Podstawy Ekonomii Matematycznejmarmaj.math.uni.lodz.pl/Files/El_Ek_Mat_W.pdf · Podstawy Ekonomii...
Transcript of Podstawy Ekonomii Matematycznejmarmaj.math.uni.lodz.pl/Files/El_Ek_Mat_W.pdf · Podstawy Ekonomii...
Podstawy Ekonomii Matematycznej
Aktualizacja: 9 czerwca 2011
Spis tre±ci
I Elementy matematyki �nansowej. 5
1 Procent, stopa procentowa, kapitalizacja. 6
2 Procent prosty. 82.1 Zasada oprocentowania prostego, stopa roczna i podokresowa. . . . . . . . 82.2 Równowa»no±¢ stóp procentowych. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.3 Stopa zmienna w czasie, stopa przeci¦tna. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.4 Dyskontowanie proste. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3 Dyskonto handlowe proste. 153.1 Dyskonto handlowe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.2 Stopa dyskontowa a stopa procentowa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.3 Weksle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4 Procent skªadany 224.1 Zasada oprocentowania skªadanego. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224.2 Kapitalizacja roczna. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224.3 Kapitalizacja podokresowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.4 Kapitalizacja ci¡gªa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.5 Równowa»no±¢ stóp procentowych oprocentowania skªadanego. . . . . . . . 264.6 Stopa zmienna w czasie, stopa przeci¦tna. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284.7 Dyskontowanie skªadane. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.8 Oprocentowanie a in�acja. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
5 Warto±¢ kapitaªu w czasie 345.1 Model warto±ci kapitaªu w czasie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345.2 Zasada równowa»no±ci kapitaªów. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
II Modele matematyczne. 39
6 Pochodna funkcji w ekonomii 406.1 Funkcja kra«cowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406.2 Elastyczno±¢ funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
6.2.1 Interpretacja geometryczna elastyczno±ci funkcji f w punkcie x0. . . 456.2.2 Elastyczno±¢ funkcji kosztów. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456.2.3 Elastyczno±¢ funkcji popytu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
6.3 Funkcje Törnquista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496.3.1 Ekonomiczna interpretacja parametrów krzywych Törnquista. . . . 53
2
Spis tre±ci
7 Modele ekonomiczne. 557.1 Skªadniki modelu ekonomicznego. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 557.2 Modele równowagi statycznej. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
7.2.1 Cz¦±ciowa równowaga rynkowa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 567.2.2 Keynesowski model dochodu narodowego. . . . . . . . . . . . . . . 57
7.3 Modele nakªadów i wyników Leontiewa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 577.3.1 Model statyczny. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 577.3.2 Model dynamiczny. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
7.4 Modele dynamiczne z czasem dyskretnym. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 617.4.1 Model paj¦czyny. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
Aktualizacja: 9 czerwca 2011 3
Spis tre±ci
.
Aktualizacja: 9 czerwca 2011 4
Cz¦±¢ I
Elementy matematyki �nansowej.
5
Rozdziaª 1
Procent, stopa procentowa,
kapitalizacja.
W matematyce procent oznacza oczywi±cie setn¡ cz¦±¢ caªo±ci (per centum � przez sto)
x% =x
100.
W matematyce �nansowej procent o jaki zmienia si¦ dana wielko±¢ nazywamy stop¡procentow¡ (wzrostu lub spadku).
Przykªad 1.1. Przed rokiem cena pewnego towaru wynosiªa 500 zª i wzrosªa w ci¡gu tegookresu o 30%. Obecnie cena powi¦kszyªa si¦ o
500 · 30% = 500 · 0.3 = 150 [zª],
wynosi wi¦c500 + 150 = 650 [zª].
Oczywi±cie mo»liwe jest natychmiastowe obliczenie ceny ko«cowej
500 · (1 + 0.3) = 650 [zª].
Warto zwróci¢ te» uwag¦, »e gdyby po roku roku cena towaru zwi¦kszyªa si¦ o 40%, a nie o30%, to stopa wzrostu zwi¦kszyªaby si¦ o 10 punktów procentowych, a nie o 10%. Dlaporównania, gdyby stopa zwi¦kszyªaby si¦ o 10%, to wynosiªaby
30% · (1 + 10%) = 30% · (1.1) = 33%.
Przykªad 1.2. Cena pewnego towaru wynosiªa 300 zª. Po upªywie miesi¡ca wzrosªa o20%, a po upªywie kolejnego miesi¡ca wzrosªa o 30%. Zatem po dwóch miesi¡cach cenawynosiªa
300 · 1.2 · 1.3 = 468 [zª].
Cena wzrosªa wi¦c o468− 300
300= 0.56 = 56%.
Oczywi±cie mo»liwe jest natychmiastowe obliczenie o ile procent wzrosªa cena:
1.2 · 1.3− 1 = 0.56 = 56%.
Uzasadnienie powy»szego rachunku jest proste
468− 300
300=
300 · 1.2 · 1.3− 300
300= 1.2 · 1.3− 1.
6
Rozdziaª 1. Procent, stopa procentowa, kapitalizacja.
Powy»szy przykªad uzasadnia przyj¦cie nast¦puj¡cej de�nicji.
Je±li pewna wielko±¢ zmieniªa si¦ o p%, to liczb¦ ρ := 1 + p100
nazywamy czynnikiemprocentowym zmiany (wzrostu lub spadku).
Uogólniaj¡c przykªad 1.2 mo»emy stwierdzi¢, »e je±li wielko±¢ P wzrasta o p1%, anast¦pnie wzrasta o p2%, to wzrasta o
P · (100 + p1) % · (100 + p2) %− PP
=(
1 +p1
100
)·(
1 +p2
100
)− 1
=[(
1 +p1
100
)·(
1 +p2
100
)− 1]· 100% = (ρ1 · ρ2 − 1) · 100%,
gdzie ρ1 = 1 + p1100
, ρ2 = 1 + p2100
s¡ czynnikami wzrostu odpowiadaj¡cymi stopom p1, p2.
W matematyce �nansowej cz¦sto uto»samia si¦ procent o jaki wzrasta kapitaª z odset-kami , czyli wielko±ci¡ o jak¡ wzrósª kapitaª. Powi¦kszenie kapitaªu o odsetki wygenerowa-ne przez ten kapitaª nazywa si¦ kapitalizacj¡ odsetek . Same odsetki nie s¡ kapitaªem,ale stan¡ si¦ jego cz¦±ci¡ dopiero po kapitalizacji. Czas, po którym odsetki s¡ dopisywa-ne do kapitaªu nazywamy okresem kapitalizacji . Kapitaª, który wygenerowaª odsetkinazywa si¦ kapitaªem pocz¡tkowym , a kapitaª powi¦kszony, po okresie kapitalizacji, oodsetki nazywa si¦ kapitaªem ko«cowym . Czas, w ci¡gu którego odsetki s¡ generowanenazywa si¦ czasem oprocentowania .
Stosunek odsetek do kapitaªu, który je wygenerowaª w ustalonym okresie nosi nazw¦okresowej stopy procentowej . W praktyce najcz¦±ciej mamy do czynienia ze stopamiustalonymi dla okresu rocznego i wtedy mówimy o rocznej stopie procentowej , sto-pie w stosunku rocznym lub u»ywamy skrótu p.a. (per annum). Warto zauwa»y¢, »eefektem obliczenia odsetek za dany okres nie musi by¢ ich kapitalizacja.
Przez warunki oprocentowania nale»y rozumie¢ dane, których znajomo±¢ wystar-cza, aby obliczy¢ wysoko±¢ odsetek nale»nych od ustalonego kapitaªu za ustalony czas.
Aktualizacja: 9 czerwca 2011 7
Rozdziaª 2
Procent prosty.
2.1. Zasada oprocentowania prostego, stopa roczna i pod-
okresowa.
W przypadku transakcji �nansowych zwykle nie okre±la si¦ odsetek, lecz wysoko±¢ stopyprocentowej oraz sposób obliczania odsetek � wedªug zasady oprocentowania prostego lubskªadanego.
Zasada oprocentowania prostego. Odsetki oblicza si¦ od kapitaªu pocz¡tkowego pro-porcjonalnie do dªugo±ci czasu oprocentowania.
Niech:K0 � pocz¡tkowa warto±¢ kapitaªu,r � roczna stopa procentowa,n � czas oprocentowania wyra»ony w latach,In � odsetki za czas n lat,Kn � ko«cowa warto±¢ kapitaªu po n latach.
Przy powy»szych oznaczeniach zasad¦ oprocentowania prostego mo»na zapisa¢ jako
In = rK0 · n (2.1)
alboKn = K0 + rK0 · n = K0 (1 + rn) . (2.2)
Innymi sªowy, kapitaª przy oprocentowaniu prostym wzrasta liniowo wzgl¦dem czasu zewspóªczynnikiem kierunkowym równym rK0. Zauwa»my te», »e
Kn+1 −Kn = K0 + rK0 · (n+ 1)− (K0 + rK0 · n) = rK0,
czyli przy oprocentowaniu prostym kapitaª wzrasta arytmetycznie.
Przykªad 2.1. Jak¡ warto±¢ osi¡gnie kapitaª pocz¡tkowy 500 zª po:
a) 4 latach,
b) 198 dniach
8
Rozdziaª 2. Procent prosty.
oprocentowania prostego, przy rocznej stopie 12% i latach liczonych wedªug reguªy bankowej(1 rok = 360 dni)?
Skorzystamy ze wzoru (2.2)
Kn = K0 + rK0 · n.
Ad. a) Mamy: K0 = 500 zª, r = 0.12, n = 364·3+365360
= 1457360
, st¡d
K = 500 + 0.12 · 500 · 1457
360= 742.83 [zª].
Ad. b) Tym razem n = 198360
,
K = 500 + 0.12 · 500 · 198
360= 533 [zª].
Przykªad 2.2. W dniu 30 czerwca 2001 r. pan X miaª na koncie a'vista 2500 zª. Wokresie od 1 lipca do 30 wrze±nia tego roku dokonano dwóch wpªat na konto: 12 lipca �3259 zª i 17 sierpnia � 1600 zª oraz trzech wypªat: 23 lipca 4200 zª, 5 sierpnia � 1900 zªi 18 wrze±nia � 300 zª. Odsetki dopisywane s¡ na koniec ka»dego kwartaªu. Bank obliczaodsetki od dodatniego salda wg ustalonej stopy rocznej 12%, a w przypadku ujemnego salda� karne odsetki wg. ustalonej stopy rocznej powi¦kszonej o 50%. Obliczy¢ odsetki za IIIkwartaª 2001 roku. Czas bankowy biegnie wedªug reguªy kalendarzowej.
Mamy tu do czynienia z oprocentowaniem prostym w ka»dym z okresów, kiedy kapitaªna koncie nie ulegaª zmianie. Do oblicze« wygodnie jest sporz¡dzi¢ tabel¦
Data Operacja Saldo Numer dnia Czas oprocentowania
operacji wpªata wypªata po operacji w roku w dniach
30 czerwca − − 2500 181 −12 lipca 3250 − 5750 193 12
23 lipca − 4200 1550 204 13
5 sierpnia − 1900 −350 217 12
17 sierpnia 1600 − 1250 229 32
18 wrze±nia − 300 950 261 12
30 wrze±nia − − 950 273 −
Aktualizacja: 9 czerwca 2011 9
Rozdziaª 2. Procent prosty.
Do obliczenia odsetek skorzystamy ze wzoru (2.1)
I1 = 2500 · 0.12 · 12
365= 9.86
I2 = 5750 · 0.12 · 11
365= 20.79
I3 = 1550 · 0.12 · 13
365= 6.62
I4 = −350 · 0.18 · 12
365= −2. 07
I5 = 1250 · 0.12 · 32
365= 13.15
I6 = 950 · 0.12 · 12
365= 3.75
Zatem za III kwartaª wynosz¡ odsetki wynosz¡
9.86 + 20.79 + 6.62− 2. 07 + 13.15 + 3.75 = 52.10
Kapitaª ko«cowy na dzie« 30 wrze±nia, wynosi
950 + 52.10 = 1002.10 [zª].
Cz¦sto, aby obliczy¢ odsetki proste u»ywamy oprócz stopy rocznej stopy miesi¦cznejlub kwartalnej. W tym wypadku miesi¡c, kwartaª itd. nazywamy podokresem opro-centowania (wzgl¦dem oprocentowania rocznego), a stop¦ procentow¡ dla tego okresu �stop¡ podokresow¡ . Podokres mo»e by¢, cho¢ jest to stosowane rzadko, dªu»szy ni» roknp. mo»e wynosi¢ 2 lata.
Wprowad¹my oznaczenia:k � liczba podokresów, których ª¡czna dªugo±¢ jest równa dªugo±ci roku,ik � stopa podokresowa,mk � czas wyra»ony w podokresach (numer kolejnego podokresu).
Dªugo±¢ podokresu, przy ustalonym k, jest zawsze równa 1kdªugo±ci roku. W praktyce
najcz¦±ciej mamy do czynienia z nast¦puj¡cymi podokresami:
• póªrocze, k = 2
• kwartaª, k = 4,
• miesi¡c, k = 13,
• tydzie«, k = 52,
• dzie«, k = 365 (lub 360).
Odsetki wg oprocentowania prostego za mk podokresów wynosz¡
Imk= ikK0 ·mk,
a warto±¢ kapitaªu
Kmk= K0 (1 + ik ·mk) .
Aktualizacja: 9 czerwca 2011 10
Rozdziaª 2. Procent prosty.
Przykªad 2.3. Po»yczka 1200 zª b¦dzie spªacona jednorazowo po upªywie 4 miesi¦cy zodsetkami prostymi przy miesi¦cznej stopie wynosz¡cej 1.3%. Obliczmy kwot¦ potrzebn¡do spªaty tej po»yczki.
A zatem, k = 12, m12 = 4, i12 = 0.013, K0 = 1200, czyli
K4 = 1200 + 0.013 · 1200 · 4 = 1262 [zª].
2.2. Równowa»no±¢ stóp procentowych.
Skoro mo»emy posªugiwa¢ si¦ ró»nymi stopami (roczn¡ lub podokresow¡) wa»ne jest usta-lenie warunków równowa»no±ci tych stóp. Przede wszystkim doprecyzujmy, co oznaczarównowa»no±¢ stóp. T¦ równowa»no±¢ okre±la w matematyce �nansowej nast¦puj¡ca
Zasada równowa»no±ci stóp procentowych. Stopy procentowe s¡ równowa»ne wczasie n, je»eli przy ka»dej z nich ten sam kapitaª pocz¡tkowy K0, generuje w tymsamym czasie n, b¦d¡cym liczb¡ lat, te same odsetki.
Dla ustalenia warunku równowa»no±ci stóp zauwa»my najpierw, »e je»eli n jest liczb¡lat, to odpowiadaj¡ca jej liczba mk podokresów dªugo±ci 1
kroku wynosi
mk = nk. (2.3)
Niech dane b¦d¡ dwie stopy podokresowe ik1 oraz ik2 odpowiadaj¡ce podokresom dªugo±ci1k1
i 1k2
roku. Odsetki generowane przez kapitaª K0 po upªywie n lat s¡ identyczne przystopach ik1 i ik2 , wtedy i tylko wtedy, gdy
ik1mk1K0 = ik2mk2K0,
gdzie wobec (2.3)mk1 = nk1, mk2 = nk2,
sk¡dik1nk1K0 = ik2nk2K0.
W konsekwencji
ik1ik2
=1k11k2
, (2.4)
co mo»na sªownie wyrazi¢ nast¦puj¡co: dwie stopy podokresowe s¡ równowa»ne wtedy itylko wtedy, gdy ich stosunek jest identyczny jak stosunek dªugo±ci odpowiadaj¡cych impodokresów wyra»onych w latach. Z tego powodu przy oprocentowaniu prostym stopyrównowa»ne nazywamy proporcjonalnymi.
Wzór (2.4) jest równowa»ny wzorowi
ik1 = ik2k2k1, (2.5)
który pozwala przelicza¢ równowa»ne stopy procentowe. W szczególno±ci, z powy»szegowzoru wynika, »e je±li ik jest stop¡ odpowiadaj¡c¡ podokresowi dªugo±ci
1kroku, za± r jest
stop¡ roczn¡, tor = ikk.
Aktualizacja: 9 czerwca 2011 11
Rozdziaª 2. Procent prosty.
Przykªad 2.4. Póªroczna stopa oprocentowania prostego wynosi i2 = 18%. Obliczy¢ rów-nowa»ne stop¦ miesi¦czn¡, 13�dniow¡, 2�letni¡. U»ywaj¡c ka»dej z nich obliczy¢ odsetkiproste od kapitaªu 400 zª za czas 3 lat. W obliczeniach u»ywa¢ reguªy bankowej.
W przypadku stopy miesi¦cznej mamy: k = 12 i wobec wzoru (2.5)
i12 = i22
12= 18% · 1
6= 3%.
Dalej dla 3 lat m12 = 12 · 3 = 36 oraz
I = i12 ·m12 ·K0 = 0.03 · 36 · 400 = 432 [zª]
Dla stopy 13�dniowej k = 36013
oraz
i 36013
= i22
36013
= 18% · 13
180= 1.3%.
Mamy te», »e dla 3 lat m 36013
= 36013· 3 = 1080
13oraz
I = i 36013·m 360
13·K0 = 0.013 · 1080
13· 400 = 432 [zª]
Wreszcie dla stopy 2�letniej k = 12,
i 12
= i2212
= 18% · 4 = 72%
m 12
= 12· 3 = 3
2
I = i 12·m 1
2·K0 = 0.72 · 3
2· 400 = 432 [zª].
Przykªad 2.5. Najni»sza cena, po której kupiono 26�tygodniowe bony skarbowe wyniosªa9521.06 zª za bon o warto±ci 10000 zª. Obliczy¢ stop¦ zysku tych bonów w skali 26 tygodnii skali roku.
Mamy wi¦c
k =360
26 · 7oraz
ik =10000− 9521.06
9521.06= 0.0503 = 5.03%,
co wynika ze wzoruK = K0 + ikK0.
W skali roku
r = ikk = 5.03%360
26 · 7= 9.95%.
Aktualizacja: 9 czerwca 2011 12
Rozdziaª 2. Procent prosty.
2.3. Stopa zmienna w czasie, stopa przeci¦tna.
Zaªó»my, »e czas oprocentowania kapitaªu K0 wynosi n lat i skªada si¦ z m nast¦puj¡cychpo sobie okresów o dªugo±ci n1, n2, ..., nm lat, gdzie
n =m∑i=1
ni.
Zaªó»my dalej, »e w i�tym okresie obowi¡zuje stopa roczna ri, i = 1, 2, ...,m. Wówczasodsetki proste w i�tym okresie wynosz¡
Ini= rini ·K0.
�¡czne odsetki za okres n lat wynosz¡ wi¦c
I =m∑i=1
rini ·K0 = K0
m∑i=1
rini,
za± kapitaª ko«cowy
K = K0 +K0
m∑i=1
rini = K0
(1 +
m∑i=1
rini
). (2.6)
Mo»emy teraz wprowadzi¢ poj¦cie stopy przeci¦tnej r (za okres n lat) okre±lonej zapomoc¡ równo±ci
rnK0 = K0
m∑i=1
rini.
