PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI - … Besar Program Studi Matematika, terima kasih atas...
Transcript of PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI - … Besar Program Studi Matematika, terima kasih atas...
METODE KUADRAT TERKECIL TERBOBOT UNTUK
MEMINIMALKAN GALAT PADA PENGUKURAN JARINGAN
KETINGGIAN
MAKALAH
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat
Memperoleh Gelar Sarjana Matematika
Program Studi Matematika
Disusun Oleh :
Sisilia Nov Ciptaning Pradini
103114018
PROGRAM STUDI MATEMATIKA
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS SANATA DHARMA
YOGYAKARTA
2015
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ii
WEIGHTED LEAST SQUARES METHOD TO MINIMIZE THE ERROR IN
THE MEASUREMENTS OF HEIGHT NETWORK
PAPER
Presented as Partial Fulfillment of the Requirements
To Obtain the Degree of Sarjana Matematika
Mathematics Study Program
By :
Sisilia Nov Ciptaning Pradini
103114018
MATHEMATICS STUDY PROGRAM
DEPARTMENT OF MATHEMATICS
FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY
SANATA DHARMA UNIVERSITY
YOGYAKARTA
2015
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
MAKALAII
METODE KUADRAT TERKECIL TERBOBOT T]NTT]K MEMIMMALKAI\
GALAT PADA PENGUKURAN JARINGAI\I KETINGGIAN
Disusun oleh :
Sisilia Nov Ciptaning Pradini
Dr.rer.nat. Herry Pribawanto Suryawan tanggal 16 Februari 2015
ilt
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PERT{YATAAN KEASLIAN KARYA
Saya menyatakan dengan sesungguhnya, bahwa makalah yang saya tulis ini tidak
memuat karya atau bagian karya orang lain, kecuali yang telah disebutkan dalam
kutrpan dan daftar pustaka sebagai mana layaknya karya ilmiah.
Yogyakarta 27 Februari 2015
""-wSisilia Nov Ciptaning Pradini
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
LEMBAR PER}IYATAAN PERSETUJUAN
PIJBLIKASI KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAI\ AKADEMIS
Yang bertanda tangan di bawatr ini, saya matrasiswa Universitas Sanata Dharma :
Nama : SisiliaNov Ciptaning Pradini
Nomormahasiswa : 103114018
Demi pengembangan ilmu pengetahuan, saya memberikan kepada PerpustakaanUniversitas Sanata Dharma karya ilmiah saya yang berjudul :
Metode Kuadrat Terkecil Tebobot untuk Meminimalkan Galat padaPengukuran Jaringan Ketinggian
beserta perangkat yang diperlukan (bila ada). Dengan demikian saya memberikankepada Perpustakaan Universitas Sanata Dharma hak untuk menyimpn, mengalihkandalam bentuk media lain, mengelolanya dalam bentuk pangkalan datqmendistribusikan secara terbatas, dan mempublikasikannya di internet atau media lainuntuk kepentingan akademis tanpa perlu meminta ijin dari saya maupun memberikanroyalti kepada saya selamatetap mencantumkan narnasaya sebagai penulis.
Demikian pemyataan ini yang saya buat dengan sebenarnya.
Dibuat di Yogyakarta
Pada tanggal : 3 Februari 2015
Yang menyatakan
(Sisilia Nov Ciptaning Pradini)
vt
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
vii
MOTTO DAN PERSEMBAHAN
“There Is No Elevator to Success,
You’ve to Take The Stairs”
Ku persembahkan Tugas akhir ini kepada :
My beloved Jesus
Mama dan Bapakku tercinta
Adik-adikku tersayang Fifin, Benny dan Ella
Teman-teman teralienku Anes, Bibi, Nyai, Yoyo, Juna, dan Ayu
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
viii
ABSTRAK
Dalam pengukuran ketinggian, masalah utamanya adalah menentukan titik-titik
tinggi dengan ukuran galat sekecil mungkin. Salah satu metode yang dapat
meminimalkan galat pada pengukuran ketinggian adalah metode kuadrat terkecil
tebobot.
Tugas akhir ini bertujuan untuk menunjukan hubungan antara masalah jaringan
ketinggian dengan sebuah graf dimana titik-titik tinggi dilambangkan dengan simpul
dan beda ketinggian dilambangkan dengan ruas. Kemudian masalah jaringan
ketinggian yang telah direpresentasikan dengan sebuah graf akan diselesaikan dengan
meggunakan metode kuadrat terkecil tebobot. Pada bagian akhir tugas akhir ini, akan
diberi contoh penerapan dari sebuah graf yang mempresentasikan suatu masalah
jaringan ketinggian dan penyelesaiaannya dengan menggunakan metode kuadrat
terkecil tebobot.
Kata Kunci : galat, jaringan ketinggian, metode kuadrat terkecil terbobot, graf,
simpul, ruas.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ix
ABSTRACT
In the measurements of height, the main problem is to find the point of height which
the size of error as small as possible. One method that can minimize the error in the
measurements of height is weighted least squares.
This paper aims to show the relation of height network with a graph in which the
points of height are assigned by nodes and the differences of height are assigned by edges.
Then the height network’s problems that have been represented by a graph will be solved by
weighted least squares method. At the end of this paper will be given an example of the
application of a graph that presented a height network’s problem and it’s solution by
weighted least squares method.
Keywords : error, height network, weighted least squares, graph, node, edge.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
x
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur penulis haturkan kepada Tuhan Yesus Kristus dan Bunda Maria
atas berkatNya yang selalu menyertai penulis dalam menyelesaikan tugas akhir ini.
Penulis menyadari, tugas akhir ini tidak akan selesai tanpa bantuan dari
berbagai pihak, untuk itu dalam kesempatan ini, penulis ingin mengucapkan terima
atas segala bimbingan, dorongan, semangat, sehingga tugas akhir ini terselesaikan
dengan baik, kepada:
1. Ibu Paulina Heruningsih Prima Rosa, S.Si., M.Sc., selaku Dekan Fakultas Sains
dan Teknologi Universitas Sanata Dharma.
2. Bapak Y.G.Hartono, Ph.D., selaku Ketua Program Studi Matematika
Universitas Sanata Dharma.
3. Bapak Dr.rer.nat. Herry Pribawanto Suryawan selaku dosen pembimbing yang
dengan penuh kesabaran, kesungguhan hati serta memberikan banyak ide serta
masukan kepada penulis dalam menyelesaikan tugas akhir ini.
4. Ir. Ignatius Aris Dwiatmoko, M.Sc. yang telah memberikan ide dan masukan
untuk menulis tugas akhir ini dan selaku dosen pembimbing akademik.
5. Seluruh Dosen Program Studi Matematika serta karyawan Fakultas Sains dan
Teknologi. Terima kasih atas bimbingan, doa dan pelajaran yang diberikan
selama berkuliah di Universitas Sanata Dharma.
6. Keluargaku tercinta, my big bos Paternus Dithu dan bu presdir Setyaning
Prihati yang senantiasa memberi dukungan, semangat dan mendoakan anaknya
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xi
yang selalu bikin panik ini. Terima kasih atas kesabaran dan kasih sayang
dalam mendidik anak-anaknya. Adik-adik penulis Fifin, Beni, Ella.
7. Sahabat-sahabat penulis di Program Studi Matematika , Anes, Bibi, Nyai, Juna,
Yoyo, Selly, Aster, Ayu, Arga, Tika, Ratri, Pandu, Roy, Yohan, yang selalu
setia mendengar keluh kesah, menemani dan memberi semangat untuk penulis
yang sangat berarti.
8. Keluarga Besar Program Studi Matematika, terima kasih atas segala dukungan
dan bantuannya kepada penulis.
9. Teman-teman sekaligus keluarga penulis, Mbak Rub yang selalu siap
menyediakan keperluan penulis, Apin, Mbak Astrid, Mbak Arin yang terus
memberi semangat, dukungan dan doa. Banyak suka dan duka telah kita lewati
bersama selama ini.
10. Semua pihak yang telah mendukung dan membantu penulis dalam
menyelesaikan tugas akhir ini yang tidak dapat disebutkan satu per satu. Terima
kasih banyak atas semua bantuannya.
Akhirnya penulis menyadari bahwa tugas akhir ini memiliki berbagai
kekurangan. Oleh karena itu penulis mengharapkan kritik dan saran dari pembaca.
Semoga tugas akhir ini dapat menjadi referensi bagi rekan-rekan dalam
mengembangkan ilmu pengetahuan.
Yogyakarta, 11 Februari 2015
Penulis
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xii
DAFTAR ISI
JUDUL ...................................................................................................................................... i
HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING .................................................................... iii
HALAMAN PENGESAHAN................................................................................................. iv
PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ................................................................................... v
LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH ................... vi
MOTTO DAN PERSEMBAHAN ......................................................................................... vii
ABSTRAK ............................................................................................................................ viii
ABSTRACT ............................................................................................................................ ix
KATA PENGANTAR .............................................................................................................. x
BAB I : PENDAHULUAN ....................................................................................................... 1
I.1 Latar belakang ........................................................................................................... 1
I.2 Rumusan Masalah ..................................................................................................... 6
I.4 Tujuan Penulisan ....................................................................................................... 7
I.5 Metode Penulisan ...................................................................................................... 7
I.6 Manfaat Penulisan ..................................................................................................... 7
I.7 Sistematika Penulisan ................................................................................................ 7
BAB II : LANDASAN TEORI ............................................................................................... 10
II.1 Matriks Singular dan Tak singular .......................................................................... 10
II.2 Ruang Vektor........................................................................................................... 11
II.3 Ruang Bagian .......................................................................................................... 13
II.4 Kebebasan Linear .................................................................................................... 14
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xiii
II.5 Basis dan Dimensi ................................................................................................... 18
II.6 Ruang Baris dan Ruang Kolom ............................................................................... 22
II.7 Rank ......................................................................................................................... 24
II.8 Ruang Nol (Kernel/ Nullspace) ............................................................................... 25
II.9 Ruang Hasil Kali Dalam .......................................................................................... 27
II.10 Norma ...................................................................................................................... 28
II.11 Ortogonalitas ........................................................................................................... 33
II.12 Metode Kuadrat Terkecil ......................................................................................... 34
II.13 Matriks Definit Positif ............................................................................................. 37
II.14 Konsep-Konsep Penting Dalam Statistika ............................................................... 37
II.15 Dasar-Dasar Teori Graf ........................................................................................... 39
BAB III : JARINGAN KETINGGIAN .................................................................................. 44
III.1 Pengukuran Ketinggian dengan Menggunakan Metode Kuadrat Terkecil .............. 44
III.2 Kuadrat Terkecil Terbobot ...................................................................................... 66
III.3 Jaringan Ketinggian Dan Graf ................................................................................. 70
BAB IV : PENUTUP .............................................................................................................. 81
IV.1 Kesimpulan .............................................................................................................. 81
IV.2 Saran ........................................................................................................................ 82
Daftar Pustaka ......................................................................................................................... 83
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BAB I
PENDAHULUAN
I.1 Latar Belakang
Pada kehidupan sekarang ini, tak dapat dipungkiri bahwa manusia sangat
membutuhkan teknologi demi membantu kelangsungan hidup mereka. Contohnya
adalah manusia sekarang tidak pernah terlepas dari alat komunikasi jarak jauh yang
disebut handphone. Handphone selain dapat membantu manusia untuk dapat
berkomunikasi dari jarak jauh, handphone juga dilengkapi dengan fitur-fitur yang
semakin memanjakan penggunanya. Contohnya adalah fitur kamera, radio, games,
dan lain-lain. Semakin mahal harga handphone maka biasanya semakin lengkap fitur
yang dimilikinya. Salah satu fitur yang dimiliki sebuah handphone adalah GPS. GPS
tidak hanya terdapat pada handphone, tetapi banyak dijumpai juga di mobil. Hal ini
dikarenakan oleh fungsi GPS yang membantu pengguna sebagai penunjuk arah.
