3 – Geometria Razionale – 3. Rette parallele MATEMATICA C3 ...
Powered by FlashBox. Si definisce affinità una corrispondenza biunivoca tra punti dello stesso...
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TRASFORMAZIONI NEL PIANO
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TRASFORMAZIONI NEL PIANOTRASFORMAZIONI
LINEARIINVERSIONI CIRCOLARI
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AffinitàDilatazioni Compressioni InclinazioniSimilitudini
Omotetie Isometrie
Traslazioni RotazioniSimmetrie
Centrali Assiali
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AffinitàSi definisce affinità una corrispondenza biunivoca tra punti dello stesso piano che trasformi rette in rette conservando il parallelismo.
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può allora essere scritta nella forma matriciale
x’ = Ax + u , in cui u = , è il vettore dell’affinità e
A = è la matrice dell’affinità il cui determinante è
diverso da 0 (condizione di non singolarità della matrice)
x’ = ax + by + py’ = cx + dy + q
a bc d
Associamo a ciascun punto P (x,y) del piano in modo
biunivoco il vettore . L’affinità T di equazioni:
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TeoremaData una trasformazione di matrice A e una superficie del piano S, sia S’ la superficie corrispondente. Il rapporto tra S’ e S è pari al modulo del det A.
DefinizioneSi definisce elemento unito un elemento che corrisponde a se stesso nella trasformazione.
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Dilatazioni e CompressioniSi definisce dilatazione o compressione di rapporto k lungo l’asse x e di rapporto h lungo l’asse y l’affinità:
x’ = kxy’ = hy
k 00 hdi matrice: det A = kh
k ≠ 0h ≠ 0
00e vettore:
con:
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1 00 3di matrice: det A = 3
x’ = xy’ = 3y
1 00 ⅓di matrice: det A = ⅓
x’ = xy’ = ⅓y
Dilatazione
Compressione
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Inclinazioni
x’ = x + k yy’ = y
1 k0 1
di matrice:
det A = 1
Si definisce inclinazione lungo l’asse x di coefficiente k la trasformazione che fa corrispondere a ogni punto (x,y) il punto che ha la stessa ordinata y e ascissa proporzionale.
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Inclinazioni
x’ = xy’ = kx + y
1 0k 1
di matrice:
det A = 1
Si definisce inclinazione lungo l’asse y di coefficiente k la trasformazione che fa corrispondere a ogni punto (x,y) il punto che ha la stessa ascissa x e ordinata proporzionale.
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ESERCIZIO
La trasformazione di matrice muta il quadrato Q di
vertici O(0,0), A(1,0), B(1,1) e C(0,1) nel rettangolo R. Appli-
cando successivamente l’inclinazione di matrice
si ottiene il parallelogramma P. Calcolane l’area.
1 20 1
2 00 1
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SimilitudiniLa similitudine è un’affinità tra punti del piano che mantiene costante il rapporto tra segmenti corrispondenti.
Cioè, dati i segmenti AB e CD:
k è detto rapporto di similitudine.
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x’ = ax + by + py’ = - bx + ay + q
La cui matrice associata risulta: a b-b a
det A = a² + b² = k²
Diretta
x’ = ax + by + py’ = bx - ay + q
La cui matrice associata risulta: a bb -a
det A = - a² - b² = - k²
Inversa
a = k cos αb = - k sin α
a = - k cos αb = k sin α
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OmotetieSiano C un punto del piano e a un numero reale non nullo si definisce omotetia di centro C e rapporto a la corrispondenza biunivoca tra i punti del piano che a ogni punto P fa corrispondere in modo univoco il punto P’ tale che CP’ = a CP.
x’ = ax + xC - axC
y’ = ay + yC - ayC
La matrice associata risulta: a 00 a
det A = a²
E il suo vettore:xC – axC
yC - ayC
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IsometrieSi definisce isometria ogni affinità tra i punti del piano che conservi le distanze (k = 1).
La più semplice isometria è l’identità:
x’ = xy’ = y
La cui matrice associata risulta:1 00 1 det A = 1
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TRASLAZIONESi definisce traslazione di vettore v la corrispondenza biunivoca tra i punti del piano che a ogni punto P associa il punto P’ tale che PP’ = v
Dato il vettore v = (p;q), risulta:
x’ = x + py’ = y + q
La cui matrice associata risulta:1 00 1 det A = 1
E il cui vettore:
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1 00 1
Matrice:
¼1
det A = 1
Vettore:
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ESERCIZIO
Dati la traslazione di vettore e il triangolo di vertici A (0,0),
B (1,0) e C (0,3), trovare i vertici di A’B’C’.
