polinomios - para alumnos y alumnas de matemáticas en ESO · PDF fileExpresa en...

3 Polinomios

62Unidades didácticas Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO

E l Álgebra tiene una gran presencia como contenido matemático en la Educación Secundaria. En particular, en este curso se trabajan diversos aspectos del lenguaje algebraico: las letras con significado algebraico (variables), las expresiones algebraicas y sus operaciones, las ecuaciones lineales y cuadráticas, los procesos de pensamiento algebraico y la resolución de problemas. Así como ciertos aspectos del

conocimiento numérico que constituyen la base para la aritmética generalizada, es decir, aquellos conocimientos que facilitan la transición del pensamiento numérico al algebraico. Las aproximaciones que se tratan en esta unidad son: la generalización de patrones numéricos y geomé-tricos, el paralelismo entre las leyes que gobiernan las relaciones numéricas y las propiedades de las operaciones con expresiones algebraicas y la modelización de fenómenos físicos y matemáticos. Es importante para la comprensión progresiva del álgebra la destreza aritmética, ya que las primeras experiencias con el razonamiento algebraico se corresponden con la aritmética generalizada. Por ello parte de los contenidos expuestos en la unidad irán acompañados de ejemplos numéricos con el fin de que el estudiante infiera la similitud entre ambos procesos.

Un paso clave en la modelización matemática es la identificación y designación de las variables seguido del establecimiento de las relaciones formales entre las mismas, para lo que resulta imprescindible la manipulación de las expresiones simbólicas que muestra las propiedades del sistema modelizado y permite obtener nuevos conocimientos sobre el mismo. Finalmente se requiere la interpretación y aplicación de los resultados obtenidos con el modelo algebraico. A lo largo de la unidad aparecen ejemplos que parten de problemas extraídos de situaciones cotidianas, de otras ciencias y de contextos sociales, y cuya resolución pasa por la traducción y modelización algebraica.

En la mayoría de las actividades propuestas el alumnado trabajará varias competencias al mismo tiempo.

Comunicación lingüística (CL) El razonamiento algebraico implica representar, generalizar y formalizar patrones y regularidades. A medida que se desarrolla este razonamien-to, se va progresando en el uso del lenguaje y el simbolismo necesario para apoyar y comunicar el pensamiento algebraico.

Competencia matemática y competencias básicas en ciencia y tecnología (CMCT)En los problemas incluidos en la unidad encontramos elementos teóricos que suponen el inicio de una reflexión sobre la estructura algebraica de los conjuntos y de las operaciones con sus elementos. Todo ello contribuye al desarrollo de la competencia matemática.

Competencia digital (CD)El uso de las nuevas tecnologías proporciona una alternativa que suaviza el paso del pensamiento numérico al pensamiento algebraico a través de una propuesta de aula que permita al alumnado, mediante situaciones problemáticas pre-algebraicas, poner en práctica el conocimiento aritmético que posee a la vez que se familiariza con el leguaje algebraico.

Competencias sociales y cívicas (CSC)Propiciar experiencias con procesos de generalización y búsqueda de patrones ayuda a adquirir conocimientos que permitan comprender y analizar de manera crítica modelos y pautas comunes que se presentan en la vida diaria. En la sección de Matemáticas vivas se modelizan los procesos de selección de personal mediante modelos algebraicos.

Competencia aprender a aprender (CAA)El estudio del álgebra va más lejos del carácter puramente operativo. Ayuda a pensar, inducir, deducir, analizar, generalizar y abstraer. Contri-buye a desarrollar una amplia gama de aptitudes y competencias que constituyen pilares fundamentales para futuros aprendizajes.

Competencia sentido de iniciativa y espíritu emprendedor (CSIEE)La mayoría de las ciencias recurren con frecuencia al lenguaje algebraico para expresar sus resultados. Sin embargo, la función informativa de las matemáticas no es la única útil para el hombre que vive en sociedad. El uso de operaciones sencillas y la aplicación de algunos algoritmos se hace necesario a menudo en situaciones laborales, sociales y comerciales.

Competencia conciencia y expresiones culturales (CCEC)El reconocimiento de la presencia de identidades algebraicas en figuras geométricas aporta un nuevo punto de vista a la hora apreciar y dis-frutar de diversas manifestaciones artísticas.

El tiempo previsto para el desarrollo de la unidad es de 3 semanas, aunque deberá adaptarse a las necesidades de los alumnos.

POLINOMIOS3

63

3Polinomios

Unidades didácticas Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO

ObjetivosLos objetivos que los alumnos tienen que alcanzar son:

❚❚ Emplear las expresiones algebraicas, así como sus operaciones, en distintos contextos.❚❚ Realizar operaciones con polinomios.❚❚ Relacionar las raíces de un polinomio con aquellos números para los cuales el valor numérico del polinomio se anula.❚❚ Factorizar polinomios empleando, entre otras, identidades notables y teorema del resto.❚❚ Comprender y resolver problemas en los que es necesario el uso de polinomios.❚❚ Realizar una tarea de trabajo cooperativo utilizando los polinomios y sus operaciones.

Atención a la diversidadPara atender las diversas necesidades que presenta el grupo el docente podrá diseñar una organización flexible de los contenidos de la unidad con la inclusión de actividades de refuerzo y de ampliación con distintos niveles de dificultad.

Material complementarioEn el material complementario Comprende y resuelve problemas se proponen actividades para trabajar la comprensión y la resolución de problemas relacionadas con el estudio de los polinomios. Por otra parte, el material complementario Practica+ cuenta con un repaso de los contenidos y procedimientos estudiados sobre polinomios, y se proponen nuevas actividades para repasar y afianzar dichos contenidos.

Además, para ayudar a los alumnos a comprender y practicar conceptos relacionados con polinomios pueden acceder a la lección 1151 de la web www.mismates.es.

P R O G R A M A C I Ó N D E L A U N I D A D

Contenidos Criterios de evaluación Estándares de aprendizaje evaluablesRelación de

actividades del libro del alumno

Competencias clave

Expresiones algebraicas. Monomios

1. Representar y analizar situaciones matemáticas y estructuras usando símbolos algebraicos.2. Reconocer el grado y el coeficiente de un monomio.

1.1. Modeliza situaciones empleando el lenguaje algebraico.

2.1. Reconoce monomios semejantes. 2.2. Opera con monomios.

1, 28, 3575, 85-88, 96

2, 3, 794-8, 76-78, 80-84

CLCMCTCAACSIEECCEC

Polinomios. Valor numérico

3. Identificar los coeficientes y el grado de un polinomio.

4. Interpretar el valor numérico de un polinomio para un valor de la variable.

3.1. Determina los coeficientes y el grado de polinomios.

4.1. Halla el valor numérico de un polinomio para un número.

4.2 Detecta si un número dado es raíz de un cierto polinomio.

10-12 Matemáticas vivas 1c, 3a13, 16-18, 89, 91 Matemáticas vivas1a, 3b14, 15, 19-21, 2390, 92-94, 100 Matemáticas vivas 1b

CLCMCTCAACSIEE

Suma, resta y multiplicación de polinomios

5. Realizar sumas, restas y multiplicaciones de polinomios.

5.1. Efectúa las operaciones básicas con polinomios.

24-28, 30-34, 3695, 97-99 Trabajo cooperativo

CMCTCDCSC

Identidades notables

6. Deducir algebraica y geométricamente algunas identidades notables sencillas.

6.1. Desarrolla el cuadrado de una suma, de una diferencia y el producto de una suma por una diferencia. Realiza el proceso inverso.

39-4353101-104 CM1

CLCMCTCAACCEC

División de polinomios

7. Realizar la división euclídea de polinomios. 7.1. Conoce y aplica la relación entre el divisor, el dividendo, el cociente y el resto en una división de polinomios.7.2. Aplica el algoritmo de la división euclídea.

50-52, 54, 55 106, 107 111, 11348, 49, 56, 57, 105

CMCTCDCAA

Regla de Ruffini 8. Emplear la regla de Ruffini en las divisiones en las que el divisor es un polinomio de grado uno.

8.1. Aplica la regla de Ruffini. 59-64108-110, 112

CLCMCTCAA

Teorema del resto. Factorización

9. Factorizar polinomios con raíces enteras.

10. Identificar el resto de la división de un polinomio entre un monomio como el valor numérico correspondiente.

9.1. Factoriza polinomios sacando factor común y empleando las identidades notables.9.2. Reconoce los factores que proporcionan en la factorización de un polinomio sus raíces. 10.1. Aplica el teorema del resto en la factorización de polinomios y en la detección de raíces de un polinomio.

37, 38 , 44-47, 5870, 74, 119-123 72, 73 124-12665-69, 71114-118127, 128

CLCMCTCSCCAACSIEE


MAPA DE CONTENIDOS DE LA UNIDAD

2. Polinomios. Valor numérico

4. Identidades notables

¿Qué tienes que saber? • Monomios • Polinomios • División de polinomios • Regla de Ruffini. Teorema del resto

Matemáticas vivasRecursos humanos • Utilización de las expresiones

algebraica para realizar procesos de selección

AvanzaFracciones algebraicas

Cálculo mentalEstrategia para multiplicar números que equidistan de una potencia de 10

PARA EL PROFESOR

MATERIAL COMPLEMENTARIO

PARA EL ALUMNO

Actividades de RefuerzoActividades de Ampliación

Propuesta de Evaluación APropuesta de Evaluación B

Presentación de la unidadIdeas previasRepasa lo que sabes

Matemáticas en el día a díaContenido WEB. Paolo Ruffini

1. Expresiones algebraicas. Monomios

Vídeos. Operaciones con polinomios 1 Operaciones con polinomios 2

3. Suma, resta y multiplicación de polinomios

5. División de polinomiosVídeo. División de polinomios

6. Regla de Ruffini

7. Teorema del resto. Factorización

Actividades finales Actividades interactivas

MisMates.esLección 1151 de la web www.mismates.es

Practica+

Comprende y resuelve problemas

3 Polinomios

Trabajo cooperativoTarea cuya estrategia es Lápices al centro, de Nadia Aguiar y María Jesús Talión

Unidades didácticas Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO64

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3Polinomios


Sugerencias didácticas

Los alumnos conocen el lenguaje algebraico que les permi-te expresar enunciados o propiedades matemáticas senci-llas. En esta unidad repasarán los procedimientos para rea-lizar operaciones con polinomios, hallar el valor numérico que toman al dar valores a la parte literal de los mismos o desarrollar expresiones a partir de las identidades notables.

Para iniciar la unidad se proponen unos ejercicios sencillos sobre la traducción al lenguaje algebraico y las propiedades de las potencias.

Con los ejemplos desarrollados y los numerosos ejercicios de la unidad los alumnos lograrán la familiaridad necesaria para realizar con soltura todo tipo de operaciones con po-linomios.

Contenido WEB. PAOLO RUFFINI

En la sección Matemáticas en el día a día se introduce un recurso TIC para complementar la página de inicio con información rela-tiva a la unidad. En este caso se trata de una breve biografía de P. Ruffini, matemático italiano que dio nombre al método que utili-zamos actualmente para dividir polinomios y factorizarlos. Puede utilizarse para motivar a los alumnos antes de comenzar a trabajar la unidad, situándola en un contexto histórico, o como amplia-ción para aquellos alumnos que muestren un interés especial.

REPASA LO QUE SABES1. Traduce a lenguaje algebraico estos enunciados.

a) El doble de un número menos 5.

b) Un número más su cuadrado.

c) El cubo de un número más su doble.

2. Expresa en lenguaje algebraico el perímetro y el área de un cuadrado cuyo lado mide x unidades.

3. Reduce a una única potencia.

a) x2 ⋅ x3 b) x5 : x3 c) x5 ⋅ x5 d) x4 : x4 e) x2( )3

4. Extrae factor común en estas operaciones.

a) 25 + 23 − 22

b) 1+ 22( )5 + 1+ 22( )3 − 1+ 22( )2

En el estudio de las matemáticas, la física y otras ciencias se utilizan expresiones que incluyen letras para generalizar resultados o para indicar valores desconocidos y hacer cálculos con ellas como si fueran números. El lenguaje algebraico permite a los científicos plantear problemas o formular hipótesis que se puedan demostrar con independencia de unos datos numéricos concretos.

Por ejemplo, para indicar cualquier número par, podemos escribir 2n, donde n es la representación de un número natural. La expresión 2n es un monomio determinado por la multiplicación de un número y una letra.

La suma de varios monomios recibe el nombre de polinomio, una expresión con la que es posible describir elementos o fenómenos tanto de la naturaleza como del ámbito social.

POLINOMIOS

Paolo Ruffini (1765-1822) fue un matemático, profesor y médico italiano que descubrió una regla de cálculo que permite descomponer en factores y hallar algunas raíces de los polinomios.

Matemáticas en el día a día ][43

3En el estudio de las matemáticas, la física y otras ciencias se utilizan expresiones que incluyen letras para generalizar resultados o para indicar valores desconocidos y hacer cálculos con ellas como si fueran números. El lenguaje algebraico permite a los científicos plantear problemas o formular hipótesis que se puedan demostrar con independencia de unos datos numéricos concretos.

Por ejemplo, para indicar cualquier número par, podemos escribir 2natural. La expresión 2multiplicación de un número y una letra.

La suma de varios monomios recibe el nombre de polinomio, una expresión con la que es posible describir elementos o fenómenos tanto de la naturaleza como del ámbito social.

IDEAS PREVIAS

❚ Traducción a lenguaje

algebraico de enunciados,

propiedades o relaciones

matemáticas.

❚ Propiedades de las

potencias.

❚ Propiedad distributiva para

transformar productos

en sumas y extraer factor

común.

mac3e8

Repasa lo que sabesSoluciones de las actividades

1. Traduce a lenguaje algebraico estos enunciados.

a) El doble de un número menos 5.

b) Un número más su cuadrado.

c) El cubo de un número más su doble.

a) 2x − 5 b) x + x2 c) x3 + 2x

2. Expresa en lenguaje algebraico el perímetro y el área de un cuadrado cuyo lado mide x unidades.

Perímetro: 4x

Área: x2

3. Reduce a una única potencia.

a) x2 ⋅ x3 b) x5 : x3 c) x5 ⋅ x5 d) x4 : x4 e) x2( )3

a) x5 b) x2 c) x10 d) x0 = 1 e) x6

4. Extrae factor común en estas operaciones.

a) 25 + 23 − 22

b) 1+ 22( )5 + 1+ 22( )3 − 1+ 22( )2

a) 22 ⋅ (23 + 2 − 1)

b) 1+ 22( )2 ⋅ 1+ 22( )3 + 1+ 22( )−1( )

3 Polinomios


1. Expresiones algebraicas. Monomios

45

3Actividades3 Polinomios

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1. EXPRESIONES ALGEBRAICAS. MONOMIOSAlgunas de las fórmulas que ya conoces las escribimos mediante expresiones algebraicas.

Una expresión en la que aparecen números y letras relacionados entre sí por operaciones aritméticas recibe el nombre de expresión algebraica.

Las letras se denominan variables o indeterminadas.

MonomiosObserva las expresiones algebraicas que corresponden al perímetro de un triángulo equilátero y al área de un rectángulo:

3a b ⋅ h

En ellas solo aparece una operación, el producto, y las variables se agrupan en un único término. Estas expresiones se llaman monomios.

3a → monomio de coeficiente 3 (número que acompaña a la variable) y grado 1 (exponente de la variable)

b ⋅ h → monomio de coeficiente 1 y grado 2, ya que cada una de sus variables está elevada a 1 y, al multiplicarlas, sumamos sus exponentes.

❚ Un monomio es una expresión algebraica formada por el producto de un número, llamado coeficiente, por una o más variables con exponente natural, que forman la parte literal.

❚ El grado de un monomio es la suma de los exponentes de las variables de la parte literal.

❚ Dos monomios son semejantes cuando tienen la misma parte literal.

Para realizar operaciones con monomios, debemos tener en cuenta las propiedades de las operaciones con los números reales y las de las potencias.

Aprenderás a… ● Identificar expresiones algebraicas y sus elementos.

● Calcular el grado de un monomio.

● Reconocer monomios semejantes y realizar operaciones con monomios.

Presta atención

El prefijo mono- proviene del griego y significa único, solo. Observa que los monomios tienen un único término.

Presta atención

Los monomios de grado 0 son números porque a0 = 1.

} Escribe la expresión algebraica que corresponda en cada caso.

a) El perímetro de un triángulo equilátero cuyo lado es a.

b) El área de un cuadrado de lado l.

c) La longitud de la circunferencia que tiene por radio r.

d) El área de un rombo que tiene por diagonales D y d.

Solución

a) 3a b) l2 c) 2πr d) D ⋅d

2

EJERCICIO RESUELTO

Halla las expresiones algebraicas que permiten calcular el perímetro y el área de la figura.

a

b

Indica cuáles de estas expresiones algebraicas son monomios.

a) x3y2 d) 2xy − z

b) x3 + 2y2 e) πx3

c) 7x1/2 f) 8xy2

Halla el grado de estos monomios.

a) 5x7 c) 2x

b) x3

18 d) −9x7

1

2

3 Efectúa las divisiones de estos monomios e indica el grado del monomio resultante.

a) 6 x7( ) : 4 x( ) c) −6 x3 y 4( ) : −3xy2( )

b) x3

2: −12x3( ) d) ab2 x4

4: 8abx2( )

6

Calcula el producto de los siguientes monomios.

a) 6x7 ⋅ 4x c) −2xy( ) ⋅ −3x3 y 4( )

b) x3

2⋅ −12x3( ) d) ax4

4⋅8abx2

Resuelve las operaciones.

a) 6 x7( )2 c) −2x( )4 ⋅ −3x3( )2

b) x3

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟⎟

3

d) a2b4

5

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟⎟

4

4

5

} Efectúa este producto: 5x3( ) ⋅ −3x4( )

Solución

El coeficiente del monomio resultante es el producto de los coeficientes de los factores.

5 x3 ⋅ −3x4( ) = 5 ⋅ −3( ) ⋅ x3+4 = −15 x7

El grado del monomio resultante es la suma de los grados de los monomios multiplicados.

EJERCICIO RESUELTO

} Realiza estas divisiones. Si el resultado es un monomio, indica su grado.

a) 6 x7( ) : −6 x( ) b) 2x5( ) : 3x5( ) c) 12x2( ) : 2x5( )

Solución

a) 6 x7( ) : (−6 x ) =6 x7

−6 x= −x6 → grado 6

b) 2x5( ) : 3x5( ) =2x5

3x5=

2

3 → grado 0

c) 12x2( ) : 2x5( ) =12x2

2x5=

6

x3= 6 x−3

El resultado no es un monomio, porque el exponente no es natural.

