PORTADILLA matematicas 6 -...

Matemáticas

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MATEMÁTICAS6º grado

James R. Velasco MosqueraProfesor Universidad de Pamplona

Luis Ernesto Rojas MorantesProfesor Universidad de Pamplona

Yolanda Gallardo de ParadaProfesora Universidad de Pamplona

MINISTERIO DE EDUCACIÓN NACIONALCoordinación Pedagógica y Editorial

Hernando Gélvez SuárezSupervisor de Educación

Impresión:

Prohibida su reproducción totaly parcial sin autorización escrita delMinisterio de Educación Nacional MEN.

Derechos ReservadosDistribución gratuita

ISBN Colección 958-9488-56-0

ISBN Volumen 958-9488-65-X

CONTENIDO

LOS SISTEMAS NUMÉRICOS..............................................................................................1

LOS NÚMEROS NATURALES ..............................................................................................9

LA ADICIÓN DE NÚMEROS NATURALES .....................................................................20

SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS NATURALES .................................................................27

MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS NATURALES...........................................................32

DIVISIÓN DE NÚMEROS NATURALES ..........................................................................38

DIVISIBILIDAD ...................................................................................................................43

POTENCIACIÓN .................................................................................................................52

APRENDAMOS QUE ES LA LÓGICA................................................................................59

TRABAJEMOS CON CONJUNTOS ...................................................................................75

REALICEMOS OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS...................................................81

LA ESTADÍSTICA.................................................................................................................86

NÚMEROS FRACCIONARIOS...........................................................................................95

ESTUDIEMOS GEOMETRÍA ...........................................................................................113

MEDIR ................................................................................................................................125

PERPENDICULARIDAD Y PARALELISMO ....................................................................139

EL SISTEMA MÉTRICO DECIMAL .................................................................................143

POLÍGONOS ......................................................................................................................149

PRESENTACIÓN

El diagnóstico de la actual situación socioeconómica de las áreas rurales de Colombia presentaun panorama complejo. Se da por una parte, la creciente modernización tecnológica y empresarialdel agro donde la actividad económica tiende a organizarse bajo la forma de empresas modernasen el marco de la integración dependiente con la agroindustria y por otra parte se constata elprogresivo y creciente empobrecimiento de aquellos grupos de la población directamentevinculada a la producción agrícola tradicional.

Una de las necesidades insatisfechas es la de la educación, considerada como un elemento claveen cualquier estrategia que se proponga lograr un desarrollo rural equitativo. Se alude aquí,específicamente a la educación básica obligatoria establecida por la Constitución Política deColombia de 1991.

La actual Ley General de Educación define la educación básica “Como la educación primaria ysecundaria”; comprende nueve grados y se estructura en torno a un currículo común, conformadopor las áreas fundamentales del conocimiento y de la actividad humana, las cuales debencomprender por lo menos el 80% del plan de estudios. Los decretos reglamentarios de la LeyGeneral de la Educación se refieren a la educación básica en los siguientes términos:

• Es un proceso pedagógico que comprende nueve grados y debe organizarse de manerasecuenciada y articulada que permita el desarrollo de actividades pedagógicas, de formaciónintegral, que facilite la evaluación por logros y favorezca el avance y la permanencia del educandodentro del servicio educativo (Decreto 1860 del 94).

• A quienes hayan terminado satisfactoriamente los estudios de educación básica se les otorgaráun diploma mediante el cual se certifica la culminación del bachillerato básico, por el cual sepermite comprobar el cumplimiento de la obligación constitucional de la educación básica yhabilita al educando para ingresar a la educación media, al servicio especial de educaciónlaboral o al desempeño de actividades que exijan este grado de formación,

El Ministerio de Educación Nacional consciente de la responsabilidad que tiene frente a lapromoción de la educación para las zonas rurales, no ha ahorrado esfuerzos para presentarinnovaciones y estrategias para el desarrollo rural. Actualmente esta en marcha el proyecto deeducación rural “PER”, que tiene como objetivos: cobertura con calidad en el sector rural;capacidad de la gestión educativa fortalecida en las entidades territoriales; procesos de formaciónde las escuelas y comunidades para la convivencia y la paz, y una política para la educacióntécnica rural.

La Postprimaria rural como una opción de educación básica completa, enmarcada dentro delobjetivo de calidad y cobertura, surge a partir de innovaciones educativas vividas en la décadade los noventa que apuntaron especialmente, a la introducción de cambios en las metodologíasde aprendizaje, en las formas de organización escolar, en el diseño de materiales, en la evaluacióny promoción, en propuestas curriculares pertinentes al medio, mediante la implementación deproyectos institucionales de educación rural que garantizaran articulación secuencia ycontinuidad del servicio educativo.

La Postprimaria se puede considerar como una estrategia innovadora que integra educaciónformal, no formal e informal especialmente dirigida a los niños y niñas jóvenes en edad escolarpara ofrecerles mas grados en las escuelas rurales que hayan logrado el 5º de primaria y puedanampliar los grados hasta alcanzar la educación básica completa directamente o por conveniocon instituciones rurales organizadas por fusión o asociación, para lo cual se ha diseñado unconjunto de materiales curriculares o textos guías (del 6º al 9º grados) de apoyo para el autoaprendizaje y el aprendizaje cooperativo en las áreas obligatorias y fundamentales, en losproyectos pedagógicos y en los proyectos pedagógicos productivos.

La Universidad de Pamplona, dada su experiencia en el diseño de ese tipo de materiales fueresponsabilizada mediante convenio con el Ministerio de Educación Nacional para la producciónde dichos materiales, el énfasis está puesto en el funcionamiento de centros e institucioneseducativas de forma presencial y semipresencial, con calendarios, horarios, planes y programasflexibles, y adecuados a la realidad del medio.

En este sentido los materiales curriculares que se incluyen se ubican en la perspectiva de adoptarprocesos que contribuyan a generar acciones que aproximan la educación básica rural a larealidad vivida por los educandos y sus familias y abrir espacios de participación a través deldiseño de estrategias pedagógicas activas que ponen énfasis en su propia realidad y en la búsquedade soluciones a los problemas que los afectan.

La estructura curricular, adapta los contenidos a la realidad del medio, combinando en losmismos ciencia y tecnología, propiciando el desarrollo de estrategias curriculares que sitúen enla misma línea de objetivos la relación teoría-practica, en todas las áreas del conocimiento,orientándolas hacia el análisis y comprensión de los obstáculos que frenan el desarrollo y labúsqueda de soluciones a los problemas derivados de la producción e interacción comunitaria.

Los contenidos presentados en estos módulos, pueden ser trabajados en torno a ejes problemáticoso proyectos seleccionados a través de procesos participativos, que comprometan en su conjuntoa la comunidad educativa, con el fin de que se generen conocimientos socialmente útiles. Eldesarrollo de las temáticas deben ser seleccionadas según las necesidades y la realidad delmedio, especialmente en lo referente a las áreas optativas en las cuales se debe introducirinnovaciones por medio de la adaptación y selección de contenidos según las necesidades,realidades e intereses de las comunidades locales.

En relación con la metodología que identifica el diseño de los materiales, no se puede definiruna sola metodología o una única metodología, cada una de las áreas, de los proyectospedagógicos presenta o aplica su propio proceso o procesos metodológicos, el fin es buscar laproducción e interpretación de conocimientos adaptados a las necesidades básicas de aprendizaje,para luego contrastarlos con su practica cotidiana y con los factores que inciden en el desarrollode su comunidad, mediante la utilización de estrategias participativas de investigación y accióneducativa en la detección de problemas y desarrollo de proyectos.

Por último, el papel del educador como gestor y orientador de estos procesos, valorados desdesu actitud, sus dominios académicos, pedagógicos y de identidad con el medio en el cual labora,son definitivos para el desarrollo del programa de Postprimaria Rural como una alternativapara implantar la institución básica, reconociendo la capacidad del educando para generar yadaptar los contenidos a sus necesidades e intereses.

Los módulos curriculares aquí desarrollados son un medio para el aprendizaje, no un fin.

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NI DAD

•

UN IDAD

•1

• OBJETIVOSACTIVIDAD 1.

LOS SISTEMAS○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○

NUMÉRICOS

(Trabajo individual). Lectura

○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○

LOS INDÍGENAS TAMBIÉN CUENTAN

Una de las expresiones intelectuales más antiguas del hombre es la de contar y compararel número de elementos de ciertas colecciones de objetos. Esta característica nosdiferencia de los demás animales, a pesar de que algunos de ellos poseen “cierto sentido”para diferenciar conjuntos de hasta 3 ó 4 elementos.

Por otro lado la historia de la matemática nos enseña que cualquier grupo humano,llámese pueblo, civilización, tribu, etc., por más primitivo que sea posee sus propiaspalabras y símbolos, al igual que ciertas reglas de formación, para representar las ideasque sobre números ellos poseen. Así por ejemplo en nuestro país tribus como losTicunas en el Amazonas, los Motilones en el Norte de Santander, poseen solo palabraspara expresar los números, en cambio los Mayas en Centroamérica, además de palabrastienen símbolos para representar números. (Ver tabla de sistemas de numeración,Actividad 4).

Con el transcurrir del tiempo se fueron estableciendo símbolos y reglas de formacióny, fue así como a partir del siglo XVI, el sistema de numeración indo-arábigo o decimalterminó por imponerse en la mayoría de los países del mundo.

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POST

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El término indo-arábigo obedece a dos razones: la primera que se originó en la India yla segunda, el haber sido los árabes quienes durante su hegemonía expansionista lotrajeron de allí y lo impusieron en todos los pueblos que conquistaron. De esta manera,a través de España, el sistema se introdujo en Europa y se extendió por toda la tierra. Aeste sistema se le llama decimal porque su “base” es diez. Sin embargo existen sistemasen otras bases como por ejemplo el sistema binario o de base 2, que es el que usan loscomputadores en su memoria. Este sistema hace uso de dos números solamente: 0 y1. y sus tablas para la suma y la multiplicación son muy sencillas.

+ 0 1 * 0 1

0 0 1 0 0 0

1 1 10 1 0 1

• Comenta la lectura con tus compañeros.

ACTIVIDAD 2. (Trabajo en grupos)

Respondo las siguientes preguntas:

1. ¿Has oído hablar o has visto números diferentes a los indo-arábigos? ¿Cómo sellaman? Escribe 5 de estos números.

2. Ahora escribe estos 5 números en el sistema decimal. Compara sus escrituras yescribe tus conclusiones.

3. ¿Qué diferencia y qué semejanza encuentras cuando lees lo siguiente: 3, tres,three, III.?

4. Considera el número 4838. De izquierda a derecha, ¿qué representa el primer 8,el 3? ¿y el último 8?

5. ¿La expresión “valor posicional” te dice algo de matemáticas?• Comparemos las respuestas de cada uno: ¿Son iguales? ¿Difieren?• Aclaremos dudas.

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ACTIVIDAD 2.Fichas para introducir en las varillas

Varillas

Base de madera

ACTIVIDAD 3. (Trabajo en grupo)

○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○

Trabajemos con el Ábaco

El ábaco abierto es un instrumento de madera, muy sencillo en su forma y de fácilmanejo, pero con el que se puede construir conocimiento matemático que nos interesa.

Ábaco Abierto.

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➡

El Ábaco se utiliza para representar

○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○

Números:

Para representar números usando el ábaco, primero decidimos “de a cuántovamos a contar”. Ejemplo: si decidimos que vamos a contar “de a diez”, estosignifica que cada vez que se tenga 10 fichas en una varilla, éstas se pueden ydeben reemplazar por una ficha colocada en la varilla siguiente trabajando dederecha a izquierda, es decir:

10 unidades. 1 decena ó 1 diez.

10 fichas de la varilla 1 (figura de la izquierda) se reemplazan por 1 ficha de la

segunda varilla (figura de la derecha)

Ahora si decidimos contar “de a dos” tendríamos:

2 fichas de la varilla 1 representa lo mismo que 1 ficha de la varilla 2

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➡

➡ ➡

Si se desea representar 13 fichas en el ábaco y contar “de a diez” se procedeasí:

Leémos: 1 diez y tres unidades, es decir trece.

El número 328 en el ábaco se representa así:

Leémos: tres cienes, dos dieces y ocho unidades.O sea, 3x100, 2x10 y 8, es decir 328 = 3x100 + 2x10 + 8

= 3x102 + 2x10 + 8

Si en cambio queremos contar “de a 2”, veamos cómo representamos 7 fichas.

1 1 11 de 2 de 2 1 de 2 1 de 1

4 + 2 + 1

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➡ ➡

Es decir, si contamos “de a 2”, 7 fichas se representan como 111, o sea, 111 =1x22 + 1x21 + 1

• Comparemos 13 fichas representándolas en los casos anteriores. Hazlo entu ábaco.

13 = 1x10 + 3.

13 = 1 1 0 1 = 1x23 + 1x22 + 0x2 + 1, aquí decimos que trece en base dos, ylo representamos como 1101.

• Similarmente podemos contar “de a cinco” y para este caso 7 fichas serepresentan... Completa el gráfico, pero hazlo antes en tu ábaco.

• Ahora usando tu ábaco, ¿cómo representarías el número 23 contando “dea ocho” ?

• Analiza lo siguiente:

La base de un sistema de numeración corresponde al

número “de a cuántos vamos a contar”

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Si vamos a contar “de a ocho” la base es ocho, si en cambio vamos a contar“de a diez” la base es diez.

En casos anteriores veíamos que:

• En base 10:328 = 3x102 + 2x10 + 813 = 1x10 + 3

• En base 2:1101 = 1x23 + 1x22 + 0x2 + 110 = 1x2 + 0

Las expresiones ubicadas a la derecha del signo = en las 4 expresiones anterioresson representaciones polinómicas de esos números, es decir, se representa elmismo número pero de manera diferente algo así como cuando en vez deSantafé de Bogotá escribimos “la capital de Colombia”.

Ahora considera el número 1101 en base 2. El primer 1 encontrado de izquierdaa derecha representa 1x23 o sea ocho, el último 1 representa 1. ¿Qué representael segundo 1?

Luego dependiendo del lugar donde se encuentre el 1 en el número 1101, ésterepresenta valores diferentes. Cuando esto sucede, se dice que el sistema denumeración hace uso del principio del “valor posicional”.

¿Será que el sistema de numeración romano hace uso de este principio?

CONCLUYAMOS:

Un sistema de numeración es una colección de símbolos

junto a unas reglas de formación de nuevos símbolos, los

cuales nos sirven para representar números.

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POST

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ARI

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L

➣

⊥⊥

RETANDO

ACTIVIDAD 4. (Trabajo grupal)

Responde:1. ¿Por qué no usamos en nuestra sociedad el sistema en base 2 sabiendo que sólo

usamos el 1 y el 0?2. ¿Cómo serían las tablas de multiplicar en el sistema binario?3. Efectúa 1011 + 101 en base dos.4. Encuentra las expresiones polinómicas de dos números de dos cifras en base 3 y

dos números de tres cifras en base 7.

○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○

Sistemas de Numeración Escritos

SISTEMA NUMERALES BASE

INDO-ARÁBIGO 1 2 3 4 5 10 DIEZ

BABILÓNICO ¶ ¶¶ ¶¶¶ ¶¶¶¶ ¶¶¶¶¶ diez y sesenta

EGIPCIO I II III IIII IIIII ∩ DIEZ

GRIEGO I II III IIII Γ ∆ DIEZ

α β & δ ε ι

MAYA • •• ••• •••• - = VEINTE

CHINO - = ≡ ≡ ≡ ⊥ DIEZ

HINDÚ - = ≡ £ DIEZ

∧ 2 3 ϒ ∧•

BINARIO 1 10 11 100 101 1010 DOS

ROMANO I II III IV V X

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TRABAJEMOS EL SISTEMA

○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○

DE LOS NÚMEROS NATURALES

ACTIVIDAD 1. (Trabajo en grupo). Recordemos

• Responde a la siguiente pregunta basado en tu propia experiencia: ¿Cuáles fueronlos primeros conocimientos numéricos que tuviste? Es decir, cuándo empezaste acontar, cuáles fueron los primeros números que aprendiste, para qué utilizabas losnúmeros, ...

• Comentemos las respuestas y seleccionemos los tres primeros conocimientosnuméricos que son comunes en todos.

Leémos lo siguiente:

La historia de la matemática nos cuenta que los pueblos además de tener suspropios sistemas de numeración, también comerciaban, canjeaban artículos,hacían mediciones etc. Esto los condujo a desarrollar una aritmética elementalbasada en las operaciones de suma y resta esencialmente y en casos especialesla multiplicación y la división. Adicionalmente también tuvieron que establecerrelaciones de tipo cuantitativo (o sea utilizando números), para expresar hechosde la vida real como por ejemplo quién tenía más ovejas, o quién era más altoo más viejo, quién es menor que otro, o mayor que otro.

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Resumiendo podemos decir que en un momento dado de su historia, al conjuntode los números que le servía al hombre para contar y que se representa como:N = {1, 2, 3, 4, ...}, se le adhirieron operaciones y relaciones constituyéndose así loque hoy se denomina un sistema de numeración.

ACTIVIDAD 2. (Trabajo individual)

En tu cuaderno responde:

1. ¿Cuántos elementos tiene el conjunto formado por los alumnos de tu salón declase?

