}, y la relación R8 = { (a,b) ͼ A x A / a es divisor de b},

R8 = {(1,1) (1,2) (1,4) (1,5 ) (1,10) (1,20) (2,2) (2,4) (2,10) (2,20) (4,4) (4,20) (5,5) (5,10) (10,10) (20,20) }

Demostrar si la siguiente matriz es una relación de orden y si lo es trazar su diagrama de Hasse

DIAGRAMAS DE HASSE DE HASSE


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Si A = {2, 3, 6, 9,12, 36} y

R8 = { (a,b) ͼ A x A / a es divisor de b},



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Hallar el diagrama de Hasse definido en A= { x ,y, z}, y la relación R8 = { (x,y) ͼ P (A) / x es subconjunto y},

DIAGRAMAS DE HASSE DE HASSE


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ELEMENTO MÁXIMO . En una relación parcialmente ordenada, elemento máximo es el elemento “a” tal que no existe “c>a”

Los elementos máximos son a1, a2,a3


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ELEMENTO MÍNIMO. En una relación parcialmente ordenada elemento mínimo es el elemento “a” tal que no existe “c < a”

Los elementos mínimos son b1, b2, b3

observar que b2,no es comparable con b3


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Cota superior.- Es el valor que sucede a cualquier valor de la relación.

Supremo (Mínima cota superior) .- Es la cota que precede a cualquier cota

Supremo


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Cota Inferior.- Es el valor que precede a cualquier valor de la relación.

Ínfimo (maxima cota inferior) .-Es la cota que sucede a cualquier otro elemento de la relación

Ínfimo


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Retículos (latiz) .- Es un Diagrama de Hasse que posee supremo e ínfimo para cualquier par (a,b)

NO No hay Supremo


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Retículos (latiz) .- Es un diagrama de hasse que posee supremo e ínfimo para cualquier par (a,b)

NO NO Si

Hay dos supremos

Hay dos ínfimos

1. Seymour, Lipschutz. “Matemática

Discreta”. 511 LIPS. Pág.. 340-360

2. Kolman, Bernard. Estructuras de

Matemáticas Discreta para la

Computación. 511.5 CABA. Pág. 230-258

BibliografíaBibliografía

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