Přímý šikmý prut - vsb.czfast10.vsb.cz/lausova/cv_05_20_sikmy_on-line.pdf · 2020. 4. 14. ·...
Transcript of Přímý šikmý prut - vsb.czfast10.vsb.cz/lausova/cv_05_20_sikmy_on-line.pdf · 2020. 4. 14. ·...
Přímý šikmý prut
http://fast10.vsb.cz/lausova
Střednice nosníku je odkloněna od os globálního
souřadného systému xz. Pro výpočet reakcí je většinou
zapotřebí převést veškeré zatížení (případně i směry
reakcí při šikmém podepření) do směrů os globálního
souřadného systému.
Naopak pro výpočet vnitřních sil je zapotřebí převést
směry všech vnějších sil do směrů kolmého anebo
rovnoběžného s osou prutu, to znamená do lokálního
souřadného systému prutu, kdy lokální osa x = osa
prutu.
Přímý šikmý prut
b
la
h
Rbz
Raz
Rbx
Postup řešení:
1. Vyřešíme geometrii nosníku (pro rozklady sil je třeba určit goniometrické funkce sklonu prutu)
Podle druhu zadání směru působícího zatížení na prut postupujeme individuálně viz následující 3
příklady.
2. Rozklady silového zatížení
rozklad zatížení pro výpočet reakcí do globálního souřadného systému os x a z
rozklad zatížení pro výpočet vnitřních sil do lokálního systému osy prutu:
do složek rovnoběžných s osou prutu (osová úloha, N síly)
do složek kolmých k ose prutu (příčná úloha, V síly a ohybové momenty)
Pro další řešení vnitřních sil jsou pravidla shodných s vodorovným prutem
x
z
α
Příklad 1 - Zatížení kolmé k ose prutu (sání a tlak větru)
b
a Rbz
Raz
Rbx
α
Vypočteme délku prutu:
Určíme sin α a cos α :
l´
l = 4
�´ = 4� + 3��= 5 m
h = 3α
sin � =3
5= 0,6
cos � =4
5= 0,8
1. Geometrie nosníku
l = 4
h = 3
q = 8 kN/m
Nechejte si na příklad dvoustranu v sešitě, ať
neotáčíte stranu při dalších výpočtech
Místo na průběhy
vnitřních sil
2. Náhradní břemeno a rozklad si pro výpočet reakcí
Rozklad zatížení Q do složek x a z:
Q
Qx
Qzα
α
osa prutu
vodorovná osa x
Náhradní břemeno musí mít stejný směr jako zadané
zatížení ( tady kolmo k ose prutu). Pro výpočet reakcí,
které působí v osách x a z, je zapotřebí převést q (respekt.
Q) do směrů os globálního souřadného systému.
Nekreslete Qx a Qz do obrázku moc výrazně, v dalším
výpočtu vnitřních sil už nebudeme potřebovat.
� = � ⋅ �´ = 8 · 5 = 40 kN Zatížení působí na délce prutu ab, Q je
obsah obdélníka o délce l´ a výšce q
Příklad 1 - Zatížení kolmé k ose prutu (sání a tlak větru)
∑ ��� = 0: −"#� + Qx�� = 0
Qx = Q ⋅ sin � = 40 ⋅ 0,6 = 24 kN
Qz = Q ⋅ cos � = 40 ⋅ 0,8 = 32 kN
∑ %�& = 0: −Q ·'
�
�� + "#� · 3 + "#( · 4 = 0
b
l=4a
h=3
Rbz
Raz
Rbx
α
Qq = 8 kN/m
Qx
Qz
∑ %�# = 0: Q ·'
�
�� − "&( · 4 = 0
∑ ��( = 0: −"&( − "#( + Qz �� = 0
Kontrola:
Rbx = 24 kN ( )
Rbz = 7 kN ( )
Raz = 25 kN ( )
x
z
3. Výpočet reakcí:
b
l=4a
h=3
Rbz
Raz
Rbxα
QVnitřní síly vynášíme v lokálním souřadném systému, kdy osa x je
osa prutu. Převedeme veškeré vnější síly do osy rovnoběžné a
kolmé s osou prutu. Je zapotřebí převést reakce. Zatížení q působí
kolmo k ose prutu, přímo v lokální ose z, proto jej ponecháme v
původním směru.
