PODSTAWOWE MIARY OPISU STRUKTURY ZBIOROWOSCI … · Wskazniki´ nate˛zenia, wskazniki´...

Wskazniki natezenia, wskazniki strukturyMiary srednie

Miary zmiennosciMiary asymetrii

PODSTAWOWE MIARY OPISU STRUKTURYZBIOROWOSCI STATYSTYCZNEJ

Agnieszka Rossa

Agnieszka Rossa PODSTAWOWE MIARY OPISU STRUKTURY ZBIOROWOSCI STATYSTYCZNEJ

Szkic wykładu

1 Wskazniki natezenia, wskazniki struktury

2 Miary sredniePodziałKlasyczne miary sredniePozycyjne miary srednie

3 Miary zmiennosciPodziałKlasyczne miary zmiennosciPozycyjne miary zmiennosciWzgledne miary zróznicowania

4 Miary asymetrii

Analiza struktury zbiorowosci

Analiza struktury polega na przetworzeniu szeregówstrukturalnych w syntetyczne miary opisowe takie, jak:

I. Wskazniki natezenia i struktury – wskaznik natezeniawyraza kształtowanie sie wielkosci jednego zjawiska na tleinnego, logicznie z nim zwiazanego; wskazniki strukturyreprezentuja z kolei liczebnosci wzgledne wystepowaniaokreslonych wartosci w badanej zbiorowosci.

II. Miary srednie (tendencji centralnej) – opisuja przecietnepołozenie wartosci liczbowych danej cechy statystycznej.

III. Miary zróznicowania (dyspersji, rozrzutu, zmiennosci,rozproszenia) – opisuja stopien rozproszenia wartoscibadanej cechy wokół sredniej.

IV. Miary asymetrii (skosnosci) – informuja, czy wiekszaczesc jednostek zbiorowosci ma wartosci cechy wiekszeczy tez mniejsze od wartosci centralnej.

Wskazniki natezenia

Wskaznik natezenia jest ilorazem liczebnosci jednejzbiorowosci do liczebnosci innej zbiorowosci, logiczniez nia zwiazanej.

Typowym wskaznikiem natezenia jest wskaznik gestoscizaludnienia, obliczany jako iloraz liczby mieszkanców dopowierzchni danego obszaru (na przykład, w Łodzi gestosczaludnienia w 2008 roku była na poziomie ok. 2548 osóbna kilometr kwadratowy).

Wskazniki natezenia

Wskaznik natezenia jest ilorazem liczebnosci jednejzbiorowosci do liczebnosci innej zbiorowosci, logiczniez nia zwiazanej.

Typowym wskaznikiem natezenia jest wskaznik gestoscizaludnienia, obliczany jako iloraz liczby mieszkanców dopowierzchni danego obszaru (na przykład, w Łodzi gestosczaludnienia w 2008 roku była na poziomie ok. 2548 osóbna kilometr kwadratowy).

Wskazniki struktury

Załózmy, ze wartosci badanej cechy w n-elementowejzbiorowosci zostały pogrupowane w szereg rozdzielczy(punktowy lub z przedziałami klasowymi).

Niech ni , i = 1,2, . . . , k beda liczebnosciami empirycznymiposzczególnych klas szeregu.

Wskaznikiem struktury wi nazywamy liczebnoscwzgledna i-tej klasy zdefiniowana jako iloraz

wi =ni

n, przy czym

k∑i=1

wi = 1.

Wskazniki struktury

wi =ni

n, przy czym

k∑i=1

wi = 1.

Wskazniki struktury

wi =ni

n, przy czym

k∑i=1

wi = 1.

Wskaznik podobienstwa struktur

Wskazniki struktury mozna wykorzystac do ocenypodobienstwa struktur zbiorowosci ze wzgledu na wybranaceche.

Załózmy, ze wartosci cechy w dwóch zbiorowosciachpogrupowano w szeregi rozdzielcze o jednakowychklasach. Niech w1i oraz w2i oznaczaja wskazniki strukturydla i-tej klasy w obu szeregach.

Wówczas wskaznik wp podobienstwa struktur dla obuzbiorowosci obliczamy ze wzoru

wp =k∑

min(w1i ,w2i).

wp =k∑

min(w1i ,w2i).

wp =k∑

min(w1i ,w2i).

Wskaznik podobienstwa strukturW tym przykładzie jest wysoki: wp = 9 + 21, 1 + 16, 9 + 25, 2 + 19, 9 = 92, 1%

Copyright Giorgio Krenkel and Alex Sandri, GNU Free Documentation License, Low Resolution

Obserwujemy zatem duze podobienstwo struktur wiekubezrobotnych w obu miastach.

PodziałKlasyczne miary sredniePozycyjne miary srednie

Miary sredniePodział

Miary srednie dzielimy na:

1. Miary srednie klasyczne. Sa to miary obliczane dla cechyilosciowej na podstawie jej wartosci odnotowanych dlawszystkich jednostek zbiorowosci. Do miar srednichzaliczamy:

a. srednia arytmetyczna (oznaczana jako x),

b. srednia harmoniczna (xh) stosowana głównie w odniesieniudo cech stosunkowych (np. wydajnosc, predkosc itp.),

c. srednia geometryczna (G) stosowana np. w odniesieniu dowskazników dynamiki (bedzie przedstawiona przy okazjianalizy dynamiki zjawisk).

Miary srednie dzielimy na:1. Miary srednie klasyczne. Sa to miary obliczane dla cechy

ilosciowej na podstawie jej wartosci odnotowanych dlawszystkich jednostek zbiorowosci. Do miar srednichzaliczamy:

Miary sredniePodział – c.d.

2. Miary srednie pozycyjne. Nazwa tych miar pochodzistad, iz sa obliczane na podstawie wartosci cechy tylkotych jednostek, które zajmuja okreslona pozycje wuporzadkowanym szeregu lub które moga byc uznane zaszczególnie charakterystyczne dla danej zbiorowosci.

Do tej grupy miar zaliczamy:

a. wartosc modalna inaczej nazywana dominanta (Do),

b. kwartyle, w tym: kwartyl pierwszy (Q1), kwartyl drugi (Q2),kwartyl trzeci (Q3); szczególne znaczenie ma kwartyl drugizwany takze mediana lub wartoscia srodkowa i oznaczanysymbolem Me.

Klasyczne miary srednieSrednia arytmetyczna

Srednia arytmetyczna jest suma wszystkich wartoscibadanej cechy, podzielona przez ich liczbe.

Przykładem moze byc srednia ocen w indeksie (kazdystudent z pewnoscia ja obliczał).Dla zapisu formalnego wzoru na srednia arytmetycznaprzyjmijmy nastepujace oznaczenia. Niech x1, x2, . . . , xnoznaczaja kolejne wartosci badanej cechy (np. kolejneoceny w indeksie). Wówczas srednia arytmetycznazapiszemy wzorem:

x = x1+x2+...+xnn lub krócej: x = 1

i=1 xi

Przedstawiona srednia, zwana jest srednia arytmetycznaprosta, poniewaz oblicza sie ja na podstawie szeregówszczegółowych prostych.

Srednia arytmetyczna jest suma wszystkich wartoscibadanej cechy, podzielona przez ich liczbe.Przykładem moze byc srednia ocen w indeksie (kazdystudent z pewnoscia ja obliczał).

Dla zapisu formalnego wzoru na srednia arytmetycznaprzyjmijmy nastepujace oznaczenia. Niech x1, x2, . . . , xnoznaczaja kolejne wartosci badanej cechy (np. kolejneoceny w indeksie). Wówczas srednia arytmetycznazapiszemy wzorem:

i=1 xi

Srednia arytmetyczna jest suma wszystkich wartoscibadanej cechy, podzielona przez ich liczbe.Przykładem moze byc srednia ocen w indeksie (kazdystudent z pewnoscia ja obliczał).Dla zapisu formalnego wzoru na srednia arytmetycznaprzyjmijmy nastepujace oznaczenia. Niech x1, x2, . . . , xnoznaczaja kolejne wartosci badanej cechy (np. kolejneoceny w indeksie). Wówczas srednia arytmetycznazapiszemy wzorem:

i=1 xi

Srednia arytmetyczna jest suma wszystkich wartoscibadanej cechy, podzielona przez ich liczbe.Przykładem moze byc srednia ocen w indeksie (kazdystudent z pewnoscia ja obliczał).Dla zapisu formalnego wzoru na srednia arytmetycznaprzyjmijmy nastepujace oznaczenia. Niech x1, x2, . . . , xnoznaczaja kolejne wartosci badanej cechy (np. kolejneoceny w indeksie). Wówczas srednia arytmetycznazapiszemy wzorem:

i=1 xi

Klasyczne miary srednieSrednia arytmetyczna – c.d.

W przypadku szeregów rozdzielczych korzystamy z formułwazonych, w których role wag pełnia liczebnosci ni :

1n∑k

i=1 xini , dla szeregu punktowego,

1n∑k

i=1 xini , dla szeregu z przedziałamiklasowymi,

gdzie xi dla i = 1,2, . . . , k oznaczaja srodki przedziałówklasowych, natomiast k jest liczba wierszy szeregurozdzielczego.

