Capítulo IV Potenciómetros; Tensões de Referência e Pontes balanceadas dc e ac.

INDICE

4. APLICAÇÃO DE POTENCIOMETROS E TENSÕES DE REFERÊNCIA. PONTES.........................2

4.1 O potenciómetro..................................................................................................2

4.1.1 O Potenciómetro em circuitos de precisão .............................................................2

4.1.2 Potenciómetro de fita e suas aplicações ................................................................5

4.1.3 Potenciómetros rotativos ....................................................................................6

4.1.4 Problemas........................................................................................................7

Problema 4.5.......................................................................................................8

4.1.5 Aplicações........................................................................................................9

4.2 TENSÕES DE REFERÊNCIA....................................................................................9

4.2.1 Nomenclatura Usual ........................................................................................ 11

4.2. Erro de saída e definições de precisão de uma referência ........................................ 12

Bibliografia ............................................................................................................. 13

4.2.1 Caixa de tensões ............................................................................................13

4.3 . PONTES DE CORRENTE CONTINUA...................................................................13

4.3.1 Ponte de Wheatstone .....................................................................................13

4.3.2 PONTE DE KELVIN........................................................................................... 16

4.3.3 Circuito de um quarto de ponte.......................................................................16

4.3.4 Aplicações de pontes na determinação de parâmetros distribuídos de cabos ............ 19

4.4. PONTES DE CORRENTE ALTERNA ......................................................................21

4.4.1 Diferentes tipos de pontes de corrente alterna ...............................................23

4.4.1.1 PONTE DE PEQUENOS ÂNGULOS..................................................................... 23

4.4.1.2 PONTE DE MAXWELL..................................................................................... 24

4.4.1.3 PONTE DOS ÂNGULOS OPOSTOS OU DE HAY.................................................... 24

4.4.1.4 PONTE DE WIEN........................................................................................... 25

4.4.1.5 PONTES DE RÁDIO FREQUÊNCIA .................................................................... 25

4.4.1.6 PONTE DE SCHERING.................................................................................... 26

Sites a Consultar .....................................................................................................27

IV/2

4. APLICAÇÃO DE POTENCIOMETROS E TENSÕES DE REFERÊNCIA. PONTES

4.1 O potenciómetro

É uma resistência eléctrica de elevada precisão, variável e com três terminais acessíveis. Os

extremos da resistência estão ligadas a duas entradas de tensão do circuito eléctrico e o

terceiro terminal, ligado à saída do circuito, é ajustável ao longo de um elemento da

resistência situado entre os dois terminais fixos, dividindo deste modo a resistência em duas

componentes.

Figura 4.1 Potenciómetro

Uma vez que a posição do terminal móvel determina qual a

percentagem da tensão de entrada que é aplicada ao circuito, o

potenciómetro pode ser utilizado para variar a tensão aplicada a

um circuito, pelo que é também conhecido como divisor de

tensão. Normalmente os potenciómetros são utilizados em : (1)

circuitos de calibração e de precisão de fontes de tensão; (2)

controlo do volume de rádios e de controlo de brilho das

televisões.

Figura 4.2 Esquemático de um potenciómetro, evidenciando a sua estrutura e terminais.

Para além do potenciómetro, existem outras formas de resistências variáveis, cujo

comportamento é similar ao do potenciómetro e quer são:

(1) “trimmer”, é uma resistência ajustável e que se utiliza muito em PCB. O ajuste é feito

normalmente rodando o seu cursor com uma pequena chave de fenda e normalmente não

é utilizada em sistemas que necessitem de um ajuste frequente.

(2) O reostato é uma resistência variável de 3 terminais, que normalmente só usa dois dos

seus terminais.

Os materiais utilizados na sua concepção são fio de cromo-niquel enrolado sobre um suporte

isolante do tipo cerâmico; carvão; polimero condutor ou mistura oxido -metal (cermet).

4.1.1 O Potenciómetro em circuitos de precisão

O efeito de carga em instrumentos de medida vai influenciar o valor final indicado pelo

aparelho de medida. Este efeito é mais crítico e portanto, o erro associado maior, quando o

IV/3

circuito eléctrico de medida é de baixa tensão ou se pretende uma grande precisão do valor

medido. Mesmo quando se utilizam instrumentos de uma elevada impedância de entrada para

se medir uma dada tensão, uma pequena porção do sinal de medida (corrente) é subtraída do

circuito em teste, dando origem a uma queda de tensão IR, associada ao erro de medida.

Uma forma de se eliminar o efeito de carga num processo de medida é o de se utilizar um

circuito balanceador que não provoque qualquer perturbação ao circuito sob teste. Para isso,

recorre-se a uma segunda fonte de tensão, externa ao circuito sob teste, capaz de gerar uma

corrente idêntica à do circuito teste, mas que flua em sentido contrário. Para a obtenção de tal

condição, é necessário recorrer-se a um circuito detector, capaz de indicar que, para a tensão

padrão escolhida, a corrente é igual e de sentido contrário à do circuito teste. Tal consegue-se

associando em série com a fonte de tensão uma resistência variável de alta precisão,

designada de potenciómetro, que para além de limitar a corrente (através de um reostato),

permite controlar o seu valor (potenciómetro, propriamente dito), através das queda de tensão

aos seus terminais (móveis), directamente proporcional ao comprimento da resistência do

potenciómetro.

