Fundamentación:

La siguiente es la planificación de tres clases de matemática. Dos de cuarenta minutos (una hora cátedra) y una de ochenta minutos de duración (dos horas cátedra). Los contenidos a abordar son, suma y resta de números enteros. Estos contenidos pertenecen al eje: “Números y Operaciones” del Diseño Curricular Provincial.

Para abordar los contenidos se tendrá en cuenta el cambio que supone ampliar el campo numérico de los naturales a los enteros. Ya que es en este nivel de escolaridad cuando tienen su primer acercamiento a estos números. En primer lugar no es tan intuitivo y gráfico el significado de número entero y de las operaciones con ellos como en el caso de los números naturales. Uno puede ver 2 cantidades de determinado objeto, puede medir y obtener como resultado de esta medición 2 veces determinada unidad de medida, pero no es tan familiar el significado de un número negativo.

Tiene que tratar con algo nuevo, los números negativos, que en primera instancia nada tienen en común con su imagen de números de cosas, pero debe operar con ellos como si lo tuvieran, aunque las operaciones tengan gráficamente un significado mucho menos claro que las anteriores.1

Una vez que los alumnos hayan podido conceptualizar el número entero sigue siendo un desafío operar con ellos. Si bien han operado con números naturales durante todos los años de escolarización anteriores, deben encontrar sentido a las mismas operaciones pero ahora con otros números. “De la misma manera que le encontraron sentido a los números naturales, los estudiantes desearían vincular cosas de la realidad al nuevo concepto de número signado y modelar las nuevas operaciones de un modo concreto.”2 Para esto se seleccionaron actividades que permitan al alumno realizar un trabajo con material concreto, realizar un análisis de situaciones que involucren operaciones con estos números y que de este análisis se puedan deducir las reglas que rigen estas operaciones. “A partir del material concreto los alumnos pueden descubrir las reglas de operación que rigen a los números enteros, trasladando sus experiencias del modelo “real” al mundo de los símbolos escritos en matemática”3.

Se pretende que no sea sólo un abordaje simbólico, abstracto sino que el alumno pueda visualizar y realizar representaciones mentales del objeto en estudio. “(…) el tratamiento de los enteros desde un punto de vista exclusivamente formal es estéril pues lo formal no se puede imponer por decreto.”4

Se busca que los alumnos manipulen, resuelvan situaciones y luego relacionen este trabajo con las definiciones formales del concepto o los algoritmos que se utilizan para operar con números enteros, no al revés. Se cree que presentando de esta manera el objeto de estudio, el aprendizaje por parte de los alumnos puede ser más significativo.

1 Bruno, A. (2001) La enseñanza de los números negativos: formalismo y significado. Revista: La Gaceta. Enlace: http://dmle.cindoc.csic.es/pdf/GACETARSME_2001_04_2_05.pdf..2 Borjas, F; Yulisa, D. Aprendizaje de los números enteros una “experiencia significativa en estudiantes de séptimo grado de la escuela nacional de música”. Enlace: http://www.cervantesvirtual.com/obra/aprendizaje-de-los-numeros-enteros-una-experiencia-significativa-en-estudiantes-de-septimo-grado-de-la-escuela-nacional-de-musica/3 Borjas, F; Yulisa, D. Aprendizaje de los números enteros una “experiencia significativa en estudiantes de séptimo grado de la escuela nacional de música”. Enlace: http://www.cervantesvirtual.com/obra/aprendizaje-de-los-numeros-enteros-una-experiencia-significativa-en-estudiantes-de-septimo-grado-de-la-escuela-nacional-de-musica/4 Iriarte Bustos, D. (1991). Obstáculos en el aprendizaje de los números enteros. Revista Suma. Enlace: http://revistasuma.es/IMG/pdf/7/013-018.pdf

1

Se tendrá en cuenta también que muchas veces el conocimiento adquirido previamente con los números naturales puede llegar a ser un obstáculo en este nuevo aprendizaje. Procedimientos o relaciones que habían establecido en las operaciones con los números naturales ya no se pueden aplicar en las operaciones con números enteros. Por ejemplo, si a 5 le restamos 3, nos quedan 2; si ahora le restamos 4 nos queda 1, pero si a 5 le queremos restar 6 ya se complica, incluso en el campo de los números naturales esta operación no se puede realizar.