Czyli jest to staªa stopa, jaka daªaby za n lat ten sam przyrost kapitaªu, co stopy zmienne.Wynika st¡d, »e
r = 1n
m∑i=1
rini.
Stopa przeci¦tna jest wi¦c ±redni¡ stop¡ wa»on¡ stóp r1, r2, ..., rm z wagami b¦d¡cymidªugo±ciami poszczególnych okresów. W szczególno±ci, je±li okresy s¡ jednakowe, stopaprzeci¦tna jest ±redni¡ arytmetyczn¡ stóp r1, r2, ..., rm.
Przykªad 2.6. Pan X wpªaciª 3600 zª na roczn¡ lokat¦ z odsetkami naliczanymi po za-ko«czeniu lokaty. Przez 4 miesi¡ce obowi¡zywaªo oprocentowanie 6%, przez nast¦pne 3miesi¡ce 5.5%, a przez ostatnie 5 miesi¦cy 4.5% (wszystkie stopy w stosunku rocznym).
Zgodnie z (2.6) warto±¢ lokaty wynosi
K = 3600
(1 + 0.06 · 4
12+ 0.055 · 3
12+ 0.045 · 5
12
)=
3600
(1 +
1
50+
11
800+
3
160
)= 3600 · 421
400= 3789 [zª].
Natomiast ±rednia stopa
r =21
400= 0.0525 = 5.25%.
Aktualizacja: 9 czerwca 2011 13
Rozdziaª 2. Procent prosty.
2.4. Dyskontowanie proste.
Dyskontowaniem nazywamy obliczanie kapitaªu pocz¡tkowego K0 na podstawie war-to±ci kapitaªu ko«cowego K. Ró»nic¦ D mi¦dzy kapitaªem ko«cowym i pocz¡tkowymnazywamy dyskontem . Je±li dyskontowanie odbywa si¦ przy u»yciu stopy procentowejr, to nazywamy je dyskontem prostym . W matematyce �nansowej stosuje si¦ równie»dyskontowanie handlowe oparte na tzw. stopie dyskontowej. Zatem, przyjmuj¡c za n czaswyra»ony w latach mamy, »e
K = K0 (1 + rn)
sk¡dK0 = K (1 + rn)−1
oraz
D = K −K0 = K −K (1 + rn)−1 =K +Krn−K
1 + rn=
Krn
1 + rn= Krn (1 + rn)−1 .
Przykªad 2.7. Oprocentowanie rachunku bankowego wynosi 16% w skali roku. Przy jakiejwpªacie a) 1 kwietnia, b) 1 stycznia saldo na rachunku 1 stycznia nast¦pnego roku b¦dziewynosi¢ 1000 zª?
Mamy natychmiasta)
K0 =K
1 + rn=
1000
1 + 0.16 · 0.75= 892.86 [zª],
b)
K0 =1000
1 + 0.16=
1000
1 + 0.16= 862.07 [zª].
Aktualizacja: 9 czerwca 2011 14
Rozdziaª 3
Dyskonto handlowe proste.
3.1. Dyskonto handlowe.
Zapªata za po»yczenie pieni¦dzy mo»e by¢ zrealizowana w formie odsetek od po»yczonejkwoty. Nie jest to jednak jedyna forma zapªaty, omówimy teraz zapªat¦ za po»yczk¦ zwan¡dyskontem.
Dyskontem handlowym nazywamy zapªat¦ za po»yczk¦ obliczon¡ za pomoc¡ stopydyskontowej na podstawie kwoty, któr¡ dªu»nik zwróci po ustalonym czasie, przy czymdyskonto jest pªatne z góry (w momencie otrzymania po»yczki) i pomniejsza kwot¦ prze-kazanych pieni¦dzy.
Dyskonto handlowe bywa nazywane procentem pªatnym z góry. Warto±¢ dyskontazale»y od kwoty, któr¡ mamy zwróci¢ oraz od czasu, na jaki po»yczamy pieni¡dze. Rocznastopa, przy u»yciu której oblicza si¦ warto±¢ dyskonta nosi nazw¦ stopy dyskontowej.Mamy
Zasada dyskonta handlowego (prostego). Dyskonto jest obliczane od kwoty, któr¡dªu»nik zwróci po ustalonym czasie, jest proporcjonalne do tego czasu i jest odejmowaneod tej kwoty w momencie udzielenia po»yczki.
Niech:F � kwota spªaty (warto±¢ nominalna po»yczki),D � dyskonto,P � warto±¢ pocz¡tkowa po»yczki (warto±¢ nominalna po potr¡ceniu dyskonta)d � roczna stopa dyskontowa,n � czas od otrzymania do zwrotu po»yczki, wyra»ony w latach.
Zgodnie z zasad¡ dyskonta handlowego:
D = dF · n (3.1)
orazP = F −D = F (1− dn) . (3.2)
sk¡d równie»
F = P1−dn . (3.3)
Warto jeszcze zwróci¢ uwag¦, »e warto±¢ pocz¡tkowa po»yczki nie mo»e by¢ ujemna czyli
F −D > 0
15
Rozdziaª 3. Dyskonto handlowe proste.
sk¡d dostajemy, »edn < 1,
co oznacza, »e przy danej stopie d czas udzielenia po»yczki musi speªnia¢ warunek
n < 1d, (3.4)
za± przy ustalonym czasie n stopa musi speªnia¢ warunek
d < 1n. (3.5)
Przykªad 3.1. Aby dzi± dosta¢ po»yczk¦ zobowi¡zujemy si¦ odda¢ po 3 miesi¡cach 1500zª. Jaka jest opªata za po»yczk¦, je±li ma ona posta¢ dyskonta o stopie d = 14%. Wobec(3.1)
D = 0.14 · 1500 · 3
12= 52.50 zª,
a zatem otrzymamy
P = F −D = 1500− 52.50 = 1447.50 zª.
Przykªad 3.2. Po koniec 2001 roku du»¡ popularno±ci¡ cieszyªy si¦ w Polsce tzw. lokatyantypodatkowe z odsetkami pªatnymi z góry w zwi¡zku z 20% tzw. podatkiem Belki. Zaªó»-my, »e dysponujemy kwot¡ 10000 zª i chcemy je zdeponowa¢ na póª roku maj¡c do wyborudwie oferty:
• w banku X póªroczn¡ lokat¦ z odsetkami pªaconymi z góry przy stopie rocznej d =12%
• w banku Y póªroczn¡, tradycyjn¡ lokat¦ z oprocentowaniem r = 15% w stosunkurocznym.
Która oferta jest lepsza?W banku X po»yczka lokata ma charakter dyskontowy z kwot¡ pocz¡tkow¡ P = 10000
zª, musimy wi¦c obliczy¢ kwot¦ ko«cow¡ F :
F =P
1− dn=
10000
1− 0.12 · 12
= 10638.30 zª
W banku Y mamy, »e odsetki b¦d¡ wynosiªy
I = rPn = 0.15 · 10000 · 1
2= 750.00 zª
ale b¦d¡ obci¡»one podatkiem, a zatem bank wypªaci nam
K = 10000 + 0.8 · 750.00 = 10600.00 zª.
Zatem, lepiej skorzysta¢ z oferty banku X
Aktualizacja: 9 czerwca 2011 16
Rozdziaª 3. Dyskonto handlowe proste.
Obliczymy jeszcze przy jakiej stopie r obie oferty s¡ jednakowo opªacalne
P
1− dn= P + rPn · 0.8
1
1− dn= 1 + rn · 0.8
rn · 0.8 =1
1− dn− 1
rn · 0.8 =nd
1− dn
r =1.25d
1− dn=
1.25 · 0.12
1− 0.1212
= 0.159 6 = 15.96%.
3.2. Stopa dyskontowa a stopa procentowa.
Zajmiemy si¦ odpowiedzi¡ na pytanie kiedy stopa dyskontowa i procentowa wygeneruj¡w jednakowym czasie jednakowe odsetki. Takie stop¦ nazywamy równowa»nymi.
Zasada równowa»no±ci stopy dyskontowej i procentowej. Roczna stopa dyskon-towa d i roczna stopa procentowa r s¡ równowa»ne w czasie n, je±li dyskonto i odsetkiobliczane przy tych stopach dla tej samej po»yczki s¡ równe.
Wyprowadzimy teraz analityczny warunek równowa»no±ci obu stóp. Skoro (przy ozna-czeniach przyj¦tych w tym oraz poprzednim rozdziale) D = I przy warunku K0 = P, wi¦cwobec (3.1)
dFn = rPn,
sk¡d uwzgl¦dniaj¡c (3.3)P
1− dn= rP,
czyli
r = d1−dn (3.6)
orazd = r
1+rn. (3.7)
Ze wzorów (3.6)-(3.7) wynika
Wªasno±¢ 3.1.
1. Wysoko±¢ równowa»nych stóp nie zale»y od kwoty udzielonej po»yczki, ale zale»y odczasu na jaki j¡ udzielono.
2. Istnieje dokªadnie jeden okres n, w którym stopy s¡ równowa»ne (zwany okresemrównowa»no±ci stóp dyskontowej i procentowej), wynosi on
n =1
d− 1
r. (3.8)
3. Okres równowa»no±ci stóp d i n jest dodatni (wynika, to z warunku (3.4)).
Aktualizacja: 9 czerwca 2011 17
Rozdziaª 3. Dyskonto handlowe proste.
4. Dla ka»dego okresu n i ka»dej stopy procentowej r istnieje równowa»na w okresie nstopa dyskontowa d.
5. Dla ka»dej stopy dyskontowej d i ka»dego okresu n speªniaj¡cego warunek nd < 1istnieje równowa»na w okresie n stopa r.
Zauwa»my te», »e warunkiem, aby warto±¢ pocz¡tkowa po»yczki przy dyskoncie przyokresie po»yczki n byªa dodatnia byªa nierówno±¢ n < 1
d, która dla okresu równowa»no±ci
otrzymanego w (3.8) jest oczywi±cie speªniona.
Przykªad 3.3. Powró¢my do przykªadu, w którym rozwa»ali±my inwestycj¦ w 26 tygo-dniowe bony skarbowe o warto±ci 10000 zª. Nominalna cena zakupu tych bonów wynosiªa9521.06 zª. Przyjmijmy F = 10000 zª, P = 9521.06 zª, n = 26·7
360. Roczna stopa dyskonta
wynosiªa wi¦c
d =D
nF=F − PnF
=10000− 9521.06
26·7360· 10000
= 0.0947 = 9.47%.
Roczna stopa rentowno±ci tej inwestycji jest równa
r =D
nP=
10000− 9521.0626·7360· 9521.06
= 0.0995 = 9.95%.
Jest to oczywi±cie roczne oprocentowanie po»yczki 9521.06, której warto±¢ wraz z odsetkamiwyniosªaby po 26 tygodniach 10000 zª.
Powy»szy przykªad uzmysªawia nam nast¦puj¡ce spostrze»enie.
Wªasno±¢ 3.2. Roczna stopa zysku (rentowno±ci) z transakcji, w której opªat¡ jest dys-konto obliczone przy stopie d za czas n jest roczn¡ stop¡ procentow¡ r równowa»n¡ stopied w czasie n.
Dowód. Rzeczywi±cie, roczna stopa zysku wynosi w tym wypadku
D
nP=
I
nP= r.
W praktyce du»e znaczenie ma
Wªasno±¢ 3.3. Niech d i r b¦d¡ stopami rocznymi dyskontow¡ i procentow¡ odpowiedniorównowa»nymi w okresie n . Niech D b¦dzie warto±ci¡ dyskonta, za± I warto±ci¡ odsetekprzy po»yczce na n lat (n < 1
d). Wówczas
1.D > I ⇔ n > n,
2.D < I ⇔ n < n.
Aktualizacja: 9 czerwca 2011 18
Rozdziaª 3. Dyskonto handlowe proste.
Dowód. Niech P b¦dzie warto±ci¡ pocz¡tkow¡ po»yczki, F � kwot¡ spªaty po»yczkidyskontowej o warto±ci pocz¡tkowej P po n latach.. Mamy wobec (3.1), (3.2) oraz (3.6),»e
D = dFn,
I = rPn = rF (1− dn)n =d
1− dnF (1− dn)n =
1− dn1− dn
· dFn.
ZatemD
I=
1− dn1− dn
.
W konsekwencji (przy zaªo»eniu, »e n < 1d)
D > I ⇔ 1− dn1− dn
> 1⇔ n > n
oraz
D < I ⇔ 1− dn1− dn
< 1⇔ n < n
teraz n > n, to D > I, je±li n < n, to D < I.
Mamy równie»
Wªasno±¢ 3.4. Niech n oznacza czas od otrzymania do zwrotu po»yczki, I warto±¢ odsetekza czas n przy stopie rocznej stopie procentowej r, za± D warto±¢ dyskonta tej samejpo»yczki za czas n lat przy rocznej stopie dyskontowej d (n < 1
d). Wówczas:
1.
D > I ⇔ r <d
1− dn⇔ d >
r
1 + rn.
2.
D < I ⇔ r >d
1− dn⇔ d <
r
1 + rn.
Dowód. Mamy wobec (3.3)
F =P
1− dnD
I=dF
rP=
dP
1− dn· 1
rP=
d
1− dn· 1
r,
sk¡d (przy zaªo»eniu n < 1d)
D > I ⇔ d
1− dn· 1
r> 1⇔ r <
d
1− dn⇔ d >
r
1 + rn
oraz
D < I ⇔ r >d
1− dn⇔ d <
r
1 + rn
Aktualizacja: 9 czerwca 2011 19
Rozdziaª 3. Dyskonto handlowe proste.
3.3. Weksle.
Weksel stanowi zobowi¡zanie do zapªaty okre±lonej kwoty w ustalonym terminie i maform¦ dokumentu sprecyzowanego odpowiednimi przepisami. Kwot¦, do zapªaty którejzobowi¡zuje weksel nazywamy warto±ci¡ nominaln¡ weksla. Termin, w którym we-ksel ma by¢ spªacony nazywamy terminem wykupu weksla . Warto±¢ weksla obliczon¡na podstawie jego warto±ci nominalnej przy ustalonej stopie dyskontowej d na okre±lonydzie« poprzedzaj¡cy poprzedzaj¡cy termin jego wykupu nazywamy warto±ci¡ handlo-w¡ (aktualn¡) weksla.
Poniewa» weksel stanowi form¦ po»yczki liczonej wedªug zasady dyskonta handlowe-go, zast¦pujemy dotychczas stosowan¡ terminologi¦ dotycz¡c¡ dyskonta handlowego wnast¦puj¡cy sposób:
• kwota spªaty F � warto±¢ nominalna weksla,
• opªata za po»yczk¦ (dyskonto) D � warto±¢ dyskonta weksla,
• warto±¢ pocz¡tkowa po»yczki P = F −D � warto±¢ aktualna weksla,
• czas od otrzymania do zwrotu po»yczki n � czas do wykupu weksla.
W konsekwencji, aktualna warto±¢ weksla o warto±¢ nominalnej F, przy stopie dys-kontowej (rocznej) d na n lat przed wykupem wynosi
P = F (1− dn) .
Warto jeszcze zwróci¢ uwag¦, »e w odniesieniu do weksli czas w dniach zamienia si¦ nalata wedªug reguªy bankowej (1 rok = 360 dni).
Przykªad 3.4. Zobowi¡zanie do zapªaty za dostaw¦ pewnego towaru o warto±¢ 195 jp(jednostek pieni¦»nych) ma posta¢ weksla podpisanego 3 lipca na sum¦ 200 jp z terminemwykupu 3 pa¹dziernika tego samego roku.
Mamy wi¦c
F = 200,
P = 195,
D = F − P = 5.
Czas do wykupu wyra»ony w dniach (wg tabeli)
276− 183 = 92 dni;
wyra»ony w latach
n =92
360.
Stopa dyskontowa
d =D
nF=
5
200 · 92360
=5
5 · 929
=9
92= 9.78%.
Aktualizacja: 9 czerwca 2011 20
Rozdziaª 3. Dyskonto handlowe proste.
Równowa»na stopa procentowa przy czasie n wynosi
r =d
1− dn=
992
1− 992· 92
360
992
1− 140
=9
92· 40
39=
3
23· 10
13=
30
299= 10.03%.
Oznacza to, »e gdyby±my 3 lipca po»yczyli 195 jp, to zwrot 3 pa¹dziernika 200 jp oznaczaªbystop¦ procentow¡ 10.03%. Innymi sªowy po»yczka byªaby korzystniejsza od wystawieniaweksla przy stopie mniejszej ni» 10.03%. Wynika to równie» bezpo±rednio z wªasno±ci 3.4.
Przykªad 3.5. Firma X rozwa»a dwa warianty pozyskania potrzebnych jej ±rodków: wy-stawienie weksla o terminie wykupu za 90 dni przy stopie dyskontowej d = 16%, albo 90dniowa po»yczka przy stopie rocznej r = 17%. Która opcja jest korzystniejsza.
Mamy
d
1− dn=
0.16
1− 0.16 · 90360
=0.16
1− 16100· 1
4
=16
100· 100
96=
1
6= 16.67% < r.
Zatem z wªasno±ci 3.4 wynika, »e weksel jest bardziej opªacalny. Mo»emy równie» obliczy¢czas n, przy którym obie stopy s¡ równowa»ne. Z (3.8) mamy
n =1
d− 1
r=
100
16− 100
17=
25 · 17− 400
68=
25
68= 0.367 647 058 8
to jest0.367 647 058 8 · 360 = 132.352 941 2 dni.
Z wªasno±ci 3.3 po»yczka byªaby korzystniejsza dla czasu co najmniej 133 dni.
Aktualizacja: 9 czerwca 2011 21
Rozdziaª 4
Procent skªadany
4.1. Zasada oprocentowania skªadanego.
Przypomnijmy, »e w przypadku oprocentowania prostego odsetki s¡ dopisywane do kapi-taªu dopiero po zako«czeniu czasu oprocentowania. Taki proces nazywa si¦ kapitalizacj¡.Gdy jednak odsetki powi¦kszaj¡ kapitaª w równych odst¦pach czasu, przed upªywem cza-su oprocentowania mamy do czynienia z procentem skªadanym. Czas, po upªywie któregoodsetki s¡ za ka»dym razem dopisywane do kapitaªu nazywa si¦ okresem kapitalizacji.
Zasada oprocentowania skªadanego. Oprocentowanie skªadane polega na tym, »eodsetki (proste) oblicza si¦ za ka»dy ustalony z góry okres i kapitalizuje si¦ je na koniectego okresu.
Omówimy trzy zasadnicze typy oprocentowania skªadanego zwi¡zane z ró»nymi okre-sami kapitalizacji.
