Plan du cours - IBISC
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Automates cellulaires
Guillaume HutzlerLaMI (Laboratoire de Méthodes Informatiques)SyDRA (Systèmes Distribués, Réactifs et Adaptatifs)[email protected]://www.lami.univ-evry.fr/~hutzler
Plan du cours
Introduction Exemples simples Petit historique
Détail des choix de conception possibles Considérations théoriques Application à la modélisation et à la simulation de
systèmes biologiques Conclusion
Introduction
Un exemple simple pour commencer
L’automate élémentaire à 1 dimension Modèle à 1 dimension
– Tableau de cellules à une dimension
Espace d’états limité– Chaque cellule prend ses valeurs dans l’ensemble {0, 1}
Voisinage réduit– Le voisinage d’une cellule se réduit aux deux cellules adjacentes
Règles de transition simples– L’automate progresse par générations successives– L’état d’une cellule à la génération suivante est fonction de son état
et de l’état de ses voisines à la génération courante– Toutes les cellules changent d’état de manière synchrone
Etudié de manière systématique par S. Wolfram
Introduction - Un exemple simple pour commencer
Les règles de transition
Principe de base
Pour une cellule donnée 8 configurations possibles (23) 2 nouveaux états possibles pour
chaque configuration Au total 256 automates possibles (28) ex. : règle 18
– f(111)=0 – f(110)=0
– f(101)=0 – f(100)=1
– f(011)=0 – f(010)=0
– f(001)=1 – f(000)=0
n° règle = f(111)f(110)f(101)f(100)f(011)f(010)f(001)f(000)
Diagramme espace-temps
Introduction - Un exemple simple pour commencer
Un modèle de morphogénèse?
Observation Les patterns obtenus par certains automates ressemblent aux
motifs exhibés par certains coquillages Peut modéliser un processus de diffusion simple [Meinhardt &
Klingler 1987]« Shell patterns are time records of a one-dimensional pattern forming process
along the growing edge. Oblique lines result from travelling waves ofactivation (pigment production). Branches and crossing result from atemporary shift from an oscillatory into a steady mode of pigmentproduction... »
Introduction - Un exemple simple pour commencer
Considérations générales
Domaine très expérimental un automate est entièrement décrit par sa spécification Mais : impossible de prédire a priori l’état d’un automate sans
l’exécuter
Mais également des résultats théoriques Classes de complexité Réversibilité Jardins d’Eden et ensembles limites Lois de conservation Universalité
Applications simulation de phénomènes spatio-temporels (physique, chimie,
biologie mais aussi ingénierie, trafic, sociologie, etc.) traitement d’image et classification
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Introduction
Petit retour historique (1)
Stanislaw M. Ulam S’intéressait à l’évolution de constructions graphiques engendrées à
partir de règles simples Principe
– Espace à deux dimensions divisé en « cellules » (sorte de feuille quadrillée)– Chacune des cellules pouvait avoir deux états : allumé ou éteint– Partant d'une configuration donnée, la génération suivante était déterminée
en fonction de règles de voisinage– Ex. si une cellule donnée était en contact avec deux cellules allumées elle
s'allumait sinon elle s'éteignait
Résultats– génération de figures complexes et esthétiques– dans certains cas, ces figures pouvaient se répliquer
Questionnements– ces mécanismes récursifs peuvent-ils expliquer la complexité du réel?– Cette complexité n'est elle qu'apparente, les lois fondamentales étant elles-
mêmes simples?
Introduction - S. Ulam
La croix de Malte (1)
http://algorithmicbotany.org/vmm-deluxe/QT/Maltese/maltese.qt
Introduction - S. Ulam
La croix de Malte (2)
http://algorithmicbotany.org/vmm-deluxe/JPEG/Maltese/maltese_obst.jpg
[Greene 1991]
Introduction
Petit retour historique (2)
John von Neumann Travaillait à la conception d’une machine auto-réplicatrice, le
kinématon– Capable de produire n’importe quelle machine décrite dans son
programme, y compris une copie d’elle-même, à partir de matériauxtrouvés dans l’environnement
Problèmes– autoréférence de la description
– La machine doit avoir une description d’elle-même, donc également unedescription de la description...
