Introducción El objetivo de esta presentación es poder compartir mis

propias experiencias de dos tipos de tareas matemáticas:

Reflexión

Análisis

Desarrollada en el marco de una propuesta curricular del plan de estudio de la carrera del Profesorado en Matemática: Optativa I y Optativa II.

Dentro de un marco teórico donde se entiende, la actividad matemática como una actividad de resolución de problemas, mediatizada por un lenguaje simbólico y organizada lógicamente como un sistema conceptual. (Godino 2003)

Parte I

“El Problema del Bebedero” (Segal, S, Giuliani, D,

2008). Funciona claramente como una actividad de

modelización que permite reconstruir una parte

importante de lo que denominamos “Quehacer

Matemático”.

Situación En el campo, algunos bebederos para animales tienen

una forma como la que se esquematiza en el dibujo:

Se trata de un prisma recto de 4 m de largo, y dos de sus caras son trapecios isósceles congruentes de base menor 6 dm, base mayor 8 dm y altura 4 dm.

Se necesita graduar una varilla colocada en forma vertical sobre uno de los trapecios para precisar el nivel de agua correspondiente a 100, 200, 300, … lts.

8 dm

6 dm

4 m 4 dm

“PROBLEMA DEL BEBEDERO” Este problema me llevo a realizar una actividad de modelización, que

ayudo a construir una parte esencial del “Quehacer” matemático.

Ahora bien, ¿En que consiste el Quehacer Matemático?

Plantearse nuevas preguntas

Buscar medios para responderlas

Desarrollar nuevos métodos

Conjeturar propiedades

Validar soluciones

Interactuar con compañeros

Confrontar resultados, técnicas, validaciones

Teoremas y Definiciones (producto y herramientas)

CONSTRUCCION DE CONOCIMIENTO MATEMATICO

PROCESO DE MODELIZACION

Observación de la realidad

Descripción simplificada de la realidad

Construcción de un modelo

Trabajo sobre el modelo

Interpretación del resultado de la realidad.

ACTIVIDAD CIENTIFICA

¿Cuándo Un Problema Genera Actividad Matemática?

Complejidad: exigencia de seleccionar y usar

diferentes herramientas y conocimientos en forma

coordinada y simultanea.

Admite diferentes procedimientos y procesos.

Toma de Decisiones.

MOTIVAN

RESUELVEN

EXPRESA

Y

SOPORTA

REGULAN

EL USO

CONCEPTOS DISPONIBLES Y/O EMERGENTES

PROCEDIMIENTOS DISPONIBLES Y/O

EMERGENTES

PROPOSICIONES DISPONIBLES Y/O

EMERGENTES

ARGUMENTOS

JUSTIFICAN

Parte II

Presentaré el trabajo realizado sobre una secuencia

(Saiz, I; Etchegaray, S, 2007) de actividades que

nos hace pensar y decidir sobre la “División de

Fracciones”.

Primera Parte: Situación N° 1

Para encontrar la mitad de un número fraccionario se puede:

a) Dividir el numerador por 2 y se deja el mismo denominador.

b) Dejar el mismo numerador y dividir el denominador por 2.

c) Dividir el numerador y el denominador por 2.

d) Dividir la fracción por un medio.

e) Dejar el mismo numerador y calcular el doble del denominador de la

fracción.

f) Multiplicar la fracción por un medio.

1. ¿Cuál o cuales de estos procedimientos son los correctos?

Argumente su decisión.

2. Si representa simbólicamente cada uno de ellos ¿Qué reflexión

puede compartir?

Resignificaciones de Propiedades que “hacen” al significado de la fracción En tanto relaciones matemáticas que produje son los siguientes:

Cualquier número fraccionario tiene su mitad.

La propiedad de Densidad de los números Fraccionarios. Propiedad que lo hace diferente al conjunto de los números Naturales y Enteros.

En (a) los números fraccionarios nos hace pensar en un todo y sus partes. (significado de área)

En (c) si se opera dividiendo o multiplicando igualmente el denominador y al numerador, obtenemos la misma fracción.

En (d) el dividir por un medio es duplicar las partes que tomo, es decir, el numerador.