4.2. Kapitalizacja roczna.
Przypu±¢my, »e dany jest kapitaª pocz¡tkowy K0 > 0 i roczna stopa procentowa r, aodsetki s¡ kapitalizowane co rok. Niech n oznacza okres oprocentowania wyra»ony wlatach. Przy kapitalizacji rocznej musimy poczyni¢ zaªo»enie, »e n ∈ N (:= {1, 2, . . .}) .Obliczmy warto±¢ kapitaªu po upªywie kolejnych lat:
po roku K1 = K0 + rK0 = K0 (1 + r)
po dwóch latach K2 = K1 + rK1 = K1 (1 + r) = K0 (1 + r)2
......
po n latach K0 (1 + r)n
Zatem, po upªywie n lat kapitaª Kn wynosi:
Kn = K0 (1 + r)n , (4.1)
za± ª¡czne odsetki po upªywie n lat:
In = Kn −K0 = K0 ((1 + r)n − 1) . (4.2)
22
Rozdziaª 4. Procent skªadany
Równania (4.1)-(4.2) stanowi¡model oprocentowania skªadanego przy kapitalizacjirocznej, albo krócej: model kapitalizacji rocznej. Widzimy te», »e przy modelu rocz-nym kapitaª wzrasta geometrycznie z ilorazem (1 + r) . Model ten mo»e by¢ wi¦c opisanyza pomoc¡ równania ró»nicowego postaci
Kn+1 = Kn (1 + r)n , n ∈ N ∪ {0} .
�atwo wida¢, »e przy danym kapitale pocz¡tkowym K0 i ko«cowym Kn (Kn > K0) za nlat roczna stopa oprocentowania wynosi
r = n
√Kn
K0
− 1, (4.3)
za± przy danym kapitale pocz¡tkowym K0, ko«cowym Kn (Kn > K0) i stopie rocznej rczas oprocentowania n (wyra»ony w latach) wynosi
n = log1+r
(Kn
K0
)=
ln(Kn
K0
)ln (1 + r)
. (4.4)
W tym drugim przypadku nale»y dodatkowo zaªo»y¢, »e K0, Kn i r s¡ tak dobrane, »eln(
KnK0
)ln(1+r)
jest liczb¡ naturaln¡.
Przykªad 4.1. Rozwa»my pi¦cioletni¡ lokat¦ w wysoko±ci K0 = 10000 zª przy czym:
(a) odsetki s¡ naliczane po jej zako«czeniu a stopa procentowa wynosi r = 12%,
(b) lokata jest kapitalizowana corocznie a stopa procentowa wynosi r = 10%.
W pierwszym przypadku warto±¢ ko«cowa kapitaªu wynosi
K5 = K0 (1 + rn) = 10000 (1 + 0.12 · 5) = 16000.00 zª,
w drugimK5 = K0 (1 + r)n = 10000 (1 + 0.1)5 = 16100.00 zª.
Widzimy wi¦c, »e pomimo ni»szej stopy kapitalizacja jest bardziej opªacalna. Mo»emy si¦te» zastanowi¢ jaka stopa roczna r bez kapitalizacji wygeneruje po 5 latach ten sam kapitaªco stopa r z kapitalizacj¡:
r =K5
K0− 1
n=
1610010000
− 1
5= 12.20%,
i na odwrót, jaka stopa roczna r z kapitalizacj¡ wygeneruje po 5 latach ten sam kapitaª costopa roczna r bez kapitalizacji
r = 5
√K5
K0
− 1 =5
√16000
10000− 1 ≈ 9.856%.
Aktualizacja: 9 czerwca 2011 23
Rozdziaª 4. Procent skªadany
4.3. Kapitalizacja podokresowa
Przypu±¢my, »e odsetki dopisywane s¡ za ka»dym razem po upªywie czasu krótszego ni» 1rok. Wtedy taki okres nazywamy podokresem kapitalizacji . Oczywi±cie kapitaª b¦dziewzrastaª dokªadnie wg tej samej zasady co przy kapitalizacji rocznej, pod warunkiem »e dojego opisu b¦dziemy u»ywa¢ stopy z zwi¡zanej z tym podokresem czyli stopy podokreso-wej . Poj¦cie stopy podokresowej pojawiªo si¦ przy omawianiu oprocentowania prostego.W przypadku kapitalizacji podokresowej jest ona równa procentowi, o jaki wzrasta ka-pitaª za ka»dym razem po upªywie jednego podokresu. Liczb¦ podokresów kapitalizacjiprzypadaj¡cych na jeden rok nazywa si¦ cz¦stotliwo±ci¡ kapitalizacji .
Wprowadzaj¡c oznaczenia analogiczne jak dla oprocentowania prostego przyjmijmyk � cz¦stotliwo±¢ kapitalizacji (�ile razy w roku dopisywane s¡ odsetki�),mk � czas oprocentowania wyra»ony w liczbie podokresów (zakªadamy, »e mk ∈ N),ik � stopa podokresowa.
Wtedy, rozumuj¡c analogicznie jak dla kapitalizacji rocznej dostajemy, »e kapitaª Kmkpo
upªywie czasu mk (czyli na koniec mk − tego podokresu), przy kapitale pocz¡tkowym K0
wynosi
Kmk= K0 (1 + ik)
mk ,
a ª¡czne odsetki po upªywie czasu mk wynosz¡
Imk= K0 ((1 + ik)
mk − 1) .
Przykªad 4.2. Niech warto±¢ pocz¡tkowa kapitaªu wynosi K0 = 1000 zª. Kapitaª ro±niewedªug oprocentowania skªadanego z kapitalizacj¡ kwartaln¡ (k = 4) i stop¡ kwartaln¡i4 = 6%. Wówczas okres 2 lat stanowi 8 podokresów (mk = 8). Kapitaª ko«cowy wynosiwi¦c
K8 = K0 (1 + ik)mk = 1000 (1 + 0.06)8 = 1593.85 zª.
Cz¦sto warunki oprocentowania z kapitalizacj¡ podokresow¡ z cz¦stotliwo±ci¡ kapitali-zacji k razy w roku mog¡ by¢ podane przy u»yciu tak zwanej rocznej stopy nominalnejrk (a nie podokresowej ik). W tym wypadku podawana roczna stopa nominalna rk jestde�niowana jako stopa proporcjonalna do stopy podokresowej, dokªadniej
rk := k · ik.
Kapitaª po upªywie mk okresów przy powy»szych warunkach oprocentowania i przy kapi-tale pocz¡tkowym K0 b¦dzie wynosi¢
Kmk= K0
(1 + rk
k
)mk ,
albo, je±li zamiast czasu wyra»onego w liczbie podokresów u»yjemy odpowiadaj¡cego muczasu wyra»onego w n latach,
Kn = K0
(1 + rk
k
)nk.
Warto równie» zwróci¢ uwag¦, »e o ile stopa podokresowa wyra»aªa procent o jaki wzro±nienas kapitaª w ci¡gu jednego okresu kapitalizacji, to stopa roczna nominalna ju» takiej
Aktualizacja: 9 czerwca 2011 24
Rozdziaª 4. Procent skªadany
wªasno±ci nie posiada (chyba, »e podokres jest równy 1 rok co, cho¢ formalnie poprawne,podwa»a praktyczny sens u»ycia okre±lenia �podokres�).
U»ywaj¡c rocznej stopy nominalnej mo»na wprowadzi¢ jeszcze jeden wspóªczynnikmierz¡cy szybko±¢ wzrostu kapitaªu. Przy poprzednich oznaczeniach zbadajmy iloraz war-to±ci kapitaªu po dwóch nast¦puj¡cych po sobie latach
Kn+1
Kn
=K0
(1 + rk
k
)nk+k
K0
(1 + rk
k
)nk =(
1 +rkk
)k.
Wspóªczynnik ten oznaczany przez ρk nie zale»y od n i zwany jest rocznym czynnikiemoprocentowania . Informuje on ile razy zwi¦ksza si¦ kapitaª po upªywie roku. Ma onnast¦puj¡c¡ (do±¢ jasn¡ intuicyjnie wªasno±¢)
Wªasno±¢ 4.1. Przy ustalonej rocznej stopie nominalnej roczny czynnik oprocentowaniajest tym wi¦kszy (czyli kapitaª ro±nie tym szybciej), im krótszy jest okres kapitalizacji.
4.4. Kapitalizacja ci¡gªa
Przypu±¢my, »e dana jest roczna stopa nominalna rc. Je±li zaªo»ymy, »e cz¦stotliwo±¢ kapi-talizacji k mo»e wzrasta¢ nieograniczenie (czyli okres kapitalizacji staje si¦ niesko«czeniemaªy, dodatni), to przy zaªo»eniu, »e stopa rc jest niezmienna dostajemy, »e po n latachkapitaª Kn, którego warto±¢ pocz¡tkowa byªa K0 b¦dzie wynosi¢
Kn = limk→∞
K0
(1 +
rck
)nk= lim
k→∞K0
((1 +
rck
) krc
)nrc= K0e
rcn. (4.5)
Zauwa»my, »e powy»szy wzór ma sens nie tylko dla n ∈ N, n mo»e by¢ liczb¡ rzeczywistadodatni¡, musimy tylko pami¦ta¢, »e odpowiada upªywowi czasu wyra»onego w jednostce 1rok. Z tego powodu wygodniej b¦dzie dla oznaczania czasu u»ywa¢ litery t. Zatem, w chwilit ≥ 0 warto±¢ kapitaªu K(t) podlegaj¡cego oprocentowaniu ci¡gªemu (z kapitalizacj¡ �coniesko«czenie krótki czas�) z roczn¡ stop¡ nominaln¡ rc wynosi
K(t) = K(0)erct. (4.6)
Je»eli zaªo»ymy, »e zamiast warto±ci kapitaªu pocz¡tkowego w chwili t = 0 znana jestwarto±¢ kapitaªu w chwili t = t0, to jego warto±¢ w dowolnej chwili t ≥ t0 wynosi¢ b¦dzie
K(t) = K(t0)erc(t−t0). (4.7)
Wreszcie, je±li przyjmiemy r = erc − 1, to wzór (4.7) przyjmie posta¢
K(t) = K(t0)(1 + r)(t−t0). (4.8)
Wzory (4.5)-(4.8) opisuj¡ wi¦c model oprocentowania skªadanego przy kapitalizacji ci¡gªej(�co niesko«czenie krótki czas�) zwany równie» modelem kapitalizacji ci¡gªej . �atwosprawdzi¢, podstawiaj¡c we wzorze (4.8) t = t0 +1, »e r jest roczn¡ stop¡ efektywn¡, czyliw ci¡gu roku kapitaª pocz¡tkowy podlegaj¡cy modelowi (4.8) wzro±nie o dokªadnie r%.
Aktualizacja: 9 czerwca 2011 25
Rozdziaª 4. Procent skªadany
Powy»szy model mo»na równie» wyprowadzi¢ nast¦puj¡co. Przypu±¢my, »e kapitaliza-cja odbywa si¦ co ∆t lat (∆t nie musi by¢ wielko±ci¡ caªkowit¡). Wówczas, je±li w chwilit warto±¢ kapitaªu wynosiªa K (t) oraz kapitalizacja nast¡pi w chwili t+ ∆t, to
K (t+ ∆t) = K (t) +K (t) rc∆t
st¡dK (t+ ∆t)−K (t)
∆t= rcK (t) .
Gdyby okres kapitalizacji byª niesko«czenie krótki, to
lim∆t→0
K (t+ ∆t)−K (t)
∆t= rcK (t)
czyliK ′ (t) = rcK (t) . (4.9)
Rozwi¡zaniem powy»szego równania jest ka»da funkcja postaci,
K (t) = cerct,
gdzie c jest dowoln¡ staª¡. Zakªadaj¡c, »e w chwili pocz¡tkowej t = 0 warto±¢ kapitaªuwynosiªa K0 mamy, »e
K0 = c,
sk¡dK (t) = K0e
rct.
Tak jak poprzednio musimy pami¦ta¢, »e powy»sze rozumowanie jest prawdziwe, je±lijednostk¡ czasu t jest 1 rok.
Równanie (4.9) mówi, »e przy kapitalizacji ci¡gªej pr¦dko±¢ wzrostu kapitaªu w chwilit jest proporcjonalna do jego wielko±ci, za± wspóªczynnik tej proporcjonalno±ci interpre-tujemy jako roczn¡ stop¦ nominaln¡.
4.5. Równowa»no±¢ stóp procentowych oprocentowania
skªadanego.
Zajmiemy si¦ teraz problemem równowa»no±ci stóp procentowych w oprocentowaniu skªa-danym. Przypomnijmy ogóln¡ de�nicj¦ stóp równowa»nych. Dwie stopy procentowe ik1 iik2 s¡ równowa»ne w czasie n, je±li przy tym samym kapitale pocz¡tkowym K0 generuj¡w czasie n identyczne odsetki albo, co na jedno wychodzi generuj¡ ten sam kapitaª ko«-cowy Kn. De�nicja ta, wprowadzona przez nas w rozdziale dotycz¡cym oprocentowaniaprostego obowi¡zuje bez wzgl¦du na rodzaj oprocentowania.
Podamy analityczny warunek równowa»no±ci dwóch stóp procentowych. Zajmijmy si¦najpierw oprocentowaniem skªadanym z kapitalizacj¡ dyskretn¡.
Rozwa»my dwa modele oprocentowania skªadanego. W pierwszym mamy do czynieniaz kapitalizacj¡ k1 razy w roku i stop¡ podokresow¡ ik1 (zwi¡zan¡ z podokresem 1
k1), w
drugim z kapitalizacj¡ k2 razy w roku i stop¡ podokresow¡ ik2 (zwi¡zan¡ z podokresem
Aktualizacja: 9 czerwca 2011 26
Rozdziaª 4. Procent skªadany
1k2). Niech dany b¦dzie kapitaª pocz¡tkowy K0 oraz czas n lat. Wówczas, stopy ik1 oraz
ik2 s¡ równowa»ne wtedy i tylko wtedy, gdy
K0 (1 + ik1)nk1 = K0 (1 + ik2)
nk2
zatem
(1 + ik1)k1 = (1 + ik2)
k2 .
Ta sama zale»no±¢ przy u»yciu rocznych stóp nominalnych rk1 i rk2 proporcjonalnych dostóp ik1 i ik2 odpowiednio ma posta¢(
1 +rk1k1
)k1=(
1 +rk2k2
)k2.
Wreszcie, przy u»yciu rocznych czynników oprocentowuj¡cych ρk1 i ρk2 (odpowiadaj¡cychstopom rk1 i rk2 odpowiednio) dostajemy warunek równowa»no±ci w postaci
ρk1 = ρk2 .
Oczywi±cie, z powy»szych wzorów wynika, »e równowa»no±¢ stóp procentowych nie zale»yod kapitaªu pocz¡tkowego, ani czasu oprocentowania. Tym samym udowodnili±my
Wªasno±¢ 4.2. Niech ik1 oraz ik2 b¦d¡ stopami podokresowymi ik1 oraz ik2 odpowiada-j¡cymi podokresom kapitalizacji k1 i k2, za± rk1, rk2 rocznymi stopami nominalnymi orazρk1, ρk2 rocznymi czynnikami oprocentowuj¡cymi odpowiadaj¡cymi stopom ik2 , ik2 odpo-wiednio. Wówczas nast¦puj¡ce warunki s¡ równowa»ne
(1) stopy ik1 oraz ik2 s¡ równowa»ne,
(2) (1 + ik1)k1 = (1 + ik2)
k2 ,
(3)(
1 +rk1k1
)k1=(
1 +rk2k2
)k2,
(4) ρk1 = ρk2 .
Z powy»szej wªasno±ci ªatwo wynika, »e je»eli ik1 jest stop¡ podokresow¡ odpowiada-j¡c¡ podokresowi kapitalizacji k1, to równowa»na stopa podokresowa ik2 odpowiadaj¡capodokresowi kapitalizacji k2 wyra»a si¦ wzorem
ik2 = (1 + ik1)k1k2 − 1.
W szczególno±ci, stopa roczna (odpowiadaj¡ca okresowi kapitalizacji 1 raz w roku) rów-nowa»na stopie ik odpowiadaj¡cej podokresowi k nazywana stop¡ efektywn¡, jest ozna-czana symbolem ref i wynosi
ref = (1 + ik)k − 1 = ρk − 1, (4.10)
gdzie ρk oznacza roczny czynnik oprocentowania dla stopy podokresowej ik. Poniewa»roczny czynnik oprocentowania mierzy ile razy powi¦kszy si¦ kapitaª w ci¡gu roku, tostopa efektywna informuje nas o ile procent powi¦kszy si¦ ten kapitaª w ci¡gu roku.
Aktualizacja: 9 czerwca 2011 27
Rozdziaª 4. Procent skªadany
Stopa podokresowa ik odpowiadaj¡ca okresowi kapitalizacji k równowa»na stopie efek-tywnej ref wynosi natomiast
ik = (1 + ref )1k − 1.
Wreszcie, je±li rk1 jest roczn¡ stop¡ nominaln¡ odpowiadaj¡c¡ podokresowi kapitaliza-cji k1, to jak ªatwo sprawdzi¢, równowa»na roczna stopa nominalna rk2 odpowiadaj¡capodokresowi kapitalizacji k2 wyra»a si¦ wzorem
rk2 =
((1 +
rk1k1
) k1k2 − 1
)k1.
Je»eli teraz porównamy kapitalizacj¦ ci¡gª¡ przy rocznej stopie nominalnej rc z kapi-talizacj¡ k razy w roku i stop¡ podokresow¡ ik, to te dwie stopy s¡ równowa»ne wtedy itylko wtedy, gdy
erc = (1 + ik)k .
W szczególno±ci, stopa efektywna równowa»na stopie rc wynosi
ref = erc − 1 = ρc − 1.
Na zako«czenie zajmiemy si¦ problemem równowa»no±ci stóp procentowych przy opro-centowania skªadanym i prostym. Niech ik b¦dzie stop¡ podokresow¡ odpowiadaj¡c¡ pod-okresowi k, za± r roczn¡ stop¡ procentow¡ przy oprocentowaniu prostym. Wówczas, wmy±l zasady równowa»no±ci stóp stopy s¡ równowa»ne w okresie n lat wtedy i tylko wte-dy, gdy
(1 + ik)nk = 1 + rn.
Równowa»no±¢ stóp oprocentowania prostego i zªo»onego zale»y wi¦c od okresu oprocen-towania. Mo»na udowodni¢, »e je±li te dwie stopy s¡ równowa»ne w okresie n, to nie s¡równowa»ne w »adnym innym okresie.
4.6. Stopa zmienna w czasie, stopa przeci¦tna.
Przypu±¢my, »e kapitaª K0 zostaª zªo»ony na n lat z kapitalizacj¡ roczn¡, przy czymw kolejnych latach obowi¡zywaªy stopy r(i), i = 1, 2, ..., n. Wtedy warto±¢ kapitaªu wkolejnych latach wynosi
K1 = K0
(1 + r(1)
),
K2 = K0
(1 + r(1)
) (1 + r(2)
),
...
Indukcyjnie dowodzimy, »e warto±¢ kapitaªu po n latach wynosi
Kn = K0
∏ji=1
(1 + r(i)
), (4.11)
za± ª¡czne odsetki po n latach
In = K0
(∏ji=1
(1 + r(i)
)− 1). (4.12)
Aktualizacja: 9 czerwca 2011 28
Rozdziaª 4. Procent skªadany
Powy»sze wzory opisuj¡model oprocentowania skªadanego rocznego przy zmiennejstopie.
