Podstawy metody elementów skończonych
Transcript of Podstawy metody elementów skończonych
-
Metody komputeroweMetody komputerowe
WprowadzeniePodstawy fizyczne i matematyczne Podstawy fizyczne i matematyczne
metody elementw skoczonych
-
LiteraturaLiteratura O.C.Zienkiewicz: Metoda elementw skoczonych. Arkady,
Warszawa 1972. Rakowski G., Kacprzyk Z.: Metoda elementw
skoczonych w mechanice konstrukcji, Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej, Warszawa 2005.
Bazik-Borowa E., Podgrski J.: Wprowadzenie do metody elementw skoczonych w statyce konstrukcji elementw skoczonych w statyce konstrukcji inynierskich, IZT, Lublin 2001
Metoda elementw skoczonych wybrane problemy, Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej, Warszawa 1996.
Ciesielski R. i inni. Mechanika Budowli. Ujcie komputerowe t. I i II Arkady. Warszawa, 1991.
odygowski T., Kkol W.: Metoda elementw skoczonych w wybranych zagadnieniach mechaniki konstrukcji inynierskich, Skrypt Politechniki Poznaskiej, 1994;
2
-
Podstawowe pojcia, zaoenia Podstawowe pojcia, zaoenia i twierdzenia mechanikii twierdzenia mechaniki
Liniowy model konstrukcji; Rwnania konstytutywne; Paski stan naprenia i paski stan
odksztacenia;odksztacenia; Rwnania rwnowagi; Zasada prac wirtualnych; Twierdzenie Clapeyrona; Twierdzenia Bettiego i Maxwella.
3
-
Liniowy model konstrukcjiLiniowy model konstrukcji Ukad opisuj liniowe rwnania
rniczkowe: Mae przemieszczenia konstrukcji (duo mniejsze
od wymiarw konstrukcji);
Mae odksztacenia; Mae odksztacenia;
Materia liniowo-sprysty (moliwo stosowania prawa Hookea: =E).
Modu Younga E=tg()
4
-
Nieliniowy model konstrukcjiNieliniowy model konstrukcji W rwnaniach rniczkowych ukadu
mog by wprowadzone: Due przemieszczenia konstrukcji; Materia z nieliniow zalenoci .
5
Modu YoungaE=tg()
Modu wzmocnieniaEw=tg()
Obliczenia dla konstrukcji z nieliniowym modelem s wykonywane jak dla ukadw liniowych, ale obcienie jest dzielone na mniejsze wartoci tak, aby mona przy maej wartoci obcienia problem traktowa jak liniowy.
Przykad materiau nieliniowego
-
Tensor naprenia Tensor naprenia i tensor odksztaceniai tensor odksztacenia
Naprenia, dziaajce na element o nieskoczenie maych wymiarach, zestawia si w macierz, ktra nosi nazw tensora stanu
napre a wyglda w nastpujcy sposb:
=xzxyxx
6
=
zzzyzx
yzyyyx
a naprenia a naprenia ii i ij s nazywane skadowymi tensora napre. Powysza s nazywane skadowymi tensora napre. Powysza macierz jest macierz symetryczn czyli macierz jest macierz symetryczn czyli = oraz ij= ji
=
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
Odksztacenia elementu o nieskoczenie maych wymiarach, zestawia si take w macierz, ktra
nosi nazw tensora stanu odksztacenia i wyglda w nastpujcy sposb:
-
Tensor naprenia Tensor naprenia i tensor odksztaceniai tensor odksztacenia
Skadowe tensorw napre i odksztace mona zapisa w formie wektorw:
= zzyy
xx
= yzyyyxxzxyxx
7
=
yz
xz
xy
=
yz
xz
xy
zz
yy
xx
=
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
zzzyzxyzyyyx
yxxy = zyyz = zxxz =
yxxy = zyyz = zxxz =
-
Tensor naprenia Tensor naprenia i tensor odksztaceniai tensor odksztacenia