Para a calibração do potenciómetro a primeira operação consiste em ajustar-se a corrente que

passa por este, através do reostato, de modo a que a queda de tensão aos seus terminais

(xy), seja proporcional ao seu comprimento. Depois liga-se os seus terminais a um circuito

padrão, constituído por uma tensão padrão (em oposição a V) e um galvanómetro (detector),

ligado a uma resistência de protecção. Quando se liga o galvanómetro ao circuito, o reostato

deve ser ajustado de modo que a indicação no galvanómetro seja nula. Uma vez conseguido

esse balanceamento, a resistência de protecção do galvanómetro deve ser cuto-circuitada, de

modo a aumentar a sua sensibilidade e reajustar o valor de leitura (nula) do galvanómetro.

Nestas condições, o galvanómetro encontra-se em condições de ser utilizado na medida de

forças electromotrizes (traduzidas em potenciais) desconhecidas.

RV Y

XSaída do potenciómetro(Reóstato)

G

Circuito de calibração

S

Figura 4.3a) Circuito Potenciométrico de Calibração de fontes de tensão

Na figura que se segue mostra-se o caso de utilização de um potenciómetro utilizado num

processo de calibração prática onde se deve ter em conta que IRx = Ex e IRn = En.

Nestas condições tem-se que:

IV/4

nn

xn

n

xx E

ll

ERR

E == (4.1)

Figura 4.3b) Circuito Potenciométrico de Calibração de fontes de tensão

Problema 4.1- Considere a montagem que se mostra acima em que o fio de cromo-níquel

que constitui o potenciómetro tem um comprimento de 200 cm e uma resistência de

200 Ω, ligado a uma fonte de tensão de 3 V. Sabendo que o valor da tensão padrão utilizada

como referência é de 1,356 V, determine o valor da corrente de trabalho, a resistência do

reostato e a resolução do potenciómetro, quando utilizado para medir a força electromotriz de

uma fonte desconhecida em que o comprimento útil do potenciómetro é de 100 cm e o valor

da escala mínima de leitura 0,5 mm.

A resistência correspondente ao comprimento útil do potenciómetro é de

Ω=Ω×

= 100200

200100100 cm

cmR e a correspondente corrente de trabalho é 56,13100356,1

==I mA.

A queda de tensão correspondente no potenciómetro é de 712,22001056,13 3 =××== −IRVP

V, pelo que a resistência do reostato é 2,211056,13712,23

3 =×

−= −

VR Ω .

Para o cálculo da resolução devemos saber quantas divisões tem a escala. de acordo com o

enunciado tem-se:

40005,0

/10200=

×=

mmcmmmcmcalavisõesdaesNúmerodedi , pelo que a resolução da escala será de

: 68,04000

712,2==resolução mV.

IV/5

4.1.2 Potenciómetro de fita e suas aplicações

Anteriormente dissemos que o potenciómetro tem uma “fita resistiva linear”. Isto é, que a

resistência varia linearmente com o seu comprimento. Deste modo é possível calibrar-se o

comprimento da fita com um dado essencial onde o potenciómetro se insira, como seja o de

controlar uma fonte de tensão dc ou o volume de um rádio.

Figura 4.4 Potenciómetro como divisor de tensão. No caso de divisor de tensão liga-se o terminal de referência da fonte (normalmente o

negativo) a um dos contactos fixos do potenciómetro e o outro terminal (terminal móvel) será

a saída, tal como se mostra no diagrama acima.

Figura 4.5 Formas de onda de saída ac e dc de um potenciómetro

Se o potenciómetro fosse ligado a um gerador ac (gerador de onda sinusoidal) o valor da

tensão de saída seria 63% da tensão de entrada. No gráfico que se segue mostramos os

diagramas das tensões de saída para os casos dc e ac.

Para o caso do potenciómetro ser utilizado para o controlo do volume de um rádio, precisamos

de utilizar um potenciómetro cuja fita resistiva varie de modo logaritmo, uma vez que o

IV/6

sistema auditivo humano funciona logaritmicamente. Caso utilizássemos um sistema

potenciométrico linear para controlar o volume de um rádio num dos seus extremos seria

irritável. Isto é, daria a sensação que o volume aumentava muito rapidamente no extremo do

botão.

No gráfico que se segue pode-se ver que o valor da resistência quando varia linearmente

(traçado a vermelho) a 50% do seu comprimento o seu valor é também de 50%, enquanto

que no traçado logarítmico (traçado a amarelo) a 50% do seu comprimento, o valor da

resistência é de cerca de 23% do seu valor. Para se obter 50% do valor da resistência, o

comprimento necessário da fita é de cerca de 85%.

Figura 4.6 Esquemático da variação da resistência em fita de um potenciómetro com o seu comprimento para: uma variação linear (vermelho) e uma variação logarítmica (amarelo).

4.1.3 Potenciómetros rotativos

O diagrama que se segue mostra dois potenciómetros rotativos respectivamente a 50% e a

63% da sua excursão máxima.

Figura 4.7 Potenciómetros rotativos

Estas posições corresponderiam às posições do cursor móvel no potenciómetro de fita. Neste

caso, temos um potenciómetro de uma só volta, o que significa que 100% da resistência

corresponde a rodar-se o botão de cerca de 270 graus (não 360 graus! Explique por quê!).

Existem outros potenciómetros rotativos que permitem que seja dada mais de uma volta (ver

aulas práticas).

IV/7

Figura 4.8 Potenciómetro rotativo utilizado em circuitos amplificadores áudio.

Em termos de consumo de energia, os potenciómetros consomem energia, tal como qualquer

resistência eléctrica. Se utilizarmos os potenciómetros para controlar o sinal áudio de um

pre−amplificador, de baixo consumo de corrente, a dissipação de energia e calor não são

problemas (por quê?). Contudo, se o potenciómetro se utilizar num circuito de elevado

consumo de corrente, a dissipação de calor é elevada (aplicar a lei de Ohm e ver) e deve-se

ter em conta formas de dissipar o calor gerado.

