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Andrea CardosoFundamentos daPESQUISAOPERACIONALUNIFAL-MGFevereiro2011SUMARIO1 ConhecendoaPesquisaOperacional 41.1 ModelosMatematicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2 PrimeirosExemploseAplica coes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3 ListadeProblemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 ProgramacaoMatematica 242.1 ModelosdeOtimiza cao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.2 ProblemasdeProgramac aoMatem atica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.3 ListadeProblemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413 ProgramacaoLinear 443.1 Estruturac aodeModelosLineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.2 Resoluc aoGracadeumPPL. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.2.1 Representac aoGr acadasRestri coes . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.2.2 Representac aoGr acadaFunc aoObjetivo . . . . . . . . . . . . . . 543.2.3 SolucoesdoModelo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.3 ListadeProblemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584 ResolucaodePPL 644.1 Estruturac aodeModelosLineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644.2 Fundamentac aoTe orica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674.3 ListadeProblemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7625 OMetodoSimplex 795.1 Fluxogramaparasoluc oesnitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 915.2 An alisedeSensibilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 915.3 ListadeProblemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 915.4 ListadeProblemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96CAPITULO 1CONHECENDO A PESQUISA OPERACIONALOtermoPesquisaOperacional (PO)designauma areadoconhecimentoqueconsistenodesenvolvimento de metodos cientcos de sistemas complexos, com a nalidade de prevere comparar estrategias ou decisoes alternativas, cujo objetivo e dar suporte ` a denic ao depolticasedeterminac aodeac oes.Otrabalhodomatem aticorussoLeonidKantorovichde1939intituladoMetodosmatem aticosnaorganizac aoenoplanejamentodeproduc ao econsideradoumdospre-cursoresdaPO, poremmanteve-sedesconhecidodacomunidadecientcaocidental ate1959. Opr opriotermoPesquisaOperacional,doinglesOperationsResearch,foicunhadopelomatem aticorussonatentativadeenglobar, sobuma unicadenominac ao, todasastecnicas existentes ouqueviriamaser desenvolvidas equetinhamomesmoobjetivocitado. Defato,otermoPOdesignaumconjuntodedisciplinasisoladastaiscomoPro-gramac ao Linear,Teoria das Filas,Simulacao,Programac ao Dinamica,Teoria dos Jogos,dentreoutras.A Pesquisa Operacional tal qual como a conhecemos surgiu durante a Segunda GuerraMundial tendocomoobjetivoodesenvolvimentodemetodologiaparasolucaodeprob-lemasrelacionadoscomasoperac oesmilitaresquandoosAliadosseviramconfrontadoscom problemas complexos de natureza logstica, t atica e de estrategia militar. Para apoiaroscomandosoperacionaisnaresolucaodessesproblemasforamcriadosgruposmultidis-ciplinares compostos por matem aticos, fsicos, engenheiros ecientistas sociais. Oqueessescientistaszeramfoi aplicarometodocientco, quet aobemconheciam, aospro-blemasquelhesforamsendocolocados. Desenvolveramentaoaideiadecriarmodelos45matem aticos, apoiados em dados e fatos, que lhes permitissem perceber os problemas emestudo,simulareavaliaroresultadohipoteticodeestrategiasbemcomopropordecis oesalternativas. Em1941aInglaterrainauguraaSe caodePesquisaOperacional doCo-mando da For ca Aerea de Combate para trabalhar com problemas de operacoes de guerra,manuten cao e inspec ao de avi oes, melhoria da probabilidade de destrui cao de submarinos,controledeartilhariaantiaerea,dimensionamentodecomboiosdefrota,entreoutros.O sucesso e credibilidade ganhos durante a guerra foram t ao grandes que, terminado oconito, esses grupos de cientistas e a sua nova metodologia de abordagem dos problemassetransferiramparaasempresasque, comovertiginosocrescimentoecon omicoqueseseguiu, se viram tambem confrontadas com problemas de decisao de grande complexidade.Em 1947 os Estados Unidos implantam o projeto SCOP (Scientic Computation of Op-timal Programs) com o objetivo de apoiar decis oes de operac oes da forca aerea americana,coordenadoporumeconomistaeporummatem aticoGeorgeDantzigquedesenvolveueformalizouoMetodoSimplexpararesolverproblemasdeotimizac aolinear.Faceaoseucar ater multidisciplinar, atualmenteascontribui coesdaPOestende-sepor praticamentetodos os domnios daatividadehumana, daEngenharia` aMedicina,passandopelaEconomiaeàGest aoEmpresarial.OsramosmaisimportantesdesenvolvidosemPOs ao:ProgramacaoMatematica OutrosRamos Programac aoLinearAn aliseEstatstica Programac aoNaoLinearTeoriadosJogos Programac aoDinamicaTeoriadasFilas Programac aoInteiraSimula cao Otimizac aoGlobalGest aodeestoquesResumidamentepodemosdizerqueoobjetivoprincipal daPOedeterminarapro-gramac ao otimizada de atividades ou recursos, fornecendo um conjunto de procedimentosemetodosquantitativosparatratardeformasistematizadaproblemasqueenvolvamautilizac aoderecursosescassos. Paraapoiaratomadadedecisao, aPObuscaasoluc aodeproblemasquepodemserrepresentadospormodelosmatem aticos.Demodogeral, paraaresoluc aodeumproblema, umestudodePOedesenvolvidoemfasescomoindicadonoesquemaabaixo.6 CAPITULO1. CONHECENDOAPESQUISAOPERACIONALFigura1.1: PassosparaimplementacaodePOIdenticado o problema a ser estudado, a fase de formulacao consiste na estruturac aodosdadoseinformacoesdisponveis,aproximafasedemodelagemconcentra-senacons-truc aodomodeloqueeumarepresentacaosimplicadadosistema, emgeral descritoporumconjuntodeequac oesedesigualdadesmatem aticas. Asolucaoeobtidaatravesdeummetodoquepodeserumprocedimentomatematicooualgoritmoparaalcan caroresultado. Aavaliacaoconsistenavalidac aodomodelo, nestafaseajustespodemserfeitos. Adecisao eaescolhaeoperacionalizac aodasoluc aoencontrada.Asfasesdeformulac aoemodelagemdoproblemadevemserexecutadascommuitaresponsabilidade pois E muito difcil encontrar uma solu cao certa para um problema malformulado!.1.1 ModelosMatematicosObservar, compreender, reproduzir e aprimorar fen omenos, que podem ser naturais, soci-ais ou econ omicos, tem sido desde sempre uma preocupac ao basica da Ciencia. Eventual-mente tais fenomenos podem ser controlaveis e haver a ent ao condi coes de realizar previsoescompequenonveldeincerteza,paratanto enecessariaaconstrucaodemodelosquesaorepresenta coesidealizadasparataisfen omenos,processosousistemas.Um modelo descreve, representa e imita o procedimento que ocorre no mundo real, es-tabelecendo o relacionamento das variaveis com os objetivos, da melhor maneira possvel,obedecendoàlimitac aodetempoedecusto. Osmodelospodemserassimclassicados:1.1. MODELOSMATEMATICOS 7verbais: quandosaodescritoserepresentadosporpalavrasesentencas.fsicos: quandorepresentadosporalgumtipodematerial concreto, alterando-sesuasdimens oes,formatoecusto. Porexemplo: maqueteseprot otipos.esquematicos: quandodescritospormeiodegr acos,tabelasoudiagramas.matematicos: quando representados por relac oes matematicas, como equa coes, inequa-c oes,funcoesoulogicasimb olica.Um modelomatematicoe uma representac ao simplicada de uma situacao real e devereetiraessenciadoproblema,representandoasgrandezasenvolvidasporvariaveiseasrelac oes de interdependencia existentes entre elas por express oes matem aticas. Esquemati-camente, um modelo matem atico pode ser visto como uma Caixa Preta, representando asrelac oesquedescrevemadependenciadasvari aveis,querecebeaentradaformadapelasvari aveisdoproblemaquesequerotimizareprocessaessasinformac oesparaproduzirasadaque easolucaodoproblemaouresultadodadecisao.EntradaSadaModeloMatemticoOmodelomais adequadodependedevarios fatores: anaturezadas relac oes entreasvariaveis, osobjetivosalmejados, aextens aodocontrolesobreasvariaveiseonvelde incertezaexistente tantonas relac oes entre as vari aveis comonapr opriadenic aodasvari aveis. Paracadaconjuntodesituacoesespeccasomodelomatem atico, dora-vante denominado somente modelo, dever a ter uma forma padronizada e a solucao poder aser obtida por metodos matem aticos especcos para cadacaso, que serao estudadosposteriormente.Demaneirageral,umproblemadetomadadedecis aorequersoluc aoquerespondaatresperguntas:1. Qual eametaaseratingida? (objetivo)2. Quaiss aoasalternativasparaadecisao? (variaveisdedecisao)3. Sobquaiscondic oesadecis aodevesertomada?(restricoes)8 CAPITULO1. CONHECENDOAPESQUISAOPERACIONAL1.2 PrimeirosExemploseAplicac oesNesta sec ao ser ao apresentadas os primeiras formulac oes de problemas de otimizac ao comoauxlio na tomada de decis ao, para serem analisados, modelados e, exceto o sexto exemplo,resolvidos. Ostresprimeirosexemploss aobemsimplesepodemserresolvidosintuitiva-menteouporenumerac aon aonecessitandodemodelosmatem aticosformais. Oquartoproblemarequerousodeplanilhaseletr onicaspararealizarsimulac oesdemaneiramaisr apida e ecaz. O quinto problema necessita de conhecimentos previos de C alculo Diferen-cial. Osextoexemplo,eumpoucomaiscomplexosenecessitademodelosmatematicosestruturadosdeProgramacaoMatematicaassuntodocaptuloseguintecujastecnicasderesoluc aoseraoestudadas nocaptulo3. Finalmente, osetimoexemploapresentaumproblemaclassicodaTeoriadosJogosesuasimplicac oes.Exemplo1.1. Oproblemadadona-de-casa1Considere a situac ao em que uma dona de casa precisa decidir entre comprar manteigaoumargarinaparaoconsumodafamlia. Elavai seguir intuitivamenteumraciocniol ogico atraves do qual procurara alinhar as vantagens e desvantagens de cada alternativa,segundoseuscriteriosdedecis ao.De incio, a dona de casa ir a identicar as diferencas entre os produtos segundo v ariosfatores que poderiam ser tomados para comparacao como: o custo, o sabor, a durabilidade,a consistencia quando gelado, os efeitos para sa ude, dentre outros. Para simplicar, ela selimitar aaavaliarapenasositensqueconsideramaisimportantes: custo,saboreefeitosparaasa ude. Essesser aooscriteriosparaatomadadedecis aodadona-de-casa.Asconsequenciasdecadaalternativaser ao:1. Comprandomanteiga,adona-de-casagastamaisdinheiro;agradaafamlia;p oeemriscoafamliadevidoaoteormaisaltodecolesterol.2. Comprandomargarina,adona-de-casaeconomizadinheiro;desagradaafamlia;n aocolocaemriscoasa udedafamlia.1ExtradodeAndrade,20041.2. PRIMEIROSEXEMPLOSEAPLICACOES 9Dependendodopesoqueatribuiracadaconsequencia,adona-de-casapoderachegaraumaconclusao. Se, porexemplo, arestric aodafamliafordinheiro, adecis aoquelheparecer amelhorser acomprarmargarina.Exemplo1.2. ProblemadatravessiadorioImagine que voce esteja a margem leste de um rio juntamente com tres amigos Felipe,Jo ao e Kelly. Voces querem atravessar para a margem oeste e disp oem de um unico meiodelocomoc ao, umacanoaquepodelevarnomaximoduaspessoasporvezen aopodeirnemvoltarvazia. Vocetemconstitui caomaisatleticaepodeatravessarorioaremoem1minuto, enquantoFelipe, Jo aoeKellylevam2, 5e10minutos, respectivamente.Sehouver duas pessoas nacanoa, otempodatravessiaseraamediados tempos queseriam gastos individualmente. Apos duas travessias seguidas a pessoa ca cansada e levaodobrodotempoparaatravessarorio. Como