Podstawy mechaniki komputerowej

Podstawy mechaniki komputerowej

dr inż. Sławomir Koczubiej

Politechnika ŚwiętokrzyskaWydział Zarządzania i Modelowania KomputerowegoKatedra Informatyki i Matematyki Stosowanej

(18 maja 2016)

Koczubiej Podstawy mechaniki komputerowej 1/188

Informacje ogólne

1 Informacje ogólne

2 Uwagi wstępne

3 Sformułowanie lokalne problemu brzegowego

4 Sformułowanie globalne problemu brzegowego

5 Metoda różnic skończonych

6 Wprowadzenie do metody elementów skończonych

7 Etapy procedury MES

8 Funkcje kształtu

9 Analiza statyczna MES pręta

10 Belkowy element skończony

11 Elementy w 2D

12 Ramowy element skończony


Informacje ogólne

Kontakt

Budynek C, pokój [email protected]

Strona przedmiotu, materiały do pobrania

http://kis.tu.kielce.pl

Materiały do pobrania, aktualności, terminy zaliczeń

http://tu.kielce.pl/∼sk


Informacje ogólne

Organizacja wykładów

Wykłady są obowiązkowe (zgodnie z postanowieniami regulaminu), ale...

Obecność na wykładach może nie być kontrolowana.

Na wykłady czasem warto zajrzeć.

Warunki zaliczenia wykładu

Test zaliczeniowy po zakończeniu wykładów.


Informacje ogólne

Organizacja laboratoriów

Zajęcia laboratoryjne są obowiązkowe.

Dopuszcza się jedną nieobecność.

Większa liczba nieobecności powoduje zmniejszenie oceny do niedostatecznejwłącznie (3 lub więcej nieobecności).

W przypadku usprawiedliwionej nieobecności zajęcia można odrobić z innągrupą (jeśli istnieje taka możliwość).

Warunki zaliczenia laboratoriów

Wykonanie ćwiczeń i raportów z zadanych przykładów obliczeń komputerowych.


Informacje ogólne

Treść wykładów

Podstawowe pojęcia i definicje, sformułowanie lokalne i globalne problemubrzegowego.

Metoda różnic skończonych dla równań różniczkowych zwyczajnych.

Wprowadzenie do metody elementów skończonych, etapy procedury MES.

Rozwiązanie MES problemu pręta rozciąganego, prętowy element skończony.

Rozwiązanie MES problemu belki zginanej, belkowy element skończony.

Rozwiązanie MES kratownicy, prętowy element skończony 2D.


Informacje ogólne

Treść laboratoriów

Wprowadzenie do systemu Mathcad, obliczenia wektorowe i macierzowe wsystemie Mathcad.

Rozwiązanie problemu brzegowego metodą MRS sformułowanego lokalnie.

Rozwiązanie statyczne pręta metodą MES.

Rozwiązanie statyczne belki metodą MES.

Rozwiązanie statyczne kratownicy metodą MES.

Wprowadzenie do programu ABAQUS, analiza statyczna kratownicy.

Analiza statyczna tarczy w systemie ABAQUS.

Analiza statyczna płyty w systemie ABAQUS.


Informacje ogólne

Literatura

Cichoń C. Metody obliczeniowe. Wybrane zagadnienia. WydawnictwoPolitechniki Świętokrzyskiej, Kielce 2005.

Rakowski G., Kacprzyk Z. Metoda elementów skończonych w mechanicekonstrukcji. Wydawnictwo Politechniki Warszawskiej, Warszawa 1993.

Cichoń C, Cecot W, Krok J, Pluciński P. Metody komputerowe w liniowejmechanice konstrukcji. Wydawnictwo Politechniki Krakowskiej, Kraków 2010.

Jankowscy M. i J. Przegląd metod i algorytmów numerycznych, cz. 1.Wydawnictwo WNT, Warszawa 1988.

Dryja M., Jankowscy M. i J. Przegląd metod i algorytmów numerycznych,cz. 2. Wydawnictwo WNT, Warszawa 1988.


Uwagi wstępne


2 Uwagi wstępne






8 Funkcje kształtu



11 Elementy w 2D



Uwagi wstępne

Mechanika komputerowa

Jest sposobem opisu problemów mechaniki ciała stałego lub mechanikipłynów (części fizyki), w których zwraca się szczególną uwagę na takieformułowanie problemu i jego rozwiązanie, aby w maksymalnym stopniuwykorzystać możliwości komputera. Spowodowało to koniecznościprzeformułowania klasycznych metod rozwiązania (metoda Galerkina przetworzonaw metodę elementów skończonych) bądź opracowania nowych metodnumerycznych (metoda Newtona rozwinięta w metodę Newtona-Raphsona).

Mechanika komputerowa najczęściej wiązana jest z pakietami CAE (ComputerAided Engineering). Są to programy wykorzystujące zaawansowane metodykomputerowe, umożliwiające modelowanie szeregu zjawisk fizycznych,zachodzących w układach o zróżnicowanym stopniu złożoności – począwszy odprostych brył, skończywszy na kompletnych zespołach części.


Uwagi wstępne

Programy te umożliwiają symulację kinematyki lub dynamiki układu, analizęprzepływu ciepła i masy, naprężeń i innych cech projektowanego wyrobu. Pozwalato na znaczne przyspieszenie procesu projektowania i przede wszystkim naobniżenie kosztów projektowania. Do tej grupy oprogramowania należą m. in.Abaqus, ADINA, ANSYS, NX Nastran, FEMAP.


Uwagi wstępne

Metody komputerowe

Metody rozwiązań przybliżonych, wykorzystywane w mechanice komputerowej.W formułowaniu tych metod korzysta się w dużym stopniu z zaawansowanegoaparatu matematycznego (metody wariacyjne, analiza funkcjonalna) co pozwalarozwiązywać skomplikowane zagadnienia i dowodzić zbieżności ich rozwiązania.Wśród metod komputerowych można wymienić metodę elementówskończonych (MES), metodę elementów brzegowych (MEB), uogólnionąmetodę różnic skończonych (UMRS) czy bezelementową metodę Galerkina(BMG).

Termin metoda komputerowa często jest używana jako nazwa procesuprojektowania lub analizy konstrukcji z wykorzystaniem metod obliczeńprzybliżonych, zaimplementowanych do komputera w formie programównapisanych w różnych językach programowania.


Uwagi wstępne

metodykomputerowe

MES, MEB,MRS

modelmatematyczny

obiektrzeczywisty

modelnumeryczny

rozwiązaniedyskretne

SW

SG

SL

idealizacja dyskretyzacja rozwiązanie

błąd rozwiązania

błąd rozwiązania i dyskretyzacji

błąd rozwiązania i modelowania

Rys. 1: Schemat komputerowej analizy konstrukcji


Uwagi wstępne

Symulacja komputerowa obliczeń składa się z czterech etapów. W etapiepierwszym ma miejsce idealizacja obiektu rzeczywistego poprzez przyjecieuzasadnionych założeń upraszczających oraz wyspecyfikowanie zmiennych najlepiejopisujących obiekt (model fizyczny). Założenia dotyczą przede wszystkimgeometrii obiektu, materiału którego jest wykonany, obciążeń i przyszłychwarunków użytkowania (warunków środowiskowych i okresu planowanejeksploatacji obiektu). Na tej podstawie budowany jest model matematycznyobiektu.

Drugim etapem jest dyskretyzacja, przetwarzająca ciągły model matematyczny,na ogół w postaci układów równań różniczkowych, lub pewnego funkcjonału,w model numeryczny w formie układów równań algebraicznych.


Uwagi wstępne

Trzecim etapem symulacji komputerowej jest rozwiązanie, czyli napisaniestosownego programu komputerowego, przetestowanie i wykonanie obliczeń.

I w końcu najważniejszy — czwarty etap, jakim jest weryfikacja wynikówobliczeń. Możliwości popełnienia błędów jest wiele, mogą one wystąpić na każdymz trzech pierwszych etapów. W rezultacie poprawiania tych błędów powinniśmyw końcu otrzymać rozwiązanie optymalne.


Uwagi wstępne

Modelem matematycznym mogą być odpowiednio sformułowane problemybrzegowe (lub początkowo brzegowe) dla równań różniczkowych (zwyczajnych lubcząstkowych) lub pewne funkcjonały podlegające minimalizacji.

Pierwszy przypadek to sformułowanie lokalne (SL), drugi natomiast tosformułowanie globalne problemu (SG). W budowie komputerowej metodyanalizy konstrukcji preferowane jest sformułowanie globalne.

Trudność jednakże polega na tym, że nie wszystkie problemy, a tylko tzw.problemy samosprzężone możemy równoważnie opisać w sformułowaniu lokalnymlub globalnym. Przykładem problemu samosprzężonego jest liniowy problemteorii sprężystości (LPTS) opisany 15. równaniami różniczkowo-algebraicznymize stosownymi warunkami brzegowymi lub pewnym funkcjonałem.


Uwagi wstępne

Funkcjonałem w LPTS będzie funkcjonał całkowitej energii potencjalnejukładu.

Jeśli rozważany problem w sformułowaniu lokalnym nie jest problememsamosprzężonym, można budować równanie całkowe wykorzystując metodywariacyjne (SW).

Należy zauważyć, że klasyczna metoda różnic skończonych (MRS) jestwykorzystywana do bezpośredniego rozwiązywania problemów sformułowanychlokalnie.

Metody komputerowe z matematycznego punktu widzenia są pewnymiprocedurami rozwiązań, dostosowanymi do możliwości obliczeniowych, jakiepowstały wraz z rozwojem komputerów i technik informatycznych.


Sformułowanie lokalne problemu brzegowego


2 Uwagi wstępne






8 Funkcje kształtu



11 Elementy w 2D




Rozważmy pręt o powierzchni przekroju poprzecznego A(x) i długości L. Prętzrobiony jest z materiału o module Younga E . Pręt jest obciążony obciążeniemciągłym działającym wzdłuż osi pręta o intensywności q(x) i siłą skupioną P .

L

Px

q(x)

E A(x)

Rys. 2: Pręt rozciągany

Tak zdefiniowany problem może być uznany za problem jednowymiarowy, jeśliwymiary przekroju poprzecznego pręta są małe w stosunku do jego długości, copozwala przyjąć, że naprężenia po wysokości pręta są pomijalnie małe w stosunkudo naprężeń wzdłuż pręta.



Równanie różniczkowe, będące modelem matematycznym problemu prętarozciąganego, otrzymamy rozważając nieskończenie mały element dx pręta.

N(x)+dN(x)N(x)

A(x+dx)A(x)x

dx

q(x)

Rys. 3: Element dx pręta

N(x) i N(x) + dN(x) są siłami normalnymi działającymi w przekrojach A(x)i A(x + dx). Korzystając z warunku równowagi możemy zapisać

−N(x) + N(x) + dN(x) + q(x)dx = 0. (1)

Zatem, nasze równanie będzie miało postać

dN(x)

dx+ q(x) = 0, (2)

0 < x < L.



Siłę normalną (podłużną) stanowi suma naprężeń normalnych na całymprzekroju. Jeśli naprężenia są stałe w przekroju pręta, to możemy je określićz zależności

σx(x) =N(x)

A(x), (3)

i następnieN(x) = σx(x)A(x). (4)



Wykorzystując równanie fizyczne (konstytutywne, Hooke’a) określające zależnośćodkształcenia od naprężenia

σx(x) = Eεx(x), (5)

i równanie geometryczne (Cauchy’ego) wiążące ze zobą przemieszczeniai odkształcenia

εx(x) =du(x)dx, (6)

będziemy mogli napisać

N(x) = EA(x)du(x)dx. (7)



Wykorzystując zależność

N(x) = EA(x)du(x)dx, (8)

będziemy mogli zapisać równanie różniczkowe w formie

ddx

(EA(x)

du(x)dx

)+ q(x) = 0, (9)

0 < x < L,

lub jeśli EA = const.

EAd2u(x)dx2

+ q(x) = 0, (10)

0 < x < L.



Do rozwiązania takiego równania różniczkowego potrzebne jest jeszczesformułowanie warunków brzegowych na brzegach pręta.

Równanie jest drugiego rzędu, zatem wymagane są dwa warunki brzegowe,ustalające wartość przemieszczenia u lub siły P . Jednoznaczność rozwiązaniawymaga, aby warunki brzegowy podane były na dwóch różnych brzegach.

u(x = 0) = 0, (11)

N(x = L) = EAdudx

∣∣∣∣x=L

= P ⇒ EAdudx

∣∣∣∣x=L

= P . (12)

Pierwszy warunek dla funkcji u nazywany jest podstawowym (kinematycznym)

warunekiem brzegowym, natomiast drugi, dla pochodnej funkcjidudxjest nazywany

naturalnym (statycznym) warunkiem brzegowym.



Ostatecznie model matematyczny problemu pręta rozciąganego będzie miałpostać

ddx

(EA(x)

du(x)dx

)+ q(x) = 0, (13)

0 < x < L,

u(x = 0) = 0, (14)

N(x = L) = EAdudx

∣∣∣∣x=L

= P . (15)



Równanie różniczkowe można zapisać w tzw. formie operatorowej

Au = f , (16)

gdzie

A ≡ ddx

(A(x)E

ddx

), (17)

jest liniowym operatorem różniczkowym oraz f ≡ −q(x).Taki zapis pozwala na ujednolicenie równań różniczkowych będących modelamimatematycznymi różnych problemów fizycznych.

Jeśli u(x) = T (x) będzie temperaturą w pręcie, E = k będzie współczynnikiemprzewodzenia cieplnego materiału, a f (x) = −Q(x) będzie ciepłem wytwarzanymlub dostarczanym przez brzeg, to podane równanie będzie modelemmatematycznym problemu stacjonarnego przepływu ciepła.


Sformułowanie globalne problemu brzegowego


2 Uwagi wstępne






8 Funkcje kształtu



11 Elementy w 2D




Poprzednie równania problemu brzegowego sformułowaliśmy analizując stanrównowagi w punkcie materialnym ciała. W efekcie otrzymaliśmy równanieróżniczkowe. Taki sposób budowania modeli matematycznych uzasadnia nazwęsformułowanie lokalne problemu.

Innym sposobem jest sformułowanie globalne, w którym rozwiązanieotrzymujemy w wyniku minimalizacji pewnego funkcjonału.

