Plan Clases Productos Notables y Factorizacion (1)
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COLEGIO SANTA FE
PLAN DE CLASES
DOCENTE: DAIRO LUIS PALOMINO VERGARA
GRADO: 8
ESTANDAR
Construye expresiones algebraicas equivalentes a una expresión algebraica dada. Usa representaciones geométricas para resolver y formular problemas en la matemática y en
otras disciplinas Desarrolla técnicas para factorizar polinomios, en particular, la diferencia de dos cuadrados, la
suma y diferencia de potencias impares, los trinomios cuadrados perfectos y otros trinomios factorizables
PENSAMIENTO
VARIACIONAL Y SISTEMAS ALGEBRAICOS. PENSAMIENTO ESPACIAL Y SISTEMAS GEOMÉTRICOS. PENSAMIENTO MÉTRICO Y SISTEMAS DE MEDIDAS.
OBJETO MATEMATICOProductos notables.Factorización de polinomios.LOGROS
Identifica productos notables en expresiones algebraicas Expresa el desarrollo algebraico de un producto notable Resuelve situaciones problemáticas que demanden la aplicación de productos notables
INDICADORES DE LOGROS
Diferencia y resuelve productos notables desde el contexto geométrico y algebraico. Factoriza Polinomios en los casos más usuales. Utiliza los casos de factorización en las solución de problemas matemáticos
DURACION De 1 a 3 semanas
EJECUCION DIDÁCTICA
MOMENTOS ACTIVIDADES RECURSOS
Iniciación:
Revisión de conocimientos previos
Con la orientación del profesor, cada estudiante realizará el taller sobre: 1)Productos Notables2)casos de factorizacion
Tablero marcadores computadorSoftware Geogebra.
Reestructuración, conceptualización de la idea, construcción social del concepto .
Posterior a la explicación del profesor referido a la solución de actividades, se iniciara la construcción del concepto teniendo en cuenta las actividades realizadas donde los estudiantes darán su concepto para luego concluir entre todos.
Guías didácticas.
Participación del estudiante.
Profundización, aplicación del conocimiento a nuevas situaciones.
Con la ayuda del profesor, los estudiantes interpretaran los diferentes significados de productos notables y factorizacion.
Aplican y construyen problemas que involucren los significados de productos notables y factorizacion.
Explicaciones del profesor en el tablero, y la utilización de los materiales de apoyos.
Evaluación.
Valoración de los éxitos y fracasos logrados por el profesor y los estudiantes en el proceso de enseñanza-aprendizaje
Se tendrá en cuenta el desempeño de cada estudiante durante el desarrollo de la clase, entregas del taller propuesto, comunicación de ideas, revisión de apuntes.
AMBIENTES DE GEOMETRÍA DINÁMICA (AGD) Y GEOGEBRA
La existencia de un AGD que incluye el trabajo en conjunto de aritmética, algebra, calculo y geometría de forma dinámica es GeoGebra, el cual se creó para enseñar geometría con elementos de algebra. Se puede acceder de41forma gratuita para ser descargado en cualquier computador en www.geogebra.orgEste software trabaja con la geometría de las transformaciones de figuras “robustas” que se arrastran conservando las mismas propiedades, se puede operar con deslizadores que son la representación gráfica de un número, y permite cambiar el tamaño del lado o el ángulo en la figura para observar su comportamiento, y realizar múltiples operaciones como hallar derivadas e integrales de funciones con su respectiva gráfica, esto lo convierte en algo novedoso en comparación con los programas anteriores, y que fue precisamente lo que motivo incluirlo en el trabajo didáctico de esta investigación.En reconocimiento de las ventajas y cualidades ofrecidas por el GeoGebra, su creador Hohenwarter (2011), menciona que es un “software interactivo de matemática que reúne dinámicamente geometría, álgebra y cálculo, ofrece múltiples vistas de los objetos matemáticos: una vista gráfica, una numérica, una algebraica y una vista de Hoja de Cálculo”. Lo anterior facilita la apreciación de los objetos desde lo gráfico, por ejemplo el caso de puntos y gráficos; desde lo algebraico, por ejemplo las coordenadas de puntos, ecuaciones y, los objetos matemáticos de las celdas de la hoja de cálculo. Las representaciones se van realizando automáticamente cuando el programa recibe la orden de parte del programador.Por último, en la figura 5 se muestra la ventana de trabajo de GeoGebra con sus principales características simplemente para identificar la forma de trabajo aplicada en la creación de los Objetos de Aprendizaje que se evidencian en el capítulo 4, pero sin la pretensión de hacer un manual de instrucciones.Figura 5.
