Plano de Estudo Regime de Progressão Parcial...Saber diferenciar uma matriz de um determinante, bem...
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Plano de Estudo – Regime de Progressão Parcial
Ano: 2° ano
Componente Curricular: Matemática
Objetivos de aprendizagem:
Saber diferenciar uma matriz de um determinante, bem como ser capaz de
optar pelo melhor método para resolver sistemas lineares.
Compreender o caráter aleatório e não determinístico dos fenômenos naturais
e sociais e utilizar instrumentos adequados para medidas, determinação de
amostras e cálculos de probabilidade para interpretar informações de variáveis
apresentadas em uma distribuição estatística.
Atividade 1:
1. Sejam as matrizes A = (aij)3x4, em que aij = 2i -j , e B =(bij)3x4, em que bij = i +
j. Se C = A + B, em que cij = aij + bij. Determine os elementos:
a) c34 b) c23
2. Sejam A = (−5 40 3
), B = (12 111 7
) e C = (−9 39 2
)
Determine:
a) A +B +C b) A – B + C c) A – (B + C)
3. As tabelas a seguir indicam o número de faltas de três alunos (A, B e C) em
cinco disciplinas (Português, Matemática, Biologia, História e Física,
representadas por suas iniciais), nos meses de março e abril.
Março
P M B H F
Aluno A 2 1 0 4 2
Aluno B 1 0 2 1 1
Aluno C 5 4 2 2 2
a) Qual matriz representa o número de faltas desses alunos no
primeiro bimestre?
b) No primeiro bimestre, qual aluno teve o maior número de faltas em
Português? E em Matemática? E em História?
4. O gerente de uma danceteria fez um levantamento sobre a frequência de
pessoas na casa, em um final de semana, e enviou a seguinte tabela para o
proprietário:
𝑠á𝑏𝑎𝑑𝑜𝑑𝑜𝑚𝑖𝑛𝑔𝑜
𝑟𝑎𝑝𝑎𝑧𝑒𝑠 𝑚𝑜ç𝑎𝑠
[80 60? 75
]
O gerente esqueceu-se de informar um campo da tabela, mas ainda que,
curiosamente, a arrecadação nos dois dias havia sido a mesma. Sabendo que o ingresso
para rapazes é R$ 15,00 e para moças é R$ 12,00:
a) Represente, por meio da multiplicação de matrizes, a matriz que fornece a
arrecadação da casa em cada dia;
b) Determine o valor do campo que ficou sem ser preenchido.
Abril
P M B H F
Aluno A 1 2 0 1 3
Aluno B 0 1 1 3 1
Aluno C 3 1 3 2 3
Recursos didáticos para a atividade 1:
https://www.youtube.com/watch?v=gE_1LTPwhV0&list=PL1E3A80A44F4F16
69
https://www.youtube.com/watch?v=m6WRbPxkLXY
www.youtube.com/watch?v=SnhBzGHWRvg&t=23s
https://youtu.be/lZ9onrdpusA?list=PLEfwqyY2ox868TPa8vjL-QPfQlmtqRGa5
Atividade 2:
5. Seja A = (aij)3x3, em que aij = {2, 𝑠𝑒 𝑖 ≥ 𝑗
𝑖 − 𝑗, 𝑠𝑒 𝑖 < 𝑗 . Calcular det A.
6. Resolver, em ℝ, a equação: |𝑥 4 −2
𝑥 − 1 𝑥 11 𝑥 + 1 3
|=|𝑥 32 1
|
7. Sejam as matrizes A = (aij)3x3, em que aij ={1, 𝑠𝑒 𝑖 ≥ 𝑗2, 𝑠𝑒 𝑖 < 𝑗
, e B = (bij)3x3 , em que
bij = {−1, 𝑠𝑒 𝑖 ≥ 𝑗
1, 𝑠𝑒 𝑖 < 𝑗. Calcule det A, det B, det (A + B) e det (A.B).
Recursos didáticos para a atividade 2:
https://pt.wikipedia.org/wiki/Determinante#Determinante_de_matriz_de_ordem
_2
https://www.youtube.com/watch?v=C7bZnxGFWiM&list=PLf1lowbdbFICd6Cc
abD20iivJrgvPa4JC
Atividade 3:
8. Sobre uma reta marcam – se 8 pontos e sobre outra reta, paralela à primeira,
marcam – se 5 pontos. Quantos triângulos obteremos unindo 3 pontos
quaisquer do total desses pontos?
9. Quantos números de três algarismos distintos formamos com os
algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 7?
10. Uma classe tem 10 alunos e 5 alunas. Formam – se comissões de 4 alunos
e 2 alunas. Determine o número de comissões em que participa o aluno X e não participa
a aluna Y.
Recursos didáticos para a atividade 3:
https://www.youtube.com/watch?v=7egxgnVeGKY
https://www.youtube.com/watch?v=0QCbBui4ReA
https://www.youtube.com/watch?v=3RaTJOZL6MA
https://www.youtube.com/watch?v=wQy3OASQ1YA
Referências Bibliográficas adicionais
IEZZI, Gelson. DOLCE, Osvaldo. DEGENSZAJN, Davi. PÉRIGO, Roberto.
ALMEIDA, Nilze. Matemática ciência e aplicações. Ed. Saraiva. Ensino Médio v. 2. 7
ed.
BARRETO, Benigno. SILVA, Cláudio X. Matemática aula por aula. v. 2. Ed.FTD.1º ed.