W analizie zagadnień mechaniki ciała sprężystego takim funkcjonałem jestcałkowita energia potencjalna.

Problem, którego rozwiązanie można otrzymać rozwiązując równanie różniczkowelub minimalizując odpowiedni funkcjonał, nazywa się problememsamosprzężonym.



Każde ciało pod działaniem sił zewnętrznych doznaje deformacji, na których siłyobciążające wykonują pewną pracę L. Praca ta w przypadku adiabatycznegoprocesu termodynamicznego (takiego, podczas którego izolowany układ nienawiązuje wymiany ciepła, lecz całość energii jest dostarczana lub odbieranaz niego jako praca, nie zachodzi dyssypacja energii) jest niezależna od sposobu jejwykonania i równa się przyrostowi energii wewnętrznej układu W , czyli takiejfunkcji, której przyrost jest równy pracy dostarczonej układowi

L = W . (18)

Równość ta wynika z I prawa termodynamiki dla procesów adiabatycznych.

Takie cechy są charakterystyczne dla układów sprężystych.



Można dowieść, że w przypadku ciała sprężystego i obciążeń statycznych energiawewnętrzna układu jest jest równa energii potencjalnej, która równa się pracy siłwewnętrznych na odkształceniach przez nie wywołanych i nazywana jest energiąsprężystą układu U .

W = U . (19)

Energia sprężysta

Podsumowując, dla ciał sprężystych i procesu adiabatycznego energia sprężysta Uto praca sił wewnętrznych na odkształceniach przez nie wywołanych.

Energia ta jest odwracalna, co oznacza, że po usunięciu sił obciążających zużywasię na odzyskanie początkowej konfiguracji ciała i w nie naprężonym i nieodkształconym stanie jest równa zeru.



Energię sprężystą można zapisać w formie

U =

∫V

Φ dV . (20)

gdzie Φ jest energią sprężystą właściwą (gęstością energii sprężystej) i dla ciałaHooke’a wynosi

w zapisie wskaźnikowym

Φ =12σijεij , (21)

w zapisie macierzowym

Φ =12σTε. (22)



x y

z

t

Su

St g

Rys. 4: Ciało

Na rysunku oznaczono:

V – objętość ciała,

S – brzeg ciała ze zdefiniowanymiwarunkami brzegowymi,

g – wektor intensywności sił objętościowych,

t – wektor intensywności siłpowierzchniowych.

Całkowita energia potencjalna ciała sprężystego będzie zatem równa

Π = U − L, (23)

Π =12

∫V

σijεij dV − 12∫V

giui dV − 12∫S

tiui dS , (24)

lub

Π =12

∫V

σTε dV − 12

∫V

uTg dV − 12

∫S

uTt dS . (25)



L

Px

q(x)

E A(x)

Rys. 5: Pręt rozciągany

W przypadku sformułowania globalnego pręta rozciąganego, musimy wyznaczyćcałkowitą energię potencjalną pręta Π

Π = U − Lq − LP , (26)

gdzie U jest energią sprężysta pręta, Lq jest pracą obciążenia ciągłego a LP topraca obciążenia skupionego.



Energia sprężysta wynosi

U =12

∫V

σε dv , (27)

wykorzystując dodatkowo

dv = A(x) dx , (28)

σx(x) = Eεx(x), (29)

εx(x) =du(x)dx, (30)

możemy napisać

U =12

∫L

EA(x)ε2(x) dx =12

∫L

EA(x)

(du(x)dx

)2dx . (31)

Dla EA = const. będziemy mogli napisać

U =12EA

∫L

(du(x)dx

)2dx . (32)



Praca obciążenia ciągłego wynosi

Lq =

∫L

q(x)u(x) dx , (33)

a praca obciążenia skupionego na końcu pręta

LP = Pu(L). (34)

Ostatecznie, całkowita energia potencjalna pręta wynosi

Π = U − Lq − LP =12EA

∫L

(du(x)dx

)2dx −

∫L

q(x)u(x)dx − Pu(L). (35)

Rozwiązaniem tak sformułowanego zadania będzie taka funkcja przemieszczeniau(x), dla której energia potencjalna Π osiągnie minimum.

Spostrzeżenie: zależność na energię potencjalną Π nie zawiera drugiej pochodnej

funkcji przemieszczeńd2udx2, równanie różniczkowe zawierało!


Metoda różnic skończonych


2 Uwagi wstępne






8 Funkcje kształtu



11 Elementy w 2D




Co to jest MRS?

Metoda różnic skończonych (MRS) jest przybliżoną metodą dyskretnegorozwiązywania problemów brzegowych, opisywanych zwyczajnymi lub cząstkowymirównaniami różniczkowymi.

Idea metody polega na zamianie operatorów różniczkowych na odpowiednieoperatory różnicowe (ilorazy różnicowe), określone na dyskretnym i regularnymzbiorze punktów, zwanych siatką.



Operatory różniczkowe:ddx

(•), ddy

(•), ∂∂x

(•), ∂∂y

(•);

równanie różniczkowe I rzędu

ddx

f (x) = 2x2 − 4x + 3, (36)

d2

dx2(•), d

2

dy2(•), d

2

dxdy(•);

równanie różniczkowe II rzędu

d2

dx2f (x) = 2x2 − 4x + 3, (37)

problem pręta rozciąganego

EAd2u(x)dx2

+ q(x) = 0, (38)



∂2

∂x2(•), ∂

2

∂y2(•), ∂

2

∂x∂y(•), ∇2(•) ≡ ∂

2

∂x2(•) + ∂

2

∂y2(•);

przepływ ciepła w obszarze dwuwymiarowym

∂2T

∂x2+∂2T

∂y2= −Q

k, (39)

∇2T = −Qk, (40)

tarcza ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

(∂2

∂x2+1− ν2∂2

∂y2

)u +1+ ν2∂2v

∂x∂y= 0,(

∂2

∂y2+1− ν2∂2

∂x2

)v +1+ ν2∂2u

∂x∂y= 0,

(41)



d4

dx4,d4

dy4,∂4

∂x4,∂4

∂y4,

∇4(•) = ∇2(∇2(•)) ≡ ∂4

∂x4(•) + 2 ∂

2

∂x2(•) ∂

2

∂y2(•) + ∂

4

∂y4(•);

płyta

∂4w

∂x4+ 2∂2w

∂x2∂2w

∂y2+∂4w

∂y4= − q

D, (42)

∇4w = − q

D. (43)



Metodę różnic skończonych zastosujemy do rozwiązania równania

d2udx2

= f (x , y) (44)

W pierwszym kroku zamienimy operatory różniczkowe na odpowiednie operatoryróżnicowe, wykorzystamy szereg Taylora dla funkcji u(x , y) w otoczeniuu(x + h, y) i u(x − h, y)

u(x + h, y) = u(x , y) +du(x , y)dx

h +12d2u(x , y)dx2

h2 +16d3u(x , y)dx3

h3 + . . . , (45)

u(x − h, y) = u(x , y)− du(x , y)dx

h +12d2u(x , y)dx2

h2 − 16d3u(x , y)dx3

h3 + . . . . (46)



Odejmując stronami i pomijając wyrazy z h2 i wyższe otrzymamy

du(x , y)dx

≈ 12h

[u(x + h, y)− u(x − h, y)]. (47)

Powyższą zależność nazywa się wzorem różnicowym centralnym pierwszegorzędu.

W przypadku sumowania stronami rozwinięć w szereg Taylora i po pominięciwyrazów z h3 i wyższych, otrzymamy

d2u(x , y)dx2

≈ 1h2

[u(x + h, y)− 2u(x , y) + u(x − h, y)]. (48)

Powyższe zależności nazywają się wzorami różnicowymi drugiego rzędu.



Podstawiając wzory różnicowe do wyjściowego równania, otrzymamy

u(x + h, y) − 2u(x , y) + u(x − h, y) = f (x , y), (49)

lubu(xi+1, yj)− 2u(xi , yj) + u(xi−1, yj) = f (xi , yj). (50)

Na rysunku poniżej znajduje się punkty występujące we wzorach różnicowych,tworzące tzw. gwiazdę różnicową.

h h(x, y)

(x+h, y)(x-h, y)

Rys. 6: Gwiazda różnicowa dla węzła (x , y)



Dla dowolnej funkcji u(x) wyróżnijmy trzy punkty xi−1, xi i xi+1

ui

ui+1

i-1

ui-1

i

u(x)

i+1 x

y

Rys. 7: Funkcja u(x)

dla których funkcja osiąga wartości ui−1, ui i ui+1.Koczubiej Podstawy mechaniki komputerowej 44/188


ui

ui+1

i-1

ui-1

i

u(x)

i+1 x

y

Poprowadźmy 3 sieczne, i obliczmy wartość pierwszejpochodnej w punkcie i w sposób przybliżony jako tangenskąta nachylenia siecznej do krzywej (zamiast tangensastycznej do krzywej). Jego wartość dla siecznejprzechodzącej przez punkty xx−1 i xx+1 wynosi

du(x)dx

∣∣∣∣x=xi

≡ u′i ≈ui+1 − ui−1xi+1 − xi−1

=ui+1 − ui−12h

. (51)

Z rysunku możemy wywnioskować, że wartość pierwszej pochodnej możemyotrzymać jako tangens kąta nachylenia dwóch innych siecznych przechodzącychprzez xi i xi+1 oraz xi−1 i xi

du(x)dx

∣∣∣∣x=xi

≡ u′i ≈ui+1 − uixi+1 − xi

=ui+1 − ui

h– iloraz różnicowy w przód, (52)

du(x)dx

∣∣∣∣x=xi

≡ u′i ≈ui − ui−1xi − xi−1

=ui − ui−1

h– iloraz różnicowy wstecz. (53)



ui

ui+1

i-1

ui-1

i

u(x)

i+1 x

y

Aby obliczyć wartość drugiej pochodnej w punkcie i ,policzmy najpierw pierwszą pochodną w punktach a i b,to jest w środkach obydwu odcinków h

u′a ≈ui − ui−1xi − xi−1

=ui − ui−1

h, (54)

u′b ≈ui+1 − uixi+1 − xi

=ui+1 − ui

h. (55)

Wykorzystując powyższe zależności możemy napisać

d2u(x)dx2

∣∣∣∣∣x=xi

≡ u′′i ≈u′b − u′i

h=

ui−1 − 2ui + ui+1h2

. (56)



Ilorazy różnicowe można przedstawiać w formie graficznej:ddx

(•), ddy

(•), ∂∂x

(•), ∂∂y

(•);

iloraz centralny

h/2

h h

-1 1

iloraz w przód

1/h

h h

-1 1

iloraz wstecz

1/h

h h

-1 1



d2

dx2(•), d

2

dy2(•), ∂

2

∂x2(•), ∂

2

∂y2(•);

1/h2

h h

1 -2 1

∇2(•);

1/h2

h h

1 -4 1

1

1

h

h



∇4(•);

1/h4

h h

-8

2

2

1 20 -8 1

2

2

-8

-8

h h

1

1

h

h

h

h



Zastosujmy wyprowadzone wzory różnicowe do rozwiązania zagadnienia deformacjipręta obciążonego obciążeniem o liniowym rozkładzie działającym wzdłuż osipręta.

xL

q(x)

E A

Rys. 8: Problem deformacji pręta

Przyjmując dane:

sztywność pręta EA = 1,

obciążenie q(x) = x ,

długość pręta L = 1,

będziemy mogli zdefiniować równanie różniczkowe zagadnienia,



które uprości się do postaci

d2u(x)dx2

= −x , (57)

0 < x < L,

z warunkami brzegowymi w postaci

u(x = 0) = 0,du(x)dx

∣∣∣∣x=L

= 0, (58)

lub krótkou′′(x) = −x , u(0) = 0, u′(1) = 0. (59)



Do dalszych obliczeń, przyjmijmy siatkę 6-węzłową, zatem odległość międzywęzłami wynosi h = 0, 2.

xx1=0

u1=u(0)=0 u'6=u'(1)=0

x2=0,2 x3=0,4 x4=0,6 x5=0,8 x6=1u1 u2 u3 u4 u5 u6

uq1=0 q2=0,2 q3=0,4 q4=0,6 q5=0,8 q6=1

1 2 3 4 5 6

Rys. 9: Siatka MRS



Zapiszmy układ równań MRS

węzeł 1: u1 = 0, podstawowy warunek brzegowy,

węzeł 2:u1 − 2u2 + u3

(0, 2)2= −0, 2, iloraz różnicowy centralny,

węzeł 3:u2 − 2u3 + u4


węzeł 4:u3 − 2u4 + u5


węzeł 5:u4 − 2u5 + u6


węzeł 6:u6 − u50, 2

= 0, naturalny warunek brzegowy, iloraz różnicowy

wstecz.



Po prostych przekształceniach otrzymamy układ równań

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

1 0 0 0 0 0

1 −2 1 0 0 0

0 1 −2 1 0 0

0 0 1 −2 1 0

0 0 0 1 −2 10 0 0 0 1 1

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

u1

u2

u3

u4

u5

u6

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦=

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

0

− 1125

− 2125

− 3125

− 41250

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

, (60)

a jego rozwiązanie wynosi

u1 = 0, u2 =55750, u3 =

104750, u4 =

156750, u5 =

180750, u6 =

180750. (61)



u

udokładne

uMRS

iloraz wstecz

uMRS

iloraz centralny

00

0,2

0,1

0,2

0,3

0,4 0,6 0,8 1 x

Rys. 10: Przemieszczenia pręta

Błąd względny (maksymalny) dla przemieszczenia w węźle 6 jest dość dużyi wynosi 27,6%. Wynika to z faktu, że do dyskretyzacji naturalnego warunkubrzegowego zastosowano iloraz róznicowy wstecz. Aby poprawić sytuację, należyużyć ilorazu różnicowego centralnego.



Rozwiążmy problem zginania cienkiej płyty, obciążonej obciążeniem równomiernierozłożonym q.

w=0

C D

BA

y

x∂2w/∂x2=0

w=0∂w/∂x=0

Rys. 11: Problem zginania płyty



Modelem matematycznym jest równanie eliptyczne IV rzędu

∇4w(x , y) = −q(x , y)D, (62)

gdzie sztywność płytowa D wynosi

D = Et3

12 (1− ν2) , (63)

a t jest grubością płyty.