Barra de Entrada: Se pueden editar coordenadas, ecuaciones, expresiones algebraicas o cualquier función que se representan sobre la Vista Algebraica y la Vista Gráfica.
Vista Gráfica: Se encuentran los ejes coordenados (xy) que tienen la opción de ocultarse, y se puede visualizar las construcciones realizadas con las escritas en la Barra de Entrada.
Barra de Herramientas: Seleccionando el menú de la barra de herramientas, se pueden ubicar puntos, trazar rectas y círculos, ángulos, etc. Para la realización de las figuras.
Vista algebraica: Aparece el paso a paso de la escritura algebraica de cada una de las líneas, puntos, ecuaciones que se utilizaron en el bosquejo de la figura.
Vista de la Hoja de Cálculo:} Se puede ingresar puntos, expresiones algebraicas y de igual forma podemos visualizar su representación en la Vista Gráfica. Cada objeto que se escribe en la Hoja de Cálculo se referencia por ejemplo A5 (columna A con fila 5), o D3 (columna D con fila 3), etC
MARCO TEORICOLOS PRODUCTOS NOTABLES:
Los productos notables son cierros productos que pueden desarrollarse por simple inspección,
es decir siguiendo ciertas reglas o procedimientos preestablecidos para cada uno de ellos, que
no hacen necesario la realización de la multiplicación sin necesidad
Los productos notables son de gran importancia ya que agilizan la solución de ciertas
expresiones algebraicas generales que están expresadas como productos.
CUADRADO DE LA SUMA O DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES:
Sean a y b dos cantidades, la suma se expresa como (a + b) y la diferencia como(a - b) y
por tanto el cuadrado de la suma será (a + b)2, y el cuadrado de la diferencia será (a - b)2
Pero (a + b)2 por lo que sabe de las potencia es (a + b)2 = (a + b) . (a + b)
Al resolver este producto se tiene que
a+b ¿a+b ¿
¿ a2+ab ¿ +ab+b2
a2 + 2ab + b2¿¿¿
Por tanto
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Geométricamente se puede verificar Sea el cuadrado P de lado a + b mostrado a
continuación
A1 A2
A3 A4
a+b
a
a+b
b
Vemos que área del cuadrado P se puede calcular de dos maneras:
1. Multiplicando lado por lado es decir (a + b). (a + b) por tanto el área será: AP = (a + b)2
2. Sumando las areas de los cuatro cuadrados que forman el cuadrado P, las cuales son A1,
A2, A3 y A4, donde
A1, = a2 A2 = a.b A3 = a.b y A4 = b2, Por tanto el área del cuadrado P
será:
AP = A1, + A2 + A3 + A4
AP = a2 + a.b + a.b + b2
AP = a2 + 2 a.b + b2
Podemos concluir entonces que:
(a + b)2 = a2 + 2 a.b + b2
La regla que se debe seguir para resolver por simple inspección el cuadrado de la suma
de dos cantidades seráç:
“El cuadrado de la primera cantidad MAS el doble producto de la primera cantidad por la
segunda mas la segunda cantidad al cuadrado”
Para el caso del cuadrado de la diferencia de dos cantidades, seguimos un procedimiento
similar al anterior.
