Plan de l'exposé

12 fevrier 2004 1/30

Diagnostic robuste et commande tolérante aux fautes pour systèmes singuliers

Diagnostic robuste et contrôle tolérant aux fautes

pour systèmes singuliers -approche par factorisation copremière-

B. Marx, D. Koenig & D. Georges

Laboratoire d’Automatique de GrenobleUMR CNRS-UJF-INPG

B.P. 46, 38402 Saint Martin d’Hères, France

12 fevrier 2004 2/30


• Introduction aux systèmes singuliers

• Factorisation copremière de systèmes singuliers

• Diagnostic robuste de défauts

• Commande tolérante aux défauts

• Conclusion

Syst. Sing.

Introduction

Conclusion

Diagnostic

Factorisation

Commande

Plan de l'exposé

12 fevrier 2004 3/30


Définition des Systèmes singuliersSyst. Sing.

Introduction

Conclusion

Commande Pour la modélisation de systèmes physiques on utilise des

• relations dynamiques (loi de comportement, stockage, PFD, etc.)

• relations statiques (maillage, équilibre de bilans, etc.)

))t(y),t(u),t(x(g0))t(u),t(x),t(x(f0

On a donc un modèle du type :

)t(Du)t(Cx)t(y)t(Bu)t(Ax)t(xE

)x(dimnr)E(rang

après linéarisation, le modèle devient :

avec

0D on peut supposer

Diagnostic

Factorisation

12 fevrier 2004 4/30


Formes équivalentes

pour P et Q non singulières on a :

DCQ

PBPAQ,PEQ

DC

BA,E

Forme équivalente standard :

)t(xC)t(xC)t(y)nilpotenteN()t(uB)t(x)t(xN

)t(uB)t(xA)t(x

2211

222

1111

Forme équivalente par décomposition par valeurs singulières :

)t(xC)t(xC)t(y)t(uB)t(xA)t(xA0)t(uB)t(xA)t(xA)t(x

2211

2222121

12121111

sous-syst. usuel

sous -syst. non propre

dynamique

statique

Syst. Sing.

Introduction

Conclusion

Commande

Diagnostic

Factorisation

12 fevrier 2004 5/30


Réponse temporelle

• Réponse temporelle

)t(uBNC)d)(uBexQ0Ie(C)t(y1h

0k

)k(2

k21

)t(At

00

1tA1

1

1

• régularité unicité de la trajectoire x(t) pour u(t) et x0 données

det(sE-A) 0

• système non impulsif

admet une représentation usuelle

a une fonction de transfert propre

N=0, dans la forme équivalente standard

A22 inversible dans la forme équivalente par SVD de E

sous-syst. usuel

sous syst.non propre

Syst. Sing.

Introduction

Conclusion

Commande

Diagnostic

Factorisation

12 fevrier 2004 6/30


Intérêts des systèmes singuliers

• signification physique des variables

• combinaison de relations dynamiques et statiques

• systèmes rectangulaires

• systèmes interconnectés

• systèmes impulsifs

• mauvais conditionnement de E-1A, pour E inversible

Syst. Sing.

Introduction

Conclusion

Commande

Diagnostic

Factorisation

12 fevrier 2004 7/30


Commandabilité des syst. singuliers

(E,A,B)commandable

sous-syst. usuelcommandable

sous-syst. non propre

commandable

K tel que les pôles

finis de (E,A+BK) soient arbitrairement placés

K tel que (E,A+BK) soit non impulsif

(E,A,B) Imp-commandable

(E,A,C)observable

sous-syst. usuelobservable

sous-syst. non propreobservable

L tel que les pôles

finis de (E,A+LC) soient arbitrairement placés

L tel que (E,A+LC) soit non impulsif

(E,A,C) Imp-observable

Syst. Sing.

Introduction

Conclusion

Commande

Diagnostic

Factorisation

12 fevrier 2004 8/30


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

État du système

(E,A,B) R-commandable et Imp-commandable

Exemple

Circuit RLC parallèle :à t=1, on applique v=1 V

décrit par la forme singulière

2

1

2

1

2

1

i

i

q

100

010y,v

1

1

0

i

i

q

00C/1

R00

010

i

i

q

000

L00

001

v(t) C

R

L

i1(t)

i2(t)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-0.14

-0.12

-0.1

-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

x(t), avec retour d'étatnormalisant

(E,A,C) R-observable etImp-observable

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.14

-0.12

-0.1

-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

Éstimée de x(t), avec retour d'état observé

de fonction de transfert T

RsL

1Cs)s(G

Syst. Sing.