emaisconvenienterealizaratravessiademodoqueosquatroestejamdooutroladodorionomenortempopossvel?Asseguintesalternativaspodemserconsideradas:1. IrvoceeFelipe,vocevoltapegaJoao,vocevoltaepegaKelly.2. IrvoceeFelipe,FelipevoltapegaJoao,vocevoltaepegaKelly.3. IrvoceeFelipe,vocevoltavaiJo aoeKelly,Felipevoltaepegavoce.Calculandoostemposgastosemcadaumadasalternativas,temos:T1= 1, 5 + 1 + 3, 5 + 2 + 6 = 14minT2= 1, 5 + 2 + 4, 5 + 1 + 5, 5 = 14, 5minT3= 1, 5 + 1 + 7, 5 + 2 + 1, 5 = 13, 5 = 13, 5minDentreas tres alternativas, amelhoreaalternativa3, ondeotempototal paraatravessiaserade13,5minutos. Vocepodeidenticaralternativasdistintascujotemposejaiguala13,5minutos?Existeoutraalternativamelhor?Variaveisdedecisao: Alternativas1,2e310 CAPITULO1. CONHECENDOAPESQUISAOPERACIONALObjetivo: MinimizarotempodetravessiaRestricoes: Tempoindividualparatravessia,Duaspessoasporveznacanoa,Acanoan aoatravessaoriosozinha,Penalidadeparaatravessarmaisqueduasvezesseguidas.Exemplo1.3. Decisaocomriscoouincerteza2A tabela seguinte apresenta os retornos (ganhos ou perdas medias) para um valor xode insvetimento associados às decis oes de investir em conta poupanca, em d olar ou fundosdeinvestimentos.DecisaoA1DecisaoA2DecisaoA3Estadospossveis Probabilidades Investirem Investirem Investiremdaeconomia poupanca dolar fundosS1:Recessao 0,40 $300 $400 -$100S2:Estabilidade 0,40 $300 $300 $200S3:Expansao 0,20 $300 $200 $700Qual eomelhorinvestimento?Seadecis aoforbaseadanosvaloresmediosouesperadosdosganhos,teremos:GA1= 0, 40 300 + 0, 4 300 + 0, 2 300 = 300GA2= 0, 40 400 + 0, 4 300 + 0, 2 200 = 320GA3= 0, 40 (100) + 0, 4 200 + 0, 2 700 = 180amelhordecis aoasertomada eaalternativaA2,investiremd olar.Variaveisdedecisao: InvestiremA1,A2ouA3Objetivo: MaximizaroretornoRestricoes: Estadospossveisdaeconomia,probabilidadeseretornos.2BaseadoemShimizu,20061.2. PRIMEIROSEXEMPLOSEAPLICACOES 11Exemplo1.4. OcasodaCasadasEsrrasA Casa das Esrras produz e comercializa esrras de carne a partir de dois ingredientesb asicos: massaerecheio. Aempresanecessitaestabelecerummodeloparasimulac aodelucros que lhe permita a formacao do melhor preco de venda a ser praticado. Considera-sequeoprecounit ariodaesrraeoprecomediopraticadopelaconcorrencias aoos unicosfatoresrelevantesnadetermina caodademanda. Atualmenteaempresapraticaomesmoprecomediodomercadolocal ecomercializa70.000unidadesdeesrrasmensalmente.Umestudoencomendadopelaempresaconstatouque, acada1%amenoscobradopelaunidadedeesrraemrela caoaopre comediopraticadopelaconcorrenciaimplicaemumaumentonasvendasde5.000unidadesmensais.Dadosrelevantesparaoestudos aofornecidosnatabelaseguinte:emR$Precomediopraticadopelaconcorrencia(porunidade) 1,00Custounitariodamassa 0,10Custounitariodorecheio 0,30Custodoprocessodefabricacao(porunidade) 0,40Custoxo 8.000,00Variaveisdedecisao: Precounit ariodaesrraObjetivo: MaximizarolucroRestricoes: DemandademercadoPara este problema, e preciso desenvolver um modelo que permita a simulacao do lucrooperacional mensal apartirdademandadedoscustosparaestabeleceroprecopaserpraticado.Olucro(L) eobtidopeladiferencaentreareceita(R)eocustototal(CT),L = R CT.12 CAPITULO1. CONHECENDOAPESQUISAOPERACIONALAreceitapodesercalculadapeloprodutoentreoprecopraticadoporunidadeeaquantidadevendida, nestecasoaquantidadedemandada, queporsuavezdependedoprecopraticado. Assim,R(p) = p d(p).O custo total e a soma do custo xo com o custo variavel, que depende da quantidadeaserproduzida,nestecasoademanda.CT= C + C(d)Paraconstruirummodeloparaformacaodepre co, eprimeironecess ariocalcularafunc aodemanda,isto e,encontraraleiquedeterminaaquantidadedeesrrascomercia-lizadasmensalmenteemfun caodoprecopraticado.Deacordocomosdados, oprecomediopraticadoedeR$1,00eparaestevaloraquantidade demandada e 70.000 unidades. Assim a func ao d(p) a ser determinada satisfaz:d(1) = 70000.Levando-seemcontaqueacadadescontode1%noprecocorrespondeumademandaextrade5.000unidades,temos:d(0, 99) = 75000.Admitindoqueafunc aodemandasejaumafunc aoamdotipo:d(p) = ap + bondeocoecienteangularapodeserdeterminadopor:a =dp=70000 750001 0, 99= 500000Paraencontrarocoecientelinearbedeterminard,bastasubstituird(1) = 70000na1.2. PRIMEIROSEXEMPLOSEAPLICACOES 13express aod(p) = 500000p + b,destaforma70000 = d(1) = 500000(1) + bLogo,b = 570000.Portanto,afunc aodemandanascondic oesdoproblema e:d(p) = 500000p + 570000Paraestecasoomodeloser aconstrudoemplanilhaeletronicaalcancandoassimfa-cilidadedeinterac aocomousuarioepossibilitandor apidasalterac oes. AdmitindoqueoprecopraticadosejaR$1,00aunidadedeesrras,epossvelcalcularaquantidadeven-dida, a receita e os custos mensais e consequente prever o lucro operacional. O modelo emplanilhaeletr onicaeapresentadonatabelaabaixo,ondeasformulasparaosrespectivosc alculosest aoexplicitadasnacolunaC.Na tabela a seguir s ao apresentados os resultados do Lucro Operacional para diversosvaloressimuladosparaoprecoaserpraticado, ondelucronegativoerepresentadoporvaloresentreparenteses.14 CAPITULO1. CONHECENDOAPESQUISAOPERACIONALUmarapidainspec aogaranteque:Precoacimade1,00retornaemlucromenor;Lucrocrescenteparavaloresentre1,00e0,95;Lucrodecrescenteparavaloresentre0,95e0,90.Destaprimeiraan alise, conclui-sequeomelhor pre coestaentre1,00e0,95. Paradecidir qual pre co retorna o maior lucro, e preciso simular todos os valores neste intervalo.Observando a segunda parte da tabela, conclumos que o melhor preco a ser praticado eR$0,97resultandonumlucrodeR$6.450,00quee7,5%maiordoqueolucromensalatualdaempresa.Exemplo1.5. GestaodoestoqueUm posto de combustveis tem uma demanda de gasolina e alcool ao longo dos ultimostresanos,conformeatabeladadaemmilh oesdelitros:1.2. PRIMEIROSEXEMPLOSEAPLICACOES 15AnoAlcool Gasolina2007 2,00 5,002008 2,05 5,802009 3,00 6,20Seus custos estimados de colocac ao de um pedido s ao cerca de R$ 325,00 e os custos demanuten caodosestoquess aode23%docustodeaquisi cao,porano. AempresaadquireoscombustveisaR$30,00ogal aode50litrosde alcooleR$78,00ogalaodegasolina.Atualmenteosuprimentodecombustvelefeitoemquantidadesconstantesaintervalosregularesquinzenalmente,qualaquantidadeidealdecadacombustvelqueopostodevepedirporvez?Oobjetivodoproblemaedeterminar olotedecompraquedeveser encomendadopor vez, demodoaminimizar ocustototal deoperac aodoestoquedosdoistiposdecombustveis.Variaveisdedecisao: QuantidadedealcoolaserencomentadaporvezQuantidadedegasolinaaserencomendadaporvezObjetivo: MinimizarocustodeoperacaodeestoqueRestricoes: CustodopedidoCustodeManutencaodoestoqueO custo total e a soma dos custos de manutencao de estoques e de emiss ao e coloca caode pedidos, considerando que a demanda e os custos sao relativamente est aveis durante oano.minimizar CustoTotal (CT) = custodemanutencaodoalcool (CMA)++ custodemanutencaodagasolina(CMG)++ custodopedido(CP)Ocustodemanutencaoeoprodutodonvel medioemestoquepelocustounit ariode manutencao, onde o nvel medioe a metade da quantidade encomendada (dados16 CAPITULO1. CONHECENDOAPESQUISAOPERACIONALempricos). Ocustodopedidoe oprodutodon umerode pedidos anuais pelocustounit ariodecolocac aodopedido.Devemos identicar os elementos conhecidos e desconhecidos do problema que fornecer aoosdadoseasvari aveisdedecis ao.n: totaldepedidosanuaisqA: quantidadedealcool(emmilh oesdelitros)encomendadosporvezqG: quantidadedegasolina(emmilh oesdelitros)encomendadosporvezaA: quantidadedealcool(emmilh oesdelitros)comercializadaanualmenteaG: quantidadedegasolina(emmilh oesdelitros)comercializadaanualmenteApartirdosdadosfornecidos, podemoscalcularamediadevendasdaempresados ultimostresanos:aA=2 + 2, 05 + 33= 2, 35eaG=5 + 5, 8 + 6, 23= 5, 67EpossvelobterqAeqGapartirdovalorden.qA=aAneqG=aGnPortanto, podemos admitir que a unica vari avel independente do problema e o n umerodepedidosanuaisn.Sabe-sequeocustodemanutenc aodosestoquesede23%docustodeaquisic aodecadacombustvel. Apartirdestainforma cao epossvelcalcularCMA,considerandoqueaunidadequeestamosutilizandoeummilh aodelitrosdecombustvel queequivalea20.000galoesde50litros,comocadagalaode alcoolcustaR$30,00,ocustodaunidade1.2. PRIMEIROSEXEMPLOSEAPLICACOES 17dealcool eR$600.000,00. Calculandoaporcentagemparamanutenc aodos estoques,temosqueocustounitarioparamanutenc aodo alcool e138.000eportanto,CMA = 138.000qA2= 69.000qADeformaan alogacalculamosqueocustodaunidadedegasolinaeR$1.560.000,00e obtemos 358.800comoocustounitarioparamanutenc aodoestoque de gasolinaeconsequentemente:CMG = 358.800qG2= 179.400qGEscrevendoocustototalemfun caodasvari aveiseconstantesassimdenadasecal-culadas:CT = 69.000qA + 179.400qG + 325n= 69.0002, 35n+ 179.4005, 67n+ 325n= 162.1501n+ 1.017.1981n+ 325nPortanto,CT(n) = 1.179.3481n+ 325nComo o objetivo e minimizar uma func ao em uma vari avel real, devemos encontrar ospontoscrticosdafunc aoutilizandoaprimeiraderivada.ddnCT(n) = 1.179.3481n2+ 325 = 0Aequac aodiferencial acimaesatisfeitaparan =60, 24oun = 60, 24. Entretantonocontextodoproblemapropostondeveserumn umerointeiropositivo, sendoassimtomamos, porarredondamento, n=60. Eotestedasegundaderivadanosgarantequeeste eumpontodemnimo.d2dn2CT(n) = 2.358.6961n3> 0, n > 0Assim, deve-seencomendar39.166,67litrosde alcool e94.500litrosdegasolinapor18 CAPITULO1. CONHECENDOAPESQUISAOPERACIONALvez totalizando 60 pedidos anuais com custo total de R$ 39.155,80 contra os custos atuaisdeR$53.809,54referentesa26pedidosanuais, oquerepresentaumaeconomiaparaaempresadeaproximadamente27,21%.Exemplo1.6. Problemadadietaotima:3Em uma dieta, cada 100 g de alimento A e B fornecem os seguintes elementos nutritivos(emunidades):Elementonutritivo A BCarboidratos 1 3Vitaminas 3 4Protenas 3 1As quantidade mnimas necessarias de elementos nutritivos, por dia, s ao 8 unidades decarboidratos, 19 unidades de vitaminas e 7 unidades de protenas. Cada 100 g do alimentoA contem 300 kcal (kilocalorias) e custa $ 50 u.m. enquanto cada 100 g do alimento B tem500kclecusta$25u.m.ComoepossvelminimizarocustoeaquantidadedecaloriasdadietaformadapelosalimentoAeB?Variaveisdedecisao: x1:quantidadedeA(em100g)x2:quantidadedeB(em100g)Objetivo: minz1= 50x1 + 25x2(minimizarocusto)minz2= 300x1 + 500x2(minimizarquantidadedecalorias)Restricoes:___x1 + 3x2 8 (quantidadedecarboidratos)3x1 + 4x2 19 (quantidadedevitaminas)3x1 + x2 7 (quantidadedeprotenas)x1, x2 0 (condic aoden ao-negatividade)3AdaptadodoexemploinicialmenteformuladoporGeorgeDantzig1.2. PRIMEIROSEXEMPLOSEAPLICACOES 19Representandoasinequac oesefun coesdoproblemanoplanocartesianoobtemososeguintegr aco.Por simplesinspe caovisual epossvel identicar oponto(1,4) doplanocartesianocomosendoopontoondeafunc aocustoeminimizada, obtendoumcustomnimode$ 150 u.m. com consumo total de 2.300 kcal, enquanto o ponto (5,1) minimiza a quantidadedecalorias,2.000kcal,comcustode$275u.m.Exemplo1.7. Odilemadoprisioneiro4Doisprisioneirosacusadosdeteremcometidoumcrimeemconjuntoestaopresosemcelasseparadasesaointerrogadosseparadamenteporumdelegadodepolcia. Seosdoisprisioneirosconfessaremocrime, ambosseraocondenados` apenade10anosdepris ao.Senenhumdosdoisprisioneirosconfessar,odelegado,usandoprovascircunstanciais,s opodecondena-los` apenade2anos. Seapenasumdosdoisprisioneirosconfessar, esteprisioneiroreceber a, comopremio, umpenalevede1anodepris ao, eooutro, quen aoconfessou, ser acondenadoàpenamaior, de12anosdeprisao. Qual decis aodevesertomada?4Proposto originalmente por M.Flood e M.Dresher em 1950, posteriormente adaptado por A.W.Tucker.20 CAPITULO1. CONHECENDOAPESQUISAOPERACIONALAtabelaseguinteresumeaspenalidadesatribuidasacadaprisioneiroPrisioneiroBC