Na brzegach AB i CD płyta jest zamocowana, a na brzegach AC i BD jestswobodnie podparta. Zatem warunki brzegowe będą wyglądały następująco:

brzeg AB i CD, w = 0,∂w

∂x= 0,

brzeg AC i BD, w = 0,∂2w

∂2x= 0.



y

x

1w0 w0 w0 w0 w0

w0 w1 w2 w1 w0

w0 w3 w4 w3 w0

w0

w8

w7 w1 w2 w1 w0

w0 w0 w0

w5 w6

w0 w0

2 3 4 5

6 7 8 9 10

11 12 13 14 15

16 17 18 19 20

21 22 23 24 25

Rys. 12: Siatka MRS

Przyjmijmy następujące dane:

wymiary płyty: 100× 100m,grubość płyty: t = 1 m,

moduł Younga:E = 1, 092 · 1010 N/m2,współczynnik Poissona:ν = 0, 3,

obciążenie: q = 1 · 103 N/m2.



Uwzględniając podwójną symetrię zadania, układ równań MRS możemy napisaćnastępująco

w7 + w5 + w1 + w1 + 2 (w0 + w0 + w0 + w4)− 8(w0 + w0 + w2 + w3)+

+20w1 = −qh4

D, (64)

w0 + w6 + w0 + w2 + 2 (w0 + w0 + w3 + w3)− 8(w1 + w0 + w1 + w4)+

+20w2 = −qh4

D, (65)

w8 + w0 + w3 + w0 + 2 (w0 + w2 + w2 + w0)− 8(w0 + w1 + w4 + w1)+

+20w3 = −qh4

D, (66)

w0 + w0 + w0 + w0 + 2 (w1 + w1 + w1 + w1)− 8(w2 + w3 + w2 + w3)+

+20w4 = −qh4

D, (67)



Z warunków brzegowych:

brzeg AC

∂2w

∂x2=

w7 − 2w0 + w1h2

= 0⇒ w7 = −w1, (68)

∂2w

∂x2=

w8 − 2w0 + w3h2

= 0⇒ w8 = −w3 (69)

brzeg CD

∂w

∂x=

w5 − w12h

= 0⇒ w5 = w1, (70)

∂w

∂x=

w6 − w22h

= 0⇒ w6 = w2 (71)



W zwartej formie układ równań można zapisać⎡⎢⎢⎣22 −8 −8 2−16 22 4 −8−16 4 20 −88 −16 −16 20

⎤⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎣

w1w2w3w4

⎤⎥⎥⎦ = −qh

4

D

⎡⎢⎢⎣1111

⎤⎥⎥⎦ , (72)

po rozwiązaniu otrzymamy⎡⎢⎢⎣

w1w2w3w4

⎤⎥⎥⎦ = −qh

4

D

⎡⎢⎢⎣0, 30840, 41450, 46630, 6313

⎤⎥⎥⎦ =

⎡⎢⎢⎣−0, 1205−0, 1619−0, 1821−0, 2466

⎤⎥⎥⎦ . (73)



00

25

25

50

50

75

75

100

100

-0,05-0,1-0,15

-0,2

0

y

x

0 2550

75100

025

5075

100

-0,05

-0,1

-0,15

-0,2

0

yx

Rys. 13: Przemieszczenia płyty zginanej



Podsumowanie:

łatwa interpretacja modelu dyskretnego MRS oraz duża skutecznośćw przypadku regularnego obszarów regularnych i regularnej siatki węzłów,

możliwości korzystania z modelu lokalnego i globalnego, nie ma potrzebykonstruowania modelu wariacyjnego,

trudność w zastosowaniu w obszarach o dowolnym kształcie, zwłaszcza gdybrzeg obszaru jest krzywoliniowy,

brak możliwości lokalnego zagęszczania siatki, celem uzyskania możliwienajlepszego rozwiązania, przy najmniejszej liczbie stopni swobody;

trudność w łączeniu obszarów o różnych wymiarach, np. belki (1D) z płytą(2D),

trudność w uwzględnianiu niejednorodności typu matematycznego (różnesformułowania matematyczne w podobszarach), czy fizycznego (różnymateriał w podobszarach) oraz obciążeń typu skupionego, przyłożonychw dowolnych punktach obszaru.


Wprowadzenie do metody elementów skończonych


2 Uwagi wstępne






8 Funkcje kształtu



11 Elementy w 2D




Metoda elementów skończonych (MES) jest pewną procedurą wariacyjnąrozwiązywania równań różniczkowych, w której funkcje aproksymacyjne sąwyznaczane w obszarze zastąpionym przez zbiór prostych podobszarów(elementów skończonych), na jakie obszar ten został podzielony. Funkcjeaproksymacyjne są wielomianami algebraicznymi, wyznaczonymi według zasadaproksymacji interpolacyjnej.

Co to jest MES dla inżyniera?

MES jest numeryczną metodą obliczeniową, pozwalającą na znalezienie w sposóbprzybliżony i dyskretny funkcji rozwiązujących problem brzegowy. W przypadkuinteresujących nas zadań liniowej teorii sprężystości (mechanika ciała stałego),szukaną funkcją będą przemieszczenia, zatem będziemy mogli wyznaczyć równieżodkształcenia i naprężenia. Podstawową zaletą metody jest możliwość uzyskiwaniawyników dla skomplikowanych kształtów, dla których niemożliwe jestprzeprowadzenie obliczeń analitycznych.



Co wiemy o liczbie π?

wynosi w przybliżeniu π ≈ 3, 1415 . . .,wyraża iloraz obwodu okręgu i jego średnicy,

ma święto 14 marca (03.14).

Jak obliczyć wartość liczby π?

Rys. 14: Pomysł Archimedesa (250 BC)

Średnia arytmetyczna z obwodu wielokątów wpisanego i opisanego na okręguodniesiona do średnicy okręgu. Wykonał obliczenia dla wielokąta o 96 bokach.Otrzymał wynik π ∈ (3 1071 ; 3 17)⇒ π ≈ 3, 1418 . . .Koczubiej Podstawy mechaniki komputerowej 66/188


Metoda podobna, choć troszkę nowsza.

1

2

3 4

5

6r

d r

i

ln

j2

Rys. 15: Dzielenie okręgu na n części (dyskretyzacja)

Możemy napisać

l ≈ n · ln, (74)

2α =3600

n⇒ α =

3600

2n, (75)

sin(α) =1/2lnr⇒ ln = 2r sin(α), (76)

π =l

d=

l

2r,⇒ π ≈ n · ln

2r=

n · 2r sin(α)2r

= n sin(α). (77)



Policzmy

n = 1, α = 1800, sin(α) = 0, π ≈ 0,n = 2, α = 900, sin(α) = 1, π ≈ 2,

n = 3, α = 600, sin(α) =

√32, π ≈ 3 ·

√32

= 2, 5981,

n = 4, α = 450, sin(α) =

√22, π ≈ 4 ·

√22

= 2, 8284, (78)

. . .

Tabela 1: Kolejne przybliżenia wartości liczby π

n π n π1 0,000000000000000 64 3,140331156954753

2 2,000000000000000 128 3,141277250932773

4 2,828427124746190 256 3,141513801144301

8 3,061467458920718 512 3,141572940367091

16 3,121445152258052 1024 3,141591421511200

32 3,136548490545939 2048 3,141592345570118



Co ma MES do π?

MES = dyskretyzacja + aproksymacja (interpolacja)

Postępowanie MES dla problemów mechaniki:

dzielimy konstrukcję na proste fragmenty, które nazwiemy elementamiskończonymi, elementy skończone są połączone ze sobą we wspólnychw węzłach,

formułujemy zagadnienie dla każdego elementu skończonego, czyliw przypadku mechaniki określamy równania równowagi rozwiązaniaprzybliżonego (zależności pomiędzy naprężeniami lub siłami uogólnionymia przemieszczeniami w węzłach),

składamy elementy skończone i rozwiązujemy całe zagadnienieuwzględniając warunki zgodności przemieszczeń w węzłach, warunkirównowagi, warunki brzegowe, w wyniku tego wyznaczamy przemieszczeniaw węzłach,

dla każdego elementu skończonego, znając jego przemieszczenia, obliczamysiły, odkształcenia, naprężenia działające w elemencie.



Obiektrzeczywisty

Modelobliczeniowy

IdealizacjaDyskretyzacja

Rys. 16: Idealizacja i dyskretyzacja konstrukcji



Uwaga!

Dla potrzeb zrozumienia podstawowych etapów procedury MES, znalezieniapewnych cech charakterystycznych ilustrujących metodę MES i zdefiniowaniapewnych pojęć związanych z MES, tymczasowo potraktujemy metodę jakosposób bezpośredniego budowania równań równowagi konstrukcji, przezrozważenie równowagi pewnych podobszarów, a następnie ich złożenie w jeden,globalny układ równań równowagi.



Przykładem najprostszego elementu skończonego może być sprężyna o sztywnościk .

x

jie

uiue ueke ujFiFe FeFj

Rys. 17: Najprostszy element skończony

Podstawowe parametry elementu skończonego:

węzły: i , j (oznaczenie lokalne, związane z elementem skończonym),

sztywność: ke,

przemieszczenia w węzłach: uei , uej (oznaczenie lokalne),

siły w węzłach: F ei , Fej (oznaczenie lokalne).



Związek siły z przemieszczeniem możemy napisać w postaci

F e = ke ·Δue, (79)

Δue = uej − uei . (80)

Korzystając z warunku równowagi, możemy napisać

F ei + F ej = 0⇒ F ej = −F ei = F e, (81)

i dla każdego z dwóch węzłów

F ei = −F e = −ke (uej − uei)= ke · uei − ke · uej , (82)

F ej = F e = ke(uej − uei

)= −ke · uei + ke · uej . (83)

Zapiszmy ten układ w postaci macierzowej[ke −ke−ke ke

] [ueiuej

]=

[F eiF ej

]. (84)



Po oznaczeniu

Ke ≡[

ke −ke−ke ke

], (85)

ue ≡[

ueiuej

], (86)

Fe ≡[

F eiF ej

], (87)

układ równań będzie miał formę

Keue = Fe, (88)

gdzie:

Ke – macierz sztywności elementu skończonego,

ue – wektor przemieszczeń elementu skończonego,

Fe – wektor sił węzłowych elementu (obciążenie, reakcje).



Ke =[

ke −ke−ke ke

], (89)

Spostrzeżenia:

macierz sztywności Ke jest symetryczna Ke = (Ke)T,

policzmy wyznacznik macierzy sztywności

|Ke| = ke · ke − (−ke)(−ke) = (ke)2 − (ke)2 = 0, (90)

Co to oznacza? Czy możemy rozwiązać równania? Jaka jest interpretacja fizyczna?

Warto zaznaczyć, że wystarczy podać tylko jeden warunek brzegowy dlaprzemieszczenia ue, żeby rozwiązać równania.

Jeżeli uei = 0 (zamocowaliśmy koniec i sprężyny), to uej =

F e

ke.



Rozważmy układ dwóch sprężyn

x

2

2 2

31

1 1

1 2

u1u1 u2u1k1 k2

F1F 1 F2F 1u1u2

F1F 2

u2F2 u3

F3u1F1

u2u2

F2F 2

Rys. 18: Dyskretyzacja układu dwóch sprężyn

Dla każdego elementu skończonego, możemy napisać układ równań równowagi(używany oznaczeń lokalnych)[

k1 −k1−k1 k1

] [u11u12

]=

[F 11F 12

], (91)[

k2 −k2−k2 k2

] [u21u22

]=

[F 21F 22

]. (92)



W każdym węźle oznaczmy przemieszczenia (korzystamy z warunku zgodnościprzemieszczeń w węźle 2)

u1 = u11 , (93)

u2 = u12 = u21 , (94)

u3 = u22 , (95)

i siły, korzystając z warunku równowagi

F1 = F 11 , (96)

F2 = F 12 + F 21 , (97)

F3 = F 22 , (98)

co prowadzi do zależności

F1 = k1u1 − k1u2, (99)

F2 = −k1u1 + k1u2 + k2u2 − k2u3, (100)

F3 = −k2u2 + k2u3. (101)



Po przekształceniu otrzymamy

F1 = k1u1 − k1u2, (102)

F2 = −k1u1 +(k1 + k2

)u2 − k2u3, (103)

F3 = −k2u2 + k2u3. (104)

Wykorzystując powyższe równania, równania równowagi dla elementówskończonych w zapisie macierzowym będą miały postać⎡

⎣ k1 −k1 0−k1 k1 + k2 −k20 −k2 k2

⎤⎦⎡⎣ u1 ≡ u11

u2 ≡ u12 = u21u3 ≡ u22

⎤⎦ =

⎡⎣ F1 ≡ F 11

F2 ≡ F 12 + F 21F3 ≡ F 22

⎤⎦ , (105)

lub krótkoKu = F, (106)

gdzie:

K – globalna macierz sztywności,

u – globalny wektor przemieszczenia,

F – globalny wektor sił węzłowych.



Zapiszmy wkład równań równowagi dla elementu skończonego, rozszerzającmacierze i wektory w taki sposób, aby zawierały wszystkie globalneprzemieszczenia ⎡

⎣ k1 −k1 0−k1 k1 00 0 0

⎤⎦⎡⎣ u1

u2u3

⎤⎦ =

⎡⎣ F 11

F 120

⎤⎦ , (107)

⎧⎪⎨⎪⎩

k1u1 − k1u2 + 0 · u3 = F 11

−k1u1 + k1u2 + 0 · u3 = F 120 · u1 + 0 · u2 + 0 · u3 = 0

, (108)

i w podobny sposób dla drugiego elementu skończonego⎡⎣ 0 0 00 k2 −k20 −k2 k2

⎤⎦⎡⎣ u1

u2u3

⎤⎦ =

⎡⎣ 0F 21

F 22

⎤⎦ . (109)



Po dodaniu układów otrzymamy⎛⎝⎡⎣ k1 −k1 0−k1 k1 00 0 0

⎤⎦ +

⎡⎣ 0 0 00 k2 −k20 −k2 k2

⎤⎦⎞⎠⎡⎣ u1

u2u3

⎤⎦ =

⎡⎣ F 11

F 120

⎤⎦+

⎡⎣ 0F 21

F 22

⎤⎦ ,(110)

czyli taki sam wynik jak poprzednio.

