Pogledi uciteljev razrednega pouka na uporabnost …...ZAHVALA Zahvaljujem se mentorici prof. dr....

UNIVERZA NA PRIMORSKEM

PEDAGOŠKA FAKULTETA

MAGISTRSKO DELO

SARA MARINIČ

KOPER 2017

UNIVERZA NA PRIMORSKEM

PEDAGOŠKA FAKULTETA

Magistrski študijski program druge stopnje

Razredni pouk

Magistrsko delo

POGLEDI UČITELJEV RAZREDNEGA POUKA NA

UPORABNOST NALOG RAZVEDRILNE

MATEMATIKE PRI RAZVIJANJU LOGIČNEGA

MIŠLJENJA

Sara Marinič

Koper 2017

Mentorica:

prof. dr. Mara Cotič

Somentorica:

dr. Marina Volk, asist.

ZAHVALA

Zahvaljujem se mentorici prof. dr. Mari Cotič in somentorici dr. Marini Volk, asist.

za vse strokovne nasvete ter vsestransko pomoč pri izdelavi magistrskega dela.

Posebna zahvala gre mojim staršem, ki so mi ves čas študija stali ob strani in me

na tej poti podpirali.

IZJAVA O AVTORSTVU

Podpisana Sara Marinič, študentka magistrskega študijskega programa druge

stopnje Razredni pouk,

izjavljam,

da je magistrsko delo z naslovom Pogledi učiteljev razrednega pouka na

uporabnost nalog razvedrilne matematike pri razvijanju logičnega mišljenja

- rezultat lastnega raziskovalnega dela,

- so rezultati korektno navedeni in

- nisem kršila pravic intelektualne lastnine drugih.

Podpis:

______________________

V Kopru, dne

IZVLEČEK

Matematika je sredstvo za pridobivanje in razvijanje zmožnosti, ki nam nudijo

stabilno oporo pri logičnem razmišljanju in odločanju v vsakodnevnih situacijah. Pri

poučevanju matematike naj bi učitelj otroku ponujal priložnosti, ki omogočajo razvijanje

logičnega mišljenja ter pri katerih otrok s trudom in delom doseže občutek navdušenja

nad samim seboj, ko uspešno rešuje matematične naloge. Poučevanje matematike je

navsezadnje skupno doživetje učitelja in otrok. Pomembno je, da se učitelj zaveda, da

mora matematika njemu in učencem predstavljati izziv, občutek uspeha in zabavo. S

pomočjo uporabe nalog iz razvedrilne matematike bo učitelj omogočil, da pouk postane

zabavnejši in zanimivejši. Tovrstne naloge obsegajo različne matematične uganke in

logične izzive, preko katerih bo otrok spoznal, da nas matematika uči za življenje.

Magistrsko delo obravnava spoznavni razvoj v zgodnji odraslosti, razvijanje

logičnega mišljenja, matematiko kot vseživljenjsko učenje, Gagnejevo taksonomijo in

analizo učnega načrta za matematiko z vidika ciljev, ki spodbujajo logično mišljenje v

Sloveniji in na Finskem. V empiričnem delu smo s pomočjo preizkusa znanja analizirali

usposobljenost učiteljev za reševanje nalog iz razvedrilne matematike in opisali njihove

dosežke glede na raven doseženega znanja preko Gagnejeve taksonomske lestvice. S

pomočjo nestrukturiranega intervjuja smo ugotavljali poglede učiteljev na uporabnost

nalog razvedrilne matematike pri razvijanju logičnega mišljenja. Rezultati preizkusa

znanja so pokazali, da na uspešnost pri reševanju nalog iz razvedrilne matematike

vplivata tako starost učiteljev kot njihov odnos do matematike. Glavni vzroki za

neuspešno rešene naloge so ukvarjanje z matematičnimi vprašanji, neumeščanje

logičnega problema v vsakodnevno resnično situacijo in pomanjkanje izkušenj

reševanja tovrstnih nalog. Iz intervjujev z učitelji lahko povzamemo, da logika pomeni

splošno razgledanost brez katere si težko predstavljamo življenje, olajša nam

vsakodnevna opravila in reševanje življenjskih problemov.

Ključne besede: razvedrilna matematika, logično mišljenje, matematika za

vseživljenjsko učenje, logika, matematične uganke, logični izzivi.

ABSTRACT

Primary school teachers' views on the usefulness of tasks in Amusement Maths

regarding the development of logical thinking

Maths is a tool for obtaining and developing skills, which offer a stable support

while thinking logically and making decision in everyday situations. During the process

of teaching, a math teacher should offer possibilities which enable the development of

logical thinking and give a child the feeling of excitement about the work and effort

done while solving math problems. Nonetheless, teaching Maths is a mutual

experience of a teacher and children. It is important for the teacher to bear in mind that

Maths must present a challenge, a feeling of success and fun to him and the pupils.

The teacher will be able to make the lessons more interesting and amusing by using

the tasks from Amusement Maths. Such tasks involve different math puzzles and

logical challenges, which make children realize that Maths teaches us for life.

The thesis deals with the cognitive development of young adults, development of

logical thinking, Maths as lifelong learning, Gagne’s taxonomy and Maths curriculum

analysis regarding aims, which encourage logical thinking in Slovenia and in Finland. In

the empirical part, with the help of tests, we analysed the qualifications of teachers to

solve tasks from Amusement Maths and described their results regarding the level of

the achieved knowledge based on Gagne’s taxonomy scale. By using unstructured

interview, we found out about teachers’ opinions regarding the usability of the tasks

from Amusement Maths while developing logical thinking. The test results showed that

the successfulness of solving tasks from Amusement Maths depends not only on the

age of the teacher as well as their attitude to Maths. The main reasons for

unsuccessfully solved tasks are dealing with math questions, lack of placing the logical

problem into real life situation and lack of experience with solving such tasks. Judging

from the interviews with the teachers we can conclude that logic represents general

knowledge and we can hardly imagine life without it since it makes our everyday tasks

and solving life problems easier.

Keywords: Amusement Maths, logical thinking, Maths for lifelong learning, logic,

math puzzles, logical challenges.

KAZALO VSEBINE

1 UVOD ............................................................................................................. 1

2 TEORETIČNI DEL .................................................................................................... 3

Piagetova teorija spoznavnega razvoja ............................................................. 3 2.1

Spoznavni razvoj v zgodnji odraslosti................................................................ 6 2.2

2.2.1 Formalnologična stopnja in nadaljnji razvoj spoznavanja v odraslosti....... 7

2.2.2 Postformalna stopnja spoznavnega razvoja ............................................. 7

2.2.3 Starostne spremembe .............................................................................. 9

Namen pouka matematike ................................................................................ 9 2.3

2.3.1 Matematika za vseživljenjsko učenje .......................................................11

2.3.2 Cilji razvijanja logičnega mišljenja v učnem načrtu za matematiko v

Sloveniji ..................................................................................................12

2.3.3 Cilji razvijanje logičnega mišljenja v kurikulumu za matematiko na

Finskem ..................................................................................................14

Razvijanje logičnega mišljenja .........................................................................17 2.4

Gagnejeva klasifikacija znanja .........................................................................19 2.5

Razvedrilna matematika ...................................................................................19 2.6

3 EMPIRIČNI DEL ..................................................................................................... 24

Problem, namen, cilj ........................................................................................24 3.1

Raziskovalni vprašanji in hipotezi .....................................................................24 3.2

Metodologija ....................................................................................................25 3.3

3.3.1 Raziskovalne metode ..............................................................................25

3.3.2 Raziskovalni vzorec ................................................................................25

3.3.3 Pripomočki ..............................................................................................26

3.3.4 Postopek zbiranja podatkov ....................................................................29

3.3.5 Postopek obdelave podatkov ..................................................................29

Rezultati in razprava ........................................................................................29 3.4

3.4.1 Uspešnost reševanja preizkusa znanja glede na starostno obdobje ........30

3.4.2 Uspešnost reševanja preizkusa znanja glede na odnos do matematike ..35

3.4.3 Analiza uspešnosti reševanja posameznih nalog iz preizkusa znanja .....37

3.4.4 Analiza nestrukturiranega intervjuja ........................................................51

4 SKLEPNE UGOTOVITVE ....................................................................................... 55

5 LITERATURA IN VIRI ............................................................................................. 59

6 PRILOGE ........................................................................................................... 63

KAZALO PRILOG

Priloga 1: Soglasje za sodelovanje ..............................................................................63

Priloga 2: Preizkus znanja ...........................................................................................64

Priloga 3: Intervju ........................................................................................................66

Priloga 4: Nestrukturirani intervjuji 1. ...........................................................................67

Priloga 5: Nestrukturirani intervju 2. .............................................................................69




KAZALO GRAFOV

Graf 1: Število sodelujočih učiteljev glede na starostno obdobje. .................................26

Graf 2: Delež nalog za posamezno vrsto znanja po Gagnejevi taksonomiji znanja. .....27

Graf 3: Dosežene številčne ocene pri preizkusu znanja glede na starostno obdobje. ..30

Graf 4: Dosežene številčne ocene pri preizkusu znanja glede na odnos do matematike.

....................................................................................................................................35

Graf 5: Uspešnost reševanja 1. naloge. .......................................................................38





Graf 10: Uspešnost reševanja 6. naloge. .....................................................................45




KAZALO SLIK

Slika 1: Grafični način reševanja 3. naloge. .................................................................42

Slika 2: Prikaz šestih možnih kombinatoričnih situacij pri 8. nalogi. .............................48

Slika 3: Grafični način reševanja 8. naloge s preiskovanjem kombinatoričnih skupin. ..49

Slika 4: Grafični načina reševanja 9. naloge s prikazovanjem kombinatoričnih situacij.

....................................................................................................................................51

KAZALO PREGLEDNIC

Preglednica 1: Vrste znanja po Gagnejevi taksonomiji znanja in indeks težavnosti

posamezne naloge. ............................................................................ 28

Preglednica 2: Število in odstotek ocene učiteljev pri preizkusu znanja glede na

starostno obdobje ter rezultat χ2 – preizkusa. ..................................... 34

Preglednica 3: Število in odstotek ocene učiteljev pri preizkusu znanja glede na odnos

do matematike ter rezultat χ2 – preizkusa. .......................................... 37

Marinič, Sara (2017): Pogledi učiteljev razrednega pouka na uporabnost nalog razvedrilne matematike pri

razvijanju logičnega mišljenja. Magistrsko delo. Koper: UP PEF.

1

1 UVOD

Starodavni kitajski pregovor filozofa Konfucija pravi: »Povej mi matematiko in jaz jo

bom pozabil, pokaži mi matematiko in jaz se je bom spomnil, vključi me v matematiko

in jaz jo bom razumel.« (Najlepše misli o starševstvu in otrocih, 2017). Lahko torej

rečemo, da so že v preteklosti obravnavali matematiko kot dejavnost, pri kateri je

potrebno biti aktiven. Navsezadnje je matematik L. Cooper (Virčenko, 1990) dejal, da je

matematika podobna igri, v katero moraš biti vključen, pri kateri so vsa pravila vnaprej

določena in pri kateri se vse situacije pojavljajo kot posledice.

Matematika je umetnost, je rezultat radovednosti in ustvarjalnosti človekovega

razmišljanja. Srečujemo jo na vsakem področju svojega življenja, saj nam omogoča

razvijanje zmožnosti, ki nam nudijo stabilno oporo pri mišljenju. Nekateri menijo, da je

pomembna veda za življenje, lahko bi rekli, da se vse življenjske dejavnosti vrtijo okoli

matematike. Na drugi stani pa pridemo do mnenja, da je matematika zgolj predmet v

šoli, ki vsebuje veliko nerazumljivih pojmov, enačb, izrekov in definicij. Pogosto že v

osnovni šoli srečujemo otroke, ki matematike nimajo radi in menijo, da je zahtevna,

dolgočasna in nerazumljiva. Kljub temu pa se moramo zavedati, da prav s pomočjo

matematike smiselno utemeljujemo svoje odločitve, ki nam omogočajo odgovorno

delovanje v družbi.

Prepričanje, ali je matematika zabavna ali ne, naj bi posameznik oblikoval šele pri

razmišljanju, kako se spopasti z matematičnim problemom in katero tehniko pri tem

uporabiti. Zato da je matematika zabavna in razvedrilna, pa ni potrebno neposredno

matematično znanje; za reševanje zadostujejo že logične spretnosti, ki se uporabljajo

pri matematiki.

Logično mišljenje se začne razvijati že pred vstopom v šolo, ko se otrok igra s

predmeti iz vsakodnevnega življenja in se pri tem zabava. Najnovejše raziskave v

TIMSS-u (Japelj Pavešić, 2012) kažejo na to, da je logično mišljenje mogoče uriti, saj s

pomočjo urjenja krepimo delovanje možganov. Otrokovo logično mišljenje je zato treba

razvijati in spodbujati že zelo zgodaj. Pri tem spoznamo, da mora učitelj otroku že na

začetku prikazati matematiko na zabaven način. Ponudi mu lahko raznovrstne

matematične probleme, logične izzive, matematične uganke in zgodbe iz zbirke

razvedrilne matematike, pri katerih ustvari razmišljujočo situacijo ter doživlja radost in

veselje. Navsezadnje ima učitelj pomembno vlogo pri predstavitvi matematike. Veliko

raziskav (Japelj Pavešić, 2012) je pokazalo, da imajo učiteljeva prepričanja o

matematiki precejšen učinek na otrokovo zanimanje za matematiko, njegovo radost in

veselje pri matematiki ter posledično na motivacijo pri učenju.



2

Pomemben globalni cilj poučevanja matematike iz Učnega načrta za matematiko

(2011) je doživljanje matematike kot prijetne izkušnje. Razvedrilna matematika je tako

način prenašanja veselja do matematike, orodje za učenje matematike, posledično pa

razvija logično mišljenje, ki je uporabno in koristno tudi pri drugih dejavnostih in

področjih.



3

2 TEORETIČNI DEL

Piagetova teorija spoznavnega razvoja 2.1

Pri spoznavanju otrokovega kognitivnega razvoja se bomo opirali na spoznanja

švicarskega psihologa Jeana Piageta. Njegova teorija razvoja mišljenja opisuje, kako

otrok razume svet in kako osvoji znanje, ki postopoma postane vse bolj strukturirano,

organizirano in kompleksno (Marjanovič Umek in Župančič, 2009).

Teorija je ponudila vrsto rešitev na področju učenja in poučevanja, ki so v pomoč

pri prilagoditvi šolskih dejavnosti razvojni stopnji otroka. S tem je postalo poučevanje

lažje in učenje trajnejše, saj je Piaget jasno opozoril na razliko v mišljenju med otrokom

in odraslimi, poudaril pomen lastne aktivnosti v procesu učenja in individualni pristop k

poučevanju, ki v veliki meri upošteva otrokovo doseženo stopnjo kognitivnega razvoja

(Marjanovič Umek in Župančič, 2009).

Razvoj mišljenja je opisal s štirimi razvojnimi stopnjami, pri čemer vsaka stopnja

predstavlja razumevanje stvarnosti v določenem obdobju. Meni, da se razvoj mišljenja

odvija po diskretno ločenih razvojnih stopnjah, skozi katere otrok prehaja od rojstva do

odraslosti po točno določenem vrstnem redu. Razvoj poteka od prvih miselnih struktur

pri novorojenčku in dojenčku do višjih miselnih struktur, značilnih za otroka po sedmem

letu starosti, ki jih je opisal kot abstraktne miselne operacije, ki so organizirane v

logično-matematične sheme (Marjanovič Umek in Župančič, 2009).

Prvi dve stopnji je označil kot predlogični stopnji, zadnji dve pa kot stopnji

logičnega mišljenja. V nadaljevanju so stopnje po Piagetu na kratko opisane:

a) Senzomotorična ali zaznavno-gibalna stopnja (od rojstva do približno drugega

leta)

Po Piagetu se človekovo življenje začne s skupkom refleksov, ki predstavljajo

način človekove interakcije z okoljem. Otrok izgrajuje model sveta s pomočjo senzornih

(zaznavnih) in motoričnih (fizično premikanje) sistemov. Otrok na senzomotorični

stopnji napreduje skozi šest podstopenj. Njihove osnovne značilnosti lahko združimo v

skupni zaključek (Smrtnik Vitulić, 2011). Otrok v tem obdobju razume svet preko

gibalnih in zaznavnih dejavnosti, ki jih izvaja na predmetih, svojem lastnem telesu in

drugih osebah. V tem obdobju se torej začne zavedati samega sebe – spozna, da je

ločen od okolice in da obstaja fizični svet, ki je neodvisen od njegovih aktivnosti

(Marjanovič Umek in Župančič, 2009). Eden najpomembnejših konceptov, ki jih otrok

pridobi v senzomotoričnem obdobju, je razumevanje, da objekt obstaja, čeprav ga sam

ne vidi, sliši ali občuti (Smrtnik Vitulić, 2011).



4

b) Predoperativna stopnja (od drugega do sedmega leta)

Otrok se zaznavno in motorično prilagodi objektom in pogojem. Za predstavitev

objektov in dogodkov uporablja simbole (besede in geste) na vedno bolj organiziran in

logičen način. Za predoperativno logiko mišljenja je značilen egocentrizem, kar pomeni,

da otrok težko razume, da drugi stvari ne vidijo, ne mislijo in ne občutijo tako kot on

(Smrtnik Vitulić, 2011). Sem sodi tudi nesposobnost povratnega mišljenja, torej

miselnega obrata akcij in nesposobnost decentracije, kar pomeni, da se otrok ne more

istočasno osredotoči na več vidikov situacij (Marjanovič Umek, 2009).

c) Konkretno operativna stopnja (od sedmega do enajstega leta)

Piaget stopnjo opredeli kot miselno aktivno, ki je decentrirana in vključuje

reverzibilnost. Reverzibilnost pomeni razmišljanje od konca proti začetku (Smrtnik

Vitulić, 2011). Otrok je na tej stopnji zmožen logičnega mišljenja o operacijah v

fizičnem svetu. Lahko rečemo, da otrok razvije logične strukture, ki mu na ravni

miselnih operacij omogočajo reševanje nalog na logičen način. Prav tako razvije

sposobnost razumevanja, da drugi stvari ne vidijo, ne mislijo in ne občutijo tako kot on,

torej pogled na svet ni več egocentričen. Miselna predstava pa ni še v celoti

izoblikovana (Marjanovič Umek in Svetina, 2009). Konkretno operativna stopnja

otrokom omogoči razumevanje matematičnih operacij seštevanja, odštevanja,

množenja, deljenja, razvrščanja, sklepanja o odnosih in zamenjave. Otrok na omenjeni

stopnji uporablja različne operacije v številnih fizičnih in socialnih situacijah. Otrok, ki

zmore operirati s konkretnimi operacijami, že razmišlja dinamično in obrnljivo. Toda

konkretne operacije so še vedno konkretne in povezane z objekti, ki so miselno

predstavljivi (Smrtnik Vitulić, 2011).

d) Formalno operativna stopnja (od enajstega do petnajstega leta)

Na tej stopnji je otrok zmožen popolnega logičnega mišljenja. To pomeni, da

miselne operacije niso več omejene na konkretne predstave in s konkretnimi predmeti.

Otrok je sposoben abstraktnega in hipotetičnega razmišljanja v povezavi jezikovnega in

logičnega sistema (Župančič in Svetina, 2009). Z doseganjem sposobnosti formalnih

operacij otrok zaključi razvoj kognitivnih struktur. Otrokovo mišljenje je logično,

abstraktno in fleksibilno ter deluje kot organiziran sistem misli (Smrtnik Vitulić, 2011).

Razvojne stopnje vključujejo kakovostne in količinske spremembe v načinu

mišljena. Količinske spremembe so odvisne od količine informacij, kakovostne pa so

povezane z novimi informacijami v strukturi. Vsaka stopnja ima začetni manj stabilni

del in zaključni stabilni del. Razvojne stopnje potekajo univerzalno. Enake so za vse



5

otroke, ne glede na to, če izhajajo iz različnih življenjskih okolij. Stopnje si sledijo v

nespremenjenem vrstnem redu, vsaka prejšnja stopnja pa otroka pripravi na naslednjo.

Vrnitev na predhodno stopnjo ni možna, saj predhodna stopnja ni več prisotna, hkrati

pa aktualna stopnja vključuje lastnosti predhodne (Smrtnik Vitulić, 2011).

Otroci iste starosti se razlikujejo po svojih kognitivnih zmožnostih, čeprav smo

omenili, da so stopnje kognitivnega razvoja univerzalne. Do razlik v napredovanju

posameznega otroka skozi stopnje prihaja zaradi razlik v fizični zrelosti (razvoj živčevja

in mišičnega sistema) in različnih fizičnih ter socialnih izkušenj (Smrtnik Vitulić, 2011).

Na osnovi Piagetove teorije lahko zaključimo, da mora učitelj v šoli predvideti tiste

učne aktivnosti, ki so prilagojene razvojni stopnji otroka. Vsak učitelj mora prepoznati

razlike med otroki, ki jih poučuje, saj med njimi obstajajo razlike v mišljenju. Pri učenju

so temeljni predvsem prehodi iz enega razvojnega obdobja v drugo, pri katerih lahko

otrok s pomočjo učitelja in staršev prihaja do rešitev na višji ravni razumevanja

(Smrtnik Vitulić, 2011).

Obstajajo pa tudi različne vrednosti in kritike njegove teorije. Piaget je zapisal naj

natančnejšo in najbolj integrirano teorijo kognitivnega razvoja doslej (Smrtnik Vitulić,

2011). Kljub temu so raziskovalci v osemdesetih letih ugotovili, da je Piaget v številnih

primerih podcenjeval zmožnost otroka in se motil glede časovnega pojavljanja

nekaterih kognitivnih stopenj, med katere štejemo na primer stalnost predmeta ali

razvoj konkretno-logičnih operacij. Izkazalo se je namreč, da je otrok pri logičnih

problemih na abstraktno podane naloge odgovarjal tako, da je uporabljal

predoperativno mišljenje, za konkretno podane naloge pa je uporabljal konkretne

operacije. Naslednja kritika se je pojavila z razvojem mišljena v dobi mladostništva in

odraslosti. Piaget je pod vplivom zgodovine znanosti in zgodovine teorij logičnega

sklepanja predvideval, da je formalna logika končna stopnja posameznikovega

kognitivnega razvoja. Poznejše študije so pokazale, da ta predpostavka zaradi več

razlogov ne drži. Prvi problem se je pojavil z odkritjem, da približno polovica odraslih

nikdar ne doseže zadnje, formalno-logične razvojne stopnje. Drugi problem se je

pojavil, ko se je izkazalo, da formalno-logična oblika mišljenja ni najvišja oblika

spoznanja in da vsebinsko tudi ni primerna za opisovanje mišljenja v odraslosti.

