Naziv kolegija :

POUZDANOST BRODSKIH ENERGETSKIHPOUZDANOST BRODSKIH ENERGETSKIHPOUZDANOST BRODSKIH ENERGETSKIH POUZDANOST BRODSKIH ENERGETSKIH SUSTAVASUSTAVA

RELIABILITY OF MARINE POWERRELIABILITY OF MARINE POWERRELIABILITY OF MARINE POWER RELIABILITY OF MARINE POWER SYSTEMSSYSTEMS

Prof. dr. sc. Ante Šestan

11

Prof. dr. sc. Ante ŠestanNikola Vladimir, dipl. ing.Zagreb, 2010.

UVODUVOD

•• BRODSKI ENERGETSKI SUSTAV (BES)BRODSKI ENERGETSKI SUSTAV (BES)BRODSKI ENERGETSKI SUSTAV (BES)BRODSKI ENERGETSKI SUSTAV (BES)

•• PODSUSTAVI (STRUKTURA) BESPODSUSTAVI (STRUKTURA) BES--a :a :•• PODSUSTAVI (STRUKTURA) BESPODSUSTAVI (STRUKTURA) BES a :a :•• PORIVNI SUSTAVPORIVNI SUSTAV•• POMOĆNI ENERGETSKI SUSTAVPOMOĆNI ENERGETSKI SUSTAV•• SUSTAVI SKLADIŠTENJA, ODRŽAVANJA I TRANSPORTASUSTAVI SKLADIŠTENJA, ODRŽAVANJA I TRANSPORTA

FLUIDAFLUIDA( )( )•• SUSTAVI PROVODNIKA (CJEVOVODI I KABLOVI)SUSTAVI PROVODNIKA (CJEVOVODI I KABLOVI)

•• ELEMENTI BESELEMENTI BES--aaTOPLINSKI STROJEVI UREĐAJI MEHANIZMI ITOPLINSKI STROJEVI UREĐAJI MEHANIZMI I-- TOPLINSKI STROJEVI, UREĐAJI, MEHANIZMI I TOPLINSKI STROJEVI, UREĐAJI, MEHANIZMI I

PROVODNICIPROVODNICI

22

•• ZADATAK BESZADATAK BES a :a :•• ZADATAK BESZADATAK BES--a :a :-- PROIZVODNJA DOVOLJNE KOLIČINE ODABRANIH OBLIKA ENERGIJE PROIZVODNJA DOVOLJNE KOLIČINE ODABRANIH OBLIKA ENERGIJE POTREBNIH ZA PODMIRENJE SVIH ENERGETSKIH POTREBA BRODA UPOTREBNIH ZA PODMIRENJE SVIH ENERGETSKIH POTREBA BRODA UPOTREBNIH ZA PODMIRENJE SVIH ENERGETSKIH POTREBA BRODA U POTREBNIH ZA PODMIRENJE SVIH ENERGETSKIH POTREBA BRODA U RAZLIČITIM UVJETIMA EKSPLOATACIJE (REŽIMIMA PLOVIDBE).RAZLIČITIM UVJETIMA EKSPLOATACIJE (REŽIMIMA PLOVIDBE).-- PRIJENOS ENERGIJE DO POTROŠAČAPRIJENOS ENERGIJE DO POTROŠAČA

Š ŠŠ Š-- ODVOĐENJE NEISKORIŠTENE ENERGIJE U OKOLIŠ ILIODVOĐENJE NEISKORIŠTENE ENERGIJE U OKOLIŠ ILINATRAG U ENERGETSKI TOKNATRAG U ENERGETSKI TOK

•• ZNAČAJKE SUVREMENIH BESZNAČAJKE SUVREMENIH BES--a :a :-- RAZLIČITOST VRSTA I TIPOVA STROJEVA UREĐAJA OPREMERAZLIČITOST VRSTA I TIPOVA STROJEVA UREĐAJA OPREMERAZLIČITOST VRSTA I TIPOVA STROJEVA , UREĐAJA, OPREMERAZLIČITOST VRSTA I TIPOVA STROJEVA , UREĐAJA, OPREME-- VELIKI BROJ SLOŽENIH ELEMENATA BESVELIKI BROJ SLOŽENIH ELEMENATA BES--a a -- RAZLIČITOST FUNKCIONALNIH VEZA IZMEĐU ELEMENATARAZLIČITOST FUNKCIONALNIH VEZA IZMEĐU ELEMENATA-- VISOKA ENERGETSKA UČINKOVITOST I EKOLOŠKA PRIHVATLJIVOSTVISOKA ENERGETSKA UČINKOVITOST I EKOLOŠKA PRIHVATLJIVOST-- POUZDANOST, RASPOLOŽIVOST I POGODNOST ZA ODRŽAVANJEPOUZDANOST, RASPOLOŽIVOST I POGODNOST ZA ODRŽAVANJE

33

•• ŠTO JE POUZDANOST BESŠTO JE POUZDANOST BES--a ?a ?“Pouzdanost brodskog energetskog sustava je “Pouzdanost brodskog energetskog sustava je vjerojatnost da će sustav, tijekom zadanog vremena, vjerojatnost da će sustav, tijekom zadanog vremena,

ći i l idb b d d iđ b i k ići i l idb b d d iđ b i k iomogućiti plovidbu broda predviđenom brzinom, kao i omogućiti plovidbu broda predviđenom brzinom, kao i nesmetano funkcioniranje svih ostalih brodskih nesmetano funkcioniranje svih ostalih brodskih sustava i uređaja u različitim režimima eksploatacije”sustava i uređaja u različitim režimima eksploatacije”sustava i uređaja, u različitim režimima eksploatacije .sustava i uređaja, u različitim režimima eksploatacije .

KLJUČNE RIJEČI :KLJUČNE RIJEČI :KLJUČNE RIJEČI :KLJUČNE RIJEČI :–– Pouzdanost, Raspoloživost, Pogodnost za održavanje, Pouzdanost, Raspoloživost, Pogodnost za održavanje,

Brodski energetski sustav, Baza podataka, Integrirani Brodski energetski sustav, Baza podataka, Integrirani g , p , gg , p , ginformacijski sustavinformacijski sustav

–– Reliability, Availability, Maintainability, Reliability, Availability, Maintainability, Marine powerMarine power system, system, D t b I t t d i f ti tD t b I t t d i f ti tDatabase, Integrated information systemDatabase, Integrated information system

RAMRAM Reliability Availability MaintainabilityReliability Availability Maintainability

44

RAM RAM -- Reliability, Availability, MaintainabilityReliability, Availability, Maintainability

•• PRAVCI RAZVOJA TEORIJE POUZDANOSTIPRAVCI RAZVOJA TEORIJE POUZDANOSTIPRAVCI RAZVOJA TEORIJE POUZDANOSTIPRAVCI RAZVOJA TEORIJE POUZDANOSTI

–– Proučavanje općih zakonitosti ponašanja složenih sustava i Proučavanje općih zakonitosti ponašanja složenih sustava i komponenata od kojih se oni sastoje sa stanovišta pouzdanostikomponenata od kojih se oni sastoje sa stanovišta pouzdanostikomponenata od kojih se oni sastoje sa stanovišta pouzdanosti,komponenata od kojih se oni sastoje sa stanovišta pouzdanosti,

–– Uvođenje metoda za prikupljanje i razmjenu osnovnih Uvođenje metoda za prikupljanje i razmjenu osnovnih pokazatelja pouzdanosti (projektiranje lokaliziranih ipokazatelja pouzdanosti (projektiranje lokaliziranih ipokazatelja pouzdanosti (projektiranje lokaliziranih i pokazatelja pouzdanosti (projektiranje lokaliziranih i centraliziranih baza podataka, kao i određivanje njihove centraliziranih baza podataka, kao i određivanje njihove hijerarhijske međuzavisnosti),hijerarhijske međuzavisnosti),

–– Istraživanje i uvođenje praktičnih metoda za određivanje RAM Istraživanje i uvođenje praktičnih metoda za određivanje RAM značajki (izrada računalnih programa za analizu prikupljenih značajki (izrada računalnih programa za analizu prikupljenih podataka),podataka),

–– Uvođenje metoda za postizanje optimalne razine pouzdanosti u Uvođenje metoda za postizanje optimalne razine pouzdanosti u eksploatacijskim uvjetima (poboljšanje projektnog procesa),eksploatacijskim uvjetima (poboljšanje projektnog procesa),

–– Uvođenje metoda za održavanje optimalne razine pouzdanosti u Uvođenje metoda za održavanje optimalne razine pouzdanosti u eksploatacijskim uvjetima (metoda održavanja prema eksploatacijskim uvjetima (metoda održavanja prema

d ti)d ti)

55

pouzdanosti). pouzdanosti).

Osnovni ciljOsnovni ciljevi:evi:•• OOd đi j ti l k ki d jd đi j ti l k ki d j•• OOdređivanje optimalne, ekonomski opravdane mjere dređivanje optimalne, ekonomski opravdane mjere

pouzdanosti, razvijajući metode proračuna koje su pouzdanosti, razvijajući metode proračuna koje su primjenjive u pojedinim fazama projektiranja izrade iprimjenjive u pojedinim fazama projektiranja izrade iprimjenjive u pojedinim fazama projektiranja, izrade i primjenjive u pojedinim fazama projektiranja, izrade i eksploatacije BEPeksploatacije BEP--a. a.

•• Kvantifikacija značajki pouzdanosti sustava,Kvantifikacija značajki pouzdanosti sustava,Kvantifikacija značajki pouzdanosti sustava, Kvantifikacija značajki pouzdanosti sustava, poznavajući značajke elemenata i njihove poznavajući značajke elemenata i njihove funkcionalne vezefunkcionalne veze..