Introduction

Conclusion

Commande

Diagnostic

Factorisation

12 fevrier 2004 9/30


• Objectif : généraliser l'outil de factorisation copremière

aux systèmes singuliers

Factorisation copremière Syst. Sing.

Introduction

Conclusion

Commande

Diagnostic

Factorisation

• Définition (fonctions de transfert copremières):

Deux fonctions de transfert matricielles M(s) et N(s) de RH sont

dites copremières à droites (resp. à gauche) s'il existe deux

fonctions de transfert matricielles Xr(s) et Yr(s) (resp. Xl(s) et Yl(s))

telles que

I)s(Y

)s(X)s(N)s(M

I)s(N

)s(M)s(Y)s(X

l

l

rr

12 fevrier 2004 10/30


Factorisation copremière Syst. Sing.

Introduction

Conclusion

Commande

Diagnostic

Factorisation

• Définition (factorisation copremière):

Une fonction de transfert matricielle P(s) de RH admet une double factorisation

copremière s'il existe une factorisation copremière à droite

et une factorisation copremière à gauche

où M(s), N(s), , , Xr(s), Yr(s), Xl(s) et Yl(s)de RH vérifient

)s(M)s(N)s(P 1

)s(N~

)s(M~

)s(P 1

)s(N~

)s(M~

I)s(X)s(N

)s(Y)s(M

)s(M~

)s(N~

)s(Y)s(X

l

lrr

12 fevrier 2004 11/30


Factorisation copremière de systèmes singuliers

Syst. Sing.

Introduction

Conclusion

Commande

Diagnostic

Factorisation

Théorème : une fonction de transfert matricielle G(s)=C(sE-A)-1B+D non nécessairement propre admet une

double factorisation copremière si G(s) est régulière, Imp-commandable et Imp-observable. On a alors

et

où L et F sont telles que (E,A+LC) et (E,A+BF) soient non-impulsifs

)s(M)s(N)s(G 1 )s(N~

)s(M~

)s(G 1

I)s(X)s(N

)s(Y)s(M

)s(M~

)s(N~

)s(Y)s(X

l

lrr

I

0

L

D

I

B

DFC

F

BFA

,E)s(X)s(N

)s(Y)s(Met

I

0

L

D

I

)LDB(

C

F

LCA

,E)s(M

~)s(N

~)s(Y)s(X

l

lrr

12 fevrier 2004 12/30


Factorisation copremière de systèmes singuliers

Syst. Sing.

Introduction

Conclusion

Commande

Diagnostic

Factorisation

Intérets :

• Les cofacteurs N(s), M(s), et sont propres, y compris pour G(s)

non propre.

• Les matrices L et F peuvent être déterminées par résolution LMI pour

placer les pôles finis de (E,A+LC) et (E,A+BF) dans une région LMI donnée,

caractérisée par les matrices = T et et

)s(M~

)s(N~

0zzzzD T complexe

12 fevrier 2004 13/30


Caractérisation du placement des pôles finis de systèmes singuliers

Syst. Sing.

Introduction

Conclusion

Commande

Diagnostic

Factorisation

Théorème. Pour une région LMI D le système (E,A) a ses pôles finis

dans D et est admissible, si et seulement s'il existe P=PT>0 et S

vérifiant la condition LMI suivante

EPET+APE T+TEPAT+1mm(AVSUT+USTVTAT) < 0

avec V=Ker E et U=Ker ET,

et où 1ij désigne la matrice (ij) de composantes égales à 1

12 fevrier 2004 14/30


Placement des pôles finis de systèmes singuliers

Syst. Sing.

Introduction

Conclusion

Commande

Diagnostic

Factorisation

Théorème. Pour une région LMI D il existe une matrice F telle que

(E,A+BF) ait ses pôles finis dans D et soit admissible, si et seulement

s'il existe P=PT>0, S, H et L vérifiant la condition LMI suivante

EPET+(APE T+BHET )+T(EPAT+EHTBT)+...