Skadowe tensora naprenia (9) z uwagi na symetri mona zapisa jako wektor:
Podobnie mona postpi ze
=
yz
xz
z
y
x
Podobnie mona postpi ze skadowymi tensora odksztacenia:
Skadowe tensora odksztacenia jako pochodne przemieszcze:
8
xy
yz
=
xy
yz
xz
z
y
x
x
uxx
= y
u yy
=
z
uzz
=
x
u
y
u yxxy
+
=
x
u
z
u zxxz
+=
y
u
z
uzy
yz +
=
-
Rwnania konstytutywneRwnania konstytutywne
Rwnania wice skadowe tensorw naprenia i odksztacenia:
++
+
=
00000
00000
0002
0002
0002
D
odksztacenia:
9
00000
00000
1=
=
D
D
( )( )
21+1 = E
( ) +12E=
++
+
=
)1(200000
0)1(20000
00)1(2000
0001
0001
0001
11
ED
-
Rwnania konstytutywneRwnania konstytutywneZestawienie odksztace podunych w przestrzennym stanie napre
Exx
xx
=
xxxx
xxyy EE=== xxxxxxzz EE
===
naprenia dziaaj wzdu osi naprenia dziaaj wzdu osi xx
10
Eyy
yy
= naprenia dziaaj wzdu osi naprenia dziaaj wzdu osi yy
Ezz
zz
=
yyyy
yyxx EE=
== yy
yyyyzz EE
=
==
naprenia dziaaj wzdu osi naprenia dziaaj wzdu osi zz
zzzz
zzxx EE=== zz
zzzzyy EE
===
-
Rwnania konstytutywneRwnania konstytutywneTak jak w przypadku odksztace podunych na podstawie bada stwierdzono zakres pracy materiau, ktry nazywany jest sprystym i w odniesieniu do ktrego mona zapisa:
Gxy
xy
=2
11
W przypadku odksztace postaciowych nie ma sprzenia pomidzy W przypadku odksztace postaciowych nie ma sprzenia pomidzy odksztaceniami w stanie przestrzennym. Odksztacenia postaciowe odksztaceniami w stanie przestrzennym. Odksztacenia postaciowe ostateczne zale tylko od napre stycznych, dziaajcych w ostateczne zale tylko od napre stycznych, dziaajcych w paszczynie zmiany kta odksztacenia postaciowegopaszczynie zmiany kta odksztacenia postaciowego..
Gyz
yz
=2
Gxz
xz
=2
-
Rwnania konstytutywneRwnania konstytutywneW rwnaniach konstytutywnych wystpuj stae materiaowe:
E modu Younga, modu sprystoci podunejG modu Kirchoffa, modu sprystoci postaciowej wspczynnik PoissonaWszystkie powysze parametry czy zaleno: ( )+= 12
EG
12
( )+12W przypadku zapisu rwna konstytutywnych za pomoc W przypadku zapisu rwna konstytutywnych za pomoc rachunku tensorowego dochodz dwie stae rachunku tensorowego dochodz dwie stae i i , nazywane , nazywane staymi staymi LamegoLamego. Pomidzy staymi . Pomidzy staymi LamegoLamego a wyej a wyej wymienionymi staymi istniej zalenoci:wymienionymi staymi istniej zalenoci:
G=
=21
2 G
-
Rwnania konstytutywneRwnania konstytutywneZaleno pomidzy napreniami i odksztaceniami mona zapisa w formie:
gdzie:
= D
13
stae Lamego
=
yz
xz
xy
zz
yy
xx
=
yz
xz
xy
zz
yy
xx
++
+
=
00000
00000
00000
0002
0002
0002
D
G=
=21
2 G
-
Paski stan napreniaPaski stan napreniaPaski element, ktrego grubo jest znacznie mniejsza od dwch pozostaych, obciony tylko w swojej paszczynie nazywany jest tarcz. W takiej sytuacji na powierzchni elementu nie ma obcie, a wic nie ma napre czyli naprenia, ktre maj jeden z indeksw z, s rwne zero. Taki stan napre nazywany jest paskim stanem napre (PSN).
14
Tarcza obciona tylko w Tarcza obciona tylko w swojej paszczynie.swojej paszczynie.
-
Paski stan napreniaPaski stan naprenia Zaoenie upraszczajce, ktre mona
stosowa np. w przypadku cienkich tarcz.
