Platonische K¨orper - KIT · Platonische K¨orper Tetraeder Hexaeder Oktaeder Dodekaeder Ikosaeder...
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Platonische KorperTetraederHexaederOktaeder
DodekaederIkosaeder
Platonische Korper
Annamaria Jahn
Proseminar fur Lehramt
11.12.2006
Annamaria Jahn Platonische Korper
Platonische KorperTetraederHexaederOktaeder
DodekaederIkosaeder
I Platonische Korper
I TetraederI HexaederI OktaederI DodekaederI Ikosaeder
I Eigenschaften
I Geschichtliches
I Vorkommen
Annamaria Jahn Platonische Korper
Platonische KorperTetraederHexaederOktaeder
DodekaederIkosaeder
Platonische Korper
Polyeder
I Seitenflachen sind zueinander kongruente regelmaßige Vielecke
I Ecken werden von gleich vielen Kanten gebildet (und schließen untersich gleiche Flachenwinkel ein)
Annamaria Jahn Platonische Korper
Platonische KorperTetraederHexaederOktaeder
DodekaederIkosaeder
Platonische Korper
Polyeder
I Seitenflachen sind zueinander kongruente regelmaßige Vielecke
I Ecken werden von gleich vielen Kanten gebildet (und schließen untersich gleiche Flachenwinkel ein)
Annamaria Jahn Platonische Korper
Platonische KorperTetraederHexaederOktaeder
DodekaederIkosaeder
Platonische Korper
Polyeder
I Seitenflachen sind zueinander kongruente regelmaßige Vielecke
I Ecken werden von gleich vielen Kanten gebildet (und schließen untersich gleiche Flachenwinkel ein)
Annamaria Jahn Platonische Korper
Platonische KorperTetraederHexaederOktaeder
DodekaederIkosaeder
FormelnSymmetrieBeziehungen zu anderen Polyedern
Tetraeder
Tetraeder (griech.): tetraedron = Vierflachner
I 4 kongruente gleichseitige Dreiecke als Flachen
I 6 gleichlange Kanten
I 4 Ecken
I 3 zusammentreffende Flachen
Annamaria Jahn Platonische Korper
Platonische KorperTetraederHexaederOktaeder
DodekaederIkosaeder
FormelnSymmetrieBeziehungen zu anderen Polyedern
Tetraeder
Tetraeder (griech.): tetraedron = Vierflachner
I 4 kongruente gleichseitige Dreiecke als Flachen
I 6 gleichlange Kanten
I 4 Ecken
I 3 zusammentreffende Flachen
Annamaria Jahn Platonische Korper
Platonische KorperTetraederHexaederOktaeder
DodekaederIkosaeder
FormelnSymmetrieBeziehungen zu anderen Polyedern
Tetraeder
Tetraeder (griech.): tetraedron = Vierflachner
I 4 kongruente gleichseitige Dreiecke als Flachen
I 6 gleichlange Kanten
I 4 Ecken
I 3 zusammentreffende Flachen
Annamaria Jahn Platonische Korper
Platonische KorperTetraederHexaederOktaeder
DodekaederIkosaeder
FormelnSymmetrieBeziehungen zu anderen Polyedern
Formeln
Seitenflache A = 14
√3 · a2
Oberflache O =√
3 · a2
Hohe h =√
23 · a
Volumen V = 13 · h · A = 1
12
√2 · a3
Umkugelradius RU = 14
√6 · a
Inkugelradius RI = 112
√6 · a
Der Tetraederwinkel:Die Verbindungsstrecken zwischen dem Tetraedermittelpunkt und zweiEcken schließen jeweils einen Winkel ein, der als Tetraederwinkelbezeichnet wird:τ = arccos− 1
3
Annamaria Jahn Platonische Korper
Platonische KorperTetraederHexaederOktaeder
DodekaederIkosaeder
FormelnSymmetrieBeziehungen zu anderen Polyedern
Formeln
Seitenflache A = 14
√3 · a2
Oberflache O =√
3 · a2
Hohe h =√
23 · a
Volumen V = 13 · h · A = 1
12
√2 · a3
Umkugelradius RU = 14
√6 · a
Inkugelradius RI = 112
√6 · a
Der Tetraederwinkel:Die Verbindungsstrecken zwischen dem Tetraedermittelpunkt und zweiEcken schließen jeweils einen Winkel ein, der als Tetraederwinkelbezeichnet wird:τ = arccos− 1
3
Annamaria Jahn Platonische Korper
Platonische KorperTetraederHexaederOktaeder
DodekaederIkosaeder
FormelnSymmetrieBeziehungen zu anderen Polyedern
SymmetrieDas Tetraeder hat
I 4 dreizahlige Drehachsen (durch die Ecken und die Mitten dergegenuberliegenden Seitenflachen)
I 3 zweizahlige Drehachsen (durch die Mittelpunktegegenuberliegender Kanten)
I 6 Symmetrieebenen (jeweils durch eine Kante und senkrecht zurgegenuberliegenden Kante)
Die Tetraedergruppe hat 24 Elemente. Sie ist Untergruppe derOktaedergruppe.
