Ecuaciones Diferenciales

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ECUACIONES DIFERENCIALES

Problema de poblacin.

En un principio, un cultivo al inicio tiene P0 cantidad de bacterias. En t = 1 hora se determina que el nmero de bacterias 3 2 P0 Si la rapidez de crecimiento es proporcional al nmero de bacterias Pt presentes en el tiempo t , determine el tiempo necesario para que triplique el nmero de bacterias. Solucin:

Primero se resuelve la ecuacin diferencial (1) dx / dt = k x x (t0) = x0 (1) Donde el smbolo x se remplaza por P Con t0 = 0 la condicin inicial es P (0) = P0 Entonces se usa la observacin emprica de que P (1) = 3/2 P0 para determinar la k constante de proporcionalidad. Observe que la ecuacin diferencial

dP / dt = k p es tanto separable como lineal. Cuando se pone en la forma de una ecuacin diferencial lineal de primer orden: dP / dt - k p = 0 Se ve por inspeccin que el factor de integracin es e kt Al multiplicar ambos lados de la ecuacin por este trmino e integrar, se obtiene, a su vez d / dt [ e kt ] = 0 y e kt P = c Por tanto P(t) = cekt En t = 0 se deduce que P0 = ce

0 = c, y en consecuencia, P (t) = P0 ekt

En t = 1 se tiene 3/2 Po = P0 = e

k o bien ek = 3/2

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De la ltima ecuacin se obtiene k =ln 3/2 = 0.4055. y entonces P(t) = P0 e

0.4055

Para determinar el tiempo en que se ha triplicado el nmero de bacterias, se resuelve 3 P0 = P0 e

0.4055 para t Se deduce que 0.4055 t = ln 3 t = ln 3 / 0.4055 2.71 h