2. ¿Si cambiamos la ubicación de los alumnos dentro del salón de clase, el número deelementos del conjunto varía?

3. ¿Cuántos elementos aparecen en la siguiente gráfica?

<<<<<<<4. Dados los siguientes conjuntos A y B:

A = { Santander, Norte de Santander, Boyacá, Antioquia }

B = { Bucaramanga, Cúcuta, Tunja, Medellín }

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◆ ¿Cuántos elementos tiene el conjunto A?

◆ ¿Cuántos elementos tiene el conjunto B?

◆ ¿Se cumple que A es coordinable con B? ¿Por qué?

5. Dado el conjunto V = { a, e, i, o, u }. ¿Cuántos elementos tiene el conjuntoV?

6. Sea M el conjunto formado por las mujeres que han sido presidentes deColombia. ¿Cuántos elementos tiene M?

7. Sea N = { x/ x es la ciudad capital de Colombia}. ¿Cuántos elementostiene N?

8. Reúnete con otros dos compañeros para comparar y discutir las respuestasde los ejercicios anteriores.


En grupos de tres resolvemos los siguientes ejercicios:

1. Si dos conjuntos A y B son coordinables, ¿cómo es el número de elementos de Acon relación a B?

2. Sea R el conjunto formado por los meses del año.

• ¿Cuántos elementos tiene R?

• ¿Cuántos meses del año tienen menos de 30 días?

• ¿Cuántos meses del año tienen 30 días?

• ¿Cuántos meses del año tienen 31 días?

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POST

PRIM

ARI

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INFORMÉMONOS

Los expertos han llamado Cardinal de un conjunto al

número de elementos del conjunto.


Analicemos y respondamos:

• ¿Cuál es el cardinal de los siguientes conjuntos?

A = ::::::

B = (((((C = { x/x es un mes del año }

D = { x/x es un mes del año con 25 días }

E = { x/x es el Rector del Colegio }

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&&&

☺☺☺

CCC

««««

g g

g g

S SS S

u u

u u

l l

l l

♣ ♦ ♥ ♠

• Observemos los siguientes grupos de conjuntos.

GRUPO A

L = M = N =

GRUPO B

S = T = U =

V = V =

GRUPO C

O = P = Q = R =

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RESPONDEMOS:

• ¿Qué tienen en común los conjuntos del grupo A?

• ¿Qué tienen en común los conjuntos del grupo B?

• ¿Qué tienen en común los conjuntos del grupo C?

• ¿Cuántos conjuntos hay en el grupo A? ¿Cuál es el cardinal de cada unode estos conjuntos?

• ¿Cuántos conjuntos hay en el grupo B? ¿Cuál es el cardinal de cada unode estos conjuntos?

• ¿Cuántos conjuntos hay en el grupo C? ¿Cuál es el cardinal de cada unode estos conjuntos?

• ¿Cuáles de los anteriores conjuntos son coordinables?

• Discutamos sobre el cardinal de los conjuntos coordinables y saquemos unaconclusión.

CONCLUYAMOS

Los conjuntos coordinables poseen la propiedad de tener el mismo número deelementos, es decir tienen el mismo CARDINAL.

Con los números cardinales se forma el conjunto de los NÚMEROS NATURALES,se simboliza con IN y se definen por extensión así:

IN = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, ... }

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S 6º


Piensa y responde en tu cuaderno:

• ¿Para qué se usan los números naturales?

• ¿Puedo contar los libros que hay en este momento en mi salón de clase?

• ¿Cuántos libros hay?

• ¿Cuántas personas viven en tu casa?

• En un dado: ¿Cuántos conjuntos con puntos se pueden formar con las caras deldado? ¿Cuál es el cardinal de esos conjuntos?

• ¿Cuál es el cardinal de un conjunto vacío?

• Dado el natural 15, ¿puedes decir con exactitud qué número natural sigue?

• Dado el natural 2.018, ¿qué natural sigue?

• Si tengo el natural 9.099, ¿cuál natural sigue?

• Dado cualquier número natural, ¿se puede afirmar con exactitud qué natural es elque sigue?

• ¿Podrías terminar de enumerar los números naturales?

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L ACTIVIDAD 6. (Trabajo en grupo)

Conformamos grupos de trabajo.

• Comparemos las respuestas del anterior ejercicio, con las de nuestros compañeros.

• ¿Se parecen? ¿Se diferencian?

• Discutamos, hallemos quién tiene la razón.

• Escribamos los resultados de la discusión.

CONCLUYAMOS

El conjunto de los números naturales tiene las siguientes propiedades:

• Es utilizado para contar los elementos de un conjunto.

• El proceso de enumeración de sus elementos no termina, por lo tanto es unconjunto infinito.

• Dado un número natural cualquiera, se sabe con seguridad qué naturalsigue, por lo tanto es ORDENADO.


• Conformemos grupos de trabajo y tracemos una recta en el pizarrón, sobre ellamarquemos el número 0, a partir del cero ubiquemos el número 1 y con estamedida situemos los siguientes números así:

0 1 2 3 4 5

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• Observamos y respondemos:

◆ ¿El natural 3 está localizado a la izquierda o a la derecha del 4?

◆ El natural 3 que está ubicado a la izquierda del 4. ¿Es 3 menos que 4?

◆ ¿A qué lado del 5 está el 2?




◆ ¿A qué lado del cero está el 1, el 2, el 3, el 4, el 5?

• Representamos en la recta los siguientes números naturales:

a = 8; b = 6; c = 5 + 3

◆ ¿A qué lado de a está b?

◆ ¿A que lado de b está a?

◆ ¿Donde están ubicados los naturales a y c?

◆ El natural b está a la izquierda del natural a, ¿cómo es el natural b conrespecto de a?

◆ ¿Qué sucede cuando un natural b está a la izquierda de otro naturala?

◆ ¿Qué sucede cuando un natural a está a la izquierda de otro naturalb?

◆ ¿Qué sucede cuando un natural a está a la derecha de otro naturalb?

◆ Cuando el natural a está ubicado en la recta en el mismo lugar que elnatural c. ¿Qué sucede con a y c?

• Observamos y respondemos:

◆ ¿El natural 3 está localizado a la izquierda o a la derecha del 4?

◆ El natural 3 que está ubicado a la izquierda del 4. ¿Es 3 menos que 4?





◆ ¿A qué lado del cero está el 1, el 2, el 3, el 4, el 5?

• Representamos en la recta los siguientes números naturales:

a = 8; b = 6; c = 5 + 3

◆ ¿A qué lado de a está b?

◆ ¿A que lado de b está a?

◆ ¿Donde están ubicados los naturales a y c?

◆ El natural b está a la izquierda del natural a, ¿cómo es el natural b conrespecto de a?

◆ ¿Qué sucede cuando un natural b está a la izquierda de otro naturala?

◆ ¿Qué sucede cuando un natural a está a la izquierda de otro naturalb?

◆ ¿Qué sucede cuando un natural a está a la derecha de otro naturalb?

◆ Cuando el natural a está ubicado en la recta en el mismo lugar que elnatural c. ¿Qué sucede con a y c?

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• ¿Es posible encontrar naturales menores que 8? Escribamos algunos.

• ¿Encontremos un natural mayor que 6 y menor que 10.

• ¿Cuántos números naturales son mayores que 30 y menores que 40?

• Consideremos los siguientes naturales 21, 6, 8, 12, 45, 13, 50, 28, ordenémoslosen forma ascendente.

• Escribamos en el pizarrón los siguientes números:

2 5 5 2

14 30 30 14

21 3 3 21

4 1 1 4

7 10 10 7

• Completemos el cuadro anterior así:

2 es menor que 5 5 es mayor que 2

14 30 30 15

21 3 3 21

4 1 1 4

7 10 10 7

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◆ Borramos en el cuadro anterior las palabras “mayor que” y “menorque” y las reemplazamos por los símbolos > (mayor que) y < (menorque). ¿Es lo mismo 2 es menor que 5 que 5 es mayor que 2?

◆ Realizamos el ejercicio anterior con números diferentes.

CONCLUYAMOS

1. Dados dos números naturales cualesquiera a, b puede suceder una solade las siguientes relaciones:

a es igual a b ➝ a = b

a es menor que b ➝ a < b

a es mayor que b ➝ a > b

2. Si representamos un número natural sobre la recta, todos los naturales queestén a su derecha serán MAYORES que él, y todos aquellos que estén a suizquierda serán MENORES que él.

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LA ADICIÓN CON NÚMEROS NATURALES

ACTIVIDAD 1. (Trabajo individual). Repaso

• Diariamente vivimos situaciones como la siguiente: En la finca de Tomás hay dosgallineros, uno de ellos tiene 12 gallinas y el otro 9. Tomás desea saber cuántasgallinas tiene en total en su finca.

• Analiza y responde en tu cuaderno.

Si consideramos cada gallinero como un conjunto:

* ¿Cuál es el cardinal de cada conjunto?

* ¿Qué debemos hacer para saber cuántas gallinas hay en el conjunto total degallinas?

• Lée y analiza:

* La acción de agregar, en matemáticas se transforma en la operación llamadaADICIÓN.

* Si al cardinal del primer conjunto, que es un número natural, le sumamos elcardinal del segundo conjunto, que es otro número natural, obtenemos el car-dinal del conjunto total, que es otro número natural.

* El símbolo de la adición es +

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Símbolo de la adición ➝ + 9 } Sumandos

21 ➝ Resultado

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La adición de dos o números naturales cualquiera a y b se simboliza

así: a + b = c. Los elementos de la adición son los sumados a y b. El

resultado es C


Piensa y responde en tu cuaderno:

• Lanzar al azar dos dados. ¿Cuántos puntos obtengo en total en las caras superiores?

• Un obrero trabajó la semana pasada durante 4 días y en esta semana 5 días. ¿Cuántosdías trabajó en las dos semanas?

• Felipe tiene 6 hermanos, si dos de ellos son mayores que él. ¿Cuántos son menoresque Felipe?

• Supón que estás jugando a saber cuántos puntos tienes en total con el dominó.

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• • •• • •

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• • •• •

• •• •

• • •• •

• •• •• •

• • •• • •

•

• • •• •

• •• •

• • •• •

• •• •• •

¿Cuántos puntos tiene?




¿Qué puedes concluir de este ejercicio?

• Mi vecino Jorge tiene dos establos uno de 8 caballos y el otro con 6. Sidesea saber cuántos caballos tiene en total,

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S 6º

• •• •

• • •• • •

• •• • •• •

◆ ¿Qué operación debe efectuar?

◆ Si suma primero 8 y luego 6, ¿qué resultado obtiene?

◆ ¿Qué sucede si suma primero 6 y luego 8?

◆ ¿Son diferentes los resultados?

• Inés encontró 6 huevos en un nido y ninguno en el otro. ¿Cuántos huevoshay en total?

• ¿Cuántos puntos suman las siguientes fichas de dominó?

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POST

PRIM

ARI

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• Rosa tiene tres llaveros, el primero con 5 llaves, el segundo con 4 llaves y eltercero con 2 llaves. ¿Cuántas llaves tiene en total?

• Qué sucede si agrupamos los llaveros así:

• ¿Qué podemos concluir en los dos casos anteriores?

PONGAMOS EN COMÚN LO TRABAJADO


Conformemos grupos de trabajo:

• Comparemos las respuestas de los ejercicios anteriores.

• Discutamos. ¿Son iguales?, ¿difieren?, ¿en qué?

• Discutamos y obtengamos conclusiones sobre:

• ¿Qué clase de números obtenemos cuando sumamos dos números naturales?

• ¿Qué sucede cuando cambiamos el orden de los sumandos?

• ¿Qué sucede cuando a un natural cualquiera le adicionamos el natural 0?

• ¿De cuántas maneras podemos adicionar tres sumandos?

25

MA

TEM

ÁTI

CA

S 6º

CONCLUYAMOS

La adición entre números naturales cumple las siguientes propiedades.

1. La adición de dos números naturales es otro número natural. PropiedadCLAUSURATIVA.

2. El orden de los números no altera la adición. Propiedad CONMUTATIVA.

3. Todo número natural adicionado con el cero (0) da el mismo número natu-ral. Propiedad MODULATIVA.

4. Para adicionar tres sumandos podemos agruparlos de diferentes formas yefectuar las sumas parciales sin que el resultado total varíe. PropiedadASOCIATIVA.

PRACTIQUEMOS


En tu cuaderno:

1. ¿Para qué valor de x se cumple que:

x + 12 = 17?

8 + x = 20?

7 + x = 7?

x + 11 = 11?

(5+x) + 3 = 10?

13 + 17 = x ?

26

POST

PRIM

ARI

A R

URA

L

2. Un agricultor recogió la cosecha de papa en una semana así: el lunes 23 bultos, elmartes 36 bultos, el miércoles 17 bultos, el jueves 19 bultos, el viernes 18 bultos yel sábado 21 bultos. ¿Cuántos bultos de papa recogió en total?

3. Completa el siguiente cuadro en tu cuaderno con los números naturalescorrespondientes.

SUMANDOS TOTAL

8 2 0

9 1 20

0 5 12

7 6 18

4. Completa el siguiente cuadro en tu cuaderno de tal forma que en la dia-gonalaparezcan las adiciones correspondientes.

a b c a + b + c

a 5 8 3

b 8 16

c 3 6

a+b+c

27

MA

TEM

ÁTI

CA

S 6º

○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○

SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS NATURALES

ACTIVIDAD 1. (Trabajo individual) ¿Recuerdas?

• Supón que en la finca de tu vecino se recogieron ayer 9 bultos de naranja y sellevaron a la ciudad 7 de ellos para venderlos. ¿Cuántos bultos de naranja lequedaron al vecino?

Responde:

◆ ¿Cuántos bultos de naranja tenía inicialmente?

◆ ¿Cuántos bultos de naranja vendió?

◆ ¿Cuántos bultos le quedan en la finca?

◆ Si sumas el número de bultos que vendió con el número de bultos que lequedan en la finca, ¿cuántos bultos obtiene en total?

◆ ¿Cuanto le falta a 7 para ser igual a 9?

◆ ¿Cuánto le falta a 2 para ser igual a 7?

Lo anterior se puede expresar así: 7 + 2 = 92 + 7 = 9

Si 2 + 7 = 9, entonces 9 - 2 = 79 - 7 = 2

◆ ¿Qué clase de número es el 7?

28

POST

PRIM

ARI

A R

URA

L

• Analiza la siguiente conclusión:

La operación inversa de la adición de números naturales es la SUSTRACCIÓN,luego si a + b = c, entonces c - a = b. Al número natural c se llama MINUENDO,al natural a SUSTRAENDO y al natural b DIFERENCIA.

En el caso anterior:

9 - 2 = 7Minuendo Sustracción Diferencia

El signo de la SUSTRACCIÓN: - (Se llama menos)


Nos reunimos en grupos y realizamos los siguientes ejercicios:

1. Si a, b, c son números naturales definidos así: a = 8; b = 15; c = 3; realizamoslas siguientes sustracciones:

a) a - c

b) b - a

c) b - c

d) a - b

¿Algún problema?

• Analiza la siguiente conclusión:

La operación inversa de la adición de números naturales es la SUSTRACCIÓN,luego si a + b = c, entonces c - a = b. Al número natural c se llama MINUENDO,al natural a SUSTRAENDO y al natural b DIFERENCIA.

En el caso anterior:

9 - 2 = 7Minuendo Sustracción Diferencia

El signo de la SUSTRACCIÓN: - (Se llama menos)


Nos reunimos en grupos y realizamos los siguientes ejercicios:

1. Si a, b, c son números naturales definidos así: a = 8; b = 15; c = 3; realizamoslas siguientes sustracciones:

a) a - c

b) b - a

c) b - c

d) a - b

¿Algún problema?

29

MA

TEM

ÁTI

CA

S 6º

2. ¿Cómo debe ser el minuendo comparado con el sustraendo para poder efectuar ladiferencia?

3. ¿Cuánto le falta al natural 8 para se igual al natural 15?

4. Realicemos las siguientes operaciones:

15 - 8 8 - 15

13 - 7 7 - 13

14 - 9 9 - 14

16 - 6 6 - 16

* ¿Qué conclusión podemos sacar de este ejercicio?

* ¿Es la sustracción una operación que cumple la propiedad conmutativa?

5. Realizamos las siguientes operaciones:

a) 9 - (4 - 3) = 9 - 1 = 8

b) 18 - (8 - 6) = ?

c) 14 - (7 - 2) = ?

6. Realizamos las siguientes operaciones:

a) (9 - 4) - 3 = ?

b) (18 - 8) - 6 = ?

c) (14 - 7) - 2 = ?

* Comparemos los resultados de los ejercicios 5 y 6.

* ¿Qué conclusión podemos sacar?

* ¿Cumple la sustracción con la propiedad asociativa?

30

POST

PRIM

ARI

A R

URA

L

7. Realizamos las siguientes sustracciones:

6 - 0 0 - 6

7 - 0 0 - 7

¿Qué podemos concluir de la diferencia con respecto a la propiedad modulativa?

8. Analicemos la siguiente conclusión:

La diferencia entre números naturales no cumple con las propiedades clausurativa,conmutativa, asociativa y modulativa.


