Povrchy a objemy hranatých a rotačných teliesZdeno Rýs, III.B, GJGT, 2012/2013

Hranaté telesá

• Kocka

• Kváder

• Kolmý hranol

• Ihlan

• Zrezaný ihlan

Kocka

• Kocka je kolmý hranol ktorého dĺžka, šírka a výška majú rovnakú veľkosť.

V = a . a . a = a3 S = 6 . a . a = 6.a2

Kocka v praxi

Kváder

• Kváder je kolmý hranol, ktorého podstavou je obdĺžnik.

V = a . b . c S =2.(ab + bc + ca)

Kváder v praxi

Kolmý hranol• Kolmý hranol je teleso, ktorého bočné hrany sú kolmé na

roviny podstáv tvorené pravidelným mnohouholníkom. Podľa toho koľko strán má podstava, hovoríme o hranole trojbokom, štvorbokom, päťbokom,...n-bokom.

V = SP . v S = 2SP + Q

bočná stena

horná podstava

dolná podstava

bočná hrana

hrana podstavy

Kolmý hranol v praxi

Ihlan• Ihlan je teleso, ktorého podstava tvorí pravidelný mnohouholník,

a ktorého steny sú trojuholníky a zbiehajú sa v jednom vrchole, pričom priamka určená stredom súmernosti mnohouholníka a vrcholom je kolmá na rovinu podstavy. Podľa toho, koľko strán má podstava, hovoríme o ihlane trojbokom, štvorbokom, päťbokom atď.

S= Sp + QV=1/3 Sp . v

bočná stena

podstava

bočná hrana

hrana podstavy

vrchol ihlana

V

Ihlan v praxi

Zrezaný Ihlan

• Zrezaný ihlan je kolmý ihlan zrezaný rovinou rovnobežnou s podstavou, ktorého každá bočná stena je lichobežník

Zrezaný ihlan v praxi

Rotačné telesá

• Rotačný valec

• Rotačný kužeľ

• Rotačný zrezaný kužeľ

• Guľa

Rotačný valec• Rotačný valec je teleso s rovnobežnými, kruhovými

podstavami rovnakého polomeru, pričom výška valca je kolmá na rovinu podstavy. Môžeme si ho predstaviť ako teleso, ktoré vzniklo rotáciou obdĺžnika okolo jeho strany

V = r2 v S = 2 r2 + 2 r v

Rotačný valec v praxi

Rotačný kužeľ• Rotačný kužeľ je teleso, ktorého podstavou je kruh,

pričom priamka určená vrcholom a stredom podstavy je na rovinu podstavy kolmá. Teleso vzniklo rotáciou pravouhlého trojuholníka okolo jednej jeho odvesny.

V = 1/3 r2 S = r. (r+s)

Rotačný kužeľ v praxi

Zrezaný rotačný kužeľ

• rotačný kužeľ zrezaný rovinou rovnobežnou s podstavou.

Zrezaný rotačný kužeľ v praxi

Guľa• Guľa je množina všetkých bodov trojrozmerného

priestoru, ktoré majú od stredu S, vzdialenosť, ktorá je menšia alebo sa rovná polomeru r.

V = 4/3 r3 S = 4 r2

Guľa v praxi

Guľový odsek• Guľový odsek je prienik gule a polpriestoru, ktorého hraničná

rovina pretína guľu v kruhu s polomerom ρ. Tento kruh nazývame podstava guľového odseku. Je najmenšia časť gule Rozdelená rovinou na dve časti

Guľový vrchlík

• Guľový vrchlík je prienik guľovej plochy a polpriestoru, ktorého hraničná rovina pretína guľovú plochu v kružnici s polomerom ρ.

S=2πrv –povrch guľového vrchlíka

Guľová vrstva• Guľová vrstva je prienik gule a vrstvy, ktorá je určená

dvoma rovnobežnými rovinami σ1 s σ2, ktorých vzdialenosti od stredu gule S sú menšie ako polomer gule r a pretínajú guľu v kruhoch s polomermi ρ1 a ρ2. Tieto dva kruhy nazývame podstavy guľovej vrstvy.

Guľový pás• Guľový pás je prienik guľovej plochy a vrstvy,ktorá je určená

dvoma rovnobežnými rovinami σ1 aσ2,ktorých vzdialenosi od stredu gľovej plochy S sú menšie ako polomer guľovej plochy r a pretínajú guľovú plochu v kružniciach s polomermi ρ1 aρ2. Je to plášť guľovej vrstvy

S=2πrv – vzorec na výpočet povrchu guľového pásu

Guľový výsek

• Je to prienik gule rotačným kužeľom, ktorý má vrchol v strede gule a výšku väčšiu ako r

Bibliografické údaje/ použitá literatura

• ISBN 80-08-00941-1• ISBN 80-89160-01-8• https

://www.google.sk/search?q=kocka&rlz=1C1GTPM_enSK532SK532&aq=f&um=1&ie=UTF-8&hl=sk&tbm=isch&source=og&sa=N&tab=wi&ei=bk2WUa_ODcnVswbxvoDgAQ&biw=1280&bih=826&sei=cU2WUa-KDMPStAatmoGABg#um=1&rlz=1C1GTPM_enSK532SK532&hl=sk&tbm=isch&sa=1&q=ihlan&oq=ihlan&gs_l=img.12..0l8j0i24l2.62900.64735.4.67056.5.5.0.0.0.0.111.467.4j1.5.0...0.0...1c.1.14.img.QSpjzf4nlFw&bav=on.2,or.r_qf.&bvm=bv.46751780,d.Yms&fp=dbf7b6aca8124846&biw=1280&bih=826

• ISBN 80-89160-12-3