Figura 4.9 Exemplos de diferente potenciómetros.

Na figura acima mostramos diferentes formas de potenciómetros utilizados em diferentes

circuitos eléctricos.

4.1.4 Problemas.

Problema 4.2

IV/8

a) Calcule as tensões de saída destes dois divisores de tensão (VA e VB), bem como a tensão

entre os pontos A e b (VAB).

b) Se eliminássemos o fio que une os dois circuitos, seria que estes valores se alterariam?

Resposta:

a) VA=65,28 V, VB=22,26 V e VAB=42,02 V.

b) Não. Explique por quê.

Problema 4.3

a) Calcule as tensões de saída dos dois circuitos divisores de tensão (tensão entre A e a

massa e entre B e a massa).

b) Calcule também o valor VAB.

Resolução: a) VA=65,28 V, VB=75,00V

e. b) VAB=9,72 V

Problema 4.4

De quanto deverá ser a queda de tensão aos terminais da resistência R1 para que a tensão

VAB=0. E qual o valor de R1?

Resolução V=9 V e R1=20 KΩ.

Problema 4.5

Um termístor é uma resistência especial em que o valor da sua resistência varia de forma

dramática com a temperatura. Assim sendo, considere o circuito que se segue em que existem

ligados a dois ramos opostos dois termístores iguais (os mesmos coeficientes positivos

térmicos).

IV/9

a) Que tensão deve o voltímetro registrar quando os dois termístores estiverem

exactamente à mesma temperatura?.

b) Qual dos dois termístores deverá estar mais quente para que o voltímetro de uma

leitura negativa?

Resolução a) V== V b) Deverá ser o termístor do lado

esquerdo.

4.1.5 Aplicações

Duas das aplicações mais frequentes dos potenciómetros são na calibração de tensões dc e

para medir temperaturas, quando utilizado conjuntamente com um termopar.

No primeiro caso, é aplicado na calibração de fontes de tensão de baixo valor, permitindo a

determinação da curva de calibração.

A curva de calibração não é mais de que um gráfico x-y em que se registam os valores da

corrente em ordenadas e das tensões nas abcissas, fornecidas respectivamente por um

amperímetro e um voltímetro, determinadas por um potenciómetro, que indica os desvios da

corrente relativamente ao seu valor médio (condição de indicação nula, dada por um

Galvanómetro).

Na segunda aplicação o potenciómetro é utilizado para medir temperaturas elevadas. Nestes

casos recorre-se ao uso de um termopar (ver a parte de transdutores) que está em contacto

com a superfície do meio cuja temperatura se pretende determinar, gerando uma pequena

diferença de potencial (de algumas dezenas a centenas de microvolts) que é depois medida

com elevada precisão pelo potenciómetro (usando um indicador do tipo Galvanómetro) e

depois convertida numa indicação de temperatura.

4.2 TENSÕES DE REFERÊNCIA

Um díodo Zener é um díodo de junção pn com propriedades de polarização inversa

controladas, o que o torna extremamente útil em aplicações como dispositivo de referência de

tensão (ver secção 3). Neste caso a tensão aplicada faz-se no modo inverso, de tal forma que

à medida que a tensão de polarização aumenta em amplitude se atinge um valor tal em que a

tensão permanece constante para uma faixa bastante larga de correntes. Isto é, consegue-se

manter uma tensão de referência bastante estável, independentemente da corrente que circula

no circuito teste.

IV/10

Num circuito destes deve-se conhecer primeiramente os parâmetros característicos do díodo

Zener, nomeadamente a corrente e a tensão Vs, de modo a seleccionar-se aquele que melhor

serve a funcionalidade do circuito pretendido. Depois segue-se o dimensionamento do circuito

que consiste em determinar-se qual o valor da resistência a associar-se ao circuito de modo a

limitar a corrente no Zener a um valor predeterminado, bem como a razão de dissipação de

potência no Zener. Isto é:

0=++− ssf VRIV

donde se tira que:

s

sf

IVV

R−

=

deste modo, a razão de dissipação

de potência é dada por:

RVV

P sf2)(2 −

=

em que se inclui o factor 2, como

factor de segurança do circuito.

Vf

Vr

If

Ir

Vs

R

-

Fonte de tensão Vs

+Is

Problema 4.6

Projecte uma fonte de tensão de corrente continua estável de 10 V, utilizando uma fonte de

alimentação de 15 V e um díodo Zener 1N 961, em que o factor de dissipação de potência é de

400 mW, para uma corrente máxima de 12,5 mA.

Resposta

A primeira coisa, é determinar R a utilizar. Tendo em conta as equações anteriores, obtém-se:

Ω=×−

=−

= − 400105,121215

3s

sf

IVV

R . Agora, devemos saber qual a potência que esta deve

suportar. Tendo em conta que WR

VVP sf 125,0

40032)(2 22

=×

=−

= . Isto é, basta seleccionar

uma resistência de 1/8W.

Uma outra forma de se projectar uma fonte de tensão estável é a partir de uma corrente

constante produzida por um circuito transistorizado (bipolar ou unipolar), em que a corrente

de saída se mantém invariável, qualquer que seja a tensão de saída, para além de apresentar

uma resistência bastante elevada, conveniente para se reduzir os erros devidos ao efeito de

carga. Para o caso de um transístor unipolar JFET. Neste casso, pode-se ligar a porta (“gate”)

directamente à fonte (“source”), polarizando-se só a malha da saída. Nestas condições tem-se

Vs=IDR, ou seja:

IV/11

D

DSD R

VI

∆∆

= , onde a resistência de dreno RD,

se calcula tendo em conta que RD=∆VDS/∆ID R

IDG D

SVo

Vf

4.2.1 Nomenclatura Usual

No que segue, referimo-nos aos termos técnicos mais usuais utilizados e importantes de se

conhecer, no processo de selecção de dispositivos para tensões de referência.