Se tiene que (a - b)2 por lo que sabe de las potencia es (a - b)2 = (a - b) . (a - b)
Al resolver este producto se tiene que
a−b ¿a−b ¿
¿ a2−ab ¿ −ab+b2
a2− 2ab + b2¿¿¿
Por tanto
(a + b)2 = a2 - 2ab + b2
La regla que se debe seguir para resolver por simple inspección el cuadrado de la
Diferencia de dos cantidades será:
“El cuadrado de la primera cantidad MENOS el doble producto de la primera cantidad
a b
por la segunda más la segunda cantidad al cuadrado”
Ej1:
Resolver por simple inspección (3xy + 5x2 y2 )2
Sol.
(
35 xy + 5x2 y2 )2 = (
35 xy)2 + 2(
35 xy . 5x2 y2) + (5x2 y2 )2
=
925 x2 y2 + 2(
155 x3 y3) + 25x4 y4
=
925 x2 y2 +
305 x3 y3 + 25x4 y4
(
35 xy + 5x2 y2 )2 =
925 x2 y2 + 6x3 y3 + 25x4 y4
TALLER .Solucionar por simple inspección los siguientes productos notables
a) (x + 2y)2
b) (8ab - 4bc)2
c) (3xy + 5x2 y2 )2
d) (x4 + 2y4)2
e) (2ax2 - 3by2)2
f) (x – 1/2y)2
g) (x/2 + 2y)2
h) (x10 + y10)2
i) (xm-2 - 4ym+2)2
j) (a2x+y + b3x-2y)2
k) (42x + 32y)2
l) (m4p - n4q)2
PRODUCTO DE LA SUMA POR DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES:
Sean a y b dos cantidades, la suma (a + b) multiplicada por su diferencia (a - b) se
expresa como (a + b) (a – b).
Efectuando la multiplicación tenemos:
(a + b)(a – b) =
a+b ¿a−b ¿
¿ a2+ab ¿ −ab−b2 ¿
¿¿
a2 -- b2
Por lo tanto: (a + b) (a – b) = a2 - b2
La regla que se debe seguir para resolver por simple inspección un producto que sea la
multiplicación de la suma por la diferencia de dos cantidades será:
El producto de la suma por la diferencia de 2 cantidades es igual al cuadrado de la
primera cantidad menos el cuadrado de la segunda cantidad.
Ej2:
Escribir por simple inspección, el resultado:
(3x3 + 4Y2) (3x3 - 4Y2)
(3x3)2 = 9x6 (4Y2)2 = 16y4
Por tanto resolviendo simple inspección se tiene:
(3x3 + 4Y2) (3x3 - 4Y2) = 9x6 - 16Y4
Ej3:
(
35 a m+1 -
14 b n+2) (
35 a m+1 +
14 b n+2 )
(
35 a m+1)2 =
925 a 2m+2 (
14 b n+2)2 =
116 b 2n+4
Por lo tanto al resolver se obtiene:
(
35 a m+1 -
14 b n+2) (
35 a m+1 +
14 b n+2 ) =
925 a 2m+2 -
116 b 2n+4
Para identificar este producto notable solo tienes que reconocer que existen dos paréntesis multiplicándose entre si y en los cuales se encuentran dos cantidades que se diferencian porque en uno de los paréntesis los separa un signo menos y en el otro un signo mas
TALLER .Solucionar por simple inspección los siguientes productos notablesa) (x a+1 + y n+2) (x a+1 - y n+2)
b) (6x2 – m2x) (6x2 + m2x)
c) (a +
12)(a−1
2 )
d) (1 – 8xy)(8xy+1)
e) (x3y3-6)(x3y3+6)
f) (
54a2
+
2bc3 ) (
54a2
-
2bc3 )
g) (6k2 – 5hm)( 6k2 + 5hm)
h) (2a-1)(2a+1)
i) (y2-3y) (y2+3y)
CUBO DE UN BINOMIO:
Sea a y b dos cantidades a la suma a + b o la diferencia a – b se la puede llamar binomio,
por tanto el cubo de un binomio se puede expresar (a + b)3 o (a - b)3 .
