PÉLDATÁR A SZÁMÍTÓGÉPES TESZTHEZhuzsvai/okt/av_kmla221/feladatok.pdf · jük át. A feladat...
Transcript of PÉLDATÁR A SZÁMÍTÓGÉPES TESZTHEZhuzsvai/okt/av_kmla221/feladatok.pdf · jük át. A feladat...
PÉLDATÁR A SZÁMÍTÓGÉPES TESZTHEZ
ÍrtaDr. Huzsvai László
Debrecen2012
TartalomjegyzékBevezetés..............................................................................................................................................1Viszonyszámok.....................................................................................................................................1Középértékek (átlagok)........................................................................................................................2Szóródási mutatók................................................................................................................................4Indexek..................................................................................................................................................7Furfangos kérdések...............................................................................................................................8
BevezetésEz a rövid leírás a Statisztika c. tantárgy számítógépes vizsgáztató rendszeréhez készült. Az elmélet megtalálható a Statisztika tankönyvben. A továbbiakban a számítási feladatok néhány típusát tekintjük át. A feladat megoldások során a kiadott Képletgyűjtemény nagyban segíti a helyes eredmények meghatározását. A tesztben a számítási feladatok öt témakört ölelnek fel: viszonyszámok, átlagok, szóródási mutatók, indexek és furfangos kérdések. A számítások során nem érdemes kerekíteni, a végeredményt egytizedes pontossággal kell megadni. A számítógépes input ablakba, ahová a helyes eredményt várja a program, mértékegység nélkül kell beírni az eredményt. A tizedes elválasztóra nem érzékeny, lehet vessző és pont is. A megoldásra összesen 50 perc áll rendelkezésre.
Viszonyszámok1. feladatA magyarországi búzatermések alapján határozza meg a változás ütemének átlagát. (Az eredményt százalékban, egy tizedes pontossággal adja meg.)
Év Termés (ezer t)
2005. 41262006. 11372007. 49132008. 1149
Legelőször a változás ütemét kell meghatározni évenként. Ezt a láncviszonyszámok mutatják. Minden termés értéket el kell osztani a megelőző év termésével. Az első évben nincs láncviszonyszám, mivel nincs 2004. évi termés.
Év Láncviszonyszámok
2005. nincs2006. 1137/41262007. 4913/11372008. 1149/4913
A számítások elvégzése után:Év Láncviszonyszámok
2005. nincs2006. 0,27556955892007. 4,32102022872008. 0,2338693263
Ezután meg kell határozni a láncviszonyszámok átlagát az alábbi képlet alapjánLáncviszonyszámok mértani átlagának képlete:
V̄ L=n−1
√V L2⋅V L3⋅…⋅V Ln=n−1√∏i=2
n
V Li
1
Az összes láncviszonyszámot össze kell szorozni, és annyiadik gyököt kell vonni, ahány adatunk van.
3√0,275∗4,321∗0,234=0,653
A láncviszonyszámok átlaga tehát 0,653. Fejezzük ki százalékban. 0,653*100=65,3%.Ezt az eredményt kell beírni a számítógépes teszt input ablakába, de százalékjel nélkül, máskülönben hibát jelez a program. Tehát: 65,3 a helyes eredmény.
Középértékek (átlagok)1. feladat
Számítsa ki a gazdaság kukoricatermésének átlagát.
Tábla Méret (ha) Termésmennyiség (t)
T1 29 68T5 48 189T10 15 319T11 51 118T12 82 240
Öt szántóföldi táblának meg vannak adva a tábla méretei és a tábláról betakarított összes termései. A gazdaság átlag kukoricatermése az összes termés és az összes terület hányadosa.
68+189+319+118+24029+48+15+51+82
=4,15
A mértékegység t/ha. A számítógépes teszt input ablakába tehát 4,15 kerül.
2. feladat
Számítsa ki a gazdaság kukoricatermésének átlagát.