Klasyczne miary srednieSrednia arytmetyczna – wazona srednia ze srednich

Formułe sredniej wazonej stosujemy takze w przypadkuobliczania sredniej ze srednich.Przykład 1.

Załózmy, ze mamy trzy zbiory danych A,B,C:

A = {4,6,5} , B = {7,9} , C = {5,4,5,3,3}

Mozna sprawdzic, ze srednie arytmetyczne wyznaczone zdanych ze zbiorów A,B,C równe sa odpowiednio: 5, 8, 4.

Pytanie: Ile wynosi srednia arytmetyczna dla danych zpołaczonych zbiorów?

A = {4,6,5} , B = {7,9} , C = {5,4,5,3,3}

Rozwiazanie:Pierwszy sposób polega na połaczeniu danych ze zbiorówA,B,C i wyznaczeniu z nich sredniej arytmetycznej, czyli4+6+5+7+9+5+4+5+3+3

10 = 5,1.

Drugi sposób polega na wykorzystaniu srednichczastkowych obliczonych dla zbiorów A,B,C. Błedembyłoby jednak obliczenie zwykłej sredniej ze srednich, tj.5+8+4

3 . Otrzymany wynik (ok. 5,7) nie zgadza sie zuzyskanym wyzej.Poprawne rozwiazanie wymaga zastosowania formułysredniej wazonej, w której wagami sa liczebnosci zbiorów:

5 · 3 + 8 · 2 + 4 · 510

=15 + 16 + 20

10= 5,1.

10 = 5,1.Drugi sposób polega na wykorzystaniu srednichczastkowych obliczonych dla zbiorów A,B,C. Błedembyłoby jednak obliczenie zwykłej sredniej ze srednich, tj.5+8+4

3 . Otrzymany wynik (ok. 5,7) nie zgadza sie zuzyskanym wyzej.

Poprawne rozwiazanie wymaga zastosowania formułysredniej wazonej, w której wagami sa liczebnosci zbiorów:

5 · 3 + 8 · 2 + 4 · 510

=15 + 16 + 20

10= 5,1.

10 = 5,1.Drugi sposób polega na wykorzystaniu srednichczastkowych obliczonych dla zbiorów A,B,C. Błedembyłoby jednak obliczenie zwykłej sredniej ze srednich, tj.5+8+4

3 . Otrzymany wynik (ok. 5,7) nie zgadza sie zuzyskanym wyzej.Poprawne rozwiazanie wymaga zastosowania formułysredniej wazonej, w której wagami sa liczebnosci zbiorów:

5 · 3 + 8 · 2 + 4 · 510

=15 + 16 + 20

10= 5,1.

Klasyczne miary srednie – Własnosci sredniej arytmetycznej

1. Spełnia relacje xmin < x < xmax , gdzie xmin, xmax oznaczajawartosc minimalna i maksymalna w zbiorze danych.

2. Zachodza nastepujace równosci (wynikaja z definicji):- dla szeregu szczegółowego

n∑i=1

xi = xn,

- dla szeregu rozdzielczego punktowegon∑

xini = xk∑

- dla szeregu rozdzielczego z przedziałami klasowymin∑

xini = xk∑

2. Zachodza nastepujace równosci (wynikaja z definicji):

- dla szeregu szczegółowegon∑

xi = xn,

xini = xk∑

n∑i=1

xi = xn,

xini = xk∑

n∑i=1

xi = xn,

xini = xk∑

n∑i=1

xi = xn,

xini = xk∑

Klasyczne miary srednie – Własnosci sredniej arytmetycznej – c.d.

3. Suma ochylen poszczególnych wartosci obserwowanejcechy od jej sredniej arytmetycznej jest równa 0, czyli wprzypadku:

- szeregu szczegółowegon∑

(xi − x) = 0,

- szeregu rozdzielczego punktowegok∑

(xi − x)ni = 0,

- szeregu rozdzielczego z przedziałami klasowymik∑

(xi − x)ni = 0.

(xi − x) = 0,

(xi − x)ni = 0,

(xi − x)ni = 0.

(xi − x) = 0,

(xi − x)ni = 0,

(xi − x)ni = 0.

(xi − x) = 0,

(xi − x)ni = 0,

(xi − x)ni = 0.

4. Suma kwadratów ochylen poszczególnych wartosci cechyod jej sredniej arytmetycznej jest minimalna, czyli dladowolnej stałej a spełnione sa nierównosci:

- w przypadku szeregu szczegółowegon∑

(xi − x)2 ≤n∑

(xi − a)2,

- w przypadku szeregu rozdzielczego punktowegok∑

(xi − x)2ni ≤k∑

(xi − a)2ni ,

- w przypadku szeregu rozdzielczego z przedziałami kl.k∑

(xi − a)2ni .

(xi − x)2 ≤n∑

(xi − a)2,

(xi − a)2ni ,

(xi − a)2ni .

(xi − x)2 ≤n∑

(xi − a)2,

(xi − a)2ni ,

(xi − a)2ni .

(xi − x)2 ≤n∑

(xi − a)2,

(xi − a)2ni ,

(xi − a)2ni .

Klasyczne miary srednieWłasnosci sredniej arytmetycznej – c.d.

5. Sredniej arytmetycznej nie mozna obliczyc dla szeregorozdzielczego z otwartymi przedziałami klasowymi.Jesli otwarte przedziały klasowe maja niewielkie liczebnosci (do 5% ogólnej liczebnosci), to przed

obliczeniem sredniej arytmetycznej mozna je domknac.

6. Srednia arytmetyczna jest ”wrazliwa” na nietypowewartosci cechy (tj. znacznie rózniace sie od pozostałychwartosci w zbiorze); wielkosci odstajace mogazniekształcic (zawyzyc lub zanizyc) wartosc sredniejarytmetycznej.Istnieja jednak pewne sposoby radzenia sobie z taka sytuacja. Jesli mamy podstawy przypuszczac, ze

wartosc odstajaca pojawiła sie przypadkowo, wówczas przed obliczeniem sredniej usuwamy te wartosc ze

zbioru danych. Drugim sposobem jest przekształcenie wszystkich danych np. za pomoca funkcji

logarytmicznej, dzieki czemu wartosci w zbiorze po transformacji beda do siebie bardziej zblizone.

Klasyczne miary srednieWłasnosci sredniej arytmetycznej – c.d.

5. Sredniej arytmetycznej nie mozna obliczyc dla szeregorozdzielczego z otwartymi przedziałami klasowymi.Jesli otwarte przedziały klasowe maja niewielkie liczebnosci (do 5% ogólnej liczebnosci), to przed

obliczeniem sredniej arytmetycznej mozna je domknac.

6. Srednia arytmetyczna jest ”wrazliwa” na nietypowewartosci cechy (tj. znacznie rózniace sie od pozostałychwartosci w zbiorze); wielkosci odstajace mogazniekształcic (zawyzyc lub zanizyc) wartosc sredniejarytmetycznej.Istnieja jednak pewne sposoby radzenia sobie z taka sytuacja. Jesli mamy podstawy przypuszczac, ze

wartosc odstajaca pojawiła sie przypadkowo, wówczas przed obliczeniem sredniej usuwamy te wartosc ze

zbioru danych. Drugim sposobem jest przekształcenie wszystkich danych np. za pomoca funkcji

logarytmicznej, dzieki czemu wartosci w zbiorze po transformacji beda do siebie bardziej zblizone.

Klasyczne miary srednieSrednia harmoniczna

Srednia harmoniczna jest odwrotnoscia sredniejarytmetycznej z odwrotnosci zaobserwowanych wartoscix1, x2, . . . , xn cechy ilosciowej w badanej zbiorowosci.

Formalnie zapisujemy ja wzorem:

xh =n∑n

i=11xi

Przedstawiona formuła odnosi sie do szeregów prostych.W przypadku szeregów rozdzielczych korzystamy z formułwazonych:

i=11xi

ni, dla szeregu punktowego,

nPki=1

ni, dla szeregu z przedziałami klasowymi.

Srednia harmoniczna jest odwrotnoscia sredniejarytmetycznej z odwrotnosci zaobserwowanych wartoscix1, x2, . . . , xn cechy ilosciowej w badanej zbiorowosci.Formalnie zapisujemy ja wzorem:

xh =n∑n

i=11xi

Przedstawiona formuła odnosi sie do szeregów prostych.

W przypadku szeregów rozdzielczych korzystamy z formułwazonych:

i=11xi

nPki=1

Srednia harmoniczna jest odwrotnoscia sredniejarytmetycznej z odwrotnosci zaobserwowanych wartoscix1, x2, . . . , xn cechy ilosciowej w badanej zbiorowosci.Formalnie zapisujemy ja wzorem:

xh =n∑n

i=11xi

Przedstawiona formuła odnosi sie do szeregów prostych.W przypadku szeregów rozdzielczych korzystamy z formułwazonych:

i=11xi

nPki=1

Klasyczne miary srednieSrednia harmoniczna – przykłady

Srednie harmoniczne stosuje sie do obliczania poziomusredniego dla cechy o charakterze stosunkowym, takich jak:wydajnosc, predkosc, siła nabywcza pieniadza itp.Przykład 2.