RECUERDA
CUBO DE LA SUMA DE DOS CANTIDAES (a + b) 3 :
Sabemos que (a + b)3 = ( a + b) (a + b)2, pero (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 entonces
(a + b)3 = (a + b)( a2 + 2ab + b2)
Multiplicado tenemos:
a2+2ab+b2 ¿a+b ¿
¿ a3+2a2b+ab2 ¿ +a2b+2ab2+b3
a3+3a2b+3ab2+b3¿¿¿
Por lo tanto
(a + b)3 = a3 + 3a2b +3ab2 +b3
Luego el cubo de la suma de dos cantidades es igual al cubo de la primera cantidad, más
tres veces el cuadrado de la primera cantidad por la segunda, más tres veces la primera
cantidad por el cuadrado de la segunda, más el cubo de la segunda cantidad
CUBO DE LA DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES (a - b) 3 :
Realizando un procedimiento parecido al anterior
(a - b)3 = a3 - 3a2b +3ab2 - b3
Luego el cubo de la diferencia de dos cantidades es igual al cubo de la primera
cantidad, menos tres veces el cuadrado de la primera cantidad por la segunda, más
tres veces la primera cantidad por el cuadrado de la segunda, menos el cubo de la
segunda cantidad.
Ej4 :
Resolver por simple inspección el producto notable (3m2 – 4n3)3
(3m2 – 4n3)3 = (3m2)3 - 3(3m2)2 (4n3) + 3(3m2)(4m3)2 - (4n3)3
(3m2 – 4n3)3 = 27m6 - 108m4n3 + 144m2m6 - 64n9
Ej5: Resolver por simple inspección el producto notable (
13 xm + 2y n+2)3
(
13 xm + 2y n+2)3 = (
13 x m)3 + 3 (
13 x m)2 (2y n+2) + 3(
13 x m)(2y n+2)2 + (2y n+2)3
=
127 x 3m +
23 x 2m y n+2 + 4xm y 2n+4 + 8y3n+6
TALLER
Solucionar por simple inspección los siguientes productos notable
a) (x-y)3
b) (2m + 3y)3
c) (
23 a2-
34 b3)3
d) (3a2 x + 4b3y)3
e) (xm-yn)3
f) (1-3y)3
g) (4p2q3- 3pt)3
h) (4mn + 5ny)3
PRODUCTO DE LA FORMA (X + a) (X + b):
Realizar las siguientes multiplicaciones
(x + 2) (x + 3) = x2 + 5x + 6 (2x + 6) (2x - 10) = 4x2 – 8x – 6
x+2 ¿x+3 ¿
¿ x2+2 x ¿3 x+6x2+5x+6
¿¿¿
2 x+6 ¿2 x−10 ¿
¿ 4 x2+12x ¿−20x−604 x2−8 x−6
¿¿¿
En los ejemplos anteriores se cumple las siguientes reglas:
1. El producto de la forma (X + a) (X + b) es un trinomio en el que su primer término es el
producto de los primeros términos de cada binomio.
2. En el segundo término del trinomio, el coeficiente corresponde a la suma algebraica de
los segundos términos de los binomios y como parte literal la raíz cuadrada del primer
término del trinomio.
3. El tercer término corresponde al producto de los segundos términos de los binomios.
Por tanto (X + a) ( X + b) = (X)2 + (a + b)X + (a) (b)
Ej6:
Resolver por simple inspección el producto notable (m + 1) (m - 3) .
Sol:
(m + 1) (m - 3) = m2 +(1 - 3)m + (1)(-3)= m2 – 2m – 3
Ej7:
Resolver por simple inspección el producto notable (4m5 - 6)(4m5 + 10)
(4m5 - 6)(4m5 + 10) = (4m5)2 + (-6+10)4m5 + (-6)(10)= 16m10 +16m5 –60
TALLER .