EJERCICIO RESUELTO

} ¿Cuáles de estas sumas de monomios tienen como resultado un monomio?

a) 42x3 + 53x3 b) 2x5 + 3x6 c) 3x7 − 6x7

Solución

La suma de monomios solo se puede realizar si los monomios son semejantes.

a) 42x3 + 53x3 = (42 + 53)x3 = 95x3

b) No son monomios semejantes.

c) 3x7 − 6x7 = (3 − 6) x7 = −3x7

EJERCICIO RESUELTO

Simplifica estas expresiones.

a) 3x + 11x − 5x c) −2x4( )− −3x4( )

b) −2x5 − x5 − −3x5( ) d) x3

2−

x3

5

Indica cuáles de los resultados de las siguientes operaciones son monomios.

a) 3x

x6 b)

6 x7

2x5+x4

x2 c)

x4

x+x8

x7

7

8

Busca las acepciones de la palabra algebrista en el diccionario. ¿A cuál de ellas se refiere Cervantes en el capítulo XV del tomo II del Quijote al escribir: Donde fue ventura hallar un algebrista con quien se curó?

9

Investiga

Soluciones de las actividades1 Halla las expresiones algebraicas que permiten calcular el perímetro y el área de la figura.

a

b

La hipotenusa de este triángulo rectángulo mide a2 + b2 , luego el perímetro es: a + b + a2 + b2

El área del triángulo es: ab

2


Las expresiones algebraicas cuentan con la resistencia psi-cológica del alumno a manipular letras como si de números se tratara. Los ejercicios que más ayudan a progresar en esta dirección son aquellos en los que se pide al alumno que proponga fórmulas que describan un cierto fenómeno. A tal fin ayuda que en los pasos iniciales las constantes que rigen el proceso sean números concretos, para pasar des-pués al caso general.

En este epígrafe conviene disponer de ciertos conocimien-tos elementales de la geometría de los cuadriláteros o de los polígonos regulares.

Las operaciones con monomios ya son conocidas de cursos anteriores. Se debe poner especial énfasis en cómo se reali-zan y en distinguir en las expresiones si son monomios, cuál es su parte literal o su grado. De este modo, los alumnos serán capaces de traducir al lenguaje algebraico las expre-siones del lenguaje habitual y viceversa.

67

3Polinomios


2 Indica cuáles de estas expresiones algebraicas son monomios.

a) x3y2 c) 7x1/2 e) px3

b) x3 + 2y2 d) 2xy − z f) 8xy2

Son monomios las expresiones de los apartados a), d), e) y f).

La expresión del apartado b) no es un monomio porque es una suma de dos monomios, y la del apartado c) porque tiene un exponente que no es un número natural.

3 Halla el grado de estos monomios.

a) 5x7 b) x3

18 c) 2x d) −9x7

a) 7 b) 3 c) 1 d) 74 Calcula el producto de los siguientes monomios.

a) 6x7 ⋅ 4x b) x3

2⋅ −12x3( ) c) −2xy( ) ⋅ −3x3 y 4( ) d)

ax4

4⋅8abx2

a) 24x8 b) −6x6 c) 6x4y5 d) 2a2bx6

5 Resuelve las operaciones.

a) 6 x7( )2 b) x3

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟⎟

3

c) −2x( )4 ⋅ −3x3( )2 d) a2b4

5

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟⎟

4

a) 36x14 b) x9

8 c) 144x10 d)

a8b16

6256 Efectúa las divisiones de estos monomios e indica el grado del monomio resultante.

a) 6 x7( ) : 4 x( ) b) x3

2: −12x3( ) c) −6 x3 y 4( ) : −3xy2( ) d)

ab2 x4

4: 8abx2( )

a) 3x6

2→ Grado 6 b) −

1

24→ Grado 0 c) 2x2y2 → Grado 4 d)

bx2

32→ Grado 2

7 Simplifica estas expresiones.

a) 3x + 11x − 5x b) −2x5 − x5 − −3x5( ) c) −2x4( )− −3x4( ) d) x3

2−

x3

5a) 9x b) x5 c) x4 d) 0

8 Indica cuáles de los resultados de las siguientes operaciones son monomios.

a) 3x

x6 b)

6 x7

2x5+x4

x2 c)

x4

x+x8

x7

a) 3x−5 → No es un monomio.

b) 4x2 → Es un monomio de grado 2.

c) x3 + x → No es un monomio.

Investiga9 Busca las acepciones de la palabra algebrista en el diccionario. ¿A cuál de ellas se refiere Cervantes en el capítulo del

tomo del Quijote al escribir: Donde fue ventura hallar un algebrista con quien se curó?

La acepción más comúnmente empleada de la palabra algebrista es la que hace referencia al especialista en álgebra, que es una rama de la Matemática. El álgebra nació de la mano del árabe Al-Jwarizmi, quien vivió en el siglo , y cobró un gran impulso con el trabajo de los matemáticos italianos Ferro, Ferrari, Cardano y Tartaglia dedicados al cálculo de las raíces de los polinomios de grado menor o igual que 4.

Sin embargo, Cervantes llama algebristas en El Quijote a los recomponedores de huesos, los actuales traumatólogos.

La tercera acepción de esta palabra es la de alcahuete, esto es, persona que concierta una relación amorosa, y que sin duda no es a la que se refiere Cervantes.

3 Polinomios


2. Polinomios. Valor numérico

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46

Indica el grado de los siguientes polinomios escribiendo sus monomios ordenados según sus grados de mayor a menor.

a) P(x) = 13x5 − 4x3 + x4

b) Q(x) = 9 + 3x18 − 2x14

c) R(x) = 19x + 13x6 + 12x3

d) S(x) = 10x4 − 5x5 + x7

¿Cuál es el coeficiente principal de estos polinomios? ¿Cuál es su grado?

a) P(x) = x5 − 4x4

b) Q(x) = x12 − 13x13 + 18

c) R(x) = −x − 8x7 + 2x4

d) S(x) = x − 9x4 + 3x2

Agrupa los monomios de igual grado para expresar de forma simplificada el polinomio P(x) = x7 + 12 + 3x4 + x6 − x4 − 3x7 + 11.

Calcula el valor numérico del polinomio P(x) = 5x2 − 2x + 11, para x = 2, x = −1 y x = 3.

Comprueba que 1 es una raíz del polinomio P(x) = −6x17 + 3x6 + 3.

Considera el polinomio Q(x) = 2x4 − 16x3 − 132x2 + 1 296x − 2 430. ¿Cuál de estos números no es raíz del polinomio Q(x)? ¿Cuál se repite?

5 3 21 9

Calcula el término independiente del polinomio:

P(x) = −4x9 − 3x3 + 5x + a0

sabiendo que P(0) = 1.

Determina los valores de a y de n para que el siguiente polinomio sea un monomio de grado 7.

P(x) = 2x14 − ax12+n + x7

Con los valores hallados, calcula y ordena de menor a mayor estos números.

P (−1) P(−3) P(4) P(7) P(1)

Si P(−2) = 5, halla el valor de a en el siguiente polinomio:

P(x) = x4 − x3 + ax + 1

Halla el valor de a sabiendo que coincide con una raíz del polinomio propuesto:

P(x) = x6 − ax5 + 3a − 6

¿Tiene alguna raíz entera el polinomio P(x) = x3 − x2 + 12x − 6?

Si P(x) = x3 − 7x − 6, calcula el valor numérico para x = 1, x = 2, x = −1 y x = −2. ¿Cuáles son sus raíces?

¿Existen valores de a y de b de modo que el polinomio P(x) = −bx4 + ax2 + 3 verifique que P(2) = 1 y P(−2) = 5?

Justifica tu respuesta.

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2. POLINOMIOS. VALOR NUMÉRICOVanesa quiere realizar un estudio sobre el volumen de tinta que puede contener un cartucho como el de la figura según el valor que elija para x.

La figura está formada por un cubo y un ortoedro. Su volumen, en centímetros cúbicos, viene dado por la expresión:

P(x) = x3 + 2 ⋅ 3 ⋅ x = x3 + 6x

No se trata de un monomio, ya que la suma de monomios que no son semejantes no puede simplificarse. Decimos que son polinomios.

Un polinomio es la suma de dos o más monomios de distinto grado. Estos monomios se llaman términos.

❚ El término de grado 0 es el término independiente del polinomio.

❚ El grado del polinomio es el mayor de los grados de sus términos.

Valor numéricoA la hora de medir el volumen contenido en el depósito, Vanesa solo tiene que decidir el valor por el que sustituir la x en el polinomio P(x), por ejemplo x = 2 o x = 3:

P(2) = 23 + 6 ⋅ 2 = 20 P(3) = 33 + 6 ⋅ 3 = 45

En el primer caso contendrá 20 cm3, y en el segundo, 45 cm3.

El número que se obtiene al sustituir un valor, a, en un polinomio, P(x), se llama valor numérico y se escribe P(a).

Si el valor numérico de P(x) para x = a es igual a 0, es decir, si P(a) = 0, se dice que a es una raíz del polinomio.

Las raíces enteras de un polinomio, si existen, son divisores de su término independiente.

Aprenderás a… ● Reconocer los coeficientes y el grado de un polinomio.

● Hallar el valor numérico de un polinomio para un número.

● Comprobar que un número es raíz de un polinomio.

Presta atención

El valor numérico de un polinomio, P(x), para x = 0, coincide con su término independiente.

P(0) = a0

} Halla el valor numérico del polinomio P(x) = x2 − 6x + 8, para x = 2, x = 3 y x = 4. ¿Qué relación puedes observar?

Solución

P(2) = 22 − 6 ⋅ 2 + 8 = 4 − 12 + 8 = 0

P(3) = 32 − 6 ⋅ 3 + 8 = 9 − 18 + 8 = −1

P(4) = 42 − 6 ⋅ 4 + 8 = 16 − 24 + 8 = 0

Los números 2 y 4 tienen valor numérico nulo. Ambos son divisores del término independiente, 8.

EJERCICIO RESUELTO

DESAFÍO

Los números r y s son enteros y primos entre sí, con s ≠ 0 y tales que r

s es una raíz del polinomio:

P(x) = anxn + … + a1x + a0

Además, sus coeficientes son también números enteros, con a0 y an no nulos. Demuestra que r es un divisor de a0 y que s es un divisor de an.

23

Un polinomio de dos términos se denomina binomio, y si tiene tres, se llama trinomio.

Lenguaje matemático

Si escribimos un polinomio de la forma:

P(x) = anxn + … + a1x + a0

❚ Los números an, …, a1, a0 son los coeficientes del polinomio.

❚ an es el coeficiente principal del polinomio.


Soluciones de las actividades10 Indica el grado de los siguientes polinomios escribiendo sus monomios ordenados según sus grados de mayor a menor.

a) P(x) = 13x5 − 4x3 + x4 b) Q(x) = 9 + 3x18 − 2x14 c) R(x) = 19x + 13x6 + 12x3 d) S(x) = 10x4 − 5x5 + x7

a) P(x) = 13x5 + x4 − 4x3 → Grado 5 c) R(x) = 13x6 + 12x3 + 19x → Grado 6

b) Q(x) = 3x18 − 2x14 + 9 → Grado 18 d) S(x) = x7 − 5x5 + 10x4 → Grado 711 ¿Cuál es el coeficiente principal de estos polinomios? ¿Cuál es su grado?

a) P(x) = x5 − 4x4 b) Q(x) = x12 − 13x13 + 18 c) R(x) = −x − 8x7 + 2x4 d) S(x) = x − 9x4 + 3x2

a) Coeficiente principal 1 y grado 5 c) Coeficiente principal −8 y grado 7

b) Coeficiente principal −13 y grado 13 d) Coeficiente principal −9 y grado 412 Agrupa los monomios de igual grado para expresar de forma simplificada el polinomio

P(x) = x7 + 12 + 3x4 + x6 − x4 − 3x7 + 11. P(x) = −2x7 + x6 + 2x4 + 23


Tras repasar los conceptos sobre monomios, en estas pági-nas se recuerdan la definición de polinomio y los elementos que lo caracterizan: coeficientes y grado.

Es importante que los alumnos entiendan el concepto de valor numérico. Para lo cual resulta conveniente repasar la jerarquía de las operaciones vista en las unidades anteriores.

Cuando el valor numérico es nulo encontramos una raíz del polinomio. Surge de modo natural la pregunta de cómo hallar todas las raíces de un polinomio, y hay que tener pre-

paradas algunas respuestas. En primer lugar, es fácil probar que si el polinomio tiene coeficientes enteros sus raíces en-teras, si existen, se encuentran entre los divisores del térmi-no independiente. También se puede comentar que desde el siglo se conocen fórmulas para determinar las raíces de un polinomio de grado 2, y aunque un poco más complica-das, también para los polinomios de grados 3 y 4, y que en el siglo se probó que nunca se encontrarán fórmulas de esta naturaleza para todos los polinomios de grado mayor o igual que 5.

69

3Polinomios


13 Calcula el valor numérico del polinomio P(x) = 5x2 − 2x + 11, para x = 2, x = −1 y x = 3.

P(2) = 27 P(−1) = 18 P(3) = 5014 Comprueba que 1 es una raíz del polinomio P(x) = −6x17 + 3x6 + 3.

P(1) = 0 → 1 es una raíz del polinomio.15 Considera el polinomio Q(x) = 2x4 − 16x3 − 132x2 + 1 296x − 2 430. ¿Cuál de estos números no es raíz del polinomio

Q(x)? 5 3 21 9

Q(5) = 0 Q(3) = 0 Q(21) = 207 360 Q(9) = 0 El número 21 no es una raíz de Q(x).16 Calcula el término independiente del polinomio: P(x) = −4x9 − 3x3 + 5x + a0 sabiendo que P(0) = 1.

P(0) = 1 → a0 = 117 Determina los valores de a y de n para que el siguiente polinomio sea un monomio de grado 7.

P(x) = 2x14 − ax12 + n + x7

Con los valores hallados, calcula y ordena de menor a mayor estos números.

P(−1) P(−3) P(4) P(7) P(1)

Si a = 2 y n = 2 → P(x) = 2x14 − 2x14 + x7 = x7

P(−1) = −1 P(−3) = −2 187 P(4) = 16 384 P(7) = 823 543 P(1) = 1

Entonces: P(−3) < P(−1) < P(1) < P(4) < P(7)18 Si P(−2) = 5, halla el valor de a en el siguiente polinomio: P(x) = x4 − x3 + ax + 1

P(−2) = 5 → (−2)4 − (−2)3 + a ⋅ (−2) + 1 = 5 → 25 − 2a = 5 → a = 1019 Halla el valor de a sabiendo que coincide con una raíz del polinomio propuesto: P(x) = x6 − ax5 + 3a − 6

Si a es una raíz del polinomio, entonces P(a) = 0 → a6 − a6 + 3a − 6 = 0 → 3a = 6 → a = 220 ¿Tiene alguna raíz entera el polinomio P(x) = x3 − x2 + 12x − 6?

Las raíces enteras son divisores de su término independiente, −6, luego las posibles raíces de P(x) son ±1, ±2, ±3 y ±6.

P(1) = 6 P(−1) = −20 P(2) = 22 P(−2) = −42

P(3) = 48 P(−3) = −78 P(6) = 246 P(−6) = −330

Ninguno de estos números es raíz del polinomio, por tanto, P(x) no tiene ninguna raíz entera.21 Si P(x) = x3 − 7x − 6, calcula el valor numérico para x = 1, x = 2, x = −1 y x = −2. ¿Cuáles son sus raíces?

P(1) = −12 P(2) = −12 P(−1) = 0 P(−2) = 0 P(3) = 0

Así, las raíces enteras de P(x) son: −2, −1 y 3.22 ¿Existen valores de a y de b de modo que el polinomio P(x) = −bx4 + ax2 + 3 verifique que P(2) = 1 y P(−2) = 5?

Justifica tu respuesta.

P(2) = 1 → −16b + 4a + 3 = 1 P(−2) = 5 → −16b + 4a + 3 = 5

No existen tales valores porque P(2) resulta igual que P(−2) pero 1 ≠ 5.

Desafío

23 Los números r y s son enteros y primos entre sí, con s ≠ 0 y tales que r

s es una raíz del polinomio:

P(x) = anxn + … + a1x + a0

Además, sus coeficientes son también números enteros, con a0 y an no nulos. Demuestra que r es un divisor de a0 y que s es un divisor de an.

Si Pr

s

⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = 0 → an

r

s

⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

n

+ ... + a1

r

s

⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ + a0 = 0 Multiplicando ambos miembros por sn: anr

n + … + a1rsn − 1 + a0s

n = 0

Entonces: an rn +…+ a1rs

n−1 = −a0 sn → r an r

n−1 +…+ a1rsn−1( ) = −a0 s

n

Como r y s son primos entre sí, se deduce que r es un divisor de a0.

Por otro lado: −an rn = s an−1r

n−1 +…+ a1rsn−2 + a0 s

n−1( )Del mismo modo, como r y s son primos entre sí, s es un divisor de an.

3 Polinomios


3. Suma, resta y multiplicación de polinomios

49


48

3. SUMA, RESTA Y MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS

Las operaciones con polinomios se realizan teniendo en cuenta las propiedades de las operaciones con los números reales y las de las potencias.

Aprenderás a… ● Realizar sumas, restas y multiplicaciones de polinomios.

Presta atención

El grado del polinomio producto de dos polinomios es la suma de los grados de ambos.

} Realiza las operaciones propuestas con los siguientes polinomios.

P(x) = x4 + 2x2 + 4x + 6 Q(x) = x2 + 2x + 4

a) P(x) + Q(x) c) P(x) − Q(x)

b) 4P(x) d) P(x) ⋅ Q(x)

Solución

Para operar con polinomios realizamos dichas operaciones con los monomios semejantes.

EJERCICIO RESUELTO

Considera los polinomios:

P(x) = 13x5 + x4 − 4x3

Q(x) = 3x6 − 2x4 + 9

R(x) = 13x6 − x3 + 1

Calcula:

a) P(x) + Q(x) d) P(x) + R(x)

b) P(x) − R(x) e) Q(x) − P(x)

c) Q(x) + R(x) f) R(x) − Q(x)

Halla 3P(x) − 2Q(x), donde:

P(x) = 3x7 − 2x5 + 4x

Q(x) = x7 + x5 + 2x + 1

Calcula el valor de a para que la suma de los polinomios:

P(x) = x3 − 4x − 1

Q(x) = ax3 − ax2 + 3

sea un polinomio de grado 2. En ese caso, ¿cuál es el grado de P(x) − Q(x)?