Pozneje so zato Piagetovim štirim stopnjam razvoja mišljenja dodali še postformalno

stopnjo, za katero je značilno dualistično, relativistično in pragmatično mišljenje

(Labinowicz, 2010).

Najnovejše raziskave kažejo, da je zmožnost reševanja nalog odvisna od

zastavljene naloge glede na posameznikove izkušnje, interese in informiranost. V tem



6

primeru se napačna rešitev ne veže na mišljenja na nižji ravni razvoja, ampak je lahko

posledica neustrezno zastavljene naloge. Včasih se zgodi, da posameznik nalogo

razume in uspe rešiti, a je še ne zna razložiti (Labinowicz, 2010).

Spoznavni razvoj v zgodnji odraslosti 2.2

Odrasli kasneje razvijejo nadgrajeno strukturo mišljenja, ki v določenem vrstnem

redu omogoča uspešnejše reševanje kompleksnih problemov, ki so povezani z logiko

(Brankovič Vukman, 2005). Spoznavni razvoj v odraslosti vključuje spremembe v

kakovosti miselnih procesov, torej spremembe v moči mišljenja in hitrosti procesiranja

informacij. Mnogi razvojni psihologi na podlagi raziskanih empiričnih dejstev menijo, da

se mišljenje v odraslosti razvija z večjo zapletenostjo od tiste, ki je značilna za formalno

logično stopnjo in jo je, Piaget opisal kot razvojno najvišjo (Zupančič, 2009). V

odraslosti naj bi se oblikoval način mišljenja, ki je kakovostno drugačen od konkretno in

formalnologičnega, vezan predvsem na konkretni socialni kontekst, v katerem odrasli

delujejo. Odrasli pridobivajo razvojno naprednejša, kompleksnejša in fleksibilnejša

spoznanja na specifičnih področjih miselnega delovanja, kar ima pomembne implikacije

za hitrost procesiranja informacij (Zupančič, 2001).

Spoznavni razvoj v odraslosti se razvija po predvidljivem zaporedju stopenj glede

na to, v katero smer odrasli v različnih razvojnih obdobjih usmerjajo svoje intelektualne

sposobnosti. Situacije, v katerih odrasli pridobivajo in uporabljajo spoznanja,

razmišljajo, sklepajo ter rešujejo probleme, postanejo v primerjavi s tistimi iz otroštva

bolj raznolike in v večji meri vključujejo socialni kontekst. Cilj spoznavne dejavnosti se

tako na prehodu v odraslost postopno spreminja od pridobivanja k uporabi spoznanj

(Zupančič, 2009).

Spoznavni razvoj zajema slog razmišljanja, ki zajema iskanje absolutne resnice in

pravilne rešitve danega problema. Odrasli se zavedajo, da je resnica lahko relativna in

da določenih dejstev ni mogoče pojasniti na različne načine, ampak zgolj iz enega

zornega kota. Razmišljanje postane tako bolj relativistično, fleksibilno, strpno do

nejasnosti in integrirano s čustvi, saj je navsezadnje odvisno predvsem od

posameznikovih izkušenj in stališč (Steinberg, Bornstein, Low Vandell in Rook, 2011).

Razvojni psihologi menijo, da je večina odraslih sposobna formalnologičnega

mišljenja, torej logičnega, abstraktnega in teoretičnega mišljenja vezanega predvsem

na področja, kjer imajo veliko znanja in izkušenj. Nekateri odrasli pa naj bi presegli

formalno mišljenje in razvili postformalno mišljenje, ki je kompleksnejše ter obogateno z

izkušnjami in življenjsko modrostjo (Marchand, 2002).



7

2.2.1 Formalnologična stopnja in nadaljnji razvoj spoznavanja v odraslosti

Formalnologične operacije se pri nekaterih posameznikih razvijejo šele na prehodu

v odraslost in vodijo k drugačnemu načinu reševanja problemov. Lahko rečemo, da v

dobi, ki pomeni prehod k odraslosti, dosežemo stopnjo formalnologičnega mišljenja, ki

se vleče tudi kasneje skozi odraslo obdobje. V tej dobi se posameznik osvobodi

konkretnega in realne interese usmeri v prihodnost. Najverjetneje posameznik ne bo

več uporabljal strategije poskusov in napak, ampak bo sistematično generiral možne

hipoteze (Bakračevič Vukman, 2000). Za formalnologično mišljenje je značilno

razmišljanje o različnih možnostih, postavljanje domnev, eksperimentalno preverjanje

hipotez s pomočjo sklepanja, operiranje z abstraktnimi pojmi in upoštevanje pravil

propozicionalne logike (Batistič Zorec, 2014). Značilno je prevladovanje logičnega nad

konkretnim in izkustvenim ter kakovostno celovitejša miselna sposobnost posameznika

(Zupančič, 2009). Na razvoj in uporabo formalnologičnih operacij v odraslosti poleg

specifičnega področja, s katerim se posameznik ukvarja, vpliva tudi stopnja izobrazbe,

raven splošne inteligentnosti in spoznavni slog pristopa k reševanju miselnih

problemov. Višje izobraženi, bolj inteligentni in posamezniki s sistematičnim

spoznavnim slogom v povprečju uspešneje rešujejo formalnologične miselne probleme

kot nižje izobraženi, manj inteligentni in tisti z impulzivnim spoznavnim slogom.

Zavedati se moramo, da pogostost uporabljanja formalne logike pri reševanju miselnih

problemov s starostjo upada (Zupančič, 2009).

2.2.2 Postformalna stopnja spoznavnega razvoja

Za mišljenje odraslih, ki postane bolj zapleteno od formalnologičnega, se je v

razvojni psihologiji uveljavil izraz postformalno mišljenje. Čeprav formalnologična

stopnja predpostavlja logično doslednost, postformalna zajemajo subjektivno izbiro

med več formalno-operativnimi podsistemi, kar pomeni sistematično uporabo čiste

logike in praktične obrazložitve, ki povezuje logiko z izkušnjami (Bakračevič Vukman,

2000). Odrasli v tem obdobju personalizirajo svoje miselne sklepe in pri sklepanju

upoštevajo svoje pretekle izkušnje, zlasti takrat, ko se morajo spoprijeti z nepoznanimi

problemi. Njihove izkušnje, ki so jih pridobili pri reševanju miselnih problemov,

prispevajo predvsem k učinkovitemu reševanju praktičnih vsakodnevnih življenjskih

problemov, zato se postformalna stopnja v spoznavnem razvoju nanaša predvsem na

miselno delovanje pri vsakodnevnih življenjskih situacijah (Zupančič, 2009). Odrasli se

učijo stopiti ven iz enega samega logičnega sistema misli in poskušajo razmišljati v več

raznovrstnih logičnih sistemih, med katerimi nato na podlagi izkušenj izberejo



8

najustreznejšega za problem, pred katerega so postavljeni (Cartwright, Galupo, Tyree,

2009).

Sposobnost reševanja praktičnih problemov v vsakodnevnem življenju narašča in

doseže vrh šele po štiridesetem letu ter se dobro ohranja še v pozno odraslost. Poleg

že navedenih značilnosti pa se v omenjenem razvojnem obdobju razvije tudi dualizem

ali absolutno mišljenje. Za dualizem je značilno, da posameznik informacije, vrednote,

avtoriteto kategorično deli na pravilno in napačno, na dobro in slabo. Pri tovrstnem

miselnem delovanju posameznik teži k iskanju ene same pravilne rešitve ne glede na

kontekst, v katerem se problem pojavlja (Zupaničič, 2009).

Dualistično mišljenje se postopoma preoblikuje v relativistično. Tovrstna oblika

mišljenja temelji na spoznanju, da nobena izmed podanih rešitev problema ni

popolnoma pravilna, resnična ali dobra. Pri tem spoznajo, da na mišljenje in reševanje

problemov v vsakodnevnem življenju vpliva tako imenovano mentalno orodje, ki je

odvisno od sociokulturnega in zgodovinskega konteksta, v katerem posameznik živi, od

specifičnih okoliščin, v katerih se problem pojavlja, ter od človekovega subjektivnega

sistema prepričanj in spoznanj. Spoznavanje in reševanje problemov postaneta

prilagojena specifičnim situacijam, reševanje miselnih problemov pa manj omejeno z

iskanjem ene same pravilne rešitve (Zupaničič, 2009). Razvije se možnost oblikovanja

multiplih rešitev, od katerih je vsaka le relativno pravilna in odvisna od zapletenega

posameznikovega konteksta. Torej je posameznik sposoben sprejemati in vključevati

več včasih nezdružljivih rešitev, od katerih je vsaka enako pravilna, ampak odvisna od

konteksta, izkušenj in specifičnega zornega kota, s katerega skuša problem rešiti

(Marchand, 2002).

Relativistično mišljenje se postopno preoblikuje v pragmatično. Odrasli spozna in

upošteva multiplost rešitev v vsakodnevnem življenju. Pri tem teži k integraciji logike s

konkretnimi pragmatičnimi omejitvami v stvarnosti ter postaja strpen do razlike med

idealno in stvarno mogočimi rešitvami problema. Razmišljanje in reševanje logičnih

nalog veže na vsakodnevni življenjski kontekst, pri katerem obvladovanje logike

postane orodje za reševanje stvarnih problemov (Zupančič, 2001).

Odrasli v razvojnem obdobju pragmatičnega mišljenja pri miselnih problemih

oblikuje sposobnost specializacije, za katero je značilno, da:

- sklepa hitreje;

- oblikuje učinkovitejše rešitve;

- bolje obvladuje področno specifične pojme;



9

- pojme reprezentira na učinkovitejši način (abstraktnejša raven);

- bolj specifične pojme, vezane na reševanje problema, povezuje z drugimi

pojmi;

- relevantnih informacij se spominja hitro in avtomatsko;

- ob reševanju problemov več načrtuje, bolj predvideva in se manj verjetne

zaplete ter se jim že vnaprej skuša izogniti ali jih vsaj omiliti tako, da jih pri

načrtovanju upošteva;

- probleme intenzivneje analizira, več kategorizira in kombinira (Zupančič, 2001,

str. 161).

2.2.3 Starostne spremembe

Eden izmed poglavitnih vzrokov razhajanja med rezultati razvoja mišljenja,

intelektualnih sposobnosti in splošne inteligentnosti v odraslosti je generacijski učinek.

Razlike med dosežki pa ne smemo pripisati samo starostnim razlikam, ki se pojavijo

zaradi splošnih procesov staranja celotnega človeškega organizma, temveč tudi

razlikam v času rojstva, posebnim okoliščinam, v katerih so živeli in se izobraževali,

individualnim izkušnjam in stopnji izobrazbe (Zupančič, 2009).

Po drugi strani pa lahko na razhajanja med rezultati razvoja vpliva učinek vaje.

Delovanje tovrstnega dejavnika lahko precenjuje razvojne spremembe, kar pomeni, da

je lahko razlika v dosežkih odraslih tudi rezultat učinka vaje in ne le izvornih razvojnih

sprememb (Zupančič, 2009).

Resda s starostjo pridobivamo vse več življenjskih izkušenj in posledično bogatimo

svoje znanje, vendar jih ljudje z različnim razvojnim mišljenjem, sposobnostmi in

inteligentnostjo tudi izkoristijo v različnem razvojnem obdobju, obsegu ter intenzivnosti

(Zupančič, 2009).

Prepričanje, da imajo starejši ljudje težave pri mišljenju in učenju novih stvari v

določenih pogledih niso veljavne, saj imajo pretekle izkušnje zasluge pri boljšem

osvajanju novih. Učna uspešnost in logično razmišljanje naj bi upadala šele po

sedemdesetem letu starosti (Aiken, 2006).

Namen pouka matematike 2.3

Znanje matematike je odvisno od mnogih dejavnikov; zunanjih, na primer

kompetentnost učitelja, in notranjih, na primer motivacija. Ampak bistveni del učenja

matematike se zgodi v razredu pri komunikaciji med učiteljem in učencem (Japelj

Pavešić, 2012).



10

Problem pomena nezmožnosti komuniciranja je pri pouku matematike izrazitejši

kot pri drugih predmetih, posebej, če smo pozorni na razumevanje in ne le na

performanso. Na vseh nivojih pouka matematike učitelj uvaja nove in zahtevne pojme.

Njihovega pomena učitelj ne more le razložiti in prenesti na učence. Lahko ponudi

določene smernice, ki jih vsak učenec po svoje interpretira. Tvorba pomenov pa nato

poteka v samih učencih (Magajna, 1996).

Učni proces matematike pri pouku poteka v smislu večkratnega vračanja k

temeljnim vsebinam in ob postopnem nadgrajevanju ter dopolnjevanju znanja. Pri

obravnavi snovi je učitelj pozoren na povezovanje že osvojenih matematičnih vsebin v

nove vsebine. Pri vsem tem pa je hkrati pozoren tudi na postopno vključevanje

osvojenega matematičnega znanja na druga predmetna področja (Žakelj, 2003). V

učnem načrtu za matematiko v poglavju Opredelitev predmeta najdemo zapisano:

»Pouk matematike je namenjen graditvi pojmov in povezav, spoznavanju ter

učenju postopkov, ki posamezniku omogočajo vključitev v sistem (matematičnih)

idej in posledično vključitev v kulturo, v kateri živimo. Osnovnošolski pouk

matematike obravnava temeljne in za vsakogar pomembne matematične pojme in

to na načine, ki so usklajeni z otrokovim kognitivnim razvojem, s sposobnostmi, z

osebnostnimi značilnostmi in njegovim življenjskim okoljem (na primer narava kot

vir za matematično ustvarjanje in raziskovanje).« (Žakelj, 2011, str. 4).

Znanje matematike, ki ga učenec dobi pri pouku matematike, ni le paleta vsebin,

temveč tudi način ravnanja s temi vsebinami na vseh predmetnih področjih in tudi v

vsakodnevnem življenju (Žakelj, 2003).

Ko učitelj pri začetnem pouku matematike učencem predstavi matematične

vsebine, največkrat izhaja iz abstraktnih temeljev in ne iz izkušenj, ki jih učenec že ima,

s čimer pretrga vez med matematiko in stvarnim svetom. V nasprotnem primeru mora

učitelj učenca usmerjati, da skladno s svojimi izkušnjami in sposobnostmi bogati raven

matematične pismenosti, obenem pa gradi abstraktni matematični odsev stvarnega

sveta (Felda in Cotič, 2012).

Učenec mora nova spoznanja prilagoditi že usvojenim znanjem in povezovati

matematiko z realnimi vsakodnevnimi situacijami. Le tako občuti zadovoljstvo in uspeh

ter je motiviran za doseganje novih spoznanj, s čimer učenje in poučevanje matematike

dobita pravi smisel (Felda in Cotič, 2012).



11

2.3.1 Matematika za vseživljenjsko učenje

Mario Montessori pravi, da je človeški um nagnjen k abstrahiranju, ugotavljanju,

predstavljanju, argumentiranju, računanju in natančnosti. Iz tega lahko sklepamo, da

človek veliko razmišlja o matematiki in jo posledično tudi uporablja, ne da bi se tega

zavedal. Matematika je dejansko življenje samo (Zabret, 2014).

Glede na priporočila, da bi moral biti vsakdo matematično pismen, bi morali pri

pouku matematike usvojiti matematiko, ki jo potrebujemo v vsakdanjem življenju.

Najprej naj bi šlo za zmožnosti splošnega delovanja v družbi, torej za pridobitev

določenih temeljnih minimalnih znanj in spretnosti. Nato pa bi moral vsak posameznik

razviti nadaljnje kompetence, povezane z delom oziroma poklicem, ki ga opravlja

(Felda in Cotič, 2012).

Znanje matematike, ki ga pridobi učenec pri pouku, bi moralo zadoščati, da le-ta

uspešno deluje v družbeni stvarnosti in da hkrati pripomore k izboljševanju svojega

položaja in družbe kot celote (Felda in Cotič, 2012).

Očitno sta družba in sodobno življenje globoko matematizirana, saj se vedno bolj

zavedamo, da matematiko srečujemo na vsakem koraku življenja. S pomočjo

matematike urejamo veliko vidikov svojega življenja. Poznamo več elementov v

povezavi z razumevanjem in zavedanjem matematike. Eden izmed njih je tudi

zavedanje, kako matematično mišljenje pronica v vsakodnevno življenje in kje vse je

prisotno, čeprav ne govorimo o matematiki (Felda in Cotič, 2012).

V učnem načrtu za matematiko so se pojavljale zahteve po učenju in poučevanju

matematike z razumevanjem ter po uporabnosti matematike v vsakodnevnem življenju

(Žakelj, 2011). Vendar so se kljub temu izkazale slabe zmožnosti uporabe omenjenih

zahtev. Čeprav je zmožnost uporabe matematike v vsakodnevnem življenju eden

temeljenjih ciljev pouka matematike, se le-ta redkokdaj preverja. Če želimo doseči

uporabo matematičnega znanja pri pouku in zunaj njega, bo potrebno s strani učiteljev

ne le preverjanje matematičnih sposobnosti, ampak tudi zmožnost uporabe

matematičnih spretnosti v vsakodnevnem življenju, saj je to temelj matematične

pismenosti (Felda in Cotič, 2012). Smiselno je tudi, da se pri pouku rešujejo problemi,

ki izhajajo iz izkušenj učencev. Pri reševanju le-teh je učencem dovoljeno, da

uporabljajo ideje in situacije, ki so jim blizu. S tem učenci spoznajo, da so definicije in

lastnosti, ki se jih učijo pri teoretičnem delu pouka, uporabne tudi v življenju. Formule in

definicije tako dobijo smisel ter postanejo bolj »naravne«, ker imajo svojo aplikacijo v

vsakodnevnem življenju (Žakelj, 2001).



12

Po vsem tem lahko rečemo, da je matematika pravzaprav sredstvo za pridobivanja

in razvijanje zmožnosti, ki nam nudijo stabilno oporo pri razmišljanju in odločanju pri

vsakodnevnih življenjskih situacijah. Matematika torej ni sama sebi namen, ampak je

uporabna v življenju ljudi, da preko nje smiselno utemeljujejo svoje odločitve ter pri

svojih opravilih uporabljajo matematiko na način, ki omogoča odgovorno delovanje v

družbi.

Ko pomislimo na svoje vsakodnevne dejavnosti in dnevno rutino, lahko ugotovimo,

da se matematika prepleta prav na vseh področjih in jih celo povezuje ter vodi.

Matematika nas spremlja na vsakem koraku in je lahko dinamična, razigrana in prav

nič dolgočasna. Ko se tega zavemo, spoznamo, da je pogled na svet z matematičnimi

očmi le prepoznavanje matematičnih zakonitosti v našem vsakodnevnem življenju.

V nadaljevanju bomo analizirali ter primerjali slovenski učni načrt in finski

kurikulum za matematiko z vidika ciljev, ki spodbujajo razvijanje logičnega mišljenja.

Logika je del matematike, saj je vpeta v vsa matematična področja in tudi v

vsakodnevno življenje. Vprašamo se, zakaj kljub pomembnosti logičnega mišljenja v

življenju, učnih ciljih logika ni nikjer točno definirana. Navsezadnje je prav matematika

kot šolski predmet najmočnejše orodje za razvijanje logičnega mišljenja. Zasnova za

razvoj logičnega mišljenja nastane že v predšolskem obdobju, zato bi morali v šoli

preko raznovrstnih matematičnih dejavnosti omogočiti razvijanje in urjenje logičnega

mišljena. Cilji s področja logike niso nikjer točno definirani, zato jih tudi v letni učni

pripravi nikjer ne zasledimo.

2.3.2 Cilji razvijanja logičnega mišljenja v učnem načrtu za matematiko v

Sloveniji

Cilji pouka matematike so pridobivanje ustreznih znanj s področja matematike na

določeni stopnji, razvijanje sposobnosti opazovanja, kritičnosti razmišljanja, logičnega

sklepanja, prostorske predstave in podobnega. Pri otroku je treba razvijati zavest, da je

matematika potrebna, saj usposablja človeka za reševanje teoretičnih in praktičnih

nalog. Otrok pri tem spozna pomen matematičnega razmišljanja v vsakodnevnem

življenju (Kubale, 2003).

Poglavitni cilj logike naj bi bil otroka naučiti razmišljati, misliti kritično in

samostojno. Smisel logike je, da z njenim poučevanjem učitelj vpliva na razvijanje

sposobnosti samostojnega mišljenja. Otrok s tem bolje razume vse, s čimer se sreča v

življenju (Kalin, 1982). V učnem načrtu za matematiko v poglavju Didaktična priporočila

ciljev in vsebin je zapisano: »Logika in jezik nista ločeni vsebini, ampak imata



13

pomembno mesto v vseh matematičnih vsebinah. Z vsebinami tega sklopa naj bi

učitelji spodbujali učenčev kognitivni razvoj, hkrati pa naj bi se učenci naučili pravilnega

in natančnega razmišljanja« (Žakelj, 2011, str. 20). Pri tem pridemo do ugotovitve, da

lahko vse cilje v učnem načrtu za matematiko povežemo z logičnim mišljenjem.