Tábla Méret (ha) Termésátlag (t/ha)T1 29 2,345T5 48 3,938T10 15 21,267T11 51 2,314T12 82 2,927
Öt szántóföldi táblának meg vannak adva a tábla méretei és a tábláról betakarított termésátlagok. A gazdaság átlag kukoricatermése ebben az esetben is az összes termés és az összes terület hányadosa.
Hogyan kapjuk meg az összes termést? A termésátlagokat megszorozzuk a tábla nagyságával, és összeadjuk őket. A gazdaság méretét a táblák összege adja meg. Ez egy súlyozott számtani átlag.
A súlyozott számtani átlag képlete:
X̄=∑ f i xi
∑ f i
Az f a súlyzó tényező, ebben a példában a tábla nagysága, x a kukorica termésátlaga.
2
Tábla fi xi fixi
T1 29 2,345 68T5 48 3,938 189T10 15 21,267 319T11 51 2,314 118T12 82 2,927 240
Összesen 225 934
Végezzük el osztást, illetve helyettesítsük be a súlyozott számtani átlag képletébe az összegeket.
X̄=934225
=4,15
A gazdaság kukorica termésátlaga tehát 4,15 t/ha. A teszt input ablakába tehát 4,15t kell írni, mértékegység nélkül.
3. feladat
Számítsa ki a gazdaság kukoricatermésének átlagát.
Tábla Termésátlag (t/ha)
Termésmennyiség (t)
T1 2,345 68T5 3,938 189T10 21,267 319T11 2,314 118T12 2,927 240
Öt szántóföldi táblának meg vannak adva tábláról betakarított termésátlagok és termésmennyiségek. A gazdaság átlag kukoricatermése ebben az esetben is az összes termés és az összes terület hányadosa. Itt nem ismerjük az összes területet.
Hogyan kapjuk meg az összes területet? A termésmennyiséget elosztjuk a termésátlaggal, és összeadjuk őket. Ez egy súlyozott harmonikus átlag.
A súlyozott harmonikus átlag képlete:
X̄h=
∑i=1
n
f i
∑i=1
n
f i1x i
Tábla xi fi fi*1/xi
T1 2,345 68 29T5 3,938 189 48T10 21,267 319 15T11 2,314 118 51T12 2,927 240 82
Összesen 934 225
3
Végezzük el osztást, illetve helyettesítsük be a súlyozott harmonikus átlag képletébe az összegeket.
X̄=934225
=4,15
A gazdaság kukorica termésátlaga tehát 4,15 t/ha. A teszt input ablakába tehát 4,15t kell írni, mértékegység nélkül.
4. feladatHatározza meg az alábbi váltakozó feszültség átlagát (effektív értékét).Feszültség (V)3131120132012560
A négyzetes átlag képlete:
X̄q=√∑i=1
n
x i2
n
X̄q=√ (−3132)+12
+(−1202)+(−12
)+3202+1252
+602
7=182,83
A negatív értékek négyzetre emelés után pozitívak lesznek. A tesztbe 182,8t kell írni.
Szóródási mutatók1. feladatHatározza meg az alábbi minta középértékének a 99%os megbízhatósági intervallum alsó határát.
1654919
45
A megbízhatósági intervallum más néven konfidencia intervallum meghatározásához ki kell számítani a minta számtani átlagát és standard hibáját.
A számtani átlag képlete:
X̄=∑ x i
n
4
16+54+91+9+45n
=43
A standard hiba képlete:
s x=s
√n
A standard hiba képletének számlálójában a mint szórása áll, tehát először ezt kell kiszámítani.A szórás képlete:
s=√∑i=1
n
(x i−x )2
n−1
A képlet számlálójában az eltérésnégyzetösszeg áll. Minden adatbók ki kell vonni a számtani átlagot, majd négyzetre kell emelni. Ezeket a négyzeteket kell majd összegezni.
adatok átlag adatokátlag (adatokátlag)2
16 43 27 72954 43 11 12191 43 48 23049 43 34 115645 43 2 4
Összesen: 4314
A nevezőben a megfigyelések mínusz egy áll. A szórás tehát:
s=√ 43144
=32,84
Ezt helyettesítsük be a standard hiba képletébe.
s x=32,84
√5=14,69
Ezek birtokában már meghatározhatjuk a számtani átlag megbízhatósági tartományának alsó határát. A lenti képlet a kétoldali szimmetrikus határokat mutatja. Ebben a példában csak a műtől balra eső részt kell használni.