Annamaria Jahn Platonische Korper
Platonische KorperTetraederHexaederOktaeder
DodekaederIkosaeder
FormelnSymmetrieBeziehungen zu anderen Polyedern
SymmetrieDas Tetraeder hat
I 4 dreizahlige Drehachsen (durch die Ecken und die Mitten dergegenuberliegenden Seitenflachen)
I 3 zweizahlige Drehachsen (durch die Mittelpunktegegenuberliegender Kanten)
I 6 Symmetrieebenen (jeweils durch eine Kante und senkrecht zurgegenuberliegenden Kante)
Die Tetraedergruppe hat 24 Elemente. Sie ist Untergruppe derOktaedergruppe.
Annamaria Jahn Platonische Korper
Platonische KorperTetraederHexaederOktaeder
DodekaederIkosaeder
FormelnSymmetrieBeziehungen zu anderen Polyedern
Die 24 Permutationsmoglichkeiten setzen sich zusammen aus 12Drehungen:
I die identische Abbildung
I 8 Drehungen um 120◦ (4 dreizahlige Drehachsen, 2 Moglichkeitenfur den Drehsinn)
I 3 Drehungen um 180◦ (drei zweizahlige Drehachsen),
sowie 12 Spiegelungen:
I 6 Ebenenspiegelungen (an 6 Symmetrieebenen)
I 6 Drehspiegelungen (Ebenenspiegelungen, jeweils kombiniert miteiner nachfolgenden 90◦-Drehung)
Annamaria Jahn Platonische Korper
Platonische KorperTetraederHexaederOktaeder
DodekaederIkosaeder
FormelnSymmetrieBeziehungen zu anderen Polyedern
Die 24 Permutationsmoglichkeiten setzen sich zusammen aus 12Drehungen:
I die identische Abbildung
I 8 Drehungen um 120◦ (4 dreizahlige Drehachsen, 2 Moglichkeitenfur den Drehsinn)
I 3 Drehungen um 180◦ (drei zweizahlige Drehachsen),
sowie 12 Spiegelungen:
I 6 Ebenenspiegelungen (an 6 Symmetrieebenen)
I 6 Drehspiegelungen (Ebenenspiegelungen, jeweils kombiniert miteiner nachfolgenden 90◦-Drehung)
Annamaria Jahn Platonische Korper
Platonische KorperTetraederHexaederOktaeder
DodekaederIkosaeder
FormelnSymmetrieBeziehungen zu anderen Polyedern
Beziehungen zu anderen Polyedern
I Dualtitat
I Das Tetraeder ist zu sich selbst dual.
I aneu = 13a
Annamaria Jahn Platonische Korper
Platonische KorperTetraederHexaederOktaeder
DodekaederIkosaeder
FormelnSymmetrieBeziehungen zu anderen Polyedern
Beziehungen zu anderen Polyedern
I Dualtitat
I Das Tetraeder ist zu sich selbst dual.
I aneu = 13a
Annamaria Jahn Platonische Korper
Platonische KorperTetraederHexaederOktaeder
DodekaederIkosaeder
FormelnSymmetrieBeziehungen zu anderen Polyedern
Beziehungen zu anderen Polyedern
I Dualtitat
I Das Tetraeder ist zu sich selbst dual.
I aneu = 13a
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Platonische KorperTetraederHexaederOktaeder
DodekaederIkosaeder
FormelnSymmetrieBeziehungen zu anderen Polyedern
I Durchschnitt zweier Tetraeder: das abgestumpfte Tetraeder mit 4Sechsecken und 4 Dreiecken (Tetraedergruppe)
Annamaria Jahn Platonische Korper
Platonische KorperTetraederHexaederOktaeder
DodekaederIkosaeder
FormelnSymmetrieBeziehungen zu anderen Polyedern
I umschreibender Wurfel
Tetraeder in einen Wurfel einbeschrieben:
I 4 Ecken: 4 WurfeleckenI 6 Kanten: Diagonalen der 6 WurfelflachenI VW = 3VT = 1
4
√2 · a3
(a = dW ; aW = 12
√2 · a)
I zwei mogliche Lagen des Tetraeders (8 Wurfelecken)I Durchschnitt beider Tetraeder: Oktaeder mit 4+4 = 8
Dreiecken und 6 EckenI Vereinigung beider Tetraeder: SternkorperI Wurfel: konvexe Hulle dieses Sternkorpers
Annamaria Jahn Platonische Korper
Platonische KorperTetraederHexaederOktaeder
DodekaederIkosaeder
FormelnSymmetrieBeziehungen zu anderen Polyedern
I umschreibender Wurfel
Tetraeder in einen Wurfel einbeschrieben:
I 4 Ecken: 4 WurfeleckenI 6 Kanten: Diagonalen der 6 WurfelflachenI VW = 3VT = 1
4
√2 · a3
(a = dW ; aW = 12
√2 · a)
I zwei mogliche Lagen des Tetraeders (8 Wurfelecken)I Durchschnitt beider Tetraeder: Oktaeder mit 4+4 = 8
Dreiecken und 6 EckenI Vereinigung beider Tetraeder: SternkorperI Wurfel: konvexe Hulle dieses Sternkorpers
Annamaria Jahn Platonische Korper
Platonische KorperTetraederHexaederOktaeder