Mo»emy wprowadzi¢ dla tego modelu stop¦ przeci¦tn¡ (roczn¡) r jako stop¦ roczn¡,która wygeneruje po okresie n lat ten sam kapitaª Kn, zatem
K0 (1 + r)n = K0
n∏i=1
(1 + r(i)
),
sk¡d
r = n
√∏nj=1 (1 + r(i))− 1. (4.13)
Je±li oznaczymy przez ρ przeci¦tny roczny czynnik oprocentowuj¡cy odpowiadaj¡cystopie przeci¦tnej, to
ρ = r + 1 = n
√∏nj=1 (1 + r(i)),
mo»emy wi¦c powiedzie¢, »e przeci¦tny roczny czynnik oprocentowuj¡cy jest ±redni¡ geo-metryczn¡ rocznych czynników oprocentowuj¡cych w kolejnych latach okresu n lat.
Uogólniaj¡c powy»sze wzory, je±li stopy i(j), j = 1, 2, ...,m s¡ stopami okresowymi(niekoniecznie rocznymi) w kolejnych okresach, to warto±¢ ko«cowa kapitaªu pocz¡tkowegoK0 zªo»onego na czas m podokresów (z kapitalizacj¡ na koniec ka»dego okresu) wynosi
Km = K0
∏mj=1
(1 + i(j)
), (4.14)
za± stopa przeci¦tna w czasie m podokresów, zwana m−okresow¡ stop¡ przeci¦tn¡ , ıwynosi
ı = m
√∏mj=1 (1 + i(j))− 1. (4.15)
Zauwa»my, »e wobec wzoru (4.14) m−okresowy czynnik oprocentowuj¡cy ρm (rozu-miany jako wielko±¢ o jak¡ zmieni si¦ kapitaª po upªywie m podokresów) wynosi
ρ =∏m
j=1
(1 + i(j)
), (4.16)
natomiast m−okresowa stopa efektywna r (czyli o jaki procent zmieni si¦ kapitaª poupªywie m podokresów) wynosi
r = ρm − 1 =∏m
j=1
(1 + i(j)
)− 1 (4.17)
Rozwa»my teraz sytuacj¦, w której kapitaª K0 zostaª zªo»ony na n lat z kapitalizacj¡ci¡gª¡, przy czym w kolejnych latach obowi¡zywaªy nominalne stopy nominalne r
(j)c , j =
1, 2, ..., n. Wtedy kapitaª Kn po n latach ma warto±¢
Kn = K0er(1)c er
(2)c ...r
(n)c = K0e
∑nj=1 r
(j)c ,
za± roczna nominalna stopa ±rednia rc oprocentowania ci¡gªego speªnia warunek
ercn = e∑n
j=1 r(j)c ,
i wynosi
rc = 1n
∑nj=1 r
(j)c ,
czyli jest ±redni¡ arytmetyczn¡ stóp r(j)c , j = 1, 2, ..., n.
Aktualizacja: 9 czerwca 2011 29
Rozdziaª 4. Procent skªadany
4.7. Dyskontowanie skªadane.
Zajmiemy si¦ teraz operacj¡ odwrotn¡ do obliczania kapitaªu ko«cowego na podstawiekapitaªu pocz¡tkowego, który podlegaª oprocentowaniu skªadanemu, czyli operacj¡ dys-kontowania.
Przypu±¢my, »e znamy warto±¢ kapitaªu ko«cowego Kn, który powstaª z kapitaªu po-cz¡tkowego K0 zdeponowanego na n lat przy oprocentowaniu skªadanym. Rozwa»my dwaprzypadki:
1. Okres kapitalizacji wynosi rok i roczna stopa procentowa jest równa r. Wtedy zzale»no±ci
Kn = K0 (1 + r)n
dostajemy natychmiast, »e
K0 =Kn
(1 + r)n.
2. Kapitalizacja jest ci¡gªa z roczn¡ stop¡ rc. Wówczas
Kn = K0ercn,
sk¡dK0 = e−rcnKn.
W obydwu przypadkach warto±¢ dyskonta (czyli ró»nica mi¦dzy kapitaªem ko«cowym ipocz¡tkowym) jest równa warto±ci ª¡cznych odsetek od kapitaªu K0.
Czynniki 11+r
oraz e−rc nazywaj¡ si¦ rocznymi czynnikami dyskontuj¡cymi przykapitalizacji rocznej i ci¡gªej odpowiednio. Jest to wspóªczynnik ν przez jaki trzeba po-mno»y¢ kapitaª na koniec dowolnego roku, aby otrzyma¢ kapitaª na pocz¡tku tego rokutzn,
Kn = νKn+1,
Obliczaj¡c roczn¡ stop¦ dyskontow¡ d, czyli o ile procent trzeba zmniejszy¢ kapitaªKn+1 na koniec dowolnego roku, aby otrzyma¢ kapitaª Kn na pocz¡tku tego roku mamy
d =Kn+1 −Kn
Kn+1
= 1− ν.
Zatem, roczna stopa dyskontowa przy kapitalizacji rocznej ze stop¡ roczn¡ r wynosi
d = 1− 1
1 + r=
r
1 + r,
za± przy kapitalizacji ci¡gªej i stopie nominalnej rc
dc = 1− e−rc .
Przy u»yciu czynnika dyskontuj¡cego kapitaª pocz¡tkowy K0, który wygeneruje po nlatach kapitaª ko«cowy Kn wyra»a si¦ wzorem
K0 = νnKn,
a przy u»yciu rocznej stopy dyskontowej d :
K0 = (1− d)nKn.
Aktualizacja: 9 czerwca 2011 30
Rozdziaª 4. Procent skªadany
4.8. Oprocentowanie a in�acja.
Mianem in�acji okre±lamy zjawisko spadku siªy nabywczej kapitaªu, czyli ilo±ci dóbr(towarów i usªug), które mo»emy kupi¢ za ten kapitaª. Miar¡ in�acji w ustalonym okresieczasu jest stopa procentowa in�acji , która wyra»a procentowy wzrost cen towarówi usªug w tym okresie. Poniewa» in�acyjny wzrost cen w danym okresie nakªada si¦ nawzrost cen w poprzednim okresie, wi¦c model opisuj¡cy in�acyjne zmiany cen jest mode-lem oprocentowania skªadanego ze zmiennymi w czasie stopami wyra»onego równaniem(4.11).
Przypu±¢my, »e badamy in�acyjne zmiany cen w m okresach.Niech:
i(j)inf � okresowa stopa in�acji w okresie j = 1, 2, ...,m,finf � m−okresowa stopa in�acji (równa procentowi o jaki wzrosn¡ ceny ª¡cznie po
upªywie m okresów),ıinf � przeci¦tna w czasie m okresów stopa in�acji.
Zgodnie ze wzorami (4.16)-(4.17) m�okresowy czynnik in�acji 1 + iinf wynosi
1 + finf =∏m
j=1
(1 + i
(j)inf
),
czyli jest iloczynem czynników in�acji z kolejnych okresów. Za± zgodnie z (4.15) przeci¦tnaw czasie m podokresów stopa in�acji wynosi
ıinf = m√
1 + finf − 1 = m
√∏mj=1
(1 + i
(j)inf
)− 1. (4.18)
Bior¡c pod uwag¦ wpªyw in�acji na zmian¦ warto±ci kapitaªu pocz¡tkowego K0 poupªywie pewnego ustalonego okresu t nale»y rozró»ni¢ jego wzrost �nominalny� � np.zwi¡zany z faktem, »e kapitaª byª zdeponowany w banku, z jego wzrostem �realnym�zwi¡zanym z siª¡ nabywcz¡ tego kapitaªu. Zaªó»my, »e dana jest pewna stopa procentowainom zwana w tym kontek±cie stop¡ nominaln¡. Wedªug tej stopy, po upªywie czasu tkapitaª ko«cowy b¦dzie wynosi¢
Knom = K0 (1 + inom) . (4.19)
Jednak warto±¢Kreal tego kapitaªu zwi¡zana z jego siª¡ nabywcz¡ b¦dzie tyle razy mniejszaile razy wzrosªy ceny w tym okresie. Je±li wi¦c iinf oznacza stop¦ in�acji w tym okresie,to
Kreal =Knom
1 + iinf= K0
1 + inom1 + iinf
. (4.20)
Powy»sze rozwa»ania pozwalaj¡ na formalne wprowadzenie poj¦¢ warto±¢ kapitaªu nomi-nalnego i realnego.
Warto±ci¡ nominaln¡ kapitaªu na koniec okresu dªugo±ci t przy danej stopie inomnazywamy warto±¢ okre±lon¡ równo±ci¡ (4.19), tzn.
Knom := K0 (1 + inom) .
Aktualizacja: 9 czerwca 2011 31
Rozdziaª 4. Procent skªadany
Warto±ci¡ realn¡ kapitaªu na koniec okresu dªugo±ci t przy stopie in�acji iinf nazy-wamy warto±¢ okre±lon¡ równo±ci¡ (4.20) t.j.
Kreal := Knom
1+iinf.
Stop¡ realn¡ nazywamy liczb¦
ireal :=1 + inom1 + iinf
− 1. (4.21)
Wobec (4.19)-(4.20)
Kreal =Knom
1 + iinf=K0 (1 + inom)
1 + iinf= K0 (1 + ireal) ,
czyli stopa ireal jest w istocie stop¡ procentow¡ informuj¡c¡ o ile procent zmienia si¦warto±¢ realna kapitaªu w badanym okresie czasu t.
Bezpo±rednio z (4.21) wynika, »e
1 + inom = (1 + ireal) (1 + iinf ) . (4.22)
Powy»sza zale»no±¢ nosi nazw¦ wzoru Fishera . Mo»emy wi¦c powiedzie¢, »e czynniknominalnego oprocentowania kapitaªu jest iloczynem czynnika realnego wzrostu kapitaªui czynnika in�acji. Ze wzoru Fishera wynika, »e
ireal =inom−iinf
1+iinf(4.23)
oraziinf = inom−ireal
1+ireal.
Mamy
Wªasno±¢ 4.3.
1. Stopy nominalna jest równa stopie realnej jedynie przy zerowej in�acji.
2. Je±li iinf > 0, to ireal < inom − iinf .
3. Je±li iinf < 0, to ireal > inom − iinf = inom + |iinf |
4. ireal > 0 ⇔ iinf < inom
W okresach, w których stopa in�acji jest ujemna mówimy o de�acji , której miar¡jest stopa |iinf |. Wtedy wªasno±¢ 4.3.3 mówi, »e przy de�acji (o stopie mniejszej ni» 1)warto±¢ realna jest wi¦ksza ni» stopa nominalna nawet powi¦kszona o stop¦ de�acji.
Przykªad 4.3. Tegoroczne ±rodki przyznane uczelni na prace naukowo-badawcze s¡ wy»szedo ubiegªorocznych o 22%. Jaki jest realny wzrost tego funduszy, je±li stopa in�acji wynosi13%?
Przykªad pokazuje sens wzoru Fishera. Mam oczywi±cie, »e
1 + rreal =1 + rnom1 + rinf
=1.22
1.13≈ 1.0796,
sk¡drreal = 7.96%
Aktualizacja: 9 czerwca 2011 32
Rozdziaª 4. Procent skªadany
Przykªad 4.4. Przewiduj¡c stop¦ in�acji 5% rocznie ustalono, »e spªata po»yczki 6500 zªwyniesie po dwóch latach 8000 zª. Obliczymy realn¡ roczn¡ stop¦ oprocentowania po»yczki,je±li
(a) poziom in�acji b¦dzie zgodny z przewidywaniami,
(b) w pierwszym roku in�acja wyniesie 6%, a w drugim 9%.
(Ad a) Obliczymy najpierw roczn¡ stop¦ nominaln¡ rnom oprocentowania po»yczki. Ponie-wa»
8000 = 6500 (1 + rnom)2 ,
wi¦c
rnom =
√8000
6500− 1 ≈ 10.94%.
Korzystaj¡c ze wzoru Fishera albo bezpo±rednio z (4.23)
rreal =rnom − rinf
1 + rinf=
0.1094− 0.05
1 + 0.05≈ 5.66%.
(Ad b) Stopa in�acji zmieniaªa si¦ w ci¡gu caªego okresu dwóch lat. Mo»emy jednak obliczy¢stop¦ przeci¦tn¡, która zgodnie z okre±leniem, wygenerowaªaby w okresie dwóch latidentyczny spadek warto±ci nominalnej kapitaªu. Zgodnie ze wzorem (4.18)
rinf =√
(1 + 0.06) (1 + 0.09)− 1 ≈ 7.49%.
rnom − rinf1 + rinf
=0.1094− 0.0749
1 + 0.0749≈ 3.21%.
Powró¢my jeszcze do zale»no±ci mi¦dzy warto±ci¡ realn¡ kapitaªu i jego warto±ci¡nominaln¡. Wobec okre±lenia warto±ci realnej
Kreal =Knom
1 + iinf= Knom
(1 + iinf − iinf
1 + iinf
)= Knom
(1− iinf
1 + iinf
).
Obliczenie kapitaªu realnego na podstawie kapitaªu realnego przypomina wi¦c operacj¦dyskontowania ze stop¡
dinf :=iinf
1 + iinf.
Aktualizacja: 9 czerwca 2011 33
Rozdziaª 5
Warto±¢ kapitaªu w czasie
5.1. Model warto±ci kapitaªu w czasie.
Jest rzecz¡ jasn¡, »e warto±¢ kapitaªu jest wielko±ci¡ zmienn¡ w czasie. Ta sama kwotapieni¦dzy posiadana 10 lat temu dzi± stanowi zupeªnie inn¡ warto±¢. W matematyce �-nansowej za aktualn¡ warto±¢ kapitaªu rozumie si¦ jego warto±¢ w chwili obecnej � presentvalue (PV). Dla oznaczenia przyszªej warto±ci kapitaªu u»ywa si¦ skrótu FV � future va-lue. Oczywi±cie dla obliczenia przyszªej warto±ci kapitaªu na podstawie warto±ci obecnejstosuje si¦ model oprocentowania, natomiast dla obliczenia warto±ci obecnej na podstawiewarto±ci przyszªej � model dyskontowania.
Rozwa»my nast¦puj¡cy
Przykªad 5.1. N pocz¡tku roku pan Kowalski ma zdeponowane na lokacie rocznej opro-centowanej 6% w skali roku 100000 zª. Na koniec roku pan Kowalski otrzyma 40000 zªjako zapªat¦ za pewn¡ prac¦ zlecon¡. Zauwa»my, »e
1. Pan Kowalski nie mo»e powiedzie¢, »e na koniec roku b¦dzie posiadaczem kwoty140000 zª albowiem b¦dzie posiadaczem kwoty 40000 zª oraz 100000 zª powi¦kszonejo odsetki:
100000 · 1.06 + 40000 = 1460000.
2. W chwili obecnej pan Kowalski nie mo»e (na ogóª) uwa»a¢ si¦ za posiadacza kwoty140000 zª. Gdyby chciaª za t¦ kwot¦ kupi¢ samochód, to nawet likwiduj¡c lokat¦musiaªby wzi¡¢ kredyt na pozostaª¡ kwot¦. W sytuacji, gdyby otrzymaª kredyt doko«ca roku musiaªby go spªaci¢ wraz z odsetkami, czyli w kwocie przekraczaj¡cej40000zª.
Powy»szy przykªad pokazuje, »e aby analizowa¢ warto±¢ kapitaªu potrzebne jest u»y-cie jakiego± mechanizmu rachunkowego przeliczaj¡cego jego warto±¢ na wskazan¡ chwil¦czasu. Oczywi±cie takim mechanizmem jest oprocentowania i dyskontowanie. Na ogóª doprzeliczania warto±ci kapitaªu w czasie u»ywa si¦ modelu zwi¡zanego z procentem (dys-kontem) skªadanym.
Niech R 3 t 7→ K (t) b¦dzie funkcj¡ modeluj¡c¡ warto±¢ kapitaªu w czasie (t oznaczaczas mierzony w latach). Przypu±¢my, »e znana jest jego warto±¢ K (t0) w chwili t0. Za-stosujemy model wykªadniczy oprocentowania czyli model kapitalizacji ci¡gªej. Zaªó»my,
34
Rozdziaª 5. Warto±¢ kapitaªu w czasie
»e kapitaª podlega oprocentowaniu skªadanemu ze stop¡ efektywn¡ r > 0. Wobec (4.8)mamy dla t ≥ t0
K (t) = K (t0) (1 + r)t−t0 ,
gdy» kapitaª podlega oprocentowaniu. Aby obliczy¢ warto±¢ kapitaªu dla t < t0 musimyzauwa»y¢, »e zgodnie z modelem wykªadniczym
K (t0) = K (t) (1 + r)t0−t ,
sk¡dK (t) = K (t0) (1 + r)t−t0 .
Zatem, modelem zmiany warto±ci kapitaªu w czasie jest funkcja
K (t) = K (t0) (1 + r)t−t0 , t ∈ R. (5.1)
Oczywi±cie w przypadku, gdy kapitaª podlega oprocentowaniu skªadanemu z kapitalizacj¡okresow¡ powy»szy funkcja uci¡gla dyskretne zmiany warto±ci kapitaªu. Wtedy warto±ciargumentu t powinny by¢ dyskretne, zwi¡zane z dªugo±ci¡ okresu kapitalizacji (pami¦taj-my, »e w ka»dym wypadku t wyra»a czas mierzony w latach). Za pomoc¡ rocznej stopynominalnej rc (speªniaj¡cej warunek (1 + r = erc) model (5.1) mo»e by¢ wyra»ony jako
K (t) = K (t0) erc(t−t0).
Zwró¢my te» uwag¦, »e we wzorze (5.1) wybór chwili t0 jest arbitralny � t0 mo»nazast¡pi¢ dowolnie inn¡ chwil¡ t1. Wtedy K (t1) = K (t0) (1 + r)t1−t0 oraz
K (t) = K (t0) (1 + r)t−t0+t1−t1 = K (t0) (1 + r)t1−t0 (1 + r)t−t1 = K (t1) (1 + r)t−t1 .
Kolejn¡ istotn¡ cech¡ modelu (5.1) jest jego addytywno±¢. To znaczy, je±li kapitaª Kpodlegaj¡cy modelowi (5.1) jest sum¡ kapitaªów K1, . . . Km, tzn.
K (t) =m∑j=1
Kj (t) ,
to ka»dy z kapitaªów Kj zmienia sw¡ warto±¢ wedªug tego samego modelu tzn.
K (t) = K (t0) (1 + r)t−t0 = (1 + r)t−t0m∑j=1
Kj (t0) =m∑j=1
Kj (t0) (1 + r)t−t0 .
Przykªad 5.2. Przypu±¢my, »e koszt produkcji towaru A wytwarzanego przez �rm¦ Bprzypadaj¡cy na jednostk¦ czasu w chwili t wynosi c (t) (jest to tzw. strumie« kosztówprodukcji wyra»ony w jednostkach monetarnych dzielonych przez czas; mo»na t¦ wielko±¢uto»samia¢ z pr¦dko±ci¡ zmiany kosztów produkcji). Przypu±¢my, »e nie uwzgl¦dniamyzmiany warto±ci pieni¡dza w czasie. W tej sytuacji dla maªego przyrostu czasu ∆t o chwilit do chwili t + ∆t mo»na przyj¡¢, »e koszt produkcji nie zmienia si¦ w tym przedzialeczasowym i w konsekwencji wynosi c (t) ∆t. Post¦puj¡c jak przy konstrukcji caªki w sensieRiemanna dostajemy, »e caªkowity koszt produkcji w czasie od t0 = 0 do chwili t = Twynosi ∫ T
0
c (t) dt.