NCC (10, 10) (1,12)PrisioneiroA NC (12,1) (2,2)onde aprimeiraentradadopar ordenadocorresponde ` adecisaodoprisioneiroAe asegundaentradaàdecis aodoprisioneiroB.Examinemos o problema do ponto de vista de um dos prisioneiros, objetivando deter-minaramelhorestrategiaassumindoqueoc umplicetambem eracional.Se seu companheiro confessar, o prisioneiro A, por exemplo, ser a condenado a 10 anosdepris aoseconfessarea12anossepermanecercalado. Nestecasoamelhordecis aoeconfessar. Agora, seBpermanecercalado, Aseracondenadoa1anoseconfessarea2anossen aoconfessar. Omelhorestrategianestasituac ao econfessar.Aparentemente a melhor estrategia e portanto confessar! Entretanto se ambos seguiremo mesmo raciocnio, os dois prisioneiros serao condenados a 10 anos de pris ao. Se optarempor cooperar e permanecerem calados, receber ao pena menor de 2 anos. E a est a o dilema,buscandoindividualmenteamelhorestrategiaparasiacabamambosporserempunidosrigorosamente. Ofatoequepodehaverdoisvencedoresnestejogo, seoproblemaforanalisadoemconjuntobuscandoamelhorsolucaoparaogrupoeconsequentementeacooperac aoresultar anamelhorsoluc aoparaambos.Ateoriadosjogossugereque,emboraacooperac aonaosejanadaf acildeseralcancada,epossveldemonstrarquemuitasvezesela eprefervelaoconito.DavidP.Barash1.3. LISTADEPROBLEMAS 211.3 ListadeProblemasResolvacadaumdosseguintesproblemas,identicandoasvariaveisdedecis ao,objetivoerestric oes:1. Duranteaconstru caodeumacasa, seis vigas de8mcadadevemser recortadasparaatingirocomprimentocorretode7, 5m. Asoperac oesparacortarumavigaobedecemaseguintesequencia:Operacao Tempo[s]1. Colocarvigasnoscavaletes 152. Marcarocomprimento 103. Cortaraviga 204. Armazenaravigacortada 20H a tres pessoas envolvidas: dois carregadores devem trabalhar simultaneamente nasoperac oes1,2e4, eumcortadorseencarregaradaopera cao3. Hadoisparesdecavaletesnosquaisasvigasarecortars aocolocadasnaprepara caoparaocorte,ecada par pode suportar ate tres vigas lado a lado. Sugira um boa programacao pararecortarasseisvigas.2. Comodevesermontadoumretanguloapartirdeumacordadecomprimento10mparaquea areasejam axima.3. Emumjogodebeisebol, Jimeolan cadoreJoeorebatedor. SuponhaqueJimpossaatirarumabolacomvelocidadeouumbolacurvademaneiraaleatoria. SeJoeprevir corretamentequeser aumabolacurva, poder amanter umamediaderebatesde0,5. Aocontrario, seJimatirarumabolacurvaeJoeseprepararparauma bola com velocidade, sua media de rebates car a em 0,2. Por outro lado, se Joeprevircorretamentequeseraumabolacomvelocidade, conseguiraumamediaderebatesde0,3;casocontr ario,suamediaseradeapenas0,1. Denaasalternativasparaessasitua cao.22 CAPITULO1. CONHECENDOAPESQUISAOPERACIONAL4. APasteisePasteloesLtda. fabricapasteisdefornoapartirdedoisingredientesb asicos: massa semipronta e recheio congelado. A empresa pretende estabelecer ummodelo para previsao de seu lucro operacional mensal que lhe permita estabelecer oprecodospasteisquedeveserpraticadopelaempresa. Desconsiderandoahip otesede altera cao do tamanho e da qualidade dos pasteis, a diretoria considera que o pre counit ario do pastel e o preco medio praticado pela concorrencia s ao os unicos fatoresrelevantes nadeterminacaodademanda, aqual secomportasegundoaseguinteequac ao:Z= 15000 5000x + 5000yondexeoprecodopastel daPasteisePasteloes eyeoprecomediodospasteisvendidospelosconcorrentes.Dadosadicionaiss aofornecidospelatabela:emR$Precomediopraticadopelaconcorrencia(porpastel) 7,00Custounitariodamassa 1,30Custounitariodorecheio 2,00Custodoprocessodefabricac ao(porpastel) 0,40Custoxo 6.000,005. Refa caoexemplo1.5, considerandoque opostoestainteressadoemresolver oproblemadoestoque separadamente paracadacombustvel, istoe, determine on umerodepedidosanuaisparao alcoolqueminimizeocustototale,aposcalculeon umerodepedidosaserrealizadosparaagasolina. Qual arelac aoentreestesdois valores encontrados e o n umero otimo de pedidos determinado para o problemaoriginal?6. Umatacadistademateriais deconstru caoobtemseucimentodeumfornecedor unico. Ademandadecimentoerazoavelmenteconstanteaolongodoano. No1.3. LISTADEPROBLEMAS 23 ultimo ano, a empresa vendeu 2000 toneladas de cimento. Seus custos estimados decolocac aodeumpedidosaocercade$25,eoscustosdemanutencaodosestoquess aode20%docustodeaquisicao, porano. Aempresaadquirecimentoa$60portonelada. Quantocimentoaempresadeveriapedirporvez?7. Uma empresa comercializa queijos deseja estudar sua poltica de estocagem de modoaotimizarsuaoperac ao,reduzindooscustos. Ap osumcuidadosolevantamento,ogerenteestimouqueocustoanualdemanterumitememestoque ede$50,00. Talcusto foi obtido considerando-se o custo do capital investido, o custo das instalac oes,refrigerac ao, limpezaeseguros, duranteumano, edividindo-sepelon umeroesti-mado de itens que irao compor o estoque no mesmo perodo. Consideremos que esten umerosejaconstanteeigual a1.000porano. Osuprimentodoprodutoefeitoemquantidadesconstanteseintervalosregulares, acoloca caodecadaencomendatemumcustoxode$1.000,00, incluindodocumentac ao, despesas depedidoetransporte. Qual aquantidadedemercadoriaquedeveserencomendadadecadavez?CAPITULO 2PROGRAMAC AO MATEMATICADesde a antiguidade v arios cientistas tais como Euclides, Newton, Lagrange, Leontief, VonNeumann,dentreoutros,temdedicadoseusestudosàpesquisadootimo. Aareaquees-tuda Problemas de Otimizacao e denominada Programacao Matematicaque engloba umaamplaclassedeproblemas. Otermoprogramac aosignicaqueexisteumplanejamentodasatividades.AProgramac aoMatematicavemseconstituindocomoumadasmaispoderosasfer-ramentasmatematicasparadiversossegmentos, propiciandomelhoriasmensur aveisnosprocessos e automatizac ao dos mesmos, analises operacionais, de projetos, reengenharia eidentica cao de gargalos. Seus benefcios sao exatamente aqueles procurados por qualquerempresa: diminuic ao dos custos e aumento dos lucros. Em algumas organiza coes ela est a,inclusive,embutidaemsuasrotinasinformatizadasdeplanejamentodiariodosprocessosdeoperacao.Segundo pesquisas efetuadas em empresas que tem utilizado esta ferramenta, a reduc aodecustosseenquadrafacilmentenafaixaentre1%e5%, existindocasosquechegamatea15%. AmagnitudedobenefciodaProgramacaoMatematicanaperformancedasempresas podeser avaliadanos casos listados aseguir referentes adiferentes areas deatividadeeconomica:24251. A companhia de oleos TEXACO utilizou a Programa cao Linear para obter condi coesideais de processamento do grude bruto para produzir quantidades proporcionais àsnecessidades do mercado aos diversos derivados do grude: gasolina, oleos com diver-sasgraduac oesouasfalto. Aaplica caodametodologiaemsetedassuasrenariaspermitiuobterumamelhoriade30%noslucros,atingindo30milh oesded olares.2. Arededefast food McDonaldsnosEstadosUnidosaplicouaProgramac aoMa-tem aticaparaotimiza caodoshorariosdetrabalhoemquatrodeseusestabeleci-mentos, pertencentesaAl Boxley. Estetipodeatividaderecorrefreq uentemente` amao-de-obraempart-time, tendocomoresultadoumagrandealeatoriedadenadisponibilidade dos recursos humanos. APrograma caoLinear proporcionouummelhoraproveitamentodosrecursosdisponveis, comaexigenciadecoberturadu-rantetodoperododefuncionamentodasunidades, obtendo-seumaprograma caode hor arios mais conveniente de acordo com as preferencias de hor ario de cada fun-cion ario.3. O exercito norte-americano desenvolveu um sistema designado de MLRPSManpowerLong-RangePlanningSystemquepermiteestimarasnecessidadesderecursos humanos num horizonte que vai dos 7 aos 20 anos. O modelo de otimizac aoanalisaaformacomque as forcas armadas podemobter nofuturoaestruturamilitardesejada. Paratal, aspectoscomoasadmissoes, abandonos, promoc oesetransferenciass aotidosemcontanomodeloquedeterminaon umeroderecursosnecess ario.Uma das caractersticas principais de Programa cao Matem aticae sua extensibili-dade, podeseraplicadaadiverson umerodeorganizacoesesistemas: ind ustrias, gov-ernos, agencias, hospitais, economia, sociologia, biologia, dentre outros. Algumas de suasaplicac oessetornaramcl assicas:Problemadetransporte;Administrac aodaproduc ao;26 CAPITULO2. PROGRAMAC AOMATEMATICAAn alisedeinvestimentos;Problemasdedistribuicaoderecursos,pessoaletarefas;Problemasdecortemateriais,etc.Em um Problema de Otimizacao pretende-se maximizar ou minimizar uma quantidadeespecca, designadaobjetivo, quedependedeumn umeronitodevariaveisindepen-dentesouinterrelacionadasporlimitacoesourestri coestecnicasdosistema. Resolveroproblema signica aplicar uma sequencia de operac oes matem aticas para distribuir recur-sos limitados sobre operac oes que exigem a sua utiliza cao simultanea, de forma otima paraoobjetivoespecco. UmProblemadeProgramacaoMatematica(PPM)eumproblemadeotimizac aosatisfazendodoisfatosprincipais:Aexistenciadeumobjetivoquepodeserexplicitadoemtermosdasvariaveisdedecis aodoproblema;A existencia de restric oes à aplicac ao dos recursos, tanto com relac ao ` as quantidadesdisponveisquantocomrelac aoàformadeemprego.2.1 ModelosdeOtimizacaoEspecicamente, oobjetivoprimordial deumPPMeencontraramelhorsolu caoparaproblemas que podem ser representados por modelos matem aticos onde o objetivo pode serexpressoemfun caodasvariaveiseasrestri coesexpressascomoequac oesouinequa coes.Osmodelosmatem aticosutilizadosemPPMseguem, emgeral, umaestruturapadr aocomposta por uma funcao-objetivo, um criterio de otimiza cao e um conjunto de restri coes.A forma geral de um modelo para um PPMcom n variaveis e m restric oes e apresentadaaseguir:2.1. MODELOSDEOTIMIZAC AO 27otimizar: z= f(x1, x2, . . . , xn)sujeitoa:___g1(x1, x2, . . . , xn)g2(x1, x2, . . . , xn)...gm(x1, x2, . . . , xn)___=___b1b2...bm(2.1)ondeas vari aveis doproblemaest aorepresentadas por xjcomj =1, . . . , nebi, parai = 1, . . . , m,representaaquantidadedisponveldedeterminadorecurso. Utilizaremosanotac aovetorialpararepresentarasvari aveisdedecisao,assimdene-se:x =_x1x2. . . xn_(2.2)f(x) edenominadafunc ao-objetivoegi(x)saoasfuncoesrestric oesdoproblema.A soluc ao do modelo pode ser obtida por tecnicas matematicas e algoritmos especcos,eaconstrucaodomodelodevelevaremconsideracaoadisponibilidadedeumatecnicaparaoc alculodasoluc ao. Paramelhorestudarastecnicasdisponveispararesolu caodePPM, a area pode ser subdividida em duas subareas determinadas pelas propriedades dasfunc oesenvolvidasnoproblema:Programacao Linear: Todas as func oes do modelo s ao lineares em relac ao às variaveis.ProgramacaoNao-Linear: Pelomenosumadasfunc oesenvolvidasnao elinear.Asoluc aodeumPPMinicia-sepelamodelagem, estaetapaetaoimportantetantoquanto o desenvolvimento de metodos de solu cao, visto que a qualidade de todo o processoeconsequenciadiretadograuderepresentatividadedomodelo.Oexemplo1.6apresentadonocaptuloanteriorfoimodeladoseguindocertasistema-tizac aoeagorairemosnosconcentrarnaestruturac aodemodelosespeccosparaPPM.Atarefadeconstruc aodomodeloapartirdoenunciadodoproblemadeveseguirumametodologiabasica,apresentadaaseguir:28 CAPITULO2. PROGRAMAC AOMATEMATICAIdenticacaodasvariaveisdedecisaoTodas as grandezas envolvidas devem ser determinadas, explicitando as decis oes quedevemsertomadas,nomeando-asxj,j= 1, . . . , n.DenicaodocriteriodeotimizacaoCriterios de avalia cao capazes de indicar que uma decis aoe prefervel a outrasdevemserdenidos. Deve-seidenticarasmetasquesepretendemalcancarcomaresoluc aodoproblema, expressando-ascomofuncoesmatem