“(…) los significados más familiares de los números positivos y de las operaciones con ellos conducen a que los alumnos tengan la idea de que no existen números menores que cero y la de que la suma y el producto de dos números es un número mayor.”5

Se utilizarán como recurso didáctico las computadoras. Se trabajará con los software: JClic y HotPotatoes. El objetivo del uso de estas herramientas es que sean colaboradores en el aprendizaje de los alumnos. Estos programas permiten al docente diseñar actividades interactivas para que los alumnos realicen luego en sus computadoras.

Desde este lugar el uso de nuevas tecnologías se considera “innovaciones en el aula” ya que son una propuesta diferente al trabajo en el pizarrón o en una carpeta. Una forma de convocar y motivar a los alumnos, ayuda a “Promover el papel activo e independiente de los alumnos a la hora de construir el conocimiento, con aplicaciones de software”6

A su vez favorecen la adaptación de la escuela a la sociedad de hoy. Teniendo en cuenta que vivimos en “(…) un mundo con cada vez más omnipresencia de la tecnología, que ya domina casi todas las dimensiones de la vida fuera del centro escolar.”7

Haremos uso de internet para difundir el archivo con las actividades. Si bien la incorporación de las TIC con fines educativos en el siglo XXI hace referencia principalmente al uso responsable de internet “utilizándolo en función de proyectos y trabajos pedagógicos”8. Considero que la introducción de nuevas tecnologías es un avance al ideario en cuanto al uso de las T.I.C. en las escuelas.

Propósitos:

Proporcionar a los alumnos actividades lúdicas y modelos de representación que permitan visualizar y comprender las operaciones con números enteros y las reglas generales correspondientes a las mismas.

Proporcionar a los alumnos instancias de reflexión individual y/o grupal que les permitan en un primer momento llegar a conclusiones que luego faciliten la comprensión de la formalidad de las operaciones con números enteros.

Objetivos:

5 Bruno, A. (2001) La enseñanza de los números negativos: formalismo y significado. Revista: La Gaceta. Enlace: http://dmle.cindoc.csic.es/pdf/GACETARSME_2001_04_2_05.pdf..6 Resumen informe horizon. Edición 2.015 Enseñanza primaria y secundaria Instituto nacional de tecnologías educativas y de formación del profesorado (INTEF) Departamento de proyectos europeos.7 Ávalos, M. ¿Cómo trabajar con T.I.C. en el aula? Una guía para la acción pedagógica. Colección respuestas. Editorial Biblos. 8 Ávalos, M. ¿Cómo trabajar con T.I.C. en el aula? Una guía para la acción pedagógica. Colección respuestas. Editorial Biblos.

2

Realizar operaciones con enteros en contexto de cálculos, analizando los signos correspondientes al resultado obtenido.

Explorar lo antes mencionado a través del modelo operatorio de fichas con material manipulable. Resolver sumas algebraicas con paréntesis, corchetes y llaves. Analizar situaciones que representen multiplicaciones y divisiones con números enteros. Resolver potencias (con exponente positivo) y raíces de números enteros. Utilizar la actividad lúdica como estrategia para facilitar la exploración y el análisis. Realizar operaciones con enteros en contexto de cálculos teniendo en cuenta su jerarquía.

Contenidos:

Conceptuales:

Principio de cancelación. Suma de un número y su opuesto. Suma y resta de números enteros. Multiplicación y división de números enteros. Supresión y resolución de paréntesis, corchetes y llaves. Potenciación de números enteros con exponentes positivos. Propiedades de la potenciación. Radicación de números enteros. Cálculos combinando las seis operaciones. Jerarquía de las operaciones.

Procedimentales:

Visualización de la propiedad cancelativa de dos números opuestos. Interpretación de la acción de sumar y restar números enteros con material manipulativo. Análisis de los signos correspondientes a los resultados obtenidos en cada caso. Análisis de situaciones que involucren multiplicaciones con números enteros. Resolución de operaciones con enteros. Observación y generalización de la regla de los signos en propuesta lúdica. Interpretación de la potencia como una multiplicación abreviada. Reconocer, escribir y argumentar las diferentes expresiones de la potencia con números enteros. Interpretación de la división y radicación como operaciones inversas a la multiplicación y

potenciación. Interpretación del orden de las operaciones.

Actitudinales:

Participación en las actividades. Respeto en las relaciones con los compañeros y con el docente. Valoración por los aportes del grupo-clase. Cuidado de los materiales.