Resuelve los siguientes problemas:

1. Juan va al mercado y compra un kilo de papa que le cuesta $30, un kilo de carnepor $2.600, una libra de arroz por $300 y fruta por $250. Si llevaba en su cartera$4.500. ¿Cuánto dinero le sobró?

2. En una escuela hay matriculados 25 alumnos en primer grado, 36 en segundogrado, 12 en tercero, 24 en cuarto grado. Si la escuela tiene en total 132 alumnosen los cinco grados, ¿cuántos alumnos hay en quinto grado?

3. Nos reunimos en grupos y comparamos las respuestas con los anteriores ejercicios.Corregimos los errores.

31

MA

TEM

ÁTI

CA

S 6º

CONCURSO


Para trabajar en el cuaderno.

Colocar en cada círculo uno de los números de 1 a 12. No se puede repetir ninguno.La suma de los números que resulten en cada lado del triángulo debe ser la misma.

32

POST

PRIM

ARI

A R

URA

L

Columna 1

Fila 1➪

➪

Columna 1

Fila 1➪

➪

MULTIPLICACIÓN DE LOS

○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○

NÚMEROS NATURALES


Realiza en tu cuaderno lo siguiente:• Toma un hoja de papel. Dóblala de manera que queden, bien 4 filas y 8 columnas

o bien 8 filas y 4 columnas así:

33

MA

TEM

ÁTI

CA

S 6º

• Responde las siguientes preguntas:

◆ ¿En cuántas partes queda dividido el papel?

◆ ¿Cuántos cuadrados tiene cada columna?

◆ ¿Cuántos cuadrados tiene cada fila?

◆ ¿Cuánto es 8 veces 4?, es decir, 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4

◆ ¿Cuánto es 4 veces 8?, es decir, 8 + 8 + 8 + 8.

◆ ¿Cómo se escribe abreviadamente 4 veces 8?, 8 veces 4?

◆ ¿Qué resultado se obtiene?

• Recuerda:

La operación, que es una suma abreviada de sumandos iguales, se llamaMULTIPLICACIÓN.

La multiplicación entre dos números naturales a y b, se simboliza así:

a • b ó a x b, 8 veces 4 = 8 x 4

El punto y el signo x indican multiplicación. Cada término que interviene en laoperación se llama FACTOR. El número que se repite se llama MULTIPLICANDO yel número de veces que el sumando se repite se llama MULTIPLICADOR.

8 x 4 = 32

Multiplicando Multiplicador Producto

Factores

34

POST

PRIM

ARI

A R

URA

L

Analicemos las Propiedades

○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○

de la Multiplicación


Conformamos grupos, realizamos las siguientes operaciones y sacamos conclusiones.

• Respondamos en el cuaderno:

2 x 5 = 10

3 x 4 = 12

8 x 7 = 56

¿Qué clase de número es el producto de dos números naturales?

• En el cuaderno realizamos las siguientes multiplicaciones:

8 x 4 = ? 3 X 7 = ? 9 x 4 = ?

4 x 8 = ? 7 x 3 = ? 4 x 9 = ?

5 x 1 = ?

1 x 5 = ? ¿Qué podemos concluir?

¿Qué clase de números son el 2 y el 5?

¿Qué clase de número es el 10?





35

MA

TEM

ÁTI

CA

S 6º

••••••

• En el cuaderno realizamos las siguientes multiplicaciones:

(4 x 2) x 3 = ? (3 x 2) x 5 = ?

4 x (2 x 3) = ? 3 x (2 x 5) = ?

(6 x 2) x 3 = ? (3 x 4) x 3 = ?

6 x (2 x 3) = ? 3 x (4 x 3) = ?

¿Qué conclusiones podemos sacar?

• En el cuaderno. Contemos los puntos.

• • • • • • 6 veces 1 = 6

1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1

6 x 1 = 6

Una vez seis

1 x 6 = ?

• ¿Qué conclusión podemos sacar?

36

POST

PRIM

ARI

A R

URA

L

¿Qué pasa cuando uno de losfactores es 1?

6 x 1 = ?¿Cuánto es 1 x 6 = ?

7 x 1 = ?

1 x 7 = ?

4 x 1 = ?

1 x 4 = ?

• En el cuaderno realicemos las siguientes operaciones:

2 x (3 + 5) (2 x 3) + (2 x 5)

Comparemos los resultados.

3 x (7 + 2) (3 x 7) + (3 x 2)


4 x (2 + 6) (4 x 2) + (4 + 6)


¿Qué conclusión podemos sacar?

• Representemos gráficamente en una cuadrícula en la cual el primer natu-ral indica las filas:

a) 2 x (3 + 4)

b) (2 x 3) + (2 x 4)

Comparemos los resultados: ¿Qué conclusión sacamos?

37

MA

TEM

ÁTI

CA

S 6º

CONCLUYAMOS

La multiplicación entre números naturales cumple las siguientes propiedades:

1. La multiplicación de dos números naturales es otro número natural.Propiedad CLAUSURATIVA.

2. El orden de los factores no altera el producto. Propiedad CONMUTATIVA.

3. Para multiplicar tres factores podemos agruparlos de diferentes formas yefectuar los productos parciales sin que el producto final varíe. PropiedadASOCIATIVA.

4. La multiplicación de cualquier número natural por 1, da como resultado elmismo número natural. Propiedad MODULATIVA. (El módulo del productoes el 1).

5. El producto de un número natural por una adición de dos números natu-rales es igual al producto de dicho número por cada uno de los sumandos.Propiedad DISTRIBUTIVA.

38

POST

PRIM

ARI

A R

URA

L

○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○

DIVISIÓN DE NÚMEROS NATURALES


• Conformemos grupos de trabajo, realicemos los ejercicios planteados y obtengamosconclusiones.

◆ ¿Qué número multiplicado por 8 da 24?

◆ ¿Cuántas veces debo sumar 5 para obtener 20?

◆ Ricardo compró 6 lápices en $600. ¿Cuánto le costó cada lápiz?

◆ En un costal puedo meter 4 conejos. Si tengo 36 conejos. ¿Cuántos costalesnecesito?

◆ ¿En una multiplicación cuántos números naturales intervienen como mínimo?¿Cómo se llaman?

• En el cuaderno completamos los espacios.

7 x 3 = 6 x 4 = 9 x 5 =

7 x = 21 6 x = 24 x 5 = 45

21 = 3 x x 4 = 24 9 x = 45

39

MA

TEM

ÁTI

CA

S 6º

CONCLUYAMOS

La operación inversa respecto a la multiplicación se llama DIVISIÓN.Si se conoce el producto de dos factores y uno de esos mismos factores, sepuede hallar por medio de la división el otro factor. El signo de la división es ÷

Simbólicamente: Si a, b, c son números naturales tales que:

a x b = c, entonces, c ÷ a = bc ÷ b = a

En una división exacta los términos son: dividendo, divisor, cociente.

x ÷ y = zDividendo Divisor Cociente

Otras formas de escribir x ÷ y = z son:


Analiza si los siguientes enunciados son falsos o verdaderos. Justifica tu respuesta, si esfalso da un contraejemplo.

1. La división de dos números naturales es siempre otro número natural.

2. La división de dos números naturales cumple la propiedad conmutativa.

3. La división de números naturales cumple la propiedad asociativa.

4. La división de números naturales cumple la propiedad modulativa.

5. La división de números naturales cumple la propiedad distributiva respecto a lasuma.

x

y= z ,

x y

z

40

POST

PRIM

ARI

A R

URA

L


• Discutimos el ejercicio anterior. Comparamos las respuestas. Obtenemosconclusiones sobre las propiedades que cumple la DIVISIÓN.

• Realizamos los siguientes ejercicios:

◆ Pedro dispone de $940 para comprar cuadernos. Si cada cuaderno vale $300.¿Cuántos cuadernos puede comprar? ¿Cuánto dinero le sobra? ¿Cuánto es: (3x 300) + 40?

◆ 34 ÷ 5 = ? (6 x 5) + 4 = ?

26 ÷ 6 = ? (4 x 6) + 2 = ?

47 ÷ 8 = ? (5 x 8) + 7 = ?

70 ÷ 8 = ? (8 x 8) + 6 = ?

¿Qué conclusión podemos sacar?

EVALUEMOS LO APRENDIDO


Realiza los siguientes ejercicios:

1. Luisa tiene 15 docenas de naranjas para empacarlas en cajas donde sólo caben 20naranjas, ¿Cuántas cajas necesita para empacar todas las naranjas?

2. Juanito tenía una alcancía donde sólo ahorraba monedas de $100. El día que laabrió contó 325 monedas. ¿Cuánto dinero tenía ahorrado?

41

MA

TEM

ÁTI

CA

S 6º

÷

÷

÷

3. En el cuaderno completa el siguiente cuadro:

x 3 5 9 8

2 10

1 8

0

¿Qué propiedades de la multiplicación de números naturales aplicas?

4. En el cuaderno realiza las siguientes operaciones siguiendo el sentido de la flecha.

5. A un almacén llegó el siguiente pedido:

19 docenas de camisas a $6.500 cada camisa.

53 pares de medias a $1.680 cada par.

13 docenas de sombreros a $4.500 cada sombrero.

33 docenas de pantalones a $18.600 cada pantalón.

42

POST

PRIM

ARI

A R

URA

L

* Halla:

a) El total de camisas.

b) Total de sombreros.

c) Total de pantalones.

d) Valor total de la compra.

* Si en la venta de cada artículo se gana lo siguiente:

Por cada camisa $300.

Por cada par de medias $50.

Por cada sombrero $430.

Por cada pantalón $280.

¿Cuál es el valor total de la ganancia?

6. En el cuaderno completa las siguientes tablas:

MULTIPLICANDO MULTIPLICADOR PRODUCTO

23 35

12 216

26 234

DIVIDENDO DIVISOR COCIENTE

450 9

3 29

132 12

• Reúnete con otros dos compañeros y discute el anterior ejercicio. ¿En quéestán de acuerdo?, en qué en desacuerdo? Revisen nuevamente losejercicios y obtengan conclusiones.

43

MA

TEM

ÁTI

CA

S 6º

○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○

DIVISIBILIDAD


* Reúnete con unos compañeros y completa en el cuaderno los siguientes árboles yresponde las preguntas.

ARBOL DEL 2

¿Los números de los círculos en elárbol del 2, de dónde resultan?, ¿sepuede dividir por 2 exactamente?

ÁRBOL DEL 3

¿Los números de los círculos, dedónde resultan?, ¿se pueden dividirpor 3 exactamente?

2

x

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2 4 ? ? ? ? ? ? ? ?

3

x

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

3 6 ? ? ? ? ? ? ? ?

44

POST

PRIM

ARI

A R

URA

L

4

x

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

4 8 ? ? ? ? ? ? ? ?

ÁRBOL DEL 4

¿Los números de los círculos, dedónde resultan?, ¿se pueden dividirpor 4 exactamente?

• Elaboremos los árboles del 5, 6, 7, 8 y 9.

ANALICEMOS

• Los números que resultan en los círculos, en el árbol del 2, se llaman MÚLTIPLOSde 2.



• Los múltiplos de 2 se pueden dividir por 2 exactamente.



¿Podríamos decir lo mismo de los árboles del 5, 6, 7, 8 y 9?

45

MA

TEM

ÁTI

CA

S 6º


INFÓRMATE

Cuando un número divide a otro exactamente, se dice:

éste es divisible por él.

ejemplo: 10 es divisible por 2 porque 10 ÷ 2 = 5

• Realiza en tu cuaderno los siguientes ejercicios.

◆ ¿24 es divisible por 2? ¿Por qué? ¿El 24 termina en número par oimpar?

◆ ¿20 es divisible por 2? ¿Por qué? ¿El 20 termina en par o impar?

◆ Un número es divisible por 2 si termina en cero o en cifra par. ¿Estás deacuerdo? ¿Puedes buscar ejemplos que contradigan?

◆ ¿18 es divisible por 3? ¿Por qué? ¿Cuánto es 1+8? ¿Es 9 divisible por3?

◆ ¿24 es divisible por 3? ¿Por qué? ¿Cuánto es 2+4? ¿Es 6 divisible por3?

◆ En general, ¿cuándo un número es divisible por 3? ¿Puedes buscar otrosejemplos?

◆ ¿125 es divisible por 5? ¿Por qué? ¿En qué número termina 125?

◆ ¿150 es divisible por 5? ¿Por qué? ¿En qué número termina 150?

◆ En general, ¿cuándo un número es divisible por 5?

◆ Escribe los divisores de 30, 25, 17, 27, 10, 7 y 13.

46

POST

PRIM

ARI

A R

URA

L

30

Ejemplo:

5 30 ÷ 5 = 6

6 30 ÷ 6 = 5

15 30 ÷ 15 = 2

2 30 ÷ 2 = 15

1 30 ÷ 1 = 30

30 30 ÷ 30 = 1

• Compara tus respuestas con las de tus compañeros.

INFÓRMATE

Un número es divisible por otro cuando su división es exacta. Constantementenecesitamos saber cuándo un número es divisible por otro.

Cuando un número sólo admite dos divisores que son él mismo y el 1, se llamaPRIMO. El 1 no se considera número primo.

• Copia los números de 1 a 50 en tu cuaderno y encierra con un círculo losnúmeros primos.

La siguiente tabla resume algunos criterios de divisibilidad. Cópiala en tucuaderno y completa:

47

MA

TEM

ÁTI

CA

S 6º

DIVISIBILIDAD EJEMPLOS

POR 2 12, 20, ...

Un número es divisible por 2,

cuando su última cifra es cero o par.

POR 3


cuando la suma de sus cifras

es un múltiplo de 3.

POR 4

Un número es divisible por

4, cuando sus dos últimas cifras

son ceros o múltiplos de 4.

POR 5

Un número es divisible

por 5, cuando termina en cero o en 5.

POR 6


cuando es divisible por 2 y por 3 al

mismo tiempo.

POR 10

Un número es divisible por 10

cuando termina en cero.

48

POST

PRIM

ARI

A R

URA

L


• Analicemos los ejercicios, discutamos las respuestas y obtengamos conclusiones.

Descompongamos en factores primos los números 12, 18 y 24. Ejemplo:

12 2 ← (12 ÷ 2 = 6)

6 2 ← (6 ÷ 2 = 3)

3 3 ← (3 ÷ 3 = 1)

12 = 2 x 2 x 3

2. En tu cuaderno completa la siguiente tabla:

NÚMERO DIVISORES

12 1, 2, 3, 4, 6, 12

18

24

3. ¿Cuáles divisores son comunes a 12 y a 18?

4. ¿Cuáles divisores son comunes a 12, 18 y 24?

5. ¿Cuál es el MAYOR divisor común de 12, 18 y 24?

INFÓRMATE

Los expertos han llamado el mayor de los divisores comunes de dos o másnúmeros MÁXIMO COMÚN DIVISOR, y lo simbolizan así: (m.c.d.).

• Verifica con tus compañeros, ¿cuál es el máximo común divisor de 12, 18 y54?

49

MA

TEM

ÁTI

CA

S 6º


Analizamos la siguiente situación:

1. Dos empleados encargados de vigilar una finca deciden revisarla recorriéndola acaballo. El primero tarda 5 minutos en dar la vuelta; el segundo 3 minutos en daruna vuelta. Si parten del mismo punto, ¿cuántos minutos deben transcurrir paraque se encuentren de nuevo en el punto de partida si continúan dando vueltas a lafinca? Construye un esquema que represente la situación.

2. Consideremos los números 12 y 18. Construyamos en el cuaderno 6 múltiplos deestos dos números. Encerremos en un círculo rojo los múltiplos comunes de 12 y18, señala con una cruz (x) el menor de los múltiplos comunes.

3. Escribamos nuevamente los números 12 y 18 como producto de números primos.

12 = 2 x 2 x 3 x 1 = 22 x 3 x 1

18 = 2 x 3 x 3 x 1 = 2 x 32 x 1

* Seleccionemos los factores comunes con su mayor exponente y los no comunestomados una sola vez.

* Efectuemos el producto de los factores seleccionados.

* Comparemos este resultado con el menor de los múltiplos comunes de 12 y18:

* ¿Qué podemos concluir?

50

POST

PRIM

ARI

A R

URA

L

INFORMÉMONOS

Los expertos han llamado el menor de los múltiplos comunes de dos o másnúmeros MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO, y lo simbolizan (m.c.m.).

Verifica con tus compañeros si el mínimo común múltiplo de 12 y 18 es 36.

EJERCITÉMONOS


En tu cuaderno:

1. Considera los números 8, 10 y 24.

a) Descompónlos en factores primos.

b) Encuentra los divisores comunes a 8, 10 y 24.

c) ¿Cuál es el mayor de los divisores comunes?

d) ¿Cómo han llamado los expertos este número que es el MAYOR de los divisorescomunes?

e) Encuentra múltiplos de 8, 10 y 24.

f ) Selecciona los múltiplos comunes.

g) Selecciona el menor de los múltiplos comunes.

h) ¿Cómo han llamado los expertos a este número que es el MENOR de los múltiploscomunes?

51

MA

TEM

ÁTI

CA

S 6º

2. El padre de mi vecino compró un lote que tiene forma rectangular de 60 metrosde largo y 36 metros de ancho. Él quiere dividir el lote en 36 lotes más pequeños.¿Cuáles deben ser las máximas dimensiones de cada uno de esos lotes, si quiereque todos los lotes sean iguales?