Natančneje si bomo ogledali cilje za matematiko v 1. in 2. vzgojno-izobraževalnem

obdobju. V cilju, ki navaja povezovanje znanja znotraj matematike in tudi širše, lahko

razumemo raziskovanje in reševanje logičnih nalog. Z reševanjem logičnih problemov

otrok razvija uporabo matematičnih postopkov in tehnologij. Otrok v vsakodnevnem

življenju spoznava uporabnost matematike in logike ter skozi spoznavanje matematike

kot procesa spoznava tudi logiko. K raziskovanju in reševanju matematičnih problemov

lahko prištevamo naloge iz logike, saj je za raziskovanje in reševanje matematičnih

problemov potrebno logično mišljenje. V ciljih razvijanje natančnega in pravilnega

izražanja, razvijanje natančnosti, razvijanje občutljivosti za zaznavo problema v

matematičnih kontekstih, analiziranje in sistematično reševanje matematičnih

problemov ter uporaba računskih operacij pri reševanju le teh bi lahko razbrali, da se

mora otrok pri reševanju logičnih nalog organizirati, temeljito razmisliti, zbrati podatke,

razbrati problem in presoditi, kateri način reševanja bo najprimernejši. Navsezadnje

logika zahteva organizacijsko analizo, torej razreševanje oziroma razčlenjevanje

logičnega problema na enostavnejše dele, ki omogočajo nadaljnje boljše razumevanje

in lažje reševanje. Ob vsem tem pa otrok ravno tako razvija logično mišljenje. V ciljih

spoznavanje, razvijanje in uporabnost različnih strategij pri reševanju problemov,

razpravljanje o potrebnih in zadostnih podatkih v problemu ter razvijanje ustvarjalnosti

pri iskanju in uporabi različnih poti do rešitev opazimo povezavo z logiko. Navsezadnje

logika nima podanega točno določnega postopka, kako priti do končne rešitve. Logika

omogoča, da s pomočjo uporabe raznovrstnih pripomočkov in razpravljanja najdemo

ustrezno pot do rešitve. V vseh ciljih torej opazimo veliko povezav z logiko in

reševanjem logičnih nalog. Kljub velikemu poudarku logike med učnimi cilji, le-ta ni

nikjer jasno definirana. Možnost vključitve logike v pouk nam daje veliko število zbirk in

vadnic z nalogami iz razvedrilne matematike za poučevanje logike. Kot so v ciljih

omenjeni reševanje matematičnih problemov, razvijanje matematičnega mišljenja,

oblikovanje matematičnih pojmov in podobno, bi bilo lahko definirano tudi reševanje

logičnih problemov, razvijanje logičnega mišljenja, oblikovanje logičnih pojmov in

podobno. Pri pregledu ciljev smo prišli do ugotovitve, da otroka matematika uči

logičnega razmišljanja skozi vsebine pri predmetu matematika. Omenimo, da šele v 3.

vzgojno-izobraževalnem obdobju pride do večjega poudarka rabe logike med cilji

učnega načrta, ko učenec dobi možnost izbire izbirnega predmeta logika. Pri



14

omenjenem izbirnem predmetu z vsebino in metodami poučevanja učenec: »spoznava

osnovne logične pojme in razvije sposobnost za logično mišljenje« (Hafner, 2002, str.

6).

2.3.3 Cilji razvijanje logičnega mišljenja v kurikulumu za matematiko na

Finskem

Finska je na informacijskem, tehnološkem, gospodarskem, raziskovalnem in tudi

šolskem področju med najuspešnejšimi državami na svetu. Za Slovenijo je skrivnost

finskega uspeha še dodatno zanimiva, ker je Finska zaradi razmeroma majhnega

števila prebivalcev in gospodarske moči vseskozi ohranjala izjemno visoko uspešnost

na vseh področjih izobraževanja, predvsem s področja logike. Očitno je, da je uspeh

Finske povezan z njenim šolskim sistemom, kot tudi, da Finska družba posveča

posebno skrb izobraževanju. Pomen in vloga, ki ju pripisujejo izobraževanju, se

spreminjata glede na značilnosti generacije, ki jo posamezniki sestavljajo. Za

prebivalce Finske je tako značilno, da razumejo izobraževanje kot nekaj samo po sebi

umevnega, nekaj, kar je njihova pravica, sredstvo za uresničevanje življenjskih ciljev

(Gaber, Rutar Ilc, Lorenčič, Nolimal, Pevec Grm, Ermenc in Tašner, 2006).

Navsezadnje je poglavitni skupni in splošni cilj finske šolske politike »usmerjati

izobraževalni sistem, ga razvijati v duhu načel pravičnosti in vseživljenjskega učenja in

ga narediti mednarodno konkurenčnega« (Gaber idr., 2006, str. 85). Zato ne

preseneča, da je ta država zgled učeče se svetovne družbe.

Razlike v finskem kurikulumu in slovenskem učnem načrtu za matematiko opazimo

že v uvodu, kajti finski se začne s predstavitvijo medpredmetnih učnih ciljev in vsebin,

ki jih lahko poučujejo ločeno v posameznih obveznih ali izbirnih predmetih ali pa jih

integrirajo v posamezne predmetne vsebine. Medtem ko se slovenski začne takoj z

opredelitvijo splošnih ciljev, ki so uresničljivi le pri matematiki in ne pri kateremkoli

drugem predmetu (Gaber idr., 2006).

Šolski izobraževalni sistem in kurikulum Finske temeljita na tem, da imajo finski

učenci najkrajše šolske dneve, nimajo domače naloge, saj morajo imeti čas, da bi bili

otroci in mladostniki, ter da lahko uživajo življenje. Finska ima v primerjavi z ostalimi

državami šolski sistem, ki ga pogosto spreminjajo in prilagajajo. S tem dosežejo, da je

poučevanje in učenje pestro, zanimivo, zabavno in poučno (Košak, 2016). Zato je v

ospredju prizadevanje za povečanje otrokove radovednosti in motiviranosti za učenje,

aktivnosti in ustvarjalnosti, ki ju razvijajo tako, da učence soočajo z zanimivimi logično-

problemskimi situacijami (Gaber idr., 2006).



15

Če pogledamo Finski kurimulum za matematiko, opazimo, da je zelo

decentraliziran, torej učitelju ni potrebno, da je pri poučevanju vezan točno na to, kar

piše v kurikulumu, ampak ima pri poučevanju odprto pot. Konkretneje so opredeljeni le

cilji področji predmeta (Košak, 2016).

Cilji pouka matematike so spodbujanje razvoja učenčevega logičnega,

kreativnega, natančnega in ustvarjalnega načina razmišljanja, podpiranje učenčevega

pozitivnega odnosa do matematike in njegove pozitivne samopodobe ter razvijanje

komunikacijskih in interakcijskih spretnosti. Poučevanje matematike je ciljno usmerjeno

in pripomore k vztrajnosti učenca, saj učenci prevzamejo odgovornost za svoje učenje.

Otrok pri razumevanju uporabnosti matematike lahko poveže vzporednice z dogodki in

izkušnjami v vsakdanjem življenju in širše, v družbi. Poučevanje in učenje torej razvija

sposobnosti učenca na vsestranske načine (National core curriculum for basic

education 2014).

V kurikulumu je zapisan temeljni pomen pouka matematike: »Spodbujati učenčevo

navdušenje, zanimanje za matematiko in razvoj njegove pozitivne samopodobe in

samozavesti« (National core curriculum for basic education 2014, str. 137). Pomen

poučevanja matematike pa je: »Podati osnovo za razumevanje matematičnih

konceptov in struktur ter hkrati prispevati k razvoju učenčevih sposobnosti pri

razumevanju informacij in reševanju logičnih problemov.« (National core curriculum for

basic education 2014, str. 252). Pri tem spoznamo, da lahko vse cilje v kurikulumu za

matematiko povežemo z logičnim mišljenjem, saj je poglavitna naloga matematike

podati osnovo, ki omogoča nadgrajevanja znanja za reševanje logičnih problemov.

Natančneje si bomo ogledali cilje za matematiko 1. in 2. vzgojno-izobraževalnega

programa. V cilju, ki navaja, da mora učitelj ustvariti učno okolje, v katerem se poučuje

matematika na funkcionalen način, z uporabo različnih orodij, lahko razumemo učenje

preko razvedrilne matematike, ki omogoča lažje reševanje matematičnih nalog z

uporabo raznovrstnih zabavnih pripomočkov. Navsezadnje imajo tovrstne naloge

namensko in uporabno vlogo pri razvoju logičnega mišljenja. Otroku je preko tega cilja

dana možnost, da izboljša svoje logične spretnosti ter hkrati z uporabo zabavnih

predmetov ohrani veselje do učenja in pozitivno vedenje. V cilju, ki navaja razvijanje

matematičnega razmišljanja in spodbujanje otroka, da s pomočjo različnih pripomočkov

na svojevrsten način pride do pravilnega rezultata, lahko prištevamo reševanje logičnih

problemov, saj logika navsezadnje nima podanega točno določnega postopka, kako

priti do končne rešitve. Logika omogoča, da s pomočjo uporabe raznovrstnih

pripomočkov najdemo ustrezno pot do rešitve. V cilju, ki navaja učenje matematike z

vključevanjem dodatnih navodil, zanimivosti in mnenj, preko katerih se otrok zaveda



16

svojega lastnega znanja, sposobnosti razmišljanja ter povezovanja znanj v celoto,

ravno tako vidimo povezavo z logiko. Otrok lahko preko logičnih nalog ustvarja različna

mnenja in podaja zanimiva navodila pri skupinskem reševanju le-teh, hkrati pa

spoznava, da mora za reševanje osvojeno in novo znanje iz vsakodnevnega življenja

povezati v celoto. V ciljih, pri katerih je poudarek na razvijanju razumevanja

matematičnih pojmov preko matematičnih problemov ter izboljšanju sposobnosti

matematičnega opazovanja, prepoznavanja in uporabnosti v različnih situacijah,

opazimo povezavo z logiko. Otrok v vsakodnevnem življenju skozi spoznavanje

matematike kot procesa spoznava tudi logiko in njeno koristno uporabnost (National

core curriculum for basic education 2014). V vseh ciljih zaznavamo veliko povezav z

logiko in reševanjem logičnih nalog. Kljub velikemu poudarku logike med učnimi cilji le-

ta ni nikjer jasno definirana. Besedne zveze, ki so omenjene v ciljih: uporaba različnih

orodij, razvijanje matematičnega razmišljanja, učenje matematike z vključevanjem

dodatnih zanimivosti, razumevanje matematičnih pojmov in podobno bi lahko

nadomestili z uporabo definicije logike, in sicer z uporabo različnih logičnih nalog,

razvijanjem logičnega razmišljanja, učenjem matematike z vključevanjem logičnih

dejavnosti, razumevanjem logičnih pojmov in podobnega. Omenimo lahko, da šele v 3.

vzgojno-izobraževalnem obdobju opazimo pri opisu področja miselne spretnosti in

metode: »Učenci izvajajo dejavnosti, ki zahtevajo logično mišljenje, kot so odkrivanje

pravil in odvisnosti, ter jih natančno predstavijo. Pri tem razmišljajo in določajo število

možnih alternativ ter posledično utrjujejo spretnosti logičnega sklepanja in

utemeljevanje.« (National core curriculum for basic education 2014, str. 404).

Koncept učenja in poučevanja so učne metode, ki vzbudijo željo po učenju,

posebno skrb pa namenijo tudi učnemu procesu in vsebini (Gaber idr., 2006). Pri

poučevanju matematike je poudarek na tem, da primeri izhajajo iz vsakodnevnega

življenja, saj kurikulum pokriva predvsem področja šolskega, vsakodnevnega življenja.

Temeljna naloga učitelja ni podati razlage, ampak zgolj pripraviti primerno gradivo in

organizirati učenje, ki poteka v večini samostojno na podlagi izkustev. Predmetnik

matematike je fleksibilen, saj menijo, da je 45 minut premalo za izkušenjski in

kakovosten pouk (Košak, 2016). Gre torej za način poučevanja, ki kaže na to, da mora

biti matematika zabavna.

Omenimo lahko, da pouk na Finskem temelji na temah in problemih, ki so zaznani

v interesu učencev, torej iz vsakodnevnega življenja. Ker je matematika kumulativen

predmet, je obvladovanje njegovih osnov nujen pogoj za učenje novih vsebin.

Učencem je s strani izobraževalnega programa, učiteljev in literature na voljo vsa

podpora za dopolnjevanje neustreznih predhodno pridobljenih veščin in morebitnih



17

pomanjkljivosti v osnovnem znanju matematike, kar pripomore k boljšemu učenju in

razumevanju novih vsebin. Otroci se morajo zavedati osvojenega znanja in

sposobnosti, naučiti se morajo samostojnosti pri učenju ter osvojeno znanje

nadgrajevati. Pri tem je učencem dana možnost, da izboljšajo svoje sposobnosti, hkrati

pa ohranijo veselje in pozitivno vedenje do matematike (Gaber idr., 2006).

Znano je, da v finskem izobraževalnem sistemu velja zaupanje države v učitelje in

zaupanje učiteljev v otroke. Učitelji imajo pomembno vlogo pri tem, kako bo sestavljen

kurikulum za matematiko. Šolstvo v veliki meri omogoča fleksibilnost in avtonomnost.

Učitelj od otrok pričakuje zmožnostim primerno logično sklepanje. Pri pouku

matematike je poudarjeno, da učitelj preko kurikuluma vsebinsko in glede na

zahtevnost pripelje posameznega učenca do tega, kar največ zmore. Po pregledu ciljev

smo opazili, da z njimi učitelji iščejo predvsem ravnotežje med akademskimi dosežki in

dobrim počutjem učencev pri uri matematike.

Razvijanje logičnega mišljenja 2.4

Mišljenje je najkompleksnejši kognitivni proces, ki predstavlja višjo raven kognicije,

in sicer uporabo predelanih informacij in kognitivnih reprezentacij za reševanje

problemov. Osnova mišljenja so torej predstave, pojmi in druge kognitivne

reprezentacije, pogosto organizirane v sklope kognitivnih shem (Musek, 2005).

Piagetova spoznavna teorija je jasno opozorila na razliko v mišljenju med otroki in

odraslimi. Višje in logične stopnje mišljenja se začnejo na konkretno operativni stopnji,

saj takrat otrok razvije nove sposobnosti za takšno razmišljanje. Pridobi jih z

dozorevanjem ter s pomočjo fizičnih in socialnih izkušenj. Ne smemo pa pozabiti, da so

stopnje le povprečje, kar pomeni, da lahko posameznik posamezno stopnjo doseže

prej ali kasneje (Labinowicz, 2010). Z odraščanjem pa se odrasli prilagaja na vedno

kompleksnejše okolje, zato omenjene stopnje mišljenja stalno razvija in uri, da bi

postale učinkovitejše. Pri tem razvija način mišljenja, ki postane vezan na konkretni

socialni kontekst, v katerem deluje in za katerega je značilna uporaba čiste logike

(Woolfolk, 2002).

Piaget pravi, da vse znanje izvira iz človeškega delovanja na svet, predvsem pa

naj bi to veljalo za logično-matematično mišljenje. Izkušnje z logično-matematičnega

področja otrok pridobi ob soočanju s predmeti iz vsakodnevnega življenja, ko jih ureja,

prestavlja, razvršča in ocenjuje njihove količine. Otrok naj bi te izkušnje pridobil že v

predšolskem obdobju. Kasneje na razredni stopnji pa naj bi vedno bolj dojemal dejanja,

s katerimi deluje na te predmete, in odnose med njimi. Gardner je gradil razlago

logično-matematičnega mišljenja prav na Piagetovi teoriji, zato pravi, da otrok prehaja



18

od predmetov k dejanjem. Od dejanj prehaja k odnosom med njimi, od čutil in gibanja

pa k abstrakciji. Omenili smo, da zasnova logično-matematičnega mišljenja nastane v

delovanju otroka že v predšolskem obdobju. Zato bi morali z nalogami za razvoj

logičnega mišljenja začeti že v vrtcu. Tako bi otrok to mišljenje razvil še pred vstopom v

šolo, učitelj pa bi le stopnjeval naloge iz konkretnih primerov na abstraktne (Hutler,

2014).

Znanje matematike je osnova za razvoj logičnega mišljenja, ki je sposobnost

razmišljanja, analiziranja, abstrahiranja in posploševanja. Omenjena sposobnost

razmišljanja koristi nastajanju racionalnih kakovosti mišljena in njihovega izražanja,

razvoju sposobnosti opazovanja, pozornosti, intuicije, zbranosti, vztrajnosti ter

urejenosti. Zato moramo matematiko in njen način mišljenja obravnavati kot

pomemben element kulture sodobnega človeštva (Kovač, 2004).

Pouk matematike naj bi omogočal razvijanje matematičnega sklepanja, ki opisuje

logično, sistematično razmišljanje, ki ga uporabimo, da pridemo do rešitve problemov,

ki so postavljeni v nove in nepoznane situacije. Matematiki sicer pripisujemo posebno

mesto, logičnemu razmišljanju, vendar je logika prisotna tudi drugje, zato pridobljene in

ustrezno razvite veščine logičnega razmišljanja lahko koristno uporabljamo na različnih

področjih (Felda in Cotič, 2012). Logično mišljenje se torej dandanes zelo veliko

uporablja. Vendar se načini uporabe zelo raznoliki in velikokrat drug od drugega precej

oddaljeni. Pomen logičnega mišljenja pa ni samo v tem, da ga je mogoče uporabljati v

različnih vejah izobraževanja, na primer v šoli pri urah matematike. Logično mišljenje je

del nas oziroma je last vseh nas in ga vsi neprestano uporabljamo na vsakem koraku

življenja (Berka in Mleziva, 1971).

Otrokovo logično mišljenje je torej treba razvijati in spodbujati že zelo zgodaj. Ob

tem je pomembno, da učitelj upošteva otrokovo razvojno stopnjo. Pouk matematike pa

naj bi bil s tem uspešnejši, saj bi učitelj upošteval sposobnost vsakega otroka.

Učiteljeva naloga je tudi podučiti otroka, da je logičen način mišljenja uporaben in

koristen tudi pri drugih dejavnostih in področjih (Kovač, 2004). Logičen način mišljenja

je torej pogoj za reševanje matematičnih in logičnih nalog. Če ima otrok pri tem težave,

posledično težko rešuje naloge.

V razredu, pri pouku in na šoli naj bi bilo vzpostavljeno okolje, ki spodbuja

razvijanje logičnega mišljenja, na primer modeliranje logičnega mišljena s strani

učiteljev, vključevanje aktivnosti v učne strategije, ki izražajo pomen logičnih miselnih

navad, spodbujanje učencev k uporabi logičnega razmišljanja pri reševanju zahtevnih

problemov in podobno (Rupnik Vec, 2003).



19

Gagnejeva klasifikacija znanja 2.5

Dosežke učencev glede na raven doseženega znanja opišemo s pomočjo

taksonomske lestvice, oblikovane po Gagnejevi prirejeni klasifikaciji znanj, ki razdeli

matematično znanje na tri vrste znanj; osnovno in konceptualno, proceduralno ter

problemsko znanje (Cotič in Žakelj, 2004).

Osnovno znanje vključuje poznavanje pojmov in dejstev ter priklic znanja.

Konceptualno znanje pa je razumevanje pojmov in dejstev, ki obsegajo oblikovanje

pojmov, strukturiranje pojmov in poznavanje relevantnih dejstev. Proceduralno znanje

obsega poznavanje in učinkovito obvladovanje algoritmov in procedur ter ustrezno

izbiro in izvedbo postopka, pri čemer je treba utemeljiti oziroma preveriti izbiro in

postopek izvesti. Problemsko znanje pa pomeni uporabo obstoječega znanja v novih

situacijah, uporabo kombinacije več pravil in pojmov pri soočanju z novo situacijo ter

sposobnost uporabe konceptualnega in proceduralnega znanja. Vključuje načrtovanje

strategije za reševanje problema (uporaba nabora procesov) in aplikativna znanja

(Žakelj, 2003).

Vsi trije tipi znanj imajo medsebojni učinek, torej so med seboj povezani.

Konceptualno znanje je do določene mere pogoj za proceduralno znanje. Problemsko

znanje je deloma splošno, delno pa se veže na konkretne vsebine in zahteva trdno

konceptualno in proceduralno znanje, celo razumevanje procedur. Pomen raznih tipov

znanj je odvisen od zunanjih okoliščin, namena šolanja in učiteljeve subjektivne

presoje. V šoli nikoli ne uporabljamo le proceduralnega ali problemskega znanja,

temveč prepleteno eno in drugo. Zato ni mogoče dati enim tipom znanja večjega

pomena kot drugim, ker se med seboj prepletajo in jih ni mogoče preprosto ločevati

(Cotič in Žakelj, 2004).

Razvedrilna matematika 2.6

Večina držav v svojih učnih načrtih poudarja reševanje problemov in pozitivna

čustva ter zamisel, da bi učenci morali matematiko spoznavati na način, ki vzbudi

radovednost, željo, stimulira domišljijo in razvije moč razmišljanja. Posledično pa služi

kot orodje za sprostitev (Sumpter, 2015). Pri tem pa pridemo do matematike, ki ji

pravimo razvedrilna matematika.

Nekateri otroci mislijo, da je matematika velika zbirka pravil in formul, ki si jih je

treba zapomniti. Zato si večina oblikuje negativne vtise o matematiki. A obstaja še

druga plat matematike, ki je večina ne vidi. To je zabavna oziroma razvedrilna

matematika (Kell, 2010). White je poudaril, da je razvedrilna matematika ena od



20

področij uporabne matematike z izobraževalno vlogo (Trigg, 1978). Številne

matematične študije namreč kažejo na to, da otroci radi rešujejo naloge iz razvedrilne

matematike zgolj zaradi radovednosti ne vedoč, da so izkušnje z reševanjem tovrstnih

nalog še posebej pomembne tudi pri praktični uporabi v vsakodnevnem življenju (Kell,

2010).

Najprej je vredno razmisliti, kaj naj bi razvedrilna matematika bila. Njena logična

definicija je, da je to zabavna matematika, toda skoraj vsak matematik bo rekel, da

uživa v svojem delu. Obstajata torej dva načina uporabe, ki zajemata pojem razvedrilne

matematike. Prvič, razvedrilna matematika je del matematike, ki je zabavna in

priljubljena, torej so problemi, s katerimi se srečujemo pri pouku, razumljivi

zainteresiranemu posamezniku, a so poti do rešitve morda težje. Drugič pa je

razvedrilna matematika del matematike, ki je zabavna in se uporablja kot razvedrilo

pred glavnim delom ure ali nekaj, s čimer lažje razumemo in hitreje vzljubimo nadaljnjo

temo. Pri tem govorimo o razvedrilni matematiki kot o uvodu v nadaljnjo matematično

vsebino (Singmaster, 1992).

Razvedrilna matematika je del matematike, ki obsega veliko množico problemov,

ugank, iger, prevar, domislic, trikov in nalog, ki prispevajo k razvijanju pozitivnega

odnosa ter ustvarjanju povezav med matematiko in vsakodnevnim razmišljanjem.

Takšna oblika matematike za razumevanje ne potrebuje mnogo matematičnega

znanja, ampak z duhovitostjo vznemiri otrokovo radovednost, ga pritegne k reševanju

in učenju. Poleg tega otrok ob reševanju tovrstnih nalog izkusi matematiko kot nekaj

radostnega. Če povzamemo z drugimi besedami, je orodje za pozitiven vpliv v

poučevanju matematike (Sumpter, 2015). Kljub temu da omenjena oblika matematike

otroka ne mori s suhoparnimi definicijami in težkimi izreki, zahteva veliko miselnih

naporov in logičnega sklepanja (Pisanski in Rojko, 1980).