aticas. Emgeral, oobjetivoaparecenaformademaximizacaoouminimizac aodequantidades.FormulacaodasrestricoesTodos os requisitos, condicionalismos e limita coes doproblema, tantoexplcitascomoimplcitas, devemseridenticados. Cadalimitacaoimpostanadescric aodoproblema deve ser expressa como uma equac ao ou inequac ao em func ao das vari aveisdedecisao.2.2 ProblemasdeProgramacaoMatematicaPara melhor ilustrar os conceitos discutidos, ser ao apresentadas algumas situac oes que po-dem ser descritas com o auxlio de um modelo de Programac ao Matematica. A seguir s aopropostosalgunsPPMondeespera-seexemplicaredetalharoprocessodemodelagem,entretantoseraaexperienciaindividualrespons avelpelodesenvolvimentodehabilidadespara a criacao de bons modelos matem aticos, ecientes e realistas. Salientamos que, aindan ao h a a preocupa cao com a solucao de problemas que poder a ser obtida posteriormente.Exemplo2.1. ProducaodebalasConsiderequeumadoceiradesejaabrirumpequenoneg ocioparaproduc aodebalas.Aprincpioelaest aconsiderandoproduzir dois tipos debalas: carameloenozes. Naproduc ao sao utilizados tres ingredientes: leite, ac ucar e nozes. A doceira tem em estoque10kgdea c ucar, 1kgdenozese6l deleite. Acomposic aodabaladecarameloe: 40%deleitee60%deac ucar, eparaasbalasdenozesosingredientesdevemsermisturados2.2. PROBLEMASDEPROGRAMAC AOMATEMATICA 29naseguinteproporcao: 40%deleite,50%deac ucare10%denozes. CadaquilodebaladecaramelopodeservendidoaR$10,00enquantoumquilodebaladenozespodeservendidoporR$13,00. Qualdeveseraproduc aodecadatipodebalaparaobteramaiorreceita?De acordo com a sistem atica estabelecida anteriormente para a construc ao de modelosdePPM,vamoselaboraromodeloparaesteproblemaemetapas.Etapa1: Identica caodasvari aveisdedecis aoOobjetivodoproblemaedeterminar as quantidades decadatipodebalaaserproduzidadeformaaresultar namaximareceita. Portanto, esteproblematemduasvari aveisdedecis ao:x1: aquantidade(emkg)aserproduzidadebaladecaramenlox2: aquantidade(emkg)aserproduzidadebaladenozesEtapa2: Formulac aodafunc aoobjetivoOcriterioparaaselec aodomelhorcombinac aopossvel eareceitam axima. Cadatipodebalageraumareceitaqueeoprodutodoprecodevendapelaquantidadevendida e a fun cao receita e obtida pela soma das contribuic oes de cada tipo de balaproduzido. Matematicamente,temos:maxz= f(x1, x2) = 10x1 + 13x2Etapa3: Formulac aodasrestric oesOproblemaimp oerestric oesnaquantidadedemateriaprimaparafabricac aodosdoces:0, 6x1 + 0, 5x2 10 (quantidadeutilizadadeac ucar)0, 4x1 + 0, 4x2 6 (quantidadeutilizadadeleite)0, 1x2 1 (quantidadeutilizadadenozes)30 CAPITULO2. PROGRAMAC AOMATEMATICAAinda h a uma condicao implcita ao problema que devemos considerar, quais os val-ores que as vari aveis de decis ao podem assumir? Nesta situa cao estamosinteressados em valores n ao-negativos que satisfacam as limitac oes de materia-prima.Devemostambemconsiderarotipodevariavel, nesteproblemapodemosadmitirque a vari avel xjpode receber qualquer valor real. Assim temos denido o domniodafunc aoobjetivoeocriteriodenao-negatividade: xj 0, xj ROmodelocompletoparaoproblemadaproduc aodebalasrepresentadonoformato(2.1) e:max z= 10x1 + 13x2s.a. :___0, 6x1 + 0, 5x2 10 (quantidadeutilizadadeac ucar)0, 4x1 + 0, 4x2 6 (quantidadeutilizadadeleite)0, 1x2 1 (quantidadeutilizadadenozes)x1, x2 0 (condic aoden ao-negatividade)Observequeacondi caoxj Rfoi omitidadomodelonal, istodeve-seaofatoqueemmodelos deProgramac aoMatem atica, por conven cao, estacondicaoeconsideradaimplcita ao modelo. A informacao sobre o domnio da func ao constar a no modelo caso odomniosejaoutroconjuntonumerico.Exemplo2.2. LocalizacaodaantenadetransmissaoOGerentedeProjetosdaLCLTelecomdevelocalizarumaantenaderetransmissaoparaatenderatreslocalidadesnaBaixadaMaranhense: Viana, PenalvaeCajari. Porproblemastecnicosaantenan aopodeestaramaisde10kmdocentrodecadacidade.Considerandoaslocalizac oesrelativasindicadasnomapa,determineomelhorposiciona-mentoparaatorre.Sejam(xi, yi)ascoordenadasnoplanocartesianodalocalizacaodascidades.Etapa1: Identica caodasvari aveisdedecis ao2.2. PROBLEMASDEPROGRAMAC AOMATEMATICA 31O objetivodo problema e determinara localizac ao(x, y) daantena que minimizeasoma das dist ancias ate as tres localidades, as variaveis de decisao j a est ao denidas:x: abscissanoplanocartesianodalocalizac aodatorredetransmissaoy: ordenadanoplanocartesianodalocaliza caodatorredetransmissaoEtapa2: Formulac aodafunc aoobjetivoAdmitamos que alocalidade 1sejaViana, alocalidade 2sejaCajari e alocal-idade 3 seja Penalva, as coordenadas cartesianas das localidades ser ao (xi, yi),comi =1, 2, 3. Fixadoumalocalidade i, adist anciaentre estae aantenadetransmiss aopodesercalculadapor_(xix)2+ (yiy)2.A func ao dist ancia e obtida pela soma tres distancias entre a antena e as localidades.min z=3

i=1_(xix)2+ (yiy)2Etapa3: Formulac aodasrestric oesAsrestricoestecnicass aoas unicaslimitac oesdoproblema:_(xix)2+ (yiy)2 10, i {1, 2, 3}Ascondic oespr aticasdoprobleman aorequerrestric oesdenao-negatividadeeasvari aveisdedecisaopodemassumirvaloresreais.32 CAPITULO2. PROGRAMAC AOMATEMATICAOmodelocompleto eapresentadoaseguir:min z=3

i=1_(xix)2+ (yiy)2s.a. :____(x1x)2+ (y1y)2 10 (distanciaaViana)_(x2x)2+ (y2y)2 10 (distanciaaCajari)_(x3x)2+ (y3y)2 10 (distanciaaPenalva)Exemplo2.3. OproblemadadietaUmindivduodeveseguirumadietabalanceadaporrecomendac aomedicabaseadano consumo de diversos tipos de alimentos de forma a suprir suas necessidades di arias deenergia, que pode variar de 3100 a 3300 kcal, e nutrientes essenciais para a boa sa ude. Umaporc aodecadaalimentoforneceumaporcentagemdaQuantidadeDiariaRecomentada(QDR)dediferentesnutrientesdeacordocomatabela. Precoequantidadecal oricadecadaporc aotambems aoinformadosnatabela. Deseja-sesaberqualacombinac aoidealdealimentoscomcustomnimoequesatisfacaàsnecessidadesnutricionais.Alimentos1 2 3 4 5 6 7unidade QDR carne arroz feij ao p ao ovos laranja leiteValorenergetico kcal 225 170 76 300 146 45 160Protena g 37 35 3 4,8 8 13 0,6 8VitaminaA mg 900 7 - 2 - 87 21 99VitaminaC mg 300 - - 3 - 12 59 2Ferro mg 10 2,9 1,3 1,6 1 1,3 0,2 0,9C alcio mg 500 5 12 27 16 49 45 285Custo(R$) 0,50 0,14 0,19 0,15 0,20 0,10 0,302.2. PROBLEMASDEPROGRAMAC AOMATEMATICA 33Etapa1: Identica caodasvari aveisdedecis aoO objetivo do problema e determinar uma composicao ideal de alimentos com customnimo, paracalcularocustodedestascombina coesenecess ariosaberon umerode por coes di arias de cada alimento,que e um elemento desconhecido do problema.Portantoasquantidadesdepor coesdiariasdecadaalimentodeniraoasvari aveisdedecisaodesteproblema.Sejamxj: n umerodeporc oesconsumidasdoalimentoj,j= 1, . . . , 7Etapa2: Formulac aodafunc aoobjetivoOcriterioparaaselecaodomelhorcombina caopossvel eocustomnimo. Cadatipo de alimento gera um custo que e o produto do pre co da porc ao pelo n umero deporc oesconsumidaseafunc aocusto eobtidapelasomadascontribui coesdecadaalimentoconsumido. Matematicamente,temos:z= f(x1, . . . , x7) = 0, 5x1 + 0, 14x2 + 0, 19x3 + 0, 15x4 + 0, 2x5 + 0, 1x6 + 0, 3x7Utilizandoanota caovetorialparasimplicar: z= f(x) =7

j=1cjxjondecjs aooscomponentesdovetorc =_0, 50 0, 14 0, 19 0, 15 0, 20 0, 10 0, 30_Etapa3: Formulac aodasrestric oesO menor custo e obviamente zero, entretanto esta soluc ao n ao atende a recomenda caomedica. Oproblemaimp oealgumascondic oesexplicitasquedevemsersatisfeitas:(a) Adietadevesupriranecessidadediariadeenergia225x1 + 170x2 + 76x3 + 300x4 + 146x5 + 45x6 + 160x7 3100(mnimokcal)225x1 + 170x2 + 76x3 + 300x4 + 146x5 + 45x6 + 160x7 3300(maximokcal)(b) Adietadevefornecerasquantidadesmnimasrecomendadasdenutrientes34 CAPITULO2. PROGRAMAC AOMATEMATICA35x1 + 3x2 + 4, 8x3 + 8x4 + 13x5 + 0, 6x6 + 8x7 37 (Protena)7x1 + 2x3 + 87x5 + 21x6 + 99x7 900 (VitaminaA)3x3 + 12x5 + 59x6 + 2x7 300 (VitaminaC)2, 9x1 + 1, 3x2 + 1, 6x3 + x4 + 1, 3x5 + 0, 2x6 + 0, 9x7 10 (Ferro)5x1 + 12x2 + 27x3 + 16x4 + 49x5 + 45x6 + 285x7 500 (Calcio)(c) Aindahaumacondicaoimplcitaaoproblemaquedevemosconsiderar, quaisosvaloresqueasvari aveisdedecisaopodemassumir? Nestasituac aoesta-mosinteressadosemvaloresn ao-negativosquesatisfacamosnveismnimosdenutrientes. Devemostambemconsiderarotipodevari avel,nesteproblemapodemosadmitirqueavariavel xjpodereceberqualquervalorreal. Assimtemosdenidoodomniodafunc aoobjetivoeocriteriodenao-negatividade:xj 0, xj R.O modelo completo para o problema da dieta representado no formato padrao conforme(2.1) e:min z= 0, 5x1 + 0, 14x2 + 0, 19x3 + 0, 15x4 + 0, 2x5 + 0, 1x6 + 0, 3x7s.a. :___225x1 + 170x2 + 76x3 + 300x4 + 146x5 + 45x6 + 160x7 3100225x1 + 170x2 + 76x3 + 300x4 + 146x5 + 45x6 + 160x7 330035x1 + 3x2 + 4, 8x3 + 8x4 + 13x5 + 0, 6x6 + 8x7 377x1 + 2x3 + 87x5 + 21x6 + 99x7 9003x3 + 12x5 + 59x6 + 2x7 3002, 9x1 + 1, 3x2 + 1, 6x3 + x4 + 1, 3x5 + 0, 2x6 + 0, 9x7 105x1 + 12x2 + 27x3 + 16x4 + 49x5 + 45x6 + 285x7 500xj 02.2. PROBLEMASDEPROGRAMAC AOMATEMATICA 35Exemplo2.4. DistribuicaodaproducaoUmaempresamontadoradeeletronicosproduzradio, toca-CDeaparelhosdeDVDemtresf abricaslocalizadasemDiadema, RibeiraoPretoeCampinas. Asquantidadesdespendidas na produc ao de cada produto, em pecas por hora, em cada uma das fabricass aoasseguintes:Radio Toca-CD DVDDiadema 10 20 20Ribeir ao 20 10 20Campinas 20 20 10Os custos de operac ao por hora das f abricas s ao R$ 10.000,00, R$ 8.000,00 eR$11.000,00paraDiadema,RibeiraoPretoeCampinas,respectivamente.Aempresarecebeuumpedidode300unidadesderadio, 500unidadesdetoca-CDe600unidades deaparelhodeDVD, comodevedistribuir aprodu caoentresuas tresf abricasparacumpriropedidoaomenorcustopossvel?Etapa1: Identica caodasvari aveisdedecis aoOobjetivoedistribuir aproduc aoaomenor custopossvel, sendoassimdeve-sedecidir quanto produzir de cada produto em cada uma das f abricas, o que dene asvari aveisdedecisaodoproblema. Sejam:x1d: n umerode radios aproduzirnafabricadeDiademax2d: n umerode toca-CD aproduzirnaf abricadeDiademax3d: n umerode DVD aproduzirnaf abricadeDiademax1r: n umerode r adios aproduzirnafabricadeRibeiraox2r: n umerode toca-CD aproduzirnafabricadeRibeiraox3r: n umerode DVD aproduzirnafabricadeRibeiraox1c: n umerode radios aproduzirnafabricadeCampinas36 CAPITULO2. PROGRAMAC AOMATEMATICAx2c: n umerode toca-CD aproduzirnaf abricadeCampinasx3c: n umerode DVD aproduzirnaf abricadeCampinasEtapa2: Formulac aodafunc aoobjetivoOobjetivoeprimordial edeterminar quantas horas cadaumadas f abricas devedisporparaopedidocomomenorcustopossvel. Ocusto edadoporz= f(x, y, z) = 10.000x + 8.000y + 11000zondexeon umerototaldehorasquefabricadeDiademafuncionaparaatenderopedido, y e o n umero total de horas da f abrica de Ribeir ao e zcorresponde ao totaldehorasdaf abricadeCampinas.Deacordocomatabelafornecidapodemosdeterminarxemfunc aodasvari aveisdedecis aox1d, x2dex3d, yemfunc aodex1r, x2rex3rezemfunc aodex1c, x2cex3c:x =x1d10+x2d20+x3d20= 0, 10x1d + 0, 05x2d + 0, 05x3dy =x1r20+x2r10+x3r20= 0, 05x1r + 0, 10x2r + 0, 05x3rz =x1c20+x2c20+x3c10= 0, 05x1c + 0, 05x2c + 0, 10x3cEtapa3: Formulac aodasrestric oesAlimita coesexplictasdoproblemas aooatendimentodaquantidadedemandadano pedido, isto e a soma das producoes das tres fabricas de um determinado produton aodeveserinferioràquantidadeencomendada:x1d + x1r + x1c 300 (encomendader adios)x2d + x2r + x2c 500 (encomendadetoca-CD)x3d + x3r + x3c 600 (encomendadeDVD)Ascondic