36 m

60 m

3. En un almacén se compraron 3 piezas de tela. La primera tiene 72 metros, lasegunda 48 metros y la tercera 96 metros. Se quiere obtener pedazos de telaiguales y de mayor longitud posible para no desperdiciar la tela. ¿Cuál ha de ser lalongitud de cada pedazo de tela? Cuántos pedazos de tela resultan de cada pieza?

Reúnete con dos compañeros más y discutan elejercicio anterior.

• ¿En qué están de acuerdo?

• ¿Cuáles son las diferencias?

• Apóyense en el profesor y obtengan conclusiones.

52

POST

PRIM

ARI

A R

URA

L

○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○

POTENCIACIÓN


1. Observa la siguiente figura geométrica:

¿Cuántos cuadrados tiene?

¿Cuántos cuadrados tiene la base?

¿Cuántos cuadrados tiene en la altura?

2. El número de cuadrados se puede obtener multiplicando 4 x 4 Abreviadamente4 x 4 = 42 = 16

INFÓRMATE

Para evitar escribir el mismo número como factor varias veces, los expertosidearon una nueva operación que llamaron POTENCIACIÓN.

Si a es un número natural, an significa repetir n veces a.

an = a x a x a x a x ... x a

n-veces

53

MA

TEM

ÁTI

CA

S 6º

➝

➝

➝

Exponente

an = b ➝ potencia

Base

Por definición a0 = 1, donde a1-1 = a0; y a1/a1 = 1

PRÁCTICA

• ¿Qué significado tienen las expresiones: 53, 35?

• Halla la base, el exponente y la potencia en cada uno de los siguientesejercicios: 24, 31, 26, 40, 103

• Representa gráficamente: 32 y 23

• En el cuaderno completa el siguiente cuadro.

EXPONENTE➝ 0 1 2 3 4BASE

0 0

1 1

2 1

3

• Descomponer el número 16 de diferentes formas, utilizando potencias.

• ¿A qué potencia debo elevar el 3 para obtener 81?

• ¿A qué potencia debo elevar el 2 para obtener 32?

54

POST

PRIM

ARI

A R

URA

L

• ¿A qué potencia debo elevar el 10 para obtener 1.000?

• ¿Qué valor de a hace que a2 = 36?

• ¿Qué valor de b hace que b3 = 8?

INFÓRMATE

La operación inversa de la potenciación que nos permite hallar la baseconociendo el exponente y la potencia, se llama RADICACIÓN. Cuyo símbolo

es: , y quiere decir que:

Si ab = c, entonces, c = ab

EJERCITÉMONOS


• En el cuaderno escribe el número correspondiente para cada operación.

62 = ➮ 36 =2

43 = ➮ 64 =3

55

MA

TEM

ÁTI

CA

S 6º

24 = ➮ 16 =4

102 = ➮ 100 =

103 = ➮ 1000 =3

81 =4 ➮ 34 =

32 =5 ➮ 25 =

3? = 27 ➮ 27 =3

5? = 25 ➮ 25 =2

10? = 100 ➮ 100 =2

3? = 81 ➮ 81 =4


• Analicemos el anterior ejercicio. Confrontemos respuestas y discutamos lasafirmaciones.

56

POST

PRIM

ARI

A R

URA

L

• Efectuar las siguientes operaciones:

a) 32 + 42 e) 8

8

3

2

b) (2 + 5)3 f)10

10

3

4

x 102

c) (3 + 2)4 g)8

2

2

3

x 8 x 80

d) 42 x 43 x 40 h)

9 32

2 3

2

−

INFORMÉMONOS

La operación inversa de la potenciación que consiste en hallar el exponenteconocidas la base y la potencia, se llama LOGARITMACIÓN.

Su símbolo es loga y se lee “logaritmo en base a de....”, y quiere decir que:

Si ab = c, entonces loga c = b.

EVALUEMOS LO APRENDIDO

• Analicemos el siguiente ejercicio:Encontremos el valor de la incógnita a.

23 = a, a = ? Puesto que: a = 23

log2 a = 3

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S 6º

25 = a, a = ? Puesto que: a = 25

log2 a = 5

• Completemos en el cuaderno el siguiente ejercicio:

32 = ? 9 = ?2

log3 9 = ?

• Escribamos en el cuaderno las siguientes dos columnas de datos y tracemosuna flecha que una la expresión con el resultado respectivo.

log2 64 2

1253 1

log3 81 5

100004 . 6

log10 100 10

16 343

73 4

• En cada segundo, el número de bacterias en un determinado proceso setriplica. Si de este tipo de bacterias inicialmente se tienen 3 en un tubo deensayo, ¿cuántas bacterias se tendrán al cabo de 5 segundos?

58

POST

PRIM

ARI

A R

URA

L

• Realiza los siguientes ejercicios:

a) 52 d) 4 x 64

b) 463 e) 9 x 4

24

c) 64

8

3

3

• Simplifica las siguientes expresiones. Para tal fin:

a) Descompón la cantidad subradical en factores primos.

b Aplica la propiedad que dice: m = mpp

Ejemplo: 814

81 3

27 3 81 = 34

9 3

3 3

1

Luego: 81 = 3 = 34 44

1) 273 4) 3433

2) 325 5) 256

3) 2564 6) 1.0003

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TEM

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S 6º

U

NI DAD

•

UN IDAD

•2APRENDAMOSQUE ES LA○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○

LÓGICA

INFORMÉMONOS


Lee lo siguiente:

○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○

HISTORIA DE LA LÓGICA

Aristóteles el gran filósofo griego nacido en Estagira, fue el iniciador de la lógicaal conseguir sistematizar los procesos de razonamiento en un número reducidode reglas independientes del significado particular de las proposiciones queconforman el tema discutido.

Así se considera la lógica como el arte de guiar correctamente a la razón en elconocimiento de las cosas.

Como en otras disciplinas del saber, la influencia de Aristóteles permanecióinalterada hasta el siglo XVII, época en la que el filósofo y matemático alemánLeibnitz desarrolla la lógica simbólica y propone un lenguaje científico universalcomúnmente llamado “Característica Universal” y un cálculo de razonamientopara la manipulación de aquel lenguaje. Pero este programa de Leibnitz nollegó a feliz término.Sin embargo en 1847 el inglés George Boole crea el “álgebra booleana”, lacual es la base para el posterior desarrollo de la lógica. Es así que en una obra

60

POST

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L

se consigue por primera vez un cálculo manejable y completo aplicando enforma sistemática operaciones de tipo matemático a la lógica.

Como en muchos otros pasajes de la historia de la ciencia, la obra de Boole nofue reconocida en su época al no recibir buena aceptación, y no fue hastaque Bertrand Russell y Alfred Whitehead utilizaron la lógica simbólica en su obra“Principia Mathematica”, que el mundo de la matemática dio importancia alas ideas propuestas por Leibnitz alrededor de 250 años antes.

Para cualquier persona es importante comunicarse de una manera inteligentecon los demás por lo cual se hace necesario adquirir capacidad para analizarlos argumentos de los otros. Es así que la lógica es una parte importante delmundo que nos rodea y ahora veremos cómo podemos ser más lógicos, esdecir darle sentido a expresiones como: “Eso es lógico”, “necesariamente...”, o“es suficiente que ...”, etcétera.


Lee el siguiente texto:

Juan estudia en la escuela Cariongo del municipio de Pamplona, llega a las ocho de lamañana, saluda a los profesores y compañeros.

Está establecido que los dos primeros alumnos en llegar al salón de clase, deben colocarleagua a las matas.

Después de su llegada Juan se sienta y se alista a iniciar sus clases.

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S 6º

ACTIVIDAD 2.

Cuando el profesor llega al salón hace las siguientes preguntas:

- ¿Quién fue el primer alumno en llegar?

- ¿Cuál de mis alumnos no ha saludado?

- ¿Cuáles alumnos trajeron el equipo de deporte?

• En el anterior texto busca lo siguiente:

1. Tres expresiones que puedan ser verdaderas.

2. Tres expresiones que puedan ser falsas.

3. Dos expresiones de las cuales se pueda decir que no son ni verdaderas, ni falsas.

En grupo:

Reúnete con otros dos compañeros y discute la verdad o falsedad de cadauna de las expresiones que sacaste del texto anterior.

Junto a tus otros dos compañeros analiza la verdad o falsedad de las siguientesexpresiones:

1. ¿Cuál fue el primer alumno en llegar?

2. ¿Cuál de mis alumnos no ha saludado?

3. ¿Cuáles alumnos trajeron el equipo de deporte?

4. ¡Oh Dios mío!

5. ¿Pensarás en mí?

6. La vaca es un cuadrilátero.

7. Colón descubrió América.

8. Santafé de Bogotá es la capital de Colombia.

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POST

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URA

L

INFORMÉMONOS

En lógica, a estas expresiones o enunciados de los que podemos decir, que sonverdaderos o falsos ( pero no ambos a la vez ) se les llama proposicionessimples.

A la verdad o falsedad de una proposición simple se le llama valor de verdadde la proposición , generalmente usamos las letras p, q, r... para representarproposiciones.


Analiza las siguientes expresiones usadas en ellenguaje diario:

1. Voy a la ciudad y compro semillas para sembrar.

2. Si mañana no llueve, entonces llevo al niño al puesto de salud.

3. Juan revisa su tarea, o le pone agua a las matas.

• Con el primer enunciado “Voy a la ciudad y compro semillas para sembrar”,haz lo siguiente:

a. Saca las proposiciones simples que lo conforman.

b Establece el valor de verdad de ellas.

c. Escribe la palabra que conecta las proposiciones simples del enunciado.

• Haz lo mismo con los otros dos enunciados.

• Usa las palabras “y”, “o”, “entonces”, “si y solamente si” y con ellas une oconecta proposiciones simples.

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TEM

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CA

S 6º

CONCLUYAMOS

Hay enunciados formados por dos proposiciones simples, como los tres anteriores,a los cuales podemos llamar proposiciones compuestas.

Las proposiciones simples de una proposición compuesta se suelen unir conalgunas palabras como: “y”, “o”, “entonces”, “si y sólo si”; a estas palabrasgeneralmente se les llama conectivos, enlaces u operadores lógicos.

La lógica simbólica tomó del lenguaje natural las palabras “y”, “o”, “no”,“si...entonces,...”, “si y sólo si”, para construir proposiciones compuestas a partirde las simples.

Estas palabras reciben el nombre de conectivos, enlaces u operadores lógicos.

CONECTIVO NOMBRE LÓGICO SÍMBOLO

No... Negación ~

...y... Conjunción ∧

...o... Disyunción ∨

si.., entonces... Implicación o →

condicional

...si y sólo si... Doble implicación o

bi-condicional ↔

64

POST

PRIM

ARI

A R

URA

L ACTIVIDAD 4. (Trabajo individual)

En español encontramos palabras que representan la negación de una expresión: no,si, nada, ninguna...

• Lee detenidamente las siguientes tres proposiciones y niégalas:

p: Colombia es un país.

q: 3 es un número par.

r: La papa es un cereal.

• Establece el valor de verdad de cada una de las proposiciones p, q ∧ r, y tambiénde sus negaciones.

• Haz una tabla con sus valores.

CONSTRUYAMOS

EN GRUPO:

• Con tres de tus compañeros analiza la siguiente proposición :

“Juan compra un kilo de arroz y un kilo de papa”.

Llamaremos p: “Juan compra un kilo de arroz” y q: “Juan compra un kilode papa”.

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S 6º

• Con estas dos proposiciones pueden suceder cuatro casos:

1. Que Juan compre un kilo de arroz y compre un kilo de papa.

2. Que Juan compre un kilo de arroz y no compre un kilo de papa.

3. Que Juan no compre un kilo de arroz y compre un kilo de papa.

4. Que Juan no compre un kilo de arroz y no compre un kilo de papa.

• Con tu grupo de trabajo analiza en cual de los cuatro casos anteriores laproposición compuesta es verdadera.

• Para mayor facilidad al final construyamos una tabla de verdad.

CONCLUYAMOS

El valor de verdad de una proposición compuesta depende del valor de verdadde cada proposición simple que la conforma y del conectivo que las une.

En este ejemplo anterior la proposición p está unida a q por medio del conectivo“y”.

Se simboliza por p ∧ q y se llama la CONJUNCIÓN.

La conjunción p ∧ q es verdadera solamente cuando p ∧ q son verdaderas,en los demás casos es falsa.

66

POST

PRIM

ARI

A R

URA

L

p q p ∧ q

V V V

V F F

F V F

F F F

APLICA LO APRENDIDO

ACTIVIDAD 5. (Individual)

• Analiza las siguientes proposiciones y responde:

p: Bogotá es la capital de Colombia.

q: 3 > 4

¿Qué valor de verdad tiene p ∧ q?

• Considera las siguientes proposiciones y responde:

p: América es un continente.

q: El trigo es un cereal.

¿Qué valor de verdad tienen las preposiciones?

1) p 3) ∼ p 5) p ∧ q 7) ∼ p ∧ q

2) q 4) ∼ q 6) ∼ p ∧ ∼ q 8) p ∧ ∼ q

• Escribe las ocho proposiciones anteriores en lenguaje natural.

67

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TEM

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S 6º

CONSTRUYAMOS


• Propongamos ejemplos de proposiciones compuestas utilizando la “o”.

Ejemplo:

- Voy a estudiar o voy a pasear.

- Compro un vestido o compro una cicla.

- Apruebo el año o me ponen a trabajar.

- Se necesita obrero que sepa carpintería o que sepa albañilería.

• Analicemos lo que puede suceder en esta última situación:

1. Sabe carpintería o sabe albañilería.

2. Sabe carpintería o no sabe albañilería.

3. No sabe carpintería o sabe albañilería.

4. No sabe carpintería o no sabe albañilería.

• Junto a otros dos compañeros analiza en cuál de las cuatro situaciones anteriores elobrero será aceptado en el empleo.

CONCLUYAMOS

La proposición p unida con q por medio del conectivo “o” se llama disyuncióny tiene un valor falso solamente cuando las dos proposiciones simples son falsas.

68

POST

PRIM

ARI

A R

URA

L

La disyunción es verdadera en los demás casos.

La “o” se representa por el símbolo ∨ y su tabla de verdad es:

p q p ∨ q

V V V

V F V

F V V

F F F

Esta clase de disyunción es llamada INCLUSIVA.

Algunas veces la disyunción es exclusiva y es la más utilizada en el lenguajeusual; ésta es verdadera cuando sólo una de las dos proposiciones es verdadera,en los otros casos es falsa.

PRACTIQUEMOS LO APRENDIDO


Considera las proposiciones simples:

p: 3 es menor que 5

q: 6 es un número entero.

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S 6º

• Construye la proposición compuesta p ∨ q.

• Haz una tabla de verdad para ella.

Considera ahora las dos proposiciones siguientes:

p: En mi escuela hay pupitres.

q: Venezuela no limita con Colombia.

• En relación con ellas da el valor de verdad de cada una de las proposiciones que acontinuación encuentras.

1) p ∨ q 3) ∼ q 5) q ∨ ∼ p

2) ∼ p 4) ∼ q ∨ ∼ p 6) ∼ p ∨ q

• Escribe las seis proposiciones anteriores en el lenguaje usual.

CONSTRUYAMOS

ACTIVIDAD 8. (Grupo)

Analicemos el compromiso pactado entre Luis y Pablo: “si mañana pare la vaca, entonces,le mando un litro de leche”.

Denominemos las proposiciones:

p: Si mañana pare la vaca.

q: Le mando un litro de leche.

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POST

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L

El cumplir el compromiso lo asimilamos con la verdad de la proposicióncompuesta si p, entonces q.

• Analicemos el valor de la proposición compuesta, teniendo en cuenta elvalor de verdad de las proposiciones que la componen.

1. Si pare la vaca y le envía el litro de leche, Luis está cumpliendo elcompromiso.

2. Si pare la vaca y no le envía el litro de leche, Luis no está cumpliendo elcompromiso.

3. Si no pare la vaca y le envía el litro de leche, Luis está cumpliendo elcompromiso.

4. Si no pare la vaca y no le envía el litro de leche, Luis está cumpliendo elcompromiso.

• Cada uno responde la siguiente pregunta: ¿En qué caso usted le diría aLuis: “No sea falso” usted no me cumplió el compromiso?

Analizando las cuatro situaciones anteriores vemos que el único caso dondeno se cumple lo pactado es el 2 , luego es falso.

CONCLUYAMOS

En matemáticas dos proposiciones simples unidas por el conectivo “entonces”se llama implicación y se notan por p → q.

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TEM

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S 6º

A p se le llama el antecedente y q el consecuente. Su tabla de verdad es:

p q p → q

V V V

V F F

F V V

F F V

De la tabla se concluye que la implicación es FALSA únicamente cuando elantecedente es verdadero y el consecuente es falso.


Conforma grupos de trabajo de dos personas, construye una implicación enque se pacte un compromiso entre los dos.

Una vez pactado y escrito el compromiso, analiza en qué casos no se cumple lopactado.

RESALTEMOS

El dominio y manejo adecuado de la implicación, es determinante para laconstrucción y comprensión del conocimiento matemático.