GPS (Global Positioning System) adalah sistem satelit navigasi dan penentuan
posisi sebuah objek yang terletak pada permukaan bumi. Teknologi yang dimiliki dan
dikelola oleh Amerika Serikat ini pada awalnya dikembangkan untuk kepentingan
militer. Namun, mengingat kegunaannya terutama dalam bidang navigasi serta
geografi, maka dalam perjalanannya sistem ini juga dikembangkan untuk keperluan
sipil. GPS didesain untuk memberikan informasi dalam menentukan letak/posisi,
kecepatan, percepatan, dan waktu yang teliti.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
2
Gambar 1.1 (Global Positioning System)
Dalam menentukan posisi dan letak pada GPS, manusia membutuhkan ilmu
pengetahuan tentang bumi yang disebut geodesi. Menurut IAG (International
Association of Geodesy), geodesi adalah ilmu yang mempelajari pengukuran dan
perepresentasian dari bumi dan benda-benda langit lainnya, termasuk medan gaya
beratnya masing-masing dalam ruang tiga dimensi yang berubah dengan waktu.
Dengan kata lain, geodesi adalah ilmu yang mempelajari tentang bentuk dan ukuran
bumi termasuk berat dan kepadatannya. Dalam prakteknya, ilmuwan geodesi
mengadakan pengamatan dan pengukuran secara teliti untuk menentukan posisi titik
pada permukaan bumi untuk dipetakan.
Salah satu faktor yang berpengaruh dalam menentukan letak dan posisi pada
GPS dengan mengacu pada ilmu geodesi adalah ketinggian. Ketinggian suatu tempat
atau daerah diperoleh dari percobaan-percobaan serta pengukuran matematis. Arti
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
3
pengukuran secara umum menurut Umar (1991) adalah kegiatan yang sistematis
untuk mendapatkan informasi mengenai suatu objek secara kuantitatif dengan alat
ukur yang dimiliki. Seringkali dalam melakukan pengukuran ketinggian, data yang
didapat untuk suatu tempat tidak selalu akurat karena terdapat galat (kesalahan/error).
Galat yang dimaksud di sini adalah kesalahan dalam proses pengambilan data.
Menurut buku karangan Suntoyo Yitnosumarto (1993), galat adalah keanekaragaman
(variabilitas) hasil pengukuran yang disebabkan oleh ketidakmampuan materi
pengukuran atau objek pengukuran untuk berperilaku sama dalam pengukuran
tersebut. Galat dapat berfungsi untuk menunjukkan efisiensi dari satu jenis
pengukuran ke pengukuran yang lain. Secara normal, yang diharapkan dalam
pengukuran adalah galat yang bernilai kecil. Untuk itu dibutuhkan metode matematis
yang dapat meminimalkan galat pada pengukuran tersebut (dalam hal ini pengukuran
ketinggian).
pengukuran 1 pengukuran 1 Pengukuran 1
galat
Objek pengukuran
Bagan (1.1)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
4
Bagan (1.1) menjelaskan pengukuran suatu objek yang dilakukan beberapa
kali. Pengukuran-pengukuran tersebut menghasilkan galat. Selanjutnya, galat
tersebut akan diestimasi untuk memperkirakan ukuran atau bentuk objek yang
sesungguhnya.
Salah satu metode yang dapat membantu meminimalkan galat adalah metode
kuadrat terkecil. Matematikawan besar dari Jerman, Carl Friedrich Gauss adalah
salah satu pencetus ide tentang metode kuadrat terkecil. Selain Gauss ada beberapa
penemu lainnya yaitu Adrien Marie Legendre pada tahun 1805 dan Robert Adrian
tahun 1808. Prinsip dari metode kuadrat terkecil adalah meminimalisasi jumlah
kuadrat deviasi data dari pengukuran yang didapat.
Persamaan untuk meminimalisasi jumlah galat pada metode kuadrat terkecil
adalah x = b, dengan adalah matriks koefisien yang berukuran m x n dan b adalah
vektor yang berisi hasil-hasil pengukuran yang didapat dari data. Dalam hal ini harus
dicari vektor sehingga ‖ ‖ seminimal mungkin, dengan ‖ ‖ adalah
panjang vektor . Maksudnya adalah harus dicari sebuah vektor untuk
yang terdekat ke .
Misalkan = ‖ ‖, menotasikan galat pada perhitungan. Biasanya
jarang ditemukan = 0. Jika = 0 maka perhitungan x adalah perhitungan yang
eksak untuk persamaan Ax = b. Jadi harus ditemukan , sehingga ukuran =
‖ ‖ adalah yang paling kecil. Sebut adalah solusi metode kuadrat terkecil.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
5
Yang dimaksud terkecil adalah jumlah kuadrat dari elemen-elemen Ax - b
diminimalisasikan.
Dalam mengukur ketinggian, masalahnya adalah menemukan x1,x2,...,xn
dimana n ditentukan dan x1,x2,...,xn adalah titik-titik ketinggian yang akan dicari.
Sebagai contoh, patokan-patokan pada gambar (1.1) di bawah melambangkan setiap
titik x1,x2,...,x10
Gambar 1.1
Seringkali, dalam mengukur ketinggian, yang kita lakukan adalah
menghitung beda tinggi dari satu titik ke titik yang lain. Maksud dari beda tinggi
adalah jarak vertikal antara dua bidang datar yang melalui kedua titik tersebut (lihat
gambar 1.2). Dalam hal ini, beda dari titik x1 ke titik x2 sama dengan jarak vertikal
dari titik ke titik .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
6
Gambar 1.2
Makalah ini akan membahas lebih lanjut tentang minimalisasi galat pada
pengukuran ketinggian dengan menggunakan metode kuadrat terkecil terbobot..
I.2 Rumusan Masalah
a. Apa yang dimaksud dengan metode kuadrat terkecil terbobot?
b. Bagaimana menerapkan metode kuadrat terkecil terbobot tersebut ke
dalam data jaringan ketinggian yang didapat?
I.3 Batasan Masalah
a. Perhitungan galat ini dilakukan hanya pada matriks yang mempunyai
rank kolom penuh.
b. Makalah ini tidak membahas secara rinci tentang statistik. Dalam hal ini,
tidak akan dibahas secara mendalam mengenai bagaimana memperoleh
variansi yang akan digunakan sebagai entri-entri dari matriks terbobot.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
7
I.4 Tujuan Penulisan
a. Memahami metode kuadrat terkecil dalam meminimalkan galat dari suatu
hasil pengukuran.
b. Memahami bagaimana metode kuadrat terkecil terbobot diaplikasikan
dalam jaringan ketinggian.
c. Mengaplikasikan graf sebagai representasi dari jaringan untuk membantu
memecahkan masalah menentukan titik-titik ketinggian.
I.5 Metode Penulisan
Metode yang digunakan adalah studi pustaka dengan menggunakan buku-
buku referensi sebagai acuan penulisan serta pengambilan data.
I.6 Manfaat Penulisan
a. Dapat mengaplikasikan metode kuadrat terkecil untuk meminimalkan
galat pada pengukuran jaringan ketinggian.
b. Membantu berbagai pihak dalam mengukur ketinggian agar galat dari
hasil pengukuran yang diperoleh dapat diminimalkan.
I.7 Sistematika Penulisan
Bab I : Pendahuluan
I.1 Latar Belakang
I.2 Batasan Masalah
I.3 Rumusan Masalah
I.4 Tujuan Penulisan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
8
I.5 Metode Penulisan
I.6 Manfaat Penulisan
I.7 Sistematika Penulisan
Bab II : Landasan Teori
II.1 Matriks Singular dan Taksingular
II.2 Ruang Vektor
II.3 Kebebasan Linear
II.4 Basis dan Dimensi
II.5 Ruang Baris dan Ruang Kolom
II.6 Rank
II.7 Ruang Nol (Kernel)
II.8 Ruang Hasil Kali Dalam
II.9 Norma
II.10 Ortogonalitas
II.11 Metode Kuadrat Tekecil
II.12 Matriks Definit Positif
II.13 Konsep-Konsep Penting Dalam Statistika
A. Nilai Harapan Variabel Random
B. Variansi Variabel Random
C. Kovariansi dari Dua Variabel Random
II.14 Dasar-Dasar Teori Graf
A. Teori Graf
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
9
B. Graf Berarah
C. Graf Lengkap
Bab III : Jaringan Ketinggian
III.1 Pengukuran Ketinggian dengan Menggunakan Metode
Kuadrat Terkecil
III.2 Kuadrat Terkecil Terbobot
III.3 Jaringan Ketinggian dan Graf
Bab IV : Penutup
IV.1 Kesimpulan
IV.2 Saran
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BAB II
LANDASAN TEORI
II.1 Matriks Singular dan Tak singular
Definisi (2.1) : Suatu matriks A berorde n x n dikatakan tak singular (nonsingular)
atau dapat dibalik (invertible) jika terdapat matriks B, sehingga AB = BA = I. Matriks
B disebut sebagai invers perkalian (multiplicative inverse) dari A.
Jika B dan C keduanya adalah invers perkalian dari A, maka :
B = BI = B(AC) = (BA)C = IC = C
Jadi, satu matriks memiliki paling banyak satu invers perkalian.
Definisi (2.2) : Suatu matriks n x n dikatakan singular jika tidak memiliki invers
perkalian.
Sebut invers perkalian dari suatu matriks taksingular A sebagai invers dari A dan
ditulis sebagai .