•• TEORETSKA PODLOGATEORETSKA PODLOGATEORETSKA PODLOGATEORETSKA PODLOGA•• TEORIJA VJEROJATNOSTITEORIJA VJEROJATNOSTI•• MATEMATIČKA STSTISTIKAMATEMATIČKA STSTISTIKA•• MATEMATIČKA STSTISTIKAMATEMATIČKA STSTISTIKA•• TEORIJA SLUČAJNIH PROCESATEORIJA SLUČAJNIH PROCESA

66

POVIJESNI PREGLEDPOVIJESNI PREGLEDPOVIJESNI PREGLEDPOVIJESNI PREGLED

PRVA PRIMJENA TEORIJE POUZDANOSTI:PRVA PRIMJENA TEORIJE POUZDANOSTI:ČČINDUSTRIJA ELEKTRONIČKIH KOMPONENATAINDUSTRIJA ELEKTRONIČKIH KOMPONENATA

•• SERIJSKI SUSTAVI, VISOKA RAZINA POUZDANOSTI SERIJSKI SUSTAVI, VISOKA RAZINA POUZDANOSTI ELEMENTAELEMENTAELEMENTA,ELEMENTA,

•• NISKA RAZINA POUZDANOSTI SUSTAVANISKA RAZINA POUZDANOSTI SUSTAVA•• Robert Lusser njemački matematičar 2 svjetski ratRobert Lusser njemački matematičar 2 svjetski rat•• Robert Lusser, njemački matematičar, 2.svjetski rat, Robert Lusser, njemački matematičar, 2.svjetski rat,

postavio teoretske osnove serijskih sustava proučavajući postavio teoretske osnove serijskih sustava proučavajući njemačke raketne sustave Vnjemačke raketne sustave V--11

•• 1951. god. Ministarstvo obrane SAD1951. god. Ministarstvo obrane SAD--a formira grupu a formira grupu stručnjaka za pitanja pouzdanosti elektroničkih stručnjaka za pitanja pouzdanosti elektroničkih komponenatakomponenata –– začetak razvoja teorije pouzdanosti kaozačetak razvoja teorije pouzdanosti kaokomponenata komponenata –– začetak razvoja teorije pouzdanosti kao začetak razvoja teorije pouzdanosti kao zasebne discipline u tehnologijskim znanostimazasebne discipline u tehnologijskim znanostimaMIL MIL ––STD (Military Standard)STD (Military Standard)-- norme koje propisuju norme koje propisuju

77

( y )( y ) j p p jj p p jznačajke opreme, doprinos pouzdanosti značajke opreme, doprinos pouzdanosti

•• 1962. god. NASA i US Air Force uvode pouzdanost u 1962. god. NASA i US Air Force uvode pouzdanost u postupke razvoja i projektiranja svemirskog programa ipostupke razvoja i projektiranja svemirskog programa ipostupke razvoja i projektiranja svemirskog programa i postupke razvoja i projektiranja svemirskog programa i vojne zrakoplovne industrije. Stečena znanja i iskustvo vojne zrakoplovne industrije. Stečena znanja i iskustvo prenose se na civilno zrakoplovstvo.prenose se na civilno zrakoplovstvo.P č t k 70P č t k 70 tih di k l j i d t iji ijtih di k l j i d t iji ij•• Početak 70 Početak 70 –– tih godina u zrakoplovnoj industriji razvija tih godina u zrakoplovnoj industriji razvija se metodologija “održavanje prema pouzdanostise metodologija “održavanje prema pouzdanosti” ” (Reliability (Reliability Centered Maintenance) .Centered Maintenance) .

K j 70K j 70 tih di i j d ti t h l ijitih di i j d ti t h l iji•• Kraj 70 Kraj 70 –– tih godina primjena pouzdanosti u tehnologiji tih godina primjena pouzdanosti u tehnologiji gradnje nuklearnih elektrana, naročito nakon nekoliko gradnje nuklearnih elektrana, naročito nakon nekoliko havarija, primjena se širi na kemijsku i naftnu industrijuhavarija, primjena se širi na kemijsku i naftnu industriju..

•• 1971. god. SNAME1971. god. SNAME ((Society of Naval Architects AndSociety of Naval Architects And Marine EngineersMarine Engineers) ) ––studija o mogućnostima primjene teorije pouzdanosti na studija o mogućnostima primjene teorije pouzdanosti na brodske energetske sustave.brodske energetske sustave.brodske energetske sustave.brodske energetske sustave.

•• 1981. godine u Japanu osnovan1981. godine u Japanu osnovan “Ship Reliability Investigation “Ship Reliability Investigation Committee” (SRIC) Committee” (SRIC) sa zadaćom istraživanja pouzdanosti sa zadaćom istraživanja pouzdanosti BESBES aaBESBES--aa

•• Poslije 2000.godine Poslije 2000.godine –– VERISTARVERISTAR, , MOSys , RAM/SHIPNETMOSys , RAM/SHIPNET-- projekti koji se bave pouzdanošću BESprojekti koji se bave pouzdanošću BES--aa

88

projekti koji se bave pouzdanošću BESprojekti koji se bave pouzdanošću BES aa

PRIMJENA TEORIJE POUZDANOSTIPRIMJENA TEORIJE POUZDANOSTI

•• PROJEKTNO RJEŠENJE BILO KOJEG TEHNIČKOG PROJEKTNO RJEŠENJE BILO KOJEG TEHNIČKOG SUSTAVA JE KVALITETNIJE AKO SU METODE ANALIZESUSTAVA JE KVALITETNIJE AKO SU METODE ANALIZESUSTAVA JE KVALITETNIJE AKO SU METODE ANALIZE SUSTAVA JE KVALITETNIJE AKO SU METODE ANALIZE POUZDANOSTI INTEGRIRANE U POSTUPAK POUZDANOSTI INTEGRIRANE U POSTUPAK PROJEKTIRANJA !PROJEKTIRANJA !

•• OPTIMIZACIJA KORIŠTENJA I ODRŽAVANJAOPTIMIZACIJA KORIŠTENJA I ODRŽAVANJA•• POBOLJŠANJE KVALITETE PROJEKTNIH RJEŠENJAPOBOLJŠANJE KVALITETE PROJEKTNIH RJEŠENJA•• ANALIZA SIGURNOSTI I RIZIKAANALIZA SIGURNOSTI I RIZIKA•• OCJENA DOSTIGNUTOG STUPNJA POUZDANOSTIOCJENA DOSTIGNUTOG STUPNJA POUZDANOSTI--

VERIFIKACIJA POUZDANOSTIVERIFIKACIJA POUZDANOSTI•• ZAŠTITA OKOLIŠAZAŠTITA OKOLIŠA•• RAZVOJ PROPISA KLASIFIKACIJSKIH DRUŠTAVA RAZVOJ PROPISA KLASIFIKACIJSKIH DRUŠTAVA

(BRODSKI REGISTRI)(BRODSKI REGISTRI)

99

1010

Slika 1 CIJENA POUZDANOSTISlika 1 CIJENA POUZDANOSTI

POJAM POJAM UČINKOVITOSTIUČINKOVITOSTI BRODSKOG BRODSKOG ENERGETSKOG SUSTAVAENERGETSKOG SUSTAVA

UČINKOVITOST SUSTAVAUČINKOVITOST SUSTAVA jeje sveukupna sposobnostsveukupna sposobnostUČINKOVITOST SUSTAVAUČINKOVITOST SUSTAVA je je sveukupna sposobnostsveukupna sposobnostsustava da izvršava projektom predviđene zadaće. To jesustava da izvršava projektom predviđene zadaće. To je vjerojatnostvjerojatnostda će sustav zadovoljiti operativni zahtjev u tijeku određenog da će sustav zadovoljiti operativni zahtjev u tijeku određenog

k d di d d fi i i j tik d di d d fi i i j tivremena, kada radi pod definiranim uvjetima.vremena, kada radi pod definiranim uvjetima.

UČINKOVITOST = UČINKOVITOST = f (projektnog rješenja, tehnologije izrade, f (projektnog rješenja, tehnologije izrade, kvalitete izrade rukovanja održavanja organizacije i dr )kvalitete izrade rukovanja održavanja organizacije i dr )kvalitete izrade, rukovanja, održavanja, organizacije i dr.)kvalitete izrade, rukovanja, održavanja, organizacije i dr.)

UČINKOVITOST = KORISNOST= EFEKTIVNOSTUČINKOVITOST = KORISNOST= EFEKTIVNOST

PARAMETRI UČINKOVITOSTI SUSTAVA :PARAMETRI UČINKOVITOSTI SUSTAVA :POUZDANOSTPOUZDANOST-- POUZDANOSTPOUZDANOST

-- RASPOLOŽIVOSTRASPOLOŽIVOST-- FUNKCIONALNA PODOBNOST (KRAJNJI UČINAK)FUNKCIONALNA PODOBNOST (KRAJNJI UČINAK)

1111

( )( )

1212Slika 2 Sastavnice učinkovitosti sustava Slika 2 Sastavnice učinkovitosti sustava

UČINKOVITOST KAO DIO UKUPNE UČINKOVITOST KAO DIO UKUPNE VRIJEDNOSTI VRIJEDNOSTI SUSTAVASUSTAVA

1313Sl.3 Sastavnice vrijednosti sustavaSl.3 Sastavnice vrijednosti sustava

ČČDEFINICIJE PARAMETARA UČINKOVITOSTIDEFINICIJE PARAMETARA UČINKOVITOSTI

OPERATIVNA RASPOLOŽIVOST (A):OPERATIVNA RASPOLOŽIVOST (A):O S O O OS ( )O S O O OS ( )Vjerojatnost da će sustav pravilno funkcionirati u bilo kojem trenutku Vjerojatnost da će sustav pravilno funkcionirati u bilo kojem trenutku vremena. Izračunava se kao omjer srednjeg vremena korištenja sustava vremena. Izračunava se kao omjer srednjeg vremena korištenja sustava TT i zbroja vremena korištenja i srednjeg vremena zastoja sustava Ti zbroja vremena korištenja i srednjeg vremena zastoja sustava T ::TTK K i zbroja vremena korištenja i srednjeg vremena zastoja sustava Ti zbroja vremena korištenja i srednjeg vremena zastoja sustava TZ Z ::

KTA ZK TT

A

POUZDANOST ZADATKA (R):POUZDANOST ZADATKA (R):Vjerojatnost da će sustav funkcionirati u predviđenom režimu rada u tijeku Vjerojatnost da će sustav funkcionirati u predviđenom režimu rada u tijeku trajanja zadatka pod uvjetom da je funkcionirao u tom režimu rada natrajanja zadatka pod uvjetom da je funkcionirao u tom režimu rada natrajanja zadatka, pod uvjetom da je funkcionirao u tom režimu rada na trajanja zadatka, pod uvjetom da je funkcionirao u tom režimu rada na početku zadatka. To je dakle vjerojatnost da sustav neće otkazati tijekom početku zadatka. To je dakle vjerojatnost da sustav neće otkazati tijekom trajanja zadatka, pod uvjetom da je funkcionirao na početku izvršenja. trajanja zadatka, pod uvjetom da je funkcionirao na početku izvršenja.