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POST

PRIM

ARI

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Es lógico, filósofo y matemático Bertrand Russell define la matemática

como el estudio de todas las proposiciones p → q

INFORMÉMONOS

La implicación si p, entonces, q se puede escribir de diferentes formas como:

a) q si p b) Si p, q c) p es suficiente para q

Ejemplo: La implicación.

Si llueve, entonces, se moja la tierra, también se puede expresar así:

1. Se moja la tierra, si llueve.

2. Si llueve, se moja la tierra.

3. Es suficiente que llueva para que se moje la tierra.

EJERCITEMOS LO APRENDIDO


Resuelve los siguientes ejercicios:

1. Sea la expresión: Si hoy es lunes, mañana es martes. Escribe simbólicamente laanterior expresión y analiza su valor de verdad.

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2. Sean p: 5 = 2 + 3

q: 1 < 6

¿Qué valor de verdad tienen las siguientes proposiciones compuestas?

a) p → q c) q → p e) ∼ p → ∼ q

b) ∼ p → q d) ∼ q → ∼ p f) p → ∼ q

CONSTRUYAMOS


Consideremos y analicemos la siguientesituación:

• La experiencia nos enseña que si una persona está viva, respira y si respira entoncesestá viva.

• De esta expresión saquen dos proposiciones simples y llámenlas “p” y “q”.

• Con el enunciado que acaban de leer formen dos proposiciones y únanlas pormedio de y.

• Fácilmente llegan a la proposición compuesta (p → q) ∧ (q → p).

CONCLUYAMOS

En matemáticas (p → q) ∧ (q → p) es una expresión compuesta la cual sellama bicondicional, doble implicación o equivalencia y generalmente sesimboliza por: p ↔ q.

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POST

PRIM

ARI

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L

Su tabla de verdad:

p q p ↔ q

V V V

V F F

F V F

F F V

Como se puede concluir de la tabla, la equivalencia es verdadera únicamentecuando las dos proposiciones simples p y q son ambas verdaderas o ambasfalsas.

PRACTIQUEMOS LO APRENDIDO


• Construye dos proposiciones simples y únelas por el conectivo bicondicional.

• Analiza la verdad o falsedad en cada situación.

75

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TEM

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○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○

TRABAJEMOS CON CONJUNTOS

ACTIVIDAD 1. (En grupo)

Leamos:

○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○

Reseña Histórica

A pesar de que el concepto intuitivo de conjunto es tan antiguo como el mismo hombre,sólo hasta finales del siglo XIX la Teoría de Conjuntos se desarrolló en forma rigurosay sistemática. Fue el matemático alemán George Cantor (1845-1918) la persona quepropuso una nueva forma de ver y estudiar conjuntos al introducir nuevas ideasmatemáticas muy revolucionarias para su época. Fueron tan profundas estas ideas quemuchos de sus colegas, ante la incapacidad de entenderlas, llegaron hasta tildarlo deloco con tan mala suerte que estos ataques le produjeron una crisis nerviosa y terminósu existencia en un hospital para enfermos mentales.

De entre las novedosas ideas desarrolladas por Cantor para estructurar la Teoría deConjuntos podemos extractar dos fundamentales: la correspondencia 1-1 o apareo y lade conjunto contable o enumerable. Con todas sus ideas llegó a argumentar que existenen matemáticas casos o situaciones un tanto extrañas como por ejemplo: “El todo noes mayor que cada una de sus partes”. Así logra sacar a algunas personas de lo inmediatonatural e intuitivo y ubicarlas en niveles más altos de pensamiento.

La real importancia de los conjuntos en la matemática radica en el hecho de que basadosen ellos se pueden fundamentar, sistematizar, y desarrollar todos los temas de estadisciplina del conocimiento.

• Busquemos en el diccionario las palabras desconocidas.

• ¿Por qué son importantes los conjuntos?

76

POST

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Con los conocimientos que tienes sobreconjuntos realiza lo siguiente:

• En un rectángulo representa todos los animales de tu finca. Dentro de él, representapor medio de círculos o de otras figuras geométricas, los siguientes animales tambiénde tu finca: aves, mamíferos, perros, gallinas.

• En la situación y representación anterior responde las siguientes preguntas:

1. ¿Todas las gallinas son aves?

2. ¿Ninguna gallina es un ave?

3. ¿Algunos mamíferos son perros?

4. ¿En tu finca hay aves que sean mamíferos?

5. ¿Dentro de los mamíferos están todos los perros?

6. ¿En tu diagrama no hay perros que sean aves?

7. ¿Las aves están dentro de los animales?

8. ¿Las aves no tienen elementos en común con los mamíferos?

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• Reúnete con otros compañeros y discute con ellos el siguiente cuestionario:

a. ¿Cuál sería para ti el conjunto referencia en la situación anterior?

b. ¿Enumera todos los subconjuntos que encuentres en dicho ejemplo?

c. ¿De todos los conjuntos anteriores en cuáles se pueden contar los elementos yeste proceso de contar termina?

d. ¿Qué puedes decir del conjunto de las gallinas con respecto al conjunto de lasaves?

e. ¿Qué puedes decir del conjunto de las aves con respecto al conjunto de losanimales?

f. ¿En esta situación encuentras algún conjunto en el cual el proceso de contar notermine?

• Comparemos y discutamos las respuestas con las de nuestros compañeros.

a. ¿Cuáles se parecen?

b ¿Cuáles son diferentes?

c. Discutamos y hallemos entre todos la razón.

d. Escribamos los resultados de la discusión.

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ARI

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URA

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CONCLUYAMOS

En matemáticas y en situaciones como las del ejemplo tratado en las actividades1, 2 y 3 usamos los siguientes conceptos.En teoría de conjuntos se acostumbra determinar un conjunto que contenga atodos los demás involucrados en un problema a resolver. Este conjunto recibe elnombre de referencial.

Un conjunto formado por un número de elementos diferentes que se puedencontar y en el cual el proceso de contar termina en alguna parte, recibe elnombre de conjunto finito.

Si el proceso de conteo no termina se llama Conjunto infinito.

Se dice que un conjunto M es subconjunto de un conjunto N si, y solamente si,todo elemento de M es también un elemento de N. Lo anterior se nota por M⊂ N.

NOTA: El conjunto vacío es subconjunto de cualquier conjunto, o sea, φ ⊂ A,para cualquier conjunto A.

RECORDEMOS

Un conjunto se determina por comprensión cuando se da una propiedad, reglao ley que deben cumplir todos los elementos del conjunto.

Ejemplo: A = {x / x es una letra anterior a m en el alfabeto}

Recordemos que la barra “/” significa “tal que” o “tales que”.

Cuando al representar un conjunto escribimos todos y cada uno de los elementosque lo conforman, se dice que el conjunto se nota por extensión.

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APLIQUEMOS LO APRENDIDOSOBRE CONJUNTOS


Realizamos los siguientes ejercicios:

1. Sea P el conjunto de los números naturales menores que 8.

a. Notemos P por extensión.

b. Notemos P por comprensión.

2. Dados los siguientes conjuntos expresémoslos por extensión

A = {x / x es planeta del sistema solar}

B = {x / x es cordillera de Colombia}

C = {y / y es vereda de nuestro municipio}

3. Digamos cuáles de los siguientes 5 conjuntos son finitos y cuáles son infinitos.

A = Conjunto formado por los días de la semana.

B = Conjunto de veredas de tu municipio.

C = Conjunto formado por estrellas del firmamento.

D = Conjunto formado por los alumnos de mi salón de clase.

E = Conjunto formado por los números naturales.

80

POST

PRIM

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4. En la escuela Cariongo consideremos los siguientes conjuntos.

A = {Los alumnos de 5º grado}

B = {Los alumnos mayores de 12 años}

C = {Los alumnos que hacen parte del equipo de fútbol de la escuela}

D = {Los alumnos que viven a menos de 1 kilómetro de la escuela}

Encontremos cuál es el conjunto referencial más apropiado para el caso de losconjuntos A, B, C, D.

5. Consideremos el conjunto referencial H = {y / y es río de Colombia}

Construyamos 3 subconjuntos de H.

6. Consideremos el conjunto M = {1, 0, 2} analicemos si la expresión es falsa overdadera.

a) 1 ∉ M c) 5 ∈ M

b) 2 ∈M d) 0 ∉ M

7. El conjunto S de los colores del arco iris los podemos notar por extensión de lasiguiente manera S = {violeta, rojo, naranja, verde, azul, amarillo} Notemos esteconjunto por comprensión.

8. De los siguientes conjuntos digamos cuáles son vacíos.

a) El conjunto de matas de papa que producen plátanos.

b) El conjunto de ríos de la tierra.

c) El conjunto de personas vivientes mayores de 30 años.

d) El conjunto de pares entre 4 y 8.

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MA

TEM

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REALICEMOS OPERACIONES

○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○

ENTRE CONJUNTOS


Considera los siguientes conjuntos:

M = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20}

M es el conjunto referencial.

N = Conjunto de los pares menores que 15.

X = Conjunto de los múltiplos de 2 que están en M.

Y = Conjunto de los divisores de 20 que están en M.

Con estos conjuntos haz el siguiente trabajo:

1) Determina los conjuntos N, X y Y escribiendo sus elementos.

2) Reúne los múltiplos de 2 que estén en M y los pares menores que 15 en un sóloconjunto.

3) Haz lo mismo con los elementos de X y con los de Y.

4) Forma el conjunto compuesto por los divisores de 20 y que a su vez sean múltiplosde 2.

5) Forma el conjunto compuesto por los divisores de 20 y que a su vez sean paresmenores que 15.

6) Forma el conjunto de elementos que sean múltiplos de 2 y que no sean divisores de20.

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POST

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ARI

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L

7) Determina el conjunto formado por los pares de 15 y que no sean divisores de 20.

8) Forma el conjunto de los elementos de M que no estén en el conjunto X.

9) Forma el conjunto de los elementos de M que no estén en el conjunto N.


Comparamos y discutimos todos y cada uno de los conjuntos formados en la actividadnúmero 1.

Con los conocimientos sobre conjuntos obtenidos en cursos anteriores, tratemos dedefinir las operaciones empleadas para formación de los conjuntos obtenidos en lospasos 2), 3), 4), 5), 6), 7), y 8) de la actividad No. 1.

CONCLUYAMOS

○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○

Operaciones entre Conjuntos

Así como en aritmética operamos dos números para obtener otro número, enconjuntos también se pueden combinar dos conjuntos para obtener un nuevoconjunto acorde con determinadas reglas preestablecidas.

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MA

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S 6º

Las operaciones más comunes entre conjuntos son: la unión, la intersección, ladiferencia, y complemento, definiéndolas en las siguiente tabla:

NOMBRE SIMBÓLICAMENTE DEFINICIÓN SIMBOLIZACIÓN

(REGLA) GRÁFICA

UNIÓN A U B = { x∈U / x∈A, ∨, x∈B }

INTERSECCIÓN A ∩ B = { x∈U / x∈A, ∧, x∈B }

DIFERENCIA A - B = { x∈U / x∈A, ∧, x∉B }

COMPLEMENTO A’ = Ac = CA = { x∈U, ∧, x∉A }

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L

ACTIVIDAD 3. Practica lo aprendido


Sea U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 }, el conjunto referencial,

y los conjuntos: A = { 1, 3, 4, 5, 6 }

B = { 3, 6 }

C = { 7, 8, 10 }

Con los conjuntos anteriores, realiza las siguientes operaciones:

1) Ejemplo: B ∪ C = { 3, 6, 7, 8, 10 }

Halla: A ∪ B, A ∪ C y represéntalos gráficamente.

2) Ejemplo: A ∩ B = { 3, 6 }

ó,

Halla: A ∩ C, B ∩ C y represéntalos gráficamente.

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S 6º

3) Ejemplo: ∪ - A = { 2, 7, 8, 9, 10 }

Halla: B - A, C - A, C - U y represéntalos gráficamente.

4) Ejemplo: B’ = { 1, 2, 4, 5, 7, 8, 9, 10 }

Halla: A’, C’, U’, φ‘ y represéntalos gráficamente.

86

POST

PRIM

ARI

A R

URA

L

○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○

LA ESTADÍSTICA


Estudia qué son tablas de frecuencia:

• Conforma grupos de trabajo con dos compañeros más. Cada uno de los compañerosdel grupo responde: ¿Cuántos hermanos vivos tiene actualmente?

• El conteo se realiza en una tabla como la siguiente:

Número de Hermanos Número de Alumnos

0 2

1 3

2 4

3 5

4 2

5 ó más 6

Total 22

87

MA

TEM

ÁTI

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S 6º

En la primera fila debe aparecer el número de alumnos que tienen 0 hermanosvivos, o sea, hay dos alumnos que no tienen hermanos vivos.

En la segunda fila debe aparecer el número de alumnos que tienen 1 hermanovivo, o sea, que hay tres alumnos que tienen un hermano vivo.

En la tercera fila debe aparecer el número de alumnos que tienen dos hermanosvivos. Hay 4 alumnos que tienen 2 hermanos vivos. Y así sucesivamente.

• Elaboramos una tabla como la anterior para la primera actividad querealizamos.

Analicemos otro ejemplo:

Supongamos que los siguientes datos corresponden a las edades de los alumnosde nuestro salón de clase.

Edad Número de alumnos(En años cumplidos)

10 2

11 9

12 18

13 13

14 5

15 3

Total 50

88

POST

PRIM

ARI

A R

URA

L

• Cada uno analiza y responde según la tabla anterior.

a) ¿Cuántos alumnos tienen 10 años?

b) ¿Cuántos alumnos tienen 13 años?

c) ¿Cuántos alumnos tienen 10, 11 ó 12 años ?

d) ¿Cuántos alumnos tienen menos de 14 años?

e) ¿Cuántos alumnos tienen 14 o más años?

• Con los datos de la anterior tabla donde está registrada la edad de losalumnos, construimos una gráfica con líneas de tal manera que la altura dela línea me indique el número de alumnos que tienen la edad determinada.

• Analicémosla.

Nº de alumnos

18

16

14

12

10

8

6

4

2

0

10 11 12 13 14 15

EDAD

• Elaboramos una tabla con la edad de los alumnos de la escuela y larepresentamos gráficamente.

89

MA

TEM

ÁTI

CA

S 6º


Analiza el siguiente ejemplo:

Supón que los siguientes datos corresponden al número de bultos de papavendidos durante los últimos 20 días.

8 7 6 10 9 5 7 6 8 106 6 9 4 8 6 6 8 8 5

Los anteriores datos se pueden organizar en la siguiente tabla y para estocontamos el número de días en los cuales se vendió un número determinadode bultos de papa.

Bultos de papas Número de días

4 1

5 2

6 6

7 2

8 5

9 2

10 2

Total = 20

Analiza y responde:

a) ¿Cuántos días se vendieron 4 bultos de papa?

b) ¿A qué porcentaje corresponden estos días en relación con el total de días?

c) ¿Cuántos días se vendieron 10 bultos de papa?

d) ¿A qué porcentaje corresponden estos días en relación con el total de días?

e) ¿Cuántos días se vendieron más de 8 bultos de papa?

90

POST

PRIM

ARI

A R

URA

L

Analiza lo siguiente:

Los datos correspondientes de la tabla anterior, se pueden representar utilizandobarras o rectángulos, de tal forma que la altura de la barra indique el númerode días.

Veamos:

Nº de días

ACTIVIDAD 3. (En el cuaderno)


1. Los presentes datos representan los nombres de los alumnos y el grado alcual pertenecen en la escuela.

José Grado 6º Carlos Grado 8º Tania Grado 6º

Armando Grado 7º Erika Grado 6º Helena Grado 7º

Gabriela Grado 6º Liliana Grado 8º María Grado 7º

Cecilia Grado 7º Edgar Grado 7º Yanet Grado 9º

Pedro Grado 6º José Grado 6º Eduardo Grado 6º

Juan Grado 8º Humberto Grado 8º Angélica Grado 9º

Luis Grado 6º Fernando Grado 9º Deysi Grado 9º

91

MA

TEM

ÁTI

CA

S 6º

a) Elabora una tabla como la siguiente y complétala.

Grados Número de alumnos

b) Construye un diagrama en barras correspondiente a la anterior tabla.

2. Realiza el ejercicio anterior con los alumnos de tu escuela.


INFORMÉMONOS

En estadística el número de veces que se repite un dato recibe el nombre deFRECUENCIA ABSOLUTA o simplemente FRECUENCIA, mientras que la relaciónque existe entre la frecuencia absoluta y el total de las frecuencias se llamaFRECUENCIA RELATIVA.

Para representar gráficamente una tabla de frecuencias se utilizan variosmétodos. Entre ellos están el DIAGRAMA LINEAL que se construye con líneasrectas y el DIAGRAMA EN BARRAS que se construye con rectángulos.

92

POST

PRIM

ARI

A R

URA

L

ACTIVIDAD 5. (Trabajo Individual)


1. El siguiente diagrama lineal corresponde a la edad de 60 personas quehabitan en mi vereda.

Con base en el diagrama lineal completa en el cuaderno la siguiente tabla defrecuencias.