Resuelve esta operación con polinomios: aP(x) − bQ(x), sabiendo que:

a = 2, b = 3, P(x) = x3 + 2x + 6 y Q(x) = 2x5 − 3x4 + 1

Halla los valores de a, b, c y d para que los polinomios:

P(x) = −x4 + ax3 + bx + 1

Q(x) = cx4 + dx2 + x − 5

satisfagan la igualdad:

2P(x) − 3Q(x) = 7x4 + 4x3 − 12x2 − 7x + 17

Expresa como polinomios el perímetro y el área de este rectángulo.

5 x + 2

2 x

2 – 1

Fíjate en los polinomios:

P(x) = 3x3 − 2x2 − 1

Q(x) = −x2 + 5

Calcula:

a) 5P(x) − 3Q(x) c) 2P(x) + Q(x)

b) P(x) ⋅ Q(x) d) Q(x) ⋅ Q(x) + P(x)

24

25

26

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28

29

30

Multiplica los polinomios:

P(x) = x2 + x + 1

Q(x) = x2 − x4 + 1

Desarrolla estas expresiones y simplifica.

a) 2x + 1( ) 3x − 2( )− 4 x −5( ) x2 + 2( )

b) 3x2 −1( ) 2x + 1( )− 5 x − 3( ) 4 x + 3( )

Realiza estas operaciones.

a) x3 −5 x( ) x2 −1( ) + 3x2 − x −1

b) x x −1( ) x2 + 1( )− x2 −1( )2⎡⎣ ⎤⎦

Reduce a común denominador y simplifica.

a) x ( x − 2)

9−

3x2 − x

12−

( x −1)(2x −7)

36

b) ( x + 2)( x −1)

5−

6 x2 − 3

4−

x2 ( x − 4)

10

c) ( x − 2)( x −1)

2+x + 3

4−

x2 −1

16

d) ( x + 1)( x −1)

18−

x ( x + 2)

3+x2 + 4

6

Al llegar a casa, Raúl se ha encontrado con un grifo estropeado. Consulta a una empresa de fontanería y le presentan este presupuesto.

Halla dos polinomios que permitan calcular el subtotal y el total, respectivamente, expresando el coste de la mano de obra y el importe total en función del número, x, de horas de trabajo. Calcula a cuánto asciende el coste de la reparación si el técnico emplea en ella un total de 3 horas.

31

32

33

34

35

DESAFÍO

¿Es un monomio la expresión algebraica 1+ x −1( ) x2 + x + 1( )? En caso afirmativo, ¿de qué grado?

¿Puedes simplificar la expresión 1+ x −1( ) xn + xn−1 +…+ x + 1( ) para cualquier número natural, n?

36

mac3e9

mac3e10

Soluciones de las actividades24 Considera los polinomios:

P(x) = 13x5 + x4 − 4x3 Q(x) = 3x6 − 2x4 + 9 R(x) = 13x6 − x3 + 1

Calcula:

a) P(x) + Q(x) c) Q(x) + R(x) e) Q(x) − P(x)

b) P(x) − R(x) d) P(x) + R(x) f) R(x) − Q(x)

a) 3x6 + 13x5 − x4 − 4x3 + 9 c) 16x6 − 2x4 − x3 + 10 e) 3x6 − 13x5 − 3x4 + 4x3 + 9

b) −13x6 + 13x5 + x4 − 3x3 − 1 d) 13x6 + 13x5 + x4 − 5x3 + 1 f) 10x6 + 2x4 − x3 − 8


La suma, resta y multiplicación de polinomios se introdu-cen agrupando potencias con el mismo exponente, y esto proporciona una ocasión estupenda para señalar que así lo viene haciendo el alumno desde los cursos anteriores cuan-do opera con números naturales o enteros si considera la variable con valor 10, representando así cada polinomio la descomposición de un número en unidades, decenas, cen-tenas, etc.

Por ello se puede aprovechar para que alumnos más aven-tajados aprendan a expresar los enteros positivos en bases distintas de 10 y a sumarlos y multiplicarlos: los cálculos son los mismos que los efectuados con polinomios cambiando la variable por la base.

Además de la familiaridad con los cálculos, es convenien-te que el alumno observe el comportamiento del grado respecto de la suma y el producto, es decir, que el grado del producto de dos polinomios es la suma de los grados mientras que el grado de la suma es menor o igual que el máximo de los grados.

Vídeos. OPERACIONES CON POLINOMIOS

En el ejercicio resuelto se resuelven las operaciones de suma, mul-tiplicación por un número, resta y multiplicación de polinomios en sendos vídeos en los que se muestra a los alumnos cómo realizar estas operaciones paso a paso.

Pueden reproducirse en clase explicando el proceso que se sigue en cada caso o como recurso para que los alumnos repasen las operaciones con polinomios.

71

3Polinomios


25 Halla 3P(x) − 2Q(x), donde:

P(x) = 3x7 − 2x5 + 4x Q(x) = x7 + x5 + 2x + 1

3P(x) − 2Q(x) = 7x7 − 8x5 + 8x − 226 Calcula el valor de a para que la suma de los polinomios:

P(x) = x3 − 4x − 1 Q(x) = ax3 − ax2 + 3

sea un polinomio de grado 2. En ese caso, ¿cuál es el grado de P(x) − Q(x)?

❚❚ Si a = −1 → P(x) + Q(x) = x3 − 4x − 1 − x3 + x2 + 3 = x2 − 4x + 2

❚❚ Si a = −1 → P(x) − Q(x) = x3 − 4x − 1 + x3 − x2 − 3 = 2x3 − x2 − 4x − 4 → Grado 327 Resuelve esta operación con polinomios: aP(x) − bQ(x), sabiendo que:

a = 2, b = 3, P(x) = x3 + 2x + 6 y Q(x) = 2x5 − 3x4 + 1

aP(x) − bQ(x) = 2x3 + 4x + 12 − 6x5 + 9x4 − 3 = −6x5 + 9x4 + 2x3 + 4x + 928 Halla los valores de a, b, c y d para que los polinomios:

P(x) = −x4 + ax3 + bx + 1 Q(x) = cx4 + dx2 + x − 5

satisfagan la igualdad:

2P(x) − 3Q(x) = 7x4 + 4x3 − 12x2 − 7x + 17

2P(x) − 3Q(x) = −(2 + 3c)x4 + 2ax3 − 3dx2 + (2b − 3)x + 17

Entonces: −(2 + 3c) = 7 → c = −3

2a = 4 → a = 2

−3d = −12 → d = 4

2b − 3 = −7 → b = −229 Expresa como polinomios el perímetro y el área de este rectángulo.

5 x + 2

2 x

2 – 1

El perímetro mide: P(x) = 2(2x2 − 1) + 2(5x + 2) = 4x2 + 10x + 2

El área es: Q(x) = (2x2 − 1) ⋅ (5x + 2) = 10x3 + 4x2 − 5x − 230 Fíjate en los polinomios:

P(x) = 3x3 − 2x2 − 1 Q(x) = −x2 + 5

Calcula:

a) 5P(x) − 3Q(x) b) P(x) ⋅ Q(x) c) 2P(x) + Q(x) d) Q(x) ⋅ Q(x) + P(x)

a) 15x3 − 7x2 − 20 c) 6x3 − 5x2 + 3

b) −3x5 + 2x4 + 15x3 − 9x2 − 5 d) x4 + 3x3 − 12x2 + 2431 Multiplica los polinomios:

P(x) = x2 + x + 1 Q(x) = x2 − x4 + 1

P(x) ⋅ Q(x) = −x6 − x5 + x3 + 2x2 + x + 132 Desarrolla estas expresiones y simplifica.

a) 2x + 1( ) 3x − 2( )− 4 x −5( ) x2 + 2( ) b) 3x2 −1( ) 2x + 1( )− 5 x − 3( ) 4 x + 3( )

a) −4x3 + 11x2 − 9x + 8 b) 6x3 − 17x2 − 5x + 8

3 Polinomios


33 Realiza estas operaciones.

a) x3 −5 x( ) x2 −1( ) + 3x2 − x −1 b) x x −1( ) x2 + 1( )− x2 −1( )2⎡⎣ ⎤⎦a) x5 − 6x3 + 3x2 + 4x − 1 b) −x5 + x4 + x3 + x2 − 2x

34 Reduce a común denominador y simplifica.

a) x ( x − 2)

9−

3x2 − x

12−

( x −1)(2x −7)

36 c)

( x − 2)( x −1)

2+x + 3

4−

x2 −1

16

b) ( x + 2)( x −1)

5−

6 x2 − 3

4−

x2 ( x − 4)

10 d)

( x + 1)( x −1)

18−

x ( x + 2)

3+x2 + 4

6

a) −7 x2 + 4 x −7

36 c)

7 x2 − 20 x + 29

16

b) −2x3 −18 x2 + 4 x + 7

20 d)

−8 x2 −12x −13

1835 Al llegar a casa, Raúl se ha encontrado con un grifo estropeado. Consulta a una empresa de fontanería y le presentan este

presupuesto.

Halla dos polinomios que permitan calcular el subtotal y el total, respectivamente, expresando el coste de la mano de obra y el importe total en función del número, x, de horas de trabajo. Calcula a cuánto asciende el coste de la reparación si el técnico emplea en ella un total de 3 horas.

El subtotal se puede expresar con el polinomio: P(x) = 64,80x + 54

El importe total de la factura viene dado por el polinomio: Q(x) = 106,20 + P(x) = 64,80x + 160,20

Si el técnico emplea x = 3 h, el importe de la reparación es: Q(3) = 64,80 ⋅ 3 + 160,20 = 354,60 €

Desafío36 ¿Es un monomio la expresión algebraica 1+ x −1( ) x2 + x + 1( )? En caso afirmativo, ¿de qué grado?

¿Puedes simplificar la expresión 1+ x −1( ) xn + xn−1 +…+ x + 1( ) para cualquier número natural, n?

1+ x −1( ) x2 + x + 1( ) = 1 + x3 + x2 + x − x2 − x − 1 = x3 → Es un monomio de grado 3.

Si repetimos el procedimiento para n = 4:

1+ x −1( ) x3 + x2 + x + 1( ) = 1 + x4 + x3 + x2 + x − x3 − x2 − x − 1 = x4 → Es un monomio de grado 4.

Observamos que al multiplicar los polinomios y sumar podemos simplificar todos los monomios salvo el de mayor grado, por tanto, la expresión del enunciado resulta el monomio: xn + 1

73

3Polinomios


4. Identidades notables

51


50

Efectúa los productos, aplicando la propiedad distributiva.

a) 3xy2 4 x2 − 3 y5( ) b) −2x2 yz3 5 xy2 −7 x2z − 3 yz2( )

Saca factor común en estas expresiones.

a) 6x5y2 − 3x2y5 b) 5x2y4z3 − 35x2yz2 − 20x2yz3

Desarrolla estas expresiones.

a) x + 6 y( )2 c) 5 x − 4 y( ) 5 x + 4 y( )

b) 4 x − 3 y( )2 d) 2x2 − y( )2

Halla el resultado e indica el grado del polinomio obtenido en cada caso.

a) 3 x −1( )2 − x + 1( )2 c) 3x + 1( ) 3x −1( )− 3x + 4( )2

b) x + 3( )2 − x + 2( ) x − 2( ) d) 2x − 3( )2 − 2x + 3( ) 2x − 3( )

Completa en tu cuaderno los cuadrados.

a) x2 + 6x + 9 = ( )2

§ + §( )2 d) 4x2 + 20x + 25 = ( )

2§ + §( )

2

b) x2 − 14x + 49 = ( )2

§ + §( )2 e) 16x2 − 8x + 1 = ( )

2§ + §( )

2

c) § + 40x + § = ( )2

2x + §( )2 f) § − 36x + § = ( )2

§ − 6( )2

Desarrolla estos cubos.

a) x + 2 y( )3 b) x − y( )3

Efectúa las operaciones propuestas.

a) 3 + x( )2 − x2 c) 1+ 3x( )2 −1

b) 1+ x( )3 − x3 d) 1+ 2x( )3 −1

37

38

39

40

41

42

43

4. IDENTIDADES NOTABLESCuadrado de la suma

a + b( )2 =

= a + b( ) a + b( ) =

= a2 + ab + ab + b2 = = a2 + 2ab + b2

a + b( )2 = a2 + 2ab + b2

b2

a2

ab

ab

b

a

a b

Cuadrado de la diferencia

a− b( )2 =

= a− b( ) a− b( ) =

= a2 − ab − ab + b2 = = a2 − 2ab + b2

a− b( )2 = a2 − 2ab + b2

b2

(a – b)2

b

a

ab

b

b

a – b

ab

a – b

a

Suma por diferencia

a + b( ) a− b( ) =

= a2 − ab + ab − b2

= a2 − b2

a + b( ) a− b( ) = a2 − b2

b2

a2

b

a

a – b

a + b

b

a

Aprenderás a… ● Reconocer las identidades notables.

● Factorizar polinomios sacando factor común y utilizando las identidades notables.

} Halla la expresión desarrollada de:

a) El cuadrado de un trinomio: a + b + c( )2

Solución

a)

b2

a2

b

a

a b

c2c

ac

c

ab

ab

ac bc

bc

a + b + c( )2 = a + b + c( ) a + b + c( ) =

= a2 + ab + ac + ab + b2 + bc + ac + bc + c2 = = a2 + b2+ c2 + 2ab + 2ac + 2bc

b) El cubo de un binomio: a + b( )3

b)

a2b a2b

b3

ab2

ab2 ab2

a2b

a

b

a + b( )3 = a + b( )2 a + b( ) = a2 + 2ab + b2( ) a + b( ) =

= a3 + a2b + 2a2b + 2ab2 + ab2 + b3 = = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

EJERCICIO RESUELTO

} Factoriza este polinomio: −16x5 + 16x4 − 4x3

Solución

1 Extraemos factor común.

−16 x5 + 16 x4 − 4 x3 = −4 x3 4 x2 − 4 x + 1( )

2 Identificamos la identidad notable.

−4 x3 4 x2 − 4 x + 1( ) = −4 x3 2x −1( )2

3 Reescribimos el polinomio.

−16 x5 + 16 x4 − 4 x3 = −4 x3 2x −1( )2

EJERCICIO RESUELTO

Factoriza los polinomios.

a) x2 + 14x + 49 d) x4 − 16y2

b) x2 + 6xy + 9y2 e) x4 − y4

c) x2 − 25y2 f) x2 − y6

Extrae factor común e identifica las identidades notables para factorizar.

a) 5x3 − 30x2 + 45x b) 45x4 − 60x3 + 20x2

Comprueba que: x3 − y3 = x − y( ) x2 + xy + y2( ) . ¿Cómo se factoriza x3 − 1? ¿Puedes afirmar que 7 0323 − 1 es múltiplo de 7 031?

44

45

46

DESAFÍO

Factoriza la expresión x + y( )3 − x − y( )3 . Demuestra que, para cualesquiera números enteros, x e y, esta expresión es un número par.

47

Soluciones de las actividades37 Efectúa los productos, aplicando la propiedad distributiva.

a) 3xy2 4 x2 − 3 y5( ) b) −2x2 yz3 5 xy2 −7 x2z − 3 yz2( )a) 12x3y2 − 9xy7 b) −10x3y3z3 + 14x4yz4 + 6x2y2z5

38 Saca factor común en estas expresiones.

a) 6x5y2 − 3x2y5 b) 5x2y4z3 − 35x2yz2 − 20x2yz3

a) 3x2 y2 2x3 − y3( ) b) 5 x2 yz2 y3z −7− 4 z( )39 Desarrolla estas expresiones.

a) x + 6 y( )2 c) 5 x − 4 y( ) 5 x + 4 y( )

b) 4 x − 3 y( )2 d) 2x2 − y( )2

a) x2 + 12xy + 36y2 c) 25x2 − 16y2

b) 16x2 − 24xy + 9y2 d) 4x4 − 4x2y + y2


Dos son los aspectos que podemos resaltar en estas pági-nas. El primero es el carácter universal de las identidades notables: son verdades que se cumplen siempre, es decir, son ciertas cuando sustituimos las variables que aparecen en ellas por cualesquiera números reales. El segundo as-pecto que queremos señalar es la existencia de muchas

identidades de las que las expuestas en el texto son casos particulares. Especial atención merece

xn − yn = x − y( ) xn−1 + yxn−2 +…+ yn−2 + yn−1( )La representación geométrica de las identidades notables puede ayudar a los alumnos a recordar sus expresiones y a utilizarlas correctamente.

3 Polinomios


40 Halla el resultado e indica el grado del polinomio obtenido en cada caso.

a) 3 x −1( )2 − x + 1( )2 c) 3x + 1( ) 3x −1( )− 3x + 4( )2

b) x + 3( )2 − x + 2( ) x − 2( ) d) 2x − 3( )2 − 2x + 3( ) 2x − 3( )

a) 2x2 − 8x + 2 → Grado 2 c) −24x − 17 → Grado 1

b) 6x + 13 → Grado 1 d) −12x + 18 → Grado 141 Completa en tu cuaderno los cuadrados.

a) x2 + 6x + 9 = (§ + §)2 d) 4x2 + 20x + 25 = (§ + §)2

b) x2 − 14x + 49 = (§ − §)2 e) 16x2 − 8x + 1 = (§ + §)2

c) § + 40x + § = (2x + §)2 f) § − 36x + § = (§ − 6)2

a) x2 + 6 x + 9 = x + 3( )2 d) 4 x2 + 20 x + 25 = 2x + 5( )2

b) x2 −14 x + 49 = x −7( )2 e) 16 x2 − 8 x + 1 = 4 x + −1( )( )2

c) 4 x2 + 40 x + 100 = 2x + 10( )2 f) 9 x2 − 36 x + 36 = 3x − 6( )2

42 Desarrolla estos cubos.

a) x + 2 y( )3 b) x − y( )3

a) x3 + 6x2y + 12xy2 + 8y3 b) x3 − 3x2y + 3xy2 − y3 43 Efectúa las operaciones propuestas.

a) 3 + x( )2 − x2 b) 1+ x( )3 − x3 c) 1+ 3x( )2 −1 d) 1+ 2x( )3 −1

a) 6x + 9 b) 3x2 + 3x + 1 c) 9x2 + 6x d) 8x3 + 12x2 + 6x 44 Factoriza los polinomios.

a) x2 + 14x + 49 c) x2 − 25y2 e) x4 − y4

b) x2 + 6xy + 9y2 d) x4 − 16y2 f) x2 − y6

a) x + 7( )2 c) x + 5 y( ) x −5 y( ) e) x2 + y2( ) x + y( ) x − y( )

b) x + 3 y( )2 d) x2 + 4 y( ) x2 − 4 y( ) f) x + y3( ) x − y3( )45 Extrae factor común e identifica las identidades notables para factorizar.

a) 5x3 − 30x2 + 45x b) 45x4 − 60x3 + 20x2

a) 5 x x2 − 6 x + 9( ) = 5 x x − 3( )2 b) 5 x2 9 x2 −12x + 4( ) = 5 x2 3x − 2( )2

46 Comprueba que x3 − y3 = x − y( ) x2 + xy + y2( ) . ¿Cómo se factoriza x3 − 1? ¿Puedes afirmar que 7 0323 − 1 es múl-tiplo de 7 031?

x − y( ) x2 + xy + y2( ) = x3 + x2 y + xy2 − x2 y − xy2 − y3 = x3 − y3

Aplicando lo anterior: x3 −1 = x −1( ) x2 + x + 1( )

Del mismo modo: 7 0323 −1 = 7 032−1( ) 7 0322 + 7 032 + 1( ) = 7 032 ⋅ 7 0322 + 7 032 + 1( )Por tanto, 7 0323 − 1 es múltiplo de 7 031.