Razvedrilna matematika je aktivnost, pri kateri želi posameznik problem rešiti na

podlagi pozitivne motivacije, aktivnost pa je posledično povezana s pozitivnimi čustvi in

ima izobraževalne dimenzije oziroma mora vsebovati izobraževalno komponento, da jo

lahko uporabimo pri pouku matematike (Sumpter, 2015). V nadaljevanju opisujemo,

zakaj je razvedrilna matematika pedagoško izjemno koristna:

- razvedrilna matematika je zakladnica problemov, ki delajo matematiko

zabavno. Probleme so reševale že generacije, ki segajo tudi do leta 1800 pred

našim štetjem. Na primer v srednjeveških besedilih o aritmetiki so bila

razvedrilna vprašanja prepletena z enostavnimi problemi, da bi nudila odmore



21

med učenjem. Problemi pogosto temeljijo na resničnosti in ponazarjajo idejo,

da je matematika povsod okrog nas, le poiskati jo je treba;

- ni boljšega učenja od izkušnje, ko skušaš rešiti dober problem. Razvedrilna

matematika ponuja veliko takšnih problemov, skoraj vsakega je mogoče

razširiti ali spremeniti. Zatorej je razvedrilna matematika zakladnica problemov

za šolsko raziskovanje in učenje;

- razvedrilna matematika je zaradi dolgoletne zgodovine popoln mehanizem za

debato o zgodovinskih in multikulturnih vidikih matematike (Singmaster, 1992).

Pouk matematike je v veliki meri usmerjen na učenje algoritmov, ne pa toliko na

samostojno reševanje različnih nalog. Na razredni stopnji je pri pouku matematike

opaziti, da je reševanje nalog nagnjeno predvsem k utrjevanju računskih operacij,

namesto da bi bilo obratno, in sicer učiti otroka raznih matematičnih znanj, da bi z

njihovo pomočjo znal reševati čim več življenjskih problemov (Cotič in Hodnik, 1995).

Eden izmed globalnih ciljev poučevanja matematike je doživljanje matematike kot

prijetne izkušnje. Če pogledamo povzetke učnih načrtov in ciljev pouka matematike v

enciklopediji TIMSS (Japelj Pavešić, 2012), je razvidno, da je v mnogih državah

razvijanje veselja do matematike pomemben cilj poučevanja matematike. Učitelj bi

moral zato matematiko prikazati kot nekaj zabavnega in zanimivega, nekaj, s čimer se

srečujemo vsak dan in ne samo takrat, ko je matematika na šolskem urniku. Otrok bo

presenečen, da je matematika v tolikšni meri vključena v okolico, v kateri živimo, in da

je koristno orodje v vsakdanjem življenju (Kosi in Ulbl, 2007). Z različnimi

matematičnimi ugankami in logičnimi izzivi bo učitelj zagotovo popestril pouk

matematike, ki je včasih nezanimiv, dolgočasen ali abstrakten. Takšen pouk bo otroku

dal možnost, da spozna matematiko kot zabavo. Z nalogami iz razvedrilne matematike

lahko učitelj doseže, da se bo otrok lotil učenja matematike, predvsem pa reševanja

nalog bolj sproščeno in brez strahu. Otrok naj bi poleg razumevanja matematičnega

znanja kazal tudi napredek in razvoj na afektivnih področjih, kot so odnosi, čustva in

vrednote. Otrok bi morali s pozitivnim odnosom sodelovati pri matematičnih učnih

aktivnostih, biti radoveden in imeti željo po učenju matematike. Učitelji naj bi pozornost

namenjali tako otrokovemu učenju matematike kot čustvom in odnosu, ki ga kaže med

matematičnimi aktivnostmi (Sumpter, 2015). Raziskave so pokazale, da otrok do

enajstega leta oblikuje svoj odnos do matematike. Če otroku matematika ni všeč, beži

pred njo. Pri tem se okoli njega oblikuje nekaj, kar navadno imenujemo »blokada«.

Učitelj lahko blokado pri otroku prepreči tako, da mu z različnimi nalogami iz

razvedrilne matematike vzbudi željo po znanju ter pozitivnem in zabavnem odnosu do

matematike. Zabava in igra sta izredno pomembni tako v vsakodnevnem življenju kot



22

pri pedagoškem delu, zato je razumljivo, da posega čedalje več učiteljev razredne in

predmetne stopnje po nalogah iz razvedrilne matematike (Pisanski in Rojko, 1980).

Učitelj naj otroku ponudi primerne naloge iz razvedrilne matematike, in sicer takšne, pri

katerih ima otrok možnost, da pri reševanju uporabi vse svoje znanje. Otrok naj ob

reševanju nalog razširi svoje misli in domišljijo. Le tako bo spoznal, da matematika niso

samo številke, formule in pravila. Matematika je razmišljanje, strategija, je povsod okoli

nas in je uporabna za vse vrste težav ne glede na okoliščine nastanka (Averbach in

Orin, 1980).

Poleg učitelja so tudi starši tisti, ki lahko otroku približajo matematiko na zabaven

način. Otrok se v svojem življenju sreča z matematiko že zelo zgodaj. Sprva se z njo

sreča v domačem okolju, saj predmete, ki ga obdajajo, prešteva in razvršča. Torej so

starši prvi, ki igrajo pomembno vlogo pri oblikovanju odnosa do matematike. Ker je

otrok bolj zavzet za učenje, ko je le-to povezano z igro, lahko tudi starši otroku

predstavijo matematiko na zabaven način preko matematičnih ugank in logičnih

izzivov.

Pri tem se pojavi ključno vprašanje, zakaj ponujati otroku naloge razvedrilne

matematike. Prvič, ker so zabavne in otroka motivirajo, saj je prav nemotiviranost

velikokrat problem pri poučevanju matematike. Drugič pa zato, ker je zgodovinsko

gledano veliko pomembnih matematičnih konceptov nastalo iz problemov, ki v osnovi

izvirajo prav iz razvedrilne matematike (Averbach in Orin, 1980).

Navsezadnje lahko omenimo, da se je razvedrilna matematika pri nas že kar dobro

udomačila ne glede na to, da na splošno v prvem hipu matematiko le redkokdaj tesneje

povezujemo z zabavo. Še zmeraj namreč prevladuje mnenje, da so te vrste užitki

namenjeni bolj ali manj le pravim matematikom. Razvedrilna matematika se prav s tega

izhodišča odpira kar najširšemu krogu ljudi. Večini je dostopna že brez temeljitejšega

matematičnega znanja, saj za poseganje po njej zadošča le nekaj radovednosti in

kanček dobre volje. A je treba omeniti, da tovrstna matematika ne ponuja le razvedrila

ali lahkotne zabave, kot bi lahko sklepali po njenem poimenovanju. Njena moč je

predvsem v zanimivih in duhovitih problemih, zastavljenih večinoma iz praktičnih

situacij. Ta matematika nas na prav zabaven način spodbuja, da ob njej izkažemo

svojo kreativnost (Domajnko, 2000).

Razvedrilna matematika je tako način prenašanja veselja in orodje za učenje

matematike. Naloge iz razvedrilne matematike so sestavljene na različne načine in

zajemajo različne vsebine, vse pa imajo nekaj skupnega: s pravilnim pristopom,

pozornim preučevanjem in ustreznim razmišljanjem so rešljive. Na začetku so morda



23

videti zapletene ali celo nerešljive. Namen tovrstnih nalog je, da prelisičijo tistega, ki jih

rešuje, zato se pri tako zasnovanih nalogah posameznik zabava (Rajović. 2016).



24

3 EMPIRIČNI DEL

Problem, namen, cilj 3.1

Matematika je znanost, umetnost, rezultat radovednosti in ustvarjalnosti

človekovega uma. Srečujemo jo na vseh področjih našega življenja in ustvarjanja.

Poučevanje matematike je zato usmerjeno v zagotavljanje stalnega veselja pri učenju,

v razvijanje logičnega mišljenja, ki je osnova za razmišljanje, v ponujanje priložnosti, pri

katerih otrok s trudom in delom doseže občutek navdušenja nad seboj, ko uspešno

rešuje matematične naloge, ter pri tem posledično izoblikuje trajno veselje do

matematike.

Marsikateri učitelj pri načrtovanju pouka matematike zastavlja ali prezahtevne ali

preenostavne naloge. Pomembno je, da se učitelj zaveda, da mora matematika njemu

in učencem predstavljati izziv, občutek uspeha in zabavo.

V magistrskem delu se ukvarjamo z utemeljitvijo pomena učenja in razvijanja

logičnega mišljenja skozi naloge iz razvedrilne matematike. Raziskali smo načine

učiteljev razrednega pouka za razvijanje logičnega mišljenja preko nalog iz razvedrilne

matematike. Nato smo skušali ugotovili, kakšna je uspešnost učiteljev pri preizkusu

znanja iz razvedrilne matematike. Ob tem pa smo merili vpliv starosti učitelja in njegovo

prepričanje o matematiki na uspešnost pri omenjenem preizkusu znanja. V

magistrskem delu smo tudi analizirali in primerjali učni načrt za matematiko z vidika

ciljev, ki spodbujajo razvijanje logičnega mišljenja v Sloveniji in na Finskem.

C1: analizirati in primerjati učni načrt za matematiko z vidika ciljev, ki spodbujajo

razvijanje logičnega mišljenja, v Sloveniji in na Finskem.

C2: ugotoviti pomen, ki ga učitelji prisojajo razvijanju logičnega mišljenja, in

kakovost poznavanja logičnih nalog, ki spodbujajo razvijanje logičnega

mišljenja;

C3: ugotoviti poglede in stališča učiteljev na razvijanje logičnega mišljenja preko

nalog iz razvedrilne matematike;

C4: analizirati rezultate pisnega preizkusa znanja matematičnih ugank in logičnih

izzivov pri učiteljih razrednega pouka.

Raziskovalni vprašanji in hipotezi 3.2

V1: Katere dejavnosti uporabljajo učitelji pri spoznavanju logičnih nalog, ki

spodbujajo razvijanje logičnega mišljenja, in kakšen pomen jim dajejo pri

pouku?



25

V2: Kakšni so pogledi in stališča učiteljev do razvijanja logičnega mišljenja

preko nalog iz razvedrilne matematike?

H1: Na uspešnost pri reševanju preizkusa znanja iz logike vpliva starost

učiteljev.

H2: Na uspešnost pri reševanju preizkusa znanja iz logike vpliva odnos do

matematike.

Metodologija 3.3

V nadaljevanju bomo opredelili raziskovalne metode, raziskovalni vzorec,

pripomočke, postopek zbiranja podatkov in obdelave podatkov.

3.3.1 Raziskovalne metode

Pri raziskovanju je bila uporabljena deskriptivna in kavzalno neeksperimentalna

metoda.

3.3.2 Raziskovalni vzorec

V raziskovalni vzorec je bilo vključenih 30 učiteljev razrednega pouka, ki poučujejo

od 1. do 5. razreda na izbranih osnovnih šolah na Goriškem. Število sodelujočih je

majhno zaradi neraziskanosti teme, ki v raziskavo vključuje testiranje znanja učiteljev s

področja logike. Sodelovali so učitelji z najmanj desetletnimi delovnimi izkušnjami pri

poučevanju v vseh razredih prvega in drugega vzgojno-izobraževalnega obdobja v

starostnem razponu od 35 do 65 let. Za tovrstno izbiro smo se odločili, ker učitelji z

večletnimi delovnimi izkušnjami boljše in natančneje poznajo načine razvijanja

logičnega mišljenja pri matematiki v osnovni šoli, tako na razredni kot na predmetni

stopnji.



26

Graf 1: Število sodelujočih učiteljev glede na starostno obdobje.

Iz grafa 1 razberemo, da je v raziskavi sodelovalo 17 učiteljev od 35 do 45 let, 7

učiteljev od 46 do 55 let in 6 učiteljev od 56 do 65 let starosti. Vključeni učitelji so bili

izbrani na podlagi pripravljenosti sodelovanja v raziskavi. Na podlagi tega lahko

omenimo, da je izbor vzorca neslučajnosten in priložnosten, saj smo izbrali učitelje na

podlagi določenega kriterija in ponujene priložnosti.

3.3.3 Pripomočki

Za pridobivanje podatkov o uspešnosti na področju logike smo uporabili preizkus

znanja. Za mnenje o uporabnosti logičnih nalog v obliki razvedrilne matematike pri

pouku matematike pa intervju.

a) Preizkus znanja

Pri raziskavi nas je zanimala uspešnost učiteljev na področju logike. Pri tem so s

pomočjo preizkusa znanja preverili znanje učiteljev in opisali dosežke glede na raven

doseženega znanja preko taksonomske lestvice po Gagneju. Preizkus znanja je

sestavljen iz devetih nalog v obliki matematičnih ugank in logičnih izzivov, ki so izbrane

na podlagi pregledanih učbenikov, delovnih zvezkov in delovnih učbenikov za

matematiko od 1. do 9. razreda osnovne šole. Naloge so izbrane iz naslednjih sklopov:

logika in jezik, aritmetika in algebra, geometrija in merjenje, obdelava podatkov ter

matematični problemi. Pri sestavljanju preizkusa znanja smo upoštevali cilje iz Učnega

načrta za matematiko od 1. do 9. razreda. Pisni preizkus znanja je v zaključku



27

vključeval anketno vprašanje zaprtega tipa, preko katerega so učitelji odgovorili, ali

imajo do matematike pozitiven ali negativen odnos.

Naloge v preizkusu znanja morajo omogočiti ugotavljanje, kaj otrok zmore in kako

se doseže posamezni cilj. S preizkusom znanja dobijo poleg učiteljev tudi otroci in

njihovi straši vpogled v osvojeno znanje, močna in šibka področja, stopnjo

razumevanja in uporabnosti znanja. V svojem preizkusu znanja smo naloge izbrali na

podlagi Gagnejeve taksonomske lestvice. Naloge smo izbrali v primernem razmerju

(Graf 2) in s tem posledično omogočili dober pogled v osvojeno znanje, saj se vse tri

vrste znanja, ki jih zajemajo izbrane naloge, v preizkusu znanja med seboj prepletajo in

povezujejo.

Graf 2: Delež nalog za posamezno vrsto znanja po Gagnejevi taksonomiji znanja.

Iz grafa 2 je razvidno, da največ nalog zajema osnovno in konceptualno znanje (56

%). Sledijo naloge za preverjanje proceduralnega znanja (33 %) in problemskega

znanja (11 %).



28

Preglednica 1: Vrste znanja po Gagnejevi taksonomiji znanja in indeks težavnosti

posamezne naloge

Iz preglednice 1 razberemo, da pod osnovno in konceptualno znanje spadajo 1.,

4., 5., 7. in 8. naloga. Pod proceduralno znanje 2., 3. in 9. naloga. Pod problemsko

znanje pa 6. naloga (Priloga 2). Preglednica 1 nam prikazuje tudi indeks težavnosti

nalog. Indeks blizu 1 pomeni enostavnejšo nalogo, blizu 0 pa zahtevnejšo nalogo.

Čeprav 6. naloga zajema najvišjo stopnjo znanja, torej problemsko znanje, so jo učitelji

reševali najuspešnejše, saj je indeks težavnosti 0,96. Medtem, ko so 9. nalogo reševali

najslabše, saj nam je izračun indeksa težavnosti pokazal 0,30.

b) Intervju

Pri raziskavi smo za odkrivanje mnenj in stališč učiteljev uporabili nestrukturirani

oziroma nestandardizirani intervju (Priloga 3). Pri tem smo se držali strategije lijaka.

Pogovor smo začeli s širokimi in splošnimi vprašanji na izbrano temo, ki so se

navezovala na logiko v vsakodnevnem življenju ter pri pouku. Nadaljevali smo z

vprašanji, ki so bolj specifična in so se večinoma navezovala na spodbujanje ter

razvijanje logičnega mišljenja pri pouku matematike. Zaključili smo z vprašanji, ki se

neposredno navezujejo na temo in problem raziskave, torej v sklop mnenj ter stališč

učiteljev o razvijanju logičnega mišljenja preko logičnih nalog iz razvedrilne

matematike. Pri celotnem intervjuju smo bili pozorni na zastavljanje odprtih vprašanj,

preko katerih smo pridobili obsežnejše in uporabne odgovore z velikim številom

informacij. Z Intervjujem smo odgovorili na raziskovalni vprašanji, ki se nanašata na

učiteljeva mnenje o logiki v obliki razvedrilne matematike in logičnem razmišljanju.

Naloga Vrsta znanja po Gagnejevi taksonomiji znanja Indeks težavnosti

1. osnovno in konceptualno znanje 0,86

2. proceduralno znanje 0,60




6. problemsko znanje 0,96






29

3.3.4 Postopek zbiranja podatkov

Zbiranje podatkov je potekalo tri mesece v šolskem letu 2016/2017 po

predhodnem dogovoru in soglasju vključenih učiteljev ter vodstva šole na osnovnih

šolah, kjer so posamezni učitelji zaposleni. Poskrbljeno je bilo, da so udeleženci

sodelovali prostovoljno in anonimno.

Za potrebe izvedbe empiričnega dela smo na izbranih osnovnih šolah na Goriškem

izvedli preizkus znanja in pri tem ugotovili uspešnost razrednih učiteljev na področju

logike. Preizkus znanja so izbrani učitelji, ki so se strinjali s sodelovanjem pri raziskavi,

reševali v omejenem času ene šolske ure, torej 45 minut, v času prostih ur.

Za ugotavljanje mnenj o področju logika smo izvedli nestrukturirani intervju s petimi

izbranimi testiranimi učitelji različne starosti iz različnih šol na Goriškem. Intervju smo

izvedli individualno s posameznim učiteljem po končanem reševanju preizkusa znanja.

Za lažje pridobivanje razmišljanj učiteljev na raziskovalno situacijo smo ga posneli s

pomočjo diktafona.

3.3.5 Postopek obdelave podatkov

Pridobljene podatke pri preizkusu znanja smo obdelali z računalniškim programom

SPSS. Ugotavljali smo statistično pomembne podatke, ki so vplivali na doseženi

rezultat pri preizkusu znanja, torej povezanost uspešnosti s starostjo in odnosom do

matematike. Ali sta dve spremenljivki soodvisni, smo preverili s statistično analizo χ2 –

preizkusom. Ugotovitve smo prikazali s pomočjo stolpčnih diagramov in tabel.

Postopek analize intervjujev smo izvedli na osnovi ureditve in prepisa dobljenih

odgovorov. Prepisano besedilo smo razčlenili in združili odgovore na posamezna

vprašanja. V zaključku smo odgovorili na raziskovalni vprašanji, interpretirali rezultate

in nova spoznanja.

Rezultati in razprava 3.4

V nadaljevanju so predstavljeni rezultati preizkusa znanja, odgovori na

raziskovalna vprašanja in potrditev hipotez.



30

3.4.1 Uspešnost reševanja preizkusa znanja glede na starostno obdobje

Preko Ganejeve taksonomske lestvice smo sestavili kriterij znanja, ki smo ga

ponazorili s številčnimi ocenami:

- 1 (nezadostno): 0–8,5 točk;

- 2 (zadostno): 9–11 točk;

- 3 (dobro): 12–13 točk;

- 4 (prav dobro): 14–15 točk;

- 5 (odlično): 16–17 točk.

Graf 3: Dosežene številčne ocene pri preizkusu znanja glede na starostno obdobje.

Iz grafa 3 je razvidno, da je 8 učiteljev pisalo nezadostno oceno, ti učitelji niso rešili

pravilno 50 % nalog, 6 učiteljev je pisalo zadostno, 6 dobro, 6 prav dobro in 4 učitelji

odlično oceno. Glede na starostno obdobje vidimo, da so nezadostno oceno dosegli vsi

učitelji v starostnem obdobju od 55 do 65 let, torej 6 učiteljev. V starostnem obdobju od

46 do 55 let sta dva učitelja pisala nezadostno in zadostno ter po en dobro, prav dobro

in odlično. Najboljše ocene so dosegli učitelji v starostnem obdobju od 35 do 45 let, saj

nihče izmed učiteljev ni pisal nezadostno. Dosežene so bile naslednje ocene:

zadostne, dobre, prav dobre in odlične. Razen učiteljev najstarejšega starostnega

obdobja so preizkus znanja reševali uspešno, saj so v večini prevladovale pozitivne

ocene.



31

Naloge so najboljše reševali učitelji v starostnem obdobju od 35 do 45 let, kar

potrjujejo predpostavke neopiageistov o tem, da je moč razvoja logike v tem času na

višku. Neopiageisti so namreč s številnimi študiji dokazali, da Piagetova formalno

operativna oblika mišljenja, ki naj bi se razvila v starostnem obdobju od 11 do 15 let, ni

najvišja oblika mišljenja. Piaget je trdil, da je otrokovo mišljenje na formalno operativni

stopnji logično, abstraktno in fleksibilno ter deluje kot organiziran sistem misli, ki ni več

omejen na konkretne predstave s konkretnimi predmeti. Vendar so neopiageisti

njegovo teorijo kritizirali in trdili, da je šele v zgodnji odraslosti, pod katero Levinson

prišteva osebe med 17. in 45. letom starosti, značilno prevladovanje logičnega nad

konkretnim in kasneje čiste logike (Smrtnik Vitulić, 2011). Le-to pa nam pokažejo in

potrdijo tudi rezultati. Višje ocene so prevladovale v starostnem obdobju od 35 do 45

let, torej v starosti, ki jo uvrščamo pod zgodnjo odraslost.

Način razmišljanja, ki ti ga logika omogoča, se v posameznika zasidra za vse

življenje in mu pomaga pri reševanju življenjskih problemov. Na podlagi tega lahko

uspeh pri reševanju preizkusa znanja pripišemo temu, da so se naloge nanašale na

področja, ki so učiteljem bližja, saj imajo naloge iz logike veliko povezav z življenjskimi

situacijami, pri katerih imajo odrasli več izkušenj kot otroci. Logično mišljenje je

navsezadnje v odraslosti pogojeno z medsebojnim delovanjem formalne logike in

odraslega praktičnega rezoniranja, ki integrira logiko z izkušnjami in kontekstom

logičnega problema (Bakračevič Vukman, 1996).

Logično mišljenje se razvija od rojstva dalje in kaže naslednjo tendenco izraženosti

v otroštvu in mladostništvu, večjo prisotnost logičnega razmišljanja v zgodnjem

odraslem obdobju, največjo moč v zreli odraslosti ter pešanje v starosti (Bakračevič,

Vukman, 1996). Opis razvoja se nanaša na dobljene rezultate, višek boljših ocen v

starostnem obdobju od 35 do 45 let. S starostjo pa logično mišljenje izgublja moč in

posledično so učitelji v drugih dveh starostnih obdobjih dosegali nižje ocene. Pojavijo

se prvi znaki izgube kognitivnih sposobnosti in počasen upad različnih sposobnosti,

med katerimi je tudi logično mišljenje.