A számtani átlag megbízhatósági tartománya:P( x̄−zα /2 s x̄⩽μ⩽ x̄+z α /2 s x̄)=1−α
A zérték 99%hoz tartozó értéke 2,58. Ez megtalálható a kiadott képletgyűjteményben.Tehát a konfidenciaintervallum alsó határa:432,58*14,69=5,17A tesztbe 5,17 lesz a helyes eredmény.
5
2. feladatHatározza meg az alábbi minta variációs együtthatóját más néven variációs koefficiensét.
1654919
45
Jelölése: Vr vagy CV. Képlete:
V r=CV=sx
100
Tehát a szórást és a számtani átlagot kell hozzá ismerni. Ezeket az 1. feladatban már meghatároztuk. Helyettesítsük be a képletbe.
V r=CV=32,84
43100=76,37%
A tesztben 76,37 a helyes eredmény.
3. feladatHatározza meg az alábbi minta relatív variációs koefficiensét.
1654919
45
Relatív variációs koefficiens:
V r (%)=s / x̄
√n100=
100 sx̄ √n
Ehhez ismerni kell a minta szórását, számtani átlagát és a megfigyelések számát. Az 1. feladatban ezeket már kiszámoltuk. Most ezt fogjuk használni.
V r(%)=32,84 /43
√5100=34,16%
A tesztben 34,16 a helyes eredmény.
4. feladatHatározza meg az alábbi minta középértékének a 95%os megbízhatósági intervallum felső határát.
1654919
45
6
A számtani átlag megbízhatósági tartománya:P( x̄−zα /2 s x̄⩽μ⩽ x̄+z α /2 s x̄)=1−α
Az átlagot és standard hibát az 1. feladatban már meghatároztuk. A 95%hoz tartozó zérték 1,96. Mivel a megbízhatósági tartomány felső szélét kell meghatározni, ezért csak műtől jobbra eső részt kell használni.43+1,96*14,69=71,79A számítógépes vizsgáztató program eredményablakába 71,8t kell írni.
Indexek1. feladatHatározza meg a bolt Fisherféle árindexét.
Értékesített mennyiség (kg) Értékesítési ár (Ft/kg)
2008.év 2009.év 2008.év 2009.év
226 882 57 67
613 1090 459 767
Az értékesített mennyiségeket qval, az árakat pvel jelöljük. A bázisidőszak (2008.) jele 0, a tárgyidőszaké 1, ezek alsó indebe kerülnek. A jelöléseket használva a táblázat így alakul.
q0 q1 p0 p1
2008.év 2009.év 2008.év 2009.év
226 882 57 67
613 1090 459 767
Képezzük a p és q keresztszorzatait.q0p0 q1p0 q0p1 q1p1
2008.év 2009.év 2008.év 2009.év
226*57 882*57 226*57 882*67
613*459 1090*459 613*459 1090*767
A szorzás elvégzése után az alábbi táblázatot kapjuk.
q0p0 q1p0 q0p1 q1p1
12882 50274 15142 59094
281367 500310 470171 836030
Összeg 294249 550584 485313 895124
7
A Fisherféle árindex:I p
F=√I p0⋅I p
1
A gyökjelt alatt az első tag a bázisidőszaki súlyozású árindex.A bázisidőszaki súlyozású árindex képlete:
I p0=
∑i=1
n
q0 p1
∑i=1
n
q0 p0
A gyökjel alatt a második tag tárgyidőszaki árindex.A tárgyidőszaki súlyozású árindex képlete:
I p1=
∑i=1
n
q1 p1
∑i=1
n
q1 p0
Határozzuk meg az első tagot.