Edad Frecuencia absoluta Frecuencia relativaFracción Decimal Porcentual

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

Total = 60

12

10

8

6

4

2

0

Nº de personas

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

Edad en años

93

MA

TEM

ÁTI

CA

S 6º

Responde:

a) ¿Cuántas personas tienen 5 años?

b) ¿Cuántas personas tienen entre 10 y 20 años?

c) ¿Cuántas personas tienen edad menor de 15 años?

d) ¿Qué porcentaje representan las personas que tienen 5 años?

e) ¿Qué porcentaje representan las personas que tienen 40 años?

f) ¿A qué edad corresponde el 20%?

g) Construye el diagrama en barras correspondiente a la anterior tabla defrecuencia.

95

MA

TEM

ÁTI

CA

S 6º

○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○

Números fraccionarios

○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○

CAPÍTULO 1:

○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○

ESTUDIEMOS QUE ES UNA FRACCIÓN

INTRODUCCIÓN

DESCRIPCIÓN DEL GEOPLANO

Un geoplano es un instrumento diseñado para enseñar y aprender temas dematemáticas.

Consta de una tabla de 35 x 30 cm, a la cual se le clavan puntillas, colocadascada 2 cm, para formar un rectángulo con cuadritos de 2 x 2 cm.

Además se deben tener ligas de caucho para desarrollar las diferentesactividades.

96

POST

PRIM

ARI

A R

URA

L


MATERIAL: Geoplano y ligas.

En grupos de tres estudiantes realiza lo siguiente:

1. En un geoplano encierra un cuadrado de 4 x 4.

2. Con una liga, divide este cuadrado en dos partes iguales.

3. Discute con tus compañeros qué nombre le pondrías a cada una de estas partes.

4. Ahora quita la liga y divide el cuadrado en cuatro partes iguales.

5. Discute con tus compañeros el nombre que le pondrías a cada parte.

6. Ahora forma un segmento de 12 cm y divídelo en tres partes iguales.

7. Discute con tus compañeros qué nombre le pondrías a cada parte.

8. Haz una réplica de los puntos 6 y 7 utilizando el geoplano.

9. En unión con los demás grupos y tu profesor, acuerda el nombre técnico dado acada una de las partes de los incisos 3, 5 y 7.

10. Halla la relación entre un cuarto y un medio.

ACTIVIDAD 2. (Trabajo Individual)

Instrucciones:

Ejemplo: La siguiente gráfica es una partecita de un geoplano.

97

MA

TEM

ÁTI

CA

S 6º

1. Di qué nombre le daría a la parte rayada de la figura.

2. Dibuja una parte de un geoplano y raya en él los 2

5 de la figura que tomes (puedes

tomar un cuadrado o un rectángulo).

3. Dibuja ahora un segmento y toma en él exactamente los 2

5

4. Dibuja ahora un rectángulo de 64 cm2 de área y raya en él las 3

8 partes.

5. Dibuja ahora un cuadrado de 64 cm2 de área y raya en él la tercera parte y dí quéotro nombre le puedes dar a esta tercera parte.


1. Dibuja una semirrecta numérica. Toma en ella el 2, seguidamente aplícale eloperador 2x y el operador 3x a ese 2, y dibuja sobre la semirrecta el resultado.

2. Analiza con tus compañeros el efecto del operador 2x y del operador 3x.

3. Aplica el operador 3x al área 12 cm2.

4. Aplica el operador 4x al área 6 cm2.

5. Dibuja nuevamente la semirrecta numérica y aplica al 9 el operador 1

3 x

6. Aplica ahora el operador 1

4 x al área 12 cm2.

7. Toma un área de 15 cm2 y aplícale ahora el operador 2

3 x

(Ayuda: Aplica primero el operador 2x y luego al resultado aplica el operador 1

3x).

98

POST

PRIM

ARI

A R

URA

L

8. Analiza con tus compañeros de grupo el efecto del operador 2

3 x al aplicarlo al 15.

9. Aplica al 12 cada uno de los operadores siguientes:

a) 2x c)

34

x

b) 1

4 x d) 3

y discute con tus compañeros con cuáles de estos operadores disminuyó y concuáles aumentó el 12.

10. Aplica por separado los operadores 2

3 x,

1

2 x,

1

4 x,

2

5 x,

3

2 x, al 1, analiza y saca

algunas conclusiones de este ejercicio.

11. Da un nombre específico (ya conocido por ustedes) a los términos a ∧ b de

la fracción a

b

12. Con tus compañeros lee las siguientes fracciones:

a) 2

3b)

1

5c)

4

3

d) 1

10e)

3

8f )

6

10

g) 3

35h)

5

6i)

2

21

CONCLUYAMOS

Un operador de la forma ax, donde a = 2, 3, 4... cuando se aplica a unamagnitud la duplica, la triplica, cuadruplica, etcétera.

99

MA

TEM

ÁTI

CA

S 6º

Recordemos que en algunos libros, en lugar de ax se usa a( ), a. a*( )etcétera.

Recordemos también que un operador de la forma 1

b x con b = 2, 3, 4, 5,...

cuando se aplica a una magnitud, la reduce a la mitad, a la tercera parte, a la

cuarta parte etc, 1

b x también se puede escribir como

1

b( ),

1

b ,

1

b *( ), etcétera.

○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○

CAPÍTULO 2: Fracciones Equivalentes

Aquí el rectángulo grande lo dividimos en 4 partesiguales.

¿Qué nombre darías a cada parte?

En este caso el rectángulo fue dividido en 8 partes.


En este último caso dividimos el rectángulo en 16partes.


100

POST

PRIM

ARI

A R

URA

L


1. Mide el rectángulo grande en cada caso.

2. Mide el rectángulo pequeño en cada caso.

3. Mide la parte rayada en cada caso.

4. Compara el área de la parte rayada en los 3 rectángulos.

Saca una conclusión comparando 1

4 con

2

8 y con

4

16

CONCLUYAMOS

En la actividad número 4 podemos llamar a las fracciones 1

4,

2

8,

4

16, fracciones

equivalentes.

Si a

b y

c

d son dos fracciones, decimos que ellas son equivalentes si ad =

bc.

Simbólicamente ad = bc entonces a

b =

c

d

101

MA

TEM

ÁTI

CA

S 6º


Antes de realizar la actividad número 5, observa y analiza el siguiente ejercicio.

Vamos a aplicar el operador 3

2 x al 1 y seguidamente al resultado aplicarle el operador

3

4

a) Apliquemos el operador 3

2x al 1

1. 3 x 1

2.1

2 x (se le puede aplicar a 3)

b) Al resultado anterior le aplicamos ahora el operador 3

4 x 1

Al aplicar el operador 3x a 3

2 se obtiene:

3 x (3

2) =

9

2

102

POST

PRIM

ARI

A R

URA

L

2. Ahora aplicamos el operador 1

4 x a

9

2

Al aplicar el operador 1

4 x a

9

2 nos da

9

8

Con dos de tus compañeros realiza la siguienteactividad:

1. Aplica el operador 2

3 x al número 1 y luego aplícale el operador

1

3 al

resultado.


3 al número 1 y luego aplícale el operador

2

3 x al

resultado.

3. Haz lo mismo aplicando el operador 1

4 x al 1 y luego aplicando el operador

2

3 al resultado.


2 x al 1 y luego el operador

4

3 x al resultado.

5. En los cuatro ejercicios anteriores saca las fracciones equivalentes.

103

MA

TEM

ÁTI

CA

S 6º

○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○

CAPÍTULO 3:

Mecanicemos las Operaciones

○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○

con Fracciones

SUMA Y RESTA DE FRACCIONARIOS


1. Dibuja un rectángulo de 10 cm de largo por 2 de ancho y divídelo en 5 partesiguales.

2. Raya los 3

5 de este rectángulo.

3. Divide nuevamente el rectángulo en 5 partes y raya 4 de esas partes.

4. Dibuja las 3

5 partes y las

4

5 partes que rayaste y colócalas pegadas o sea, añádelas.

5. Da el resultado de esta actividad.

6. Sin hacer la gráfica haz directamente la suma de 2

5 +

3

5 +

1

5

7. Dibuja ahora un rectángulo de 12 cm de largo por 2 de ancho y divide en 6partes iguales.

8. Raya las 5

6 del rectángulo.

9. Con otro rectángulo raya 3

6 de él.

• Sumemos las partes rayadas o sea, 1

2 +

1

3

104

POST

PRIM

ARI

A R

URA

L

10. De estas partes rayadas escoge la más grande y quítale la más pequeña. Dibuja turespuesta.

11. Haz lo mismo (sin hacer la gráfica) de la resta de 5

7 -

2

7

12. Con tus compañeros trata de deducir la respuesta para las dos operaciones siguientes:

a

c +

b

c = y

a

c -

b

c =

ACTIVIDAD 7. (Trabajo con el profesor)

1. Tenemos el siguiente rectángulo 6 x 2 cm.

• Tomemos en él 1

2 de la región

1

2 del rectángulo.

• Tomemos ahora 1

3 del rectángulo.

1

3 del rectángulo.

105

MA

TEM

ÁTI

CA

S 6º

• Sumemos las partes rayadas osea, 1

2+

1

3

1

2 +

1

3

• El resultado se ve más fácilmente si se divide el rectángulo en medio tercios,cuartos, quintos y sextos etc., de manera que la puedan comparar con laregión final.

1

2 +

1

3 =

5

6

2. Haz lo mismo con un conjunto de 12 piedras, dibújalas.

Tomas 1

4 de ellas y súmales

2

3 de ellas (en 2 montoncitos).

¿Dí cuál es el resultado final de la suma?.

3. Deduce con tres compañeros y tu profesor el resultado de sumara

b +

c

d = ? con b ≠ d.

4. En la semirrecta numérica haz la suma de 2

3 con

3

4

5. Usa la semirrecta numérica para la resta siguiente: 45

25

−

6. Usa la semirrecta numérica para la resta siguiente: 43

35

−

7. En la semirrecta numérica realiza la siguiente operación:

5

3 +

1

4 -

1

2 (Ayuda: haz primero la suma y al resultado le restas

1

2)

106

POST

PRIM

ARI

A R

URA

L

Multiplicación y

○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○

Division de Fraccionarios

ACTIVIDAD 8. (Dirigido por el profesor)

La multiplicación de fracciones ya se estudió en una actividad anterior en la queaplicábamos 2 operadores sucesivamente al 1.

Enfoquemos la multiplicación de otra manera.

Multiplicar dos fracciones a

b x

c

d , significa representar un rectángulo que tenga como

dimensiones a

b de alto y

c

d de largo.

El producto lo relacionamos con el área de dicho rectángulo.

• La expresión que representa dicho producto es:

a

b •

c

d =

x

y donde x

y =

a.c

b.d

• Ahora realiza el siguiente ejercicio:

a) Construye un rectángulo (en este caso es la unidad) y sitúa en una de sus

dimensiones los 3

4

3

4

107

MA

TEM

ÁTI

CA

S 6º

b) En la otra dimensión sitúa los 2

5

c) Raya la región rectangular comprendida entre las regiones ubicadas anteriormente.

d) El número de rectángulos que quedan rayados con respecto al total en que quedódividida la unidad es el resultado. En nuestro caso la unidad quedó dividida en 20

partes iguales y de éstas aparecen rayadas 6, entonces la fracción resultante es 6

20

e)3

4 x

2

5 =

6

20

x

y =

6

20 (3 x 2 = 6 numerador)

(4 x 5 = 20 denominador)

• Haz lo mismo con el producto 3

5 x

2

3

• Haz la multiplicación de 3

2 x

3

4 Ayuda: para tomar

3

2 usa dos rectángulos unidad).

• Idéate un método, junto a tus compañeros, para dividir el fraccionario 2

5 por

3

2haz algo parecido a lo que hiciste con la multiplicación de fraccionarios.

108

POST

PRIM

ARI

A R

URA

L

CONCLUYAMOS

Para sumar fraccionarios que tengan igual denominador, se suman losnumeradores y se coloca el mismo denominador:

a

c +

b

c +

d

c =

a + b + d

c

Para sumar fraccionarios con diferente denominador se reducen primero almínimo común denominador y luego se suman como en el caso anterior:

a

b +

c

d =

ad + cb

bd

Para restar fraccionarios de igual denominador se restan los numeradores y secoloca el mismo denominador:

a

c -

b

c =

a - b

c

Para restar fraccionarios con diferente denominador se reduce primero al mínimocomún denominador y luego se restan los numeradores como en el caso ante-rior:

a

b -

c

d =

ad - cb

bd

Como ya se vio anteriormente, para multiplicar fracciones se multiplican losnumeradores entre sí y los denominadores entre sí. Para la división se multiplicael dividendo por el recíproco del divisor:

ab

cd

= ab

x dc

= adbc

÷

109

MA

TEM

ÁTI

CA

S 6º


Evaluemos lo aprendido:

1. Lee las siguientes fracciones:

a) 2

3 b)

1

5 c)

3

2 d)

4

7 e)

1

8

2. Da la relación existente entre 1

3 y

1

6

3. En las columnas A y B busca las fracciones equivalentes y únelas por una flecha.(Haz este ejercicio en tu cuaderno).

A B A B

20

32

24

9

5

6

15

27

11

17

14

21

15

30

35

42

2

3

5

8

90

162

5

7

8

3

55

85

45

63

1

2

110

POST

PRIM

ARI

A R

URA

L

4. En cada caso halla el operador que se aplicó al número representado en lasemirrecta X para obtener el número representado en la semirrecta Y.

5. Realiza directamente las siguientes operaciones:

a)2

3 +

5

2f)

1

8

2

3 -

3

2•

b)1

4 +

3

8g)

12

14

÷

c)2

5

3

2 -

1

4+ h)

3

8

4

5

d)1

3 -

1

6 i)

8

3

1

2 +

1

6−

e)4

5 •

2

3 j)

8

3

1

2 -

1

6•

÷

111

MA

TEM

ÁTI

CA

S 6º

6. Aplica sucesivamente los operadores que se dan, al número 1.

a)2

3 y

1

4c)

4

3 y

2

5e)

8

3 y

1

2

b)3

5 y

1

3 d)

2

3 y

1

5

7. Da dos fracciones equivalentes a cada una de las respuestas del ejercicioanterior.


○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○

Problemas para aplicar

○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○

las cuatro operaciones

1) Si en tu familia la fracción 3

5 representa las mujeres, indica la fracción que representa

los hombres.

2) Un vendedor de naranjas vendió a una señora 2

5 luego vendió,

3

8 y le quedaron

19 naranjas.

¿ Cuántas naranjas tenía al principio?

3) Un granjero tiene 1.200 m de alambre, gasta 2

10 en una cerca y los

2

3 en encerrar

un potrero.

¿ Cuántas metros de alambre le sobraron?

112

POST

PRIM

ARI

A R

URA

L

4) ¿Puedes creerle a un obrero que afirma lo siguiente?

El primer día sembré los 3

5 de la huerta y al siguiente día sembré los

4

7 de la

misma.

Explica tu respuesta.

5) Si 3 de cada 5 niños de tu vereda asisten a tu escuela y la vereda tiene 420 niños.

¿Cuántos niños dejan de asistir a la escuela?

6) Si el perímetro de un cuadrado mide 80

40

¿Cuánto mide el lado?

7) Un obrero vendió 15 docenas y 1

3 de docena de plátanos por $ 920

¿A cómo vendió la docena? ¿A como vendió cada plátano?

8) Resolver:

a) Dá el resultado de aplicar el operador 1

4 x al 3

b) Dí qué le aplicas al 6 para obtener 3

c) A qué número se le aplicó el operador 1

2 para obtener 5

113

MA

TEM

ÁTI

CA

S 6º

U

NI DAD

•

UN IDAD

•3 ESTUDIEMOS○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○

GEOMETRÍA

EXPLORANDO EL ESPACIO

○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○

QUE NOS RODEA

ACTIVIDAD 1. Leamos lo siguiente:

Desde tiempos muy antiguos el hombre ha sentido necesidad por conocer y tenerexplicaciones racionales acerca de su medio ambiente y de los diferentes fenómenosque a diario suceden en él.

En la búsqueda de este conocimiento la geometría juega un papel esencial ya quepermite entre otras cosas solucionar problemas que tienen que ver con ubicaciones enel espacio, mediciones de objetos, eventos y fenómenos, apreciar las bellezas de lanaturaleza y las obras diseñadas o construidas por el hombre además de ser uncomponente muy importante en la cultura de un pueblo.

Así tenemos que algunos hombres a través de la historia se han dedicado a descubrir,crear, relacionar, ampliar y aplicar los conocimientos geométricos presentes en su época.

Dentro de estos hombres de ciencia podemos destacar a los griegos: Thales de Mileto,Pitágoras de Samos y Euclides de Alejandría, quienes vivieron entre los siglos VI y IIIa. c e iniciaron el estudio sistemático riguroso y deductivo de la geometría, a diferenciade los conocimientos geométricos de otras civilizaciones como la babilónica con loscuales sólo se solucionaban problemas de tipo práctico y muy particulares.

114

POST

PRIM

ARI

A R

URA

L

Otros científicos a pesar de no haber contribuido con significativos aportes al desarrollode la geometría, sí fueron grandes propulsores de ésta. Así, tenemos el gran filósofogriego Platón (429-348 a.C.) quien en sus famosos Diálogos resaltó la importancia dela matemática y en especial de la geometría: “Nadie que ignore la geometría puedepasar” decía un letrero a la entrada de la Academia de Atenas, sitio de reunión defilósofos y eruditos griegos de la época.

