PLANEJAMENTO DO EXPERIMENTO

Profa. Sachiko A. Lira

Planejamento de Experimentos ou Delineamento de Experimentos Conjunto de ensaios estabelecido com critérios científicos e estatísticos.

Objetivo determinar a influência de diversas variáveis nos resultados de um dado sistema ou processo.

1 INTRODUÇÃO

Metodologia para elaboração de experimentos Proposta por Ronald A. Fisher (1935). Inicialmente aplicada a experimentos de agricultura.

FASES DO PROJETO DE EXPERIMENTOS

De acordo com o objetivo dos ensaios é possível:

determinar quais variáveis têm maior influência nos resultados;

atribuir valores às variáveis de maior influência de modo a otimizar os resultados;

atribuir valores às variáveis de maior influência de modo a minimizar a variabilidade dos resultados ;

atribuir valores às variáveis de maior influência de modo a minimizar a influência de variáveis não controláveis.

Antes de começar a realizar os experimentos, os objetivos e os critérios devem estar bem claros, de modo a dar subsídios para a escolha:

das variáveis envolvidas nos experimentos;

da faixa de variação das variáveis selecionadas;dos níveis escolhidos para essas variáveis. No caso de muitos fatores,

é melhor escolher inicialmente dois níveis;

da variável de resposta;

do planejamento experimental. Nessa etapa, há que se considerar:

I) o tamanho da amostra (número de réplicas)

II) a seleção de uma ordem de realização dos experimentos

III) se há vantagem em fazer a blocagem dos experimentos

IV) dos métodos de análise dos resultados dos experimentos. Os méto-

dos estatísticos são usados para guiar uma tomada objetiva de

decisão.

Variáveis de resposta (variáveis dependentes) São os parâmetros que serão medidos, avaliados pelo experimento.

Fatores controláveis (variáveis independentes) São aqueles parâmetros dos procedimentos metodológicos que serão estudados a vários níveis experimentais.

Fatores de ruído (variáveis intervenientes) São as variáveis que não podem ser controladas mas que afetam o experimento. São responsáveis pelo erro experimental (variabilidade).

• Vida útil da bateria função da marca• Tempo de execução de uma determinada atividade função do operador• Tempo para início de oxidação de certo metal função da umidade

Fundamento da análise do planejamento de experimentos análise de variância (ANOVA)

conjunto de modelos em que a variação observada é dividida em componentes, devido a diversos fatores.

2 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÃO NORMAL

Erro experimental ou erro estatístico variação de resultados de ensaio para ensaio. A existência deste erro caracteriza a variável de resposta como sendo uma variável aleatória.

Variável aleatória discreta se apresentar um número finito ou infinito enumerável de valores possíveis.

Variável aleatória contínua se apresentar-se dentro de um intervalo de valores.

Definição 1: Seja E um experimento e S o espaço amostral associado ao experimento. Uma função X, que associa a cada elemento um número real , é denominada variável aleatória.

s

S

X )s(X

XR

Ss )s(X

Exemplo: Uma caixa contém 4 válvulas, sendo duas perfeitas e duas defeituosas.

Duas válvulas são retiradas aleatoriamente da caixa, com reposição, e testadas

(sendo representadas por D=defeituosa e P=perfeita). O espaço amostral associado

a este evento é:

S={PP,PD,DP,DD}

Seja a variável aleatória X=número de válvulas defeituosas. Os valores

possíveis valores da variável aleatória X serão:

}2,1,0{RX

Definição 2: A variável aleatória X é chamada de discreta quando o seu

contradomínio é um conjunto finito ou infinito enumerável R...,x,x,x 321 tal que

Ss,,...x,x,x)s(X 321 .

Definição 3: A variável aleatória X é chamada de contínua quando o seu

contradomínio é um conjunto infinito.

Definição 4: Seja X uma variável aleatória discreta. A função p, denominada

de função de probabilidade da variável aleatória discreta X, associa um número

real )xX(P)x(p ii , chamado de probabilidade de ix , a cada possível resultado ix .

Sendo p uma função de probabilidade, tem-se que:

1)xX(P0 i

Sx

1)xX(P i

Definição 5: Seja X uma variável aleatória continua. A função

densidade de probabilidade )x(f é uma função que satisfaz as seguintes

condições:

0)x(f para todo XRx

1)x(d)x(f

.

Definição 6: Seja X uma variável aleatória. A função de distribuição

acumulada ou de repartição de X é definida como

)xX(P)x(F

Se X for variável discreta, tem-se

)x(P)x(F ixxi

E, se X for variável aleatória continua, tem-se;

x

dx)x(f)xX(P)x(F

2.2 ESPERANÇA E VARIÂNCIA DE UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA

2.2.1 Esperança

A esperança matemática E(X), de uma variável aleatória continua X, com

função densidade de probabilidade )x(f , é definida por:

dx)x(fx)X(E

O valor esperado, expectância ou a esperança matemática E(X), de

uma variável aleatória discreta X, que é a média da distribuição, é definida por:

)xX(Px)X(E ii

1i

Propriedades da Esperança Matemática

1. K)K(E , sendo k=constante

2. K)X(E)KX(E , sendo k=constante e X v.a.

3. )X(Ek)K.X(E

4. Sejam X e Y variáveis aleatórias. Então:

)Y(E)X(E)YX(E

5. Sejam X e Y variáveis aleatórias independentes. Então:

)Y(E.)X(E)Y.X(E

2.2.2 Variância

A variância da variável aleatória discreta X, representada por )X(V ou

2 , é definida por:

1iii

1iii

2 )xX(Px)x(P)X(Ex)X(EXE)X(V 222

Se X é uma variável aleatória contínua, a variância, representada por

)X(V ou 2 , é definida por:

dx)x(f)x()X(V 22

Propriedades da Variância

1. 0)k(V , onde k=constante

2. )X(Vk)kX(V 2 onde k=constante e X variável aleatória

3. Sejam X e Y v.a. independentes. Então:

)Y(V)X(V)YX(V

4. Sejam X e Y v.a. não independentes (ou dependentes). Então:

)Y,X(COV2)Y(V)X(V)YX(V

)Y,X(COV2)Y(V)X(V)YX(V

onde )Y(E)X(E)XY(E)Y,X(COV (covariância)

Se as variáveis aleatórias não são independentes, tem-se que )Y(E)X(E)XY(E . Esta

diferença é chamada de covariância.

Exemplos:

Seja X uma variável aleatória discreta que representa o número de peças defeituosas em cada 5 peças inspecionadas. Sabendo-se que a probabilidade de uma peça ser defeituosa é de 20%, obtém-se a seguinte distribuição de probabilidade:

0 1 2 3 4 5

0,3277 0,4096 0,2048 0,0512 0,0064 0,0003ix)x(p i

Qual o valor esperado de X ( )X(E ) e a variância ( ))X(V ?

0003,050064,040512,032048,024096,013277,00)x(px)X(E ii

1i

1)X(E

n

1iii )x(P)X(Ex)X(EXE)X(V 22

0512,0)13(2048,0)12(4096,0)11(3277,0)10()X(V 2222

0003,0)15(0064,0)14( 22

0,7997)X(V

Suponha que 25,0)x(f , para 4x0 . Determine a média e a variância.

dx)x(fx)X(E

2042

25,0

2

x25,0dxx25,0dx25,0x)X(E 22

24

0

4

0

4

0

dx)x(f)x()X(V 22

4

0

4

0

40

4

0

24

0

3222 x4

2

x4

3

x25,0dx)4x4x(25,0dx25,0)2x()X(V

33,1)X(V