Długosc linii kolejowej łaczacej miasta A i B jest równa 100km. Pociag pospieszny jedzie z miasta A do miasta Bz predkoscia 100 km/h, a pociag osobowy – z predkoscia50 km/h.

Pytanie: Jaka jest srednia predkosc obu pociagów na tejtrasie?

Klasyczne miary srednieSrednia harmoniczna – przykłady c.d.

Nasuwa sie pozornie oczywista odpowiedz, ze sredniapredkosc obu pociagów jest równa 100+50

2 = 75 km/h.

Przygladajac sie jednak blizej, zauwazymy, ze obydwapociagi pokonuja łacznie trase 200 km w czasie 3 godzin,a zatem (poprawna) srednia predkosc wynosi 200

3 ≈ 66,7km/h.

Ten sam wynik uzyskamy, obliczajac srednia harmonicznaz obu predkosci. Mamy bowiem

1100 + 1

1100 + 2

=2 · 100

3≈ 66,7 km/h.

2 = 75 km/h.

3 ≈ 66,7km/h.

1100 + 1

1100 + 2

=2 · 100

3≈ 66,7 km/h.

2 = 75 km/h.

3 ≈ 66,7km/h.

1100 + 1

1100 + 2

=2 · 100

3≈ 66,7 km/h.

Przykład 3.W pewnym banku przy okienkach kasowych zatrudnionychjest 10 pracowników.

Zmierzono czas obsługi klientów w ciagu wybranego8-godzinnego dnia pracy.

Pieciu pracowników potrzebowało na realizacje transakcjizleconych przez pojedynczego klienta po 20 min, trzechpracowników – 15 min, a dwóch pracowników – 10 min.

Pytanie: Jaki jest sredni czas obsługi klientów bankuw badanym dniu pracy?

Srednia harmoniczna – przykłady c.d.

Ze wzoru na wazona srednia arytmetyczna otrzymamyw tym przypadku błedny wynik 20·5+15·3+10·2

10 = 16,5 min.

Zauwazymy, ze pracownicy potrzebujacy 20, 15 lub 10 minna wykonanie operacji zleconych przez klienta, w ciagu8-godzinnego dnia pracy zrealizuja zlecenia odpowiednio24 · 5, 32 · 3 i 48 · 2 klientów, obsługujac łacznie 312 osób,przy czym czas przepracowany w tym dniu przezwszystkich pracowników wyniesie 8 · 60 · 10 = 4800 min.Sredni czas obsługi klienta przy okienku w danym dniu jestwiec równy 4800

312 ≈ 15,38 min.Taki sam wynik otrzymamy ze wzoru na sredniaharmoniczna wazona:

10120 · 5 + 1

15 · 3 + 110 · 2

0,25 + 0,2 + 0,2≈ 15,38 min.

10 = 16,5 min.Zauwazymy, ze pracownicy potrzebujacy 20, 15 lub 10 minna wykonanie operacji zleconych przez klienta, w ciagu8-godzinnego dnia pracy zrealizuja zlecenia odpowiednio24 · 5, 32 · 3 i 48 · 2 klientów, obsługujac łacznie 312 osób,przy czym czas przepracowany w tym dniu przezwszystkich pracowników wyniesie 8 · 60 · 10 = 4800 min.Sredni czas obsługi klienta przy okienku w danym dniu jestwiec równy 4800

312 ≈ 15,38 min.

Taki sam wynik otrzymamy ze wzoru na sredniaharmoniczna wazona:

10120 · 5 + 1

15 · 3 + 110 · 2

0,25 + 0,2 + 0,2≈ 15,38 min.

10 = 16,5 min.Zauwazymy, ze pracownicy potrzebujacy 20, 15 lub 10 minna wykonanie operacji zleconych przez klienta, w ciagu8-godzinnego dnia pracy zrealizuja zlecenia odpowiednio24 · 5, 32 · 3 i 48 · 2 klientów, obsługujac łacznie 312 osób,przy czym czas przepracowany w tym dniu przezwszystkich pracowników wyniesie 8 · 60 · 10 = 4800 min.Sredni czas obsługi klienta przy okienku w danym dniu jestwiec równy 4800

312 ≈ 15,38 min.Taki sam wynik otrzymamy ze wzoru na sredniaharmoniczna wazona:

10120 · 5 + 1

15 · 3 + 110 · 2

0,25 + 0,2 + 0,2≈ 15,38 min.

Pozycyjne miary srednieDominanta (wartosc modalna)

Dominanta Do nazywamy te wartosc cechy, która wbadanej zbiorowosci wystepuje najczesciej.

W szeregach szczegółowych lub rozdzielczychpunktowych dominante mozna wskazac, odnajdujacwartosc najliczniej reprezentowana przez jednostkizbiorowosci.

W szeregach rozdzielczych z przedziałami klasowymi (awiec w przypadku cechy ilosciowej) mozna okreslic jedynieprzedział, w którym dominanta wystepuje. Jest to przedziało najwiekszej liczebnosci, oczywiscie pod warunkiem, zeprzedzial ten i przedziały bezposrednio sasiadujace majataka sama rozpietosc. Przedział taki nazywamyprzedziałem dominanty.

Pozycyjne miary srednieDominanta (wartosc modalna) – c.d.

Przyblizona wartosc dominanty w szeregu rozdzielczymz przedziałami klasowymi wyznaczamy za pomocanastepujacego wzoru interpolacyjnego

Do = xs + hsns − ns−1

ns − ns−1 + ns − ns+1,

gdzie:xs – poczatek przedziału dominanty,hs – rozpietosc przedziału dominanty,ns,ns−1,ns+1 – liczebnosci odpowiednio przedziałudominanty, przedziału poprzedniego i nastepnego.

Pozycyjne miary srednie – Własnosci dominanty

1. Charakteryzuje jednostki o typowym poziomie cechy, awiec nie wszystkie jednostki.

2. W przeciwienstwie do miar klasycznych dominantemozemy okreslic takze dla cechy jakosciowej.

W przypadku cechy ilosciowej wymienic mozna dodatkowotakie własnosci dominanty, jak:

3. W szeregu symetrycznym dominanta równa jest sredniejarytmetycznej.

4. Dominante mozna wyznaczac ze wzoru przyblizonego, gdyprzedział dominanty oraz przedziały poprzedni i nastepnymaja jednakowa rozpietosc.

5. Dominante mozna wyznaczac w szeregach rozdzielczychz otwartymi przedziałami klasowymi (o ile przedziały te niesasiaduja bezposrednio z przedziałem dominanty).

Przykład 4.Załózmy, ze badamy kolor oczu osób zamieszkujacychkraje skandynawskie i afrykanskie.

Wówczas prawdopodobnie okaze sie, ze typowym (tj.dominujacym) kolorem oczu wsród mieszkancówSkandynawii jest kolor niebieski, a wsród mieszkancówAfryki – brazowy.

Przykład 4.Załózmy, ze badamy kolor oczu osób zamieszkujacychkraje skandynawskie i afrykanskie.

Wówczas prawdopodobnie okaze sie, ze typowym (tj.dominujacym) kolorem oczu wsród mieszkancówSkandynawii jest kolor niebieski, a wsród mieszkancówAfryki – brazowy.

Pozycyjne miary srednie – Kwartyle

Kwartyl pierwszy Q1 dzieli uporzadkowana niemalejacozbiorowosc na dwie czesci w ten sposób, ze 25% jednostekma wartosci cechy nie wieksze niz kwartyl pierwszy Q1, a75% jednostek ma wartosci cechy nie mniejsze niz Q1.

Kwartyl drugi Q2 (nazywany takze mediana i oznaczanysymbolem Me) dzieli uporzadkowana niemalejacozbiorowosc na dwie czesci w ten sposób, ze 50%jednostek ma wartosci cechy nie wieksze niz mediana Me,a pozostałe 50% jednostek ma wartosci cechy niemniejsze niz Me.Kwartyl trzeci Q3 dzieli uporzadkowana niemalejacozbiorowosc na dwie czesci w ten sposób, ze 75% jednostekma wartosci cechy nie wieksze niz kwartyl trzeci Q3, a 25%jednostek ma wartosci cechy nie mniejsze niz Q3.

Kwartyl pierwszy Q1 dzieli uporzadkowana niemalejacozbiorowosc na dwie czesci w ten sposób, ze 25% jednostekma wartosci cechy nie wieksze niz kwartyl pierwszy Q1, a75% jednostek ma wartosci cechy nie mniejsze niz Q1.Kwartyl drugi Q2 (nazywany takze mediana i oznaczanysymbolem Me) dzieli uporzadkowana niemalejacozbiorowosc na dwie czesci w ten sposób, ze 50%jednostek ma wartosci cechy nie wieksze niz mediana Me,a pozostałe 50% jednostek ma wartosci cechy niemniejsze niz Me.