oesimplictasdoproblemas aoanao-negatividadeeodomniodafuncao2.2. PROBLEMASDEPROGRAMAC AOMATEMATICA 37objetivorestritoaoconjuntodosn umerosinteirosZ.Omodelocompleto e:min z= 10.000(x1d + x2d + x3d) + 8.000(x1r + x2r + x3r) + 11.000(x1c + x2c + x3c)s.a. :___x1d + x1r + x1c 300 (encomendader adios)x2d + x2r + x2c 500 (encomendadetoca-CD)x2d + x2r + x2c 600 (encomendadeDVD)xia 0 parai = 1, 2, 3ea = d, r, cxia ZExemplo2.5. OcasodaLojadosqueijos:1ALojadosQueijos produzecomercializadoistiposdequeijos(DeluxeStandard),muito procurados na epoca do Natal. Estes queijos s ao produzidos a partir de uma misturadefrutasdaepocaedeumqueijoespecialmuitocaro. ALojadosQueijospodedisporde20kgdemisturadefrutase60kgdoqueijoespecial utilizado. CadakgdeDeluxconsiste em 0,2 kg da mistura de frutas e 0,8 kg do queijo especial,enquanto que 1 kg deStandard consiste em 0,2 kg da mistura de frutas, 0,3 kg do queijo especial e 0,5 kg de umqueijocomum, disponvel emgrandequantidade. DeacordocomaexperienciadaLojadosQueijos, foi possvel descobrir que a procura de cada um dos dois queijos depende doprecoadotado:d1= 190 25p1d2= 250 50p2ondedrepresentaaprocura(emkg), pdenotaopreco(emu.m./kg), eos ndices1e2designamostiposDeluxeStandard,respectivamente.QuequantidadedecadatipodequeijodeveraaLojados Queijos preparar, eque1BaseadoemBronson&Naadimuthu,2001.38 CAPITULO2. PROGRAMAC AOMATEMATICAprecosdever aoseradotadosparamaximizarareceitaegarantirque, aposaepocadoNatal,nadarestedosdoisqueijosemestoque?Variaveisdedecisao: x1:quantidade(emkg)aproduzirdequeijotipoDeluxx2:quantidade(emkg)aproduzirdequeijotipoStandardObjetivo: maxz= p1x1 + p2x2(maximizarareceita)Restricoes:___0, 2x1 + 0, 2x2 20 (disponibilidadedefrutas)0, 8x1 + 0, 3x2 60 (disponibilidadedequeijoespecial)x1, x2 0 (condic aoden ao-negatividade)O modelo ainda n ao esta completo pois e necessario garantir que toda a produc ao sejavendida,paratantoaproduc aoxin aodeveultrapassarademandadi,isto e,xi di, i = 1, 2Considerandoasequacoesdedemanda,temos:x1 190 25p1e x2 250 50p2Reescrevendoasinequac oes,obtemosasseguintesrestricoesdedemanda:x1 + 25p1 190x2 + 50p2 250Para simplicar o problema,o objetivo tambem deve ser reescrito somente em funcaodasvari aveisdedecisao. Observequeparaquaisquervaloresxosdex1ex2afunc aoz= p1x1 + p2x2aumentaconformeaumentaremosprecosp1ep2,assimparamaximizarz, p1ep2devemassumirvaloresm aximos, istoeassumirvalorestaisqueasinequa coes2.2. PROBLEMASDEPROGRAMAC AOMATEMATICA 39referente ` as restric oes de demanda se tornem equac oes. Desta forma, os pre cos podem serassumidoscomo:p1=190 x125= 7, 6 0, 04x1p2=250 x250=50, 02x2Substituindoosvaloresdosprecosnafunc aoobjetivotemos:z = (7, 6 0, 04x1)x1 + (5 0, 02x2)x2= 7, 6x1 + 5x20, 04x210, 02x22O modelo completo e apresentado a seguir e deve-se notar que as restric oes de demandaforam incorporadas na construc ao da func ao objetivo e n ao ser ao incorporadas às restric oesdoproblema.max z= 7, 6x1 + 5x20, 04x210, 02x22s.a. :___0, 2x1 + 0, 2x2 20 (disponibilidadedefrutas)0, 8x1 + 0, 3x2 60 (disponibilidadedequeijoespecial)x1, x2 0 (condic aoden ao-negatividade)Exemplo2.6. Umproblemadetransporte:Umacompanhiade panicac aopode produzir paode formaemduas f abricas, deacordocomatabela:Capacidadedeproducao CustodeProducaoFabrica (p aesdeforma) (u.m./p aodeforma)A 2500 2,3B 2100 2,5Quatroredesderestaurantespretendemcomprarp aesdeforma, suasnecessidadeseosprecosqueest aodispostosapagars aoosseguintes:40 CAPITULO2. PROGRAMAC AOMATEMATICARedede Necessidademaxima PrecomaximoRestaurantes (p aesdeforma) (u.m./paodeforma)1 1800 3,92 2300 3,73 550 4,04 1750 3,6Ocusto(emu.m.) detransportedeumaunidadedep aodeformadecadapadariaparacadaredederestaurantes edadonatabelaseguinte.RestaurantesPadaria 1 2 3 4A 0,6 0,8 1,1 0,9B 1,2 0,6 0,8 0,5Determineoplano otimodefornecimento depaesdeformaamaximizarolucrototaldaempresadepanicac ao.Variaveisdedecisao: xij:quantidadeasertransportada(emunidades)daorigemi = A, Bparaodestinoj= 1, 2, 3, 4Deacordocomtabeladepre cos,afunc aoreceitaser a:r = 3, 9xi1 + 3, 7xi2 + 4xi3 + 3, 6xi4parai = A, BA seguir e apresentado o modelo para maximiza cao da func ao lucro obtida subtraindo-sedospre cosunit ariososcustosdeprodu caoedetransporte.Objetivo: maxz= xA1 + 0, 2xB1 + 0, 6xA2 + 0, 6xB2 + . . .. . . + 0, 6xA3 + 0, 7xB3 + 0, 4xA4 + 0, 6xB42.3. LISTADEPROBLEMAS 41Restricoes:___

4j=1xAj 2500 (capacidadedeproduc aodaf abricaA)

4j=1xBj 2100 (capacidadedeproduc aodaf abricaB)xA1 + xB1 1800 (necessidadedorestaurante1)xA2 + xB2 2300 (necessidadedorestaurante2)xA3 + xB3 550 (necessidadedorestaurante3)xA4 + xB4 1750 (necessidadedorestaurante4)xij 0 (condic aoden ao-negatividade)2.3 ListadeProblemasParacadaPPMabaixo,elaboreummodelodosistemadescritodeacordocom(2.1):1. Sol Ltda. fazdoistiposdebrinquedosdemadeira: soldadosetrens. UmsoldadoevendidoporR$27,00eusaR$10,00demateriaprima. CadasoldadoproduzidoaumentaoscustosdeSol Ltda. emR$14,00. UmtremevendidoporR$21,00eusaR$9,00demateriaprima. Ocustoadicional paraconstru-loedeR$10,00.Para construir os soldados e os trens de madeira e necess ario dois tipos de trabalho:carpintariae acabamento. Umsoldadoprecisade duas horas de acabamentoeumhoradecarpintaria. Umtremnecessitadeumahoradecada. CadasemanaSol Ltda. podeobter todamateria-primanecess aria, mas somente100horas deacabamentoe80horasnasec aodecarpintaria.A demanda de trem e ilimitada mas somente 40 soldados sao comprados por semana.SolLtda. desejamaximizaroseulucro.2. UmaimportantecompanhiapetrolferapretendeconstruirumarenariaqueseraabastecidaportrescidadesportuariasA,BeC.OportoAest asituadoa300kmaleste e a 400 km a norte do porto B; o porto C esta situado a 100 km a sul do portoB.Determinealocalizacaodarenariaqueminimizaocomprimentototaldasviasnecess ariasparainterligararenariaaostresportos.42 CAPITULO2. PROGRAMAC AOMATEMATICA3. Umaempresaproduztres tipos deportas apartir deumdeterminadomaterial.Sabendoquediariamenteaempresadisp oede500kgdematerial e600horasdetrabalho,determinar um plano otimo de produ cao que corresponda ao maior lucro.Atabelaseguinteindicaaquantidadedematerial ehorasdetrabalhonecess ariasparaaproducaodeumaportadecadatipo, assimcomoolucrounit ariodecadaumadelas:Recursos Porta1 Porta2 Porta3Quantidadematerial 8kg 4kg 3kgHorasdetrabalho 7 6 8Lucrounitario R$50,00 R$40,00 R$55,004. Atabeladealimentac aoutilizadanumadeterminadalojadeanimaisdeestimacaoespecica as seguintes necessidades mnimas para umhamster: 70 unidades deprotena, 100 unidades de hidratos de carbono, 20 unidades de gordura. H a seis tiposderac oesdisponveisnalojacujascaractersticassaodadasnoquadroseguinte:Protenas H.Carbono Gordura CustoRacao (unidades/kg) (unidades/kg) (unidades/kg) (u.m./kg)A 20 50 4 2B 30 30 9 3C 40 20 11 5D 40 25 10 6E 45 50 9 8F 30 20 10 8Comodeveserfeitaumamisturaquesatisfa caosrequisitosdaalimentac aodiariadeumhamsteraumcustomnimo?2.3. LISTADEPROBLEMAS 435. Uma rede de depositos de material de constru cao tem 4 lojas que devem ser abaste-cidascom50m3(loja1),80m3(loja2),40m3(loja3)e100m3(loja4)deareiagrossa. Essaareiapodesercarregadaem3portosP1,P2eP3,cujasdist ancias` aslojasest aonoquadro(emkm): Ocaminh aopodetransportar10m3porviagem.L1 L2 L3 L4P1 30 20 24 18P2 12 36 30 24P3 8 15 25 20Os portos tem areia para suprir qualquer demanda. Estabelecer um plano de trans-porte que minimize a dist ancia total percorrida entre os portos e as lojas e que supraasnecessidadesdaslojas.6. Odepartamentodemarketingdeumaempresaestudaaformamaisecon omicadeaumentarem30%asvendasdeseusdoisprodutosP1eP2. Asalternativass ao:a) Investiremumprogramainstitucionalcomoutrasempresasdomesmoramo.Esseprogramarequer uminvestimentomnimode$3.000,00edevepropor-cionarumaumentode3%nasvendasdecadaproduto, paracada$1.000,00investidos.b) Investir diretamente na divulgac ao dos produtos. Cada $1.000,00 investidos emP1retornamumaumentode4%nasvendas,enquantoqueparaP2oretornoede10%.A empresa dispoe de $10.000,00 para esse empreendimento. Quanto dever a destinaracadaatividade?CAPITULO 3PROGRAMAC AO LINEAROobjetivodaProgramacaoLinear(PL)eencontraramelhorsoluc aoparaproblemasqueadmitammodelosrepresentadosporfunc oeseinequac oeslineares, nestesentidootermoprogramacaosignicaqueexisteumplanejamentodasatividadeseotermolinearrefere-seàlinearidadenasequac oesenvolvidasnamodelagemdoproblema. Conformej avistonocaptuloanterior, umProblemadeProgramacaoLinear(PPL)eumProblemadeProgramacaoMatem aticacujafuncaoobjetivoetodasasrestri coessaolinearesrel-ativamenteàsvari aveisdedecis ao. Especicamente,aship otesesseguintescaracterizamumPPL:Certeza: Assumequeomodelosejadeterminstico, istoe, todos os par ametros saoconstantesconhecidas.Proporcionalidade: Admite que a contribuic ao individual de cada vari avel de decis ao,tantonafunc aoobjetivoquantonas restricoes, sejadiretamenteproporcional aovalordavari avel.Aditividade: Exigequeacontribui caototal nafun caoobjetivoenasrestri coessejasomadiretadacontribuic oesindividuaisdecadavari aveldedecisao,n aopodendohaverinterdependenciaentreasmesmas.Divisibilidade: Asvari aveisdedecis aopodemassumirvaloresfracionarios.443.1. ESTRUTURAC AODEMODELOSLINEARES 453.1 EstruturacaodeModelosLinearesDeacordocomashipotesesdeproporcionalidadeeaditividade, afun caoobjetivoeasrestric oesdeumPPLpodemserapresentadasdaseguinteforma:f(x1, x2, . . . , xn) = c1x1 + c2x2 + . . . + cnxngi(x1, x2, . . . , xn) ai1x1 + ai2x2 + . . . + ainxnondeoscoecientesaijecjs aoconstantesparai=1, . . . , mej=1, . . . , n, eosinal podesersubstituidopelossinaisde=ou ou ,indistintamente.Deacordocomoformato(2.1),ummodelodePPLapresentaaseguinteestrutura:minoumax z= c1x1 + c2x2 + . . . + cnxns.a. :___a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn b1a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn b2...am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn bmx1, x2, . . . , xn 0(3.1)Apesardaaparentelimita caodomodelo,existemaplicac oesdePLnasmaisdiversas areas. Defato,eumadastecnicasmaisutilizadasemPOjustamentepelasimplicidadedo modelo envolvido e facilidade para resolu cao de problemas utilizando tecnicas gracas,algebricasoualgoritmcas.ComoexemplosdePPLcitamososexemplos1.6,2.1,2.3,2.4e2.6apresentadosnoscaptulosanteriores, utilizaremosoproblemadaproduc aodebalasexpostonoexemplo2.1parailustrarashipotesesdelinearidade.Exemplo3.1.Considerequedoceiradesejaabrirumpequenonegocioparaproduc aodebalas. A46 CAPITULO3. PROGRAMAC AOLINEARprincpio ela est a considerando produzir dois tipos de balas: caramelo e nozes. Naproduc aosaoutilizadostresingredientes: leite, ac ucarenozes. Adoceiratememes-toque10kgdea c ucar, 1kgdenozese6l deleite. Acomposic aodabaladecarameloe:40%deleitee60%deac ucar,eparaasbalasdenozesosingredientesdevemsermistu-rados na seguinte propor cao: 40% de leite, 50% de ac ucar e 10% de nozes. Cada quilo debaladecaramelopodeservendidoaR$10,00enquantoumquilodebaladenozespodeservendidoporR$13,00. Qual deveseraproduc aodecadatipodebalaparaobteramaiorreceita?Omodelocompleto e: max z= 10x1 + 13x2s.a. :___0, 6x1 + 0, 5x2 10 (qtde.utilizadadea c ucar)0, 4x1 + 0, 4x2 6 (qtde. utilizadadeleite)0, 1x2 1 (qtde. utilizadadenozes)x1, x2 0 (n ao-negatividade)1. Certeza: NocontextodoExemplo2.1, tantoprecosdevendadosprodutos, comoa quantidade a ser utilizada de cada ingrediente para fabricac ao dos doces s aoconstantesconhecidas. Entretantoesteeumfatoraranamaioriadasaplicac