– La description est considérée à la fois comme un programme et uncomposant
– La description est interprétée pour construire la nouvelle machine– Elle est ensuite copiée
– Similaire au fonctionnement de l’ADN (découvert plus tard)
– Conditions physiques de réalisation de la machine
Introduction
Petit retour historique (3)
Les automates auto-reproducteurs Ulam a suggéré à von Neumann d'utiliser ce qu'il appelait les « espaces
cellulaires » (cellular spaces) pour construire sa machine– « En axiomatisant les automates [autoréplicateurs] de cette manière, on (...)
s'est résigné à ne pas expliquer comment ces éléments sont constitués dechoses réelles, particulièrement comment ces éléments sont constitués departicules élémentaires ou même de molécules (...) on considérerasimplement que des particules élémentaires dotées de certaines propriétésexistent. La question à laquelle on espère répondre, ou au moins examiner,est : quels principes sont mis en œuvre dans l'organisation de ces moléculesdans les êtres vivants fonctionnels (...) »
chaque cellule est un automate à états finis– AC à 2 dimensions avec 200 000 cellules et 29 états
– Transport de signal– Opérations logiques
– Architecture logique– Un constructeur universel– Une bande de cellules
Introduction - Petit retour historique
Les développements ultérieurs
Développements dans différentes directions Complément des travaux de Von Neumann sur les automates
cellulaires [Burks 70] Extension des travaux de Von Neumann sur les machines auto-
reproductrices [Codd 68, Langton 84] Jeux basés sur les automates cellulaires
– Jeu de la vie [Conway 70]– Brian’s brain [Silverman 84]
Etude théorique des propriétés des automates cellulaires Extension du modèle originel (coupled map lattices) Application à la modélisation de systèmes complexes (biologie,
physique, sociologie, etc.)
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Introduction - automates auto-reproducteurs
Automates auto-reproducteurs
Edgar Codd (1968) Version simplifiée de l’automate de Von Neumann
– Seulement 8 états– Toujours un constructeur universel
Christopher Langton (1984) abandonne l'idée d'universalité du réplicateur concevoir un automate cellulaire supportant une structure dont
les composants constituent l'information nécessaire à sa propreréplication
– structure à la fois elle-même et représentation d'elle-même– utilise huit états et vingt-neuf règles– boucle constituée d'une « membrane » au sein de laquelle circule
l'information nécessaire à la réplication.
Introduction - automates auto-reproducteurs
La boucle de Langton
les cellules à l'état 2 forment la membrane les cellules internes contiennent l'information de réplication (sorte
d'ADN) Les séquences 7-0 et 4-0 se propagent vers la queue
– les séquences 7-0 prolongent la queue– les séquences 7-0 construisent un angle droit vers la gauche
une règle de « stérilisation » bloque l'évolution au bout d'un certainnombre de générations et permet la cristallisation des boucles les plusanciennes
Introduction - automates auto-reproducteurs
Un automate robotisé
http://mae2.wdg.us/ccsl/research/selfrep/
Introduction - Jeux basés sur les automates cellulaires
Le jeu de la vie [Conway 1970]
Présenté à l’origine comme un jeu mathématique grille carrée de cellules chaque cellule est dans l’état « vivante » ou « morte » l’état des cellules est initialisé de manière aléatoire à l’instant t+1, l’état de chaque cellule dépend de son propre état
et de l’état de ses 8 voisines à l’instant t– une cellule naît si elle possède trois cellules voisines vivantes
(reproduction)– une cellule meurt si elle possède
– moins de deux cellules voisines vivantes (mort par isolement)– plus de trois cellules voisines vivantes (mort par sur-population)
Résultat apparition de structures dynamiques émergentes variantes : différentes règles pour l’évolution des cellules
Introduction - Le jeu de la vie
Un exemple simple
Cellules numérotées(vivantes en jaune, mortes en rouge)
Voisinage de la cellule 12
Nombre de voisins par cellule Etat de l’automate à la générationsuivante
Introduction - Le jeu de la vie
Exemple de dynamique
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Introduction - Le jeu de la vie