Kwartyl trzeci Q3 dzieli uporzadkowana niemalejacozbiorowosc na dwie czesci w ten sposób, ze 75% jednostekma wartosci cechy nie wieksze niz kwartyl trzeci Q3, a 25%jednostek ma wartosci cechy nie mniejsze niz Q3.

Kwartyl pierwszy Q1 dzieli uporzadkowana niemalejacozbiorowosc na dwie czesci w ten sposób, ze 25% jednostekma wartosci cechy nie wieksze niz kwartyl pierwszy Q1, a75% jednostek ma wartosci cechy nie mniejsze niz Q1.Kwartyl drugi Q2 (nazywany takze mediana i oznaczanysymbolem Me) dzieli uporzadkowana niemalejacozbiorowosc na dwie czesci w ten sposób, ze 50%jednostek ma wartosci cechy nie wieksze niz mediana Me,a pozostałe 50% jednostek ma wartosci cechy niemniejsze niz Me.Kwartyl trzeci Q3 dzieli uporzadkowana niemalejacozbiorowosc na dwie czesci w ten sposób, ze 75% jednostekma wartosci cechy nie wieksze niz kwartyl trzeci Q3, a 25%jednostek ma wartosci cechy nie mniejsze niz Q3.

Pozycyjne miary srednieKwartyle

W szeregach szczegółowych mediane obliczamy ze wzoru

xn/2+x(n+2)/2

2 , gdy n jest parzyste,

x(n+1)/2, gdy n jest nieparzyste,

gdzie x(n+1)/2, xn/2, x(n+2)/2 oznaczaja wartosci cechy dlatych jednostek zbiorowosci, które w uporzadkowanym(niemalejaco lub nierosnaco) szeregu znajduja sie namiejscach o numerach odpowiednio

n + 12

n + 22

Pozycyjne miary srednieKwartyle w szeregu szczegółowym i rozdzielczym punktowym

Wyznaczanie kwartyla pierwszego i trzeciego z szereguszczegółowego lub rozdzielczego punktowegorozpoczynamy od znalezienia mediany, która dzieliuporzadkowana zbiorowosc na połowy.

Dla pierwszej czesci (tj. dla połowy obserwacji niewiekszych od mediany) ponownie wyznaczamy mediane.Wyznaczona wartosc bedzie odpowiadała kwartylowipierwszemu Q1. Z kolei mediana wyznaczona dla drugiejczesci – kwartylowi trzeciemu Q3.

W przypadku szeregu rozdzielczego punktowegoodnalezienie obserwacji reprezentujacych kwartyle ułatwiakumulacja liczebnosci, która polega na sumowaniukolejnych licznosci ni w szeregu.

Pozycyjne miary srednieKwartyle w szeregu rozdzielczym z przedziałami klasowymi

Obliczanie kwartyli w szeregach rozdzielczychz przedziałami klasowymi opiera sie na wzorachprzyblizonych.

W pierwszym kroku odnajdujemy przedziały, do którychnaleza jednostki o numerach 1

4n, 12n, 3

4n. Przedziały tenazywamy odpowiednio przedziałem kwartyla pierwszego,przedziałem mediany i przedziałem kwartyla trzeciego.

W nastepnym kroku obliczamy poszczególne kwartyle.

4n, 12n, 3

Pozycyjne miary srednieKwartyle w szeregu rozdzielczym z przedziałami klasowymi – c.d.

Kwartyl pierwszy wyznaczamy z nastepujacego wzoruprzyblizonego

Q1 = xs +hs

n −s−1∑i=1

gdzie:xs – poczatek przedziału kwartyla pierwszego,hs – rozpietosc przedziału kwartyla pierwszego,ns – liczebnosc przedziału kwartyla pierwszego,∑s−1

i=1 ni – liczebnosc skumulowana od przedziałupierwszego do przedziału poprzedzajacego przedziałkwartyla pierwszego.

Pozycyjne miary srednieKwartyle w szeregu rozdzielczym z przedziałami klasowymi – c.d.

W analogiczny sposób wyznaczamy Me i Q3

Me = xs +hs

n −s−1∑i=1

Q3 = xs +hs

n −s−1∑i=1

przy czym xs,hs,ns w tych wzorach odnosza sie doodpowiednio przedziału mediany lub przedziału kwartylatrzeciego.

PodziałKlasyczne miary zmiennosciPozycyjne miary zmiennosciWzgledne miary zróznicowania

Miary zmiennosciDlaczego konieczne jest obliczanie miar zmiennosci dla zbioru danych?

Przykład 5.Wyobrazmy sobie, ze mamy przeprowadzic zajeciaz matematyki w pewnej klasie uczniów liczacych 10 osób.

Od dyrektora szkoły wiemy, ze sredni iloraz inteligencjiw tej klasie jest równy 100.

Mało obeznany metodologicznie nauczyciel moze uznac teinformacje za sygnał, ze wystarczy przygotowac zadaniadla ”przecietniaków”.

Ale czy takie rozumowanie jest poprawne?

Wiemy, ze srednia moze powstac z róznych danych. Jesliw klasie wszyscy uczniowie maja IQ równe 100, to sredniatez wyniesie 100. Powiemy wówczas, ze zbiorowoscuczniów jest jednorodna.

Ale sredni iloraz inteligencji równy 100 mozna otrzymactakze wtedy, gdy w klasie (przykładowo) połowa uczniówma iloraz 120, a druga połowa 80. Z prostych rachunkówwynika, ze srednia jest tu tez równa 100: 120·5+80·5

10 = 100.Tym razem jednak zbiorowosc uczniów jestheterogeniczna.

Nauczyciel powinien zerknac na indywidualne wartosci IQ,aby ocenic, czy w klasie sa sami ”przecietniacy”, czy tezzarówno ”geniusze”, jak i ”słabeusze”.

Miary zmiennosciPodział

Miary, które pozwalaja ocenic stopien heterogenicznoscidanej zbiorowosci (czyli stopien zróznicowania) nazywamymiarami zmiennosci lub zamiennie – miaramizróznicowania, dyspersji, rozproszenia.

Miary zmiennosci dzielimy na bezwzgledne i wzgledne.Do miar bezwzglednych zaliczamy:

1. Klasyczne miary zróznicowania, w tym:a. odchylenie przecietne dx ,b. wariancje s2

x ,c. odchylenie standardowe sx .

2. Pozycyjne miary zróznicowania, w tym:a. rozstep Rx ,b. odchylenie cwiartkowe Qx .

Miary zmiennosci dzielimy na bezwzgledne i wzgledne.

Do miar bezwzglednych zaliczamy:1. Klasyczne miary zróznicowania, w tym:

a. odchylenie przecietne dx ,b. wariancje s2

1. Klasyczne miary zróznicowania, w tym:

a. odchylenie przecietne dx ,b. wariancje s2

1. Klasyczne miary zróznicowania, w tym:a. odchylenie przecietne dx ,

b. wariancje s2x ,

c. odchylenie standardowe sx .

2. Pozycyjne miary zróznicowania, w tym:

a. rozstep Rx ,b. odchylenie cwiartkowe Qx .

2. Pozycyjne miary zróznicowania, w tym:a. rozstep Rx ,

b. odchylenie cwiartkowe Qx .

Miary zmiennosciPodział – c.d.

Do miar wzglednych zaliczamy:

1. Klasyczne współczynniki zmiennosci, w tym:

a. współczynnik zmiennosci oparty na odchyleniu przecietnymVdx ,

b. współczynnik zmiennosci oparty na odchyleniustandardowym Vsx .

2. Pozycyjny współczynnik zmiennosci:a. współczynnik zmiennosci oparty na odchyleniu

cwiartkowym Qx .

2. Pozycyjny współczynnik zmiennosci:

a. współczynnik zmiennosci oparty na odchyleniucwiartkowym Qx .

cwiartkowym Qx .

Klasyczne miary zmiennosciJak obliczyc odchylenie przecietne?

Przykład 6.W odniesieniu do przykładu 5 (dotyczacego IQ) załózmydalej, ze ilorazy inteligencji w 10-osobowej grupie uczniówkształtował sie nastepujaco:

85,85,95,95,95,100,105,110,115,115.

Srednia wartosc IQ w tej grupie wynosi 100, ale ma tumiejsce spore zróznicowanie pomiedzy uczniami.

Oznaczmy poszczególne wyniki symbolami

x1, x2, . . . , x10,

natomiast srednia z tych wyników symbolem x .

85,85,95,95,95,100,105,110,115,115.

x1, x2, . . . , x10,

natomiast srednia z tych wyników symbolem x .