(a) Tensão de alimentação de entrada (Input voltage supply) depende da tecnologia e material

de base usado na concepção do dispositivo activo, em termos de limites superior e inferior

de funcionamento. Tipicamente deve-se ter:

VIN(MIN) = VREF + VDROPOUT (4.1)

(b) Tensão de referência de saída (reference output voltage), tensão de saída regulada que

deve de estar de acordo com a eq. 4.1.

(c) Exactidão inicial (Initial accuracy), define qual o erro inicial da tensão de saída e define-se

em % ou em mV, para a temperatura de 25ºC.

(d) Corrente de referência de saída (Reference output-voltage).

(e) Carga de referência de Regulação (Reference –load regulation), representa as variações

incrementais da tensão de saída, função da carga utilizada. Exprime-se normalmente em

µV/µA ou mV/mAou ppm/mA, or %/mA.

(f) Regulação de linha de entrada (Input-line regulation), representa as variações incrementais

da tensão de saída devidas a variações da tensão de entrada. Normalmente exprime-se em

µV/V.

(g) Coeficiente de temperatura da tensão de saída (Output-voltage temperature coefficient),

representa as variações na tensão de saída de referência para um dado valor de

temperatura:

TCVOUT = 106 × |VREF(max) / VREF| / (TMAX-TMIN) (4.2)

Exprime-se normalmente em ppm/°C.

(h) Tensão de saída de elevada estabilidade (Output-voltage long term stability), representa

variações na tensão de referência de saída em função do tempo. Normalmente exprime-se

em ppm/horas.

(i) tensão de ruído de saída (output noise voltage), corresponde ao valor de tensão esporádico

que aparece sobreposto ao sinal. É função da frequência do sinal utilizado e exprime-se em

µVRMS na faixa de frequências de 10Hz a 10kHz.

IV/12

(j) Faixa de estabilidade e de carga capacitiva (Capacitive-load Stability range) corresponde à

faixa de capacidades de carga (inclui também efeitos parasitas) que a tensão de referência

pode tolerar, sem alterar o seu valor ou forma.

4.2. Erro de saída e definições de precisão de uma referência

Designamos por erro o desvio da condição ideal de uma dada tensão de saída. Em circuitos

digitais tal significa que a resolução pretendida é a do bit. Assim, num circuito de 12- bit, a

saída possível é de 4096. Se associarmos a cada valor numérico um 1mV, significa que o valor

máximo da tensão de saída será de 4,096 V, com uma tensão de referência de 4,096V.

Qualquer desvio deste valor corresponderá a um erro.

Em termos de exactidão, considerando que o bit menos significativo (LSB) é 1mV e se

designarmos a precisão final da medida como sendo de ±4SLB (±4mV), a exactidão da medida

corresponderá a sabermos com que exactidão de bits a saídas poderá ser processada:

Exactidão = Resolução da fonte - log2(erro) (4.3)

Neste exemplo significa que só temos 10 bits (12 - log2(4)) de precisão.

Figure 4.10 Função de transferência e erro de saída em fonte DAC

Existem várias fontes que contribuem para o erro da tensão de saída (tal como o “offset” da

fonte), mas algumas são ignoradas, pois são irrelevantes para o processo de selecção da

tensão de referência. As fontes de erro que são normalmente consideradas não incluem: erro

inicial da referência; histerese térmica; estabilidade a longo prazo; regulação da linha e da

carga; ruído de entrada e saída.

IV/13

Bibliografia

H. Young and R. Freedman. Sears and Zemansky's University Physics with modern physics (10th edition). Addison Wesley Longman, Inc., pages 799-864, 2000. H. Young and R. Freedman. Sears and Zemansky's University Physics with modern physics (10th edition). Addison Wesley Longman, Inc., pages 799-864, 2000.

4.2.1 Caixa de tensões

A faixa de tensões em que o potenciómetro é directamente utilizado para determinar tensões

desconhecidas é muito baixa (1 a 3 V). Assim, quando se pretendem determinar tensões

desconhecidas de valor elevado, tal não é possível. Nestas condições, recorre-se a um

instrumento designado de caixa de tensões.

A caixa de tensões é um instrumento de precisão que opera no principio de indicação nula,

utilizado para determinar valores de tensões desconhecidas. O seu principio de funcionamento

está associado ao do potenciómetro. Neste caso concreto a tensão desconhecida (Vx) a

determinar é ligada em série a uma resistência conhecida variável (reostato). Aos terminais do

reostato é ligado então um potenciómetro (V2). Como se tem uma ligação em série, a corrente

que passa no circuito, que contém a tensão desconhecida e, na resistência R2, de parte do

reostato (Rr=R1+R2) ligado ao potenciómetro, é a mesma.

Nestas condições tira-se que:

2

21

2

x

RRR

VV +

= (4.4)

Problema 4.7

Uma caixa de tensões foi projectada de modo a que quando uma tensão desconhecida de 100

V é aplicada à entrada desta, a tensão de saída seja de 2 V. Nestas condições, determine o

valor da resistências a utilizar.

Resolução

De acordo com a equação 4.4 tem-se que Vx/V2=50, donde se tira que (R1+R2)/R2=50 e

portanto R1=49R2

4.3 . PONTES DE CORRENTE CONTINUA

4.3.1 Ponte de Wheatstone

Circuitos pontes são instrumentos utilizados para comparar medidas de componentes passivos

e baseiam-se no princípio de indicação nula. Isto é, a sua indicação é independente da

calibração do dispositivo detector, pelo que o seu grau de precisão é muito elevado. Tal faz

com que sejam utilizados no controlo de diferentes circuitos de medida, em que num dos

ramos existe a componente a medir, sensível a um parâmetro físico (pressão, temperatura,

etc.) e nos outros, componentes passivos reguláveis, previamente conhecidos.