ACTIVIDAD 2. (En grupos)

Discutamos las siguientes preguntas:

1. ¿Cuáles creen ustedes que fueron los primeros conocimientos geométricos quemanejó el hombre? ¿Dónde se manifestaron?

2. ¿Qué elementos geométricos aparecen en nuestro medio ambiente y vida cotidiana?3. ¿Qué significado encontramos a las afirmaciones “ser un hombre recto”, “tener

posiciones verticales” ?

ACTIVIDAD 3. Estudia los puntos y las rectas


Si observamos la punta del lápiz, un semáforo, los ojos de una res, las pecas o lunaresde una persona, la esquina de un cubo, tenemos buenos ejemplos de lo que es punto.

Sin embargo la idea de punto es abstracta y se llega incluso al caso de considerarlocomo un término indefinido aun sabiendo que todos tenemos una idea más o menosclara de lo que es el punto.

115

MA

TEM

ÁTI

CA

S 6º

ACTIVIDAD 2.

Eso que estamos pensando en este momento acerca de lo que es punto, es lo que es elpunto.

• Observa los siguientes gráficos:

• Relaciona el concepto de punto con cada una de ellos.

• Ahora, toma tu lápiz y regla, coloca 2 puntos diferentes en el papel. ¿Cuántasrectas pasan por estos dos puntos?

• Si nos dan un solo punto, ¿cuántas rectas pasan por él?

CONCLUYAMOS

• Una figura geométrica es un conjunto de puntos.

• Por dos puntos diferentes A y B pasa una y solamente una recta.

Notación:

116

POST

PRIM

ARI

A R

URA

L


1. Describe 5 situaciones físicas donde haya rectas.

2. ¿Por qué por dos puntos diferentes no puede pasar más de una recta?

3. ¿Cuántas puntos tiene una recta?

4. Dada la siguiente recta y algunos puntos que pertenecen a ella, cuántas formasdiferentes de notación de la recta puedes encontrar?

5. Pinta tres o más rectas que pasen por un mismo punto.

En este caso se dice que las rectas son concurrentes.

6. ¿Dados tres puntos diferentes, ellos siempre estarán sobre la misma recta?Sugerencia: haz gráficas y comprueba tus hipótesis.

117

MA

TEM

ÁTI

CA

S 6º

ACTIVIDAD 5.

CONCLUYAMOS

Si dos o más puntos pertenecen a una misma recta, los puntos se dice que soncolineales. En caso contrario se dice que son no colineales.Ejemplo:

A, B, C, D, E son puntos colineales. A, B, C son puntos no colineales.

Responde:

1. Dados 2 puntos diferentes, ¿qué se puede afirmar de ellos?

2. Dados 4 o más puntos, ¿qué sucederá con respecto a la colinealidad?

3. Explico con palabras qué significa que los puntos A, B y C son no colineales.

Estudia la semirrecta ysegmentos.

Como has podido observar una recta tiene infinitos puntos y es continua en el trazo.

• Ahora toma una recta y un punto A que pertenezca a ella.

Considera el punto A y todos los puntos de la recta que están a la derecha de A.

118

POST

PRIM

ARI

A R

URA

L

➝

Esta figura geométrica se llama “semirrecta” y su punto inicial es A.

Para notarla seleccionamos un punto de ella diferente a A, por ejemplo B y su notaciónes AB.

Observe que:

Justifica esta aseveración con un gráfico a colores y descríbelo oralmente.

• Dada la siguiente gráfica, haz una lista de todos las semirrectas diferentes quepodemos construir con punto inicial en M, N u O.

• Pinta una recta cualquiera, ubica 2 puntos sobre ella y resáltalos junto a todos lospuntos de la recta que están entre ellos.

Este pedazo de recta resaltado se llama “segmento” y como puedes observar es unconjunto de puntos, luego es también una figura geométrica.

Un segmento es un subconjunto de una recta el cual esta

formado por dos puntos llamados extremos y todos los puntos

de la recta que están entre los dos puntos

119

MA

TEM

ÁTI

CA

S 6º

Ejemplo:

A B

Notación: AB

Y se lee segmento AB.

Ejercicio:

• Pinta dos segmentos tales que:

1. Su intersección sea un punto.

2. Su intersección sea más de un punto.

3. Su intersección sea vacío.

4. Su unión sea una letra mayúscula del alfabeto.

5. Pinta un árbol usando únicamente segmentos.

ACTIVIDAD 6. Estudia: ¿qué es el plano?

La palabra plano, al igual que punto y recta, representa un conjunto de puntos.

¿Pero qué tipo de conjunto de puntos?

Veamos:

• Observa el piso y las paredes del salón.

• Ahora imagina un libro con cubierta dura o la superficie del agua contenida en unplatón y en estado de quietud total o una lámina de madera colocada sobre unamesa.

120

POST

PRIM

ARI

A R

URA

L

Lo común de todas estas situaciones es un pedazo de plano. Eso es: lo que estáspensando formado por dicho conjunto de puntos es lo que se llama plano, teniendo encuenta que el pedazo de plano se extiende en todas direcciones y así este plano no tienecentro y es ilimitado.

• Ahora en tu cuaderno pinta objetos con superficies planas y no planas.

Así como dos puntos diferentes determinan una recta, tres

puntos diferentes no colineales determinan un plano, es decir

existe un único plano que contiene los tres puntos.

INFÓRMATE

Representación del plano:

Para representar un plano en una hoja de papel o en cualquier superficie plana,se acostumbra a pintar una figura como la siguiente:

Plano α

• ¿Qué relación existirá entre un plano y una recta, sabiendo que la rectatiene dos de sus puntos en el plano? Sugerencia: Trabaja varios casos ytrata de sacar una conclusión.

α

121

MA

TEM

ÁTI

CA

S 6º

Para pensar:

• ¿Por qué será que los fotógrafos y topógrafos usan un objeto de tres pataspara colocar sus instrumentos y no un objeto de cuatro patas?

• ¿Por qué la mayoría de las mesas tienen cuatro patas y no tres?

• ¿Dada una recta, cuántos planos contienen la recta?

• Los planos α, β, λ, contienen la recta AB . Hay muchos más.

INFÓRMATE

Como una recta contiene al menos dos puntos diferentes, entonces dada unarecta y un punto que no pertenece a la recta, va a existir un único plano quecontiene la recta y el punto dado.

A propósito de este hecho, trata de hacer un modelo real que lo ejemplifique;(materiales: hilo para la recta , punta de un lápiz para el punto y una hoja depapel para el plano).

122

POST

PRIM

ARI

A R

URA

L

Una recta AB y un punto que no pertenece a ella P, determina un plano α.

• Ahora piensa en la recta determinada por la unión de la pared y el piso, yun punto que puede ser la punta de la nariz de un compañero tuyo.

• Una vez ubicada la recta y el punto trata de representarte mentalmente elplano que contiene la recta y el punto.

• Ahora con las paredes del salón de clase, selecciona 2 planos, observa yresponde:

¿Cuál será la intersección de esos 2 planos?

• Trata casos similares.

Si dos planos diferentes se intersectan, entonces

la intersección es una recta,

A propósito de este hecho, elabora un modelo en papel o cartulina paramostrarlo.

• Toma dos pedazos de hilo, cabuya o bejuco. Con ellos representa dos rectasdiferentes que se intersecten.

¿Será que bajo estas condiciones siempre existirá un plano que las contenga?

123

MA

TEM

ÁTI

CA

S 6º

Si dos rectas diferentes se intersectan, entonces

existe un único plano que lo contiene.

DESAFÍO

1. Considera tres planos diferentes. Describe con tus propias palabras lo queconstituye la intersección de los tres planos.

Sugerencias: Analiza diferentes casos y elabora gráficos o modelos en papelpara representar los diferentes y así las conclusiones serán más fáciles deobtener.

2. ¿Qué figura se obtendrá de la intersección de la superficie de un balón conun plano?

INFÓRMATE

Observa los siguientes objetos y responde:

• ¿En qué partes de estos objetos hay pedazos de planos? Las otras partescorresponden a superficies curvas las cuales abundan en la naturaleza.

• Da ejemplos de objetos con superficies curvas.

124

POST

PRIM

ARI

A R

URA

L

○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○

SEPARACIÓN DEL PLANO

Si tomamos una recta l en un plano π, es fácil observar que:

Los puntos del plano que no están en la recta forman 2 conjuntos S1 y S2 talesque :

S1 y S2 son disyuntos, es decir no tienen puntos en común.

Si A ∈ S1 y B ∈ S2 entonces AB ∩ l ≠ φ, es decir AB intersecta la recta l.

Los conjuntos S1 y S2 se llaman semiplanos y la recta l se llama la frontera.

Concluye:

1. ¿Si C ∈ S1 y D ∈ S2 , entonces?

2. ¿Si M ∈ l y N ∈ S2, qué puedes afirmar de MN ?

πS2

S1

l

125

MA

TEM

ÁTI

CA

S 6º

○ ○ ○ ○ ○ ○ ○

Medir

Reflexiona. ¿Qué es medir?

Cuando vamos al mercado podemos observar y tomar parte en diversas yvariadas actividades que involucran conocimientos matemáticos.

Por ejemplo: Pedro compra 5 libras de plátano verde en un puesto y 8 libras deplátano verde en otro puesto y los reúne.

Del nuevo conjunto podemos concluir:

1. Los plátanos siguen siendo verdes, es decir, la propiedad de ser verdes nocambió.

2. Ahora el peso de todos los plátanos es de 13 libras, es decir, el peso cambiócon respecto al peso de cada conjunto inicial.

3. El número de plátanos del nuevo conjunto se aumentó con respecto delnúmero de plátanos de cada uno de los primeros conjuntos.

Como se puede observar, al reunir los dos conjuntos, hubo propiedades que nocambiaron, el caso del color verde; y otras que sí, como el peso y el número deplátanos. A éstas últimas se les llama propiedades medibles y como se ve, sepueden representar mediante números (13 libras); a las primeras se les llamapropiedades no medibles.

126

POST

PRIM

ARI

A R

URA

L

CONCLUYAMOS

Medir es asignar números a las propiedades medibles

de los cuerpos de acuerdo con un patrón preestablecido,

es decir se compara la propiedad con una unidad

seleccionada de antemano.

Actividad 1. (Trabajo individual)

• Selecciona 3 objetos diferentes. Hállales propiedades que sean medibles y que nolo sean. Selecciona una propiedad medible que sea común (si es posible) y observacómo es el cambio al considerar el conjunto formado por los tres objetos.

• Haz lo mismo con una propiedad no medible.

• ¿Qué sucede si alguien te dice, cuánto mide tal o cuál cosa?

• ¿Qué haces tú para resolver este problema?

Al resolver las preguntas anteriores tú tomaste 2 puntos del espacio, observaste elinstrumento de medida y dijiste: mide tanto.

Matemáticamente hablando sucedió lo siguiente:

Hace mucho tiempo se seleccionaron 2 puntos del espacio y a este par de puntos se lesasignó el número 1 y se les llamó el par unidad (esto determina la graduación delinstrumento).

Ahora si se toman los 2 puntos extremos del segmento que se va medir, se lee elinstrumento y la medida queda hallada.

127

MA

TEM

ÁTI

CA

S 6º

Es decir, medir linealmente es asignar un número a cada par de

puntos del espacio, este número está determinado por el par

unidad seleccionado con anterioridad.

Para el caso de un segmento, sus extremos son dos puntos del espacio, luegopodemos asignarle un número a este par de puntos y este número se llama lalongitud del segmento o también la distancia entre esos dos puntos.

• Analiza el siguiente ejemplo:

AB segmento determinado por A y B.

AB es la longitud de AB es decir AB está dadopor un número el cual depende del par unidadrelacionado con anterioridad.

• Observemos que AB ≠ AB

Mide con tu propia unidad de medida:

• Selecciona dos puntos del espacio, ese es tu par unidad.

• Bautízalo con el nombre que quieras. Ahora consigue un pedazo de alambreo algo por el estilo tan largo como la distancia que hay entre sus puntosrelacionados.

A continuación halla AB sabiendo que:

• A es el extremo superior izquierdo de la raya de tu cuaderno y B el inferiorderecho.

• A es tu corona y B la planta de tus pies.

A B

128

POST

PRIM

ARI

A R

URA

L

ACTIVIDAD 2.

• A el punto donde estás y B el punto donde está el profesor.

• Compara tus respuestas con las de algunos de tus compañeros .

¿Por qué algunas son diferentes a las tuyas?

• Selecciona una unidad común para que la comunicación sea más fácil.Ahora mide de nuevo y observa si hubo o no cambio en tus medidas.

• A continuación tantea, usando tu unidad, el ancho del tablero y lasdimensiones de la mesa del comedor de tu casa. Comparte estaexperiencia con tus compañeros.

Reflexiona.¿Podemos medir ángulos?

Recuerda que una figura geométrica es un conjunto de puntos.

Ahora consideremos la figura formada por dos semirrectas que tienen un punto inicialcomún. Esta tiene un nombre muy especial: ÁNGULO.

Gráficamente un ángulo es una figura como la siguiente.

El punto inicial común se llama vértice del ángulo y los lados del ángulo son semirrectas.Observa que estos se extienden indefinidamente.

129

MA

TEM

ÁTI

CA

S 6º

Formas de notar un ángulo:

Ángulo ABC Ángulo M Ángulo a

Ejercicio:

Para cada caso pinta 2 ángulos tales que:

• Su intersección sea un punto, 2 puntos, 3 puntos, 4 puntos, e infinitos puntos oningún punto.

• Su unión sean 2 rectas.

Estudia el interior de un ángulo:

En el cuaderno sobre el ángulo MON, raya conlápiz a color lo que creas que es el interior de esteángulo. Ponte de acuerdo con tus compañerosrespecto al tema.

Ahora ejecuta la siguiente tarea:

• Dado el ángulo MON, con un color rojo colócale el semiplano determinadopor ON que contiene el punto M; con un color azul colorea el semiplanodeterminado por OM que contiene el punto N.

• El conjunto de puntos que sean rojos y azules a la vez se llama el interior delángulo MON.

÷÷

B C M

A

α

130

POST

PRIM

ARI

A R

URA

L

Observa que los lados del ángulo no pertenecen a su interior.

ACTIVIDAD 3. Estudia qué es medida angular

Así como a cada persona se le asigna un número llamado “la edad de”, a cada ángulose le asigna un número llamado “la medida en grados de”. Este número varía entre 0y 180º.

Ejemplo:

Medida en grados de ABC = 50º. Medida en grado de XYZ = 135º.

Por comodidad, en vez de medida en grados de ABC se escribe:

m < ABC.

Para asignarle a un ángulo el númerocorrespondiente a su medida se usa uninstrumento llamado el transportador.

)

131

MA

TEM

ÁTI

CA

S 6º

• Con ayuda del transportador mide los siguientes ángulos.

• Tantea la medida de los siguientes ángulos:

• Ahora compara tus respuestas con las de tus compañeros y decidan cuáles la que más se aproxima a la verdad.

• Pinta ángulos que midan 30º, 54º, 85º, 90º, 120º, 145º, 170º.

• Pinta ángulos que midan lo mismo que el punto anterior y que tengan unlado como el siguiente:

132

POST

PRIM

ARI

A R

URA

L

• Nombra todos los ángulos de la figura y mídelos.

• Con tu cuerpo, haz movimientos que correspondan a ángulos que midan45º, 90º, 135º y 180º.

• ¿Si nuestra unidad de medida angular fuese un cuarto de vuelta (rotandoel cuerpo), cuánto mediría un ángulo recto?, ¿un ángulo llano?, ¿un ángulode 135º?

ENTÉRATE

La bisectriz de un ángulo es la semirrecta que tiene punto inicial en el vérticedel ángulo, pertenece al interior del ángulo y forma con los lados del ángulo, 2ángulos que tienen igual medida.

m < ABD = m < BDC, BD bisectriz del < ABC.

• ¿Cómo trazar la bisectriz de un ángulo?

) ) )

133

MA

TEM

ÁTI

CA

S 6º

)

Para trazar la bisectriz de un ángulo existen 2 procedimientos:

1. Usando el transportador.

2. Con regla y compás.

• Mide el ángulo dado, luego con el mismo transportador construye un ángulocuya medida sea la mitad del ángulo dado y tenga un lado en él comobase y el otro esté en el interior del ángulo dado. Este último lado construidoes la bisectriz del ángulo.

• Proceso:

Haciendo centro en B trazo un arco DE.

Ahora haciendo centro en D trazo unpedazo de arco punteado y con elmismo radio; haciendo centro en E trazootro arco punteado en forma tal quecorte al anterior (ver figura) y asíobtener el punto F.

Ahora se une B con F y BF es la bisectriz del < ABC.

ACTIVIDAD 4. Estudia las clases de ángulos

Así como tomamos la edad de una persona para clasificarla en niño, joven, adulto oviejo, podemos tomar la medida de los ángulos para clasificarlos.

134

POST

PRIM

ARI

A R

URA

L

Es así que si la medida de un ángulo es:

90º se llama recto

mayor de 90º, obtuso

menor de 90º, agudo

180º se llama llano

• Clasifica todos los ángulos graficados en la actividad No. 3

Pares de ángulos:

• Observa la figura anterior.

