PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI · 2017-12-17 · DALAM GEOMETRI DIMENSI EMPAT ......
Transcript of PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI · 2017-12-17 · DALAM GEOMETRI DIMENSI EMPAT ......
SISTEM KOORDINAT KARTESIUS
DALAM GEOMETRI DIMENSI EMPAT
SKRIPSI
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat
Memperoleh Gelar Sarjana Pendidikan
Program Studi Pendidikan Matematika
Oleh :
RAIMUNDUS CIKU KOTEN
111414109
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS SANATA DHARMA
YOGYAKARTA
2015
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
i
SISTEM KOORDINAT KARTESIUS
DALAM GEOMETRI DIMENSI EMPAT
SKRIPSI
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat
Memperoleh Gelar Sarjana Pendidikan
Program Studi Pendidikan Matematika
Oleh :
RAIMUNDUS CIKU KOTEN
111414109
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS SANATA DHARMA
YOGYAKARTA
2015
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
iii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
iv
HALAMAN MOTTO
Orang hebat adalah dia yang mampu dan berani berimajinasi serta
menerapkan imajinasinya dalam kehidupan sehari – hari.
Hanya ada satu kebenaran diantara banyak kebenaran di dunia ini.
Hanya ada satu kebenaran nyata dimana kebenaran lain
hanyalah dibenar – benarkan alasannya.
The most incomprehensible thing about the universe is that it is comprehensible. (Albert Einstein)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
v
HALAMAN PERSEMBAHAN
Karya tulis ini saya persembahkan secara khusus buat Kakek dan Nenek terkasih yang sudah menjaga dan membimbing saya sejak kecil serta memotivasi dan memantapkan hobi dan antusiasme yang luar biasa dalam diri saya pada pelajaran matematika. Terkhusus buat Kakek Yohanes Hale Mukin dan Nenek Margaretha Tukan.
Karya tulis ini juga saya persembahkan buat keluarga besar saya, Bapa Antonius Fidelius Hada Koten, Mama Bernadethe Dominika Manggota Mukin, Ade Yohanes Hean Koten, Ade Oktavianus Ultimo Koten, dan Ade Wilibrodus Koten, yang telah mendukung saya hingga sejauh ini. Terima kasih buat Bapa dan Mama yang telah berusaha membuka jalan untuk saya lalui dengan baik.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
vi
PERNYATAAN KEASLIAN KARYA
Saya, Raimundus Ciku Koten dengan ini menyatakan dengan sebenar –
benarnya bahwa skripsi yang ditulis ini tidak memuat karya atau bagian karya orang
lain, kecuali yang telah disebutkan dalam kutipan dan daftar pustaka, sebagaimana
layaknya suatu karya ilmiah.
Yogyakarta, 7 November 2015
Raimundus Ciku Koten
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
vii
LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH
UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS
Yang bertanda tangan di bawah ini, saya mahasiswa Universitas Sanata Dharma:
Nama : Raimundus Ciku Koten
Nomor Induk Mahasiswa : 111414109
Demi pengembangan ilmu pengetahuan, saya memberikan kepada
Perpustakaan Universitas Sanata Dharma karya ilmiah saya yang berjudul:
SISTEM KOORDINAT KARTESIUS
DALAM GEOMETRI DIMENSI EMPAT
Dengan demikian saya memberikan kepada perpustakaan Universitas
Sanata Dharma hak untuk menyimpan, mengalihkan dalam bentuk media lain,
mengelolanya dalam bentuk pangkalan data, mendistribusikan secara terbatas, dan
mempublikasikannya di internet atau media lain untuk kepentingan akademis tanpa
perlu meminta ijin dari saya maupun memberikan royalti kepada saya selama tetap
mencantumkan nama saya sebagai penulis.
Demikian pernyataan ini saya buat dengan sebenarnya.
Yogyakarta, 7 November 2015
Raimundus Ciku Koten
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
viii
ABSTRAK
Raimundus Ciku Koten, 2015. Sistem Koordinat Kartesius Dalam Geometri
Dimensi Empat. Skripsi. Program Studi Pendidikan Matematika, Jurusan
Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Fakultas Keguruan
dan Ilmu Pendidikan, Universitas Sanata Dharma, Yogyakarta.
Penelitian ini bertujuan untuk menemukan dan memahami serta
menjelaskan keadaan dan gambaran dari Geometri Euclides geometri dimensi
empat baik secara umum maupun khusus. Penelitian ini dilakukan dengan metode
studi pustaka dari beberapa teori seperti Geometri Euclides, Relativitas Einstein dan
Ruang Minkowski. Selain itu, penelitian ini juga menggunakan metode uji coba
akulturasi teori guna mencapai tujuan penelitian yang diinginkan.
Pada dasarnya Ruang Minkowski telah dikenal bukan sebagai suatu bentuk
geometri dimensi empat. Akan tetapi, menanggapi pandangan Einstein bahwa
Ruang Minkowski dapat dipandang sebagai suatu bentuk dari dimensi empat
Geometri Euclides peneliti berusaha untuk memahami, memperdalam serta
mengkaji kembali pandangan tersebut berdasarkan data-data referensi yang ada.
Peneliti menyadari adanya kejanggalan dalam pandangan tersebut. Berdasarkan
pemahaman peneliti ini, peneliti berusaha untuk mempertegas pendapat peneliti
untuk menunjukkan kejanggalan yang ada secara ilmiah yang dapat
dipertanggungjawabkan nilai kebenarannya. Kejanggalan tersebut kemudian
diperbaiki dengan cara penataan ulang kajian dimensi empat tersebut berdasarkan
proses studi pustaka yang telah dilakukan, yaitu memposisikan Ruang Minkowski
sebagai suatu bentuk kejadian khusus dari Geometri Euclides mengenai kerangka
acuan inersia. Dalam upaya penataan ulang teori dan anggapan tersebut, peneliti
juga menjelaskan gambaran umum keadaan Geometri Euclides dimensi empat
sebagai hasil dari uji coba akulturasi teori. Gambaran umum tersebut meliputi
elemen khusus geometri dimensi empat: “semesta“, sistem koordinat geometri
dimensi empat dan bangun khusus geometri dimensi empat: “semesta tesseract“.
Implikasi dari gambaran umum Geometri Euclides dimensi empat ini adalah
terjelaskannya keberadaan vektor – vektor orthogonal pada Ruang Euclides yang
merupakan hasil atau bentukkan dari vektor – vektor semu sebagai akibat
ketidakmampuan dan tidak akuratnya pandangan mata manusia. Dengan kata lain,
keorthogonalan vektor – vektor dalam Ruang Euclides merupakan sketsa sederhana
yang dapat membantu manusia agar lebih memahami ruang dan elemen –
elemennya.
Kata Kunci: Geometri Euclides, Ruang Minkowski, Teori Relativitas Einstein,
geometri dimensi empat, sistem koordinat kartesius.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ix
ABSTRACT
Raimundus Ciku Koten. 2015. Four Dimensional Geometry in A Cartesian
Coordinate System. Thesis. Mathematic Education Study Program,
Mathematics and Science Education Department, Faculty of Teacher Training
and Education, Sanata Dharma University, Yogyakarta.
This study aims to find, understand and explain the situation and the picture
of four-dimensional Euclidean Geometry either general or specific. This research
was conducted by literature study of several theories such as Euclidean Geometry,
Relativity Einstein and Minkowski Space. In addition, this study also uses an
acculturation theory test method to achieve the desired objectives.
Basically the Minkowski Space when it is known today was not the four-
dimension geometry. However, respond to Einstein’s idea that the Minkowski
Space can be viewed as a form of a four-dimensional Euclidean Geometry
researchers seek to understand, deepen and examine the claims based on available
references data. Researches realized in view of the irregularities. Based on this
view, researches are trying to reinforce the opinion of researches to demonstrate
that there are irregularities scientifically with truth value justifiable. The
irregularities can be fixed by means of a four-dimensional rearrangement of the
literature study that has been done, with the rearrangement of the study to position
Minkowski Space as a form of specific incidents of Euclidean Geometry in the
inertial reference frames. In an effort rearrangement theory and assumptions, the
researcher also explains the general picture of four-dimensional Euclidean
Geometry state as a result of acculturation theory test. The general description
includes specific elements of four-dimensional geometry: "universe", a four-
dimensional geometries coordinate system and special element form of four-
dimensional geometry: "tesseract universe ". The implications of the general
description of the four-dimensional Euclidean Geometry is inexplicable presence
of orthogonal vector to the Euclidean Space which the result or form of the vectors
apparent as a result of incompetence and inaccurate view of the human eye. In other
words, orthogonal vectors in Euclidean Space is a simple sketch that can help
people to understand the space and its elements better.
Keywords: Euclidean Geometry, Minkowski Space, Einstein's Theory of
Relativity, four-dimensional geometry, Cartesian coordinate system.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
x
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur penulis haturkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa, karena
atas berkat rahmat dan tuntunan-Nya penulis dapat menyelesaikan penelitian dan
penulisan karya ilmiah ini.
Karya tulis ini merupakan uraian gagasan yang memberikan penjelasan dan
pemahaman mengenai geometri dimensi empat. Ketika matematika sebagai ilmu
dasar, akar dari setiap ilmu tidak berkembang, bagaimana ilmu kajiannya yang lain
seperti fisika dan astronomi dapat berkembang dengan baik dan pesat jika tidak ada
dasar kuat yang mewadahinya. Penulis mencoba mengumpulkan dan menganalisah
data-data yang ada mengenai geometri dimensi empat, menjelaskan kembali space-
time secara terperinci dan memberikan gambaran mengenai Geometri Euclides
dimensi empat.
Penulis menyadari bahwa penulisan karya ilmiah ini dapat terselesaikan
dengan baik karena bantuan, bimbingan dan dorongan dari teman – teman dan
bapak ibu dosen sekalian. Penulis menghaturkan limpah terimakasih kepada:
1. Dr. Yansen Marpaung yang telah menyetujui rancangan penulisan karya
ilmiah ini dan membimbing penulis untuk pembahasaan dan representasi
gagasan.
2. Dr. Marcellinus Andy Rudhito,S.Pd yang bersedia membimbing penulis
dalam pembahasaan dan analisis matematis hingga kajian penulisan ini
menjadi padat dan berisi.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xi
3. Antonius Yudhi Anggoro, M.Si, yang telah memberikan pengarahan dan
pertanyaan-pertanyaan logika kritis yang dapat membantu mempertajam
analisis penulisan karya ilmiah ini.
4. Beni Utomo, M.Sc, yang telah memberikan masukan-masukan baru dan
beberapa pertimbangan nyata guna mempertajam pemahaman pendukung
dalam bahasan karya ilmiah ini.
5. Aprianus Paskalis Priska, sahabat dan saudara terbaik yang tak pernah lupa
memberikan dorongan semangat dan mendengarkan keluh kesah penulis.
6. Teman – teman Himpunan Keluarga Besar Flobamorata Kampus III
Paingan yang bersedia mendukung penulis dalam berbagai hal baik secara
langsung maupun tidak langsung.
Singkat kata, matematika adalah ilmu dasar dalam kehidupan ini.
Pengembangan ilmu matematika adalah sama dengan pengembangan kualitas dan
kemajuan peradaban umat manusia. Menyadari segala kekurangan yang dimiliki,
penulis sangat mengharapkan kritik dan saran dari pembaca sekalian demi
pengembangan lebih lanjut.
Akhir kata, selamat membaca, semoga tulisan ini bermanfaat dan dapat
memotivasi pembaca sekalian.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xi
DAFTAR ISI
Halaman
HALAMAN JUDUL ………………………………………………………… i
HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ……………………………. ii
HALAMAN PENGESAHAN ………………………………………………. iii
HALAMAN MOTTO ……………………………………………………….. Iv
HALAMAN PERSEMBAHAN ……………………………………………. v
PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ……………………………………. vi
PERSETUJUAN PUBLIKASI ……………………………………………… vii
ABSTRAK ……………………………………………………….…………. viii
ABSTRACT ………………………………………………………………… ix
KATA PENGANTAR …………………………………………………..….. x
DAFTAR ISI ……………………………………………………………….. xii
DAFTAR GAMBAR ………………………………………………………. xiv
DAFTAR ISTILAH …………………………………………………………. xvi
BAB I : PENDAHULUAN …………………………………………………. 1
A. Latar Belakang ……………………………………………………… 1
B. Rumusan Masalah ………………………………………………….. 5
C. Batasan Masalah ……………………………………………………. 6
D. Tujuan Penelitian …………………………………………………… 6
E. Manfaat Penelitian …………………………………………………. 7
F. Metode Penelitian …………………………………………………... 8
G. Sistematika Penulisan ………………………………………………. 8
BAB II : LANDASAN TEORI ……………………………………………… 10
A. Geometri Euclides ………………………………………………….. 10
B. Teori Relativitas Einstein …………………………………………… 11
C. Ruang Minkowski …………………………………………………... 12
D. Sistem Koordinat Kartesius …………………………………………. 18
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xii
BAB III : RUANG MINKOWSKI BUKAN SEBAGAI GEOMETRI
EUCLIDES DIMENSI EMPAT ..................................................... 21
A. Penjelasan Berdasarkan Sistem Dimensi ............................................. 21
B. Penjelasan Berdasarkan Sistem Koordinat .......................................... 27
C. Penjelasan Berdasarkan Geometri Euclides ........................................ 30
D. Penjelasan Berdasarkan Teori Relativitas Einstein ............................. 34
BAB IV : SISTEM KOORDINAT KARTESIUS DALAM SEMESTA
DIMENSI EMPAT ......................................................................... 38
A. Sistem Koordinat Kartesius ................................................................. 41
B. Koordinat Bidang ................................................................................. 47
C. Posisi Titik Semesta ............................................................................. 54
D. Bangun Semesta Sederhana ................................................................. 65
E. Hubungan Antara Dimensi Empat dan Ruang Euclides ...................... 68
BAB V : PENUTUP ....................................................................................... 72
A. Kesimpulan ......................................................................................... 72
B. Saran .................................................................................................... 74
DAFTAR PUSTAKA ..................................................................................... 75
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xiii
DAFTAR GAMBAR
Halaman
Gambar 1.1 Koordinat Kartesius Dimensi Dua ................................................. 1
Gambar 1.2 Koordinat Kartesius Dimensi Tiga ................................................ 1
Gambar 2.1 Ruang Minkowski dengan Batasan Dimensi Tiga ........................ 16
Gambar 2.2 Ruang Minkowski dengan Batasan Dimensi Dua ........................ 16
Gambar 2.3 Tesseract ...................................................................................... 17
Gambar 2.4 Garis pada Sumbu X Koordinat Kartesius ………………………. 18
Gambar 2.5 Tingkat Permukaan Nilai Konstan Y ……………………………. 19
Gambar 3.1 Elemen – Elemen Khusus pada Dimensi ....................................... 31
Gambar 3.2 Gerak dan Perpindahan Elemen Khusus Dimensi ........................ 31
Gambar 3.3 Posisi Ruang Euclides dan Ruang Minkowski .............................. 37
Gambar 4.1 Meja Biasa ………………………………………………………. 43
Gambar 4.2 Meja Biasa dengan Keadaan Yang Diinginkan ………………… 43
Gambar 4.3 Vektor Arah dalam Kubus ……………………………………… 43
Gambar 4.4 Sistem Koordinat Dimensi Empat ……………………………… 43
Gambar 4.5 Sistem Koordinat Dimensi Empat ................................................. 45
Gambar 4.6 Segitiga 𝐵𝑂𝐶 ................................................................................ 45
Gambar 4.7 Sistem Koordinat Dimensi Empat …………………………........ 46
Gambar 4.8 Segitiga 𝐵𝑂𝐷 ................................................................................ 46
Gambar 4.9 Bidang Koordinat 𝑤𝑥 ………………………………………….. 47
Gambar 4.10 Bidang Koordinat 𝑥𝑦 …………………………………………... 47
Gambar 4.11 Bidang Koordinat 𝑦𝑧 …………………………………………... 48
Gambar 4.12 Bidang Koordinat 𝑤𝑧 …………………………………………... 48
Gambar 4.13 Bidang Koordinat 𝑤𝑦 ………………………………………….. 48
Gambar 4.14 Bidang Koordinat 𝑥𝑧 …………………………………………... 48
Gambar 4.15 Sistem Koordinat Kartesius Geometri Dimensi Empat ............... 48
Gambar 4.16 Sistem Koordinat dan Bidang Vektornya .................................... 48
Gambar 4.17 Sistem Koordinat dan Vektor Semu ............................................ 49
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xiv
Gambar 4.18 Sistem Koordinat dengan Bidang Vektor dan Vektor Semu ....... 49
Gambar 4.19 Sistem Koordinat Kartesius dan Bidang Koordinatnya ............... 50
Gambar 4.20 Heksan I ....................................................................................... 51
Gambar 4.21 Heksan II ...................................................................................... 51
Gambar 4.22 Heksan III .................................................................................... 52
Gambar 4.23 Heksan IV .................................................................................... 52
Gambar 4.24 Heksan V ..................................................................................... 52
Gambar 4.25 Heksan VI .................................................................................... 52
Gambar 4.26 Sistem Koordinat Kartesius Geometri Dimensi Empat ............... 53
Gambar 4.27 Segitiga 𝑄𝑂𝑃 ................................................................................ 53
Gambar 4.28 Menentukan Posisi Titik ………………….................................. 56
Gambar 4.29 Posisi Titik .................................................................................... 57
Gambar 4.30 Posisi Titik .................................................................................... 58
Gambar 4.31 Grafik 𝑦 = 3 𝑝𝑎𝑑𝑎 ℝ2 .................................................................. 58
Gambar 4.32 Grafik 𝑥 = 4 𝑝𝑎𝑑𝑎 ℝ2 .................................................................. 58
Gambar 4.33 Grafik 𝑦 = 3 𝑝𝑎𝑑𝑎 ℝ3 .................................................................. 59
Gambar 4.34 Grafik 𝑥 = 4 𝑝𝑎𝑑𝑎 ℝ3 ................................................................... 59
Gambar 4.35 Grafik 𝑤 = 0 𝑝𝑎𝑑𝑎 ℝ4 ................................................................. 60
Gambar 4.36 Grafik 𝑦 = 3 𝑝𝑎𝑑𝑎 ℝ4 ................................................................... 60
Gambar 4.37 Grafik 𝑥 = 4 𝑝𝑎𝑑𝑎 ℝ4 ................................................................... 61
Gambar 4.38 Grafik 𝑤 = 𝑧 𝑝𝑎𝑑𝑎 ℝ4 .................................................................. 61
Gambar 4.39 Grafik 𝑤 = 0 𝑝𝑎𝑑𝑎 ℝ4 .................................................................. 62
Gambar 4.40 Grafik 𝑥 = 0 𝑝𝑎𝑑𝑎 ℝ4 ................................................................... 62
Gambar 4.41 Grafik 𝑦 = 0 𝑝𝑎𝑑𝑎 ℝ4 ................................................................... 62
Gambar 4.42 Grafik 𝑧 = 0 𝑝𝑎𝑑𝑎 ℝ4 ................................................................... 62
Gambar 4.43 Perpotongan = 0 𝑑𝑎𝑛 𝑥 = 0 ......................................................... 63
Gambar 4.44 Bidang 𝑦𝑧 ………………………………………………………. 63
Gambar 4.45 Perpotongan = 0 𝑑𝑎𝑛 𝑦 = 0 ......................................................... 63
Gambar 4.46 Bidang W𝑧 ……………………………………………………... 63
Gambar 4.47 Perpotongan Y= 0 𝑑𝑎𝑛 𝑧 = 0 ....................................................... 63
Gambar 4.48 Bidang 𝑤𝑥 ……………………………………………………… 63
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xv
Gambar 4.49 Perpotongan Bidang 𝑤𝑧 𝑑𝑎𝑛 𝑦𝑧 ……………………………….. 64
Gambar 4.50 Garis 𝑧 …..……………………………………………………… 64
Gambar 4.51 Perpotongan Bidang 𝑤𝑥 𝑑𝑎𝑛 𝑤𝑧 ………………………………. 64
Gambar 4.52 Garis 𝑤 ..………………………..………………………………. 64
Gambar 4.53 Perpotongan Garis 𝑤 𝑑𝑎𝑛 𝑧 ……………………………………. 64
Gambar 4.54 Titik 𝑂 (Titik Asal) ..………………………..………………….. 64
Gambar 4.55 Semesta Paralletesse dari Berbagai Sudut Pandang …………… 67
Gambar 4.56 Semesta Rhotesse dari Berbagai Sudut Pandang ………………. 67
Gambar 4.57 Vektor Nyata dan Semu Pada Sistem Dimensi Empat .................. 68
Gambar 4.58 Semesta dan Tatanannya ……………………………………….. 70
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xvi
DAFTAR ISTILAH
Aksioma : Suatu pernyataan yang nilai kebenarannya adalah
mutlak sebagai suatu kejelasan ataupun asumsi.