IV/14

A ponte de Wheatstone consiste em dois ramos paralelos de resistências, cada um contendo

duas resistências em série. A estas resistências é aplicada uma tensão continua de modo a

provocar a passagem de correntes nos ramos.

Entre os ramos em paralelo liga-se um

detector (galvanómetro) de modo a

determinar a condição de balanceamento

(corrente nula). Este circuito foi inventado em

1833 por S.H. Chriestie em 1833 e só posto

em prática a partir de 1847 por Sir Charles

Wheatstone.

R1

R4

R2

R3

G

I1

I3

I2

I4

V

Quando a ponte está balanceada isso significa que não passa qualquer corrente no

galvanómetro e que o potencial neste é nulo. Nestas condições, isso significa que I1=I3 e I2=I4

e I3R3=I4R4; I1R1=I2R2, pelo que se tem:

4

2

3

1

RR

RR

= , ou R1R4=R2R3 (4.5)

Assim, caso um dos valores da resistência seja desconhecido, é possível determinar-se, por

ajuste de valor de uma das resistências do ramo oposto.

Problema 4.8- Considere a ponte de Wheatstone representada na figura. Se R1=15KΩ,

R2=10KΩ, R3=30KΩ qual deverá ser o valor de R4 para a ponte estar equilibrada.

Resolução

De acordo com o que foi dito anteriormente tira-se que Ω=×

== kRRR

R 2015

3010

1

324 .

Quando uma dada ponte não está balanceada, passa corrente pelo galvanómetro, que faz com

que haja uma deflexão do seu ponteiro, proporcional à quantidade de corrente que por lá

passa. Define-se sensibilidade da ponte à deflexão por unidade de corrente que passa pelo

galvanómetro. Isto quer dizer que quanto mais sensível o galvanómetro for, maior será a sua

deflexão, para a mesma quantidade de corrente. Isto é, D=S×I, onde D é a deflexão, S a

sensibilidade da ponte e I a corrente que por lá passa.

Nas condições de não balanceamento, I1≠I3 e I2≠I4. Para além disso, a diferença de potencial

aos terminais do galvanómetro (Vab) não é nula. Nestas condições, para a determinação das

correntes que passam neste circuito devemos recorrer às malhas de Kirchoff às quais se deve

aplicar o teorema de Thevenin, para simplificação das malhas resultantes (análise reduzida ao

comportamento de uma fonte de tensão equivalente ligada em série com uma resistência

equivalente). Por análise do circuito, a tensão equivalente de Thevenin aos terminais do

galvanómetro é a tensão vista aos terminais ab, quando estes estão em circuito aberto. Isto é:

IV/15

baab VVV −= , onde 31

3

RRR

VVa += e

42

4

RRR

VVb += . (4.6)

A resistência equivalente de Thevenin é aquela que é vista aos terminais de saída quando

todas as fontes do circuito são substituídas por curto circuitos. Nestas condições, a resistência

final é a resultante da associação em série das combinações em paralelo de R1 com R3 e R2

com R4. Isto é:

42

42

31

31

RRRR

RRRR

RTh ++

+= . (4.7)

Se 3 das quatro resistências da ponte forem iguais a um dado valor Re e, se a quarta diferir

destas de um valor inferior a 5%, é possível desenvolvermos uma expressão quer para Vth e

Rth: Isto é: VTh≈V(∆r/4R) e RTh≈R.

Problema 4.9

Em termos gerais diga o que deve ser feito para balancear a ponte que se mostra na figura

que se segue. O que realmente significa, neste contexto, o termo balanceamento?.

Resolução

A ponte estar balanceada significa que a diferença de

potencial entre os dois extremos do circuito, assinalados,

não ligados à fonte de alimentação, é nula.

O atingir-se a condição de balanceamento significa que a

razão das resistências adjacentes dos quatro braços que

constituem o circuito são proporcionais e iguais entre si,

pelo que não circula qualquer corrente pelo medidor,

também.

Problema 4.10

O que é que acontece à tensão entre os pontos A e B se se aumentar a tensão da fonte de

alimentação?

Resolução.

A razão entre as resistências adjacentes é

constante e igual entre si, logo a ponte está

balanceada. Assim, nada acontece por se

aumentar a tensão da fonte de alimentação.

VAB=0 V.

Problema 4.11

IV/16

Complete as ligações do circuito que se mostra de forma a que a ponte formada fique

balanceada.

Resolução

4.3.2 PONTE DE KELVIN

A ponte de Kelvin é uma versão modificada da ponte de Wheatstone, de modo a eliminar o

efeito das resistências dos contactos e dos cabos de ligação, do processo de medida, quando

se pretende determinar com rigor o valor de resistências de muito baixo valor (µΩ). Para

compensar os efeitos acima enumerados, esta ponte usa um segundo par de ramos de forma a

compensar o valor das resistências de contacto e dos cabos.

A ponte está balanceada quando se verifica:

a

b

RR

RR

RR

==1

3

2

4 (4.8) R1

R3

G

I1

I3

I2

V

R2

c

c

R4 I4

Ra

Rb

Rk

4.3.3 Circuito de um quarto de ponte

Na configuração do circuito de um quarto de ponte, um dos braços do circuito varia com o

parâmetro físico que se pretende medir e os outros permanecem constantes.