Powyższa operacja składania lokalnych (dla pojedynczych elementówskończonych) układów równań równowagi do jednego globalnego (dla wszystkichelementów skończonych) układu równań równowagi nazywa się agregacją.



Należy zwrócić szczególna uwagę na sposób numerowania węzłów, który istotniewpływa na wynikowe równania równowagi.

Jeśli ponumerujemy węzły jak na rysunku

x

23 11 2k1 k2

u1 F1 u2 F2u3 F3

Rys. 19: Inna numeracja węzłów

nowe macierze sztywności i nowy układ równań będą miały postać

K1 =

⎡⎣ k1 0 −k1

0 0 0−k1 0 k1

⎤⎦ , K2 =

⎡⎣ k2 −k2 0−k2 k2 00 0 0

⎤⎦ , (111)

⎡⎣ k1 + k2 −k2 −k1−k2 k2 0−k1 0 k1

⎤⎦⎡⎣ u3

u1u2

⎤⎦ =

⎡⎣ F3

F1F2

⎤⎦ . (112)



Rozwiążmy układ dwóch sprężyn, z zamocowaną sprężyną 1 i obciążony dwiemasiłami P .

2 31

x

1 2k1 k2

u2 F2 u3 F3

PP

u1 F1

Rys. 20: Układ dwóch sprężyn

Rozszerzone układy równań równowagi MES dla poszczególnych sprężyn będąmiały postać ⎡

⎣ k1 −k1 0−k1 k1 00 0 0

⎤⎦⎡⎣ u1

u2u3

⎤⎦ =

⎡⎣ F 11

F 120

⎤⎦ , (113)

⎡⎣ 0 0 00 k2 −k20 −k2 k2

⎤⎦⎡⎣ u1

u2u3

⎤⎦ =

⎡⎣ 0F 21

F 22

⎤⎦ . (114)



Po agregacji układ równań dla układu sprężyn można zapisać w postaci⎡⎣ k1 −k1 0−k1 k1 + k2 −k20 −k2 k2

⎤⎦⎡⎣ u1 ≡ 0

u2u3

⎤⎦ =

⎡⎣ F1

F2 ≡ PF3 ≡ P

⎤⎦ , (115)

⎧⎪⎨⎪⎩

k1 · 0− k1u2 + 0 · u3 = F1

−k1 · 0+ (k1 + k2)u2 − k2u3 = P

0 · 0− k2u2 + k2u3 = P

. (116)

Układ równań zawierający tylko zmienne pierwotne będzie miał postać[k1 + k2 −k2−k2 k2

] [u2u3

]=

[PP

], (117)

{(k1 + k2)u2 − k2u3 = P

−k2u2 + k2u3 = P. (118)



Po pewnych przekształceniach otrzymamy{k1u2 = 2P

−k2u2 + k2u3 = P. (119)

i dodatkowo−k1u2 = F1. (120)

Rozwiązanie układu wynosi

u2 =2Pk1, u3 =

2Pk1

+P

k2, F1 = −2P . (121)



Rozważmy układ trzech sprężyn.

2 311 2 3k1 k2 k3

Px

4

u2 F2 u3 F3 u4 F4u1 F1

Rys. 21: Układ trzech sprężyn

Przyjmijmy następującedane:

sztywności sprężyn:k1 = 100 N/mm,k2 = 200 N/mm,k3 = 100 N/mm,

siła P = 500 N.

Macierze sztywności elementów będą wynosiły odpowiednio

K1 =[100 −100−100 100

], K2 =

[200 −200−200 200

], K3 =

[100 −100−100 100

],

(122)a globalna macierz sztywności

K =

⎡⎢⎢⎣100 −100 0 0−100 100+ 200 −200 00 −200 200+ 100 −1000 0 −100 100

⎤⎥⎥⎦ . (123)



Globalny układ równań MES⎡⎢⎢⎣100 −100 0 0−100 300 −200 00 −200 300 −1000 0 −100 100

⎤⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎣

u1 ≡ 0u2u3u4 ≡ 0

⎤⎥⎥⎦ =

⎡⎢⎢⎣

F1F2 ≡ 0F3 ≡ 500F4

⎤⎥⎥⎦ . (124)

Układ równań zawierające tylko zmienne pierwotne będzie wynosił[300 −200−200 300

] [u2u3

]=

[0500

], (125)

i dodatkowo {−100u2 = F1

−100u3 = F4. (126)



Rozwiązanie układu wynosi

u2 = 2 mm, u3 = 3 mm, F1 = −200 N F4 = −300 N. (127)

xu2=2 mm u3=3 mm

F4=-300 NF3=500 NF1=-200 N

Rys. 22: Przemieszczenia i reakcje

Sprawdźmy poprawność obliczonych reakcji:

P + F1 + F4 = 0⇒ 500− 200− 300 = 0. (128)

Jakie wartości osiągają siły F 21 i F22 działające na sprężynę 2:

K2u2 = F2, (129)[k2 −k2−k2 k2

] [u2 ≡ u21u3 ≡ u22

]=

[F 21F 22

], (130)[

200 −200−200 200

] [23

]=

[F 21F 22

]⇒[

F 21F 22

]=

[ −200200

]. (131)



Procedura agregacji raz jeszcze.

3

4

5

1

x1

2 3

4

k1

k2 k3

k4

P2 ∆u

P1

2

2

Rys. 23: Układ czterech sprężyn

Zbudujmy macierz topologii łączącą lokalne numery węzłów elementówskończonych i i j z globalnymi numerami węzłów.

Tabela 2: Macierz topologii

Element Węzeł i = 1 Węzeł j = 21 4 22 2 33 3 54 2 1



Element Węzeł i = 1 Węzeł j = 21 4 22 2 33 3 54 2 1

Macierze sztywności poszczególnych elementów wynoszą

4 2

K1 =42

[k1 −k1−k1 k1

]12,

1 2

3 5

K3 =35

[k3 −k3−k3 k3

]12,

1 2

2 3

K2 =23

[k2 −k2−k2 k2

]12, (132)

1 2

2 1

K4 =21

[k4 −k4−k4 k4

]12. (133)

1 2



4 2

K1 =42

[k1 −k1−k1 k1

]12,

1 2

3 5

K3 =35

[k3 −k3−k3 k3

]12,

1 2

2 3

K2 =23

[k2 −k2−k2 k2

]12, (134)

1 2

2 1

K4 =21

[k4 −k4−k4 k4

]12. (135)

1 2Zagregowana macierz sztywności będzie miała postać

1 2 3 4 5

K =

12345

⎡⎢⎢⎢⎢⎣

k4 −k4 0 0 0−k4 k1 + k2 + k4 −k2 −k1 00 −k2 k2 + k3 0 −k30 −k1 0 k1 00 0 −k3 0 k3

⎤⎥⎥⎥⎥⎦ . (136)



3

4

5

1

x1

2 3

4

k1

k2 k3

k4

P2 ∆u

P1

2

2

Końcowy, globalny układ równań⎡⎢⎢⎢⎢⎣

k4 −k4 0 0 0−k4 k1 + k2 + k4 −k2 −k1 00 −k2 k2 + k3 0 −k30 −k1 0 k1 00 0 −k3 0 k3

⎤⎥⎥⎥⎥⎦

⎡⎢⎢⎢⎢⎣

U1U2U3U4 ≡ 0U5 ≡ Δu

⎤⎥⎥⎥⎥⎦ =

⎡⎢⎢⎢⎢⎣

F1 ≡ P1F2 ≡ 0F3 ≡ −P2F4F5

⎤⎥⎥⎥⎥⎦ .(137)


Etapy procedury MES


2 Uwagi wstępne






8 Funkcje kształtu



11 Elementy w 2D



Etapy procedury MES

Dyskretyzujemyobszar

2 31 1 2

Obliczamy macierze sztywnościelementów (interpolacja)

k1

K1u1=F1 K2u2=F2k2

P

Agregujemy, uwzględniamy warunkibrzegowe, rozwiązujemy równania

KU=FK1 K2

P

Wyznaczamy siły (naprężenia)w elementach skończonych

K1u1=F1 K2u2=F2

K1 u1 K2 u2

Rys. 24: Etapy procedury MES


Etapy procedury MES

Rozwiązanie typowego problemu metodą elementów skończonych jest realizowanew następujących etapach:

dyskretyzacja (podział obszaru na podobszary), wynikiem której jestzastąpienie obszaru zbiorem elementów skończonych; liczba, kształt i typelementu zależą od rozwiązywanego problemu; w tym etapie ustala się liczbęelementów skończonych, liczbę i współrzędne węzłów oraz tablicę topologii(incydencji),

wyznaczenie równań MES dla elementów; sformułowanie równania;aproksymacja nieznanych funkcji w elementach,

agregacja (złożenie) elementów, czyli budowa układu równań przywykorzystaniu warunku zgodności zmiennych węzłowych oznaczającego, żewartości tych zmiennych we wspólnym węźle są takie same; otrzymujemyukład równań MES całego problemu,

uwzględnienie naturalnych i podstawowych warunków brzegowych, czyliwprowadzenie ich do zagregowanego układu równań,

rozwiązanie równań ze względu na niewiadome węzłowe,

obliczenie dodatkowych wielkości, czyli obliczenie wartości funkcjirozwiązania i ich pochodnych, w innych niż węzły punktach obszaru.


Etapy procedury MES

Inne typy elementów skończonych.

Rys. 25: Przykłady elementów skończonych


Funkcje kształtu


2 Uwagi wstępne






8 Funkcje kształtu



11 Elementy w 2D



Funkcje kształtu

Po rozwiązaniu równań MES, otrzymamy wartości szukanych przemieszczeń (lubinnych niewiadomych) w węzłach.

L0x

u

21

u1

u2

u(L/2)=?

Rys. 26: Przemieszczenie w środku elementu skończonego

Jak wyznaczyć przemieszczenie (lub inną niewiadomą) w środku elementuskończonego?

możemy zwiększyć liczbę elementów skończonych, tak aby w interesującymmiejscu znalazł się węzeł,możemy założyć jakiś sposób zmiany interesującego nas przemieszczeniaw elemencie i opisać go funkcją (aproksymacja, interpolacja).


Funkcje kształtu

L x

u

u1

u2

u(L/2)=?

0

Rys. 27: Interpolacja liniowa

W drugim przypadku, najprostszą funkcją może być funkcja liniowa w postaciu(x) = ax + b. Dla elementu o długości L, musi spełniać następujące warunki:

na początku elementu skończonego, czyli dla x = 0 musi mieć wartość u1

u(0) = a · 0+ b = u1, (138)

na końcu elementu skończonego, dla x = L musi mieć wartość u2

u(L) = a · L+ b = u2. (139)


Funkcje kształtu

Powyższe równania pozwolą nam wyznaczyć nieznane współczynniki a i b, którewynoszą

a =u2 − u1

L, (140)

b = u1, (141)

funkcja opisująca wartość przemieszczenia w elemencie będzie miała postać

u(x) =u2 − u1

Lx + u1. (142)

Spostrzeżenia:

łatwo obliczyć takie funkcje,

każdy element będzie miał inną funkcję aproksymacyjną,

jeśli element będzie miał jeszcze jakieś inne stopnie swobody (np.przemieszczenia w innych płaszczyznach, kąty obrotu) to trzeba wyznaczyćfunkcję dla każdego stopnia swobody,

współczynnik a nie ma fizycznej interpretacji.


Funkcje kształtu

Czy można inaczej (lepiej)?

Przekształćmy naszą funkcję

u(x) =u2 − u1

Lx + u1 =

u2Lx − u1

Lx + u1 = u1

(1− 1

Lx

)+ u2

(1Lx

), (143)

po oznaczeniuN1(x) = 1− x

L, N2(x) =

x

L, (144)

będziemy mogli napisać

u(x) = N1(x)u1 + N2(x)u2. (145)

Funkcja u(x) teraz jest kombinacją liniową wyrażeń N1(x), N2(x) i przemieszczeńw węzłach u1 i u2.


Funkcje kształtu

Sprawdźmy własności wyrażeń N1(x) i N2(x) w węzłach:

dla x = 0

N1(0) = 1− 0L= 1, N2(0) =

0L= 0, (146)

dla x = L

N1(L) = 1− L

L= 1− 1 = 0, N2(L) =

L

L= 1. (147)

L0 x

1 1

N1(x) N2(x)

u

Rys. 28: Funkcje N1(x) i N2(x)


Funkcje kształtu

Otrzymane funkcje N1(x) i N2(x) są liniowymi funkcjami interpolacyjnymiLagrange’a. W MES funkcje interpolacyjne noszą nazwę funkcji kształtu.

Stosuje się też inne rodzaje funkcji interpolacyjnych, np. Hermita, Serendipa.

L x

u1

u2

N1(x)u1N2(x)u2

u

0

Rys. 29: Interpolacja liniowa Lagrange’a w elemencie dwuwęzłowym


Funkcje kształtu

Ogólną postać interpolacji Lagrange’a można napisać w formie

un(x) =n∑

i=0

Nn,i(x)ui = Nn,0(x)u0+Nn,1(x)u1+Nn,2(x)u2+. . .+Nn,n(x)un, (148)

gdzie n określa stopień wielomianu interpolacyjnego, a i to numer funkcji.

Spostrzeżenia:

otrzymana forma funkcji u(x) ma przejrzystą strukturę, składa sięz podobnych części,

każda część to iloczyn przemieszczenia w węźle ui (wartość, która mainterpretację fizyczny) i funkcji kształtu Ni(x),

wartość funkcji kształtu Ni (x) przedstawia wkład przemieszczenia ui dowartości przemieszczenia u(x) wewnątrz elementu,

funkcje Ni (x) będą takie same dla wszystkich elementów tego samego typu(zależą tylko od jego długości)

funkcje Ni (x) będą takie same dla każdego stopnia swobody.