oespr aticas, emgeral utiliza-secomocoecientesparaomodelodetextitPPLaprox-imac oesdovalor mediodasdistribui coesdeprobabilidadequandoosrespectivosdesvios-padr oes foremsucientemente pequenos, casocontrario, oproblemanaopoderasermodeladocomoPPL.2. Proporcionalidade: Seadoceiravender 1kg debaladecarameladoelareceberaR$10, 00, se vender 2kg obter a R$20, 00, se vender x1kg obter a 10x1. O valor obtidona venda de balas de caramelo e proporcional ` a quantidade vendida e preco de vendadoprodutoe aconstante de proporcionalidade. Areceitareferente àproducaodebaladenozese13x2, sendooprodutodaconstantedeproporcionalidade13pelaquantidadevendida. Portanto, areceitareferente` adeterminadoprodutoeproporcional aquantidadevendida, seadoceiraconcederalgumtipodedesconto3.1. ESTRUTURAC AODEMODELOSLINEARES 47quandoaquantidadeadquiridaultrapassarcertopatamar,areceitan aoser amaisproporcional ` asquantidadesvendidaseafunc aoreceitasetornaran ao-linear. Demaneira an aloga, para produzir 1kgde bala de caramelo utiliza-se 0, 6kgde a c ucar,paraproduzirodobronecessita-sedodobrodeac ucar, sendoassimaquantidadeutilizadadoingrediente eproporcionalaquantidadeproduzida. Similarmenteparaosoutrosingredientes, constatamosaproporcionalidadeemtodasasrestricoesdoproblema.3. Aditividade: Para a func ao objetivo,a receita total e a soma das receitas referentesacadaumdos produtos. Tambemparaas restricoes otodoeigual asomadaspartes, ototal consumidodea c ucareasomadoa c ucarutilizadoparaprodu caodabaladecarameloedoac ucar gastonaproduc aodabaladenozes. Analoga-menteparaosdemaisingredientes. Ocomportamentoaditivoebastantecomum,entretantoh asituac oesonden ao epossvelassumiroprincpiodaaditividade,porexemplo, seosprodutoscompetirementresi deformaqueoaumentonasvendasde um provoque diminuic ao na procura do outro, a hipotese de aditividade n ao ser asatisfeita. Outroexemploocorrecomreac oesqumicas,seadicionarmosaumlitrode agua o equivalente a 0,1 litro de ac ucar o volume resultante nao ser a 1,1 litro de aguadoce.4. Divisibilidade: Nesteproblemaepossvelvender1kgdebalacomo0, 5kg. Depen-dendodoproblema, asvari aveisdedecis aodever aoassumirvaloresinteiros, nestecasoeaindapossvel modelaroproblemacomolinearutilizandoarredondamento,entretantoesteprocedimentopoderesultar emvalores distorcidos, requerendoautilizac aodealgoritmosespeccosdeprogramac aointeira.Às etapas estabelecidas anteriormente para modelar um PPM, e necess ario acrescentara vericac ao das hipoteses de linearidade. Portanto, para proceder a an alise do problemaeformularummodelodePPLoanalistaseguirasseguintesfases:Identica caodasvari aveisdedecis aoIdentica caodafuncaoobjetivo48 CAPITULO3. PROGRAMAC AOLINEARIdentica caodasrestricoesVericac aodosaxiomasdelinearidadeFormulac aomatematicanoformatopadronizadodeacordocom(4.1)3.2 ResolucaoGracadeumPPLAp osaobtenc aodaformulacaomatem aticaeprecisosepreocuparcomaresoluc aodoproblema de otimizacao. Em particular, PPLs com duas variaveis permitem visualizac aogeometrica, sendo assim, a princpio recorreremos ao metodo graco para resolver proble-masmaissimples. Ometodogr acoconsisteem, primeiramentedeterminaroconjuntodetodas aspossveissolucoes parao problema,determinadopelosistema derestri coes,edentreestasidenticaraquelaondeocorreovalor otimo,avaliadopelafuncaoobjetivo.3.2.1 RepresentacaoGracadasRestricoesO espaco das soluc oes de problemas com duas vari aveis e o plano R2. Dois pontos distintosA=(xa, ya)eB=(xb, yb)doplanodeterminamumreta, epelascondi coesdealinha-mento,umpontoqualquerP= (x, y) R2pertence` aretaABquepassaporAeB,see somente se, a inclina cao da reta ABfor a mesma inclinac ao da reta AP. Assim, temos:ybyaxbxa=y yax xa(ybya)(x xa) = (y ya)(xbxa) (ybya)x (ybya)xa= (xbxa)y (xbxa)ya(ybya)x (xbxa)y = xaybxayaxbya + xaya(ybya). .ax + (xaxb)..by = xaybxbya. .c3.2. RESOLUC AOGRAFICADEUMPPL 49Sendoassim,todaretanoplanotemequac aogeraldaforma:ax + by= c (3.2)ondea,becs aoconstantesquepodemassumirqualquervalorreal. E, reciprocamente,todaequacaodestetiporepresentaumaretanoplanoR2.Umaretadivideoplanoemduasregioesdenominadassemiplanos,easinequac oesax + by> c e ax + by< crepresentamsemiplanosabertosdistintos,enquantoasinequac oesax + by c e ax + by cdeterminamsemiplanosfechadoscujaintersecao earetaax + by= c.Exemplo3.2.Considereaequac aodaretar: 2x + y=1, representadagracamenteabaixoemlinhaspontilhadas. Aregiaohachuradaearepresenta caogracadosemiplanoaberto2x + y< 1Se um semiplano e a representacao graca de uma inequacao em duas variaveis, entaoarepresenta caogr acadeumsistemadeinequac oeslinearesemduasvari aveisser aaintersec caodossemiplanoscorrespondentesacadainequac ao. Asrestric oesdeumPPL50 CAPITULO3. PROGRAMAC AOLINEARjuntamente comas condi coes de n ao-negatividade e umconjuntode semiplanos cujaintersec caodeterminaumconjuntodepontosdoR2denominadoRegiaodasSolucoesViaveisousimplesmenteRegiaoViavel(RV).Exemplo3.3.AempresaTecniBOLAS.A. temcomo unicaatividadeafabricac aodebolas, sendotodaselasemcouroefabricadassegundoosprocessosprimordiais. Atualmentefabricadois produtos, a bola de futebol Catechumbo e a bola de volei Voleitok. Ambos os produtoss ao feitos do mesmo material, variando apenas na dimens ao, tipo de costuras e rotulagem.Osrecursosquedenemafabricacaodasbolassao: ocortedocouro, otrabalhodecostura,a pintura de inscric oes na bola e preparac aonal. Esta ultima e composta pelasatividadesdeenchimento, controledequalidade(inspec aovisual, calibrac aoepesagem)eembalagem.Os dados fornecidos pela empresa referentes ` a quantidade de recursos necessarios paraaprodu caodecadatipodebolaeasquantidadesdisponveisparaodiadeamanh asaoosindicadosnatabela:Recursos unid. Voleitok Catechumbo DisponibilidadeCouro m20,25 0,3 ilimitadaLinha m 2,5 4 ilimitadaC ameradeAr un 1 1 25Embalagens un 1 1 ilimitadaOperac aodeCorte min 2 8 ilimitadaOperac aodeCostura min 9 25 480Operac aodeLogotipagem min 1,5 1 ilimitadaOperac oesdeFinalizac ao min 11 6 240Para a tomada de decis ao, a empresa disponibilizou informacoes a respeito dos valoresmonet ariosenvolvidos(emu.m.)nosseusprodutos,apresentadosaseguir:3.2. RESOLUC AOGRAFICADEUMPPL 51Bola CustodeProducao PrecodeVendaCatechumbo 26,00 32,50Voleitok 15,00 25,00Comodeveserdistribudaaproducaoamanh adeformaamaximizarolucro, tendoemcontaosrecursosexistentes?De acordo como objetivo do problema, as vari aveis de decis ao podemser assimdenidas:x1:n umerodebolasCatechumboaserproduzidoamanh a.x2:n umerodebolasVoleitokaserproduzidoamanh a.Utilizandoaship otesesdelinearidade,obtemososeguintemodelo:max z= 6, 5x1 + 10x2(LucroTotal)s.a. :___x1 + x2 25 (restric aodec ameradear)25x1 + 9x2 480 (restric aodeoperac aodecostura)6x1 + 11x2 240 (restric aodeoperac oesdenalizac ao)x1, x2 0 (restricaodenao-negatividade)Neste caso, estamos admitindo a hip otese de divisibilidade, entretando o problema re-quervari aveisinteiras,napr oximasecaoestePPLser aresolvidocomastecnicasusuais,mas arespostanal deverarespeitar aimposi caopr aticadequantidades inteiras, uti-lizandoarredondamento,senecessario.Exemplo3.4. Construiraregiaoviavel doproblemadaTecniBOLAS.A., apre-sentadonoexemplo3.3,cujomodeloe:52 CAPITULO3. PROGRAMAC AOLINEARmax z= 6, 5x1 + 10x2(LucroTotal)s.a. :___x1 + x2 25 (restric aodec ameradear) (1)25x1 + 9x2 480 (restric aodeoperac aodecostura) (2)6x1 + 11x2 240 (restric aodeoperac oesdenalizac ao) (3)x1, x2 0 (restricaodenao-negatividade) (4)e(5)Somente as restric oes doproblemas aoconsideradas paradeterminar aregi aovi avel,sendoassimas restri coes foramidenticadas e numeradas. Aseguir e apresentadaarepresenta cao graca de cada semiplano fechado correspondente ` as restric oes do problema.(1) x1 + x2 25Areta r1: x1+x2=25 determina o semi-plano correspondente ` a primeira restric ao, epodeserdeterminadapordoisdeseuspontos,daseguintemaneira:sex1= 0ent aox2= 25 (0; 25) r1sex2= 0ent aox1= 25 (25; 0) r1(2) 25x1 + 9x2 480(3) 6x1 + 11x2 240(4) x1 0(5) x2 0Ainterseccaodoscincosemiplanosdenidospelasrestric oes(1), (2), (3), (4)e(5),determinaaregi aodas possveis soluc oes doproblemaeestarepresentadapelaregi aohachuradaabaixo:3.2. RESOLUC AOGRAFICADEUMPPL 53OpolgonoABCDEeoconjuntodetodosospontosX=(x1, x2)quesatisfazemtodas as restri coes simultaneamente. Sendo assim, toda combinacao possvel da produc aodex1unidadesdebolasCatechumboedex2unidadesdebolasVoleitok ser aumponto54 CAPITULO3. PROGRAMAC AOLINEARdopolgonoABCDE,doseuinterioroupontodefronteira.3.2.2 RepresentacaoGracadaFuncaoObjetivoFuncoeslinearescomduasvari aveisdotipoz=f(x1, x2)=c1x1 + c2x2s aogeometrica-menteplanosemR3, esomenteadmitemmaximoe/oumnimoseestiveremsujeitasarestric oes, comonocasodeumPPL. Ascurvasdenvel dessetipodefun caos aoretasparalelasquecrescemmonotonamentenadirec aodogradientef(x1, x2) =_fx1,fx2_A cada ponto do conjunto de solu coes vi aveis esta associada uma, e somente uma, retada famlia de retas paralelas correspondente ` a fun cao objetivo. E solucionar gracamenteum PPL e determinar quais pontos da RV retornam o melhor valor para a func ao objetivo.Aorigemdosistemadecoordenadas eo unicopontocrticodefunc oeslineares,parao caso especco de PPL com duas variaveis o ponto crtico e (0, 0), que e um dos verticesdaRVequalquer outropontoextremodafuncaoobjetivodevenecessariamenteestarnafronteiradaregiaodelimitadapelas restricoes. Paraencontrar tais pontos deve-sepercorrerafamliaderetasparalelasnosentidodogradiente.Considereumpontoarbitr arioPRV earetaz =cpassandoporP. SePforumpontointeriordopolgono,serapossvelmelhorarovalordafuncaoobjetivoporqueexistempontos de RVnosemiplanodeterminadopor z =c e pelogradiente. Para3.2. RESOLUC AOGRAFICADEUMPPL 55melhorarestevalorbastatomaroutropontodeRVlocalizadoàdireitadePetracarorepresentantedafamliaderetasparalelasquepassaporestepontoretornandomaiorvalor para a func ao objetivo. Se, por outro lado, Pfor tomado de maneira que n ao existanenhuma outra solucao vi avel situada no semiplano ` a direita ent ao nao sera mais possvelmelhorarovalordafunc aoobjetivoeasolucao otimafoideterminada.Asolu caodoproblemafoi obtidatangenciando-se` adireitaopolgonodassoluc oesvi aveiseestefatoimplicaqueasoluc aootima, quandoexiste, localiza-seemaomenosumdosverticesdeRV.O procedimento de busca pelo vertice otimo e analogo para problemas de minimizac ao,entretantoosentidodabuscapelasoluc aodoproblemadeveseguiradirec aocontrariaaocrescimentoindicadopelovetorgradiente.Exemplo3.5. ResolvergracamenteoproblemadaTecniBOLAS.A.,apresentadonoexemplo3.2Na gura abaixo est ao representadas algumas retas paralelas correspondentes ` a func aoobjetivoz= 6, 5x1 + 10x2paraz= 0,z= 100,z= 100ez= c.A reta z= c pode ser deslocada ate atingir o vertice C, onde nao ser a mais possvel au-mentar o valor da fun cao objetivo respeitando todas as restricoes do problema. Portanto,opontoCeopontoondeovalordezem aximonascondic oesdoPPL.56 CAPITULO3. PROGRAMAC AOLINEARA soluc ao otima do problema pode ser obtida calculando-se as coordenadas do verticeC, que e o resultado da interseccao das retas correspondentes às restricoes (1) e (3). Sendoassim,ascoordenadasdeCeasoluc aodoseguintesistemalineardeordem2._x1 + x2= 256x1 + 11x2= 240cujasoluc ao e: x1= 7ex2= 18.Portantoasolucao otimadoPPLe: deveraoserproduzidasamanha7bolasCate-chumboe18bolasVoleitokparaobterumlucromaximode$225,50.3.2.3 Soluc oesdoModeloAs condic oes para existencia de solucao para um PPL e garantida pelo seguinte teorema:TEOREMA3.1. (TeoremadoValorExtremo)Sef(x1, x2, . . . , xn)econtnuaemumsubconjunto fechado e limitado do Rn, entao fatinge valores globais de maximo e mnimo.Comofunc oeslinearess aocontnuas, seoconjuntodassolu coesvi aveis, paraocasoespeccodoR2,formarumpolgonofechadoent aooproblemaadmitesoluc ao.AoresolvergracamenteumPPLemduasvariaveis,tressituacoespodemocorrer:1. RVeumconjuntovazioNestecaso,asrestric oess aoconitanteseoPPLnaoadmitesolucao.2. RVenaovazioelimitadoOPPLtemsoluc ao otima, unicaounao.3.2. RESOLUC AOGRAFICADEUMPPL 57(a) Oproblematemuma unicasoluc aootima.