Otrzymujemy nastpujce skadowe tensora odksztacenia:
000 === zyzxz
tensora odksztacenia:
Zredukowane wektory napre i odksztace:
15
( )yxz +
=1
0=zx 0=zy
=
xy
y
x
=
xy
y
x
D =
E
1
1 0
1 0
0 01
2
2
-
Paski stan odksztaceniaPaski stan odksztaceniaW przypadku budowli, ktrych wymiary s we wszystkich kierunkach podobne, mona wyci paski element. Na ten paski element dziaaj pozostae czci bryy, ktre nie pozwalaj na odksztacenia w kierunku prostopadym do tarczy. W takiej sytuacji na powierzchni elementu odksztacenia s rwne zero. Taki stan napre nazywany jest paskim stanem odksztace (PSO).
16
Brya Wycita tarcza
-
Paski stan odksztaceniaPaski stan odksztacenia Zaoenie upraszczajce w przypadku
masywnych budowli.
Otrzymujemy nastpujce skadowe tensora naprenia:
000 === zyzxz
17
tensora naprenia:
Zwizek midzy zredukowanymi wektorami naprenia i odksztacenia:
( )yxz += 0=zx 0=zy
( )( )D = +
E
1 1 2
1 0
1 0
0 01 2
2
D =
121
11
0
11 0
0 02
1
E
-
Rwnania rwnowagiRwnania rwnowagi
Wektorowa suma si i suma momentw s rwne 0:
Zapis skalarny
0P ==
n
ii
1
0M ==
n
ii
1
Zapis skalarny w przestrzeni:
na paszczynie:
18
PYii
n
= =
1
0 PZii
n
= =
1
0
M Xii
n
= =
1
0 MYii
n
= =
1
0 M Zii
n
= =
1
0
PXii
n
= =
1
0 PYii
n
= =
1
0 M Zii
n
= =
1
0
PXii
n
= =
1
0
-
Ciao sztywne i odksztacalneCiao sztywne i odksztacalne
Ciao doskonale sztywne (idealizacja): Brak zmian odlegoci punktw ciaa pod
dziaaniem obcie.
Ciao odksztacalne: Ciao odksztacalne: Odksztacenia s na tyle due, e nie jest
moliwe pominicie odksztace ciaa w analizie, bez istotnej utraty dokadnoci oblicze.
19
-
Zasada prac wirtualnych Zasada prac wirtualnych ciao sztywneciao sztywne
Praca wykonywana na przemieszczeniach wirtualnych przez siy zewntrzne (obcienia, reakcje) rwna jest 0.
0=n
ii uP
Przemieszczenie wirtualne powinno spenia nastpujce warunki:
dowolne, niezalene od si dziaajcych na bry, zgodne z wizami (kinematycznie dopuszczalne), niezalene od czasu.
20
01
=iii
-
Zasada prac wirtualnych Zasada prac wirtualnych przykadprzykad
VA RB
HAP
HP
0BP = BRP
a bbaa +
= BP
( )baa
PPRB +== P
21
HA
HA
P
P
VA RB
VA
RB
P
B
P
A
( )baB +B
0AP = AVP
bab += AP
( )bab
PPVA +==
A
P
-
Zasada prac wirtualnych Zasada prac wirtualnych ciao odksztacalneciao odksztacalne
Wzrost energii potencjalnej ciaa, znajdujcego si w rwnowadze, rwny jest pracy si zewntrznych wykonanych na przemieszczeniach wirtualnych.
nna przemieszczeniach wirtualnych.
Wzrost energii potencjalnej = praca wykonywana przez siy wewntrzne na przemieszczeniach wirtualnych.
22
P ui ii
n
E ==
1
=V
dVE T
-
KomplementarnaKomplementarnazasada prac wirtualnych zasada prac wirtualnych
Wzrost energii potencjalnej ciaa, znajdujcego si w rwnowadze, rwny jest pracy wirtualnych si zewntrznych wykonanych na rzeczywistych przemieszczeniach.przemieszczeniach.
