PLAN DE SUPERACIÓN DE LOGROS TERCER PERIODO GRADO ONCE

Docente: Samir Franco Hernández Área: Matemáticas Asignatura: CALCULO

Fecha de Publicación: Septiembre 28 de 2015 Fecha de Asesoría: del 5 al 9 de octubre Fecha de Evaluación: Octubre 13

INDICADORES DE DESEMPEÑO:

Define funciones por medio de enunciados o reglas, tablas o formulas y gráficas. Halla el término general de una sucesión a partir de regularidades existentes dentro de sus

elementos. Aplica la definición formal del límite en una función afín y cuadrática, con el respectivo análisis de la

gráfica Participa de las actividades planteadas en clase realizando los talleres propuestos.

Criterios de Evaluación:

Asistir a la asesoría programada y orientada por el educador Presentar el plan de trabajo completo y en los tiempos asignados para ello Aprobar como mínimo el 60 % de la evaluación de superación de logros

RESUMEN Sucesiones

Se llama sucesión a un conjunto de números dispuestos uno a continuación de otro.

a1, a2, a3 ,..., an

3, 6, 9,..., 3n

Los números a1, a2 , a3 , ...; se llaman términos de la sucesión.

El subíndice indica el lugar que el término ocupa en la sucesión.

El término general es an es un criterio que nos permite determinar cualquier término de la

sucesión

Fuente: http://www.vitutor.com/al/sucesiones/B_sucContenidos.html

Una sucesión es un conjunto de cosas (normalmente números) una detrás de otra, en un cierto orden.

Finita o infinita

Si la sucesión sigue para siempre, es una sucesión infinita,

si no es una sucesión finita

Ejemplos

{1, 2, 3, 4 ,...} es una sucesión muy simple (y es una sucesión infinita)

{20, 25, 30, 35, ...} también es una sucesión infinita

{1, 3, 5, 7} es la sucesión de los 4 primeros números impares (y es una sucesión infinita)

{4, 3, 2, 1} va de 4 a 1 hacia atrás

{1, 2, 4, 8, 16, 32, ...} es una sucesión infinita donde vamos doblando cada término

{a, b, c, d, e} es la sucesión de las 5 primeras letras en order alfabético

{a, l, f, r, e, d, o} es la sucesión de las letras en el nombre "alfredo"

{0, 1, 0, 1, 0, 1, ...} es la sucesión que alterna 0s y 1s (sí, siguen un orden, en este caso un orden

alternativo)

En orden

Cuando decimos que los términos están "en orden", ¡nosotros somos los que decimos qué orden!

Podría ser adelante, atrás... o alternando... ¡o el que quieras!

Una sucesión es muy parecida a un conjunto, pero con los términos en orden (y el mismo valor sí

puede aparecer muchas veces).

Ejemplo: {0, 1, 0, 1, 0, 1, ...} es la sucesión que alterna 0s y 1s. El conjunto sería sólo {0,1}

La regla

Una sucesión sigue una regla que te dice cómo calcular el valor de cada término.

Ejemplo: la sucesión {3, 5, 7, 9, ...} empieza por 3 y salta 2 cada vez:

¡Pero la regla debería ser una fórmula!

Decir que "empieza por 3 y salta 2 cada vez" no nos dice cómo se calcula el:

10º término,

100º término, o

n-ésimo término (donde n puede ser cualquier número positivo que queramos).

Así que queremos una fórmula con "n" dentro (donde n será la posición que tiene el

término).

Entonces, ¿cuál sería la regla para {3, 5, 7, 9, ...}?

Primero, vemos que la sucesión sube 2 cada vez, así que podemos adivinar que la regla va a ser "2 ×

n". Vamos a verlo:

Probamos la regla: 2n

n Término Prueba

1 3 2n = 2×1 = 2

2 5 2n = 2×2 = 4

3 7 2n = 2×3 = 6

Esto casi funciona... pero la regla da todo el tiempo valores 1 unidad menos de lo que debería, así que

vamos a cambiarla un poco:

Probamos la regla: 2n+1

n Término Regla

1 3 2n+1 = 2×1 + 1 = 3

2 5 2n+1 = 2×2 + 1 = 5

3 7 2n+1 = 2×3 + 1 = 7

¡Funciona!

Así que en vez de decir "empieza por 3 y salta 2 cada vez" escribimos la regla como

La regla para {3, 5, 7, 9, ...} es: 2n+1

Ahora, por ejemplo, podemos calcular el término 100º: 2 × 100 + 1 = 201

Notación

Para que sea más fácil escribir las reglas, normalmente lo hacemos así:

Posición del término

Es normal usar xn para los términos:

xn es el término

n es la posición de ese término

Así que para hablar del "quinto término" sólo tienes que

escribir: x5

Entonces podemos escribir la regla para {3, 5, 7, 9, ...} en forma de ecuación, así:

xn = 2n+1

Ahora, si queremos calcular el 10º término, podemos escribir:

x10 = 2n+1 = 2×10+1 = 21

¿Puedes calcular el 50º término? ¿Y el 500º?

Fuente: http://www.disfrutalasmatematicas.com/algebra/sucesiones-series.html

Límites (una introducción)

Aproximarse A veces algo no se puede calcular directamente... ¡pero puedes saber cuál debe de ser el resultado si

te vas acercando más y más!

Usemos por ejemplo esta función:

(x2-1)/(x-1)

Y calculemos su valor para x=1:

(12-1)/(1-1) = (1-1)/(1-1) = 0/0

¡Pero 0/0 es un problema! En realidad no podemos saber el valor de 0/0, así que tenemos que

encontrar otra manera de hacerlo.

En lugar de calcular con x=1 vamos a acercarnos poco a poco:

x (x2-1)/(x-1)

0.5 1.50000

0.9 1.90000

0.99 1.99000

0.999 1.99900

0.9999 1.99990

0.99999 1.99999

... ...

Vemos que cuando x se acerca a 1, (x2-1)/(x-1) se acerca a 2

Ahora tenemos una situación interesante:

Cuando x=1 no sabemos la respuesta (es indeterminada)

Pero vemos que va a ser 2

Queremos dar la respuesta "2" pero no podemos, así que los matemáticos usan la palabra "límite" para

referirse exactamente a estas situaciones

El límite de (x2-1)/(x-1) cuando x tiende (o se aproxima) a 1 es 2

Y con símbolos se escribe así:

Así que es una manera especial de decir "ignorando lo que pasa al llegar, cuando te acercas más y más

la respuesta se acerca más y más a 2"

En un gráfico queda así:

Así que en realidad no puedes decir cuánto vale en x=1.

Pero sí puedes decir que cuando te acercas a 1, el límite es 2.

¡Mira los dos lados!

Es como subir una colina y darte cuenta de que

el camino ha "desaparecido"

mágicamente...

... pero si sólo miras uno de los dos lados,

¿quién sabe qué está pasando?

¡Así que tienes que mirar las dos

direcciones para estar seguro de dónde "debe

de estar"!

Probemos por el otro lado:

x (x2-1)/(x-1)

1.5 2.50000

1.1 2.10000

1.01 2.01000

1.001 2.00100

1.0001 2.00010

1.00001 2.00001

... ...

También va hacia 2, así que todo está bien

Cuando es distinto en los dos lados

Pero y si tenemos una función "f(x)" con un "salto" así:

¡En esta función el límite no existe en "a" ... !

No puedes decir cuál es, porque hay dos

respuestas contradictorias:

3.8 por la izquierda, y

1.3 por la derecha

Pero sí puedes usar los signos "-" o "+" (como en

el dibujo) para definir los límites laterales:

el límite por la izquierda (-) es 3.8

el límite por la derecha (+) es 1.3

Y el límite ordinario "no existe"

¿Los límites sólo son para funciones difíciles?

¡Los límites valen también cuando ya sabes el valor al llegar! Nadie ha dicho que sean sólo para

funciones complicadas.

Por ejemplo:

Sabemos perfectamente que 10/2 = 5, pero también podemos usar límites (¡si queremos!)

Acercarse al infinito

El infinito es una idea muy especial. Sabemos que no podemos alcanzarlo,

pero podemos calcular el valor de funciones que tienen al infinito dentro.

Vamos a empezar con un ejemplo interesante.

Pregunta: ¿Cuál es el valor de 1/∞?

Respuesta: ¡No lo sabemos!

¿Por qué no lo sabemos?

La razón más simple es que infinito no es un número, es una idea. Así que 1/∞ es un poco como decir

1/belleza o 1/alto.

A lo mejor podríamos decir que 1/∞ = 0 ... pero eso es un poco problemático, porque si dividimos 1 en

infinitas partes y resulta que cada una es 0, ¿qué ha pasado con el 1?

De hecho 1/∞ es indefinido.

¡Pero podemos acercarnos a él!

Así que en lugar de intentar calcular con infinito (porque no sacaremos ninguna respuesta razonable),

vamos a probar con valores de x más y más grandes:

x 1/x

1 1.00000

2 0.50000

4 0.25000

10 0.10000

100 0.01000

1,000 0.00100

10,000 0.00010

Ahora vemos que cuando x crece, 1/x tiende a 0

Ahora tenemos una situación interesante:

No podemos decir qué pasa cuando x llega a infinito

Pero vemos que 1/x va hacia 0

Queremos decir que la respuesta es "0" pero no podemos, así que los matemáticos usan la palabra

"límite" para referirse exactamente a esto

El límite de 1/x cuando x tiende a infinito es 0

Y lo escribimos así:

En otras palabras:

Cuando x va a infinito, 1/x va a 0

Cuando veas "límite", piensa en "acercarse"

Es una manera matemática de decir que "no estamos hablando de lo que pasa cuando x=∞, pero

sabemos que cuando x crece, la respuesta se acerca más y más a 0".

Fuente: http://www.disfrutalasmatematicas.com/calculo/limites.html

PROPIEDADES DE LOS LÍMITES

Límite de una constante

Límite de una suma

Límite de un producto

Límite de un cociente

Límite de una potencia

Límite de una función

g puede ser una raíz, un log, sen ,cos, tg, etc.

Límite de una raíz

Límite de un logaritmo

“TALLER DE NIVELACIÓN TERCER PERIODO”

Nombre del Estudiante: ________________________________________ Grado: ________

Docente: Samir Franco Hernández

1. De acuerdo con los términos generales de cada sucesión hallar los seis primeros términos, luego

determinar si la sucesión es monótona creciente o decreciente y establecer si está acotada

superiormente o inferiormente, con su respectiva cota.

Los valores de n se toman a partir de n=1

a. c. e. an = 9n

3n -1

b. an = d. an = 10n + n

2n -1

2. Calcular los siguientes límites:

a. Lim x2 +7x – 4 = x 5 b. Lim 4x3 +2x - 5x + 12 = x -6 c. Lim 14x -9 x 8 d. . Lim 6x2 -8x – 7 = x 2 8x +1 e. Lim 9x _ 4 = x 3 3 4

f. Lim 8x + 11 = x 2 7 2 5 g. Lim 7x2 +11x – 8 = x 4 5x -9

h. Lim √ 9x3 -5x2 + 7x +21 = x 7

3. En cada caso utilizar la definición de límite para hallar ᵟ ˃0 y realizar la interpretación gráfica

de la situación.

a. f(x) = -7x + 2 a= 1 L=-5 Ɛ = 0.2 b. g(x) = x2 - 8 a=3 L=1 Ɛ = 0.03

4. Acertijo Matemático

Inés y Juan

Inés y Juan hicieron un extraño acuerdo. Inés miente los miércoles, jueves y viernes, pero dice la verdad el resto de la semana. Juan miente los domingos, lunes y martes, pero dice la verdad en todos los otros días. Cierto día ambos dijeron: "Mañana es día de mentir", ¿en qué día dijeron esto?

La viejecita en el mercado

Una viejecita llevaba huevos al mercado cuando se le cayó la cesta.

- ¿Cuantos huevos llevabas? - le preguntaron,

- No lo sé, recuerdo que al contarlos en grupos de 2, 3, 4 y 5, sobraban 1, 2, 3 y 4 respectivamente.

¿Cuantos huevos tenía la viejecita?

Llenar la piscina

Para llenar de agua una piscina hay tres surtidores. El primer surtidor tarda 30 horas en llenarla, el segundo tarda 40 horas y el tercero tarda cinco días. Si los tres surtidores se conectan juntos, ¿cuanto tiempo tardará la piscina en llenarse?.

Fuente: http://www.acertijos.net/algebra-1.html