1mm(AVSUT+BLUT+USTVTAT+ULTBT) < 0

avec V=Ker E et U=Ker ET,

et où 1ij désigne la matrice (ij) de composantes égales à 1

F est donnée par

F=(HET+LUT)(PET+VSUT)-1

12 fevrier 2004 15/30


Diagnostic par factorisation copremière

• Hypothèses :

faisceau (E,A) régulier

système (E,A,C) Imp-observable et détectable

• Objectifs :

génération de résidus par des filtres propres

modeler la réponse fréquentielle aux défauts

imposer un gabarit de robustesse aux perturbations

• Méthode :

factorisation copremière du système

formulation H des objectifs

• Système :

dEfRDuCxydEfRBuAxxE

22

11

Syst. Sing.

Introduction

Conclusion

Commande

Diagnostic

Factorisation

12 fevrier 2004 16/30


Génération de résidus

générateur de résidus propre (choix de L)

Syst. Sing.

Introduction

Conclusion

Commande

Diagnostic

Factorisation

)s(d)s(N~

)s(f)s(N~

)s(u)s(N~

)s(y)s(M~

)s(r

df

u

Génération de résidus par factorisation :

avec

DC

LDBLCA,E)s(N

~et

IC

LLCA,E)s(M

~u

G(s)

~ -Nu(s)

~ M(s)

y(s)d(s)f(s)u(s)

r(s)

Le système peut s'écrire :

)s(f)s(G)s(d)s(G)s(u)s(G)s(y fdu

)s(f)s(N~

)s(d)s(N~

)s(u)s(N~

)s(M~

)s(y fdu1

et se factoriser sous la forme :

12 fevrier 2004 17/30


Génération de résidus

1 seul paramètre : Q(s)

Syst. Sing.

Introduction

Conclusion

Commande

Diagnostic

Factorisation

Le résidu est obtenu en 2 étapes :

G(s)

~ -Nu(s)

~ M(s)

y(s)d(s)f(s)u(s)

r(s)

• factorisation de G(s) (paramètre : L )

r(s)Q(s)

• filtrage : r(s)=Q(s)r(s) (paramètre : Q(s) de RH)

DC

DLBCLA,E)s(N

~

IC

LCLA,E)s(M

~

)s(u)s(N~

)s(y)s(M~

)s(Q)s(r

000

000

00

Paramétrisation de tous les générateurs de résidus :

Théorème. Sous la condition que (E,A+L0C) soit admissible, tous les générateurs de résidus sont paramétrés par Q(s) de RH

avec

12 fevrier 2004 18/30


Synthèse du module de diagnostic

Principe : se ramener à un problème de contrôle standard H où

Q(s) est solution de

Objectifs de synthèse du module de diagnostic

Syst. Sing.

Introduction

Conclusion

Commande

Diagnostic

Factorisation

)s(Tmin zwRH)s(Q

1. Modeler la réponse du résidu aux fautes.

Gu(s)

~ -Nu(s)

~ M(s)

Q(s)

+

u

y+

Gf(s)

Wf(s)

f

+- zGd(s)d

r

w

)s(N~

)s(Q)s(N~

)s(Q)s(W)s(T dffzw

3. Module de diagnostic propre : Q(s) RH

2. Imposer un gabarit de robustesse face aux

perturbations )s(W)s(N

~)s(Q)s(N

~)s(Q)s(W)s(T ddffzw

d Wd(s) d

12 fevrier 2004 19/30


Synthèse du module de diagnosticSyst. Sing.

Introduction

Conclusion

Commande

Diagnostic

Factorisation

)s(N~

)s(Q)s(W)s(N~

)s(Q)s(WminJ fdffRH)s(Q

d

• Q(s) est solution du problème de pousuite de modèle suivant :

)s(N~

f )s(N~

d• Les fonctions de transfert Wf(s), Wd(s), et sont propres

Solution à base de LMI (P. Gahinet & P. Apkarian, 1994)

d

fDERxCE0Cy

rd

f0Dx0C0z

r

0

0

0

d

f

B0

0B

DER

x

A00

0A0

CE0A

x

d22d2

ff

d

f

d11

d

f

d1

Solution :

résoudre le problème H standard pour le système non singulier :

où

211

f

dd1

ddd

211

f

ff1

fff

EE)AsI(C)s(N~

DB)AsI(C)s(W

RR)AsI(C)s(N~

DB)AsI(C)s(W

Q(s)

w(s)

r(s)

z(s)

r(s)

12 fevrier 2004 20/30


Diagnostic par factorisation copremière.

Syst. Sing.