1414

FUNKCIONALNA PODOBNOST (F):FUNKCIONALNA PODOBNOST (F):Vjerojatnost da će sustav uspješno izvršiti svoj zadatak u svimVjerojatnost da će sustav uspješno izvršiti svoj zadatak u svimVjerojatnost da će sustav uspješno izvršiti svoj zadatak u svim Vjerojatnost da će sustav uspješno izvršiti svoj zadatak u svim predviđenim režimima rada, pod uvjetom da radi u okviru svojih predviđenim režimima rada, pod uvjetom da radi u okviru svojih konstrukcijskih mogućnosti.konstrukcijskih mogućnosti.OGO OS O Ž ( )OGO OS O Ž ( )POGODNOST ODRŽAVANJA (M):POGODNOST ODRŽAVANJA (M):

Vjerojatnost da će sustav, koji je otkazao, biti ponovno doveden u Vjerojatnost da će sustav, koji je otkazao, biti ponovno doveden u operativno stanje u toku predviđenog vremena zastoja(predviđenog operativno stanje u toku predviđenog vremena zastoja(predviđenog ope at o sta je u to u p ed đe og e e a astoja(p ed đe ogope at o sta je u to u p ed đe og e e a astoja(p ed đe ogprojektom).projektom).

POJAMPOJAM “VREMENA”“VREMENA”POJAM POJAM “VREMENA”“VREMENA”

UKUPNO VRIJEME TUKUPNO VRIJEME TUKUK –– vremenski interval od trenutka puštanjavremenski interval od trenutka puštanjaUKUPNO VRIJEME TUKUPNO VRIJEME TUKUK vremenski interval od trenutka puštanja vremenski interval od trenutka puštanja sustava u korištenje do trenutka povlačenja iz upotrebe(korištenja).sustava u korištenje do trenutka povlačenja iz upotrebe(korištenja).RASPOLOŽIVO VRIJEME RASPOLOŽIVO VRIJEME –– vremenski interval u kojem u tijeku kojeg vremenski interval u kojem u tijeku kojeg

t k i ti ili j k išt jt k i ti ili j k išt jse sustav koristi, ili je spreman za korištenje.se sustav koristi, ili je spreman za korištenje.NERASPOLOŽIVO VRIJEME NERASPOLOŽIVO VRIJEME –– vremenski interval u kojem je sustav u vremenski interval u kojem je sustav u stanju zastoja (kvara). stanju zastoja (kvara).

1515

j j ( )j j ( )

1. KVAROVI TEHNIČKIH SUSTAVA1. KVAROVI TEHNIČKIH SUSTAVA1.1 DEFINICIJE STRUKTURE TEHNIČKOG SUSTAVA 1.1 DEFINICIJE STRUKTURE TEHNIČKOG SUSTAVA

•• SUSTAVSUSTAV -- skup jednog ili više elemenata međusobno povezanih skup jednog ili više elemenata međusobno povezanih funkcionalnim i fizičkim vezama, koji kao cjelina obavlja definiranu funkcionalnim i fizičkim vezama, koji kao cjelina obavlja definiranu funkciju. Ima svoja fizikalna i funkcionalna svojstva. funkciju. Ima svoja fizikalna i funkcionalna svojstva.

•• PODSUSTAVPODSUSTAV -- skup jednog ili više elemenata istih svojstava kao iskup jednog ili više elemenata istih svojstava kao i•• PODSUSTAV PODSUSTAV skup jednog ili više elemenata, istih svojstava kao i skup jednog ili više elemenata, istih svojstava kao i sustav, ali na nižoj razini funkcijske raščlambe, ne egzistira samostalno, sustav, ali na nižoj razini funkcijske raščlambe, ne egzistira samostalno, već kao dio nekog sustava, odnosno elementa više razine.već kao dio nekog sustava, odnosno elementa više razine.KOMPONENTAKOMPONENTA l t k ji ć it t d lj il t k ji ć it t d lj i•• KOMPONENTA KOMPONENTA -- element koji se općenito smatra dovoljnim za element koji se općenito smatra dovoljnim za provođenje određene funkcije, i u širem smislu može se smatrati provođenje određene funkcije, i u širem smislu može se smatrati samostalnom fizičkom cjelinom. samostalnom fizičkom cjelinom.

•• PODKOMPONENTA PODKOMPONENTA -- element koji je sastavni dio komponente ili sustava, element koji je sastavni dio komponente ili sustava, a sam nije klasificiran kao komponenta ili sustav. Kao takva, ona je a sam nije klasificiran kao komponenta ili sustav. Kao takva, ona je osnovni gradbeni element i čini dalje nedjeljivu cjelinuosnovni gradbeni element i čini dalje nedjeljivu cjelinuosnovni gradbeni element i čini dalje nedjeljivu cjelinu. osnovni gradbeni element i čini dalje nedjeljivu cjelinu.

•• ELEMENT ELEMENT -- bilo koja komponenta, podkomponenta, podsustav, bilo koja komponenta, podkomponenta, podsustav, funkcionalna jedinica ili cijeli sustav koji se može sagledati kao jedinka. funkcionalna jedinica ili cijeli sustav koji se može sagledati kao jedinka. M ž i ti i fi ičk blik j t t j k iM ž i ti i fi ičk blik j t t j k i

1616

Može imati i nefizičke oblike, npr. svojstva, stanja, kvarovi...Može imati i nefizičke oblike, npr. svojstva, stanja, kvarovi...

•• 1.2.1.2. DEFINICIJEDEFINICIJE KVARA, KRIVULJA “KVARA, KRIVULJA “KADE”KADE”

•• KVAR KVAR -- stanje SUSTAVA ili KOMPONENTE u kojem ne obavlja svoju stanje SUSTAVA ili KOMPONENTE u kojem ne obavlja svoju funkciju na zadovoljavajući način, ili je ne obavlja uopće.funkciju na zadovoljavajući način, ili je ne obavlja uopće.j j j , j j pj j j , j j pPojava kvara u sustavu dodatno ovisi o i funkcionalnim vezama Pojava kvara u sustavu dodatno ovisi o i funkcionalnim vezama između elemenata sustava. Obzirom na mjere poduzete nakon između elemenata sustava. Obzirom na mjere poduzete nakon utvrđivanja stanja kvara sustava sustavi mogu biti NEPOPRAVLJIVI iliutvrđivanja stanja kvara sustava sustavi mogu biti NEPOPRAVLJIVI iliutvrđivanja stanja kvara sustava, sustavi mogu biti NEPOPRAVLJIVI ili utvrđivanja stanja kvara sustava, sustavi mogu biti NEPOPRAVLJIVI ili POPRAVLJIVI.POPRAVLJIVI.

•• NEPOPRAVLJIVI SUSTAVI NEPOPRAVLJIVI SUSTAVI (eng. (eng. unrepairable systemsunrepairable systems) su oni sustavi ) su oni sustavi k k d d đ k kk k d d đ k kza koje u promatranom vremenskom periodu nije predviđeno nikakvo za koje u promatranom vremenskom periodu nije predviđeno nikakvo

održavanje.održavanje.•• POPRAVLJIVI SUSTAVIPOPRAVLJIVI SUSTAVI (eng.(eng. repairable systemsrepairable systems) su oni sustavi za) su oni sustavi zaPOPRAVLJIVI SUSTAVI POPRAVLJIVI SUSTAVI (eng. (eng. repairable systemsrepairable systems) su oni sustavi za ) su oni sustavi za

koje je u promatranom vremenskom periodu predviđen određeni koje je u promatranom vremenskom periodu predviđen određeni postupak održavanja u svrhu otklanjanja kvara, odnosno održavanja postupak održavanja u svrhu otklanjanja kvara, odnosno održavanja funkcionalnih sigurnosnih i ekonomskih značajki sustava nafunkcionalnih sigurnosnih i ekonomskih značajki sustava nafunkcionalnih, sigurnosnih i ekonomskih značajki sustava na funkcionalnih, sigurnosnih i ekonomskih značajki sustava na prihvatljivoj razini. prihvatljivoj razini.

1717

Slika 4 Slika 4 Krivulja pojavnosti sustavu svojstvenih kvarova, krivulja kadeKrivulja pojavnosti sustavu svojstvenih kvarova, krivulja kade

1818

•• POČETNI KVAROVI POČETNI KVAROVI (eng. initial failures) (eng. initial failures) –– 0 do t10 do t1O OO O ( g a a u )( g a a u ) 0 do0 doNastaju na početku radnog vijeka komponente, a uglavnom su posljedica Nastaju na početku radnog vijeka komponente, a uglavnom su posljedica lošeg projekta, loše kvalitete materijala, izrade, montaže ili transporta. lošeg projekta, loše kvalitete materijala, izrade, montaže ili transporta. To se razdoblje naziva iTo se razdoblje naziva i razdobljem uhodavanjarazdobljem uhodavanja (eng burn(eng burn in ili infantin ili infantTo se razdoblje naziva i To se razdoblje naziva i razdobljem uhodavanjarazdobljem uhodavanja (eng. burn(eng. burn--in ili infant in ili infant mortality period): u tom se razdoblju kvarovi eliminiraju tako da se svaka mortality period): u tom se razdoblju kvarovi eliminiraju tako da se svaka komponenta zamijeni novom čim se na njoj uoči greška, što dovodi do komponenta zamijeni novom čim se na njoj uoči greška, što dovodi do

l d j b j č t ih k d d t d jl d j b j č t ih k d d t d jnaglog opadanja broja početnih kvarova, odnosno do strmog opadanja naglog opadanja broja početnih kvarova, odnosno do strmog opadanja krivulje intenziteta kvarova krivulje intenziteta kvarova ((tt) (eng. failure rate) sve do trenutka ) (eng. failure rate) sve do trenutka t1 t1 kada se početni kvarovi uopće više ne pojavljuju (pokriveno jamstvom).kada se početni kvarovi uopće više ne pojavljuju (pokriveno jamstvom).SLUČAJNI KVAROVI SLUČAJNI KVAROVI (eng. random failures)(eng. random failures) -- t1 do t2t1 do t2Korisni vijek trajanjaKorisni vijek trajanja (eng. operating period ili useful life), karakteriziran (eng. operating period ili useful life), karakteriziran je pojavljivanjemje pojavljivanjem slučajnih kvarovaslučajnih kvarova čiji se uzrok ne može sa sigurnošćučiji se uzrok ne može sa sigurnošćuje pojavljivanjem je pojavljivanjem slučajnih kvarovaslučajnih kvarova , čiji se uzrok ne može sa sigurnošću , čiji se uzrok ne može sa sigurnošću odrediti, ali se može pretpostaviti da su to nepredvidljivo visoke odrediti, ali se može pretpostaviti da su to nepredvidljivo visoke koncentracije naprezanja ili neki drugi ekstremni uvjeti rada koji koncentracije naprezanja ili neki drugi ekstremni uvjeti rada koji

d š j j kt i d žlji t k t I k t i jd š j j kt i d žlji t k t I k t i jnadmašuju projektnu izdržljivost komponente. Iako su trenuci pojava nadmašuju projektnu izdržljivost komponente. Iako su trenuci pojava ovih kvarova slučajni, povoljna je okolnost što oni slijede neka pravila ovih kvarova slučajni, povoljna je okolnost što oni slijede neka pravila masovnog ponašanja, pa se tako može smatrati da je intenzitet kvarova masovnog ponašanja, pa se tako može smatrati da je intenzitet kvarova

1919

((tt) u ovom periodu, ako je on dovoljno dug, konstantan.) u ovom periodu, ako je on dovoljno dug, konstantan.