Nestas condições tem-se:

Vbo/Vex = (Rc/(Rc+Rg+dRg)- (1/2) (4.9a) A ponte diz-se estar balanceada quando Rc é escolhida de forma a se adaptar a Rg. Rg

representa o que resta da resistência do transdutor, em termos de compensação do circuito

ponte. Para medição de forças de tensão mecânica, quando Rc=Rg, a equação anterior pode

ser expressa em termos do factor de calibração (Gf) dando:

IV/17

Vbo/Vex = Gf/(4 +2 Gf) (4.9b)

Dependendo das especificações do transdutor utilizado, a tensão de alimentação é de 5 V e o

consumo de corrente típico é de 50 mA.

Na configuração de meia ponte um dos braços é constituído por dois sensores e o outro por

duas resistências fixas. Neste caso tem-se:

Vout/Vex = Gf/2 (4.9c)

Problema 4.12

Um transdutor de força de tensão é um aparelho capaz de ler a força de compressão ou

extensão a que um dado objecto está sujeito, ao dar lugar a uma variação da resistência

proporcional ao valor da força em causa. No que se segue mostra-se um transdutor de pressão

ligado a um circuito de um quarto de ponte enquanto os outros ¾ correspondem a

componentes fixos. Explique o que aconteceria à tensão medida na ponte se o transdutor

estiver em compressão, pressupondo que inicialmente a ponte está balanceada, sem qualquer

força de compressão aplicada.

Resolução

À medida que a força de compressão aumenta

a ponte fica não balanceada, passando o

voltímetro a indicar uma medida não nula de

polaridade independente da natureza da força

utilizada!

Problema 4.13

Suponha que tem um circuito ponte em que um dos braços da ponte está ligado a um

transdutor de pressão compressivo. O que acontece à tensão VAB se a temperatura da amostra

variar (mesmo sem aplicação de qualquer força), partindo do pressuposto que inicialmente a

ponte se encontrava balanceada? Considere que o coeficiente α de temperatura da resistência

do sensor é positivo. Comente da exequibilidade de utilização deste sistema como instrumento

de medida de forças de tensão.

IV/18

Resolução

Se o sensor aquece, desenvolve-se uma

tensão aos terminais A e B tal que o

terminal A é positivo e B é negativo (por

quê?)

Problema 4.14

Explique de que forma o circuito que se segue poderia ser utilizado para compensar

automaticamente variações de temperatura num sensor de pressão.

Resolução

Para se satisfazer as condições requeridas, é

necessário que exista no circuito um sensor

de sacrifício (dummy) ligado à amostra a

caracterizar, de tal maneira que não seja

sujeito às mesmas condições de trabalho do

sensor, que irá medir a força de tensão. Este

está somente sujeito às mesmas condições de

temperatura da amostra e reagirá somente a

estas variações. Deste modo, qualquer

variação da temperatura será compensada

por este, pelo que a indicação do voltímetro

será deste modo insensível à temperatura.

Problema 4.15

Considere o circuito que se mostra a seguir onde se supõe que a tensão aos terminais

corresponde à diferença entre a tensão gerada pelas duas fotocélulas (elementos

transdutores). Contudo, neste circuito alguma coisa falhou, pois a indicação do voltímetro é

sempre negativa e não varia ao variar-se a iluminação a qualquer um dos sensores. Indique

pelo menos duas possibilidades que possam justificar o comportamento detectado.

IV/19

Resolução

O comportamento observado deve-se ou à

resistência R1 que está em curto circuito (por quê?)

ou por que a fotocélula R3 se encontra em circuito

aberto (por quê?).

4.3.4 Aplicações de pontes na determinação de parâmetros distribuídos de

cabos

Uma das principais aplicações das pontes dc é na determinação da resistência distribuída em

cabos eléctricos, para determinação de falhas nestes. Estão neste caso as chamadas malhas

de Murray e de Varley.

Figura 4.11 Exemplo da malha de Murray para determinação de curto circuitos à massa em cabos de comunicações

IV/20

A malha de Murray é utilizada para

determinar curto circuitos entre linhas ou à

massa. Neste caso o condutor com defeito

possui um comprimento L está ligado aos

terminais de um bom condutor de

comprimento LA. A malha formada pelos dois

condutores está ligada à ponte como se

mostra nas figuras, sendo a ponte balanceada

por ajuste da resistência do B (RB). Se

designarmos por RA, RLa, RL e RX

respectivamente as resistências do braço A da

ponte, do braço associado ao bom condutor,

resistência total associada ao condutor

defeituoso e Resistência associada ao

comprimento X do mau condutor, na condição

de balanceamento tem-se:

)( LLaBA

AX RR

RRRR ++

= 4.10a

Por outro lado, se os dois condutores forem do mesmo material e tendo em conta que R=ρl/S

em que l é o comprimento do condutor e S a sua secção, tem-se:

)( aBA

A LLRR

RX ++

= 4.10b

Assim, para um cabo de multicondutores, todos com o mesmo comprimento, a distância a que

se encontra o curto circuito à massa do ponto de ligação à ponte é dado por:

BA

A

RRLRX+

=2

4.10c

O outro circuito utilizado na detecção de falhas em cabos e a malha de Varley. Trata-se de

uma modificação da malha de Murray em que se utiliza uma razão constante dos braços

adjacentes contendo resistências fixas e no outro, adjacente ao cabo ma inspeccionar, liga-se

um reostato. Este circuito é mais utilizado para localizar curto circuitos entre condutores ou à

massa e é mais preciso que o anterior.

IV/21

Figura 4.12 Malha de Varley

Nestas condições, tem-se em balanceamento:

BA

AbgBX RR

RRRRRR

+

−+=

)( (4.11a)

Se ligarmos agora o terminal GR ao outro extremo do braço B e balanceando de novo a ponte

tem-se:

B

Abg R

RRRR =+ (4.11b)

Deste modo é preciso localizar o condutor e a posição em que se deu a falha.

