Polytech’Nice-Sophia, Départements SI et MAMCours de 4ème année : Commande par Ordinateur.

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Introduction à la commande par ordinateur

Question étudiée dans ce cours : comment un ordinateur embarqué peut-il prendre les commandes d’un processus physique ?

Les notions abordées :1. processus physique : entrées, sorties, équations, temps continu

2. Système asservi : capteurs, actionneurs, loi de contre réaction

3. Discrétisation : échantillonnage, blocage, temps discret

4. Loi de commande : boucle ouverte, retour d’état, commande optimale

5. Performance : rapidité, précision, stabilité, consommation

La page http://cours.polytech.unice.fr/intcom contient tous les documents utilisés en cours, et liens vers les outils utilisés

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Contenu du cours, projet à réaliser, et synthèse demandée

• Le cours des six premières semaines aborde les notions citées dans un con-texte déterministe où entrées, sorties et équations sont connues parfaitement

• Les six semaines suivantes, on ajoute (J. Le Roux) la notion de bruit d’ob-servation, les informations des capteurs sont entachées d’incertitudes.

• L’animation Lunar Lander (Flash, ActionScript) illustre le cours en simu-lant l’alunissage en pilotage manuel d’un module lunaire sous forme de jeu.

• Un projet est réalisé en groupes de deux élèves durant les séances de travaux dirigés, il s’agit de modéliser un processus physique commandé par ordinateur, par exemple l’alunissage automatisé d’un Lunar Lander. Technologie utilisée : Html5 et javaScript, ou Processing, ou python, ou ?

• Une synthèse personnelle est demandée à chacun, sur les notions du cours

• Pour la séance de TD de cette semaine – Télécharger Scilab pour les calculs nécessaires, discrétisation, loi de commande

– Télécharger Lunar Lander, exécutable et source, pour une étude détaillée

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On dispose d’une illustration des notions du cours avec l’animation Lunar Lander qui simule l’alunissage d’un module lunaire en 2D

Animation pédagogique tirée du site http://phet.colorado.edu/ et enrichie de plusieurs lois de commandes, Lunar Lander implémente :• des équations tirées de la relation fondamentale de la dynamique•Un modèle discrétisé à la période d’échantillonnage Te= 40 ms• un tableau de bord avec l’état des capteurs et actionneurs, ...•Plusieurs lois de commandes, ‘m’ manuel, ‘e’ pour retour d’état, •des paramètres de commande transmis par Scilab dans des fichiers texte• … on demande une analyse détaillée des fonctionnalités dans le premier td

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Planning prévisionnel du cours des six premières semaines

1. Définir les notions utilisées, sur l’exemple simple du processus de remplissage d’une cuve• TD : expérimenter Scilab, Analyser Lunar Lander, apprendre html5 ou …

2. Écrire les équations de Lunar Lander en utilisant la seconde loi de Newton, les mettre sous la forme de la représentation d’état, et discrétiser ces équations pour le projet à l’aide de Scilab

3. Commande en boucle ouverte de Lunar Lander

4. Commande par retour d’état, commande de vitesse, commande de position

5. Commande optimale linéaire quadratique à horizon fini, résolution de l’équation récurrente de Ricatti

6. Rattrapages, finition, et bilan

Débutons avec l’exemple du processus de remplissage d’une cuve

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Qu’est ce que l’Automatique ?« l’essence des bonnes machines est de se gouverner par elles-mêmes, autant qu’il est possible et sans le secours de l’intelligence humaine » J.V. Poncelet (1826), extrait du premier ( ?) cours d’Automatique (cité dans ‘Eléments d’Automatique’, de Faurre et Robin, chez Dunod).

Définitions de l’Automatique

Ensemble de théories, de techniques, de composants ... utilisées pour rendre les machines autonomes, indépendantes de l’intervention humaine, afin de réduire la fréquence et la difficulté des tâches humaines.

Paradoxe : L’automatique vise donc à la disparition de l’automaticien, l’automatisation à la disparition de l’ouvrier de la chaîne de production. Qu’en pensez vous ? Et pour l’informatique et l’informaticien ?

Mots apparentés : Automatisme , automatisation, automation, automate, robot, contrôle, asservissement, régulation, cybernétique, informatique (en effet, Informatique égale « traitement automatique de l’information », dénomination du rapport de Philippe Dreyfus (1962) admise par l’Académie Française en 1966.! ), ... On pourra chercher la définition, les tenants et aboutissants des termes précédents avec le Web, l’Encyclopédia Universalis, ou la bibliothèque ...