Aktualizacja: 9 czerwca 2011 35
Rozdziaª 5. Warto±¢ kapitaªu w czasie
Taki sposób obliczenia kosztów caªkowitych nie uwzgl¦dnia realnej zmiany warto±ci pieni¡-dza. Nale»y najpierw zaktualizowa¢ poszczególne warto±ci kosztu na jeden wspólny momenti dopiero pó¹niej dokona¢ obliczenia kosztu caªkowitego. Przypu±¢my, »e dokonamy aktu-alizacji funkcji kosztu na chwil¦ ko«cow¡ t = T. Wtedy funkcja c b¦dzie odzwierciedlaªarealny koszt produkcji na chwil¦ t = T, a dla chwil t < T pieni¡dze wydawane na pokryciekosztów b¦d¡ miaªy w chwili T na ogóª realn¡ warto±¢ wi¦ksz¡ ni» ich ówczesna warto±¢nominalna. Zakªadaj¡c zmian¦ warto±ci kapitaªu zgodn¡ z modelem oprocentowania zestop¡ efektywn¡ r > 0 realny koszt produkcji na jednostk¦ czasu b¦dzie postaci
c (t) (1 + r)T−t .
Caªkowity koszt wynosi¢ wi¦c b¦dzie
C (T ) =
∫ T
0
c (t) (1 + r)T−t dt.
Odwrotnie, je±li szacujemy caªkowity koszt produkcji dla chwili t = 0, to kwota c (t) wy-dawana w chwilach bliskich T b¦dzie miaªa mniejsz¡ warto±¢ realn¡ od nominalnej, st¡drealny koszt produkcji na jednostk¦ czasu b¦dzie postaci
c (t) (1 + r)−t ,
a caªkowity koszt
C (0) =
∫ T
0
c (t) (1 + r)−t dt.
Zwró¢my uwag¦, »e mo»emy równie» znaj¡c caªkowity zaktualizowany na chwil¦ t0 wyrazi¢,korzystaj¡c z modelu wykªadniczego przeliczy¢ go na dowoln¡ chwil¦ τ :
C (τ) = C (t0) (1 + r)τ−t0 .
Na przykªad znaj¡c koszt C (T ) =∫ T
0c (t) (1 + r)T−t dt mamy
C (0) = C (T ) (1 + r)−T = (1 + r)−T∫ T
0
c (t) (1 + r)T−t dt =
∫ T
0
c (t) (1 + r)−t dt.
W obu przypadkach dostajemy identyczny efekt ko«cowy.
5.2. Zasada równowa»no±ci kapitaªów.
Zasada równowa»no±ci kapitaªów jest jedn¡ z najwa»niejszych zasad matematyki �nanso-wej. Pozwala ona zbada¢, czy dwa modele zmienno±ci kapitaªu w czasie opisuj¡ zmianytego samego kapitaªu. Punktem wyj±cia do naszych rozwa»a« jest poni»sza
Zasada równowa»no±ci kapitaªów w momencie t. Kapitaªy K1 i K2 s¡ równo-wa»ne w chwili t, je±li ich warto±ci zaktualizowane na t¦ chwil¦ s¡ równe.
Wyprowadzimy teraz formalne warunki równowa»no±ci kapitaªów. Zakªadamy caªyczas, »e warto±¢ kapitaªu w czasie jest zgodna z modelem wykªadniczym (5.1) z ustalon¡roczn¡ stop¡ efektywn¡ r. Niech
K1 (t) = K1 (t1) (1 + r)t−t1 (5.2)
Aktualizacja: 9 czerwca 2011 36
Rozdziaª 5. Warto±¢ kapitaªu w czasie
orazK2 (t) = K2 (t2) (1 + r)t−t2 , (5.3)
gdzie K1 (t1) , K2 (t2) > 0. Zgodnie z powy»sz¡ zasad¡ kapitaªy te b¦d¡ równowa»ne wchwili t, wtedy i tylko wtedy, gdy
K1 (t1) (1 + r)t−t1 = K2 (t2) (1 + r)t−t2 ,
sk¡d dziel¡c obie strony przez (1 + t)t−t2
K1 (t1) (1 + r)−t1 = K2 (t2) (1 + r)−t2 . (5.4)
Je±li rc oznacza roczn¡ stop¦ nominaln¡ oprocentowania ci¡gªego równowa»n¡ stopie r, towarunek równowa»no±ci ma posta¢
K1 (t1) e−rct1 = K2 (t2) e−rct2 . (5.5)
Wida¢, »e w obu wzorach (5.4) i (5.5) nie wyst¦puje chwila t, st¡d mamy
Wªasno±¢ 5.1. Kapitaªy K1 i K2 opisane modelami (5.2) i (5.3) odpowiednio, s¡ rów-nowa»ne w chwili t wtedy i tylko wtedy, gdy s¡ równowa»ne w dowolnej chwili t′.
Wobec powy»szej wªasno±ci mo»emy mówi¢ o równowa»no±ci kapitaªów niezale»nieod czasu, czyli prowadzi¢ nasze dalsze rozwa»ania w oparciu o zasad¦ równowa»no±cisformuªowan¡ nast¦puj¡co:
Zasada równowa»no±ci kapitaªów. Kapitaªy K1 i K2, opisane modelem wykªadni-czym, s¡ równowa»ne je±li s¡ równowa»ne w dowolnej chwili t.
Ze wzoru (5.4) wynika te» natychmiast
Wniosek 5.1. Dwa kapitaªy K1 i K2 opisane modelami (5.2) i (5.3) odpowiednio, s¡równowa»ne wtedy i tylko wtedy, gdy
K1(t1)K2(t2)
= (1 + r)t2−t1 . (5.6)
Ponadto, relacja równowa»no±ci kapitaªów jest relacj¡ przechodni¡.
Wszystkie powy»sze rozwa»ania zostaªy przeprowadzone przy danej z góry stopie pro-centowej r. Zauwa»my, »e je»eli kapitaªy K1 i K2 s¡ równowa»ne przy stopie r, to dladowolnej innej stopy r′ równowa»no±¢ kapitaªów oznaczaªaby na mocy poprzedniej wªa-sno±ci, »e
(1 + r)t2−t1 = (1 + r′)t2−t1 ,
sk¡dt2 = t1.
Czyli równowa»no±¢ przy nowej stopie byªaby mo»liwa, gdyby zmiana stopy nast¡piªa dlaobu kapitaªów w tym samym momencie, w pozostaªych przypadkach kapitaªy nie b¦d¡równowa»ne.
Rozwa»aj¡c model wykªadniczy kapitaªu w czasie mo»na równie» postawi¢ nast¦puj¡cyproblem. Zaªó»my, »e mamy dane dwa kapitaªy K1 i K2, których warto±ci K1 (t1) i K2 (t2)
Aktualizacja: 9 czerwca 2011 37
Rozdziaª 5. Warto±¢ kapitaªu w czasie
w chwilach t1 i t2 s¡ dane. Przy jakiej stopie r kapitaªy te s¡ równowa»ne? Ze wzoru (5.6)dostajemy natychmiast, »e stopa ta speªnia warunek
r =(K1(t1)K2(t2)
) 1t2−t1 − 1.
Na zako«czenie rozwa»my jeszcze przypadek, w którym dane s¡ dwa ci¡gi kapitaªów Mj,j = 1, 2, ...,m oraz Nj, j = 1, 2, ..., n. Powiemy, »e powy»sze ci¡gi s¡ równowa»nymici¡gami kapitaªów, je±li kapitaªy K1 oraz K2 postaci
K1 (t) =m∑j=1
Mj (t)
oraz
K2 (t) =n∑j=1
Nj (t)
s¡ równowa»ne.
Aktualizacja: 9 czerwca 2011 38
Cz¦±¢ II
Modele matematyczne.
39
Rozdziaª 6
Pochodna funkcji w ekonomii
Przyjmijmy oznaczenie R+ := [0,∞) .
6.1. Funkcja kra«cowa
Niech funkcja C : R+ → R+ opisuje koszt produkcji pewnego towaru w zale»no±ci od liczbywyprodukowanych jednostek. Dla x ∈ R+ wielko±¢ C (x) oznacza wi¦c koszt wyproduko-wania x jednostek towaru. Funkcj¦ C b¦dziemy nazywa¢ funkcj¡ kosztu caªkowitego.Dalej, dla x > 0 wielko±¢
c (x) :=C (x)
x
oznacza koszt jednostkowy wyprodukowania x jednostek towaru, tzn. koszt, jaki przypadana produkcj¦ jednej jednostki towaru przy poziomie produkcji x jednostek. Funkcj¦ c :(0,∞)→ R+ nazywamy funkcj¡ kosztu przeci¦tnego.
Niech x0 ∈ R+, ∆x > 0 wtedy iloraz ró»nicowy
C (x0 + ∆x)− C (x0)
∆x
oznacza przeci¦tny koszt wyprodukowania dodatkowych ∆x jednostek towaru przy pozio-mie produkcji x0. Granic¦
C ′ (x0) := lim∆x→0
C (x0 + ∆x)− C (x0)
∆x,
o ile istnieje, nazywamy kosztem kra«cowym (marginalnym) produkcji przy pozio-mie produkcji x0. Zakªadaj¡c ró»niczkowalno±¢ funkcji C funkcj¦ C ′ nazywamy funkcj¡kosztu kra«cowego. Mamy te», »e dla maªych ∆x
C (x0 + ∆x)− C (x0) ≈ C ′ (x0) ∆x,
co, uznaj¡c ∆x = 1 za wielko±¢ maª¡, daje przybli»on¡ informacj¦, »e je±li zwi¦kszymyprodukcj¦ z poziomu x0 jednostek o jedn¡ jednostk¦, to koszt produkcji zwi¦kszy si¦ oC ′ (x0) .
Wielko±¢ produkcji x0 dla której koszt przeci¦tny c(x) wyprodukowania jednostki da-nego dobra przez przedsi¦biorstwo osi¡ga warto±¢ najmniejsz¡ nazywamy optimum tech-nologicznym.
40
Rozdziaª 6. Pochodna funkcji w ekonomii
Przykªad 6.1. Koszt wytworzenia x jednostek produkcji dla x ≥ 0 okre±lony jest funkcj¡C(x) = x3 − 60x2 + 1528x. Funkcja kosztów kra«cowych, a wi¦c pochodna funkcji C maposta¢
C ′(x) = 3x2 − 120x+ 1528.
Dla produkcji wynosz¡cej x = 5, koszt wyprodukowania dodatkowej jednostki wyniesie
C (6)− C (5) = 7224− 6265 = 959,
a koszt kra«cowy ma warto±¢ C ′(5) = 1003 jednostki, zatem skorzystanie z interpretacjikosztu kra«cowego daj¦ mocno przybli»ony wynik.
Je»eli x = 100, to koszt wyprodukowania dodatkowej jednostki wyniesie
C (101)− C (100) = 572 569− 552 800 = 19 769,
a koszt kra«cowy ma warto±¢ C ′(100) = 19 528 jednostek. Widzimy wi¦c, »e nawet stosu-j¡c przybli»on¡ za pomoc¡ funkcji kosztu kra«cowego warto±¢ wyprodukowania dodatkowejjednostki towaru mo»emy wyci¡gn¡¢ wniosek, »e zwi¦kszanie produkcji opªaca si¦ bardziejprzy produkcji na poziomie x = 5 jednostek ni» na poziomie x = 100 jednostek.
Nast¦pnie koszt przeci¦tny okre±la funkcja postaci
c(x) =C(x)
x= x2 − 60x+ 1528.
Mamy wi¦c, »e minimalna warto±¢ funkcji c jest osi¡gni¦ta dla x = 30. Zatem wielko±¢produkcji x = 30 stanowi optimum technologiczne. Zauwa»my te», »e
c(30) = 628 = C ′(30)
Wªasno±¢ 6.1. Niech x0 b¦dzie optimum technologicznym, wówczas
c(x0) = C ′(x0).
Dowód. Niech x0 b¦dzie wielko±ci¡ produkcji. Skoro x0 jest optimum technologicznym,to
c′(x0) = 0⇔(C(x)
x
)′x=x0
= 0,
st¡dC ′(x0)x0 − C(x0)
x20
= 0,
czyliC(x0)
x0
= C ′(x0),
zatemc(x0) = C ′(x0).
Ostatnia równo±¢ oznacza, »e krzywa kosztów kra«cowych przecina si¦ z krzyw¡ kosztówprzeci¦tnych w punkcie oznaczaj¡cym jej minimum.
Zaªó»my, »e pewien zakªad prowadzi sprzeda» towaru. Niech x ≥ 0 oznacza ilo±¢ jed-nostek towaru sprzedawanych przez ten zakªad. oznaczmy przez U(x) utarg caªkowity ,
Aktualizacja: 9 czerwca 2011 41
Rozdziaª 6. Pochodna funkcji w ekonomii
czyli przychód ze sprzeda»y x jednostek towaru. Funkcja U : R+ → R+ jest, wi¦c funk-cj¡ utargu caªkowitego czyli funkcj¦ opisuj¡c¡ kwot¦, jak¡ przedsi¦biorstwo otrzymaza sprzeda» x jednostek towaru. Zakªadaj¡c, »e U jest funkcj¡ ró»niczkowaln¡ szybko±¢zmian utargu zakªadu przy sprzeda»y x jednostek wynosi:
U ′(x) = lim∆t→0
∆U
∆x.
Tak jak w przypadku kosztu U ′ nazywana jest funkcj¡ utargu kra«cowego. Zatem utargkra«cowy U ′ jest równy wzrostowi sprzeda»y je±li zwi¦kszymy j¡ o dodatkow¡ jednostk¦towaru.
Zaªó»my, »e pewien zakªad prowadzi produkcj¦ i sprzeda» produktu. Niech Z(x) ozna-cza zysk caªkowity przedsi¦biorstwa przy produkcji i sprzeda»y x jednostek towaru.Funkcj¦ Z : R+ → R+ nazywamy funkcj¡ zysku caªkowitego. Oczywi±cie
Z(x) = U(x)− C(x) dla x ≥ 0,
gdzie U(x) oznacza utarg, a C(x) koszt caªkowity produkcji x jednostek danego produktu.St¡d dostajemy natychmiast
Wªasno±¢ 6.2. Je±li x0 jest wielko±ci¡ produkcji dla której przedsi¦biorstwo osi¡ga zyskmaksymalny, to C ′(x0) = U ′(x0), czyli koszt kra«cowy dla produkcji o wielko±ci x0 jestrówny utargowi kra«cowemu dla x0.
Przykªad 6.2. Cena zbytu wyrobu jest równa p(x) = 40 − 0.03x, gdzie x oznacza liczb¦jednostek wyrobu. Koszt caªkowity x jednostek wyrobu w pewnym zakªadzie dany jest wzo-rem C(x) = 0.01x2 + 20x + 225. Dla jakiej wielko±ci produkcji zysk na jednostk¦ wyrobujest najwi¦kszy?
Mamy
C ′ (x) = 0.02x+ 20,
Z (x) = (xp (x)− C (x)) = 20x− 0.04x2 − 225,
Z ′ (x) = −0.08x+ 20.
Niech x0 b¦dzie wielko±ci¡ produkcji odpowiadaj¡c¡ zyskowi maksymalnemu, wtedy
U ′(x0) = C ′(x0),
sk¡d x0 = 250.
6.2. Elastyczno±¢ funkcji
Niech f : (a, b) → R, ((a, b) ⊂ R+), x0 ∈ (a, b) oraz niech ∆x b¦dzie takim przyrostem,»e (x0 + ∆x) ∈ (a, b).
Przyrostem wzgl¦dnym warto±ci funkcji f dla argumentu x0 i przyrostu ∆xnazywamy liczb¦
∆y
y:=
f(x0 + ∆x)− f(x0)
f(x0),
Aktualizacja: 9 czerwca 2011 42
Rozdziaª 6. Pochodna funkcji w ekonomii
o ile f(x0) 6= 0. Liczb¦∆x
x0
nazywamy przyrostem wzgl¦dnym argumentu dla argumentu x0.
Elastyczno±ci¡ przeci¦tn¡ funkcji f w przedziale 〈x0, x0+∆x〉 nazywamy stosunekwzgl¦dnego przyrostu funkcji do wzgl¦dnego przyrostu argumentu
f(x0 + ∆x)− f(x0)
f(x0)· x0
∆x(6.1)
i oznaczamy symbolem Ex0,∆xf .
Elastyczno±ci¡ funkcji f w punkcie x0 nazywamy granic¦ (o ile istnieje)
lim∆x→0
Ex0,∆xf
i oznaczamy Ex0f .
Uwaga 6.1. Je±li ∆x = 0.01x0 = 1% · x0, to
Ex0f ≈ Ex0,∆xf =f(x0 + ∆x)− f(x0)
f(x0)· 100%.
Elastyczno±¢ Ex0f jest wi¦c (w przybli»eniu) miar¡ przeci¦tnego procentowego przyrostuwarto±ci funkcji f , odpowiadaj¡cego przyrostowi warto±ci argumentu x o 1%.
Mamy nast¦puj¡c¡
Wªasno±¢ 6.3. Je»eli f(x0) 6= 0, to
Ex0f = f ′(x0)x0
f(x0). (6.2)
Dowód. Mamy, »e
lim∆x→0
Ex0,∆xf = lim∆x→0
f(x0 + ∆x)− f(x0)
∆x· x0
f(x0)= f ′(x0)
x0
f(x0).
Wªasno±¢ 6.4. Je»eli argument x funkcji f wzrasta o p% od pewnej warto±ci pocz¡tkowejx0, to warto±¢ funkcji zmienia si¦ o q%, gdzie
q ≈ pEx0f.
Dowód. Niech x0 b¦dzie warto±ci¡ pocz¡tkow¡. Przypu±¢my, »e argument x wzrósª o p%,co wywoªaªo zmian¦ warto±ci funkcji o q% (licz¡c od f(x0)), wtedy
f(x0 +p
100x0)− f(x0) =
q
100f(x0). (6.3)
Mamy, »ef (x0 + ∆x)− f (x0) ≈ f ′ (x0) ∆x,
Aktualizacja: 9 czerwca 2011 43
Rozdziaª 6. Pochodna funkcji w ekonomii
sk¡d
Ex0f =x0
f (x0)f ′ (x0) ≈ x0
f (x0)
f (x0 + ∆x)− f (x0)
∆x
Przyjmuj¡c ∆x = p100x0 otrzymujemy z (6.3), »e
Ex0f ≈x0
f(x0)
q100· f(x0)p
100x0
=q
p,
zatemq ≈ pEx0f.
Przykªad 6.3. Obliczymy elastyczno±¢ funkcji
f(x) =2x
x+ 8, x > 0
w punkcie x0 = 2.
Poniewa» f ′(x) = 16(x+8)2
, zatem
Ex0f =1
2(x+ 8)
16
(x+ 8)2=
8
x+ 8.
Dla x0 = 2 mamy wi¦c, »e E2f = 0.8. Oznacza to, »e je±li argument x0 = 2 wzro±nie o1%, to warto±¢ funkcji f wzro±nie o okoªo 0.8%.