Primera clase:

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Duración: 40 minutosObjetivos:

Realizar un repaso del concepto de:o números enteros.o Ordeno Valor absoluto.

Explorar lo antes mencionado con el programa JClic.

ContenidosConceptuales:

Concepto de número entero. Orden de números enteros. Opuesto de un número entero.

Procedimentales:

Relacionar números enteros con su aplicación en la vida cotidiana.

Actitudinales:

Participación en las actividades. Respeto en las relaciones con los compañeros y con el docente. Valoración por los aportes del grupo-clase. Cuidado de los materiales.

Metodología:

Se presentará una secuencia de actividades en el programa JClic con el objetivo de realizar un repaso de la definición de números enteros y de conceptos como valor absoluto y números opuestos.

La modalidad de trabajo será individual. Trabajarán en las computadoras realizando las actividades propuestas.Una vez realizadas las actividades se realizará una puesta en común con el objetivo de recuperar las ideas previas de los alumnos. En el programa habrá tres actividades. Unir con flechas.-sopa de letras y rompecabezas.

Inicio:

Tiempo estimado: 10 minutos

Durante el inicio: Se comunicará a los alumnos que trabajaremos con las computadoras. Se entregarán una computadora por alumno. Se difundirá el archivo con las actividades.

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Desarrollo:Tiempo estimado: 20 minutos.Actividad: unir con flechas.

Cuando el alumno va uniendo correctamente las opciones éstas se van cerrando.

Actividad: sopa de letras.

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El objetivo de esta actividad es recuperar los conceptos (enteros, cancelación, cero, suma, resta, opuesto, orden, valor absoluto) para luego en la puesta en común repasar su significado.

Actividad: Rompecabezas

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La imagen es la siguiente:

En la misma se pueden interpretar los números enteros como alturas con respecto al nivel del mar. El cero representa la altura al nivel del mar.

Sobre el nivel del mar se encuentran los números positivos y debajo del nivel del mar los números negativos.Con esta actividad se pretende que los alumnos resignifiquen los números enteros como referencias

para las personas, ésta es una de las tantas aplicaciones de los números enteros.Cierre:Tiempo estimado: 10 minutos

Durante el cierre se realizará la puesta en común de forma oral. En la misma se socializarán los contenidos trabajados en las actividades.

Segunda clase:

Duración: 80 minutos.

Objetivos:

Realizar sumas y restas de números enteros analizando el signo del resultado obtenido. Explorar lo antes mencionado a través del modelo operatorio de fichas con material manipulable.

Contenidos:Conceptuales:

Propiedad de cancelación. Suma y resta de números enteros.

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Procedimentales:

Visualización de la ley cancelativa de dos números opuestos. Interpretación de la acción de sumar y restar números enteros con material concreto.

Actitudinales:

Participación en las actividades. Respeto en las relaciones con los compañeros y con el docente. Valoración por los aportes del grupo-clase. Cuidado de los materiales.

Metodología:

Se trabajará con el modelo operatorio de fichas. El mismo consta de material concreto y unas reglas para poder operar en él. Este modelo servirá para visualizar la ley cancelativa de dos números opuestos; la resta, como la suma de un número y su opuesto y la resolución de cálculos en los que se combinen sumas y restas.El material consta de un tablero y fichas de dos colores distintos. Material que servirá para realizar las exploraciones numéricas. En este modelo la acción de agregar sigue estando relacionada con la suma en los números naturales, ya que al sumar un entero negativo a un entero positivo se agregan fichas negras que representan a los enteros negativos. Luego por el principio de cancelación quedan fichas en un solo lado del tablero.En esta clase, debido a la duración de la misma se hará la presentación del material, se explicará cómo funciona y se dará tiempo a los alumnos para realizar sumas y restas utilizando el modelo.Quedando para la clase siguiente el abordaje de la resta como la suma de un número y su opuesto y la resolución de cálculos en los que se combinen sumas y restas.Se trabajará en grupos de dos integrantes.

Conocimientos previos:

Definición de números enteros. Orden de números enteros.

Inicio:

Tiempo estimado: 15 minutos.

Se hará una presentación del material con el que se va a trabajar en esta clase: Un tablero dividido en dos partes iguales, fichas rojas y fichas negras.

Se pedirá a los alumnos que se agrupen de a dos con el compañero de banco. Se entregarán los materiales, manifestando la importancia del cuidado de los mismos.