DodekaederIkosaeder
FormelnSymmetrieBeziehungen zu anderen Polyedern
I einbeschriebenes Oktaeder
I 4 Oktaederflachen: 4 TetraederflachenI 6 Oktaederecken: Mittelpunkte der 6 TetraederkantenI zwei moglich Lagen des Oktaeders (8 Oktaederflachen)
I quadratische Schnittflache
Schnitt des Tetraeders in zwei kongruente Teile: Schnittflache ist einQuadrat
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DodekaederIkosaeder
FormelnSymmetrieBeziehungen zu anderen Polyedern
I einbeschriebenes Oktaeder
I 4 Oktaederflachen: 4 TetraederflachenI 6 Oktaederecken: Mittelpunkte der 6 TetraederkantenI zwei moglich Lagen des Oktaeders (8 Oktaederflachen)
I quadratische Schnittflache
Schnitt des Tetraeders in zwei kongruente Teile: Schnittflache ist einQuadrat
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Platonische KorperTetraederHexaederOktaeder
DodekaederIkosaeder
FormelnSymmetrieBeziehungen zu anderen Polyedern
Hexaeder
Hexaeder (griech.): hexaedron = Sechsflachner = Wurfel
I 6 kongruente Quadrate als Flachen
I 12 gleichlange Kanten
I 8 Ecken
I 3 zusammentreffende Flachen
spezieller (namlich gleichseitiger) Quaderspezielles gerades quadratisches Prisma
Annamaria Jahn Platonische Korper
Platonische KorperTetraederHexaederOktaeder
DodekaederIkosaeder
FormelnSymmetrieBeziehungen zu anderen Polyedern
Hexaeder
Hexaeder (griech.): hexaedron = Sechsflachner = Wurfel
I 6 kongruente Quadrate als Flachen
I 12 gleichlange Kanten
I 8 Ecken
I 3 zusammentreffende Flachen
spezieller (namlich gleichseitiger) Quaderspezielles gerades quadratisches Prisma
Annamaria Jahn Platonische Korper
Platonische KorperTetraederHexaederOktaeder
DodekaederIkosaeder
FormelnSymmetrieBeziehungen zu anderen Polyedern
Hexaeder
Hexaeder (griech.): hexaedron = Sechsflachner = Wurfel
I 6 kongruente Quadrate als Flachen
I 12 gleichlange Kanten
I 8 Ecken
I 3 zusammentreffende Flachen
spezieller (namlich gleichseitiger) Quaderspezielles gerades quadratisches Prisma
Annamaria Jahn Platonische Korper
Platonische KorperTetraederHexaederOktaeder
DodekaederIkosaeder
FormelnSymmetrieBeziehungen zu anderen Polyedern
Hexaeder
Hexaeder (griech.): hexaedron = Sechsflachner = Wurfel
I 6 kongruente Quadrate als Flachen
I 12 gleichlange Kanten
I 8 Ecken
I 3 zusammentreffende Flachen
spezieller (namlich gleichseitiger) Quaderspezielles gerades quadratisches Prisma
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DodekaederIkosaeder
FormelnSymmetrieBeziehungen zu anderen Polyedern
Hexaeder
Hexaeder (griech.): hexaedron = Sechsflachner = Wurfel
I 6 kongruente Quadrate als Flachen
I 12 gleichlange Kanten
I 8 Ecken
I 3 zusammentreffende Flachen
spezieller (namlich gleichseitiger) Quaderspezielles gerades quadratisches Prisma
Annamaria Jahn Platonische Korper
Platonische KorperTetraederHexaederOktaeder
DodekaederIkosaeder
FormelnSymmetrieBeziehungen zu anderen Polyedern
Formeln
Seitenflache A = a2
Oberflache O = 6a2
Volumen V = a3
Lange der Raumdiagonalen d =√
3 · a
Umkugelradius RU = 12d = 1
2
√3 · a
Innenkugelradius RI = 12a
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Platonische KorperTetraederHexaederOktaeder
DodekaederIkosaeder
FormelnSymmetrieBeziehungen zu anderen Polyedern
SymmetrieDas Hexaeder hat
I 3 vierzahlige Drehachsen (durch die Mittelpunktegegenuberliegender Seiten)
I 4 dreizahlige Drehachsen (durch gegenuberliegende Ecken)
I 6 zweizahlige Drehachsen (durch die Mittelpunktegegenuberliegender Kanten)
I 9 Spiegelebenen (sechs Ebenen durch jeweils vier Ecken, dreiEbenen durch je vier Kantenmittelpunkte)
I 3 vierzahlige Drehspiegelachsen (durch die Mittelpunktegegenuberliegender Seiten)
I 4 dreizahlige Drehspiegelachsen (durch gegenuberliegende Ecken)
I eine Punktsymmetrie zum Zentrum
Die Hexaedergruppe hat 48 Elemente.
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Platonische KorperTetraederHexaederOktaeder
DodekaederIkosaeder
FormelnSymmetrieBeziehungen zu anderen Polyedern
SymmetrieDas Hexaeder hat
I 3 vierzahlige Drehachsen (durch die Mittelpunktegegenuberliegender Seiten)
I 4 dreizahlige Drehachsen (durch gegenuberliegende Ecken)
I 6 zweizahlige Drehachsen (durch die Mittelpunktegegenuberliegender Kanten)
I 9 Spiegelebenen (sechs Ebenen durch jeweils vier Ecken, dreiEbenen durch je vier Kantenmittelpunkte)
I 3 vierzahlige Drehspiegelachsen (durch die Mittelpunktegegenuberliegender Seiten)
I 4 dreizahlige Drehspiegelachsen (durch gegenuberliegende Ecken)
I eine Punktsymmetrie zum Zentrum
Die Hexaedergruppe hat 48 Elemente.
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Platonische KorperTetraederHexaederOktaeder
DodekaederIkosaeder
FormelnSymmetrieBeziehungen zu anderen Polyedern
Beziehungen zu anderen Polyedern
I Dualitat
Der Hexaeder ist zum Oktaeder dual.
I einbeschriebenes Tetraeder
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Platonische KorperTetraederHexaederOktaeder
DodekaederIkosaeder
FormelnSymmetrieBeziehungen zu anderen Polyedern
Beziehungen zu anderen Polyedern
I Dualitat
Der Hexaeder ist zum Oktaeder dual.
I einbeschriebenes Tetraeder
Annamaria Jahn Platonische Korper
Platonische KorperTetraederHexaederOktaeder
DodekaederIkosaeder
FormelnSymmetrieBeziehungen zu anderen Polyedern
I weitere Korper
I abgestumpftes Hexaeder (6 Achtecke, 8 Dreiecke)
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Platonische KorperTetraederHexaederOktaeder
DodekaederIkosaeder
FormelnSymmetrieBeziehungen zu anderen Polyedern
I Kuboktaeder (6 Quadrate, 8 Dreiecke)
I abgestumpftes Oktaeder (6 Quadrate, 8 Sechsecke)
Annamaria Jahn Platonische Korper
Platonische KorperTetraederHexaederOktaeder
DodekaederIkosaeder
FormelnSymmetrieBeziehungen zu anderen Polyedern
I Kuboktaeder (6 Quadrate, 8 Dreiecke)
I abgestumpftes Oktaeder (6 Quadrate, 8 Sechsecke)
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Platonische KorperTetraederHexaederOktaeder
DodekaederIkosaeder
FormelnSymmetrieBeziehungen zu anderen Polyedern
I Rhombendodekaeder (12 Rhomben)
konvexe Hulle einer Vereinigung: Wurfel - Oktaeder
Das Hexaeder ist Baustein der regularen Wurfelparkettierung.
Annamaria Jahn Platonische Korper
Platonische KorperTetraederHexaederOktaeder
DodekaederIkosaeder
FormelnSymmetrieBeziehungen zu anderen Polyedern
I Rhombendodekaeder (12 Rhomben)
konvexe Hulle einer Vereinigung: Wurfel - Oktaeder
Das Hexaeder ist Baustein der regularen Wurfelparkettierung.
Annamaria Jahn Platonische Korper
Platonische KorperTetraederHexaederOktaeder
DodekaederIkosaeder
FormelnSymmetrieBeziehungen zu anderen Polyedern
Oktaeder
Oktaeder (griech.): oktaedron = Achtflachner,
I 8 kongruente gleichseitige Dreiecke als Flachen
I 12 gleichlange Kanten
I 6 Ecken
I 4 zusammentreffende Flachen
gleichseitige vierseitige Bipyramidegleichseitiges Antiprisma
Annamaria Jahn Platonische Korper
Platonische KorperTetraederHexaederOktaeder
DodekaederIkosaeder
FormelnSymmetrieBeziehungen zu anderen Polyedern
Oktaeder
Oktaeder (griech.): oktaedron = Achtflachner,
I 8 kongruente gleichseitige Dreiecke als Flachen
I 12 gleichlange Kanten
I 6 Ecken
I 4 zusammentreffende Flachen
gleichseitige vierseitige Bipyramidegleichseitiges Antiprisma
Annamaria Jahn Platonische Korper
Platonische KorperTetraederHexaederOktaeder
DodekaederIkosaeder
FormelnSymmetrieBeziehungen zu anderen Polyedern
Oktaeder
Oktaeder (griech.): oktaedron = Achtflachner,
I 8 kongruente gleichseitige Dreiecke als Flachen
I 12 gleichlange Kanten
I 6 Ecken
I 4 zusammentreffende Flachen
gleichseitige vierseitige Bipyramidegleichseitiges Antiprisma
Annamaria Jahn Platonische Korper
Platonische KorperTetraederHexaederOktaeder
DodekaederIkosaeder
FormelnSymmetrieBeziehungen zu anderen Polyedern
Oktaeder
Oktaeder (griech.): oktaedron = Achtflachner,
I 8 kongruente gleichseitige Dreiecke als Flachen
I 12 gleichlange Kanten
I 6 Ecken
I 4 zusammentreffende Flachen
gleichseitige vierseitige Bipyramidegleichseitiges Antiprisma
Annamaria Jahn Platonische Korper
Platonische KorperTetraederHexaederOktaeder
DodekaederIkosaeder
FormelnSymmetrieBeziehungen zu anderen Polyedern
Formeln
Seitenflache A = 14
√3 · a2
Oberflache O = 8 · A = 2√
3 · a2
Hohe h2 = 1
2
√2 · a
Volumen V = 2 · 13 · h · a
2 = 13
√2 · a3
Umkugelradius RU = h2 = 1
2
√2 · a
Inkugelradius RI = 16
√6 · a
Annamaria Jahn Platonische Korper
Platonische KorperTetraederHexaederOktaeder
DodekaederIkosaeder
FormelnSymmetrieBeziehungen zu anderen Polyedern
Symmetrie
Das Oktaeder hat
I 3 vierzahlige Drehachsen (durch gegenuber liegende Ecken)
I 4 dreizahlige Drehachsen (durch die Mittelpunkte gegenuberliegender Flachen)
I 6 zweizahlige Drehachsen (durch die Mittelpunkte gegenuberliegender Kanten)
I 9 Symmetrieebenen (drei Ebenen durch je vier Ecken, sechs Ebenendurch jeweils zwei Ecken und zwei Kantenmittelpunkte)
I eine Punktsymmetrie zum Zentrum
Oktaedergruppe = Hexaedergruppe (48 Elemente)
Annamaria Jahn Platonische Korper
Platonische KorperTetraederHexaederOktaeder
DodekaederIkosaeder
FormelnSymmetrieBeziehungen zu anderen Polyedern
Symmetrie
Das Oktaeder hat
I 3 vierzahlige Drehachsen (durch gegenuber liegende Ecken)
I 4 dreizahlige Drehachsen (durch die Mittelpunkte gegenuberliegender Flachen)
I 6 zweizahlige Drehachsen (durch die Mittelpunkte gegenuberliegender Kanten)
I 9 Symmetrieebenen (drei Ebenen durch je vier Ecken, sechs Ebenendurch jeweils zwei Ecken und zwei Kantenmittelpunkte)
I eine Punktsymmetrie zum Zentrum
Oktaedergruppe = Hexaedergruppe (48 Elemente)
Annamaria Jahn Platonische Korper
Platonische KorperTetraederHexaederOktaeder
DodekaederIkosaeder
FormelnSymmetrieBeziehungen zu anderen Polyedern
Beziehungen zu anderen Polyedern
I Dualitat
Das Oktaeder ist zum Hexaeder dual.
I regulares Sterntetraeder
I weitere Korper
Annamaria Jahn Platonische Korper
Platonische KorperTetraederHexaederOktaeder
DodekaederIkosaeder
FormelnSymmetrieBeziehungen zu anderen Polyedern
Beziehungen zu anderen Polyedern
I Dualitat
Das Oktaeder ist zum Hexaeder dual.
I regulares Sterntetraeder
I weitere Korper
Annamaria Jahn Platonische Korper
Platonische KorperTetraederHexaederOktaeder
DodekaederIkosaeder
FormelnSymmetrieBeziehungen zu anderen Polyedern
Dodekaeder
Dodekaeder (griech.): dodekaedron = Zwolfflachner= Pentagondodekaeder
I 12 kongruente regelmaßige Funfecke als Flachen
I 30 gleich lange Kanten
I 20 Ecken
I 3 zusammentreffende Flachen
Annamaria Jahn Platonische Korper
Platonische KorperTetraederHexaederOktaeder
DodekaederIkosaeder
FormelnSymmetrieBeziehungen zu anderen Polyedern
Dodekaeder
Dodekaeder (griech.): dodekaedron = Zwolfflachner= Pentagondodekaeder
I 12 kongruente regelmaßige Funfecke als Flachen
I 30 gleich lange Kanten
I 20 Ecken
I 3 zusammentreffende Flachen
Annamaria Jahn Platonische Korper
Platonische KorperTetraederHexaederOktaeder
DodekaederIkosaeder
FormelnSymmetrieBeziehungen zu anderen Polyedern
Dodekaeder
Dodekaeder (griech.): dodekaedron = Zwolfflachner= Pentagondodekaeder
I 12 kongruente regelmaßige Funfecke als Flachen
I 30 gleich lange Kanten
I 20 Ecken
I 3 zusammentreffende Flachen
Annamaria Jahn Platonische Korper
Platonische KorperTetraederHexaederOktaeder
DodekaederIkosaeder
FormelnSymmetrieBeziehungen zu anderen Polyedern
Dodekaeder
Dodekaeder (griech.): dodekaedron = Zwolfflachner= Pentagondodekaeder
I 12 kongruente regelmaßige Funfecke als Flachen
I 30 gleich lange Kanten
I 20 Ecken
I 3 zusammentreffende Flachen
Annamaria Jahn Platonische Korper
Platonische KorperTetraederHexaederOktaeder
DodekaederIkosaeder
FormelnSymmetrieBeziehungen zu anderen Polyedern
Formeln
Seitenflache A = 14
√25 + 10
√5 · a2
Oberflache O = 12 · A = 3√
25 + 10√
5 · a2
Funfeck-Hohe h = 12
√(5 + 2
√5) · a
Volumen V = 12 · 13 · RI · A = 1
4
(15 + 7
√5)· a3
Umkugelradius RU = 14
√6(3 +
√5) · a
Inkugelradius RI = 120
√5(50 + 22
√5) · a
Annamaria Jahn Platonische Korper
Platonische KorperTetraederHexaederOktaeder
DodekaederIkosaeder
FormelnSymmetrieBeziehungen zu anderen Polyedern
Symmetrie
Das Dodekaeder hat
I 6 funfzahlige Drehachsen (durch gegenuber liegendeFlachenmittelpunkte)
I 10 dreizahlige Drehachsen (durch gegenuber liegende Ecken)
I 15 zweizahlige Drehachsen (durch die Mittelpunkte gegenuberliegender Kanten)
I 15 Symmetrieebenen (durch einander gegenuber liegende - undparallele - Kanten)
I eine Punktspiegelung am Zentrum
Die Dodekaedergruppe hat 120 Elemente.Dodekaeder bilden keine periodische Raumstruktur.
Annamaria Jahn Platonische Korper
Platonische KorperTetraederHexaederOktaeder
DodekaederIkosaeder
FormelnSymmetrieBeziehungen zu anderen Polyedern
Symmetrie
Das Dodekaeder hat
I 6 funfzahlige Drehachsen (durch gegenuber liegendeFlachenmittelpunkte)
I 10 dreizahlige Drehachsen (durch gegenuber liegende Ecken)
I 15 zweizahlige Drehachsen (durch die Mittelpunkte gegenuberliegender Kanten)
I 15 Symmetrieebenen (durch einander gegenuber liegende - undparallele - Kanten)
I eine Punktspiegelung am Zentrum
Die Dodekaedergruppe hat 120 Elemente.Dodekaeder bilden keine periodische Raumstruktur.
Annamaria Jahn Platonische Korper
Platonische KorperTetraederHexaederOktaeder
DodekaederIkosaeder
FormelnSymmetrieBeziehungen zu anderen Polyedern
Symmetrie
Das Dodekaeder hat
I 6 funfzahlige Drehachsen (durch gegenuber liegendeFlachenmittelpunkte)
I 10 dreizahlige Drehachsen (durch gegenuber liegende Ecken)
I 15 zweizahlige Drehachsen (durch die Mittelpunkte gegenuberliegender Kanten)
I 15 Symmetrieebenen (durch einander gegenuber liegende - undparallele - Kanten)
I eine Punktspiegelung am Zentrum
Die Dodekaedergruppe hat 120 Elemente.Dodekaeder bilden keine periodische Raumstruktur.
Annamaria Jahn Platonische Korper
Platonische KorperTetraederHexaederOktaeder
DodekaederIkosaeder
FormelnSymmetrieBeziehungen zu anderen Polyedern
Beziehungen zu anderen Polyedern
I Dualitat
Das Dodekaeder ist zum Ikosaeder dual.
Annamaria Jahn Platonische Korper
Platonische KorperTetraederHexaederOktaeder
DodekaederIkosaeder
FormelnSymmetrieBeziehungen zu anderen Polyedern
I weitere Korper
I abgestumpftes Dodekaeder (12 Zehnecke, 20 Dreiecke)
Annamaria Jahn Platonische Korper
Platonische KorperTetraederHexaederOktaeder
DodekaederIkosaeder
FormelnSymmetrieBeziehungen zu anderen Polyedern
I Ikosidodekaeder (12 Funfecke, 20 Dreiecke)
I abgestumpfte Ikosaeder (12 Funfecke, 20 Sechsecke)
Annamaria Jahn Platonische Korper
Platonische KorperTetraederHexaederOktaeder
DodekaederIkosaeder
FormelnSymmetrieBeziehungen zu anderen Polyedern
I Ikosidodekaeder (12 Funfecke, 20 Dreiecke)
I abgestumpfte Ikosaeder (12 Funfecke, 20 Sechsecke)
Annamaria Jahn Platonische Korper
Platonische KorperTetraederHexaederOktaeder
DodekaederIkosaeder
FormelnSymmetrieBeziehungen zu anderen Polyedern
I Rhombentriakontaeder (30 Rhomben)
konvexe Hulle einer Vereinigung: Dodekaeder - Ikosaeder
I einbeschriebener Wurfel
I 3 Paare gegenuber liegender KantenI 3 kongruente, zueinander paarweise orthogonale RechteckeI 8 Ecken: Ecken eines WurfelsI 5 Positionen (jede Kante des Dodekaeders gehort zu genau
einer solchen Position, jede Ecke ist Eckpunkt von zweieinbeschriebenen Wurfeln)
I 120 Permutationen dieser 5 Positionen (Dodekaedergruppe)I Verhaltnis der Langen der Kanten des Dodekaeders und jener
eines einbeschriebenen Wurfels stehen im Goldenen Schnitt
Annamaria Jahn Platonische Korper
Platonische KorperTetraederHexaederOktaeder
DodekaederIkosaeder
FormelnSymmetrieBeziehungen zu anderen Polyedern
I Rhombentriakontaeder (30 Rhomben)
konvexe Hulle einer Vereinigung: Dodekaeder - Ikosaeder
I einbeschriebener Wurfel
I 3 Paare gegenuber liegender KantenI 3 kongruente, zueinander paarweise orthogonale RechteckeI 8 Ecken: Ecken eines WurfelsI 5 Positionen (jede Kante des Dodekaeders gehort zu genau
einer solchen Position, jede Ecke ist Eckpunkt von zweieinbeschriebenen Wurfeln)
I 120 Permutationen dieser 5 Positionen (Dodekaedergruppe)I Verhaltnis der Langen der Kanten des Dodekaeders und jener
eines einbeschriebenen Wurfels stehen im Goldenen Schnitt
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Platonische KorperTetraederHexaederOktaeder
DodekaederIkosaeder
FormelnSymmetrieBeziehungen zu anderen Polyedern
I Rhombentriakontaeder (30 Rhomben)
konvexe Hulle einer Vereinigung: Dodekaeder - Ikosaeder
I einbeschriebener Wurfel
I 3 Paare gegenuber liegender KantenI 3 kongruente, zueinander paarweise orthogonale RechteckeI 8 Ecken: Ecken eines WurfelsI 5 Positionen (jede Kante des Dodekaeders gehort zu genau
einer solchen Position, jede Ecke ist Eckpunkt von zweieinbeschriebenen Wurfeln)
I 120 Permutationen dieser 5 Positionen (Dodekaedergruppe)I Verhaltnis der Langen der Kanten des Dodekaeders und jener
eines einbeschriebenen Wurfels stehen im Goldenen Schnitt
Annamaria Jahn Platonische Korper
Platonische KorperTetraederHexaederOktaeder
DodekaederIkosaeder
FormelnSymmetrieBeziehungen zu anderen Polyedern
I Rhombentriakontaeder (30 Rhomben)
konvexe Hulle einer Vereinigung: Dodekaeder - Ikosaeder
I einbeschriebener Wurfel
I 3 Paare gegenuber liegender KantenI 3 kongruente, zueinander paarweise orthogonale RechteckeI 8 Ecken: Ecken eines WurfelsI 5 Positionen (jede Kante des Dodekaeders gehort zu genau
einer solchen Position, jede Ecke ist Eckpunkt von zweieinbeschriebenen Wurfeln)
I 120 Permutationen dieser 5 Positionen (Dodekaedergruppe)I Verhaltnis der Langen der Kanten des Dodekaeders und jener
eines einbeschriebenen Wurfels stehen im Goldenen Schnitt
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Platonische KorperTetraederHexaederOktaeder
DodekaederIkosaeder
FormelnSymmetrieBeziehungen zu anderen Polyedern
Ikosaeder
Ikosaeder (griech.): eikosaedron = Zwanzigflachner
I 20 kongruente gleichseitige Dreiecke als Flachen
I 30 gleichlange Kanten
I 12 Ecken
I 5 zusammentreffende Flachen
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Platonische KorperTetraederHexaederOktaeder
DodekaederIkosaeder
FormelnSymmetrieBeziehungen zu anderen Polyedern
Ikosaeder
Ikosaeder (griech.): eikosaedron = Zwanzigflachner
I 20 kongruente gleichseitige Dreiecke als Flachen
I 30 gleichlange Kanten
I 12 Ecken
I 5 zusammentreffende Flachen
Annamaria Jahn Platonische Korper
Platonische KorperTetraederHexaederOktaeder
DodekaederIkosaeder
FormelnSymmetrieBeziehungen zu anderen Polyedern
Ikosaeder
Ikosaeder (griech.): eikosaedron = Zwanzigflachner