Funkcje kształtu

Funkcje interpolacyjne Lagrange’a (funkcje bazowe Lagrange’a) mają postaćogólną

Nn,i(x) =n∏

j=0j �=i

x − xjxi − xj

=(x − x0)(x − x1) . . . (x − xi−1)(x − xx+1) . . . (x − xn)

(xi − x0)(xi − x1) . . . (xi − xi−1)(xi − xi+1) . . . (xi − xn),

(149)

2 2 31 1x x

uu

Rys. 30: Interpolacja Lagrange’a dla elementów dwu- i trzywęzłowych


Funkcje kształtu

x

u

Rys. 31: Aproksymacja liniowymi funkcjami kształtu

Spostrzeżenia:

używanie elementów skończonych z taką interpolacją funkcji przemieszczeniapowoduje zastąpienie realnego rozkładu linią łamaną,

w ten sposób można przybliżyć każdą funkcję ciągła z dowolną dokładnością,

im więcej elementów, tym lepiej.


Analiza statyczna MES pręta


2 Uwagi wstępne






8 Funkcje kształtu



11 Elementy w 2D




Wspomnieliśmy, że metoda MES jest wariacyjną metodą rozwiązywania równańróżniczkowych. Metody wariacyjne pozwalają na szukanie rozwiązania równaniaróżniczkowego budując ważone równania całkowe, które w naturalny sposóbtworzą bazę dla otrzymania rozwiązań przybliżonych. Podstawowym modelembędzie sformułowanie lokalne w postaci równania różniczkowego.

Wśród metod wariacyjnych możemy wyróżnić metodę Rayleigha-Ritza, lubmetody residuów ważonych np. kollokacji, najmniejszych kwadratów,Bubnowa-Galerkina.

Problem liniowej teorii sprężystości jest problemem samosprzężonym. W takimprzypadku nie musimy budować równania całkowego wykorzystując metodywariacyjne. Wygodniej będzie skorzystać ze sformułowania równoważnegopodejściu wariacyjnemu, jakim będzie minimalizacja pewnego funkcjonału.

Takim funkcjonałem, jak już wcześniej wspomniano, jest funkcjonał całkowitejenergii potencjalnej.



Obliczmy całkowitą energię potencjalną sprężyny Π

x

kP

F u

RF

Rys. 32: Odkształcona sprężyna

Π = U − L, (150)

i dalej

U =12Fu =

12ku2, (151)

L = Pu, (152)

zatem

Π(u) =12ku2 − Pu. (153)



Zasada minimum energii potencjalnej (twierdzenie Lagrange’a) mówi, że każdyukład fizyczny dąży do osiągnięcia stanu o minimalnej energii potencjalnej. Takipunkt będzie stanem równowagi.

U

WΠ

u

U, W

u=P/k

Rys. 33: Minimum energii potencjalnej

Policzmy

min[Π(u)]⇒ dΠ(u)du

= 0⇒ ku − P = 0. (154)

Z powyższej zależności możemy określić przemieszczenia w punkcie równowagi.

u =P

k. (155)



Rozwiążmy problem pręta rozciąganego o zmiennym polu przekroju, obciążonydwoma siłami skupionymi P1, P2 i obciążeniem ciągłym q(x)

L/3

P2

x

q(x)

L

P1E A(x)

Rys. 34: Pręt

Całkowita energia potencjalna obciążonego pręta (przypadek jednowymiarowy)

Π = U − L, (156)

gdzie U jest energią sprężystą,

U =12E

∫ L

0A(x) (u′(x))2 dx , (157)



a L jest pracą obciążeń zewnętrznych

L =

∫ L

0q(x)u(x) dx +

n∑i=1

FiQi . (158)

Siły Fi są uogólnionymi siłami węzłowymi, a Qi są uogólnionymiprzemieszczeniami na kierunkach tych sił.

Biorąc pod uwagę geometrię i sposób obciążenia pręta, możemy gozdyskretyzować w następujący sposób

L/3x

q(x)|x=0q(x)|x=L/3

q(x)|x=L/3q(x)|x=L

2L/3u1=u(0)=0

A1 A2E E2 311 2

u1 u2u3F1 F2 F3

Rys. 35: Dyskretyzacja pręta



Następnie zdefiniujmy globalny wektor stopni swobody Q ({•} – oznaczają wektorkolumnowy, {•}T ≡ [•])

Q ={Q1 Q2 Q3

} ≡ {u1 u2 u3}, (159)

i globalny wektor sił węzłowych F

F ={F1 F2 F3

}. (160)

W wektorze Q zawarte są:

kinematyczny (podstawowy) warunek brzegowy Q1 ≡ u1 = 0,

niewiadome kinematyczne (pierwotne) Q2 i Q3.

W wektorze F zawarte są:

statyczne (naturalne) warunki brzegowe F2 = P1 i F3 = P2,

niewiadoma statyczna (wtórna) F1.



Będziemy korzystać z tego, że całkowita energia potencjalna pręta jest sumąenergii potencjalnej części pręta (elementów skończonych)

Π =m∑

e=1

Πe = Π1 +Π2. (161)

x2x1

q1(x1)

A1Eq2(x2)

A2E21 21

u2u1u1u1 L1 u2u2u1u2 L2

x

2 31

1 2

u1 u2u3F1 F2 F3

F1F 1 F2F

1 F1F 2 F2F

2

Rys. 36: Elementy skończone

i rozważmy dowolny element skończony pręta. Dla wygody wprowadźmy lokalneukłady współrzędnych związanych z elementami xe.Koczubiej Podstawy mechaniki komputerowej 113/188


W elemencie skończonym

xe

qe(xe)AeEe

21

u2ueu1ue Le xe ∈ (0, Le)F1Fe F2Fe

Rys. 37: Prętowy element skończony

zdefiniujmy wektor stopni swobody elementu Qe

Qe ={Qe1 Qe2

} ≡ {ue1 ue2}, (162)

i sił węzłowych Fe

Fe ={F e1 F e2

}. (163)

Przyjmiemy interpolację nieznanej funkcji przemieszczenia ue(xe) w formie

ue(xe) = Ne1(xe)ue1 + Ne2(x

e)ue2 = Ne1(xe)Qe1 + Ne2(x

e)Qe2 . (164)



Skorzystamy z zapisu macierzowego

ue(xe) = Ne(xe)Qe = (Qe)T (Ne(xe))T , (165)

gdzie Ne(xe) ma postać

Ne(xe) =[Ne1(x

e) Ne2(xe)], (166)

a Ne1(xe) i Ne2(x

e) są funkcjami kształtu Lagrange’a

Ne1(xe) = 1− xe

Le, Ne2(x

e) =xe

Le. (167)

Pochodna funkcji przemieszczenia będzie miała postać

u′e(xe) = N′e(xe)Qe = (Qe)T (N′e(xe))T , (168)

gdzieN′e(xe) =

[N ′e1 (x

e) N ′e2 (xe)], (169)

i

N ′e1 (xe) = − 1

Le, N ′e2 (x

e) =1Le. (170)



Zakładamy stały przekrój poprzeczny elementu skończonego prętowego Ae (możebyć inny w różnych elementach). Całkowita energia potencjalna elementuskończonego prętowego e wynosi

Πe =12E eAe

∫ Le

0(u′e(xe))2 dxe −

∫ Le

0qe(xe)ue(xe) dxe − F e1Q

e1 − F e2Q

e2 . (171)

Wykorzystując interpolację, energię potencjalną można zapisać

Πe =12E eAe

∫ Le

0(Qe)T(N′e)TN′eQe dxe −

∫ Le

0(Qe)T(Ne)Tqe dxe − (Qe)TFe =

=12(Qe)T

{E eAe

∫ Le

0(N′e)TN′e dxe

}Qe − (Qe)T

{∫ Le

0(Ne)Tqe dxe + Fe

}=

=12(Qe)TKeQe − (Qe)T

{Pe + Fe

}. (172)



We wzorze

Πe =12(Qe)TKeQe − (Qe)T

{Pe + Fe

}, (173)

oznaczono:

macierz sztywności prętowego elementu skończonego

Ke = E eAe∫ Le

0(N′e(xe))TN′e(xe) dxe, (174)

wektor węzłowych równoważników obciążenia prętowego elementuskończonego

Pe =∫ Le

0(Ne)Tqe(xe) dxe, (175)

wektor sił węzłowych prętowego elementu skończonego Fe,

wektor stopni swobody (niewiadome pierwotne, przemieszczeniaw węzłach) prętowego elementu skończonego Qe.



Po wykorzystaniu interpolacji ue(xe), całkowita energia potencjalna elementu jestteraz funkcją wielu (w naszym przypadku dwóch) zmiennych Πe(Qe1 ,Q

e2) i warunek

konieczny stanu równowagi (minimum energii potencjalnej) jest następujący

∂Πe

∂Qe1= 0

∂Πe

∂Qe2= 0

⎫⎪⎪⎬⎪⎪⎭ ≡

∂Πe

∂Qe= 0⇒ ∂

∂Qe

(12(Qe)TKeQe − (Qe)T

{Pe + Fe

})= 0,

(176)co prowadzi do równań równowagi MES dla prętowego elementu skończonego

KeQe = Pe + Fe, (177)

lubKeQe = Re, (178)

gdzie zdefiniowano całkowity wektor obciążenia elementu skończonego

Re = Pe + Fe. (179)



Jeśli przyjmiemy, że E e = const. i Ae = const. to

Ke = E eAe∫ Le

0(N′e(xe))TN′e(xe) dxe = E eAe

∫ Le

0

⎡⎢⎣−1Le

1Le

⎤⎥⎦[− 1

Le1Le

]dxe =

= E eAe∫ Le

0

⎡⎢⎢⎣

1(Le)2

− 1(Le)2

− 1(Le)2

1(Le)2

⎤⎥⎥⎦ dxe = E eAe

⎡⎢⎢⎣

xe

(Le)2− xe

(Le)2

− xe

(Le)2xe

(Le)2

⎤⎥⎥⎦∣∣∣∣∣∣∣∣

Le

0

=

= E eAe

⎡⎢⎣1Le− 1Le

− 1Le

1Le

⎤⎥⎦ , (180)

Ke =

⎡⎢⎣

E eAe

Le−E

eAe

Le

−EeAe

LeE eAe

Le

⎤⎥⎦ . (181)



Jeśli przyjmiemy, że qe = const. to

Pe = qe∫ Le

0(Ne)Tqe dxe = qe

∫ Le

0

⎡⎢⎣ 1−

xe

Le

xe

Le

⎤⎥⎦ dxe = qe

⎡⎢⎢⎣xe − (xe)2

2Le

(xe)2

2Le

⎤⎥⎥⎦∣∣∣∣∣∣∣∣

Le

0

= qe

⎡⎢⎣Le

2Le

2

⎤⎥⎦ ,

(182)

Pe =

⎡⎢⎣qeLe

2qeLe

2

⎤⎥⎦ . (183)

Wykorzystaliśmy fakt, że całkowita energia potencjalna pręta jest sumą energiipotencjalnych elementów skończonych i zajmowaliśmy się jednym elementemskończonym. Kolejnym krokiem jest agregacja, która pozwoli wyrazić man energiępotencjalną całego pręta poprzez nieznane wielkości globalne zawarte w wektorzeQ.



Posłużymy się macierzą topologii w postaci

Element Węzeł 1 Węzeł 21 1 22 2 3

Warunki ciągłości przemieszczeń we wspólnych węzłach elementów skończonychpozwolą nam napisać

Q =

⎡⎣ Q1

Q2Q3

⎤⎦ =

⎡⎣ Q11

Q12 = Q21Q22

⎤⎦ . (184)

0 Q3

Q2 = +

0 Q1

3

2

1

1 1 1 12 3

K1

K Q P F

P1

K2 P2

F1

F2

Rys. 38: Graficzna interpretacja agregacji



0 Q3

Q2 = +

0 Q1

3

2

1

1 1 1 12 3

K1

K Q P F

P1

K2 P2

F1

F2

Globalna macierz sztywności będzie miała postać

K = An

e=1Ke =

⎡⎣ K11 K12 K13

K21 K22 K13K31 K33 K33

⎤⎦ =

⎡⎣ K 111 K 112 0

K 121 K 122 + K 211 K 2120 K 221 K 222

⎤⎦ . (185)

Globalne wektory węzłowych równoważników obciążenia i sił węzłowych

P = An

e=1Pe =

⎡⎣ P1

P2P3

⎤⎦ =

⎡⎣ P11

P12 + P21P22

⎤⎦ , (186)

F = An

e=1Fe =

⎡⎣ F1

F2F3

⎤⎦ =

⎡⎣ F 11

F 12 + F 21F 22

⎤⎦ . (187)



Układ równań MES zapiszemy w postaci⎡⎣ K 111 K 112 0

K 121 K 122 + K 211 K 2120 K 221 K 222

⎤⎦⎡⎣ Q1

Q2Q3

⎤⎦ =

⎡⎣ P11

P12 + P21P22

⎤⎦+

⎡⎣ F1

F2F3

⎤⎦ . (188)

Rozwiązanie układu równań wymaga uwzględnienia warunków brzegowych

Q1 = u(0) = 0, F2 = P1, F3 = P2, (189)

ostatecznie będziemy mogli zapisać⎡⎣ K 111 K 112 0

K 121 K 122 + K 211 K 2120 K 221 K 222

⎤⎦⎡⎣ 0Q2

Q3

⎤⎦ =

⎡⎣ P11

P12 + P21P22

⎤⎦+

⎡⎣ F1

P1P2

⎤⎦ . (190)



Po rozwiązaniu układu równań MES, otrzymamy wartości przemieszczeńw węzłach Q2 i Q3 oraz wartość siły F1.

Pamiętając o tym, że

Q =

⎡⎣ Q1

Q2Q3

⎤⎦ =

⎡⎣ Q11

Q12 = Q21Q22

⎤⎦ , (191)

i wykorzystując interpolację

ue(xe) = Ne1(xe)Qe1 + Ne2(x

e)Qe2 =

(1− xe

Le

)Qe1 +

(xe

Le

)Qe2 , (192)

będziemy mogli zapisać szukaną funkcję przemieszczeń dla elementów

u(x) =

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

u1(x1) =

(1− x1

L1

)Q1 +

(x1

L1

)Q2 dla e = 1,

u2(x2) =

(1− x2

L2

)Q2 +

(x2

L2

)Q3 dla e = 2.