• Ahora busca entre ellos 2 ángulos que cumplan los siguientes requisitos:

1) Tengan un lado en común y

2) sus interiores no se intersectan.

Si un par de ángulos cumplen 2 condiciones

anteriores se dice que son adyacentes

135

MA

TEM

ÁTI

CA

S 6º

• Ahora pinta 2 ángulos cuya suma de sus medidas sea 180ºy otro par deángulos cuya suma de sus medidas sea 90º.

A los primeros se les llama ángulos suplementarios y a los últimoscomplementarios.

Ejercicios:

• Pinta un par de ángulos suplementarios que sean adyacentes.

• Lo mismo que el anterior pero complementarios.

• ¿Si un ángulo mide 65º, cuánto mide su suplementario y su complementario?

• ¿Si un ángulo mide xº, cuánto mide su suplementario y su complementario?

• ¿Es posible que el complemento y el suplemento de un ángulo sean iguales?

ENTÉRATE

A partir de la figura formada por dos rectas que se cruzan,

escribe pares de ángulos que no sean adyacentes. (Excluye los ángulos llanos).

136

POST

PRIM

ARI

A R

URA

L

) ))

)

A estos pares de ángulos se les llama opuestos por el vértice y tienen igual medidaporque tienen el mismo suplemento.

Así: el suplemento del < BEA es el < AEC y el suplemento del < DEC esel < AEC.

Ejercicios. En tu cuaderno:

1. A partir de los siguientes ángulos construye sus ángulos opuestos.

2. Considera la siguiente figura y nombra los pares de ángulos opuestos.

3. En la figura anterior:

¿ Cuáles ángulos son suplementarios?

¿ Cuáles ángulos son adyacentes?

137

MA

TEM

ÁTI

CA

S 6º

ENTÉRATE DE LO QUE ES CONGRUENCIA

Así como entre personas, conjuntos u objetos existen relaciones, entre segmentostambién las hay.

Si dos segmentos miden lo mismo, entonces los dos

segmentos se dice que son congruentes

Es decir si AB = CD, entonces AB se dice que es congruente con CD y sesimboliza como AB = CD.

Ejemplo:

2 cm 2 cm

Entonces, AB = CD.

Considera la relación “ser congruente con” entre segmentos. ¿Es esta relaciónde equivalencia?

138

POST

PRIM

ARI

A R

URA

L

))))

))

Recuerda que una relación es de equivalencia si ésta es reflexiva, simétrica ytransitiva.

Ahora, si a cambio de segmentos consideramos ángulos, en estos tambiénpodemos definir la relación de congruencia.

Dos ángulos son congruentes si tienen la misma medida

Si m < ABC = m < MNO entonces < ABC es congruente con < MNOy en este caso se escribe < ABC < MNO.

¿De acuerdo con lo anterior, qué podemos decir de:

• ¿Los ángulos rectos?

• ¿Los ángulos tienen el mismo complemento?

• ¿Un ángulo que mide 75º y el suplemento de un ángulo que mide 105º?

139

MA

TEM

ÁTI

CA

S 6º

)

○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○

PERPENDICULARIDAD Y PARALELISMO

En tu cuaderno:

• Pinta un ángulo recto.

• Ahora pinta 2 rectas que contengan a los lados de este ángulo.

A estas 2 últimas rectas se les llama rectas perpendiculares.

< ABC dado, rectas L1 y L2 rectas pintadas.

L1 es perpendicular a L2, simbólicamente L1 | L2.


1. Describamos, grafiquemos y mostremos, objetos del mundo real donde hayanrectas perpendiculares.

2. Pidámosle al compañero que pinte, en una hoja en blanco, una recta y un puntoque bien puede o no, pertenecer a la recta.

140

POST

PRIM

ARI

A R

URA

L

Ahora a mano limpia o alzada (sin ningún instrumento) tracemos una recta quesea perpendicular a la recta dada y pase por el punto dado.

3. En una hoja en blanco tracemos una recta y un punto que no pertenece a la recta,ahora con una regla graduada busquemos un punto de la recta en forma tal que ladistancia de este punto al punto dado sea la más pequeña (mínima).

¿Cómo resultó el segmento que une estos dos puntos con respecto a la recta?

Concluyamos:

Para medir la distancia de un punto a una recta se toma el

segmento que pasa por el punto y es perpendicular a la recta

dada, la longitud de este segmento es la distancia requerida.

4. Dada una recta y un punto que pertenece a la recta, ¿cuántas rectas pasanpor el punto y son perpendiculares a la recta dada?

Sugerencia: En el espacio estira y templa un pedazo de pita o cabuya pararepresentar la recta. Luego toma (marca) un punto sobre esta recta yresuelve el problema. Recuerda que una cosa es trabajar en una hoja depapel y otra cosa es trabajar en el espacio.

PARA LOS PILOSOS

• Averiguar qué es una recta vertical.

Sugerencia: Piensa en todas las verticales de las porterías de las canchasde fútbol, además analiza qué sucede con las rectas determinadas por lospostes cuando éstos están de pie y bien “derechitos”. No olvides que enEuropa, en China, en África o en la Patagonia también hay canchas defútbol y postes.

141

MA

TEM

ÁTI

CA

S 6º


En una hoja de papel pinta 2 rectas cualesquiera y contesta:

• ¿Se intersectan estas dos rectas bien sea en la hoja o fuera de ella? (no olvides quelas rectas se prolongan en ambas direcciones todo cuanto queramos, es decir hastael infinito).

• Si tu respuesta es positiva, pinta otras dos rectas en forma tal que no se intersectanni en el infinito.

• Ahora da ejemplos de tu espacio cotidiano en donde encuentres rectas que pormás que se prolonguen no se encuentren.

Concluyamos:

Dos rectas son paralelas si están contenidas en un mismo plano

y no tienen puntos en común.

Notación: Si L1 y L2 son dos rectas paralelas entonces ello se representa así:L1 || L2.

Responde en tu cuaderno:

• ¿Cuándo dos rectas no son paralelas?

• ¿Por qué una figura como la que se muestra a continuación no representaunas rectas paralelas?

142

POST

PRIM

ARI

A R

URA

L


• Con dos pedazos de hilo, cabuya o alambre representa dos rectas que a pesar de notener puntos en común no sean paralelas.

* El “ser paralelas” entre rectas se puede considerar como una relación. ¿Es estarelación de equivalencia? (Una recta se considera paralela a sí misma).

* En el plano, ¿qué sucede si dos rectas son perpendiculares a una tercera recta?

* Busca a tu alrededor ejemplos reales que se ajusten al ejercicio anterior.

* Conformen grupos de a tres estudiantes y analicen para al final concretar y acordarcuál será el significado de las siguientes expresiones:

a. Dos segmentos son paralelos.

b. Un segmento es paralelo a una recta.

c. Dos semirrectas son paralelas.

d. Tener vidas paralelas.

143

MA

TEM

ÁTI

CA

S 6º

○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○

EL SISTEMA MÉTRICO DECIMAL

ACTIVIDAD 1. Estudia individualmente

Si descomponemos en sus raíces griegas la palabra geometría obtenemos: geo: tierra ymetrón: medida. Éste parece ser el significado práctico primitivo de geometría comolo atestiguan civilizaciones antiguas como la egipcia.

A pesar de que con el tiempo, la geometría dejó de ser sólo medida, ésta actividadsiguió siendo importante, ¿y es que quién no ha tomado o estimado medidas algunavez en su vida? Es así que el medir y estimar se convierten en actividades valiosas en lavida diaria de cada uno.

Como veíamos anteriormente, para medir se hace necesario seleccionar y unificarunidades de medidas con el fin de facilitar la comunicación y entendimiento entre loshombres.

Esto lo entendieron muy bien los miembros de la Asamblea Nacional Constituyente,creada en 1790 como uno de los resultados de la Revolución Francesa, y delegaron enla Academia de Ciencias de París el nombramiento de una comisión encargada de:

1) Adoptar una medida de longitud de carácter internacional, tomada del globoterrestre, en forma tal que no cambiara con el tiempo.

144

POST

PRIM

ARI

A R

URA

L

Así nació el metro que es la diez millonésima parte de un cuadrante (cuarta parte)de un meridiano terrestre, y se halla representado por una barra de platino e Iridiola cual se encuentra en Sevres cerca de París.

2) Derivar las unidades de área, volumen y peso de esa unidad de longitud.

Ejemplo: m2, m, litros, kilogramos, etcétera.

3) Construir unidades mayores y menores de cada unidad basadas en el sistema denumeración decimal.

Ejemplo: decámetros, kilómetros, centímetros, etcétera.

Así nació el Sistema Métrico Decimal como un aporte más de la Revolución Francesaal mundo. Pero a pesar de que se trató de universalizar este sistema, países como Inglaterray Estados Unidos usan el llamado Sistema Inglés cuya unidad principal de longitud esel pie, y aunque ha habido interés de adoptar el sistema métrico, no han tenido éxito.

Además de las unidades que componen el sistema métrico decimal, en algunas regionesdel país se usan medidas como el jeme, el palmo, brazada etcétera.

• Averigua si en tu región usan algunas medidas diferentes a las derivadas del metro.• Tantea en metros:

a) El ancho del salón de clases.

b) El ancho y largo del tablero de clases.

c) La distancia de la puerta del salón a la puerta de la escuela en línea recta y siguiendoun camino normal.

145

MA

TEM

ÁTI

CA

S 6º


Estudia los múltiplos

○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○

y Submúltiplos del Metro

Como existen en el universo distancias que para representarlas en metros senecesita de muchas cifras, entonces se usaron unas unidades que son múltiplosdel metro para las grandes distancias, y para los muy pequeños los submúltiplosde él.

Nombre Abreviatura Número de metros

Metro m 1

Decámetro Dm 10

Hectómetro Hm 100

Kilómetro Km 1.000

Miriámetro Mm 10.000

decímetro dm 0.1 ó 1

10

centímetro cm 0.01 ó 1

100

milímetro mm 0.001 ó 1

1000.

Ahora responde en tu cuaderno:

Observa: 10 dm equivalen a 1 metro.

100 cm equivalen a 1 metro.

1.000 mm equivalen a 1 metro.

• ¿1 dm a cuántos cm equivale?

• ¿Cuántos mm tiene un cm?

146

POST

PRIM

ARI

A R

URA

L

EJERCICIOS:

1. Tantea en cm las dimensiones de esta cartilla y de tu cintura.

2. ¿Qué es más grande: 0,085 m o 985 cm? ¿Cuánto?

3. Tantea en mm el grosor del cuaderno de matemáticas.

4. Expresa en 2 múltiplos y 2 submúltiplos del metro, 13,5 m.

5. Discute con tus compañeros la siguiente situación:

En cierta fiestas la gente acostumbra a echar voladores. Si estamos lejos dedonde estalla un volador, primero vemos el humo del estallido y después oímosel estallido del trueno.

◆ ¿Por qué esta diferencia no se percibe cuando estamos cerca delhecho?

Recuerda: Velocidad del sonido 340 m por segundo y velocidad de laluz 300.000 Km por segundo.

◆ ¿En qué otros fenómenos ocurre este hecho?

6. Como las distancias espaciales son extremadamente grandes, losastrónomos crearon una unidad especial llamada el año luz la cual equivalea la distancia que recorre la luz en un año.

◆ Expresa esta distancia en m, en dm y en Hm.

7. No es raro escuchar en los almacenes de telas expresiones como: deme uncuarto de seda blanca, deme tres metros y medio de paño y otros de esteestilo.

◆ Expresa las medidas anteriores en m, dm y cm.

8. ¿Si una persona compra 15 cuartos de tela, cuántos m compró?, ¿CuántosKm?, ¿Cuántos cm?

147

MA

TEM

ÁTI

CA

S 6º

9. En los reinados se ha oido o leído la expresión: 90-60-90, ¿Qué significará?

10. ¿En este país, o en tu región cuándo una persona se considera alta?Discútelo con tus compañeros.

11. ¿Qué significa la expresión “Con la vara que midiereis serás medido”?

12. ¿Cuándo un discurso se considera kilométrico?

13. Estima en kilómetros la distancia, en línea recta y siguiendo tu camino ha-bitual, que hay de tu casa a tu escuela.

ENTÉRATE

Gran parte de la información que circula por el mundo se transmite a través dela lengua inglesa y si esa información se origina en Inglaterra o en Estados Unidos,entonces las medidas vienen en unidades del sistema inglés.

Por eso es importante conocer las equivalencias entre los dos sistemas:

1 pie equivale a 0,3048 m

1 pulgada equivale a 2,54 cm

1 milla equivale a 1.608 m

1 pie tiene 12 pulgadas

Responde:

1. ¿Cuántos pies hay en un metro?

2. ¿Cuántas millas hay en un Km?

3. Si encuentras escrito u oyes que una persona mide 5 y 11, eso significa quetiene 5 pies y 11 pulgadas de estatura.

¿Cuál será su estatura en m?

148

POST

PRIM

ARI

A R

URA

L

4. Estima tu altura, tu brazo, tu cintura y las dimensiones de tu cuaderno enpies.

5. Estima en millas la distancia de tu casa a tu escuela.

6. ¿Qué distancia es mayor y en cuánto: 8 pies o 2 m?

7. ¿Qué distancia es mayor y en cuánto: 1

100 m m o 0,001 pulgada?

Compara tus respuestas con las de tus compañeros.

149

MA

TEM

ÁTI

CA

S 6º

○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○

POLÍGONOS

ACTIVIDAD 1. Estudiemos los polígonos.


Un polígono es una figura bidimensional cerrada formada por la unión de segmentostales que ningún par de ellos se entrecruza y es coplanar.

Los segmentos se llaman lados y el punto donde se intersectan dos segmentos de llamavértice. El número de lados determina el nombre del polígono así:

No. de lados Nombre Gráfica

3 Triángulo

4 Cuadrilátero

5 Pentágono

6 Hexágono

7 Heptágono

8 Octágono

9 Nonágono

10 Decágono

.

.

.

n n- ágono

150

POST

PRIM

ARI

A R

URA

L

Responde:

• ¿Qué relación existe entre el número de lados y el número de vértices de unpolígono?

• Completa el siguiente cuadro en tu cuaderno, pintando el polígono ymidiendo sus ángulos.

No. de lados del polígono Suma de ángulos

3 180º

4

5

6

ENTÉRATE

El segmento que une 2 vértices no consecutivos de un polígono se llama diago-nal.

• Pinta un pentágono y traza todas sus diagonales.

• Pinta un nonágono. Elige un vértice, ¿cuántas diagonales puedes trazarpartiendo de ese vértice? Repite el ejercicio con un triángulo y con unhexágono.

ACTIVIDAD 2. Estudia los triángulos

Los triángulos se pueden clasificar de acuerdo con la longitud de sus lados ocon la medida de sus ángulos.

151

MA

TEM

ÁTI

CA

S 6º

Un triángulo se llama:

• Isósceles si tiene 2 lados congruentes.

• Equilátero si tiene 3 lados congruentes.

• Escaleno si sus 3 lados tienen diferente medida.

• Acutángulo si sus 3 ángulos son agudos.

• Rectángulo si tiene un ángulo recto.

• Obtusángulo si tiene un ángulo obtuso.

Ejemplo:

Equilátero Isósceles Rectángulo Escaleno Obtusángulo

Contesta:

• De los triángulos anteriores, ¿cuáles son acutángulos?

• Mide los ángulos de cada uno de los triángulos anteriores y suma las tresmedidas. ¿Qué puedes concluir?

• ¿Será que un triágulo equilátero es isósceles?

ACTIVIDAD 3. Estudia los cuadriláteros

Si dos lados de un cuadrilátero son paralelos, entonces el cuadrilátero se diceque es un trapecio.

152

POST

PRIM

ARI

A R

URA

L

Ejemplo:

Un trapecio se dice isósceles si sus lados no paralelos son congruentes.

Ejemplo:

Contesta:

• ¿Qué puedes decir de los ángulos de un trapecio isósceles?

ENTÉRATE

Si el par de los lados paralelos de un trapecio es congruente, entonces el trapeciose dice que es un paralelogramo, o lo que es lo mismo: un paralelogramo es uncuadrilátero con un par de lados paralelos y congruentes.

En tu cuaderno:

• Pinta un par de segmentos que sean congruentes y paralelos.

Ahora completa el cuadrilátero. ¿Qué puedes decir de estos 2 nuevoslados?

• Pinta un paralelogramo con un ángulo recto. ¿Qué figura obtuviste?

Esta nueva figura se llama rectángulo.

153

MA

TEM

ÁTI

CA

S 6º

• Pinta un rectángulo con un par de lados consecutivos congruentes. ¿Quéfigura obtuviste?

Esta nueva figura se llama cuadrado.

• ¿Cuáles son las características que determinan que un cuadrilátero searombo?

• Pinta un rectángulo y trázale las diagonales. ¿Qué puedes concluir?

• Pinta un paralelogramo que no sea rectángulo y trázale las diagonales.¿Se te cumple la condición del ejercicio anterior en este caso?

CONCLUYAMOS

Cuadrados ⊂ Rectángulos ⊂ Paralelogramos ⊂ Trapecios ⊂ Cuadriláteros.

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