PONTI E ISOLE PONTI E ISOLE Francesco Cavalera Liceo Scientifico "A.Vallone"

PONTI E ISOLEPONTI E ISOLEPONTI E ISOLEPONTI E ISOLE

Francesco Cavalera Liceo Scientifico

"A.Vallone"

PONTI E ISOLE

a) 4 isole, in modo che da 3 isole escano 2 ponti e dalla quarta ne escano 4?

b) 4 isole, in modo che da 3 isole escano 2 ponti e dalla quarta ne escano 3?

c) 5 isole, in modo che da 3 isole escano 2 ponti e dalle altre 2 ne escano 4 e 3 rispettivamente?

d) 3 isole, in modo che da una escano 3 ponti, da un’altra 2 ponti e dalla terza solo 1?

e) 3 isole, in modo che da ciascuna escano 3 ponti?

Ci chiediamo se, date alcune isole, è possibile collegarle a piacimento con quanti ponti vogliamo. Per esempio, è

possibile collegare:


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A

B

C

D

a) Uno dei modi per collegare 4 isole A, B, C e D, in modo che da A, B e C escano 2 ponti, mentre da D ne escano 4.

Ci sono altri modi?

E negli altri casi?


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Come si vede, non tutti i collegamenti sono realizzabili nel modo voluto.

C’è una regola?

Facciamo qualche osservazione. Nei casi realizzabili:

• Qual è il numero totale n dei ponti?

• Quanto vale la somma s dei numeri dei ponti uscenti da ogni isola?

• C’è una relazione tra n ed s? Quale? Come la giustifichiamo?Effettuando la somma s, quante volte viene conteggiato ogni ponte? Ogni ponte viene conteggiato due volte, quindi deve

essere

n = s/2 e perciò s pari. Dunque:I collegamenti di un numero qualsiasi di isole con numeri qualsiasi di ponti sono realizzabili solo se la somma dei

numeri dei ponti uscenti da ogni isola è pari.


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Il numero dei ponti uscenti da un’isola verrà chiamato grado dell’isola e un’isola verrà chiamata pari o dispari a seconda

che il suo grado sia pari o dispari.

Allora, per quanto abbiamo detto in precedenza, i collegamenti di un numero qualsiasi di isole con numeri qualsiasi di ponti sono realizzabili solo se la somma dei

gradi di ogni isola è pari.

2 ponti in uscita, grado 2, A pariA

B

C

D

3 ponti in uscita, grado 3, C dispari

2 ponti in uscita, grado 2, B pari

5 ponti in uscita, grado 5, B dispari

2

32

5

s = 2+2+3+5 = 12, pari


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Domanda: le isole dispari possono essere in numero qualsiasi?

No! O le isole sono tutte pari, oppure le isole dispari sono in numero pari, perché altrimenti la somma dei

loro gradi sarebbe dispari!

In particolare, se il numero di isole è dispari, esse non possono essere tutte dispari!

Tra i casi proposti, sono dunque realizzabili solo a) e d).

A

B

C

D

2

23

5


"A.Vallone"

Altra domanda: la condizione che la somma dei gradi sia pari è sufficiente per assicurare la realizzabilità?

Ad esempio, è possibile collegare 4 isole, in modo che da dalle prime 3 escano 2 ponti e dall’ultima ne escano 8?

Dunque:

…ogni grado è minore o uguale alla somma dei rimanenti

I collegamenti sono realizzabili solo se…

Ci ricorda niente questa condizione?


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Possiamo rappresentare sinteticamente i collegamenti da realizzare con una sequenza in cui riportiamo i gradi di ogni

isola:

Ad esempio, i casi a), b), c), d) considerati in precedenza si possono rappresentare con le sequenze:

a) (2, 2, 2, 4) b) (2, 2, 2, 3) c) (2, 2, 2, 3, 4) d) (3, 2, 1) e) (3, 3, 3)

Sono realizzabili i collegamenti rappresentati dalle seguenti sequenze?

(2, 3, 4, 2) (3, 3, 3, 5) (3, 2, 7) (1, 2, 2, 3, 5) (1, 2, 2, 4, 3)

Scrivere due sequenze a piacere, diverse dalle precedenti, rappresentanti collegamenti realizzabili e…realizzarli.


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PASSEGGIATEUna volta realizzati i collegamenti tra le isole, ci chiediamo:

E’ possibile fare una passeggiata che, partendo da un’isola e terminando in un’altra (non necessariamente la stessa), ci

permetta di attraversare tutti i ponti solo una volta ?

A

B

C

D

?


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Facciamo qualche osservazione:

se un’isola A è dispari e se nella passeggiata ogni ponte viene attraversato una ed una sola volta una passeggiata iniziata in

un’altra isola deve terminare necessariamente in A.