Pri logičnem razmišljanju ima pomembno vlogo tudi izobraževanje v mladosti.

Ljudje imajo v različnih življenjskih obdobjih različno motivacijo in pogled na vlogo

izobraževanja. Razlike v znanju glede na starost pa se pojavijo tudi zaradi nenehnega

preoblikovanja izobraževanja in stopenj izobrazbe, ki se spreminjajo v skladu s šolsko

reformo. V preteklosti od leta 1964 do 1987 je bilo treba za študij učitelja razrednega

pouka končati dvoletno Pedagoško akademijo. Za tem se je uvedel visokošolski

univerzitetni študij, ki je trajal 4 leta. Prehod na 4-letni visokošolski univerzitetni študij



32

pa je pomenil spopadanje z najrazličnejšimi problemi in nenehnim prilagajanjem

predmetov. Obenem pa je bilo treba slediti svetovnim tokovom v načinu izobraževanja

in strokovno-znanstvenemu napredku. Z bolonjsko reformo v študijskem letu

2009/2010 je bil ustanovljen enoten evropski visokošolski prostor, ki spodbuja

mobilnost, vseživljenjsko učenje in zagotavlja boljšo kakovost študija ter

mednacionalno primerljivost. V TIMSS-u (Japelj Pavešić, 2012) zasledimo, da so

slovensko univerzitetno pedagoško izobrazbo umestili v najvišjo stopnjo po ISCED

sistemu, to je sistem mednarodne standardne klasifikacije izobraževanja. Današnji

učitelji morajo zato za poučevanje doseči najmanj 2. bolonjsko stopnjo univerzitetnega

študija, ki traja 5 let. Z ukinitvijo Pedagoške akademije se je torej spremenil predmetnik

in posledično tudi zahtevnost znanja. Rezultati nakazujejo ravno na to, da so mlajši

učitelji dosegli boljše rezultate, saj so tekom štiriletnega študija obravnavali novejšo

učno vsebino, se natančneje seznanili z njo pred nastopom službe, imeli več

praktičnega dela in podrobneje pogledali, kako obravnavati določeno matematično

vsebino preko obnovljenega učnega načrta.

Omenimo lahko, da smo po pregledu učbenikov, delovnih zvezkov in priročnikov

za osnovno šolo, ki so potrjeni s strani Ministrstva za šolstvo in šport, opazili malo

nalog, povezanih z logiko. V njih redko zasledimo logični izziv, preko katerega naj bi

otroci razvijali logično mišljenje, ali nasvet, kako naj učitelji razvijajo logično mišljenje

pri otrocih. Tudi v učnem načrtu za Matematiko (2011) logika med učnimi cilji ni nikjer

točno definirana. Učitelji velikokrat naletijo na težavo, preko katerih nalog in praktičnih

dejavnosti naj spodbujajo otroke k logičnemu razmišljanju ali kako naj oblikujejo učni

cilj, ki naj bi se navezoval na logiko.

Ne samo zaradi pomakanja vsebin o logičnem razmišljanju v učbenikih, delovnih

zvezkih in učnem načrtu, ampak tudi zaradi sprememb študijskega programa od časa,

ko so bili učitelji študentje, bi morale biti določene vsebine, kot je logično razmišljanje,

del matematičnega izobraževanja učiteljev. Poleg omenjenih sprememb pa se je tekom

let nadgrajeval tudi učni načrt za matematiko, ki je bil nazadnje prenovljen leta 2011. Z

uvedbo devetletke so se v njem premaknile določene vsebine iz predmetne na

razredno stopnjo.

Pomembno je stalno izpopolnjevanje znanja učiteljev, seznanjanje z novostmi na

področju matematike in njenega poučevanja. Učitelji bi morali imeti možnost, da

dopolnijo svoje matematično in didaktično znanje, ki ju zaradi sprememb niso

obravnavali. V raziskavi TIMSS (Japelj Pavešić, 2012) zasledimo, da se učitelji v

največjem obsegu vključujejo v matematična izobraževanja z naslednjih področji:



33

seminarji iz matematičnih vsebin, seminarji o preverjanju matematičnega znanja,

seminarji o pristopih k poučevanju in vključevanje informacijske komunikacijske

tehnologije (IKT) v pouk matematike. Največ otrok v Sloveniji je imelo leta 2011

učitelje, ki so bili v zadnjih dveh letih na izobraževanju o matematičnem kurikulu,

vključevanju IKT v pouk matematike in preverjanju znanja matematike. V programe o

izobraževanju izboljšanja kritičnega mišljenja učencev z reševanjem problemov, pri

katerih otrok razvija tudi logično mišljenje, se je vključilo precej manj učiteljev. Po

pregledu Zavodovih katalogov nadaljnjega izobraževanja in usposabljanja za

posamezno šolsko leto smo opazili, da v njih najdemo zelo malo vsebin, povezanih z

logiko. V katalogih, izdanih za šolsko leto 2014/2015, 2015/2016 in 2016/2017,

največkrat zasledimo seminarje o pristopu reševanja matematičnih problemov na

razredni stopnji, razvijanju problemskega znanja ali problemih z življenjskimi

situacijami. Omenjene seminarje lahko delno povežemo z logičnim razmišljanjem, saj

je logika prisotna v večini nalog s problemskimi situacijami. V katalogu, ki je bil izdan za

šolsko leto 2013/2014, smo opazili seminar o razvedrilni matematiki, katere ključna

vsebina je reševanje logičnih nalog v obliki matematičnih ugank, problemov, iger,

prevar, domislic in trikov. Seminar je bil namenjen le učiteljem, ki poučujejo na

predmetni stopnji in vodijo krožek, povezan z matematičnimi delavnicami. V katalogih,

ki so bili izdani za šolsko leto pred letom 2013, pa nismo zasledili nobenega seminarja,

ki bi bil povezan z logiko. Ponudba seminarjev v povezavi z logiko od šolskega leta

2013/2014 narašča, zato lahko s tem delno povežemo uspeh pri reševanju preizkusa

znanja. Ampak kljub temu učitelji preko matematičnih izobraževanj ne dobijo

ustreznega znanja za poučevanje logike. Tovrstne seminarje je smiselno povečati, saj

je navsezadnje logika del vsakodnevnega življenja, ki nam omogoča opravljanje

osnovnih dejavnosti, pri katerih je največkrat prisotno logično razmišljanje.

Preverimo še, ali so razlike med skupinami statistično pomembne oziroma

značilne.



34

Preglednica 2: Število in odstotek ocene učiteljev pri preizkusu znanja glede na

starostno obdobje ter rezultat χ2 – preizkusa

Ocena

Skupaj

nzd (1) zd (2) db (3) pdb (4) odl (5)

Starostno

obdobje

35–45 let

0 4 5 5 3 17

0,0 % 23,5 % 29,4 % 29,4 % 17,6 % 100,0 %

46–55 let

2 2 1 1 1 7

28,6 % 28,6 % 14,3 % 14,3 % 14,3 % 100,0 %

56–65 let

6 0 0 0 0 6

100,0

% 0,0 % 0,0 % 0,0 % 0,0 % 100,0 %

Skupaj

8 6 6 6 4 30

26,7 % 20,0 % 20,0 % 20,0 % 13,3 % 100,0 %

χ2 –

preizkus z

razmerjem

verjetij

Vrednost (χ2) 27, 051

Statistična

pomembnost (P) 0,003

Število stopinj

prostosti (g) 8

Rezultat χ2 – preizkusa iz preglednice 2 (χ2 = 27, 051, g = 8, P = 0,003) kaže na

statistično pomembnost oziroma na povezanost med oceno pri preizkusu znanja in

starostnim obdobjem učitelja. Na podlagi svojih podatkov lahko potrdimo hipotezo 1, da

na uspešnost pri reševanju preizkusa znanja iz logike vpliva starost učiteljev, saj so

mlajši učitelji od 35 do 45 let starosti dosegli višje ocene, posebej glede na starost

učiteljev od 56 do 65 let.



35

3.4.2 Uspešnost reševanja preizkusa znanja glede na odnos do

matematike

Graf 4: Dosežene številčne ocene pri preizkusu znanja glede na odnos do matematike.

Matematično uspešnost pomembno določajo učitelji s svojim odnosom do

matematike v vsakodnevnem življenju in pri pouku. Bistveni del učenja matematike se

zgodi v razredu v odnosu med učiteljem in otroki. Večina raziskav (Japelj Pavešić,

2012) po svetu kaže, da pozitiven odnos do matematike omogoča boljše znanje. V

večini so učitelji z negativnim odnosom do matematike dosegli nižjo oceno. Iz grafa 4 je

razvidno, da ima 7 učiteljev, ki so pisali nezadostno oceno, tudi negativen odnos do

matematike. Le en učitelj z nezadostno oceno ima do matematike pozitiven odnos.

Učitelji, ki imajo pozitiven odnos do matematike, so v večini dosegali višje rezultate,

saj, če pogledamo učitelje, ki so pisali odločno (4 učitelji) imajo vsi pozitiven odnos.

Učitelji, ki so pisali prav dobro (5 učiteljev) in dobro (5 učiteljev), imajo ravno tako

pozitiven odnos do matematike, izstopata le dva učitelja, ki imata kljub uspešni oceni

negativen odnos. Med učitelji, ki so pisali zadostno, pa imajo štirje pozitiven odnos in

dva negativen odnos. Na podlagi dobljenih rezultatov lahko sklepamo, da se je odnos

do matematike izkazal za povezanega z matematičnimi dosežki. To (Japelj Pavešić,

2012) potrdi tudi 288 raziskav profesorja Univerze v Torontu Hattieja, kjer so z



36

metaanalizo odnosa do šole potrdili, da se je odnos do matematike izkazal za

povezanega z matematičnimi dosežki. Torej je povezanost med znanjem in odnosom

obojestranska.

Učitelji, ki imajo pozitiven odnos do matematike in posledično radi poučujejo

matematiko, so torej uspešnejši od tistih, ki jim je matematika v breme. Vendar

pozitiven odnos ni odvisen samo od uspešnosti oziroma od ocene, temveč tudi od

tega, ali je pouk matematike veselje tako pri učiteljih kot pri otrocih. Učitelj, ki z

veseljem poučuje matematiko in se pri tem počuti samozavestno, je ustrezno

pripravljen na poučevanje matematičnih vsebin, njegovo znanje in posledično ocena pa

sta boljša. S tem, ko učitelj z veseljem in pozitivnim odnosom poučuje matematiko,

doseže tudi pri otrocih boljše in hitrejše razumevanje snovi, saj jo podaja na zanimiv

način, ki otroke motivira za nadaljnje učenje. Preko takšnega poučevanja ima učitelj

možnost, da se posveti tudi težjim logičnim nalogam, ki so izziv za boljše otroke in

dodatna vaja za učno šibkejše. Zahtevnejše logične naloge, ki učiteljem omogočajo

zabavo, veselje do matematike in razvijanje logičnega mišljenja, najdemo v

raznovrstnih zbirkah iz razvedrilne matematike. Omenimo lahko, da učitelj s pozitivnim

odnosom omogoča, da motiviranost za učenje matematike ni zgolj ocena, ampak

veselje in razvijanje matematično-logičnega mišljenja, ki ga otroci doživljajo pri urah

matematike. In prav veselje, zabava, pozitiven odnos in visoka motiviranost so tisti

pogoji, ki nam in otrokom v večji meri omogočajo doseganje boljših rezultatov.



37

Preglednica 3: Število in odstotek ocene učiteljev pri preizkusu znanja glede na odnos

do matematike ter rezultat χ2 – preizkusa

Ocena

Skupaj

nzd (1) zd (2) db (3) pdb (4) odl (5)

Odnos do

matematike

Negativen

7 2 1 1 0 11

63,6 % 18,2 % 9,1 % 9,1 % 0,0 % 100,0 %

Pozitiven

1 4 5 5 4 19

5,3 % 21,1 % 26,3 % 26,3 % 21,1 % 100,0 %

Skupaj

8 6 6 6 4 30

26,7 % 20,0 % 20,0 % 20,0 % 13,3 % 100,0 %

χ2 – preizkus z

razmerjem

verjetij

Vrednost (χ2) 14,950

Statistična

pomembnost

(P)

0,100

Število stopinj

prostosti (g) 4

Rezultat χ2 – preizkusa iz preglednice 3 (χ2 = 14,950, g = 4, P = 0,100) kaže, da ne

obstaja statistično pomembna povezanost med oceno pri preizkusu znanja in

učiteljevim odnosom do matematike. Na podlagi svojih podatkov lahko ovržemo

hipotezo 2, in sicer na uspešnost pri reševanju preizkusa znanja iz logike ne vpliva

učiteljev odnos do matematike, saj so učitelji ne glede na to, kakšen odnos imajo do

matematike, dosegli različne številčne ocene.

3.4.3 Analiza uspešnosti reševanja posameznih nalog iz preizkusa znanja

Prva naloga (Čadež Hodnik, 2006):

Pod grmom so se igrali zajčki. Ko so zaslišali korake, jih je polovica zbežala.

Kmalu se je pod grm vrnil en zajček. Zdaj je tam prav toliko zajčkov, kot jih je bilo,

preden so zaslišali korake. Koliko zajčkov je pod grmom?



38

Cilj: Razvijanje problemske občutljivosti v matematičnih okoliščinah in v

vsakodnevnem življenju.

Graf 5: Uspešnost reševanja 1. naloge.

Prva naloga je vrednotena z eno točko. Če je učitelj odgovoril pravilno (Pod grmom

sta dva zajčka.), je pri nalogi osvojil 1 točko, v nasprotnem primeru 0 točk.

Iz grafa 5 je razvidno, da je 26 učiteljev nalogo rešilo uspešno in 4 neuspešno.

Učitelji, ki so napačno rešili nalogo, so odgovorili, da je pod grmom en zajček. K

vzrokom lahko prištevamo pomanjkanje izkušenj z logičnimi nalogami v primerih, ko le-

te vključujejo problem, ki je opisan z besedami in ne s števili. Velikokrat je besedni opis

naloge težje predstavljiv, kot če imamo podane številke, ki jih postavimo v enačbo.

Vzrok za napake vidimo tudi v površnem branju in nelogičnem sklepanju, saj v nalogi

piše, da je polovica zajčkov zbežala, torej pod grmom ni mogel biti le en zajček. Pri

reševanju tovrstni nalog lahko problem postavimo v vsakodnevno resnično situacijo ali

pa se ukvarjamo z matematičnimi vprašanji. Učitelji, ki so se ukvarjali zgolj z

matematičnimi vprašanji, so pri nalogi podali odgovor, da ima naloga premalo

podatkov, da bi bila rešljiva. Naloga ne vključuje le področja uporabe znanja in

pojmovnega razumevanja, ampak v največji meri zajema področje logičnega sklepanja.

Nekateri učitelji so nalogo rešili na grafičen način z risanjem, nekateri pa z

zapisom računske enačbe x - x + 1 = x, v kateri je x predstavljal število 2.



39

Druga naloga (Prokeš Perške, 1991):

Ko je Vesna prebrala polovico knjige in še 20 strani, ji je ostalo za branje še

knjige. Koliko strani ima knjiga?

Cilj: Reševanje problema s seštevanjem naravnih in racionalnih števil.


Druga naloga je vrednotena z dvema točkama. Če je učitelj odgovoril pravilno

(Knjiga ima 120 strani.), je pri nalogi osvojil 2 točki, v nasprotnem primeru 0 točk. Če je

bilo zapisano samo število, brez odgovora, se je nalogo vrednotilo z 1,5 točke.

Iz grafa 6 je razvidno, da je 13 učiteljev nalogo rešilo popolnoma pravilno in 12

nepravilno. Ostalih 5 učiteljev je pri nalogi osvojilo 1,5 točke. Učitelji so točke izgubljali

predvsem zaradi površnosti. Ključno pravilo besedilne naloge je, da je treba zapisati

odgovor. Vzrok za neuspešnost vidimo v tem, da učitelji problema niso postavili v

vsakodnevno resnično situacijo, ampak so se ukvarjali z matematičnim vprašanjem,

kako zastaviti ustrezno matematično enačbo. Ravno tako kot prva naloga tudi ta ne

vključuje le področja uporabe znanja in pojmovnega razumevanja, ampak v največji

meri zajema področje logičnega sklepanja. Nalogo prištevamo pod probleme, ki

presegajo reševanje rutinskih problemov, saj obsega kompleksnejše okoliščine in

spada pod večstopenjski problem. Naloga zahteva izvedbo algoritmičnega postopka

enačbe seštevanja v kombinaciji z racionalnimi števili. V TIMSS-u (Japelj Pavešić,

2012) zasledimo, da je postopek most med osnovnim znanjem in uporabo matematike



40

za reševanje rutinskih problemov, ki v bistvu pomenijo priklic nabora aktivnosti in način,

kako jih izpeljati. Naloga spada pod vrste problemov, kjer je potrebna sposobnost

sklepanja o matematičnih vsakodnevnih situacijah, ki temeljijo na seznanjenosti z

matematičnimi koncepti in ne postopki. Več konceptov, kot torej učitelj razume, večja je

verjetnost, da se bo znal spopasti z različnimi problemskimi situacijami, kot je ta

naloga, pri kateri sta potrebni le logično sklepanje in dobra vizualna predstavljivost, ki

jo je večina učiteljev podkrepila z grafično risbo. Zaradi omenjenih vzrokov je večina

učiteljev, ki so bili pri nalogi neuspešni, navedli odgovor, da ima naloga premalo

podatkov za rešljivost.

Nekateri učitelji so nalogo rešili na grafični način z risanjem tortnega ali stolpčnega

diagrama, drugi pa z zapisom računske enačbe, in sicer na dva načina: x + 20 + x =

x ali x + 20 = x.

Tretja naloga (Dolinar, Felda in Željko, 2014):

Mateja je narisala 3 kvadrate. Srednji kvadrat ima oglišča v razpoloviščih stranic

velikega kvadrata. Majhen kvadrat ima oglišča v razpoloviščih stranic srednjega

kvadrata. Ploščina majhnega kvadrata je 6 cm2. Koliko kvadratnih centimetrov je razlika

med ploščinama velikega in srednjega kvadrata?

Slika je simbolična

Cilj: Uporaba geometrijskega znanja za reševanje matematičnega problema.



41


Tretja naloga je vrednotena z dvema točkama. Če je učitelj odgovoril pravilno

(Razlika med ploščinama je 12 cm2.), je pri nalogi osvojil 2 točki, v nasprotnem primeru

0 točk. Če je bilo zapisano samo število brez odgovora, se je nalogo vrednotilo z 1,5

točke.


Ostali 4 učitelji so pri nalogi osvojili 1,5 točke. Točke so izgubljali zaradi površnosti, saj

je ključno pravilo besedilne naloge, da je treba zapisati odgovor. Iz neuspešno rešenih

nalog je bilo razvidno, da so učitelji vedeli, kaj morajo napraviti v dani situaciji, ampak

so zaradi nerazumevanja pristopa, kako obstoječe znanje, torej enačbo ploščine,

uporabiti v problemski situaciji, navajali, da ima naloga neustrezne podatke. Učitelji, ki

so nalogo rešili neuspešno, so se usmerili v uporabo postopka reševanja problema in

se ukvarjali z matematičnim vprašanjem o likih in enačbi ploščine. Uspešni učitelji pa

so poiskali splošna pravila za olajšanje reševanja problema in predstavili podatke v

geometrijskih oblikah, ki so predstavljale model za rešljivost problemske situacije (Slika

1). Bolj, kot je učitelj sposoben priklicati relevantno znanje, situacijo postaviti v

vsakodnevni problem in si jo vizualno predstavljati ter večji nabor pojmov kot razume,

večja je verjetnost, da se bo znal spopasti z reševanjem problemov, kjer sam postopek

oziroma iskanje enačbe za rešitev ni potrebno.



42

Slika 1: Grafični način reševanja 3. naloge.

Četrta naloga (Kmetič in Frobisher, 1996):

1, 2 in 3 so zaporedna števila. Vsota teh treh zaporednih števil je 6. Število 342 je

ravno tako vsota treh zaporednih števil. Katera so ta tri zaporedna števila?

Cilj: Uporabljanje računske operacije seštevanja pri reševanju matematičnega

problema.


Četrta naloga je vrednotena z dvema točkama. Če je učitelj odgovoril pravilno

(Zaporedna števila so 113, 114 in 115.), je pri nalogi osvojil 2 točki, v nasprotnem

primeru 0 točk. Če so bila zapisana samo števila brez odgovora, se je naloga

vrednotila z 1,5 točko.



43


Ostalih 16 učiteljev je pri nalogi osvojilo 1,5 točke. Učitelji so točke izgubljali zaradi

površnosti, saj niso zapisali odgovora. Večina učiteljev je točke izgubljala zaradi

površnega branja, saj v nalogi sprašujemo po treh zaporednih številih in ne le treh

katerih koli številih. Učitelji so glede na zapisana tri števila (na primer števila 57, 114 in

171) dobili ustrezno vsoto 342, a števila niso bila zaporedna. Opazimo površnost pri

izločanju posameznih pomembnih pojmov iz celote. Naloga zajema razumevanje

razmerja med števili, zrelost za operiranje z matematičnimi pojmi, kot je zaporednost

števil. Za rešitev naloge je bilo potrebno vključevanje matematičnih zamisli v obstoječo

miselno shemo. Torej razumevanje, kaj je treba narediti, da na podlagi vsote določimo

tri zaporedna števila.

Nekateri učitelji so nalogo reševali s poskušanjem, po postopku, da so vsoto števil

delili s tri in nato dobljenemu številu prišteli ter odšteli ena ali z zapisom računske

enačbe, in sicer na dva načina: (x-1) + x + (x+1) = 342 ali x + (x+1) + (x + 2) = 342.

Peta naloga (Dolinar, Felda in Željko, 2014):

Zvezda je sestavljena iz 12 enako velikih enakostraničnih trikotnikov. Obseg

zvezde je 36 cm. Koliko centimetrov meri obseg osenčenega dela?

Cilj: Uporaba pretvarjanja merskih enot za reševanje matematičnega problema.



44


Peta naloga je vrednotena z eno točko. Če je učitelj odgovoril pravilno (Obseg

osenčenega dela meri 18 cm.), je pri nalogi osvojil 1 točko, v nasprotnem primeru 0

točk. Če je bila zapisano samo število brez odgovora, se je naloga vrednotila s pol

točke.


Učitelji so točke izgubljali zaradi površnosti, najpogostejša napaka je bila napačno

deljenje ali množenje. Vzrok za neuspeh vidimo tudi pri izločanju posameznih

pomembnih pojmov iz celote. Naloga pravzaprav zajema zrelost operiranja z

matematičnimi pojmi, kot je enakostranični trikotnik. Učitelji, ki so nalogo rešili

neuspešno, so prvi del naloge uspeli rešiti in se nato pri drugem delu zmotili ali ga niso

rešili.