Contoh :
Matriks-matriks 0
1 dan *
+
adalah saling invers karena,
0
1 [
] 0
1
dan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
11
[
] 0
1 0
1
Teorema (2.1)
Suatu matriks A berorde n x n adalah singular jika dan hanya jika
( )
Bukti (Leon, teorema 2.2.2, hal.90)
II.2 Ruang Vektor
Misalkan adalah himpunan tak kosong di mana didefinisikan operasi-
operasi penjumlahan dan perkalian dengan skalar. Artinya bahwa untuk setiap
pasangan elemen-elemen dan di dalam dapat diasosiasikan dengan elemen
yang tunggal yang juga berada di , dan dengan setiap elemen di dan
setiap skalar , dapat diasosiasikan dengan elemen yang tunggal di dalam .
Himpunan bersama-sama dengan operasi-operasi penjumlahan dan perkalian
dengan skalar dikatakan membentuk ruang vektor jika aksioma-aksioma berikut
dipenuhi :
A.1. untuk setiap dan di
A.2. ( ) ( ) untuk setiap di
A.3. Terdapat elemen 0 di sehingga = untuk setiap di
A.4. Untuk setiap terdapat elemen – di sehingga (- )
A.5. ( ) untuk setiap skalar dan setiap di
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
12
A.6. ( ) = untuk setiap skalar dan dan setiap
A.7. ( ) ( ) untuk setiap skalar dan dan setiap
A.8. 1. = setiap
Elemen-elemen dari V disebut vektor. Istilah skalar biasanya adalah suatu bilangan
real, meskipun dalam beberapa kasus adalah bilangan kompleks. Seringkali istilah
ruang vektor real digunakan untuk menyatakan bahwa himpunan skalar-skalar adalah
himpunan bilangan-bilangan real. Simbol 0 telah digunakan dalam Aksioma 3 untuk
membedakan vektor nol dan skalar 0.
Beberapa contoh Ruang vektor :
1. Ruang vektor Euclides
Himpunan semua pasangan terurut dengan entri-entri bilangan real:
*( )| +
2. Ruang vektor
Misalkan himpunan semua matriks dengan entri-entri bilangan
real. Jika ( ) dan ( ), maka jumlahan didefinisikan sebagai
matriks ( ) yang berorde . Jika diberikan skalar , maka dapat
didefinisikan sebagai matriks dimana entri ke- adalah .
3. Ruang vektor , -
Misalkan , - menyatakan himpunan semua fungsi bernilai real yang
didefinisikan dan kontinu pada interval tertutup , -. Dalam kasus ini himpunan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
13
semestanya adalah himpunan fungsi-fungsi. Jadi vektornya adalah fungsi-fungsi di
, -. Jumlah dari dua fungsi di , - didefinisikan oleh
( )( ) ( ) ( ),
untuk semua di , -. Fungsi yang baru dari adalah elemen dari , -,
karena jumlahan dari fungsi kontinu adalah kontinu. Jika adalah fungsi di , -
dan suatu bilangan real, maka didefinisikan oleh
( )( ) ( ),
untuk semua di , -. Jelas bahwa berada di dalam , - karena jika konstan
dikalikan dengan fungsi kontinu selalu kontinu.
4. Ruang vektor
Misalkan adalah himpunan semua polinom dengan derajat . Untuk
dan didefinisikan dan oleh
( )( ) ( ) ( )
dan
( )( ) ( )
II.3 Ruang Bagian
Definisi (2.3) : Jika S adalah subhimpunan tak kosong dari suatu ruang vektor . Dan
memenuhi syarat-syarat berikut :
1.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
14
2.
maka disebut ruang bagian (subspace) dari .
Contoh :
Misalkan *( ) | +. Maka adalah ruang bagian dari , karena
jika ( ) , maka :
1. ( ) .
jika ( ) dan ( ) maka :
2. ( ) ( )
( )
II.4 Kebebasan Linear
Pada bagian ini, akan dibatasi pada ruang-ruang vektor yang dibentuk dari
himpunan-himpunan berhingga. Setiap vektor dalam ruang vektor yang bersangkutan
dapat dibentuk dari elemen-elemen dalam himpunan penghasil ini hanya dengan
menggunakan operasi-operasi penjumlahan dan perkalian skalar. Himpunan
penghasil ini biasanya disebut himpunan perentang. Lebih khususnya akan dicari
himpunan perentang “minimal”. Kata minimal maksudnya adalah himpunan
perentang tanpa elemen yang tidak diperlukan (artinya, semua elemen dalam
himpunan tersebut diperlukan untuk merentang ruang vektor yang bersangkutan).
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
15
Untuk melihat bagaimana mencari himpunan perentang yang minimal perlu
diperhatikan bagaimana vektor-vektor di dalam himpunan saling “bergantung” satu
sama lain.
vektor-vektor dalam ruang vektor disebut bebas linear
(linearly independent) jika
mengakibatkan semua skalar harus sama dengan 0.
Contoh :
Vektor-vektor . /dan .
/ adalah bebas linear, karena jika
. / .
/ .
/
yaitu
maka satu-satunya penyelesaian dari sistem ini adalah dan .
vektor-vektor , dalam ruang vektor disebut bergantung
linear (linearly dependent) jika terdapat skalar-skalar yang tidak
semuanya nol sehingga
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
16
Contoh :
Diberikan. Vektor-vektor ( ) (
) (
) (
) adalah
bergantung linear karena apabila
( ) (
) (
) (
) (
)
maka diperoleh :
Dalam kasus ini = 1, , , , jadi
.
Teorema (2.2)
Misalkan adalah vektor dalam dan misalkan
( )
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
17
untuk . Jika ( ), maka vektor-vektor
adalah bergantung linear jika dan hanya jika adalah matriks singular.
Bukti (Leon, teorema 3.3.1, hal.122)
Teorema (2.2) dapat digunakan untuk menguji apakah vektor adalah bebas
linear atau bergantung linear dalam . Langkah awalnya adalah bentuk suatu
matriks yang elemen-elemennya adalah vektor-vektor yang akan diuji kebebasan
linearnya, sebut matriks itu adalah matriks . Untuk menentukan apakah matriks
singular atau tidak, hitunglah nilai dari det( ). Jika det( )= 0, maka vektor-
vektornya bergantung linear. Jika det ( ) ≠ 0 maka vektor-vektornya bebas linear.
Contoh :
Tentukan apakah vektor-vektor ( ) ( ) dan ( ) bergantung linear
atau bebas linear?
Penyelesaian :
Misalkan X = (
). Untuk menentukan apakah matriks singular atau tidak
singular adalah dengan mencari nilai determinannya
( ) |
| |
| |
|
( ) ( ) ( )
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
18
.
Karena ( ) , maka menurut teorema (2.2), vektor-vektor tersebut adalah
bergantung linear.
II.5 Basis dan Dimensi
Definisi (2.4) : Vektor-vektor membentuk basis untuk ruang vektor
jika dan hanya jika :
i. bebas linear
ii. merentang
Contoh :
“Basis baku” untuk adalah { ( ) (
) (
)}, akan tetapi
terdapat banyak basis untuk yang dapat dipilih untuk (basis dari ruang vektor
tidak tunggal). Sebagai contoh
{( ) (
) (
)} dan {(
) (
) (
)}
kedua-duanya adalah basis untuk karena kedua-duanya memenuhi syarat basis
yaitu merentang dan bebas linear.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
19
Buktinya adalah :
Diberikan {( ) (
) (
)}, maka :
1. Harus dibuktikan bahwa himpunan vektor-vektor di atas merentang
4 5 (
) (
) (
)
Menghasilkan :
maka,
jadi, 4 5 ( ) (
) ( ) (
) ( ) (
)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
20
sehingga ketiga vektor tersebut merentang .
2. Harus dibuktikan bahwa ketiga vektor tersebut bebas linear.
(
| ) (
| ) (
| )
(
| ) (
| )
(
| )
Jadi, . Maka, ketiga vektor di atas adalah bebas linear.
Terbukti bahwa himpunan vektor {( ) (
) (
)} adalah merentang dan bebas
linear. Maka himpunan vektor tersebut adalah basis untuk .
Teorema (2.3)
Jika * + adalah basis dari suatu ruang vektor , maka himpunan sebarang
vektor di , dengan adalah bergantung linear.
Bukti (Leon, teorema 3.4.1, hal.129)
Akibat (2.3.1)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
21
Jika * + dan * + kedua-duanya adalah basis untuk suatu
ruang vektor , maka .
Bukti (Leon, akibat 3.4.2, hal. 130)
Definisi (2.5) : Misalkan adalah ruang vektor. Jika memiliki basis yang terdiri
dari vektor, maka dapat dikatakan bahwa memiliki dimensi . Ruang bagian * +
dari dikatakan memilik dimensi 0. dikatakan memiliki dimensi hingga jika
terdapat himpunan berhingga vektor yang merentang dan bebas linear; jika tidak
demikian, maka dapat dikatakan bahwa memiliki dimensi tak hingga.
Contoh :
Ruang vektor memiliki basis * +. Karena terdapat vektor dalam
basis tersebut, maka memiliki dimensi n.
Conotoh :
Teorema (2.4)
Jika adalah ruang vektor dengan dimensi
1. Sembarang himpunan n vektor bebas linear merentang
2. Sembarang himpunan vektor yang merentang adalah bebas linear.
Bukti (Leon, Teorema 3.4.3, hal. 131)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
22
Contoh :
Tunjukkan bahwa {( ) (
) ( )} adalah basis untuk .
Karena dim , maka hanya perlu ditunjukkan bahwa ketiga vektor ini bebas
linear.
Misalkan (
), maka
( ) |
| |
| |
|
( ) ( )
Karena ketiga vektor di atas bebas linear, maka menurut teorema (2.4) ketiga vektor
di atas merentang . Jadi ketiga vektor di atas adalah basis untuk .
II.6 Ruang Baris dan Ruang Kolom
Jika adalah matriks berorde , maka setiap baris dari adalah tupel-n
bilangan-bilangan real sehingga dapat dianggap sebagai vektor dalam . vektor
yang bersesuaian dengan baris-baris dari akan disebut sebagai vektor-vektor baris
(row vector) dari . Dengan cara yang serupa, setiap kolom dari dapat dianggap
sebagai vektor dan dapat diasosiasikan vektor kolom dengan matriks .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
23
Definisi (2.6) : Jika adalah matriks berorde , maka ruang bagian dari
yang direntang oleh vektor-vektor baris dari disebut ruang baris (row space) dari
dilambangkan dengan ( ) . Ruang bagian dari yang direntang oleh vektor-
vektor kolom dari disebut ruang kolom (column space) dari dilambangkan
dengan ( ).
Contoh :
Misalkan .