•• KVAROVI ZBOG DOTRAJALOSTI KVAROVI ZBOG DOTRAJALOSTI (eng. aging ili wearout failures) (eng. aging ili wearout failures) -- ≥t≥t22Posljedica prekomjernog trošenja ili dotrajalosti komponente koje Posljedica prekomjernog trošenja ili dotrajalosti komponente koje o j d a p o j og o ja do aja o o po ojo j d a p o j og o ja do aja o o po ojnastaje kada prođe razdoblje očekivanog korisnog vijeka trajanja nastaje kada prođe razdoblje očekivanog korisnog vijeka trajanja komponente. Ovo je razdoblje, komponente. Ovo je razdoblje, razdoblje dotrajalostirazdoblje dotrajalosti (eng. wearout (eng. wearout period) karakterizirano naglo rastućom krivuljom intenziteta kvarovaperiod) karakterizirano naglo rastućom krivuljom intenziteta kvarovaperiod), karakterizirano naglo rastućom krivuljom intenziteta kvarova. period), karakterizirano naglo rastućom krivuljom intenziteta kvarova.

2020

2. MATEMATIČKI MODELI2. MATEMATIČKI MODELI2 1 Diskretne radiobe2 1 Diskretne radiobe2.1 Diskretne radiobe2.1 Diskretne radiobeBinomna razdiobaBinomna razdioba

•• U ovoj se raspodjeli promatra ukupni broj U ovoj se raspodjeli promatra ukupni broj j p j p p jj p j p p juspjeha (i neuspjeha) u određenom broju uspjeha (i neuspjeha) u određenom broju ispitivanjaispitivanjap jp j

2121

•• Iz toga slijedi da će grupa funkcionirati ako jeIz toga slijedi da će grupa funkcionirati ako je

•• Poznato jePoznato je

•• Za ovu raspodjelu vrijediZa ovu raspodjelu vrijedi•• SupstitucijomSupstitucijom•• SlijediSlijedi•• SlijediSlijedi

2222

•• Koeficijent uz je vjerojatnost k uspjeha u n pokušajaKoeficijent uz je vjerojatnost k uspjeha u n pokušaja

•• Analogno, vjerojatnost k neuspjehaAnalogno, vjerojatnost k neuspjeha

2323

•• Ako promatramo samo vjerojatnost potpunog Ako promatramo samo vjerojatnost potpunog uspjehauspjeha

2424

Poissonova razdiobaPoissonova razdiobaUk lik bi j dj li t t i liki b jUk lik bi j dj li t t i liki b j•• Ukoliko u binomnoj raspodjeli pretpostavimo veliki broj Ukoliko u binomnoj raspodjeli pretpostavimo veliki broj ispitivanja i malu vjerojatnost neuspjeha u jednom ispitivanja i malu vjerojatnost neuspjeha u jednom mjerenjumjerenjumjerenjumjerenju

2525

•• Označimo u ovom slučaju intenzitet neuspjeha uOznačimo u ovom slučaju intenzitet neuspjeha u•• Označimo u ovom slučaju intenzitet neuspjeha u Označimo u ovom slučaju intenzitet neuspjeha u određenom trenutku s određenom trenutku s λλ

•• Tada je srednji broj neuspjeha u intervaluTada je srednji broj neuspjeha u intervalu tt:: λλtt•• Tada je srednji broj neuspjeha u intervalu Tada je srednji broj neuspjeha u intervalu tt: : λλttpa je: pa je:

•• Možemo s pstit i atiMožemo s pstit i ati nqnq λλtt pa jepa je•• Možemo supstituirati Možemo supstituirati nq=nq= λλtt, pa je:, pa je:

•• A nakon dosta izvoda:A nakon dosta izvoda:

2626

•• Poissonova je razdioba se pokazala kao jakoPoissonova je razdioba se pokazala kao jako•• Poissonova je razdioba se pokazala kao jako Poissonova je razdioba se pokazala kao jako dobra aproksimacija kada je broj ispitivanja dobra aproksimacija kada je broj ispitivanja velik a vjerojatnost pojedinačnog neuspjehavelik a vjerojatnost pojedinačnog neuspjehavelik, a vjerojatnost pojedinačnog neuspjeha velik, a vjerojatnost pojedinačnog neuspjeha malena uz uvjet da je srednji broj neuspjeha u malena uz uvjet da je srednji broj neuspjeha u zadanom intervalu konačanzadanom intervalu konačanzadanom intervalu konačanzadanom intervalu konačan

2727

2.2 Eksponencijalna razdioba2.2 Eksponencijalna razdioba

•• Eksponencijalna razdioba E(Eksponencijalna razdioba E() koristi se ako se ) koristi se ako se p omat a ijeme ili p osto i međ d ap omat a ijeme ili p osto i međ d apromatra vrijeme ili prostor između dva promatra vrijeme ili prostor između dva događaja.događaja.

•• Svoju najveću primjenu nalazi u elektronici ali i Svoju najveću primjenu nalazi u elektronici ali i u cijelokupnom inženjerstvuu cijelokupnom inženjerstvuu cijelokupnom inženjerstvu.u cijelokupnom inženjerstvu.

k b d đ kk b d đ k•• Ako se promatra broj događaja u nekom Ako se promatra broj događaja u nekom vremenskom intervalu ili nekom prostoru vremenskom intervalu ili nekom prostoru koristimo Poisonovu razdiobu P(koristimo Poisonovu razdiobu P() Ako se radi o) Ako se radi okoristimo Poisonovu razdiobu P(koristimo Poisonovu razdiobu P(). Ako se radi o ). Ako se radi o istim događajima parametar istim događajima parametar je isti. Prosječan je isti. Prosječan broj događaja u jednom intervalu jebroj događaja u jednom intervalu je aa

2828

broj događaja u jednom intervalu je broj događaja u jednom intervalu je , a , a prosječni interval između dva događaja je 1 / prosječni interval između dva događaja je 1 / ..

•• Za kontinuiranu slučajnu varijabluZa kontinuiranu slučajnu varijablu•• X :Ω X :Ω →→ f kažemo da ima eksponencijalnu f kažemo da ima eksponencijalnu

razdiobu s parametrom λ, ako je slika f(X)= f, a razdiobu s parametrom λ, ako je slika f(X)= f, a p , j ( ) ,p , j ( ) ,funkcija gustoće vjerojatnostifunkcija gustoće vjerojatnosti

2929

Slika 1. Funkcija gustoće

3030

Slika 1. Funkcija gustoće

Funkcija razdiobe dana je izrazom:Funkcija razdiobe dana je izrazom:

3131Slika 2. Funkcija razdiobe

•• Očekivanje i varijancaOčekivanje i varijanca•• Očekivanje i varijancaOčekivanje i varijanca

Izraz za očekivanje:

Izraz za varijancu:Izraz za varijancu:

Eksponencijalna razdioba kvarovaEksponencijalna razdioba kvarova

F(t) = 1 F(t) = 1 –– exp ( exp ( --λ t )λ t )Eksponencijalna razdioba kvarova opisuje raspodjeluEksponencijalna razdioba kvarova opisuje raspodjeluEksponencijalna razdioba kvarova opisuje raspodjeluEksponencijalna razdioba kvarova opisuje raspodjelukoja od početnog vremenskog trenutka kada jekoja od početnog vremenskog trenutka kada jeraspodjela jednaka nuli (sustav je “nov” i očekujemo daraspodjela jednaka nuli (sustav je “nov” i očekujemo daraspodjela jednaka nuli (sustav je nov i očekujemo daraspodjela jednaka nuli (sustav je nov i očekujemo dane postoji vjerojatnost da se pokvari) raste te sene postoji vjerojatnost da se pokvari) raste te seasimptotski približava vjerojatnosti da će se sigurnoasimptotski približava vjerojatnosti da će se sigurno

3232

asimptotski približava vjerojatnosti da će se sigurnoasimptotski približava vjerojatnosti da će se sigurnopokvariti (“100% će se pokvariti”).pokvariti (“100% će se pokvariti”).

MTBF (Srednje vrijeme kvara)( j j )

PouzdanostPouzdanost

3333

2.3 Normalna (2.3 Normalna (GaussovaGaussova) razdioba) razdioba

Smisao je u tome da stvari kad se mijenjaju, nastoje ostati u blizini t čk j k t đ j k t j k l tk j

Normalna razdioba objašnjava veliki broj statističkih opažanja

točke prosjeka, te se raspoređuju oko tog prosjeka po glatkoj, zvonolikoj krivulji

3434

Ako je područje vrijednosti kontinuirane slučajne varijable X čitav skup R a funkcija gustoće je dana sačitav skup R a funkcija gustoće je dana sa

21 ( )21( )

x

f

2( )

2f x e

σ, m R, σ >0

onda kažemo da X ima Normalnu razdiobu

Normalna razdioba je potpuno određena s parametrima σ i m, pa pišemop

Za opis diskretne razdiobe koristimo funkciju vjerojatnosti, a zaopis kontinuirane razdiobe, funkciju gustoće vjerojatnosti.

3535

Za funkciju gustoće vjerojatnosti vrijedi:

1. f(x) 0 za sve x nenegativnost

( ) 1f x dx

2. potpunost( ) 1f x dx2.