Se entregará cada dos alumnos:

Un tablero. 15 Fichas rojas. 15 Fichas negras.

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Una hoja con cálculos.

Se explicará cómo funciona este modelo para operar con números enteros:

Para realizar una representación de números enteros vamos a utilizar los materiales que se les entregó. En lugar de escribir los números en el tablero los vamos a representar con fichas. Las negras representarán los enteros negativos y las rojas los enteros positivos. El tablero está dividido en dos partes iguales. La del lado derecho es llamada positiva y la del lado izquierdo “negativa”.

De acuerdo a la disposición de las fichas en el tablero, se tienen 3 tipos de números enteros:Enteros positivos: Se representan con fichas del lado derecho del tablero.Enteros negativos: Se representan con fichas del lado izquierdo del tablero.El cero: Se representa mediante la ausencia de fichas.Las fichas del lado positivo se pueden cancelar con las del lado negativo, una a una. Así se tendrán al final, fichas en un solo lado o ausencia de fichas.

Desarrollo: 55 minutos.

Primera actividad:

Tiempo estimado: 15 minutos.

Se realizarán 4 operaciones de ejemplo en el pizarrón.

Se llevará unos tableros dibujados en cartulina con los pasos graficados.

Para realizar la suma: 5+3 Colocamos 5 fichas en el lado positivo Colocamos 3 fichas rojas en el lado positivo. Obtenemos 8 fichas en el lado positivo. El resultado es 8.

Para realizar la resta: 5−3

a) Colocamos 5 fichas en el lado positivo y luego 3 fichas en el lado negativo.

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b) El resultado es 2 positivo.

Para realizar la resta 5−7 Colocamos 5 fichas en el lado positivo y luego 7 fichas en el lado negativo.

Se obtienen dos fichas negativas, es decir: el resultado es –2

Para realizar la suma: 5+(−2) Colocamos 5 fichas en el lado positivo. Agregamos 2 fichas en el lado negativo. Como las fichas positivas se pueden cancelar una a una con las negativas, nos quedan 3 fichas en el

lado positivo.

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El resultado es 3

Luego de presentar estos ejemplos (mientras simultáneamente cada grupo lo resuelve en sus tableros), se dará como consigna que por grupo resuelvan las siguientes operaciones en el mismo.

Actividad nº 2:

Tiempo estimado para su resolución: 10 minutos

Tiempo estimado para la puesta en común: 10 minutos

A partir de esta actividad se formalizará la propiedad cancelativa, el significado de la resta como la suma de un número y su opuesto y la resolución de sumas algebraicas.

En el desarrollo se utilizarán distintos colores para:

La resolución que se espera que los alumnos produzcan (color azul). Los errores que podrían aparecer (color rojo) Las posibles intervenciones orales del docente. (Color verde)

Actividad nº 3:

Tiempo estimado para la resolución de esta actividad: 10 minutos

Tiempo estimado para la puesta en común: 10 minutos

1. Realizar los siguientes cálculos con el tablero:

a¿−9+4b¿9−14c ¿13−5d ¿14−7 e¿13+(−5 )

f ¿14+(−7 ) g¿9+(−14 )

Realizando esta actividad, los alumnos se pueden dar cuenta de la siguiente propiedad de los números enteros: Restar un número entero a otro es lo mismo que sumarle su opuesto.

La resta de dos números enteros se puede transformar en una suma de forma tal que al primer número le sumamos el opuesto del segundo.

Por ejemplo: 5−3=5+(−3) ó 5−(−3 )=5+3

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Resuelvan utilizando el tablero:a¿−4+8b¿7−4 c¿7−9d ¿7+(−10 ) e¿−8−5

Para esto se harán intervenciones como las siguientes:

¿De qué lado del tablero se representa el número 3?

¿Y el −3?

¿Cómo son 3 y (−3)?

¿Qué pasa con la ubicación en el tablero cada vez que a un número se le agrega el signo menos?

¿De qué lado del tablero se representa el número – (−3)?

El opuesto o negativo de un número se halla mediante una inversión de fichas. Cada vez que aparece el signo “-” la cantidad se ubica en el lado opuesto.

Es decir que 5−(−3 )=5+3

Sabiendo esto podemos restar un número negativo a un entero cualquiera.

Una vez que se trabajó la regla: “Sumarle un número entero a otro es lo mismo que restarle el opuesto”

Se pueden realizar restas como las siguientes: 4− (−3 ) o como la siguiente: 11−(+8)

Tiempo estimado: 10 minutos

En el cierre se hará la institucionalización por parte del docente. Para esto se retomará lo trabajado por los alumnos. En primer lugar se formalizará la propiedad cancelativa, se explicará que cuando hicieron por ejemplo el primer ejercicio: 9−14 realizaron en el tablero:

A partir de esto podemos ver que hubiera sido lo mismo escribir: −9+ (−5 )+9 de esta forma también hubiéramos obtenido como resultado el número −5. Y lo que estamos haciendo para llegar al resultado es aplicar la propiedad cancelativa. Entonces 9 fichas del lado negativo se van con 9 fichas del lado positivo. Es decir el −9 se cancela con el 9.

Si en una suma algebraica aparecen dos números opuestos, los cancelamos, ya que su suma es cero.

Tercera Clase:

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Duración: 40 minutos

Objetivos:

Realizar sumas y restas de números enteros analizando los signos correspondientes al resultado obtenido.

Explorar lo antes mencionado a través del modelo operatorio de fichas y con el programa HotPotatoes.

Contenidos:Conceptuales:

Propiedad de cancelación. Suma de un número y su opuesto. Suma y resta de números enteros. Cálculos combinados de sumas y restas de números enteros.

Procedimentales:

Interpretación de la acción de sumar y restar números enteros con material concreto. Resolución de ejercicios combinados.

Actitudinales: Participación en las actividades. Respeto en las relaciones con los compañeros y con el docente. Valoración por los aportes del grupo-clase. Cuidado de los materiales.

Metodología:

En esta clase se realizarán sumas algebraicas. Para realizar las mismas se recurrirá al programa HotPotatoes.Los alumnos trabajarán de manera individual en la computadora.Se presentarán dos actividades, al finalizar las mismas se realizará una puesta en común.

Conocimientos previos:

Suma y resta de números enteros. Suma de un número y su opuesto. Funcionamiento del modelo operatorio con fichas. Sumas algebraicas de números enteros.

Inicio:

Tiempo estimado: 10 minutos

Durante el inicio: Se comunicará a los alumnos que trabajaremos con las computadoras. Con el programa

HotPotatoes. Se entregarán una computadora por alumno.

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Se difundirá el archivo con las actividades.

Desarrollo:Tiempo estimado: 30 minutos.

Cuando el alumno elige la opción correcta la pantalla indica cuántas respuestas son en total y cuantas va respondiendo.

Actividad:Seleccionar la opción correcta. En la siguiente actividad el alumno deberá reconocer qué número entero representa la disposición de fichas en el tablero. Esto sirve como ejercitación de lo trabajado en la clase anterior.

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Actividad: Crucigrama.En esta actividad el alumno deberá reconocer el concepto dada su definición.

Para introducir las palabras se debe hacer clic en los números y aparece la referencia y una entrada para escribir la palabra.

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Una vez que escribieron la palabra al hacer enter, si es correcta se escribe en el crucigrama.

Cierre:Tiempo estimado: 10 minutos

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Durante el cierre se realizará una puesta en común de las actividades realizadas.

Referencia Bibliográfica:

Bruno, A. (2001) La enseñanza de los números negativos: formalismo y significado. Revista: La Gaceta. Enlace: http://dmle.cindoc.csic.es/pdf/GACETARSME_2001_04_2_05.pdf..

Resumen informe horizon. Edición 2.015 Enseñanza primaria y secundaria Instituto nacional de tecnologías educativas y de formación del profesorado (INTEF) Departamento de proyectos europeos.

Ávalos, M. ¿Cómo trabajar con T.I.C. en el aula? Una guía para la acción pedagógica. Colección respuestas. Editorial Biblos.

Páginas en internet:

Borjas, F; Yulisa, D. Aprendizaje de los números enteros una “experiencia significativa en estudiantes de séptimo grado de la escuela nacional de música”.Enlace: http://www.cervantesvirtual.com/obra/aprendizaje-de-los-numeros-enteros-una-experiencia-significativa-en-estudiantes-de-septimo-grado-de-la-escuela-nacional-de-musica/

Para el alumno:

Cuadernillo de ejercitación MATEMÁTICA. Colegio Técnico Provincial Olga B. de Arco. 2ºaño E.S.O 2015.

Matemática 8 (1997). Buenos Aires: Ediciones Santillana.

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