Ejercicios para trabajar en verano el área de Matemáticas Académicas de 4º de ESO.

La teoría para la correcta realización de estos ejercicios la tienes en los apuntes dados en clase.

La realización de estos ejercicios no implica la superación de la materia.

Para recuperar la materia el/la alumno/a debe sacar una puntuación igual o superior a cinco en la prueba de Matemáticas Académicas que tendrálugar en septiembre.

Número real

Expresa como intervalo y gráficamente los siguientes conjuntos numéricos:

Expresa como conjunto y gráficamente los siguientes intervalos:

Expresa en notación científica las siguientes cantidades:

a) 3445600000 b) 564000000 c) 0,000235 d) 0,00000056

e) 0,006 f) 325 g) 0,02 h) 3004000 i) 0,0004

Expresa con todas sus cifras:

a) 2,5·103 b) 3,05·102 c) 1,25·10–3 d) 6,75·105

e) -1,3·105 f) 12,5·10–6 g) 7,5·10–2 h) 2,5·10–1

Realiza las siguientes operaciones en notación científica:

Expresa como potencia:

Expresa como raíz:

Realiza las siguientes operaciones con radicales:

Racionaliza los denominadores de las siguientes expresiones y simplifica (si fuera posible):

Realiza las siguientes sumas y restas con polinomios

Realiza las siguientes sumas y restas con polinomios

Realiza las siguientes divisiones:

Realiza las siguientes divisiones aplicando la regla de Ruffini

Descompón en factores y di cuáles son las raíces de los siguientes polinomios

ECUACIONES, INECUACIONES Y SISTEMAS

Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado:

Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

18)

19)

20)

21)

22)

23)

Resuelve las siguientes ecuaciones bicuadradas, factorizadas y con fracciones

algebraicas:

a) 4 25 4 0x x− + = b) 4 210 9 0x x− + = c) 4 22x x= −

d)2 2

2 1x

x

+− = + e)

1 11

1

x

x x

+− =

−f)

2( 7)·( 4)·( 5)· 0x x x x− − − =

g) 22

xx x

x− = −

−h) 4 229 100 0x x− + = i) 4 27 10 0x x− + =

j) 2

( 5)·( 9)·( 1)· 0x x x x− − + = k) 2 2( 1)·( 4)·( 6) 0x x x− − + =

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales por los tres métodos:

Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales por el método que consideres más

apropiado:

SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES

Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones:

a)

2 23 3 0

2 6

x y

x y

− =

− =b)

2 2

2 2

2 3 0

5

x y

x y

− =

+ =c)

2 2

2 2

5

13

x y

x y

− =

+ =

d)

2 2 5

2 11

x y

x y

− =

− =e)

2 23 5

4 5

x y

x y

+ =− =

f)

2 2

2 2

2 3 0

0

x y

x y

− =

+ =

Problemas de aplicación

1. La suma de dos números es 65 y su diferencia 23. Halla los números

2. En una granja se crían gallinas y conejos. Si se cuentan las cabezas, son 50, silas patas, son 134. ¿Cuántos animales hay de cada clase?

3. En una jaula hay conejos y palomas, pueden contarse 35 cabezas y 94 patas.¿Cuántos animales hay de cada clase?

4. En la granja se han envasado 300 litros de leche en 120 botellas de dos y cincolitros. ¿Cuántas botellas de cada clase se han utilizado?

5. En mi clase están 35 alumnos. Nos han regalado por nuestro buencomportamiento 2 bolígrafos a cada chica y un cuaderno a cada chico. Si en totalhan sido 55 regalos, ¿cuántos chicos y chicas están en mi clase?

6. La diferencia de dos números es 1/6. El triple del mayor menos el doble del menores 1. Halla dichos números.

7. En una pastelería se fabrican dos clases de tartas. La primera necesita 2'4 Kg demasa y 3 horas de elaboración. La segunda necesita 4 Kg de masa y 2 horas deelaboración. Calcula el número de tartas elaboradas de cada tipo si se handedicado 67 horas de trabajo y 80 Kg de masa.

