PODOBIEŃSTWO FIGUR

Opracowała: Iwona Kowalik

Aby dwie figury były podobne muszą być tego samego kształtu, lecz mogą być różnej wielkości. Zatem:

Każde dwa koła są podobne.

Każde dwa kwadraty są podobne.

Każde dwa trójkąty równoboczne są podobne.

DEFINICJA:

Dwa wielokąty są podobne, jeśli ich odpowiednie kąty są równe, a odpowiednie boki proporcjonalne.

PRZYKŁAD:

a1

a2

b1 b2

c2c1

d1 d2Wielokąty te są podobne

ponieważ zachodzą związki:

a1: a2 = b1: b2 = c1: c2 = d1 : d2

A B

CD

E F

GH

oraz kąty: <DAB=<HEF i <ABC=<EFG i <BCD=<FGH i <CDA=<GHE

Stosunek jaki zachodzi między długościami odcinków nazywamy skalą podobieństwa.

PRZYKŁADY:

a1=2 cm

a2=4 cm

Skala podobieństwa wynosi:

a2 : a1 = 4 cm : 2 cm = 2

r1 =3 cmr2=1 cm

Skala podobieństwa wynosi:

r2 : r1= 1 cm : 3cm = 1/3

•Jeżeli figura f jest podobna do figury f’ w skali k, to stosunek pól tych figur wynosi k2.

•Jeżeli figura f jest podobna do figury f’ w skali k, to figura f’ jest podobna do figury f w skali 1/k.

•Jeżeli figura f jest podobna do figury f’ w skali k, to stosunek ich objętości wynosi k3.

PODOBIEŃSTWO TRÓJKĄTÓW

W celu ustalenia podobieństwa trójkątów wystarczy skorzystać z jednej z trzech cech podobieństwa trójkątów:

Cechy BBB (bok – bok – bok) Cechy KKK (kąt – kąt – kąt) Cechy BKB (bok – kąt - bok)

Cecha BBB

Jeśli trzy boki jednego trójkąta są odpowiednio proporcjonalne do trzech boków drugiego trójkąta, to trójkąty te są podobne.

a

bc

a’

b’c’

Jeśli a : a’ = b : b’ = c : c’, to trójkąt ABC jest podobny do trójkąta A’B’C’.

A

B C

A’

C’B’

Cecha KKK

Jeśli kąty jednego trójkąta są równe kątom drugiego trójkąta, to trójkąty te są podobne.

A B

C

A’B’

C’

Jeżeli <ABC = <A’B’C’ i < BCA = <B’C’A’ i <CAB = <C’A’B’ , to trójkąty są podobne.

Cecha BKB

Jeżeli dwa boki jednego trójkąta są proporcjonalne do dwóch boków drugiego trójkąta i kąty zawarte między tymi bokami są równe, to trójkąty te są podobne.

A B

C

A’ B’

C’

np. jeżeli c : c’ = a : a’ oraz <ABC = <A’B’C’ to trójkąty są podobne.

a a’

cc’

Przykłady: MAPA

Odległości i obiekty na mapie są przedstawiane w skali. Np.

Odległość 1 cm na mapie oznacza w rzeczywistości odległość 17 500 cm, czyli 175 m.

Aby obliczyć skalę, w jakiej wykonano mapę należy podzielić odległość na mapie przez rzeczywistą odległość dwóch punktów, posługując się tymi samymi jednostkami długości. Np. wiemy, że odległość między dwoma miastami wynosi 25 km. Na mapie odległość ta wynosi 5 cm. Aby obliczyć skalę zamieniamy kilometry na centymetry:

25 km = 25000 m = 2500000 cm

Skala wynosi:

k = 5 cm : 2500000 cm = 1: 500000

Przykład

Kąt padania i kąt odbicia (np. światło, bilard)

A

BC D

E

Trójkąty ABC i CDE są podobne, ponieważ mają równe kąty: są prostokątne, a kąty BCA i DCE są równe.

Przykład:

Fraktale – figury, które posiadają tę własność, że pewne ich fragmenty są podobne do całego fraktala.

Dywan Sierpińskiego

Trójkąt Sierpińskiego

Inne fraktale:

Bogaty zbiór fraktali znajduje się na stronach:

arj.nvg.org/pic/gallery/

http://zsz1starysacz.pl/fraktalegl.htm

http://www.fractal.art.pl/obrazy.html

http://www.szkoly.edu.pl/%7Eemelnycz/ - wejdź do galerii 1, 2, 3.