Porównamy ten wynik z wynikiem dokªadnym:
f(x0 + 0.01x0) = f(2 + 0.02) = f(2.02) =2 · 2.02
2.02 + 8=
4.04
10.02=
202
501oraz
f(x0) = f(2) =4
10= 0.4.
Sk¡d
f(x0 + 0.01x0)
f(x0)· 100% =
202501
0.4· 100% =
202
501· 10
4· 100% =
505
501· 100% ≈ 100.798 403 2,
czyli wzrost nast¡piª o 0.798 403 2%.
Widzimy wi¦c, »e stosuj¡c wzór na elastyczno±¢ funkcji w punkcie rozwi¡zanie jestznacznie krótsze.
Uwaga 6.2. Wªasno±¢ 6.4 podaje przybli»ony wzrost procentowy funkcji f. Zauwa»myjednak, »e warto±¢ pEx0f jest dokªadnie równa procentowi o jaki wzrosªa warto±¢ funkcjiprzy wzro±cie argumentu o p%, je±li funkcja jest liniowa. Wynika to bezpo±rednio z faktu,»e dla funkcji liniowej f zachodzi wzór
f (x0 + ∆x)− f (x0) = f ′ (x0) ∆x.
Innymi sªowy, dla funkcji liniowej elastyczno±¢ przeci¦tna i elastyczno±¢ s¡ równe. Po-wy»szy wniosek pozostaje prawdziwy, je±li przyrost ∆x jest na tyle maªy, »e funkcja f naprzedziale (x0, x0 + ∆x) jest liniowa (lub mo»e by¢ tak traktowana).
Aktualizacja: 9 czerwca 2011 44
Rozdziaª 6. Pochodna funkcji w ekonomii
STYCZNA
STYCZNA
X0X0
f(x)0
f(x)0
kk
f(x)
f(x)
Rysunek 6.1 Interpretacja geometryczna elastyczno±ci funkcji f w punkcie x0.
6.2.1. Interpretacja geometryczna elastyczno±ci funkcji f w punk-
cie x0.
Zgodnie z geometryczn¡ interpretacj¡ pochodnej funkcji f w punkcie x0 warto±¢ f′(x0) jest
wspóªczynnikiem kierunkowym stycznej poprowadzonej do wykresu funkcji f w punkcie(x0, f(x0)). Niech x1 oznacza miejsce zerowe tej stycznej oraz niech k := x0−x1. Wówczas
f ′(x0) = f(x0)k
. St¡d
Ex0f(x0) =x0
f(x0)f ′(x0) =
x0
f(x0)
f(x0)
k=x0
k.
Analizuj¡c funkcj¦ przedstawion¡ na rysunku 6.1 z lewej strony widzimy, »e elastycz-no±¢ funkcji w punkcie x0 jest wi¦ksza od 1, czyli Ex0f(x0) = x0
k> 1, gdy» x0 > k, za±
funkcja z prawej strony ma elastyczno±¢ w punkcie x0 mniejsz¡ od 1, czyli Ex0f(x0) =x0k< 1, gdy» x0 < k.
6.2.2. Elastyczno±¢ funkcji kosztów.
Niech C : R+ → R+ oznacza funkcj¦ kosztu caªkowitego (C(x) oznacza koszt caªkowitywytworzenia x jednostek produktu). Zaªó»my, »e C jest ró»niczkowalna. Wówczas zgodnieze wzorem (6.2) elastyczno±¢ kosztu (przy zaªo»eniu, »e C(x) > 0) wynosi
ExC =x
C(x)C ′(x).
Je±li wi¦c c oznacza funkcj¦ kosztu przeci¦tnego, to
ExC =C ′(x)
c(x).
Aktualizacja: 9 czerwca 2011 45
Rozdziaª 6. Pochodna funkcji w ekonomii
Elastyczno±¢ kosztu caªkowitego jest wi¦c równa stosunkowi (ilorazowi) kosztu caªkowitegodo kosztu przeci¦tnego.
Dla kosztu przeci¦tnego c mamy
Exc =x
c(x)c′(x). (6.4)
Mamy
Wªasno±¢ 6.5. Elastyczno±¢ kosztu caªkowitego jest o jeden wi¦ksza od elastyczno±cikosztu przeci¦tnego
Exc+ 1 = ExC.
Dowód.
Exc =x
c(x)c′(x) =
xC(x)x
·(C(x)
x
)′=
x2
C(x)· xC
′(x)− C(x)
x2=
x
C(x)C ′(x)− 1 = ExC − 1.
6.2.3. Elastyczno±¢ funkcji popytu.
Zajmiemy si¦ teraz rozwa»aniem dotycz¡cym zmian popytu. W ekonomii popyt okre±lailo±¢ dobra (usªugi), jak¡ nabywcy s¡ gotowi zakupi¢ (naby¢) przy ró»nej wysoko±ci ce-ny w danym czasie przy zaªo»eniu, »e inne czynniki maj¡ce wpªyw na popyt pozostaj¡niezmienne.
Zmiana popytu zachodzi pod wpªywem licznych czynników takich jak: wysoko±¢ ceny,dochód, liczba nabywców, zmiana cen innych dóbr, reklama i preferencje nabywców. Do-kªadniej omówimy dwa z tych czynników: zmian¦ wielko±ci cen dóbr i wysoko±ci dochodukonsumenta.
Cz¦sto aby zilustrowa¢ popyt rozwa»a si¦ tak zwan¡ krzyw¡ popytu. Jest to zale»-no±¢ mi¦dzy ilo±ci¡ danego towaru, jaki mo»e by¢ wchªoni¦ty przez rynek, a czynnikiemksztaªtuj¡cym popyt np. cen¡ towaru na rynku. Naturalne jest, »e je±li cena danego do-bra ro±nie, to wyst¦puje spadek wielko±ci popytu i odwrotnie gdy cena maleje wówczasnast¦puje zwi¦kszenie wielko±ci popytu jest, to tak zwane prawo popytu.
Ilość
Cena
p
p
1
2
q
2
1
q
xx 21
Rysunek 6.2 Krzywa popytu.
Aktualizacja: 9 czerwca 2011 46
Rozdziaª 6. Pochodna funkcji w ekonomii
Cenowa elastyczno±¢ popytu
Zaªó»my, »e zmiana popytu jest wyra»ona za pomoc¡ funkcji ilo±ci towaru q, jaki mo-»e zosta¢ wchªoni¦ty przez rynek a jego cen¡ jednostkow¡ p. Wra»liwo±¢ zmian popytuna zmian¦ cen dóbr mierzy si¦ przy pomocy elastyczno±ci funkcji q (p) zwanej cenow¡elastyczno±ci¡ popytu. Jej warto±¢ (dla konkretnej warto±ci ceny) nazywa si¦ wspóª-czynnikiem elastyczno±ci cenowej popytu.
Dokonuj¡c linearyzacji funkcji q (p), czyli zakªadaj¡c, »e zmiana funkcji q ma, przy-najmniej lokalnie charakter liniowy, mamy, »e elastyczno±¢ cenowa popytu to stosunekwzgl¦dnej (procentowej) zmiany popytu do wzgl¦dnej (procentowej), (maªej), zmiany ce-ny. Je±li ustalimy argument p, to przy takim zaªo»eniu wspóªczynnik elastyczno±ci εc (de-�niowany jako warto±¢ elastyczno±ci w punkcie p) okre±la (w przybli»eniu � tak dobrym,jak zaªo»enie liniowo±ci funkcji w otoczeniu punktu p jest realne), o ile procent zmieni(zmniejszy lub zwi¦kszy) si¦ popyt na dane dobro w przypadku gdy jego cena zmieni si¦(wzro±nie lub spadnie) o 1%.
Przykªad 6.4. Zaªó»my, »e p jest cen¡ towaru za± q oznacza popyt na dany towar (ilo±¢towaru, jaka mo»e by¢ wchªoni¦ta przez rynek). Niech cena pocz¡tkowa towaru wynosip0 = 30 jednostek pieni¦»nych, nast¦pne cena ta zostaªa zwi¦kszona o ∆p = 6 jednostkipieni¦»ne. Wzgl¦dna zmiana ceny, wi¦c wynosi
∆p
p=
6
30= 20%
Nast¦pnie zaªó»my, »e cenie p0 = 30 odpowiada popyt q = 200 jednostek towaru, a ceniezwi¦kszonej o 6 jednostek od pozycji wyj±ciowej, czyli p + ∆p = 36 odpowiada popyt q +∆q = 190 jednostek towaru, st¡d mamy ∆q = −10, zatem wzgl¦dna zmiana popytu wynosi
∆q
q=−10
200= −5%.
Zaªó»my, »e popyt jest funkcj¡ liniow¡ (przynajmniej w otoczeniu p0). Elastyczno±¢ cenowapopytu w naszym przypadku b¦dzie równa
∆q
q:
∆p
p= −1
4.
Widzimy wi¦c, »e w naszym przypadku wzrost (b¡d¹ spadek) ceny p o 1% spowoduje zmniej-szenie (b¡d¹ zwi¦kszenie) popytu o 0.25%.
Bezwzgl¦dny wspóªczynnik cenowej elastyczno±ci popytu |εc| mo»e przyjmowa¢ war-to±ci z przedziaªu (0;∞) dlatego przyj¦to konwencje wedªug której okre±lamy czy funkcjapopytu jest elastyczna w pewnym punkcie. A zatem gdy:
• |εc| = 0 oznacza, »e zmiany ceny jakie wyst¡piªy nie spowodowaªy zmiany popytu.Popyt jest wówczas doskonale nieelastyczny (sztywny).
• |εc| < 1 wówczas wzgl¦dna zmiana ceny jest wi¦ksza ni» wzgl¦dna zmiana popytu,czyli je±li wzrostowi ceny o 1% odpowiada zmiana warto±ci popytu mniejsza ni» 1%.W tym przypadku mówimy, »e popyt jest nieelastyczny .
Aktualizacja: 9 czerwca 2011 47
Rozdziaª 6. Pochodna funkcji w ekonomii
• |εc| = 1 wówczas wzgl¦dna zmiana ceny jest równa wzgl¦dnej zmianie popytu, czylije±li cena wzro±nie np. o 1% to popyt zmieni sam¡ warto±¢ o 1% tak¡ elastyczno±¢nazywamy elastyczno±ci¡ wzorcow¡ a popyt o tej wªasno±ci popytem neutralnym.
• |εc| > 1 wówczas wzgl¦dna zmiana ceny jest mniejsza od wzgl¦dnej zmiany popytu,czyli wzrost ceny o 1% spowoduje zmian¦ wielko±ci popytu o warto±¢ wi¦ksza odwzrostu ceny - wi¦ksz¡ ni» 1%. Mówimy wi¦c, »e popyt jest elastyczny (silnieelastyczny).
• |εc| → ∞ wówczas mówimy, »e popyt jest doskonale elastyczny .
W przypadku gdy εc < 0 wówczas jest to tzw. paradoks cenowy, czyli wzrost cenypowoduje wzrost wielko±ci popytu, a spadek ceny powoduje spadek wielko±ci popytu.
Wracaj¡c do przykªadu 6.4 otrzymali±my ∆qq
: ∆pp
= −14, a wi¦c zmiana ceny jaka
wyst¡piªa jest wi¦ksza od zmiany warto±ci popytu, czyli |εc| < 1, wi¦c popyt jest nieela-styczny.
Znajomo±¢ elastyczno±ci cenowej popytu ma du»e znaczenie ekonomiczne dla przedsi¦-biorcy poniewa» pozwala przewidzie¢ reakcj¦ jaka wyst¡pi na rynku w przypadku zmiancen towarów, czyli w jakim stopniu zmiany cen wpªyn¡ na popyt.
Przykªad 6.5. Znaj¡c warto±¢ elastyczno±ci cenowej popytu wiemy jak powinni±my zmie-ni¢ wysoko±¢ opªat za przejazd autobusem, aby nast¡piª wzrost przychodów MPK za ko-rzystanie z transportu publicznego. W przypadku gdy popyt na przejazdy jest elastyczny wstosunku do ceny, wówczas podwy»ka opªat za bilety zmniejszy przychody MPK. Obni»a-j¡c wysoko±¢ opªaty za przejazdy, spowoduje zwi¦kszenie liczby ch¦tnych korzystaj¡cych zusªug transportu autobusowego a przy tym podniesie wpªywy MPK. Gdyby jednak popyt naprzejazdy autobusem byª nieelastyczny, nale»aªoby wprowadzi¢ podwy»k¦ cen biletów.
Dochodowa elastyczno±¢ popytu
Kolejnym wa»nym czynnikiem wpªywaj¡cym na zmian¦ popytu jest wielko±¢ dochodukonsumenta. Rozwa»amy wi¦c zale»no±¢ w (d) ilo±ci towaru w, jaki mo»e wchªon¡¢ rynekw zale»no±ci od dochodu konsumenta d. Wówczas mo»emy mówi¢ o dochodowej ela-styczno±ci popytu. Rozumuj¡c jak poprzednio wprowadzamy (dla ustalonego dochodud przy zaªo»eniu lokalnej liniowo±ci funkcji w) miernik sªu»¡cy do oceny wpªywu zmianydochodu konsumenta na popyt, czyli stosunek wzgl¦dnej (procentowej) zmiany popytu dowzgl¦dnej (procentowej) zmiany dochodu
εd =∆w
w:
∆d
d. (6.5)
Wtedy εd jest równy warto±ci elastyczno±ci funkcji w w punkcie d i mierzy siª¦ reakcj¦popytu na zmian¦ dochodu konsumenta, czyli o ile procent wzro±nie popyt gdy dochódkonsumenta wzro±nie o 1%. Podobnie jak dla elastyczno±ci cenowej popytu wyró»nia-my takie same rodzaje popytu: elastyczny, doskonale elastyczny, neutralny, nieelastyczny.Zwró¢my te» uwag¦, »e wyst¦puje równie» zjawisko, które polega na spadku popytu naniektóre towary mimo wzrostu dochodu gdy |εd| < 0 (np. zast¡pienie dotychczas nabywa-nego produktu takim samym tylko w wy»szej jako±ci).
Aktualizacja: 9 czerwca 2011 48
Rozdziaª 6. Pochodna funkcji w ekonomii
Na podstawie przyjmowanych warto±ci wska¹nika dochodowej elastyczno±ci popytumo»emy dokona¢ rozró»nienia nast¦puj¡cych dóbr:
• je±li εd < 0, to mamy do czynienia z popytem na tzw. dobra ni»szego rz¦du(podrz¦dne). S¡ to dobra, na które popyt maleje (∆w < 0) wraz ze wzrostemdochodu konsumentów (∆d > 0) i odwrotnie, popyt na nie ro±nie (∆w > 0), gdydochody spadaj¡ (∆d < 0). Przykªadem mo»e tu by¢ u»ywana niskogatunkowaodzie».
• je±li εd > 0, to mamy do czynienia z popytem na tzw. dobra normalne (zwykªe).S¡ to dobra, na które popyt maleje (∆w < 0) wraz ze spadkiem dochodu konsu-mentów (∆ < 0) oraz ro±nie (∆w > 0), gdy dochody rosn¡ (∆d > 0). Rozró»niamydobra normalne dwojakiego rodzaju
� dobra podstawowe (niezb¦dne) � charakteryzuje je wspóªczynnik εd ∈ [0, 1],s¡ to dobra pierwszej potrzeby np. chleb,
� dobra luksusowe (dobra wy»szego rz¦du), dla których εd > 1 � s¡ toprzewa»nie towary wysokiej jako±ci.
Wykorzystanie dochodowej elastyczno±ci popytu odgrywa istotn¡ role w ekonomii, jestniezb¦dne do prognozowania zmian w strukturze popytu konsumpcyjnego, zachodz¡cychpod wpªywem wzrostu zamo»no±ci konsumentów jak i wzrostu gospodarczego (czyli wzwi¦kszeniu rocznej produkcji dóbr i usªug).
Informacje które dotycz¡ce zmian ilo±ci asortymentu produkcji wskazuje wªa±nie war-to±¢ wska¹nika elastyczno±ci dochodowej popytu. W przypadku gdy nast¦puje wzrostdochodów konsumentów wówczas producent w celu osi¡gni¦cia najwy»szych wpªywów zesprzeda»y dóbr, mo»e zwi¦kszy¢ swoj¡ produkcje dóbr normalnych lub te» zast¡pi¢ dobrapodrz¦dne innymi, posiadaj¡cymi wy»szy standard lub takimi które b¦d¡ atrakcyjniejszedla klientów itp. Je±li za± dochód konsumentów maleje wówczas producent powinien obni-»y¢ produkcje dóbr normalnych a zwi¦kszy¢ produkcj¦ dóbr podrz¦dnych, w szczególno±citych wy»szego rz¦du (tzw. luksusowych).
6.3. Funkcje Törnquista
Szwedzki ekonomista Törnquist badaª zale»no±¢ pomi¦dzy wydatkami na zakup dóbr awielko±ci¡ dochodów konsumentów. Zaproponowaª on wymierny model krzywej popytujako funkcji dochodu konsumentów. Rozró»nia si¦ trzy rodzaje funkcji Törnquista:
• dla dóbr podstawowych:
T1(x) = a · x
x+ b, gdzie x > 0 oraz a, b > 0;
• dla dóbr wy»szego rz¦du:
T2(x) = a · x− cx+ b
, gdzie x ≥ c oraz a, b, c > 0;
Aktualizacja: 9 czerwca 2011 49
Rozdziaª 6. Pochodna funkcji w ekonomii
• dla dóbr luksusowych:
T3(x) = a · x · x− cx+ b
, gdzie x ≥ c oraz a, b, c > 0
gdzie x oznacza dochód, za± parametry a, b, c s¡ pewnymi staªymi (przy czym parametryte dla ka»dej funkcji mog¡ by¢ ró»ne).
Przedstawimy teraz wykresy ka»dej z powy»szych funkcji oraz omówmy ich interpre-tacj¦ ekonomiczn¡.
1. Funkcja Törnquista dla dóbr pierwszej potrzeby (podstawowych):
T1(x) = a · x
x+ b,
gdzie x > 0 oraz a, b > 0. Wykres funkcji T1 jest postaci:
0
a
X
f ( )1x
Rysunek 6.3 Wykres funkcji dla dóbr podstawowych.
Widzimy, »e dobra pierwszej potrzeby nabywane s¡ ju» przy najni»szych dochodach.Wydatki konsumentów s¡ rosn¡c¡ funkcj¡ dochodów, czyli zwi¦kszaj¡ si¦ wraz zewzrostem wielko±ci dochodów. Jednak wzrost ten mimo wzrostu dochodu jest corazwolniejszy. Zauwa»my, »e
limx→∞
a · x
x+ b= a,
a wi¦c krzywa T1 ma asymptot¦ poziom¡ y = a, oznacza to »e istnieje poziomnasycenia, czyli cho¢by dochód rósª nieograniczenie, to wydatki nie przekrocz¡ tegopoziomu.
Elastyczno±¢ powy»szej funkcji wyra»a si¦ wzorem:
Ex0T1 = x0 ·x0 + b
ax0
· ab
(x0 + b)2=
b
x0 + b.
Obliczaj¡c granice Ex0T1 w niesko«czono±ci mamy
limx→∞
b
x0 + b= 0. (6.6)
Aktualizacja: 9 czerwca 2011 50
Rozdziaª 6. Pochodna funkcji w ekonomii
0 X
E
1
x0f1( )
Rysunek 6.4 Wykres elastyczno±ci funkcji dla dóbr podstawowych.