Structures particulières
Structures stables (1-périodiques)
Structures 2-périodiques
Planeur
Introduction - Jeux basés sur les automates cellulaires
Brian’s brain [Silverman 84]
3 états au lieu de 2– excité (blanc)– réfractaire (rouge)– mort (noir)
Règles de transition– Les cellules excitées deviennent
toujours réfractaires au pas de tempssuivant
– Les cellules réfractaires meurenttoujours au pas de temps suivant
– Une cellule morte devient excitée sielle a exactement 2 voisines excitées(parmi ses 8 voisines)
Caractérisation des automates cellulaires
Description informelle
Framework pour une large classe de modèles discrets àinteractions homogènes
Ces modèles ont les propriétés suivantes: Discrétisation
– spatiale : espace décomposé en une grille de cellules– temporelle : évolution par pas de temps discrets
Parallélisme– les cellules évoluent simultanément et de manière indépendante
Localité– chaque cellule évolue en fonction de son propre état et de celui d’un
ensemble fini de cellules voisines Homogénéité
– la topologie des cellules est régulière– la relation de voisinage est uniforme– les règles de transition sont identiques pour toutes les cellules
Caractérisation des automates cellulaires
Exemple simple : Greenberg-Hastings
Modèle de milieu excitable état de repos (0) état d’excitation (2) état réfractaire (ou de rémission)
Paramètres de l’automate réseau carré voisinage 4 voisins règles
– si pas de voisin
– si au – 1 voisin
–
–
Caractérisation des automates cellulaires
Evolution avec 1 cellule excitéeCaractérisation des automates cellulaires
Définition formelle
Soit L un réseau régulier (ses éléments sont des cellules) S un ensemble fini d’états N un ensemble fini d’indices de voisinage (de taille n) tels que
une fonction de transition : Un automate cellulaire est défini par le 4-tuple
Une configuration est une fonction qui associeun état à chaque cellule du réseau
Le rôle de la fonction de transition f est de changer enselon la relation : où désigne l’ensemble des voisins de la cellule r
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Caractérisation des automates cellulaires
Choix de conception
Géométrie du réseau Voisinage Conditions aux bords Conditions initiales Ensemble d’états Règles de transition
Caractérisation des automates cellulaires - Choix de conception
Géométrie du réseau
réseau régulier = pavage périodique d’un espaceà d dimensions les cellules remplissent entièrement l’espace à d dimensions le réseau se reproduit à l’identique par des translations dans d
directions indépendantes
solutions à 1, 2, 3 dimensions
Caractérisation des automates cellulaires - Choix de conception
Espace à 1 dimension
Une seule possibilité tableau linéaire de cellules
Caractérisation des automates cellulaires - Choix de conception
Espace à 2 dimensions (1)
3 réseaux réguliers triangulaire
carré
hexagonal
Caractérisation des automates cellulaires - Choix de conception
Espace à 2 dimensions (2)
réseau triangulaire avantage = petit nombre de voisins (3) désavantage = difficile à représenter et à visualiser
réseau carré avantage = représentation et visualisation simple désavantage = anisotropie
réseau hexagonal avantage = plus faible anisotropie des trois désavantage = difficile à représenter et à visualiser
Caractérisation des automates cellulaires - Choix de conception
Mappings réseaux hexagonaux -> carrés (1)
Cisaillement
la cellule (i,j) a son centre en
– origine dans le coin en haut à gauche– unité = distance entre les cellules
la cellule (i,j) est mappée en la relation de voisinage devient :
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Caractérisation des automates cellulaires - Choix de conception
Mappings réseaux hexagonaux -> carrés (2)
Décalage des lignes successives en sens opposé
la cellule (i,j) est mappée en la relation de voisinage devient :
Caractérisation des automates cellulaires - Choix de conception
Mappings réseaux hexagonaux -> carrés (3)
Cisaillement avantage = la relation de voisinage local reste uniforme désavantages =
– conditions aux limites plus difficiles à implanter– nécessaire de retransformer la représentation pour la visualisation
Décalage avantages =