Wzrost energii potencjalnej = praca wykonywana przez wirtulane siy wewntrzne na przemieszczeniach rzeczywistych.
23
En
iii =
=1
uP
=V
dVE T
-
Twierdzenie ClapeyronaTwierdzenie Clapeyrona (1)(1)Twierdzenia Clapeyrona mwi, e dla ukadu sprystego, znajdujcegosi w rwnowadze, praca si zewntrznych Lz rwna jest energiipotencjalnej si wewntrznych (energii sprystej):
Lz=V
24
lub w innej wersji
Praca si zewntrznych jest miar energii potencjalnej obcieniazewntrznego przeksztacajcej si w energi spryst:
Lz=Vz=V=-Lw
==
n
iii
12
1uP =
VV
dVdV TT2
1
2
1
-
Twierdzenie ClapeyronaTwierdzenie Clapeyrona (2)(2)
Ukad musi spenia nastpujce warunki:
materia zachowuje si zgodnie z prawem Hookea,Hookea,
nie ma takich warunkw brzegowych, ktrych istnienie zaley od odksztacenia konstrukcji,
temperatura ukadu jest staa,
nie ma napre i odksztace wstpnych.
25
-
Twierdzenie BettiegoTwierdzenie BettiegoUkad si Pik wykonuje tak sam prac na przemieszczeniachwywoanych ukadem si Pjn jak ukad si Pjn na przemieszczeniachwywoanych przez siy Pik.
ijji uPuP =Pi Pj
=n
injnk
jkik uPuP
Ugicie belki od siy Ugicie belki od siy
26
Pi
uiiuji
Pj
uiiuji
Pj
uijujj
uijujj
jij uP iji uP =
Ugicie belki od siy Pi
Ugicie belki od siy Pj
Praca siy Pj Praca siy Pi
-
Twierdzenie MaxwellaTwierdzenie MaxwellaJeeli na konstrukcj dziaaj dwie niezalene uoglnione siy jednostkowe Pi=1 iPj=1, wywoujce odpowiednio przemieszczenia wji (przemieszczenie w punkcie j nakierunku siy Pj wywoane si Pi) i wij (przemieszczenie w punkcie i na kierunku siyPi wywoane si Pj), to te przemieszczenia s sobie rwne.
Pi wij = Pj wji oraz Pi=1 i Pj=1 wij = wjiPi=1 Pj=1Ugicie belki od siy
27
Pi
wiiwji
Pj
wiiwji
Pj=1
wijwjj
wij wjj
Ugicie belki od siy Pi=1Ugicie belki od siy Pj=1
Praca siy Pj Praca siy Pi
-
Metoda elementw skoczonychMetoda elementw skoczonych
Aproksymacja ukadu rwna rniczkowych wraz z warunkami brzegowymi, opisujcych obiekt ukadem rwna algebraiccznych, ktry jest atwiejszy do rozwizania.rwna algebraiccznych, ktry jest atwiejszy do rozwizania.
Rozwizanie przyblione dokadno zaley od metod aproksymacji.
Metoda stosowana w rnych dziedzinach: mechanika ciaa staego, budowli, pynw, elektryka itp.
28
-
Sposb poszukiwania Sposb poszukiwania rozwizania przyblionegorozwizania przyblionego (1)(1)
Podzia na elementy skoczonepoczone w wzach. Niewiadome: przemieszczenia w wzach.
Przyblienie przemieszcze punktw wewntrz elementw za pomoc funkcji wewntrz elementw za pomoc funkcji aproksymujcych (funkcje ksztatu) na podstawie przemieszcze wzowych.
Siy w elementach uzalenione od przemieszcze wzw za pomoc macierzy sztywnoci.
29
-
Sposb poszukiwania Sposb poszukiwania rozwizania przyblionegorozwizania przyblionego (2)(2)
Zapis ukadu rwna rwnowagi dla wszystkich wzw (stopni swobody) i wprowadzenie warunkw brzegowych.
Rozwizanie ukadu rwna Rozwizanie ukadu rwna algebraicznych obliczenie przemieszcze wzw.
Obliczenie pozostaych wielkoci odksztacenia, siy wewntrrzne, naprenia.