I 20 kongruente gleichseitige Dreiecke als Flachen
I 30 gleichlange Kanten
I 12 Ecken
I 5 zusammentreffende Flachen
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Platonische KorperTetraederHexaederOktaeder
DodekaederIkosaeder
FormelnSymmetrieBeziehungen zu anderen Polyedern
Formeln
Seitenflache A = 14
√3 · a2
Oberflache O = 20 · A = 5√
3 · a2
Volumen V = 20 · 13 · RI · A = 5
12
(3 +
√5)· a3
Umkugelradius RU = 14
√10 + 2
√5 · a
Inkugelradius RI = 112
√3(3 +
√5) · a
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Platonische KorperTetraederHexaederOktaeder
DodekaederIkosaeder
FormelnSymmetrieBeziehungen zu anderen Polyedern
Symmetrie
Das Ikosaeder hat
I 6 funfzahlige Drehachsen (durch gegenuber liegende Ecken)
I 10 dreizahlige Drehachsen (durch die Mittelpunkte gegenuberliegender Flachen)
I 15 zweizahlige Drehachsen (durch die Mittelpunkte gegenuberliegender Kanten)
I 15 Symmetrieebenen (durch einander gegenuber liegende - undparallele - Kanten)
I eine Punktspiegelung zum Zentrum
Ikosaedergruppe = Dodekaedergruppe (120 Elemente)Ikosaeder bilden keine periodische Raumstruktur.
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DodekaederIkosaeder
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Symmetrie
Das Ikosaeder hat
I 6 funfzahlige Drehachsen (durch gegenuber liegende Ecken)
I 10 dreizahlige Drehachsen (durch die Mittelpunkte gegenuberliegender Flachen)
I 15 zweizahlige Drehachsen (durch die Mittelpunkte gegenuberliegender Kanten)
I 15 Symmetrieebenen (durch einander gegenuber liegende - undparallele - Kanten)
I eine Punktspiegelung zum Zentrum
Ikosaedergruppe = Dodekaedergruppe (120 Elemente)Ikosaeder bilden keine periodische Raumstruktur.
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Platonische KorperTetraederHexaederOktaeder
DodekaederIkosaeder
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Symmetrie
Das Ikosaeder hat
I 6 funfzahlige Drehachsen (durch gegenuber liegende Ecken)
I 10 dreizahlige Drehachsen (durch die Mittelpunkte gegenuberliegender Flachen)
I 15 zweizahlige Drehachsen (durch die Mittelpunkte gegenuberliegender Kanten)
I 15 Symmetrieebenen (durch einander gegenuber liegende - undparallele - Kanten)
I eine Punktspiegelung zum Zentrum
Ikosaedergruppe = Dodekaedergruppe (120 Elemente)Ikosaeder bilden keine periodische Raumstruktur.
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Platonische KorperTetraederHexaederOktaeder
DodekaederIkosaeder
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Beziehungen zu anderen Polyedern
I Dualitat
Das Ikosaeder ist zum Dodekaeder dual.
I weitere Korper
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DodekaederIkosaeder
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Beziehungen zu anderen Polyedern
I Dualitat
Das Ikosaeder ist zum Dodekaeder dual.
I weitere Korper
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Platonische KorperTetraederHexaederOktaeder
DodekaederIkosaeder
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Beziehungen zu anderen Polyedern
I Dualitat
Das Ikosaeder ist zum Dodekaeder dual.
I weitere Korper
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Platonische KorperTetraederHexaederOktaeder
DodekaederIkosaeder
FormelnSymmetrieBeziehungen zu anderen Polyedern
I umbeschriebener Wurfel
I 3 Paare gegenuber liegender KantenI 3 kongruente zueinander paarweise orthogonale RechteckeI 6 Kanten: in den 6 Wurfelflachen als Parallelen zu den
Wurfelkanten
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Platonische KorperTetraederHexaederOktaeder
DodekaederIkosaeder
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I umschreibendes Oktaeder
I 24 restliche Kanten: 8 DreieckeI Ecken des Ikosaeder: auf den Kanten des OktaederI 5 Positionen (jede Kante des Ikosaeders gehort zu einer
Gruppe von orthogonalen Kantenpaaren, jede Flache liegtzweimal in der Flache des Oktaeders)
I 120 Permutationen dieser funf Positionen (Ikosaedergruppe)
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Platonische KorperTetraederHexaederOktaeder
DodekaederIkosaeder
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I umschreibendes Oktaeder
I 24 restliche Kanten: 8 DreieckeI Ecken des Ikosaeder: auf den Kanten des OktaederI 5 Positionen (jede Kante des Ikosaeders gehort zu einer
Gruppe von orthogonalen Kantenpaaren, jede Flache liegtzweimal in der Flache des Oktaeders)
I 120 Permutationen dieser funf Positionen (Ikosaedergruppe)
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