– conditions aux limites aussi faciles à implanter qu’avec lareprésentation carrée
– visualisation simple
désavantage = le voisinage dépend de la parité de j– voisinage et règles inhomogènes
Caractérisation des automates cellulaires - Choix de conception
Mappings réseaux triangulaires -> carrés (1)
Similaire au mapping par décalage
la cellule (i,j) est mappée en la relation de voisinage devient :
Caractérisation des automates cellulaires - Choix de conception
Mappings réseaux triangulaires -> carrés (2)
Autre solution :
espace d’états étendu pour chaque cellule carrée voisinage de 2 cellules triangulaires = voisinage d’une cellule
carrée avantage = voisinage et règles de transition uniformes désavantage =
– plus grand espace d’états– plus grande table de transition pour les cellules
Caractérisation des automates cellulaires - Choix de conception
Espace à 3 dimensions
Beaucoup de réseaux possibles plus simple = réseau cubique pas de réseaux suffisamment symétriques pour les pbs
d’hydrodynamique
Problèmes spécifiques de visualisation représentation 3D
représentation par tranches 2D
Caractérisation des automates cellulaires - Choix de conception
Taille et forme du voisinage (1)
voisinage = ensemble des cellules avec lesquellesune cellule donnée pourra interagir
description du voisinage = ensemble des cellulesqui font partie du voisinage de la cellule (i,j)
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Caractérisation des automates cellulaires - Choix de conception
Taille et forme du voisinage (2)
voisinage de von Neumann
voisinage de Moore
voisinage de von Neumann généralisé (rayon r)
voisinage de Moore généralisé (rayon r)
Caractérisation des automates cellulaires - Choix de conception
Conditions aux limites
Définition formelle donnée dans le cadre deréseaux de dimensions infinies raisonnable et nécessaire du point de vue théorique inapplicable en pratique certains problèmes ont des frontières naturelles
3 types de frontières périodique réfléchissante à valeur fixe
Caractérisation des automates cellulaires - Choix de conception
Frontière périoique
Extension périodique du réseau version à 1 dimension
souvent utilisé car se rapproche le plus d’un réseau de tailleinfinie
version à 2 dimensions : tore pas possible d’obtenir une sphère
Caractérisation des automates cellulaires - Choix de conception
Frontière réflechissante
Répétition du réseau à la frontière version à 1 dimension
adapté lorsque le système à simuler a des frontières
version à 2 dimensions
Caractérisation des automates cellulaires - Choix de conception
Conditions fixes
Valeur fixe donnée aux cellules qui constituent lafrontière
Caractérisation des automates cellulaires - Choix de conception
Conditions mixtes
les 3 types de conditions peuvent être combinées les différentes frontières ont des conditions différentes si une frontière a un bord périodique, le bord opposé aura
également les mêmes conditions une tube long peut être simulé en imposant des conditions
périodiques dans une dimension et des conditions réfléchissantesdans l’autre
Autres solutions étendre le réseau quand les structures dans l’AC touchent les
bords– pb = certaines structures se développent très rapidement
adopter des règles de transition spéciales pour les frontières– pb = potentiellement beaucoup de cas particuliers
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Caractérisation des automates cellulaires - Choix de conception
Conditions initiales
Les conditions initiales déterminent souventl’évolution future de l’automate construction génération aléatoire
Considérations importantes beaucoup d’automates conservent certaines quantités
– propres au modèle : nb de particules, énergie, etc.– particulières au réseau : nb de particules dans une ligne ou une
colonne
choix de manière à ce que– les 1ères soient vérifiées– les secondes ne soient pas gênantes
Caractérisation des automates cellulaires - Choix de conception
Exemple : greenberg-hastings
si que des cellules rouges vague qui se propage et disparaît
si barre rouge au-dessus d’une barre jaune spirale sans fin à chaque extrémité de la barre cas particulier = une cellule rouge à côté d’une cellule jaune ->
centre d’émission de vagues périodiques
le nombre de spirales est conservé!