Rozklad vodorovné
reakce:
Rozklady svislých reakcí:
Příklad 1 - Zatížení kolmé k ose prutu (sání a tlak větru)
4. Rozklady vnějších sil pro výpočet vnitřních sil do lok.souř.syst.
R║bx
R┴bx
bRbx
αvodorovná osa x
R║az
R┴az
Raz
a α
α
vodorovná osa x
Kromě výpočtu složek reakcí v
lokálním souřadném systému
určíme pomocí grafického
rozkladu sil také směry těchto sil.
sin � =3
5= 0,6
cos � =4
5= 0,8
Rbz
αbR║bz
R┴bzα
kNRR
kNRR
kNRR
kNRR
kNRR
kNRR
bxbxII
bzbx
bzbzII
bzbz
azazII
azaz
16,7cos.
58,3sin.
19,1sin.
385,2cos.
96,5sin.
96,11cos.
==
==
==
==
==
==
⊥
⊥
⊥
αααααα 20 kN
15 kN
5,6 kN
4,2 kN
14,4 kN
19,2 kN
Rbx
kNRR
kNRR
kNRR
kNRR
kNRR
kNRR
bxbxII
bzbx
bzbzII
bzbz
azazII
azaz
16,7cos.
58,3sin.
19,1sin.
385,2cos.
96,5sin.
96,11cos.
==
==
==
==
==
==
⊥
⊥
⊥
αααααα20 kN
15 kN
5,6 kN
4,2 kN
14,4 kN
19,2 kN
b
l=4a
h=3α
Q
Příklad 1 - Zatížení kolmé k ose prutu (sání a tlak větru)
q = 8 kN/m 5. Vnitřní síly – N síly, osová úloha
R║bx
R┴bx
b
Rbx
αvodorovná osa x
R║az
R┴az
Raz
a α
α
vodorovná osa x
R║bx
R┴bx
R┴az
R┴bz
R║az
R║bz
R║bz
R║az
-15
N-15
Osová úlohaR║bx
Kromě výpočtu složek reakcí
v lokálním souřadném
systému určíme pomocí
grafického rozkladu sil také
směry těchto sil.
Rbz
αbR║bz
R┴bz
α
vodorovná osa x
kNRR
kNRR
kNRR
kNRR
kNRR
kNRR
bxbxII
bzbx
bzbzII
bzbz
azazII
azaz
16,7cos.
58,3sin.
19,1sin.
385,2cos.
96,5sin.
96,11cos.
==
==
==
==
==
==
⊥
⊥
⊥
αααααα20 kN
15 kN
5,6 kN
4,2 kN
14,4 kN
19,2 kN
b
l=4a
h=3α
Q
Příklad 1 - Zatížení kolmé k ose prutu (sání a tlak větru)
q = 8 kN/m 6. Vnitřní síly – V, M – příčná úloha
R║bx
R┴bx
bRbx
αvodorovná osa x
R║az
R┴azRaz
a α
α
vodorovná osa x
R║bx
R┴bxR┴az
R┴bz
R║az
R║bz
R┴bz
R┴az
q
Příčná úloha
V
M
1°
R┴bx
)*+ =
�,
-= 2,5 m
)*. =
�,
-= 2,5 m
%* = "&(⊥ · )* -
0·�12 �
�= 25 345
Příklad 2 - Zatížení svislé (vlastní tíha)
Vypočteme délku prutu:
Určíme sin α a cos α :
l = 4
�´ = 4� + 3��= 5 m
h = 3α
sin � =3
5= 0,6
cos � =4
5= 0,8
1. Geometrie nosníku
Raz
b
a Rbz
Rbx
α
l = 4
h = 3
q = 8 kN/m
Nechejte si na příklad dvoustranu v sešitě,
ať neotáčíte stranu při dalších výpočtech
Místo na průběhy
vnitřních sil
Raz
b
a Rbz
Rbx
α
Příklad 2 - Zatížení svislé (vlastní tíha)
2. Náhradní břemeno
l = 4
h = 3
q = 8 kN/m
Místo na průběhy
vnitřních sil
Q
Náhradní břemeno musí mít stejný směr jako zadané
zatížení, tady působí ve svislém směru, v globální ose z. Pro
výpočet reakcí tedy není třeba toto zatížení přepočítávat.