(193)



L/3

P2

x

q(x)

L

P1E A(x)

L/3x

q(x)|x=0q(x)|x=L/3

q(x)|x=L/3q(x)|x=L

2L/3u1=u(0)=0

A1 A2E E2 311 2

u1 u2u3F1 F2 F3


E = 200 GPa,

L = 1, 2 m,

A1 = 0, 5 · 10−3 m2,A2 = 0, 4 · 10−3 m2,

q = 10 kN/m,

P1 = 40 kN,

P2 = 5 kN.

Element e = 1: E 1 = 200 GPa, A1 = 0, 5 · 10−3 m2, L1 = 0, 4 m, q1 = 10 kN/m,

K1 = 106[250 −250−250 250

], P1 = 103

[22

]. (194)



Element e = 2: E 2 = 200 GPa, A1 = 0, 4 · 10−3 m2, L2 = 0, 8 m, q2 = 10 kN/m,

K2 = 106[100 −100−100 100

], P2 = 103

[44

]. (195)

Globalna macierz sztywności i globalny wektor równoważników obciążenia

K = 106

⎡⎣ 250 −250 0−250 350 −1000 −100 100

⎤⎦ , P = 103

⎡⎣ 264

⎤⎦ , (196)

globalny wektor sił węzłowych

F = 103

⎡⎣ F1405

⎤⎦ . (197)



Układ równań równowagi MES, po uwzględnieniu warunków brzegowych

106

⎡⎣ 250 −250 0−250 350 −1000 −100 100

⎤⎦⎡⎣ 0Q2

Q3

⎤⎦ = 103

⎡⎣ 264

⎤⎦+ 103

⎡⎣ F1405

⎤⎦ . (198)

Z równania 2 i 3 wyznaczymy niewiadome pierwotne (przemieszczenia)

Q2 = 0, 00022m, Q3 = 0, 00031m. (199)

Następnie z równania 1 wyznaczymy niewiadomą wtórną (reakcja)

F1 = −250 · 106 · Q2 − 2 · 103 = −250 · 106 · 0.00022− 2 · 103 = −57 kN. (200)

Globalny wektor przemieszczeń będzie wynosił

Q =

⎡⎣ Q1

Q2Q3

⎤⎦ =

⎡⎣ 00, 000220, 00031

⎤⎦ , (201)



a przemieszczenia w elementach

Q1 =[

Q1Q2

]=

[Q11Q12

]=

[0

0, 00022

], (202)

Q2 =[

Q2Q3

]=

[Q21Q22

]=

[0, 000220, 00031

]. (203)

Funkcja przemieszczeń dla elementów

u(x) =

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

u1(x1) =

(x1

0, 4

)0, 00022 dla e = 1,

u2(x2) =

(1− x2

0, 8

)0, 00022+

(x2

0, 8

)0, 00031 dla e = 2.

(204)



xx=0

Q2=0,00022

Q3=0,00031

Q1=0x=0,4 x=1,2

u

1 22 31

N1(x)Q2N2 N2(x)Q3

N1

N2

N2(x)Q2

Rys. 39: Przemieszczenia pręta



Siły węzłowe w elementach można obliczyć dwoma sposobami.

Sposób 1. Różniczkowanie funkcji kształtu.

Korzystając z zależności

F = Aσ, σ = Eε, ε =du(x)dx, (205)

możemy napisać

F = AEdu(x)dx, (206)

czyli dla obu elementów

F 1(x1) = EA1u′1(x) = EA1(N11 (x1)Q1 + N12 (x

1)Q2), (207)

F 2(x2) = EA2u′2(x) = EA2(N21 (x2)Q2 + N22 (x

2)Q3). (208)



Element e = 1, L1 = 0, 4 m, Q1 = 0 m, Q2 = 0, 00022m,

F 1(x1) = EA1((− 1L1

)Q1 +

(1L1

)Q2

)=

= 200 · 109 · 5 · 10−4(−(10, 4

)0+

(10, 4

)0, 00022

)= 55 kN.

Element e = 2, L2 = 0, 8 m, Q2 = 0, 00022m, Q3 = 0, 00031m,

F 2(x2) = EA2((− 1L2

)Q2 +

(1L2

)Q3

)=

= 200 · 109 · 4 · 10−4(−(10, 8

)0, 00022+

(10, 4

)0, 00031

)= 11, 25 kN.



Sposób 2. Równania równowagi elementu skończonego.

Skorzystamy z zależnościFe = KeQe − Pe, (209)

i napiszemy

F1 = K1Q1 − P1, (210)

F2 = K2Q2 − P2. (211)

Element e = 1,

F1 =[

F 11F 12

]= 106

[250 −250−250 250

] [0

0, 000220

]−103

[22

]=

[ −5753

]kN,

(212)

Element e = 2,

F2 =[

F 21F 22

]= 106

[125 −125−125 125

] [0, 0002200, 000292

]−103

[44

]=

[ −135

]kN,

(213)



xx=0

57 kN53 kN

P1=40 kNq=10 kN/m(L2=0,8 m)

P2=5 kN

55 kN

11,25 kN13 kN5 kN

x=0,4 x=1,2

F

1 22 31

q=10 kN/m(L1=0,4 m)

Rys. 40: Siły węzłowe w pręcie

Jak widać, wyniki otrzymane poprzez różniczkowanie funkcji pierwotnej, są niskiejjakości, na przykład nie zapewniają odpowiedniej ciągłości na granicachelementów skończonych. Jakość rozwiązania możemy poprawić zwiększając liczbęelementów skończonych lub przez używanie funkcji bazowych wyższych rzędów.


Belkowy element skończony


2 Uwagi wstępne






8 Funkcje kształtu



11 Elementy w 2D




x

z

q(x)

L

P

M E J(x)

Rys. 41: Belka

Całkowita energia potencjalna belki wynosi

Π =12E

∫ L

0J(x) (w ′′(x))2 dx −

∫ L

0q(x)w(x) dx +

n∑i=1

FiQi . (214)



xe

ze

qe(xe)JeEe

21

w2wew1

φ1φe

we

Le

xe ∈ (0, Le)

F1Fe

F2Fe

F3Fe

φ2φeF4Fe

Rys. 42: Belkowy element skończony

Zdefiniujmy wektor stopni swobody elementu Qe

Qe ={Qe1 Qe2 Qe3 Qe4

} ≡ {w e1 ϕe1 w e2 ϕe2

}, (215)

i wektor sił węzłowych Fe

Fe ={F e1 F e2 F e3 F e4

}. (216)



Zakładając stały stały moment bezwładności dla całego elementu, całkowitaenergia potencjalna belkowego elementu skończonego będzie wynosić

Πe =12E eJe

∫ Le

0

(w ′′e(xe)

)2dxe−

∫ Le

0qe(xe)w e(x) dxe−F e1Qe1−F e2Qe2−F e3Qe3−F e4Qe4 .

(217)Wykorzystując interpolację Hermite’a w postaci

ue(xe) = Ne1(xe)w e1 + Ne2(x

e)ϕe1 + Ne3(xe)w e2 + Ne4(x

e)ϕe2 =

= Ne1(xe)Qe1 + Ne2(x

e)Qe2 + Ne3(xe)Qe3 + Ne4(x

e)Qe4 =

= Ne(xe)Qe = (Qe)T (Ne(xe))T , (218)

gdzie Ne(xe) ma postać

Ne(xe) =[Ne1(x

e) Ne2(xe) Ne3(x

e) Ne4(xe)], (219)

a Ne1(xe), Ne2(x

e), Ne3(xe) i Ne4(x

e) są funkcjami kształtu.



Funkcje kształtu Hermite’a mają postać

Ne1(xe) = 1− 3

(xe

Le

)2+ 2

(xe

Le

)3, Ne2(x

e) = xe

(1− 2

(xe

Le

)+

(xe

Le

)2),

Ne3(xe) = 3

(xe

Le

)2− 2

(xe

Le

)3, Ne4(x

e) = xe

(−(xe

Le

)+

(xe

Le

)2).

(220)

x x

w

1 1N1(x) N3(x)

N2(x)

N4(x)L0 L0

tg()=1

β

tg(β)=1

φ

Rys. 43: Funkcje kształtu Hermite’a



Druga pochodna funkcji przemieszczenia będzie miała postać

u′′e(xe) = N′′e(xe)Qe = (Qe)T (N′′e(xe))T , (221)

gdzieN′′e(xe) =

[N ′′e1 (xe) N ′′e2 (xe) N ′′e3 (xe) N ′′e4 (xe)

], (222)

i

N ′′e1 (xe) = − 6(Le)2

+12

(Le)3xe, N ′′e2 (xe) = − 4

Le+6

(Le)2xe,

N ′′e3 (xe) =6

(Le)2− 12

(Le)3xe, N ′′e4 (xe) = − 2

Le+6

(Le)2xe. (223)

Wykorzystując interpolację, energię potencjalną można zapisać

Πe =12E eJe

∫ Le

0(Qe)T(N′′e)TN′′eQe dxe −

∫ Le

0(Qe)T(Ne)Tqe dxe − (Qe)TFe =

=12(Qe)T

{E eJe

∫ Le

0(N′′e)TN′′e dxe

}Qe − (Qe)T

{∫ Le

0(Ne)Tqe dxe + Fe

}=

=12(Qe)TKeQe − (Qe)T

{Pe + Fe

}. (224)



We wzorze

Πe =12(Qe)TKeQe − (Qe)T

{Pe + Fe

}, (225)

oznaczono:

macierz sztywności belkowego elementu skończonego

Ke = E eAe∫ Le

0(N′′e(xe))TN′′e(xe) dxe, (226)

wektor węzłowych równoważników obciążenia belkowego elementuskończonego

Pe =∫ Le

0(Ne)Tqe(xe) dxe, (227)

wektor sił węzłowych belkowego elementu skończonego Fe,

wektor stopni swobody (niewiadome pierwotne, przemieszczeniaw węzłach) belkowego elementu skończonego Qe.



Po wykorzystaniu interpolacji ue(xe), całkowita energia potencjalna elementu jestteraz funkcją czterech zmiennych Πe(Qe1 ,Q

e2,Q

e3 ,Q

e4) i warunek konieczny stanu

równowagi (minimum energii potencjalnej) jest następujący

∂Πe

∂Qe1= 0

∂Πe

∂Qe2= 0

∂Πe

∂Qe3= 0

∂Πe

∂Qe4= 0

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭

≡ ∂Πe

∂Qe= 0⇒ ∂

∂Qe

(12(Qe)TKeQe − (Qe)T

{Pe + Fe

})= 0,

(228)co prowadzi do równań równowagi MES dla belkowego elementu skończonego

KeQe = Pe + Fe, (229)

lubKeQe = Re, Re = Pe + Fe, (230)

gdzie zdefiniowano całkowity wektor obciążenia elementu skończonego Re.Koczubiej Podstawy mechaniki komputerowej 141/188


Jeśli przyjmiemy, że E e = const. i Je = const. to

Ke = E eJe∫ Le

0(N′′e(xe))TN′′e(xe) dxe =

= E eJe∫ Le

0

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

− 6(Le)2

+12xe

(Le)3

− 4Le

+6xe

(Le)2

6(Le)2− 12x

e

(Le)3

− 2Le

+6xe

(Le)2

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

[− 6(Le)2

+12xe

(Le)3− 4

Le+6xe

(Le)2

6(Le)2

− 12xe

(Le)3− 2

Le+6xe

(Le)2

]dxe, (231)



i po wycałkowaniu macierz sztywności elementu belkowego będzie wynosić

Ke =

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

12E eJe

(Le)36E eJe

(Le)2−12E

eJe

(Le)36E eJe

(Le)2

6E eJe

(Le)24E eJe

Le−6E

eJe

(Le)22E eJe

Le

−12EeJe

(Le)3−6E

eJe

(Le)212E eJe

(Le)3−6E

eJe

(Le)2

6E eJe

(Le)22E eJe

Le−6E

eJe

(Le)24E eJe

Le

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦. (232)



Jeśli przyjmiemy, że qe = const. to

Pe = qe∫ Le

0(Ne)Tqe dxe = qe

∫ Le

0

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

1− 3(xe

Le

)2+ 2

(xe

Le

)3

xe

(1− 2

(xe

Le

)+

(xe

Le

)2)

3(xe

Le

)2− 2

(xe

Le

)3

xe

(−(xe

Le

)+

(xe

Le

)2)

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

dxe, (233)



i po wycałkowaniu wektor równoważników obciążenia elementu belkowegobędzie wynosił

Pe =

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

qeLe

2qe(Le)2

12qeLe

2

−qe(Le)2

12

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦. (234)

Dalsze postępowanie, czyli: agregacja, budowa równań MES, wprowadzeniewarunków brzegowych, rozwiązanie równań jest analogiczne jak w przypadkuelementów prętowych.



Rozwiążmy belkę ciągłą zdyskretyzowaną dwoma elementami skończonymi.

x

z

q

L1 L2

M EJ 2EJ

Rys. 44: Belka


EJ = 100 kNm2,

L1 = 6 m,

L2 = 8 m,

q = 10 kN/m,

M = 20 kNm.



x

z

q

L1 L2

EJ 2EJ

w1=0 w2=0 w3=0

2 31

1 2

w1 w2 w3

F1 F3

F4

F5

F6F2φ2 φ3φ1

Rys. 45: Dyskretyzacja belki

Zdefiniujmy globalny wektor stopni swobody

Q ={Q1 Q2 Q3 Q4 Q5 Q6

} ≡ {w1 ϕ1 u2 ϕ2 w3 ϕ3}, (235)

i globalny wektor sił węzłowych

F ={F1 F2 F3 F4 F5 F6

}. (236)



x

z

q

L1 L2

M EJ 2EJ x

z

q

L1 L2

EJ 2EJ

w1=0 w2=0 w3=0

2 31

1 2

w1 w2 w3

F1 F3

F4

F5

F6F2φ2 φ3φ1


kinematyczne (podstawowe) waruneki brzegoweQ1 ≡ w1 = Q3 ≡ w2 = Q5 ≡ w3 = 0,

niewiadome kinematyczne (pierwotne) Q2, Q4 i Q6.


statyczne (naturalne) warunki brzegowe F2 = M , F4 = 0 i F6 = 0,

niewiadome statyczne (wtórne) F1, F3 i F5.



x

2 31

1 2

w1 w2 w3

F1 F3

F4

F5

F6F2

z1 z2

φ2 φ3φ1

q

x2x1EJ 2EJ21 21

L1 L2

w1

φ1φ1

w1

F1F 1

F2F 1

w2

φ2φ1

w1

F3F 1

F4F 1

w1

φ1φe

we

F1F 2

F2F 2

w2

φ2φe

we

F3F 2

F4F 2


Macierz topologii belki

Element Węzeł 1 Węzeł 21 1 22 2 3



Układ równań MES zapiszemy w postaci⎡⎢⎢⎢⎣

K 111 K 112 K 113 K 114 0 0K 121 K 122 K 123 K 124 0 0K 131 K 132 K 133 + K 211 K 134 + K 212 K 213 K 214K 141 K 142 K 143 + K 221 K 144 + K 222 K 223 K 2240 0 K 231 K 232 K 233 K 2340 0 K 241 K 242 K 243 K 244

⎤⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎣

Q1Q2Q3Q4Q5Q6

⎤⎥⎥⎥⎦ =

⎡⎢⎢⎢⎣

P11P12

P13 + P21P14 + P22

P23P24

⎤⎥⎥⎥⎦+

⎡⎢⎢⎢⎣

F1F2F3F4F5F6

⎤⎥⎥⎥⎦ .(237)


Q1 = Q3 = Q5 = 0, F2 = M , F4 = F6 = 0, (238)

ostatecznie będziemy mogli zapisać⎡⎢⎢⎢⎣

K 111 K 112 K 113 K 114 0 0K 121 K 122 K 123 K 124 0 0K 131 K 132 K 133 + K 211 K 134 + K 212 K 213 K 214K 141 K 142 K 143 + K 221 K 144 + K 222 K 223 K 2240 0 K 231 K 232 K 233 K 2340 0 K 241 K 242 K 243 K 244

⎤⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎣0Q20Q40Q6

⎤⎥⎥⎥⎦ =

⎡⎢⎢⎢⎣

P11P12

P13 + P21P14 + P22

P23P24

⎤⎥⎥⎥⎦+

⎡⎢⎢⎢⎣

F1MF30F50

⎤⎥⎥⎥⎦ .(239)



Element e = 1: E 1J1 = 100 kNm2, L1 = 6 m, q1 = 0,

K1 =

⎡⎢⎢⎣5, 5556 16, 1667 −5, 5556 16, 666716, 1667 66, 6667 −16, 1667 33, 3333−5, 5556 −16, 1667 5, 5556 −16, 166716, 1667 33, 3333 −16, 1667 66, 6667

⎤⎥⎥⎦ , P1 =

⎡⎢⎢⎣0000

⎤⎥⎥⎦ .(240)

Element e = 2: E 2J2 = 200 kNm2, L2 = 8 m, q2 = 10 kN/m,

K2 =

⎡⎢⎢⎣4, 6875 18, 7500 −4, 6875 18, 750018, 7500 100, 0000 −18, 7500 50, 0000−4, 6875 −18, 7500 4, 6875 −18, 750018, 7500 50, 0000 −18, 7500 100, 0000

⎤⎥⎥⎦ , P2 =

⎡⎢⎢⎣40, 000053, 333340, 0000−53, 3333

⎤⎥⎥⎦ .

(241)



W wyniku agregacji otrzymamy układ równań MES⎡⎢⎢⎢⎣

5, 5556 16, 1667 −5, 5556 16, 6667 0 016, 1667 66, 6667 −16, 1667 33, 3333 0 0−5, 5556 −16, 6667 10, 2431 2, 0833 −4, 6875 18, 750016, 6667 33, 3333 2, 0833 166, 6667 −18, 7500 50, 0000

0 0 −4, 6875 −18, 7500 4, 6875 −18, 75000 0 18, 7500 50, 0000 −18, 7500 100, 0000

⎤⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎣0Q20Q40Q6

⎤⎥⎥⎥⎦ =

=

⎡⎢⎢⎢⎣

00

40, 000053, 333340, 0000−53, 3333

⎤⎥⎥⎥⎦+

⎡⎢⎢⎢⎣

F1−20F30F50

⎤⎥⎥⎥⎦ . (242)

Niewiadome pierwotne możemy obliczyć z równań 2, 4 i 6⎡⎣ 66, 6667 33, 3333 033, 3333 166, 6667 50, 0000

0 50, 0000 100, 0000

⎤⎦⎡⎣ Q2

Q4Q6

⎤⎦ =

⎡⎣ −20, 000053, 3333−53, 3333

⎤⎦ , (243)

Q2 = −0, 66 rad, Q4 = 0, 72 rad, Q6 = −0, 8933 rad. (244)



Niewiadome wtórne wyznaczymy z równań 1, 3 i 5

F1 = 16, 6667 ·Q2 + 16, 6667 · Q4 = 1 kN, (245)

F3 = −16, 6667 · Q2 + 2, 0833 · Q4 + 18, 75 ·Q6 − 40 = −44, 25 kNm, (246)

F5 = −18, 75 · Q4 − 18, 75 ·Q6 − 40 = −36, 75 kN. (247)


Q =

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

Q1Q2Q3Q4Q5Q6

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦=

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

0−0, 660

0, 720

−0, 8933

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦, (248)



a przemieszczenia w elementach

Q1 =

⎡⎢⎢⎣

Q1Q2Q3Q4

⎤⎥⎥⎦ =

⎡⎢⎢⎣

Q11Q12Q13Q14

⎤⎥⎥⎦ =

⎡⎢⎢⎣

00, 660

0, 72

⎤⎥⎥⎦ , (249)

Q2 =

⎡⎢⎢⎣

Q3Q4Q5Q6

⎤⎥⎥⎦ =

⎡⎢⎢⎣

Q21Q22Q23Q24

⎤⎥⎥⎦ =

⎡⎢⎢⎣

00, 720

−0, 8933

⎤⎥⎥⎦ . (250)



Funkcja przemieszczeń dla elementów

u(x) =

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

u1(x1) = x1

(1− 2

(x1

6

)+

(x1

6

)2)0, 66+

+ x1

(−(x1

6

)+

(x1

6

)2)0, 72 dla e = 1,

u2(x2) = x2

(1− 2

(x2

8

)+

(x2

8

)2)0, 72+

− x2

(−(x2

8

)+

(x2

8

)2)0, 8933 dla e = 2.

(251)



xx=0

Q1=0Q2=-0,66

Q3=0Q4=0,72

Q5=0Q6=-0,8933

x=6 x=14

w

1 31

N2(x)Q2N1

N4(x)Q4N1

N2(x)Q4N2 N4(x)Q6N2

2 2

Rys. 47: Przemieszczenia belki



Obliczmy siły węzłowe, korzystając z równań równowagi elementów.

F1 = K1Q1 − P1, (252)

F2 = K2Q2 − P2. (253)

Element e = 1,

F1 =

⎡⎣ F 11

F 12F 13F 14

⎤⎦ =

⎡⎣ 5, 5556 16, 1667 −5, 5556 16, 666716, 1667 66, 6667 −16, 1667 33, 3333−5, 5556 −16, 1667 5, 5556 −16, 166716, 1667 33, 3333 −16, 1667 66, 6667

⎤⎦⎡⎣ 00, 660

0, 72

⎤⎦−

−

⎡⎣ 0000

⎤⎦ =

⎡⎣ 1−20−126

⎤⎦ kNkNmkNkNm

, (254)

Element e = 2,

F2 =

⎡⎣ F 21

F 22F 23F 24

⎤⎦ =

⎡⎣ 4, 6875 18, 7500 −4, 6875 18, 750018, 7500 100, 0000 −18, 7500 50, 0000−4, 6875 −18, 7500 4, 6875 −18, 750018, 7500 50, 0000 −18, 7500 100, 0000

⎤⎦⎡⎣ 0

0, 720

−0, 8933

⎤⎦−

−

⎡⎣ 40, 0000

53, 333340, 0000−53, 3333

⎤⎦ =

⎡⎣ −43, 25−26−36, 75

0

⎤⎦ kNkNmkNkNm

, (255)



20 kNm26 kNm

-1 kN

43,25 kN

-36,75 kN

xx=0 x=6 x=14

F

1 31 22

80 kNm

Rys. 48: Siły węzłowe w belce


Elementy w 2D


2 Uwagi wstępne






8 Funkcje kształtu



11 Elementy w 2D



Elementy w 2D

Dotychczas rozpatrywaliśmy przypadki analizy metodą MES, gdzie lokalny układwspółrzędnych elementu (xe, y e) pokrywał się z globalnym układemwspółrzędnych (x , y) (przypadek 1).

xe

21u2ueu1ue

v2vev1ve

F1Fe

F2Fe

F3Fe

F4Fe

x

y

x

y xe

2

1

v2ve

v1ve

u2ue

u1ue

F2Fe

F1Fe

F4Fe

F3Fe

Przypadek 1 Przypadek 2

Rys. 49: Elementy w 2D


Elementy w 2D

Oznaczając elementarną sztywność elementu prętowego przez ke,

ke =E eAe

Le(256)

równania równowagi MES w przypadku pierwszym zapiszemy w znany sposób[ke −ke−ke ke

] [ue1uex

]=

[F e1F e2

]. (257)

Uwzględniając przemieszczenia i siły w kierunku osi y , układ równań będziemyrówny ⎧⎪⎪⎪⎨

⎪⎪⎪⎩

kue1 + 0ve1 − kue2 + 0v

e2 = F e1

0ue1 + 0ve1 + 0u

e2 + 0v

e2 = F e2

−kue1 + 0v e1 + kue2 + 0ve2 = F e3

0ue1 + 0ve1 + 0u

e2 + 0v

e2 = F e4

, (258)


Elementy w 2D

i macierzowo ⎡⎢⎢⎣

ke 0 −ke 00 0 0 0

−ke 0 ke 00 0 0 0

⎤⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎣

ue1v e1ue2v e2

⎤⎥⎥⎦ =

⎡⎢⎢⎣

F e1F e2F e3F e4

⎤⎥⎥⎦ . (259)

Dla przypadku 2 napiszemy⎡⎢⎢⎣0 0 0 00 ke 0 −ke0 0 0 00 −ke 0 ke

⎤⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎣

ue1v e1ue2v e2

⎤⎥⎥⎦ =

⎡⎢⎢⎣

F e1F e2F e3F e4

⎤⎥⎥⎦ . (260)


Elementy w 2D

Każdy z elementów ma swój lokalny układ współrzędnych. W tym układzie,równania MES wyglądają jak dla przypadku pierwszego.

x

y xe

2

1

u2uev2ve

u1uev1ve

2

1

U2Ue

V2Ve

U1Ue

V1Ve

Rys. 50: Lokalny i globalny układ współrzędnych

Musimy znaleźć sposób jak przejść pomiędzy lokalnym a globalnym układemwspółrzędnych.


Elementy w 2D

x

xe

yye

Rys. 51: Obrót układu współrzędnych

{x = xe cos(α)− y e sin(α)

y = xe sin(α) + y e cos(α), (261)

{xe = x cos(α) + y sin(α)

y e = −x sin(α) + y cos(α), (262)

W zapisie macierzowym[xy

]=

[cos(α) − sin(α)sin(α) cos(α)

] [xe

y e

], (263)

x = RGxe, (264)

[xe

y e

]=

[cos(α) sin(α)− sin(α) cos(α)

] [xy

], (265)

xe = RLx. (266)


Elementy w 2D

Spostrzeżenia:

wyznaczniki |RG | = |RL| = sin2(α) + cos2(α) ≡ 1, to znaczy, że przy obrociewektora jego długość pozostaje taka sama,

łatwo zauważyć, że RG = RTL ,

ponadto x = RGxe i xe = RLx, zatem x = RGRLx, czyli RGRL = 1, z czegowynika RG = R−1L i dodatkowo R

TL = R−1L .

Wprowadzając oznaczenie R = RL, będziemy mogli zapisać

x = RTxe, (267)

xe = Rx. (268)


Elementy w 2D

Zapiszmy równania transformacyjne dla przemieszczeń w węzłach elementu

x

y xe

2

1

u2uev2ve

u1uev1ve

2

1

U2Ue

V2Ve

U1Ue

V1Ve

{ue1 = Ue1 cos(α) + V e1 sin(α)

v e1 = −Ue1 sin(α) + V e1 cos(α), (269)

{ue2 = Ue2 cos(α) + V e2 sin(α)

v e2 = −Ue2 sin(α) + V e2 cos(α), (270)

i macierzowo⎡⎢⎢⎣

ue1v e1ue2v e2

⎤⎥⎥⎦ =

⎡⎢⎢⎣cos(α) sin(α) 0 0− sin(α) cos(α) 0 0

0 0 cos(α) sin(α)0 0 − sin(α) cos(α)

⎤⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎣

Ue1V e1Ue2V e2

⎤⎥⎥⎦ , (271)

lub krótkoue = TeUe, (272)

gdzie

Te =[R 00 R

]. (273)


Elementy w 2D

Analogicznie dla sił węzłowychfe = TeFe, (274)

gdzie wektor fe oznacza siły węzłowe dla elementy w lokalnym układziewspółrzędnych elementu, a Fe oznacza wektor sił węzłowych dla elementuw globalnym układzie współrzędnych.

Napiszmy komplet równań transformacyjnych dla wektorów elementu

ue = TeUe, (275)

fe = TeFe, (276)

Ue = (Te)T ue, (277)

Fe = (Te)T fe. (278)


Elementy w 2D

Oznaczając (jak wcześniej) q ≡ u, równania równowagi w układzie lokalnymelementu będą miały postać,

keqe = fe, (279)

podstawiając je do Fe = (Te)T fe napiszemy

Fe = (Te)T keqe, (280)

i wykorzystując qe = TeQe otrzymamy

Fe = (Te)T keTeQe, (281)

albo(Te)T keTeQe = Fe, (282)

i ostatecznieKeQe = Fe, (283)

gdzieKe = (Te)T keTe, (284)

jest macierzą sztywności elementu w układzie współrzędnych globalnych.