8. Halla dos números tales que si se dividen el primero por 3 y el segundo por 4 lasuma es 15; mientras que si se multiplica el primero por 2 y el segundo por 5 lasuma es 174.

9. Determina dos números tales que la diferencia de sus cuadrados es 120 y susuma es 6.

10.Calcula dos números que sumen 150 y cuya diferencia sea cuádruple del menor.

11.En la fiesta de un amigo se han repartido entre los 20 asistentes el mismo númerode monedas. Como a última hora ha acudido un chico más nos han dado a todos1 moneda menos y han sobrado 17. ¿Cuántas monedas para repartía se tenía?

12.Hace 5 años la edad de mi padre era el triple de la de mi hermano y dentro de 5años sólo será el duplo. ¿Cuáles son las edades de mi padre y de mi hermano?

13.Sabemos que mi tío tiene 27 años más que su hijo y que dentro de 12 años ledoblará la edad. ¿Cuántos años tiene cada uno?

14.Mi tío le dijo a su hija. "Hoy tu edad es 1/5 de la mía y hace 7 años no era másque 1/7". ¿Qué edad tienen mi tío y su hija?

15.Un rectángulo tiene un perímetro de 392 metros. Calcula sus dimensionessabiendo que mide 52 metros más de largo que de ancho.

16.Uno de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo es 18º mayor que el otro.¿Cuánto mide cada ángulo del triángulo?

17.Un crucero tiene habitaciones dobles (2 camas) y sencillas (1 cama). En totaltiene 47 habitaciones y 79 camas. ¿Cuántas habitaciones tiene de cada tipo?

18. Si un terreno rectangular mide el doble de ancho que de largo y su área es de 5000 m²,

¿qué longitudes (enen sus lados?. Haz un dibujo representa(vo y razona el

planteamiento y la respuesta del problema. (Para hallar el área primero debes calcular la

medida de los lados, recuerda que ·A base altura= )

19. Si el doble de un número es igual a su cuadrado, ¿de qué número se trata? Da todas las

soluciones posibles.

20. Calcula un número cuyo triple es igual al doble de su cuadrado. Da todas las soluciones

posibles.

21. Busca dos números tales que la suma de sus cuadrados sea 149 y la diferencia de sus

cuadrados sea 51.

22. El cuadrado de un número menos su doble es igual a 24 unidades. ¿De qué número se

trata? Resuelve el problema planteando la ecuación correspondiente. Da todas las

soluciones posibles.

23. La diferencia de dos números naturales es 3. Calcúlalos sabiendo que la diferencia de sus

cuadrados es 33. Resuelve el problema planteando las ecuaciones correspondientes.

24. La suma de un número y su cuadrado es 56, ¿de qué número se trata?

25. Se quiere tapar con una lona una piscina rectangular que mide el doble de ancho que de

largo. Si la superficie de la piscina es de 200 metros cuadrados, ¿qué dimensiones (largo y

ancho) debe tener dicha lona para que tape la piscina? Haz un dibujo representa(vo y

razona el planteamiento y la respuesta del problema.

26. Busca dos números tales que la suma de sus cuadrados sea 100 y la diferencia de sus

cuadrados sea 28.

Inecuaciones

Resuelve las siguientes inecuaciones de primer grado y expresa la solución como intervalo y

gráficamente:

Resuelve las siguientes sistemas de inecuaciones de primer grado y expresa la solución como

intervalo y gráficamente:

TRIGONOMETRÍA

1- A) El cateto de un triángulo rectángulo mide 5 cm y la tangente de su ángulo opuesto es igual

a 2.354.

a) Calcula el valor del otro cateto y de la hipotenusa.

b) Halla el resto de razones trigonométricas para ambos ángulos agudos.

2.- Dibuja un triángulo rectángulo cuyos lados midan 6, 8 y 10 cen;metros respec(vamente.

Llama α al ángulo agudo menor y β al ángulo agudo mayor. Calcula las razones trigonométricas

de cada uno de ellos.

3- a) Si 2

5senα = , halla cosα y tgα

4.- Teniendo en cuenta que 0́ 4cosα = , calcula el resto de razones trigonométricas.