Introduction

Conclusion

Commande

Diagnostic

Factorisation

Algorithme de diagnostic robuste :

1. factoriser la fonction de transfert matricielle Gu(s)

déterminer L, tel que (E,A+LC) soit admissible (LMI)

2. filtrer le pré-résidu r(s)=Q(s)r(s)

fixer les fonctions de pondérations Wf(s) et Wd(s)

déterminer Q(s) : contrôle-H pour système usuel (LMI)

12 fevrier 2004 21/30


Exemple de diagnostic par factorisation coprime

On considère le système défini par

d10

00f

10

00x

0100

0010y

d

00

00

00

01

f

00

00

00

01

u

10

00

00

01

x

1000

0100

00105

00115

x

0000

1000

0010

0001

On applique la synthèse pour les fonctions de pondérations :

s01.01

s001.010

0s01.01

s001.01

)s(W

s01.01

10

0s01.01

1

)s(W df

avec

onsin,0

5t3pour,1)t(f

onsin,0

4t1pour),t(u)t(f 21

Syst. Sing.

Introduction

Conclusion

Commande

Diagnostic

Factorisation

12 fevrier 2004 22/30


Exemple de diagnostic par factorisation coprime

0 1 2 3 4 5 6-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

Frequency (rad/sec)

Sin

gula

r V

alue

s (d

B)

Singular Values

100 101 102 103 104 105 106-200

-180

-160

-140

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

Résultats obtenus :

Fautes (pointillés noirs) et résidus

(traits rouge)Valeurs singulières de la sensibilité à d (bleu), et gabarit

(vert)

Syst. Sing.

Introduction

Conclusion

Commande

Diagnostic

Factorisation

12 fevrier 2004 23/30


Commande tolérante aux fautes

• Hypothèses : (E, A) régulier (E, A,B) Imp-commandable et stabilisable (E, A,C) Imp-observable et détectable

• Objectifs :

performances nominales

tolérance aux fautes et aux perturbations

mise en œuvre de filtres propres

• Méthode :

factorisation copremière

formalisme H standard pour systèmes usuels

• Système :

dEfRDuCxydEfRBuAxxE

22

11

Syst. Sing.

Introduction

Conclusion

Commande

Diagnostic

Factorisation

12 fevrier 2004 24/30


G(s)

Xr-1(s) -Yr(s)

+u

d f

yref

Synthèse du correcteur pour la commande tolérante aux fautes

G(s)

Qc(s)

Xr-1(s) -Yr(s)

+

+

+u

d f

yref

~ -Nu(s)

~ M(s)

Structure du correcteur proposé (Youla)• commande :

)s(y)s(Y)s(M

~)s(Q)s(N

~)s(Q)s(X

...)s(ref)s(X)s(N~

)s(Q)s(X)s(u

rcucr

rucr

Lemme. (Takaba et al., 1994) Tous les correcteurs stabilisants de Gu(s) sont paramétrés par

où Q(s) RH

)s(y)s(Y)s(M~

)s(Q)s(N~

)s(Q)s(X)s(u ruur

)s(d)s(N~

)s(f)s(N~

)s(Q)s(N)s(X)s(ref)s(N~

)s(X)s(y dfculul • sortie en boucle fermée :

réponse nominale écart dû aux signaux exogènes

Syst. Sing.

Introduction

Conclusion

Commande

Diagnostic

Factorisation

12 fevrier 2004 25/30



G(s)

Xr-1(s) -Yr(s)

+u

d f

yref

• Réponse nominale retour d'état observé

L et F déterminés afin de placer les pôles résolution de LMI strictes

DCDFC

LDB

LD

LCA0

LCBFA

,E0

0E)s(N

~)s(X ul

)s(ref)s(N~

)s(X)s(y ul

G(s)

Qc(s)

Xr-1(s) -Yr(s)

+

+

+u

d f

yref

~ -Nu(s)

~ M(s) • Tolérance aux fautes poursuite de modèle

Qc(s) déterminé par synthèse d'un correcteur H pour système non singulier résolution par LMI

)s(N~

)s(N~

)s(Q)s(N)s(XminJ dfculRH)s(Q

cc

)s(d)s(N~

)s(f)s(N~

)s(Q)s(N)s(X dfcul

Syst. Sing.

Introduction

Conclusion

Commande

Diagnostic

Factorisation

12 fevrier 2004 26/30



• Algorithme de contrôle tolérant aux fautes 1.Déterminer F et L, afin de satisfaire les objectifs de

contrôle nominal.

2.Déterminer Qc(s), afin de minimiser la déviation de sortie due à d(s) et f(s)

• Intérêts de cette approche

1.Séparer performances nominales // tolérance aux fautes

2.Implémentation de filtres propres

3.Eviter de masquer d(s) et f(s) par la commande.

G(s)

Qc(s)

Xr-1(s) -Yr(s)

+

+

+u

d f

yref

~ -Nu(s)

~ M(s)

Syst. Sing.

Introduction

Conclusion

Commande

Diagnostic

Factorisation

12 fevrier 2004 27/30


Commande tolérante aux fautes adaptative

mais...Commande tolérante à TOUS les signaux exogènes

pessimisme

...amélioration proposée

1. Introduire un module de diagnostic Qd(s)

localisation des défauts occurents

2. Choisir en ligne un filtre de contrôle parmi un banc

correcteur adapté au(x) défaut(s) survenu(s)

Syst. Sing.

Introduction

Conclusion

Commande

Diagnostic

Factorisation

12 fevrier 2004 28/30


Commande tolérante aux fautes adaptative

Algorithme de contrôle tolérant aux fautes adaptatif.

G(s)u

d f

yG(s)

Xr-1(s) -Yr(s)

+u

d f

yref

1 Déterminer F et L tels que (E,A+BF) et (E,A+LC) satisfassent les objectifs de contrôle nominal

G(s)

Xr-1(s) -Yr(s)

+

+

+u

d f

yref

~ -Nu(s)

~ M(s)

Qd(s)

r

r

)s(W)s(N~

)s(Q)s(N~

)s(Q)s(WminJ dddfffRH)s(Q

dd

2 Déterminer le filtre de diagnostic robuste Qd(s) qui

minimise

3 Déterminer nf filtres Qci(s) dédiés à une faute fi, et un filtre Qc0(s) pour le cas "sans faute", par minimisation de

G(s)

Qc(s)

Xr-1(s) -Yr(s)

+

+

+u

d f

yref

~ -Nu(s)

~ M(s)

Qd(s)

r

r

)s(N~

)s(Q)s(N)s(XminJ

)s(N~

)s(N~

)s(Q)s(N)s(XminJ

dculRH)s(Q

0c

dficulRH)s(Q

ci

0c

ci

G(s)

Qc(s)

Xr-1(s) -Yr(s)

+

+

+u

d f

yref

~ -Nu(s)

~ M(s)

Qd(s)

r

r

onsin),s(Q

Jrsi),s(Q)s(Q

0c

dicic

4 Implémenter le contrôleur ci-contre, avec

Syst. Sing.

Introduction

Conclusion

Commande

Diagnostic

Factorisation

12 fevrier 2004 29/30


Application de la commande tolérante aux fautes

Résidus fournis par le module de

diagnosticSorties, contrôle nominal avec d=f=0 (ronds), contrôle par

retour d'état observé (pointillés), CTF (croix) et CTFA (trait).

On considère le système défini par

avec

f10

00x

0100

0010y

d

0

0

0

01,0

f

00

00

00

01

u

10

00

00

01

x

1000

0100

00105

00115

x

0000

1000

0010

0001

onsin,0

5,4t5,3pour,2)t(f

onsin,0

2t1pour,2)t(f

2

1

Syst. Sing.

Introduction

Conclusion

Commande

Diagnostic

Factorisation

12 fevrier 2004 30/30


On a proposé une méthode pour traiter les problèmes de

1/ diagnostic robuste

2/ commande tolérante aux fautes

Conclusion

Solution à base de LMI

(boîtes à outils Matlab ou Scilab)

problème de contrôle standard H de systèmes usuels

Implémentation simple (filtres propres)

Syst. Sing.

Introduction

Conclusion

Commande

Diagnostic

Factorisation

12 fevrier 2004 31/30


B. Marx, D. Koenig et D. Georges, Robust fault diagnosis for descriptor systems – a coprime factorization approach, Proc of the IFAC SAFEPROCESS’03, Washington, USA, 2003.

B. Marx, D. Koenig et D. Georges, Robust pole-clustering in LMI regions for descriptor systems, a characterization via strict LMIs, Proc of the European Control Conference, Cambridge, UK, 2003.

B. Marx, D. Koenig et D. Georges, Fault Diagnosis and Robust Fault Tolerant Control for Descriptor Systems, soumis à Automatica (2003)

Publications

diagnostic robuste

placement de pôles

contrôle tolérant aux fautes

Syst. Sing.

Introduction

Conclusion

Commande

Diagnostic

Factorisation

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