Desafío47 Factoriza la expresión: x + y( )3 − x − y( )3 . Demuestra que, para cualesquiera números enteros, x e y, esta expresión es

un número par.

x + y( )3 − x − y( )3 = x3 + 3x2 y + 3xy2 + y3 − x3 − 3x2 y + 3xy2 − y3( ) = 6 x2 y + 2 y3 = 2 y 3x2 + y2( )Esta expresión es múltiplo de 2, por tanto, es un número par.

75

3Polinomios


5. División de polinomios

53


52

5. DIVISIÓN DE POLINOMIOSPara dividir un polinomio por un monomio, dividimos cada término del polinomio (dividendo) por el monomio (divisor).

8 x4 + 2x3 + 4 x2( ) : 2x( ) = 4 x3 + x2 + 2x

En la división de polinomios seguimos el mismo procedimiento que en la división de números naturales.

Para comprobar que la división es correcta, procedemos del mismo modo que con los números naturales:

Dividendo = divisor ⋅ cociente + resto

x4 + 2x2 + 4 x + 6 = x2 + 2x + 4( ) x2 − 2x + 2( ) + 8 x − 2( )

Para cada par de polinomios, P(x) y Q(x), en los que Q(x) no es el polinomio nulo, existen dos polinomios, C(x) y R(x), tales que:

P(x) = Q(x) ⋅ C(x) + R(x)

❚ El grado del polinomio cociente, C(x), es igual a la diferencia entre el grado del polinomio dividendo, P(x), y el del polinomio divisor, Q(x).

❚ El grado del polinomio resto, R(x), es menor que el grado del polinomio divisor.

❚ Si R(x) = 0, entonces la división es exacta, es decir, Q(x) es divisor de P(x).

Aprenderás a… ● Realizar la división de polinomios.

● Conocer la relación existente entre el dividendo, el divisor, el cociente y el resto de la división de polinomios.

Presta atención

P(10) = Q(10) ⋅ C(10) + R(10)

10246 124

− 992 82

326

− 248

78

10 246 = 124 ⋅ 82 + 78

} Efectúa las siguientes divisiones.

a) x5 + 3x4 + 5x3 − 7x2 −17x −16( ) : x2 − 4( ) b) x3 + 3x2 + x −1( ) : 2x2 −1( )

Solución

a) b)

−x5 + 3x4 + 5 x3 −17 x2 −17 x −16 x2 − 4

−x5 + 3x4 + 4 x3 x3 + 3x2 + 9 x + 5

−x5 + 3x4 + 9 x3 −17 x2 −17 x −16

−x5 − 3x4 + 9 x3 + 12x2 −17 x −16

−x5 − 3x4 + 9 x3 + 15 x2 −17 x −16

−x5 − 3x4− 9 x3 + 12x2 − 36 x −16

−x5 − 3x4 + 9 x3 + 15 x2 + 19 x −16

−x5 − 3x4 − 9 x3−15 x2 − 26 x − 20

−x5 − 3x4 + 9 x3 + 15 x2 + 19 x + 4

−x3 + 3x2 + x −1 2x2 −1

−x3 + 3x2 +1

2x

1

2x +

3

2

+ 3x2 +3

2x −1

− 3x2 +3

2

3

2x +

1

2

EJERCICIO RESUELTO

Comprueba que el resto de estas divisiones es el polinomio nulo y calcula el cociente de cada una de ellas.

a) x3 − x2 −17 x + 20( ) : x − 4( )

b) 6 x3 + x2 + x + 2( ) : 3x + 2( )

c) x5 − x2 + 2x − 2( ) : x2 − x + 1( )

Calcula el cociente y el resto de las divisiones.

a) x2 −17 x + 18( ) : x −1( )

b) 2x3 − x2 − 6 x + 9( ) : 2x + 3( )

c) x3 −7 x2 + 6( ) : x2 −5 x + 1( )

¿Cuál es el grado del cociente de la división de un polinomio de grado 8 por un polinomio de grado 5?

Halla el dividendo de la división de polinomios en cada caso.

a) Divisor: x2 + 3

Cociente: x2 + 2x − 3

Resto: −10x − 10

b) Divisor: 3x2 − 1

Cociente: x2 − 3

Resto: −6x − 1

c) Divisor: 4x3 − 2x

Cociente: x2 − 1

Resto: 1

Calcula el divisor de la división de polinomios en cada caso.

a) Dividendo: 2x3 − 6x + 5

Cociente: 2x

Resto: −14x + 5

b) Dividendo: 8x3 − 12x2 − x

Cociente: 2x − 3

Resto: x − 3

c) Dividendo: x3 − 5x2

Cociente: x2 − 1

Resto: x − 5

Halla el cociente de estas divisiones sin efectuarlas.

a) x2 − 6 x + 9( ) : x − 3( )

b) x2 − 25( ) : x + 5( )

c) x4 − 64( ) : x2 + 8( )

Completa en tu cuaderno los recuadros para que el resto de la división del polinomio x3 − 4x2 + §x + § por x2 + x + 1 sea 12x + 5.

48

49

50

51

52

53

54

Escribe un polinomio de grado 3 que sea:

a) Divisible por x + 5, por x − 2 y por 2x + 7.

b) Divisible por x + 2, por 7x2 − 28 y por 3x + 5.

c) Divisible por x − 3, por 4x2 − 36 y por x − 1.

Calcula el cociente y el resto de las divisiones.

a) x3 + 2x2 + 2( ) : 4 x − 2( )

b) 4 x3 + 2x2 −10 x + 1( ) : 3x2 + 6 x − 2( )

c) x3 + x2 − x + 2( ) : 2x2 + 7 x −1( )

d) x5 + 5 x3 −5 x2 + 2x − 4( ) : x3 + 3x −5( )

55

56

Halla el cociente y el resto de las siguientes divisiones.

a) 5

2x2 −

16

3x +

17

12

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ : 5 x −

2

3

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

b) 1

2x4 −

3

4x3 −

1

2x + 2

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ :

1

2x −

3

4

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

c) 1

3x3 −

1

6x2 +

1

3x −

5

2

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ :

1

6x −

1

3

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

d) 1

10x3 −

2

5x2 −

3

10x +

1

5

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ :

1

10x −

3

10

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

57

DESAFÍOComprueba que todo número natural, n, cumple que su cubo menos 1 más su cuadrado menos él mismo es múltiplo tanto del número anterior como del posterior a n.

58

} Calcula el cociente y el resto de la división.

2

15x2 −

17

30x +

1

10

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ :

1

5x −1

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

Solución

Hallamos: m.c.m. (15, 30, 10, 5) = 30

Multiplicamos el dividendo y el divisor por 30 para efectuar la división de polinomios con coeficientes enteros:

4 x2 −17 x + 3( ) : 6 x − 30( )

El cociente coincide con el cociente de la división original, pero el resto también queda multiplicado por 30.

−4 x2 −17 x + 3 6 x − 30

−4 x2 + 20 x3x + 3−3x + 15

18

El resto de la división original es: 18

30=

3

5

2

3x +

1

2

EJERCICIO RESUELTO

mac3e11

Soluciones de las actividades48 Comprueba que el resto de estas divisiones es el polinomio nulo y calcula el cociente de cada una de ellas.

a) x3 − x2 −17 x + 20( ) : x − 4( ) b) 6 x3 + x2 + x + 2( ) : 3x + 2( ) c) x5 − x2 + 2x − 2( ) : x2 − x + 1( )

a) x3 − x2 −17 x + 20( ) = x − 4( ) ⋅ x2 + 3x −5( )

b) 6 x3 + x2 + x + 2( ) = 3x + 2( ) ⋅ 2x2 − x + 1( )

c) x5 − x2 + 2x − 2( ) = x2 − x + 1( ) ⋅ x3 + x2 − 2( )


Conviene señalar que no toda escritura de la forma:

P(x) = Q(x) . C(x) + R(x)

es una división del polinomio P(x) entre el polinomio Q(x). Para que lo sea hace falta que R(x) sea nulo o que su grado sea menor que el de Q(x).

Otro hecho a señalar es que no siempre la división de poli-nomios cuyos coeficientes son números enteros proporcio-na un cociente y un resto con coeficientes enteros; a veces dichos coeficientes son números racionales. Esto sucede por ejemplo, en el apartado b) del primer ejercicio resuelto.

Por último, conviene advertir que para dividir P(x) entre Q(x) si ambos polinomios tienen coeficientes racionales no ente-ros, podemos multiplicar dividendo y divisor por el mínimo

común múltiplo de los denominadores de todas las fraccio-nes involucradas. El cociente coincide con el cociente de la división planteada pero no sucede lo mismo con el resto. El último ejercicio resuelto es un ejemplo de este procedi-miento.

Vídeo. DIVISIÓN DE POLINOMIOS

En el vídeo se muestra el procedimiento para calcular la división de dos polinomios paso a paso. Para determinar el cociente se marcan los monomios de mayor grado de cada polinomio en los que debemos fijarnos. A continuación se multiplica cada término y por último, se restan los polinomios obtenidos.

El vídeo puede reproducirse en clase explicando el procedimiento realizado o como recurso para que los alumnos repasen la división de polinomios.

3 Polinomios


49 Calcula el cociente y el resto de las divisiones.

a) x2 −17 x + 18( ) : x −1( ) b) 2x3 − x2 − 6 x + 9( ) : 2x + 3( ) c) x3 −7 x2 + 6( ) : x2 −5 x + 1( )

a) Cociente: x − 16 Resto: 2

b) Cociente: x2 − 2x Resto: 9

c) Cociente: x − 2 Resto: −11x + 850 ¿Cuál es el grado del cociente de la división de un polinomio de grado 8 por un polinomio de grado 5?

El grado del cociente es: 8 − 5 = 351 Halla el dividendo de la división de polinomios en cada caso.

a) Divisor: x2 + 3 b) Divisor: 3x2 − 1 c) Divisor: 4x3 − 2x

Cociente: x2 + 2x − 3 Cociente: x2 − 3 Cociente: x2 − 1

Resto: −10x − 10 Resto: −6x − 1 Resto: 1

a) x2 + 3( ) x2 + 2x − 3( ) + −10 x −10( ) = x4 + 2x3 − 4 x −19

b) 3x2 −1( ) x2 − 3( ) + −6 x −1( ) = 3x4 −10 x2 − 6 x + 2

c) 4 x3 − 2x( ) x2 −1( ) + 1 = 4 x5 − 6 x3 + 2x + 1 52 Calcula el divisor de la división de polinomios en cada caso.

a) Dividendo: 2x3 − 6x + 5 b) Dividendo: 8x3 − 12x2 − x c) Dividendo: x3 − 5x2

e) Cociente: 2x Cociente: 2x − 3 Cociente: x2 − 1

f) Resto: −14x + 5 Resto: x − 3 Resto: x − 5

a) 2x3 − 6 x + 5( )− −14 x + 5( )[ ] : 2x = x2 + 4

b) 8 x3 −12x2 − x( )− x − 3( )[ ] : 2x − 3( ) = 4 x2 −1

c) x3 −5 x2( )− x −5( )[ ] : x2 −1( ) = x −553 Halla el cociente de estas divisiones sin efectuarlas.

a) x2 − 6 x + 9( ) : x − 3( ) b) x2 − 25( ) : x + 5( ) c) x4 − 64( ) : x2 + 8( ) a) x − 3( )2 : x − 3( ) = x − 3

b) x −5( ) x + 5( ) : x + 5( ) = x −5

c) x2 − 8( ) x2 + 8( ) : x2 + 8( ) = x2 − 854 Completa en tu cuaderno los recuadros para que el resto de la división del polinomio x3 − 4x2 + §x + § por x2 + x + 1 sea

12x + 5.

Como el dividendo es un polinomio de grado 3 y el divisor tiene grado 2, el cociente ha de ser un polinomio de grado 1 de la forma x + c para cierto número c.

Entonces: x3 − 4 x2 +§x + §= x2 + x + 1( ) ⋅ x + c( ) + 12x + 5

x3 − 4 x2 +§x + §= x3 + c + 1( ) x2 + ⋅ c + 13( ) x + c + 5

Igualando los coeficientes: c + 1 = −4 → c = −5

Luego: x3 − 4x2 + §x + § = x3 − 4x2 + 8x 55 Escribe un polinomio de grado 3 que sea:

a) Divisible por x + 5, por x − 2 y por 2x + 7.

b) Divisible por x + 2, por 7x2 − 28 y por 3x + 5.

c) Divisible por x − 3, por 4x2 − 36 y por x − 1.

a) Respuesta abierta, por ejemplo: P(x) = x + 5( ) ⋅ x − 2( ) ⋅ 2x + 7( ) = 2x3 + 13x2 + x −70

b) Respuesta abierta, pero como 7 x2 − 28 = 7 x2 − 4( ) = 7 x + 2( ) x − 2( ), el polinomio puede ser:

P(x) = 7 x2 − 28( ) ⋅ 3x + 5( ) = 21x3 + 35 x2 − 84 x −140

c) Respuesta abierta, pero como 4 x2 − 36 = 4 x2 − 9( ) = 4 x + 3( ) x − 3( ), el polinomio puede ser:

P(x) = 4 x2 − 36( ) ⋅ x −1( ) = 4 x3 − 4 x2 − 36 x + 36

77

3Polinomios


56 Calcula el cociente y el resto de las divisiones.

a) x3 + 2x2 + 2( ) : 4 x − 2( ) c) x3 + x2 − x + 2( ) : 2x2 + 7 x −1( ) b) 4 x3 + 2x2 −10 x + 1( ) : 3x2 + 6 x − 2( ) d) x5 + 5 x3 −5 x2 + 2x − 4( ) : x3 + 3x −5( )

a) Cociente: 1

4x2 +

5

8x +

5

16 Resto:

21

8 c) Cociente:

1

2x −

5

4 Resto:

33

4x +

3

4

b) Cociente: 4

3x − 2 Resto:

14

3x − 3 d) Cociente: x2 + 2 Resto: −4x + 6

57 Halla el cociente y el resto de las siguientes divisiones.

a) 5

2x2 −

16

3x +

17

12

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟: 5 x −

2

3

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ c)

1

3x3 −

1

6x2 +

1

3x −

5

2

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ :

1

6x −

1

3

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

b) 1

2x4 −

3

4x3 −

1

2x + 2

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ :

1

2x −

3

4

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ d)

1

10x3 −

2

5x2 −

3

10x +

1

5

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ :

1

10x −

3

10

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

a) Cociente: 1

2x −1 Resto:

3

4 c) Cociente: 2x2 + 3x + 8 Resto:

1

6

b) Cociente: x3 − 1 Resto: 5

4 d) Cociente: x2 − x − 6 Resto: −

8

5

Desafío58 Comprueba que todo número natural, n, cumple que su cubo menos 1 más su cuadrado menos él mismo es múltiplo

tanto del número anterior como del posterior a n.

n3 −1+ n2 − n = n3 + n2( )− n+1( ) = n2 n + 1( )− n + 1( ) = n2 −1( ) n + 1( ) = n−1( ) n + 1( )2

Por tanto, la relación de n con su cubo y su cuadrado es múltiplo de n − 1 y de n + 1.

3 Polinomios


6. Regla de Ruffini

55


54

Indica los polinomios dividendo, divisor, cociente y resto de estas divisiones realizadas con la regla de Ruffini.

a) b) c)

Calcula el cociente y el resto de la división P(x) : Q(x) utilizando dos métodos diferentes.

a) P(x) = 3x4 − 5x2 + x − 2 Q(x) = x − 1

b) P(x) = x5 − x2 + x − 1 Q(x) = x + 2

c) P(x) = x4 − 2x3 − 1 Q(x) = x − 4

Aplica la regla de Ruffini para dividir por Q (x) = x −4

3 los polinomios:

a) P(x) = 3x3 − x2 − 5 b) P(x) = 6x4 + 4x3 − 7x2 − 11x − 1

59

2 3 −1 7 11

1 2 5 4 11

2 5 4 11 22

5 10 −8 17

−3 −15 15 −21

5 −5 7 −4

5 0 0 −20

3 15 45 135

5 15 45 115

60

61

Calcula el cociente y el resto de la división P(x) : Q(x) en cada caso.

a) P(x) = 4x4 − 8x2 + 2x − 6 Q(x) = 2x + 1

b) P(x) = x3 − 3x2 + 2 Q(x) = 3x − 4

c) P(x) = 32x5 − 20 Q(x) = 4x + 2

Determina el valor de m para que, al dividir 5x4 − 3x3 − 8x2 + x + m por x − 2, el resto sea 20.

62

63

6. REGLA DE RUFFINIDividimos el polinomio x4 − 4x2 + 5x − 3 por el binomio x − 2:

−x4 + 2x3 − 4 x2 + 5 x −13 x − 2

−x4 + 2x3 x3 + 2x2 + 5

−x4 + 2x3 − 4 x2 + 5 x −13

− 2x3 + 4 x2 + 5 x −13

−x4 + 2x3 − 4 x2 + 5 x −13

−5 x + 10

−x4 + 2x3 − 4 x2 + 5 x −17

Observamos que el resto es un número, porque el grado del divisor es 1 y el resto siempre tiene un grado menor que el del divisor.

El cociente es el polinomio: C(x) = x3 + 2x2 + 5. Tiene grado 3, es decir, la diferencia entre los grados del dividendo y el divisor.