Basis : Suatu himpunan 𝑆 dari vektor-vektor yang mencakup
himpunan dari beberapa vektor yang dapat ditulis
sebagai suatu kombinasi linier dari himpunan tersebut
dalam 𝑆.
Geometri Euclides : Ranah kajian matematika yang berkaitan dengan studi
geometri berdasarkan defenisi dan aksioma yang
ditetapkan dalam buku Euclides “The Element”.
Kerangka Acuan : Sarana yang digunakan pengamat untuk menentukan
posisi dan menggambarkan gerak tubuh.
Kerangka Inersia : Sebuah kerangka acuan pada hukum Newton tentang
gerak secara terus menerus.
Parallethese : Bangun semesta tesseract yang sisi - sisinya yang
berbentuk jajargenjang.
Proxima Centaury : Bintang katai merah yang terletak sejauh 4,2 tahun
cahaya (3,97×1013 km) dari Bumi.
Rhotesse : Bangun semesta tesseract yang sisi – sisinya berbentuk
belah ketupat.
Ruang-waktu : Suatu dimensi empat yang dibentuk dari gabungan
waktu dan ruang tiga dimensi, menggantikan kerangka
konseptual mekanika klasik di mana ruang dan waktu
ada secara terpisah.
Sistem Koordinat : Sebuah sistem untuk mengidentifikasi titik-titik pada
bidang atau ruang dengan menggunakan koordinatnya,
misalnya koordinat kartesius atau koordinat kutub.
Tesseract : Bangun semesta sederhana yang dibatasi oleh dua belas
sisi segi empat. Dalam dimensi ruang waktu, tesseract
diartikan sebagai pergerakan balok pada selang waktu
tertentu.
Titik Dunia : Titik pada diagram Minkowski sehubungan dengan
dimensi ruang-waktu.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
1
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Geometri Euclides merupakan geometri yang diperkenalkan dan
dikembangkan oleh matematikawan dari Alexandria, Euclides, sekitar tiga ratus
tahun sebelum masehi. Menurut Coxeter (1969), Euclides menyusun secara rapi
pemahaman mengenai geometri berdasarkan konsep, teorema dan
pembuktiannya sebagai identitas asli dari geometri [𝟏𝟎]. Penyusunan
pemahaman geometri yang tertata rapi tersebut diperkenalkan pada masyarakat
luas dalam tiga belas buku yang dikenal sebagai Euclid’s Elements. Secara
ringkas, pada penataan tersebut Euclides memperkenalkan 10 prinsip utama
yang terdiri dari lima postulat dan lima pembuktian sebagai dasar dari The
Elements, (Burton, David M. 2011) [𝟓]. Berdasarkan prinsip utama itulah, dapat
dilihat dan dipahami bahwa Euclides memfokuskan geometri pada kelima
postulat tersebut kemudian dikembangkan menjadi beberapa bagian menurut
hubungan sebab akibatnya.
Gambar 1.1 Koordinat Kartesius Geometri
Dimensi Dua
Gambar 1.2 Koordinat Kartesius Geometri
Dimensi Tiga
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
2
Secara matematis dimensi dapat diartikan sebagai jumlah arah
perubahan yang dapat terjadi dalam suatu sistem. Mengacu pada Geometri
Euclides, perubahan yang terjadi dalam suatu sistem tersebut digambarkan pada
beberapa sumbu yang membagi sistem menjadi beberapa bagian yang sama.
Sebagai contoh, pada geometri dimensi dua terdiri dari dua buah sumbu 𝑋 dan
𝑌 yang membagi sistem dimensi dua menjadi 4 (empat) bagian yang sama,
yaitu: 𝑋𝑂𝑌, 𝑌𝑂(−𝑋), (−𝑋)𝑂(−𝑌), dan (−𝑌)𝑂𝑋, seperti pada Gambar 1.1.
Pada geometri dimensi tiga terdiri dari tiga buah sumbu 𝑋, 𝑌 dan 𝑍 yang
membagi sistem dimensi tiga menjadi 8 (delapan) bagian yang sama, yaitu:
𝑌𝑋𝑍𝑂, 𝑋𝑍(−𝑌)𝑂, (−𝑌)(−𝑋)𝑍𝑂, (−𝑋)𝑌𝑍𝑂, 𝑌𝑋(−𝑍)𝑂, 𝑋(−𝑍)(−𝑌)𝑂,
(−𝑌)(−𝑋)(−𝑍)𝑂, dan (−𝑋)𝑌(−𝑍)𝑂, seperti pada Gambar 1.2. Dari sumbu -
sumbu yang diberikan tersebut, masing – masing sumbu mewakili ukuran
besaran pokok yang sama yaitu panjang sehingga mampu berada dalam satu
sistem kajian yang dibentuk dalam satu kesatuan koordinat yang diperkenalkan
pertama kali oleh Rene Descartes dan dikenal umum sebagai Koordinat
Kartesius.
Sejak awal mula munculnya era baru geometri yang ditandai dengan
lahirnya Geometri Euclides, geometri mulai berkembang pesat seiring dengan
perkembangan jaman. Dari perkembangan tersebut ide – ide dan teori – teori
baru mulai bermunculan untuk membantu manusia dalam memaknai hidup dan
mengukur segala sesuatu yang ada di bumi bahkan yang ada pada alam semesta.
Salah satu ide atau teori tersebut adalah teori mengenai ruang – waktu atau
“spacetime”. Teori “spacetime” ini diungkapkan oleh Hermann Minkowski
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
3
yang melanjutkan Teori Relativitas Einstein, yang secara singkat dimaknai
sebagai geometri dimensi empat ruang – waktu. Teori ruang – waktu ini
dipandang dan diyakini sebagai bentuk dari dimensi empat Geometri Euclides
yang dapat dilihat dari dimensi tiga Geometri Euclides dan waktu yang
dijalankan dalam suatu sistem, mengutip Einstein, Albert (1921) …, we can
regard the space-time continuum as a “Euclidean” four-dimensional
continuum,… [13]
Berdasarkan Einstein, dimensi ruang-waktu dapat dianggap sebagai
dimensi empat Geometri Euclides jika diteliti lebih mendalam pada pencapaian
persamaan jarak yang ada pada dimensi ruang-waktu. Adapun persamaan jarak
pada dimensi ruang-waktu adalah 𝑑𝑠2 = 𝑑𝑥2 + 𝑑𝑦2 + 𝑑𝑧2 − 𝑐2𝑑𝑡2. Apabila
𝑥, 𝑦, 𝑧 dan √−1 𝑐𝑡 diberi nilai 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 dan 𝑥4, maka akan membentuk
persamaan jarak seperti yang diharapkan pada dimensi empat Geometri
Euclides yaitu: 𝑑𝑠2 = 𝑑𝑥12 + 𝑑𝑥2
2 + 𝑑𝑥32 + 𝑑𝑥4
2. Akan tetapi, jika ditinjau
kembali, dapat dipahami bahwa Geometri Euclides berguna untuk menentukan
posisi dengan menggunakan panjang, dengan vektor basis panjang tersebut
(𝑥, 𝑦, 𝑧) adalah independent (tidak terikat dengan variabel ataupun konstanta
lainnya) sedangkan dalam persamaan jarak dimensi ruang-waktu 𝑡 terikat
dengan c (kecepatan cahaya). Andaikan 𝑡 adalah independent sesuai vektor
basis lainnya pada Geometri Euclides maka akan memenuhi apa yang menjadi
tuntutan Geometri Euclides, akan tetapi dalam hal ini juga akan mengakibatkan
tidak terlaksananya dimensi ruang-waktu dikarenakan dalam dimensi ruang-
waktu diharuskan keterikatan 𝑡 (waktu) dengan 𝑐 (kecepatan cahaya).
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
4
Menanggapi fakta yang ada, peneliti mencoba mengikuti alur pemikiran
teori tersebut secara keseluruhan dan memahaminya. Dari proses pemahaman
tersebut peneliti merasa bahwa terdapat kejanggalan ide atau teori tersebut.
Secara hakiki, peneliti tidak menyalahkan teori tersebut tetapi yang menjadi inti
dari permasalahannya adalah “Apakah dimensi ruang – waktu benar merupakan
geometri dimensi empat yang melanjutkan Geometri Euclides? Apakah waktu
memang tepat untuk dijadikan subjek pengamatan dalam suatu sistem
berpadanan dengan koordinat pada sistem Koordinat Kartesius? Ataukah
dimensi ruang – waktu hanyalah merupakan penerapan dari dimensi tiga?
Berdasarkan definisi dimensi, dapat dilihat bahwa dimensi menunjukan
jumlah arah perubahan yang dapat terjadi dalam suatu sistem. Di sisi lain,
anggapan bahwa geometri dimensi empat ruang – waktu sebagai geometri
dimensi empat menimbulkan pertanyaan karena melibatkan waktu dalam
sistem. Dasar jumlah arah pada dimensi yang sering kita gunakan pada
Koordinat Kartesius menggunakan besaran pokok panjang yang disimbolkan
dalam bentuk sumbu 𝑋, 𝑌, dan 𝑍, sedangkan dimensi ruang – waktu
menggabungkan waktu yang memiliki besaran pokok waktu ke dalam koordinat
𝑋, 𝑌, dan 𝑍 tersebut. Menurut peneliti adalah suatu kejanggalan bahwa panjang
dan waktu dijadikan subyek pengamatan pada suatu sistem hingga
menghasilkan makna geometri dimensi baru dalam Geometri Euclides. Apakah
tepat demikian ataukah waktu hanya memberikan gambaran untuk penerapan
geometri dimensi tiga saja sehingga geometri dimensi ruang dan waktu yang
dianggap sebagai geometri dimensi empat adalah suatu bentuk kesalahan dalam
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
5
pemahaman teori ruang – waktu? Dalam pengkajian yang lebih mendalam
mengenai dimensi, dimensi adalah bagian utama dari geometri yang diteliti.
Pengamatan geometri, khususnya dimensi selalu berada pada keadaan statis di
mana pada keadaan dinamis yaitu bergerak pada selang waktu tertentu,
dianggap dan diyakini sebagai suatu penerapan yang dipelajari pada cabang
ilmu fisika.
Berdasarkan penalaran – penalaran di atas, peneliti meyakini bahwa
waktu tidak dapat dijadikan sebagai bagian dari sistem koordinat untuk
menunjukan adanya geometri dimensi baru. Dari keyakinan tersebut, yang
menjadi pertanyaan baru adalah seperti apakah bentuk geometri dimensi empat
yang dapat dianggap sebagai lanjutan dimensi tiga Geometri Euclides tersebut?
Pertanyaan tersebut menjadikan peneliti terinspirasi untuk menemukan
jawabannya.
B. Rumusan Masalah
Adapun yang menjadi masalah dalam penelitian ini dapat dirumuskan
sebagai berikut:
1. Apakah Ruang Minkowski adalah tepat jika dianggap sebagai
geometri dimensi empat yang melanjutkan dimensi tiga Geometri
Euclides?
2. Seperti apakah sistem geometri dimensi empat dalam bentuk
representasi sistem Koordinat Kartesius dan sifat – sifatnya?
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
6
C. Batasan Masalah
Adapun dalam penelitian ini, secara khusus akan dibahas mengenai:
1. Pandangan Ruang Minkowski secara geometris khususnya
penggunaan sumbu waktu sebagai sumbu keempat sistem dimensi
dalam kaitannya terhadap asumsi Ruang Minkowski sebagai
geometri dimensi empat yang melanjutkan Geometri Euclides.
2. Geometri Euclides, khususnya representasi grafik dalam bentuk
sistem Koordinat Kartesius.
D. Tujuan Penelitian
Adapun tujuan yang ingin dicapai dalam melakukan penelitian ini adalah
sebagai berikut:
1. Menjelaskan secara matematis ketepatan ataupun ketidaktepatan asumsi
mengenai Ruang Minkowski sebagai Geometri Euclides Dimensi
Empat.
2. Menjelaskan bentuk sistem geometri dimensi empat dalam representasi
sistem Koordinat Kartesius dan sifat - sifatnya.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
7
E. Manfaat Penelitian
Adapun manfaat yang dapat diperoleh dalam melakukan penelitian ini adalah :
1. Dari segi teoritis
Penelitian ini diharapkan memberikan gambaran pemahan yang
jelas mengenai geometri dimensi empat, baik space-time maupun
Geometri Euclides dimensi empat..