São Paulo.2003.
BIANCHINI, Edwaldo. PACCOLA, Herval. Matemática.1. ed. São Paulo: Moderna,
2004.
STOCCO SMOLE, Kátia. DINIZ, Maria I. Matemática ensino médio 2. –8.ed. São
Paulo : Saraiva, 2013.
Sites:
Disponível em:
https://www.google.com.br/
https://www.youtube.com
Plano de Estudo – Regime de Progressão Parcial – Tutoria
MATRIZES
Definição:
Sejam m e n números naturais não nulos.
Uma matriz do tipo ou formato MXN (ou simplesmente MXN) é uma tabela de
M.N números reais dispostos m linhas (horizontais) e n colunas (verticais).
Uma matriz qualquer é representada colocando seus elementos (números) entre
parênteses, colchetes ou duas barras. Sendo que é mais raro encontrarmos as matrizes
dispostas em duas barras.
Podemos observar a seguir alguns exemplos:
a) Uma matriz 2x2
A= (2 30 −1
)
b) Uma matriz 2x1
B=[94
]
c) Uma matriz 2x3
𝐶 = ‖−1 0 −3−4 8 10
‖
Representação de uma matriz
De modo geral, uma matriz A do tipo M x N é representada por A= (aij)mxn, em
que i e j são inteiros positivos tais que 1≤ i ≤ m, 1≤ j ≤ n, e aij é um elemento qualquer de
A. Como podemos observar no exemplo a seguir.
Seja a matriz A = [−2 0 35 6 9
]2𝑥3
O elemento que está na linha 1 e coluna 1, é a11 = -2.
O elemento que está na linha 1 e coluna 2, é a12 = 0.
O elemento que está na linha 1 e coluna 3, é a13 = 3.
O elemento que está na linha 2 e coluna 1, é a21 = 5.
O elemento que está na linha 2 e coluna 2, é a22 = 6.
O elemento que está na linha 2 e coluna 3, é a23 = 9.
Exercícios resolvidos
1) Escreva a matriz A = (aij)3x2, em que aij= 2i - j2.
Resolução:
Uma matriz do tipo 3x2 pode ser genericamente representada por
A= (
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
𝑎31 𝑎32
).
Fazendo aij = 2i - j2.
a11=2.1-12= 2 – 1= 1
a12 = 2.1-22= 2 – 4= -2
a21 = 2.2 – 12 = 4 – 1= 3
a22 = 2.2 – 22 = 4 – 4 = 0
a31 = 2.3 – 12 = 6 – 1= 5
a32 =2.3 – 22 = 6 – 4 =2
2) Determine a matriz B = (bij)2x3 , sendo bij= 2 + i - j .
Resolução:
Uma matriz do tipo 2x3 pode ser genericamente representada por
B= (𝑏11 𝑏12 𝑏13
𝑏21 𝑏22 𝑏23).
Fazendo bij= 2 + i – j
b11= 2 + 1 – 1= 3 – 1 = 2
b12= 2 + 1 – 2= 3 – 2 = 1
b13= 2 + 1 – 3= 3 – 3 = 0
b21= 2 + 2 – 1= 4– 1 = 3
b22= 2 + 2 – 2= 4 – 2 = 2
b23= 2 + 2 – 3= 4 – 3= 1
Matrizes especiais
A seguir veremos alguns tipos de matrizes especiais:
Matriz linha: é uma matriz formada por uma única linha.
A =(−𝟒 𝟑 𝟗) é uma matriz linha de ordem 1X3.
B = [ 3 -2] é uma matriz linha de ordem 1X2.
Matriz coluna: é uma matriz formada por uma única coluna.
A = (−𝟕𝟗𝟑
) é uma matriz coluna de ordem 3X1.
B = [𝟑
𝟐
𝟒] é uma matriz coluna de ordem 2X2.
Matriz nula: é uma matriz cujo s elementos são todos iguais a zero. Pode-
se indicar a matriz nula m x n por 0mxn.
03x2 = [0 00 00 0
]é uma matriz nula de ordem 3X2.
04X4 = (
0 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0
)é uma matriz nula de ordem 4X4.
Matriz quadrada: é uma matriz que possui número de linhas igual o
número de colunas.
A = (
0 −2 4 16 11 10 −13 0 −4 64 −5 −1 3
)é uma matriz quadrada de ordem 4X4.
B = (2 30 −1
) é uma matriz quadrada de ordem 2X2.
Matriz transpostas
Chamamos de matriz transpostas A (indica - se por At), quando dada uma matriz
A = (aij)mxn:
At = (a’ji)mxn
tal que a’ji = aij para todo i todo j.
Podemos dizer em outras palavras que, a matriz At é obtida trocando-se,
ordenadamente, as linhas pelas colunas da matriz A.
A seguir podemos observar alguns exemplos.
1- Dadas as matrizes A = (−2 38 −1
)
A transposta da matriz A é At = (−2 83 −1
)
2- Dada a matriz B = [−9 30 4
−2 5]
A transposta da matriz B é Bt = [−9 0 −23 4 5
]
Operações com matrizes
Adição de matrizes
As tabelas abaixo representam as vendas, em uma concessionária, de dois veículos
0 km, modelos A e B, de acordo com os tipos de combustível, durante os dois primeiros
meses de determinado ano:
Analisando os dados na tabela acima, de que maneira podemos calcular as vendas
de cada tipo de veículo no primeiro bimestre desse ano? Instintivamente, sabemos que é
preciso somar os elementos correspondentes das tabelas anteriores. Usando matrizes,
temos:
[3546 1875 5163940 1294 375
]+[7325 1354 4593452 1522 349
]=[10871 3229 10657392 2816 724
]
Definição
Janeiro
Flex Gasolina Álcool
A 3546 1875 516
B 3940 1294 375
Fevereiro
Flex Gasolina Álcool
A 7325 1354 459
B 3452 1522 349
Combustível
Modelo
Combustível
Modelo
Dadas duas matrizes do mesmo tipo, A = (aij)mxn e B = (bij), a soma de A
com B (representa-se por A + B) é a matriz C = (cij)mxn, em que cij = aij + bij, 1≤ i ≤ m, 1≤
j ≤ n.
Logo, a matriz soma C é do mesmo tipo que A e B e é tal que cada um de seus
elementos é a soma de elementos correspondentes de A e B. Como podemos observar no
exemplo a seguir.
(−2,6 5−9 3
)+(4 25 −1
)=(1,4 7−4 2
)
[−2 1 03 −4 1
]+[3
2−7 9
−5 6 3]=[
−1
2−6 9
−2 2 4]
Exercícios Resolvidos
3) Resolver a equação matricial A + X = B, sendo A =(2 −31 4
) e B =
(−5 98 −6
).
Resolução:
Uma equação matricial é aquela em que a incógnita é uma matriz.
A matriz procurada é do tipo 2X2 e podemos representa-la por X = (𝑎 𝑏𝑐 𝑑
)
Temos: (2 −31 4
) + (𝑎 𝑏𝑐 𝑑
) = (−5 98 −6
)
Daí: (2 + 𝑎 −3 + 𝑏1 + 𝑐 4 + 𝑑
) = (−5 98 −6
)
Do conceito de igualdade, vem:
2 + a = -5 → a = -5 - 2
→ a = -7
1 + c = 8 → c = 8 – 1 → c = 7
-3 + b = 9 → b = 9 + 3 → b = 12
4 + d = -6 → d = -6 – 4
→ d = -10
Subtração de Matrizes
Definição
Dadas duas matrizes de mesma ordem A = (aij)mxn e B = (bij), chama-se diferença entre A e B
(representada por A - B) a matriz soma de A com a oposta de B. Isto é:
Observe os exemplos a seguir:
[2 −9
20 11] - [
−10 225 5
] = [2 −9
20 11] + [
10 −2−25 −5
] = [12 −11−5 6
]
[1 3 42 10 −5
] - [−9 2 75 15 8
]=[1 3 42 10 −5
]+ [9 −2 −7
−5 −15 −8]= [
10 1 −3−3 −5 −13
]
Multiplicação de um número real por uma matriz
Definição
Seja uma matriz A = (aij)mxn e k um número real. O produto de k pela matriz A (indica-se: k . A) é a
matriz B = (bij)mxn, em que bij = k . aij, para todo i ϵ {1,2, ... , n}.
Então B é obtida de A multiplicando – se por k cada um dos elementos de A.
Observe alguns exemplos a seguir:
Se A = (2 −9), então 5. A = 5. (2 −9) = (10 −18)
Se A = [3 10 −2
], então 3
4 . A = [
3 10 −2
] = [
9
4
3
4
0−6
4
] ou = [
9
4
3
4
0−3
2
]
Se A = [
−2 4 5
3 8 √6
−7 11
2
], então (-7). A = [
14 −28 −35
−21 −56 −7√6
49 −7−7
2
]
Multiplicação de matrizes
Definição
Dadas as matrizes A = (aij)mxn e B = (bjk)nxp, chama-se produto de A por B , e se indica por A . B, a
matriz C =(cik)mxp, cik = ai1. b1k + ai2. b2k + ai3. b3k + ... + ain. bnk; para todo i ϵ {1,2,... , m} e todo k ϵ { 1,2, ... ,
p}.
Devemos seguir os seguintes procedimentos para obtermos o elemento cik da matriz C:
1º. ) Pegamos ordenadamente os n elementos da linha i da matriz A: ai1, ai2, ... , ain. (1)
2º. ) Pegamos ordenadamente os n elementos da coluna k da matriz B: b1k, b2k, ... , bnk. (2)
A – B = A + ( -B)
3º. ) Multiplicamos o 1º Elemento de (1) pelo (2), o 2º elemento de (1) pelo 2º elemento de (2), e
assim sucessivamente.
4º. ) Somamos os produtos obtidos.
Assim:
cik = ai1 . b1k + ai2 . b2k + ...+ ain . bnk
Observações :
A definição garante a existência do produto A. B se o número de colunas de A é igual ao número
de linhas de B.
A matriz produto C = A. B é uma matriz cujo número de linhas é igual ao número de linhas de
A e o número de colunas é igual ao número de colunas de B. Observemos o esquema a seguir:
A(mxn) . B(nxp) = C(mxp)
Exemplos: Dadas as matrizes A = (−1 3 25 −4 0
) e B = (7 6
−2 81 −3
) , verifique se existe a AB e BA.
Como A é do tipo 2 X 3 e B é 3 X 2, segue que C = A . B existe e é do tipo 2 X 2.
Escrevemos os elementos de C em sua forma genérica, temos
C = (c11 𝑐12
𝑐21 𝑐222)2x2.
Da definição, vem:
Para facilitar o entendimento adote a primeira linha com a cor azul e a segunda linha com a cor
vermelha na primeira matriz (A). Na Segunda matriz(B) adote a primeira coluna com a cor preta e a segunda
coluna de cor verde.
C = (−1 3 25 −4 0
) x (7 6
−2 81 −3
)
((−1)x7 + 3 x (−2) + 2 x 1 (−1) x 6 + 3 x 8 + 2 x (−3)
5 x 7 + (−4) x (−2) + 0 x 1 5 x 6 + (−4 )x 8 + 0 x (−3)=(
−7 − 6 + 2 −6 + 24 − 635 + 8 + 0 30 − 32 − 0
)=
(−13 + 2 −12 + 24
43 30 − 32) =
Logo, C = (−11 1243 −32
)
Como B é do tipo 3 X 2 e A é do tipo 2 X 3, segue que C = B . A existe e é do tipo 3 X 3
Garante a existência
do produto
Assim, D = (𝟕 𝟔
−𝟐 𝟖𝟏 −𝟑
) x (−𝟏 𝟑 𝟐𝟓 −𝟒 𝟎
)
Aplicando a definição, vem:
Utilizando o mesmo método do exemplo acima, coloque de cores diferentes as linhas da primeira matriz
e a segunda matriz diferencie as colunas também com cores diferenciadas.
D = (
𝟕 x (−𝟏) + 𝟔 x 𝟓 𝟕 x 𝟑 + 𝟔 x (−𝟒) 𝟕 x 𝟐 + 𝟔 x 𝟎
−𝟐 x (−𝟏) + 𝟖 x 𝟓 −𝟐 x 𝟑 + 𝟖 x (−𝟒) −𝟐 x 𝟐 + 𝟖 x 𝟎
𝟏 x (−𝟏) + (−𝟑) x 𝟓 𝟏 x 𝟑 + (−𝟑)x (−𝟒) 𝟏x 𝟐 + (−𝟑) x 𝟎
)
D = (−7 + 30 21 − 24 14 + 02 + 40 −6 − 32 −4 + 0
−1 − 15 3 + 4 2 − 0)
Logo, D = (23 −3 1442 −38 −4
−16 7 2)
Observe, neste exemplo, que C = A. B é uma matriz 2 x 2 e D = B. A é uma matriz 3 x 3
DETERMINANTES
Segundo Gelson Iezzi et al. Algumas operações envolvendo os coeficientes das incógnitas de uma
sistema linear permitirá classificá-lo como possível (determinado ou indeterminado) ou impossível.
No caso, se o número de equações do sistema é igual ao seu número de incógnitas, há um método geral
de discussão.
Caso 2 x 2
Seja um sistema linear {a𝑥 +c𝑥 +
b𝑦 =d𝑦 =
𝑒f , de incógnitas x e y.
O número real ad – bc é definido como o determinante da matriz incompleta (M) dos coeficientes do
sistema. Temos:
M = (a bc d
) e det M = a . d – b . c
Indicaremos esse número por: det M ou det (a bc d
) ou |a bc d
|.
Observe que det M é igual à diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal de M e o
produto dos elementos de sua diagonal secundária.
det M = a . d – b . c
Exemplos:
O determinante (D) da matriz [4 −57 2
] é:
D = |4 −57 2
| = 4 . 2 – (-5) . 7 = 8 + 35 = 43
O determinante da matriz (9 30 −8
) é:
|9 30 −8
| = 9 .(-8) – 3 . 0 = -72 – 0 = -72
Caso 3 x 3
Considerando o sistema linear seguinte nas incógnitas x, y e z:
{
𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 + 𝒄𝒛 = 𝒎𝒅𝒙 + 𝒆𝒚 + 𝒇𝒛 = 𝒏𝒈𝒙 + 𝒉𝒚 + 𝒊𝒛 = 𝒑
Utilizando o mesmo raciocínio análogo ao desenvolvimento no caso 2 x 2 acima, definimos o
determinante da matriz [a b cd e fg h i
] pelo número real:
aei + bfg + cdh - ceg - afh – bdi (*)
Por meio da regra prática de Sarrus (1798 - 1861) podemos obter esses valores de maneira mais fácil:
1º. Escrevemos ao lado da matriz A os elementos das duas primeiras colunas.
2º. Multiplicamos os elementos da diagonal principal de A. Seguindo a direção da diagonal
principal, multiplicamos, separadamente, os elementos das outras duas “diagonais”.
3º. Multiplicamos os elementos da diagonal secundária de A, trocando o sinal do produto obtido.
Seguindo a direção da diagonal secundária, multiplicamos, separadamente, os elementos das outras duas
“diagonais”, também trocando o sinal dos produtos.
4º. Somamos todos os resultados obtidos no 2º e no 3º passos.
4º passo: O determinante da matriz é igual a:
aei + bfg + cdh – ceg - afh – bdi, que coincide com (*).
Segue o exemplo abaixo:
Vamos calcular o determinante da matriz A = [2 3 41 0 −15 −2 3
].
det A = 0 – 4 – 9 + 0 – 15 – 8 = -36
Observação
No caso 1 x 1 (matriz com um único elemento), o determinante da matriz é igual ao seu elemento.
Vejamos:
A = [6] → det A = 6
B = ( -4) → det B = -4
O estudo dos determinantes de matrizes quadradas de ordem quadradas e de ordem superior a 3 não é
muito utilizado no ensino médio.
Sobre propriedades:
1º) O determinante de uma matriz é igual a zero quando:
I. A matriz possui duas linhas iguais ou duas colunas iguais;
II. A matriz possui os elementos de uma linha ou coluna iguais a zero;
III. A matriz possui os elementos de duas linhas proporcionais ou os elementos de duas colunas
proporcionais;
IV. A matriz possui uma linha (ou uma coluna) que seja igual a uma combinação linear das demais
linhas (ou colunas).
2º) Dada uma matriz quadrada A e sua transposta, At, temos det At = det A.
3º) Se multiplicamos todos os elementos de uma linha (ou coluna) de uma matriz por número real m, o
determinante da matriz fica multiplicado por m.
4º) Se trocamos entre si a posição de duas linhas (ou colunas) de uma matriz, o determinante troca de
sinal.
5º) Se numa matriz adicionamos aos elementos de uma fila (linha ou coluna) uma combinação linear dos
elementos correspondentes de fila paralelas, o determinante da matriz obtida não se altera (teorema de Jacobi).
6º) Dadas duas matrizes quadradas, A e B, de mesma ordem, temos:
Det (A . B) = det A . det B.
EQUAÇÃO LINEAR
Toda equação do 1ºgrau que possui uma ou mais incógnitas é uma equação linear.
A equação 2𝑥 + 5𝑦 − 6𝑧 = 10 é um exemplo de equação linear, onde:
As letras x,y e z são as incógnitas;
Os números 2,5 e -6 são os coeficientes das respectivas incógnitas;
O número 10 é o termo independente.
Segue outros exemplos de equações lineares:
a. 𝑥 + 𝑦 = 1
b. 2𝑥 − 3𝑦 = 6
c. 𝑥 − 2𝑦 + 3𝑧 = 0
d. 2𝑡 + 5𝑠 − 12 = 0
Observe que as seguintes equações não são lineares:
a. 𝑥2 + 7𝑦 + 6 = 0
b. 𝑥2 − 𝑦+= 10
c. 𝑥𝑦 + 2𝑧 = 3
d. 2√𝑥 + 3𝑦 − 2𝑧 = 1
Resolução de equação linear
Uma equação linear com duas ou mais incógnitas tem infinitas soluções.
Considere como exemplo a equação 5𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 4. O termo ordenado (1,2,3) é uma das soluções
dessa equação, pois:
5. (1) – 2. (2) + 1. (3) = 5 − 4 + 3 = 8 – 4 = 4
Uma outra solução dessa equação é o termo (-4, 5, 34), pois:
5. (−4) – 2. (5) + 1. (34) = − 20 − 10 + 34 = −30 + 34 = 4
No entanto, o termo (2, 1, 5) não é não é solução dessa equação, pois:
5. (2) – 2. (1) + 1. (5) = 10 − 2 + 5 = 15 – 2 = 13 ≠ 4
Veja outros exemplos.
1. Achar uma solução da equação linear 2𝑥 + 𝑦 – 3𝑧 = 6.
Temos três incógnitas. Escolhemos duas e atribuímos a cada uma um valor qualquer, por exemplo,
x = 1 e y = 4. Depois, substituímos esses valores na equação e encontramos o valor da terceira
incógnita.
2. (1) + (4) – 3𝑧 = 6
2 + 4 – 3 𝑧 = 6
−3𝑧 = 0
𝑧 = 0
Logo, o termo (1, 4, 0) é uma solução dessa equação.
2. Determine o valor de p de modo que o par (−1
2, 𝑝) seja uma solução (s, t) da equação linear 3s-2t = 7.
Devemos ter:
3 (−1
2) -2. p = 7
2p = −3
2 -7
P = −17
4
Exercícios propostos
1.Entre as equações abaixo, identifique aquelas que são lineares.
5𝑥 – 7𝑦 + 𝑧 = 1 2𝑥2 + 3𝑦2 − 4 = 0
2𝑥 – 5𝑦 = 0 𝑥
2+
𝑦
3−
𝑧
4 −
1
2= 0
2. Verifique quais dos pares ordenados ( x, y) são soluções da equação linear 3𝑥 + 2𝑦 = 6.
a. (0, 3) 𝑏. (2, 3) 𝑐. (4, −3)
3. Verifique se a quádrupla (2, −2, 1, 3) são solução da equação linear 2𝑥 + 3𝑦 − 4𝑧 + 𝑡 = −3
SISTEMAS LINEARES
Sistema linear é todo sistema formado por equações lineares.
Assim, o sistema {𝑥 + 𝑦 = 5
2𝑥 − 𝑦 = 1 é um sistema linear de duas equações com duas incógnitas. O sistema
{𝑎 + 𝑏 − 𝑐 + 𝑑 = 2
2𝑎 + 𝑏 + 𝑐 − 2𝑑 = 1𝑎 − 𝑏 + 𝑐 + 2𝑑 = 6
é um sistema linear de três equações com quatro incógnitas.
Voltando ao sistema {𝑥 + 𝑦 = 5
2𝑥 − 𝑦 = 1, podemos verifique que:
𝑂𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑒𝑠 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑜𝑠 (−2,7), (0, 5), (𝟐, 𝟑), (4, 1), (6, −1) são algumas soluções da primeira
equação;
𝑜𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑒𝑠 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑜𝑠 (0, −1), (1,1), (𝟐, 𝟑), (3,5), (5,9) são algumas soluções de segunda
equação;
𝑜 𝑝𝑎𝑟 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑜 (2,3) é solução comum das duas equações.
Cada equação representa uma reta no plano. O conjunto solução do sistema nada mais é do que o
conjunto dos pontos que estão na intersecção das duas retas. No nosso caso, as duas retas são
concorrentes. Logo, só pode haver um único ponto de intersecção, ou seja, o par (2,3) é a única solução
do sistema.
Exercícios Propostos
4. Verifique se o par ordenado (3,-2) é solução do sistema: {3𝑥 − 𝑦 = 11
2𝑥 + 5𝑦 = −4
5. Calcule a e b, sabendo que o terno ordenado (5,a,b) é a única solução do sistema: {
𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 103𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 16𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 = −2
6. Determine quais dos termos ordenados são soluções do sistema:
{𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 2
3𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 = 4
a. (2,2,2)
b. (-1, -13, -10)
c. (3,7,6)
d. (5,3,0)
Resolução de sistema lineares pelo método da substituição
Um dos métodos utilizados para resolver um sistema consiste em isolar uma das incógnitas numa das
equações e substituir o valor encontrado nas outras equações (método da substituição).
Exemplo
Resolver o sistema a seguir por esse método.
a) {5𝑥 − 2𝑦 = 92𝑥 + 6𝑦 = 7
Isolando o valor de 𝑦 em 5𝑥 − 2𝑦 = 9, temos: -2𝑦 = 9 − 5𝑦 → 𝑦 =5𝑥−9
2
Substituindo 𝑦 por (5𝑥−9)
2 na equação 2x+6y=7, temos : 2𝑥 + 6 (
5𝑥−9
2) = 7 → 𝑥 = 2
Substituindo 𝑥 por 2 em 𝑦 =5𝑥−9
2 , obtemos 𝑦 =
1
2 . Logo, 𝑆 = {(2,
1
2)}.
b){
2𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = −3𝑥 − 2𝑦 + 4𝑧 = 53𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 2
Isolando o valor de 𝑦 na equação 2𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = −3, temos : 𝑦 = 𝑧 − 2𝑥 − 3
Substituindo 𝑦 por 𝑧 − 2𝑥 − 3 nas outras duas equações, temos:
{𝑥 − 2(𝑧 − 2𝑥 − 3) + 4𝑧 = 5
3𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 2→ {
5𝑥 + 2𝑧 = −1𝑥 + 3𝑧 = 5
Resolvendo o sistema obtido, encontramos 𝑥 = −1 e 𝑧 = 2. Substituindo esses valores em 𝑦 = 𝑧 −
2𝑥 − 3, encontramos 𝑦 = 1. Logo, 𝑆 = {(−1,1,2)}.
Exercícios Propostos
7. Resolva pelo método da substituição os sistemas:
a){8𝑥 − 5𝑦 = 7
𝑥 + 2𝑦 =7
2
b){
𝑥 − 𝑦 − 2𝑧 = 73𝑥 + 6𝑦 + 𝑧 = −65𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = −2
8. Determine o valor de 𝑎 para que seja homogêneo o sistema: {3𝑥 + 2𝑦 = 5𝑎 − 10
𝑥 − 𝑦 = 0
9. Determine 𝑎, 𝑏 𝑒 𝑐 para que seja homogêneo o sistema: {
𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 𝑐 − 13𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 𝑏 + 𝑐
𝑥 − 2𝑦 + 3𝑧 = 𝑎 − 3𝑎
Regra de Cramer
É aplicável na resolução de sistema n x n, onde D ≠ 0, sendo que a solução é dada pelas razões:
x1 = 𝐷1
𝐷 , x2 =
𝐷2
𝐷 , x3 =
𝐷3
𝐷, ... , xn
Considerando o sistema {𝑎1 + 𝑏1
𝑎2 + 𝑏2
==
𝑐1
𝑐2. [
𝑎1 𝑏1
𝑎2 𝑏2] é a matriz incompleta do sistema.
c1 e c2 são os termos independentes do sistema.
D = |𝑎1 𝑏1
𝑎2 𝑏2| é o determinante da matriz incompleta do sistema.
Dx = |𝑐1 𝑏1
𝑐2 𝑏2| é o determinante da matriz obtida através da troca dos coeficientes de x pelos
termos independentes, na matriz incompleta.
Dy = |𝑎1 𝑐1
𝑎2 𝑐2| é o determinante da matriz obtida através da troca dos coeficientes de y pelos
termos independentes, na matriz incompleta.
Podemos escrever a matriz incompleta de qualquer sistema linear n x n, assim como o seu determinante
D e também Di obtidos através da troca dos coeficientes de uma i-ésima incógnita pelos termos independentes
no determinante da matriz incompleta.
Como podemos observar nos exemplos a seguir:
1º. ) Para resolver o sistema {2𝑥 − 3𝑦 = −5
𝑥 + 2𝑦 = 8 , fazemos:
Cálculo do determinante D:
D = |2 −31 2
| = 2 . 2 – (-3) . 1 = 4 + 3 = 7
Cálculo do determinante Dx:
Dx = |−5 −38 2
| = -5 . 2 – (-3) . 8 = -10 + 24 = 14
Dy = |2 −51 8
| = 2 . 8 – (-5) . 1 = 16 + 5 = 21
Logo:
x = Dx
D =
14
7 = 2 e y =
Dy
D =
21
7 = 3
Conjunto verdade: V = {(2,3)}
2º. ) Resolva o sistema de três equações aplicando a regra de Cramer:
{
𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 12𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 0
−𝑥 + 3𝑦 − 2𝑧 = −3 D = |
1 −2 12 1 −1
−1 3 −2|
1 −22 1
−1 3
D = - (1 . 1 . (-1)) – (1. (-1) .3) – ((-2) . 2 . (-2)) + (1.1 . (-2)) + ((-2) . (-1) . (-1)) +
(1 . 2 . 3) =
= 1 + 3 – 8 - -2 – 2 + 6 = -2
Dx = |1 −2 10 1 −1
−3 3 −2|
1 −20 1
−3 3=
= - (1 .1 . (-3)) – (1 . (-1) . 3) – ((-2) . 0 . (-2)) + (1. 1. (-2)) + ((-2). (-1) . (-3)) +
(1 . 0 . 3) =
= 3 +3 – 0 – 2 – 6 + 0 = 6 – 8 = - 2
Dy = |1 1 12 0 −1
−1 −3 −2|
1 12 0
−1 −3=
= - (1 .0 . (-1)) – (1 .(-1) . (-3)) – (1 . 2 . (-2)) + ( 1. 0. (-2)) + ( 1 . (-1) . (-1)) + (1
. 2 . (-3)) =
= - 0 - 3 + 4– 0 +1 - 6 = 5 – 9 = - 4
Dz = |1 −2 12 1 0
−1 3 −3|
1 −22 13 3
=
= - (1 .1 . (-1)) – (1 .0 . 3) – ((-2) . 2 . (-3)) + ( 1. 1. (-3)) + ( -2 . 0 . 3) + (1 . 2 . 3)
=
= 1 – 0 – 12 – 3 – 0 + 6 = 7 – 15 = - 8
Dx = −2
−2 = 1 Dy =
−4
−2 = 2 Dz =
−8
−2 = 4
Conjunto verdade: V = {(1, 2 ,4)}
ANÁLISE COMBINATÓRIA
Introdução
Considere os seguintes problemas:
De quantos modos distintos oito pessoas podem se sentar lado a lado em
um cinema?
Quantas placas de automóveis podem ser formadas em repetição de letras
e de algarismos?
De quantos modos distintos pode ocorrer o resultado de um sorteio da
Mega–Sena?
De quantas maneiras diferentes pode – se definir as chaves de seções da
primeira fase de uma Copa do Mundo de futebol?
Todas as questões levantadas são problemas de contagem.
Segundo Gelson Iezzi et. al
“A Análise Combinatória é a parte da Matemática que desenvolve técnicas e
métodos de contagem que nos permitem resolver estas e outras questões”.
Exemplo:
Um quiosque de praia na Bahia lançou a seguinte promoção durante uma
temporada de verão:
Para esse combinado, há quatro opções de sanduíches (frango, atum, vegetariano
e queijo branco) e três opções de suco (laranja, uva e morango).
De quantas formas distintas uma pessoa pode escolher o seu combinado?
Em primeiro lugar, a pessoa poderá optar pelo sabor do lanche. Há quatro
opções:
Frango (F); Atum (A); Vegetariano (V) e Queijo branco (Q).
Para cada uma das possibilidades anteriores, a escolha do suco pode ser
feita de três maneiras possíveis:
Laranja (L); Uva (U) ou Morango (M).
A representação dessas possibilidades pode ser feita por meio de um diagrama
sequencial, conhecido como diagrama da árvore.
Combinado de sanduíche natural e
suco a R$ 8,00
Observe a seguir:
1ª 𝑒𝑡𝑎𝑝𝑎 (𝑒𝑠𝑐𝑜𝑙ℎ𝑎 𝑑𝑜 𝑠𝑎𝑛𝑑𝑢í𝑐ℎ𝑒) 2ª 𝑒𝑡𝑎𝑝𝑎 (𝑒𝑠𝑐𝑜𝑙ℎ𝑎 𝑑𝑜 𝑠𝑢𝑐𝑜) 𝑐𝑜𝑚𝑏𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜
𝑓𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜 {𝑙𝑎𝑟𝑎𝑛𝑗𝑎
𝑢𝑣𝑎𝑚𝑜𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜
(𝐹, 𝐿)(𝐹, 𝑈)(𝐴, 𝑀)
𝑎𝑡𝑢𝑚 {𝑙𝑎𝑟𝑎𝑛𝑗𝑎
𝑢𝑣𝑎𝑚𝑜𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜
(𝐴, 𝐿)(𝐴, 𝑈)(𝑉, 𝑀)
𝑣𝑒𝑔𝑒𝑡𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑜 {𝑙𝑎𝑟𝑎𝑛𝑗𝑎
𝑢𝑣𝑎𝑚𝑜𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜
(𝑉, 𝐿)(𝑉, 𝑈)(𝑉, 𝑀)
𝑞𝑢𝑒𝑖𝑗𝑜 𝑏𝑟𝑎𝑛𝑐𝑜 {𝑙𝑎𝑟𝑎𝑛𝑗𝑎
𝑢𝑣𝑎𝑚𝑜𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜
(𝑄, 𝐿)(𝑄, 𝑈)(𝑄, 𝑀)
Observe que para cada combinado consta um par ordenado (x , y), em que x ϵ {F,
A, V, Q} e y ϵ {L, U, M}.
Logo:
O número de possibilidades é 4 . 3 = 12
Princípio Fundamental da contagem
Sabendo - se que um acontecimento ocorre em duas situações sucessivas e
independentes, sendo que:
1º. ) situação: ocorre a maneira;
2º. ) ocorre de b maneiras, então, o número total de possibilidades de ocorrer
o acontecimento é dada por a . b.
Fatorial
Sendo n ϵ ℕ e n > 1, temos:
n! = n . (n – 1) . (n - 2) . ... . 1
Para melhor entendimento da definição, temos:
0! = 1 e 1! = 1
Permutação simples: 𝑃𝑛 = 𝑛!
Arranjo simples: 𝐴𝑛,𝑝 =𝑛!
(𝑛−𝑝)! , com
𝑝 ≤ 𝑛
Combinação simples: 𝐶𝑛,𝑝 =𝑛!
𝑝!(𝑛−𝑝)!
Problemas que envolvem arranjos ou combinações
Vamos aplicar os conceitos sobre arranjos e combinações, bem como as técnicas
de cálculo do número desses tipos de agrupamentos, na resolução de problemas. O
primeiro trabalho será reconhecer se o problema dado envolve arranjos ou combinações.
Para isso, procedemos assim:
a) Escolhemos um agrupamento qualquer que satisfaça as condições do
problema.
b) Trocamos as posições dos elementos desse agrupamento. Se o
agrupamento obtido for outra solução do problema, então se trata de um
probleminha sobre arranjos; caso contrário, trata-se de um problema de
combinações.
Observação: Os problemas que envolvem arranjos podem ser resolvidos
utilizando-se o princípio fundamental da contagem
Exemplos
1. Vamos determinar quantos triângulos com vértices nos pontos A, B,C,D e E
da figura ao lado podemos construir.
Na construção de um triângulo usaremos 3 dos
pontos dados. Para resolver o problema, devemos
reconhecer o tipo de agrupamento que esses 5
elementos tomados 3 a 3 irão formar, se arranjo ou
combinação. Escolhemos, então, um desses
agrupamentos, por exemplo, 𝐴𝐵𝐶. Como
∆𝐴𝐵𝐶 𝑒 ∆𝐵𝐴𝐶 correspondem a um mesmo triângulo ,
então se trata de um problema de combinação. Logo,
o número de triângulos que podemos construir é:
𝐶5,3=5!
3!.(5−3)!=
5!
3!.2!=
5.4.3!
3!.2= 10
2. Vamos determinar quantos números de 3 algarismos distintos podemos formar
com os algarismos 2,3,4,6,7,8 e 9.
Temos 7 algarismos para serem agrupados de 3 em 3. Tomemos, por exemplo,
o número 346. Trocando a ordem de seus elementos teremos, por exemplo, 436.
Como 346 ≠ 436, trata-se sw agrupamento do tipo arranjo. Logo, podemos
formar 𝐴7,3= 7.6.5=210,ou seja, 210 números.
Exercícios Propostos
1.Veja a figura e responda o que se pede.
a) Quantos triângulos diferentes com
vértices nesses pontos e que tenham um só
vértice vermelho podem ser construídos?
b) Quantos triângulos diferentes
podem ser construídos com vértices nesses
pontos?
2.Com os algarismos 1,2,3,4,5,6 e 7, determine quantos números podemos formar
quando:
a) Os números têm 4 algarismos;
b) Os números têm 4 algarismos distintos;
c) Os números têm algarismos distintos, são maiores que 3.000 e
menores que 7.000;
d) Os números são ímpares e têm 3 algarismos distintos.
3. Considere todas as comissões de 5 membros, possíveis de serem formadas com
5 brasileiros e 8 estrangeiros. Determine quantas dessas comissões:
a) Não terão estrangeiros;
b) Terão no mínimo 2 brasileiros.
Gabarito (Atividade 1 a 3)
Atividade 1
Questão 1: a) 9 b) 6
Questão 2: a) (−2 820 12
) b) (−26 6−2 −2
) c) (−8 0
−20 −6)
Questão 3:
a) (318
3 1 5
035
544
725
)
b) Português e Matemática Aluno C, Historia Aluno A
Questão 4:
a) (1920
15𝑥 + 900) b) (
80 6068 75
)
Atividade 2
Questão 5: det 𝐴 = 18
Questão 6: 𝑥 = 2
Questão 7: det 𝐴 = 1 , det 𝐵 = −4, det 𝐴 + 𝐵 = 0 , det 𝐴 ⋅ 𝐵 = −4
Atividade 3
Questão 8: 220
Questão 9: 120
Questão 10: 504
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS
EQUAÇÕES LINEARES
QUESTÃO 1 - OBSERVAÇÃO: Toda equação do 1ºgrau que possui uma ou mais incógnitas é
uma equação linear.
QUESTÃO 2 - LETRAS A e C.
QUESTÃO 3 - NÃO É SOLUÇÃO.
SISTEMAS LINEARES
QUESTÃO 4 - É SOLUÇÃO.
QUESTÃO 5 - a=-1 e b=3
QUESTÃO 6 - LETRAS A e C.
RESOLUÇÃO DE SISTEMAS LINEARES
QUESTÃO 7 - (3
2, 1)
QUESTÃO 8 - a=2
QUESTÃO 9 - a=0, b=-1, c=1
ANÁLISE COMBINATÓRIA
QUESTÃO 1 - a) 40 b) 70
QUESTÃO 2 - a)2.401 b) 840 c) 360 d) 120
QUESTÃO 3 - a)120 b) 142.560
ATIVIDADE EXTRA
GABARITOS:
ATIVIDADE EXTRA: 1)E 2)D 3) C 4) B 5)A 6)E 7)A 8)D 9)C 10)E