Poglav e 3 - Катедра за аутоматско управљање Машински...

Poglave 3

Kompleksni i frekventnilik izlaza idealnogodabiraqa

31

32 Poglave 3. Kompleksni i frekventni lik izlaza idealnog odabiraqa

3.1 Laplasova i Furijeova transformacija iz-

laznog signala idealnog odabiraqa

Definicija 3.1 Leva Laplasova transformacija izlaznog signala ide-alnog odabiraqa naziva se kompleksni lik izlaznog signala idealnog oda-biraqa i oznaqava sa X (s) :

X (s) = L {x (t)} =+

0

x (t) estdt

Napomena 3.2 s = + j, R, R, j =1.

Digresija 3.3 Zaxto leva Laplasova transformacija?! Vidi: Milojkovi,B., Gruji, .: Automatsko upravae, str.162, 163.

Definicija 3.4 Furijeova transformacija izlaznog signala idealnog oda-biraqa naziva se frekventni lik izlaznog signala idealnog odabiraqa ioznaqava sa X (j) :

X (j) = F {x (t)} =

x (t) ejtdt =

0

x (t) ejtdt.

Napomena 3.5 x (t) = 0 x (t) = 0, t < 0.

3.1.1 Prvi oblik kompleksnog i frekventnog lika izlaz-nog signala idealnog odabiraqa

Posmatra se idealni odabiraq prikazan na slici 3.1.

Tx t( ) x t( )*

Slika 3.1: Idealni odabiraq

Za dobijae prvog oblika kompleksnog i frekventnog lika izlaznogsignala idealnog odabiraqa prikazanog na slici 3.1 koristi se sledeioblik tog izlaznog signala:

x (t) =

k=0

x (t) (t kT ) .

Prema definiciji primeuje se Laplasova transformacija:

X (s) = L {x (t)} = L{

k=0

x (t) (t kT )}

= L{

k=0

x (kT ) (t kT )}

.

3.1. Laplasova i Furijeova transformacija 33

Koristei osobinu linearnosti Laplasove transformacije dobija se:

X (s) =

k=0

x (kT )L { (t kT )} =

k=0

x (kT ) ekTs.

Konaqno, prvi oblik kompleksnog lika je:

X (s) =

k=0

x (kT ) ekTs.

Formalnim zameivaem s = j u zadem izrazu dobija se prvi oblikfrekventnog lika izlaznog signala idealnog odabiraqa:

X (j) =

k=0

x (kT ) ejkT.

3.1.2 Drugi oblik kompleksnog i frekventnog lika iz-laznog signala idealnog odabiraqa

Za dobijae drugog oblika kompleksnog i frekventnog lika izlaznogsignala idealnog odabiraqa koristi se sledei oblik tog izlaznog sig-nala:

x (t) = x (t) (t) .

Po definiciji primeuje se Laplasova transformacija:

X (s) = L {x (t)} = L {x (t) (t)} =

0

x (t) (t) estdt.

Digresija 3.6 a) Laplasova transformacija funkcije (t) i b) Prikazfunkcije x (t) preko enog p kompleksnog lika X (p)

a) Laplasova transformacija funkcije (t) :

L { (t)} =

0

(t) estdt =

0

[

k=0

(t kT )]

estdt =

=

0

[

k=0

(t kT ) est]

dt =

k=0

0

(t kT ) estdt

=

=

k=0

ekTs = 1 + eTs + e2Ts + + ekTs + = 11 eTs

Posledi rezultat je suma geometrijskog reda ali samo pod uslovomda je egov koliqnik q = eTs takav da je:

eTs

< 1 =

e(+j)T

< 1 =

eT ejT

= eT < 1 =


1

eT< 1 = eT > 1.

Poxto je T po svojoj prirodi pozitivno sledi da je funkcija eT > 1za > 0 odnosno Re s > 0 xto je isti zakuqak. Na slici 3.2 jeprikazana funkcija eT .

1

0

s

esT

Slika 3.2: Funkcija eT

Napomena 3.7 Suma geometrijskog niza

a + aq + aq2 + + aqn1 = a (qn 1)

q 1

Suma geometrijskog reda

a + aq + aq2 + + aqk1 + = a1 q .

q je koliqnik u jednom sluqaju geometriskog niza a u drugom sluqajugeometrijskog reda.

b) Prikaz funkcije x (t) preko enog p kompleksnog lika X (p)

X (p) = L{x (t)} =+

0

x (t) eptdt =

x (t) = L1 {X (p)} = 12j

c+j

cj

X (p) eptdp.

Povratak na glavni tok izvoea!