I p0=
485313294249
=1,65
Utána a másodikat.
I p1=
895124550584
=1,63
Számítsuk ki a négyzetes átlagát.I p
F=√1,65⋅1,63=1,6375
Százalékban kifejezve 1,6375*100=163,75%.A tesztbe egy tizedesre kerekítve kell az eredményt beírni, tehát 163,8 kerül.
2. feladatHatározza meg a bolt értékindexét.
Értékesített mennyiség (kg) Értékesítési ár (Ft/kg)
2008.év 2009.év 2008.év 2009.év
226 882 57 67
613 1090 459 767
8
Furfangos kérdések1. feladatA piros fűnyíró egy óra alatt 8 ha, a kék 4 ha és a sárga 4 ha gyepet vág le. Együtt dolgozva hány óra alatt vágják le a 100 haos golfpályát, ha egyszerre kezdenek?Mivel a megadott teljesítmény mutatók egyenes mutatók, pl. 8 ha/óra, ezért a három teljesítmény összeadódik.
8+4+4=16
Tehát hárman óránként 16 ha gyepet vágnak le. A 100 haos területtel tehát 100/16=6,25 óra alatt végeznek.
2. feladat
A piros kombájn 1 óra alatt, a kék 3 óra és a sárga 30 óra alatt takarítja be az őszi búzát. Együtt dolgozva hány óra alatt végeznek, ha egyszerre kezdenek?
A megadott teljesítmény mutatók fordított mutatók: óra/terület, ezért az átlagteljesítmény kiszámításakor harmonikus átlagot kell számítani.
A harmonikus átlag képlete:
X̄h=1
∑i=1
n1xi
n
=n
∑i=1
n1x i
X̄ h=3
11+
13+
130
=2,195
A három gép átlagteljesítménye tehát 2,195 óra. Mivel három gép dolgozik egyszerre, egyharmad idő alatt végeznek, tehát 2,195/3=0,732. A tesztben 0,7 a helyes eredmény.
3. feladatA dolgozók munkabére 20002005 év között 129%os mértékben változott. Mennyi volt a változás átlagos éves üteme?Ebben a feladatban a bázisviszonyszámból kell meghatározni a változás ütemének éves átlagát.
A változás ütemének átlaga:V̄ L=
n−1√V Bn
Összesen hat év van 20002005 év között, tehát n=6. A változás mértéke 129%. A számításokat nem a százalékos értékekkel végezzük, tehát a 129% helyett 1,29t használunk.V̄ L=
6−1√1,29=1,052
Százalékban kifejezve 105,2%. A vizsgáztató programba 105,2 fog kerülni.
9
4. feladatA dolgozók munkabére 2009. évben az első két hónapban havonta 1,8%kal, szeptemberig havonta 1,2%kal és az utolsó négy hónapban havonta 5%kal változott. Hány százalékkal változott a fizetés havi átlagban?A változás mértéke az első két hónapban 1001,8=98,2%. Szeptemberig 1001,2=98,8%. Az utolsó négy hónapban 100+5=105%. Ezeknek kell meghatározni a havi átlagát. Ez egy súlyozott geometriai átlag, ahol a súlyzótényező a hónap. A számításokat itt is nem a százalékos értékkel kell elvégezni.
A súlyozott geometria átlag képlete:
X̄ g=∑i=1
n
f i
√∏i=1
n
x if i
Ahol:n: az x adatok számafi: az xhez tartozó időszakok száma
Helyettesítsük be a fenti képletbe az adatainkat.X̄ g=
2+6+4√0,9822⋅0,9886⋅1,054=1,00722
Százalékos formában 100,722%. A változás havi üteme tehát 100,722% volt, tehát a fizetések havonta 0,722%kal nőttek.A teszt eredményablakába tehát 0,7 kerül, ez adja a helyes eredményt.
10