Solucionar por simple inspección
a) (p + 1) (p - 3)
b) (3u4 - 6)(3u4 - 15)
c)( 14 n2+6)( 14 n2+21)
d) (m2 x3- 6)( m2 x3 - 24)
e) (mn2 + 2)(mn2 - 15)
f) (x + b) (x – a)
TALLER DE TODOS LOS CASOS ..Solucionar por simple inspección:
a) (x a + 3)3
b) (
2x3
− y3 )3
c) (6x2 – m2x) (6x2 + m2x)
d) (ab + 5) (ab + 8)
e) (a x - 3) (a x + 8)
f) (
y4− x3 )3
g) (3x2+5y5)3
h) (x 2 + yb)2
i) (3x2 - 5y5)(3x2+5y5)
j) (
3 y4
− 4 x3 )2
k) (
13m−5
4n
)(
13m+ 5
4n
)
l) (x ayb + xm yn )3
MARCO TEORICO
FACTORIZACIÓNDEFINICIÓN: Factorizar una expresión algebraica es convertirla en otra equivalente
que sea el producto de dos o más factores
FACTORES: Se llaman factores de una expresión algebraica, a las expresiones
algebraicas que multiplicadas entre si dan como producto la primera expresión.
Por ejemplo si multiplicamos x por x + y simbolizada x (x + y) obtenemos x2 +xy.
Por tanto x y x + y son factores de la expresión x2 + xy Aplicando una técnica
podemos descomponer en factores (factorizar) la expresión x2 + 5x +6 en (x +
2)(x + 3)
FACTORAR UN POLINOMIO: No todo polinomio es factorizables, como por ejemplo
a+b pues solo es divisible por el mismo. Para factorizar polinomios los clasificaremos
en casos de acuerdo a características definidas
CASO I (Factor común): Una expresión algebraica se puede factorizar empleando la técnica
del factor común, si todos los términos que conforman el polinomio poseen una parte en
común ya sea numérica o literal
COMO SE FACTORIZA:
Se extrae el Máximo Común Divisor (M C D) si lo hay entre todos los
coeficientes de cada término
Se extrae la(s) parte(s) literal(es) común(es) a todos los términos del polinomio
escogiendo las de menor exponente.
Se saca como factor común el M C D y la parte literal que se repite en todos los
términos. A continuación se abre un paréntesis, y se incluye en este el cociente
de la división de cada uno de los términos del polinomio entre el factor común
Ej1.: Factorizar:
a) a2b + 2a5 La letra común entre los dos términos que conforman el polinomio es a, pero la de
menor exponente a2. Por tanto la solución será
a2 ( b + 2a3)
Ej2.: Factorizar:
b) 5x2 + 20x3
El M.C.D. entre el 5 y el 20 es 5. Y la parte literal que se repite es x, pero la de menor
exponente es x2. Por tanto
5x2 + 20x3 = 5x2( 1 + 4x3)
Ej3.: Factorizar:
c) 6txy3 + 9nx2y3 - 12n4x3y4 - 3n2x4y6
El M.C.D. entre el 6, 9 y el 12 es 3. Y las partes literales que se repite es x y y, pero la
de menor exponente es xy3. Por tanto
6txy3 + 9nx2y3 - 12n4x3y4 - 3n2x4y6 = 3xy3 ( 2t + 3nx - 4n4x3y2 - 3n4x2y3)
TALLER
Factorizar
1. a2 + ab
2. 9a4x3 - 18ax3
3. 14 x2 y6 - 28x3 + 54x4
4. a20 - a16 + a12 - a8
5. 3x(x + 2) - 2y(x – 2)
6. –m + n + x (m + n)
7. a2b2c3 - a4b3c5 + a7b6k5
8. 55m2n3x - 110m2n3x2 + 220 m2y3p
9. a + ab + ac
10. 10 + 20x
11. (a + b) + 3x(a + b) - 4y(a + b)
12. a2 + a20 + a16 - a4 - a12
13. (a + 3) (a + 1) - (a – 2) (a + 1)
14. x(2a + b + c) - 2a - b - c
CASO II: (Factor común por agrupación de términos):
Cuando no existe un factor común a todos los términos que conforman un polinomio, pero
se obtienen (el factor común) al agrupar en dos binomios o dos trinomios (los 4 o 6
términos del polinomio), pero además después de agrupar y factorizar se obtienen
factores comunes que permiten seguir factorizando, se consideran que el proceso de
factorar hace parte del segundo caso de factorización denominado por agrupación de
términos.