85,85,95,95,95,100,105,110,115,115.

x1, x2, . . . , x10,

natomiast srednia z tych wyników symbolem x .Agnieszka Rossa PODSTAWOWE MIARY OPISU STRUKTURY ZBIOROWOSCI STATYSTYCZNEJ

Mamy wiec nastepujace wartosci i ich odchylenia od sredniej

x1 = 85, x1 − x = −15,

x2 = 85, x2 − x = −15,

x3 = 95, x3 − x = −5,

x4 = 95, x4 − x = −5,

x5 = 95, x5 − x = −5,

x6 = 100, x6 − x = 0,

x7 = 105, x7 − x = 5,

x8 = 110, x8 − x = 10,

x9 = 115, x9 − x = 15,

x10 = 115, x10 − x = 15.

Ale suma wszystkich odchylen jest równa 0!Mozemy jednak obliczyc sume odchylen bezwzglednych, któraw tym przykładzie wynosi 90, a nastepnie podzielic przez ichliczbe (tj. przez 10). W ten sposób otrzymamy odchylenieprzecietne dx równe 9.

x1 = 85, x1 − x = −15,

x2 = 85, x2 − x = −15,

x3 = 95, x3 − x = −5,

x4 = 95, x4 − x = −5,

x5 = 95, x5 − x = −5,

x6 = 100, x6 − x = 0,

x7 = 105, x7 − x = 5,

x8 = 110, x8 − x = 10,

x9 = 115, x9 − x = 15,

x10 = 115, x10 − x = 15.

Ale suma wszystkich odchylen jest równa 0!

Mozemy jednak obliczyc sume odchylen bezwzglednych, któraw tym przykładzie wynosi 90, a nastepnie podzielic przez ichliczbe (tj. przez 10). W ten sposób otrzymamy odchylenieprzecietne dx równe 9.

x1 = 85, x1 − x = −15,

x2 = 85, x2 − x = −15,

x3 = 95, x3 − x = −5,

x4 = 95, x4 − x = −5,

x5 = 95, x5 − x = −5,

x6 = 100, x6 − x = 0,

x7 = 105, x7 − x = 5,

x8 = 110, x8 − x = 10,

x9 = 115, x9 − x = 15,

x10 = 115, x10 − x = 15.

Ale suma wszystkich odchylen jest równa 0!Mozemy jednak obliczyc sume odchylen bezwzglednych, któraw tym przykładzie wynosi 90, a nastepnie podzielic przez ichliczbe (tj. przez 10). W ten sposób otrzymamy odchylenieprzecietne dx równe 9.

Klasyczne miary zmiennosciOdchylenie przecietne w szeregu prostym

A zatem, jesli dysponujemy zbiorem danych (o liczebnosci n)zestawionych w szereg szczegółowy, prosty, to odchylenieprzecietne obliczamy ze wzoru:

dx =|x1 − x |+ |x2 − x |+ |x3 − x |+ . . .+ |xn − x |

Formułe te zapisujemy w skrócie wzorem:

dx =1n

n∑i=1

|xi − x |

Interpretacja: Jest to srednia arytmetyczna z bezwzglednychodchylen wartosci cechy od jej sredniej arytmetycznej.

dx =|x1 − x |+ |x2 − x |+ |x3 − x |+ . . .+ |xn − x |

dx =1n

n∑i=1

|xi − x |

dx =|x1 − x |+ |x2 − x |+ |x3 − x |+ . . .+ |xn − x |

dx =1n

n∑i=1

|xi − x |

Klasyczne miary zmiennosciOdchylenie przecietne w szeregu rozdzielczym punktowym – c.d. przykładu 6

Załózmy, ze dane z przykładu 6 pogrupowane zostały w szeregrozdzielczy punktowy:

wartosc IQ liczbyxi uczniów ni

85 295 3

100 1105 1110 1115 2

Zauwazymy, ze sa to te same dane, ale inaczej przedstawione.Odchylenie przecietne dla tego szeregu powinno pozostac wiecbez zmian.

Załózmy, ze dane z przykładu 6 pogrupowane zostały w szeregrozdzielczy punktowy:

wartosc IQ liczbyxi uczniów ni

85 295 3

100 1105 1110 1115 2

Zauwazymy, ze sa to te same dane, ale inaczej przedstawione.Odchylenie przecietne dla tego szeregu powinno pozostac wiecbez zmian.

Aby je obliczyc, wygodnie jest przeprowadzic obliczeniaposrednie w dodatkowych kolumnach tablicy.

wartosc liczby odchylenia wazoneIQ uczniów bezwzgledne odchyleniaxi ni |xi − x | |xi − x | · ni

85 2 15 3095 3 5 15

100 1 0 0105 1 5 5110 1 10 10115 2 15 30

Razem 10 × 90

Mamy: dx = 9010 = 9. Ogólny wzór: dx = 1

i=1 |xi − x | · ni

Aby je obliczyc, wygodnie jest przeprowadzic obliczeniaposrednie w dodatkowych kolumnach tablicy.

wartosc liczby odchylenia wazoneIQ uczniów bezwzgledne odchyleniaxi ni |xi − x | |xi − x | · ni

85 2 15 3095 3 5 15

100 1 0 0105 1 5 5110 1 10 10115 2 15 30

Razem 10 × 90

Mamy: dx = 9010 = 9. Ogólny wzór: dx = 1

i=1 |xi − x | · ni

Klasyczne miary zmiennosciOdchylenie przecietne w szeregu rozdzielczym z przedziałami klasowymi – c.d.przykładu 6

Pogrupujmy dane z poprzedniego szeregu punktowego wszereg rozdzielczy z przedziałami klasowymi o rozpietosci 10.

przedziały liczbywartosci IQ xi uczniów ni

(85, 95] 5(95,105] 2

(105,115] 3

W tym przypadku obliczona wartosc odchylenie przecietnegobedzie tylko przyblizeniem rzeczywistej wartosci, poniewaz niemamy pełnej informacji o poziomie IQ dla wszystkich uczniów.Aby znalezc dx musimy przyjac dla kazdego przedziałuklasowego jakas usredniona wartosc IQ. Wartosciami tyminiech beda srodki poszczególnych przedziałów.

(85, 95] 5(95,105] 2

(105,115] 3

W tym przypadku obliczona wartosc odchylenie przecietnegobedzie tylko przyblizeniem rzeczywistej wartosci, poniewaz niemamy pełnej informacji o poziomie IQ dla wszystkich uczniów.

Aby znalezc dx musimy przyjac dla kazdego przedziałuklasowego jakas usredniona wartosc IQ. Wartosciami tyminiech beda srodki poszczególnych przedziałów.

(85, 95] 5(95,105] 2

(105,115] 3

W tym przypadku obliczona wartosc odchylenie przecietnegobedzie tylko przyblizeniem rzeczywistej wartosci, poniewaz niemamy pełnej informacji o poziomie IQ dla wszystkich uczniów.Aby znalezc dx musimy przyjac dla kazdego przedziałuklasowego jakas usredniona wartosc IQ. Wartosciami tyminiech beda srodki poszczególnych przedziałów.

Klasyczne miary zmiennosciOdchylenie przecietne w szeregu rozdzielczym z przedziałami klasowymi – c.d.

przedziały liczby srodki odchylenia wazoneIQ uczniów przedz. bezwzgledne odchyleniaxi ni xi xi · ni |xi − x | |xi − x | · ni

85–95 5 90 450 8 4095–105 2 100 200 2 4

105–115 3 110 330 12 36Razem 10 × 980 × 80

Srednia arytmetyczna IQ obliczona na podstawie tego szereguwynosi 980

10 = 98, a zatem jest tylko przyblizeniem faktycznejsredniej. Dalej w obliczeniach przyjeto to przyblizenie.Uzyskujemy przyblizona wartosc odchylenia przecietnego8010 = 8. Ogólnie wzór: dx = 1

i=1 |xi − x | · ni

85–95 5 90 450 8 4095–105 2 100 200 2 4

105–115 3 110 330 12 36Razem 10 × 980 × 80

10 = 98, a zatem jest tylko przyblizeniem faktycznejsredniej. Dalej w obliczeniach przyjeto to przyblizenie.

Uzyskujemy przyblizona wartosc odchylenia przecietnego8010 = 8. Ogólnie wzór: dx = 1

i=1 |xi − x | · ni

85–95 5 90 450 8 4095–105 2 100 200 2 4

105–115 3 110 330 12 36Razem 10 × 980 × 80

10 = 98, a zatem jest tylko przyblizeniem faktycznejsredniej. Dalej w obliczeniach przyjeto to przyblizenie.Uzyskujemy przyblizona wartosc odchylenia przecietnego8010 = 8. Ogólnie wzór: dx = 1

i=1 |xi − x | · ni

Klasyczne miary zmiennosciOdchylenie przecietne – wzory

Podsumowanie: Skorzystalismy z trzech formuł na dx .