Elementy w 2D

Jest to w zasadzie macierz sztywności elementu kratowego z dwoma stopniamiswobody w węźle. Ze względu na swoją prostotę, można ją napisać explicite

Ke =E eAe

Le

⎡⎣ cos2(α) cos(α) sin(α) − cos2(α) − cos(α) sin(α)

cos(α) sin(α) sin2(α) − cos(α) sin(α) − sin2(α)− cos2(α) − cos(α) sin(α) cos2(α) cos(α) sin(α)

− cos(α) sin(α) − sin2(α) cos(α) sin(α) sin2(α)

⎤⎦ ,(285)

wektor równoważników sił węzłowych wynosi

Pe =Le

2

⎡⎢⎢⎣

qex cos(α) − qey sin(α)qex sin(α) + qey cos(α)qex cos(α) − qey sin(α)qex sin(α) + qey cos(α)

⎤⎥⎥⎦ . (286)


Elementy w 2D

Rozwiążmy kratownicę obciążoną siłą skupioną P , zdyskretyzowaną trzemaelementami skończonymi

EA

L

=60° =60°

x

y

P

Rys. 52: Kratownica


Elementy w 2D

2

3

1 1

23

u1=0u1 u2

v1

v2=0

v2

v3=0u3=0

u3

v3

F1

F2

EA

L

=60° =60°

x

y

F3

F4

F5

F6

Rys. 53: Dyskretyzacja kratownicy

Zdefiniujmy globalny wektor stopni swobody i globalny wektor sił węzłowych

Q ={Q1 Q2 Q3 Q4 Q5 Q6

} ≡ {u1 v1 u2 v2 u3 v3}, (287)

F ={F1 F2 F3 F4 F5 F6

}. (288)


Elementy w 2D

EA

L

=60° =60°

x

y

P 2

3

1 1

23

u1=0u1 u2

v1

v2=0

v2

v3=0u3=0

u3

v3

F1

F2

EA

L

=60° =60°

x

y

F3

F4

F5

F6


kinematyczne (podstawowe) waruneki brzegoweQ1 ≡ u1 = Q4 ≡ v2 = Q5 ≡ u3 = Q6 ≡ v3 = 0,

niewiadome kinematyczne (pierwotne) Q2 i Q3.


statyczne (naturalne) warunki brzegowe F2 = 0 i F3 = P ,

niewiadome statyczne (wtórna) F1, F4, F5 i F6.


Elementy w 2D

L1

1=0°EAF1F1 F2F1

u1u1

v1v1

F1

F1u1u2

v1v221

x1

x

y1y

F3 F4

L2

2=120°EA

x2

x

y

y2 F2F1

F2F2

u2u1

v2v1

F2F3

F4F2

u2u2

v2v2

L33=60°

x

y

EA

x3

y3

F3F1

F2F3

u3u1

v3v1

F3F3

F4F3

u3u2

v3v2

11

2 2


Element Węzeł 1 Węzeł 21 1 22 2 33 1 3


Elementy w 2D

Układ równań MES zapiszemy w postaci⎡⎢⎢⎢⎣

K 111 + K 311 K 112 + K 312 K 113 K 114 K 313 K 314K 121 + K 321 K 122 + K 322 K 123 K 124 K 323 K 324

K 131 K 132 K 133 + K 211 K 134 + K 212 K 213 K 214K 141 K 142 K 143 + K 221 K 144 + K 222 K 223 K 224K 331 K 332 K 231 K 232 K 233 + K 333 K 234 + K 334K 341 K 342 K 241 K 242 K 243 + K 343 K 244 + K 344

⎤⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎣

Q1Q2Q3Q4Q5Q6

⎤⎥⎥⎥⎦ =

=

⎡⎢⎢⎢⎣

P11 + P31P12 + P32P13 + P21P14 + P22P23 + P33P24 + P34

⎤⎥⎥⎥⎦+

⎡⎢⎢⎢⎣

F1F2F3F4F5F6

⎤⎥⎥⎥⎦ . (289)


Elementy w 2D


Q1 = Q4 = Q5 = Q6 = 0, F2 = 0, F3 = P , (290)

ostatecznie będziemy mogli zapisać⎡⎢⎢⎢⎣

K 111 + K 311 K 112 + K 312 K 113 K 114 K 313 K 314K 121 + K 321 K 122 + K 322 K 123 K 124 K 323 K 324

K 131 K 132 K 133 + K 211 K 134 + K 212 K 213 K 214K 141 K 142 K 143 + K 221 K 144 + K 222 K 223 K 224K 331 K 332 K 231 K 232 K 233 + K 333 K 234 + K 334K 341 K 342 K 241 K 242 K 243 + K 343 K 244 + K 344

⎤⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎣0Q2Q3000

⎤⎥⎥⎥⎦ =

=

⎡⎢⎢⎢⎣

P11 + P31P12 + P32P13 + P21P14 + P22P23 + P33P24 + P34

⎤⎥⎥⎥⎦+

⎡⎢⎢⎢⎣

F10PF4F5F6

⎤⎥⎥⎥⎦ . (291)


Elementy w 2D

Element e = 1: E 1 = E , A1 = A, L1 = L, q1 = 0, α1 = 0,

K1 =EA

L

⎡⎢⎢⎣1 0 −1 00 0 0 0−1 0 1 00 0 0 0

⎤⎥⎥⎦ , P1 =

⎡⎢⎢⎣0000

⎤⎥⎥⎦ . (292)


K2 =EA

4L

⎡⎢⎢⎣

1 −√3 −1 √3

−√3 3 −√3 −3−1 −√3 1 −√3−√3 −3 −√3 3

⎤⎥⎥⎦ , P2 =

⎡⎢⎢⎣0000

⎤⎥⎥⎦ . (293)


K3 =EA

4L

⎡⎢⎢⎣

1√3 −1 −√3√

3 3 −√3 −3−1 −√3 1

√3

−√3 −3 √3 3

⎤⎥⎥⎦ , P3 =

⎡⎢⎢⎣0000

⎤⎥⎥⎦ . (294)


Elementy w 2D

Układ równań MES

EA

4L

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

5√3 −4 0 −1 −√3√

3 3 0 0 −√3 −3−4 0 5 −√3 −1 √

30 0 −√3 3

√3 −3

−1 −√3 −1 √3 2 0

−√3 −3 √3 −3 0 6

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

0Q2Q3000

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦=

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

F10PF4F5F6

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦. (295)

Niewiadome pierwotne możemy obliczyć z równań 1 i 2

EA

4L

[3 00 5

] [Q2Q3

]=

[0P

], (296)

Q2 = 0, Q3 =4PL5EA. (297)


Elementy w 2D

Niewiadome wtórne wyznaczymy z równań 1, 4, 5 i 6

F1 = −4EA4L · Q3 = −4P5, (298)

F4 = −√3EA

4L· Q3 = −

√3P5, (299)

F5 = −1EA4L · Q3 = −P

5, (300)

F6 =√3EA

4L·Q3 =

√3P5. (301)


Q =

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

Q1Q2Q3Q4Q5Q6

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦=

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

00

4PL5EA000

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦, (302)


Elementy w 2D

a przemieszczenia w elementach w globalnym układzie współrzędnych

Q1 =

⎡⎢⎢⎣

Q1Q2Q3Q4

⎤⎥⎥⎦ =

⎡⎢⎢⎣

Q11Q12Q13Q14

⎤⎥⎥⎦ =

⎡⎢⎢⎣004PL5EA0

⎤⎥⎥⎦ , (303)

Q2 =

⎡⎢⎢⎣

Q3Q4Q5Q6

⎤⎥⎥⎦ =

⎡⎢⎢⎣

Q21Q22Q23Q24

⎤⎥⎥⎦ =

⎡⎢⎢⎣4PL5EA000

⎤⎥⎥⎦ , (304)

Q3 =

⎡⎢⎢⎣

Q5Q6Q1Q2

⎤⎥⎥⎦ =

⎡⎢⎢⎣

Q31Q32Q33Q34

⎤⎥⎥⎦ =

⎡⎢⎢⎣0000

⎤⎥⎥⎦ . (305)


Elementy w 2D

Przemieszczenia w elementach w lokalnych układach współrzędnych obliczymyz zależności

qe = TeQe, (306)

gdzie

Te =

⎡⎢⎢⎣cos(αe) sin(αe) 0 0− sin(αe) cos(αe) 0 0

0 0 cos(αe) sin(αe)0 0 − sin(αe) cos(αe)

⎤⎥⎥⎦ , (307)

i następnie siły węzłowefe = keqe. (308)

Element e = 1: α1 = 0,

q1 =

⎡⎢⎢⎣

q11q12q13q14

⎤⎥⎥⎦ =

⎡⎢⎢⎣1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

⎤⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎣004PL5EA0

⎤⎥⎥⎦ =

⎡⎢⎢⎣004PL5EA0

⎤⎥⎥⎦ , (309)


Elementy w 2D

f1 =

⎡⎢⎢⎣

f 11f 12f 13f 14

⎤⎥⎥⎦ =

EA

L

⎡⎢⎢⎣1 0 −1 00 0 0 0−1 0 1 00 0 0 0

⎤⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎣004PL5EA0

⎤⎥⎥⎦ =

⎡⎢⎢⎣− 4P504P50

⎤⎥⎥⎦ . (310)

Element 1 jest rozciągany.

Element e = 2: α2 = 1200,

q2 =

⎡⎢⎢⎣

q21q22q23q24

⎤⎥⎥⎦ =12

⎡⎢⎢⎣−1 √3 0 0−√3 1 0 00 0 −1 √30 0 −√3 1

⎤⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎣4PL5EA000

⎤⎥⎥⎦ =

⎡⎢⎢⎣− 2PL5AE− 2√3PL5EA00

⎤⎥⎥⎦ ,(311)

f2 =

⎡⎢⎢⎣

f 21f 22f 23f 24

⎤⎥⎥⎦ =

EA

L

⎡⎢⎢⎣1 0 −1 00 0 0 0−1 0 1 00 0 0 0

⎤⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎣− 2PL5AE− 2√3PL5EA00

⎤⎥⎥⎦ =

⎡⎢⎢⎣− 2P502P50

⎤⎥⎥⎦ . (312)

Element 2 jest rozciągany.


Elementy w 2D

Element e = 3: α2 = 600,

q3 =

⎡⎢⎢⎣

q21q22q23q24

⎤⎥⎥⎦ =

⎡⎢⎢⎣0000

⎤⎥⎥⎦ , f3 =

⎡⎢⎢⎣

f 21f 22f 23f 24

⎤⎥⎥⎦ =

⎡⎢⎢⎣0000

⎤⎥⎥⎦ . (313)

x

y

P

F1F1=4P/5

F1=4P/5

F1F3=4P/5F2F1=2P/5

F2F3=2P/5

F4=√3P/5

F5=P/5

F6=√3P/5

Rys. 55: Siły w węzłach


Ramowy element skończony


2 Uwagi wstępne






8 Funkcje kształtu



11 Elementy w 2D




Mając wyprowadzone zależności na macierze sztywności elementów skończonychprętowego i belkowego, możemy „złożyć” oba elementy i otrzymamy w ten sposóbelement ramowy. Takie działanie jest możliwe tylko dlatego, że przemieszczeniaw kierunku osiowym oraz ugięcie i kąt ugięcia są od siebie niezależne i mogą byćrozpatrywane oddzielnie.

qx(x)

x

z

qz(x)

L

M E A(x) J(x)P2

P1

Rys. 56: Rama



qe(xe)qx

u2ueF1Fe

qe(xe)qz

xe

ze

JeEe

21

w2wew1

φ1φe

we

Le

xe ∈ (0, Le)

F2Fe

F3FeF5Fe

φ2φeF6FeAe

u1ue F4Fe

Rys. 57: Ramowy element skończony

Zdefiniujmy wektor stopni swobody elementu Qe

Qe ={Qe1 Qe2 Qe3 Qe4 Qe5 Qe6

} ≡ {ue1 w e1 ϕe1 ue2 w2

e ϕe2}, (314)

i wektor sił węzłowych Fe

Fe ={F e1 F e2 F e3 F e4 F e5 F e6

}. (315)



0

0 0 0 0

= +

0

0 0

0

0 0 0 0

0

0 0

3

2

1

6

5

4

1 1 1 12 3 4 5 6Ke(p)K11 Ke(p)K12

Ke(p)K21 Ke(p)K22

K Q P F

P1Pe(p)

P2Pe(p)

Ke(b)K11 Ke(b)K12 Ke(b)K13 Ke(b)K14

Ke(b)K24Ke(b)K23Ke(b)K22Ke(b)K21

Ke(b)K31

Ke(b)K41

Ke(b)K32

Ke(b)K42

Ke(b)K33 Ke(b)K34

Ke(b)K43 Ke(b)K44

Pe(b)P1

Pe(b)P2

Pe(b)P3

Pe(b)P4

F1Fe(p)

F2Fe(p)

Fe(b)F1

Fe(b)F2

Fe(b)F3

Fe(b)F4

Q3

Q4

Q5

Q6

Q2

Q1

Rys. 58: Złożenie macierzy sztywności i wektorów elementów prętowego i belkowego



Ostateczne wzory na macierz sztywności i wektor równoważników obciążeniaelementu ramowego

Ke =

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

E eAe

Le0 0 −E eAe

Le0 0

012E eJe

(Le)36E eJe

(Le)20 −12E

eJe

(Le)36E eJe

(Le)2

06E eJe

(Le)24E eJe

Le0 −6E

eJe

(Le)22E eJe

Le

−E eAe

Le0 0

E eAe

Le0 0

0 −12EeJe

(Le)3−6E

eJe

(Le)20

12E eJe

(Le)3−6E

eJe

(Le)2

06E eJe

(Le)22E eJe

Le0 −6E

eJe

Le4E eJe

Le

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

Pe =

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

qex Le

2qezLe

2qez(L

e)2

12qex Le

2qezLe

2

−qez(Le)2

12

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

.

(316)



Macierz trznsformacji dla ramowego elementu skończonego

Te =

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

cos(α) sin(α) 0 0 0 0− sin(α) cos(α) 0 0 0 0

0 0 1 0 0 00 0 0 cos(α) sin(α) 00 0 0 − sin(α) cos(α) 00 0 0 0 0 1

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦, (317)

i do kompletu

Ke = (Te)T keTe, Qe = (Te)T qe, Fe = (Te)T fe. (318)


Podstawy mechaniki komputerowej

Documents

Transcript of Podstawy mechaniki komputerowej