2x

vjerojatnost da x poprimi

1

1 2( ) ( )x

f x dx p x x x 3. vjerojatnost da x poprimivrijednost između x1 i x2

površina ispod funkcije gustoće u intervalu (x1,x2)

3636

Funkcija razdiobe za normalno distribuiranuFunkcija razdiobe za normalno distribuiranuFunkcija razdiobe za normalno distribuiranu Funkcija razdiobe za normalno distribuiranu varijablu predstavlja vjerojatnost da će slučajna varijablu predstavlja vjerojatnost da će slučajna varijabla varijabla XX poprimiti vrijednosti koje su jednake ili poprimiti vrijednosti koje su jednake ili

( ) ( )x

F x f x dx

jj p p j j jp p j j jmanje od manje od xx

1 21 ( )21( )

2

x x

F x e dx

2

U geometrijskom smislu vrijednosti funkcije razdiobe predstavljajuU geometrijskom smislu vrijednosti funkcije razdiobe predstavljaju površinu ispod normalne krivulje

3737

Izgled normalne razdiobeza različite standardne

devijacije

= 0.5

= 1.0

= 2.0Krivulja je simetričnog oblikaj j g

Nema nultočaka, jer nikada ne siječe os x, već joj se samo približavasamo približava.

Specifičnost krivulje je ta što se 50 % podataka za koje se p jkrivulja crta nalazi na jednoj strani krivulje, dok je ostalih 50 % podataka na drugoj

3838

strani.

UUzeto zeto je je da je da je =0, a =0, a ^2=1 i ta normalna razdioba 2=1 i ta normalna razdioba nazvana je nazvana je standardiziranastandardizirana ili ili jedinična normalna jedinična normalna razdiobarazdioba

Do nje se dolazi supstitucijomDo nje se dolazi supstitucijomx ,x u u

,

Funkcija razdiobe za jediničnu normalnu razdiobu povezana je sa L l f k ij k j l iLaplaceovom funkcijom koja glasi:

/21( )x

tx e dt (Gaussov integral)0

( )2

Zbog toga se u tablicama prikazuju vrijednosti samo za jedini-čnul di b d l k č j i jnormalnu razdiobu, a druge se lako preračunavaju iz nje

( ) b aP a X b

3939

( )P a X b

Dijagram standardne normalne Dijagram standardne normalne razdioberazdiobe

.

( 1 1) 0.6826P z ( 2 2) 0.9545P z

4040( 3 3) 0.9973P z

Često nam trebaju površine ispod funkcije normalne razdiobe. Obično ihodređujemo iz tablica Zbog ekonomičnosti u tablicama su prikazane

Uz tablice je obično grafički prikazana

određujemo iz tablica. Zbog ekonomičnosti, u tablicama su prikazanevrijednosti samo za standardnu normalnu razdiobu i samo za dio područjadefinicije.

Uz tablice je obično grafički prikazanapovršina čije vrijednosti su navedene u

tablici.

Primjer tablice s površinama ispodstandardne normalne razdiobe.

x 0 1 2 3 … 90.0 0.0000 0.0040 0.0080 0.0120 … 0.03590.0 0.0000 0.0040 0.0080 0.0120 … 0.03590.1 0.0398 0.0438 0.0478 0.0517 … 0.07530.2 0.0793 0.0832 0.0871 0.0910 … 0.11410.3 0.1179 0.1217 0.1255 0.1293 … 0.1517

x = 0.32

.

.

.P(0.00 < x < 0.32) = 0.1255

4141

3.9 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 … 0.5000

Galtonova ploča

4242

UsporedbaUsporedba BinomneBinomne i i NormalnNormalne e razdioberazdiobe

Veza između Veza između binomne i normalne razdiobe binomne i normalne razdiobe ogleda se u sljedećem: ogleda se u sljedećem: g jg j

•• kada se pri binomnoj razdiobi s vjerojatnostima kada se pri binomnoj razdiobi s vjerojatnostima pp == qq = 0,5 povećava broj elemenata u uzorku,= 0,5 povećava broj elemenata u uzorku,pp qq 0,5 povećava broj elemenata u uzorku, 0,5 povećava broj elemenata u uzorku, odnosno broj pokusa (promatranja, mjerenja, i odnosno broj pokusa (promatranja, mjerenja, i slsl.).) nn , tada binomna razdioba s, tada binomna razdioba sslsl.) .) nn , tada binomna razdioba s , tada binomna razdioba s diskontinuiranim obilježjem prelazi u normalnu diskontinuiranim obilježjem prelazi u normalnu razdiobu s kontinuiranim vrijednostima slučajnerazdiobu s kontinuiranim vrijednostima slučajnerazdiobu s kontinuiranim vrijednostima slučajne razdiobu s kontinuiranim vrijednostima slučajne varijable; B varijable; B N.N.

PremaPrema tome, tome, normalnanormalna razdiobarazdioba je je graničnigranični slučajslučajbinomnebinomne razdioberazdiobe

4343

binomnebinomne razdioberazdiobe. .

2.4 2.4 WWeibulleibull –– GGnedenkovanedenkova razdiobarazdioba1887 1887 –– 19791979Država rođenja : NjemačkaDržava rođenja : NjemačkaNarodnost: Danska; Švedska;Narodnost: Danska; Švedska;Z i jZ i j I ž jI ž j M t tičM t tičZanimanje: Zanimanje: InženjerInženjer; Matematičar; MatematičarPodručje djelovanja : zamor i lom materijala; Područje djelovanja : zamor i lom materijala;

pouzdanost sustavapouzdanost sustavaRazvoj i potpuna definicijaRazvoj i potpuna definicija WeibulloveWeibullove•• Razvoj i potpuna definicija Razvoj i potpuna definicija WeibulloveWeibullove

distribucijedistribucije••Suradnja s njemačkim tvrtkama na razvoju Suradnja s njemačkim tvrtkama na razvoju kugličnog ležaja i pneumatskog čekićakugličnog ležaja i pneumatskog čekićakugličnog ležaja i pneumatskog čekićakugličnog ležaja i pneumatskog čekića••Korištenja propagacije Korištenja propagacije explozivneexplozivne detonacije detonacije u u mapiranjumapiranju sedimentacije morskog dnasedimentacije morskog dna

1912 – 19951912 – 1995Država rođenja : RusijaNarodnost: Rusija; UkrajinaZanimanje : MatematičarZanimanje : MatematičarPodručje djelovanja : teorija vjerojatnosti;

pouzdanost sustavaZnačajnija postignuća :

4444

j j p g•Pionirski rad na pouzdanosti i ocjeni kvalitete mehaničkih sustava u SSSR-u

•• Matematičke značajke:Matematičke značajke:•• Matematičke značajke:Matematičke značajke:•• Kontinuirana distribucija vjerojatnosti slučajne Kontinuirana distribucija vjerojatnosti slučajne

varijablevarijablevarijablevarijable

•• Dvo ili troparameterskaDvo ili troparameterska•• Dvo ili troparameterskaDvo ili troparameterska

•• Povezana s više drugih distribucijaPovezana s više drugih distribucija•• Povezana s više drugih distribucijaPovezana s više drugih distribucija

•• Flexibilna pokriva široko područje mogućnosti brzeFlexibilna pokriva široko područje mogućnosti brze•• Flexibilna, pokriva široko područje mogućnosti brze Flexibilna, pokriva široko područje mogućnosti brze uporabeuporabe

4545

Kumulativna distribucija :

1 z a 0te t

1 z a 0 F ( t )0 z a 0

e tt

Funkcija gustoće :

1 z a 0f( t)tt e t

z a 0f( t)0 z a 0

t e tt

4646

Intenzitet kvarova : 1(t) t (t) t 1 1E ( ) 1X Očekivanje : E ( ) 1X

Očekivanje :

21 2 1

2

1 2 1Var( ) 1 1X

Varijanca :

P t i

Parametri :

λ – parametar skaliranja

β – parametar oblika

(δ – parametar lokacije)

4747

(δ – parametar lokacije)

bl kbl k ββParametar oblika Parametar oblika ββ

•• Parametrom oblika pokrivamo široki spektar drugih Parametrom oblika pokrivamo široki spektar drugih distribucijadistribucijajj

•• Paramtera oblika upravlja ponašanjem Weibullove Paramtera oblika upravlja ponašanjem Weibullove p j p jp j p jdistribucijedistribucije

•• Određenim parametrima oblika je moguće postići Određenim parametrima oblika je moguće postići ponašanje Weibullove distribucije istovjetno nekim ponašanje Weibullove distribucije istovjetno nekim drugim distribucijamadrugim distribucijama

4848

Utjecaj parametra Utjecaj parametra oblika na oblik oblika na oblik funkcije gustoćefunkcije gustoćefunkcije gustoće.funkcije gustoće.

β = 1 β = 1 exponencijalna exponencijalna distribucijadistribucija

ββ =2 =2 Rayleigh Rayleigh distribucijadistribucijadistribucijadistribucija

4949

5050

Parametar oblika Parametar oblika λλ

•• Promjenom paramtera skale postižemo isti Promjenom paramtera skale postižemo isti učinak kao i promjenom mjerila apsciseučinak kao i promjenom mjerila apsciseučinak kao i promjenom mjerila apsciseučinak kao i promjenom mjerila apscise

•• Iznimno povećava brzinu korištenjaIznimno povećava brzinu korištenja

Utjecaj Utjecaj parametra skale parametra skale

ššna ponašanje na ponašanje funkcije gustoće.funkcije gustoće.

5151

Parametar oblika Parametar oblika δδ

•• Utječemo na lokaciju distribucije s obzirom na apscisuUtječemo na lokaciju distribucije s obzirom na apscisu

Utjecaj parametraUtjecaj parametra lokacije na smještaj distribucije.

δ > 0 pomak desno

δ < 0 pomak lijevo

5252

lijevo

Kumulativna radioba F(t)Kumulativna radioba F(t)

Kao što je vidljivo, Kao što je vidljivo, na kumulativnu na kumulativnu

di b j išdi b j išrazdiobu najviše razdiobu najviše utječe parametar utječe parametar oblika. oblika.