Z wykresów 6.4 oraz 6.6 wida¢, »e gdy dochód konsumenta ro±nie, to warto±¢ ela-styczno±ci maleje do zera. Popyt dochodowy funkcji T1 jest, wi¦c nieelastyczny, po-niewa» elastyczno±¢ jest zawsze mniejsza od 1, Ex0T1 < 1 dla ka»dego x0 > 0 gdy»b > 0. Oznacza to, »e wzrost dochodów o 1% powoduje wzrost wydatków (popytu)na okre±lone dobro o warto±¢ mniejsz¡ ni» 1%. Przy odpowiednio du»ych docho-dach wzrost konsumpcji na okre±lone dobro zanika, czyli konsumenci posiadaj¡cywy»sze dochody w znacznie wi¦kszym stopniu maj¡ zaspokajaj¡ dobra podstawoweni» konsumenci o ni»szych dochodach, u których reakcja na wzrost dochodów jestznacznie silniejsza.
2. Funkcja Törnquista dla dóbr wy»szego rz¦du :
T2(x) = a · x− cx+ b
,
gdzie x ≥ c oraz a, b, c > 0. Wykres funkcji f2(x) jest postaci:
0
a
X
f ( )x2
c
Rysunek 6.5 Wykres funkcji dla dóbr wy»szego rz¦du.
Wykres funkcji przedstawiony na rysunku 6.5 podobnie jak w poprzednim przy-padku (rysunek 6.3) jest rosn¡c¡ funkcj¡ dochodów wzgl¦dem wydatków na dobrawy»szego rz¦du. Funkcji jest okre±lona dla x > c co oznacza, »e wydatki na dobrawy»szego rz¦du wyst¦puj¡ je±li zostan¡ zaspokojone potrzeby na dobra podstawowe.Zauwa»my, »e
limx→∞
a · x− cx+ b
= a.
Zatem podobnie jak w przypadku funkcji T1 przy coraz wi¦kszych dochodach popytzmienia si¦ nieznacznie (stabilizuje si¦) w stosunku do wydatków, nie przekraczaj¡cpoziomu nasycenia.
Aktualizacja: 9 czerwca 2011 51
Rozdziaª 6. Pochodna funkcji w ekonomii
Elastyczno±¢ powy»szej funkcji wyra»a si¦ wzorem:
Ex0T2 = x0 ·b+ c
(x0 − c)(x0 + b), x0 > c.
0 X
Ex0f2( )
c
Rysunek 6.6 Wykres elastyczno±ci funkcji dla dóbr wy»szego rz¦du.
Elastyczno±¢ funkcji T2 (rysunek (6.6)) jest funkcj¡ malej¡c¡. Mamy, te», »e
limx→∞
x0 ·b+ c
(x0 − c)(x0 + b)= 0,
a wi¦c wraz ze wzrostem dochodów konsumenta elastyczno±¢ funkcji T2 maleje do ze-ra. Zatem procentowy wzrost dochodów powoduje coraz mniejszy procentowy wzrostwydatków (popytu) na dane dobro wy»szego rz¦du. Mo»emy te» zauwa»y¢, »e przydo±¢ du»ych dochodach wzrost konsumpcji na dane dobro zanika.
3. Funkcja Törnquista dla dóbr luksusowych :
T3(x) = a · x · x− cx+ b
,
gdzie x ≥ c oraz a, b, c > 0. Wykres funkcji jest postaci:
0 X
f ( )x
c
3
b+c
Rysunek 6.7 Wykres funkcji dla dóbr luksusowych.
Dobra luksusowe podobnie jak dobra wy»szego rz¦du nabywane s¡ po osi¡gni¦ciuodpowiednio wysokiego poziomu dochodu, który pozwoliª zaspokoi¢ potrzeby dóbrni»szych rz¦dów. Widzimy, »e
T ′3(x) =a · (x2 + 2bx− bc)
(x+ b)2> 0,
Aktualizacja: 9 czerwca 2011 52
Rozdziaª 6. Pochodna funkcji w ekonomii
a wi¦c funkcja T3 jest rosn¡ca w caªej swojej dziedzinie (rysunek 6.7). Zauwa»myrównie», »e w przeciwie«stwie do poprzednich funkcji T1 i T2 powy»sza funkcja jestnieograniczona. Oznacza to, »e wydatki konsumentów na dobra luksusowe rosn¡wraz ze wzrostem dochodów (coraz szybciej) nieograniczenie, czyli wzrost wydatkówstaje si¦ wprost proporcjonalny do wielko±ci dochodu konsumenta.
Elastyczno±¢ powy»szej funkcji wyra»a si¦ wzorem:
Ex0T3 =x0(x0 + b)
ax0(x0 − c)· a(x2
0 + 2bx0 − bc)(x0 + b)2
=x2
0 + 2bx0 − bc(x0 − c)(x− 0 + b)
.
0 X
Ex0f3( )
c
1
Rysunek 6.8 Wykres elastyczno±ci funkcji dla dóbr luksusowych.
Z powy»szego wykresu (rysunek 6.8) wida¢, »e elastyczno±¢ funkcji T3 jest funkcj¡malej¡c¡, przyjmuj¡c¡ warto±ci wi¦ksze od 1 ((Ex0f3) > 1 dla x0 > c), a wi¦c popytdla dóbr luksusowych jest zawsze elastyczny. Obliczaj¡c granic¦ Ex0T3 otrzymujemy
limx→∞
x20 + 2bx0 − bc
(x0 − c)(x− 0 + b)= 1
co oznacza, »e dopiero dla odpowiednio du»ego dochodu konsumenta elastyczno±¢ T3
ma warto±¢ blisk¡ a nawet równ¡ 1. Zatem dla dóbr luksusowych procentowy wzrostdochodów konsumentów o 1% powoduje, wzrost wydatków (popytu) o wi¦cej ni» 1%na dane dobro.
6.3.1. Ekonomiczna interpretacja parametrów krzywych Törnqu-
ista.
Rozwa»my funkcje Törnquista postaci
T1(x) = a1 ·x
x+ b1
, gdzie x > 0 oraz a1, b1 > 0;
T2(x) = a2 ·x− c2
x+ b2
, gdzie x ≥ c2 oraz a2, b2, c2 > 0;
T3(x) = a3 · x ·x− c3
x+ b3
, gdzie x ≥ c3 oraz a3, b3, c3 > 0.
Przedstawmy na jednym wykresie wszystkie funkcje (krzywe) Törnquista.
Aktualizacja: 9 czerwca 2011 53
Rozdziaª 6. Pochodna funkcji w ekonomii
0
a
X
T( )x
a
b+c
1
2
cc1 2
T TT 21 3
Rysunek 6.9 Krzywe T1, T2, T3.
Parametry ci gdzie (i = 1, 2, 3) s¡ wyznacznikami hierarchii pilno±ci potrzeb, za±ai gdzie (i = 1, 2, 3) okre±laj¡ poziom ich nasycenia.
Analizuj¡c wykresy funkcji T1, T2, T3 przedstawione na wykresie (rysunek 6.9) widzimy,»e przy niskim poziomie dochodów zaspokajane s¡ dobra pierwszej potrzeby, to na nieprzeznaczona jest wi¦ksza ilo±¢ wydatków. Jednak wraz ze wzrostem dochodów popyt nadobra podstawowe jest wolniejszy, zmiany te nast¦puj¡ a» do poziomu a1 tzw. poziomunasycenia.
W przypadku gdy dochód ulegª zwi¦kszeniu na tyle, »e dobra podstawowe zostaªyzaspokojone wówczas dochód przeznaczany jest na wydatki dóbr wy»szego rz¦du. Zatemwydatki te wyst¦puj¡ dla x > c1 gdzie c1 jest warto±ci¡ od której wyst¦puje wzrost popytuna dobra wy»szych rz¦dów. Zmiany wielko±ci tych wydatków d¡»¡ do poziomu nasyceniaa2 i ich wzrost jest coraz wolniejszy.
Gdy dochód konsumentów jest na tyle wysoki, »e zapewnione s¡ potrzeby na dobrani»szych rz¦dów wówczas mamy do czynienia z wydatkami na dobra luksusowe, czylix > c2 gdzie c2 jest warto±ci¡ od której zaczyna si¦ popyt na dobra luksusowe. W przeci-wie«stwie do wydatków na dobra ni»szych rz¦dów, wydatki na dobra luksusowe wzrastaj¡nieograniczenie staj¡c sie wprost proporcjonalne do dochodów.
Aktualizacja: 9 czerwca 2011 54
Rozdziaª 7
Modele ekonomiczne.
W ekonomii matematycznej buduje si¦ matematyczne modele ekonomiczne stanowi¡ceprzybli»on¡ reprezentacj¦ rzeczywistego zjawiska. Mo»na ogólnie stwierdzi¢, »e model eko-nomiczny, to ukªad równa« matematycznych opisuj¡cy struktur¦ pewnego zjawiska.
7.1. Skªadniki modelu ekonomicznego.
Jak ju» wspomnieli±my model ekonomiczny stanowi ukªad równa«. Równania te zawieraj¡trzy rodzaje obiektów:
� zmienne (b¦dziemy na ogóª stosowa¢ nast¦puj¡ce oznaczenia zmiennych: P � cena,π � zysk, R � przychód (utarg), C � koszt, Y � dochód narodowy),
� staªe,
� parametry.
Zmienne. W terminologii ekonomii matematycznej utrwaliª si¦ podziaª zmiennychna:
� endogeniczne, inaczej wewn¦trzne, których warto±¢ jest determinowana przez danymodel,
� egzogeniczne, inaczej zewn¦trzne czyli okre±lane niezale»nie od modelu.
Dokªadniejsze znaczenie poszczególnych rodzajów zmiennych zostanie omówione naprzykªadach w dalszej cz¦±ci wykªadu. Ju» teraz mo»emy jednak zwróci¢ uwag¦, »e pewnezmienne endogeniczne w jednym modelu mog¡ by¢ egzogeniczne w innym i na odwrót.
Staªe. Warto±¢ staªych nie zmienia si¦ w danym modelu.
Parametry. S¡ to wielko±ci, które nie s¡ zmiennymi, ale mog¡ przyjmowa¢ ró»newarto±ci w zale»no±ci od przyj¦tych w modelu zaªo»e«. Oznaczamy je zwykle a, b, c, α, β γ.
Równania wyst¦puj¡ce w modelu mog¡ by¢:
� de�nicyjne, czyli ustalaj¡ce to»samo±ci mi¦dzy wielko±ciami i wyra»eniami. Cz¦stow równaniach tych pojawia si¦ zamiast znaku równo±ci znak ≡, np. π ≡ R− C,
55
Rozdziaª 7. Modele ekonomiczne.
� behawioralne � opisuj¡ce zachowanie zmiennej w reakcji na zmian¦ innych zmien-nych. Przykªadowo, równaniem behawioralnym jest równanie C = 75 + 10Q, opisu-j¡ce koszt C produkcji w zale»no±ci od jej wielko±ci Q.
� równowagi, które opisuj¡ warunki zachowania pewnej równowagi, np. Qd = Qs �popyt jest równowa»ony przez poda».
7.2. Modele równowagi statycznej.
Spróbujmy najpierw udzieli¢ odpowiedzi na pytanie: czym jest równowaga? Przyjmijmyza ekonomist¡ austriackim Fritzem Machlupem, »e równowaga jest �pewn¡ konstelacj¡wybranych, powi¡zanych ze sob¡ zmiennych, tak dopasowanych do siebie, »e w modelu,który stanowi¡ nie przewa»a »adna tendencja do zmiany�.Mo»emy wi¦c krótko powiedzie¢,»e równowaga, to brak tendencji do zmiany.
7.2.1. Cz¦±ciowa równowaga rynkowa.
Model liniowy dla jednego dobra.
Opis. Zaªó»my, »e mamy do czynienia z izolowanym rynkiem, w którym wyst¦puje tyl-ko jedno dobro. B¦dziemy bada¢ warunki równowagi popytu i poda»y na to dobro wzale»no±ci od ceny.
Oznaczenia. NiechQd > 0 oznacza wielko±¢ popytu na dobro,Qs > 0 oznacza wielko±¢ poda»y na dobro,P > 0 � cena za jednostk¦ dobra.
Zaªo»enia. Zakªadamy, »e popyt i poda» zmieniaj¡ si¦ liniowo w zale»no±ci od ceny.Popyt jest funkcj¡ malej¡c¡ ceny, za± poda» funkcj¡ rosn¡c¡. Dodatkowo, poda» pojawiasi¦ pocz¡wszy od pewnej ceny minimalnej P1 > 0.
Równania modelu.
Qd = a− bP, P ≥ 0 (równanie behawioralne)
Qs = −c+ dP, P > P1 (równanie behawioralne)
Qd = Qs, (równanie równowagi),
gdzie parametry a, b, c, d > 0.
Aktualizacja: 9 czerwca 2011 56
Rozdziaª 7. Modele ekonomiczne.
7.2.2. Keynesowski model dochodu narodowego.
Opis. Rozwa»my gospodark¦ narodow¡, w której wyst¦puj¡ trzy rodzaje wydatków: in-westycje, wydatki rz¡dowe oraz wydatki na konsumpcje.
Oznaczenia. NiechI0 � inwestycje (wielko±¢ staªa),G0 � wydatki rz¡dowe (wielko±¢ staªa),C � wydatki na konsumpcj¦ (zmienna egzogeniczna),Y � dochód narodowy (zmienna endogeniczna).
Zaªo»enia. Zakªadamy, »e wydatki na konsumpcje s¡ liniow¡ funkcj¡ rosn¡c¡ dochodunarodowego. Dochód narodowy pokrywa wszystkie (trzy) rodzaje wydatków.
Równania modelu.
C = a+ bY (równanie behawioralne)
Y = C + I0 +G0 (równanie równowagi),
gdzie parametry a > 0, b ∈ (0, 1) .
Interpretacja parametrów.a � konsumpcja autonomiczna, niezale»na od dochodu (wydatki na konsumpcj¦ przy
zerowym dochodzie narodowym),b � kra«cowa skªonno±¢ do konsumpcji (gdy dochód wzrasta o 1, wydatki na konsump-
cje wzrastaj¡ o b < 1.
Rozwi¡zania modelu. Punktem równowagi jest konsumpcja C przy dochodzie Y , gdzie
Y =a+ I0 +G0
1− b,
C =a+ b (I0 +G0)
1− b.
7.3. Modele nakªadów i wyników Leontiewa
7.3.1. Model statyczny.
Opis. Rozwa»my gospodark¦, w której funkcjonuje n ≥ 1 gaª¦zi przemysªu. Model bada,jaki powinien by¢ poziom produkcji ka»dej z n gaª¦zi, aby caªkowity popyt na wytwarzanyprzez nie produkt byª zaspokajany. Wyniki produkcji ka»dej z gaª¦zi s¡ potrzebne jakonakªady w innych gaª¦ziach (nie wykluczaj¡c jej samej); tªumaczy to nazw¦ modelu.
Oznaczenia.Xi � globalna wielko±ci produkcji i− tej gaª¦zi (i = 1, ..., n) ,xij � wielko±¢ produkcji i− tej gaª¦zi zu»ywana przez j − ta gaª¡¹,Yi � wielko±¢ ko«cowa produkcji i− tej gaª¦zi � nie zu»yta przez gaª¦zie.
Zaªo»enia.1. Produkcja i − tej gaª¦zi jest caªkowicie bilansowana (równowa»ona) przez zu»ycie
produkcji w pozostaªych gaª¦ziach i warto±¢ produkcji ko«cowej
Xi =n∑j=1
xij + Yi dla i = 1, ..., n.
Aktualizacja: 9 czerwca 2011 57
Rozdziaª 7. Modele ekonomiczne.
2. Wielko±¢ produkcji i − tej gaª¦zi zu»ywana przez j − ta gaª¡¹ jest proporcjonalnado wielko±ci produkcji j − tej gaª¦zi
xij = aijXj dla i = 1, ..., n, j = 1, ..., n.
Parametr aij nazywa si¦ wspóªczynnikiem nakªadów.
Równania modelu.
Xi =n∑j=1
aijXj + Yi dla i = 1, ..., n.
Równania te mo»na zapisa¢ w postaci macierzowej.X1
...
Xn
=
a11 · · · a1n
.... . .
...
an1 · · · ann
X1
...
Xn
+
Y1
...
Yn
Przyjmuj¡c: X = [X1, ..., Xn]T , Y = [Y1, ..., Yn]T , A = [aij]i,j=1,...,n mamy
X = AX + Y , (7.1)
albo, równowa»nie(I − A) X = Y . (7.2)
Uwagi.
1. Macierz A nazywa si¦ macierz¡ nakªadów bezpo±rednich, X = [xij] macierz¡ prze-pªywów mi¦dzygaª¦ziowych, (I − A) macierz¡ Leontiewa, X wektorem produktu glo-balnego, za± Y � wektorem produktu ko«cowego.
2. Cz¦sto warto±ci Xi, xij oraz Yi s¡ wyra»ane w jednostkach monetarnych, w tymwypadku wielko±ci te reprezentuj¡ warto±ci produkcji.
3. Dla i = 1, ..., n, j = 1, ..., n
aij =xijXj
,
a poniewa» xij oznacza wielko±¢ produkcji i− tej gaª¦zi zu»ywan¡ przez j−t¡ gaª¡¹,wi¦c ekonomicznie uzasadnione jest, by xij ≤ Xj, czyli aby aij ≤ 1. Co wi¦cej,zauwa»my, »e ustalonego j = 1, ..., n suma
n∑i=1
xij = Xj
n∑i=1
aij
reprezentuje sum¦ produkcji wszystkich gaª¦zi, zu»ywanych przez j−t¡ gaª¡¹. Wiel-ko±¢ ta powinna by¢ nie wi¦ksza ni» Xj, w przeciwnym wypadku j−ta gaª¡¹ zu»ywawi¦cej ni» sama produkuje. Zatem
Xj
n∑i=1
aij ≤ Xj, dla j = 1, ..., n
Aktualizacja: 9 czerwca 2011 58
Rozdziaª 7. Modele ekonomiczne.
sk¡dn∑i=1
aij ≤ 1 dla j = 1, ..., n
Dodatkowo, je±li Yj > 0, czyli jaka± cz¦±¢ produkcji j − tej gaª¦zi jest niewykorzy-stana przez pozostaªe gaª¦zie, to
n∑i=1
aij < 1.
4. W przypadku, gdy wektor produktu ko«cowego jest niezerowy, mówimy o tak zwa-nym modelu otwartym.
Rozwi¡zanie modelu. Przy zaªo»eniu, »e det (I − A) 6= 0, czyli macierz I − A jestnieosobliwa rozwi¡zaniem modelu przy danej macierzy A oraz danym wektorze produktuko«cowego jest wektor produkcji
X = (I − A)−1 Y . (7.3)
7.3.2. Model dynamiczny.
W przedstawionym w poprzednim podrozdziale modelu statycznym zakªadali±my, »e war-to±ci produkcji, a co za tym idzie wektory X i Y nie zmieniaj¡ si¦ w czasie. Zbadamyteraz wªasno±ci modelu, który jest pewnym analogonem tego modelu, ale takim, w którympowy»sze zaªo»enie nie jest speªnione.