A’ (xA’, yA’) = (xA + p, yA + q) = (9, -1)
B’ (xB’, yB’) = (xB + p, yB + q) = (10, -1)
C’ (xC’, yC’) = (xC + p, yC + q) = (9, 2)
9-1
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ROTAZIONESiano O un punto del piano e θ un numero reale. Si chiama rotazione di centro O e di angolo θ la corrispondenza biunivoca tra i punti del piano che associa il punto O il punto O stesso e che ogni punto P distinto da O associa il punto P’ tale che PÔP’ = θ.
x’ = x cos θ – y sin θy’ = x sin θ + y cos θ
La cui matrice associata risulta:cos -sinsin cos det A = 1
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0 -11 0 det A = 1
Matrice:
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ESERCIZIO
Dati la rotazione di angolo θ = 90° e il triangolo di vertici A (0,0),
B (1,0) e C (0,3), trovare i vertici di A’B’C’.
A’ (xA’, yA’) = (xA cos θ - yA sin θ, xA sinθ + yA cos θ) = (0, 0)
B’ (xB’, yB’) = (xB cos θ - yB sin θ, xB sinθ + yB cos θ) = (0, 1)
C’ (xC’, yC’) = (xC cos θ - yC sin θ, xC sinθ + yC cos θ) = (-3, 0)
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SIMMETRIA CENTRALESi definisce simmetria centrale Sc rispetto a C la corrispondenza biunivoca tra punti del piano che associa a ogni punto P il punto P’ tale che C sia il punto medio di PP’
x’ = 2 xC - xy’ = 2 yC - y
La cui matrice associata risulta: -1 0 0 -1
det A = 1
2 xC
2 yC
E il suo vettore:
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det A = 1-1 0 0 -1
21
Matrice: Vettore:
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ESERCIZIODati la simmetria centrale di vettore e il triangolo di vertici
A (0,0), B (1,0) e D (0,3), trovare i vertici di A’B’D’.
C (½ 8, ½ 4) = (4, 2)
A’ (xA’, yA’) = (2 xC - xA, 2 yC - yA) = (8, 4)
B’ (xB’, yB’) = (2 xC - xB, 2 yC - yB) = (7, 4)
D’ (xD’, yD’) = (2 xC - xD, 2 yC - yD) = (8, 1)
84
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SIMMETRIA ASSIALESi definisce simmetria rispetto a r l’affinità Sr che lascia uniti i punti P che appartengono ad r e che trasforma ogni punto P che non appartiene ad r in P’ tale che r sia l’asse di PP’.
Di matrice:
det A = -1e vettore:
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Caso particolare: y = k
x’ = xy’ = - y + 2 k
1 0 0 -1det A = -1
Caso degenere: x = k
x’ = - x + 2 ky’ = y
-1 0 0 1
det A = -1
02k
2k0
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Caso particolare: y = x
x’ = yy’ = x
0 11 0
det A = -1
00
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ESERCIZIODati la simmetria assiale di asse x = 4 e il triangolo di vertici
A (0,0), B (1,0) e C (0,3), trovare i vertici di A’B’C’.
A’ (xA’, yA’) = (- xA + 8, yA) = (8, 0)
B’ (xB’, yB’) = (- xB + 8, yB) = (7, 0)
C’ (xC’, yC’) = (- xC + 8, yC) = (8, 3)
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Composizionedi trasformazioni
La composizione o prodotto di due affinità T1 e T2, rispettivamente di matrici A1 e A2 e vettori u1 e u2, è l’affinità T2T1, la cui matrice è A = A2A1 e il cui vettore è u = A2u1+u2.
T1: x’= A1 x + u1 e T2: x’= A2 x + u2 x Applico T1: x’= A1 x + u1 Applico T2: x’’= A2 (A1 x + u1) + u2 = A2 A1 x + A2 u1 + u2
MATRICE VETTORE
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ESERCIZIOTrasformare la circonferenza x²+y²-2x=0 applicando prima T:
e poi T’: . Ripetere l’esercizio applicando prima T’ e poi T.x’ = 3xy’ = 2y
x’ = 2xy’ = -y
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Trasformazione inversaL’inversa di un’affinità T di matrice A e vettore u è l’affinità di matrice A-1 e vettore v = -A-1 u.
x’= A x + u Moltiplico per A-1 A-1x’= A-1A x + A-1u A-1A = IA-1x’= I x + A-1u Isolo xx = A-1x’ - A-1u
MATRICE VETTORE
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ESERCIZI TRATTIDALL’ESAME DI STATO
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