X (s) =

0

x (t) (t) estdt =

=

0

1

2j

c+j

cj

X (p) eptdp

(t) estdt =


=1

2j

c+j

cj

X (p)

0

(t) e(sp)tdt

dp =

=1

2j

c+j

cj

X (p)L { (t)} dp =

=1

2j

c+j

cj

X (p)1

1 e(sp)T dp = X (s)

Imajui u vidu digresiju 3.6, uslov da u zadem izrazu Laplasovatransformacija funkcije (t) ima zatvoreni oblik 1

1e(sp)Tje:

Re (s p) > 0 = Re s Re p > 0 = Re s > Re p!

Dae transformacije posledeg izraza zasnivaju se na Koxijevojteoremi qija primena se bazira na pretpostavci 3.9.

Napomena 3.8 Koxijeva teorema o ostacima glasi

f (z) dz = 2i

k

=1

Res f (z)z=z

.

Pretpostavka 3.9 Kompleksni lik X (p) vremenski neprekidnog signalax (t) je realna racionalna funkcija kompleksne promenive p tako da je:

1. stepen polinoma u imeniocu vei od stepena polinoma u brojiocu za2 ili vixe,

2. realni delovi svih polova funkcije X (p) su negativni.

Posledica 3.10 Kao posledice pretpostavke 3.9 pojavuje se sledee:

funkcija x (t) je ograniqena i x (t) 0 za t (vidi: Milojkovi,B., Gruji, . Automatsko upravae, strana 175),

mogue je razdvojiti polove funkcija X (p) i 11e(sp)T

u ravni p pra-

vom = c < 0, c ],+[, apscisa konvergencije, kao xto jepokazano na slici 3.3,

vrednost integranda zadeg izraza se ne mea du polukruga u besko-naqnosti prema slici 3.3.

Digresija 3.11 Odreivae polova funkcije 11e(sp)T

1 e(sp)T = 0 = e(sp)T = 1


s=c0

Slika 3.4: Funkcija e1T

sin1T = 0 = 1T = k, k = 0,1,2,3,

e1T cos k = 1 = e1T (1)k = 1 (3.1)

e1T = 1 = 1T = 0 = 1 = 0 (3.2)


Na osnovu izraza 3.1 sledi:

k = 2n, n = 0,1,2,3, =

1T = 2n, n = 0,1,2,3, 1T = 2k, k = 0,1,2,3, =

1 =2k

T(3.3)

Na osnovu izraza 3.2 i 3.3 sledi:

w = s p = =01 + j1 = j2k

T, k = 0,1,2,3, =

pk = s j2k

T, k = 0,1,2,3,

pk = s + j2k

T, k = 0,1,2,3,


X (s) =1

2j

c+j

cj

X (p)1

1 e(sp)T dp =

=1

2j

X (p)1

1 e(sp)T dp =

= 12j

X (p)1

1 e(sp)T dp =

= 12j

{

j2

Res

[

X (p)1

1 e(sp)T]

}

=

= 12j

{

j2

X (p)Res

[

1

1 e(sp)T]

}

Digresija 3.12 Odreivae rezidijuma u polovima funkcije 11e(sp)T

Res1

1 e(sp)T

p=pk

=1

ddt

[

1 e(sp)T]

p=pk

=

=1

Te(sp)T

p=s+j 2kT

=1

Tej2k =

=1

T(

cos 2k=1

+ jsin 2k=0

) =1

T



X (s) = (

1T

) +

k=

X (p)

p=pk=s+j 2k

T

=

=1

T

+

k=

X

s + jk2

T=0

= L {x (t)} = L+ {x (t)}

U sluqaju da deo 1. pretpostavke 3.9 nije ispuen (stepen polinomau imeniocu je vei od stepena polinoma u brojiocu za 1 a ne za 2 ilivixe) onda je:

L+ {x (t)} = 12x

(

0+)

+ L {x (t)} =

=1

2x

(

0+)

+1

T

+

k=

X

s + jk2

T=0

.

Drugi oblik frekventnog lika izlaznog signala idealnog odabiraqase dobija formalnom zamenom s sa j u prethodnom izrazu:

X (j) =1

T

+

k=

X [j ( + k0)] .

3.1.3 Trei oblik kompleksnog i frekventnog lika izla-znog signala idealnog odabiraqa

X (s) =1

2j

c+j

cj

X (p)1

1 e(sp)T dp

Za dobijae treeg oblika kompleksnog i frekventnog lika izlaznogsignala idealnog odabiraqa, za razliku od drugog oblika, integracijase vrxi du konture koja je prikazana na slici 3.5.