/
Ruang baris dari adalah himpunan tiga tupel yang berbentuk
( ) ( ) ( )
Ruang kolom dari adalah himpunan semua vektor yang berbentuk
. / .
/ .
/ .
/
Jadi ruang baris dari adalah ruang bagian berdimensi dua dari dan ruang
kolom dari adalah .
Teorema (2.5)
Dua matriks A dan B yang ekivalen baris (B dapat dibetuk dari A dengan serangkaian
operasi baris yang berhingga banyaknya, yaitu vektor-vektor baris dari B merupakan
kombinasi linear dari vektor-vektor baris dari A) memiliki ruang baris yang sama.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
24
Bukti (Leon, teorema 3.6.1, hal. 144)
II.7 Rank
Rank dari suatu matriks adalah dimensi dari ruang baris dari . Untuk
menentukan rank dari suatu matriks dapat dilakukan dengan cara mereduksi matriks
yang bersangkutan menjadi bentuk eselon baris. Baris-baris taknol dari matriks
eselon baris akan membentuk basis untuk ruang barisnya.
Contoh :
Misalkan
(
)
Dengan mereduksi menjadi bentuk eselon baris
(
) (
) (
)
(
) (
)
maka diperoleh matriks
(
)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
25
Jelas bahwa ( ) dan ( ) membentuk basis untuk ruang baris dari . Karena
dan ekivalen baris, maka matriks memiliki ruang baris yang sama dengan
matriks sehinga rank dari adalah 2.
II.8 Ruang Nol (Kernel/ Nullspace)
Misalkan adalah matriks . Misalkan ( ) menyatakan himpunan
semua penyelesaian dari sistem homogen , maka :
( ) * | +
Akan ditunjukan bahwa ( ) adalah ruang bagian dari sebagai berikut :
Jika ( ) dan suatu skalar, maka
( )
sehingga ( ). ( ), maka :
( )
Oleh karena itu, ( ). Ini berarti bahwa ( ) ruang bagian dari .
Himpunan semua penyelesaian dari sistem homogen membentuk ruang
bagian dari . Ruang bagian ( ) disebut ruang nol (kernel atau nullspace) dari .
Contoh :
Tentukan ( ) jika
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
26
.
/
Penyelesaian : Dengan menggunakan reduksi Gauss-Jordan untuk menyelesaikan
, maka diperoleh :
.
| / .
| /
.
| / .
| /
Bentuk eselon baris tereduksi melibatkan dua variable bebas dan
jadi, jika didefinisikan = dan , maka
(
) (
) (
) (
)
adalah penyelesaian dari . Ruang vektor ( ) terdiri dari semua vektor
berbentuk
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
27
(
) (
)
di mana dan adalah skalar.
II.9 Ruang Hasil Kali Dalam
Hasil kali dalam pada ruang vektor adalah sebuah operasi pada yang
memetakan setiap pasang vektor-vektor , dengan sebuah bilangan real ⟨ ⟩
yang memenuhi syarat berikut :
i ⟨ ⟩ , dengan kesamaan jika dan hanya jika
ii ⟨ ⟩ ⟨ ⟩ untuk semua dan di dalam
iii ⟨ ⟩ ( ) ( ) untuk semua di dalam dan
semua skalar dan
Ruang vektor yang dilengkapi dengan sebuah hasil kali dalam disebut ruang hasil
kali dalam.
Sifat-sifat dasar ruang hasil kali dalam
Jika adalah sebuah vektor di dalam sebuah ruang hasil kali dalam , panjang atau
norma dari diberikan oleh
‖ ‖ √⟨ ⟩
Dua vektor dikatakan ortogonal jika ⟨ ⟩ = 0.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
28
Teorema (2.6) (Hukum Pythagoras)
Jika dan adalah vektor-vektor ortogonal di dalam sebuah ruang hasil kali dalam
, maka :
‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖
Bukti (Leon, teorema 5.3.1, hal. 203)
Teorema (2.7) (Ketaksamaan Cauchy-Schwarz)
Jika dan adalah vektor-vektor di dalam sebuah ruang hasil kali dalam , maka
|⟨ ⟩| ‖ ‖‖ ‖
Kesamaan berlaku jika dan hanya jika dan bergantung linear.
Bukti (Leon, teorema 5.3.2, hal. 206)
II.10 Norma
Definisi (2.7) : Sebuah ruang vektor dikatakan ruang linear bernorma
(normed linear space) jika untuk setiap vektor dikaitkan dengan sebuah
bilangan real ‖ ‖ yang disebut norma dari yang memenuhi :
i ‖ ‖ dengan kesamaan berlaku jika dan hanya jika
ii ‖ ‖ | |‖ ‖ untuk setiap skalar .
iii ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ untuk semua .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
29
Teorema (2.8)
Jika sebuah ruang hasil kali dalam, maka
‖ ‖ √⟨ ⟩ untuk semua
mendefinisikan sebuah norma pada .
Bukti (Leon, teorema 5.3.3, hal. 207)
Ada banyak norma yang dapat didefinisikan pada sebuah ruang vektor yang
diberikan. Sebagai contoh di :
i. ‖ ‖ ∑ | | , untuk setiap = ( )
ii. ‖ ‖ | |
iii. ‖ ‖ (∑ | |
)
⁄
Secara khusus, jika p = 2, maka :
‖ ‖ (∑| |
)
⁄
Bukti bahwa i, ii, iii adalah norma :
i. Misalkan ( ) ‖ ‖ | | | | | |
1. ‖ ‖ | | | | | |
‖ ‖
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
30
| | | | | |
| | dan | | dan dan | |
dan dan dan
2. ‖ ‖ | | | | | |
| || | | || | | || |
| |(| | | | | |)
| | ‖ ‖
3. Misalkan ( ) ‖ ‖ | | | | | |
‖ ‖ | | | | | |
| | | | | | | | | | | |
(| | | | | |) (| | | | | |)
‖ ‖ ‖ ‖
Jadi, terbutki bahwa (i) adalah norma.
ii. Misalkan ( ) ‖ ‖ *| | | | | |+
1. ‖ ‖ *| | | | | |+
Jelas bahwa nilai mutlak selalu bernilai positif maka ‖ ‖
‖ ‖
*| | | | | |+
| | dan | | dan dan | |
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
31
dan dan dan
2. ‖ ‖ *| | | | | |+
*| || | | || | | || |+
| |*| | | | | |+
| | *| | | | | |+
| | ‖ ‖
3. Misalkan ( ) ‖ ‖ *| | | | | |+
‖ ‖ *| | | | | |+
*| | | | | | | | | | | |+
*(| | | | | |) (| | | | | |)+
*| | | | | |+ *| | | | | |+
‖ ‖ ‖ ‖
Jadi terbukti bahwa (ii) adalah norma.
iii. Misalkan ( ) ‖ ‖ (∑ | |
)
⁄ √⟨ ⟩
1. ‖ ‖ √⟨ ⟩
√
‖ ‖
√⟨ ⟩
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
32
√
dan
dan dan
dan dan dan
2. ‖ ‖ √⟨ ⟩
√
√ (
)
√ √
| |‖ ‖
3. Misalkan ( ) ‖ ‖ (∑ | |
)
⁄ √⟨ ⟩
‖ ‖ ⟨ ⟩
⟨ ⟩ ⟨ ⟩ ⟨ ⟩ ⟨ ⟩
⟨ ⟩ ⟨ ⟩ ⟨ ⟩
‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖
Ketaksamaan Cauchy-Schwarz
(‖ ‖ ‖ ‖ )
Diperoleh ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ .
Jadi terbukti bahwa (iii) adalah norma.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
33
Contoh :
Misalkan adalah vektor ( ) di . Hitung ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖
Penyelesaian :
‖ ‖ | | | | | |
‖ ‖ √ √
‖ ‖ (| | | | | |)
II.11 Ortogonalitas
Definisi (2.8) : Dua ruang bagian dan dari dikatakan ortogonal jika
untuk setiap dan . Notasi yang digunakan jika dan ortogonal adalah
Definisi (2.9) : Misalkan adalah ruang bagian dari . Himpunan semua vektor-
vektor di dalam yang ortogonal pada setiap vektor di akan dinotasikan dengan
. Jadi,
* | +
Himpunan disebut komplemen ortogonal dari .
Teorema (2.9)
Jika adalah sebuah matriks , maka ( ) ( ) dan ( ) ( )
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
34
Bukti (Leon, teorema 5.2.1, hal.196).
II.12 Metode Kuadrat Terkecil
Masalah kuadrat terkecil pada umumnya dapat dirumuskan sebagai sebuah
sistem kelebihan persamaan linear. Sistem kelebihan persamaan linear melibatkan
lebih banyak persamaan daripada peubah yang tidak diketahui. Sistem yang demikian
biasanya tidak konsisten (sistem persamaan tidak dapat diselesaikan). Jadi, jika
diberikan sebuah sistem yaitu dengan .
Misalkan adalah sebuah matriks dengan . Untuk setiap ,
definisikan
‖ ‖ √⟨ ⟩ √
Tinjau sistem persamaan . Untuk setiap dapat dibentuk sebuah vektor
sisa (residual)
( )
Jarak antara dan diberikan oleh
‖ ‖ ‖ ( )‖
Akan dicari sebuah vektor sehingga ‖ ( )‖ minimum. Meminimumkan
‖ ( )‖ adalah sama dengan meminimumkan ‖ ( )‖ . Alasannya adalah dalam
fungsi kuadrat, untuk setiap dan tak negatif, jika maka . Sebuah
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
35
vektor yang memenuhi ini disebut sebagai penyelesaian kuadrat terkecil untuk
sistem .
Jika adalah penyelesaian kuadrat terkecil untuk sistem dan ,
maka adalah sebuah vektor di dalam ruang kolom dari yang terdekat ke .
Teorema (2.10)
Misalkan adalah ruang bagian dari . Untuk setiap terdapat
sebuah elemen tunggal dari yang terdekat ke , artinya:
‖ ‖ ‖ ‖
untuk semua di dalam . Lebih lanjut, vektor yang diberikan dalam akan
paling dekat dengan vektor jika dan hanya jika .
Bukti (Leon, Teorema 5.4.1, hal. 212)
Sebuah vektor akan menjadi penyelesaian masalah kuadrat terkecil jika
dan hanya jika adalah vektor di dalam ( ) yang terdekat ke . Vektor
dikatakan sebagai proyeksi dari pada ( ). Berdasarkan Teorema (2.10)
( )
harus merupakan sebuah elemen dari ( ) . Jadi ( ) adalah sebuah penyelesaian
masalah kuadrat terkecil jika dan hanya jika
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
36
( ) ( )
Kunci penyelesaian dari masalah kuadrat terkecil diberikan oleh Teorema (2.9) yang
menyatakan bahwa :
( ) ( )
Sebuah vektor akan menjadi penyelesaian kuadrat terkecil dari sistem jika
dan hanya jika:
( ) ( )
atau, ekivalen dengan :
( ) ( )
Jadi, untuk menyelesaikan masalah kuadrat terkecil , harus diselesaikan :
Persamaan di atas menggambarkan sebuah persamaan linear . Persamaan di atas
disebut sebagai persamaan normal (normal equation).
Teorema (2.11).
Jika adalah matriks yang memiliki rank , maka persamaan normal
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
37
mempunyai sebuah penyelesaian tunggal
( )
dan adalah penyelesaian kuadrat terkecil yang tunggal dari sistem
Bukti (Leon, Teorema 5.4.2, hal. 214).
II.13 Matriks Definit Positif
Suatu matriks A berorde dikatakan definit positif jika matriks tersebut
simetris dan memenuhi
untuk setiap = , -
II.14 Konsep-Konsep Penting Dalam Statistika
A. Nilai Harapan Variabel Random
Definisi (2.10) : Nilai harapan suatu variabel random didefinisikan oleh
Jika variabel random kontinu
dengan fungsi densitas ( )
Jika variabel random diskret
dengan fungsi probabilitas ( )
B. Variansi Variabel Random
( )
{
∫ ( )
∑ ( )
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
38
Definisi (2.11) : Variansi dari suatu variabel random dengan ( ) adalah
nilai harapan dari ( ) . Yaitu
,( ) -
Contoh :
Dalam suatu keluarga, yang memiliki dua anak, distribusi probabilitas dari banyaknya
anak yang terlahir, akan mengikuti ketentuan di bawah ini :
Banyaknya anak
perempuan X
0 1 2
Probabilitas ( ) ¼ ½ ¼
Nilai harapan dan variansi dari banyaknya anak yang terlahir perempuan akan
dihitung sebagai berikut :
( ) ∑ ( )
(
) (
) (
)
,( ) - ( ) (
) ( ) (
) ( ) (
)
C. Kovariansi Dari Dua Variabel Random
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
39
Definisi (2.12) : Diberikan dan adalah variabel random dengan distribusi
probabilitas bersama ( ). Kovariansi dari dan adalah
[( )( )]
dengan ( ) dan ( )
II.15 Dasar-Dasar Teori Graf
A. Teori Graf
Definisi (2.13) : Graf didefinisikan sebagai pasangan himpunan ( ), yang
dalam hal ini adalah himpunan tidak kosong dari simpul-simpul, yaitu
* + dan adalah himpunan sisi yang menghubungkan sepasang simpul,
yaitu * +, atau dapat ditulis dengan notasi ( ). Bila sisi
menghubungkan simpul dan maka dapat ditulis .
Contoh :
Gambar 2.1 menyatakan graf ( ) dengan:
* +
* +
Gambar 2.1
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
40
Definisi (2.14) : Dua buah simpul pada graf dikatakan berhubungan bila keduanya
terhubung langsung oleh suatu sisi.
Untuk sebarang sisi , sisi dikatakan bersisian dengan titik dan titik .
Contoh :
Pada gambar 2.1, simpul berhubungan dengan simpul , tetapi simpul tidak
berhubungan dengan simpul .
Definisi (2.15) : Misal adalah graf, dan adalah titik-titik dalam graf , jalan
dari didefinisikan sebagai barisan titik-titik dan rusuk-rusuk yang dimulai
dari dan diakhiri dengan sedemikian sehingga titik-titik dan rusuk-rusuk yang
berurutan saling bersisian.
Sebuah jalan tanpa titik yang berulang disebut lintasan dan lintasan yang
menghubungkan titik dan disebut lintasan .
Definisi (2.16) : Misalkan adalah graf. Graf merupakan graf terhubung bila
hanya bila untuk setiap simpul dan di , ada jalan dari titik ke titik .
Contoh :
Gambar 2.2
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
41
Graf merupakan graf terhubung, sedangkan graf merupakan graf tidak
terhubung.
B. Terminologi Graf
Berikut ini diberikan diberikan beberapa definisi dari jenis-jenis graf
Definisi (2.17) : Garis parallel adalah dua buah garis yang menghubungkan titik
yang sama. Loop adalah garis yang titik awal dan titik ujungnya sama.
Contoh:
Gambar 2.3
Gambar 2.3 adalah contoh graf yang memuat garis parallel dan loop.
C. Graf Lengkap
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
42
Definisi (2.18) : Graf lengkap adalah graf yang memiliki titik dan setiap titik
dihubungkan satu sama lain oleh sebuah rusuk. Graf lengkap disebut juga graf
trivial.
Contoh :
Gambar 2.4
Gambar 2.4 merupakan beberapa contoh graf lengkap.
D. Graf Berarah
Definisi (2.19): Suatu graf berarah (Directed Graph) D terdiri atas dua himpunan :
(1) Himpunan V, anggotanya disebut simpul
(2) Himpunan A, merupakan himpunan pasangan terurut, yang disebut sisi
berarah.
Graf berarah dinotasikan dengan D(V,A).
Simpul anggota V, digambarkan sebagai titik. Sedangkan sisi a = (u,v), digambarkan
sebagai garis dilengkapi dengan tanda panah mengarah dari simpul u ke simpul v.
simpul u disebut titik pangkal, dan simpul v disebut titik terminal.
Contoh :
Gambar 2.5
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
43
Gambar di atas adalah sebuah contoh dari graf berarah dengan :
(1) V mengandung 4 simpul, yakni 1,2,3 dan 4
(2) A mengandung 4 sisi berarah yakni (1,4), (2,1),(4,2),(2,3),(4,3) dan (2,2)
Definisi (2.18) : Apabila sisi berarah suatu graf berarah menyatakan suatu bobot,
maka Graf Berarah tersebut dinamakan jaringan (network).
Contoh :
Gambar 2.6
Gambar (2.5) menyatakan suatu jaringan karena setiap sisi berarahnya diberi bobot.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BAB III
JARINGAN KETINGGIAN
III.1 Pengukuran Ketinggian dengan Menggunakan Metode Kuadrat
Terkecil
Pertama diberikan sebuah contoh permasalahan di dalam geodesi yaitu
masalah leveling, dalam hal ini adalah penentuan tinggi. Masalahnya adalah
menentukan ketinggian dari n titik yang ditentukan x1, x2, ... , xn. Di dalam
prakteknya yang seringkali diukur adalah beda ketinggian. Ketinggian dari titik i
diukur dari titik j, dengan menggunakan prinsip beda ketinggian bij (mungkin tidak
eksak) adalah:
( )
Beda-beda ketinggian ini diukur untuk pasangan tertentu (i,j). Dari pengukuran
bij dapat diperkirakan ketinggian yang sebenarnya.
Pertama, diasumsikan tidak ada galat dalam pengukuran. Maka diharapkan
penyelesaian dapat diselesaikan secara eksak. Tapi, jika dilihat pada persamaan
dengan n = 3 variabel dan m = 3 persamaan, akan ditemukan masalah yaitu :
} ( )
Sistem persamaan linear ini bersifat singular. Matriks koefisien dari persamaan
di atas adalah :
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
45
A = [
]
Matriks A tidak dapat dibalik (tidak invertibel). Determinan dari A sama
dengan nol :
det (A) = 0 |
| |
| |
|
= 0 (-1 – 0)+1(0-1)+1(1-0)
= 0.
Jika ketiga persamaan pada (3.2) tersebut dijumlahkan akan menghasilkan :
0 = (3.3)
Sebuah sistem persamaan linear singular mempunyai dua kemungkinan, tidak ada
penyelesaian atau ada banyak penyelesaian :
1. Tidak konsisten, artinya adalah tidak ada penyelesaian. Jumlahan dari
tidak sama dengan nol. (kasus 1)
2. Persamaan konsisten tapi penyelesaian x1, x2, x3 tidak tunggal. Ada tak hingga
banyak penyelesaian ketika kekonsistenan pada (3.3) dipenuhi. (kasus 2)
Bukti penyelesaian tidak tunggal adalah :
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
46
[
|
]R3:R3+R1[
|
]R3:R3+R2
[
|
]
Jika x3 = , x1 = x2 + b12, x2 = x3 + b23
Maka x2 = 23, x1 = ( + b23) + b12 , x3 = , suatu skalar.
Untuk perhitungan dengan galat, diharapkan berada pada kasus 1 : tidak ada
penyelesaian. Untuk perhitungan yang eksak, harus berada pada kasus 2 : banyak
penyelesaian. Penjelasannya adalah sebagai berikut:
Tidak dapat menentukan ketinggian yang sebenarnya semata-mata hanya dari
perhitungan beda tinggi. Satu atau lebih dari tinggi xj harus ditetapkan. Titik tinggi
yang telah ditetapkan akan dihilangkan dari variabel.
Misalkan titik ketinggian yang diketahui adalah x3 = H. Persamaan menjadi :
} ( )
Sekarang terdapat tiga persamaan dan hanya dengan dua variabel. Catat bahwa
persamaan tersebut memiliki kekonsistenan yang sama dengan ( ) yakni 0 =
. Masih terdapat dua kemungkinan, tetapi persamaan ( ) berbeda
dengan ( ) karena matriks koefisiennya berbeda:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
47
1. Tidak ada penyelesaian (perhitungan tidak konsisten)
2. Hanya ada satu penyelesaian (jika kekonsistenan dipenuhi)
Bukti bahwa hanya ada satu penyelesaian :
[
|
]R3:R3+R1[
|
]R3:R3-R2
[
|
]
x1 = x2 + b12, x2 = b23+H, jika .
Kolom-kolom dari matriks koefisien dari sistem persamaan (3.4) adalah bebas linear
jika:
c1v1+c2v2 = 0
c1[
] + c2 [
] = [ ]
[
] R3:R3+R1 [
] R3:R3+R2 [
]
maka,
c1= c2 = 0.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
48
Selanjutnya, dinotasikan :
Areduced =[
]
Rank dari matriks Areduced adalah 2 (rank kolom penuh). Hanya terdapat dua
kemungkinan yaitu tidak ada penyelesaian atau hanya ada satu penyelesesaian. Ruang
nol dari matriks Areduced hanya terdiri dari vektor 0.
Bukti bahwa rank dari matriks Areduced adalah 2 :
Areduced = [
]
Dengan mereduksikan matriks A menjadi bentuk eselon baris, maka diperoleh
matriks U
[
]R3:R3+R1 [
]R3:R3+R2 [
]
Misalkan,
U = [
]
Jelas bahwa (1,-1) dan (0,1) membentuk basis untuk ruang baris dari U.