Večina učiteljev je nalogo reševala brez kakršnega koli zapisa matematične

enačbe, torej na pamet.

Šesta naloga (Bolt, 1982):

Reši po zgledu.

1 + 2 = 2 1 · 2 = 2

2 + 3 = 12

3 + 4 = 36

4 + 5 = 80

5 + 6 = ?



45

Cilj: Uporaba računskih operacij seštevanja in množenja pri reševanju

matematičnega problema.


Šesta naloga je vrednotena s štirimi točkami. Če je učitelj pravilno zapisal

postopek (2 · 3 = 6 + 6 = 12, 3 · 4 = 12 + 12 + 12 = 36, 4 · 5 = 20 + 20 + 20 + 20 = 80

in 5 · 6 = 30 + 30 + 30 + 30 + 30 = 150), je pri nalogi osvojil 4 točke, v nasprotnem

primeru 0 točk. Če so bili v preglednici zapisani samo rezultati brez postopka, kako je

prišel do rezultata, se je naloga vrednotila s 3 točkami.

Iz grafa 11 je razvidno, da je 26 učiteljev nalogo rešilo uspešno in 1 neuspešno. Ostali

3 učitelji so pri nalogi osvojili 3 točke. Učitelji so točke izgubljali zaradi površnosti, med

katerimi je bila najpogostejša napaka ne-zapisovanje postopka, kako so prišli do

rešitve. Nalogo prištevamo med težje logične naloge, saj zajema problemsko znanje.

Žakelj (2003) pravi, da problemsko znanje pomeni uporabo obstoječega znanja v novih

situacijah, torej uporabo kombinacije več pravil in pojmov pri soočanju z novo

problemsko situacijo. Od učiteljev naloga ne zahteva le vključevanja področja uporabe

znanja, ampak v največji meri zahteva področje logičnega sklepanja, s katero

kombinacijo računskih operacij in po katerem pravilu priti do danih rezultatov.

Čeprav naloga zajema najvišjo stopnjo znanja, torej problemsko znanje, so jo

učitelji reševali najuspešnejše, saj je indeks težavnosti pokazal 0,96, kar pomeni, da je

naloga enostavnejša. Torej naloga, ki smo jo opredelili kot taksonomsko



46

najzahtevnejšo, se je izkazala za najenostavnejše rešljivo. Vzrok vidimo v tem, da

naloga od učitelja zahteva zapis enega samega postopka, ki je enak za vse navedene

primere. Čeprav naloga pri reševanju zahteva uporabo več pravil, nima več možnih poti

oziroma postopkov, ki pripeljejo nalogo do končne pravilne rešitve. Prav zaradi tega je

lahko učiteljem naloga predstavljala najlažji izziv, saj so se ukvarjali le z enim in edinim

možnim postopkom reševanja naloge.

Sedma naloga ((Dolinar, Felda in Željko, 2014):

Miha in Kaja živita v isti stolpnici. Kaja živi 12 nadstropij nad Mihom. Nekega dne

je šel Miha po stopnicah obiskat Kajo. Na polovici poti je bil v 8. nadstropju. V katerem

nadstropju živi Kaja?

Cilj: Uporaba računske operacije seštevanja pri reševanju matematičnega

problema.


Sedma naloga je vrednotena z eno točko. Če je učitelj odgovoril pravilno (Kaja živi

v 14. nadstropju.), je pri nalogi osvojil 1 točko, v nasprotnem primeru 0 točk. Če je bila

zapisana samo število brez odgovora, se je naloga vrednotila s pol točke.


Besedilna naloga zajema odsev življenjske situacije. Učitelji, ki so nalogo rešili

uspešno, so pri reševanju uporabili izkušnje iz vsakodnevnega življenja in si pri

reševanju pomagali z grafičnim načinom in z risbo. V nalogi se pojavita logični zanki,



47

na kateri so morali biti učitelji pozorni. Prva logična zanka se pojavi pri vprašanju, v

katerem nadstropju živi Miha? Učitelji so morali biti pozorni na to, da Miha ne živi v

pritličju. Druga logična zanka pa se pojavi v delu naloge, kjer piše, da je bil Miha na

polovici poti v 8. nadstropju in ne 8 nadstropji više. Torej učitelji so morali logično

razmisliti, da je Miha na polovici poti res bil v 8 nadstropju ampak le 6 nadstropji više.

Naloga zato ne vključuje le področja uporabe znanja in pojmovnega razumevanja,

ampak v največji meri zajema področje logičnega sklepanja, da Miha ne živi v pritličju,

ampak dejansko v 2. nadstropju. Učitelji, ki so nalogo rešili neuspešno, ne izražajo

logičnega primanjkljaja, pač pa se držijo le naučenih pravil reševanja problemov, zato

so pri nalogi podali odgovor, da Kaja živi v 16. nadstropju in pri tem naredili obe zgoraj

navedeni napaki.

Osma naloga (Kordemski, 1991):

Pred seboj imate trikotnik. Vaša naloga je, da razporedite števila od 1 do 9 na

stranice trikotnika tako, da bo vsota vzdolž vsake stranice enaka 20.

Cilj: Uporaba računske operacije seštevanja pri predstavitvi kombinatorične

situacije.



48


Osma naloga je vrednotena s tremi točkami. Učitelj je za pravilno rešitev (Slika 2)

naloge osvojil 3 točke, v nasprotnem primeru 0 točk.

Slika 2: Prikaz šestih možnih kombinatoričnih situacij pri 8. nalogi.


Nalogo prištevamo pod ustvarjalno učenje matematike, saj omogoča praktično

reševanje matematičnega problema, ki ima več poti do rešitve in več možnih rešitev

(Felda in Cotič, 2012). Učitelji so bili pri nalogi izzvani z raziskovanjem matematičnega

problema, ki ima več poti do rešitve in več možnih rešitev (Slika 2). Naloga zajema

prepoznavanje kombinatoričnih skupin, torej vsot števil, pri katerih se seštevanci vzdolž

stranice ne smejo ponoviti. Naloga zahteva od učiteljev izvirne premisleke in povezave

na poti do rešitve. Učitelji, ki so nalogo rešili neuspešno, so imeli težave predvsem

zaradi omenjenega, in sicer iskanja izvirnih povezav kombinatoričnih skupin. Pod vzrok



49

za neuspešnost zato štejemo nezanimanje, nezainteresiranost in nizko motivacijo za

reševanje matematičnega problema, ki razvija strategije logičnega sklepanja v

matematičnem kontekstu. Kombinatorika spada med ključne spodbujevalce razvoja

logičnega sklepanja, saj navaja na sistematično iskanje možnih rešitev. Naloga

zahteva sposobnost hitrega računanja in sklepanja, v katero polje je treba postaviti

določeno število. Med vzroke za neuspešnost lahko prištevamo tudi pomanjkanje

izkušenj s tovrstnimi nalogami, kjer se uri hitrost računanja. Učitelji so točke izgubljali

tudi zaradi površnega seštevanja.

Večina učiteljev je nalogo reševala s strategijo poskušanja ali na grafični način s

kombiniranjem števil (Slika 3).

Slika 3: Grafični način reševanja 8. naloge s preiskovanjem kombinatoričnih skupin.

Deveta naloga (Dolinar, Felda in Željko, 2014):

Denis je imel 8 kart, oštevilčenih od 1 do 8, ter rumeno in zeleno škatlo. V rumeno

škatlo je dal 3 karte, v zeleno škatlo pa preostalih 5 kart. Ugotovil je, da je vsota števil

na kartah v obeh škatlah enaka. Kaj je zagotovo res? Obkroži.

a) Na treh kartah v zeleni škatli so liha števila.

b) Na štirih kartah v zeleni škatli so soda števila.

c) Karta s številko 1 ni v zeleni škatli.

d) Karta s številko 2 je v zeleni škatli.

e) Karta s številko 5 je v zeleni škatli.

Cilj: Grafično preiskovanje kombinatorične situacije in reševanje problema s

področja verjetnosti.



50


Deveta naloga je vrednotena z 1 točko. Če je učitelj rešil pravilno (d), je pri nalogi

osvojil 1 točko, v nasprotnem primeru 0 točk.


Učitelji so v nalogi raziskovali, na katero mesto se bodo zvrstile posamezne

kombinatorične situacije. Pri neuspešno rešenih nalogah učitelji niso ustrezno uporabili

sposobnost opazovanja, saj so poskušali ustvariti red kombinatoričnih skupin le na en

možen način in pri tem pozabili na izvedbo v različnih drugih situacijah (Slika 4). Pri

tovrstnih dejavnostih je pomembna sistematičnost pristopa reševanja, zato je večina

učiteljev pri nalogi uporabila grafični način reševanja z risbo (Slika 4). Vzrok za

neuspeh pa smo opazili tudi v površnosti pri branju, saj se vprašanje naloge glasi, kaj

je zagotovo res. Veliko učiteljev je namreč obkrožilo tudi odgovor a in e, ki ne ustreza

odgovoru na vprašanje, ki vsebuje pojem zagotovo. Nekateri so ob teh dveh odgovorih

zapisali le, ni nujno in ju ne obkrožili, kar je pravilno.



51

Slika 4: Grafični načina reševanja 9. naloge s prikazovanjem kombinatoričnih situacij.

Čeprav naloga zajema proceduralno znanje, so jo učitelji reševali najslabše, saj je

indeks težavnosti pokazal 0,30, kar pomeni, da je naloga zahtevnejša. Po pregledu

večine učbenikov in delovnih zvezkov za matematiko na razredni stopnji smo prišli do

ugotovitve, da v njih najdemo malo vsebin na temo kombinatorike. Kombinatorika

spada pod ključni spodbujevalec razvoja logičnega sklepanja, saj, kot smo že omenili,

navaja na sistematično iskanje možnih situacij glede na različne grafične prikaze tako

pri matematiki kot v življenju, kjer se pogosto srečujemo z veliko množico podatkov, ki

jih je treba urediti in jih šele nato uporabiti. Vzrok za neuspeh torej vidimo v tem, da je

naloga od učiteljev zahtevala reševanja naloge tudi v različnih drugih situacijah. Torej

upoštevanje vseh možnih kombinatoričnih situacij in ne le ene.

3.4.4 Analiza nestrukturiranega intervjuja

V nadaljevanju bomo predstavili mnenja in stališča vključenih učiteljev in odgovorili

na raziskovalni vprašanji.

Pomemben globalni cilj poučevanja matematike iz Učnega načrta za Matematiko

(2011) je doživljanje matematike kot prijetne izkušnje. Zato bi moral učitelj otroku

matematiko prikazati kot nekaj zabavnega in zanimivega, nekaj, s čimer se srečujemo

vsak dan in ne samo takrat, ko je matematika na šolskem urniku (Kosi Ulbl, 2007).

Vzrokov za dobro počutje in uspešnost pri matematiki je lahko veliko. Nekateri izmed

njih so tudi sproščeno vzdušje učitelja pri poučevanju, dobra razlaga učne snovi,

zanimiv in kreativen pouk, ki je povezan s problemi iz vsakodnevnega življenja,

raznoliki didaktični materiali in navsezadnje tudi reševanje zabavnih logičnih nalog.

V raziskavi smo prišli do ugotovitev, da učitelji razrednega pouka sledijo

spremembam v učnem načrtu na področju logike. Menijo, da je temeljni cilj logike

naučiti otroke kritičnega in samostojnega učenja. V učnem načrtu za matematiko



52

(2011) v poglavju Didaktična priporočila ciljev in vsebin najdemo zapisano, da logika in

jezik nista ločeni vsebini, ampak imata pomembno mesto v vseh matematičnih

vsebinah in tega se učitelji dobro zavedajo. V učnem načrtu za matematiko vidijo veliko

ciljev, ki se navezujejo na logiko, zato le-to uresničujejo s preoblikovanjem ciljev v

okviru nalog in dejavnostih, pri katerih je treba uporabiti logično razmišljanje za

reševanje problemov.

Pomen, ki ga dajejo učitelji razvijanju logičnega mišljenja in posledično reševanju

logičnih nalog, je različen. Menijo, da je logika pomembna v vsakodnevnem življenju,

da si brez logike težko predstavljamo življenje, opravljanje vsakodnevnih opravil,

reševanje življenjskih problemov in podobno. Z logiko naj bi bili ljudje iznajdljivi, z njeno

pomočjo naj bi sklepali, mislili, razlagali in ocenjevali, ali je neka stvar resnična ali ne.

Logika se razvija od rojstva dalje, zato učitelji menijo, da naj bi imeli starši ključno vlogo

pri tem, kako otroke spodbuditi k logičnemu razmišljanju. Učitelji menijo, da logika

pomeni splošno razgledanost, ki je osnova za razvoj logičnega razmišljanja. Učitelj 5

pravi: »Vzgoja dandanes poteka brez avtoritete, zato otroci ne znajo opravljati

vsakodnevnih opravil, za katera je potrebno osnovno razmišljanje. Pri vstopu v

osnovno šolo je pomembno osnovno mišljenje in dokler otroci ne bodo imeli osnove, ne

bodo mogli razvijati logičnega mišljenja.«

Učitelji skozi celotno šolsko leto, skozi raznovrstne vsebine pri vseh šolskih

predmetih razvijajo logično mišljenje, saj je logika prisotna povsod in ne samo pri

predmetu matematika. Logika je vključena v vsako dejavnost in v vsako nalogo.

Logično razmišljanje opazimo pri športni in likovni vzgoji, naravoslovju in tehniki ter

podobnem. Najlažje pa je logično razmišljanje razvijati pri matematiki. Razvijanje

logičnega mišljenja izvajajo vprašani učitelji prikrito, preko dejavnosti, ki so za otroke

zabavne in pri katerih nezavedno razvijajo logiko. Otroke pogosto postavljajo pred

probleme, s katerimi se morajo soočiti. Pri tem jih spodbudijo k logičnemu razmišljanju

in iskanju najustreznejših rešitev tako pri življenjskih situacijah kot pri matematičnih

problemih. Učitelj 1 navaja: »Otroke postavljam pred probleme, s katerimi se morajo

soočati in pri tem razmigati svoje možgančke«. Poudarek razvijanju logičnega mišljenja

dajejo s pomočjo različnih vaj, dejavnosti in nalog. Pravijo, da k logičnemu razmišljanju

otroke spodbudijo že pri obravnavi nove snovi in kasneje pri utrjevanju ter ponavljanju.

Večinoma logične naloge uporabijo pri skupinskem delu, kjer otrokom ponudijo

zahtevnejše, zabavne in logične nivojske naloge višje ravni ali na delovnih listih, kjer

morajo otroci za reševanje logičnih nalog uporabiti pretekle življenjske izkušnje.

Najpogosteje pa tovrstne naloge uporabljajo pri dodatnem pouku in pripravi za

tekmovanje za matematični Kenguru. Pri izbiri logičnih nalog se držijo učnega načrta za



53

matematiko, pri čemer najpogosteje uporabljajo priročnike, delovne zvezke in

učbenike, ki so potrjeni s strani Ministrstva za šolstvo. Učitelji ugotavljajo, da je logičnih

nalog v učbenikih in delovnih zvezkih, ki jih uporabljajo otroci pri pouku matematike,

premalo, zaradi česar pogosto posegajo po nalogah v različnih revijah za logiko, kot so

revija TIMSS ali zbirke nalog iz preteklih tekmovanj za matematični Kenguru. Velikokrat

pa logično razmišljanje razvijajo tudi preko praktičnih dejavnosti. Mnoge teorije (Kovač,

2004) narekujejo, kako naj učitelji spodbujajo logično mišljenje pri otrocih na določeni

stopnji. Ne smemo pa pozabiti, da so stopnje spoznavnega razvoja le povprečje, kar

pomeni, da lahko otrok posamezno stopnjo doseže prej ali kasneje. Zato mora biti

učitelj pozoren, da dejavnosti prilagodi sposobnostim otrok.

Učitelji menijo, da je razvijanje logičnega mišljenja zahtevno. Pogosto se znajdejo

pred vprašanjem, kako od otrok zahtevati, da bodo sledili postopkom, ki jih bodo

pripeljali do logičnega razmišljanja in posledično do logične rešitve. Menijo, da otroci ne

znajo razmišljati logično predvsem zaradi tega, ker se težko skoncentrirajo in ne

vztrajajo pri problemu, saj je vzgoja vse bolj permisivna. Otroke je zato treba najprej

pripeljati do tega, da razmišljajo na drugačen način, in jim pri tem ponuditi logične

naloge z enostavnimi problemi. Nato pa postopoma razvijati logično razmišljanje za

uspešno reševanje logičnih nalog z zahtevnejšimi problemi. Pri zahtevnejših logičnih

nalogah učitelji pravijo, da otroci na neki način trpijo, ker dobijo občutek, da so ujeti, in

ne znajo naprej do rešitve. Največkrat imajo zato v učbenikih, delovnih zvezkih in tudi

pri pouku preproste naloge z logičnimi problemi, ki so zelo lahko rešljive.

Učitelji se pri reševanju logičnih nalog soočajo s težavami, med katerimi so

nezanimanje, dolgočasenje, razočaranje in nerazumevanje. Zavedajo se, da točno

določene strategije za reševanje logičnih nalog ni, saj so naloge rešljive na več možnih

načinov. Otrokom omogočajo prosto pot in jih spodbujajo k strategijam, ki jim najbolj

ustrezajo. Poskušajo jih usmerjati, da so pri iskanju rešitev sistematični in čim bolj

izvirni. Učitelj 1 pravi: »Otrokom ne vsiljujem razumevanja točno določene poti logike,

ker jih na ta način postavim v neprijeten položaj pred ostalimi v razredu«. Učitelj 5 pa

navaja: »Če ima otrok napačno predstavo, še ne pomeni, da napačno razmišlja.«

Učitelji tako pri razlagi uporabljajo različna zabavna ponazorila, pot reševanja narišejo,

problem povežejo s situacijami iz vsakodnevnega življenja, s skico skicirajo enačbo ali

predstavijo problem na konkreten način. Najnovejše raziskave (Labinowicz, 2010)

kažejo ravno to, kar učitelji podpirajo; da je otrokova zmožnost reševanja nalog odvisna

od zastavljene naloge glede na njegove izkušnje, interese in informiranost. Učitelji se v

veliki meri bojijo izvajati logiko v razredu, ker so naloge iz logike rešljive na več

načinov. Menijo, da težava nastopi takrat, ko morajo otrokom razložiti postopek do



54

rešitve, saj jim samo rezultat naloge ne pove, kakšen je postopek reševanja. S tem

učitelji zatirajo logično razmišljanje pri otrocih, saj pri pouku redko posegajo po

dodatnih logičnih nalogah.

Učitelj 5 nam je zelo nazorno razložil, kako naj bi se začelo logično razmišljanje pri

reševanju določenega logičnega problema. Razloži: »Otrok pri reševanju logične

naloge misli, da je pomemben rezultat in ne proces. Večina jih vidi nalogo in pomisli, da

mora takoj priti do pravilnega rezultata. Največkrat zato naleti na težavo, kateri

postopek in katero računsko operacijo mora uporabiti za rešitev logične naloge. Če

otrok postopka ne odkrije, se začne logično mišljenje. Razmišlja, izvaja in ustvarja

skupek povezav, preko katerih bo ustvaril postopek za soočanje s problemom.«

Nekateri otroci menijo, da je matematika velika zbirka pravil in formul, ki si jih je

treba zapomniti, zato si večina oblikuje negativne vtise o matematiki. A obstaja še

druga plat matematike, ki je večina ne vidi. To je zabavna oziroma razvedrilna

matematika, ki je del matematike in obsega veliko množico problemov, ugank, iger,

prevar, domislic, trikov in nalog, ki z duhovitostjo vznemirijo otrokovo radovednost, ga

pritegnejo k reševanju in razvijanju logičnega mišljenja (Sumpter, 2015). Nekateri

učitelji so navedli, da naloge iz zbirke razvedrilne matematike poznajo. Glede uporabe

tovrstnih nalog iz zbirke razvedrilne matematike pri pouku pa niso enotnega mnenja.

Menijo, da bi bile zbirke priročne, saj jim pogosto zmanjka idej, katero logično nalogo

ali dejavnost naj vključijo v pouk. Ob pregledu nalog iz zbirk so menili, da bi bil ob

njihovem reševanju pouk matematike zanimiv in zabaven, saj bi otroku naloge

predstavljale nov izziv. Največkrat po tovrstnih zbirkah posegajo pri dodatnem pouku,

pri pripravi za tekmovanje za matematični Kenguru in pri rednem pouku le v drugem

vzgojno-izobraževalnem obdobju. Za samostojno razvijanje logike preko zbirke

razvedrilne matematike pri rednem pouku pa naj ne bi bilo časa, saj so dandanes učni

cilji, ki jih morajo otroci osvojiti, zelo obsežni. Učitelji, ki so naloge uporabili pri

pripravah za tekmovanje, so omenili, da so bili otroci zainteresirani za reševanje nalog,

saj so jim predstavljale izziv, zabavo in sprostitev. Posledično so otroci preko njih

nezavedno razvijali logično mišljenje.



55

4 SKLEPNE UGOTOVITVE

V magistrskem delu smo se osredotočili na razvitost logičnega mišljenja učiteljev

razredne stopnje v starostnem obdobju od 35 do 65 let z več kot 10 letnimi delovnimi

izkušnjami. Naš poglavitni cilj je bil ugotoviti, kako uspešni so učitelji pri reševanju

matematičnih ugank in logičnih izzivov, ki se nanašajo na področje logike, kako na

uspešnost vpliva starost učiteljev in njihov odnos do matematike ter kakšen je njihov

pogled na uporabnost tovrstnih nalog pri pouku. Šolski sistem pri pouku velikokrat od

učiteljev zahteva učenje na pamet brez razumevanja ali učenje pomembnosti

postopka, ne pa, zakaj nekaj naredimo in zakaj to deluje. Učitelji bi morali temu

nasprotovati in omogočiti pouk, ki temelji na logičnem razmišljanju. Različne naloge bi

morali postaviti v drugačne situacije, preko katerih bi otroci razvili trajnejše znanje in bi

z njihovo pomočjo učenje matematike postalo zabavno. Navsezadnje je logičen način

razmišljanja osnova za napredek in razvoj v vsakodnevnem življenju.