Caractérisation des automates cellulaires - Choix de conception
Espace d’états
AC = automate à états finis nb d’état fini en général petit
– pour pouvoir explorer systématiquement tous les ACs– pour s états et n voisins, le nb d’ACs est
– pour pouvoir spécifier les règles de transition explicitement et les stockerdans une table (de taille )
grand nombre d’état intéressant pour augmenter la précision– mais on pourra préférer une modélisation par équations aux dérivées
partielles si grande précision souhaitée– ACs adaptés pour systèmes avec fluctuations, où les interactions locales
sont importantes
Caractérisation des automates cellulaires - Choix de conception
Généralisation de greenberg-hastings
n états différents possibles règle de transition:
Période réfractaire plus grande
Caractérisation des automates cellulaires - Choix de conception
Extension = Coupled-map lattices
Espace d’états continu au lieu d’être discret
Caractérisation des automates cellulaires - Choix de conception
Etats à plusieurs variables
l’espace d’état S est le produit en croix desespaces de chacune des variables
médium excitable caractérisé par variable d’excitation u
– u=1 -> excité– u=0 -> au repos
variable de phase v– u=1 -> v est le temps pendant lequel la cellule est excitée– u=0 -> v est le temps avant que la cellule soit à nouveau excitable
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Caractérisation des automates cellulaires - Choix de conception
Règles de transition
l’aspect le plus important des ACs conditionné par
la géométrie le voisinage l’espace détats
même si la règle de transition déterminedirectement l’évolution de l’AC, il est souventimpossible de prédire son évolution autrementqu’en le simulant
Caractérisation des automates cellulaires - Choix de conception
Spécification directe vs implicite
spécification directe = règles de transition pourtous les cas de voisinages possibles pour l’automate à 1 dimension
long et pénible possible d’introduire des « wildcards »
spécification implicite = règles données sousforme de formules
Caractérisation des automates cellulaires - Choix de conception
Spécification directe + wildcards
La même règle en utilisant des wildcards
faire attention à ce que la spécification permette la constructionde la table entière de manière consistante
reste plus compliquée que la spécification donnée en introduction
extension en ordonnant l’application des règles
Caractérisation des automates cellulaires - Choix de conception
Spécification directe + wildcards + symétrie
simplification en groupant les états en fonctionde la symétrie du réseau
même nb de cas que dans la spécification donnée en intro
encore plus important en 2 dimensions
la 1ère règle est valide pour toutes les configurations obtenuespar rotation du réseau
la table complète a une taille de !!!
Caractérisation des automates cellulaires - Choix de conception
Petits changements dans la table
un changement même infime dans la table desrègles peut conduire à des modifications trèsimportantes de la dynamique finale ex1:
Caractérisation des automates cellulaires - Choix de conception
Règles totalistiques (1)
Beaucoup d’ACs ne se préoccupent pas de ladisposition des cellules mais seulement du nb devoisins dans un certain état permet de simplifier la table de transition
AC totalistique ne tient compte que que de la somme des états des cellules du
voisinage
AC « outer totalistic » dépend aussi de l’état courant de la cellule concernée
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Caractérisation des automates cellulaires - Choix de conception
Règles totalistiques (2)
La plupart du temps, on ne somme que pour unsous-ensemble des états ex: greenberg-hastings = somme des cellules dans l’état 2
dans l’exemple:– g(0) = 0– g(1) = 0– g(2) = 1– f(0,0) = 0– f(0, x>0) = 2– f(1,x) = 0– f(2,x) = 1
Un automate 1D totalistique à 3 états
Caractérisation des automates cellulaires - Choix de conception
Règles probabilistes (1)
le nouvel état de la cellule dépend de la configuration de son voisinage des probabilités associées aux différents états possibles (la somme
des probabilités devant être égale à 1) les choix probabilistes des cellules sont indépendants les uns des
autres La fonction de transition devient :
– G vérifiant
– en général, G n’est non nul que pour quelques valeurs de sortie
important pour simuler un grand nombre desystèmes dans lesquels le fonctionnement estbruité
Caractérisation des automates cellulaires - Choix de conception
Règles probabilistes (2)
Exemple
prend en compte le fait que la propagation ne s’effectue pastoujours
front irrégulier mais plus circulaire
Un automate 1D probabilisteDéfinition formelle
Définitions basiques (1) [Kari 05]
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Définition formelle
Définitions basiques (2) [Kari 05]
Définition formelle
Configurations finies [Kari 05]
Définition formelle
Décalages et translations [Kari 05]
Définition formelle
Configurations périodiques [Kari 05]
Définition formelle
Périodicité temporelle [Kari 05]
Définition formelle
Espace de phases et composition [Kari 05]
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Considération théoriques - Classification
Classification des automates [wolfram 84]
Classe I Pratiquement toutes les configurations initiales conduisent à la
même configuration fixe et homogène
Automate 1D élémentaire : k=2, r=1, Règle 160
Considération théoriques - Classification
Classification des automates [wolfram 84]
Classe II Pratiquement toutes les configurations initiales conduisent à des
configurations qui se répètent périodiquement
Automate 1D élémentaire : k=2, r=1, Règle 108
Considération théoriques - Classification
Classification des automates [wolfram 84]
Classe III Pratiquement toutes les configurations initiales conduisent à des
comportements qui apparaissent essentiellement aléatoires
Automate 1D élémentaire : k=2, r=1, Règle 126
Considération théoriques - Classification
Classification des automates [wolfram 84]
Classe IV Emergence de structures localisées avec des interactions
complexes
Automate 1D élémentaire : k=2, r=1, Règle 110
Considération théoriques - Classification
Classification de Culik et Yu
Classe CY1 Toutes les configurations finies évoluent vers la configuration
quiescente Q :∀c ∈ Cf , ∃n≥1 tq Gn(c)=Q
Classe CY2 Toutes les configurations finies sont finalement périodiques :
∀c ∈ Cf , ∃m,n,m≠n tq Gm(c) = Gn(c)
Classe CY3 Il existe un algorithme qui détermine si une configuration finie
donnée appartient à l’orbite d’une autre configuration finiedonnée :
c, e ∈ Cf , il est décidable de savoir si Gn(c) = e pour un n≥1
Classe CY4 Pas de restriction
Considération théoriques - Classification
Automate 1D k>=2, r>=1
Lorsque k et r augmente, le nombre de règles detransition augmente très vite espaces de règles inexplorables de manière systématique (nb de règles
= kk(2r+1)). de plus en plus difficile de découvrir les règles de transition
intéressantes.
Christopher Langton a introduit un paramètre simple quipermet d'explorer des espaces de règles de transitiontrès importants, le paramètre λ: pourcentage de transitions non-zero dans l'ensemble des transitions de
la règle. en spécifiant λ, on peut explorer l'espace des règles de transition grande
famille par grande famille.
On peut par ex. utiliser λ pour explorer l'espace desrègles de l'automate 1D k=3 r=1 Cet automate admet potentiellement plus de 7,6E12 fonctions de
transition différentes
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Considération théoriques - Classification - Automate 1D k>=2, r>=1
Exemples d’évolutions différentes = f(λ)
λ=0.687500 λ=0.671875 λ∼0.5
l'évolution de l'automateconduit à un motif chaotique
L'évolution de l'automateconduit à une structurecomplexe, qui finit pardisparaître et laisser place àun motif chaotique
L'évolution de l'automateconduit à une structure trèscomplexe, qui semblepersistante.
Considération théoriques
Réversibilité, jardins d’Eden
Injection/surjection/bijection Un automate cellulaire est injectif si toute configuration e a au
plus 1 antécédent c tq e=G(c) Un automate cellulaire est surjectif si toute configuration e a au
moins 1 antécédent c tq e=G(c) Un automate cellulaire est bijectif s’il est à la fois injectif et
surjectif– équivalence entre bijectivité et réversibilité
Jardins d’Eden Si G n’est pas surjective, il existe des configurations qui n’ont pas
d’antécédents, on les appelle des Jardins d’Eden
Considération théoriques
Retour sur le jeu de la vie (1)
Structures stables (still life) Points fixes finis, configuration c tq GOL(c)=c
Ocillateurs Configurations finies temporellement périodiques, configuration c
tq GOLk(c)=c pour k≥2
Planeur Configuration finie c tq GOLk(c)=τ(c) pour k≥1 et une translation τ analogue aux structures locales compliquées des automates
élémentaires de classe 4
Considération théoriques
Retour sur le jeu de la vie (2)
Définition Une configuration finie meurt si elle devient la configuration
quiescente Q
Résultat Pour une machine de Türing M donnée, on peut construire une
configuration GOL finie qui meurt ssi la machine M s’arrête sur labande blanche
Théorème [Berlekamp et al. 82] Le jeu de la vie est un calculateur universel. La
question de savoir si une configuration finie donnée meurt estindécidable
Considération théoriques
Retour sur le jeu de la vie (3)
Exemple de Jardin d’Eden
Considération théoriques
Retour sur les automates 1D élémentaires
Théorème [Cook et Wolfram 02] La règle 110 est un calculateur universel
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Modélisation de systèmes complexes
Le jeu de la vie n’est pas réversible ne présente pas de lois de conservation (ni du moment, ni de
l’énergie, ni de rien d’autre...) pas ou peu de comportement structuré à grande échelle
Réversibilité [Margolus]
Conservation de l’information Pb de la conservation exacte
la même information est visible depuis différentes positions pour inverser la dynamique, un nème de l’info de chaque voisin
doit être replacée au centre
Conservation [Margolus]
Dans les automates cellulaires classiques, laconservation n’est pas une propriété locale
Solution Redéfinir les AC pour que la conservation soit une propriété
manifestement locale AC = calcul régulier dans l’espace et le temps
– Régulier dans l’espace = structure répétée– Régulier dans le temps = séquences répétées d’étapes
Réversibilité et conservation [Margolus]
Double structure spatiale et temporelle depériode 2 Découpage de l’espace
– double structure de blocs 2x2 (lignes pleines et lignes pointillées)
Découpage du temps– distinction des pas de temps pairs (lignes pleines) et impairs (lignes
pointillées)
Lattice Gas Automata (LGA)
Exemple : règle de diffusion [Margolus]
Pas de temps pairs– rotation aléatoire horaire ou contra-horaire
Pas de temps impairs– rotation aléatoire horaire ou contra-horaire
Exemple : règle de diffusion [Margolus]
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Exemple 2 : TM Gas [Margolus]
Pas de temps pairs– rotation horaire
Pas de temps impairs– rotation contra-horaire
Sauf– 2 uns sur la diagonale -> inchangé Etape 0 : carrés continusEtape 1 : carrés pointillésEtape 2 : carrés continusEtape 4 : carrés continusEtape 3 : carrés pointillésEtape 5 : carrés pointillés
Exemple 2 : TM Gas [Margolus]
Exemple 3 : dynamique de fluides [Margolus]
LGA à 6 directions avec un obstacle
Ex. 4 : Croissance d’une structure cristalline[Margolus]
Structure en échiquier or/argent
Mise à jour du sous-réseau orDiffusion du gaz et de la chaleurMise à jour du sous-réseau argentDiffusion du gaz et de la chaleur
Pas de temps pairs : mise à jour du sous-réseau or
Pas de temps impairs : mise à jour du sous-réseauargent
Quand une particule de gaz diffuse à côté d’une particule de cristal exactement, elle cristallise et émetune particule de chaleur. L’inverse peut aussi se produire
Ex. 4 : Croissance d’une structure cristalline[Margolus]