W szeregu szczegółowym:

dx =1n

n∑i=1

|xi − x |

W szeregu rozdzielczym punktowym:

dx =1n

k∑i=1

|xi − x | · ni

W szeregu rozdzielczym z przedziałami klasowymi:

dx =1n

k∑i=1

|xi − x | · ni

Podsumowanie: Skorzystalismy z trzech formuł na dx .W szeregu szczegółowym:

dx =1n

n∑i=1

|xi − x |

dx =1n

k∑i=1

|xi − x | · ni

dx =1n

k∑i=1

|xi − x | · ni

dx =1n

n∑i=1

|xi − x |

dx =1n

k∑i=1

|xi − x | · ni

dx =1n

k∑i=1

|xi − x | · ni

dx =1n

n∑i=1

|xi − x |

dx =1n

k∑i=1

|xi − x | · ni

dx =1n

k∑i=1

|xi − x | · ni

Klasyczne miary zmiennosci – Wariancja

W analogiczny sposób konstruujemy wzory na inna klasycznamiare zmiennosci, zwana wariancja.

n∑i=1

(xi − x)2

k∑i=1

(xi − x)2 · ni

k∑i=1

(xi − x)2 · ni

n∑i=1

(xi − x)2

k∑i=1

(xi − x)2 · ni

k∑i=1

(xi − x)2 · ni

n∑i=1

(xi − x)2

k∑i=1

(xi − x)2 · ni

k∑i=1

(xi − x)2 · ni

n∑i=1

(xi − x)2

k∑i=1

(xi − x)2 · ni

k∑i=1

(xi − x)2 · ni

Klasyczne miary zmiennosci – Odchylenie standardowe

Pierwiastek kw. z wariancji – odchylenie standardowe.

√√√√1n

n∑i=1

(xi − x)2

√√√√1n

k∑i=1

(xi − x)2 · ni

√√√√1n

k∑i=1

(xi − x)2 · ni

Pierwiastek kw. z wariancji – odchylenie standardowe.W szeregu szczegółowym:

√√√√1n

n∑i=1

(xi − x)2

√√√√1n

k∑i=1

(xi − x)2 · ni

√√√√1n

k∑i=1

(xi − x)2 · ni

√√√√1n

n∑i=1

(xi − x)2

√√√√1n

k∑i=1

(xi − x)2 · ni

√√√√1n

k∑i=1

(xi − x)2 · ni

√√√√1n

n∑i=1

(xi − x)2

√√√√1n

k∑i=1

(xi − x)2 · ni

√√√√1n

k∑i=1

(xi − x)2 · ni

Klasyczne miary zmiennosciWariancja i odch. stand. w szeregu szczegółowym – c.d. przykładu 6

W przypadku szeregu szczegółowego z przykładu 6 mamynastepujace wartosci IQ i kwadraty ich odchylen od sredniej:

x1 = 85, (x1 − x)2 = 225,

x2 = 85, (x2 − x)2 = 225,

x3 = 95, (x3 − x)2 = 25,

x4 = 95, (x4 − x)2 = 25,

x5 = 95, (x5 − x)2 = 25,

x6 = 100, (x6 − x)2 = 0,

x7 = 105, (x7 − x)2 = 25,

x8 = 110, (x8 − x)2 = 100,

x9 = 115, (x9 − x)2 = 225,

x10 = 115, (x10 − x)2 = 225.

Stad otrzymujemys2

x = 110∑10

i=1(xi−x)2 = 110010 =110, sx =

√110≈10,5.

Klasyczne miary zmiennosciWariancja i odch. stand. w szeregu rozdzielczym punktowym – c.d. przykładu 6

wartosc liczby kwadraty wazone kwadratyIQ uczniów odchylen odchylenxi ni (xi − x)2 (xi − x)2 · ni

85 2 225 45095 3 25 75

100 1 0 0105 1 25 25110 1 100 100115 2 225 450

Razem 10 × 1100

Wariancja równa jest wiec s2x = 1100

10 = 110, a odchyleniestandardowe sx =

√110 ≈ 10,5.

Klasyczne miary zmiennosciWariancja i odch. stand. w szeregu rozdzielczym punktowym – c.d. przykładu 6

wartosc liczby kwadraty wazone kwadratyIQ uczniów odchylen odchylenxi ni (xi − x)2 (xi − x)2 · ni

85 2 225 45095 3 25 75

100 1 0 0105 1 25 25110 1 100 100115 2 225 450

Razem 10 × 1100

Wariancja równa jest wiec s2x = 1100

10 = 110, a odchyleniestandardowe sx =

√110 ≈ 10,5.

Klasyczne miary zmiennosciWariancja i odch. stand. w szeregu rozdzielczym z przedziałami klasowymi – c.d.przykładu 6

przedziały liczby srodki kwadraty wazone kwadratyIQ uczniów przedz. odchylen odchylenxi ni xi (xi − x)2 (xi − x)2 · ni

85– 95 5 90 64 32095–105 2 100 4 8

105–115 3 110 144 432Razem 10 × × 760

W obliczeniach przyjeto srednie IQ równe 98 (zamiastdokładnej wartosci 100).Wariancja jest tu wyznaczona w przyblizeniu i wynosi 760

10 = 76.Podobnie, przyblizeniem odchylenia standardowego jest liczba√

76 ≈ 8,7.

85– 95 5 90 64 32095–105 2 100 4 8

105–115 3 110 144 432Razem 10 × × 760

W obliczeniach przyjeto srednie IQ równe 98 (zamiastdokładnej wartosci 100).

Wariancja jest tu wyznaczona w przyblizeniu i wynosi 76010 = 76.

Podobnie, przyblizeniem odchylenia standardowego jest liczba√76 ≈ 8,7.

85– 95 5 90 64 32095–105 2 100 4 8

105–115 3 110 144 432Razem 10 × × 760

W obliczeniach przyjeto srednie IQ równe 98 (zamiastdokładnej wartosci 100).Wariancja jest tu wyznaczona w przyblizeniu i wynosi 760

10 = 76.Podobnie, przyblizeniem odchylenia standardowego jest liczba√

76 ≈ 8,7.Agnieszka Rossa PODSTAWOWE MIARY OPISU STRUKTURY ZBIOROWOSCI STATYSTYCZNEJ

Pozycyjne miary zmiennosciKiedy obliczamy pozycyjne miary zmiennosci?

Wariancja i odchylenie standardowe sa miaramizróznicowania, najczesciej stosowanymi w praktyce.Jednak nie zawsze istnieje mozliwosc ich obliczenia.Na przykład, gdy szereg rozdzielczy ma otwarteprzedziały klasowe i nie jest mozliwe znalezienie sredniejarytmetycznej, wówczas nie jest mozliwe takzewyznaczenie klasycznych miar zmiennosci.Innym przykładem jest wystepowanie w zbiorze danychobserwacji nietypowych (odstajacych). Wówczasczesto nie jest wskazane obliczanie sredniejarytmetycznej, a tym samym takze klasycznych miarzmiennosci.W takich sytuacjach zamiast miar klasycznych obliczamymiary pozycyjne.

Wariancja i odchylenie standardowe sa miaramizróznicowania, najczesciej stosowanymi w praktyce.Jednak nie zawsze istnieje mozliwosc ich obliczenia.

Na przykład, gdy szereg rozdzielczy ma otwarteprzedziały klasowe i nie jest mozliwe znalezienie sredniejarytmetycznej, wówczas nie jest mozliwe takzewyznaczenie klasycznych miar zmiennosci.Innym przykładem jest wystepowanie w zbiorze danychobserwacji nietypowych (odstajacych). Wówczasczesto nie jest wskazane obliczanie sredniejarytmetycznej, a tym samym takze klasycznych miarzmiennosci.W takich sytuacjach zamiast miar klasycznych obliczamymiary pozycyjne.

Wariancja i odchylenie standardowe sa miaramizróznicowania, najczesciej stosowanymi w praktyce.Jednak nie zawsze istnieje mozliwosc ich obliczenia.Na przykład, gdy szereg rozdzielczy ma otwarteprzedziały klasowe i nie jest mozliwe znalezienie sredniejarytmetycznej, wówczas nie jest mozliwe takzewyznaczenie klasycznych miar zmiennosci.

Innym przykładem jest wystepowanie w zbiorze danychobserwacji nietypowych (odstajacych). Wówczasczesto nie jest wskazane obliczanie sredniejarytmetycznej, a tym samym takze klasycznych miarzmiennosci.W takich sytuacjach zamiast miar klasycznych obliczamymiary pozycyjne.

Wariancja i odchylenie standardowe sa miaramizróznicowania, najczesciej stosowanymi w praktyce.Jednak nie zawsze istnieje mozliwosc ich obliczenia.Na przykład, gdy szereg rozdzielczy ma otwarteprzedziały klasowe i nie jest mozliwe znalezienie sredniejarytmetycznej, wówczas nie jest mozliwe takzewyznaczenie klasycznych miar zmiennosci.Innym przykładem jest wystepowanie w zbiorze danychobserwacji nietypowych (odstajacych). Wówczasczesto nie jest wskazane obliczanie sredniejarytmetycznej, a tym samym takze klasycznych miarzmiennosci.

W takich sytuacjach zamiast miar klasycznych obliczamymiary pozycyjne.