4.4. PONTES DE CORRENTE ALTERNA

No caso da ponte de Wheatstone ser formada por quatro impedâncias não resistivas, esta pode

ser utilizada para determinar condições de balanceamento em circuitos de corrente alterna.

Neste caso, o detector a utilizar deve ser de corrente alterna. As pontes de corrente alterna

são circuitos muito usados em circuitos eléctricos de deslocamento de fase, como meio de

realimentação em circuitos eléctricos Osciladores ou em amplificadores, filtros de sinais

eléctricos e para medição da frequência de sinais áudio.

A condição de balanceamento é similar à

obtida para a ponte de Wheatstone,

substituindo R por Z (impedância). Nestas

condições tem-se Z1Z4=Z2Z3. Se tivermos em

conta que a impedância tem uma componente

real e outra imaginária e portanto, se pode

representar sob a forma Z= Zejθ=a+jb, da

relação anterior obtém-se:

32413241

θθθθ jjjj eZeZeZeZ = , (4.12)

IV/22

donde se conclui que para a ponte estar balanceada é necessário que Z1Z4=Z2Z3.e θ1+θ4=θ2+θ3.

Outra forma de chegar ao mesmo resultado é o de se considerar a impedância como uma

grandeza complexa, com componente real e imaginária. Nestas condições tem-se:

)()()()( 33224411 jbajbajbajba +×+=+×+ , (4.13a)

donde se obtém:

)()()()( 2332233214414141 babajbbaababajbbaa ++−=++− , (4.13b)

igualdade que só é verdadeira quando as partes reais e imaginárias são iguais entre si. Isto é:

)()( 23324141 bbaabbaa −=− (4.14a)

e

)()( 23321441 babababa +=+ (4.14b)

As pontes de impedância são similares às pontes dc. Neste caso o detector a utilizar deve ter a

capacidade de discriminar pequenos sinais ac. Muitas vezes utiliza-se para o efeito

osciloscópios ou mesmo auscultadores se a frequência a detectar está dentro da faixa áudio.

Neste caso estes são ligados ao circuito através de um transformador/adaptador de

impedância. Os auscultadores possuem normalmente uma baixa impedância de carga (cerca

de 8 Ω), pelo que requerem também correntes elevadas. Tal faz com que se recorra a um

transformador áudio de saída (valores típicos: 220/6 Volts e razão de impedâncias de 1000:8).

Deste modo, é possível detectar-se correntes tão baixas como 0,1 µA e sinais dc a ac com

f=2 MHz.

Figura 4.13 Ponte ac com detector à base de auscultadores áudio.

A condição de balanceamento é obtida quando deixar-se de se ouvir “clicks” nos auscultadores.

IV/23

4.4.1 Diferentes tipos de pontes de corrente alterna

Os circuitos ponte servem também para medir indutâncias, capacitância e mesmo o factor Q

de um circuito. Tal como nos circuitos anteriores a impedância desconhecida deve ser sempre

balanceada, em termos de um valor padrão conhecido. Dependendo do modo como a ponte é

ligada a componente desconhecida pode ser determinada directa ou indirectamente. Nos dois

exemplos que se seguem, determina-se o valor de uma indutância ou de uma capacidade

desconhecidas a partir de padrões conhecidos indutivos ou capacitvos, respectivamente.

Neste caso as pontes dizem-se simétricas, pois a determinação da reactância desconhecida é

feita por acerto directo do padrão similar utilizado.

Figura 4.14 Exemplos de pontes ac para determinação de indutâncias e capacidades desconhecidas, a

partir de padrões conhecidos.

Contudo, em casos práticos, essa não é a situação normal.

4.4.1.1 PONTE DE PEQUENOS ÂNGULOS

Esta ponte é utilizada para medir a impedância capacitiva de circuitos eléctricos. Neste caso, 2

ramos adjacentes da ponte são puramente resitivos (Z1=R1 e Z2=R2) e os outros dois,

impedâncias capacitivas (Z3=R3-j/ωC3) e Z4=Rx-j/ωCx). Nestas condições, e de acordo com o

que foi anteriormente dito, a condição de balanceamento implica que:

321 RRRR x = e 3

21

CR

CR

X ωω= . Isto é, Cx=C3(R1/R2). A determinação da capacidade

desconhecida é independente da amplitude e frequência do sinal alterno aplicado à ponte.

A Rx também se designa de resistência série equivalente da impedância desconhecida, por

representar a parte real da componente de impedância total.

A Cx designa-se de capacidade equivalente da impedância desconhecida, por representar a

reactância total da impedância.

IV/24

4.4.1.2 PONTE DE MAXWELL

Esta ponte é utilizada para determinar o valor de indutâncias desconhecidas, à custa de

capacidades padrão.

Neste caso, dois dos ramos justapostos da ponte

são puramente resistivos e nos outros dois, num

deles existe a indutância de valor desconhecido e

no outro a capacidade padrão, associada em

paralelo com uma resistência variável.

Nestas condições, a condição de balanceamento

conduz-nos a: 321 RRRR x = e Lx=C1R3R2,

também independente do valor da frequência e

amplitude do sinal alterno aplicado á ponte. Tal

como anteriormente, Lx representa a

componente indutiva equivalente em série (pois

pressupõe-se que as componentes desconhecias

se encontram assim associadas). Nota: em

termos práticos faz-se com que R1=R2=R3.

4.4.1.3 PONTE DOS ÂNGULOS OPOSTOS OU DE HAY

Esta ponte serve também para medir indutâncias e resistências de bobinas desconhecidas em

que o factor de qualidade de bobinas [razão entre a reactância (XL) e a resistência da bobina:

Q=XL/R] seja superior a 10.