2. Dari segi praktis
Penelitian ini diharapkan mampu memberikan jawaban dan
penjelasan mengenai asumsi yang tepat akan pemahaman geometri
dimensi empat dan dimensi ruang dan waktu.
3. Dari segi peneliti
Penelitian ini diharapkan mampu mengasah kemampuan peneliti
untuk selalu berpikir kritis dan cepat tanggap terhadap permasalahan
faktual yang tengah terjadi dewasa ini.
4. Dari segi pembaca
Penelitian ini diharapkan mampu mendorong dan memotivasi
pembaca untuk selalu bertanya dan mencari jawaban atas segala sesuatu
bukan hanya mengiyakan pendapat sesama yang bahkan tidak
dimengerti sendiri alasannya dan bagaimana cara kerja pendapat yang
diberikan tersebut.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
8
F. Metode Penelitian
Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah metode studi pustaka,
yaitu dengan membaca, mempelajari, mengkaji dan menganalisis materi dari
buku – buku ataupun – jurnal yang berkaitan dengan topik skripsi. Selain itu,
penelitian ini juga menggunakan metode uji coba akulturasi teori , yaitu
penggabungan ide dari teori – teori yang berkaitan dengan topik skripsi guna
menghasilkan sesuatu yang baru dengan maksud pencapaian tujuan skripsi yang
ada.
G. Sistematika Penulisan
Tulisan ini mengkaji tentang sistem geometri dimensi empat dalam
representasi sistem Koordinat Kartesius dan sifat - sifatnya yang dapat dianggap
sebagai lanjutan Geometri Euclides. Tulisan ini terbagi menjadi lima bab. Pada
Bab I, akan dibahas mengenai latar belakang, rumusan masalah, batasan
masalah, tujuan penelitian, manfaat penelitian, metode penelitian dan
sistematika penulisan. Pada Bab II akan diingatkan dan dijelaskan mengenai
konsep – konsep utama yang berkaitan erat dengan pembahasan dan analisis
dalam tulisan ini, yaitu meliputi: Geometri Euclides, Teori Relativitas Einstein
dan Ruang Minkowski.
Bagian utama dari tulisan ini adalah terdapat pada Bab III dan Bab IV. Pada
Bab III akan dibahas mengenai Ruang Minkowski yang merupakan dimensi
ruang – waktu yang dianggap sebagai geometri dimensi empat yang
melanjutkan Geometri Euclides. Selanjutnya, Ruang Minkowski ini akan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
9
dijelaskan berdasarkan konsep – konsep ilmu lainnya untuk mengetahui tingkat
kebenaran asumsinya sebagai geometri dimensi empat lanjutan Geometri
Euclides. Pada Bab IV, akan ditampilkan gagasan baru mengenai geometri
dimensi empat dalam bentuk representasi sistem koordinat dan sifat - sifatnya
yang dapat dianggap sebagai lanjutan Geometri Euclides. Secara lebih lanjut,
pada bab ini akan dibahas mengenai hubungan geometri dimensi empat dan
Ruang Euclid.
Pada Bab terakhir dalam tulisan ini dicantumkan kesimpulan dari
pembahasan dan analisis yang telah di uraikan pada Bab III dan Bab IV serta
beberapa saran yang dapat digunakan untuk penelitian lanjutan.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
10
BAB II
LANDASAN TEORI
Pada bab ini akan dibahas mengenai beberapa konsep yang sangat
diperlukan sebagai landasan teori dalam pembahasan mengenai geometri dimensi
empat sebagai lanjutan Geometri Euclides. Pembahasan pada bagian ini dibagi
menjadi empat bagian utama, yaitu: Geometri Euclides, Teori Relativitas Einstein,
Ruang Minkowski dan Sistem Koordinat Kartesius.
A. Geometri Euclides
Euclid dari Alexandria, Mesir adalah matematikawan kuno yang
menghasilkan karya monumental dalam geometri, yaitu “The Elements”.
Buku ini memuat geometri dan Teori Bilangan. Pada buku Euclid dibedakan
antara aksioma dan postulat, postulat berlaku untuk sains tertentu sedangkan
aksioma berlaku umum. Euclid mengemukakan 5 aksioma dan 5 postulat.
Aksioma yang dikemukakan Euclid tersebut adalah:
1. Benda – benda yang sama dengan benda yang sama, satu dengan
yang lain juga sama.
2. Jika suatu yang sama ditambah dengan suatu yang sama,
jumlahnya sama.
3. Jika suatu yang sama dikurangi dengan suatu yang sama, sisanya
sama.
4. Benda-benda yang berimpit satu sama lain, benda-benda
tersebut sama.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
11
5. Seluruhnya lebih besar dari bagiannya.
Postulat – postulat yang dikemukakan Euclid adalah sebagai berikut:
1. Melalui dua titik sebarang dapat dibuat tepat satu garis.
2. Ruas garis dapat diperpanjang secara kontinu menjadi garis.
3. Melalui sebarang titik dan sebarang jarak dapat dilukis
lingkaran.
4. Semua sudut siku – siku sama.
5. Jika suatu garis memotong dua garis dan membuat sudut-sudut
dalam sepihak kurang dari dua sudut siku – siku, kedua garis itu
jika diperpanjang tak terbatas, akan bertemu dipihak tempat
kedua sudut dalam sepihak kurang dari dua sudut siku-siku.
B. Teori Relativitas Einstein
Teori Relativitas Khusus Einstein membentuk landasan bagi konsep
baru tentang ruang – waktu. Einstein menyatakan bahwa semua pengamat
yang tidak mengalami percepatan seharusnya diperlakukan sama terhadap
apapun, walaupun mereka bergerak (dalam kecepatan konstan) relatif satu
terhadap lainnya. Teori ini didasarkan pada dua postulat berikut, yang
diajukan Albert Einstein.
1. Postulat pertama (Asas Relativitas)
Hukum fisika dapat dinyatakan dalam persamaan yang
berbentuk sama dalam semua kerangka acuan yang bergerak
dengan kecepatan tetap satu dengan lainnya.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
12
2. Postulat kedua (Asas Ketakubahan Kecepatan Cahaya)
Kecepatan cahaya dalam ruang hampa sama besar untuk semua
pengamat tidak tergantung dari keadaan gerak pengamat.
Postulat pertama pada dasarnya menegaskan bahwa tidak ada
satupun percobaan yang dapat kita gunakan untuk mengukur kecepatan
terhadap ruang mutlak, yang dapat kita ukur hanyalah laju relatif. Postulat
kedua, adalah sebuah konsekuensi dari foton yang tak bermassa bergerak
dengan kecepatan cahaya 𝑐 pada ruang hampa. Postulat kedua menegaskan
fakta bahwa laju cahaya adalah sama bagi semua pengamatan, sekalipun
mereka dalam gerak relatif.
C. Ruang Minkowski
Ruang Minkowski merupakan implikasi dari pandangan teori relativitas
ruang dan waktu sehingga disebut juga ruang dimensi ruang – waktu. Teori
ini digagaskan Hermann Minkowski. Pada dasarnya Ruang Minkowski ini
hanyalah merupakan penerapan Teori Relativitas Einstein pada Geometri
Euclides. Ruang dimensi empat ruang – waktu ini dijelaskan oleh Hermann
Minkowski sebagai “dunia”.
Melalui cara yang sama dengan ruang dimensi tiga yang dijelaskan
melalui sumbu – sumbu ruang dimensi tiga, Ruang Minkowski dapat juga
dipandang sebagai ruang dimensi empat. Perluasan ruang dimensi tiga
menjadi ruang dimensi empat mengakibatkan perpanjangan vektor r dengan
komponen – komponen vektornya (𝑥, 𝑦, 𝑧) dapat menjadi vektor dimensi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
13
empat dengan komponen – komponen vektornya (𝑡, 𝑥, 𝑦, 𝑧), di mana t
merupakan komponen waktu. Dalam hal untuk mendapati bentuk fisik
dimensi yang sama untuk keseluruhan keempat sumbu dalam Ruang
Minkowski diperkenalkan suatu koordinat waktu dengan panjang dimensi
𝑥0 = 𝑐𝑡, di mana c merupakan kecepatan cahaya. Koordinat ruang – waktu
dapat dinyatakan dalam notasi sebagai berikut:
𝑥0 = 𝑐𝑡 𝑥1 = 𝑥 𝑥2 = 𝑦 𝑥3 = 𝑧
Vektor posisi dari suatu titik ruang – waktu adalah, sebagai berikut:
𝑹 = (𝑐𝑡, 𝑥, 𝑦, 𝑧)
Dan juga dapat dinyatakan dalam bentuk 𝑹 = (𝑥0, 𝒓), di mana r merupakan
komponen ruang vektor R.
Untuk mengetahui sifat matematis dari Ruang Minkowski, perlu
diketahui elemen garisnya. Terdapat beberapa syarat untuk menentukan
elemen garis pada Ruang Minkowski, yakni sebagai berikut:
1. Semua obyek dan peristiwa yang terjadi pada garis cahaya terjadi
secara simultan. Karena matahari 8 menit yang lalu dan proxima
centaury 4,2 tahun yang lalu terjadi secara bersamaan (isyaratnya
sampai terjadi bersamaan), maka jaraknya adalah sama dengan nol.
Dengan begitu “jarak” pada garis cahaya adalah sama dengan nol.
2. Jika jarak antara dua obyek yang selang komponen waktunya adalah
nol, maka elemen garisnya haruslah tereduksi menjadi elemen garis
dalam Ruang Euclides yang bila dinyatakan dalam Koordinat
Kartesius menjadi:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
14
𝑑𝑠2 = 𝑑𝑥2 + 𝑑𝑦2 + 𝑑𝑧2 … (1)
Berdasarkan kedua syarat di atas, dapat diperoleh dua kemungkinan
elemen garis dari Ruang Minkowski yaitu:
𝑑𝑠2 = 𝑐2𝑑𝑡2 − 𝑑𝑟2 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑑𝑠2 = −𝑐2𝑑𝑡2 + 𝑑𝑟2 … (2)
Di mana 𝑑𝑟 ialah elemen garis dalam Ruang Euclides,
𝑑𝑟2 = 𝑑𝑥2 + 𝑑𝑦2 + 𝑑𝑧2 dan kecepatan cahaya ( 𝑐 ) ditambahkan untuk
kesetaraan dimensi dari Sistem Internasional. Meskipun demikian sering
dinyatakan 𝑐 = 1, sehingga 𝑐2𝑑𝑡2 = 𝑑𝑡2 dan nampak tidak ada perbedaan.
Jika digunakan ketentuan pertama, elemen garis dalam Ruang Minkowski
dapat ditulis lengkap menjadi:
𝑑𝑠2 = 𝑑𝑡2 − (𝑑𝑥2 + 𝑑𝑦2 + 𝑑𝑧2) … (3)
Sebagai catatan, dalam menyatakan keempat vektor R dalam
hubungan antara ruang dan waktu yang dinyatakan dalam persamaan (2)
dan persamaan (3), digunakan bentuk spesifik inersia sebagai bahan acuan.
Meskipun representasi dari hubungan komponen – komponen tersebut
sesuai, akan tetapi belum tertata dengan baik saat menganggap bahwa
vektor R adalah pilihan independent dari bentuk koordinat. Hal ini akan
berlaku sama pada vektor r yang dianggap sebagai pilihan independent dari
sumbu koordinat. Hubungan dari suatu himpunan vektor basis dapat
dinyatakan melalui persamaan berikut: 𝑹 = ∑ 𝑥03𝜇=0 𝑒𝜇, di mana 𝑒0
merupakan suatu vektor bagian dari sumbu waktu dan 𝑒𝜇, 𝜇 = 1,2,3
merupakan suatu himpunan dari vektor bagian vektor orthogonal dalam
ruang tiga dimensi. Hal ini dapat diidentifikasi melalui bentuk sederhana
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
15
vektor bagian, yaitu i, j dan k dari bentuk suatu Koordinat Kartesius dimensi
tiga. Perubahan bentuk akan berkorespondensi pada perubahan vektor basis
{𝑒𝜇} dan hal ini dapat tergantikan dengan transformasi koordinat 𝑥𝜇
sehingga vektor R dibiarkan tanpa perubahan. Vektor R dapat dinyatakan
dalam bentuk matriks kolom:
𝑹 = (
𝑥0
𝑥1
𝑥2
𝑥3
) .
Vektor posisi R pada ruang – waktu membentuk suatu sistem
dimensi empat ruang vektor. Hal ini berguna untuk menggambarkan
representasi dari ruang, akan tetapi karena tidak dapat dibuatnya suatu
representasi yang baik dari keseluruhan dimensi empat maka dibuatlah
suatu batasan pada ruang dua dimensi yang meliputi koordinat (𝑥0, 𝑥1) atau
ruang tiga dimensi yang meliputi (𝑥0, 𝑥1, 𝑥2). Pembatasan representasi ini
mungkin cukup mengingat pergerakan dalam satu atau dua dimensi.
Representasi secara grafik dari ruang bagian digunakan sebagai acuan yang
disebut sebagai Diagram Minkowski dan geometri dimensi empat ruang –
waktu dari teori relativitas khusus disebut sebagai Ruang Minkowski.
Gambar 2.1: Ruang Minkowski dengan
Batasan Dimensi Tiga. Gambar 2.2: Ruang Minkowski dengan
Batasan Dimensi Dua.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
16
Pada diagram pertama, Gambar 2.1 sumbu 𝑋 dan sumbu 𝑌 yang
ditonjolkan, sedangkan pada diagram kedua, Gambar 2.2 hanyalah sumbu
𝑋 yang ditonjolkan. Garis berarah dan sumbu koordinat menegaskan
kerelatifan bentuk inersia yang diberikan. Pada kedua diagram, ditunjukkan
kerucut cahaya depan dan kerucut cahaya belakang. Kerucut ini
menegaskan kerelatifan pada titik ruang – waktu, akan tetapi hal ini sesuai
dengan pilihan independen bentuk inersia. Kerucut cahaya depan
menunjukan kepastian masa depan seperti yang ditunjukan oleh vektor 𝑹𝐴.
Kerucut cahaya belakang menegaskan kepastian masa lalu. Di samping itu,
kerucut cahaya juga menegaskan mengenai titik yang relatif simultan.
Vektor 𝑹𝐵 dipresentasikan dengan sebuah titik di mana titik tersebut
berasal dari titik asal dan menunjukan bahwa ruang – waktu merupakan
bagian dari masa depan dan masa lalu.
Secara sederhana, dimensi empat Ruang Minkowski menggunakan
Geometri Euclides dan sisipan pemahaman baru mengenai relativitas dari
Teori Relativitas Einstein. Dengan gabungan ini, Ruang Minkowski
menunjukan dengan jelas ranah kajian Geometri Euclides (∆𝑡 = 0) dan
ranah tambahannya ∆𝑡 ≠ 0 pada Ruang Minkowski ini, terlihat hubungan
antara geometri dimensi tiga Ruang Euclides dan Relativitas Einstein, yaitu
sebagai: 4𝐷 = 3𝐷 + 𝑡.
Geometri dimensi empat yang dimaksud di atas adalah Ruang
Minkowski yang terdiri dari dimensi tiga Ruang Euclides dan t waktu,
vektor tambahan keempat dari Minkowski yang mengacu pada kecepatan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
17
cahaya c di mana 𝑐 ≤ 1, dan 𝑣 ≪ 𝑐 sehingga ketika vektor t dimanipulasi
dengan c maka akan mengakibatkan kajian sistem yang sama dalam Sistem
Internasional dengan ketiga vektor lainnya.
Pada Ruang Minkowski telah dikenal suatu bangun yang merupakan
bangun khas Ruang Minkowski itu sendiri yaitu Tesseract. Tesseract
menurut Ruang Minkowski ini sendiri merupakan pergerakan sebuah
bangun kubus pada selang waktu tertentu yang dapat dilihat pada gambar
berikut:
Gambar 2.3: Tesseract
Pada Gambar 2.3, jika garis putus – putus berarah menunjukan
perubahan acuan kubus dari kubus bawah menuju kubus atas, maka dapat
dikatakan bahwa Tesseract merupakan gambaran secara utuh dari
perubahan tersebut.
D. Sistem Koordinat Kartesius
Sebuah sistem koordinat terdiri dari empat elemen dasar, yaitu: titik
asal, sumbu, arah positif sumbu dan vektor satuan sumbu.