30
-
Algorytm Algorytm metody elementw skoczonychmetody elementw skoczonych
Dyskretyzacja (generacja siatki); Tworzenie macierzy sztywnoci
elementw; Agregacja globalnej macierzy Agregacja globalnej macierzy
sztywnoci; Budowa globalnego wektora obcienia; Wprowadzenie warunkw brzegowych; Rozwizanie ukadu rwna; Obliczenie si wewntrznych i reakcji.
31
-
DyskretyzacjaDyskretyzacja (1)(1)
Konstrukcje prtowe: kratowe i ramowe
Czsto podzia naturalny odcinek prostoliniowy odcinek prostoliniowy prta jest elementem skoczonym;
Tarcze, pyty i powoki:
Elementy prostoktne lub trjktne;
32
-
DyskretyzacjaDyskretyzacja (2)(2)
Konstrukcje bryowe:
Elementy czterowzowe (czworocienne), (czworocienne), szeciowzowe, omiowzowe.
33
-
Macierze sztywnoci elementwMacierze sztywnoci elementw
Analiza poszczeglnych elementw; Znalezienie zwizkw midzy parametrami
statycznymi (obcieniami) i odpowiadajcymi im parametrami geometrycznymi (przemieszczeniami).(przemieszczeniami).
34
=
=
jy
jx
iy
ix
jy
jx
iy
ix
eee
F
F
F
F
u
u
u
u
l
EA
l
EA
l
EA
l
EA
0000
00
0000
00
''' fuK
-
Stopnie swobodyStopnie swobodyRodzaj
konstrukcjiIlo stopni
swobody Przesunicia Obroty
ND ux uy uz x y zkrata paska 2 krata przestrzenna 3
35
rama paska 3 rama przestrzenna 6
ruszt 3
tarcza 2
pyta 3
powoka 6
brya 3
-
Globalna macierz sztywnoci Globalna macierz sztywnoci i rozwizanie ukadu rwnai rozwizanie ukadu rwna
Ukad rwna metody elementw skoczonych:
puK =
=
n
n
Nn
Nn
p
p
p
u
u
u
KKKK
KKKK
KKKK
MM
KK
MMOMM
KK
KK
2
1
2
1
122221
111211
Jako wynik otrzymujemy przemieszczenia w wzach (na poszczeglnych stopniach swobody). Na ich podstawie wyliczane s siy odksztacenia i naprenia a nastpnie siy wewntrzne, reakcje, itp.
36
=
nnnnnnn
n
N
n
N
n
NNNNN
Nnnnn
p
p
u
u
KKKK
KKKK
MM
KK
MOMMM
KK
111
121
-
Funkcje ksztatuFunkcje ksztatu Do wyznaczenia przemieszcze
wewntrz elementu na podstawie przemieszcze wzw suy funkcja ksztatu.
[ ]u
ui
u N u( , ) ( , )x y x ye e=
Na podstawie funkcji przemieszcze liczone s odksztacenia
I na tej podstawie naprenia37
[ ]u N N N N uuu
( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )x y x y x y x y x yi j k lj
k
l
=
x
uxx
= y
u yy
=
z
uzz
=
x
u
y
u yxxy
+
=
x
u
z
u zxxz
+=
y
u
z
uzy
yz +
=
= D
-
Moduy systemw MES (FEM)Moduy systemw MES (FEM) Preprocesor:
Dyskretyzacja; Dane materiaowe; Opis obcienia. Nowoczesny preprocesor pozwala na graficzne Nowoczesny preprocesor pozwala na graficzne
wprowadzanie informacji o modelu. Procesor:
Macierze sztywnoci elementw; Globalna macierz sztywnoci; Wektor obcienia; Warunki brzegowe; Rozwizanie ukadu rwna.
38
-
Moduy systemw MES (FEM)Moduy systemw MES (FEM)
Postprocesor: Obliczenie si wewntrznych i reakcji;
Wizualizacjawynikw.wynikw.
39
-
Moduy systemw MES (FEM)Moduy systemw MES (FEM) Postprocesor: (postaci drga wasnych prostoktnej pyty)
40
-
KoniecKoniec