Automatique et Ordinateurs

En plus du traitement de l’information, les ordinateurs sont impliqués de plusieurs façons dans l’automatisation  :automatisme de séquence, automate programmable,asservissements échantillonnés utilisant un calculateur pour calculer et appliquer la loi commande, simulation numérique, optimisation, auto adaptation

Les domaines touchés par l’Automatique sont innombrables ...

Tous ceux de la vie courante, dans l’environnement ménager, du milieu industriel, scientifique, technique, mais également le contrôle du trafic, les études de population, d’halieutique, finance et économie, ... cela défie l’énumération et peut faire aussi l’objet d’une recherche documentaire :... métallurgie, visée, guidage, pilotage, machine-outil et servomécanisme, chimie, robotique, électronique, informatique, hifi, train, avionique, espace, marine, nucléaire, militaire, domotique, électroménager …

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Exemple de la clepsydre, une contre-réaction antique

L’horloge à eau du mécanicien grec Ktésibios, revue et améliorée par les physiciens arabes au 9 ème siècle, était connue des égyptiens, et également des amérindiens. Il y a diverses versions et principes. Dans la version suivante, elle met en œuvre un régulateur de niveau dans le réservoir intermédiaire afin de réguler le débit dans le réservoir horloge :

Tiré de ‘Eléments d’Automatique’, de Faurre et Robin, chez Dunod

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Autre exemple: le régulateur à boules de James Watt

pointeau

Les boules s’écartent quand la vitesse croît

On règle la « tringlerie » pour maintenir la vitesse autour de la consigne c

tringlerie

Le régulateur à boules de Watt schématisé ci-contre est l’un des multiples mécanismes ingénieux développés au 18 ème siècle durant la révolution industrielle. Il s’agit de stabiliser la vitesse de rotation du moteur à vapeur, en régulant la pression de la vapeur dans la chaudière. Sinon, ce processus est instable. C’est donc une application du principe de contre réaction, et Watt est présenté par les anglo-saxons comme le père des automatismes (d’après le livre déjà cité de Faurre et Robin).

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Processus, entrées, sorties, relation d’entrée sortie

Schéma de remplissage (manuel) :

S

h(t), hauteur

d(t), débit

f(t), fuite

robinetProcessus physique de remplissage d’une cuve avec fuite :d(t) entrée,f(t) perturbationh(t) sortieRègle: capteurRobinet: actionneur

Relation d’entrée sortie, la variation du volume V=S*h dans la cuve est la différence d-f

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Équation du processus de remplissage, test de réponse indicielle, instabilité Entrée Bornée Sortie Bornée (EBSB)

• t, le temps, varie continûment

• Prenons S=1 m2, et f=0 litre par seconde

)()( tftddt

dhS

dt

dV

fdhS

0)0( 0 hh

?)0(

1)0(

th

td

tththh 0)(1

cond. init.

t

t

d(t)

h(t)

0

0

1

1s

1m

)(1)( thtdLe processus étudié est instable au sens E.B.S.B. car on a trouvé une entrée bornée pour laquelle la sortie est non bornée … la cuve déborde

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Capteur, actionneur, loi de commande, contre-réaction

Actionneur : électrovanneCommande a(t) : entrée électrique qui commande l’ouverture de l’électrovanne et donc le débit d(t)Capteur : convertit hauteur h(t) en tension r(t)On peut maintenant automatiser le processusOn fait pour simplifier : a(t)=d(t) et r(t)=h(t)

cuve

a(t)

r(t)

h

d(t)capteur

actionneur

• Soit hc, la hauteur de liquide souhaitée, ou consigne, ou encore référence :

– Loi de commande par tout ou rien (non linéaire) :

– Loi de commande linéaire :

)(

))(()(

hhkd

thhktd

c

c

0)()(

)()(

tdhth

dtdhth

c

Maxc

d(t) est la commandek est le gain de contre réactionhc-h est l’erreur d’asservissementh(t) est le retour

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Équation du système bouclé avec la loi de commande linéaire

• l’équation du système asservi avec la loi de commande linéaire :

• Équation caractéristique du système bouclé :

• Une racine de l’équation caractéristique, ou pôle, ou encore valeur propre du système bouclé

• La règle : un pôle réel négatif est stable au sens EBSB

uSISf

fhhkfdhS c

1,0

)(

c

c

hhk

h

khkhh

kr

k

r

01

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Test indiciel du système bouclé, précision, temps de réponse