1. Titik Asal
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
18
Pada bagian ini, akan ditentukan sebuah titik asal O. Jika
diberikan suatu obyek, maka pilihan titik asal biasanya adalah
bertepatan dengan suatu titik khusus seperti titik tengah dari
perpotongan garis – garis.
2. Sumbu
Pada bagian ini akan ditentukan suatu himpunan sumbu
koordinat. Himpunan sumbu koordinat yang sederhana dikenal sebagai
sumbu kartesius yang terdiri dari sumbu X, sumbu Y dan sumbu Z.
Pilihan himpunan sumbu ini dapat disesuaikan sesuai dengan obyek
fisik yang hendak diamati. Sebagai contoh: ditentukan sumbu X
sehingga garis terletak pada sumbu X seperti yang ditunjukkan pada
gambar di samping.
Setelah itu, setiap titik P dalam ruang S dapat diberi nilai
(𝑋𝑃, 𝑌𝑃, 𝑍𝑃) yang merupakan Koordinat
Kartesius dari titik P itu sendiri. Kumpulan
titik – titik yang memiliki koordinat yang
sama dengan 𝑦𝑃 disebut permukaan.
Himpunan titik – titik dalam ruang S yang
memiliki nilai yang sama adalah 𝑌 = 𝑌𝑃 sehingga himpunan titik – titik
tersebut adalah:
𝑆𝑌𝑃= {(𝑋, 𝑌, 𝑍) ∈ 𝑆 ∋ 𝑌 = 𝑌𝑃}
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
19
Gambar 2.5: Tingkat Permukaan Ditetapkan Untuk Nilai Konstan 𝑌𝑝
Himpunan S merupakan suatu bidang, bidang XZ (Gambar 2.5)
yang disebut tingkat konstan 𝑌𝑃. Dengan demikian, koordinat y untuk
setiap titik sebenarnya memberikan gambaran sebuah bidang yang tegak
lurus terhadap sumbu Y.
3. Arah Positif Sumbu
Pilihan ketiga adalah menentukan arah yang positif untuk setiap
sumbu koordinat. Akan ditunjukkan pilihan dengan simbol + sepanjang
sumbu positif. Secara umum, Koordinat Kartesius yang dilukis dengan
bidang XY sesuai dengan bidang kertas. Arah horizontal dari kiri ke
kanan diberi nilai sumbu X positif dan vertikal dengan arah dari bawah
ke atas diberi nilai sebagai sumbu Y positif.
Dalam permasalahan fisika, kita dapat secara bebas memilih
sumbu dan arah positif dengan cara apapun, pilihan tersebut disesuaikan
dengan cara terbaik dalam menyelesaikan masalah yang ada. Masalah
yang sangat sulit menggunakan pilihan konvensional dapat berubah
menjadi lebih mudah untuk dipecahkan dengan membuat pilihan yang
tepat pada sumbu.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
20
4. Vektor Satuan Sumbu
Setiap titik P dalam ruang merupakan suatu himpunan yang
terdiri dari tiga buah vektor satuan (𝒊𝑝, 𝒋𝑝, 𝒌𝑝). Besar suatu vektor
satuan adalah satu, yaitu:
|𝒊𝑝| = 1, |𝒋𝑝| = 1, |𝒌𝑝| = 1
Akan ditetapkan arah dari 𝒊𝑝 semakin meningkat sepanjang
sumbu X menuju titik P. Sehingga dapat didefinisikan arah 𝒋𝑝 dan 𝒌𝑝
semakin meningkat sepanjang sumbu koordinat Y dan sumbu koordinat
Z secara berturut – turut menuju titik P.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
21
BAB III
PENJELASAN MATEMATIS MENGENAI ANGGAPAN RUANG
MINKOWSKI SEBAGAI GEOMETRI EUCLIDES DIMENSI EMPAT
Berdasarkan makna Ruang Minkowski dan kejanggalan seperti yang telah
dijelaskan pada bab – bab sebelumnya, berikut akan dibahas penjelasan beberapa
sudut pandang lain terhadap Ruang Minkowski guna menunjukan dan memberikan
penjelasan matematis terhadap kekeliruan anggapan Ruang Minkowski sebagai
Geometri Euclides dimensi empat. .
A. Penjelasan Berdasarkan Sistem Dimensi
Menurut artinya secara matematis, dimensi dapat didefinisikan sebagai
jumlah arah perubahan yang dapat terjadi pada suatu sistem. Dengan kata lain,
suatu dimensi n menggambarkan bahwa terdapat n arah dalam perubahannya
yang terjadi bersamaan pada suatu sistem. Dalam hal ini banyaknya 𝑛 arah
menekankan pada posisi mutlak perubahan itu terjadi pada suatu sistem yang
digambarkan dengan pasti melalui vektor yang arahnya terdefinisi dengan jelas.
Membahas mengenai sistem dimensi ini, kembali akan kita bahas
mengenai Ruang Minkowski yang dipandang sebagai Geometri Euclides
dimensi empat karena menggunakan sistem ruang tiga dimensi Geometri
Euclides dan waktu t sebagai komponen – komponen vektornya.
Mengacu pada sistem SI, komponen – komponen vektor Ruang
Minkowski (𝑥0, 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) dioperasikan sedemikian hingga memiliki besaran
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
22
SI yang sama, yaitu dengan menggunakan parameter 𝑐 kecepatan cahaya. Hal
ini mengakibatkan besaran SI untuk vektor 𝑡 beralih dari [T] (Time) menjadi
[L] (Long) sebagai akibat bentuk 𝑐𝑡 di mana 𝑐𝑡 =[𝐿]
[𝑇][𝑇] = [𝐿].
Komponen vektor keempat 𝑥0 ini dapat berlangsung dalam suatu sistem
yang sama dengan vektor – vektor lainnya (𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) akibat pengaruh
parameter 𝑐. Akan tetapi, mengenai permasalahan ini, parameter yang
digunakan pada dasarnya merupakan kecepatan sehingga saat dihubungkan
terhadap waktu yang pada dasarnya merupakan komponen vektor ke empat
yang ditambahkan maka nilai esensial dari waktu 𝑡 tersebut akan berubah
sebagai akibat pengaruh penggunaan parameter 𝑐.
Tabel Makna Esensial Waktu t.
𝑥0, 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 : Komponen vektor dimensi empat
𝑡, 𝑥, 𝑦, 𝑧 : Komponen vektor dimensi empat
[𝑇], [𝐿], [𝐿], [𝐿] : Komponen vektor dalam SI
𝑐𝑡, 𝑥, 𝑦, 𝑧 : Komponen vektor dengan penggunaan
parameter pada t
[𝐿], [𝐿], [𝐿], [𝐿] : Komponen vektor dalam SI setelah
menggunakan parameter pada t
𝑡 merupakan bagian
dari dimensi [𝐿]
: makna t yang diperoleh akibat pengaruh
parameter
𝑡 merupakan bagian
dari dimensi [𝑇] : Makna esensial t
Pada bagian makna t yang diperoleh akibat pengaruh parameter, terlihat
jelas bahwa dalam komponen – komponen vektornya memang menggunakan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
23
waktu sebagai vektor keempat, akan tetapi pada aplikasinya tidak ada
penggunaan waktu yang sebenarnya sebagai akibat pengaruh parameter 𝑐 yang
mengubah esensi vektor 𝑡 sebagai waktu menjadi panjang. Karena sangatlah
jelas bahwa tidak ada waktu yang merupakan panjang ([𝐿] ≠ [𝑇] dan 𝑡 bukan
merupakan bagian dari dimensi [𝑇]).
Dalam hal ini, memang terasa benar bahwa kuantitas cara perubahan
yang ditampilkan oleh Ruang Minkowski adalah empat yaitu ditunjukkan
melalui vektor 𝑥0, 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 dengan 𝑥0 = 𝑡, 𝑥1 = 𝑥, 𝑥2 = 𝑦, 𝑑𝑎𝑛 𝑥3 = 𝑧.
Akan tetapi, jika dilihat dari arah perubahan yang dapat terjadi pada sistem
dimensi tersebut, komponen – komponen yang tersebutkan tidak terjelaskan
secara rinci dan tepat mengenai arah pastinya seperti yang dapat dilihat dalam
representasi grafik Ruang Minkowski (Lihat Gambar 2.1 dan Gambar 2.2).
Selain itu, arah yang tidak pasti tersebut lebih digambarkan oleh 𝑥0 =
𝑡, seperti yang diungkapkan oleh Minkowski sendiri melalui materi
presentasinya saat pertemuan ke 80 dari fisikawan dan ilmuwan Jerman,
Cologne, 21 september 1908 dengan nenyatakan bahwa:
“The time axis can hence be given a completely arbitrary direction towards
the upper half of world, 𝑡 > 0” [22]
Pernyataan tersebut di atas menyatakan bahwa sumbu waktu dapat diberikan
arah sembarang terhadap setengah bagian atas dunia, dengan dunia merupakan
sebutan Minkowski untuk ruangnya. Jika berbicara mengenai arah yang
sembarang, tanpa adanya spesifikasi yang jelas, maka akan sangat mudah dalam
membuat geometri dimensi empat itu sendiri. Akan tetapi, ketika berbicara
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
24
mengenai geometri dengan anggapan Ruang Minkowski sebagai lanjutan
Ruang Euclides, “Apakah terdapat arah sembarang tanpa memiliki spesifikasi
yang jelas dari komponen – komponen vektor yang ditampilkan Euclides?”
Tentu saja tidak, ketiga komponen vektor yang ditampilkan oleh Euclides
tertata rapi dengan kejelasan arah dan spesifikasi rinci dari ketiga komponen
vektor (𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) tersebut (lihat Gambar 1.2).
Apabila dipandang sebagai lanjutan Geometri Euclides maka Ruang
Minkowski harus dapat terjelaskan menurut hukum dasar Geometri Euclides
dan bahkan menambahkan ataupun memperbaikinya bukan menguranginya
begitu saja.
Pada hakikatnya, mengikuti definisi ruang dan waktu, keduanya adalah
independen untuk masing – masing dan hanya dapat berdampingan tetapi tidak
dapat bersatu ataupun disatukan. Menyetujui pernyataan Minkowski juga dalam
materi presentasinya (Cologne: 1908):
“Nobody has ever noticed a place except at a time, or a time except at a
place”. [22]
Memang benar bahwa tak seorangpun pernah melihat tempat kecuali pada suatu
waktu atau waktu pada suatu tempat. Akan tetapi hal tersebut tidaklah berarti
bahwa waktu dan ruang dapat dijadikan satu dalam hal sistem tinjauan. Ruang
dan waktu dapat berdampingan akan tetapi kedua hal tersebut tidak dapat
disatukan atau dianggap sama.
Waktu dapat terjadi dalam ruang akan tetapi ruang tidak dapat terjadi
dalam waktu (hal ini dikarenakan ruang hanya dapat terjadi dalam selang waktu
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
25
tertentu, dengan kata lain saat tidak terdapat selang waktu maka tidak terdapat
ruang). Disisi lain, ruang dapat ditinjau menurut waktu dan waktu dapat ditinjau
menurut ruang. Pendapat tersebut di atas dapat dijadikan pernyataan tautologi
sebagai berikut:
“Jika waktu terdapat pada suatu sistem maka ruang terdapat
pada sistem juga atau jika ruang terdapat pada suatu sistem maka
waktu terdapat pada sistem tersebut juga” (𝒕 → 𝑹) ∨ (𝑹 → 𝒕). “Jika
Ruang terdapat dalam suatu sistem dan waktu terdapat dalam sistem
tersebut juga maka ruang terdapat dalam suatu sistem atau waktu
terdapat dalam suatu sistem” (𝑹 ∧ 𝒕) → (𝑹 ∨ 𝒕).
Kedua pernyataan tersebut selalu bernilai benar, sehingga untuk pernyataan
“ruang dan waktu terjadi dalam suatu sistem (𝒕 ∧ 𝑹 ) adalah selalu bernilai
salah. Pernyataan tersebut akan dibuktikan melalui pembuktian berikut:
Pernyataan Pertama
1. (𝒕 → 𝑹) ∨ (𝑹 → 𝒕) Diketahui
2. (�̅� ∨ 𝑹) ∧ (�̅� ∨ 𝒕) 1, ekuivalen
3. (�̅� ∨ 𝒕) ∨ (�̅� ∨ 𝑹) 2, assosiatif
4. 1 ∨ 1
5. 1 4, sifat disjungsi
Jadi, terbukti bahwa pernyataan pertama adalah benar.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
26
Pernyataan Kedua
1. (𝑹 ∧ 𝒕) → (𝑹 ∨ 𝒕) Diketahui
2. (�̅� ∨ �̅�) ∨ (𝑹 ∨ 𝒕) 1, ekuivalen
3. (�̅� ∨ 𝑹) ∨ (�̅� ∨ 𝒕) 2, assosiatif
4. 1 ∨ 1
5. 1 4, sifat disjungsi
Jadi, terbukti bahwa pernyataan kedua adalah benar.
Pernyataan Simpulan
Tabel kebenaran 𝒕 ∧ 𝑹
𝒕 𝑹 𝒕 ∧ 𝑹
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 0
Dapat dilihat pada tabel kebenaran diatas bahwa nilai 𝒕 ∧ 𝑹 akan
selalu salah kecuali untuk 𝒕 = 𝑹 = 𝟏. Dalam hal ini, untuk 𝒕 = 𝑹 = 𝟏
meskipun bernilai benar, akan mengakibatkan pernyataan kedua yang telah
terbukti tautologi bernilai salah. Maka dapat dikatakan bahwa 𝒕 = 𝑹 = 𝟏 juga
tidak memenuhi pernyataan yang diharuskan. Dengan kata lain, 𝒕 ∧ 𝑹 selalu
bernilai salah.
Jadi, terbukti bahwa 𝒕 ∧ 𝑹 bernilai salah.
Karena terbukti bahwa 𝒕 ∧ 𝑹 bernilai salah maka dapat disimpulkan
bahwa ruang dan waktu tidaklah dapat dijadikan satu atau dianggap sama
sebagai satu sistem acuan.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
27
Pernyataan tersebut dapat dikatakan sebagai suatu bentuk pernyataan
yang selaras dengan pernyataan Stephen Hawking dalam The Grand
Design. [17] Stephen Hawking menyatakan bahwa pada kondisi awal mula
semesta sesaat sebelum terjadinya Big Bang, yang ada hanyalah ruang tanpa
adanya waktu. Jika ada waktu pada kondisi awal mula semesta, pada keadaan
sebelum Big Bang, maka apa yang dilakukan oleh waktu? Lebih lanjut
dijelaskan bahwa dalam kondisi dimensi empat ruang dan waktu (Ruang
Minkowski) dalam hal keadaan Big Bang tentu saja waktu akan memiliki arah
kedepan dan kebelakang. Dengan keadaan ini, maka apa yang terjadi saat waktu
yang ada sebelum terjadinya Big Bang? Sedangkan ruang maupun semesta
belum terbentuk saat belum terjadi Big Bang. Mendalami keadaan tersebut,
lebih jauh lagi kita akan mempertanyakan bahwa bagaimana waktu bisa ada jika
belum ada pembentukan ruang dan pendukungnya seperti gravitasi dan ruang.
Jadi, terbukti bahwa dalam suatu bentuk sistem dimensi waktu tidak dapat
dianggap sama dengan vektor ruang lain.
B. Penjelasan Berdasarkan Sistem Koordinat
Koordinat Kartesius merupakan salah satu bentuk representasi grafik
yang tepat untuk menggambarkan sistem dimensi yang ditampilkan oleh
Geometri Euclides. Seperti halnya yang telah diketahui, Koordinat Kartesius
menampilkan dengan sangat jelas posisi, jumlah dan arah vektor dari komponen
– komponen vektor yang terjelaskan dalam sistem dimensi. Sebagai contoh,
sistem koordinat bidang 𝑋𝑌 dan sistem koordinat ruang 𝑋𝑌𝑍, berturut –turut
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
28
sebagai representasi grafik yang jelas dalam menggambarkan sistem geometri
dimensi dua dan sistem geometri dimensi tiga yang ditampilkan oleh Geometri
Euclides (lihat Gambar 1.1 dan gambar 1.2).
Berbicara mengenai sistem koordinat ini, kembali akan dibahas
mengenai sistem dimensi empat Ruang Minkowski yang dianggap sebagai
lanjutan dari Geometri Euclides. Berdasarkan penjelasan Minkowski yang luar
biasa, jelas kita sadari bahwa Geometri Euclides berada dalam ranah kajian
∆𝑡 = 0.