Zatížení působí na délce
prutu ab, Q je obsah
obdélníka o délce l´ a
výšce q
x
z� = � ⋅ �´ = 8 · 5 = 40 kN
Výsledné hodnoty:
Raz = 20 kN (↑)
Rbz = 20 kN (↑)
Rbx = 0 kN
3. Výpočet reakcí z podmínek rovnováhy
=⋅−⋅=
=⋅+⋅+⋅−=
==
042:0
0342:0
0:0
azib
bxbzia
bxix
RQM
RRQM
RF
=+−−= 0:0
:
QRRF
Kontrola
bzaziz
4. Rozklady sil pro výpočet vnitřních sil
Příklad 2 - Zatížení svislé (vlastní tíha)
qq┴
q║
α
α
Rozklad zatížení Q :
V tomto případě je třeba provést rozklady do
směru kolmého a rovnoběžného s osou prutu jak
reakcí tak i zatížení q.
R║az
R┴az
Raz
αa
V bodě a:
α
V bodě b:
Rbz
αbR║bz
R┴bzα
Q║
Q┴
Q
α
α
kNRR
kNRR
kNRR
kNRR
bzbzII
bzbz
azazII
azaz
12sin.
16cos.
12sin.
16cos.
==
==
==
==
⊥
⊥
αααα
kNQQ
kNQQ
II24sin.
32cos.
====⊥
αα
Rozklad zatížení q:
q┴ = q . cos α = 6,4 kN/m
q║ = q . sin α = 4,8 kN/m
sin � =3
5= 0,6
cos � =4
5= 0,8
Raz
b
a Rbz
Rbx
α
l = 4
h = 3
q = 8 kN/mQ
Rbz
bq = 8 kN/m
α
4
a
3
Raz
Rbx
R║bz
R║az
q║
-12
N
12
R┴bz
R┴az
q┴
Na = - R║az
NLb = Na+ q║l´
NPb = R║bz
Osová úloha
Příčná úloha
kNRR
kNRR
kNRR
kNRR
bzbzII
bzbz
azazII
azaz
12sin.
16cos.
12sin.
16cos.
==
==
==
==
⊥
⊥
αααα
kNQQ
kNQQ
II24sin.
32cos.
====⊥
αα
q║
q┴
Příklad 2 - Zatížení svislé (vlastní tíha)
5. Vnitřní síly – N síly – osová úloha
Nekreslíme v
příkladech, tady jen pro
vysvětlení a názornost
Nekreslíme v příkladech, tady
jen pro vysvětlení a názornost
Q║
q┴ = 6,4 kN/m
q║ = 4,8 kN/m
R║az
R┴az
Raz
αa
α
Rbz
αbR║bz
R┴bzα
Q║
Q┴Q
α
α
Q┴
R║az
R║bz
R┴az
R┴bz
Rbz
bq = 8 kN/m
α
4
a
3
Raz
Rbx
R┴bz
R┴az
q┴
Příčná úloha
V 1°
MMn= 20 kNm
Příklad 2 - Zatížení svislé (vlastní tíha)
Nekreslíme v příkladech
6. Vnitřní síly – N, M – příčná úloha
kNRR
kNRR
kNRR
kNRR
bzbzII
bzbz
azazII
azaz
12sin.
16cos.
12sin.
16cos.
==
==
==
==
⊥
⊥
αααα
kNQQ
kNQQ
II24sin.
32cos.
====⊥
αα
q┴ = 6,4 kN/m
q║ = 4,8 kN/m
Q┴
Q┴
R║az
R║bz
R┴az
R┴bz
Raz
b
a Rbz
Rbx
α
Příklad 3 - Zatížení na průmět (zatížení sněhem)
Vypočteme délku prutu:
Určíme sin α a cos α :
l´
l = 4
�´ = 4� + 3��= 5 m
h = 3α
sin � =3
5= 0,6
cos � =4
5= 0,8
1. Geometrie nosníku
h = 3
l = 4
q = 8 kN/m
Raz
b
l=4a
h
Rbz
Rbx
α
Q
q´Q´
� = � ⋅ �
�´ = �´ ⋅ �´
Při zatížení zadaném na průmět přepočteme hodnotu
spojitého zatížení z q na q´ z úvahy, že výsledné zatížení Q
musí být stejné jako Q´:
� ⋅ � = �´ ⋅ �´ ⇒ �´ =0·8
8´= 6,4 kN/m
A další postup už je shodný s předešlým příkladem.
2. Převod zatížení z průmětu na délku prutu
q = 8 kN/m