5353

1

Intezitet kvarovaIntezitet kvarova

1(t) t

λ – parametar skale

β – parametar oblika

5454

0 <0 <ββ <1 <1 intenzitet intenzitet kvarova opadakvarova opadakvarova opadakvarova opada

ββ =1 =1 intenzitet intenzitet kvarova konstantankvarova konstantankvarova konstantan kvarova konstantan (exponencijalna (exponencijalna distribucija)distribucija)

1 <1 <ββ < 2 < 2 intenzitet intenzitet kvarova raste, kvarova raste, konkavankonkavan

ββ =2 =2 intenzitet intenzitet kvarova raste ( kvarova raste ( RayleighovaRayleighovaRayleighova Rayleighova distribucija)distribucija)

ββ >2>2 intenzitetintenzitet

5555

ββ >2 >2 intenzitet intenzitet kvarova raste, kvarova raste, konveksankonveksan

Z klj č k i t it t kZ klj č k i t it t k•• ββ < 1< 1 –– padajući intenzitet kvarova upadajući intenzitet kvarova u

Zaključak o intezitetu kvarovaZaključak o intezitetu kvarova•• ββ < 1 < 1 –– padajući intenzitet kvarova u padajući intenzitet kvarova u

vremenuvremenuINFANT MORTALITYINFANT MORTALITYINFANT MORTALITYINFANT MORTALITY nekvalitetni uzorci odpadaju rano, a sveukupni nekvalitetni uzorci odpadaju rano, a sveukupni

intenzitet kvarova se smanjuje jer su kvarljivi uzorciintenzitet kvarova se smanjuje jer su kvarljivi uzorciintenzitet kvarova se smanjuje jer su kvarljivi uzorci intenzitet kvarova se smanjuje jer su kvarljivi uzorci ispali iz populacijeispali iz populacije

•• β 1β 1 k t t i t it t kk t t i t it t k•• β = 1 β = 1 –– konstantan intezitet kvarovakonstantan intezitet kvarovaKORISNI VIJEK TRAJANJAKORISNI VIJEK TRAJANJA uzorci odpadaju iz nasumičnih razlogauzorci odpadaju iz nasumičnih razloga

ββ > 1 > 1 –– rastući intenzitet kvarovarastući intenzitet kvarova

5656

ββDOTRAJALOSTDOTRAJALOST

5757

Intezitet kvarova Weibullove razdiobeIntezitet kvarova Weibullove razdiobe

5858

2.5 2.5 Lognormalna Lognormalna razdiobarazdioba

•• Mnoga mjerenja tehničkih fenomena dajuMnoga mjerenja tehničkih fenomena daju•• Mnoga mjerenja tehničkih fenomena daju Mnoga mjerenja tehničkih fenomena daju više ili manje asimetričnu distribuciju više ili manje asimetričnu distribuciju vrijednostivrijednostivrijednostivrijednosti

•• Asimetrična distribucija je učestala kod Asimetrična distribucija je učestala kod j jj jmalih srednjih vrijednosti, velikih varijanci, malih srednjih vrijednosti, velikih varijanci, kada nisu moguće negativne vrijednostikada nisu moguće negativne vrijednostikada nisu moguće negativne vrijednosti kada nisu moguće negativne vrijednosti pojave...pojave...

5959

•• Jedan od načina opisivanja asimetričnih Jedan od načina opisivanja asimetričnih pojavapojavapojavapojava

•• Poznata i pod imenom Galtonova Poznata i pod imenom Galtonova ppdistribucijadistribucija

•• Povezana sa normalnom distribucijomPovezana sa normalnom distribucijom•• Povezana sa normalnom distribucijomPovezana sa normalnom distribucijom

6060

DefinicijaDefinicija

Sl č j ij bl X j lSl č j ij bl X j l ll•• Slučajna varijabla X je logSlučajna varijabla X je log--normalno normalno distribuirana ako log X ima normalnu distribuirana ako log X ima normalnu ggdistribucijudistribuciju

•• Funkcija gustoće vjerojatnosti (FGV):Funkcija gustoće vjerojatnosti (FGV):•• Funkcija gustoće vjerojatnosti (FGV):Funkcija gustoće vjerojatnosti (FGV):

6161

6262

SvojstvaSvojstvaSvojstvaSvojstva•• Kao mjera centralne tendecije upotrebljava se Kao mjera centralne tendecije upotrebljava se

geometrijska a ne aritemtička sredinageometrijska a ne aritemtička sredinageometrijska, a ne aritemtička sredinageometrijska, a ne aritemtička sredina•• Standardna devijacija i njeni višekratnici se dobiju Standardna devijacija i njeni višekratnici se dobiju

množenjem a ne zbrajanjemmnoženjem a ne zbrajanjemmnoženjem a ne zbrajanjemmnoženjem a ne zbrajanjem•• FGV izrazito zakrivljena udesnoFGV izrazito zakrivljena udesno

ParametriParametri•• Srednja vrijednost (E):Srednja vrijednost (E):•• Srednja vrijednost (E):Srednja vrijednost (E):•• E=exp(E=exp(µµ++σσ2/2)2/2)

•• Varijanca (Var):Varijanca (Var):•• Var=exp(2Var=exp(2µµ++σσ2)*exp(2)*exp(σσ22--1)1)

6363

•• Var=exp(2Var=exp(2µµ++σσ2)*exp(2)*exp(σσ22--1)1)

Kumulativna funkcija distribucijeKumulativna funkcija distribucije

6464

6565

3.3. TEORETSKE OSNOVE POUZDANOSTITEORETSKE OSNOVE POUZDANOSTI•• FUNKCIJA POUZDANOSTIFUNKCIJA POUZDANOSTI

PouzdanostPouzdanost (eng. (eng. ReliabilityReliability) je) je sposobnost elementa da u određenom sposobnost elementa da u određenom intervalu vremena intervalu vremena tt i pod određenim uvjetima adekvatno obavlja funkciju i pod određenim uvjetima adekvatno obavlja funkciju p j j jp j j jza koju je predviđen. Pokazatelj pouzdanosti je vjerojatnost da će element za koju je predviđen. Pokazatelj pouzdanosti je vjerojatnost da će element nakon isteka vremena nakon isteka vremena tt pod zadanim uvjetima još uvijek obavljati povjerenu pod zadanim uvjetima još uvijek obavljati povjerenu mu funkciju. Taj se pokazatelj naziva mu funkciju. Taj se pokazatelj naziva vjerojatnost rada bez pojave kvaravjerojatnost rada bez pojave kvara ili ili j j p jj j p j j j p jj j p jpouzdanostpouzdanost i označuje se sa i označuje se sa RR. . Kako vrijednost Kako vrijednost RR ovisi o vrijednosti ovisi o vrijednosti specificiranog vremenskog intervala specificiranog vremenskog intervala tt, funkcija , funkcija R(t) R(t) naziva se još i funkcijom naziva se još i funkcijom pouzdanosti. Ako se sa pouzdanosti. Ako se sa TT označi interval vremena od uključivanja elementa označi interval vremena od uključivanja elementa u rad do prvog kvara može se pisati:u rad do prvog kvara može se pisati:

RR((tt) = ) = PP TT > > tt

6666Slika 5 Funkcija pouzdanosti R(t)Slika 5 Funkcija pouzdanosti R(t)

•• VJEROJATNOST KVARA VJEROJATNOST KVARA –– NEPOUZDANOSTNEPOUZDANOSTVjerojatnost kvaraVjerojatnost kvara Q(t)Q(t) jest vjerojatnost da do trenutka jest vjerojatnost da do trenutka t t može i hoće može i hoće j jj j Q( )Q( ) j j jj j jnastati kvar elementa. Ova se veličina može izraziti pomoću nastati kvar elementa. Ova se veličina može izraziti pomoću vjerojatnosti vjerojatnosti rada bez pojave kvara:rada bez pojave kvara:

QQ((tt) = 1) = 1 -- RR((tt))QQ((tt) 1 ) 1 RR((tt))QQ((tt) = ) = RR TT t t FunkcijaFunkcija QQ((tt) naziva se i ) naziva se i funkcijom nepouzdanostifunkcijom nepouzdanosti ili, jednostavno, ili, jednostavno,

d šćd šć (( U li bilitU li bilit ))nepouzdanošćunepouzdanošću (eng. (eng. UnreliabilityUnreliability).).

•• FUNKCIJA GUSTOĆE VJEROJATNOSTI, UČESTALOST KVARAFUNKCIJA GUSTOĆE VJEROJATNOSTI, UČESTALOST KVARABrzina kojom se u promatranom trenutku vremena mijenja vjerojatnost nastanka Brzina kojom se u promatranom trenutku vremena mijenja vjerojatnost nastanka kvara izražava se derivacijom funkcije nepouzdanosti po vremenu. Ovisnost te kvara izražava se derivacijom funkcije nepouzdanosti po vremenu. Ovisnost te vrijednosti o vremenu daje vrijednosti o vremenu daje funkciju gustoće vjerojatnostifunkciju gustoće vjerojatnosti (eng. (eng. probability density probability density functionfunction), odnosno ), odnosno učestalost kvaraučestalost kvara ff((tt)) (eng. (eng. failure frequencyfailure frequency))

dt

tRddt

tQdtf )()()(

t

t dttfdttftQtR )()(1)(1)(0

6767

Slika 6 Funkcija gustoće vjerojatnosti f(t) Slika 6 Funkcija gustoće vjerojatnosti f(t) 1 područje1 područje –– broj kvarova velikbroj kvarova velik-- uhodavanje sustavauhodavanje sustava1. područje 1. područje broj kvarova velikbroj kvarova velik uhodavanje sustavauhodavanje sustava2. područje 2. područje –– normalno područje rada normalno područje rada 3. područje 3. područje –– istrošenost sustavaistrošenost sustava

6868

•• INTENZITET KVAROVAINTENZITET KVAROVAP j č l ti b i j k iP j č l ti b i j k i i t it t ki t it t k (t k đ i(t k đ iProsječna relativna brzina pojave kvarova naziva se Prosječna relativna brzina pojave kvarova naziva se intenzitet kvarovaintenzitet kvarova (također i (također i indeks kvarova, eng. Failure rate), a predstavlja razdiobu vjerojatnosti pojave kvara u indeks kvarova, eng. Failure rate), a predstavlja razdiobu vjerojatnosti pojave kvara u vremenu vremenu tt uz uvjet da do tog trenutka kvara nije bilo.uz uvjet da do tog trenutka kvara nije bilo.

