Platonova tela

Simović Igor 190/09 Simić Đorđe 219/09

Veljković Nemanja 87/09 Nikolić Nikola 203/08

Poliedar čije su sve strane regularni podudarni mnogouglovi i čiji su svi rogljevi podudarni naziva se regularan poliedar.

Konveksni regularni poliedri su poznati pod nazivom Platonova tela. Njihove strane su podudarni pravilni mnogouglovi, a rogljevi su međusobno podudarni i konveksni.

To znači da su sve strane jednog poliedra pravilni mnogouglovi sa istim brojem q medjusobno jednakih stranica i u temenu svakog roglja se sustiče isti broj p tih mnogouglova.

Uvodi se oznaka:

{p,q} p – broj ivica u temenuq – broj ivica u pljosni

Postoji tačno pet Platonovih tela:

{3,3} tetraedar {3,4} heksaedar {4,3} oktaedar

{3,5} dodekaedar {5,3} ikosaedar

Dualna telaU geometriji poliedri se posmatraju u parovima.Svako Platonovo telo ima svoje dualno telo koje se dobija tako sto:

Nadje se teziste svake od pljosni polaznog poliedra i time dobiju temena njemu dualnog tela.

Zatim se povezu ona temena koja predstavljaju tezista susednih pljosni polaznog poliedra i time se dobijaju ivice dualnog tela

Dualni poliedar dualnog poliedra je polazni poliedar.

UZAJAMNI ODNOS PLATONOVIH TELA - DUALNI POLIEDRI

Poliedar dualan sam sebi tetraedar {3.3}

UZAJAMNI ODNOS PLATONOVIH TELA - DUALNI POLIEDRI

Medjusobno dualni poliedri Kocka {3,4} i oktaedar {4,3}

Uzajamno dualni poliedridodekaedar {3,5} i ikosaedar {5,3}

UZAJAMNI ODNOS PLATONOVIH TELA - DUALNI POLIEDRI

Numeričke karakteristike Platonovih tela

{p,q} – karakteristika poliedra p – broj strana koje se sustiču u istom temenu q – broj temena (stranica) strane poliedra T – broj temena poliedra P – broj pljosni poliedra I – broj ivica poliedra

pkTS

qpPT

22pPqTI

Poliedar Karakteristika{p,q}

Broj temena

[T]

Broj ivica

[I]

Broj pljosni

[P]

Tačne vrednosti diedralnih uglova

Približne vrednosti

tetraedar 4 6 4

heksaedar 8 12 6

oktaedar 6 12 8

dodekaedar 20 30 12

ikosaedar 12 30 20

33,

31cosarc 05370.

4,3 2

090

3,4

31

cosarc 047109.

5,3 2tanarc 056116.

3,5

35

cosarc 019138.

Numeričke karakteristike Platonovih tela