Dengan tanpa mempermasalahkan kelayakan keberadaan 𝑡 dalam suatu
sistem seperti ketiga komponen vektor Ruang Euclides, berikut akan dibahas
mengenai representasi grafik Ruang Minkowski (lihat Gambar 2.1 dan Gambar
2.2).
Melalui sketsa tersebut, terlihat jelas bahwa pada titik asal O atau saat
∆𝑡 = 0 merupakan ranah kajian dari Geometri Euclides yang telah kia ketahui
bersama, sedangkan itu untuk bagian yang dinamakan “future” dan “past”
masing – masing merupakan keadaan lainnya yang digambarkan Minkowski
saat ∆𝑡 > 0 dan ∆𝑡 < 0 sebagai tambahannya dalam upaya melengkapkan
penalaran pada Geometri Euclides.
Ruang Minkowski hanyalah merupakan penerapan teori relativitas pada
Geometri Euclides yang mengakibatkan kelengkapan dari kajian Geometri
Euclides itu sendiri, yaitu dari ∆𝑡 = 0 menjadi ∆𝑡 ≠ 0. Dalam artian tersebut di
atas maka tentu saja secara pasti terdapat geometri dimensi empat yang
sebenarnya yang merupakan lanjutan dari Geometri Euclides, terkhususnya saat
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
29
benda diam (∆𝑡 = 0) dan tentu saja dimensi empat itu bukanlah merupakan
suatu bentuk Ruang Minkowski.
Seperti halnya dengan Diagram Minkowski di atas, melalui materi
representasi saat pertemuan ke 80 dari fisikawan dan ilmuwan jerman, Cologne,
21 september 1908, Minkowski menyatakan bahwa:
“We now want to introduce this fundamental axiom:
“The substance existing at any world-point may always, with the
appropriate fixation of space and time, be looked upon as at rest.”
The axiom signifies that at every world-point the expression 𝑐2𝑑𝑡2 −
𝑑𝑥2 − 𝑑𝑦2 − 𝑑𝑧2 always has a positive value, or, what comes to the same,
that any velocity 𝑣 always proves less than 𝑐. [22]
Dengan fokus utama pada ekspresi dunia yang dinyatakan sebagai 𝑐2𝑑𝑡2 −
𝑑𝑥2 − 𝑑𝑦2 − 𝑑𝑧2, dengan kata lain jika 𝜏 merupakan titik dunia, maka akan
diperoleh persamaan elemen titik dalam Ruang Minkowski yang bila
dinyatakan dalam Koordinat Kartesius akan menjadi: 𝑑𝜏2 = 𝑐2𝑑𝑡2 − 𝑑𝑥2 −
𝑑𝑦2 − 𝑑𝑧2. Berdasarkan persamaan elemen titik dunia tersebut, maka dalam
Ruang Minkowski (dimensi empat) akan diperoleh persamaan:
𝑑𝜏2 = −𝑑𝑥2 − 𝑑𝑦2 − 𝑑𝑧2 Untuk ∆𝑡 = 0
Dan juga persamaan:
𝑑𝜏2 = 𝑐2𝑑𝑡2 − 𝑑𝑥2 − 𝑑𝑦2 − 𝑑𝑧2 Untuk ∆𝑡 ≠ 0
Kita ketahui bersama bahwa 𝑑𝜏2 merupakan titik dunia (dalam bentuk
Koordinat Kartesius) dari Ruang Minkowski dimensi empat, akan tetapi untuk
∆𝑡 = 0 hal ini adalah sama dengan titik untuk Ruang Euclides (dimensi tiga),
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
30
dan untuk ∆𝑡 ≠ 0 tetaplah merupakan dimensi empat Ruang Minkowski.
Dengan kata lain bahwa tidak ada dimensi empat dalam keadaan tetap atau diam
(∆𝑡 = 0) karena hal ini pada Ruang Minkowski merupakan dimensi tiga Ruang
Euclides.
C. Penjelasan Berdasarkan Geometri Euclides
Geometri Euclides merupakan gambaran dan penjelasan bangun –
bangun geometri dalam peranan ukuran yang didasari pada definisi – definisi,
postulat, aksioma dan teorema – teorema. Membahas Geometri Euclides ini,
jika dihubungkan dengan keadaan 𝑡 (time) yang diperkenalkan oleh Minkowski,
maka akan terdapat beberapa kerancuan yang dapat dilihat.
Seperti yang telah kita ketahui bersama bahwa setiap sistem dimensi
memiliki elemen khususnya masing – masing, yaitu dimensi satu adalah garis,
dimensi dua adalah bidang dan dimensi tiga adalah ruang. Di mana elemen
untuk dimensi nol adalah titik, untuk dimensi satu adalah garis, untuk dimensi
dua adalah bidang dan untuk dimensi tiga adalah ruang. Disisi lain, Minkowski
menyebutkan elemen khusus dimensi empat sebagai “dunia” seperti yang
dipaparkannya pada materi presentasi saat pertemuan ke 80 dari fisikawan dan
ilmuwan Jerman, Cologne, 21 september 1908:
“But I respect the dogma that space and time each have an independent
meaning. I will call a point of space at a certain point of time, i. e. a system
of values x,y,z,t, a world-point.” [22]
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
31
Berdasarkan pemahaman dan penerimaan Ruang Minkowski sebagai
geometri dimensi empat maka hubungan yang terjelaskan sebelumnya dapat
digambarkan sebagai berikut:
Dimensi 0 Dimensi 1 Dimensi 2 Dimensi 3 Dimensi 4
Gambar 3.1: Elemen – Elemen Khusus pada Dimensi
Perhatikan gambar tersebut di atas. Kerancuan yang disinggung
sebelumnya dapat dijelaskan sebagai berikut. Ruang Minkowski sebagai
Geometri Euclides dimensi empat didefinisikan sebagai pergerakan Ruang
Euclides dalam waktu tertentu. Disamping itu, dalam Geometri Euclides tidak
digunakan waktu sebagai elemen vektornya akan tetapi dalam sistem
dimensinya dapat dilihat seolah – olah bahwa (dengan catatan kita hilangkan
makna dari tiap elemen khusus dimensi):
Gambar 3.2: Gerak dan Perpindahan Elemen Khusus Dimensi
“titik (sebagai elemen khusus dimensi nol) apabila digerakkan pada
waktu tertentu akan membentuk garis. Garis (sebagai elemen khusus dimensi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
32
satu) apabila digerakkan pada waktu tertentu akan membentuk bidang. Bidang
(sebagai elemen khusus dimensi dua) apabila digerakkan pada waktu tertentu
akan membentuk ruang. Ruang (sebagai elemen khusus dimensi tiga) apabila
digerakkan pada waktu tertentu akan membentuk dunia. Di mana dunia
merupakan elemen khusus dari dimensi empat (perhatikan Gambar 3.2).
Pernyataan tersebut di atas dapat dinyatakan dalam bentuk pernyataan
lain yang rancu sebagai berikut: elemen khusus dimensi nol adalah noktah,
elemen khusus dari dimensi satu adalah garis yang dapat dipandang sebagai
pergerakan noktah pada waktu tertentu, elemen khusus dari dimensi dua adalah
bidang yang dapat dipandang sebagai pergerakan garis pada waktu tertentu,
elemen khusus dari dimensi tiga adalah ruang yang dapat dipandang sebagai
pergerakan bidang dalam waktu tertentu dan dimensi empat adalah dunia yang
dapat dipandang sebagai pergerakan ruang dalam waktu tertentu. Melalui
pernyataan tersebut dalam hal dimensi satu, dimensi dua dan dimensi tiga,
Geometri Euclides tidak mengajarkan dan membenarkan hal tersebut.
Berdasarkan pernyataan di atas, berkaitan dengan komponen t waktu
dianggap sebagai suatu kerancuan yang fatal dikarenakan secara definisi titik
merupakan simbol dari noktah di mana noktah hanyalah ada di dalam pemikiran
kita (abstrak).
Dengan simpulan tersebut di atas maka diperoleh bahwa jumlah n
dimensi berbanding lurus dan setimbang terhadap jumlah n waktu, dimana
mengacu pada definisi sistem dimensi maka ruang–waktu tersebut haruslah
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
33
memiliki arah yang berbeda. Dilain pihak, berdasarkan fakta kita ketahui bahwa
waktu hanyalah memiliki dua arah “future” dan “past”.
Berbicara mengenai makna essensial yang dimiliki oleh elemen –
elemen khusus dimensi tersebut, berikut akan dijelaskan dan dicontohkan
melalui elemen khusus dimensi dua. Dalam Geometri Euclides, elemen khusus
dimensi dua adalah bidang dimana bidang yang dimaksud adalah sisi tertutup
yang membatasi bangun (kurva) tanpa memiliki luas. Dalam bidang hanya
terdapat luas permukaan bidang dan tidak ada luas bidang.
Dalam hal komponen vektor t waktu, bidang dapat dipahami sebagai
pergerakan garis dalam suatu waktu tertentu. Dalam hal ini, dikarenakan
pergerakan garis maka bidang yang dimaksud adalah keseluruhan bidang
termasuk permukaan bidang itu sendiri sehingga luas bidang adalah sama
dengan luas permukaan bidang itu sendiri. Dari hasil gambaran pemahaman
yang kontradiksi ini, terbukti bahwa komponen vektor t hadir sebagai kerancuan
yang dapat merusak makna essensial dari elemen dimensi itu sendiri.
Berdasarkan penjelasan kerancuan tersebut di atas maka dapat
dinyatakan bahwa komponen vektor t waktu hanyalah dapat digunakan sebagai
tinjauan tambahan dalam Geometri Euclides, sebagai pelengkap dan arah
kejelasan penerapan Relativitas Einstein. Dengan kata lain, Ruang Minkowski
tidaklah tepat dijadikan sebagai Geometri Euclides dimensi empat.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
34
D. Penjelasan Berdasarkan Teori Relativitas Einstein
Matematika merupakan proyeksi dasar, abstraksi pemikiran dan pemahaman
manusia mengenai ukuran bumi dan semesta. Secara khusus, dalam penelitian
dan pembahasannya fisika menggunakan matematika sebagai alat bantu untuk
memahami, menjelaskan dan menganalisis obyek kajian fisika tersebut.
Pada teori relativitas terdapat dua postulat yang mendasarinya yang
diungkapkan oleh Albert Einstein, yaitu:
Postulat pertama (Asas Relativitas)
Hukum fisika dapat dinyatakan dalam persamaan yang
berbentuk sama dalam semua kerangka acuan yang bergerak
dengan kecepatan tetap satu dengan lainnya.
Postulat kedua (Asas Ketakubahan Kecepatan Cahaya)
Kecepatan cahaya dalam ruang hampa sama besar untuk semua
pengamat tidak tergantung dari keadaan gerak pengamat.
Postulat pertama menjelaskan bahwa tidak ada acuan inersial (tidak
diam) yang istimewa pada ranah kajian fisika yang memiliki bentuk istimewa
yang berbeda dari pengamatan kerangka acuan lain. Semua kerangka acuan
adalah sama untuk merumuskan hukum fisika. Sedangkan postulat kedua
menyatakan bahwa kecepatan cahaya bersifat invariant di mana di dalam ruang
hampa kecepatan cahaya yang diukur oleh semua pengamat inersia adalah:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
35
𝑐 = 1√𝜀0𝜇0 = 3 × 108 𝑚
𝑠
yang tidak bergantung pada gerakan sumbernya.
Berdasarkan penjelasan singkat tersebut di atas maka dapat disimpulkan
bahwa Einstein menyadari posisi relativitas sebagai bagian fisika yang
menerapkan dan menggunakan matematika sebagai dasar memahami gejala
alam di sekitar kita. Kerangka acuan inersial yang dimaksudkan Einstein di sini
adalah geometri (khususnya sistem dimensi), di mana pada postulat pertama
akan memberikan makna yang sama dengan pernyataan bahwa: “untuk setiap
dimensi n yang bersifat inersial antara satu dengan yang lainnya akan memiliki
bentuk persamaan yang sama pada pada hukum – hukum fisika”.
Di samping itu, secara lebih lanjut dijelaskan bahwa untuk setiap
kerangka acuan tersebut dalam hal fisika sebagai penerapannya maka kerangka
acuan tersebut secara pasti akan diamati oleh pengamat. Dalam hal pengamatan
ini, ditekankan oleh Einstein bahwa untuk setiap pengamat yang melakukan
pengamatan terhadap setiap kerangka acuan tersebut memiliki kecepatan yang
sama besar dalam ruang hampa dan tidak bergantung dari keadaan gerak
pengamat itu sendiri.
Berbicara mengenai teori relativitas ini, apabila dikaitkan dengan Ruang
Minkowski, maka Ruang Minkowski dapat diandang sebagai salah satu ruang
terapan teori relativitas pada dimensi tiga. Hal ini dikarenakan pada Ruang
Minkowski digunakan Ruang Euclides (𝑥1𝑥2𝑥3) sebagai kerangka acuannya
dengan 𝑐 (= kecepatan cahaya) sebagai parameter pengamatannya. Secara jelas
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
36
hal ini menunjukkan bahwa Ruang Minkowski bukanlah suatu bentuk geometri
dimensi empat.
Apabila dianggap benar bahwa Ruang Minkowski merupakan suatu
geometri dimensi empat maka Ruang Minkowski berhak untuk dipandang
sebagai suatu kerangka acuan yang layak diamati. Dalam hal pengamatan
kerangka acuan tersebut maka layaklah Ruang Minkowski ini diamati
perpindahan, gerak, waktu, dan relativitasnya. Tentu saja apabila hal tersebut
dilakukan maka akan terjadi kerancuan, terjadi gerak ganda yang menjadi suatu
kemustahilan. Hal ini akan dimisalkan pada saat kita mencoba mengamati gerak
suatu kerangka acuan. Anggap dimensi empat Ruang Minkowski sebagai suatu
kerangka acuan dan akan diamati geraknya. Kerangka acuan yang berada pada
waktu tertentu tidak mungkin digerakkan ataupun diamati pergerakannya
dikarenakan setiap pergerakan tentu saja akan bergantung pada waktu. Akan
menjadi suatu kemustahilan apabila benda yang berada pada suatu waktu
tertentu bergerak dalam waktu tertentu pula.
Andaikan hal tersebut mungkin, maka tentu saja kita secara mudah dapat
menghitung gerak geometri dimensi empat pada suatu selang waktu tertentu.
Sebagai contoh:
“Diketahui diketahui suatu titik dunia (dimensi empat) terletak pada 𝑥 =
1, 𝑦 = 1, 𝑧 = 1, 𝑡 = 1 (di mana t = waktu) bergerak dari barat menuju timur
pada saat 𝑡 = 0 hingga 𝑡 = 4 sejauh 5 meter. Hitunglah kecepatan titik dunia
tersebut!”
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
37
Seperti pada contoh, diketahui bahwa suatu titik dunia yang dapat
diartikan sebagai titik 𝐴(𝑥, 𝑦, 𝑧 = 1,1,1) pada saat 𝑡 = 1𝑠 bergerak pada selang
waktu ∆𝑡 = 4 − 0 = 4𝑠 dengan 𝑠 = 5𝑚. Tentuk akan menjadi suatu hal yang
sangat mustahil bahwa benda pada saat tertentu (𝑠𝑎𝑎𝑡 𝑡 = 1𝑠) dapat bergerak
selama selang waktu tertentu.
Jadi terbukti bahwa Ruang Minkowski bukanlah merupakan bentuk
Geometri Euclides dimensi empat, akan tetapi Ruang Minkowski merupakan
Ruang pemahaman dan penerapan Teori Relativitas Einstein.
Berdasarkan analisah dari beberapa kajian ilmu lain seperti sistem dimensi,
sistem koordinat, Teori Relativitas Einstein dan Geometri Euclides seperti yang
telah diuraikan di atas maka dapat disimpulkan bahwa Ruang Minkowski adalah
teori dan pemahaman yang salah jika dianggap sebagai Geometri Euclides dimensi
empat, sebaliknya Ruang Minkowski adalah teori dan pemahaman yang benar jika
diposisikan dan dipahami sebagai pelengkap kajian Ruang Euclides. Kelengkapan
yang dimaksud ini adalah Ruang Minkowski melengkapi kajian dan bahasan Ruang
Euclides dalam hal kerangka acuan geometris yang inersia. Secara lengkap, posisi
Ruang Euclides terletak pada saat ∆𝑡 = 0 (benda diam) dan Ruang Minkowki
terletak pada saat ∆𝑡 ≠ 0 (benda bergerak dengan kecepatan tetap).