)(

)(/),(2

11 tR

tRAR

ABRABRttR

R(t,tR(t,t11) ) -- uvjetna vjerojatnost da će element koji je radio bez pojave kvara do trenutka uvjetna vjerojatnost da će element koji je radio bez pojave kvara do trenutka tt, , raditi tako i u intervalu vremena (raditi tako i u intervalu vremena (tt, , t1t1) uz ) uz t1 t1 > > tt

)(

)(/),(2

11 tR

tRAR

ABRABRttR

AA -- označava rad bez pojave kvara za period (0, označava rad bez pojave kvara za period (0, tt), a ), a BB za period (za period (tt, , t1t1).).Ako se pretpostavi da je Ako se pretpostavi da je t1t1 = = tt + + tt, intenzitet kvarova , intenzitet kvarova ((tt)) jednak je:jednak je:

dttdR

tRttRttRtRt

t

)()(

1)(

)()(lim)(0

)()( ff

6969)(1)(

)()()(

tQtf

tRtft

)(tRd )(ln)()()( tRd

tRtRddtt

Integracijom jednadžbe, uz pretpostavku Integracijom jednadžbe, uz pretpostavku tt = 0 = 0 R(t) R(t) = 1, slijedi:= 1, slijedi:

t

dtt )( ttR )( etR 0)(t

tetR )(

tdtt

etQ0

)(

1)(

tetQ 1)(

tdtt

ettf0

)(

)()(

tetf )( ettf )()( etf )(

7070

•• SREDNJE VRIJEME DO POJAVE KVARA ( SREDNJE VRIJEME DO POJAVE KVARA ( MTTF )MTTF )Prosječno vrijeme u kojem će sustav raditi do pojave kvara naziva se Prosječno vrijeme u kojem će sustav raditi do pojave kvara naziva se srednjim srednjim vremenom do pojave kvaravremenom do pojave kvara ( eng. Mean Time To Failure) i označava sa ( eng. Mean Time To Failure) i označava sa TSRTSR. Po . Po definiciji definiciji TSRTSR je:je:

)(dR

00

00

)()()()( dttRttRdtdt

tdRtdtttfTSR

Kako će u svakom sustavu nakon određenog konačnog vremenskog perioda doći do Kako će u svakom sustavu nakon određenog konačnog vremenskog perioda doći do pojave kvara, imamo pojave kvara, imamo R(t)R(t) 0 kada 0 kada t t , pa će stoga biti , pa će stoga biti tR(t)tR(t) = 0 za = 0 za tt = 0. = 0. Redukcijom jednadžba se svodi na:Redukcijom jednadžba se svodi na:Redukcijom, jednadžba se svodi na:Redukcijom, jednadžba se svodi na:

00

)(1)( dttQdttRTSR

Ako se pretpostavi konstantni intenzitet kvarova :Ako se pretpostavi konstantni intenzitet kvarova :

1

0

dteT t

SR

7171

44.0 .0 OSNOVNI TEOROSNOVNI TEORETSKIETSKI MODELI MODELI FUNKCIONALNIH VEZA ELEMENATA BEPFUNKCIONALNIH VEZA ELEMENATA BEP--aaFUNKCIONALNIH VEZA ELEMENATA BEPFUNKCIONALNIH VEZA ELEMENATA BEP aa

7272

7373

•• MODEL SERIJSKOG SUSTAVA MODEL SERIJSKOG SUSTAVA (Serijski spoj elemenata)

•• MODEL SERIJSKOG SUSTAVA SA REZERVOM RADNE ZNAČAJKEMODEL SERIJSKOG SUSTAVA SA REZERVOM RADNE ZNAČAJKEMODEL SERIJSKOG SUSTAVA SA REZERVOM RADNE ZNAČAJKEMODEL SERIJSKOG SUSTAVA SA REZERVOM RADNE ZNAČAJKE(Element 2 ima rezervu u nekoj radnoj značajki, npr. rezervu snage, protoka i sl.)

7474

•• MODEL PARALELNOG SUSTAVA MODEL PARALELNOG SUSTAVA (Paralelni spoj elemenata-trajna rezerva)

•• MODEL DJELOMIČNO PARALELNOG SUSTAVA :MODEL DJELOMIČNO PARALELNOG SUSTAVA :•• MODEL DJELOMIČNO PARALELNOG SUSTAVA :MODEL DJELOMIČNO PARALELNOG SUSTAVA :

- 1 ELEMENT U KVARU

- 2 ELEMENTA U KVARU

7575

•• MODEL SUSTAVA SA ZAMJENSKOM REZERVOMMODEL SUSTAVA SA ZAMJENSKOM REZERVOM

•• MODEL SUSTAVA SA KLIZNOM ZAMJENSKOM REZERVOMMODEL SUSTAVA SA KLIZNOM ZAMJENSKOM REZERVOMKLIZNA ZAMJENSKA REZERVA ZA SERIJSKI SPOJ ELEMENATA- KLIZNA ZAMJENSKA REZERVA ZA SERIJSKI SPOJ ELEMENATA

- KLIZNA ZAMJENSKA REZERVA ZA PARALELNI SPOJ ELEMENATA

7676

5.0 ZNAČAJKE POUZDANOSTI ZA OSNOVNE 5.0 ZNAČAJKE POUZDANOSTI ZA OSNOVNE TEORETSKE MODELE FUNKCIONALNIH VEZATEORETSKE MODELE FUNKCIONALNIH VEZATEORETSKE MODELE FUNKCIONALNIH VEZATEORETSKE MODELE FUNKCIONALNIH VEZA

•• SERIJSKI SUSTAVSERIJSKI SUSTAVS S SUSS S SUS

Najjednostavniji, najjeftiniji, ali i najnepouzdaniji sustav jer kvar bilokojeg Najjednostavniji, najjeftiniji, ali i najnepouzdaniji sustav jer kvar bilokojeg elementa dovodi do kvara cijeloga sustava.elementa dovodi do kvara cijeloga sustava.elementa dovodi do kvara cijeloga sustava.elementa dovodi do kvara cijeloga sustava.

Promatranjem serijskog sustava od 2 elementa slijedi da je vjerojatnost Promatranjem serijskog sustava od 2 elementa slijedi da je vjerojatnost kontinuiranog rada, odnosno vjerojatnost da će oba elementa funkcionirati:kontinuiranog rada, odnosno vjerojatnost da će oba elementa funkcionirati:

PPSS(t) = P(t) = P11(t)P(t)P22(t)(t)

7777

Vjerojatnost kvara je onda:Vjerojatnost kvara je onda:

QQSS(t) = 1 (t) = 1 -- PPSS(t) = 1 (t) = 1 -- PP11(t)P(t)P22(t) (t)

I t it t k d bij i iI t it t k d bij i iIntenzitet kvara se dobije iz izraza:Intenzitet kvara se dobije iz izraza:

1 21 2

S

SP ( t ) P( t ) P ( t )( t ) ( t ) ( t )

Frekvencija kvara je:Frekvencija kvara je:

1 21 2

SS

( t ) ( t ) ( t )P P( t ) P ( t )

Frekvencija kvara je:Frekvencija kvara je:

aass(t) = Q(t) = Q´SS(t) = (t) = -- PP´11(t)P(t)P22(t) (t) -- PP11(t)P(t)P´22(t)(t)aass(t) = a(t) = a11(t)P(t)P22(t) + a(t) + a22(t)P(t)P11(t)(t)

A srednje vrijeme kontinuiranog rada:A srednje vrijeme kontinuiranog rada:s ed je je e o t u a og adas ed je je e o t u a og ada

T P t dt P t P t dtSRS S

( ) ( ) ( )1 2

7878

00

Poopćavanjem ovoga slučaja na sustav s n elemenata, slijede izrazi:Poopćavanjem ovoga slučaja na sustav s n elemenata, slijede izrazi:

n

i t1

11

i

n

i

S

t

P ( t ) e

Q ( ) 11

iS

n

S i

Q ( t ) e

1

1

n

ii

S ii

n t

( t ) ( ) 1

1

1

iS i

ia ( t ) ( )e

T

1

SRS n

ii

T

7979

•• SUSTAV SA ZAMJENSKOM REZERVOMSUSTAV SA ZAMJENSKOM REZERVOM

U ovome sustavu uslijed kvara elementa 1 uključuje se zamjenski element U ovome sustavu uslijed kvara elementa 1 uključuje se zamjenski element koji osigurava potpuno snabdijevanje postrojenja. Za zamjensku rezervu koji osigurava potpuno snabdijevanje postrojenja. Za zamjensku rezervu

k d bi l t d t št i lj di j jk d bi l t d t št i lj di j jponekad se rabi element drugog sustava što ima za posljedicu smanjenje ponekad se rabi element drugog sustava što ima za posljedicu smanjenje ukupnog broja elemenata i u tom slučaju radne značajke rezervnog elementa ukupnog broja elemenata i u tom slučaju radne značajke rezervnog elementa ne moraju biti identične radnim značajkama zamijenjenog elementa.ne moraju biti identične radnim značajkama zamijenjenog elementa.

Moguća stanja sustava:Moguća stanja sustava:0 0 -- ispravna su oba elementa sustava,ispravna su oba elementa sustava,1 1 -- jedan element je u kvaru, zamjenski element je ispravan i potpuno jedan element je u kvaru, zamjenski element je ispravan i potpuno zadovoljava potrebe sustava, zadovoljava potrebe sustava, 2 2 -- oba elementa su u kvaru.oba elementa su u kvaru.