Wariancja i odchylenie standardowe sa miaramizróznicowania, najczesciej stosowanymi w praktyce.Jednak nie zawsze istnieje mozliwosc ich obliczenia.Na przykład, gdy szereg rozdzielczy ma otwarteprzedziały klasowe i nie jest mozliwe znalezienie sredniejarytmetycznej, wówczas nie jest mozliwe takzewyznaczenie klasycznych miar zmiennosci.Innym przykładem jest wystepowanie w zbiorze danychobserwacji nietypowych (odstajacych). Wówczasczesto nie jest wskazane obliczanie sredniejarytmetycznej, a tym samym takze klasycznych miarzmiennosci.W takich sytuacjach zamiast miar klasycznych obliczamymiary pozycyjne.

Pozycyjne miary zmiennosciRozstep

Rozstep definiujemy jako róznice miedzy wartoscianajwieksza i najmniejsza badanej cechy w zbiorowosci,czyli

Rx = xmax − xmin,

gdziexmax = max{x1, x2, . . . , xn},xmin = min{x1, x2, . . . , xn}.

Na podstawie danych z przykładu 6 mamy: xmin = 85,xmax = 115, zatem rozstep wynosi Rx = 30.

Pozycyjne miary zmiennosciRozstep

Rozstep definiujemy jako róznice miedzy wartoscianajwieksza i najmniejsza badanej cechy w zbiorowosci,czyli

Rx = xmax − xmin,

gdziexmax = max{x1, x2, . . . , xn},xmin = min{x1, x2, . . . , xn}.

Na podstawie danych z przykładu 6 mamy: xmin = 85,xmax = 115, zatem rozstep wynosi Rx = 30.

Pozycyjne miary zmiennosciOdchylenie cwiartkowe

Ochylenie cwiatkowe Qx jest miara zróznicowania opartana kwartylach. Definiujemy je jako połowa róznicypomiedzy trzecim a pierwszym kwartylem

Qx =Q3 −Q1

Odchylenie cwiartkowe interpretujemy jako połowerozpietosci przedziału, w którym znajduje sie 50%jednostek skupionych najblizej mediany.Na wartosc odchylenia cwiartkowego nie maja wpływuwartosci mniejsze od kwartyla pierwszego i wartosciwieksze od kwartyla trzeciego.Miara ta zatem, w przeciwienstwie do klasycznych miarzróznicowania, nie jest wrazliwa na wartosci skrajne.

Qx =Q3 −Q1

Odchylenie cwiartkowe interpretujemy jako połowerozpietosci przedziału, w którym znajduje sie 50%jednostek skupionych najblizej mediany.

Na wartosc odchylenia cwiartkowego nie maja wpływuwartosci mniejsze od kwartyla pierwszego i wartosciwieksze od kwartyla trzeciego.Miara ta zatem, w przeciwienstwie do klasycznych miarzróznicowania, nie jest wrazliwa na wartosci skrajne.

Qx =Q3 −Q1

Odchylenie cwiartkowe interpretujemy jako połowerozpietosci przedziału, w którym znajduje sie 50%jednostek skupionych najblizej mediany.Na wartosc odchylenia cwiartkowego nie maja wpływuwartosci mniejsze od kwartyla pierwszego i wartosciwieksze od kwartyla trzeciego.

Miara ta zatem, w przeciwienstwie do klasycznych miarzróznicowania, nie jest wrazliwa na wartosci skrajne.

Qx =Q3 −Q1

Odchylenie cwiartkowe interpretujemy jako połowerozpietosci przedziału, w którym znajduje sie 50%jednostek skupionych najblizej mediany.Na wartosc odchylenia cwiartkowego nie maja wpływuwartosci mniejsze od kwartyla pierwszego i wartosciwieksze od kwartyla trzeciego.Miara ta zatem, w przeciwienstwie do klasycznych miarzróznicowania, nie jest wrazliwa na wartosci skrajne.

W przykładzie 6 mielismy nastepujace dane:

85,85,95,95,95,100,105,110,115,115.

Kwartyl pierwszy i trzeci sa tu równe odpowiednio:Q1 = 95, Q3 = 110, a zatem odchylenie cwiartkowe wynosi

Qx =110− 95

2= 7,5

Miedzy miarami zróznicowania obliczonymi dla tegosamego szeregu zachodza nierównosci

Qx < dx < sx .

Istotnie, w przykładzie Qx = 7,5,dx = 9, sx = 10,5.

85,85,95,95,95,100,105,110,115,115.

Qx =110− 95

2= 7,5

Qx < dx < sx .

Istotnie, w przykładzie Qx = 7,5,dx = 9, sx = 10,5.

85,85,95,95,95,100,105,110,115,115.

Qx =110− 95

2= 7,5

Qx < dx < sx .

Istotnie, w przykładzie Qx = 7,5,dx = 9, sx = 10,5.Agnieszka Rossa PODSTAWOWE MIARY OPISU STRUKTURY ZBIOROWOSCI STATYSTYCZNEJ

Wzgledne miary zróznicowaniaWspółczynniki zmiennosci – czyli rzecz o porównywaniu zmiennosci

Przykład 7.Załózmy, ze dwóch skoczków narciarskich wykonało napewnych zawodach po 4 skoki (np. 2 podczas treningui 2 podczas konkursu).

Srednia długosc skoków skoczka A wyniosła 130 m,a skoczka B – 110 m (a zatem skoczek A był lepszy!)

Odchylenia standardowe długosci skoków dla obuzawodników były jednakowe i wynosiły 2,5 m.

Pytanie: Czy mozna powiedziec, ze pod wzgledemregularnosci skoków obydwaj zawodnicy byli podobni?

Wzgledne miary zróznicowaniaWspółczynniki zmiennosci – czyli rzecz o porównywaniu zróznicowania

Wbrew pozorom odpowiedz, nie jest twierdzaca. Podwzgledem regularnosci skoków zawodnik A takze okazujesie byc troche lepszym!

Odchylenie standardowe równe 2,5 m bowiem ”wiecejznaczy” w przypadku, gdy srednia odległosc skoku wynosi110 m, niz w przypadku sredniej równej 130 m.Aby to liczbowo wykazac, wystarczy obliczyc ilorazodchylenia standardowego do sredniej.Dla zawodnika A wspomniany iloraz wynosi 2,5

130 ≈ 0,019, adla zawodnika B 2,5

110 ≈ 0,023, a wiec dla zawodnika Bzmiennosc skoków stanowi wiekszy ułamek sredniej.Obliczone ilorazy mozna wyrazic w procentachodpowiednio: 1,9% i 2,3%.

Wbrew pozorom odpowiedz, nie jest twierdzaca. Podwzgledem regularnosci skoków zawodnik A takze okazujesie byc troche lepszym!Odchylenie standardowe równe 2,5 m bowiem ”wiecejznaczy” w przypadku, gdy srednia odległosc skoku wynosi110 m, niz w przypadku sredniej równej 130 m.

Aby to liczbowo wykazac, wystarczy obliczyc ilorazodchylenia standardowego do sredniej.Dla zawodnika A wspomniany iloraz wynosi 2,5

Wbrew pozorom odpowiedz, nie jest twierdzaca. Podwzgledem regularnosci skoków zawodnik A takze okazujesie byc troche lepszym!Odchylenie standardowe równe 2,5 m bowiem ”wiecejznaczy” w przypadku, gdy srednia odległosc skoku wynosi110 m, niz w przypadku sredniej równej 130 m.Aby to liczbowo wykazac, wystarczy obliczyc ilorazodchylenia standardowego do sredniej.

Dla zawodnika A wspomniany iloraz wynosi 2,5130 ≈ 0,019, a

dla zawodnika B 2,5110 ≈ 0,023, a wiec dla zawodnika B

zmiennosc skoków stanowi wiekszy ułamek sredniej.Obliczone ilorazy mozna wyrazic w procentachodpowiednio: 1,9% i 2,3%.

Wbrew pozorom odpowiedz, nie jest twierdzaca. Podwzgledem regularnosci skoków zawodnik A takze okazujesie byc troche lepszym!Odchylenie standardowe równe 2,5 m bowiem ”wiecejznaczy” w przypadku, gdy srednia odległosc skoku wynosi110 m, niz w przypadku sredniej równej 130 m.Aby to liczbowo wykazac, wystarczy obliczyc ilorazodchylenia standardowego do sredniej.Dla zawodnika A wspomniany iloraz wynosi 2,5

110 ≈ 0,023, a wiec dla zawodnika Bzmiennosc skoków stanowi wiekszy ułamek sredniej.

Obliczone ilorazy mozna wyrazic w procentachodpowiednio: 1,9% i 2,3%.

Wbrew pozorom odpowiedz, nie jest twierdzaca. Podwzgledem regularnosci skoków zawodnik A takze okazujesie byc troche lepszym!Odchylenie standardowe równe 2,5 m bowiem ”wiecejznaczy” w przypadku, gdy srednia odległosc skoku wynosi110 m, niz w przypadku sredniej równej 130 m.Aby to liczbowo wykazac, wystarczy obliczyc ilorazodchylenia standardowego do sredniej.Dla zawodnika A wspomniany iloraz wynosi 2,5

Wzgledne miary zmiennosci – Współczynniki zmiennosci

Wzgledne miary zróznicowania (inaczej współczynnikizmiennosci), definiujemy jako ilorazy bezwzglednych miarzróznicowania do odpowiednich miar srednich.