Gambar 3.3: Posisi Ruang Euclides dan Ruang Minkowski pada Dimensi Tiga
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
38
BAB IV
SISTEM KOORDINAT KARTESIUS DALAM SEMESTA DIMENSI
EMPAT
Berdasarkan pembahasan bab sebelumnya, Ruang Minkowski bukan suatu
bentuk Geometri Euclides dimensi empat melainkan suatu bentuk ruang pelengkap
dari Ruang Euclides dalam hal kajian kerangka acuan inersia. Diketahui pula bahwa
pada Sistem dimensi Geometri Euclides, kajian geometris kerangka acuannya
adalah saat keadaan diam (∆𝑡 = 0). Lebih lanjut akan dibahas bentuk sistem
Koordinat Kartesius Geometri Euclides dimensi empat dan sifat – sifatnya. Untuk
membahas permasalahan ini, maka terlebih dahulu akan dibahas sistem dimensi
Geometri Euclides itu sendiri.
Sistem dimensi Geometri Euclides adalah bagian kajian Geometri Euclides
yang mengkaji sistem dimensi baik dimensi dua maupun dimensi tiga dengan
penjabaran dan analisis komponen sifat – sifat umum maupun khusus dari masing
– masing sistem dimensi tersebut. Adapun dalam penjabarannya Sistem dimensi
Geometri Euclides dibantu oleh sistem koordinat untuk merepresentasikan secara
grafis (geometri analitik) komponen sifat umum maupun khusus tersebut agar lebih
jelas dan mudah dipahami. Berdasarkan pendalaman dari peneliti, dalam
keberadaan Sistem dimensi Geometri Euclides pada setiap sistem dimensi baik
geometri dimensi dua maupun geometri dimensi tiga, semua sifat berawal dari
keberadaan sistem koordinat yang mewakili sistem dimensi tersebut yang
didefinisikan sebagai jumlah arah di mana terjadi perubahan dalam suatu sistem.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
39
Melalui keberadaan sistem koordinat tersebut munculah beberapa definisi yang
disepakati ataupun dijabarkan sebagai suatu bentuk umum dari sistem dimensi
tersebut. Dengan menggunakan definisi tersebut sebagai dasar kajian, maka
dilakukan analisis lanjut yang kemudian digunakan untuk menentukan sifat –
sifatnya.
Mengikuti pola pikir tersebut di atas, maka pada kajian pembahasan pada
bab ini akan dimulai dengan penjabaran bentuk umum dari Geometri Euclides
dimensi empat, kemudian akan dilanjutkan dengan analisis lanjut untuk
menentukan sifat – sifatnya. Geometri dimensi empat ini merupakan geometri
dimensi empat lanjutan dari bagian Geometri Euclides. Sebagai lanjutan dari
Geometri Euclides maka geometri dimensi empat ini haruslah sesuai dengan dasar
– dasar yang ada pada Geometri Euclides dengan hierarkis yang sesuai dengan
Geometri Euclides juga.
Secara umum, ketika mendalami Geometri Euclides khususnya dalam
kajian sistem dimensi (kajian analitik). Kita sadar bahwa sistem dimensi dimulai
dengan sistem koordinat sebagai representasi grafis dari sistem dimensi tersebut.
Sebagai contoh, sistem koordinat XY digunakan untuk representasi grafis dari
sistem geometri dimensi dua dan sistem koordinat XYZ digunakan untuk
representasi grafis dari sistem geometri dimensi tiga. Sistem koordinat yang akan
diperkenalkan dan dibahas adalah sistem Koordinat Kartesius. Beranjak dari sistem
koordinat tersebut, kemudian dilanjutkan dengan penentuan elemen khusus dimensi
tersebut. Seperti pada Sistem dimensi Geometri Euclides, “bidang“ merupakan
elemen khusus dari sistem geometri dimensi dua dan “ruang“ merupakan elemen
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
40
khusus dari sistem geometri dimensi tiga. Ketika sistem koordinat dan elemen
khusus telah ditentukan, maka selanjutnya akan dicontohkan suatu ilustrasi
penggunaan sistem koordinat dalam menentukan posisi titik. Dalam hal ini,
diketahui pula bahwa contoh ilustrasi penggunaan sistem koordinat geometri
dimensi dua membentuk garis – garis bayang yang berbentuk persegi panjang dan
juga pada sistem koordinat geometri dimensi tiga membentuk garis – garis bayang
yang berbentuk balok, di mana kedua bangun tersebut merupakan salah satu bentuk
elemen khusus dari masing – masing sistem dimensi.
Beranjak dari alur pola pikir dan pendalaman di atas, maka dalam penentuan
geometri dimensi empat ini akan dimulai dengan penentuan sistem koordinat
dimensi empat itu sendiri (sistem Koordinat Kartesius). Setelah ditemukan dan
ditentukan sistem koordinat dimensi empat itu sendiri, maka akan dilanjutkan
dengan contoh ilustrasi penggunaan sistem koordinat geometri dimensi empat
dalam menentukan posisi titik di mana garis – garis bayang yang terbentuk akan
membentuk suatu bangun elemen khusus dimensi empat tersebut. Secara
keseluruhan, dari penemuan dan penentuan di atas maka sifat – sifat ataupun bentuk
umum dari Geometri Euclides dimensi empat khususnya dalam hal representasi
sistem koordinat (Koordinat Kartesius) telah ditampilkan dan terjelaskan.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
41
A. Sistem Koordinat Kartesius
Sistem koordinat dalam kaitannya dengan sistem dimensi merupakan
suatu bentuk wadah ataupun aturan dasar dalam representasi sistem dimensi
secara grafis. Pada sistem Koordinat Kartesius, sistem koordinat ini
menggunakan teknik yang lebih memperhatikan ukuran panjang dari masing –
masing vektor yang ada dalam suatu keseluruhan sistem dimensi tersebut
sebagai bagian penting dalam hal penentuan posisi titik yang kemudian dapat
dikembangkan menjadi bentuk elemen khusus lainnya. Untuk setiap geometri
sistem dimensi baik geometri dimensi dua maupun geometri dimensi tiga
memiliki perbandingan yang sama dengan jumlah vektor – vektor arah pada
sistem koordinatnya. Untuk sistem dua dimensi memiliki dua buah vektor arah
pada sistem koordinatnya yaitu vektor x dan vektor y, dan untuk sistem tiga
dimensi memiliki tiga buah vektor arah pada sistem koordinatnya yaitu vektor
x, vektor y dan vektor z. Di samping hal tersebut di atas, dilihat dari definisinya
sistem dimensi dapat dikatakan sebagai jumlah perubahan yang dapat terjadi
dalam suatu sistem, dimana setiap perubahan tersebut dapat direpresentasikan
oleh suatu vektor arah. Oleh sebab itu, untuk mendapatkan ataupun memperoleh
bentuk sistem koordinat geometri dimensi empat dibutuhkan empat buah vektor
yang berlainan arah. Dimisalkan keempat vektor tersebut adalah 𝑒1 = 𝑥, 𝑒2 =
𝑦, 𝑒3 = 𝑧 𝑑𝑎𝑛 𝑒4 = 𝑤.
Ketika vektor – vektor arah ditentukan untuk menjadi bagian dari suatu
bentuk sistem koordinat geometri dimensi empat yang utuh, permasalahan
selanjutnya adalah bentuk tatanan keempat vektor arah tersebut dalam sistem.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
42
Merujuk pada sistem Koordinat Kartesius yang telah ada, baik geometri
dimensi dua maupun geometri dimensi tiga terlihat bahwa setiap vektor arah
yang ada membentuk suatu sistem koordinat yang utuh yang membagi sistem
tersebut menjadi beberapa bagian sistem yang kongruen. Pada sistem Koordinat
Kartesius dimensi dua, sistem dimensi terbagi menjadi empat bagian yang sama
dan juga pada sistem Koordinat Kartesius dimensi tiga, sistem dimensi terbagi
menjadi delapan bagian yang sama. Oleh sebab itu, dalam hal sistem Koordinat
Kartesius dimensi empat, keempat vektor arah 𝑒1, 𝑒2, 𝑒3 𝑑𝑎𝑛 𝑒4 haruslah
membentuk suatu ruang sistem yang dapat terbagi menjadi beberapa bagian
sistem yang sama.
Berdasarkan permasalahan bentukan vektor arah dengan bagian sistem
yang sama, peneliti terinspirasi dengan bentukan meja biasa. Seperti yang
diketahui bahwa jumlah kaki meja biasa yang berfungsi sebagai tumpuan meja
adalah sebanyak empat buah. Jika dianggap kaki meja tersebut sebagai keempat
vektor arah tersebut. Keempat kaki meja tersebut jika disilangkan sehingga
saling berpotongan pada salah satu titik pusat tertentu maka titik pusat tersebut
dapat dikatakan sebagai titik pusat vektor (titik asal). Dalam hal bagian sistem
yang kongruen, kondisi ini akan memaksakan keadaan kaki meja sebelum
disilangkan haruslah sama panjang dengan panjang dan lebar meja itu sendiri.
Dari keadaan tersebut maka terbentuklah suatu bentuk riil dari sistem koordinat
kartesius dimensi empat yang disusun dalam suatu bentuk dimensi tiga. Dalam
hal representasi inspirasi tersebut di atas ke dalam bentuk matematis, keadaan
tersebut dapat direpresentasikan melalui perpaduan suatu bentuk kubus dengan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
43
diagonal – diagonal ruangnya. Dengan keadaan diagonal ruang kubus adalah
vektor – vektor arahnya dan titik persekutuan diagonal ruang tersebut adalah
titik pusat (titik asal) sistem Koordinat Kartesius geometri dimensi empat
tersebut.
Gambar 4.1: Meja Biasa Gambar 4.2: Meja Biasa Dengan
Keadaan Yang Diinginkan
Gambar 4.4: Sistem Koordinat
Dimensi Empat Gambar 4.3: Vektor Arah Dalam Kubus
Berdasarkan keadaan dan bentuk dari representasi di atas, maka dapat
dapat disimpulkan bahwa bentuk terakhir di atas (Gambar 4.4) merupakan
bentuk dari suatu sistem Koordinat Kartesius geometri dimensi empat. Secara
singkat, sistem Koordinat Kartesius geometri dimensi empat dapat di
definisikan sebagai berikut.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
44
Definisi 1:
Sistem Koordinat Kartesius geometri dimensi empat adalah suatu
sistem Koordinat Kartesius yang terbentuk dari empat buah vektor berlainan
arah dengan besaran pokok sama yang terjadi dalam suatu sistem melalui
suatu titik asal tertentu.
Lebih lanjut, elemen khusus geometri dimensi empat ini dinamakan
sebagai “semesta”. Semesta dapat di definisikan sebagai berikut:
Definisi 2:
Semesta adalah himpunan dari beberapa ruang berbeda yang terletak
dalam suatu sistem yang sama.
Lebih lanjut berikut akan ditunjukkan beberapa sifat lain dari sistem
Koordinat Kartesius geometri dimensi empat.
1. Besar sudut antar vektor yang berdekatan.
a. Diketahui: Gambar 4.5 : Sistem Koordinat Geometri Dimensi
Empat pada Kubus ABCD.EFGH
b. Akan Dicari: ∠𝐵𝑂𝐶 =?
c. Penyelesaian:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
45
Gambar 4.5: Sistem Koordinat Geometri
Dimensi Empat Gambar 4.6: Segitiga BOC
No Pernyataan Alasan
1 𝐴𝐵 = 𝐵𝐶 = 𝐶𝐷 = 𝐷𝐸 = 1 Diketahui pada
gambar
2 𝑂𝐵 = 𝑂𝐶 =√3
2
Diketahui pada
gambar
3 𝐶𝑜𝑠(𝐵𝑂𝐶) =
(√32 )
2
+ (√32 )
2
− 12
2 (√32 ) (
√32 )
Aturan Cosinus
4 𝐶𝑜𝑠(𝐵𝑂𝐶) =1
3 3
5 𝐴𝑟𝑐𝐶𝑜𝑠(𝐵𝑂𝐶)
= 70.5287793655093 4
6 𝐴𝑟𝑐𝐶𝑜𝑠(𝐵𝑂𝐶) ≈ 70.5 5
7 ∠𝐵𝑂𝐶 = 70,50
Jadi, diperoleh bahwa besar sudut yang terdapat pada vektor
– vektor yang berdekatan pada sistem koordinat kartesius
dimensi empat adalah 70,50
Sifat 2 :
Sudut yang dibentuk oleh garis – garis vektor yang berdekatan pada
suatu sistem koordinat dimensi empat adalah sama dengan 70,50.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
46
2. Besar sudut antar vektor yang berhadapan.
a. Diketahui: Gambar 4.7 : sistem koordinat geometri dimensi empat
pada suatu kubus.
b. Akan dicari: ∠𝐵𝑂𝐷 =?
c. Penyelesaian:
Gambar 4.7: Sistem Koordinat Geometri
Dimensi Empat Gambar 4.8: Segitiga BOD
No Pernyataan Alasan
1 𝐴𝐵 = 𝐵𝐶 = 𝐶𝐷 = 𝐷𝐸 = 1 Diketahui
pada gambar
2 𝑂𝐵 = 𝑂𝐶 =√3
2
Diketahui
pada gambar
3 𝐵𝐷 = √2 Diketahui
pada gambar
4 𝐶𝑜𝑠(𝐵𝑂𝐷) =
(√32 )
2
+ (√32 )
2
− √22
2 (√32 ) (
√32 )
Aturan
Cosinus
5 𝐶𝑜𝑠(𝐵𝑂𝐷) = (−1
3) 4
6 𝐴𝑟𝑐𝐶𝑜𝑠(𝐵𝑂𝐷)
= 109.4712206344907 5
7 𝐴𝑟𝑐𝐶𝑜𝑠(𝐵𝑂𝐷) ≈ 109.5 6
8 ∠𝐵𝑂𝐷 = 109,50
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
47
Jadi, diperoleh bahwa besar sudut yang terdapat pada vektor
– vektor yang berhadapan pada sistem koordinat – wxyz
adalah 109,50
Sifat 3 :
Besar sudut antar garis – garis vektor yang berhadapan pada suatu
koordinat dimensi empat adalah sama dengan 109,50.
B. Koordinat Bidang
Mengacu pada bentuk sistem bagian yang kongruen, vektor – vektor arah
pada sistem tiga dimensi membentuk bidang vektor (bidang koordinat) agar
dapat terlihat jelas sistem bagian yang terbentuk tersebut. Dengan kondisi yang
sama tersebut, maka akan dilakukan hal yang sama pada vektor – vektor
koordinat sistem Koordinat Kartesius geometri dimensi empat.
Adapun pada suatu sistem koordinat dimensi empat dapat membentuk
enam buah bidang koordinat, yaitu: bidang koordinat wx, bidang koordinat xy,
bidang koordinat yz, bidang koordinat wz, bidang koordinat wy dan bidang
koordinat xz seperti yang ditampilkan pada gambar berikut.
Gambar 4.9: Bidang Koordinat WX Gambar 4.10: Bidang Koordinat XY
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
48
Gambar 4.11: Bidang Koordinat YZ Gambar 4.12: Bidang Koordinat WZ
Gambar 4.13: Bidang Koordinat WY Gambar 4.14: Bidang Koordinat XZ
Hasil bentukan kondisi ini secara keseluruhan dapat direpresentasikan
melalui gambar berikut.
Gambar 4.15: Sistem Koordinat Kartesius
Geometri Dimensi Empat
Gambar 4.16: Sistem Koordinat Kartesius
Geometri Dimensi Empat Dengan Bidang
Vektornya
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
49
Gambar 4.18: Sistem Koordinat Kartesius
Geometri Dimensi Empat dan Vektor
Semu
Gambar 4.17: Sistem Koordinat Kartesius
Geometri Dimensi Empat Dengan Bidang
Vektornya dan Vektor Semu
Berdasarkan gambar sistem Koordinat Kartesius geometri dimensi empat
di atas (Gambar 4.15 – Gambar 4.18), dapat dilihat bahwa perpotongan bidang
koordinat membentuk tiga buah koordinat lain yang bukan merupakan sumbu
koordinat dimensi empat. Koordinat tersebut adalah koordinat yang saling
orthogonal seperti sumbu – sumbu koordinat yang ditampilkan pada sistem
Koordinat Kartesius dimensi tiga. Sumbu – sumbu koordinat ini, melalui
keadaannya sebagai bentukan dari bidang koordinat pada sistem koordinat
geometri dimensi empat maka disebut sebagai sumbu – sumbu koordinat semu.