X (s) =1

2j

1

X (p)1

1 e(sp)T dp =

=1

2j

{

j2

Res

[

X (p)1

1 e(sp)T]

1

}

=

=1

2j

{

j2

X (p) Res1

1 e(sp)T

1

}

=

3.2. Periodiqnost komplesnog lika X (s) 39

s=c


Dokaz. Neka je s proizvoan kompleksni broj a proizvoan ceo broj

X (s + j0) =1

T

k=

X (s + j0 + jk0) =

=1

T

k=

X [s + j (k + ) 0]

Uvodi se smena m = k + , k = m , k + = m + =

X (s + j0) =1

T

m=

X (s + jm0) = X (s)

Posledica 3.17 Posledica periodiqnosti kompleksnog lika X (s)

ako je s0 (s) nula (pol) funkcije X (s) onda je s = s0 + jk0 (s =s + jk0) takoe nula (pol) funkcije X

(s),

funkcija X (s) ili nema nulu (pol) ili ima beskonaqno mnogo nula(polova) sa istim realnim delom.

Navedeno u posledici 3.17 je ilustrovano na slici 3.6.Otvoreni osnovni pojas je definisan sa:

P0 ={

s : s = + j, R,02

< 0.

Odabiraq stvara vixe uqestanosti. U izlaznom signalu x (t) sepojavuju vixi harmonici.

3.3.2 Nisko propusni priguxivaq (filter)

Definicija 3.18 Nisko propusni priguxivaq (filter) je sistem koji ula-zni periodiqni signal sa uqestanoxu do odreene uqestanosti p pro-puxta bez promene amplitude a sa uqestanostima preko uqestanosti ppotpuno priguxuje.

Karakteristika niskopropusnog priguxivaqa (filtra) je prikazanana slici 3.9.

wp

w

wp- 0

A( )w

1

Slika 3.9: Karakteristika idealnog niskopropusnog priguxivaqa (fil-tra)

Neka izlazni signal idealnog odabiraqa ulazi u niskopropusni pri-guxivaq kao xto pokazuje strukturni dijagram na slici 3.10.

a) U sluqaju kada je frekventni spektar signala x (t) kao xto je prika-zano na slici 3.7, signal xp (t) ima jednak frekventni spektar sasignalom x (t), xto znaqi da se na osnovu signala xp (t) moe vernoreprodukovati signal x (t).

3.3. Periodiqnost frekventnog lika X (j) 43

T x t( )*x t( ) X t( )p

Nisko propusni prigu{iva~ sa

(propusni opseg je )] , [

wpw02w0

2

=w02

-

Slika 3.10: Redna veza idealnog odabiraqa i niskopropusnog filtra

w0

2

w0

2- 0

X j( )w

w- * w*

w

Slika 3.11: Frekventni spektar ulaznog signala idealnog odabiraqapri > 02

b) Neka je frekventni spektar signala x (t) prikazan na slici 3.11.

Tada su frekventni spektri signala x (t) i xp (t) prikazani naslikama 3.12 i 3.13, sledstveno.

w0

2

w0

2- 00

w- 0w

w

X j( )w*

Slika 3.12: Frekventni spektar izlaznog signala idealnog odabiraqaza sluqaj > 02

Oqigledno frekventni spektar signala x (t) i xp (t) se razlikujuxto znaqi da se na osnovu signala xp (t) ne moe reprodukovatisignal x (t) jer se gubi mnogo informacija prilikom vremenskediskretizacije. Za reprodukciju ulaznog signala x (t) neophodnoje da:

02

, je takvo da |X (j)|}

> 0 || < = 0 || .

3.3.3 Xenonova teorema (Teorema odabiraa)

Teorema 3.19 Ako frekventni spektar |X (j)| ulaznog signala x (t) ide-alnog odabiraqa ne sadri uqestanosti vee po modulu od jedne polovine


w0

2

w0

2- 0

X j( )w

w

p

Slika 3.13: Frekventni spektar izlaznog signala nisko propusnog fil-tre xp (t) za sluqaj

> 02

uqestanosti odabiraa tj.

|X (j)| = 0, || 02

onda je taj signal potpuno odreen izlaznim signalom tog odabiraqa.

Svaki diskretan sistem treba da bude takav da je ispuena Xenonovateorema, i ona je osnov za odreivae periode odabiraa.

3.3.4 Fiziqko tumaqee Xenonove teoreme kroz primer

Neka je ulazni signal idealnog odabiraqa

x (t) = eth (t) , ]0,+[ = |X (j)| = 12 + 2

.

Ulazni signal idealnog odabiraqa x (t) je prikazan na slici 3.14

0

1

x t( )

t

Slika 3.14: Funkcija x (t) = eth (t)

Frekventni spektar ulaznog signala idealnog odabiraqa u ovom pri-meru je prikzan na slici 3.15

Oqigledno da frekventni spektar ovog ulaznog signala, kao xto jesluqaj i sa ostalim fiziqki ostvarivim signalima, nema ograniqenuuqestanost .