(b) Oproblematemm ultiplassoluc oes otimas,isto e,todososinnitospontosdeumsegmentoderetas aosolucoes otimas,ed aoomesmovalorparaafun caoobjetivo.(a) (b)3. RVenaovazioeilimitadoDuassituac oespodemocorrer:(a) OPPLtemsolu cao otima, unicaoun ao.(b) OPPLn aotem otimonito,ovalorafunc aoobjetivocresceindenidamentenosentidofavor avel.(a) (b)Roteiro58 CAPITULO3. PROGRAMAC AOLINEARDe acordo com o que foi estudado ate aqui, a resolucao graca de um modelo de PPLcomapenasduasvari aveissegueosseguintespassos:1. Construiroplanocartesiano,tomandocomoeixosasvariaveisdedecisao;2. Determinar os semiplanos correspondentes ` as restric oes para delimitar a regi aovi avel;3. Tracarumaretareferenciaqualquercomainclinac aodafunc aoobjetivo;4. Tracar retas paralelas ` a referencia no sentido de crescimento da func ao (maximizacaoda fun cao) ate tangenciar a regi ao vi avel. O ponto otimo, se existir, ser a um verticeouumladodaregiaovi avel. AindaumPPLcomtresvari aveisepossvel deserresolvidogracamente, emboraexijahabilidadeemdesenhoeboavis aoespacial. Problemascommaisquetresvari aveisnecessitamdemetodosalgebricosparaseremresolvidos. Ointeressemaioremestudarometodogr acoestaem, atravesdarepresentac aogr aca, intuirpropriedadeste oricasedelinear um metodo de resoluc ao algebrica que possa ser utilizado em problemas com umn umeroqualquerdevari aveis.3.3 ListadeProblemasParacadaitemabaixo, modeleoproblemadeacordocomaship otesesdelinearidadeeresolvagracamenteosPPLcomduasvari aveis.1. Certa empresa fabrica 2 produtos P1 e P2. O lucro por unidade de P1 e de 100 u.m.e o lucro unit ario de P2 e de 150 u.m. A empresa necessita de 2 horas para fabricarumaunidadedeP1e3horasparafabricarumaunidadedeP2. Otempomensaldisponvel paraessasatividadesede120horas. Asdemandasesperadasparaosdois produtos levaram a empresa a decidir que os montantes produzidos de P1 e P23.3. LISTADEPROBLEMAS 59n aodevemultrapassar40unidadesdeP1e30unidadesdeP2pormes. Qualdeveserosistemadeproducaomensalparamaximizarolucrodaempresa?2. Umsapateirofaz6sapatosporhora,sezersomentesapatos,e5cintosporhora,sezersomentecintos. Elegasta2unidadesdecouroparafabricar1unidadedesapatoe1unidadedecouroparafabricarumaunidadedecinto. Sabendo-sequeototal disponvel decouroede6unidadesequeolucrounit arioporsapatoede5u.m.eodocinto ede2u.m.Qualdeveserosistemadeproducaodosapateiro,seoobjetivo emaximizaroseulucroporhora?3. Um pizzaiolo trabalha 8h por dia e faz 16 pizzas por hora, caso faca somente pizzas,e9calzones por hora, sezer somentecalzones. Elegasta40gr dequeijoparaprepararumapizzae60grdequeijoparafazerumcalzone. Sabendo-sequeototaldisponvel de queijo e de 5kg por dia, e que a pizza e vendida a R$18,00 e o calzonea R$22,00, pergunta-se: quantas unidade de pizzas e calzones uma pizzaria com trespizzaiolosdevevenderdiariamenteparamaximizarasuareceita?4. Umvendedordefrutaspodetransportar800caixasdefrutasparasuaregi aodevendas. Elenecessitatransportar 200caixas delaranjas a20u.m. delucroporcaixa, pelo menos 100 caixas de pessegos a 10 u.m. de lucro por caixa, e no m aximo200caixas detangerinaa30u.m. delucropor caixa. Dequeformadever aelecarregarocaminhaoparaobterolucromaximo?5. Uma rede de televis ao local tem o seguinte problema: foi descoberto que o programaA com 20 minutos de m usica e 1 minuto de propaganda chama a aten cao de 30.000telespectadores,enquantooprogramaB,com10minutosdem usicae1minutodepropaganda chama a atencao de 10.000 telespectadores. No decorrer de uma semana,opatrocinadorinsistenousodenomnimo,5minutosparasuapropagandaequen aoh averbaparamaisde80minutosdem usica. Quantasvezesporsemanacadaprogramadeveserlevadoaoarparaobteron umerom aximodetelespectadores?6. Umaempresafabrica2modelos de cintos de couro. OmodeloM1, de melhorqualidade, requerodobrodetempodefabrica caoemrelac aoaomodeloM2. Se60 CAPITULO3. PROGRAMAC AOLINEARtodos os cintos fosse do modelo M2, a empresa poderia produzir 1.000 unidades pordia. Adisponibilidadedecouropermitefabricar800cintosdeambososmodelospordia. Oscintosempregamvelasdiferentes,cujadisponibilidadedi aria ede400para M1 e 700 para M2. Os lucros unit arios s ao de $4,00 para M1 e $3,00 para M2.Qual o programa otimo de produc ao que maximiza o lucro total di ario da empresa?7. Umempresa, aposumprocessoderacionaliza caodeproducao, coucomdisponi-bilidadede3recursos produtivos, R1, R2eR3. Umestudosobreousodessesrecursos indicouapossibilidadedesefabricar 2produtos P1eP2. Levantandooscustoseconsultandoodepartamentodevendassobreoprecodecoloca caonomercado,vericou-sequeP1dariaumlucrode$120,00porunidadeeP2,$150,00porunidade. Odepartamentodeproduc aoforneceuaseguintetabeladeusoderecursos:Produto R1p.u. R2p.u. R3p.u.P1 2 3 5P2 4 2 3Disponibilidadederecursospormes 100 90 120QueproducaomensaldeP1eP2trazomaiorlucroparaempresa?8. Um fazendeiro esta estudando a divis ao de sua propriedade nas seguintes atividadesprodutivas:- A(Arrendamento): Destinar certa quantidade de sua propriedade para aplanta cao de cana-de-ac ucar,a uma usina local,que se encarrega da atividadeepagapeloalugueldaterra$300,00poralqueireporano.- P (Pecu aria): Usar outra parte para a cria cao de gado de corte. A recuperacaodaspastagensrequeraduba cao(100kg/Alq)eirrigac ao(100.000litros/Alq)porano. Olucroestimadonessaatividade ede$400,00poralqueireporano.- S(PlantiodeSoja): Usar umaterceiraparteparaoplantiodesoja. Essaculturarequer 200kgpor alqueire de adubos e 200.000litros de aguaporalqueire para irrigac ao por ano. O lucro estimado nessa atividade e de $500,00poralqueireporano.3.3. LISTADEPROBLEMAS 61Sabendoquehadisponibilidadede12.750.000litrosde agua,14.000kgdeaduboe100alqueiresdeterraporano, quantosalqueiresdeveradestinaracadaatividadeparaproporcionaromelhorretorno?9. Um indivduo quer investir $ 5.000,00 no proximo ano em dois tipos de investimento:oinvestimentoArende5%eoinvestimentoBrende8%. Pesquisasdemercado,recomendam uma alocacao de no mnimo 25% em A e no m aximo 50% em B. AlemdomaisoinvestimentoemAdevesernomnimometadedoinvestimentoemB.Comoofundodeveriaseralocadoaosdoisinvestimentos?10. Uma liga especial constituda de ferro, carvao, silcio e nquel pode ser obtida usandoamisturadessesmineraispurosalemde2tiposdemateriaisrecuperados:MaterialRecuperado1(MR1)-Composic ao:___ferro-60%carv ao-20% custoporkg$0,20silcio-20%MaterialRecuperado2(MR2)-Composic ao:___ferro-70%carv ao-20% custoporkg$0,25silcio-5%nquel-5%Aligadeveteraseguintecomposi caonalMateria-prima %mnima %maximaferro 60 65carv ao 15 20silcio 15 20nquel 5 8Ocustodosmateriaispuros(porkg)s ao: ferro$0,30; carvao$0,20; silcio$0,28;nquel $0,50. Qual deveraseracomposic aodamisturaemtermosdosmateriaisdisponveis,commenorcustoporkilo?62 CAPITULO3. PROGRAMAC AOLINEAR11. Aind ustriaAlumilaminasS/Ainiciousuasoperacoesemjaneirode2006ejavemconquistando espaco no mercado de laminados brasileiros, tendo contratos fechadosde fornecimento para todos os 3 tipos diferentes de l aminas de alumnio que fabrica:espessurasna, mediaougrossa. Todaaproduc aodacompanhiaerealizadaemduasfabricas,umalocalizadaemS aoPauloeaoutranoRiodeJaneiro. Segundooscontratosfechados, aempresaprecisaentregar16toneladasdel aminasnas, 6toneladas de l aminas medias e 28 toneladas de laminas grossas. Devido ` a qualidadedos produtos de Alumilaminas S/A, haumademandaextraparacadatipodel aminas. A f abrica de S ao Paulo tem um custo de producao di aria de R$ 100.000,00paraumacapacidade produtivade 8toneladas de l aminas nas, 1toneladadel aminas medias, 2 toneladas de l aminas grossas por dia. O custo de produc ao diarioda fabrica do Rio de Janeiro e de R$ 200.000,00 para uma producao de 2 toneladasdel aminas nas, 1toneladadel aminas medias, 7toneladas del aminas grossas.Quantos dias cadaumadas fabricas dever aoperar paraatender aos pedidos aomenorcustopossvel?12. Umacompanhiadetransportetemdoistiposdecaminh oes: OtipoAtem2m3deespa corefrigeradoe3m3deespa con aorefrigerado;tipoBtem2m3deespa corefrigerado e 1m3de espaco n ao refrigerado. O cliente quer transportar um produtoquenecessitar a16m3deespa corefrigeradoe12m3deespa conaorefrigerado. Acompanhiacalculaem1.100litrosoconsumodecombustvelparaaviagemcomocaminh aoAe750litrosparaocaminh aoB. Quantoscaminhoesdecadatipodever ao ser usados no transporte do produto, com o menor consumo de combustvel?13. AempresaHaveFunS/A. produzumabebidaenergeticamuitoconsumidapelosfreq uentadores de danceterias noturnas. Dois componentes utilizados na preparacaodabebidas aosolu coescompradasdelaborat oriosterceirizados- solucaoRedeasoluc ao Blue - e que proveem os principais ingredientes ativos do energetico: extratodeguaranaecafena. Acompanhiaquer saberquantasdosesde10ml. decadasoluc aodeveincluiremcadalatadabebida,parasatisfazer` asexigenciasmnimaspadronizadas de 48gr. de extrato de guaran a e 12gr. de cafena e, ao mesmo tempo,3.3. LISTADEPROBLEMAS 63minimizar o custo da produc ao. Por acelerar o batimento cardaco, a norma padraotambem prescreve que a quantidade de cafena seja no m aximo 20gr. por lata. Umadosedasolu caoRedcontribui com8gr deextratodeguaran ae1gr de cafena,enquanto uma dose da solu cao Blue contribui com 6gr. de extrato de guarana e 2gr.decafena. UmadosedeRedcustaR$0,06eumadosedeBluecustaR$0,08.14. Umfabricantedecarrosproduzduasvers oesdeseumodelopopulardetamanhomedio: umutilitariodirecionadoaomercadodefamliaseumesportivoprojetadoparaatrairclientesricosesolteiros. Amboss aomontadossobreosmesmoschas-sis e diferemsomente nacarroceria. Ambos s aotambemproduzidos namesmaf abrica. Existem10.000horas de forcade trabalhoe 1.325unidades de chassisb asicos disponveis a cada semana. O modelo utilit ario leva seis horas para ser mon-tado, enquanto o modelo esportivo leva 9 horas. Pelo menos 400 unidades do modeloutilit ario devem ser produzidas por semana. A produc ao tambem e restringida pelofato de que, devido a problemas com um fornecedor, somente 6.000 macanetas estaodisponveis por semana. Um utilitario utiliza cinco dessas macanetas, enquanto umesportivoutilizatres. Olucrodafabricasobreummodeloutilitario eestimadoem$ 1.500,00, enquanto o lucro sobre um modelo esportivo e de $ 2.000,00. A demandadomercadopeloscarrosealta. Sabe-sequeademandaexcederaaproduc aoemalgummomento; entao,af abricadevesercapazdevenderqualquermixdecarrosqueforproduzido.(a) Quantas macanetas em excesso seriam recebidas pela fabrica a cada semana seomixdecarrosdeproduc aorecomendadoforseguido.(b) Se a f abrica pudesse obter somente uma das coisas a seguir, o que a permitiriaproduzirmaiscarros?i. Maisunidadesdechassis.ii. Maismacanetas.iii. Maiormargemdelucrosobrecadacarro.iv. Remocaodarestric aosobreaproducaodomodeloutilit ario.CAPITULO 4RESOLUC AO DE PPLAimport anciadometodogr acovistonocaptuloanterior,residenofatodepermitiravisualizac aodeummetodoalgebricomaisgeral, queconsisteemprocuraroverticedopolgonoqueotimizeafun caoobjetivo.4.1 EstruturacaodeModelosLinearesDefinicao4.1. Emproblemasdeminimizacao,umasolucaoviavelx= (x1, x2, . . . , xn)editaotimasef(x) f(x),paratodasolucaoviavel x.Definicao4.2. UmmodelodePPLestanaformapadraoquandoforformuladodaseguintemaneira:min z= c1x1 + c2x2 + . . . + cnxns.a. :___a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn= b1a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn= b2...am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn= bmx1, x2, . . . , xn 0(4.1)Observeque, naformapadr ao, afuncaoobjetivodeveserminimizada, asrestri coes644.1. ESTRUTURAC AODEMODELOSLINEARES 65s aodenidascomoumsistemadeequa coeslinearesetodasasvari aveisdevemsatisfazerascondic oesdenao-negatividade.A forma padr ao nao e restritiva pois todo PPL pode ser posto como em (4.1), de fato:1. ParaPPLdeminimizac ao, encontrarumasolucaoviavel xqueminimizef(x)eequivalenteaencontrarumasoluc aoquemaximizac ao f(x).Suponhaquexeumponto otimodef(x),ent aof(x) f(x), xviavel(1)f(x) f(x), xviavel (f)(x) (f)(x), xviavel2. ParaocorrenciadedesigualdadesTodainequac aopodeserconvertidaemequa caoadicionandoousubtraindo-seva-ri aveisadicionaispositivasdenominadasvariaveisdefolgaoudeexcessoparaocasodeocorrenciadedesigualdadesdotipo ou ,respectivamente.3. ParaocorrenciadevariaveislivresS aoconsideradaslivres,asvari aveisquen aoapresentamqualquertipoderestric aodesinal. Umavari avellivrexjpodesersubstitudaporoutrasduasvariaveisx