En (e) me hizo pensar en los infinitos “zoom” y poder pensar en la mitad de la de la mitad.

En (f) me hizo pensar en otra ruptura con los naturales: que la multiplicación puede “achicar” y la división puede “agrandar”.

Situación N° 2

En una división de fracciones:

a) ¿Puede ser el cociente mayor que el dividendo?

b) ¿Se puede anticipar sin realizar el cálculo si el cociente será mayor, menor

o igual que el dividendo?

Esto es lo distinto también de las fracciones, cuando se trabajan a las fracciones desde el contexto de la medida, se puede hacer cambio de unidad. Lo cual me ayuda a anticipar los cálculos.

¿Por qué es importante anticipar?

Nuevas Resignificaciones

Situación N° 3

Tratar de sistematizar el sistema de practicas

matemáticas, puestas en juego y validadas en las dos

situaciones anteriores con el fin de decir en qué

“sentido” se avanza, con este contenido, con respecto

a lo aprendido sobre división de números naturales

Nuevas Resignificaciones

Que la relación: “la mitad de un numero

fraccionario”, no es acotada, pues tiene la propiedad

de DENSIDAD que lo hace diferente a otros campos

numericos y nos amplia además el campo de

relaciones que uno pueda detectar.

Segundo, que la división no siempre “achica”

depende de si el dividendo es mayor o menor al

divisor, además el significado de repartir no alcanza

para resolver todo los problemas.

Segunda Parte: Situación N° 4 Usando que en una división el cociente es la cantidad de

veces que el divisor entra en el dividendo, graficar y

resolver las siguientes divisiones de fracciones:

a) 3/2 : ¼ = e)7/5 : 3/10 =

b) 5 ¾ : ½ = f)¾ : 1/3 =

c) ¼ : 3/2= g)2/3 : 5/4 =

d) 8/7 : 1 =

Nuevas Significaciones De manejar la simple técnica para dividir fracciones,

(la primera fracción queda como esta y se multiplica por la segunda dada vuelta), a poder ver que pasando por significados de la fracción que conocía, entendiendo sus limites la técnica tiene una razón de ser y está sustentada en las fracciones equivalentes.

Que el cambio de unidad depende de cuáles de la fracciones es mayor o menor. Ahora bien, ¿Porque se reduce la enseñanza de la división de fracciones solo a esa “técnica mágica” ?

Situación N° 5

a) Establecer una regla para dividir fracciones con

igual denominador.

a) La regla que encontró ¿Es aplicable para

fracciones de distinto denominador?

En (a) nos hace pensar en las fracciones equivalentes, en clases.

En (b) nos hace pensar en el inverso de una fracción.

Situación N° 6

¿Cómo puede justificar el algoritmo qué

usted conoce para dividir fracciones?

Tercera Parte: Situación n° 7

¿Por cuánto hay que dividir 1/5 para obtener

como cociente 2/15?

Describa todas las relaciones que pone en

juego para poder solucionar la cuestión

planteada.

¿Qué numero dividido por a/b permite obtener

c/d? con a, b, c, d números Z y b, d distinto de

cero.

Pone a funcionar las relaciones obtenidas en forma

dialéctica:

La densidad

En que todos tienen inverso (a-1)

Trabajar en una misma situación sus diferentes

significados Área, Medida, Longitud.

Romper con modelos arraigados por el uso en el

conjunto del los números naturales.

Lo significativo al transitar estos

espacios fue:

Analizar la actividad matemática para “pensar” sobre

la enseñanza de la matemática.

Pensar los problemas como recurso para el

aprendizaje.

Revisar la matemática que conozco, integrarla y

analizarla para construir matemática a enseñar.

Reconstruir un aparato teórico que me permita

volver a utilizarlos para resolver nuevas situaciones,

producir nuevos modelos y más teorías a partir de la

Resolución de Problemas.

Nuevas Preguntas

¿Qué es el quehacer matemático?

¿Basta con saber matemática para poder

enseñarla?

¿Qué es saber, hacer y decir matemática?

¿Cómo se piensa matemática para enseñar?