A


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mentre una passeggiata iniziata in A deve terminare necessariamente in un’altra isola.

A


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se un’isola A è invece pari e se nella passeggiata ogni ponte viene attraversato una ed una sola volta una passeggiata

iniziata in A deve terminare necessariamente in A.

A


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A

mentre se inizia fuori da A termina pure fuori da A


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Ricapitolando:

Quindi, perché una passeggiata che attraversi tutti i ponti una sola volta sia possibile:

Ma allora, una passeggiata iniziata in un’isola A pari deve terminare in A ma anche in tutte le isole dispari, mentre una iniziata in un’isola A dispari deve terminare comunque in un’altra isola dispari

• o le isole sono tutte pari, nel qual caso una passeggiata può iniziare in un’isola qualsiasi e deve terminare nella stessa isola

• se un’isola è pari, una passeggiata iniziata in A termina in A, una iniziata fuori da A termina fuori da A

• se un’isola A è dispari, una passeggiata iniziata in A termina fuori da A, una iniziata fuori da A termina in A

• oppure le isole dispari sono solo 2, nel qual caso una passeggiata può iniziare solo in una delle due e finire nell’altra


"A.Vallone"

E’ possibile la passeggiata in questo caso? Sì, perché ci sono

solo 2 isole dispari, A e C

E qual è una possibile

passeggiata?

Numeriamo i ponti

A

B

C

1

2

3

4

5

6

Una possibile passeggiata può essere allora descritta così:

A

Altre possibili passeggiate:

A345612; A342156; C124563 …

123 4 5 6


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AB

C

D

E

E’ possibile la passeggiata in questo caso?

No, perché ci sono 4 isole dispari: A, B, D ed E


"A.Vallone"

A

B

C

D

E

E’ possibile la passeggiata in questo caso?

Sì, perché le isole sono tutte pari

E qual è una possibile

passeggiata?


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Nella città di Königsberg, in Prussia (oggi Kaliningrad, in

Russia), il fiume Pregel si divide in due rami formando

due isole, collegate fra di loro e al resto della città da 7 ponti.

Ai tempi del matematico Euler fu posto il problema se fosse possibile con una passeggiata attraversare tutti i ponti sul Pregel una

ed una sola volta.

I PONTI DI KÖNIGSBERGVeduta della città

I sette ponti


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Possiamo dare anche noi la risposta che diede Euler,

tenendo conto che le zone A, B, C e D possono essere

considerate tutte isole, in quanto si può passare da una all’altra

solo attraverso i ponti.

Il problema fu risolto da Euler nel 1736.

La passeggiata è impossibile, perché le isole sono 4 e tutte

dispari!


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GRAFI

E’ possibile disegnare completamente con un tratto continuo questa figura partendo da uno dei punti

segnati e finendo in un altro, non necessariamente lo stesso, senza percorrere due volte lo stesso tratto?

C D

EB

A


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C D

EB

A

Come si può vedere, è possibile farlo solo partendo da C e finendo in D, o viceversa. Come mai ?

I punti non sono altro che “isole” mentre le linee sono invece ponti.


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Un insieme di punti e di linee che li collegano è chiamato grafo.

I punti di un grafo vengono chiamati nodi, mentre le linee vengono chiamate archi.

In analogia con quanto abbiamo fatto per le isole:

Un nodo di un grafo viene chiamato pari o dispari se il numero di archi uscenti dal nodo è pari o dispari.

Chiamiamo grado di un nodo il numero di archi uscenti dal nodo

E inoltre:


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• o i nodi sono tutti pari, nel qual caso il grafo può essere tracciato partendo da un nodo qualsiasi e terminando nello stesso nodo • oppure i nodi dispari sono solo 2, nel qual caso il grafo può essere tracciato partendo da uno dei due e finendo nell’altro

Considerando i nodi come isole e gli archi come ponti e tenendo conto che tracciare completamente con un tratto continuo un

grafo partendo da un nodo e finendo in un altro equivale a fare una passeggiata che attraversa tutti i ponti una ed una sola

volta, possiamo affermare che

è possibile tracciare un grafo con tratto continuo sole se:


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C D

EB

A

In questo grafo A, B ed E sono nodi pari, mentre C e D sono nodi dispari

Quindi è possibile tracciarlo con un tratto continuo solo partendo da C e terminando in D

o viceversa, ma non partendo da A, B o E !


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E in questo caso ?

Tutti i nodi sono pari, quindi può essere tracciato partendo da un nodo qualsiasi e terminando nello stesso

E in questo caso ?

Ci sono 4 nodi dispari, quindi non può essere tracciato con

tratto continuo


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Quali dei seguenti grafi è possibile tracciare con un tratto continuo?

Per quali poligoni regolari è possibile tracciare con un tratto continuo il grafo costituito da tutti i lati e tutte le diagonali?


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