Opis. Zaªó»my, jak w modelu statycznym, »e mamy do czynienia z n ≥ 1 gaª¦ziamigospodarki. Niech t oznacza czas dyskretny, reprezentuj¡cy kolejny numer pewnego okresu,w którym zakªadamy, »e produkcja poszczególnych gaª¦zi jest staªa. Niech dalej
Xi (t) � globalna wielko±ci produkcji i− tej gaª¦zi (i = 1, ..., n) w okresie t,xij (t) � wielko±¢ produkcji i− tej gaª¦zi zu»ywana przez j − ta gaª¡¹ w okresie t,Yi (t) � wielko±¢ ko«cowa produkcji i− tej gaª¦zi w okresie t
Zakªadamy wi¦c, »e wektor produkcji globalnej, oraz wielko±ci produkcji poszczególnychgaª¦zi zu»ywanej przez inne gaª¦zie oraz produkcji ko«cowej s¡ funkcjami czasu dyskret-nego:
N ∪ {0} 3 t 7→ X (t) = [X1 (t) , ..., Xn (t)]T � wektor produkcji globalnej,N ∪ {0} 3 t 7→ xij (t) ,
N ∪ {0} 3 t 7→ Y (t) = [Y1 (t) , ..., Yn (t)]T � wektor produkcji ko«cowej.W czasie trwania ka»dego z okresów zakªadamy, »e speªnione s¡ te same zaªo»enia jakw przypadku otwartego modelu statycznego. W szczególno±ci, dla ustalonego t, zachodz¡wszystkie wªasno±ci, ª¡cznie z formuª¡ na rozwi¡zanie, prawdziwe dla tego modelu. Za-kªadamy te», »e macierz nakªadów A jest macierz¡ staª¡ (maj¡c¡ takie same wyrazy dlawszystkich okresów).
Zaªo»enia � wyprowadzenie modelu.
1. Zakªadamy, »e w ka»dym nast¦pnym okresie t + 1 chcemy zwi¦kszy¢ produkcj¦ wstosunku do okresu poprzedniego t. Mo»emy to uczyni¢ przeznaczaj¡c cz¦±¢ produk-tu ko«cowego Y (t) na inwestycje.Ustalmy t, zatem
Y (t) = S (t) + C (t) ,
Aktualizacja: 9 czerwca 2011 59
Rozdziaª 7. Modele ekonomiczne.
gdzie:
S (t)− wektor inwestycji, S (t) = [S1 (t) , ..., Sn (t)]T , tj. produktu, który b¦dziewykorzystany jako nakªad w nast¦pnym okresie t+ 1,
C (t)− wektor czystego produktu ko«cowego , C (t) = [C1 (t) , ..., Cn (t)]T , (nie wy-korzystanego w nast¦pnym okresie t+ 1 jako nakªad w »adnej gaª¦zi).
2. Zakªadamy dalej, »e dla ka»dego i = 1, ..., n Si (t) jest rozdystrybuowane na inwe-stycje w ka»dej z j gaª¦zi gospodarki (j = 1, ..., n), tzn.
Si (t) =n∑j=1
sij (t) , dla i = 1, ..., n, (7.4)
gdzie sij (t) jest wielko±ci¡ inwestycji i − tej gaª¦zi przeznaczon¡ na inwestycje wj − tej gaª¦zi.
3. Przyjmijmy, »e wielko±¢ sij jest proporcjonalna do wzrostu produkcji globalnej j−tejgaª¦zi w okresie t+ 1, tzn.
sij (t) = zij (Xj (t+ 1) +X (t)) dla i = 1, ..., n, j = 1, ..., n.
gdzie staªa zij jest tzw. wspóªczynnikiem inwestycyjnym. W konsekwencji, wobec(7.4)
Si (t) =n∑j=1
sij (t) =n∑j=1
zij (Xj (t+ 1)−Xj (t)) dla i = 1, ..., n,
czyli S1
...
Sn
=
z11 · · · z1n
.... . .
...
zn1 · · · znn
X1 (t+ 1)−X1 (t)
...
Xn (t+ 1)−X (t)
Oznaczaj¡c macierz wspóªczynników inwestycyjnych przez Z = [zij]i=1,...,n, j=1,...,n
mamyS (t) = Z ·
(X (t+ 1)− X (t)
).
Wykorzystuj¡c równanie (7.2) statycznego modelu Leontiewa (w czasie trwania okre-su t badany model jest statyczny) dostajemy, »e
(I − A) X (t) = Y (t) = S (t) + C (t) = Z ·(X (t+ 1)− X (t)
)+ C (t) ,
Z−1 (I − A) X (t) = X (t+ 1)− X (t) + Z−1C (t)
czyli równanie dynamicznego modelu Leontiewa
X (t+ 1) =(Z−1 − Z−1A+ I
)X (t)− Z−1C (t) . (7.5)
Rozwi¡zanie modelu. Zaªó»my, »e macierze A oraz Z s¡ dane oraz (I − A) i Z s¡nieosobliwe. Przypu±¢my te», »e dane s¡ wielko±¢ pocz¡tkowego czystego produktu ko«-cowego C (0) oraz pocz¡tkowego wektora inwestycji S (0) , a co za tym idzie dana jest
Aktualizacja: 9 czerwca 2011 60
Rozdziaª 7. Modele ekonomiczne.
wielko±¢ pocz¡tkowego produktu ko«cowego Y (0) = S (0) + C (0) . Wówczas z formuªy(7.3) na rozwi¡zanie statycznego modelu Leontiewa dostajemy
X (0) = (I − A)−1 Y (0) .
Wykorzystuj¡c równanie (7.5) mamy
X (1) =(Z−1 − Z−1A+ I
)X (0)− Z−1C (0) . (7.6)
Znaj¡c teraz warto±¢ X (1) wektora produkcji globalnej dla okresu t = 1 mo»emy ze wzoru(7.2) obliczy¢ warto±¢ wektora produkcji ko«cowej dla tego okresu
Y (1) = (I − A) X (1) .
W tym momencie mo»emy znów podj¡¢ decyzj¦ jak¡ cz¦±¢ produktu ko«cowego Y (1)przeznaczamy na inwestycj¦ S (1), a jaka b¦dzie stanowi¢ czysty produkt ko«cowy C (1).Pami¦ta¢ jednak powinni±my, »e
Y (1) = S (1) + C (1) ,
oraz, »e wszystkie wspóªrz¦dne wektorów S (1) i C (1) powinny by¢ nieujemne. Przy da-nych wektorach X (1) oraz C (1) mo»emy ponownie wyliczy¢ warto±¢ produktu globalnegodla nast¦pnego okresu za pomoc¡ formuªy (7.5):
X (2) =(Z−1 − Z−1A+ I
)X (1)− Z−1C (1) .
Kontynuuj¡c to post¦powanie generujemy ci¡g wektorów produkcji{X (t)
}∞t=0
. Ci¡g tennazywany jest ±cie»k¡ rozwoju gospodarczego.
Z formalnego punktu widzenia rozwi¡zaniem dynamicznego modelu Leontiewa jestwi¦c ci¡g wektorów produkcji globalnej b¦d¡cy rozwi¡zaniem równania ró»nicowego
X (t+ 1) =(Z−1 − Z−1A+ I
)X (t)− Z−1C (t) ,
z warunkiem pocz¡tkowymX (0) = X0,
gdzie wektor C (t) jest okre±lony dla wszystkich t = 0, 1, ....Fakt, »e wektor C (t) jest z góry dany oznacza, »e zaplanowane zostaªo jak¡ cz¦±¢
produktu ko«cowego Y (t) przeznaczamy na inwestycj¦ S (t) = Y (t)−C (t) dla wszystkicht = 0, 1, .... Aby model miaª sens ekonomiczny musi by¢ speªniony warunek nieujemno±ciwektora S (t) tj. »e
C (t) ≤ Y (t) = (I − A) X (t) dla t = 0, 1, ....
7.4. Modele dynamiczne z czasem dyskretnym.
Z modelem dynamicznymmieli±my ju» do czynienia przy omawianiu modelu Leontiewa. Wtym podrozdziale zbadamy kilka klika innych modeli dynamicznych. Najogolniej mówi¡cs¡ to modele, w których zmienne s¡ zale»ne od czasu. Ograniczymy si¦ do sytuacji, wktórej czas jest czasem dyskretnym reprezentuj¡cym numer kolejnego okresu. Tak jak wprzypadku modelu Leontiewa w czasie trwania ka»dego z okresów model jest statyczny azmiana warto±ci zmiennych nast¦puje po przej±ciu do kolejnego okresu. Takie modele s¡opisane za pomoc¡ równa« ró»nicowych.
Aktualizacja: 9 czerwca 2011 61
Rozdziaª 7. Modele ekonomiczne.
7.4.1. Model paj¦czyny.
Opis. Model jest modelem dynamicznym z czasem dyskretnym t = 0, 1, 2, .... Rozwa»a-my rynek pewnego, pojedynczego dobra. Celem modelu jest ustalenie takiej ±cie»ki ceny{P (t)}∞t=0 na dane dobro, aby dla ka»dego okresu popyt caªkowicie zaspokoiª poda».
Oznaczenia. Niecht = 0, 1, 2, ... � kolejny numer okresu,Qs (t) � poda» na dobro w okresie t (liczba jednostek dobra poszukiwana przez kon-
sumentów w okresie t),Qd (t) � popyt na dobor w okresie t (liczbe jedostek dobra dostarczana przez produ-
centów w okresie t),P (t) � cena za jednostk¦ dobra w okresie t.
Zaªo»enia.
1. Wileko±¢ popytu Qd (t) zale»y liniowo od ceny P (t) dla tego samego okresu. Zale»-no±¢ jest funkcj¡ malej¡c¡. Zakªadmy, »e Qd (t) ≥ 0.
2. Wielko±¢ poda»y Qs (t) zale»y liniowo od ceny P (t− 1) z okresu poprzedniego.Zale»no±¢ jest funkcj¡ rosn¡c¡. Zakªadamy, »e Qs (t) ≥ 0.
3. Liniowy charakter popytu i poda»y jest identyczny dla ka»dego z okresów.
4. W ka»dym okresie popyt jest caªkowicie równowa»ony przez poda».
Równania modelu.
Qd (t) = α− βP (t) (7.7)
Qs (t) = −γ + δP (t− 1) (7.8)
Qd (t) = Qs (t) (7.9)
dla t = 1, 2, ..., gdzie α, β, γ, δ > 0 (parametry).
Uwagi.
1. Sytuacja opisywane przez model wyst¦puje w rolnictwie , gdzie zasiewy poprzedzaj¡zbiory. Popyt na dany produkt jest zale»ny od aktualnej ceny, ale poda», wynikaj¡caz wielko±ci zasiewów, jest ustalana na podstawie cen z poprzedniego okresu.
2. Aby równania przedstawiaªy sens ekonomiczny musz¡ by¢ speªnione warunki nieujm-no±ci zmiennych. Warunki te prowadz¡ do zastrze»enia, »e ±cie»ka cenowa {P (t)}∞t=0
powinna speªnia¢ warunek
γ
δ≤ P (t) ≤ α
βdla t = 0, 1, 2, .... (7.10)
W szczególno±ci, musi by¢ speªniony warunek
γ
δ≤ α
β(7.11)
lub równowa»nieβγ − αδ ≤ 0 (7.12)
Aktualizacja: 9 czerwca 2011 62
Rozdziaª 7. Modele ekonomiczne.
Interpretacja parametrów.α � maksymalna warto±¢ popytu (przy zerowej cenie),−β � kra«cowa warto±¢ popytu reprezentuj¡ca wra»liwo±¢ konsumentów na zmian¦
ceny,−γ � wspóªczynnik zapewniaj¡cy dodatnio±¢ poda»y pocz¡wszy od pewnej ceny mi-
nimalnej P1 ≥ 0,δ � kra«cowa warto±¢ poda»y reprezentuj¡ca wra»liwo±¢ producentów zmian¦ na ceny.
Rozwi¡zanie modelu.Poszukujemy ±cie»ki ceny {P (t)}∞t=0, czyli ci¡gu speªniaj¡cego ukªad (7.7)-(7.9). Wo-
bec równania równowagi (7.9) i wobec (7.7)-(7.8)
α− βP (t) = −γ + δP (t− 1) ,
sk¡d wobec faktu, »e β 6= 0
P (t) = − δβP (t− 1) +
α + γ
β. (7.13)
Jest to równanie ró»nicowe liniowe niejednorodne pierwszego rz¦du. Ogóª rozwi¡za« rów-nania jednorodnego jest postaci
Po (t) = c
(− δβ
)t, t = 0, 1, 2, ...,
gdzie c jest dowoln¡ staª¡. Szczególnego rozwi¡zania równania niejednorodnego poszuku-jemy w±ród rozwi¡za« staªych
Ps (t) = k,
zatem
k = − δβk +
α + γ
β,
sk¡d
k =α + γ
β + δ,
gdy» β + δ > 0. St¡d, ogóª rozwi¡za« równania (7.13) jest postaci
P (t) = c
(− δβ
)t+α + γ
β + δ, t = 0, 1, 2, ....
Je±li znamy warto±¢ P (0) = P0, to
P (0) = c+α + γ
β + δ,
W konsekwencji rozwi¡zaniem równania (7.13) z warunkiem pocz¡tkowym P (0) = P0
jest ±cie»ka cenowa
P (t) =
(P0 −
α + γ
β + δ
)(− δβ
)t+α + γ
β + δ, t = 0, 1, 2, .... (7.14)
Uwaga. Aby rozwi¡zanie miaªo sens ekonomiczny nale»y zaªo»y¢, »e P (t) speªnia warunek(7.10). Nale»y przynajmniej zadba¢, aby γ
δ≤ P0 ≤ α
β.
Dalsza analiza modelu � wªasno±ci ±cie»ki cenowej.
Aktualizacja: 9 czerwca 2011 63
Rozdziaª 7. Modele ekonomiczne.
1. Je±li P0 = α+γβ+d
, to
P (t) =α + γ
β + d, t = 0, 1, 2, ....
Mamy wtedy do czynienia z rozwi¡zaniem staªym. Zauwa»my, »e z warunku (7.12)wynika, »e γ
δ≤ P (t) ≤ α
βdla t = 0, 1, 2, ... (¢wiczenie). Model jest to»samy ze sta-
tycznym modelem równowagi omawianym w jednym z poprzednich podrozdziaªów.
2. Zaªó»my, »e P0 >α+γβ+δ
(ze wzgl¦du na sens ekonomiczny nie mo»e zaj±c sytuacja
P0 <α+γβ+d
). Rozwa»my trzy przypadki.
(a) δβ< 1. Wtedy ±cie»ka {P (t)}∞t=0 jest ci¡giem zbe»nym do α+γ
β+d.
(b) δβ
= 1. Wtedy ±cie»ka {P (t)}∞t=0 jest postaci
P (t) =
{P0 gdy t jest parzyste
2α+γβ+d− P0 gdy t jest nieparzyste
.
±cie»ka oscyluje wi¦c wokóª warto±ci α+γβ+d
.
(c) δβ> 1. ±cie»ka jest ci¡giem rozbie»nym � pocz¡wszy od pewnego t traci sens
ekonomiczny.
Powy»sz¡ analiz¦ mo»na przedstawi¢ gra�cznie za pomoc¡ tzw. diagramu schodkowe-go. Ksztaªt otrzymanego diagramu jest wyja±nieniem nazwy modelu (¢wiczenia).
Aktualizacja: 9 czerwca 2011 64
Skorowidz
m−okresowa stopa efektywna, 29m−okresowy czynnik oprocentowuj¡cy, 29
cz¦stotliwo±¢ kapitalizacji, 24czas oprocentowania, 7czynnik procentowy, 7
de�acja, 32dobra
� luksusowe (dobra wy»szego rz¦du), 49� ni»szego rz¦du (podrz¦dne), 49� normalne (zwykªe), 49� podstawowe (niezb¦dne), 49
dyskonto, 14� handlowe, 15� proste, 14
dyskontowanie, 14
elastyczno±¢� cenowa popytu, 47� dochodowa popytu, 48� wzorcowa, 48
elastyczno±¢ funkcji, 43� przeci¦tna, 43
Fishera wzór, 32funkcja kosztu
� caªkowitego, 40� kra«cowego, 40� przeci¦tnego, 40
Funkcja Törnquista� dla dóbr luksusowych, 52� dla dóbr pierwszej potrzeby (podsta-
wowych), 50� dla dóbr wy»szego rz¦du, 51
funkcja utargu� caªkowitego, 42
funkcja zysku� caªkowitego, 42
hierarchia pilno±ci potrzeb, 54
in�acja, 31
kapitaª� ko«cowy, 7� pocz¡tkowy, 7
kapitalizacja odsetek, 7koszt kra«cowy (marginalny), 40krzywa popytu, 46
model� kapitalizacji rocznej, 23
model kapitalizacji ci¡gªej, 25model oprocentowania skªadanego rocznego
przy zmiennej stopie, 29
odsetki, 7okres kapitalizacji, 7okres równowa»no±ci stopy procentowej i dys-
kontowej, 17optimum technologiczne, 40
per annum (p.a.), 7podokres kapitalizacji, 24podokres oprocentowania, 10popyt, 46
� doskonale elastyczny, 48� doskonale nieelastyczny (sztywny), 47� elastyczny (silnie), 48� neutralny, 48� nieelastyczny, 47
poziom nasycenia potrzeb, 54prawo popytu, 46procent, 6
� pªatny z góry, 15przeci¦tny roczny czynnik oprocentowuj¡cy,
29przyrost wzgl¦dny
� argumentu, 43� warto±ci funkcji, 42
punkt procentowy, 6
równowa»ne ci¡gi kapitaªów, 38
65
Skorowidz
reguªa bankowa, 9reguªa kalendarzowa, 9roczna nominalna stopa ±rednia, 29roczna stopa nominalna, 24roczny czynnik dyskontuj¡cy, 30roczny czynnik oprocentowania, 25
stopa� nominalna, 31� realna, 32
stopa dyskontowa, 15� roczna, 30
stopa procentowa, 6� efektywna, 27� in�acji, 31� kwartalna, 10� miesi¦czna, 10� okresowa, 7� podokresowa, 10, 24� przeci¦tna� roczna dla modelu oprocentowaniaskªadanego, 29
� m−okresowa, 29� (dla modelu oprocentowania pro-stego), 13
� roczna, 7stopa w stosunku rocznym, 7
termin wykupu weksla, 20
utarg caªkowity, 41
warto±¢ kapitaªu� nominalna, 31� realna, 32
warto±¢ weksla� handlowa (aktualna), 20� nominalna, 20
warunki oprocentowania, 7weksel, 20wspóªczynnik elastyczno±ci cenowej popytu,
47
zasada� dyskonta handlowego (prostego), 15� oprocentowania prostego, 8� oprocentowania skªadanego, 22� równowa»no±ci stóp procentowych, 11
� równowa»no±ci stopy dyskontowej i pro-centowej, 17
zasada równowa»no±ci kapitaªów, 37� w momencie t, 36
zysk caªkowity, 42
Aktualizacja: 9 czerwca 2011 66