COMO SE FACTORIZA:
Inicialmente se agrupan los 4 términos del polinomio en 2 binomios, o si son 6
términos en 2 trinomios, teniendo en cuenta que al agruparlos posean
factores comunes.
Para cada binomio o trinomio se extrae el factor común
Cada binomio o trinomio se ha convertido en factores, se saca entonces
nuevamente el factor común, factorizándose por tanto todo el polinomio
Ej4.: Factorizar ax + bx + ay + by
Sol:
PASO 1: se agruparan en 2 binomios los cuatros términos, pero teniendo en cuenta que
loS términos que se agrupen tengan un factor común. Para el primero se
escogerá la “a” como factor común y en el segundo se escogerá el factor
común “b”Se agrupara en el primer binomio el 1er y 3er término es decir: ax +
ay
Se agrupara en el segundo binomio el 2do y 4to término es decir: bx + by
ax + bx + ay + by = (ax + ay) + (bx + by)
PASO 2: En el primer binomio se saca el factor común a y en el segundo binomio se saca
como factor común b
a(x + y) + b(x + y)
PASO 3: El polinomio de 4 termino se convirtió en 2, donde el factor común es (x + y). Se
saca este como factor común. Quedando el polinomio factorizado
(x + y) (a + b)
Ej5.: Factorizar: rs + 5r + st + 5t
Sol:
En este ejercicio se agruparan en 2 binomios, en el primero escogiendo las “s” como
factor común y en el segundo escogiendo el “5” como factor común
rs + 5r + st + 5t = (rs + st) + (5r + 5t)
= s(r + t) + 5(r + t)
= (r + t)( s+5)
Ej6.: Factorizar: 8a3x + 6ab3x - 12a2by - 9b4y
Sol: En este ejercicio se agruparan el primero y segundo término y el tercer y cuarto
termino
8a3x + 6ab3x - 12a2by - 9b4y = (8a3x + 6ab3x) + (-12a2by - 9b4y)
= 2ax( 4a2 + 3b3 ) + 3by( -4a2 - 3b3)
= 2ax( 4a2 + 3b3 ) - 3by( 4a2 + 3b3)
= ( 4a2 + 3b3)( 2ax - 3by)
TALLER
Factorizar
1) x2 + 2xy +4xz - 8yz
2) 3ab - b - 4 + 12
3) 3a + ab + 3c bc
4) x2 - 2x + xy -2y
5) p2 - 2pq + pr - 2qr
6) 3hk - 2k - 12h + 8
7) 2ab - 6ac + 3b - 9c
8) 6ax + 8bx + 15ay + 20by
9) m2x + mnx - mny - n2y
10) 6p2t + 8q3t - 12p2k - 16q3k
11) m2 + 2mn +4mz - 8nz
12) s2 - 2sq - 2qr+ sr
13) 8 + 3ak - 2k - 12a
14) 2am - 2an + 2a - m + n - 1
15) 3ax - 2by - 2bx - 6a + 3ay + 4b
CASO III: (Trinomio Cuadrado Perfecto)
COMO SE FACTORIZA:
Después de ordenar se extrae La raíz cuadrada del primer y tercer termino
Se verifica que el producto de las raíces que se acaba de sacar del primer y
tercer término al ser multiplicadas por 2 corresponda exactamente al segundo
termino
Después de verificar que el paso anterior se cumple, se toman entonces la
raíces, se meten dentro de un paréntesis, se separan por el signo que tiene el
segundo término del trinomio y se eleva al cuadrado el paréntesis
Ej7.: Factorizar: a2 + 2ab + b2
Sol:
PASO 1: Se le saca la raíz cuadrada a: “a2 “y a “ b2
√a2 = a (Raíz cuadrad del primer término)
√b2 = b (Raíz cuadrad del segundo término)
PASO 2: Vemos que al multiplicar 2 x a x b se obtiene 2ab, que corresponda
exactamente al segundo termino
PASO 3: Se toman las raíces se meten en u paréntesis, se separa por el signo del
segundo término y se eleva al cuadrado
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
√a2 √b2
a b
2ab
Factorizar: 4x2 + 25y2 - 20xy
Sol:
Ordenando se tiene 4x2 - 20xy + 25y2 = ( 2x – 5y)2
2x 5y
por
2.(2x).(5y)
II
20xy
TALLER
Factorizar
1) x2 + 2x + 1
2) 9b2 - 4b + 12
3) 3a - 30a2 b + 25a4
4) 16x6 - 2x3y2 +
y4
16
5) 49m6 + 70am3 n2 + 25a2n4
6) 16 - 104x2 + 169x4
7)
n2
9 + 2mn + 9m2
8) 1 +
2b3
+ b2
9
9) a2 + 2a(a+b) + (a+b)2
10) 400x10 + 40x5 + 1
11) a2 - 24am2x2 + 144m4x4
12) 1 - 14x2y + 49x4y2
EVALUACION
1-. Descomponer en dos factores las expresiones siguientes:
1. 64 + a 6 R. (4 + a 2)(16 - 4a 2 + a 4)
2. a 3 – 125 R. (a - 5)(a 2 + 5a + 25)
3. 1 - 216m 3 R. (1 - 6m)(1 + 6m + 36m 2)
4. 8a 3 + 27b 6 R. (2a + 3b 2)(4a 2 - 6ab 2 + 9b 4)
5. x 6 - b 9 R. (x 2 - b 3)(x 4 + b 3x 2 + b 6)
6. 8x 3 - 27y 3 R. (2x - 3y )(4x 2 + 6x y + 9y 2)
7. 1 + 343n 3 R. (1 + 7n )(1 - 7n + 49n 2)
8. 1 + a 3 R. (1 + a )(1 - a + a 2)
9. 1 - a 3 R. (1 - a )(1 + a + a 2)
10. x 3 + y 3 R. (x + y )(x 2 - x y + y 2)
2-. Factorizar por el método del cubo de un binomio (ordenándolas previamente):
1. x 3-3x 2 + 3x + 1 R. No es perfecto
2. 8 + 12a 2 + 6a 4 + a 6 R. (a 2 + 2 )3
3. 8x 3 - 36a 2b + 54ab 2 - 27b 3 R. (2a - 3b )3
4. 27m 3 + 108m 2n + 144mn 2 + 64n 3 R. (3m + 4n )3
5. 1 + 12a 2b - 6ab - 8a 3b 3 R.No es perfecto
6. a 3 + 3a 2 + 3a + 1 R. (a + 1)3
7. 27 - 27x + 9x 2 - x 3 R. (3 - x)3
8. 1 + 3a 2 - 3a - a 3 R. (1 - a)3
3-. Factorar o descomponer en dos factores:
1. (5x)2 + 13(5x) + 42 R. (5x + 7)(5x + 6)
2. x 2 + 2ax - 15a 2 R. (x + 5a)(x - 3a )
3. a 2 - 4ab - 21b 2 R. (a - 7b )(a + 3b )
4. (x - y )2 + 2(x - y ) – 24 R. (x - y + 6)(x - y - 4)
5. 5 + 4x - x 2 R. (x + 1)(5 - x )
6. x 10 + x 5 - 20 R. (x 5 + 5)(x 5 - 4)
7. m 2 + mn - 56n 2 R. (m + 8n )(m - 7n )
8. x 4 + 7ax 2 - 60a 2 R. (x 2 + 12a )(x 2 - 5a )
9. (2x )2 - 4(2x ) + 3 R. (2x - 3)(2x - 1)
10. (m - n )2 + 5(m - n ) - 24 R. (m - n + 8)(m - n - 3)
BIBLIOGRAFIA
NUEVO ALFA 8® GRUPO EDITORIAL NORMA VLADIMIR MORENO G ALGEBRA AURELIO BALDOR MATEMATICA CONSTRUCTIVA 8® EDIT LIBROS Y LIBROS S.A 1997 GUSTAVO CENTENO ESPIRAL 8® MATEMATICA APLICADA MCGRAW-HILL SUPERMAT 8® WWW.WIKIPEDIA.COM