É uma ponte similar à de Maxwell (utilizada

quando Q<10) mas neste caso, a

capacidade padrão encontra-se associada

em série com uma resistência.

Neste caso, a condição de balanceamento

conduz-nos às relações: 21

21

2

21321

2

1 CRCRRR

Rx ωω

+=

e 21

21

2132

1 CRCRR

Lx ω+= .

Neste caso, os valores obtidos são

dependentes da frequência.

Nota: R1=RB; R3= Rs; R2=RA; C1=Cx.

R1

Rx

R2

R3

D

I1

I3

I2

I4

VC1

Lx

IV/25

Isto é, os valores de resistência e indutância desconhecidos dependem do valor da frequência

do sinal alterno aplicado à fonte.

4.4.1.4 PONTE DE WIEN

Trata-se de uma fonte versátil, utilizada para medir componentes de impedâncias, quer

associados em série, quer associados em paralelo.

Esta ponte é largamente utilizada em circuitos

eléctricos de realimentação, para provocar

oscilação do sinal eléctrico, a uma frequência pré-

determinada.

Neste caso, a condição de balanceamento

corresponde a:

23

23

23

1

2

1 CRR

RR

Rx ω+= e )

11( 2

323

232

1

CRC

RR

Cx ω++=

onde os valores de resistência e capacidade

desconhecidos dependem da frequência do sinal

alterno utilizado.

Em circuitos práticos tem-se R1=R2=R, passando o

circuito a ter a forma que ao lado se mostra.

V

R1

Rx

R2

R3

D

I1

I3

I2

I4

Cx

C3

4.4.1.5 PONTES DE RÁDIO FREQUÊNCIA

As pontes de rádio frequência são similares às pontes de Wien, sendo R1 substituído pela

combinação paralelo de uma resistência e um condensador variável e a combinação R3 e C3

substituída por uma única resistência.

IV/26

Neste caso, a impedância desconhecida Zx=Rx±jXx é

inserida no ramo previamente balanceado, através

de R4 e C4 e a condição de balanceamento

corresponde a:

)( 1'1

2

3 CCCR

Rx −= e )11(1

4'4 CC

X x −=ω

V

R1

R4

R2

R3

DI1

I3

I2

I4

C4

C1

Zx

onde '1C e '

4C são os valores de C1e C4 reajustados após a inserção na ponte de Zx. Assim,

constata-se que enquanto a determinação da componente resistiva de Zx é independente da

frequência do sinal aplicado à ponte, a determinação da componente reactiva depende da

frequência do sinal alterno aplicado à ponte.

Deve-se também ter em conta que a natureza da reactância desconhecida depende do sinal de

Xx. Se C’4>C4, então o sinal de Xx é negativo e a reactância é capacitiva, pelo que Cx=1/(ωXx).

Se C’4<C4 então Xx é positivo e a reactância é indutiva, pelo que Lx=Xx/ω.

Problema 4.16- Considere a ponte de rádio frequência que acima se mostra. Sem inserção de

Zx, para f=10 MHz, os valores de balanceamento obtidos são R1=120 KΩ; C1= 100 µF; C2= 7,5

µF; R3= 7,5 KΩ; C4= 120 µF; R4= 100 KΩ. Por inserção de Zx a ponte teve de ser de novo

balanceada, ajustando C1 e C4 respectivamente para 110 µF e 102,4 µF.

Calcule os valores dos componentes da impedância desconhecida

Resolução

De acordo com as expressões anteriores obtém-se: Rx= 10 KΩ e Xx= 22,8×10-6, donde se

conclui que a reactância é indutiva (por quê?), onde Lx= 3,63×10-13 H.

4.4.1.6 PONTE DE SCHERING

A ponte de Schering é particularmente importante na determinação das propriedades

dieléctricas de materiais. Isto é, em componentes em que o angulo de desfasagem da

impedância se encontra muito próximo dos 90º.

Nestas condições tem-se:

3

12 C

CRRx = e

2

13 R

RCCx = . Isto é, os

valores são independentes da frequência

do sinal alterno aplicado á ponte

V

R1

Rx

R2

C3

DI1

I3

I2

I4

Cx

C1

IV/27

Problema 4.17- Considere o circuito que a seguir se mostra. Determine as constantes de Zx R

e C ou L, considerando as mesmas como estando associadas em série.

Resolução

Tendo em conta os valores

apresentados na figura, a impedância

em questão é capacitiva, onde:

Rx=122,6 Ω e Cx=0,33 µF.

V=6 Vf=1KHz

R1=200Ω

R2 =200Ω

C3 =0.2µF

DI1

I3

I2

I4

Zx

R3=500Ω

C2 =5µF

Problema 4.18- repita o problema 4.17, mas agora com Z1= 400ej0 Ω; Z2=300e-j40 Ω;

Z3=100e-j20.

Resolução

Tendo em conta que Z1Zx=Z2Z3, obtém-se Zx=(Z2Z3)/Z1=75e-j60, conclui-se que para este caso

a impedância continua a ser do tipo capacitivo onde Rx=37,5 Ω e Cx=15,4 µF.

Sites a Consultar

http://sound.westhost.com/pots.htm http://www.ece.drexel.edu/courses/ECE-E432/Lab2_Sources.html http://www.aslltd.co.uk/acvdc.htm http:// www.aslltd.co.uk/pdf/Acvdc.pdf http:// physics.ucsd.edu/~drs/Classwork/ 120A_Lab2_Week3_Spr_04.pdf – www.allaboutcircuits.com/vol_2/chpt_12/5.html - 27k