Współczynniki te stosujemy przy porównaniach.- współczynik zmiennosci Vdx oparty na odchyleniu

przecietnym

Vdx =dx

x· 100%,

- współczynik zmiennosci Vsx oparty na odchyleniustandardowym

Vsx =sx

x· 100%,

- współczynik zmiennosci VQx oparty na odch. cwiartkowym

VQx =Qx

Me· 100%.

Wzgledne miary zróznicowania (inaczej współczynnikizmiennosci), definiujemy jako ilorazy bezwzglednych miarzróznicowania do odpowiednich miar srednich.Współczynniki te stosujemy przy porównaniach.

- współczynik zmiennosci Vdx oparty na odchyleniuprzecietnym

Vdx =dx

x· 100%,

Vsx =sx

x· 100%,

VQx =Qx

Me· 100%.

Vdx =dx

x· 100%,

Vsx =sx

x· 100%,

VQx =Qx

Me· 100%.

Vdx =dx

x· 100%,

Vsx =sx

x· 100%,

VQx =Qx

Me· 100%.

Vdx =dx

x· 100%,

Vsx =sx

x· 100%,

VQx =Qx

Me· 100%.

Analiza asymetrii – Przykład histogramu szeregu symetrycznego

Copyright Giorgio Krenkel and Alex Sandri, GNU Free Documentation License, Low Resolution

Analiza asymetrii – Przykład histogramu szeregu asymetrycznegoprawostronnie

Copyright Giorgio Krenkel and Alex Sandri, GNU Free Documentation License, Low ResolutionAgnieszka Rossa PODSTAWOWE MIARY OPISU STRUKTURY ZBIOROWOSCI STATYSTYCZNEJ

Analiza asymetrii – Przykład histogramu szeregu asymetrycznegolewostronnie

Copyright Giorgio Krenkel and Alex Sandri, GNU Free Documentation License, Low ResolutionAgnieszka Rossa PODSTAWOWE MIARY OPISU STRUKTURY ZBIOROWOSCI STATYSTYCZNEJ

Miary asymetrii

W szeregach symetrycznych srednia arytmetyczna równajest medianie i dominancie, czyli

x = Me = Do,

natomiast róznica miedzy kwartylem trzecim a medianarówna jest róznicy miedzy mediana a kwartylempierwszym, czyli

Q3 −Me = Me −Q1.

Przy asymetrii lewostronnej zachodza nierównosci

x ≤ Me ≤ Do, (Q3 −Me)− (Me −Q1) < 0,

natomiast przy asymetrii prawostronnej maja miejscenierównosci odwrotne.

Miary asymetrii

W szeregach symetrycznych srednia arytmetyczna równajest medianie i dominancie, czyli

x = Me = Do,

natomiast róznica miedzy kwartylem trzecim a medianarówna jest róznicy miedzy mediana a kwartylempierwszym, czyli

Q3 −Me = Me −Q1.

Przy asymetrii lewostronnej zachodza nierównosci

x ≤ Me ≤ Do, (Q3 −Me)− (Me −Q1) < 0,

natomiast przy asymetrii prawostronnej maja miejscenierównosci odwrotne.

Miary asymetrii – Wskaznik skosnosci

Własnosci te wykorzystuje sie przy konstrukcji wybranychmierników asymetrii.

Wskaznik skosnosci definiujemy wzorem

Ms = x − Do.

Znak tego wskaznika informuje o kierunku asymetrii: znakujemny oznacza asymetrie lewostronna (nazywana takzeasymetria ujemna), natomiast znak dodatni oznaczaasymetrie prawostronna (dodatnia). W przypadkuszeregów symetrycznych mamy Ms = 0.Wskaznik Ms jest miara mianowana, o jego wartoscidecyduje nie tylko stopien skosnosci szeregu, ale równiezogólny poziom cechy w danej zbiorowosci. Z tego powoduczesciej obliczany jest (wzgledny) współczynnik skosnosci.

Własnosci te wykorzystuje sie przy konstrukcji wybranychmierników asymetrii.Wskaznik skosnosci definiujemy wzorem

Ms = x − Do.

Znak tego wskaznika informuje o kierunku asymetrii: znakujemny oznacza asymetrie lewostronna (nazywana takzeasymetria ujemna), natomiast znak dodatni oznaczaasymetrie prawostronna (dodatnia). W przypadkuszeregów symetrycznych mamy Ms = 0.

Wskaznik Ms jest miara mianowana, o jego wartoscidecyduje nie tylko stopien skosnosci szeregu, ale równiezogólny poziom cechy w danej zbiorowosci. Z tego powoduczesciej obliczany jest (wzgledny) współczynnik skosnosci.

Ms = x − Do.

Miary asymetrii – Współczynnik skosnosci

Współczynnik skosnosci obliczamy ze wzoru:

Ws =Ms

x − Dosx

lub Ws =Ms

x − Dodx

Współczynnik Ws przyjmuje na ogół wartosci z przedziału[−1,1] (w przypadku skrajnej asymetrii moze sie zdarzyc,ze jego wartosc wykroczy poza podany przedział).

Znak współczynnika Ws informuje o kierunku asymetrii, awartosc bezwzgledna – o sile asymetrii.

Ws =Ms

x − Dosx

lub Ws =Ms

x − Dodx

Ws =Ms

x − Dosx

lub Ws =Ms

x − Dodx

Miary asymetrii – Klasyczny współczynnik asymetrii

Klasyczny współczynnik asymetrii jest czestostosowana miara asymetrii wyrazona wzorem:

As =µ3

gdzie sx oznacza odchylenie standardowe, natomiast µ3jest tzw. momentem centralnym trzeciego rzedu, którydefiniujemy nastepujaco:

1n∑n

i=1(xi − x)3, dla szeregu szczegółowego,1n∑k

i=1(xi − x)3ni , dla szeregu r. punktowego,1n∑k

i=1(xi − x)3ni , dla szeregu r. z przedziałami.

Współczynnik As przyjmuje na ogół wartosci z przedziału[−2,2] (w przypadku skrajnej asymetrii jego wartosc mozewykroczyc poza ten przedział).

Miary asymetrii – Klasyczny współczynnik asymetrii

Klasyczny współczynnik asymetrii jest czestostosowana miara asymetrii wyrazona wzorem:

As =µ3

gdzie sx oznacza odchylenie standardowe, natomiast µ3jest tzw. momentem centralnym trzeciego rzedu, którydefiniujemy nastepujaco:

1n∑n

i=1(xi − x)3, dla szeregu szczegółowego,1n∑k

i=1(xi − x)3ni , dla szeregu r. punktowego,1n∑k

i=1(xi − x)3ni , dla szeregu r. z przedziałami.

Współczynnik As przyjmuje na ogół wartosci z przedziału[−2,2] (w przypadku skrajnej asymetrii jego wartosc mozewykroczyc poza ten przedział).

Miary asymetrii – Pozycyjny współczynnik asymetrii

Pozycyjny współczynnik asymetrii okresla siłe i kierunekasymetrii dla tych jednostek zbiorowosci, które znajduja siemiedzy pierwszym i trzecim kwartylem, a wiec wzawezonym obszarze zmiennosci cechy.

Definiujemy go wzorem

AQ =(Q3 −Me)− (Me −Q1)

(Q3 −Me) + (Me −Q1)=

=Q3 − 2Me + Q1

Q3 −Q1.

Współczynnik AQ przyjmuje wartosc z przedziału [−1,1].Podobnie, jak mierniki Ws i As, jego znak informuje okierunku, a wartosc bezwzgledna – o sile asymetrii.

Pozycyjny współczynnik asymetrii okresla siłe i kierunekasymetrii dla tych jednostek zbiorowosci, które znajduja siemiedzy pierwszym i trzecim kwartylem, a wiec wzawezonym obszarze zmiennosci cechy.Definiujemy go wzorem

AQ =(Q3 −Me)− (Me −Q1)

(Q3 −Me) + (Me −Q1)=

=Q3 − 2Me + Q1

Q3 −Q1.

Pozycyjny współczynnik asymetrii okresla siłe i kierunekasymetrii dla tych jednostek zbiorowosci, które znajduja siemiedzy pierwszym i trzecim kwartylem, a wiec wzawezonym obszarze zmiennosci cechy.Definiujemy go wzorem

AQ =(Q3 −Me)− (Me −Q1)

(Q3 −Me) + (Me −Q1)=

=Q3 − 2Me + Q1

Q3 −Q1.

PODSTAWOWE MIARY OPISU STRUKTURY ZBIOROWOSCI … · Wskazniki´ nate˛zenia, wskazniki´...

Documents

Transcript of PODSTAWOWE MIARY OPISU STRUKTURY ZBIOROWOSCI … · Wskazniki´ nate˛zenia, wskazniki´...