Karena U dan Areduced ekivalen baris, maka matriks U memiliki ruang baris yang sama
sehingga rank dari matriks Areduced adalah 2.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
49
Bukti ruang nol dari matriks Areduced hanya terdiri dari vektor nol :
misalkan N(A) menyatakan himpunan semua penyelesaian dari sistem homogen Ax =
0. Jadi,
[
] R3:R3+R1 [
]R3 :R3 +R2[
]R1 :R1 +R2 [
]
Dan diperoleh x1 = 0, x2 = 0
( ) * | + 2 0 13
Ulasan 3.1
Masalah ini mirip dengan permasalahan menghitung tegangan pada sebuah
jaringan listrik. Kekonsistenan pada permasalahan jaringan listrik, yakni persamaan 0
= dijamin oleh hukum tegangan Kirchhoff (perbedaan tegangan
pada suatu jaringan listrik tertutup adalah nol). Tinggi yang telah ditetapkan pada
ketinggian x3 = H sama seperti tegangan yang telah ditetapkan, yang memungkinkan
tegangan lain ditemukan secara tunggal. Menetapkan x3 = 0 adalah kasus untuk
tegangan yang bagian ujung dari jaringan diletakan di tanah. Selanjutnya dapat
dikembangkan lebih lanjut analogi antara ketinggian pada jaringan ketinggian dan
tegangan pada jaringan listrik (tidak akan dibahas dalam makalah ini)
Untuk perhitungan yang eksak, kekonsistenan akan dipenuhi. Dua dari
persamaan dapat diselesaikan untuk x1 dan x2 dan persamaan yang ketiga akan secara
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
50
otomatis terselesaikan. Walaupun hal ini adalah kasus yang mudah, tapi dalam
prakteknya hampir tidak pernah terjadi.
Untuk perhitungan dengan galat, diharapkan ketiga persamaan pada (3.4)
menjadi tidak konsisten. Persamaan-persamaan tersebut tidak dapat diselesaikan,
akan dicari sebuah penyelesaian terbaik, yang mana dapat membuat pengukuran dari
galat seluruh sistem menjadi sekecil mungkin. Penyelesaian tersebut diharapkan
menjadi penyelesaian terbaik untuk pengukuran galat. Salah satu metode yang
memiliki penyelesaian terbaik untuk meminimalkan galat adalah kuadrat terkecil,
dimana kuadrat terkecil meminimalkan jumlah kuadrat dari m persamaan :
( )
( ) ( )
Persamaan di atas adalah kuadrat terkecil biasa. Ada beberapa pengukuran
galat lain yang dapat memberikan penyelesaian-penyelesaian terbaik, yaitu :
…..................................................(norma l
2 terbobot)
2. | | | | | |.......................................................................(norma l1)
3. *| | | | | |+........................................................(norma l∞)
Bukti bahwa ketiga pengukuran di atas adalah norma :
1. Bukti
adalah norma
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
51
Misalkan r=( ), ‖ ‖= (∑| |
)
√⟨ ⟩
i. ‖ ‖ √⟨ ⟩
√
‖ ‖
√⟨ ⟩
√
dan
dan
dan dan
ii. ‖ ‖ √⟨ ⟩
√
√ (
)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
52
√ √
| |‖ ‖
iii. Misalkan t= (t1t2,t3), ‖ ‖ √⟨ ⟩ √
‖ ‖ ⟨ ⟩
⟨ ⟩ ⟨ ⟩ ⟨ ⟩ ⟨ ⟩
= ⟨ ⟩ ⟨ ⟩ ⟨ ⟩
‖ ‖ ‖ ‖‖ ‖ ‖ ‖ Cauchy-Schwarz
(‖ ‖ ‖ ‖)
Jadi, terbukti bahwa
adalah norma (norma l
2 terbobot).
2. Bukti | | | | | | adalah norma
Misalkan r=( ), ‖ ‖ | | | | | |
i. ‖ ‖ | | | | | |
‖ ‖
| | | | | |
| | dan | | dan | |
dan dan
r = 0
ii. ‖ ‖ | | | | | |
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
53
| || | | || | | || |
| | (| | | | | |)
| | ‖ ‖
iii. Misalkan t= (t1t2,t3), ‖ ‖= | | | | | |
‖ ‖ | | | | | |
| | | | | | | | | | | |
(| | | | | |) (| | | | | |)
‖ ‖ ‖ ‖
Jadi, terbukti bahwa | | | | | | adalah norma (norma l1).
3. Bukti bahwa *| | | | | |+ adalah norma
Misalkan r=( ), ‖ ‖ *| | | | | |+
i. ‖ ‖ *| | | | | |+
Jelas bahwa nilai mutlak selalu bernilai positif maka ‖ ‖ .
‖ ‖ = 0
*| | | | | |+
| | dan | | dan | |
dan dan
ii. ‖ ‖ *| | | | | |+
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
54
*| || | | || | | || |+
| |*| | | | | |+
| | *| | | | | |+
| |‖ ‖
iii. Misalkan t= (t1t2,t3), ‖ ‖ *| | | | | |+
‖ ‖ *| | | | | |+
*| | | | | | | | | | | |+
*(| | | | | |) (| | | | | |)+
*| | | | | |+ *| | | | | |+
‖ ‖ + ‖ ‖
Jadi, terbukti bahwa *| | | | | |+ adalah norma.
Selanjutnya, makalah ini akan lebih banyak terfokus pada kuadrat terkecil
terbobot. Pertama, harus dijelaskan kenapa bobot tertentu dipilih dalam
dan bagaimana bobot-bobot tersebut mempengaruhi penyelesaian dari estimasi .
Kuantitas
disebut variansi-variansi. Variansi-variansi tersebut
menentukan tingkat kekonsistenan ketiga pengukuran. Semakin konsisten
pengukuran akan mempunyai variansi-variansi yang kecil dan bobot yang besar
(karena bobot 1/ adalah kebalikan dari variansi). Persamaan-persamaan yang
mempunyai bobot lebih besar akan diselesaikan lebih tepat ketika keseluruhan
kesalahan diminimalkan.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
55
Ulasan 3.2
Pada bagian selanjutnya akan dibahas lebih detail mengenai variansi dan
kovariansi. Output dari masalah ini harus menjadi perkiraan ketinggian
dan juga merupakan indikasi dari kekonsistenan perkiraan-perkiraan
tersebut. Akan dicari variansi dari output galat-galat ,
diberikan variansi-variansi dari input perhitungan galat-galat . Hal ini akan
membuktikan bahwa output variansi-variansi adalah yang terkecil ketika bobot
bersifat berkebalikan dengan input variansi. Hal ini yang menjadi alasan untuk bobot
1/ .
Lebih umum, suatu matriks bobot yang optimum adalah invers dari matriks
kovariansi.
Ulasan 3.3
Pengukuran galat = ∑ | | dan = *| | + tidak
kuadratik dan tidak terdiferensialkan karena adanya fungsi nilai mutlak.
Bukti dan tidak terdiferensialkan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
56
Gambar 3.1
( ) tidak terdiferensialkan di titik 0.
Turunan kiri fungsi f di titik 0 adalah :
( )
( ) ( )
Turunan kanan fungsi f di titik 0 adalah :
( )
( ) ( )
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
57
Karena turunan kanan fungsi f di titik 0 tidak sama dengan turunan kiri fungsi f di
titik 0, maka ( ) tidak ada, yaitu fungsi f tidak terdiferensialkan di titik 0.
Pada prakteknya hampir selalu ada galat-galat besar pada perhitungan-
perhitungan . Hal ini terjadi karena seringkali pengamatan diidentifikasi secara
salah yang menyebabkan nilai-nilai pengamatan diproduksi kembali secara salah.
Beberapa ilmuwan geodesi memperkirakan bahwa terdapat galat 5% dari data
mereka.
Sebuah kuadrat-terkecil yang sesuai akan memperkecil galat-galat tersebut.
Dengan meminimalkan bukan E, galat-galat besar dapat diidentifikasi pada sisa
.
Penyelesaian dari sistem (3.3)
Kembali pada ketiga persamaan dengan dua variabel :
} ( )
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
58
Sistemnya adalah yang akan diselesaikan dengan kuadrat terkecil dan
juga dengan kuadrat terkecil terbobot. Pada kuadrat terkecil terbobot akan dipilih
bobot-bobot yang tepat agar dapat menghasilkan perkiraan yang baik.
Jika melihat persamaan (3.5), matriks koefisien A dan b adalah :
A = [
] dan b = [
].
Untuk kuadrat terkecil biasa dengan bobot satuan, persamaan normalnya
adalah . Penyelesaian dari persamaan normal tersebut adalah perkiraan
( ) dari tinggi-tinggi yang tidak diketahui pada dua lokasi pengamatan
pertama dan lokasi yang ketiga sudah ditetapkan sebagai .
Mengalikan dengan matriks 2 x 3 untuk menemukan persamaan
0
1 [
] [
] 0
1 [
]
0
1 [
] [
] ( )
Matriks ini memiliki sifat-sifat yang diharapkan yaitu matriks
adalah simetris dan dapat dibalik. Kolom ketiga dari A sudah dihilangkan dengan
menetapkan , meninggalkan dua kolom bebas linear. Invers dari matriks
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
59
tidak mudah dihitung dalam masalah yang memiliki ukuran matriks besar, tapi dalam
masalah ini penyelesaiannya dapat dengan mudah dicari.
mempunyai sebuah penyelesaian tunggal :
( )
[
]
0
1 [
]
[
]
0
1 [
]
[
]
0
1 [
] ( )
Hal ini memberikan perkiraan kuadrat terkecil tidak terbobot :
[
]
[
( ) ( )
( ) ( )]
[
]
[
]
( )
( )
} ( )
Perhatikan bagaimana semua ketinggian muncul dengan nilai H yang sama.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
60
Catat juga kemungkinan bahwa persamaan-persamaan asli (3.3) adalah
konsisten : 0 = . Pada kasus ini, perkiraan juga merupakan
penyelesaian x. Perkiraan adalah penyelesaian tunggal untuk .
Mengganti dengan nol memberikan penyelesaian yang tepat
ketika hal tersebut muncul :
} ( )
Sekali lagi, semua ketinggian memuat H. Tapi kuadrat terkecil mengatakan
bahwa (3.8) adalah perkiraan yang lebih baik dari pada (3.9) ketika persamaan
menjadi tak konsisten.
Selanjutnya, ubah perhitungan galat tidak terbobot mejadi perhitungan galat
terbobot, yaitu :
menjadi
Variansi
mewakili penyebaran dari rata-rata pengukuran galatnya.