Poučevanje matematike je skupno doživetje učitelja in otrok, zato lahko prav

učiteljev pozitiven odnos do matematike poveča možnosti za veselje in iniciativnost pri

urah, ko je matematika na šolskem urniku. Na podlagi rezultatov smo prišli do

ugotovitve, da je povezanost med dosežki in odnosom obojestranska, saj je večina

učiteljev, ki imajo pozitiven odnos do matematike, dosegala višje rezultate. V TIMSS-u

(Japelj Pavešić, 2012) zasledimo, da je dober učitelj nekdo, ki ima veliko vsebinskega

matematičnega znanja in iz njega izhajajoče veselje. Takšen učitelj pri pouku otrokom

ponuja priložnosti, pri katerih otroci s trudom, delom in logičnim mišljenjem dosežejo

občutek navdušenja nad seboj, ko uspešno rešujejo logične probleme, ter pri tem

posledično izoblikujejo trajno veselje do matematike. Pod tovrstne priložnosti

prištevamo logične naloge iz zbirke razvedrilne matematike, s pomočjo katerih učitelj

razvije način, da otroke motivira h kreativnemu in zabavnemu pouku. Na žalost pa

veliko učiteljev nima orodja, interesa ali si ne upa poučevati logike. Na podlagi

rezultatov smo prišli do ugotovitve, da je večina učiteljev preizkus znanja rešila

uspešno, saj so prevladovale pozitivne ocene, predvsem zadostne, dobre in prav

dobre. Na podlagi rezultatov smo ugotovili, da so naloge najboljše reševali učitelji v

starostnem obdobju od 35 do 45 let, kar potrjujejo predpostavke neopiageistov o tem,

da je moč razvoja logike v tem času na višku in da s starostjo peša. Rezultati

nakazujejo ravno to, da so mlajši učitelji dosegli boljše rezultate, saj so med štiriletnim

študijem obravnavali novejšo snov, se natančneje seznanili z vsebinami pred

nastopom službe, imeli več praktičnega dela in podrobneje pogledali, kako obravnavati

določeno snov preko obnovljenega učnega načrta. Razlike v znanju glede na starost



56

pa se pojavijo tudi zaradi nenehnega preoblikovanja izobraževanja in stopenj

izobrazbe, ki se spreminjajo v skladu z bolonjsko reformo. Mlajši učitelji so imeli daljši

čas šolanja in so se seznanili z več različnimi učnimi programi pred nastopom službe

kot starejši, ki so za svoj poklic opravili le dvoletno Pedagoško akademijo. Učitelji imajo

zato možnost nadgrajevanja znanja. Tudi po pregledu Zavodovih katalogov nadaljnjega

izobraževanja in usposabljanja smo opazili, da v njih najdemo zelo malo vsebin,

povezanih z logiko. Težava je tudi v tem, da imajo učitelji zelo malo interesa za

tovrstne seminarje, ki se izvajajo glede na zanimanje. Razlog pa najdemo tudi v tem,

da je večino učiteljev strah, kako se soočiti z logiko pri urah matematike. Logika je

rešljiva na več načinov in težava nastopi pri tem, kako otrokom razložiti postopek do

rešitve, saj sam rezultat naloge ne pove, kakšen je postopek reševanja. Pri otrocih s

tem učitelji zatirajo logično razmišljanje, saj pri pouku redko posegajo po dodatnih

logičnih nalogah.

Večina učiteljev je preizkus znanja rešila uspešno, saj so prevladovale pozitivne

ocene, predvsem zadostne, dobre in prav dobre. Glede na uspešnost matematične

pismenosti (Japelj Pavešić, 2012) lahko omenimo, da se goriške šole uvrščajo na vrh

lestvice. Glede na dobljene rezultate k vzrokom za uspešnost prištevamo seznanjanje

z logiko, ki jo učitelji vključujejo v večino dejavnosti pri pouku, ter s tem postavljajo tako

otroke kot sebe pred probleme, s katerim se morajo soočiti. Učitelji si preko izvajanja

dejavnosti in nalog pri matematiki pridobivajo vedno večji nabor matematičnih

konceptov. Posledično več konceptov, kot razumejo, več jih uporabijo v novih situacijah

z matematično-logičnimi problemi. To je razvidno tudi iz načinov reševanja nalog v

preizkusu znanja, pri katerem so učitelji za pridobivanje pravilnih rezultatov uporabljali

različne koncepte, ki so jih v večini podkrepili z grafično risbo. Na uspešnost vplivata

tudi sistematičnost in natančnost branja z razumevanjem. Vzroke za neuspešnost v

večini opazimo v obliki nezanimanja, nezainteresiranosti in nizke motivacije za

reševanje matematično-logičnih problemov, saj so neuspešno rešeni preizkusi imeli

veliko nalog, pri katerih učitelji niso niti poskušali začeti reševati. Neuspeh opazimo tudi

v pomanjkanju izkušenj z večstopenjskimi problemi, ki presegajo reševanje rutinskih

problemov le preko računskih enačb. Tovrstnih problemov učitelji niso postavili v

vsakodnevno resnično situacijo, ampak so se ukvarjali s čisto matematičnimi vprašanji,

kako zastaviti ustrezno matematično enačbo. Zaradi omenjenih vzrokov je večina

učiteljev, ki so bili pri nalogi neuspešni, navedla odgovor, da ima naloga premalo

podatkov za rešljivost. Najpogostejši vzrok za neuspešno rešene naloge pri preizkusu

znanja pa je površnost tako pri izločanju posameznih pomembnih matematičnih pojmov

iz celote kot pri zmotljivosti računanja. Lahko omenimo, da vzrok za neuspeh vidimo



57

tudi v tem, da imajo učitelji vse manj izkušenj z reševanjem preizkusov znanja, kot so

jih imeli v času izobraževanja. Pri preizkusu znanja opazimo pomanjkanje spretnosti za

reševanje različnih vrst preizkusnih nalog. Z nalogo zamujajo, kar jim povzroča težave,

slabo si razporejajo čas za reševanje posamezne naloge in hitijo pri reševanju,

posledica česar je površnost.

V TIMSS-u (Japelj Pavešić, 2005) zasledimo, da reševanje logičnih nalog

zavzema pomembno mesto na področju uporabe znanja in razumevanja. Tako morajo

učitelji dobiti priložnost, da izpopolnijo svoje znanje na področju logike, da ga bodo

lažje prenašali na otroke. Z rezultati smo ugotovili, da matematično znanje iz logike

pomembno določajo učitelji s svojimi izkušnjami, izobrazbo, stališči in pristopi k

poučevanju. Zato je pomembno stalno vzdrževanje znanja učiteljev in seznanjanja z

novostmi na področju predmeta matematika. Slovenski učitelji (Japelj Pavešić, 2012)

so poročali o nadpovprečni pripravljenosti na poučevanje o številih, algebri in

geometriji. Manj pa so pripravljeni na poučevanje problemov, kjer sta logično sklepanje

in pojasnjevanje bistveni del znanja. Učiteljeva pripravljenost na poučevanje določene

matematične vsebine je povezana z njegovo izurjenostjo v procesu prenosa znanja

med otroke. Ampak glede na stagnacijo deleža otrok, ki dosegajo najvišje mejnike

matematičnega znanja, lahko sklepamo, da so učitelji premalo samozavestni in

prepričani vase za izvajanje logike, ne pa premalo izurjeni. Če pa preidemo še na svoj

šolski sistem, ki natančno opredeljuje številne zahteve, da vsi otroci dosežejo vsaj

minimalne standarde znanja, učitelji v premajhni meri dobijo priložnost, da bi se

posvetili logičnim nalogam, ki učijo otroke razmišljati samostojno. Kaj je torej vzrok za

to, da na logiki ni takšnega poudarka kot na preostalih vsebinah? Učni načrt za

matematiko (2011) namreč poudarja, da logika ni ločena vsebina, ampak se prepleta v

vse matematične vsebine in tudi v vsakodnevno življenje. Kljub temu je poudarka na

logiki zelo malo. Ob pregledu finskega kurikuluma za matematiko smo opazili, da v

njem cilji niso tako natančno določeni in opredeljeni kot pri slovenskem učnem načrtu

za matematiko ter jih je številčno veliko manj. Zato tamkajšnji učitelji tudi bolj posegajo

po drugih dodatnih vsebinah pri samem pouku, na primer po logiki. To je razvidno tudi

iz rezultatov raziskav (Japelj Pavešić, 2012), v katerih so dobro vidni nadpovprečni

dosežki finskih otrok pri matematično-logičnem znanju.

V raziskavi TIMSS (Japelj Pavešić, 2012) so raziskovali, kako pogosto se pri

pouku matematike v 4. in 8. razredu odvijajo najpogostejše univerzalne učne aktivnosti,

ki se obenem nanašajo na reševanje problemskih nalog samostojno in pod vodstvom

učitelja. Naloge so se v večini nanašale na memoriranje dejstev in postopkov ter na

logično sklepanje. V naših razredih je po raziskavi sodeč razvidno, da učitelji večjo



58

pozornost namenijo otrokovemu pojasnjevanju posamičnih ugotovitev pod vodstvom

kot celovitemu samostojnemu reševanju logičnih problemov. Tukaj opazimo povezavo

z že omenjenim, da se učitelji bojijo ali niso dovolj podkovani ali se zgolj striktno držijo

učnega načrta, ki natančno opredeljuje cilje in standarde znanja ter učiteljem ne

dopušča nikakršne svobode za spodbujanje otrok pri samostojnem reševanju. S

pomočjo intervjujev smo na podlagi dobljenih odgovorov prišli do ugotovitve, da je

pomen, ki ga dajejo učitelji razvijanju logičnega mišljenja in posledično reševanju

logičnih nalog, različen. Menijo, da je logika pomembna v vsakodnevnem življenju, da

si brez logike težko predstavljamo življenje, opravljanje vsakodnevnih opravil,

reševanje življenjskih problemov in podobno. Ugotovili smo, da učitelji čez celotno

šolsko leto, skozi raznovrstne vsebine pri vseh šolskih predmetih razvijajo logično

mišljenje, saj je logika prisotna povsod in ne samo pri predmetu matematika. Poudarek

razvijanju logičnega mišljenja, dajejo s pomočjo različnih vaj, dejavnosti in nalog.

Najpogosteje pa logične naloge uporabljajo pri dodatnem pouku in pri pripravi za

tekmovanje za matematični Kenguru. Pri tovrstnih pripravah največkrat tudi posegajo

po naloga iz zbirke razvedrilne matematike. Menijo, da so zbirke priročne, saj jim

pogosto zmanjka idej, katero logično nalogo še ponuditi učencem. Učitelji navsezadnje

menijo, da je razvijanje logičnega mišljenja zahtevno. Ugotovili smo, da se veliko-krat

znajdejo pred vprašanjem, kako od otrok zahtevati, da bodo sledili postopkom, ki jih

bodo pripeljali do logičnega razmišljanja in posledično do logične rešitve. S tem smo

potrdili, da se učitelji bojijo in niso dovolj podkovani za učenje logike.

Na podlagi pridobljenih rezultatov preizkusa znanja smo opazili, da veliko učiteljev

niti pri logičnih nalogah ne uporablja znanja o realnem svetu iz vsakodnevnega

življenja. Osnova za reševanje logičnih nalog je logično razmišljanje in ne točno

določene matematične enačbe. Torej učitelji ne izkazujejo logičnega miselnega

primanjkljaja, ki naj bi bil vzrok za težave pri reševanju logičnih nalog, temveč se držijo

nekih priučenih pravil, postopkov, formul in enačb. Zato se velikokrat pojavi problem,

kako logiko poučevati pri pouku, saj le-ta nima točno določenega postopka, ki vodi do

rešitve. Pri reševanju je treba uporabiti le izkušnje iz vsakodnevnega življenja, ki

naloge naredijo še zanimive in zabavne obenem.

Matematika kot logika je nepriljubljena, ker zahteva stalno pozornost. Če nisi

zbran, ne moreš vedeti, kaj naloga zahteva, in posledično je ne razumeš. Neha te

zanimati in s tem nastane začaran krog nezanimanja ter neznanja, iz katerega ne znaš.

Zato je pomembno, da učitelj otrokom predstavi logiko v obliki razvedrilne matematike,

ki preusmeri reševanje nalog v smer, ki nudi zabavo, užitek in popestritev pouka.



59

5 LITERATURA IN VIRI

Aiken, L. R. (2006): Human Development in Adulthood. California: Springer Science &

Business Media.

Averbach, B., in Orin, C. (1980). Mathematics: problem solving through recreational

mathematics. San Francisco: E. H. Freeman.

Bakračevič Vukman, K. (2005). Developmental Differences in Metacognition and their

Connections with Cognitive Development in Adulthood. Journal of Adult

Development, 12(4), 211–221.

Bakračevič Vukman, K. (2000). Razvoj mišljenja v odrasli dobi: kognitivni,

sociokognitivni in metakognitivni aspekt. Maribor: Pedagoška fakulteta.

Bakračevič Vukman, K. (1996). Reševanje slabo definiranih problemov v odrasli dobi:

strategije, metakognicija in relativistično mišljenje. Psihološka obzorja, 5(2), 5–18.

Batistič Zorec, M. (2014). Teorije v razvojni psihologiji. Ljubljana: Pedagoška fakulteta.

Berka, K. in Mleziva, M. (1971). Kaj je logika. Ljubljana: Cankarjeva založba.

Bolt, B. (1982). Mathematical activities. United Kingdom: Cambridge University Press.

Cartwright, K. B., Galupo, M. P., Tyree. (2009). Reliability and Validity of the Complex

Postformal Thought Questionnaire: Assessing Adults’ Cognitive Development.

Journal of Adult Development, 16(3), 183–189.

Cotič, M. in Žakelj, A. (2004). Gagnejeva taksonomija pri preverjanju in ocenjevanju

matematičnega znanja. Sodobna pedagogika, 55(1), 182–192.

Cotič, M. in Hodnik, T. (1995). O pouku matematike na začetku šolanja v novi osnovni

šoli. Matematika v šoli, 3(3), 143–157.

Čadež Hodnik, T. (2006). Matematični izzivi. Ljubljana: DZS.

Dolinar, G., Felda, D. in Željko, M. (ur.) (2014). Evropski matematični kenguru 2009–

2011. Ljubljana: DMFA–založništvo.

Domajnko, V. (2000). Leonard Euler in razvedrilna matematika. Ljubljana: Math.

Felda, D. in Cotič, M. (2012). Zakaj poučevati matematiko. Revija za elementarno

izobraževanje, 5(2/3), 107–120.

Gaber, S., Rutar Ilc Z., Lorenčič I., Nolimal F., Pevec Grm S., Ermenc K. S. in Tašner

V. (2006). Zakaj Finci letijo dlje? Nova Gorica: Educa.



60

Hafner, I. (2002). Učni načrt. Izbirni predmet: program osnovnošolskega izobraževanja.

Logika. Ljubljana: Ministrstvo za šolstvo, znanost in šport: Zavod RS za šolstvo.

Hutler, S. (2014). Grafični prikazi v vrtcu. V B. Vrbovšček, M. Domicelj, D. Belak (ur.),

Spodbujanje matematičnega mišljenja v vrtcu (str. 272–275). Ljubljana: Supra.

Japelj Pavešić, B. in Svetnik K. (2005): Izhodišča raziskave TIMSS 2007. Ljubljana:

Pedagoški inštitut.

Japelj Pavešić, B. (2012). Znanje matematike in naravoslovja med osnovnošolci v

Sloveniji in po svetu: izsledki raziskave TIMSS 2011. Ljubljana: Pedagoški inštitut.

Kalin, B. (1982). Logika i oblikovanje kritičkog mišljenja. Zagreb: Školska knjiga.

Kell, B. (2010). Problem solving in recreational mathematics. Syllabus. Pridobljeno 4. 1.

2017, http://math.cmu.edu/~bkell/21110-2010s/syllabus.pdf.

Kmetič, S. in Frobisher, L. (1996). Izzivi za mlade matematike: izzivi za učence, učitelje

in starše. Maribor: Obzorja.

Kordemski, B. A. (1991). Matematične uganke. Ljubljana: DZS.

Kosi Ulbl, I. (2007). Lahkih nog naokrog – pa čeprav z matematiko. Razredni pouk,

9(1,2), 53–59.

Košak, K. (2016). Finski zgled – mora učenje postati zabavno? Mladina, 34.

Pridobljeno 4. 1. 2017, http://www.mladina.si/176054/finski-zgled/.

Kovač, B. (2004). Znanstvene metode pri pouku matematike. Matematika v šoli,

11(3,4), 176–181.

Kubale, V. (2003). Didaktika matematike. Maribor: v samozaložbi.

Labinowicz, E. (2010). Izvirni Piaget: Mišljenje – učenje – poučevanje. Ljubljana: DZS.

Magajna, Z. (1991). Je mogoče učiti matematiko?. Obzornik za matematiko in fiziko,

43(5), 183–193.

Marchand, H. (2002). Some reflections on postformal stage. Behavioral Development

Bulletin, 11(1), 39–46.

Marinič, S. (2015). Razvijanje logičnega razmišljanja preko zabavne matematike.

Diplomsko delo. Koper: Univerza na Primorskem, Pedagoška fakulteta.

Marjanovič Umek, M. (2009). Spoznavni razvoj v zgodnjem otroštvu. V L. Marjanovič

Umek in M. Zupančič (ur.), Razvojna psihologija (str. 291–314). Ljubljana:

Znanstvenoraziskovalni inštitut Filozofske fakultete.



61

Marjanovič Umek, M. in Svetina, M. (2009). Spoznavni in govorni razvoj v srednjem in

poznem otroštvu. V L. Marjanovič Umek in M. Zupančič (ur.), Razvojna psihologija

(str. 408–427). Ljubljana: Znanstvenoraziskovalni inštitut Filozofske fakultete.

Marjanovič Umek, M. in Zupančič, M. (2009). Teorija psihičnega razvoja. V L.

Marjanovič Umek in M. Zupančič (ur.), Razvojna psihologija (str. 28–63). Ljubljana:


Musek, J. (2005). Predmet, metode in področja psihologije. Ljubljana: Filozofska

fakulteta, Oddelek za psihologijo.

Musek, J. in Pečjak, V. (1992). Psihologija. Ljubljana: DZS.

Najlepše misli o starševstvu in otrocih (2017). Za starše. Pridobljeno 4. 1. 2017,

https://zastarse.si/razno/najlepse-misli-o-starsevstvu-in-otrocih/.

National core curriculum for basic education 2014: national core curriculum for basic

education intended for pupils subject to compulsory education. (2016). Helsinki:

Finnish national board of education.

Osredkar, R. (1994). Logika ne pride sama od sebe. Življenje in tehnika: revija za

poljudno tehniko, znanost in amaterstvo, 45(1), 52–53.

Pisanski, T. in Rojko, R. (1980/81). Zanimiva matematika? Presek – lista za mlade

matematike, fizike in astronome, 8(1), 4–6.

Prokeš Perške, J. (1991). Matematika je zabava. Ljubljana: Mladinska knjiga.

Rajović, R. (2016). Kako z igro spodbujamo miselni razvoj otroka. Ljubljana: Mladinska

knjiga.

Rupnik Vec, A. (2015).STOP! Trenutek za refleksijo o veščinah kritičnega mišljenja ali

kritično (tudi o lastnem) kritičnem mišljenju v šolah. Ljubljana: Zavod RS za

šolstvo. Pridobljeno 4. 1. 2017,

http://webcache.googleusercontent.com/search?q=cache:3ndOR4yC_P4J:www.zr

ss.si/projektiess/skladisce/pkp/podprojekt3/%25C4%258Clanki/Kriti%25C4%258D

no%2520mi%25C5%25A1ljenje/stoprefkeksija%2520o%2520ve%25C5%25A1%2

5C4%258Dinah%2520kriti%25C4%258Dnega%2520mi%25C5%25A1ljenja_%25

C4%258Dlanek.doc+&cd=1&hl=sl&ct=clnk&gl=si&client=firefox-b.

Singmaster, D. (1993). The unreasonable utility of recreational mathematics.

Pridobljeno 4.1.2017, http://anduin.eldar.org/~problemi/singmast/ecmutil.html.



62

Smrtnik Vitulić, H. (2011). Spoznavanje otrok v razredu: izbrane teme iz razvojne

psihologije za izvajanje prakse. Ljubljana: Pedagoška fakulteta.

Steinberg, L., Bornstein M. H., Low Vandell D. in Rook K. S. (2010). Life-Span

Development: Infancy Through Adulthood. Florence: Cengage Learning.

Sumpter, L. (2015). Recreational Mathematics – Only For Fun?. Journal of Humanistic

Mathematics, 5(1), 121–138.

Tavčar, T. (2014). Znanje iz logike v povezavi z znanjem iz matematike pri četrtošolcih.

Diplomsko delo. Ljubljana: Univerza v Ljubljani, Pedagoška fakulteta.

Trigg Wilderman. C. (1978). What is recreational mathematics. Mathematics magazine,

51(1), 18–21.

Virčenko, N. A. (1990). Matematika v aforizmih, citatih in izrekih. Ljubljana: Društvo

matematikov, fizikov in astronomov Slovenije.

Woolfolk, A. (2002). Pedagoška psihologija. Ljubljana: Educy.

Zabret, M. (2014). Matematika v vsakdanjem življenju. V B. Vrbovšel, M. Domicelj in D.

Belak (ur.) Spodbujanje matematičnega mišljenja v vrtcu (str. 86–89). Ljubljana:

Supra.

Zupančič, M. in Svetina, M. (2009). Spoznavni razvoj v mladostništvu. V L. Marjanovič

Umek in M. Zupančič (ur.), Razvojna psihologija (str. 525–545). Ljubljana:


Zupančič, M. (2009). Spoznavni razvoj v zgodnji odraslosti. V L. Marjanovič Umek in M.

Zupančič (ur.), Razvojna psihologija (str. 678–690). Ljubljana:


Zupančič, M. (2001). Kognitivne spremembe v odraslosti. V L. Marjanovič Umek in M.

Zupančič (ur.), Razvojna psihologija: izbrane teme (str. 156–167). Ljubljana:

Oddelek za psihologijo Filozofske fakultete.

Žakelj, A. (2003). Kako poučevati matematiko: teoretična zasnova modela in njegova

didaktična izpeljava. Ljubljana: Zavod Republike Slovenije za šolstvo.

Žakelj, A. (2002). Učenec in učitelj v učnem procesu matematike. Matematika v šoli,

9(3/4), 167–174.

Žakelj, A. (2011). Učni načrt. Program osnovna šola. Matematika. Ljubljana: Ministrstvo

za šolstvo in šport : Zavod RS za šolstvo.