A continuación, vamos a dividir los polinomios empleando la regla de Ruffini, un algoritmo que sirve para dividir polinomios en el caso particular en que el divisor es un binomio de la forma x − a.

Como en el ejemplo anterior el divisor, x − 2, es un binomio de la forma x − a podemos utilizar la regla de Ruffini. Para ello, seguimos estos pasos:

1 Trazamos dos líneas perpendiculares y escribimos los coeficientes del dividendo ordenados según el grado, sin omitir los términos nulos.

1 0 −4 5 −3

2 Escribimos el valor de a junto a la línea vertical.

1 0 −4 5 −3

2

3 Bajo la línea inferior situamos el coeficiente principal, lo multiplicamos por el valor de a y colocamos el resultado debajo del coeficiente del término siguiente.

1 0 −4 5 −3

2 2

1

4 Sumamos y multiplicamos el resultado de nuevo por el valor de a.

1 0 −4 5 −3

2 2 4

1 2

5 Repetimos el proceso hasta completar todos los términos.

1 0 −4 5 −3

2 2 4 0

1 2 0 5

❚ Observamos que el último número es el resto de la división.

❚ Los demás números son los coeficientes del polinomio cociente ordenados según el grado de los términos.

Cociente: C(x) = x3 + 2x2 + 5

Resto: R = 7

1 0 −4 5 −3

2 2 4 0 10

1 2 0 5 7

x3 + 2x2 + 5

Aprenderás a… ● Aplicar la regla de Ruffini para dividir un polinomio por el binomio x − a.

Presta atención

Al efectuar la división por la regla de Ruffini, siempre obtenemos que el grado del polinomio cociente es una unidad menor que el grado del polinomio dividendo.

} Calcula, aplicando la regla de Ruffini, el cociente y el resto de la división:

2x3 + x2 − 2x + 3( ) : 2x −1( )Solución

Dividimos los polinomios por 2 para que el divisor sea de la forma x − a:

x3 +1

2x2 − x +

3

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ : x −

1

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

Aplicamos la regla de Ruffini:

11

2−1

3

2

1

2

1

2

1

2−

1

4

1 1 −1

2

5

4

El cociente es el polinomio: C(x) = x2 + x −1

2

El resto de la división original es: R (x) = 2 ⋅5

4=

5

2

EJERCICIO RESUELTO

Presta atención

❚ Para dividir aplicando la regla de Ruffini, el divisor debe ser un binomio de la forma x − a.

❚ Al utilizar la regla de Ruffini obtenemos el mismo cociente y el mismo resto que al realizar la división de polinomios.

DESAFÍO

Determina el valor de m para que el polinomio x3 + mx − 25 sea múltiplo del polinomio x − 5.64

Soluciones de las actividades59 Indica los polinomios dividendo, divisor, cociente y resto de estas divisiones realizadas con la regla de Ruffini.

a) b) c)

2 3 −1 7 11

1 2 5 4 11

2 5 4 11 22

5 10 −8 17

−3 −15 15 −21

5 −5 7 −4

5 0 0 −20

3 15 45 135

5 15 45 115

a) Dividendo: 2x4 + 3x3 − x2 + 7x + 11 b) Dividendo: 5x3 + 10x2 − 8x + 17 c) Dividendo: 5x3 − 20

Divisor: x − 1 Divisor: x + 3 Divisor: x − 3

Cociente: 2x3 + 5x2 + 4x + 11 Cociente: 5x2 − 5x + 7 Cociente: 5x2 + 15x + 45

Resto: 22 Resto: −4 Resto: 115


La regla de Ruffini es un sencillo algoritmo que permite cal-cular con rapidez y sencillez el cociente y el resto de la divi-sión de un polinomio cualquiera por uno de la forma x − a.

Un recurso didáctico esclarecedor consiste en efectuar a la vez, en dos zonas distintas de la pizarra, la división de un polinomio por x − 1, por ejemplo, mediante el método ge-

neral y mediante la regla de Ruffini, comprobando así cómo los coeficientes del cociente y el valor del resto son idénticos en ambos procedimientos.

Conviene incidir en la expresión del cociente, tras aplicar la regla, como un polinomio de un grado menos que el dividendo.

79

3Polinomios


60 Calcula el cociente y el resto de la división P(x) : Q(x) utilizando dos métodos diferentes.

a) P(x) = 3x4 − 5x2 + x − 2 Q(x) = x − 1

b) P(x) = x5 − x2 + x − 1 Q(x) = x + 2

c) P(x) = x4 − 2x3 − 1 Q(x) = x − 4

Si aplicamos la regla de Ruffini o realizamos la división euclídea de polinomios, obtenemos:

a) Cociente: 3x3 + 3x2 − 2x − 1 Resto: −3

b) Cociente: x4 − 2x3 +4x2 − 9x + 19 Resto: −39

c) Cociente: x3 + 2x2 + 8x + 32 Resto: 127

61 Aplica la regla de Ruffini para dividir por Q (x) = x −4

3 los polinomios:

a) P(x) = 3x3 − x2 − 5

b) P(x) = 6x4 + 4x3 − 7x2 − 11x − 1

a) Cociente: 3x2 + 3x + 4 Resto: 1

3

b) Cociente: 6x3 + 12x2 + 9x + 1 Resto: 1

362 Calcula el cociente y el resto de la división P(x) : Q(x) en cada caso.

a) P(x) = 4x4 − 8x2 + 2x − 6 Q(x) = 2x + 1

b) P(x) = x3 − 3x2 + 2 Q(x) = 3x − 4

c) P(x) = 3x5 − 5 Q(x) = 4x + 2

a) Cociente: 2x3 − x2 −7

2x +

11

4 Resto: −

35

4

b) Cociente: 1

3x2 −

5

9x −

20

27 Resto: −

26

27

c) Cociente: 3

4x4 −

3

8x3 +

3

16x2 −

3

32x +

3

64 Resto: −

163

3263 Determina el valor de m para que, al dividir 5x4 − 3x3 − 8x2 + x + m por x − 2, el resto sea 20.

5 −3 −8 1 m

2 10 14 12 26

5 7 6 13 20

Entonces: m + 26 = 20 → m = −6

Desafío64 Determina el valor de m para que el polinomio x3 + mx − 25 sea múltiplo del polinomio x − 5.

Para que el polinomio x3 + mx − 25 sea múltiplo del polinomio x − 5, la división debe ser exacta.

1 0 m m

5 5 25 5m + 250

1 5 m + 25 5m + 100

Entonces: 5m + 100 = 0 → m = −20

3 Polinomios


7. Teorema del resto. Factorización

57


56

Comprueba que el resto de la división P(x) : Q(x) coincide con el valor numérico de P(x) para el opuesto del término independiente de Q(x) en cada caso.

a) P(x) = x3 − 5x2 − 1 Q(x) = x − 5

b) P(x) = x5 − 5x2 + 4 Q(x) = x + 3

Calcula el resto de la división del polinomio x39 − 5x20 − 12 por x − 1.

Halla el valor del número entero a, sabiendo que el resto de la división del polinomio P(x) = x3 − 4ax2 + 9 por x − 2 es igual a 1.

Calcula el resto de la división del polinomio P(x) = 3x3 − 9x2 + 13x − 7 por x − 1. ¿Cuál es el resto de la división de P(x) por x(x − 1)?

Aplica la regla de Ruffini para factorizar el polinomio x4 − 16 como producto de polinomios de grados 1 y 2 con coeficientes enteros.

Copia en tu cuaderno y completa los recuadros.

a) 5x2 + 4x − 1 = (x + §)(5x − §)

b) 5x2 − §x + 1 = (§x − §)(x − 1)

c) 12x2 − 7x + 1 = (§x − 1)(§x − 1)

d) 6x2 + §x + 1 = (2x + §)(§x + 1)

Comprueba que 5

2 es una raíz del polinomio 2x3 − 9x2 + 12x − 5.

Halla su descomposición factorial como producto de polinomios de grado 1 con coeficientes enteros.

Halla las raíces y factoriza los siguientes polinomios como producto de polinomios de grado 1 con coeficientes enteros.

a) x4 + 2x3 − 3x2 − 4x + 4

b) x5 − x4 − 17x3 + 53x2 − 56x + 20

65

66

67

68

69

70

71

72

7. TEOREMA DEL RESTO. FACTORIZACIÓNEl valor numérico del polinomio P(x) = x3 − 3x + 2, para x = −1, es 4, porque:

P (−1) = −1( )3 − 3 ⋅ (−1) + 2 = −1+ 3 + 2 = 4

Si dividimos el polinomio P(x) por x + 1: 1 0 −3 2

−1 −1 1 2

1 −1 −2 4

podemos observar que el resto de la división (R = 4) coincide con el valor numérico del polinomio para x = −1.

Teorema del resto. El valor numérico de un polinomio, P(x), para x = a, coincide con el resto de la división del polinomio P(x) por el binomio x − a, es decir:

R = P(a)

Al dividir un polinomio, P(x), por el binomio x − a, obtenemos un polinomio cociente, C(x), y un resto, R, que es un número.

Aplicando la prueba de la división: P(x) = (x − a) ⋅ C(x) + R

Si sustituimos x por a resulta: P(a) = (a − a) ⋅ C(a) + R = 0 + R = R

Factorización de polinomiosEl valor numérico del polinomio P(x) = x3 − 3x + 2, para x = 1, es 0, porque:

P(1) = 13 − 3 ⋅ 1 + 2 = 1 − 3 + 2 = 0

Por tanto, x = 1 es una raíz de P(x). Por el teorema del resto sabemos que la división de P(x) por x − 1 es exacta, es decir, x − 1 es un divisor de P(x).

Para factorizar un polinomio, P(x), se pueden buscar sus raíces: a, b, c, …, de modo que los binomios de la forma x − a, x − b, x − c, …, sean factores de su descomposición factorial.

P(x) = (x − a)(x − b)(x − c)…

Aprenderás a… ● Identificar el resto de la división de un polinomio por un binomio de la forma x − a como el valor numérico para x = a.

● Aplicar la regla de Ruffini para factorizar un polinomio.

Las raíces enteras de un polinomio son divisores de su término independiente.

Recuerda

} Factoriza y halla las raíces de los polinomios:

a) P(x) = x3 + 2x2 − 5x − 62

Solución

a) Las posibles raíces enteras son los divisores de 6:

±1, ±2, ±3 y ±6

Podemos aplicar la regla de Ruffini para hallar la descomposición factorial.

1 2 −5 −6

1 1 3 −21 3 −2 −8 ≠ 0

1 no es una raíz

1 2 −5 −6

−1 −1 −1 61 1 −6 0

−2 2 61 3 0

Las raíces de P(x) son: −1, 2 y −3

Entonces: x3 + 2x2 − 5x − 6 = (x + 1)(x − 2)(x + 3)

b) Q(x) = x4 − x3 + 2x2 − 2x

b) Extraemos factor común: x x3 − x2 + 2x − 2( )

Así, x = 0 es una raíz de Q(x).

Como los divisores de 2 son ±1 y ±2, aplicamos la regla de Ruffini para hallar otras raíces.

1 −1 2 −2

1 1 0 21 0 2 0 x = 1 es una raíz de Q(x).

Por tanto, x4 − x3 + 2x2 − 2x = x x −1( ) x2 + 2( ) es la factorización de Q(x), porque x2 + 2 no tiene raíces, (ten en cuenta que cualquier número real elevado al cuadrado es positivo y al sumarle 2 también).

EJERCICIO RESUELTO

Prueba que si a un número natural le sumamos su cubo y le restamos 2, el resultado es múltiplo del número que le antecede.

73

} Prueba que todo número entero verifica que su cubo más el doble de su cuadrado más su cuádruple más 3 es múltiplo del número siguiente.

Solución

Designamos por x un número entero cualquiera.

Así, x + 1 es el siguiente.

Definimos el polinomio con las condiciones del enunciado: P(x) = x3 + 2x2 + 4x + 3

Comprobamos que x + 1 es un divisor de P(x).

1 2 4 3

−1 −1 −1 −3

1 1 3 0

Entonces: x3 + 2x2 + 4 x + 3 = x + 1( ) x2 + x + 3( )

EJERCICIO RESUELTO

DESAFÍOPrueba que, si x e y son dos números enteros consecutivos, entonces x2 + y2 + (xy)2 es un cuadrado perfecto.74

Si al factorizar un polinomio obtenemos un factor de la forma (x − a)2, diremos que a es una raíz doble del polinomio; si nos aparece (x − a)3, se trata de una raíz triple, y así sucesivamente.


Soluciones de las actividades65 Comprueba que el resto de la división P(x) : Q(x) coincide con el valor numérico de P(x) para el opuesto del término inde-

pendiente de Q(x) en cada caso.a) P(x) = x3 − 5x2 − 1 Q(x) = x − 5 b) P(x) = x5 − 5x2 + 4 Q(x) = x + 3 a) Efectuando la división por la regla de Ruffini resulta: Cociente: x2 y resto: −1 P(1) = 53 − 5 ⋅ 52 − 1 = −1b) Efectuando la división por la regla de Ruffini resulta: Cociente: x4 − 3x3 + 9x2 − 32x + 96 y resto: −284

P −3( ) = −3( )5 −5 ⋅ −3( )2 + 4 = −28466 Calcula el resto de la división del polinomio x39 − 5x20 − 12 por x − 1.

R = P(1) = 139 − 5 ⋅ 120 − 12 = −16


Es conveniente dedicar algo de tiempo a comprender la de-mostración del teorema del resto para facilitar su uso pos-terior en los ejemplos y ejercicios. Y tiene una consecuencia muy importante: si P(a) = 0, el teorema proporciona una factorización del polinomio P(x). Además, para proseguir factorizando, solo debemos repetir el mismo proceso.

Así, cuando el ejercicio propuesto consista en hallar las raí-ces enteras de un polinomio P(x), el alumno podrá calcular el valor numérico de este para los valores de la variable que

son candidatos a ser sus raíces, es decir, de los divisores del término independiente de P(x), seleccionando aquellos en los cuales dicho valor numérico es nulo.

Puede ser interesante también proponer a los alumnos que calculen el resto de una división de un polinomio de grado muy alto por x − 1 o por x + 1, para que observen que en estos casos no conviene aplicar la regla de Ruffini, sino que es más conveniente el teorema del resto.

81

3Polinomios


67 Halla el valor del número entero a, sabiendo que el resto de la división del polinomio P(x) = x3 − 4ax2 + 9 por x − 2 es igual a 1.

Aplicando el teorema del resto: P(2) = 1 → 23 − 4a ⋅ 22 + 9 = 1 → 8 − 16a + 9 = 1 → a = 168 Calcula el resto de la división del polinomio P(x) = 3x3 − 9x2 + 13x − 7 por x − 1. ¿Cuál es el resto de la división de P(x)

por x(x − 1)?

Aplicando el teorema del resto: R = P(1) = 3 − 9 + 13 − 7 = 0

Por tanto, x − 1 es un divisor de P(x).

3 −9 13 −7

1 3 −6 7

3 −6 7 0

Entonces:

P(x) = x −1( ) 3x2 − 6 x + 7( ) = x −1( ) x 3x − 6( ) + 7( )= x x −1( ) 3x − 6 + 7( ) = x x −1( ) 3x − 6( ) + 7 x −1( )

Luego el resto de la división de P(x) por x(x − 1) es: 7(x − 1)69 Aplica la regla de Ruffini para factorizar el polinomio x4 − 16 como producto de polinomios de grados 1 y 2 con coefi-

cientes enteros.

x4 −16 = x − 2( ) x + 2( ) x2 + 4( )

70 Copia en tu cuaderno y completa los recuadros.

a) 5x2 + 4x − 1 = (x + §)(5x − §) c) 12x2 − 7x + 1 = (§x − 1)(§x − 1)

b) 5x2 − §x + 1 = (§x − §)(x − 1) d) 6x2 + §x + 1 = (2x + §)(§x + 1)

a) 5x2 + 4x − 1 = (x + 1)(5x − 1) c) 12x2 − 7x + 1 = (4x − 1)(3x − 1)

b) 5x2 − 6x + 1 = (5x − 1)(x − 1) d) 6x2 + 5x + 1 = (2x + 1)(3x + 1)

71 Comprueba que 5

2 es una raíz del polinomio 2x3 − 9x2 + 12x − 5.

Halla su descomposición factorial como producto de polinomios de grado 1 con coeficientes enteros.

P5

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = 2 ⋅

5

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

3

− 9 ⋅5

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

2

+ 12 ⋅5

2−5 =

125

4−

225

4+ 30−5 = 0

Dividimos aplicando la regla de Ruffini: 2x3 − 9 x2 + 12x −5 = 2x −5( ) x −1( )2

72 Halla las raíces y factoriza los polinomios como producto de polinomios de grado 1 con coeficientes enteros.

a) x4 + 2x3 − 3x2 − 4x + 4 b) x5 − x4 − 17x3 + 53x2 − 56x + 20

a) Las raíces del polinomio son: 1 y −2 (ambas son dobles)

x4 + 2x3 − 3x2 − 4 x + 4 = x −1( )2 x + 2( )2

b) Las raíces del polinomio son: 1 (doble), 2 (doble) y −5

x5 − x4 −17 x3 + 53x2 −56 x + 20 = x −1( )2 x − 2( )2 x + 5( )

73 Prueba que si a un número natural le sumamos su cubo y le restamos 2, el resultado es múltiplo del número que le ante-cede.

Designamos por x un número natural cualquiera.

El polinomio que describe las condiciones del enunciado es: P(x) = x3 + x − 2

P(1) = 13 + 1 − 2 = 0 → P(x) es múltiplo del binomio x − 1, es decir, que el resultado es múltiplo del número natural an-terior.

Desafío74 Prueba que, si x e y son dos números enteros consecutivos, entonces x2 + y2 + (xy)2 es un cuadrado perfecto.

Si consideramos y = x + 1 y sustituimos:

x2 + x + 1( )2 + x2 x + 1( )2 = x2 + x2 + 2x + 1+ x2 x2 + 2x + 1( ) = x4 + 2x3 + 3x2 + 2x + 1

Factorizando este polinomio: x4 + 2x3 + 3x2 + 2x + 1 = x2 + x + 1( )2

Lo que prueba que x2 + y2 + (xy)2 es un cuadrado perfecto.

3 Polinomios



En esta sección se destacan los procedimientos más importantes que los alumnos deben haber aprendido tras estudiar esta unidad. En este momento, los alumnos deben ser capaces de:

❚❚ Identificar los elementos que caracterizan los monomios y polinomios.

❚❚ Realizar operaciones con monomios y polinomios.

❚❚ Utilizar la regla de Ruffini y aplicar el teorema el resto para factorizar polinomios.

Actividades finalesSoluciones de las actividades75 Escribe cinco enunciados y halla las expresiones algebraicas correspondientes, indicando cuáles son sus variables.

Respuesta abierta, por ejemplo:

❚❚ El área de un rectángulo cuyos lados miden x e y es xy. Las variables son x e y.

❚❚ El perímetro de un cuadrado de lado x es 4x. La variable es x.

❚❚ El área de un rombo cuyas diagonales miden 2x y 2y es 2xy. Las variables son x e y.

❚❚ El perímetro un romboide cuyos lados miden x e y es 2x + 2y. Las variables son x e y.

❚❚ El área de un triángulo cuya base mide 2x y cuya altura mide y es xy. Las variables son x e y.76 Halla dos monomios cuya suma sea 3x11.

Respuesta abierta, por ejemplo: los monomios x11 y 2x11 suman 3x11.77 Encuentra dos monomios tales que la suma de uno con el cuadrado del otro sea un monomio.

Respuesta abierta, por ejemplo: si los monomios son x2 y x entonces la suma del primero con el cuadrado del otro es 2x2.

¿Qué tienes que saber?

58

¿QUÉ3 tienes que saber?

59

Razona si es posible expresar en forma de monomio la longitud del lado del cubo cuyo volumen es el doble del volumen del cubo de arista x. ¿Lo es su cuadrado?

Estudia si pueden expresarse mediante monomios el perímetro y el área de estas figuras.

x

x

2xx2

Responde a estas cuestiones:

a) ¿Es un monomio la expresión algebraica del perímetro de un rombo cuyas diagonales miden 6x y 8x? ¿De qué grado?

b) ¿Y la expresión de su área? ¿De qué grado?

c) Si las diagonales midiesen 6x y 8x2, ¿serían monomios las expresiones de su perímetro y de su área?

Polinomios. Valor numérico

Calcula el valor numérico del siguiente polinomio: P(x) = x3 − x2 + x − 1, para x = 1 y para x = 2.

Comprueba si −1 es una raíz de los polinomios:

a) P(x) = −2x40 − x9 + 1

b) Q(x) = 3x4 − 2x + 1

c) R(x) = x2 − 3x + 7

d) S(x) = −3x4 − 6x2 + 9

Halla el valor de a sabiendo que el valor numérico del polinomio x2 − ax + a, para x = a, es igual a 1.

Calcula el valor de a y de b si x = 0 y x = 2 son dos raíces del polinomio:

P(x) = 3x5 − x3 + ax + b

Determina el valor de a y de b en la expresión del polinomio P(x) = x4 − 9x2 + ax + b, sabiendo que dos de sus raíces son x = 1 y x = 3.

Estudia si puede ocurrir que 8a0 sea una raíz del polinomio P(x) = anx

n + … + a1x + a0 con coeficientes enteros y grado n ≥ 1.

Halla dos polinomios, P(x) y Q(x), tales que el grado del polinomio suma, P(x) + Q(x), sea menor que los grados de P(x) y de Q(x).

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95

Expresiones algebraicas. Monomios

Escribe cinco enunciados y halla las expresiones algebraicas correspondientes, indicando cuáles son sus variables.

Halla dos monomios cuya suma sea 3x11.

Encuentra dos monomios tales que la suma de uno con el cuadrado del otro sea un monomio.

Indica razonadamente cuál de estas afirmaciones es cierta.

a) La suma de dos monomios es siempre otro monomio.

b) La suma de dos monomios nunca es otro monomio.

c) La suma de dos monomios a veces es otro monomio.

¿Para qué valores de a y n se verifica la igualdad 3x4−n + ax n = x n ?

Halla dos monomios cuyo producto sea x7 y cuyo cociente sea x3.

Calcula el valor del número entero, n, sabiendo que el producto 5x3 ⋅ 2xn es un monomio de grado 7.

Copia y simplifica las siguientes expresiones algebraicas e indica cuáles de ellas son monomios.

9x4

3x27x8

x4+2x9

x5

5x2

x11x2

x6+x6

x4

Determina un monomio cuyo cuadrado sea:

a) x8 c) 1

2x4

b) 2x2 d) 4 x6

9¿Existe algún monomio cuyo cuadrado sea x5?

En las siguientes operaciones, m y n son números naturales.

5 xn

x2⋅4 x2 n+3

xn−1

15 xm

x2:

3xm−1

x2m+3

Comprueba que sus resultados son monomios de grado par. ¿Para qué valores de n y de m tienen grado 4?

Sea x la longitud del lado de un cubo. ¿Es un monomio la expresión con la que calculamos su volumen? ¿De qué grado?

75

76

77

78

79

80

81

82

83

84

85

Resuelve las operaciones:

a) 5x3 + 12x3 b) 7x5 ⋅ −23( )

a) La suma se puede realizar porque los monomios son semejantes.

5 x3 + 12x3 = 5 + 12( ) x3 = 17 x3

b) Al multiplicar, el grado del monomio resultante es la suma de los grados de los factores.

7 x5 ⋅ −2x3( ) = 7 ⋅ −2( ) ⋅ x5+3 = −14 x8

MonomiosTen en cuenta ❚ Un monomio es una expresión algebraica formada por el producto de un número, llamado coeficiente, y una o más variables con exponente natural, que forman la parte literal.

❚ El grado de un monomio es la suma de los exponentes de las variables de la parte literal.

Escribe los polinomios ordenados e indica su coeficiente principal y su grado:

a) 4 + x3 + 5x − 2x2 b) 8x5 − x3 + 4x4

Polinomios Coeficiente principal Grado

x3 − 2x2 + 5x + 4 1 3

8x5 + 4x4 − x3 8 5

PolinomiosTen en cuenta ❚ Un polinomio es la suma de dos o más monomios de distinto grado, llamados términos.

❚ El grado del polinomio es el mayor de los grados de sus términos.

Determina si los valores 1 y −2 son raíces del polinomio: P(x) = 3x3 + x2 − 3x − 1

Halla la descomposición factorial de este polinomio y determina todas sus raíces.

P(1) = 3 ⋅ 13 + 12 − 3 ⋅ 1 − 1 = 3 + 1 − 3 − 1 = 0 → 1 es una raíz de P(x).

P −2( ) = 3 −2( )3 + −2( )2 − 3 −2( )−1 = −24 + 4 + 6−1 = −15 → −2 no es una raíz de P(x).

Aplicamos la regla de Ruffini:3 1 −3 −1

1 3 4 13 4 1 0

−1 −3 −13 1 0

→ 3x3 + x2 − 3x − 1 = (x − 1)(x + 1)(3x + 1)

Las raíces de P(x) son: 1, −1 y −1

3

Regla de Ruffini. Teorema del restoTen en cuentaEl número que se obtiene al sustituir un valor, a, en un polinomio, P(x), se llama valor numérico y se escribe P(a).

Si el valor numérico de P(x) para x = a es igual a 0, es decir, P(a) = 0, se dice que a es raíz del polinomio.

Teorema del resto

El valor numérico de un polinomio, P(x), para x = a, coincide con el resto de la división del polinomio P(x) por el binomio x − a.

R = P(a)

División de polinomiosTen en cuentaAl dividir dos polinomios, P(x) y Q(x), se obtienen dos polinomios, C(x) y R(x), que verifican que:

P(x) = Q(x) ⋅ C(x) + R(x)

❚ El grado del polinomio cociente, C(x), es igual a la diferencia entre el grado del polinomio dividendo, P(x), y el polinomio divisor, Q(x).

❚ El grado del polinomio resto, R(x), es menor que el grado del polinomio divisor.

Halla el cociente y el resto de la división: x4 + 2x2 + 3x + 5( ) : x2 + 3x + 1( )

Cociente

DivisorDividendo −x4 − 3x3 + 12x2 + 3x + 5 x2 + 3x + 1

−x4 − 3x3 −12x2 x2 − 3x + 10

−x4 − 3x3 + 12x2 + 3x + 5

−x4 − 3x3 + 19 x2 + 3x

−x4 − 3x3 −10 x2 + 6 x + 5

−x4 − 3x3 −10 x2 − 30 x −10

−x4 − 3x3 −10 x2 − 24 x − 5Resto

Actividades Finales 3

83

3Polinomios


78 Indica razonadamente cuál de estas afirmaciones es cierta.

a) La suma de dos monomios es siempre otro monomio. c) La suma de dos monomios a veces es otro monomio.

b) La suma de dos monomios nunca es otro monomio.

a) Falsa. Si los monomios son x y x2, su suma x + x2 no es un monomio.

b) Falsa. Si los monomios son x y 2x, su suma es el monomio 3x.

c) Verdadera79 ¿Para qué valores de a y n se verifica la igualdad 3x4 − n + axn = xn?

3x4−n = xn − axn = (1− a ) xn → 3 = 1− a → a = −2

4− n = n → n = 2

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

80 Halla dos monomios cuyo producto sea x7 y cuyo cociente sea x3.

Respuesta abierta, por ejemplo: x5 y x2

81 Calcula el valor del número entero, n, sabiendo que el producto 5x3 ⋅ 2xn es un monomio de grado 7.

5x3 ⋅ 2xn = 10x3 + n → 3 + n = 7 → n = 482 Copia y simplifica las siguientes expresiones algebraicas e indica cuáles de ellas son monomios.

9x4

3x27x8

x4+2x9

x5

5x2

x11x2

x6+x6

x4

9 x4

3x2= 3x2 → Es un monomio.

7 x8

x4+

2x9

x5= 7 x4 + 2x4 = 9 x4 → Es un monomio.

5 x2

x11=

5

x9 → No es un monomio.

x2

x6+x6

x4=

1

x4+ x2 → No es un monomio.

83 Determina un monomio cuyo cuadrado sea:

a) x8 b) 2x2 c) 1

2x4 d)

4 x6

9 ¿Existe algún monomio cuyo cuadrado sea x5?

a) x4 b) 2x c) 1

2x2

d) 2x3

3El grado del cuadrado de cualquier monomio es par, por lo que x5 no es el cuadrado de ningún monomio.

84 En las siguientes operaciones, m y n son números naturales:

5 xn

x2⋅4 x2n+3

xn−1

15 xm

x2:

3xm−1

x2m+3

Comprueba que sus resultados son monomios de grado par. ¿Para qué valores de n y de m tienen grado 4?

5 xn

x2⋅4 x2n+3

xn−1= 20 x2n+2

15 xm

x2:

3xm−1

x2m+3= 5 x2m+2

2n + 2 es un número par 2m + 2 es un número par.

2n + 2 = 4 → n = 1 2m + 2 = 4 → m = 185 Sea x la longitud del lado de un cubo. ¿Es un monomio la expresión con la que calculamos su volumen? ¿De qué grado?

El volumen del cubo es x3, que es un monomio de grado 3.86 Razona si es posible expresar en forma de monomio la longitud del lado del cubo cuyo volumen es el doble del volumen

del cubo de arista x. ¿Lo es su cuadrado?

La longitud del lado del cubo cuyo volumen es 2x3 se expresa mediante el monomio: 23 x

Su cuadrado también es un monomio: 223 x2

3 Polinomios


87 Estudia si pueden expresarse mediante monomios el perímetro y el área de estas figuras.

x

x

2xx2

El perímetro del rectángulo naranja se puede expresar mediante el monomio 6x. Su área es el monomio 2x2.

El perímetro del rectángulo azul es: 2x2 + 2x, no se puede expresar mediante un monomio 6x.

Sin embargo, su área es el monomio x3.88 Responde a estas cuestiones:

a) ¿Es un monomio la expresión algebraica del perímetro de un rombo cuyas diagonales miden 6x y 8x? ¿De qué grado?

b) ¿Y la expresión de su área? ¿De qué grado?

c) Si las diagonales midiesen 6x y 8x2, ¿serían monomios las expresiones de su perímetro y de su área?

a) Las semidiagonales del rombo miden 3x y 4x, así que, aplicando el teorema de Pitágoras, la longitud de su lado es

3x( )2 + 4 x( )2 = 5 x , luego el perímetro del rombo es el monomio 20x, cuyo grado es 1.

b) El área del rombo es 24x2, que es un monomio de grado 2.

c) Si las semidiagonales miden 3x y 4x2, aplicando el teorema de Pitágoras, la longitud de su lado es

3x( )2 + 4 x2( )2 = 9 x2 + 16 x4 , que no es un monomio. Luego el perímetro del rombo no puede expresarse como un monomio.

d) En este caso, el área del rombo es 24x3, que es un monomio de grado 3.89 Calcula el valor numérico del polinomio P(x) = x3 − x2 + x − 1, para x = 1 y para x = 2.

P(1) = 1 − 1 + 1 − 1 = 0 P(2) = 8 − 4 + 2 − 1 = 590 Comprueba si −1 es una raíz de los polinomios:

a) P(x) = −2x40 − x9 + 1 c) R(x) = x2 − 3x + 7

b) Q(x) = 3x4 − 2x + 1 d) S(x) = −3x4 − 6x2 + 9

a) P(−1) = −2 + 1 + 1 = 0 → −1 es una raíz. c) R(−1) = 1 + 3 + 7 = 11 → −1 no es una raíz.

b) Q(−1) = 3 + 2 + 1 = 6 → −1 no es una raíz. d) S(−1) = −3 − 6 + 9 = 0 → −1 es una raíz.91 Halla el valor de a sabiendo que el valor numérico del polinomio x2 − ax + a, para x = a, es igual a 1.

P(a) = a2 − a2 + a = a → a = 192 Calcula el valor de a y de b si x = 0 y x = 2 son dos raíces del polinomio: P(x) = 3x5 − x3 + ax + b

0 es una raíz → P(0) = 0 → b = 0

2 es una raíz → P(2) = 0 → 96 − 8 + 2a = 0 → a = −44 93 Determina el valor de a y de b en la expresión del polinomio P(x) = x4 − 9x2 + ax + b, sabiendo que dos de sus raíces son

x = 1 y x = 3.

1 es una raíz → P(1) = 0 → 1 − 9 + a + b = 0 → a + b = 8

3 es una raíz → P(3) = 0 → 81 − 81 + 3a + b = 0 → b = −3a

Entonces: a − 3a = 8 → a = −4 → b = 1294 Estudia si puede ocurrir que 8a0 sea una raíz del polinomio P(x) = anx

n + … + a1x + a0 con coeficientes enteros y grado n ≥ 1.

Si a0 = 0, entonces 0 es una raíz del polinomio P(x) = anxn + … + a1x.

95 Halla dos polinomios, P(x) y Q(x), tales que el grado del polinomio suma, P(x) + Q(x), sea menor que los grados de P(x) y de Q(x).

Respuesta abierta, por ejemplo: Si P(x) = −x2 + 8x − 1 y Q(x) = x2 + 2x + 3, entonces P(x) + Q(x) = 10x + 2.

85

3Polinomios


96 Expresa mediante un polinomio el área de la figura, cuyas medidas están expresadas en centímetros.

6

15

2

x

x

x

x

a) ¿Cuál es el grado del polinomio hallado?

b) Calcula el área de la figura si x = 1,5 cm.

P(x) = 6 + (6 + 2x) ⋅ 15 − 4x2 = −4x2 + 30x + 96

a) P(x) tiene grado 2.

b) P(1,5) = −4 ⋅ 1,52 + 30 ⋅ 1,5 + 96 = 132 cm2

97 Halla la suma, la resta y el producto de los polinomios P(x) y Q(x).

a) P(x) = 4x3 − 2x + 5 Q(x) = 2 − x

b) P(x) = x3 + x2 + x + 1 Q(x) = x4 − x2 + x + 2

a) P(x) + Q(x) = 4x3 − 3x + 7 P(x) − Q(x) = 4x3 − x + 3 P(x) ⋅ Q(x) = −4x4 + 8x3 + 2x2 − 9x + 10

b) P(x) + Q(x) = x4 + x3 + 2x + 3 P(x) − Q(x) = −x4 + x3 + 2x2 − 1 P(x) ⋅ Q(x) = x7 + x6 + x4 + 2x3 + 2x2 + 3x + 2

60

3 Polinomios

61

Copia en tu cuaderno y asocia cada polinomio con sus raíces.

9x3 − 21x2 + 16x − 4 1

x3 − 3x2 + 3x − 1 23

y 1

x3 − 2x2 − x + 2 1, 2 y 3

x3 − 6x2 + 11x − 6 −1, 1 y 2

Halla las raíces de estos polinomios.

a) x − 3( ) x + 2( ) x +1

3

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

b) x2 x2 − 4( ) 2x + 8( )

c) x − 20( ) x2 − 2x + 1( ) x −5( )

Factoriza los siguientes polinomios.

a) x2 + 5x − 14

b) x2 + 6x − 27

c) 2x2 + 18x + 40

Factoriza estos polinomios.

a) x3 − 5x2 + x − 5b) x4 − 2 401

c) x4 + x3 − 3x2 − 4x − 4

125

126

127

128

Factoriza las expresiones.

a) x + 2 y( )2 + 2z x + 2 y( ) + z2

b) x2 + 2x y + z( ) + y + z( )2

c) x − 4 y( )2 − 8 z x − 4 y( ) + 16 z2

d) x2 −1( )2 − 6 y x2 −1( ) + 9 y2

129

Calcula el cociente y el resto de la división:

3x4 + 27x3 − 54x2 − 18x − 6( ) : 3x − 18( )

Dado un polinomio, P(x), de grado mayor o igual que 1, halla el cociente y el resto de la división de P3(x) + 1 por P(x).

Calcula el resto que se obtiene al dividir estos polinomios, sin efectuar la división.

a) Dividendo: x17 + 1 Divisor: x + 1

b) Dividendo: x16 + x15 + x + 2 Divisor: x − 1

c) Dividendo: x14 − 4x12 + x + 12 Divisor: x − 2

Halla el valor de a para que el resto de la división del polinomio 2x6 + ax4 − x − 1 por el polinomio x + 3 sea igual a 2.

Calcula el valor de a, sabiendo que, al dividir el polinomio x3 − ax2 + x − 10 por x − 2, el resto es nulo.

Halla el valor de a para el que x3 + 3x2 − ax + 9 es divisible por el polinomio x + 3.

Halla el valor de a y b para que x2 + ax + b tenga como raíz x = 4 y que el resto de dividirlo por x + 2 sea 3.

Factorización de polinomios

Factoriza los polinomios.a) 3x2 + 6x + 3b) ax2 − 2ax + ac) 4x2 − 25d) 1 − 4x2

Factoriza las expresiones sacando factor común.

a) 5(x − y) − 4ay + 4ax b) 2a(2x + y) + 8bx + 4by

Extrae factor común y emplea las identidades notables para factorizar las expresiones.a) 9(x − y) − 4x2(x − y)b) x2(2x + y) + 2x(2x + y) + 2x + yc) x2(x − 2y) − 2x(x − 2y) + x − 2y

¿Se puede factorizar el polinomio x2 + 7 como producto de polinomios de primer grado con coeficientes racionales?

Factoriza como producto de potencias de números primos el número n = 572 − 402, sin calcular explícitamente este número.

Factoriza los polinomios propuestos.a) x3 − 4x2 + x + 6 b) x3 + 7x2 − 4x − 28c) x4 − 5x3 + 5x2 + 5x − 6d) x3 − 2x2 − 13x − 10

112

113

114

115

116

117

118

119

120

121

122

123

124

Realiza el producto:

(x + a)(x + b + c)

cx ac

bx

x2

ab

ax

Construye una figura que represente el producto:

(x + a)(y + b)

Calcula el cociente y el resto de las divisiones:

a) x3 + 5 x2 − 3x + 8( ) : x2 + 5( )

b) x4 − x2 + x + 2( ) : x2 + x −1( )

c) 3x5 −5 x4 − 4 x2 + 3x −1( ) : x2 − 2x( )

d) 10 x3 + 2x2 −5 x( ) : 2x2 − 3( )

Copia en tu cuaderno y completa esta tabla.

Grado

Dividendo divisor cociente

3 1 O

O 2 1

5 O 2

Halla un polinomio tal que, al dividirlo por x2 − 2, dé como cociente x + 4 y como resto x + 1.

Aplica la regla de Ruffini para calcular el cociente y el resto de las divisiones.

a) x5 + 1( ) : x + 1( )

b) x5 + 1( ) : x −1( )

c) x4 − 3x2 + x + 2( ) : x – 3( )

Calcula el cociente y el resto de las divisiones aplicando la regla de Ruffini.

a) 6 x3 + 2x2 − 4 x − 9( ) : (3x − 2)

b) x3 + x2 − 3x + 2( ) : (2x −1)

c) 9 x4 + 3x3 + x2( ) : 3x −1( )

d) 2x4 − 3x3 − 2x + 8( ) : 2x − 3( )

¿Puede ser x2 + x + 1 el resto de la división de un polinomio por 3x2 + x?

El cociente de la división de P(x) = §x3 + §x2 + 6x − 3 por Q(x) = x + 5 es C(x) = 2x2 − 7x + §.

a) ¿Qué números deben ocupar los recuadros?

b) ¿Cuál es el resto de la división?

103

104

105

106

107

108

109

110

111

Expresa mediante un polinomio el área de la figura, cuyas medidas están expresadas en centímetros.

6

15

2

x

x

x

x

a) ¿Cuál es el grado del polinomio hallado?

b) Calcula el área de la figura si x = 1,5 cm.

Halla la suma, la resta y el producto de los polinomios P(x) y Q(x).

a) P(x) = 4x3 − 2x + 5

Q(x) = 2 − x

b) P(x) = x3 + x2 + x + 1

Q(x) = x4 − x2 + x + 2

Averigua los valores de a y de b para que se verifiquen las igualdades.

a) x2 + ax + 1( ) 2x3 + bx + 1( ) = 2x5 + 2x4 + x3 + 1

b) x2 − a( ) x3 − b( ) = x5 + 3x3 + x2 + 3

Si n es un número natural, efectúa la siguiente multiplicación de polinomios:

1− x + x2 −…+ x2 n − x2 n+1( ) 1+ x( )

Dados dos polinomios, P(x) y Q(x), y dos números, a y b, si el valor r es una raíz de ambos polinomios, ¿podría afirmarse que r es también una raíz del polinomio aP(x) + bQ(x)? ¿Y del polinomio P2(x) − Q3(x)? Justifica tus respuestas.

Desarrolla las expresiones.

a) 4 x4 + 2( )2 c) 1−7 x2( )2

b) 1+ 8 x3( )2 d) 5 x2 y −7 xy2( )2

Desarrolla estas expresiones.

a) 4 x + 3 y + 2z( )2 c) x − 2( )3

b) −1+ 3x + 2 y( )2 d) x2 + 2( )3

96

97

98

99

100

101

102

} Factoriza la expresión:

3x − 2y( )2 + 8z 3x − 2y( ) + 16z2

Solución

Llamamos w a la expresión: 3x − 2y

Así, reducimos la expresión del ejercicio a:

w2 + 8zw + 16z2

Observamos que esta expresión corresponde al cuadrado de una suma:

w2 + 8 zw + 16 z2 = w + 4 z( )2

Sustituimos la expresión original de w:

w + 4 z( )2 = 3x − 2 y + 4 z( )2

La factorización de la expresión corresponde al cuadrado de un trinomio.

EJERCICIO RESUELTO

Actividades Finales 3

3 Polinomios


98 Averigua los valores de a y de b para que se verifiquen las igualdades.

a) x2 + ax + 1( ) 2x3 + bx + 1( ) = 2x5 + 2x4 + x3 + 1

b) x2 − a( ) x3 − b( ) = x5 + 3x3 + x2 + 3

a) x2 + ax + 1( ) 2x3 + bx + 1( ) = 2x5 + 2ax4 + 2 + b( ) x3 + ab + 1( ) x2 + a + b( ) x + 1 = 2x5 + 2x4 + x3 + 1

Igualando los coeficientes: 2 + b = 1 → b = −1

a + b = 0 → a = 1

b) x2 − a( ) x3 − b( ) = x5 − ax3 − bx2 + ab = x5 + 3x3 + x2 + 3

Igualando los coeficientes: −a = 3 → a = −3

−b = 1 → b = −199 Si n es un número natural, efectúa la siguiente multiplicación de polinomios: 1− x + x2 −…+ x2n − x2n+1( ) 1+ x( )

1− x + x2 −…+ x2n − x2n+1( ) 1+ x( ) = 1 + x − x + x2 − x2 + … + x2n + 1 − x2n + 1 − x2n + 2 = 1 − x2n + 2

100 Dados dos polinomios, P(x) y Q(x), y dos números, a y b, si el valor r es una raíz de ambos polinomios, ¿podría afirmarse que r es también una raíz del polinomio aP(x) + bQ(x)? ¿Y del polinomio P2(x) − Q3(x)? Justifica tus respuestas.

Si r es una raíz de ambos polinomios entonces: P(r) = Q(r) = 0

Por tanto: aP(r) + bQ(r) = 0 → r es una raíz de aP(x) + bQ(x).

Del mismo modo: P2(r) − Q3(r) = 0 → r es una raíz de P2(x) − Q3(x).101 Desarrolla las expresiones.

a) 4 x4 + 2( )2 c) 1−7 x2( )2

b) 1+ 8 x3( )2 d) 5 x2 y −7 xy2( )2

c) 16x8 + 16x4 + 4 b) 64x6 + 16x3 + 1 c) 49x4 − 14x2 + 1 d) 25x4y2 − 70x3y3 + 49x2y4

102 Desarrolla estas expresiones.

a) 4 x + 3 y + 2z( )2 c) x − 2( )3

b) −1+ 3x + 2 y( )2 d) x2 + 2( )3

a) 16x2 + 9y2 + 4z2 + 24xy + 16xz + 12yz c) x3 − 6x2 + 12x − 8

b) 9x2 + 4y2 + 12xy − 6x − 4y + 1 d) x6 + 6x4 + 12x2 + 8103 Realiza el producto: (x + a)(x + b + c)

(x + a)(x + b + c) = x2 + ax + bx + cx + ab + ac104 Construye una figura que represente el producto: (x + a)(y + b)

bx ab

xy ay

(x + a)(y + b) = xy + bx + ay + ab105 Calcula el cociente y el resto de las divisiones:

a) x3 + 5 x2 − 3x + 8( ) : x2 + 5( ) c) 3x5 −5 x4 − 4 x2 + 3x −1( ) : x2 − 2x( )

b) x4 − x2 + x + 2( ) : x2 + x −1( ) d) 10 x3 + 2x2 −5 x( ) : 2x2 − 3( ) a) Cociente: x + 5 Resto: −8x − 17 c) Cociente: 3x3 + x2 + 2x Resto: 3x − 1

b) Cociente: x2 − x + 1 Resto: −x + 3 d) Cociente: 5x + 1 Resto: 10x + 3

87

3Polinomios


106 Copia en tu cuaderno y completa esta tabla.

Grado

Dividendo Divisor Cociente

3 1 3

3 2 1

5 3 2

107 Halla un polinomio tal que, al dividirlo por x2 − 2, dé como cociente x + 4 y como resto x + 1.

x2 − 2( ) x + 4( ) + x + 1 = x3 + 4 x2 − x −7108 Aplica la regla de Ruffini para calcular el cociente y el resto de las divisiones.

a) x5 + 1( ) : x + 1( ) b) x5 + 1( ) : x −1( ) c) x4 − 3x2 + x + 2( ) : x – 3( )

a) Cociente: x4 − x3 + x2 − x + 1 Resto: 0

b) Cociente: x4 + x3 + x2 + x + 1 Resto: 2

c) Cociente: x3 + 3x2 + 6x + 19 Resto: 59

109 Calcula el cociente y el resto de las divisiones aplicando la regla de Ruffini.

a) 6 x3 + 2x2 − 4 x − 9( ) : (3x − 2) c) 9 x4 + 3x3 + x2( ) : 3x −1( )

b) x3 + x2 − 3x + 2( ) : (2x −1) d) 2x4 − 3x3 − 2x + 8( ) : 2x − 3( )

a) Cociente: 2x2 + 2x Resto: −9

b) Cociente: 1

2x2 +

3

4x −

9

8 Resto:

7

8

c) Cociente: 3x3 + 2x2 + x +1

3 Resto:

1

3

d) Cociente: x3 − 1 Resto: 5110 ¿Puede ser x2 + x + 1 el resto de la división de un polinomio por 3x2 + x?

No puede ser pues el grado del resto de una división ha de ser menor que el grado del divisor.111 El cociente de la división de P(x) = §x3 + §x2 + 6x − 3 por Q(x) = x + 5 es C(x) = 2x2 − 7x + §.

a) ¿Qué números deben ocupar los recuadros?

b) ¿ Cuál es el resto de la división?

a) P(x) = Q(x) ⋅ C(x) + R(x)

Como el grado de Q(x) es 1, el resto de la división debe ser un número para que su grado sea menor.

Entonces: §x3 + §x2 + 6 x − 3 = x + 5( ) 2x2 −7 x + §( ) + a

§x3 + §x2 + 6 x − 3 = 2x3 + 3x2 + §− 35( ) x + 5§ + a

Así, en el primer recuadro de P(x) debe aparecer un 2 y en el segundo un 3. En el recuadro de C(x) falta el número 41.

b) Para hallar el resto de la división: −3 = 5 ⋅ 41 + a → a = −208

112 Calcula el cociente y el resto de la división: 3x4 + 27x3 − 54x2 − 18x − 6( ) : 3x − 18( )

Simplificamos los radicales: 3x4 + 3 3x3 − 3 6x2 − 3 2x − 6( ) : 3x − 3 2( )

Dividimos ambos polinomios por 3: x4 + 3x3 − 6x2 − 2x − 2( ) : x − 2( )

Aplicamos la regla de Ruffini para dividir y obtenemos el cociente: C ( x ) = x3 + 3 + 2( ) x2 + 2x + 2

Como la división es exacta, el resto es 0.113 Dado un polinomio, P(x), de grado mayor o igual que 1, halla el cociente y el resto de la división de P(x)3 + 1 por P(x).

Observamos que al dividir x3 + 1 por x obtenemos como cociente x2 y como resto 1.

Del mismo modo, al dividir P(x)3 + 1 por P(x) obtenemos como cociente P(x)2 y como resto 1.

3 Polinomios


114 Calcula el resto que se obtiene al dividir estos polinomios, sin efectuar la división.

a) Dividendo: x17 + 1 Divisor: x + 1

b) Dividendo: x16 + x15 + x + 2 Divisor: x − 1

c) Dividendo: x14 − 4x12 + x + 12 Divisor: x − 2

a) R = P(−1) = 0 b) R = P(1) = 5 c) R = P(2) = 14115 Halla el valor de a para que el resto de la división del polinomio 2x6 + ax4 − x − 1 por el polinomio x + 3 sea igual a 2.

Aplicando el teorema del resto: P −3( ) = 2 → 2 ⋅ −3( )6 + a ⋅ −3( )4 − −3( )−1 = 2 → 1 458 + 81a + 2 = 2 → a = 18116 Calcula el valor de a, sabiendo que, al dividir el polinomio x3 − ax2 + x − 10 por x − 2, el resto es nulo.

Aplicando el teorema del resto: P(2) = 0 → 23 − a ⋅ 22 + 2 − 10 = 0 → −4a = 0 → a = 0117 Halla el valor de a para el que el x3 + 3x2 − ax + 9 es divisible por el polinomio x + 3.

Aplicando el teorema del resto: P −3( ) = 0 → −3( )3 + 3 ⋅ −3( )2 − a ⋅ −3( ) + 9 = 0 → 3a + 9 = 0 → a = −3 118 Halla el valor de a y b para que x2 + ax + b tenga como raíz x = 4 y que el resto de dividirlo por x + 2 sea 3.

Aplicando el teorema del resto:

P(4) = 0 → 42 + a ⋅ 4 + b = 0 → b = −16 − 4a

P (−2) = 3 → −2( )2 + a ⋅ −2( )−16− 4a = 3 → −6a−12 = 3 → −5

2→ b = −6

119 Factoriza los polinomios.

a) 3x2 + 6x + 3 b) ax2 − 2ax + a c) 4x2 − 25 d) 1 − 4x2

a) 3 x + 1( )2 b) a x −1( )2 c) (2x + 5)(2x − 5) d) (1 + 2x)(1 − 2x) 120 Factoriza las expresiones sacando factor común.

a) 5(x − y) − 4ay + 4ax b) 2a(2x + y) + 8bx + 4by

a) 5(x − y) + 4a(x − y) = (5 + 4a)(x − y) b) 2a(2x + y) + 4b(2x + y) = (2a + 4b)(2x + y) = 2(a + 2b)(2x + y)121 Extrae factor común y emplea las identidades notables para factorizar las expresiones.

a) 9(x − y) − 4x2(x − y)

b) x2(2x + y) + 2x(2x + y) + 2x + y

c) x2(x − 2y) − 2x(x − 2y) + x − 2y

a) 9− 4 x2( ) x − y( ) = 3 + 2x( ) 3− 2x( ) x − y( )b) x2 + 2x + 1( ) 2x + y( ) = x + 1( )2 2x + y( )c) x2 − 2x + 1( ) x − 2 y( ) = x −1( )2 x − 2 y( )

122 ¿Se puede factorizar el polinomio x2 + 7 como producto de polinomios de primer grado con coeficientes racionales?

Suponemos que es posible factorizar el polinomio x2 + 7 = (ax + b)(cx + d) con a y c no nulos.

Entonces si x = −b

a→ −

b

a

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

2

+ 7 = a ⋅ −b

a

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ + b

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ c ⋅ −

b

a

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ + d

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = 0 →

b2

a2+ 7 = 0

La suma de números positivos no puede resultar 0, así que concluimos que no es posible factorizar x2 + 7 de esta forma.123 Factoriza como producto de potencias de números primos el número n = 572 − 402, sin calcular explícitamente este nú-

mero.

n = 572 − 402 = (57 + 40)(57 − 40) = 97 ⋅ 17124 Factoriza los polinomios propuestos.

a) x3 − 4x2 + x + 6 c) x4 − 5x3 + 5x2 + 5x − 6

b) x3 + 7x2 − 4x − 28 d) x3 − 2x2 + 3x − 10

a) (x + 1)(x − 2)(x − 3) c) (x − 1)(x + 1)(x − 2)(x − 3)

b) (x − 2)(x + 2)(x + 7) d) (x + 1)(x + 2)(x − 5)

89

3Polinomios


125 Copia en tu cuaderno y asocia cada polinomio con sus raíces.

9x3 − 21x2 + 16x − 4 1

x3 − 3x2 + 3x − 1 23

y 1

x3 − 2x2 − x + 2 1, 2 y 3

x3 − 6x2 + 11x − 6 −1, 1 y 2

9x3 − 21x2 + 16x − 4 → 2

3 y 1 x3 − 2x2 − x + 2 → −1, 1 y 2

x3 − 3x2 + 3x − 1 → 1 x3 − 6x2 + 11x − 6 → 1, 2 y 3 126 Halla las raíces de estos polinomios.

a) x − 3( ) x + 2( ) x +1

3

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ b) x2 x2 − 4( ) 2x + 8( ) c) x − 20( ) x2 − 2x + 1( ) x −5( )

a) x = 3, x = −2, x = −1

3 b) x = 0, x = −2, x = 2, x = −4 c) x = 20, x = 1, x = 5

127 Factoriza los siguientes polinomios.

a) x2 + 5x − 14 b) x2 + 6x − 27 c) 2x2 + 18x + 40

a) (x − 2)(x + 7) b) (x − 3)(x + 9) c) 2(x + 4)(x + 5) 128 Factoriza estos polinomios.

a) x3 − 5x2 + x − 5 b) x4 − 2 401 c) x4 + x3 − 3x2 − 4x − 4

a) x −5( ) x2 + 1( ) b) x −7( ) x + 7( ) x2 + 49( ) c) x − 2( ) x + 2( ) x2 + x + 1( )

129 Factoriza las expresiones.

a) x + 2 y( )2 + 2z x + 2 y( ) + z2 c) x − 4 y( )2 − 8 z x − 4 y( ) + 16 z2

b) x2 + 2x y + z( ) + y + z( )2 d) x2 −1( )2 − 6 y x2 −1( ) + 9 y2

a) x + 2 y + z( )2 c) x − 4 y + 4 z( )2

b) x + y + z( )2 d) x2 −1− 3 y( )2

3 Polinomios


Matemáticas vivas

Recursos humanosSugerencias didácticas

En esta sección trabajamos de un modo más concreto las competencias, en particular la competencia matemática. Se presenta una situación cotidiana: el departamento de recursos humanos de distintas empresas se plantea procesos de selección en los que intervienen expresiones algebraicas. Se pretende facilitar la comprensión de los alumnos para que sean capaces de reco-nocer y utilizar los polinomios en diferentes contextos.

En la resolución de diferentes actividades de comprensión, relación y reflexión, los alumnos desarrollarán algunas de las com-petencias matemáticas evaluadas por el estudio PISA: Comunica, Piensa y razona, Utiliza el lenguaje matemático, Resuelve o Modeliza.

En las actividades de comprensión deberán leer las fases de las que consta el proceso de selección. Para contestar a las pre-guntas debemos estar seguros de que los alumnos han entendido el significado de valor numérico de un polinomio y son capaces de calcular sus raíces.

En las actividades de relación los alumnos reconocerán un polinomio de tercer grado y realizarán operaciones algebraicas utilizando el lenguaje matemático.

Para finalizar la sección, se incluye el apartado Trabajo cooperativo donde se propone una tarea cuya estrategia cooperativa es Lápices al centro, de Nadia Aguiar y María Jesús Talión.

Para desarrollar esta tarea, los alumnos imaginarán que ayudan a una empresa a obtener un polinomio que represente un proceso de calificación de los empleados. Primero trabajarán en pequeños grupos, donde habrá un moderador. Debatirán sobre la solución y, finalmente, escribirán de forma individual la respuesta consensuada por el equipo.

Soluciones de las actividades

El departamento de recursos humanos de una empresa está formado por una o varias personas que se ocupan de seleccio-nar al personal, gestionar los contratos de los empleados y plantear los procesos de formación adecuados a cada puesto de trabajo.

3 MATEMÁTICAS VIVAS

62 63

3Recursos humanos

RELACIONA

En el centro informático de un banco siempre tiene que haber un equipo formado por 3 empleados por si ocurre algún incidente.

Como está funcionando permanentemente, se han establecido turnos de 8 horas para cada equipo.

A fin de organizar los equipos de manera que en cada uno haya al menos una persona distinta, si x es el número de empleados del departamento de informática, se utiliza la expresión:

Q(x) =x ( x −1)( x − 2)

6

a. Halla la expresión del polinomio Q(x) con los términos ordenados según su grado.

b. ¿Cuál es el grado del polinomio Q(x)?

c. Si en un cierto mes el departamento de informática dispone de 15 empleados, halla el número de equipos diferentes que pueden organizarse formados por 3 personas.

2

RESUELVE

UTILIZA EL LENGUAJE MATEMÁTICO

COMPRENDE

Un club de tiempo libre necesita contratar a dos profesores de tenis. Para ello, inicia un proceso de selección que consta de dos fases.

1.ª fase: una entrevista personal con cada profesor que solicite un puesto.

2.ª fase: una valoración basada en los partidos jugados entre los candidatos seleccionados. Cada aspirante jugará con los demás una sola vez, y se elegirá a los dos aspirantes que más juegos ganen.

Si x es el número de candidatos, la cantidad de partidos que tienen que celebrarse viene dada por la

expresión: P (x) =1

2x2 −

1

2x . Responde a estas preguntas.

a. Si en la primera fase se seleccionan 6 aspirantes, ¿cuántos partidos han de celebrarse para que jueguen todos entre sí?

b. ¿Cuál es el número de candidatos que han pasado a la segunda fase si para hacer la selección de los dos mejores se han de jugar 36 partidos?

1

COMUNICA

PIENSA Y RAZONA

El departamento de recursos humanos de una empresa quiere obtener un polinomio para calificar a sus empleados basándose en su experiencia y formación.

La calificación inicial será de 1 a 5, pero deben tenerse en cuenta habilidades que se consideran de especial relieve para calcular la calificación final.

Cada habilidad del empleado será la parte literal de cada uno de los términos del polinomio.

El grado del monomio que corresponde a cada habilidad se refleja en esta tabla.

Habilidades Coeficiente Grado

Matemáticas financieras −5 3

Contabilidad 4 1

Programación informática −15 2

Relaciones con los compañeros 12 0

Relaciones con los clientes 3 4

Capacidad de trabajo y dedicación 1 5

La calificación final del empleado vendrá dada por el valor numérico del polinomio cuando la variable se sustituya por su calificación inicial, x.

a. Obtén el polinomio que expresa la fórmula de calificación de los empleados.

b. Calcula las calificaciones globales de dos empleados que han obtenido en la calificación inicial 1 y 2, respectivamente.

3

REFLEXIONA

RESUELVE

MODELIZA

El departamento de recursos humanos de una empresa está formado por una o varias personas que se ocupan de seleccionar al personal, gestionar los contratos de los empleados y plantear los procesos de formación adecuados a cada puesto de trabajo.

TRABAJO

COOPERATIVO

91

3Polinomios


Comprende

Un club de tiempo libre necesita contratar a dos profesores de tenis. Para ello, inicia un proceso de selección que consta de dos fases.

1.ª fase: una entrevista personal con cada profesor que solicite un puesto.

2.ª fase: una valoración basada en los partidos jugados entre los candidatos seleccionados. Cada aspirante jugará con los demás una sola vez, y se elegirá a los dos aspirantes que más juegos ganen.

1 Si x es el número de candidatos, la cantidad de partidos que tienen que celebrarse viene por la expresión: P (x) =1

2x2 −

1

2x

Responde a estas preguntas.

a) Si en la primera fase se seleccionan 6 aspirantes, ¿cuántos partidos han de celebrarse para que jueguen todos entre sí?

b) ¿Cuál es el número de candidatos que han pasado a la segunda fase si para hacer la selección de los dos mejores se han de jugar 36 partidos?

a) P (x) =1

2⋅62 −

1

2⋅6 = 15 partidos

b) 1

2x2 −

1

2x = 36 → x2 − x + 72 = 0 → (x − 9)(x + 8) = 0

Las raíces del polinomio obtenido son −8 y 9, pero como el número de candidatos ha de ser positivo concluimos que han pasado 9 candidatos a la segunda fase.

Relaciona

En el centro informático de un banco siempre tiene que haber un equipo formado por 3 empleados por si ocurre algún inci-dente.

Como está funcionando permanentemente, se han establecido turnos de 8 horas para cada equipo.2 A fin de organizar los equipos de manera que en cada uno haya al menos una persona distinta, si x es el número de em-

pleados del departamento de informática, se utiliza la expresión: Q (x) =x ( x −1)( x − 2)

6a) Halla la expresión del polinomio Q(x) con los términos ordenados según su grado.

b) ¿Cuál es el grado del polinomio Q(x)?

c) Si en un cierto mes el departamento de informática dispone de 15 empleados, halla el número de equipos diferentes que pueden organizarse formados por 3 personas.

a) Q (x) =( x2 − x )( x − 2)

6=

x3 − 3x2 + 2x

6=

1

6x3 −

1

2x2 +

1

3x

b) El grado del polinomio Q(x) es 3.

c) El número de equipos diferentes es el valor numérico del polinomio para x = 15:

Q (x) =1

6⋅153 −

1

2⋅152 +

1

3⋅15 = 455 equipos diferentes

3 Polinomios


Reflexiona3 El departamento de recursos humanos de una empresa quiere obtener un polinomio para calificar a sus empleados ba-

sándose en su experiencia y formación.

La calificación inicial será de 1 a 5, pero deben tenerse en cuenta habilidades que se consideran de especial relieve para calcular la calificación final.

Cada habilidad del empleado será la parte literal de cada uno de los términos del polinomio.

El grado del monomio que corresponde a cada habilidad se refleja en esta tabla.

Habilidades Coeficiente Grado

Matemáticas financieras −5 3

Contabilidad 4 1

Programación informática −15 2

Relaciones con los compañeros 12 0

Relaciones con los clientes 3 4

Capacidad de trabajo y dedicación 1 5

La calificación final del empleado vendrá dada por el valor numérico del polinomio cuando la variable se sustituya por su calificación inicial, x.

a) Obtén el polinomio que expresa la fórmula de calificación de los empleados.

b) Calcula las calificaciones globales de dos empleados que han obtenido en la calificación inicial 1 y 2, respectivamente.

a) P(x) = x5 + 3x4 − 5x3 − 15x2 + 4x + 12

b) Si un empleado obtiene 1 en la calificación inicial: P(1) = 15 + 3 ⋅ 14 − 5 ⋅ 13 − 15 ⋅ 12 + 4 ⋅ 1 + 12 = 0

Para el empleado con un 2 en la calificación inicial: P(2) = 25 + 3 ⋅ 24 − 5 ⋅ 23 − 15 ⋅ 22 + 4 ⋅ 2 + 12 = 0

Trabajo cooperativo

Si llamamos P(x) al tercer polinomio se tiene que cumplir que: 5

2x2 −13x + 24 + x2 +

1

2x + 9 + P (x) = 11x2 − 29 x + 10

Entonces: P (x) = 11x2 − 29 x + 10−5

2x2 −13x + 24

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟− x2 +

1

2x + 9

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =

15

2x2 −

33

2x − 29

93

3Polinomios


64

3 Polinomios

Se denomina fracción algebraica al cociente de dos polinomios, P (x)

Q (x), donde Q(x) ≠ 0.

Las propiedades de las operaciones con fracciones numéricas se verifi can también en las fracciones algebraicas.

❚ Dos fracciones algebraicas, P1 (x)

Q1 (x) y

P2 (x)

Q2 (x), son equivalentes si P1(x) ⋅ Q2(x) = P2(x) ⋅ Q1(x).

x − 2

x2 + x − 6 y

1

x + 3 son equivalentes porque x2 + x − 6( ) ⋅1 = x2 + x − 6

x − 2( ) x + 3( ) = x2 + x − 6

⎫⎬⎪⎪

⎭⎪⎪→

x − 2

x2 + x − 6=

1

x + 3

❚ Las fracciones algebraicas se pueden simplificar si el numerador y el denominador son múltiplos de un mismo polinomio.x2 + 7 x + 12

x2 + x − 6=

( x + 3)( x + 4)

( x − 2)( x + 3)=

x + 4

x − 2

❚ Para sumar fracciones algebraicas, se reducen a común denominador y se suman los numeradores.

5

x2 −1+

x

x −1=

5

x2 −1+x ( x + 1)

x2 −1=

x2 + x + 5

x2 −1

❚ El producto y el cociente de las fracciones algebraicas se calculan del mismo modo que los de las fracciones numéricas.

3x

x + 5⋅−2

x −1=

3x ⋅ (−2)

( x + 5) ⋅ ( x −1)=

−6 x

x2 + 4 x −5

x

x + 2:

5 x + 1

x + 1=

x ⋅ ( x + 1)

( x + 2) ⋅ (5 x + 1)=

x2 + x

5 x2 + 11x + 2

AVANZA

A1. Simplifi ca las fracciones algebraicas.

a) x3 − 4 x

x2 − 2x

b) 2x2 −16 x + 30

4 x2 −100

A2. Efectúa las operaciones.

a) x

x − 2+

1

x + 2−

2x

x2 − 4

b) 2x −1

x −5⋅2x −10

6 x:

1

x + 2

Para calcular con rapidez el producto de dos números que equidistan de una potencia de 10, se puede expresar el producto como una identidad notable, una suma por una diferencia.

Por ejemplo, si queremos hallar el producto 107 ⋅ 93:

107 ⋅ 93 =

(100 + 7) ⋅ (100 − 7) =

Recuerda que:

(a + b) ⋅ (a − b) = a2 − b2

= 1002 − 72 = 10 000 − 49 = 9 951

CM1. Calcula los siguientes productos.

a) 105 ⋅ 95 b) 1 004 ⋅ 996 c) 1 011 ⋅ 989

CÁLCULO MENTAL Estrategia para MULTIPLICAR NÚMEROS QUE EQUIDISTAN DE UNA POTENCIA DE 10

Fracciones algebraicas


Los polinomios pueden resultar insuficientes para describir algunos fenómenos físicos. Por ejemplo, el volumen que ocupa un gas sometido a cierta presión a una temperatura determinada se relaciona mediante el cociente de dos poli-nomios de grado uno.

Los cocientes de polinomios se llaman fracciones algebrai-cas y desempeñan, respecto de los polinomios, el mismo papel que juegan los números racionales respecto de los enteros. Por ello se dedica esta sección a aprender a sumar-las, restarlas, multiplicarlas y dividirlas.


A1. Simplifica las fracciones algebraicas.

a) x3 − 4 x

x2 − 2x b)

x3 − 4 x

x2 − 2x

a) x x2 − 4( )

x x − 2( )=

x + 2( ) x − 2( )

x − 2= x + 2

b) 2 x2 − 8 x + 15( )

4 x2 − 25( )=

x − 3( ) x −5( )

2 x −5( ) x + 5( )=

x − 3

2 x + 5( )

A2. Efectúa las operaciones.

a) x

x − 2+

1

x + 2−

2x

x2 − 4 b)

2x −1

x −5⋅2x −10

6 x:

1

x + 2

a) x ( x + 2) + x − 2− 2x

x2 − 4=

x2 + x − 2

x2 − 4=

( x −1)( x + 2)

( x − 2)( x + 2)=

x −1

x − 2

b) (2x −1)(2x −10)( x + 2)

( x −5) ⋅6 x=

(2x −1)2( x −5)( x + 2)

( x −5) ⋅6 x=

(2x −1)( x + 2)

3x

Cálculo mental. Estrategia para multiplicar números que equidistan de una potencia de 10Sugerencias didácticas

Como cierre de la unidad se emplea la identidad (x + y)(x − y) = x2 − y2 para multiplicar muy fácilmente dos números distintos a y b que equidistan de 10, de 100 o de 1 000.


CM1. Calcula los siguientes productos.

a) 105 ⋅ 95 b) 1 004 ⋅ 996 c) 1 011 ⋅ 989

a) 105 ⋅ 95 = (100 + 5) ⋅ (100 − 5) = 1002 − 52 = 10 000 − 25 = 9 975

b) 1 004 ⋅ 996 = (1 000 + 4) ⋅ (1 000 − 4) = 1 0002 − 42 = 1 000 000 − 16 = 999 984

c) 1 011 ⋅ 989 = (1 000 + 11) ⋅ (1 000 − 11) = 1 0002 − 112 = 1 000 000 − 121 = 999 879

Avanza. Fracciones algebraicas

3 Polinomios


1. Halla un número entero n para que el resultado de la suma xn +x4

x2 sea un monomio.

Simplificando la expresión: xn +x4

x2= xn + x2

Por tanto, la suma solo puede ser un monomio si n = 2.

2. Calcula el valor de a sabiendo que 5 es una raíz del polinomio P(x) = −x5 + 5x4 − 2x3 + ax2 − x + 5.

Si 5 es una raíz del polinomio, entonces P(5) = 0.

−55 + 5 ⋅ 54 − 2 ⋅ 53 + a ⋅ 52 − 5 + 5 = 0 → − 250a + 25 = 0

Luego a = 10.

3. Completa los recuadros para que las siguientes igualdades sean ciertas.

a) §x2 − 6x + 1 = (§x − §)(x − 1)

b) 5x2 + 4x − 1 = (§x + 1)(5x − §)

a) 5x2 − 6x + 1 = (5x − 1)(x − 1)

b) 5x2 + 4x − 1 = (x + 1)(5x − 1)

4. Efectúa la siguiente operación:

3x2 + 2x −1( ) ⋅ x4 − 3x3 + x2 − x + 3( )− 2x2 − 8 x + 3( ) x2 + 1( )[ ]

3x2 + 2x −1( ) ⋅ x4 − 3x3 + x2 − x + 3( )− 2x2 − 8 x + 3( ) x2 + 1( )[ ] == 3x2 + 2x −1( ) ⋅ x4 − 3x3 + x2 − x + 3( )− 2x4 − 8 x3 + 5 x2 − 8 x + 3( )[ ] == 3x2 + 2x −1( ) ⋅ −x4 + 5 x3 − 4 x2 + 7 x( ) = −3x6 + 13x5 − x4 + 8 x3 + 18 x2 −7 x

5. Determina el cociente y el resto de las siguientes divisiones.

a) x3 − 4 x2 + 2x −5( ) : x2 + x + 1( )

b) x5 − x4 − 4 x3 −7 x2 + 5 x − 3( ) : x − 3( )

a) Cociente: x − 5

Resto: 6x

b) Cociente: x4 + 2x3 + 2x2 – x + 2

Resto: 3

PROPUESTA DE EVALUACIÓNPRUEBA A

95

3Polinomios


1. Realiza las operaciones e indica el grado de los polinomios obtenidos.

a) P (x) = 3x −1( )2 − 3 x + 1( )2

b) Q (x) = x + 2( )2 − x + 1( ) ⋅ x −1( )

a) P (x) = 3x −1( )2 − 3 x + 1( )2 = 9 x2 − 6 x + 1− 3 x2 + 2x + 1( ) = 6 x2 −12x − 2

El polinomio P(x) tiene grado 2.

b) Q (x) = x + 2( )2 − x + 1( ) ⋅ x −1( ) = x2 + 4 x + 4− x2 −1( ) = 4 x + 5

El polinomio Q(x) tiene grado 1.

2. Calcula las tres raíces enteras del polinomio P(x) = x3 − 2x2 − 5x + 6.

Las raíces del polinomio deben ser divisores del término independiente: ±1, ±2, ±3 y ±6

Aplicamos la regla de Ruffini para hallar la descomposición del polinomio: P(x) = (x − 1)(x + 2)(x − 3)

Por tanto, las raíces de P(x) son: −2, 1 y 3

3. Calcula P2(x) − Q2(x) si P(x) = x3 − 6x2 − 9x − 8 y Q(x) = x3 + 6x2 + 9x + 7.

P2(x)−Q2(x) = P(x)+Q(x)( ) P(x)−Q(x)( ) == 2x3 −1( ) −12x2 −18 x −15( ) == −24 x5 − 36 x4 − 30 x3 + 12x2 + 18 x + 15

4. Halla el cociente y el resto de esta división:

x4 − 3x3 − 2x2 + x −5( ) : 2x2 + x −5( )

Cociente: 1

2x2 −

7

4x +

9

8

Resto: −71

8x +

5

8

5. Indica razonadamente (sin realizar los productos) cuál de estas factorizaciones se corresponde con la factorización del polinomio P(x) = x6 − 23x5 + 150x4 − 120x3 − 841x2 − 97x − 990.

a) x2 + 1( ) x + 2( ) x −5( ) x − 9( ) x −11( )

b) x2 + 1( ) x − 2( ) x + 5( ) x − 9( ) x − 97( )

c) x2 + 1( ) x − 2( ) x −5( ) x − 9( ) x −1980( )Las factorizaciones de los apartados b) y c) no pueden ser las de P(x) porque ni 97, ni 1 980 son divisores de 990.

La factorización de P(x) es la que se muestra en el apartado a).

PROPUESTA DE EVALUACIÓNPRUEBA B

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