3.3. Periodiqnost frekventnog lika X (j) 45

w

X j( )w

0

Slika 3.15: Frekventni spektar ulaznog signala idealnog odabiraqa saslike 3.14

Zbog toga se ovaj signal ne moe taqno reprodukovati na osnovuizlaza iz idealnog odabiraqa. Da bi se postigla xto vea taqnostreprodukovaa potrebno je birati xto vee 0 tako da:

|X (j)| 0, || 02

.

a) Sluqaj relativno velike uqestanosti odabiraa.

Na slici 3.16 prikazan je frekventni spektar ulaznog signala zasluqaj relativno velike uqestanosti odabiraa.

w

X j( )w

0w0

2

w0

2-

Slika 3.16: Frekventni spektar ulaznog signala za sluqaj relativnovelike uqestanosti odabiraa

U tom sluqaju na slici 3.17 je prikazan ulazni signal a na slici3.18 izlazni signal idealnog odabiraqa.

b) Sluqaj male uqestanosti odabiraa

Na slici 3.19 prikazan je frekventni spektar ulaznog signala zasluqaj male uqestanosti odabiraa.

Na slici 3.20 prikazan je frekventni spektar izlaznog signala zasluqaj male uqestanosti odabiraa.


0

1

x t( )

t

Slika 3.17: Ulazni signal idealnog odabiraqa za sluqaj velike uqes-tanosti odabiraa

0

1

t

x t( )*

Slika 3.18: Izlazni signal idealnog odabiraqa za sluqaj velike uqes-tanosti odabiraa

w

X j( )w

0w0

2-

w0

2

Slika 3.19: Frekventni spektar ulaznog signala idealnog odabiraqa zasluqaj male uqestanosti odabiraa

3.4. Jednostrukoprenosni i vixestrukoprenosni diskretni sistemi 47

w0

w0

2-

w0w0- w02

X j( )w*

Slika 3.20: Frekventni spekatar izlaznog signala za sluqaj male uqes-tanosti odabiraa

Na slici 3.21 prikazan je frekventni spektar izlaznog signalaniskopropusnog filtera za sluqaj male uqestanosti odabiraa.

w0

w0

2-

w0

2

X j( )wp

Slika 3.21: Frekventni spektar izlaznog signala niskopropusnog fil-tra za sluqaj male uqestanosti odabiraa

Na slici 3.22 ponovo se prikazuje ulazni signal idealnog odabiraqaradi lakxeg sagledavaa koji signal treba rekonstruisati na os-novu odgovarajueg vremenski diskretnog signala.

Na slici 3.23 prikazan je odgovarajui vremenski diskretizovanisignal.

Napomena 3.20 Mala uqestanost odabiraa znaqi veliku periodu oda-biraa.

Na slici 3.24 prikazan je vremenski diskretizovan signal zajednosa moguim rekonstruisanim signalom naznaqenim crtkasto.


0

1

x t( )

t

e -ath t( )

Slika 3.22: Ulazni signal idealnog odabiraqa

0

1

t

x t( )*

Slika 3.23: Izlazni signal idealnog odabiraqa za sluqaj male uqes-tanosti odabiraa

0

1

t

x t( )*

Slika 3.24: Vremenski diskretizovan signal sa crtkasto naznaqenimmogue rekonstruisanim signalom

3.4. JEDNOSTRUKO PRENOSNI I VIXESTRUKO PRENOSNI DISKRETNI SISTEMI49

3.4 Jednostruko prenosni i vixestruko preno-

sni diskretni sistemi

Definicija 3.21 Sistem S je jednostruko prenosni sistem ima samojednu ulaznu i jednu izlaznu veliqinu. Dijagram jednostruko prenosnog sis-tema je prikazan na slici 3.25.

xu x i

S

Slika 3.25: Dijagram jednostruko prenosnog sistema S

Definicija 3.22 Sistem S je vixestruko prenosni sistem je ukupanbroj egovih ulaznih i izlaznih veliqina vei od 2. Dijagram vixestrukoprenosnog sistema je prikazan na slici 3.26.

xu1 x i1xu2 x i2

xuM x iN

S. .. .. .

Slika 3.26: Dijagram vixestruko prenosntog sistema S

Posle uvoea vektora ulaza

xu =

xu1xu2...

xuM

i vektora izlaza

xi =

xi1xi2...

xiN

dijagram vixestruko prenosnog sistema je prikazan na slici 3.27.

xu xi

S

Slika 3.27: Dijagram vixestruko prenosnog sistema S

Dijagram diskretnog vixestruko prenosnog sistema je prikazan naslici 3.28


xu xi

S

Tx u*

Slika 3.28: Dijagram diskretnog vixestruko prenosnog sistema S

gde je

x

u =

xu1xu2...

xuM

.

Poglav e 3 - Катедра за аутоматско управљање Машински...

Documents

Transcript of Poglav e 3 - Катедра за аутоматско управљање Машински...