Para resolver el ejercicio usa las fórmulas: 2 2cos 1sen α α+ = y cos

sentg

αα

α=

5.- a) Un edificio proyecta una sombra en el suelo de 75 metros, si los rayos del sol (enen una

inclinación de 45º, ¿qué altura (ene el edificio?¿Qué altura (ene la torre?

b) Un edificio proyecta una sombra en el suelo de 100 metros, si los rayos del sol (enen una

inclinación de 30º con respecto a la horizontal, ¿qué altura (ene el edificio?

6.- a) Calcula a qué altura puede llegar una escalera de 5 metros si la apoyas en la pared

formando un ángulo de 60º con la horizontal.

b) Calcula a qué altura puede llegar una escalera de 10 metros si la apoyas en la pared formando

un ángulo de 50º con la ver(cal.

7.- a) Calcula el área de un triángulo equilátero tal que uno de sus lados mide 10cm.

b) Calcula el área de un triángulo isósceles tal que su base mide 6 cm y uno de sus lados mide

10cm.

c) La diagonal de un rectángulo mide 6 cen;metros y forma con uno de los lados un ángulo de

30º. Averigua el perímetro y el área.

d) La diagonal de un rectángulo mide 10 cen;metros y forma con uno de los lados un ángulo de

60º. Averigua el perímetro y el área del rectángulo.

8.- El cateto de un triángulo rectángulo mide 5 cm y la tangente de su ángulo opuesto es igual a

2.354. Calcula el valor del otro cateto y de la hipotenusa.

9.- Desde un si(o se ve la parte más alta de una torre bajo un ángulo de 30º. Acercándose

horizontalmente 100 m se ve la misma torre bajo un ángulo de 45º. Se supone que el suelo está

horizontal. Y perpendicular a la torre.

10.- Completa la siguiente tabla:

α 0º 30º 45º 60º 90º

Sen α

2 2

Cos α

2 2

Tg α

11.- Teniendo en cuenta que 0.4senα = , ¿cuánto vale α?

Explica lo que has hecho para calcularlo.

12.- Calcula:

a) ¿Qué valores de x cumplen que 1

2senx < en el primer cuadrante?

b) ¿Y en el segundo cuadrante?

13.- Teniendo en cuenta que sen30º=0´5. Calcula, aplicando las fórmulas de ángulos

complementarios, suplementarios y opuestos:

a) sen 150º b) sen 210º c)sen(-30º) d)cos(-60º)

14.- La distancia entre dos edificios es de 60m. Desde la azotea del más bajo, cuya altura es de

40m, se observa la azotea del otro con un ángulo de 30º. Averigua cuál es la altura del edificio

más alto.

VECTORESYRECTAS

1.- Dados los vectores (1,2)v⃗

; ( 3,0)w −

; (0, 4)u −⃗

. Calcula:

a) 3 2v w u+ −⃗ ⃗⃗

b) 5 2( )v w u− + − ⃗

c) 3 2( )v w u v− + −⃗ ⃗ ⃗⃗

d) 4 2 6( 2 )v w u w+ − − =⃗ ⃗ ⃗⃗

2.- Dado los puntos A yB, calcula todas las ecuaciones de la recta que pasa por el punto

A y cuyo vector director es AB

.

a) A(0,1) y B(2,3)

b) A(1,1) y B(-3,3)

c) A(2,-4) y B(5,0)

d) A(-1,4) y B(0,0)

e) A(6,-1) y B(1,2)

f) A(3,-2) y B(-1,-1)

3.- Halla la posición rela(va de las siguientes rectas:

a): 3 4 0

: 2 1 0

r x y

s x y

+ − =

− − =b)

1

2 3 2

x y

x y

+ =

+ =c)

1

2 3 2

x y

x y

+ =

+ = −

d)

2:

3 2

: 3 2 0

xr

y

s x y

λ

λ

= −

= − + + − =

e) 3 3 1

2 1 2

x y

x y

− =

− =f)

2 4

2 3 2

x y

x y

+ = −

+ =

4.- ¿Cuánto (ene que valer A para que las rectas sean paralelas?

a) : 6r y Ax= + y 6

:2 4

x ys

−=

b) : 3r y Ax= + y 6

:2 6

x ys

−=