Untuk masalah jaringan ketinggian, ada sebuah aturan empiris yaitu : variansi
adalah sebanding dengan jarak antar titik-titik pengamatan. Jadi, dipilih
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
61
Faktor merupakan suatu satuan bobot dari variansi (variance of unit
weight).
Untuk menyelesaikan kasus pada bagian sebelumnya tapi dengan
menambahkan bobot, masih tetap dibutuhkan penempatan dari satu ketinggian yaitu
. Ketiga persamaan masih tetap memiliki galat :
( )
Penyelesaian terbaik meminimalkan . Variansi-variansi
menjadi penyebut. Ketika diambil turunan dari
terhadap
dan , maka akan didapat :
Dengan :
( )
( )
( )
Dengan :
( ) ( )
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
62
( ) ( )
( ) ( )
Jika diturunkan terhadap dan maka akan didapat :
Diturunkan terhadap :
( )
( )
( )
4
5
( )
Diturunkan terhadap
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
63
( )
( )
( )
4
5
( )
( )
sehingga :
( )
} (3.11)
Jika dilihat, akan sedikit susah untuk menentukan penyelesaian dari (3.11).
Namun dengan notasi matriks, persamaan (3.11) di atas dapat diselesaikan dengan
lebih mudah. Bilangan 1/( ) = 1/(
) akan menjadi elemen-elemen dari sebuah
matriks terbobot C. Pada kasus sebelumnya (mencari penyelesaian terbaik
pada persamaan (3.10)) memiliki matriks diagonal terbobot, karena ketiga galat
diasumsikan bebas linear :
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
64
C = *
( )
( )
( )
+ *
+
Ketika Ax = b terbobot oleh C, persamaan normal menjadi
Kalimat di atas merujuk pada persamaan (3.11). Akan digunakan notasi
daripada notasi 1/( ) (dengan ), tapi akan ditemukan koefisien yang
sama dari (3.11) pada matriks
= 0
1 *
+ [
] 0
1 ( )
Misalkan,
F = 0
1
F adalah simetri dan invertibel (punya invers) dan positif definit. Dengan
akan didapat matriks tidak terbobot yang sudah dihitung di
sebelumnya. Determinan dari matriks F adalah:
Det (F) = |
|
= ( )( ) -
=
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
65
Jadi determinan dari matriks F adalah
Pada bagian kanan juga mudah diselesaikan :
0
1 *
+ [
] [
] (3.13)
Secara eksplisit, matriks dapat dibalik sehingga = dapat
diselesaikan:
[
]
0
1 [
]
[
( ) ( )
( ) ( ) ] 0
1
[
( ) ( )
( ) ( ) ] 0
1
( ) ( )
( ) ( )
Sekali lagi, semua ketinggian yang diperkirakan berubah naik atau turun
dengan H. Ketinggian satuan membawa kembali hasil perkiraan
tidak terbobot yang sudah dihitung sebelumnya.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
66
III.2 Kuadrat Terkecil Terbobot
Pada bagian sebelumnya telah dibahas contoh dari kuadrat terkecil terbobot.
Matriks terbobot C adalah matriks diagonal, karena pengamatan dari galat-galat tidak
berkorelasi. Matriks C menjadi C = (atau sungguh menjadi ketika seluruh galat
mempunyai variansi yang sama. Hal ini termasuk pada kasus galat bebas linear dan
teridentifikasi secara identik ( independent and identically distributed errors).
Ketika galat-galat tidak bebas linear, maka setiap matriks simetris definit positif C =
∑ dengan C = ∑ adalah invers dari matriks kovariansi ∑
Pada bagian ini akan dikembangkan suatu persamaan normal
dan dasar teori untuk membentuk matriks C. Ukuran kuadrat yang sebelumnya
menjadi , termasuk juga bobot-bobot :
‖ ‖ berubah menjadi ‖ ‖ .
Ketika ukuran berubah, maka hasil kali dalam menjadi juga
berubah. Sudutnya juga berubah, dua vektor a dan b sekarang menjadi tegak lurus
ketika
Pengertiannya adalah, matriks hasil dari kolom-kolom masih sebuah
proyeksi tegak lurus dari b. Persamaan mendasar dari kuadrat terkecil masih
mengharuskan galat tegak lurus tehadap semua kolom-kolom dari .
Perkalian dalam , di antara kolom-kolom dari dan galat semuanya harus
nol, maka kolom-kolomnya adalah baris-baris dari , jadi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
67
atau ( ) atau (3.14)
Persamaan (3.14) adalah persamaan normal terbobot.
Vektor dipilih untuk membuat ‖ ‖
sekecil mungkin :
Meminimalkan ‖ ‖ ( ) ( ) (3.15)
Jabarkan (3.15) menjadi ( ) ( )
. Sekarang yang ada adalah murni masalah kalkulus. Untuk dapat
mencari nilai minimal dari (3.15) dapat dilakukan dengan menurunkan persamaan
(3.15). Penyelesaian dari masalah tersebut memberikan persamaan-persamaan
untuk setiap komponen dari . Persamaan-persamaan menjadi linear karena ‖ ‖
adalah kuadratik.
Dalam aljabar, dapat ditemukan persamaan untuk mencari nilai (ada
komponen) dengan menggunakan notasi matriks. Persamaan-persamaan tersebut
adalah dengan dan :
Teorema (3.1):
Ketika adalah matriks simetri positif definit, bentuk kuadratik ( )
diminimalkan pada titik dimana . Suatu nilai minimum dari ,
pada adalah ( )
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
68
Bukti :
Bandingkan ( ) dengan semua ( ), untuk membuktikan bahwa ( )
adalah yang terkecil :
( ) ( ) ( )
( ) ( )
Karena adalah matriks definit positif, maka selisih dari ( ) ( ) tidak
pernah negatif. ( ) adalah nilai terkecil yang mungkin. Pada titik ,
minimum dari adalah :
( ) ( ) ( ) (3.16)
Akibat (3.1.1):
Minimum dari galat terbobot ‖ ‖ tercapai ketika ( ) . Nilai
minimumnya adalah :
‖ ‖
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
69
( )
Jika adalah sebuah matriks persegi yang invertibel (dapat dibalik), maka
keseluruhan galat akan dihilangkan menjadi nol! Penyelesaian akan
menjadi penyelesaian yang eksak. Invers dari dapat ditulis menjadi
( ) . Tapi penulisan seperti ini tidak dapat dilakukan pada sebuah
matriks persegi panjang A (matriks berukuran ). Hanya dapat diasumsikan
bahwa memiliki kolom-kolom yang bebas linear, yang membuat definit positif
(dan invertibel).
Gambar (3.2)
Gambar (3.2) proyeksi dari tegak lurus dalam perkalian dalam- :
untuk setiap kolom dari . Maka adalah persamaan normal terbobot.
Segitiga siku-siku- memiliki ‖ ‖ ‖ ‖
‖ ‖ , yang adalah .
Gambar (3.2) menunjukkan proyeksi secara geometri. Pengamatan yang
dilakukan di atas adalah dengan menggunakan pengamatan hasil kali dalam. Jadi,
Ruang kolom
dari = semua vektor-
vektor Ax
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
70
secara visual, tidak kelihatan tegak lurus terhadap proyeksinya. Tapi sudut siku-
siku dalam perkalian dalam- , yang memberikan kunci persamaan adalah
.
Ulasan 3.4
Sejak jaman Gauss, metode kuadrat terkecil sudah disebut teori penafsiran
(adjustment theory) dalam geodesi dan digunakan dalam ilmu sains lainnya. Notasi
sederhana mendefinisikan sisa oleh:
(3.17)
Dalam statistik dan aljabar linear numerik terdapat kesepakatan untuk
mendefinisikan sisa dengan tanda yang berlawanan : . Gauss
menggunakan notasi untuk bobot-bobot (latin : pondus). Untuk berbagai alasan
akan diubah notasi menjadi .
III.3 Jaringan Ketinggian Dan Graf
Hubungan antar titik atau yang disebut dengan graf sudah banyak ditemukan
dalam kehidupan sehari-hari. Contohnya adalah dibangunnya jalan besar yang
menghubungkan beberapa kota. Dalam masalah mencari titik tinggi dari suatu
ketinggian juga dapat disajikan dengan menggunakan graf.
Sebagai contohnya, dalam mengukur ketinggian suatu gunung. Terdapat titik-
titik tinggi yang akan dicari. Salah satu cara menentukan ketinggian adalah dengan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
71
menggunakan beda tinggi. Dalam graf, titik-titik tinggi tersebut dilambangkan
dengan simpul-simpul dan beda tinggi dilambangkan dengan sisi.
Suatu graf berubah menjadi sebuah jaringan ketika ditetapkan bilangan
untuk setiap sisi. Setiap bilangan adalah suatu bobot dari pengamatan.
Secara statistik, adalah
, suatu kebalikan dari variansi ketika diukur sebuah beda
ketinggian. Untuk masalah jaringan ketinggian
⁄ adalah sebanding dengan
suatu kebalikan dari suatu sisi. Bilangan-bilangan tersebut akan menjadi matriks
yang mana berukuran .
Masalah utamanya adalah menentukan titik-titik yang tidak diketahui.
Permasalahan dapat dipecahkan dengan menggunakan graf dan dengan menggunakan
metode kuadrat terkecil terbobot.
Sebuah graf terdiri dari dari “simpul” dan “sisi”. Ada sebanyak simpul
(titik-titik di mana ketinggian ditentukan). Dan ada juga sisi di antara simpul
dan simpul yang melambangkan beda tinggi . Pengukuran beda tinggi
tersebut membentuk sisi, umumnya dengan .
Semua simpul dinotasikan oleh setiap titik tinggi . Suatu beda
ketinggian sepanjang sebuah loop adalah jmlahan dari ( ) ( )
( ) .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
72
Hukum loop : penjumlahan komponen-komponen dari adalah nol
pada setiap putaran.
Untuk sisi , suatu galat terbobot sama dengan kali sisa ( ) .
Persamaan vektornya adalah . Persamaan normal terbobot adalah
atau ( ) . Persamaan terbobot tersebut sama halnya dengan Hukum
Arus Kirchhoff pada setiap simpul :
Gambar (3.3) di bawah ini menunjukkan sebuah graf dengan 4 simpul dan 6
sisi. Gambar tersebut menunjukkan sebuah graf berarah, karena sisi-sisi pada graf
tersebut diberikan oleh suatu tanda panah berarah.
Gambar (3.3)
Beda tinggi dari simpul 1 ke simpul 2 adalah (pengukuran
sesungguhnya dari beda tinggi adalah ). Dalam hal ini, tanda panah tidak
mengartikan bahwa simpul 2 lebih tinggi dari simpul 1. Tanda panah itu hanya
melambangkan beda sebagai .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
73
Selanjutnya akan dibahas lebih lanjut mengenai matriks insidensi atau
matriks diferensi atau matriks koneksi dari graf.
Matriks insidensi mempunyai baris yang menginformasikan setiap sisi dan
kolom yang menginformasikan setiap simpul. Pada contoh di atas, graf dengan 6 sisi
dan 4 simpul memiliki matriks insidensi yang berukuran 6 x 4. Setiap baris memiliki
dua entri tak nol yaitu +1 dan -1 untuk menunjukkan simpul mana yang ada tanda
panah masuk dan simpul mana yang ditinggalkan. Maka membentuk matriks
insidensi adalah dengan cara melihat simpul dan sisi yang berhubungan. Contoh
pada gambar graf (3.3), ada 3 sisi yang menghubungkan simpul 1 yaitu sisi 1, sisi 2
dan sisi 4. Maka dalam matriks insidensi, entri tak nolnya adalah dan .
Karena sisi 1 menunjukan panah yang meninggalkan simpul 1, maka entri adalah
-1. Maka dengan cara yang sama dapat dibentuk sebuah matriks insidensi A dari
sebuah graf.
Matriks di atas memuat semua informasi tentang suatu graf pada gambar (3.3).
Contoh kasus seperti (3.3) ini disebut sebuah “graf lengkap” yang berarti bahwa
setiap dua buah simpul dihubungkan dengan sebuah sisi. Sebuah graf lengkap
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
74
memiliki
( ) sisi. Hubungan dari sebuah graf dengan matriks
insidensinya adalah jika sebuah sisi dihilangkan dari graf maka sebuah baris
dihilangkan dari matriks, dan lebih khususnya dalam masalah jaringan ketinggian,
jika ada satu titik tinggi yang ditetapkan, maka suatu kolom yang berkorespondensi
dengan simpul yang ditetapkan tersebut akan dihilangkan dari matriks insidensinya.
Dalam masalah pengukuran jaringan ketinggian, tidak dapat dibuat dua buah sisi di
antara simpul-simpul dan sebuah sisi dari sebuah simpul ke dirinya sendiri. Dua buah
sisi hanya akan mengartikan bahwa beda ketinggian dihitung dua kali.
Dalam jaringan ketinggian, suatu matriks insidensi bukan hanya matriks
yang melambangkan hubungan antara sisi dan simpul dalam suatu graf. Matriks
insidensi berperan dalam menghitung beda tinggi dalam jaringan ketinggian.
Ketika matriks dikalikan dengan sebuah vektor ( ) dari ketinggian,
maka output dari adalah sebuah himpunan dari 6 beda ketinggian ;
[
]
*
+
[
]
( )
Beda-beda dalam jari ini diukur oleh . Ingat bahwa pengukuran
ini mengandung galat-galat. Keenam persamaan pada (3.18) akan diselesaikan
dengan menggunakan kuadrat terkecil terbobot yaitu :
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
75
atau dalam bentuk matriks ( )
Sistem dengan 6 persamaan dan 4 variabel mungkin tidak konsisten (karena
terdapat galat dalam pengukurannya).
Untuk menyelesaikan sistem dengan 6 persamaan dan 4 variabel dapat dilakukan
dengan menggunakan metode kuadrat terkecil terbobot. Dibentuk persaman normal
(terbobot) untuk mendapatkan perkiraan . Tapi ada masalah yang harus ditangani
terlebih dahulu :
Karena memiliki kolom yang bergantung linear, maka matriks dan
tidak dapat dibalik. Langkah selanjutnya yang harus diambil adalah satu atau
lebih dari titik tinggi harus ditetapkan.
Dalam pengukuran yang sesungguhnya, menetapkan dapat dilakukan dengan
berbagai cara. Misalnya adalah dengan melihat data pengukuran yang telah dilakukan
sebelumnya atau dapat dilakukan dengan percobaan lapangan secara langsung.
Contohnya adalah dalam mengukur suatu gunung akan ditentukan satu titik yang
akan ditetapkan. Dengan menggunakan alat yang bernama LIDAR (Light Detection
And Ranging) akan ditemukan nilai titik tinggi yang dicari.
Pada aljabar linear, persoalan seperti ini menyangkut tentang “ruang kolom”
dari suatu matriks. Ruang nol dari matriks tersebut adalah berdimensi 1, berisi vektor
( ). Rank dari matriks tersebut adalah n-1. Jika dihilangkan satu kolom, maka
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
76
matriks baru memiliki rank penuh dan matriks baru dapat dibalik. Jika
ditetapkan satu titik ketinggian (seperti pada bagian sebelumnya), maka
semua ketinggian lain dapat diperkirakan.
Dengan bebas dapat ditentukan ketinggian (tidak hanya satu). Maka kolom
dari matriks dapat dihilangkan. Matriks baru A (yang berorde )
memiliki rank penuh . Lalu dengan menyelesaikan persamaan normal terbobot
, maka dapat ditentukan estimasi dari nilai .
Dalam praktek jaringan ketinggian, harus ada satu atau lebih titik tinggi yang
ditetapkan. Misalkan adalah simpul yang telah ditetapkan tersebut, dan prosedur
dalam menyelesaikan masalah jaringan ketinggian adalah :
1. Rincikan semua simpul dari 1 sampai . Rincikan juga simpul yang memiliki
titik tinggi yang ditetapkan.
2. Bentuk matriks bersisian yang berukuran , dan suatu matriks bobot
berukuran .
3. Hapus kolom pada matriks bersisian
4. Kalikan kolom k dengan sebuah kolom yang berisi titik tinggi tetap yang
telah diketahui, kemudian jumlahkan dengan vektor . Suatu pengukuran
memiliki persamaan dengan variabel tinggi yang tidak
diketahui memiliki ( )( )
5. Hitung dan , kemudian selesaikan sistem .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
77
Contoh 3.1
Untuk suatu jaringan ketinggian, ditunjukkan pada gambar 3.4 sebagai sebuah
graf berarah. Titik-titik tersebut memiliki titik tetap
Gambar 3.4 graf berarah untuk sebuah jaringan ketinggian
Pengamatan dari beda-beda tinggi dan ukuran dari garis jaringan adalah
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
78
Matriks bersisiannya berukuran 5 x 5
Matriks di atas adalah matriks bersisian dalam kasus tidak ada titik yang
ditetapkan. Tapi, situasinya adalah ada 3 titik-titik tinggi yang telah ditetapkan.
Berada pada simpul A,B, dan C. Hal ini berarti bahwa ketiga kolom pertama ( )
dari matriks bersisian A harus dihapus dan kolom-kolom pada bagian sisi kanan ( )
akan dimodifikasi. Modifikasi dari observasi persamaan adalah
[
]
[
]
[
]
[ ]
Matriks terbobot untuk dua buah variabel yang tidak diketahui (D dan E)
dengan . Matriks berbentuk :
C =
[ (
)
( )
( )
( )
( )
]
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
79
[
]
Oleh karena itu didapat :
[
]
0
1
[
]
[
]
= 0
1
Dan pada bagian sebelah kanan dari tanda sama dengan adalah
0
1
[
]
[ ]
= 0
1
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
80
Sekarang, persamaan normalnya menjadi
0
1 [
] 0
1
Penyelesaiannya adalah :
dan
[
]
0
1
[ ]
[ ]
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BAB IV
PENUTUP
IV.1 Kesimpulan
Jaringan ketinggian dideskripsikan oleh graf dan matriks insidensi . Titik
tinggi yang akan dicari dilambangkan dengan sebuah simpul, sedangkan beda tinggi
dari titik ke titik dinotasikan dengan sebuah sisi. Suatu graf berubah menjadi
sebuah jaringan ketika ditetapkan bilangan untuk suatu sisi.
Setiap bilangan adalah suatu bobot dari sebuah pengamatan. Secara statistik
adalah
⁄ , suatu kebalikan dari variansi ketika diukur sebuah beda ketinggian.
Untuk masalah jaringan ketinggian (
)⁄ adalah sebanding dengan suatu
kebalikan panjang dari suatu sisi. Bilangan-bilangan tersebut akan menjadi matriks
yang mana berukuran .
Dalam jaringan ketinggian, masalahnya adalah menentukan titik-titik tinggi
(n komponen) dengan ukuran galat yang sekecil mungkin.
Salah satu metode yang dapat meminimalkan galat adalah metode kuadrat terkecil
terbobot.
Persamaan normal metode kuadrat terkecil terbobot adalah :
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
82
Dalam praktek jaringan ketinggian, harus ada satu atau lebih titik tinggi yang
ditetapkan. Misalkan adalah simpul yang telah ditetapkan tersebut, dan prosedur
dalam menyelesaikan masalah jaringan ketinggian adalah :
1. Rincikan semua simpul dari 1 sampai . Rincikan juga simpul yang memiliki
titik tinggi yang ditetapkan.
2. Bentuk matriks bersisian yang berukuran , dan suatu matriks bobot
berukuran .
3. Hapus kolom pada matriks bersisian
4. Kalikan kolom k dengan sebuah kolom yang berisi titik tinggi tetap yang
telah diketahui, kemudian jumlahkan dengan vektor . Suatu pengukuran
memiliki persamaan dengan variabel tinggi yang tidak
diketahui memiliki ( )( )
5. Hitung dan , kemudian selesaikan sistem .
IV.2 Saran
Contoh dalam penulisan tugas akhir ini menggunakan data yang tidak real.
Selain itu, tidak dibahas secara rinci pembahasan mengenai statistik pada penulisan
tugas akhir ini. Sebaiknya untuk penulisan selanjutnya dapat menggunakan data yang
real, dan pembahasan mengenai statistik sebaiknya juga dibahas lebih dalam lagi.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
83
Daftar Pustaka
Leon, S. J. 2001. Aljbar Linear dan Aplikasinya. Jakarta : Erlangga.
Wackerley, D.D. Mendenhall, W. Scheaffer R.L. 2008. Mathematical Statistic with
Applications, 7th
ed. USA : Thomson Brooks/Cole.
Buckley, F., and Lewinter, M. 2003. A Friendly Introduction to Graph Theory. New
Jersey: Pearson Education Inc.
Strang, G. and Borre, K. 1998. Linear Algebra, Geodesy, and GPS. USA : Wellesley-
Cambridge Press.
Husein, U. 1991 Metode Riset Akuntansi Terapan.
http://file.upi.edu/Direktori/FIP/JUR._PSIKOLOGI/197509122006041-
HELLI_IHSAN/ Pengertian_Pengukuran.pdf. 16 juli 2014, 16:00.
Yitnosumarto, S. 1993. Percobaan : Perancangan, Analisis dan Interpretasinya.
http://statforall.blogspot.com/2008/07/galat-data-error-data.html. 16 juli 2014,
16.00
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI