POLINOMI

• Definizione

• Nomenclature

• Grado di un polinomio

• Operazioni fra polinomi

• Prodotti notevoli

Definizione

In matematica un polinomio tipico, cioè ridotto in forma normale, è dato dalla somma algebrica di due o più monomi non simili tra loro, vale a dire con parti letterali diverse.

Ciascun monomio è chiamato termine del polinomio.

-36ab2 +3ab -5a2b

Termine

Nomenclatura Un polinomio si dice ridotto in forma normale, quando è stato semplificato, quindi sono stati accorpati i suoi termini simili e sono stati eliminati gli eventuali monomi nulli.

7x + 6xy -3x +5xyz +2xy polinomio non ridotto 4x+8xy +5xyz polinomio ridotto in forma normale

• Se un polinomio è costituito da uno, due, tre, quattro, ecc.. termini (o

monomi) prenderà rispettivamente il nome di monomio, binomio, trinomio, quadrinomio, ecc..

7x monomio 7x + 6xy binomio

4x+8xy +5xyz trinomio 4x+8xy +5xyz +3x2

quadrinomio

Un polinomio è omogeneo se è composto dalla somma di monomi dello stesso grado.

6x3 + 3x2y1 +5x1y1z 1+2xy2 polinomio omogeneo di 3° grado

Un polinomio è completo rispetto ad una variabile, se osservando tutti i termini del polinomio di quella certa variabile e partendo dal termine di grado più elevato rispetto a quella variabile il polinomio contiene tutti i termini di grado inferiore fino a zero.

6x3 + 3x2y +5x1yz +2 polinomio completo rispetto ad x

Due polinomi sono considerati uguali se, dopo essere stati ridotti in forma normale, hanno gli stessi termini, a meno dell'ordine.

x + y ; -3xy+2x+3y-x-2y +3xy ; y+x

• Il termine noto di un polinomio ridotto in forma normale è l'unico monomio (se esiste) di grado zero, cioè non contenente la parte letterale. Se non esiste un tale monomio, il termine noto è considerato generalmente inesistente o uguale a zero.

6x3 + 3x2y +5xy +2 2 è il termine noto

Grado di un polinomio

Il grado di un polinomio non nullo e ridotto in forma normale è il massimo grado tra i suoi monomi, mentre il grado parziale rispetto ad una variabile è il grado massimo con cui appare nel polinomio quella variabile.

-1/3 xy2z2 + 2/5 x2yz3

• Polinomio di 6° grado

• Polinomio di 2° grado rispetto ad x ed y

e di 3° grado rispetto a z

Operazioni fra polinomi

• Addizione algebrica

(+10x -13b) – (5ab -3b + 6ab2) + 6b =

Cambiare di segno tutti i termini nella parentesi se preceduta dal segno

meno:

10x -13b – 5ab +3b - 6ab2 + 6b =

Sommare i termini simili se esistono:

10x -4b – 5ab - 6ab2

Binomio Trinomio Monomio

• Prodotto

Il prodotto di un monomio per un polinomio si ottiene moltiplicando il monomio per il 1° termine e poi per il 2° termine (seguendo le stesse regole dei monomi).

Il prodotto di due polinomi si ottiene moltiplicando ogni termine del primo polinomio per ogni termine del secondo (seguendo le stesse regole dei monomi).

2ab * (+5ab-3b2) = +10 a2b2 - 6ab3

(2ab - 3 a) * (+5ab - 3b2) = +10 a2b2 - 6ab3 -15 a2b + 9 ab2

• Divisione

Affinchè la divisione tra polinomi sia possibile, gli esponenti della parte letterale del dividendo devono essere maggiori o uguali a quelli del divisore. Se ciò è verificato il risultato della divisione avrà per coefficiente il quoziente dei coefficienti e per parte letterale il quoziente delle parti letterali. In particolare ogni fattore letterale ha l'esponente uguale alla differenza degli esponenti che esso ha nei singoli monomi.

(-6x2y+9xy2 ) : 3xy = -2x + 3y

(-2 a4b6 +4 a6b4): (4 a2b3 +2ab)= -2/4 a2b3 –a3b4+ a4b – 2 a5b3

Prodotti notevoli

• Quadrato di un binomio: Il quadrato di un binomio è uguale al quadrato del primo termine, più il doppio prodotto del primo per il secondo, più il quadrato del secondo termine.

(a+b)2 = a2 + 2ab + b2

(a-b)2 = a2 - 2ab + b2

• Quadrato di un trinomio Il quadrato di un trinomio è uguale alla somma dei quadrati dei tre termini, più i tre doppi prodotti ognuno con il segno che gli compete.

(a+b+c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc

•

• Prodotto di una somma per una differenza

Il prodotto di una somma per una differenza (termini uguali con segno opposto tra i secondi) è uguale alla differenza dei quadrati dei due termini.

(a+b) * (a−b) = a2−b2

• Cubo di un binomio

Il cubo di un binomio è uguale al cubo del primo termine, più il triplo prodotto del quadrato del primo per il secondo, più il triplo prodotto del primo per il quadrato del secondo, più il cubo del secondo termine.

(a+b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(a−b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3

• Somma di due cubi

La somma di due cubi è uguale alla somma dei due termini per: il primo termine al quadrato meno il primo termine per il secondo più il secondo termine al quadrato.

a3+b3 = (a+b)(a2−ab+b2)

• Differenza di due cubi

La differenza di due cubi è uguale alla differenza dei due termini per: il primo termine al quadrato più il primo termine per il secondo più il secondo termine al quadrato.

a3−b3 = (a−b)(a2+ab+b2)

• Esempi di prodotti notevoli:

(2x+5)2 = 4x2 + 20x + 25

(2x+5+3xy)2 = 4x2 + 25 + 9x2y2 + 20x + 12x2y + 30xy

(2x+3y) * (2x−3y) = 4x2−9y2

(3x+2)3 = 27x3 +54x2 + 36x + 8

27x3+8y3 = (3x+2y)(9x2−6xy+4y2)