8080

Vjerojatnost kontinuiranog rada:Vjerojatnost kontinuiranog rada:Vjerojatnost da će se sustavVjerojatnost da će se sustav dodo trenutktrenutkaa t (t (uu intervalintervaluu 0 t) nalaziti u stanju 00 t) nalaziti u stanju 0Vjerojatnost da će se sustav Vjerojatnost da će se sustav dodo trenutktrenutkaa t (t (u u intervalintervaluu 0,t) nalaziti u stanju 0,0,t) nalaziti u stanju 0,

jednaka je vjerojatnosti da će u tom intervalu element 1 ispravno raditi :jednaka je vjerojatnosti da će u tom intervalu element 1 ispravno raditi :

PP (t) P(t) P (t)(t) tPPS0S0(t) = P(t) = P11(t) =(t) =

Vjerojatnost da će se sustav u trenutku t naći u stanju 1, jednaka je vjerojatnosti Vjerojatnost da će se sustav u trenutku t naći u stanju 1, jednaka je vjerojatnosti

t1e

j j j j j j jj j j j j j jda će kod elementa 1 nastati kvar u trenutku T < t uz kontinuiran rad da će kod elementa 1 nastati kvar u trenutku T < t uz kontinuiran rad elementa 2 u intervalu (T, t ):elementa 2 u intervalu (T, t ):

Q t a T P t T dTS

t

1 1 20

( ) ( ) ( ) Vjerojatnost da će se sustav u trenutku t naći u stanju 2 , jednaka je vjerojatnosti Vjerojatnost da će se sustav u trenutku t naći u stanju 2 , jednaka je vjerojatnosti

kvara elementa 1 u trenutku T< t i kvara elementa 2 u trenutku T< kvara elementa 1 u trenutku T< t i kvara elementa 2 u trenutku T< < t:< t:

0

Q t a T a T d dTS

tt

2 1 2( ) ( ) ( )

8181

T0

Odnosno, uvrštavanjem:Odnosno, uvrštavanjem:

1 21

12 1

1t t

S( e e )P ( t )

1 2

2 12

2 1

t t

Se eP ( t )

Uz pretpostavku Uz pretpostavku λλ11==λλ22, dakle, , dakle, radni i rezervni element imaju jednake radni i rezervni element imaju jednake vrijednosti intenziteta kvaravrijednosti intenziteta kvara (nazivaju se još i značajke pouzdanosti):(nazivaju se još i značajke pouzdanosti):

0t

SP ( t ) e

2 1

0

1 1S

tS

P ( t ) e

lim P ( t ) te

2 12 1t

Slim P ( t ) e ( t )

8282

Frekvencija kvaraFrekvencija kvara

0t

Sa ( t ) e

2 11

22

1tS

tS

lim a ( t ) e ( t )

lim a ( t ) te

Srednje vrijeme kontinuiranog radaSrednje vrijeme kontinuiranog rada

2 12S ( )

11

SRS SRST T T 0 1

2

1

2

SRS SRS

SRS

T T T

T

2

8383

•• SUSTAV S TRAJNO UKLJUČENOM REZERVOMSUSTAV S TRAJNO UKLJUČENOM REZERVOM

U ovome se sustavu rezerva osigurava povećanjem paralelno spojenog broja U ovome se sustavu rezerva osigurava povećanjem paralelno spojenog broja elemenata. Sa stanovišta pouzdanosti ovaj sustav predstavlja sustav s elemenata. Sa stanovišta pouzdanosti ovaj sustav predstavlja sustav s određenom rezervom.određenom rezervom.

Moguća stanja sustava:Moguća stanja sustava:0 0 –– ispravna su oba elementa sustavaispravna su oba elementa sustava22 –– oba elementa su u kvaruoba elementa su u kvaru2 2 oba elementa su u kvaruoba elementa su u kvaru3 3 –– jedan element u kvaru, drugi je ispravan i nastavlja rad djelomično jedan element u kvaru, drugi je ispravan i nastavlja rad djelomično

zadovoljavajući potrebe trošilazadovoljavajući potrebe trošila

Vjerojatnost kontinuiranog radaVjerojatnost kontinuiranog radaVjerojatnost da će se sustav do trenutka t (u intervalu 0,t) nalaziti u stanju 0 Vjerojatnost da će se sustav do trenutka t (u intervalu 0,t) nalaziti u stanju 0 jednaka je vjerojatnosti da će u tom intervalu oba elementa ispravno raditi:jednaka je vjerojatnosti da će u tom intervalu oba elementa ispravno raditi:

8484PPS0S0(t) = P(t) = P11(t) P(t) P22(t) = P(t) = P22(t) (t)

Vjerojatnost stanja 2 se određuje na temelju pretpostavke kvara jednog Vjerojatnost stanja 2 se određuje na temelju pretpostavke kvara jednog l k T d k Tl k T d k Telementa u trenutku T<t, a drugoga u trenutku T<elementa u trenutku T<t, a drugoga u trenutku T<ττ<t.<t.

2 2 t t

SQ ( t ) a(T )P(T )a* ( T )d dT

Vjerojatnost stanja 3 je vjerojatnost da će jedan element biti u kvaru u Vjerojatnost stanja 3 je vjerojatnost da će jedan element biti u kvaru u trenutku T<t a drugi raditi besprijekorno u intervalu (0 t)trenutku T<t a drugi raditi besprijekorno u intervalu (0 t)

0

T

trenutku T<t, a drugi raditi besprijekorno u intervalu (0,t).trenutku T<t, a drugi raditi besprijekorno u intervalu (0,t).

3 2 t

SQ ( t ) a(T )P(T )P* ( t T )dT

Uvrštavanjem i sređivanjem slijede matematički izrazi za proračun vjerojatnosti Uvrštavanjem i sređivanjem slijede matematički izrazi za proračun vjerojatnosti

0

j j j p j jj j j p j jmogućih stanja:mogućih stanja:

20

2 *

tSP ( t ) e

2

2

2

212

2*

t t

S *

* t t

( e e )P ( t )

8585

2

322

t t

Se eP ( t )

*

Frekvencija kvaraFrekvencija kvara

20

2

2

2

2 22

*

()

( *()

tS

t t

S

a t e

e ea t

2

2

3

22

2

**

*

*( )

()

S

t t

S

e ea t

Srednje vrijeme kontinuiranog radaSrednje vrijeme kontinuiranog radaZa stanje 0 i 3 se računa kao i u spoju sa zamjenskom rezervom dok je zaZa stanje 0 i 3 se računa kao i u spoju sa zamjenskom rezervom dok je zaZa stanje 0 i 3 se računa kao i u spoju sa zamjenskom rezervom, dok je za Za stanje 0 i 3 se računa kao i u spoju sa zamjenskom rezervom, dok je za

stanje 2 potrebno odrediti vjerojatnost kvara jednog elementa u trenutku T stanje 2 potrebno odrediti vjerojatnost kvara jednog elementa u trenutku T i kvara drugoga u intervalu (T,T+t)i kvara drugoga u intervalu (T,T+t)

0

12SRST

20

1

1 1

*()SRST tF t dt

86863

1 12 *SRST

•• SUSTAV S KLIZNOM ZAMJENSKOM REZERVOMSUSTAV S KLIZNOM ZAMJENSKOM REZERVOM

U slučaju kvara jednog elementa ispravni element zajedno sa zamjenskim može U slučaju kvara jednog elementa ispravni element zajedno sa zamjenskim može potpuno zadovoljiti potrebe trošila. Neispravan se element nakon popravka potpuno zadovoljiti potrebe trošila. Neispravan se element nakon popravka stavlja u rezervu. Kod sustava paralelnog spoja s kliznom zamjenskom rezervom stavlja u rezervu. Kod sustava paralelnog spoja s kliznom zamjenskom rezervom

ććse i pri kvaru oba paralelno spojena elementa omogućuje rad postrojenja, iako se i pri kvaru oba paralelno spojena elementa omogućuje rad postrojenja, iako se u tom slučaju potrebe postrojenja zadovoljavaju samo djelomično.se u tom slučaju potrebe postrojenja zadovoljavaju samo djelomično.

KLIZNA ZAMJENSKA REZERVA ZA SERIJSKI SPOJ ELEMENATA

KLIZNA ZAMJENSKA REZERVA ZA PARALELNI SPOJ ELEMENATA

8787

Moguća su slijedeća stanja:Moguća su slijedeća stanja:00 –– ispravna su oba elementa sustava 1 i 3ispravna su oba elementa sustava 1 i 30 0 –– ispravna su oba elementa sustava 1 i 3ispravna su oba elementa sustava 1 i 31 1 –– 1 element u kvaru, drugi zajedno sa zamjenskim funkcioniraju1 element u kvaru, drugi zajedno sa zamjenskim funkcioniraju3 3 –– u kvaru 2 elementa (potrebe trošila nisu zadovoljene)u kvaru 2 elementa (potrebe trošila nisu zadovoljene)

Vjerojatnost kontinuiranog radaVjerojatnost kontinuiranog rada00 –– vjerojatnosti da će oba elementa (1 i 3) u intervalu (0,t) funkcionirativjerojatnosti da će oba elementa (1 i 3) u intervalu (0,t) funkcionirati0 0 vjerojatnosti da će oba elementa (1 i 3) u intervalu (0,t) funkcionirativjerojatnosti da će oba elementa (1 i 3) u intervalu (0,t) funkcionirati1 1 –– vjerojatnost da će elementi 1 i 3 ispravno funkcionirati do trenutka T (T<t), a vjerojatnost da će elementi 1 i 3 ispravno funkcionirati do trenutka T (T<t), a

preostali sa zamjenskim u intervalu (T,t)preostali sa zamjenskim u intervalu (T,t)33 zbroj 2 događaja: na jednom elementu nastao kvar u intervalu (0 T) a uzbroj 2 događaja: na jednom elementu nastao kvar u intervalu (0 T) a u3 3 –– zbroj 2 događaja: na jednom elementu nastao kvar u intervalu (0,T), a u zbroj 2 događaja: na jednom elementu nastao kvar u intervalu (0,T), a u

intervalu (T,t) nastao kvar ili na drugom ili na zamjenskom elementuintervalu (T,t) nastao kvar ili na drugom ili na zamjenskom elementu

U k d 3 l i j i č jk d iU k d 3 l i j i č jk d i λλ lij dilij diUz pretpostavku da sva 3 elementa imaju istu značajku pouzdanosti Uz pretpostavku da sva 3 elementa imaju istu značajku pouzdanosti λλ, slijedi:, slijedi:

20()

tSP t e

1 2 3

21

2 23

1 2

2, ,

lim ()

lim ()

tS

t tS

P t te

P t e te

8888

1 2 3

3 2, ,

lim ()SP t e te

Frekvencija kvaraFrekvencija kvaraIzrazi koji se dobiju deriviranjem izraza za vjerojatnost kontinuiranog rada:Izrazi koji se dobiju deriviranjem izraza za vjerojatnost kontinuiranog rada:Izrazi koji se dobiju deriviranjem izraza za vjerojatnost kontinuiranog rada:Izrazi koji se dobiju deriviranjem izraza za vjerojatnost kontinuiranog rada:

22() ta t e 0

21

2 2

2

2 1 2

()

() ( )S

tS

t

a t e

a t e t

2 2

3 4() tSa t te

Srednje vrijeme kontinuiranog radaSrednje vrijeme kontinuiranog rada

0

121

SRST

3

1

1

SRST

T

8989

1 2SRST