63

6 PRILOGE

Priloga 1: Soglasje za sodelovanje



64

Priloga 2: Preizkus znanja



65



66

Priloga 3: Intervju

Intervju za pridobivanje mnenj, pogledov in stališč učiteljev na uporabnost logike,

kot razvedrilne matematike pri pouku matematike

Vprašanja:

1. Zakaj je logika pomembna v vsakodnevnem življenju?

2. Kako dobro poznate področje Logika v Učnem načrtu za Matematiko? Kaj

znate o tem področju povedati (cilji, dejavnosti, pomanjkanje uporabe

definicije logike v učnih ciljih, večji poudarek na definiciji logike v učnem načrtu

za izbirni predmet Logika in podobnem)?

3. Kako v razredu in med šolskimi urami razvijate oziroma dajete poudarek

razvijanju logičnega mišljenja?

4. Katere in v kolikšni meri izvajate dejavnosti ter rešujete naloge s področja

logike? Katera gradiva pri tem uporabljate?

5. Katere strategije in postopke uporabljate za reševanje ter razlago logičnih

nalog? Kako se soočate s težavami in kako jih rešujete?

6. Ali poznate naloge iz zbirke razvedrilne matematike? Ali ste jih med svojim

poučevanjem na razredni stopnji kdaj uporabili? Kaj menite o uporabi tovrstnih

nalog pri pouku matematike (izboljšave, večje poseganje po tovrstnih nalogah,

zanimanje učencev, vključevanje tovrstnih zbirk pod uporabno literaturo pri

pouku in podobnem)?



67

Priloga 4: Nestrukturirani intervjuji 1.


»Logika je zelo pomembna v vsakodnevnem življenju. Brez logike si težko

predstavljam življenje in opravljanje vsakodnevnih opravil. Vključena je v vse

dejavnosti, saj je predmet kritičnega mišljenja.«

2. Kako dobro poznate področje Logika v Učnem načrtu za Matematiko? Kaj znate o

tem področju povedati (cilji, dejavnosti, pomanjkanje uporabe definicije logike v

učnih ciljih, večji poudarek na definiciji logike v učnem načrtu za izbirni predmet

Logika in podobnem)?

»Učnim ciljem in spremembam na področju logike sledim. Temeljni cilj logike je

učence naučiti razmišljati kritično in samostojno. Zavedam se, da logika ni ločena

vsebina, ampak je vpletena v vse matematične vsebine. Logiko uporabljam pri pouku v

okviru nalog in dejavnosti, pri katerih je treba uporabiti logiko. Na primer v učbeniku

imamo naloge, poimenovane Glavca, preko katerih ugotavljamo, kakšna sta znanje in

napredek učencev. Definicije logike v učnih ciljih, ki jih navajamo v letne in dnevne

priprave, ne uporabljamo. Navsezadnje v vseh ciljih v učnem načrtu za Matematiko

opazimo veliko povezav z logiko.«

3. Kako v razredu in med šolskimi urami razvijate oziroma dajete poudarek razvijanju

logičnega mišljenja?

»Skozi celoten pouk dajem poudarek logičnemu mišljenju. Že pri sami razlagi

snovi otroke soočam s problemi in jih na ta način spodbudim k logičnemu razmišljanju.

Matematika kot predmet spodbuja logično razmišljanje preko vseh učnih vsebin, torej

pri otrocih nezavedno razvijam logično mišljenje tudi preko drugih nalog in dejavnosti,

ki jih uporabljam pri urah. Logika pa je navsezadnje predmet vsakodnevnega življenja

in tudi drugih šolskih predmetov, na primer športne vzgoje (primer: V razredu imam 16

učencev, spodbudim jih, naj se razdelijo v skupine po 4. Nato pa jim postavim

vprašanje, kako bi se razdelil v skupine, če bi jih bilo 19?), naravoslovja in tehnike

(poskusi), likovne vzgoje (delitev risalnega lista na tri enake dele s prepogibanjem) in

podobnega. Logiko torej spodbujam pri vseh šolskih predmetih preko raznovrstnih

nalog in dejavnosti. Seveda pa je najlažje razvijati in spodbujati logično mišljenje pri

matematiki (igra števil).«

4. Katere in v kolikšni meri izvajate dejavnosti ter rešujete naloge s področja logike?

Katera gradiva pri tem uporabljate?

»Logiko spodbujam med vsemi šolskimi urami. Otroke pri pouku rada postavim

pred probleme, s katerimi se morajo soočati in pri tem razmigati svoje možgančke.

Logične naloge vključujem v nivojske dejavnosti, na delovne liste (označim z utežjo),v



68

preizkus znanja za pridobitev dodatnih točk in posledično višjo oceno ter v dodatni

pouk. Po nalogah posegam iz različnih samostojnih učbenikov za matematiko, ki jih

imamo na voljo v šolski knjižnici, iz zbirk nalog za tekmovanje za matematičnega

Kenguruja ali iz revije TIMSS, ki je dostopna na internetu. Logične naloge iz omenjenih

gradiv so drugačne od nalog, ki jih dobimo v naših učbenikih ali delovnih zvezkih, ki jih

uporabljamo pri urah matematike. Njihova tematika je večino vseživljenjska, saj se

otrok preko njih sooča s problemi iz vsakodnevnega življenja. Naloge le preuredim

tako, da jih prilagodim sposobnostim učencev (števila, formule in podobno).«

5. Katere strategije in postopke uporabljate za reševanje ter razlago logičnih nalog?

Kako se soočate s težavami in kako jih rešujete?

»Na predmetni stopnji se strategij za reševanje logičnih nalog učijo. Na razredni

stopnji otroke učimo, da naj si pri reševanju pomagajo z risanjem. Ampak vsak otrok

dobi drugačno pot do rešitve, torej za reševanje logičnih nalog ne obstaja točno

določena strategija. Vsak otrok ima možnost, da nariše in razloži svojo pot do rešitve,

čeprav le-ta ni nujno pravilna. Takrat nastopi razlaga učitelja, ki ji sledijo otroci, ki jih

tovrstno področje zanima, drugi pa le pokimajo z glavo, da razumejo. Čeprav vem, da

ne razumejo, jih ne mučim z nadaljnjo razlago, saj imajo le-ti učne težave že pri lažjih

problemih. Otrokom ne vsiljujem razumevanja logike, ker jih na ta način izpostavim v

neprijetne položaj pred drugimi v razredu. Velikokrat otrok, ki je logično nalogo rešil

pravilno, ne zna razložiti poti do rešitve drugim. Za učitelja nastopita težava in strah, saj

mora v kratkem času razvozlati otrokovo logično pot in jo razložiti drugim. Prav zaradi

te težave učitelji zatiramo razvijanje logičnega mišljenja, saj nas je strah, da so otroci

bolj razgledani na področju logike.«




zanimanje učencev, vključevanje tovrstnih zbirk pod uporabno literaturo pri pouku

in podobnem)?

»Za naloge iz zbirke razvedrilne matematike nisem še slišala. Logične naloge

uporabljam pri urah matematike za popestritev pouka in za izziv otrokom, ki pokažejo

interes za reševanje (nadarjeni učenci). Velikokrat učiteljem zmanjka idej, katero

nalogo ali dejavnost naj vključimo, da popestrimo pouk. Naloge iz tovrstnih zbirk bi

nadarjenim in ostalim učencem predstavljale izziv in zabavo, posledično pa bi nevede

razvijali logično mišljenje.«



69

Priloga 5: Nestrukturirani intervju 2.


»Logika pomaga pri reševanju vsakodnevnih situacij in problemov. Z logiko so

ljudje iznajdljivi, z njeno pomočjo sklepajo, mislijo, razlagajo, dokazujejo in ocenjujejo,

ali je neka stvar resnična ali ne. Z logiko organiziramo stvari.«





»Učnim ciljem in spremembam na področju logike sledim. Logika ni ločena

vsebina, ampak je vpletena v vse učne vsebine matematike. Definicije logike v učnih

ciljih, ki jih navajamo v letne in dnevne priprave, ne uporabljamo. Večjega poudarka na

to področje nismo nikoli dajali. Poznam ga toliko, kolikor ga moram, da poučujem v prvi

triadi.«



»Matematika na splošno uči logično razmišljanje skozi raznovrstne vsebine pri

predmetu matematika. Poudarek logičnemu mišljenju dajem preko dejavnosti, ki

zajemajo probleme iz vsakodnevnega življenja in zahtevajo logičnega razmišljanja ter z

uporabo različnih logičnih nalog na delovnih listih.«



»Pri obravnavi matematične snovi dajem poudarek logičnemu mišljenju pri razlagi,

utrjevanju in ponavljanju. Uporabljam dejavnosti z nivojskimi nalogami, med katerimi

logične naloge spadajo v najvišjo raven, ali na delovnih listih ponudim učencem nalogo,

pri kateri morajo uporabiti pretekle izkušnje in seveda logiko. Ko posegam po nalogah,

se držim učnega načrta, izhajam iz delovnih zvezkov, učbenikov in priročnikov za

učitelje. Občasno poiščem dodatne vaje tudi v drugi literaturi, kot sta revija TIMSS ali

zbirka nalog za tekmovanje za matematičnega Kenguruja.«



»Strategije za reševanje logičnih nalog ni. Za lažjo razlago pa uporabljam različna

ponazorila ali pa učencem pomagam rešiti nalogo s pomočjo risanja«






70


in podobnem)?

»Da zbirke poznam, vendar jih že dolgo nisem uporabljala. Uporaba tovrstnih

nalog bi popestrila pouk, saj ga naredi zanimivega in zabavnega. Ampak v rednem

programu imamo učitelji zelo malo časa, da bi ure matematike odstopila za dejavnosti

in naloge, ki razvijajo logično mišljenje«



71



»Z logiko si človek olajša marsikatero delo in odločitev. Logika nam omogoča

reševati probleme. Z logiko hitreje pridemo do rešitve.«





»Učnim ciljem v povezavi z logiko sledim. Seznanjena sem, da je logika vpletena v

vse matematične vsebine, zato definicija logika med učnimi cilji ni nikjer točno

definirana. Logiki je v učnem načrtu namenjen manjši delež ur. Cilji in dejavnosti

zajemajo vsebine o množicah, različnih prikazih, relacijah med predmeti, lastnostih

predmetov in podobnem.«



»Otroke spodbujam k logičnemu razmišljanju in iskanju najustreznejših rešitev pri

življenjskih situacijah; ne le pri matematiki, ampak tudi pri drugih šolskih predmetih, kot

so športna vzgoja (smer zaleta, delitev v skupine), likovna vzgoja (mešanje barv, pritisk

risala za ponazoritev različno močnih sledi), naravoslovje (izvajanje poskusov,

izdelovanje tehničnih predmetov) in podobno. Logiko pa je najlažje obravnavati pri

matematiki, kjer se lahko otroci igrajo s števili, liki, mrežami in pri tem posledično

razvijajo logično mišljenje.«



»Skozi celo šolsko leto dajem poudarek logiki. Izvajam jo prikrito, preko dejavnosti,

ki so za otroke zabavne in pri katerih nezavedno razvijajo logično razmišljanje. V okviru

ur matematike je v učnem načrtu logiki namenjenih malo ur. Torej logiko izvajam preko

dejavnosti, kjer otroci iščejo podobnosti, manjkajoči člen, skupno lastnost predmetov in

podobno. Večinoma uporabljam naloge tako, da otroci sami poiščejo strategijo

reševanje logičnih nalog s pomočjo risanja.«



»Strategije za reševanje logičnih nalog ni. Otrokom omogočam prosto pot in jih

spodbujam k strategijam, ki jim najbolj ustrezajo, saj so nekateri slušni, drugi vidni tipi.

Poskušam jih usmerjati, da so pri iskanju rešitev sistematični in čim bolj izvirni. Če sami

niso uspešni, jim pomagam z vprašanji oziroma narišem le pot do rešitve.«



72





in podobnem)?

»Za naloge iz zbirke razvedrilne matematike nisem še slišala. Poznam pa zbirko

Računanje je igra. Naloge uporabljam v okviru dodatnega pouka. Uporaba tovrstnih

nalog bi pouk popestrila in ga naredil zanimivega. Menim pa, da so v 1. vzgojno-

izobraževalnem obdobju za otroke najprimernejše konkretne dejavnosti s konkretnim

materialom. Torej bi bile logične naloge primernejše za 2. vzgojno izobraževanje ali za

nadarjene otroke pri dodatnem pouku. Za učence, ki imajo učne težave, bi bili delovni

zvezki s tovrstnimi nalogami velika obremenitev.«



73



»Logika pomeni splošno razgledanost, ki zajema vsakodnevno razmišljanje s

pomočjo katerega opravljamo vsakodnevna opravila. Logika se pravzaprav razvija od

rojstva dalje. Torej jo moramo razvijat vse življenje.«





»Učnim ciljem v povezavi z logiko sledim. V Učnem načrtu za Matematiko redko

najdemo cilj, povezan točno z definicijo logike. Šele v 6. razredu na šoli začnemo z

izbirnim predmetom Logika, pri katerem v Učnem načrtu omenjenega predmeta

najdemo v ciljih večji poudarek o razvijanju logičnega razmišljanja. Na razredni stopnji

učitelji velikokrat prilagodimo cilje tako, da vanje vključimo besedno zvezo razvijanje

logičnega razmišljanja, in sicer takrat, ko pri pouku poučujemo problemske naloge.«



»Vse je odvisno od učitelja. Pri otrocih ves čas pouka razvijamo logično mišljenje,

saj je logika vključena v vsak šolski predmet, v vsako dejavnost in v vsako nalogo. Kot

učitelj razvijam logično mišljenje na način, da otroci sami razmišljajo, kako rešiti

problem, pred katerim se znajdejo. Ampak pri razvijanju logičnega mišljenja se

velikokrat pojavi problem že v otroštvu. Logično mišljenje se razvija od rojstva naprej,

zato je od staršev odvisno, kako pri otroku spodbujajo logično mišljenje. Le-to pa je pri

starših zanemarjeno, saj so otroci na žalost razvajeni in dobijo vse na pladnju. Starši

jim ne omogočajo, da razmišljajo s svojo glavo. Otroci še vsakodnevnih stvari niso

sposobni reševati sami, kako naj potem rešujejo logične naloge, ki so v večini

povezane z življenjskimi problemi. Opažam pa, da otroci uporabijo logiko le, ko je za

njih to potrebno, ustrezno in koristno.«



»Dejavnosti v povezavi z logiko pri pouku izvajam le, če med pogovorom nanese v

to smer in ko se pripravljamo za tekmovanje za matematičnega Kenguruja. Pri tem

posegam po zbirkah, v katerih so objavljene naloge preteklih tekmovanj.«





74

»Naloge rešujemo preko konkretnega oziroma simboličnega nivoja. Predvsem

uporabljamo primere iz prakse. Torej naloge razlagam na način, da problem povežemo

s primerom iz vsakodnevnega življenja. Velikokrat uporabljam strategijo izločanja in

poskušanja, in sicer s poskušanjem razmišljamo, ali je rešitev pravilna, logična in

izvedljiva.«





in podobnem)?

»Naloge poznam in jih največkrat uporabljam pri pripravi na tekmovanje za

matematičnega Kenguruja. Priprave potekajo med urami matematike, zato naloge

rešujejo vsi otroci. Tovrsten pouk je za otroke drugačen, zanimiv in zabaven, saj jim

naloge predstavljajo nov izziv. Naloge uporabljam tudi pri dodatnem pouku, pri katerem

otroci želijo osvojiti novo in zahtevnejše znanje matematike. Preko svojih izkušenj

glede na poučevanje v različnih razredih lahko omenim, da je v nižjih razredih lažje

odstopiti in posvetiti kakšno šolsko uro logičnim nalogam kot v višjih razredih, ko si zelo

omejen zaradi učnega načrta. Pogosto, ko sem naloge iz zbirke razvedrilne

matematike uporabila na učnih listih, sem s strani otrok dobila pozitiven odziv,

predvsem od tistih, ki so bili uspešnejši. Otroci so bili zainteresirani za reševanje

tovrstnih nalog, saj so jim predstavljale izziv, zabavo in sprostitev.



75



»Logika je pomembna za prizemljitev. Ni relativna, zato se je ne da dokazovati.

Pomaga nam pri prvem in pravem stiku z realnostjo. Današnji otroci pa tega nimajo,

nimajo stika z realnostjo. Vzgoja poteka tako, da otroci ne občutijo posledic svojih

dejanj, ki zahtevajo za njihovo izvajanje logično mišljenje. Starši otrokom dajejo vse.

Avtoritete ni, zato otroci ne znajo opravljati niti vsakodnevnih opravil, za katera je

pomembno le osnovno razmišljanje, kaj šele, da bi logično razmišljali. S tem pa

izobraževalna moč pada, saj učitelji težko učimo otroke, ki nimajo razvitega osnovnega

mišljenja. Pri vstopu v osnovno šolo je namreč le-to pomembno in dokler otroci ne

bodo imeli osnove, ne bodo mogli razvijati logičnega mišljenja.«





»Ne ravno dobro. Vem le, da se v učnem načrtu za matematiko cilji, ki vsebujejo

definicijo problemska naloga, navezujejo tudi na logično mišljenje.«



»Logično mišljenje je nekoliko zahtevno. Največkrat se pojavi problem, če

spodbujamo logično mišljenje pri otrocih, ki nimajo dobro razvitega osnovnega

mišljenja oziroma osnovnih navad, ki jih osvojijo v vsakodnevnem življenju preko

poskusov in napak. Pri takšnih otrocih rezultat logičnega mišljenja ni pozitiven dokaz,

ampak je zgolj sanjarjenje. Logično mišljenje je proces, je razmišljanje. Torej logične

naloge in dejavnosti, ki zahtevajo logiko, lahko spodbujajo logično mišljenje ali pa ga

zavirajo, če otrok nima razvitega osnovnega mišljenja. Pri tem se nam poraja

vprašanje, kako od otroka zahtevati, da bo sledil postopkom, ki ga bodo pripeljali do

logičnega mišljenja in posledično do logične rešitve. Otroci dejansko ne znajo

razmišljati logično predvsem zaradi tega, ker se ne znajo skoncentrirati, vztrajati pri

problemu in podobno. Otroke je zato treba najprej pripeljati do tega, da razmišljajo na

način, ki ga poznajo, in jim pri tem ponuditi logične naloge z enostavnimi problemi.

Nato pa postopoma razvijati logično razmišljanje za uspešno reševanje logičnih nalog s

težjimi problemi. Pomembno je tudi, da zna učitelj logično razmišljati, saj sicer tega ne

bo mogel razvijati pri svojih učencih. Važno je, kako misliš, ne pa, kaj počneš. Če ima

otrok napačno predstavo, še ne pomeni, da napačno razmišlja. Zato se učitelji v veliki

meri bojijo izvajati logiko v razredu, saj je logika rešljiva na več načinov. Problem je



76

torej, kako otrokom razložiti postopek do rešitve, saj ti sam rezultat ne pomaga. Tako

učitelji zatiramo logično razmišljanje pri učencih, zaradi česar v šoli ni napredka in ni

vključitve logičnih nalog v pouk matematike.«



»Odrasli razmišljajo na en način, otroci na drugi. Otrok misli, da je pomemben

rezultat in ne proces. Torej vidi nalogo in pomisli, da mora takoj priti do pravilnega

rezultata. Pri tem naleti na težavo, katero računsko enačbo mora uporabiti, po katerem

postopku mora rešiti nalogo. Če otrok postopka, po katerem mora rešiti logično nalogo,

ne dobi, se začne logično mišljenje, saj mora pri tem razmišljati, izvajati in ustvarjati

skupek povezav, s pomočjo katerih bo ustvari postopek za soočanje s problemom v

logični nalogi. Iz izkušenj vem, da otroci niso zmožni oziroma niso pripravljeni na

soočanje z logičnimi problemi. Največji vzrok za to je, da so straši vse preveč čustveni,

zagovarjajo svojega otroka in mu ponudijo vse na pladnju, da mu ni treba trpeti grozot

šole. V osnovni šoli učenje logičnega razmišljanja seveda ni ključna stvar, pomembno

je naučiti otroke, naj vztrajajo pri problemu in ga ne zatirajo. Navsezadnje se otrok že

od rojstva naprej seznanja z logičnim mišljenjem, ki je del vsake dejavnosti, zato to ni

nič novega zanj. Otroci torej ne znajo logično razmišljati predvsem zaradi staršev, ki jim

lajšajo bolečino pred tem razmišljanjem.«



»Logične naloge so rešljive na več načinov, ni točno določenega postopka, ki nam

pove, kako poteka logično mišljenje pri reševanju problemske naloge. Če jo že

uporabimo, je strategija enostavna. Pomembno je branje z razumevanjem, ki mu sledi

ugotavljanje pomembnih podatkov (kaj naloga od nas zahteva). Sledi skica s katero

prikažemo formulo in končamo z reševanjem. S skico torej dokažemo, da smo

ugotovili, kaj potrebujemo za rešitev naloge. Pri reševanju logičnih nalog učenci,

velikokrat naletijo na težavo, ko problema ne znajo rešiti, zato nalogo narišemo. Pri tem

se začne logično mišljenje, ko učenci ustvarjajo skupek povezav in besedilo/podatke

narišejo. Zato se težave največkrat pojavijo pri skici. Učenci poznajo strategijo, saj

pozorno preberejo podatke, podčrtajo pomembne podatke, nato pa se pri skici

zaustavi. Kot smo že omenili, se pri skici začne logično mišljenje, učenci pri tem trpijo,

se ne počutijo lagodno, saj imajo občutek, da so zapečateni in ne znajo naprej do

rešitve. Največkrat imajo zato v učbenikih, delovnih zvezkih in tudi pri pouku enostavne

naloge z logičnimi problemi, ki so zelo lahko rešljive. Ampak to je napaka. S tem smo

otroke naučili, da pri težjih logičnih nalogah hitro obupajo.«



77





in podobnem)?

»Zbirke poznam in naloge so zelo poučne, saj je veliko nalog rešljivih z risanjem in

ne preko računskih enačb. Pri pouku v večini rešujemo le logične naloge, ki so v

učbenikih. Naloge iz zbirke razvedrilne matematike uporabljam le pri dodatnem pouku.

Tovrstne naloge so zabavne in poučne, saj je pri njih pomemben način razmišljanja, ne

pa rezultat. Naloge so sestavljene na takšen način, da so stvari med seboj povezane

na logičen način, zato velikokrat ne zahtevajo računskih enačb ampak zgolj

predstavljivo skico, ki nas pripelje do rešitve.«

Pogledi uciteljev razrednega pouka na uporabnost …...ZAHVALA Zahvaljujem se mentorici prof. dr....

Documents

Transcript of Pogledi uciteljev razrednega pouka na uporabnost …...ZAHVALA Zahvaljujem se mentorici prof. dr....