jex

jn ao-negativas,bastandoparaistotomarxj= x

jx

jNaformapadr aoumPPLpodeser escritoequivalentementeemnotacaomatricialcomo:max f(x) = cTxAx = bx 0(4.2)onde:66 CAPITULO4. RESOLUC AODEPPLA =______a11. . . a1n...am1. . . amn______eamatrizdoscoecientes;cT=_c1c2. . . cn_eovetordoscustos;xT=_x1x2. . . xn_eovetordasvariaveisdedecis ao;bT=_b1b2. . . bm_eovetordosrecursos;0 =_0 0 . . . 0_eovetornulo.Exemplo4.1. ProblemailustrativoUmaf abricatemtrestiposdemaquinas(M1, M2, M3)cadaumadasquaisdeverserusadanamanufaturadeseusprodutosP1eP2. SabendoqueolucroporunidadedeP1e40u.m.eolucroporunidadedeP2e60u.m.,decidaquantofabricardecadaprodutoporsemanaamdemaximizaroslucrosdeacordocomaseguintetabela:Maquinas HorasP1HorasP2HorasdisponveisM12 1 70M21 1 40M31 3 90OmodeloparaestePPL e:x1: produc aosemanaldeP1x2: produc aosemanaldeP2max z= 40x1 + 60x2s.a. :___2x1 + x2 70x1 + x2 40x1 + 3x2 90x1, x2 0Paraqueosistemaderestri coesdoproblemasejapostonaforma(Ax=b, x 0)4.2. FUNDAMENTAC AOTEORICA 67vari aveisdefolgadevemserdenidas:x3= 70 2x1x2 0x4= 40 x1x2 0x5= 90 x13x2 0Inseridoasvariaveisdefolga,obtemosomodelodoPPLnaformapadrao:max z= 40x1 + 60x2s.a. :___2x1 + x2 + x3= 70x1 + x2 + x4= 40x1 + 3x2 + x5= 90xj 0 j= 1, . . . , 54.2 FundamentacaoTe oricaOmetodoalgebricoSimplexparasolucionarPPLest afundamentadonastecnicasecon-ceitos daAlgebraLinear. Parageneralizar as ideias discutidas nometodogeometricoalgumasdenic oesereformula coessefar aonecessarias.Adenic aoseguintegeneralizaoconceitodesemiplanodenidonacaptuloanterior.Definicao4.3. Aequacaoa1x1+a2x2+. . .+anxn=b, coma1, . . . , an, b Rde-neumHiperplanoemRn,quedivideoespacoRnemdoissemi-espacosdisjuntos:a1x1 + a2x2 + . . . + anxn< b e a1x1 + a2x2 + . . . + anxn> b.AnalogamenteaoquefoivistoparaPPLemduasvari aveis,paraproblemascomtresou mais variaveis a funcao objetivo representa uma famlia de hiperplanos paralelos entresi.Definicao4.4. Ainterseccaodeumn umeronitodesemi-espacosfechadosedenomi-nadopolitopo. Istoe,umpolitopoedenidoporP=_x Rn:n

j=1aijxj bi, parai = 1, 2, . . . , m_68 CAPITULO4. RESOLUC AODEPPLO conjunto das solucoes vi aveis de um PPL e um politopo pois e obtida pela interseccaodeumn umeronitoderestric oes. Mesmoasinequacoesdotipo quepossivelmentecomp oemosistemaderestri coesfacilmentes aotransformadaseminequac oesdotipo pelasimplesmultiplicacaodaexpressaopor-1.Definicao 4.5. Sejamx1, x2, . . . , xkvetores do Rne 1, 2, . . . , kn umeros reais.x =k

i=1ixieumaCombinacaoLinearConvexasei 0paratodoi = 1, 2 . . . , kesek

i=1i=1. Sei>0paratodoi=1, 2 . . . , k, dizemosqueeumaCombinacaoLinearConvexaLegtima.Exemplo4.2. Dadososvetoresx1= (1, 0)ex2= (0, 1)deR2.O vetor x1+x2 e uma combinac ao linear dos vetores x1e x2, mas n ao e uma combina caolinearconvexapois1 + 2= 2 = 1.Ovetor 2x1 x2n aoeumacombinac aolinear convexados vetores x1ex2, apesarde 1+2=1, n aosatisfaz acondicaode n ao-negatividade dos escalares pois2= 1 < 0.4.2. FUNDAMENTAC AOTEORICA 69Osvetores0, 5x1 + 0, 5x2,0, 6x1 + 0, 4x2,0, 4x1 + 0, 6x2,0, 7x1 + 0, 3x2e0, 3x1 + 0, 7x2s ao exemplo de combinac oes lineares convexas legtimas pois satisfazem 1+2= 1,com1, 2> 0.Geometricamentepode-seinterpretarumacombinacaolinearconvexadedoispontoscomoumpontodosegmentoderetaqueuneosdoispontosoriginais.Definicao4.6. UmconjuntoMeconvexosetodacombinacaolinearconvexadequal-querpardepontosdoconjuntotambemforelementodeM.Em outras palavras, Me convexo se todo segmento de reta denido por dois quaisquerdeseuspontosestivercontidonoconjunto.Exemplo4.3. Osconjuntosrepresentadosnasguras(a)e(b)saoexemplosdeconjuntosconvexos,enquantoasguras(c)e(d)saoconjuntosnaoconvexos.TEOREMA4.1. Aregiaoviavel deumPPLeumpolitopoconvexo.Dem.: J a vimos que a regiao vi avel de um PPL e um politopo e para mostrar que eumaregiaoconvexa,sejamy, z RV .Paraserumasoluc aovi avelyezdevemsatisfazertodasasrestric oeseascondicoesdenao-negatividade,assimtem-sequeAy= b,Az= bequey, z 0.Sejay + zumacombinac aolinearconvexa,isto e,, 0e + = 1. Ent aoa) y + z 0pois, , y, z 0b) A(y + z) = Ay + Az= bb = ( + )b = bOquedemonstray + z RV eportantoRV eumpolitopoconvexo. 70 CAPITULO4. RESOLUC AODEPPLDefinicao4.7.Um ponto x de um politopo convexo, denomina-se vertice quando ele naopuderserobtidocomoumacombinacaolinearconvexalegtimadenenhumpardepontosdistintosdopolitopo.Exemplo4.4. Problemailustrativo(continuacao)Retornandoaoexemplo4.1, utilizandoanotac aomatricial osistemade equac oeslinearescorrespondenteàsrestric oesexplcitasdoproblema edaformaAx = b,__2 1 1 0 01 1 0 1 01 3 0 0 1____x1x2x3x4x5__=__704090__Apesardoproblemapassaratercincovari aveis,qualquerparordenado(x1, x2) R2determinaunicamentetodasasvari aveis, poisasvari aveisdefolgasaodependentesdasduasvari aveisdedecis aodomodelooriginal.Observequeposto(A) =3, sendoassimosistemaAx=bcomm=3equac oesem + n=5variaveiseumSistemaPossvel eIndeterminado. Portanto, osistematemduasvari aveislivres,paraasquaispodemosatribuirquaisquervalores.Vamosadmitirqueatribuiremosapenasvaloresnulosparaasvariaveislivres, comos aocincovari aveisagrupadasemconjuntodedoiselementos, teremos10combina coespossveis:1. Fixarx1= x2= 0resultaemx3= 70,x4= 40,x5= 902. Fixar___x2= 0x3= 0resultaem___2x1= 70x1 + x4= 40x1 + x5= 90cujasoluc ao e___x1= 35x4= 5x5= 553. Fixar___x3= 0x4= 0resulta em___2x1 + x2= 70x1 + x2= 40x1 + 3x2 + x5= 90cuja solucao e___x1= 30x2= 10x5= 304.2. FUNDAMENTAC AOTEORICA 714. Fixar___x4= 0x5= 0resulta em___2x1 + x2 + x3= 70x1 + x2= 40x1 + 3x2= 90cuja solucao e___x1= 15x2= 25x3= 155. Fixar___x3= 0x5= 0resulta em___2x1 + x2= 70x1 + x2 + x4= 40x1 + 3x2= 90cuja solucao e___x1= 24x2= 22x4= 66. Fixar___x1= 0x3= 0resulta em___x2= 70x2 + x4= 403x2 + x5= 90cuja soluc ao e___x2= 70x4= 30x5= 1207. Fixar___x1= 0x4= 0resulta em___x2 + x3= 70x2= 403x2 + x5= 90cuja solucao e___x2= 40x4= 30x5= 308. Fixar___x1= 0x5= 0resultaem___x2 + x3= 70x2 + x4= 403x2= 90cujasoluc ao e___x2= 30x3= 40x4= 109. Fixar___x2= 0x4= 0resulta em___2x1 + x3= 70x1= 40x1 + x5= 90cuja solucao e___x1= 40x3= 10x5= 5010. Fixar___x2= 0x5= 0resulta em___2x1 + x3= 70x1 + x4= 40x1= 90cuja soluc ao e___x1= 90x3= 110x4= 50Asolucaogr acadoproblemapodeservisualizadanaguraseguinte.As soluc oes encontradas nas alternativas 5,6,7,9 e 10 s ao invi aveis,isto e,apesar deser soluc ao do sistema Ax = b est ao fora da regi ao viavel. Enquanto a solucao encontradanaalternativa1correspondeaoverticeAdopolgonoquerepresentaaregiaovi avel do72 CAPITULO4. RESOLUC AODEPPLproblema,asoluc ao2 eoverticeB,asolucao3 eoverticeC,asoluc ao4 eoverticeDeasolucao8 eoverticeE.Paraencontrar asoluc ao otimadeumPPLenecessarioencontrar solucoesparaosistemadeequa coeslinearesAx = b,commequac oesen + minc ognitas.Ecomum, emproblemareais, m 0pois,casocontr ario,seair 0paratodoi = 1, . . . , ment aof eoPPLn aoteriasoluc ao otimanita.Observandoapartic ao(5.3)constatamosqueamatrizBcorrespondente` asvariaveisb asicaseexatamenteamatrizidentidadeedevepermanecerassimexcetoporrearranjodecolunas,mesmocomalterac oesnacomposic aodovetordasvari aveisbasicas.Passo3: AplicarometododeGauss-Jordanpararesoluc aodesistemaslineares.Aredenic aodasvariaveisbasicasen ao-b asicasexigeumpivoteamentodoquadrosimplexparaqueoscoecientesdasvari aveisb asicasformemamatrizidentidade,mediantepossivelmenteremanejamentodecolunas,equeacontribui caoindividualparaafun caoobjetivodavariavelqueentrounabasesejazerada.Oprocessodeentradaesadadevariaveisdabasedever aserrepetidoatequeto-dososcoecientesda ultimalinhasetornemnulosoupositivos, poisnestecason aoh amaispossibilidadedecrescimentodafun caoobjetivoeasoluc ao otima(casoexista)foiencontrada. Sendoassim,aonaldecadaitera cao,deve-se:Passo4: Vericar se existe contribuic ao individual para a fun cao objetivo, expressas na ultimalinhadoquadrosimplex,negativa.Exemplo5.1. ResolverpelometodoSimplexoproblemailustrativoapresentadonoexemplo4.1,cujomodelonaformapadraoe:84 CAPITULO5. OMETODOSIMPLEXmax z= 40x1 + 60x2s.a. :___2x1 + x2 + x3= 70x1 + x2 + x4= 40x1 + 3x2 + x5= 90xj 0 j= 1, . . . , 5Oquadrosimplexinicial edadoaseguir:x1x2x3x4x5bx32 1 1 0 0 70x41 1 0 1 0 40 x51 3 0 0 1 90z 40 60 0 0 0 0Quadro1Avari avel quedeveentrarnabaseex2porqueacontribuic aoindividual dex2paraolucroemaior, noquadro-60eacontribuic aonegativacommaiorm odulo. Parasairdabasedevemosescolherx5vistoque903=min_701 ,401 ,903_. Istoe, nadivis aotermoatermo do vetor dos termos independentes b pelo vetor dos coecientes de x2o menor valorobtidofoi30,quecorresponde` asadadavari avelx5dabase.EscalonandoporGauss-Jordan,obtemos:x1x2x3x4x5bx3530 1 01340 x4230 0 11310x2131 0 01330z 20 0 0 0 20 1800Quadro285De acordo com o quadro 2, a vari avel x1entra na base pois ha somente a contribui caodestavari avelcomsinalnegativona ultimalinha. Avari avelx4saidabasepois1023= min_4053, 1023, 3013_= min{24, 15, 90}Assim,aposescalonamentotemos:x1x2x3x4x5bx30 0 1521215x11 0 0321215x20 1 0121225z 0 0 0 30 10 2100Quadro3O fato de nao haver contribuic ao com sinal negativo no quadro simplex garante que asoluc aob asicaviavelnoquadro3 eotima. Portantoasolu caodoproblema efabricar15unidadesdoprodutoP1e25unidadesdeP2paraobterumlucrom aximode$2.100,00,sendoqueh aumafolganaoperacaodamaquinaM1de15horas.Deacordocomoqueestudamosdometodosimplex,omodelodeprograma caolinearpode ser resolvido por um metodo de resolu cao de sistemas lineares e a programacao linearpodeservistacomoumaprimoramentodoMetododeGauss-Jordanpararesoluc aodesistemaslineares,incorporandoumaequa caoadicionalquerepresentaocomportamentoquedeveserotimizadoeutilizandoumsistematicaparatrocadevari aveisbasicasen aob asica.RoteiroPasso1: Introduzirasvari aveisdefolga;umaparacadadesigualdade.Passo2: Montarumquadroparaoscalculos,colocandooscoecie

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