POLIEDROS Y MOSAICOS en el Taller de Matemáticas
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POLIEDROS Y MOSAICOS
en el Taller de Matemáticas
Jesús García GualMercedes Sánchez Benito
Las construcciones de los matemáticos, como las de los
pintores o los poetas, deben ser bellas; las ideas, como los colores o
las palabras, deben encajar con armonía. La belleza es el primer
requisito, además de una imaginación inquieta y una paciente
obstinación.G.H. Hardy.
Fórmula de EulerFórmula de Euler
En todo poliedro convexo Vértices+Caras=Aristas+
2
Poliedro convexo Poliedro no convexo
Para demostrar la fórmula de Euler, quitamos una cara del poliedro y deformamos la superficie hasta
extenderla sobre un plano. Se triangulariza la red plana, lo cual conserva el valor de V-A+C. Para esta
red simplificada se tiene que V-A+C=1,y como en el poliedro inicial habíamos
suprimido una cara se tiene que:V+C=A+2
Poliedros regulares
Actividad 1
Poliedros Regulares con mosaicos de Escher
Representación plana de los sólidos platónicos
Actividad 2
Duales
Dual deltetraedro
El dual del octaedro es el
cubo
El dual del cuboes el octaedro
El dual del dodecaedro es el icosaedro
El dual del icosaedro es el dodecaedro
Los deltaedros
Los deltaedros se construyen con triángulos equiláteros. Este es un
ejemplo de un deltaedro no convexo
663 664
665 883Vértices de orden 3Vértices de orden 3
10-10-3468
46-10 PrismasVértices de orden 3Vértices de orden 3
468
3434
4345
3535
4443
Vértices de Vértices de orden 4orden 4
Dos modelos para el 4443. Sommerville
33334
33335Vértices Vértices de orden de orden 55
33334
Vértices de Vértices de orden 5orden 5
Poliedros de Catalan Los duales de los sólidos Arquimedianos se conocen como poliedros de Catalan.
Sus caras han sido sustituidas por sus centros y éstos se han unido si pertenecían a caras que se
conectaban en un mismo vértice. Un poliedro de Catalan puede ser nominado también con el
mismo número que su dual aunque leído de forma diferente, por lo cual emplearemos un corchete
para nombrarlo y no confundirlos. Así si el 4345 quiere decir que todos los vértices son iguales, y
que en ellos concurren dos cuadrados, un triángulo y un pentágono, entonces en el [4345] todas
las caras son cuadriláteros iguales y en dos de sus vértices opuestos concurren cuatro caras, en
otro tres y en el restante cinco.
Además los poliedros de Catalan tienen superficie esférica inscrita, lo que les hace aptos para ser
usados como dados. Esta superficie inscrita determina un punto de contacto en cada cara que
sirve para poder dualizar, obteniéndose el tipo de poliedro arquimediano de partida.
Mosaicos
Los únicos polígonos regulares que teselan el plano son el triángulo, el cuadrado y el hexágono
MOSAICOS
1. A partir de un triángulo cualquiera genera un mosaico.
2. A partir de un cuadrilátero cualquiera , convexo y no convexo, genera un mosaico.
3. Construye todos los mosaicos semirregulares. Recuerda cuales son.
4. Mosaicos construidos a partir de polígonos regulares: mosaico construido a partir de la pajarita nazari y del hueso nazari.
5. Mosaicos construidos a partir de un pentágono:
Pentágonos “casita” Pentágonos “esfinge” Pentágonos “hexágonos”
6. Mosaicos no periódicos: mosaico de Penrose, dardos y cometas:
Construye un rombo con un ángulo de 72 grados, el ángulo de un pentágono regular.
A partir de aquí, dividimos la diagonal mayor según la razón áurea.
Mosaicos construidos con Cabri-Géomètre II
Mosaicos nazaries
casitaesfinge
Hexa-penta
Mosaicos semirregulares
Mosaicos no periódicos
Mosaicos caóticos
Mosaicos de La AlhambraMosaicos de La Alhambra
Mosaicos de La AlhambraMosaicos de La Alhambra
Materiales empleados.
•Piezas de Polyedron
•Piezas de Googoplex
•Cabri-GéomètreII
•¿Qué es la Matemática?. Courant Robbins. Ed. Aguilar.
•Poliedros. G. Guillén Soler. Ed. Síntesis.
•Simetría dinámica. Alsina, Pérez y Ruiz. Ed. Síntesis.
•Mosaicos de Penrose y Escotillas cifradas. M. Gardner. Ed. Labor.
•Mathematical Recreations. Klaner. Ed. Dover.
Bibliografía