• Si h(0)=0 et hc(t)=hc constante

)1()( ktcc ehthhh

k

h

t

t

hc

h(t)

0

hc(t)

tr5%=3/k

kteth

hk

h

)(

0

c

c

hth

hhk

h

)(

c

ktc

hh

ehth

0)0(

)(

0

0.95hc

hc

Solution homogène (sans second membre)

Solution particulièreavec second membre

D’où la solution :

La cuve ne déborde plus sauf si la consigne donnée dépasse la hauteur de la cuve :

cc hehkh 95.0)1()/3( 3

•hc=est la valeur finale•le gain statique du système bouclé vaut 1•La précision est parfaite, pas d’erreur h(t)hc•Temps de réponse à 5% : tr5%=3/k, car

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Test du retour à l’équilibre, stabilité asymptotique

• Placé à l’écart de ses conditions d’équilibre, à consigne nulle, comment un processus ou un système revient-il (ou pas) à l’équilibre

t

kt

c

ehthhk

h

hh

th

0

0

)(0

0)0(

0)0(

h(t)

tr5%=3/k

0,0)0(0)0( 000 hhhhh

00.05h0

h0

L’équilibre est défini comme suit : la sortie et toutes les dérivées de la sortie sont nulles. Ici, c’est :

Ici, le système bouclé revient à l’équilibre :• le retour à l’équilibre dure tr5%=3/k• il est apériodique (pas de dépassements)

Stabilité asymptotique : c’est quand le processus revient à l’équilibre C’est plus contraignant que la stabilité au sens EBSB (cf. processus seul ici)

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Horloge d’échantillonnage, échantillonnage de l’entrée, blocage de la sortie

Commande par ordinateur implique :1. Rythmée par une période d’échantillonnage Te,

2. blocage de l’entrée d, BoZ

3. échantillonnage de la sortie h(t)Te

Te

d(t)

d0 d1 d2

t

th1

h2

…

2Te

h(t)

hn=h(nTe)échantillonnage

entre t= nTe et t= (n+1)Te,d(t)=d(nTe) constante,Blocage d’ordre zéro

On passe en temps discret, les signaux changent ou sont mesurés aux instants nTe

0

0

d3…

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Discrétisation du processus de remplissage de cuve

• Discrétiser, c’est calculer la relation récurrente entre la commande dn et la condition initiale hn à l’instant nTe et la sortie hn+1à l’instant (n+1)Te

• Pour cela, on tient compte du bloqueur d’ordre zéro, en intégrant l’équation différentielle différencielle du processus à entrée constante

• Par exemple entre t=0 et t=Te,

• On généralise entre nTe et (n+1)Te :

?)()(,0

)0(,)0(,01

0

00e

e

ThhdtdTt

ddhht

e

ee

Tdhh

dThTh

dh

001

0

0

)0()(

ennn Tdhh 1

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Commande par ordinateur, loi de commande programmée :

• Loi de commande :

• Équation du système bouclé

• Équation caractéristique et racines (pôles, ou encore valeurs propres) :

• Pour un système en temps discret, la stabilité EBSB s’obtient si tous les pôles sont de module inférieur à un

• Test du retour à l’équilibre :

)( nnn hckd

kTa

cahah

kcThkTh

hckThh

hckd

dThh

e

nnn

nenen

nnenn

nnn

nenn

1

)1(

)1(

)(

)(

1

1

1

1

ar

0,0 ncn

00 h

?0nhn

ennn

n kThaharh )1(00

?1

10lim

a

assihnn

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Calculer la réponse indicielle du système bouclé

• La consigne est égale à hc constante

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Comportement indiciel selon le gain de contre réaction

• Racine caractéristique a= 0.5 • Racine a= 0.25

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Comportement indiciel selon le gain de contre réaction

• Racine caractéristique a= - 0.5 • Racine a= 0; (réponse pile ?)

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Valeur finale et temps de réponse du système bouclé :

• Sur la réponse indicielle, on lit que h(t) tend vers hc quand t tend vers l’infini

• hc=est la valeur finale

• Le gain statique du système bouclé vaut 1

• La précision est parfaite, pas d’erreur d’asservissement

• Le régime transitoire dure à peu près tr5%=3/k, car h(3/k) égale environ 0.95hc

cc hehkh 95.0)1()/3( 3

La cuve ne déborde plus sauf si la consigne dépasse la hauteur de la cuve

?001.0

?01.0

05.0

7

%15

3

e

te

e

r