Sumbu semu 𝑥′ merupakan perpotongan antara bidang vektor wy dengan bidang
vektor 𝑥𝑧. Sumbu semu 𝑦′ merupakan perpotongan antara bidang vektor 𝑤𝑧
dengan bidang vektor 𝑥𝑦. Sumbu semu 𝑧′ merupakan perpotongan antara
bidang vektor 𝑤𝑥 dengan bidang vektor 𝑦𝑧.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
50
Definisi 3:
Sumbu koordinat maya merupakan sumbu koordinat dalam suatu
sistem Koordinat Kartesius geometri dimensi empat yang terbentuk dari
perpotongan dua buah koordinat bidang pada sistem koordinat tersebut.
Pada suatu sistem Koordinat Kartesius geometri dimensi empat diketahui
bahwa sistem bagian yang terbentuk adalah sebanyak 6 sistem bagian yang
sama (masing – masing bagian disebut “heksan”) dengan setiap heksan terdiri
dari 4 ruang sistem yang berbeda (masing – masing bagian disebut
“heksakuadran”). Seperti pada Gambar 4.19.
Gambar 4.19: Sistem Koordinat Kartesius dan
Bidang Koordinatnya
Pada suatu sistem Koordinat Kartesius geometri dimensi empat bidang –
bidang koordinat yang terbentuk membagi semesta dimensi empat menjadi 6
bagian yang sama dan diberi nama sebagai berikut:
1. Heksan I
Merupakan bagian semesta yang dibatasi oleh bidang 𝑜. 𝑤𝑥, bidang
𝑜. 𝑥𝑦, bidang 𝑜. 𝑦𝑧 dan bidang 𝑜. 𝑤𝑧.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
51
2. Heksan II
Merupakan bagian semesta yang dibatasi oleh bidang 𝑜. 𝑤(−𝑦),
bidang 𝑜. (−𝑥)(−𝑦), bidang 𝑜. (−𝑥)𝑧 dan bidang 𝑜. 𝑤𝑧.
3. Heksan III
Merupakan bagian semesta yang dibatasi oleh bidang 𝑜. (−𝑦)(−𝑧),
bidang 𝑜. (−𝑤)(−𝑧), bidang 𝑜. (−𝑤)(−𝑥) dan bidang 𝑜. (−𝑥)(−𝑦).
4. Heksan IV
Merupakan bagian semesta yang dibatasi oleh bidang 𝑜. (−𝑤)𝑦,
bidang 𝑜. 𝑥𝑦, bidang 𝑜. 𝑥(−𝑧) dan bidang 𝑜. (−𝑤)(−𝑧).
5. Heksan V
Merupakan bagian semesta yang dibatasi oleh bidang 𝑜. 𝑤(−𝑦),
bidang 𝑜. (−𝑦)(−𝑧), bidang 𝑜. 𝑥(−𝑧) dan bidang 𝑜. 𝑤𝑥.
6. Heksan VI
Merupakan bagian semesta yang dibatasi oleh bidang 𝑜. (−𝑤)(−𝑥),
bidang 𝑜. (−𝑥)𝑧, bidang 𝑜. 𝑦𝑧 dan bidang 𝑜. (−𝑤)𝑦.
Gambar 4.20: Heksan I Gambar 4.21: Heksan II
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
52
Gambar 4.22: Heksan III
Gambar 4.23: Heksan IV
Gambar 4.24: Heksan V
Gambar 4.25: Heksan VI
Secara matematis, kondisi tersebut di atas dapat dinyatakan melalui
pernyataan berikut. Andaikan titik 𝑃(𝑤, 𝑥, 𝑦, 𝑧) adalah sembarang titik dalam
semesta dimensi empat, maka letak titik P dapat ditentukan sebagai berikut:
1. Jika 𝑤 > 0, 𝑥 > 0, 𝑦 > 0, 𝑧 > 0, maka titik P terletak pada heksan I.
2. Jika 𝑤 > 0, 𝑥 < 0, 𝑦 < 0, 𝑧 > 0, maka titik P terletak pada heksan II.
3. Jika 𝑤 < 0, 𝑥 < 0, 𝑦 < 0, 𝑧 < 0, maka titik P terletak pada heksan III.
4. Jika 𝑤 < 0, 𝑥 > 0, 𝑦 > 0, 𝑧 < 0, maka titik P terletak pada heksan IV.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
53
5. Jika 𝑤 > 0, 𝑥 > 0, 𝑦 < 0, 𝑧 < 0, maka titik P terletak pada heksan V.
6. Jika 𝑤 < 0, 𝑥 < 0, 𝑦 > 0, 𝑧 > 0, maka titik P terletak pada heksan VI.
Sifat 4 :
Pada suatu sistem Koordinat Kartesius geometri dimensi empat,
bidang – bidang koordinat yang ada akan membagi sistem dimensi menjadi
enam bagian semesta yang sama.
Berikut akan ditentukan besar sudut yang dibentuk oleh bidang – bidang
koordinat yang saling berhadapan.
a. Diketahui: Gambar 4.26: Sistem Koordinat Kartesius Geometri
Dimensi Empat pada Kubus ABCD.EFGH.
b. Akan dicari: ∠𝑄𝑂𝑃 =?
c. Penyelesaian:
Gambar 4.26: Sistem Koordinat Geometri Dimensi Empat Gambar 4.27: Segitiga QOP
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
54
Bukti:
No Pernyataan Alasan
1 𝐴𝐵 = 𝐵𝐶 = 𝐶𝐷 = 𝐷𝐸 = 1 Diketahui
pada gambar
2 𝑂𝐴 = 𝑂𝐷 = 𝑂𝐵 = 𝑂𝐶 =√3
2
Diketahui
pada gambar
3 𝑆𝑒𝑔𝑖𝑡𝑖𝑔𝑎 𝐴𝑂𝐷 ≅ 𝑆𝑒𝑔𝑖𝑡𝑖𝑔𝑎 𝐵𝑂𝐶 1, 2, (s, s, s)
4 𝑂𝑃 = 𝑂𝑄 3
5 𝑂𝑃2 = 𝑂𝑄2 = (√3
2)
2
− (1
2)
2
Dalil
Phytagoras
6 𝑂𝑃2 = 𝑂𝑄2 =1
2 5
7 𝑂𝑃 = 𝑂𝑄 =√2
2 6
8 𝐶𝑜𝑠(𝑄𝑂𝑃) =
(√22 )
2
+ (√22 )
2
− 12
2 (√22 ) (
√22 )
Aturan
Cosinus
9 𝐶𝑜𝑠(𝑄𝑂𝑃) = 0 8
10 𝐴𝑟𝑐𝐶𝑜𝑠(𝑄𝑂𝑃) = 90 9
11 ∠𝑄𝑂𝑃 = 900
Jadi, diperoleh bahwa besar sudut pada bidang – bidang yang
berhadapan pada sistem koordinat – wxyz adalah 900
Sifat 5 :
Sudut yang dibentuk oleh bidang – bidang koordinat yang saling
berhadapan pada suatu sistem koordinat dimensi empat adalah sama dengan
900.
C. Posisi Titik Semesta.
Posisi titik semesta dapat ditentukan jika telah diketahui koordinat –
koordinat titik tersebut. Adapun hal terpenting dalam menentukan posisi titik
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
55
adalah langkah – langkah menentukan posisi titik tersebut. Jika diketahui suatu
titik 𝑃(𝑤1, 𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) maka dapat dijelaskan langkah – langkah menentukan
posisi titik semesta P tersebut dalam sistem Koordinat Kartesius geometri
dimensi empat sebagai berikut:
1. Lukislah sistem Koordinat Kartesius geometri dimensi empat.
2. Buatlah garis bayang pada sumbu koordinat 𝑤 = 𝑤1.
3. Pada ujung garis bayang sumbu koordinat 𝑤 = 𝑤1 buatlah garis
bayang pada sumbu koordinat 𝑥 = 𝑥1.
4. Pada ujung garis bayang sumbu koordinat 𝑥 = 𝑥1 buatlah garis bayang
pada sumbu koordinat 𝑦 = 𝑦1.
5. Pada ujung garis bayang sumbu koordinat 𝑦 = 𝑦1 buatlah garis bayang
pada sumbu koordinat 𝑧 = 𝑧1.
6. Buatlah titik pada titik ujung garis 𝑧 = 𝑧1 tersebut. Namailah titik
tersebut sesuai dengan nama titik yang diminta. Dalam hal ini adalah
𝑃(𝑤1, 𝑥1, 𝑦1, 𝑧1)
Adapun langkah – langkah tersebut di atas dapat ditunjukkan melalui
sketsa gambar berikut ini.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
56
Gambar 4.28a: Langkah 1 Gambar 4.28b: Langkah 2
Gambar 4.28c: Langkah 3 Gambar 4.28d: Langkah 4
Gambar 4.28e: Langkah 5 Gambar 4.28f: Langkah 6
Gambar 4.28: Menentukan Posisi Titik.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
57
Cara menentukan posisi tersebut di atas merupakan salah satu cara dari
berbagai macam kombinasi cara yang dapat kita gunakan (Gambar 4.28).
Selanjutnya, jika berbagai kombinasi cara menentukan posisi titik tersebut
dgunakan bersama – sama pada suatu sistem Koordinat Kartesius geometri
dimensi empat, maka diperoleh beberapa titik lain sebagai berikut:
𝐴(0,0,0, 𝑧1) 𝐺(0,0, 𝑦1, 0) 𝑀(0, 𝑥1, 0,0)
𝐵(0,0, 𝑦1, 𝑧1) 𝐻(0, 𝑥1, 0, 𝑧1) 𝑁(0, 𝑥1, 𝑦1, 0)
𝐶(0, 𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) 𝐼(𝑤1, 𝑥1, 0, 𝑧1) 𝑂(0,0,0,0)
𝐷(𝑤1, 0,0, 𝑧1) 𝐽(0, 𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) 𝑃(𝑤1, 𝑥1, 𝑦1, 𝑧1)
𝐸(𝑤1, 0,0,0) 𝐾(𝑤1, 𝑥1, 0,0)
𝐹(𝑤1, 𝑥1, 0,0) 𝐿(𝑤1, 𝑥1, 𝑦1, 0)
Gambar 4.29: Posisi Titik
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
58
Gambar 4.30: Posisi Titik
Secara lebih lanjut, diketahui bahwa dalam geometri analitik dimensi dua,
grafik dari persamaan yang memuat 𝑥 dan 𝑦 adalah berbentuk suatu garis,
seperti contoh persamaan 𝑦 = 3 𝑝𝑎𝑑𝑎 ℝ2 dan 𝑥 = 4 𝑝𝑎𝑑𝑎 ℝ2. Sedangkan,
dalam geometri analitik dimensi tiga grafik dari persamaan yang memuat 𝑥, 𝑦
dan 𝑧 adalah berbentuk suatu bidang, seperti contoh persamaan 𝑦 = 3 𝑝𝑎𝑑𝑎 ℝ3
dan 𝑥 = 4 𝑝𝑎𝑑𝑎 ℝ3.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
59
Gambar 4.31: Grafik 𝑦 =3 𝑝𝑎𝑑𝑎 ℝ2
Gambar 4.32:Grafik 𝑥 = 4 𝑝𝑎𝑑𝑎 ℝ2
Gambar 4.33:Grafik 𝑦 =
3 𝑝𝑎𝑑𝑎 ℝ3 Gambar 4.34:Grafik 𝑥 = 4 𝑝𝑎𝑑𝑎 ℝ3
Berdasarkan pemikiran tersebut, maka dalam geometri analitik dimensi
empat grafik dari persamaan yang memuat 𝑤, 𝑥, 𝑦 dan 𝑧 haruslah suatu bentuk
ruang. Berikut akan dicontohkan persamaan ruang tersebut dalam sistem
Koordinat Kartesius geometri dimensi empat.
Contoh:
Berikut ini akan diselidiki dan direpresentasikan himpunan semua titik – titik
dalam ℝ4 yang memenuhi syarat berikut:
a. 𝑤 = 0
b. 𝑦 = 3
c. 𝑥 = 4
d. 𝑤 − 𝑧 = 0
a. Persamaan 𝑤 = 0 menyatakan himpunan {(𝑤, 𝑥, 𝑦, 𝑧)|𝑤 = 0}, di mana
himpunan seluruh titik pada ℝ4 dengan unsur koordinat 𝑤 adalah 0, hal
ini menunjukan bahwa himpunan tersebut tidak lain adalah ruang 𝑥𝑦𝑧.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
60
Gambar 4.35 :Grafik 𝑤 = 0 𝑝𝑎𝑑𝑎 ℝ4
b. Persamaan 𝑦 = 3 menyatakan himpunan {(𝑤, 𝑥, 𝑦, 𝑧)|𝑦 = 3}, di mana
himpunan seluruh titik pada ℝ4 dengan unsur koordinat 𝑦 adalah 3. Hal
ini menunjukan bahwa himpunan tersebut tidak lain adalah ruang 𝑤𝑥𝑧
yang melalui titik 𝑦 = 3.
Gambar 4.36 :Grafik 𝑦 = 3 𝑝𝑎𝑑𝑎 ℝ4
c. Persamaan 𝑥 = 4 menyatakan himpunan {(𝑤, 𝑥, 𝑦, 𝑧)|𝑥 = 4}, di mana
himpunan seluruh titik pada ℝ4 dengan unsur koordinat x adalah 4. Hal
ini menunjukan bahwa himpunan tersebut tidak lain adalah ruang 𝑤𝑦𝑧
yang melalui titik x= 4.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
61
Gambar 4.37:Grafik 𝑥 = 4 𝑝𝑎𝑑𝑎 ℝ4
d. Persamaan 𝑤 − 𝑧 = 0 menyatakan himpunan {(𝑤, 𝑥, 𝑦, 𝑤)|𝑤 ∈ ℝ, 𝑥 ∈
ℝ, 𝑦 ∈ ℝ}, di mana himpunan seluruh titik pada ℝ4 dari sumbu
koordinat 𝑤 dan 𝑧 adalah sama. Hal ini menunjukan bahwa himpunan
tersebut tidak lain adalah ruang 𝑤 = 𝑧.
Gambar 4.38:Grafik 𝑤 = 𝑧 𝑝𝑎𝑑𝑎 ℝ4
Lebih lanjut, melalui sistem Koordinat Kartesius geometri dimensi empat
akan ditunjukan bahwa pada geometri dimensi empat juga berlaku sifat: “untuk
setiap elemen khusus dimensi 𝑛 − 1 dapat dipandang sebagai suatu bentuk
perpotongan dari dua buah elemen khusus dimensi 𝑛”. Secara sederhana dapat
dinyatakan bahwa jika terdapat beberapa persamaan ruang berbeda dalam ℝ4,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
62
maka perpotongan antara dua buah ruang tersebut akan membentuk sebuah
bidang, perpotongan antara dua buah bidang akan membentuk sebuah garis dan
perpotongan dua buah garis akan membentuk sebuah titik. Sebagai contoh, akan
dicontohkan ilustrasi berikut:
Contoh:
Diketahui empat buah persamaan ruang dalam ℝ4 adalah 𝑤 = 0, 𝑥 = 0, 𝑦 = 0
dan 𝑧 = 0. Berikut akan ditentukan bidang, garis dan titik perpotongan ruang –
ruang tersebut.
Ruang – ruang yang dimaksud pada persamaan – persamaan ruang yang
diketahui adalah sebagai berikut:
Gambar 4.39: 𝑤 = 0 𝑝𝑎𝑑𝑎 ℝ4 Gambar 4.40: 𝑥 = 0 𝑝𝑎𝑑𝑎 ℝ4
Gambar 4.41:Grafik 𝑦 = 0 𝑝𝑎𝑑𝑎 ℝ4 Gambar 4.42:Grafik 𝑧 = 0 𝑝𝑎𝑑𝑎 ℝ4
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
63
Perpotongan ruang - ruang tersebut akan membentuk bidang seperti pada
gambar berikut:
Gambar 4.43: Perpotongan 𝑤 = 0 dan 𝑥 = 0 Gambar 4.44: Bidang 𝑦𝑧
Gambar 4.45: Perpotongan 𝑥 = 0 dan y= 0 Gambar 4.46: Bidang 𝑤𝑧
Gambar 4.47: Perpotongan y= 0 dan z= 0 Gambar 4.48: Bidang 𝑤𝑥
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
64
Perpotongan bidang - bidang tersebut di atas akan membentuk garis seperti pada
gambar berikut:
Gambar 4.49: Perpotongan Bidang 𝑤𝑧 dan 𝑦𝑧 Gambar 4.50: Garis 𝑧
Gambar 4.51: Perpotongan Bidang 𝑤𝑥 dan w𝑧 Gambar 4.52: Garis 𝑤
Perpotongan garis – garis tersebut di atas akan membentuk titik seperti pada
gambar berikut:
Gambar 4.53: Perpotongan garis 𝑤 dan 𝑧 Gambar 4.54: Titik O (Titik Asal)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
65
Jadi, dapat ditentukan dan ditunjukan bahwa untuk setiap elemen khusus
dimensi 𝑛 − 1 dapat dipandang sebagai suatu bentuk perpotongan dari dua buah
elemen khusus dimensi 𝑛.
D. Bangun Semesta Sederhana
Pada bagian ini akan ditunjukkan bangun semesta sederhana yang dapat
terbentuk pada geometri dimensi empat. Adapun semesta sederhana tersebut
adalah “tesseract”. Tesseract merupakan semesta dimensi empat yang
sebutannya diadopsi dari penamaan Minkowski pada bangun dunianya. Hal ini
dilakukan karena kemiripan bentuk yang ada antara keduanya. Bangun semesta
sederhana ini menunjukan adanya kaitan antara dimensi empat dan dimensi
ruang – waktu di mana dimensi ruang – waktu muncul akibat pengaruh bangun
lain yang familiar. Bentuk tesseract dapat dijadikan atapun dianggap sebagai
suatu bangun dunia dikarenakan kecenderungan penglihatan kita dan
memahami sesuatu yang familiar tersebut di benak kita. Ketika melihat
tesseract, secara sekilas akibat pengaruh kebiasaan tersebut, teseract dipandang
sebagai suatu bangun prisma segiempat yang bergerak menurut selang waktu
tertentu. Akan tetapi, dalam arti yang sebenarnya tesseract dapat terbentuk
akibat pengaruh empat buah komponen vektor panjang dalam suatu sistem
tanpa melibatkan gerak tidaknya bentukan tersebut. Tesseract dapat diartikan
sebagai semesta dengan dibatasi oleh dua belas sisi berbentuk segi empat.
Semesta – semesta yang tergolong tesseract adalah “paralletese” dan
“rhotesse”. Paralletese (parallelogram tesseract) merupakan semesta tesseract
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
66
yang sisi – sisinya berbentuk jajargenjang, sedangkan rhotesse (rhombus
tesseract) merupakan semesta tesseract yang sisi – sisinya berupa belah ketupat.
Definisi 4 :
Tesseract adalah bangun semesta sederhana yang dibatasi oleh dua
belas sisi segi empat.
Paralletesse adalah bangun semesta tesseract yang sisi - sisinya yang
berbentuk jajargenjang.
Rhotesse adalah bangun semesta tesseract yang sisi – sisinya
berbentuk belah ketupat.
1. Paralletesse.
Paralletesse adalah bangun semesta tesseract yang sisi – sisinya
berbentuk jajargenjang. Adapun, semesta tesseract dapat dilukiskan seperti
gambar berikut.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
67
Gambar 4.55: Semesta Paralletesse dari Berbagai Sudut Pandang
2. Rhotesse.
Rhotesse adalah bangun semesta tesseract yang sisi – sisinya
berbentuk layang – layang. Adapun, semesta tesseract dapat dilukiskan
seperti gambar berikut.
Gambar 4.56: Semesta Rhotesse dari Berbagai Sudut Pandang
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
68
E. Hubungan Antara Dimensi Empat dan Ruang Euclides.
Pada pembahasan sebelumnya diketahui bahwa dalam semesta empat
dimensi keorthogonalan vektor tiga dimensi hanyalah merupakan efek
pandangan dari vektor – vektor semu yang dihasilkan oleh vektor – vektor nyata
seperti pada gambar berikut.
Gambar 4.57 : Vektor Nyata dan Semu pada Sistem Koordinat Kartesius Dimensi Empat
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
69
Melalui gambar di atas akan terlihat jelas posisi keberadaan kita, di
mana secara essensial vektor arah dalam ruang tiga dimensi kita tidaklah tegak
lurus seperti yang dibayangkan oleh Koordinat Kartesius. Akan tetapi hal ini
tidak dapat langsung menghukum Euclid dan representasi kartesius sebagai
suatu kesalahan semata.
Berdasarkan keadaan kita (keadaan kehidupan manusia di bumi) yang
tepat cocok dengan keadaan tiga dimensi, maka keadaan tiga dimensi ini dapat
dilihat sebagai bagian ruang yang vektor – vektor arahnya lebih kecil daripada
derajat siku – siku yang ditampilkan kartesius. Pertanyaan berikutnya adalah
apakah keadaan Ruang Euclid dan representasi kartesius adalah suatu kesalahan
total?
Untuk menjawab pertanyaan tersebut di atas maka marilah kita kembali
ikuti analogi ikan mas dan semesta yang dijelaskan oleh Stepphen Hawking
dalam The Grand Design. Dalam keadaan ikan mas yang berada di dalam
akuarium melengkung, suatu kejadian yang terjadi di luar akuarium seperti
pergerakan benda sejauh ukuran panjang tertentu yang melintasi suatu bentuk
garis akan ditampilkan dan dipahami ikan mas dan keadaannya sebagai suatu
lintasan melengkung. Hal tersebut tidak dapat disalahkan pandangan dan
pengetahuan ikan mas tersebut hanya dikarenakan sudut pandangnya dari dalam
akuarium. Jika diandaikan ikan mas adalah kita dengan keadaan semesta adalah
seperti akuarium, merunut pada keadaan semesta adalah serupa dengan balon
gas ( menurut Edington), maka pada dasarnya kita hidup pada posisi yang stabil
menguntungkan yaitu kebenaran keberadaan garis (Geometri Euclid) dengan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
70
pandangan keluar dari dalam kita adalah berupa garis lengkung (Geometri Non
– Euclid). Selesai dari permasalahan garis atau lengkung, akan kita lanjutkan
dengan keadaan orthogonal vektor.
Keterangan:
Diandaikan dalam
tatanan dimensi
empat, keadaan
alam semesta di
mana semesta kita
bukan satu –
satunya semesta
(multiverse) dengan
universe berbentuk
seperti balon gas.
Di mana bola hijau
dan biru adalah
perwakilan untuk
setiap semesta
dengan bola biru
adalah semesta kita
sendiri.
Gambar 4.58: Semesta dan Tatanannya
Keorthogonalan vektor – vektor arah tiga dimensi adalah pengaruh belum
dikenalnya keadaan vektor keempat sehingga keadaan kita akan dipahami
seperti vektor – vektor arah yang orthogonal. Dalam keadaan dimensi empat,
jika diandaikan kita adalah semesta yang berprilaku seperti analogi ikan mas
dan alam semesta, maka kita akan diandaikan terletak pada suatu ruang tertentu
pada suatu heksan-kuadran semesta ( suatu bagian ruang dari empat bagian
ruang dalam heksan suatu set semesta). Dari keadaan ruang tersebut, jika kita
melihat dari keadaan luar, akan lebih cepat dan mudah tersadari bahwa vektor
– vektor orthogonal tersebut adalah bentuk semu dari bidang vektor nyata. Akan
tetapi ketika kita memposisikan diri kita ada di dalam ruang tersebut maka
vektor yang akan tersadari dan kita ketahui adalah sebuah vektor semu tersebut
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
71
dengan dua buah vektor hasil perimpitan dua vektor nyata yang tidak
orthogonal, tetapi diakibatkan pengaruh yang identik dengan keadaan ikan mas
dalam akuarium, keadaan vektor – vektor nyata tersebut akan dipandang
sebagai cukup dua vektor yang orthogonal.
Melalui uraian di atas maka Ruang Euclid bukanlah suatu bentuk ruang
yang salah, melainkan suatu bentuk representasi sederhanau yang
mensketsakan secara simpel bagi kita persamaan dang keadaan tatanan alam
semesta. Secara lebih mendalam, dari sudut pandang dalam Ruang Euclid
adalah tepat merupakan matematis sederhana, tetapi untuk keadaan semesta
dimensi empat adalah hal – hal yang tepat yang layak dipertimbangkan untuk
digunakan sebagai wadah untuk memahami tatanan alam semesta.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
72
BAB V
PENUTUP
A. KESIMPULAN
Berdasarkan pendalaman, pemahaman dan penelitian yang telah dibahas
pada pembahasan Bab III dan Bab IV mengenai permasalahan asumsi dimensi
ruang dan waktu sebagai dimensi empat lanjutan Geometri Euclides, maka hal-
hal pokok yang dapat disimpulkan peneliti pada penelitian ini adalah sebagai
berikut:
1. Ruang Minkowski tidaklah tepat jika dianggap sebagai dimensi empat
melanjutkan geometri Euclides. Kerancuan Ruang Minkowski dalam
asumsi sebagai geometri dimensi empat yang melanjutkan Geometri
Euclides dapat ditunjukan pada penjelasannya dari kajian bidang ilmu
yang lain. Berdasarkan sudut pandang sistem dimensi kerancuan
tersebut muncul kibat keberadaan sumbu – sumbu koordinat yang
berbeda besaran dalam suatu sistem dimensi yang sama dan keberadaan
arah sumbu koordinat waktu yang belum terspesifikasi dengan jelas.
Berdasarkan sudut pandang sistem koordinat melalui kelengkapan
sumbu koordinat waktu dapat ditunjukan bahwa Ruang Minkowski
hanya tepat jika dianggap sebagai ruang terapan relativitas khusus
Einstein dengan kajian waktu yang lebih lengkap dan memadai.
Berdasarkan sudut pandang Geometri Euclides, makna essensial dari
geometri itu sendiri akibat pengaruh Ruang Minkowski akan menjadi
kabur dan tidak sesuai dengan makna essensial Geometri Euclides
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
73
dimensi dua dan tiga. Berdasarkan sudut pandang Teori Relativitas
Khusus, keadaan Ruang Minkowski dengan kajian geometri akan
terlihat rancu ketika diposisikan sebagai suatu bentuk kerangka acuan
yang tidak berbeda dengan kerangka acuan lain yang berdmensi dua dan
tiga. Ruang Minkowski merupakan pelengkap ruang Euclides dalam hal
kerangka acuan inersia.
2. Elemen khusus dimensi empat lanjutan geometri Euclides disebut
sebagai “semesta”. Dimensi empat dapat direpresentasikan secara grafis
melalui suatu sistem koordinat dimensi empat yang didefinisikan
sebagai suatu sistem koordinat yang terbentuk dari empat buah vektor
berlainan arah dengan besaran pokok sama dalam suatu sistem melalui
suatu titik persekutuan tertentu. Adapun sifat – sifat yang dimiliki oleh
sistem Koordinat Kartesius geometri dimensi empat adalah sudut yang
dibentuk oleh garis – garis vektor yang berdekatan pada suatu sistem
koordinat dimensi empat adalah sama dengan 70,50, besar sudut antar
garis – garis vektor yang berhadapan pada suatu koordinat dimensi
empat adalah sama dengan 109,50, pada suatu sistem Koordinat
Kartesius geometri dimensi empat bidang – bidang koordinat yang ada
akan membagi sistem dimensi tersebut menjadi enam bagian semesta
yang sama dan sudut yang dibentuk oleh bidang – bidang koordinat yang
saling berhadapan pada suatu sistem koordinat dimensi empat adalah
sama dengan 900.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
74
B. SARAN
Berdasarkan hasil penelitian yang telah diperoleh dan dijelaskan pada
pembahasan Bab III dan Bab IV mengenai permasalahan asumsi dimensi ruang
dan waktu sebagai dimensi empat lanjutan Geometri Euclides, maka hal-hal
yang dapat disarankan peneliti pada pembaca sekalian adalah sebagai berikut:
1. Untuk penelitian selanjutnya dapat menggunakan sistem koordinat polar,
tabung ataupun bola dalam semesta dimensi empat.
2. Pembahasan dimensi empat yang dilakukan ini hanyalah sebatas pada uji
coba kebenaran ruang Minkowski sebagai dimensi empat lanjutan
geometri Euclides dan memberikan ide ataupun gagasan pembaharuan
yang dianggap lebih cocok sebagai dimensi empat lanjutan dari geometri
Euclides. Penelitian selanjutnya akan dimungkinkan untuk menunjukkan
ruang gerak semesta dalam terapannya melalui kajian astronomis.
3. Dimensi empat yang dibahas dalam tulisan ini bersifat gagasan baru
dengan representasi yang dinarasikan dan hanya dapat direpresentasikan
secara abstrak. Pemahaman selanjutnya tidak tergantung pada keadaan riil
dalam kehidupan sehari – hari dikarenakan kehidupan kita yang masih
terbatas pada dimensi tiga. Kajian penelitian lanjutan dapat menggunakan
sistem ruang semesta ini sebagai bandingan dengan keadaan yang tak
diketahui pada lubang hitam.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
75
DAFTAR PUSTAKA
[1] Addington, A. S. (1920). Spacetime and Gravitation. Cambridge:
Cambridge University Press.
[2] Africk, Henry. (2013). Elementary College Geometry. New York: New
York City College of Technology.
[3] Ashton, C. H. (1902). Plane and Solid Analytic Geometry. New York:
Charles Scribner’s Sons.
[4] Born, Max. (1922). Einstein Theory of Relativity. (Henry L. Brose, Trans.).
New York: E. P. Dutton and Company Publishers.
[5] Burton, David M. (2011). The History of Mathematics: An Introduction.
New York: McGraw – Hill.
[6] Cajori, Florian. (1993). A History of Mathematical Notations. New York:
Dover Publications Inc.
[7] Candy, A. L. (1904). The Elements of Plane and Solid Analytic Geometry.
Boston: D. C. Heath and Co., Publishers.
[8] Carrol, Sean. (2004). Spacetime and Geometry: An Introduction to General
Relativity. Chicago: Pearson Education, Inc.
[9] Clapham, Christopher. (2009). The Concise Oxford Dictionary Of
Mathematics. New York: Oxford University Press Inc.
[10] Coxeter, H. S. M. (1969). Introduction to Geometri. Toronto: John Wiley
& Sons Inc.
[11] Donder, T. D. (1927). The Mathematical Theory of Relativity.
Massachuesetts: Massachuesetts Institute of Technology.
[12] Durell, F. (1911). Plane and Solid Geometry. New York: Charles E. Merill
Co.
[13] Einstein, Albert. (1921). Relativity: The Special and General Theory.
(Robert W. Lawson, Trans.). New York: Henry Holt and Company.
[14] Eisenhart, Luther Pfahler. (1960). Coordinate Geometry. New York: Dover
Publications Inc.
[15] Failor, I. N. (1906). Plane and Solid Geometry. New York: The Century Co.
[16] Hart, C. A., & Feldman, D. D. (1912). Plane and Solid Geometry. (J. H.
Tanner, Virgil Snyder, Ed.). London: American Book Company.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
76
[17] Hawking, Stephen W., & Mlodinow, Leonard. (2010). The Grand Design.
New York: Bantam Books.
[18] Katz, Victor J. (2009). A History of Mathematics: An Introduction. Boston:
Pearson Education Inc.
[19] Mendelson, E. (1997). Introduction to Mathematical Logic. London:
Chapman and Hall.
[20] Palmer, C. I., & Taylor, D. P. (1918). Plane and Solid Geometry. (George
William Myers, Ed.). New York: Scott, Foresman and Company.
[21] Pavlov, D. G. dkk. (2007). Space Time Structure: Algebra and Geometry.
Moscow: Russian Hypercomplex Society, Lilia Print.
[22] Petkov, V. (Ed.). (2010). Minkowski Spacetime : A Hundred Years Later.
New York: Springer.
[23] Petkov, Vesselin. (2012). Spaceand Time: Minkowski’s Papers on
Relativity. Montreal: Minkowski Institute Press.
[24] Prenowitz, Walter. & Jordan, Meyer. (1989). Basic Concepts of Geometry.
New York: Ardsley House Publishers.
[25] Siceloft, L. P., dkk. (1922). Analytic Geometry. Boston: Ginn and
Company.
[26] Silberstein, L. (1914). The Theory of Relativity. London: Macmillan and Co.
Limited.
[27] Smith, J. H. (1876). Elements of Geometry. London: Rivingtons.
[28] Smythies, John. (2003). Space, Time and Consciousness. Journal of
Consciousness Studies, 10, No. 3, 2003, pp. 47–56.
[29] Tuckey, C. O. & Armisted, W. (1953). Coordinate Geometry. New York:
Longmans, Green and Co.
[30] Wells, W. (1909). Plane and Solid Geometry. Boston: D. C. Heath and Co.,
Publishers.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI