PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIrepository.usd.ac.id/4835/2/081414069_full.pdf · 2016. 5....
Transcript of PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIrepository.usd.ac.id/4835/2/081414069_full.pdf · 2016. 5....
NILAI EKSTRIM FUNGSIONAL
FUNGSI SATU VARIABEL BEBAS
SKRIPSI
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat
Memperoleh Gelar Sarjana Pendidikan
Program Studi Pendidikan Matematika
Oleh :
Felisitas Sekar Dayu Rinakit
NIM : 081414069
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS SANATA DHARMA
YOGYAKARTA
2013
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
i
NILAI EKSTRIM FUNGSIONAL
FUNGSI SATU VARIABEL BEBAS
SKRIPSI
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat
Memperoleh Gelar Sarjana Pendidikan
Program Studi Pendidikan Matematika
Oleh :
Felisitas Sekar Dayu Rinakit
NIM : 081414069
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS SANATA DHARMA
YOGYAKARTA
2013
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
iii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
iv
HALAMAN PERSEMBAHAN
Skripsi ini kupersembahkan
untuk kedua orangtuaku, adik,
nenek, dan seluruh keluargaku.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
v
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
vi
ABSTRAK
Felisitas Sekar Dayu Rinakit, 2013. Nilai Ekstrim Fungsional Fungsi Satu
Variabel Bebas. Skripsi. Program Studi Pendidikan Matematika, Jurusan
Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Fakultas Keguruan
dan Ilmu Pendidikan, Universitas Sanata Dharma, Yogyakarta.
Skripsi ini membahas tentang pengertian fungsional, nilai ekstrim suatu
fungsional, dan persamaan Euler. Selama ini telah banyak dibahas mengenai nilai
ekstrim suatu fungsi baik itu fungsi satu variabel maupun fungsi beberapa
variabel. Kali ini, dalam skripsi ini akan dibahas mengenai nilai ekstrim suatu
fungsional.
Fungsional adalah salah satu jenis fungsi, di mana variabel bebasnya
merupakan fungsi, dengan kata lain fungsional merupakan fungsi dari fungsi.
Daerah asal suatu fungsional adalah ruang fungsi, dan daerah hasilnya adalah
himpunan bilangan real. Nilai ekstrim relatif suatu fungsional dapat dibedakan
menjadi dua, yaitu nilai ekstrim kuat dan nilai ekstrim lemah. Nilai ekstrim kuat
pada fungsional adalah nilai ekstrim pada ruang yang lebih besar (luas). Nilai
ekstrim lemah pada fungsional adalah nilai ekstrim pada ruang yang lebih kecil
(sempit). Ruang yang lebih sempit itu adalah himpunan bagian sejati dari ruang
yang lebih besar. Syarat perlu suatu fungsional mencapai nilai ekstrim di suatu
titik tertentu yaitu diferensial dari fungsional di titik itu adalah 0.
Ada suatu teorema mengenai syarat perlu untuk suatu nilai ekstrim dari
fungsional yang berbentuk 𝐽 𝑦 = 𝐹 𝑥,𝑦(𝑥),𝑦(𝑥)′ 𝑑𝑥𝑏
𝑎, untuk daerah asal
fungsional memenuhi suatu syarat batas; yakni nilai fungsi-fungsi dalam daerah
asal tersebut adalah sama pada titik-titik ujung fungsi-fungsi itu. Syarat perlu itu
adalah suatu persamaan diferensial, di mana fungsi yang membuat 𝐽[𝑦] memiliki
nilai ekstrim, akan memenuhi persamaaan diferensial itu. Persamaan diferensial
itu disebut persamaan Euler. Jika 𝑦 = 𝑦 (𝑥) membuat 𝐽[𝑦] memiliki nilai ekstrim,
maka persamaan Eulernya adalah 𝜕𝐹
𝜕𝑦 𝑥,𝑦 ,𝑦 ′ −
𝑑
𝑑𝑥 𝜕𝐹
𝜕𝑦 ′ 𝑥,𝑦 ,𝑦 ′ = 0.
Dalam skripsi ini, teorema mengenai syarat perlu suatu fungsional
mencapai nilai ekstrim di suatu titik tertentu akan dibuktikan. Begitu pula dengan
teorema tentang persamaan Euler.
Kata kunci : fungsional, nilai ekstrim, persamaan Euler.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
vii
ABSTRACT
Felisitas Sekar Dayu Rinakit, 2013. Extreme Value of Functional for
Function With One Independent Variable. Thesis. Mathematics Education
Study Program, Mathematics and Science Education Department, Faculty of
Teacher Training and Education, Sanata Dharma University, Yogyakarta.
This thesis discusses the definition of a functional, extreme value of a
functional, and Euler’s equation. All this time, there are many discussions about
extreme value of function both function of one variable and several variables. But,
this thesis will discuss about extreme value of a functional.
Functional is a kind of function that its independent variable are functions.
Or in the other word we can say that functional is a function of function. Domain
of a functional is a function space and the range is a set of real number. The
relative extreme value of a functional can be differed into two. They are strong
extreme value and weak extreme value. The strong extreme value of a functional
is an extreme value on a bigger space (broader). The weak extreme value of a
functional is an extreme value on a smaller space (narrower). The smaller space is
a proper subset of the bigger space. Necessary condition of a functional to get
extreme value in a certain point is that its differential in that point is 0.
There is a theorem of necessary condition of extreme value from the
functional 𝐽 𝑦 = 𝐹 𝑥,𝑦(𝑥),𝑦(𝑥)′ 𝑑𝑥𝑏
𝑎. The domain of that functional should
satisfy the boundary condition; i.e. the value of functions on its domain is same at
its end points. The necessary condition is a differential equation in which the
function that made 𝐽[𝑦] has extreme value, will satisfy the diferential equation.
That differential equation is called Euler’s equation. If 𝑦 = 𝑦 (𝑥) make 𝐽[𝑦] has
extreme value then its Euler’s equation is 𝜕𝐹
𝜕𝑦 𝑥,𝑦 ,𝑦 ′ −
𝑑
𝑑𝑥 𝜕𝐹
𝜕𝑦 ′ 𝑥,𝑦 ,𝑦 ′ = 0.
In this thesis, theorem of the necessary condition of a function to has
extreme value in a certain point will be proved. And also the theorem of Euler’s
equation.
Key words : functional, extreme value, Euler’s equation
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
viii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ix
KATA PENGANTAR
Puji syukur penulis haturkan kepada Tuhan Yesus Kristus atas berkat dan
rahmat-Nya sehingga penyusunan skripsi yang berjudul “Nilai Ekstrim
Fungsional Fungsi Satu Variabel Bebas” dapat terselesaikan.
Banyak hambatan dan rintangan yang penulis hadapi dalam proses
penyusunan skripsi ini. Namun atas berkat dan rahmat-Nya serta dukungan dan
bantuan dari berbagai pihak, penulis akhirnya dapat menyelesaikan penyusunan
skripsi ini. Oleh karena itu, pada kesempatan kali ini penulis ingin menyampaikan
terima kasih kepada :
1. Dekan Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan Universitas Sanata
Dharma.
2. Ketua Jurusan Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sanata Dharma.
3. Bapak Dr. M. Andy Rudhito, S.Pd. selaku Ketua Program Studi
Pendidikan Matematika Universitas Sanata Dharma.
4. Ibu Ch. Enny Murwaningtyas, S.Si., M.Si. selaku dosen pembimbing yang
telah memberikan saran, bimbingan, dan dorongan kepada penulis dalam
penyusunan skripsi ini.
5. Bapak Dr. M. Andy Rudhito, S.Pd., dan Ibu Veronika Fitri Rianasari,
S.Pd., M.Sc. selaku dosen penguji yang telah memberikan banyak
masukan kepada penulis.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
x
6. Seluruh dosen Pendidikan Matematika yang telah memberikan banyak
ilmu kepada penulis selama kuliah di Universitas Sanata Dharma.
7. Seluruh staf sekretariat JPMIPA.
8. Bapak, ibuk, adik, nenek, serta seluruh keluarga penulis yang selalu
memberikan banyak dukungan, dan semangat kepada penulis.
9. Teman-teman P.Mat’08 Soso, Nia, Vika, Ray, Deka, Zeny, Niken, dan
yang tidak dapat penulis sebutkan satu per satu. Terimakasih atas
kebersamaannya selama kuliah di Universitas Sanata Dharma.
10. Semua pihak yang tidak dapat penulis sebutkan satu per satu, yang telah
membantu dalam penyusunan skripsi ini.
Penulis menyadari bahwa skripsi ini masih banyak kekurangan, sehingga
penulis meminta saran dan kritik dari pembaca agar kedepannya dapat lebih baik
lagi. Akhir kata, penulis mengucapkan terima kasih dan semoga skripsi ini dapat
berguna untuk pembaca.
Yogyakarta, Desember 2013
Penulis
Felisitas Sekar Dayu Rinakit
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xi
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL .......................................................................................... i
HALAMAN PERSETUJUAN DOSEN PEMBIMBING ................................. ii
HALAMAN PENGESAHAN .......................................................................... iii
HALAMAN PERSEMBAHAN ...................................................................... iv
PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ........................................................... v
ABSTRAK ....................................................................................................... vi
ABTRACT ........................................................................................................ vii
LEMBAR PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH ...................... viii
KATA PENGANTAR ..................................................................................... ix
DAFTAR ISI .................................................................................................... xi
BAB I PENDAHULUAN ................................................................................. 1
A. Latar Belakang ............................................................................................ 1
B. Rumusan Masalah ....................................................................................... 2
C. Tujuan Penulisan ......................................................................................... 2
D. Pembatasan Masalah ................................................................................... 2
E. Manfaat Penulisan ....................................................................................... 3
F. Metode Penulisan ........................................................................................ 3
G. Sistematika Penulisan ................................................................................. 4
BAB II LANDASAN TEORI ........................................................................... 5
A. Fungsi .......................................................................................................... 5
B. Limit ............................................................................................................ 6
C. Kontinuitas ................................................................................................ 11
D. Turunan ..................................................................................................... 14
E. Nilai Maksimum dan Minimum ................................................................ 20
F. Integral ...................................................................................................... 27
G. Kalkulus Multivariabel.............................................................................. 35
H. Deret Tak Hingga ...................................................................................... 45
I. Persamaan Diferensial Biasa ..................................................................... 54
BAB III FUNGSIONAL FUNGSI SATU VARIABEL BEBAS ................... 57
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xii
A. Ruang Fungsi ............................................................................................ 57
B. Fungsional ............................................................................................... 104
C. Nilai Ekstrim Fungsional Fungsi Satu Variabel Bebas ........................... 119
BAB IV PERSAMAAN EULER .................................................................. 124
BAB V PENUTUP ........................................................................................ 135
A. Kesimpulan ............................................................................................. 135
B. Saran ........................................................................................................ 137
DAFTAR PUSTAKA ................................................................................... 138
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
1
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Permasalahan mengenai suatu nilai yang optimum sangat dibutuhkan
dalam kehidupan sehari-hari. Misalnya saja dalam mencari luas maksimum,
biaya minimum, dan sebagainya.
Dalam kalkulus diferensial, dapat ditemukan 𝑥 sehingga 𝑓(𝑥)
mencapai nilai ekstrim. Sedangkan dalam kalkulus peubah banyak, dapat
ditemukan (𝑥1, 𝑥2,… , 𝑥𝑛) sehingga 𝑓(𝑥1, 𝑥2,… , 𝑥𝑛) mencapai nilai ekstrim.
Nilai ekstrim adalah nilai maksimum dan minimum fungsi-fungsi tersebut.
Dalam analisis fungsional, salah satu konsep yang dipelajari adalah
konsep tentang fungsional. Fungsional adalah salah satu jenis fungsi, di mana
variabel bebasnya merupakan fungsi (atau kurva), dengan kata lain fungsional
merupakan fungsi dari fungsi.
Selama ini telah dikenal rumus panjang kurva 𝑦 = 𝑓(𝑥), 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏
yaitu 𝐿 = 1 + [𝑓 ′ 𝑥 ]2𝑑𝑥𝑏
𝑎. Rumus tersebut merupakan suatu fungsional
dengan variabel bebas fungsi 𝑓(𝑥). Dengan mencari 𝑦 = 𝑓(𝑥) agar fungsional
tersebut mencapai nilai minimum, itu berarti sama saja dengan mencari kurva
yang terpendek.
Salah satu bentuk fungsional adalah sebagai berikut 𝐽 𝑦 =
𝐹 𝑥, 𝑦(𝑥),𝑦(𝑥)′ 𝑑𝑥𝑏
𝑎. Ada suatu teorema mengenai syarat perlu untuk suatu
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
2
nilai ekstrim dari fungsional yang berbentuk 𝐽 𝑦 = 𝐹 𝑥,𝑦(𝑥),𝑦(𝑥)′ 𝑑𝑥𝑏
𝑎.
Syarat perlu itu adalah suatu persamaan diferensial, dimana fungsi yang
membuat 𝐽[𝑦] memiliki nilai ekstrim, akan memenuhi persamaaan diferensial
itu. Persamaan diferensial itu disebut persamaan Euler. Oleh karena itu, pada
kesempatan kali ini penulis akan membahas tentang nilai ekstrim suatu
fungsional dan persamaan Euler tersebut.
B. Rumusan Masalah
Pokok permasalahan yang akan dibahas dalam skripsi ini adalah :
1. Bagaimana pengertian nilai ekstrim suatu fungsional?
2. Apa yang dimaksud dengan persamaan Euler?
3. Bagaimana isi dan bukti teorema tentang persamaan Euler?
C. Tujuan Penulisan
Tujuan penulisan skripsi ini adalah :
1. Mengetahui pengertian nilai ekstrim suatu fungsional.
2. Mengertahui apa yang dimaksud dengan persamaan Euler.
3. Mengetahui isi dan bukti teorema tentang persamaan Euler.
D. Pembatasan Masalah
Dalam skripsi ini penulis hanya akan membahas tentang fungsional
untuk fungsi satu variabel bebas. Jadi dalam skripsi ini variabel bebas dari
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
3
fungsional yang akan dibahas adalah fungsi-fungsi dengan satu variabel
bebas.
Penulis juga akan membahas tentang persamaan Euler untuk nilai
ekstrim suatu fungsional, dimana daerah asal fungsional memenuhi suatu
syarat batas. Syarat batas tersebut yaitu nilai fungsi-fungsi dalam daerah asal
adalah sama pada titik-titik ujung fungsi-fungsi tersebut.
Kemudian penulis juga membatasi tentang contoh penerapan
persamaan Euler. Contoh persamaan Euler yang akan dibahas hanya berupa
persamaan diferensial biasa.
E. Manfaat Penulisan
Manfaat dari pembahasan ini adalah dapat memberikan kejelasan
tentang nilai ekstrim suatu fungsional, dan dapat memberikan kejelasan
tentang persamaan Euler.
F. Metode Penulisan
Metode yang digunakan dalam penulisan ini adalah metode studi
pustaka, yaitu dengan mempelajari dan memahami beberapa bagian dari
buku-buku acuan yang digunakan.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
4
G. Sistematika Penulisan
Dalam bab I akan dibahas tentang latar belakang, rumusan
masalah, tujuan penulisan, pembatasan masalah, manfaat penulisan, metode
penulisan, dan sistematika penulisan.
Dalam bab II akan dibahas tentang teori-teori yang menjadi dasar
pembahasan dalam bab III, diantaranya adalah fungsi, limit dan kontinuitas,
turunan, nilai maksimum dan minimum fungsi satu variabel bebas, integral,
fungsi peubah banyak, turunan parsial, nilai maksimum dan minimum fungsi
peubah banyak, deret taylor, dan persamaan diferensial biasa.
Dalam bab III pertama-tama akan dibahas tentang ruang fungsi, di
mana ruang-ruang tersebut penting untuk daerah asal suatu fungsional.
Setelah itu akan dibahas tentang pengertian dan contoh-contoh fungsional,
diferensial suatu fungsional, dan nilai ekstrim suatu fungsional.
Dalam bab IV akan dibahas teorema mengenai syarat perlu untuk
suatu nilai ekstrim dari fungsional 𝐽 𝑦 = 𝐹 𝑥, 𝑦(𝑥),𝑦(𝑥)′ 𝑑𝑥𝑏
𝑎. Syarat
perlu itu adalah suatu persamaan diferensial, dimana fungsi yang membuat
𝐽[𝑦] memiliki nilai ekstrim, akan memenuhi persamaaan diferensial itu.
Persamaan diferensial itu disebut persamaan Euler.
Dalam bab V berisi tentang kesimpulan dan saran.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
5
BAB II
LANDASAN TEORI
A. Fungsi
Fungsi merupakan alat untuk menyatakan hubungan antara dua buah
variabel atau lebih. Andaikan fungsi sebagai suatu mesin, maka dia akan
mengolah masukan menjadi keluaran atau disebut juga hasil menurut aturan
fungsi tersebut. Masukan dan keluaran itu haruslah anggota dari himpunan,
sehingga sebelum membahas tentang fungsi, akan dibahas himpunan terlebih
dahulu. Himpunan adalah suatu kumpulan obyek-obyek yang dapat
didefinisikan dengan tepat dan dapat dibedakan. Obyek-obyek ini disebut
elemen atau anggota dari himpunan tersebut, dan dinotasikan dengan huruf
kecil.
Definisi 2.1.1
Himpunan yang tidak mengandung elemen disebut himpunan kosong dan
dinotasikan dengan ∅.
Definisi 2.1.2
Fungsi f adalah aturan yang memadankan setiap elemen x dalam himpunan A
secara tepat satu elemen, yang disebut f(x), dalam himpunan B.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
6
Dalam hal ini, himpunan A dan himpunan B adalah himpunan tidak
kosong. Himpunan A disebut daerah asal (domain) fungsi. Bilangan f(x)
adalah nilai f pada x dan dibaca “f dari x”. Daerah hasil (range) f adalah
himpunan semua nilai f(x) di mana x berubah sepanjang daerah A. Lambang
yang menyatakan suatu bilangan sembarang di daerah asal fungsi f disebut
variabel bebas. Lambang yang menyatakan bilangan di daerah nilai f disebut
variabel tak bebas. Fungsi disebut juga pemetaan.
B. Limit
Dalam limit fungsi, akan dianalisis mengenai perubahan nilai fungsi
ketika masukan atau input fungsi itu bergerak mendekat semakain dekat tetapi
tidak pernah sampai kepada nilai tertentu.
Dituliskan Lxfax
)(lim dan dikatakan “limit f(x) ketika x mendekati a
sama dengan L”, jika kita dapat membuat nilai f(x) sembarang yang dekat
dengan L (sedekat yang kita mau) dengan cara mengambil nilai x yang dekat
dengan a, tetapi tidak sama dengan a.
Limit ini bisa didefinisikan sebagai berikut :
Definisi 2.2.2
Jika f sebuah fungsi yang terdefinisi pada suatu selang terbuka tertentu yang
memuat bilangan a, kecuali mungkin pada a itu sendiri, maka dikatakan
bahwa limit f(x) untuk x mendekati a adalah L, dan dituliskan Lxfax
)(lim
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
7
jika untuk setiap bilangan 휀 > 0 terdapat bilangan yang berpadanan 𝛿 > 0
sedemikian rupa hingga 𝑓 𝑥 − 𝐿 < 휀 bilamana 0 < 𝑥 − 𝑎 < 𝛿.
Cara lain untuk menuliskan baris terakhir definisi ini adalah :
jika 0 < 𝑥 − 𝑎 < 𝛿 maka 𝑓 𝑥 − 𝐿 < 휀
Dituliskan Lxfax
)(lim dan dikatakan bahwa limit-kiri f(x) ketika x
mendekati a [atau limit f(x) ketika x mendekati a dari sisi kiri] sama dengan L
jika dapat dibuat f(x) sembarang dekat ke L dengan cara mengambil x cukup
dekat ke a dan x lebih kecil daripada a.
Definisi 2.2.3 (Definisi Limit Sisi-Kiri)
Lxfax
)(lim jika untuk setiap bilangan 휀 > 0 terdapat bilangan yang
berpadanan 𝛿 > 0 sedemikian rupa hingga 𝑓 𝑥 − 𝐿 < 휀 bilamana 𝑎 − 𝛿 <
𝑥 < 𝑎.
Dituliskan Lxfax
)(lim dan dikatakan bahwa limit-kanan f(x) ketika x
mendekati a [atau limit f(x) ketika x mendekati a dari sisi kanan] sama dengan
L jika dapat dibuat f(x) sembarang dekat ke L dengan cara mengambil x cukup
dekat ke a dan x lebih besar daripada a.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
8
Definisi 2.2.4 (Definisi Limit Sisi-Kanan)
Lxfax
)(lim jika untuk setiap bilangan 휀 > 0 terdapat bilangan yang
berpadanan 𝛿 > 0 sedemikian rupa hingga 𝑓 𝑥 − 𝐿 < 휀 bilamana 𝑎 < 𝑥 <
𝑎 + 𝛿.
Dari ketiga definisi sebelumnya, didapat syarat keberadaan limit yaitu
sebagai berikut :
Lxfax
)(lim jika dan hanya jika Lxfax
)(lim dan .)(lim Lxfax
Hukum Limit : Andaikan bahwa c konstanta dan limit )(lim xfax
dan
)(lim xfax
ada, maka :
1. )(lim)(lim)()(lim xgxfxgxfaxaxax
(Hukum Penjumlahan)
2. )(lim)(lim)()(lim xgxfxgxfaxaxax
(Hukum Pengurangan)
3. )(lim)(lim xfcxcfaxax
(Hukum Perkalian Konstanta)
4. )(lim).(lim)()(lim xgxfxgxfaxaxax
(Hukum Hasil Kali)
5.
ax
ax
ax xg
xf
xg
xf
)(lim
)(lim
)(
)(lim (Hukum Hasil Bagi)
6. n
ax
n
axxfxf
)(lim)(lim , dengan 𝑛 bilangan bulat positif. (Hukum
Pemangkatan)
7. ccax
lim
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
9
8. axax
lim
9. nn
axax
lim , dengan 𝑛 bilangan bulat positif.
10. nn
axax
lim , dengan 𝑛 bilangan bulat positif. (Jika 𝑛 genap, anggap
bahwa 𝑎 > 0)
11. nax
n
axxfxf )(lim)(lim
, dengan 𝑛 bilangan bulat positif. (Jika 𝑛
genap, anggap bahwa 0)(lim
xfax
)
Teorema 2.2.1
Jika 𝑓 𝑥 ≤ 𝑔(𝑥) pada waktu x dekat dengan a (kecuali mungkin di a) dan
limit f dan g keduannya ada untuk x mendekati a maka ).(lim)(lim xgxfaxax
Bukti :
𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥)
Limit 𝑓 dan 𝑔 ada untuk 𝑥 → 𝑎 , sehingga :
Lxfax
)(lim dan Mxgax
)(lim
LMxfxgax
)()(lim (menurut Hukum Pengurangan limit)
Akan digunakan metode kontradikisi, sehingga dimisalkan 𝐿 > 𝑀
LMxfxgax
)()(lim , sehingga untuk sembarang 휀 > 0 terdapat 𝛿 > 0
sedemikian sehingga
0 < 𝑥 − 𝑎 < 𝛿 → 𝑔 𝑥 − 𝑓(𝑥) − (𝑀− 𝐿) < 휀 (menurut definisi 2.2.2)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
10
Ambil 휀 = 𝐿 −𝑀 (karena 𝐿 > 𝑀 dari pernyataan awal), diperoleh 𝛿 > 0
sedemikian sehingga
0 < 𝑥 − 𝑎 < 𝛿 → 𝑔 𝑥 − 𝑓(𝑥) − (𝑀 − 𝐿) < 𝐿 −𝑀
Karena 𝑎 ≤ 𝑎 untuk setiap bilangan a maka diperoleh
0 < 𝑥 − 𝑎 < 𝛿 → 𝑔 𝑥 − 𝑓(𝑥) − (𝑀− 𝐿) < 𝐿 −𝑀
0 < 𝑥 − 𝑎 < 𝛿 → 𝑔 𝑥 − 𝑓(𝑥) < 0
0 < 𝑥 − 𝑎 < 𝛿 → 𝑔 𝑥 < 𝑓(𝑥)
Didapat 𝑔 𝑥 < 𝑓(𝑥). Ini bertentangan dengan 𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥). Oleh karena itu,
ketidaksamaan 𝐿 > 𝑀 adalah salah. Oleh karena itu 𝐿 ≤ 𝑀 yaitu
).(lim)(lim xgxfaxax
Teorema 2.2.2 (Teorema Apit)
Jika 𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥) ≤ (𝑥) pada waktu 𝑥 dekat 𝑎 (kecuali mungkin di 𝑎) dan
Lxhxfaxax
)(lim)(lim maka .)(lim Lxg
ax
Bukti :
𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥) ≤ (𝑥)
Misalkan 휀 > 0 diberikan.
Karena Lxfax
)(lim , maka terdapat 𝛿1 > 0 sedemikian sehingga
0 < 𝑥 − 𝑎 < 𝛿1 → 𝑓 𝑥 − 𝐿 < 휀
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
11
0 < 𝑥 − 𝑎 < 𝛿1 → 𝐿 − 휀 < 𝑓 𝑥 < 𝐿 + 휀
Karena Lxhax
)(lim , maka terdapat 𝛿2 > 0 sedemikian sehingga
0 < 𝑥 − 𝑎 < 𝛿2 → 𝑥 − 𝐿 < 휀
0 < 𝑥 − 𝑎 < 𝛿2 → 𝐿 − 휀 < 𝑥 < 𝐿 + 휀
pilih 𝛿 = min 𝛿1, 𝛿2 .
Jika 0 < 𝑥 − 𝑎 < 𝛿 maka 0 < 𝑥 − 𝑎 < 𝛿1 dan 0 < 𝑥 − 𝑎 < 𝛿2, sehingga
𝐿 − 휀 < 𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥) ≤ 𝑥 < 𝐿 + 휀
𝐿 − 휀 < 𝑔(𝑥) < 𝐿 + 휀
𝑔(𝑥) − 𝐿 < 휀
Oleh karena itu,
Lxgax
)(lim
C. Kontinuitas
Setelah dibahas mengenai fungsi, limit, dan turunan, selanjutnya akan
dibahas mengenai kontinuitas suatu fungsi.
Definisi 2.3.1
Sebuah fungsi f kontinu pada sebuah bilangan a jika ).()(lim afxfax
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
12
Definisi ini secara implisit mensyaratkan tiga hal, jika f kontinu di a :
1. f(a) terdefinisi (yaitu a berada di daerah asal f)
2. )(lim xfax
ada (sehingga harus memenuhi syarat keberadaan limit)
3. )()(lim afxfax
Dari ketiga hal tersebut f(x) haruslah terdefinisi pada suatu selang
terbuka yang memuat a, f(x) mempunyai sifat bahwa perubahan kecil pada x
hanya menghasilkan perubahan kecil pada f(x), dan tidak ada celah pada
kurvanya.
Jika salah satu dari ketiga hal tersebut tidak dipenuhi, maka f(x)
dikatakan tidak kontinu di titik a. Jika f(x) tidak kontinu di titik a, maka f(x)
dikatakan diskontinu di a.
Defiinisi 2.3.2
Sebuah fungsi f kontinu dari kanan pada sebuah bilangan a jika
)()(lim afxfax
dan f kontinu dari kiri pada a jika ).()(lim afxfax
Definisi 2.3.3
Dikatakan f kontinu pada selang terbuka (a,b) jika f kontinu di setiap titik
(a,b). f kontinu pada selang tertutup [a,b] jika kontinu pada (a,b), kontinu
kanan di a, dan kontinu kiri di b.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
13
Teorema 2.3.1
Jika 𝑓 kontinu pada 𝑏 dan bxgax
)(lim , maka )())((lim bfxgfax
. Dengan
kata lain, )(lim))((lim xgfxgfaxax
.
Bukti :
Fungsi 𝑓 kontinu pada 𝑏, sehingga didapat
)()(lim bfyfby
Ini berarti untuk setiap 휀 > 0, terdapat 𝛿1 > 0 sedemikian sehingga
jika 10 by maka .)()( bfyf
bxgax
)(lim
Ini berarti untuk setiap 휀 > 0, terdapat 𝛿 > 0 sedemikian sehingga
jika ax0 maka .)( bxg
Karena 𝑦 = 𝑔(𝑥), maka didapat .)( 1bxg
Oleh karena itu, mengakibatkan .)())(( bfxgf
Oleh karena itu, untuk setiap 휀 > 0, terdapat 𝛿 > 0 sedemikian sehingga
Jika ax0 maka .)())(( bfxgf
Ini berarti ).())((lim bfxgfax
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
14
Teorema 2.3.2
Jika 𝑔 kontinu pada 𝑎, dan 𝑓 kontinu pada 𝑔(𝑎), maka fungsi komposit 𝑓 ∘ 𝑔
yang diberikan oleh 𝑓 ∘ 𝑔 𝑥 = 𝑓(𝑔 𝑥 ) kontinu pada 𝑎.
Bukti :
𝑔 kontinu pada 𝑎, sehingga didapat :
)()(lim agxgax
Karena 𝑓 kontinu pada 𝑔(𝑎), maka dengan menerapkan teorema 2.3.1, akan
diperoleh )).(())((lim agfxgfax
Ini berarti fungsi 𝑓(𝑔 𝑥 ) kontinu pada 𝑎.
Karena itu, 𝑓 ∘ 𝑔 𝑥 = 𝑓(𝑔 𝑥 ) kontinu pada 𝑎.
D. Turunan
Dalam kalkulus diferensial permasalahan yang dibahas adalah tentang
bagaimana suatu besaran berubah dalam hubungannya terhadap besaran lain.
Misalnya antara waktu dan jarak, waktu dan populasi, (dalam kedua hal
tersebut perubahan yang dimaksud adalah laju), dan sebagainya.
Turunan adalah sebuah limit unik yang berkaitan dengan masalah
bagaimana suatu besaran berubah dalam hubungannya terhadap besaran lain.
Limit unik tersebut adalah sebagai berikut : .)()(
lim0 h
xfhxf
h
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
15
Suatu fungsi f(x) dikatakan terdifirensialkan pada titik 𝑥 = 𝑎 asalkan nilai
limit unik pada titik tersebut ada (terdefinisi).
Definisi 2.4.1
Turunan fungsi f pada bilangan a dinyatakan dengan )(' af adalah
.)()(
lim)('0 h
afhafaf
h
asalkan limit ini ada.
Jika dituliskan 𝑥 = 𝑎 + , maka = 𝑥 − 𝑎 , dan h mendekati 0 jika
dan hanya jika x mendekati 𝑎. Karena itu, cara setara mendefinisikan turunan
adalah .)()(
lim)('ax
afxfaf
ax
Diberikan sembarang bilangan x yang bersifat bahwa
h
xfhxf
h
)()(lim
0
ada, maka didapat nilai )(' xf pada x, sehingga 'f dapat
dipandang sebagai suatu fungsi baru, disebut turunan dari f dan didefinisikan
sebagai berikut .)()(
lim)('0 h
xfhxfxf
h
Terdapat beberapa notasi yang sering digunakan untuk menyatakan
turunan, diantaranya adalah 𝑓 ′ 𝑥 ,𝑦′ ,𝑑𝑦
𝑑𝑥,𝑑𝑓
𝑑𝑥,𝑑
𝑑𝑥𝑓 𝑥 ,𝐷𝑓 𝑥 ,𝐷𝑥𝑓(𝑥).
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
16
Semua notasi ini mewakili ekspresi limit unik h
xfhxf
h
)()(lim
0
yang
disebut turunan, sehingga h
xfhxf
h
)()(lim
0
= 𝑓 ′ 𝑥 = 𝑦′ =
𝑑𝑦
𝑑𝑥=
𝑑𝑓
𝑑𝑥=
𝑑
𝑑𝑥𝑓 𝑥 = 𝐷𝑓 𝑥 = 𝐷𝑥𝑓(𝑥).
Definisi 2.4.2
Fungsi f dapat didiferensialkan di a jika )(' af ada. Fungsi f dapat
didiferensialkan pada selang buka (a,b) [atau (𝑎,∞) atau (−∞,𝑎) atau
(−∞,∞)] jika fungsi f dapat didiferensialkan pada setiap bilangan dalam
selang tersebut.
Teorema 2.4.1
Jika f dapat didiferensialkan di 𝑎 , maka f kontinu di 𝑎.
Bukti :
f dapat didiferensialkan di 𝑎, yaitu :
ax
afxfaf
ax
)()(lim)(' ada. (menurut definisi 2.4.1)
Karena 𝑥 ≠ 𝑎 maka 𝑓 𝑥 − 𝑓 𝑎 = 𝑓 𝑥 −𝑓 𝑎
𝑥−𝑎 𝑥 − 𝑎 .
Oleh karena itu,
)(
)()(lim)()(lim ax
ax
afxfafxf
axax
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
17
)(lim.)()(
lim axax
afxf
axax
(menurut aturan hasil kali)
= 𝑓 ′ 𝑎 . 0 = 0
𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑥 + 𝑓 𝑎 − 𝑓 𝑎
𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑎 + 𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑎)
)()()(lim)(lim afxfafxfaxax
)()(lim)(lim afxfafaxax
(menurut aturan penjumlahan)
)(0)( afaf
)()(lim afxfax
Karena itu, 𝑓 kontinu di 𝑎 (menurut definisi 2.3.1).
Berikut adalah kemungkinan-kemungkinan di mana fungsi 𝑓 𝑥 gagal
memiliki turunan di 𝑥 = 𝑎 di dalam domainnya :
Pada umumnya jika grafik suatu fungsi f mempunyai “pojok” atau
“patahan” di dalamnya, maka grafik fungsi f tidak dapat didiferensialkan pada
kondisi tersebut. (saat menghitung f”(a), kita akan menemukan bahwa limit
kiri dan limit kanan berlainan sehingga turunan pada titik itu tidak ada)
Jika kurva mempunyai garis singgung vertikal saat di 𝑥 = 𝑎 (garis
singgung menjadi semakin curam ketika 𝑎 → 0), maka f tidak dapat
didiferensialkan di 𝑎. Garis singgung 𝑦 = 𝑓(𝑥) di suatu titik adalah tegak
artinya kemiringan (gradien) garis singgung itu tidak terdefinisi, padahal
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
18
kemiringan garis singgung 𝑦 = 𝑓(𝑥) di suatu titik adalah turunan 𝑓 di titik
tersebut, sehingga turunannya juga tidak terdefinisi.
Pada sembarang ketidakkontinuan maka f gagal untuk dapat
didiferensialkan. (menurut teorema 2.4.1)
Rumus-Rumus Turunan :
1. 𝑑
𝑑𝑥 𝑐 = 0 (Turunan Fungsi Konstanta)
2. Jika 𝑛 sembarang bilangan real, maka :
𝑑
𝑑𝑥 𝑥𝑛 = 𝑛𝑥𝑛−1 (Aturan Pangkat)
3. Jika c konstanta dan f fungsi yang dapat didiferensialkan, maka :
𝑑
𝑑𝑥[𝑐𝑓 𝑥 ] = 𝑐
𝑑
𝑑𝑥𝑓(𝑥) (Aturan Perkalian Konstanta)
4. Jika 𝑓 dan 𝑔 keduanya dapat didiferensialkan, maka :
𝑑
𝑑𝑥 𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 =
𝑑
𝑑𝑥𝑓 𝑥 +
𝑑
𝑑𝑥𝑔(𝑥) (Aturan Jumlah)
5. Jika 𝑓 dan 𝑔 keduanya dapat didiferensialkan, maka :
𝑑
𝑑𝑥 𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 =
𝑑
𝑑𝑥𝑓 𝑥 −
𝑑
𝑑𝑥𝑔(𝑥) (Aturan Selisih)
6. Jika 𝑓 dan 𝑔 keduanya dapat didiferensialkan, maka :
𝑑
𝑑𝑥 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 = 𝑓(𝑥)
𝑑
𝑑𝑥[𝑔 𝑥 ] + 𝑔(𝑥)
𝑑
𝑑𝑥[𝑓 𝑥 ] (Aturan Hasil Kali)
7. Jika 𝑓 dan 𝑔 keduanya dapat didiferensialkan, maka :
𝑑
𝑑𝑥 𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥) =
𝑔 𝑥 𝑑
𝑑𝑥[𝑓 𝑥 ]−𝑓 𝑥
𝑑
𝑑𝑥[𝑔 𝑥 ]
𝑔(𝑥) 2,𝑔(𝑥) ≠ 0 (Aturan Hasil Bagi)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
19
Sekarang akan dibahas tentang turunan yang lebih tinggi. Jika fungsi 𝑓
dapat diturunkan, maka turunannya yaitu 𝑓’ juga berupa fungsi, sehingga 𝑓’
bisa jadi mempunyai turunan tersendiri yang dinyatakan oleh 𝑓 ′ ′ = 𝑓′′.
Fungsi 𝑓′′ yang baru ini disebut turunan kedua dari 𝑓 karena 𝑓’’
merupakan turunan dari turunan 𝑓.
Notasi-notasi dari turunan kedua dari 𝑦 = 𝑓(𝑥) adalah sebagai berikut :
𝑑
𝑑𝑥 𝑑𝑦
𝑑𝑥 =
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2= 𝑓 ′′ 𝑥 = 𝐷2𝑓(𝑥)
Turunan ketiga 𝑓’’’ adalah turunan dari turunan kedua : 𝑓 ′′′ = (𝑓 ′′ )′ .
Notasi-notasi untuk turunan ketiga adalah :
𝑦′′′ = 𝑓 ′′′ 𝑥 =𝑑
𝑑𝑥 𝑑2𝑦
𝑑𝑥2 =
𝑑3𝑦
𝑑𝑥= 𝐷3𝑓(𝑥)
Umumnya turunan ke-𝑛 dari 𝑓dinyatakan oleh 𝑓(𝑛)dan diperoleh dari f
dengan cara menurunkan n kali. Jika 𝑦 = 𝑓(𝑥), maka dapat dituliskan :
𝑦(𝑛) = 𝑓(𝑛) 𝑥 =𝑑(𝑛)𝑦
𝑑𝑥= 𝐷(𝑛)𝑓(𝑥)
Kali ini akan dibahas tentang diferensial. Jika 𝑦 𝑥 = 𝑓(𝑥), dengan
𝑓(𝑥) adalah suatu fungsi yang terdiferensialkan, maka diferensial 𝑑𝑥 adalah
peubah bebas; yakni 𝑑𝑥 dapat diberi nilai sembarang bilangan real. Kemudian
diferensial 𝑑𝑦 didefinisikan dalam bentuk 𝑑𝑥 oleh persamaaan
𝑑𝑦 = 𝑓 ′ 𝑥 𝑑𝑥
Oleh karena itu, 𝑑𝑦 adalah peubah tak bebas, dia tergantung pada nilai 𝑥 dan
𝑑𝑥.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
20
Besar dari ∆𝑦 dapat dituliskan sebagai berikut :
∆𝑦 = ∆(𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑥 + ∆𝑥 − 𝑓(𝑥)
Misalkan 𝑑𝑥 = ∆𝑥, sehingga ∆𝑦 menyatakan besarnya kurva 𝑦 = 𝑓(𝑥)
(perubahan tinggi kurva) jika 𝑥 berubah sebesar ∆𝑥 = 𝑑𝑥.
Kemiringan suatu garis singgung 𝑦 = 𝑓(𝑥) di suatu titik adalah turunan
𝑓 ; yakni 𝑓′ di titik tersebut. Sehingga tinggi dari garis singgung adalah
𝑓 ′(𝑥)∆𝑥. Karena 𝑑𝑥 = ∆𝑥, maka tinggi dari garis singgung adalah 𝑓 ′(𝑥)𝑑𝑥.
Padahal 𝑑𝑦 = 𝑓 ′ 𝑥 𝑑𝑥, sehingga 𝑑𝑦 menyatakan besarnya garis
singgung (tinggi garis singgung) jika 𝑥 berubah sebesar ∆𝑥 = 𝑑𝑥.
E. Nilai Maksimum dan Minimum
Kali ini akan dibahas tentang salah satu penerapan turunan yaitu
masalah pengoptimalan. Di sini akan dicari nilai yang optimum dari suatu
fungsi. Pengoptimalan tersebut bisa jadi mencari nilai maksimum atau
minimum suatu fungsi. Karena itu, akan dibahas terlebih dahulu apa yang
dimaksud dengan nilai maksimum dan minimum.
Definisi 2.5.1
Fungsi f mempunyai maksimum mutlak (atau maksimum global) di c jika
𝑓(𝑐) ≥ 𝑓(𝑥) untuk semua x di D, dengan D adalah daerah asal f. Bilangan
𝑓(𝑐) disebut nilai maksimum f pada D. Secara serupa, f mempunyai minimum
mutlak di c jika 𝑓(𝑐) ≤ 𝑓(𝑥) untuk semua x di D dan bilangan 𝑓(𝑐) disebut
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
21
nilai minimum f pada D. Nilai maksimum dan minimum f disebut nilai
ekstrim f.
Definisi 2.5.2
Fungsi f mempunyai maksimum lokal (atau maksimum relatif) di c jika
𝑓(𝑐) ≥ 𝑓(𝑥) bilamana x dekat c [ini berarti bahwa 𝑓(𝑐) ≥ 𝑓(𝑥) untuk semua
𝑥 di dalam suatu selang terbuka yang mengandung 𝑐]. Secara serupa, f
mempunyai minimum lokal di c jika 𝑓(𝑐) ≤ 𝑓(𝑥) bilamana x dekat c.
Teorema 2.5.1
Jika fungsi f kontinu pada selang tertutup 𝑎, 𝑏 , maka f mencapai nilai
maksimum mutlak f(c) dan minimum mutlak f(d) pada suatu bilangan c dan d
dalam 𝑎, 𝑏 .
Bukti :
Fungsi f kontinu pada selang tertutup 𝑎, 𝑏 sehingga menurut definisi 2.3.3
fungsi f kontinu pada 𝑎, 𝑏 yaitu kontinu di setiap titik dalam 𝑎, 𝑏 , kontinu
kanan di a yaitu )()(lim afxfax
, dan kontinu kiri di b yaitu )()(lim bfxfbx
Di sini daerah asal fungsi f adalah 𝑎, 𝑏 .
Karena f kontinu pada 𝑎, 𝑏 sehingga untuk c di interval 𝑎, 𝑏 didapat
).()(lim cfxfcx
Oleh karena itu, ada 𝑓(𝑎), 𝑓(𝑏), dan 𝑓(𝑐) untuk 𝑐 di interval (𝑎, 𝑏). Karena
semua bilangan itu merupakan bilangan real, maka menurut sifat-sifat urutan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
22
bilangan real terdapat 𝑓(𝑐1) di mana 𝑓(𝑐1) ≥ 𝑓(𝑐𝑛) untuk 𝑛 sepanjang
interval 𝑎, 𝑏 dan terdapat 𝑓(𝑐2) di mana 𝑓(𝑐2) ≤ 𝑓(𝑐𝑛) untuk 𝑛 sepanjang
interval 𝑎, 𝑏 .
Menurut definisi 2.5.1, f memiliki maksimum mutlak dan minimum mutlak di
daerah asal f yaitu dalam selang tertutup 𝑎, 𝑏 .
Dari teorema di atas dapat dikatakan bahwa jika fungsi itu tidak kontinu
atau fungsi itu tidak berada pada selang tertutup 𝑎, 𝑏 maka fungsi itu bisa
jadi tidak mempunyai atau belum tentu mempunyai nilai ekstrim di 𝑎, 𝑏 .
Teorema 2.5.2 (Teorema Fermat)
Jika 𝑓 mempunyai maksimum atau minimum lokal di 𝑐 dan jika 𝑓 ′(𝑐) ada
maka 𝑓 ′ 𝑐 = 0.
Bukti :
Andaikan f mempunyai maksimum lokal di c, sehingga menurut definisi
2.5.2, 𝑓(𝑐) ≥ 𝑓(𝑥) jika x cukup dekat ke c. Ini berarti jika ada h cukup dekat
ke 0, dengan h positif atau negatif, maka
𝑓(𝑐) ≥ 𝑓(𝑐 + )
oleh karena itu,
𝑓 𝑐 + − 𝑓(𝑐) ≤ 0
Kedua ruas ketidaksamaan dapat dibagi dengan bilangan positif, sehingga arah
ketidaksamaannya tetap.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
23
Oleh karena itu, jika > 0, dan cukup kecil, dapat diperoleh :
𝑓 𝑐 + − 𝑓(𝑐)
≤ 0
Dengan mengambil limit kanan (karena > 0 ) kedua ruas ketidaksamaan ini,
diperoleh :
0lim)()(
lim00
hh h
cfhcf
(menurut teorema 2.3.1)
0)()(
lim0
h
cfhcf
h
𝑓 ′ 𝑐 ada, sehingga h
cfhcfcf
h
)()(lim)('
0
ada. (menurut definisi 2.4.1)
Oleh karena itu,
h
cfhcfcf
x
)()(lim)('
0
= 0
)()(lim
0
h
cfhcf
h
(menurut syarat keberadaan limit)
0)()(
lim)('0
h
cfhcfcf
x
0)(' cf
Sekarang untuk < 0
Kedua ruas ketidaksamaan 𝑓 𝑐 + − 𝑓(𝑐) ≤ 0 dapat dibagi dengan
bilangan negatif sehingga arah ketidaksamaannya berbalik.
Oleh karena itu, jika < 0, dan cukup kecil, dapat diperoleh :
𝑓 𝑐 + − 𝑓(𝑐)
≥ 0
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
24
Dengan mengambil limit kiri (karena < 0 ) kedua ruas ketidaksamaan ini,
diperoleh :
0lim)()(
lim00
hh h
cfhcf
(menurut teorema 2.3.1)
0)()(
lim0
h
cfhcf
h
𝑓 ′ 𝑐 ada, sehingga h
cfhcfcf
h
)()(lim)('
0
ada. (menurut definisi 2.4.1)
Oleh karena itu,
h
cfhcfcf
x
)()(lim)('
0
= 0
)()(lim
0
h
cfhcf
h
(menurut syarat keberadaan limit)
0)()(
lim)('0
h
cfhcfcf
x
0)(' cf
Didapat 0)(' cf dan 0)(' cf sehingga 𝑓 ′ 𝑐 = 0.
Andaikan f mempunyai minimum lokal di c. Menurut definisi 2.5.2, 𝑓(𝑐) ≤
𝑓(𝑥) jika x cukup dekat ke c. Ini berarti jika ada h cukup dekat ke 0, dengan h
positif atau negatif, maka
𝑓(𝑐) ≤ 𝑓(𝑐 + )
oleh karena itu,
𝑓 𝑐 + − 𝑓(𝑐) ≥ 0
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
25
Kedua ruas ketidaksamaan dapat dibagi dengan bilangan positif, sehingga arah
ketidaksamaannya tetap.
Oleh karena itu, jika > 0, dan cukup kecil, dapat diperoleh :
𝑓 𝑐 + − 𝑓(𝑐)
≥ 0
Dengan mengambil limit kanan (karena > 0 ) kedua ruas ketidaksamaan ini,
diperoleh :
0lim)()(
lim00
hh h
cfhcf
(menurut teorema 2.3.1)
0)()(
lim0
h
cfhcf
h
𝑓 ′ 𝑐 ada, sehingga h
cfhcfcf
h
)()(lim)('
0
ada. (menurut definisi 2.4.1)
Oleh karena itu,
h
cfhcfcf
x
)()(lim)('
0
= 0
)()(lim
0
h
cfhcf
h
(menurut syarat keberadaan limit)
0)()(
lim)('0
h
cfhcfcf
x
0)(' cf
Sekarang untuk < 0
Kedua ruas ketidaksamaan 𝑓 𝑐 + − 𝑓(𝑐) ≥ 0 dapat dibagi dengan
bilangan negatif sehingga arah ketidaksamaannya berbalik.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
26
Oleh karena itu, jika < 0, dan cukup kecil, dapat diperoleh :
𝑓 𝑐 + − 𝑓(𝑐)
≤ 0
Dengan mengambil limit kiri (karena < 0 ) kedua ruas ketidaksamaan ini,
diperoleh :
0lim)()(
lim00
hh h
cfhcf
(menurut Teorema 2.3.1)
0)()(
lim0
h
cfhcf
h
𝑓 ′ 𝑐 ada, sehingga h
cfhcfcf
h
)()(lim)('
0
ada. (menurut definisi 2.4.1)
Oleh karena itu,
h
cfhcfcf
x
)()(lim)('
0
= 0
)()(lim
0
h
cfhcf
h
(menurut syarat keberadaan limit)
0)()(
lim)('0
h
cfhcfcf
x
0)(' cf
Didapat 0)(' cf dan 0)(' cf sehingga 𝑓 ′ 𝑐 = 0.
Definisi 2.5.3
Bilangan kritis dari suatu fungsi f adalah suatu bilangan c di dalam daerah asal
f sedemikian sehingga 0)(' cf atau )(' cf = tidak ada.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
27
Dalam bentuk bilangan kritis, Teorema Fermat tadi dapat dinyatakan ulang
sebagai berikut :
Jika f mempunyai maksimum atau minimum lokal di c, maka c adalah
bilangan kritis f.
Berikut ini adalah metode untuk mencari nilai maksimum dan minimum
mutlak, metode ini disebut Metode Selang Tertutup.
Untuk mencari nilai maksimum dan minimum mutlak suatu fungsi
kontinu 𝑓 pada selang tertutup 𝑎, 𝑏 langkah-langkahnya adalah sebagai
berikut
1. Cari nilai f pada bilangan kritis f di dalam 𝑎, 𝑏
2. Cari nilai f pada titik-titik ujung selang
3. Yang terbesar di antara nilai dari langkah 1 dan 2 adalah nilai
maksimum mutlak ; yang terkecil di antara nilai-nilai ini adalah nilai
minimum mutlak.
F. Integral
Pertama, akan dibahas tentang antiturunan. Dalam kalkulus diferensial,
telah dibahas tentang bagaimana suatu besaran berubah dalam hubungannya
terhadap besaran lain. Kali ini akan dibahas kebalikannya. Misalnya, jika
sudah diketahui bagaimana laju pertumbuhan penduduk, maka kali ini dapat
dicari kebalikannya yaitu berapa jumlah populasi pada suatu waktu tertentu.
Persoalan di sini adalah mencari fungsi F yang merupakan antiturunan dari
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
28
dari suatu fungsi f yang diketahui. Jika fungsi F itu ada, maka F disebut
antiturunan dari f.
Definisi 2.6.1
Fungsi F disebut antiturunan dari f pada interval I jika 𝐹′ 𝑥 = 𝑓(𝑥).
Teorema 2.6.1
Jika F antiturunan dari f pada interval I, maka antiturunan dari f pada I yang
paling umum adalah F(x)+C dengan C konstanta.
Bukti :
Andaikan F antiturunan dari f pada interval I sehingga :
𝐹′ 𝑥 = 𝑓(𝑥) (menurut definisi 2.6.1)
𝐹′(𝑥) + 0 = 𝑓 𝑥
𝑑
𝑑𝑥 𝐹 𝑥 + 0 = 𝑓 𝑥
𝑑
𝑑𝑥 𝐹 𝑥 +
𝑑
𝑑𝑥(𝐶) = 𝑓 𝑥 , untuk C adalah konstanta. (menurut Turunan
Fungsi Konstanta)
𝑑
𝑑𝑥 𝐹 𝑥 + 𝐶 = 𝑓 𝑥 (menurut aturan penjumlahan )
Oleh karena itu, didapat
𝑑
𝑑𝑥 𝐹 𝑥 + 𝐶 =
𝑑
𝑑𝑥 𝐹 𝑥 = 𝑓 𝑥
Oleh karena itu,
𝐹 𝑥 + 𝐶 juga merupakan antiturunan dari f pada interval I
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
29
Selanjutnya akan dibahas tentang integral tentu.
Definisi 2.6.2
Jika 𝑓 fungsi kontinu yang didefinisikan untuk 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, maka kita bagi
selang 𝑎, 𝑏 menjadi n selang-bagian berlebar sama ∆𝑥 =(𝑏−𝑎)
𝑛. Misalkan
𝑥0 = 𝑎 , 𝑥1, 𝑥2,… , 𝑥𝑛(= 𝑏) berupa titik ujung selang-bagian ini dan pilih titik
sampel 𝑥1∗, 𝑥2
∗,… , 𝑥𝑛∗ di dalam selang-bagian. Maka definisi integral tentu 𝑓
dari 𝑎 sampai 𝑏 adalah :
n
in
b
a
xxfdxxf1
*
1 )(lim)(
Integral tentu b
a
dxxf )( adalah sebuah bilangan, integral tentu tersebut tidak
tergantung kepada x. Dapat digunakan sembarang huruf di tempat x tanpa
mengubah nilai integral.
Misalnya :
b
a
b
a
b
a
drrfdttfdxxf )()()(
Berikut ini adalah sifat-sifat integral tentu. Andaikan bahwa f dan g
adalah fungsi-fungsi kontinu, maka :
1. )( abcdxc
b
a
, dengan 𝑐 konstanta sembarang.
2.
b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
30
3. dxxfcdxxcf
b
a
b
a
)()( , dengan 𝑐 konstanta sembarang.
4.
b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
5.
c
a
b
a
b
c
dxxfdxxfdxxf )()()(
6. Jika 𝑓(𝑥) ≥ 0 untuk 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, maka .0)( dxxf
b
a
7. Jika 𝑓(𝑥) ≥ 𝑔(𝑥) untuk 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, maka .)()( dxxgdxxf
b
a
b
a
8. Jika 𝑚 ≤ 𝑓(𝑥) ≤ 𝑀 untuk 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, maka
).()()( abMdxxfabm
b
a
Sekarang, akan dibahas tentang Teorema Dasar Kalkulus. Teorema
Dasar Kalkulus ini mengaitkan antara kalkulus diferensial dan kalkulus
integral, yaitu hubungan timbal balik antara keduannya.
Misalkan 𝑓 kontinu pada [𝑎, 𝑏] dan didefinisikan fungsi baru 𝑔, yaitu :
dttfxg
x
a
)()( , dengan 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏. Di sini nilai 𝑔 tergantung pada 𝑥 yang
mana 𝑥 adalah peubah batas atas dalam integral. Jika 𝑥 bilangan tetap, maka
dttf
x
a
)( adalah integral tentu. Namun jika 𝑥 berubah-ubah, maka bilangan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
31
dttf
x
a
)( juga akan berubah-ubah menurut 𝑥. Oleh karena itu, dapat
didefinisikan bahwa 𝑔(𝑥) adalah fungsi dari 𝑥.
Teorema 2.6.2 (Teorema Dasar Kalkulus Bagian 1)
Jika 𝑓 kontinu pada [𝑎, 𝑏], maka fungsi 𝑔 yang didefinisikan oleh
𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏
𝑥
𝑎
adalah kontinu pada [𝑎, 𝑏] dan terdiferensialkan pada (𝑎, 𝑏) dan 𝑔′ 𝑥 = 𝑓(𝑥).
Bukti :
Fungsi 𝑓 kontinu pada [𝑎, 𝑏].
𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏
𝑥
𝑎
Jika 𝑥 dan (𝑥 + ) berada dalam (𝑎, 𝑏) maka
𝑔 𝑥 + − 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑡
𝑥+
𝑎
𝑑𝑡 − 𝑓 𝑡
𝑥
𝑎
𝑑𝑡
= 𝑓 𝑡 𝑥
𝑎𝑑𝑡 + 𝑓(𝑡)
𝑥+
𝑥𝑑𝑡 − 𝑓 𝑡
𝑥
𝑎𝑑𝑡 (menurut sifat
integral tentu; yakni sifat ke 5)
= 𝑓 𝑡 𝑥
𝑥𝑑𝑡
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
32
Oleh karena itu, untuk ≠ 0,
𝑔 𝑥+ −𝑔 𝑥
=
1
𝑓 𝑡 𝑥
𝑥𝑑𝑡 (1)
Kali ini, anggap bahwa > 0. Karena 𝑓 kontinu pada [𝑥, 𝑥 + ], menurut
teorema 2.5.1, terdapat bilangan 𝑢 dan 𝑣 dalam [𝑥, 𝑥 + ] sedemikian sehingga
𝑓 𝑢 = 𝑚 dan 𝑓 𝑣 = 𝑀, dengan 𝑚 dan 𝑀 adalah nilai minimum dan
maksimum mutlak 𝑓 pada [𝑥, 𝑥 + ]. Menurut sifat integral; yakni sifat 8
didapat :
𝑚 ≤ 𝑓(𝑡)
𝑥+
𝑥
𝑑𝑡 ≤ 𝑀
𝑓(𝑢) ≤ 𝑓 𝑡
𝑥+
𝑥
𝑑𝑡 ≤ 𝑓(𝑣)
Karena > 0, ketaksamaan ini dapat dibagi dengan :
𝑓(𝑢) ≤1
𝑓 𝑡
𝑥+
𝑥
𝑑𝑡 ≤ 𝑓(𝑣)
Gunakan persamaan 1 untuk menggantikan bagian tengah kesamaan ini :
𝑓(𝑢) ≤𝑔 𝑥+ −𝑔 𝑥
≤ 𝑓(𝑣) (2)
Ketaksamaan 2 dapat dibuktikan dalam cara serupa untuk kasus < 0.
Sekarang, biarkan → 0. Maka 𝑢 → 𝑥 dan 𝑣 → 𝑥, Karena 𝑢 dan 𝑣 terletak di
antara 𝑥 dan 𝑥 + 𝑡. Karena itu,
)()(lim)(lim0
xfufufxuh
dan )()(lim)(lim0
xfufufxvh
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
33
karena 𝑓 kontinu di 𝑥. (definisi 2.3.1)
Dari persamaan 2 dan teorema 2.2.2 (teorema apit), maka didapat :
𝑔′ 𝑥 = lim→0
𝑔(𝑥+)
= 𝑓(𝑥) (3)
𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏
Jika 𝑥 = 𝑎 atau 𝑥 = 𝑏 , maka persamaan 3 dapat ditafsirkan sebagai limit
sepihak.
Menurut teorema 2.4.1, dan definisi 2.3.3, 𝑔(𝑥) kontinu pada [𝑎, 𝑏]
Teorema 2.6.3 (Teorema Dasar Kalkulus Bagian 2)
Jika 𝑓 kontinu pada [𝑎, 𝑏], maka
b
a
aFbFdxxf )()()( dengan 𝐹
antiturunan sembarang dari 𝑓, yakni suatu fungsi sedemikian sehingga 𝐹′ = 𝑓
Bukti :
Misalkan 𝑔 𝑥 = 𝑓(𝑡)𝑥
𝑎𝑑𝑡. Dari Teorema Dasar Kalkulus Bagian 1
diketahui bahwa 𝑔′ 𝑥 = 𝑓(𝑥); yakni 𝑔 adalah sembarang antiturunan 𝑓. Jika
𝐹 adalah sembarang antiturunan yang lain dari 𝑓 pada [𝑎, 𝑏] maka
𝐹 𝑥 = 𝑔 𝑥 + 𝐶 (6)
untuk 𝑎 < 𝑥 < 𝑏
(menurut teorema 2.6.1)
Tetapi 𝐹 dan 𝑔 keduanya kontinu pada [𝑎, 𝑏], sehingga dengan mengambil
limit kedua ruas persamaan 6 (seraya 𝑥 → 𝑎+ dan 𝑥 → 𝑏−), dapat dilihat
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
34
bahwa hal itu juga berlaku jika 𝑥 = 𝑎 dan 𝑥 = 𝑏. (definisi 2.3.1, definisi
2.3.3)
Jika diberikan 𝑥 = 𝑎 dalam rumus untuk 𝑔(𝑥), maka diperoleh :
𝑔 𝑎 = 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 = 0
𝑎
𝑎
Oleh karena itu, dengan menggunakan persamaan 6 dengan 𝑥 = 𝑏 dan 𝑥 = 𝑎,
didapat :
𝐹 𝑏 − 𝐹 𝑎 = 𝑔 𝑎 + 𝐶 − 𝑔 𝑏 + 𝐶
= 𝑔 𝑏 − 𝑔 𝑎 = 𝑔 𝑏 = 𝑓 𝑡 𝑏
𝑎𝑑𝑡
Setelah dibahas tentang Teorema Dasar Kalkulus, yakni hubungan antara
antiturunan dan integral, maka sekarang akan dibahas tentang antiturunan
dalam Teorema Dasar Kalkulus tadi, yang disebut juga dengan integral tak
tentu.
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥) bermakna 𝐹′ 𝑥 = 𝑓(𝑥)
Sebagai contoh, 𝑥2𝑑𝑥 =𝑥3
3+ 𝐶 , dengan 𝐶 konstan, ini karena
𝑑
𝑑𝑥 𝑥3
3+ 𝐶 = 𝑥2.
Berikut ini, akan dibahas mengenai salah satu teknik pengintegralan
yaitu integral parsial.
Pada turunan, terdapat aturan hasil kali yaitu
𝑑
𝑑𝑥 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 = 𝑓(𝑥)
𝑑
𝑑𝑥[𝑔 𝑥 ] + 𝑔(𝑥)
𝑑
𝑑𝑥[𝑓 𝑥 ]
Dengan mengintegralkan kedua ruas, akan didapat :
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
35
𝑓 𝑥 𝑔(𝑥) = [𝑓 𝑥 𝑔′(𝑥) + 𝑔 𝑥 𝑓 ′ 𝑥 ]𝑑𝑥
Menurut sifat penjumalahan pada integral, akan didapat :
𝑓 𝑥 𝑔′(𝑥)𝑑𝑥 + 𝑔 𝑥 𝑓 ′ 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑔(𝑥)
Persamaan di atas dapat dituliskan menjadi
𝑔 𝑥 𝑓 ′ 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 − 𝑓 𝑥 𝑔′(𝑥)𝑑𝑥
Persamaan di atas disebut rumus pengintegralan parsial.
Jika 𝑢 = 𝑓(𝑥) dan 𝑣 = 𝑔(𝑥) maka 𝑑𝑢 = 𝑓 ′ 𝑥 𝑑𝑥 dan 𝑑𝑣 = 𝑔′ 𝑥 𝑑𝑥, rumus
pengintegralan parsial dapat ditulis menjadi
𝑢 𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − 𝑣 𝑑𝑢
Setelah dibahas mengenai integral; yakni integral tentu dan tak tentu, kali
ini akan dijelaskan mengenai salah satu penggunaan integral lebih lanjut yaitu
tentang rumus panjang kurva.
Jika 𝑓 kontinu pada [𝑎, 𝑏], maka panjang kurva 𝑦 = 𝑓(𝑥), 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏
adalah 𝐿 = 1 + [𝑓 ′ 𝑥 ]2𝑑𝑥𝑏
𝑎.
G. Kalkulus Multivariabel
Di bagian ini, akan dibahas pengertian fungsi beberapa variabel, limit,
dan kontinuitasnya, derivatif parsial, dan nilai ekstrim untuk fungsi beberapa
variabel.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
36
Pertama-tama akan dibahas tentang fungsi 2 variabel bebas dan 3
variabel bebas.
Definisi 2.7.1
Suatu fungsi 𝑓 dari dua variabel adalah suatu aturan yang memberikan kepada
masing-masing pasangan terurut bilangan real (𝑥,𝑦) di dalam sebuah
himpunan 𝐷 sebuah bilangan real unik yang dinyatakan oleh 𝑓(𝑥,𝑦).
Himpunan 𝐷 adalah daerah asal dari 𝑓 dan daerah nilainya adalah himpunan
nilai yang digunakan 𝑓, atau dengan kata lain , {𝑓 𝑥,𝑦 |(𝑥,𝑦) ∈ 𝐷}.
Definisi 2.7.2
Jika 𝑓 adalah fungsi dua variabel dengan daerah asal 𝐷, maka grafik 𝑓 adalah
himpunan semua titik (𝑥,𝑦, 𝑧) di 𝑅3 sedemikian sehingga 𝑧 = 𝑓(𝑥,𝑦) dan
(𝑥,𝑦) berada di 𝐷.
Sekarang akan dibahas tentang pengertian limit dan kontinuitas fungsi 2
variabel.
Definisi 2.7.3
Misalkan 𝑓 adalah fungsi dua variabel yang daerah asalnya 𝐷 mencakup titik-
titik yang sengaja dipilih dekat dengan (𝑎, 𝑏). Maka dikatakan bahwa limit
dari 𝑓(𝑥,𝑦) seraya (𝑥,𝑦) mendekati (𝑎, 𝑏) adalah 𝐿, dan ditulis
Lyxfbayx
),(lim),(),(
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
37
jika untuk setiap bilangan 휀 > 0 terdapat bilangan yang berpadanan 𝛿 > 0
sedemikian sehingga 𝑓 𝑥,𝑦 − 𝐿 < 휀 bilamana (𝑥,𝑦) ∈ 𝐷 dan 0 ≤
(𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 < 𝛿.
Definisi 2.7.4
Fungsi dua variabel 𝑓 disebut kontinu di (𝑎, 𝑏) jika
),(),(lim),(),(
bafyxfbayx
Dikatakan 𝑓 kontinu pada 𝐷 jika 𝑓 kontinu di setiap titik (𝑎, 𝑏) dalam 𝐷.
Sekarang akan dibahas untuk fungsi tiga variabel atau lebih.
Definisi 2.7.5
Fungsi tiga variabel, 𝑓, adalah aturan yang memberikan kepada masing-
masing rangkap tiga terurut (𝑥,𝑦, 𝑧) di dalam daerah asal 𝐷 ⊂ 𝑅3 sebuah
bilangan real unik yang dinyatakan oleh 𝑓(𝑥,𝑦, 𝑧).
Definisi 2.7.6
Fungsi 𝑛 variabel adalah aturan yang memberikan sebuah bilangan 𝑧 =
𝑓(𝑥1, 𝑥2,… , 𝑥𝑛) kepada rangkap 𝑛 bilangan real (𝑥1, 𝑥2,… , 𝑥𝑛).
Himpunan rangkap 𝑛 yang demikian dinyatakan dengan 𝑅𝑛 .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
38
Definisi 2.7.7
Andaikan 𝐚 adalah sembarang titik pada 𝑅𝑛 , dan 𝐱 adalah variabel-variabel
dari fungsi 𝑛 variabel. Jika 𝑓 didefinisikan pada himpunan bagian 𝐷 dari 𝑅𝑛 ,
maka lim𝐱→𝐚 𝑓(𝐱) = 𝐿 bermakna bahwa untuk setiap bilangan 휀 > 0 terdapat
sebuah bilangan terkait 𝛿 > 0 sedemikian sehingga 𝑓 𝐱 − 𝐿 < 휀 bilamana
𝐱 ∈ 𝐷 dan 0 < 𝐱 − 𝐚 < 𝛿.
Untuk 𝑛 = 3, maka 𝐱 = 𝑥,𝑦, 𝑧 dan a= 𝑎, 𝑏, 𝑐 , sehingga definisi di atas
menjadi definisi limit untuk fungsi 3 variabel ; yakni :
),,(),,(lim),,(),,(
cbafzyxfcbazyx
Yang berarti bahwa nilai 𝑓(𝑥,𝑦, 𝑧) mendekati bilangan 𝐿 seraya titik (𝑥,𝑦, 𝑧)
mendekati titik (𝑎, 𝑏, 𝑐) di sepanjang daerah lintasan dalam daerah asal 𝑓.
Definisi persisnya yaitu :
Untuk setiap bilangan 휀 > 0 terdapat sebuah bilangan terkait 𝛿 > 0
sedemikian sehingga 𝑓 𝑥,𝑦, 𝑧 − 𝐿 < 휀 bilamana
0 ≤ (𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 + (𝑧 − 𝑐)2 < 𝛿 dan (𝑥,𝑦, 𝑧) berada dalam daerah
asal 𝑓.
Definisi 2.7.8
Fungsi 𝑛 variabel 𝑓 disebut kontinu di 𝐚 jika
lim𝐱→𝐚 𝑓(𝐱) = 𝐿.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
39
Teorema 2.7.1
Jika 𝑓 adalah fungsi 3 variabel yang kontinu pada (𝑘, 𝑙,𝑚) dan
𝑔 𝑥 , 𝑦 , 𝑖(𝑧) adalah fungsi-fungsi dengan satu variabel. kxgax
)(lim ,
lyhby
)(lim , mzicz
)(lim , maka ),,())(),(),((lim),,(),,(
mlkfxzxyxgfcbazyx
.
Dengan kata lain
.)(lim),(lim),(lim))(),(),((lim),,(),,(
ziyhxgfxzxyxgf
czbyaxcbazyx
Bukti :
Fungsi 𝑓 kontinu pada (𝑘, 𝑙,𝑚), sehingga didapat
),,(),,(lim),,(),,(
mlkfwvufmlkwvu
Ini berarti untuk setiap 휀 > 0, terdapat 𝛿1 > 0 sedemikian sehingga
jika 1
222 )()()(0 mwlvku maka .),,(),,( mlkfwvuf
kxgax
)(lim
Ini berarti untuk setiap 휀 > 0, terdapat 𝛿2 > 0 sedemikian sehingga
jika 20 ax maka .)( kxg
lyhby
)(lim
Ini berarti untuk setiap 휀 > 0, terdapat 𝛿3 > 0 sedemikian sehingga
jika 30 by maka .)( lyh
mzicz
)(lim
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
40
Ini berarti untuk setiap 휀 > 0, terdapat 𝛿4 > 0 sedemikian sehingga
jika 40 cz maka .)( mzi
0 < 𝑥 − 𝑎 + 𝑦 − 𝑏 + 𝑧 − 𝑐 < 𝛿1 + 𝛿2 + 𝛿3
Karena 𝛿1, 𝛿2, 𝛿3 adalah bilangan positif yang sangat kecil, maka 𝛿1 + 𝛿2 + 𝛿3
juga masih merupakan bilangan positif yang sangat kecil, sehingga dapat
dituliskan 𝛿1 + 𝛿2 + 𝛿3 = 𝛿.
Jadi dapat dituliskan 0 < 𝑥 − 𝑎 + 𝑦 − 𝑏 + 𝑧 − 𝑐 < 𝛿.
kxg )( lyh )( 3)( mzi
2222 3))(())(())(( mzilxhkxg
Karena 휀 adalah bilangan positif yang sangat kecil, maka 23 juga masih
merupakan bilangan positif yang sangat kecil.
Karena 𝑢 = 𝑔 𝑥 ,𝑣 = 𝑦 ,𝑤 = 𝑖(𝑧) maka didapat
1
222 ))(())(())(( mzilxhkxg , sehingga mengakibatkan
),,())(),(),(( mlkfxixhxgf
Oleh karena itu, untuk setiap 휀 > 0, terdapat 𝛿 > 0 sedemikian sehingga
Jika 0 < 𝑥 − 𝑎 + 𝑦 − 𝑏 + 𝑧 − 𝑐 < 𝛿 maka
.),,())(),(),(( mlkfxixhxgf
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
41
Ini berarti ).,,())(),(),((lim),,(),,(
mlkfxzxyxgfcbazyx
Teorema 2.7.2
Jika 𝑔,, 𝑖 masing –masing adalah fungsi satu variabel sedemikian sehingga 𝑔
kontinu pada 𝑎, kontinu pada 𝑏, 𝑖 kontinu pada 𝑐, dan 𝑓 kontinu pada
(𝑔 𝑎 , 𝑏 , 𝑖 𝑐 ), maka fungsi 𝑓(𝑔 𝑥 , 𝑥 , 𝑖(𝑥)) kontinu pada (𝑎, 𝑏, 𝑐).
Bukti :
Mengingat fungsi 𝑔 kontinu pada 𝑎, maka didapat :
)()(lim agxgax
Fungsi kontinu pada 𝑏, maka didapat :
)()(lim bhyhby
Fungsi 𝑖 kontinu pada 𝑐, maka didapat :
)()(lim cizicz
Fungsi 𝑓 kontinu pada (𝑔 𝑎 , 𝑏 , 𝑖 𝑐 ), maka dengan menerapkan teorema
2.7.1, akan diperoleh ))(),(),(())(),(),((lim),,(),,(
cibhagfxzxyxgfcbazyx
Ini berarti fungsi 𝑓(𝑔 𝑥 , 𝑥 , 𝑖(𝑥)) kontinu pada (𝑎, 𝑏, 𝑐).
Setelah membahas limit dan kontinuitas, kali ini akan dibahas tentang
pengertian turunan parsial.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
42
Definisi 2.7.9
Jika 𝑓 adalah fungsi dua variabel, turunan parsialnya adalah fungsi 𝑓𝑥 dan 𝑓𝑦
yang didefinisikan oleh
𝑓𝑥 𝑥,𝑦 = lim→0
𝑓 𝑥 + ,𝑦 − 𝑓(𝑥, 𝑦)
𝑓𝑦 𝑥,𝑦 = lim→0
𝑓 𝑥, 𝑦 + − 𝑓 𝑥,𝑦
Berikut ini adalah notasi-notasi untuk turunan parsial.
Jika 𝑧 = 𝑓(𝑥,𝑦), maka dituliskan
𝑓𝑥 𝑥,𝑦 = 𝑓𝑥 =𝜕𝑓
𝜕𝑥=𝜕
𝜕𝑥𝑓 𝑥,𝑦 =
𝜕𝑧
𝜕𝑥= 𝑓1 = 𝐷1𝑓 = 𝐷𝑥𝑓
𝑓𝑦 𝑥,𝑦 = 𝑓𝑦 =𝜕𝑓
𝜕𝑦=𝜕
𝜕𝑦𝑓 𝑥, 𝑦 =
𝜕𝑧
𝜕𝑦= 𝑓2 = 𝐷2𝑓 = 𝐷𝑦𝑓
Kemudian, akan dibahas mengenai aturan untuk pencarian turunan
parsial dari 𝑧 = 𝑓(𝑥,𝑦).
1. Untuk mencari 𝑓𝑥 , pandang 𝑦 sebagai konstanta dan diferensialkan
𝑓(𝑥,𝑦) terhadap 𝑥.
2. Untuk mencari 𝑓𝑦 , pandang 𝑥 sebagai konstanta dan diferensialkan
𝑓(𝑥,𝑦) terhadap 𝑦.
Turunan parsial juga dapat didefinisikan untuk fungsi tiga variabel atau lebih.
Jika 𝑓 adalah fungsi dua variabel 𝑥,𝑦, dan 𝑧, turunan parsialnya terhadap 𝑥
didefinisikan sebagai berikut :
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
43
𝑓𝑥 𝑥,𝑦, 𝑧 = lim→0
𝑓 𝑥 + ,𝑦, 𝑧 − 𝑓(𝑥,𝑦, 𝑧)
dan ditemukan dengan cara memandang 𝑦 dan 𝑧 sebagai konstanta serta
mendiferensialkan 𝑓(𝑥,𝑦, 𝑧) terhadap 𝑥.
Umumnya, jika 𝑢 adalah fungsi 𝑛-variabel, 𝑢 = 𝑓(𝑥1, 𝑥2 ,… , 𝑥𝑛), turunan
parsialnya terhadap variabel 𝑥𝑖 ke-𝑖 adalah
𝜕𝑢
𝑥𝑖= lim
→0
𝑓 𝑥1,… , 𝑥𝑖−1,𝑥𝑖+ , 𝑥𝑖+1,… , 𝑥𝑛 − 𝑓(𝑥1, 𝑥𝑖 ,… , 𝑥𝑛)
dan dituliskan
𝜕𝑢
𝜕𝑥𝑖=
𝜕𝑓
𝜕𝑥𝑖= 𝑓𝑥𝑖 = 𝑓𝑖 = 𝐷𝑖𝑓.
Setelah dibahas mengenai turunan parsial pertama, kali ini akan kita
bahas pengertian mengenai turunan parsial ke dua dan ke tiga.
Jika 𝑓 adalah fungsi dua variabel, maka turunan parsialnya 𝑓𝑥 dan 𝑓𝑦
juga fungsi dua variabel. Sehingga dapat ditiinjau turunan parsial dari 𝑓𝑥 dan
𝑓𝑦 .
Jika 𝑧 = 𝑓(𝑥,𝑦), digunakan notasi berikut :
𝑓𝑥 𝑥 = 𝑓𝑥𝑥 = 𝑓11 =𝜕
𝜕𝑥 𝜕𝑓
𝜕𝑥 =
𝜕2𝑓
𝜕𝑥2=𝜕2𝑧
𝜕𝑥2
𝑓𝑥 𝑦 = 𝑓𝑥𝑦 = 𝑓12 =𝜕
𝜕𝑦 𝜕𝑓
𝜕𝑥 =
𝜕2𝑓
𝜕𝑦 𝜕𝑥=
𝜕2𝑧
𝜕𝑦 𝜕𝑥
(𝑓𝑦)𝑥 = 𝑓𝑦𝑥 = 𝑓21 =𝜕
𝜕𝑥 𝜕𝑓
𝜕𝑦 =
𝜕2𝑓
𝜕𝑥 𝜕𝑦=
𝜕2𝑧
𝜕𝑥 𝜕𝑦
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
44
(𝑓𝑦)𝑦 = 𝑓𝑦𝑦 = 𝑓22 =𝜕
𝜕𝑦 𝜕𝑓
𝜕𝑦 =
𝜕2𝑓
𝜕𝑦2=𝜕2𝑧
𝜕𝑦2
Jadi, notasi 𝑓𝑥𝑦 atau 𝜕2𝑓
𝜕𝑦 𝜕𝑥 bermakna bahwa pertama, diferensialkan
terhadap 𝑥 kemudian terhadap 𝑦 sedangkan dalam menghitung 𝑓𝑦𝑥 urutannya
dibalik.
Turunan parsial orde 3 atau lebih tinggi dapat juga didiferensialkan. Misalnya,
𝑓𝑥𝑦𝑦 =𝜕
𝜕𝑦 𝜕2𝑓
𝜕𝑦 𝜕𝑥 =
𝜕3𝑓
𝜕𝑦2 𝜕𝑥
dan seterusnya.
Untuk selanjutnya, akan dibahas tentang pengertian nilai
maksimum dan nilai minimum lokal untuk fungsi beberapa variabel.
Definisi 2.7.9
Fungsi dua variabel mempunyai maksimum lokal di (𝑎, 𝑏) jika 𝑓(𝑥,𝑦) ≤
𝑓(𝑎, 𝑏) ketika (𝑥, 𝑦) dekat (𝑎, 𝑏). [Ini berarti bahwa 𝑓(𝑥,𝑦) ≤ 𝑓(𝑎, 𝑏) untuk
semua titik (𝑥, 𝑦) dalam suatu cakram dengan pusat 𝑎, 𝑏 .] Bilangan 𝑓(𝑎, 𝑏)
disebut nilai maksimum lokal. Jika 𝑓(𝑥,𝑦) ≥ 𝑓(𝑎, 𝑏) ketika (𝑥,𝑦) dekat
(𝑎, 𝑏), maka 𝑓(𝑎, 𝑏) disebut nilai minimum lokal.
Fungsi 𝑛-variabel mempunyai maksimum lokal di (𝑎1,𝑎2,… ,𝑎𝑛) jika
𝑓(𝑥1, 𝑥2,… , 𝑥𝑛) ≤ 𝑓(𝑎1,𝑎2,… ,𝑎𝑛) ketika (𝑥1, 𝑥2,… , 𝑥𝑛) dekat
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
45
(𝑎1,𝑎2,… ,𝑎𝑛). Bilangan 𝑓(𝑎1,𝑎2,… ,𝑎𝑛) disebut nilai maksimum lokal. Jika
𝑓(𝑥1, 𝑥2,… , 𝑥𝑛) ≥ 𝑓(𝑎1,𝑎2,… ,𝑎𝑛) ketika (𝑥1, 𝑥2,… , 𝑥𝑛) dekat
(𝑎1,𝑎2,… ,𝑎𝑛), maka 𝑓(𝑎1,𝑎2,… ,𝑎𝑛) disebut nilai minimum lokal.
H. Deret Tak Hingga
Pembahasan kali ini dimulai dengan pembahasan tentang pengertian
suatu barisan. Sebuah barisan adalah suatu daftar bilangan yang dituliskan
dalam suatu urutan tertentu :
𝑎1,𝑎2,𝑎3,𝑎4,… ,𝑎𝑛 ,…
Barisan di atas adalah barisan tak hingga, yaitu barisan dengan suku tak
hingga banyak.
Bila diperhatikan, untuk setiap bilangan bulat positif 𝑛 terdapat suatu
bilangan 𝑎𝑛 yang terkait. Oleh karena itu, sebuah barisan dapat didefinisikan
sebagai sebuah fungsi yang daerah asalnya adalah himpunan bilangan bulat
positif.
Barisan 𝑎1,𝑎2,𝑎3,𝑎4,… ,𝑎𝑛 ,… dinotasikan sebagai 𝑎𝑛 atau 𝑎𝑛 𝑛=1∞
Definisi 2.8.1
Barisan 𝑎𝑛 mempunyai limit 𝐿 dan dituliskan Lann
lim atau 𝑎𝑛 → 𝐿
seraya 𝑛 → ∞ apabila untuk setiap 휀 > 0 terdapat sebuah bilangan bulat 𝑁
sedemikian sehingga 𝑎𝑛 − 𝐿 < 휀 apabila 𝑛 > 𝑁. Jika n
na
lim ada, dikatakan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
46
bahwa barisan tersebut konvergen. Jika tidak, dikatakan bahwa barisan
tersebut divergen.
Sekarang, akan mulai dibahas tentang deret. Jika suku-suku dari suatu
barisan tak hingga 𝑎𝑛 𝑛=1∞ dijumlahkan, maka akan didapatkan suatu ekspresi
yang berbentuk
𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 +⋯+ 𝑎𝑛 +⋯
Ekspresi di atas disebut deret tak hingga, dan dinyatakan dengan lambang
𝑎𝑛∞𝑛=1 atau 𝑎𝑛
Tinjau jumlah parsial pada deret di atas yaitu :
𝑠1 = 𝑎1
𝑠2 = 𝑎1 + 𝑎2
𝑠3 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3
dan, secara umum,
𝑠𝑛 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 +⋯+ 𝑎𝑛 = 𝑎𝑖
𝑛
𝑖=1
Jumlah-jumlah parsial ini membentuk barisan baru 𝑠𝑛 .
Definisi 2.8.1
Diberikan sebuah deret 𝑎𝑛 =∞𝑛=1 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 +⋯, misalkan 𝑠𝑛 adalah
jumlah parsial ke-𝑛 dari deret tersebut :
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
47
𝑠𝑛 = 𝑎𝑛 =∞𝑛=1 𝑎1 + 𝑎2 +⋯+ 𝑎𝑛 . Jika barisan 𝑠𝑛 konvergen dan
ssnn
lim hadir sebagai suatu bilangan real, maka deret 𝑎𝑛 dikatakan
konvergen dan kita tuliskan 𝑎1 + 𝑎2 +⋯+ 𝑎𝑛 +⋯ = 𝑠 atau 𝑎𝑛 = 𝑠
Bilangan 𝑠 disebut sebagai jumlah dari deret tersebut. Jika tidak, deret tersebut
dikatakan divergen.
Definisi 2.8.2
Barisan 𝑎𝑛 adalah terbatas di atas apabila terdapat suatu bilangan 𝑀
sedemikian sehingga 𝑎𝑛 ≤ 𝑀 untuk semua 𝑛 ≥ 1.
Barisan 𝑎𝑛 adalah terbatas di bawah apabila terdapat suatu bilangan 𝑚
sedemikian sehingga 𝑚 ≤ 𝑎𝑛 untuk semua 𝑛 ≥ 1.
Jika 𝑎𝑛 adalah terbatas di atas dan di bawah, maka 𝑎𝑛 merupakan barisan
terbatas.
Telah dibahas mengenai pengertian barisan dan deret tak hingga. Untuk
selanjutnya, akan dibahas tentang deret pangkat.
Definisi 2.8.3
Deret pangkat adalah deret yang berbentuk
𝑐𝑛𝑥𝑛 = 𝑐0 + 𝑐1𝑥 + 𝑐2𝑥
2 + 𝑐3𝑥3 +⋯
∞
𝑛=0
dengan 𝑥 adalah suatu variabel dan 𝑐𝑛 adalah konstanta-konstanta yang
disebut koefisien dari deret tersebut.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
48
Jumlah deret tersebut merupakan suatu fungsi
𝑓(𝑥) = 𝑐0 + 𝑐1𝑥 + 𝑐2𝑥2 +…+ 𝑐𝑛𝑥
𝑛 +⋯
yang daerah asalnya adalah himpunan semua 𝑥 sedemikian sehingga deret
konvergen.
Secara lebih umum, deret yang berbentuk
𝑐𝑛(𝑥 − 𝑎)𝑛 = 𝑐0 + 𝑐1(𝑥 − 𝑎) + 𝑐2(𝑥 − 𝑎)2 +⋯
∞
𝑛=0
disebut deret pangkat dalam (𝑥 − 𝑎) atau deret pangkat yang berpusat di 𝑎
atau deret pangkat di sekitar 𝑎.
Jari-jari konvergensi deret pangkat adalah suatu bilangan positif 𝑅
sedemikian sehingga deret tersebut konvergen bila 𝑥 − 𝑎 < 𝑅 dan divergen
bila 𝑥 − 𝑎 > 𝑅.
Jumlah suatu deret pangkat merupakan suatu fungsi
𝑓 𝑥 = 𝑐𝑛(𝑥 − 𝑎)𝑛∞
𝑛=0
yang daerah asalnya adalah selang konvergensi deret tersebut. Sekarang
fungsi tersebut akan diturunkan. Bagaimana cara menurunkan fungsi tersebut
dapat dilihat dari teorema berikut ini:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
49
Teorema 2.8.1
Jika deret pangkat 𝑐𝑛(𝑥 − 𝑎)𝑛 mempunyai jari-jari konvergensi 𝑅 > 0,
maka fungsi 𝑓 yang didefinisikan oleh
𝑓 𝑥 = 𝑐0 + 𝑐1 𝑥 − 𝑎 + 𝑐2 𝑥 − 𝑎 2 +⋯ = 𝑐𝑛(𝑥 − 𝑎)𝑛
∞
𝑛=0
dapat diturunkan (dan karenanya kontinu) pada selang (𝑎 − 𝑅,𝑎 + 𝑅)
𝑓 ′ 𝑥 = 𝑐1 + 2𝑐2 𝑥 − 𝑎 + 3𝑐3 𝑥 − 𝑎 2 +⋯ = 𝑛𝑐𝑛(𝑥 − 𝑎)𝑛−1∞
𝑛=1
Jari-jari konvergensi deret pangkat pada persamaan di atas adalah 𝑅.
Bukti :
𝑓(𝑥) kontinu pada setiap 𝑥 anggota himpunan bilangan real, karena 𝑓(𝑥)
berupa polinom. Sehingga 𝑓(𝑥) juga kontinnu pada selang (𝑎 − 𝑅,𝑎 + 𝑅).
Setiap suku dari 𝑓(𝑥) juga kontinu pada setiap 𝑥 anggota himpunan bilangan
real, karena dia berupa polinom. Sehingga mereka juga kontinnu pada selang
(𝑎 − 𝑅, 𝑎 + 𝑅).
Karena itu, menurut aturan penjumlahan dan aturan perkalian konstanta pada
turunan akan didapat :
𝑓′ 𝑥 =𝑑
𝑑𝑥(𝑐0) + 𝑐1
𝑑
𝑑𝑥 𝑥 − 𝑎 + 𝑐2
𝑑
𝑑𝑥 𝑥 − 𝑎 2 +⋯
𝑓 ′ 𝑥 = 0 + 𝑐1 + 2𝑐2
𝑑
𝑑𝑥 𝑥 − 𝑎 +⋯ = 𝑛𝑐𝑛(𝑥 − 𝑎)𝑛−1
∞
𝑛=1
Teorema 2.8.2
Jika fungsi 𝑓 mempunyai uraian deret pangkat di 𝑎, yakni jika
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
50
𝑓 𝑥 = 𝑐𝑛(𝑥 − 𝑎)𝑛∞𝑛=0 𝑥 − 𝑎 < 𝑅
maka koefisiennya diberikan oleh rumus 𝑐𝑛 =𝑓 𝑛
𝑛 !(𝑥 − 𝑎)𝑛 .
Bukti :
𝑓(𝑥) dapat diuraikan dalam bentuk deret pangkat sehingga
𝑓 𝑥 = 𝑐0 + 𝑐1 𝑥 − 𝑎 + 𝑐2 𝑥 − 𝑎 2 + 𝑐3 𝑥 − 𝑎
3 + 𝑐4 𝑥 − 𝑎 4 + ⋯
(1)
𝑥 − 𝑎 < 𝑅
Perhatikan bahwa jika 𝑥 = 𝑎 dimasukkan ke dalam persamaan (1) , maka
akan didapat 𝑓 𝑎 = 𝑐0
Menurut teorema 2.8.2 deret pada persamaan (1) dapat diturunkan suku demi
suku, sehingga
𝑓 ′ 𝑥 = 𝑐1 + 2𝑐2 𝑥 − 𝑎 + 3𝑐3 𝑥 − 𝑎 2 + 4𝑐4 𝑥 − 𝑎
3 +⋯ (2)
𝑥 − 𝑎 < 𝑅.
Substitusi 𝑥 = 𝑎 ke persamaaan (2), sehingga didapat 𝑓 𝑎 = 𝑐1.
Turunkan kedua ruas persamaan (2) dan didapat
𝑓 ′ ′ 𝑥 = 2𝑐2 + 2 ∙ 3𝑐3 𝑥 − 𝑎 + 3 ∙ 4𝑐3 𝑥 − 𝑎 2 +⋯ (3)
𝑥 − 𝑎 < 𝑅.
Substitusi 𝑥 = 𝑎 ke persamaaan (3) sehingga didapat 𝑓 𝑎 = 2𝑐2.
Sekali lagi, sehingga penurunan deret pada persamaan (3) memberikan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
51
𝑓 ′ ′′ 𝑥 = 2 ∙ 3𝑐3 + 2 ∙ 3 ∙ 4𝑐4 𝑥 − 𝑎 + 3 ∙ 4 ∙ 5𝑐5 𝑥 − 𝑎 2 … (4)
𝑥 − 𝑎 < 𝑅
Substitusi 𝑥 = 𝑎 ke persamaaan (4) sehingga didapat 𝑓 𝑎 = 2 ∙ 3𝑐3 = 3! 𝑐3.
Sekarang dapat dilihat polanya. Jika dilanjutkan penurunannya dan juga
substitusi 𝑥 − 𝑎, maka dapat diperoleh
𝑓(𝑛) 𝑎 = 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙∙∙∙ 𝑛𝑐𝑛 = 𝑛! 𝑐𝑛
𝑓(𝑛) 𝑎 = 𝑛! 𝑐𝑛
Oleh karena itu didapat
𝑐𝑛 =𝑓(𝑛 ) 𝑎
𝑛 !
Sekarang substitusikan rumus 𝑐𝑛 kembali ke dalam deret didapat
𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑛
𝑛!(𝑥 − 𝑎)𝑛(𝑥 − 𝑎)𝑛
∞
𝑛=0
= 𝑓 𝑎 +𝑓 ′ 𝑎
1! 𝑥 − 𝑎 +
𝑓′ ′ 𝑎
2! 𝑥 − 𝑎 2 +
𝑓′ ′′ 𝑎
3! 𝑥 − 𝑎 3 +⋯
Oleh karena itu, dapat dilihat bahwa jika 𝑓 dapat diturunkan sampai tak
hingga kali pada 𝑥 = 𝑎, maka didapat polinomial Taylor sebagai berikut :
𝑓(𝑥) = 𝑓 𝑎 +𝑓 ′ 𝑎
1! 𝑥 − 𝑎 +
𝑓′′ 𝑎
2! 𝑥 − 𝑎 2 +
𝑓′′′ 𝑎
3! 𝑥 − 𝑎 3 +⋯
Deret di atas disebut deret Taylor dari fungsi 𝑓 di 𝑎 (atau di sekitar 𝑎 atau
yang berpusat di 𝑎).
Dalam kasus deret Taylor, jumlah parsialnya adalah
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
52
𝑇𝑛 𝑥 = 𝑓 𝑖 𝑎
𝑛!(𝑥 − 𝑎)𝑖
∞
𝑖=0
= 𝑓 𝑎 +𝑓 ′ 𝑎
1! 𝑥 − 𝑎 +
𝑓 ′ 𝑎
2! 𝑥 − 𝑎 2 +⋯+
𝑓(𝑛 ) 𝑎
𝑛 ! 𝑥 − 𝑎 𝑛
𝑇𝑛 adalah polinom berderajat 𝑛 untuk 𝑓 di 𝑎.
Jika dimisalkan 𝑅𝑛 𝑥 = 𝑓 𝑥 − 𝑇𝑛 𝑥 sehingga 𝑓(𝑥) = 𝑇𝑛 𝑥 + 𝑅𝑛 𝑥 ,
maka 𝑅𝑛 𝑥 disebut suku sisa dari deret Taylor.
Teorema 2.8.3
Jika 𝑓(𝑥) = 𝑇𝑛 𝑥 + 𝑅𝑛 𝑥 , di mana 𝑇𝑛 adalah polinom berderajat 𝑛 untuk 𝑓
di 𝑎 dan 0)(lim
xRnn
untuk 𝑥 − 𝑎 < 𝑅, maka 𝑓 sama dengan jumlah deret
Talor-nya pada selang 𝑥 − 𝑎 < 𝑅.
Bukti :
0)(lim
xRnn
𝑓(𝑥) = 𝑇𝑛 𝑥 + 𝑅𝑛 𝑥 , maka
)]()([lim)(lim xRxfxT nn
nn
)(lim)(lim xRxf nnn
(menurut hukum pengurangan limit)
0)( xf
)(xf
Oleh karena itu, ).()( xTxf n
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
53
Dalam mencoba menunjukkan 0)(lim
xRnn
untuk fungsi 𝑓 tertentu, biasanya
digunakan fakta berikut :
Jika 𝑓 𝑛+1 (𝑥) ≤ 𝑀 untuk 𝑥 − 𝑎 ≤ 𝑑, maka suku sisa 𝑅𝑛 𝑥 dari deret
Taylor-nya memenuhi ketaksamaan 𝑅𝑛 𝑥 ≤𝑀
𝑛+1 ! 𝑥 − 𝑎 𝑛+1 untuk
𝑥 − 𝑎 ≤ 𝑑, dengan 𝑀 suatu konstanta dan 𝑑 adalah sembarang bilangan
positif.
Ketaksamaan di atas disebut ketaksamaan Taylor.
Sekarang untuk fungsi dengan 3 variabel bebas,
Deret Taylor dari fungsi 𝐹(𝑥,𝑦, 𝑧) yang memiliki turunan parsial sampai
tingkat berapapun di sekitar (𝑎, 𝑏, 𝑐), yaitu
𝐹 𝑥,𝑦, 𝑧 = 𝐹 𝑎, 𝑏, 𝑐
+ 𝑥 − 𝑎 𝜕
𝜕𝑥𝐹 𝑎, 𝑏, 𝑐 + 𝑥 − 𝑏
𝜕
𝜕𝑦𝐹 𝑎, 𝑏, 𝑐
+ 𝑧 − 𝑐 𝜕
𝜕𝑧𝐹(𝑎, 𝑏, 𝑐)
+1
2! 𝑥 − 𝑎
𝜕
𝜕𝑥𝐹 𝑎, 𝑏, 𝑐 + 𝑦 − 𝑏
𝜕
𝜕𝑦𝐹 𝑎, 𝑏, 𝑐
+ 𝑧 − 𝑐 𝜕
𝜕𝑧𝐹(𝑎, 𝑏, 𝑐)
2
+⋯
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
54
(Untuk bagian turunan parsial, pangkat dua di sini berarti turunan parsial
kedua dan seterusnya)
Andaikan 𝐱 = 𝑥,𝑦, 𝑧 dan 𝐚 = 𝑎, 𝑏, 𝑐
𝐡 = 𝐱 − 𝐚
𝐡 = 1 + 2 + 3
Jika 𝑓(𝐱) adalah fungsi dengan 3 variabel yang memiliki turunan-turunan
parsial hingga pangkat 𝑛 + 1, dan turunan-turunan parsial hingga pangkat
𝑛 + 1 –nya kurang dari atau sama dengan 𝑀 untuk 𝐱 di suatu persekitaran dari
𝐚 maka suku sisa 𝑅𝑛 𝑥 dari deret Taylor-nya memenuhi ketaksamaan
𝑅𝑛 𝐱 ≤𝑀
𝑛+1 ! 𝐡 𝑛+1 .
Ketaksamaan di atas disebut ketaksamaan Taylor untuk fungsi 3 variabel.
I. Persamaan Diferensial Biasa
Di sini hanya akan dibahas tentang pengertian persamaan diferensial
biasa, dan apa yang dimaksud solusi dari persamaan diferensial biasa.
Persamaan diferensial adalah persamaan yang melibatkan variabel-
variabel tak bebas dan derivatif-derivatifnya (turunan-turunannya) terhadap
variabel bebas.
Persamaan diferensial biasa adalah suatu persamaan diferensial yang
melibatkan hanya satu variabel bebas.
Beberapa contohnya sebagai berikut ini :
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
55
Contoh 2.9.1
1. 𝑦′ + 2𝑦 = 0
2. 𝑦′′ = 𝑦
3. 𝑑𝑦
𝑑𝑥= 𝑒𝑥 + sin(𝑥)
Persamaan diferensial parsial adalah suatu persamaan diferensial yang
melibatkan dua atau lebih variabel bebas.
Beberapa contohnya sebagai berikut ini :
Contoh 2.9.2
1. 𝜕2𝑢
𝜕𝑥 2 +𝜕2𝑢
𝜕𝑦 2 = 0
2. 𝜕2𝑥
𝜕𝑡 2 +𝜕𝑦
𝜕𝑡+ 𝑥𝑦 = sin(𝑡)
Sedangkan orde dari persamaan diferensial adalah tingkat tertinggi dari
turunan yang muncul dalam persamaan.
Pada contoh 2.9.1, contoh nomor 1 berorde 1, contoh nomor 2 berorde 2,
dan contoh nomor 3 berorde 1
Pada contoh 2.9.2, kedua contoh berorde 2
Definisi 2.9.1
Andaikan persamaan diferensial dalam bentuk 𝑦(𝑛) = 𝑓(𝑡, 𝑦′ ,𝑦′′ ,… ,𝑦 𝑛−1 )
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
56
Solusi dari persamaan diferensial tersebut pada interval 𝛼 < 𝑡 < 𝑏 adalah
sebuah fungsi 𝜙 sedemikian sehingga 𝜙′(𝑡), 𝜙′′ (𝑡),…, 𝜙𝑛(𝑡) ada dan
memenuhi 𝜙(𝑡)(𝑛) = 𝑓[𝑡,𝜙 𝑡 ′ ,𝜙′′ 𝑡 ,… ,𝜙 𝑛−1 𝑡 ].
Untuk menyelesaikan persamaan diferensial, manipulasi seluruh
persamaan tersebut sehingga seluruh turunannya hilang dan hanya
menyisakan hubungan antara 𝑥 dan 𝑦.
Jika persamaan diferensial berbentuk 𝑦′ = 𝑓(𝑥), maka persamaan tersebut
dapat diselesaikan dengan integrasi sederhana.
Contoh 2.9.1
Diberikan persamaan diferensial 𝑦′ = 3𝑥2 + 1.
Akan dicari bahwa 𝑦 = 𝑥3 + 𝑥 + 𝐶, dengan 𝐶 adalah konstan adalah
solusinya persamaan diferensial di atas.
Diketahui 𝑦′ = 3𝑥2 + 1, sehingga dengan mengintegralkan kedua ruas akan
didapat :
𝑦 = 3 𝑥2 + 1𝑑𝑥
Oleh karena itu, didapat :
𝑦 = 𝑥3 + 𝑥 + 𝐶, dengan 𝐶 adalah konstan.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
57
BAB III
FUNGSIONAL FUNGSI SATU VARIABEL BEBAS
Sebelum memulai pembahasan tentang fungsional yang bergantung pada
fungsi satu variabel, akan dibahas mengenai ruang fungsi terlebih dahulu.
A. Ruang Fungsi
Pertama-tama akan dibahas mengenai grup, ring, dan lapangan.
Definisi 3.1.1
Jika A dan B adalah himpunan-himpunan tidak kosong, maka produk
Cartesian 𝐴 × 𝐵 dari A dan B adalah himpunan semua pasangan berurutan
(𝑎, 𝑏) dari 𝑎 ∈ 𝐴 dan 𝑏 ∈ 𝐵, yaitu :
𝐴 × 𝐵 = 𝑎, 𝑏 |𝑎 ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐵
Contoh 3.1.1
Jika 𝐴 = 1,2,3 dan 𝐵 = 2,6 , maka
𝐴 × 𝐵 = 1,2 , 1,6 , 2,2 , 2,6 , 3,2 , 3,6
𝐵 × 𝐴 = 2,1 , 2,2 , 2,3 , 6,1 , 6,2 , 6,3
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
58
Definisi 3.1.2
Misalkan 𝑆 adalah himpunan tidak kosong, maka operasi biner ∗ pada 𝑆
adalah pemetaan ∗: 𝑆 × 𝑆 → 𝑆 dimana untuk setiap (𝑎, 𝑏) ∈ 𝑆 × 𝑆 terdapat
tunggal 𝑐 ∈ 𝑆 sehingga ∗ 𝑎, 𝑏 = 𝑐 , atau dapat ditulis 𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑐 ∈ 𝑆.
Operasi biner mempunyai dua bagian dari definisi yaitu:
1. Terdefinisikan dengan baik (well-defined) yaitu untuk setiap pasangan
berurutan (𝑎, 𝑏) dalam 𝑆 × 𝑆 dikawankan dengan tepat satu nilai 𝑎 ∗ 𝑏.
2. 𝑆 tertutup di terhadap operasi ∗ , yaitu untuk setiap pasangan berurutan
(𝑎, 𝑏) dalam 𝑆 × 𝑆 maka 𝑎 ∗ 𝑏 masih dalam 𝑆.
Contoh 3.1.2
Diketahui 𝑍 himpunan semua bilangan bulat. Didefinisikan ∗ dengan aturan
𝑥 ∗ 𝑦 = 𝑥 + 𝑦 (operasi penjumlahan pada bilangan bulat). Operasi
penjumlahan pada bilangan bulat bersifat tertutup, ini didapat dari sifat-sifat
penjumlahan bilangan bulat. Operasi ∗ terdefinisikan dengan baik karena
rumus 𝑥 + 𝑦 akan memberikan hasil tunggal untuk setiap (𝑥,𝑦) dalam 𝑍 × 𝑍
(ini juga menurut sifat-sifat penjumlahan bilangan bulat). Oleh karena itu,
operasi penjumlahan pada bilangan bulat adalah suatu operasi biner.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
59
Definisi 3.1.3
Suatu grup (𝐺,∗) terdiri dari himpunan tidak kosong G yang dilengkapi
dengan operasi biner ∗ yang didefinisikan pada G dan memenuhi sifat-sifat
berikut :
1. Operasi biner ∗ bersifat tertutup, yakni 𝑥 ∗ 𝑦 ∈ 𝐺.
2. Operasi biner ∗ bersifat asosiatif, yakni 𝑥 ∗ 𝑦 ∗ 𝑧 = 𝑥 ∗ 𝑦 ∗ 𝑧,
untuk semua 𝑥,𝑦, 𝑧 ∈ 𝐺.
3. Terdapat 𝑒 ∈ 𝐺 sedemikian sehingga 𝑥 ∗ 𝑒 = 𝑒 ∗ 𝑥 = 𝑥, untuk semua
𝑥 ∈ 𝐺.
𝑒 disebut elemen identitas dari 𝐺.
4. Untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐺, terdapat 𝑥−1 ∈ 𝐺 sedemikian sehingga 𝑥 ∗ 𝑥−1 =
𝑥−1 ∗ 𝑥 = 𝑒.
𝑥−1 disebut invers dari 𝑥.
Contoh 3.1.3
1. (𝑅, +), dengan 𝑅 adalah himpunan semua bilangan real dan +
didefinisikan sebagai operasi penjumlahan dengan rumus 𝑥 + 𝑦,
merupakan suatu grup.
Operasi penjumlahan pada bilangan real bersifat tertutup, ini didapat dari
sifat penjumlahan bilangan real. Rumus 𝑥 + 𝑦 akan memberikan hasil
tunggal untuk setiap (𝑥,𝑦) dalam 𝑅 × 𝑅. Dari sifat-sifat penjumlahan
bilangan real didapat : operasi penjumlahan pada bilangan real bersifat
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
60
asosiatif, terdapat unsur identitas yaitu 0 sehingga 𝑥 + 0 = 0 + 𝑥 = 𝑥
untuk semua 𝑥 ∈ 𝑅 , dan untuk setiap 𝑥 ∈ 𝑅 terdapat invers yaitu – 𝑥
sedemikian sehingga 𝑥 + −𝑥 = −𝑥 + 𝑥 = 0. Karena keempat sifat
grup dipenuhi maka (𝑅, +) adalah grup.
2. (𝑅 − 0 ,∙) merupakan suatu grup, dengan 𝑅 − {0} adalah himpunan
semua bilangan real tanpa bilangan 0, dan ∙ didefinisikan sebagai operasi
perkalian dengan rumus 𝑥 ∙ 𝑦.
Operasi perkalian pada bilangan real bersifat tertutup, ini didapat dari sifat
perkalian bilangan real. Rumus 𝑥 ∙ 𝑦 akan memberikan hasil tunggal untuk
setiap (𝑥,𝑦) dalam 𝑅 × 𝑅. Dari sifat-sifat perkalian bilangan real didapat :
operasi perkalian pada bilangan real bersifat asosiatif, terdapat unsur
identitas yaitu 1 sehingga 𝑥 ∙ 1 = 1 ∙ 𝑥 = 𝑥 untuk semua 𝑥 ∈ 𝑅 , dan
untuk setiap 𝑥 ∈ 𝑅 kecuali 0 terdapat invers yaitu 1
𝑥 sedemikian sehingga
𝑥 ∙1
𝑥=
1
𝑥∙ 𝑥 = 1. Karena keempat sifat grup dipenuhi maka (𝑅 − 0 ,∙)
adalah grup.
Definisi 3.1.4
Diberikan suatu grup (𝐺,∗). Grup (𝐺,∗) disebut grup komutatif atau Grup
Abelian jika untuk semua 𝑥,𝑦 ∈ 𝐺 berlaku 𝑥 ∗ 𝑦 = 𝑦 ∗ 𝑥.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
61
Contoh 3.1.4
1. (𝑅, +), dengan 𝑅 adalah himpunan semua bilangan real dan +
didefinisikan sebagai operasi penjumlahan dengan rumus 𝑥 + 𝑦,
merupakan suatu grup abelian.
(𝑅, +) merupakan suatu grup, ini sudah dibuktikan pada contoh 3.1.3
Dari sifat-sifat penjumlahan bilangan real didapat bahwa penjumlahan
pada bilangan real memenuhi sifat komutatif. Oleh karena itu, (𝑅, +)
merupakan grup abelian.
2. (𝑅 − {0},∙), dengan 𝑅 − {0} adalah himpunan semua bilangan real tanpa
bilangan 0, dan ∙ didefinisikan sebagai operasi perkalian dengan rumus
𝑥 ∙ 𝑦, merupakan suatu grup abelian.
(𝑅 − {0},∙) merupakan suatu grup, ini sudah dibuktikan pada contoh 3.1.3
Dari sifat-sifat perkalian bilangan real didapat bahwa perkalian pada
bilangan real memenuhi sifat komutatif. Oleh karena itu, (𝑅 − {0},∙)
merupakan grup abelian.
Definisi 3.1.5
Suatu ring (𝑅, +,∙) adalah himpunan tidak kosong 𝑅 yang dilengkapi dengan
dua operasi biner yaitu penjumlahan (+) , dan perkalian (∙) sedemikian
sehingga memenuhi sifat-sifat berikut :
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
62
1. (𝑅, +) merupakan grup abelian dengan elemen identitas 0, yang juga
disebut elemen 0 dalam 𝑅.
2. Terhadap operasi perkalian (∙) :
a. Bersifat tertutup, yaitu untuk setiap 𝑥,𝑦 ∈ 𝑅 maka 𝑥.𝑦 ∈ 𝑅
b. Bersifat asosiatif, yaitu 𝑥 ∙ 𝑦 ∙ 𝑧 = 𝑥 ∙ 𝑦 ∙ 𝑧, untuk semua
𝑥,𝑦, 𝑧 ∈ 𝑅
c. Bersifat distributif kanan (operasi (∙) bersifat distributif kanan
terhadap operasi (+)), yaitu 𝑥 ∙ 𝑦 + 𝑧 = 𝑥 ∙ 𝑦 + 𝑥 ∙ 𝑧, untuk
semua 𝑥,𝑦, 𝑧 ∈ 𝑅
d. Bersifat distributif kiri (operasi (. ) bersifat distributif kiri terhadap
operasi (+)), yaitu 𝑥 + 𝑦 ∙ 𝑧 = 𝑥 ∙ 𝑧 + 𝑦 ∙ 𝑧, untuk semua
𝑥,𝑦, 𝑧 ∈ 𝑅
Untuk selanjutnya 𝑥 ∙ 𝑦 akan ditulis sebagai 𝑥𝑦.
Contoh 3.1.5
(𝑅, +,∙), dengan R adalah himpunan semua bilangan real dan (+)
didefinisikan sebagai operasi penjumlahan, dan (∙) didefinisikan sebagai
operasi perkalian, adalah suatu ring.
(𝑅, +) merupakan grup abelian dengan elemen identitas 0, ini sudah
dibuktikan pada contoh 3.1.4. Dari sifat-sifat perkalian bilangan real didapat
bahwa operasi perkalian pada bilangan real bersifat tertutup, bersifat asosiatif,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
63
dan bersifat distributif kiri maupun kanan. Oleh karena itu, (𝑅, +,∙) adalah
suatu ring.
Definisi 3.1.6
Ring (𝑅, +,∙) disebut ring komutatif jika dan hanya jika 𝑥𝑦 = 𝑦𝑥 untuk semua
𝑥,𝑦 ∈ 𝑅.
Contoh 3.1.6
(𝑅, +,∙), dengan R adalah himpunan semua bilangan real dan (+)
didefinisikan sebagai operasi penjumlahan, dan (∙) didefinisikan sebagai
operasi perkalian, adalah suatu ring komutatif.
(R, +,∙) adalah suatu ring, ini sudah dibuktikan pada contoh 3..1.6.
Dari sifat-sifat perkalian bilangan real didapat bahwa operasi perkalian pada
bilangan real bersifat komutatif yaitu 𝑥𝑦 = 𝑦𝑥 untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑅. Oleh
karena itu, (𝑅, +,∙), dengan R adalah himpunan semua bilangan real dan (+)
didefinisikan sebagai operasi penjumlahan, dan (∙) didefinisikan sebagai
operasi perkalian, adalah suatu ring komutatif. Oleh karena itu, (𝑅, +,∙) adalah
suatu ring komutatif.
Definisi 3.1.7
Diberikan suatu ring (𝐹, +,∙). Ring (𝐹, +,∙) disebut lapangan jika :
1. Ring (𝐹, +,∙) adalah ring komutatif.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
64
2. Terdapat elemen satuan 1 ∈ 𝐹 sedemikian sehingga 1𝑥 = 𝑥1 = 𝑥,
untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐹.
3. Untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐹 yang tidak sama dengan 0 mempunyai invers yaitu
𝑥−1 sedemikian sehingga 𝑥−1𝑥 = 𝑥𝑥−1 = 1.
Contoh 3.1.7
(𝑅, +,∙), dengan R adalah himpunan semua bilangan real dan (+)
didefinisikan sebagai operasi penjumlahan, dan (. ) didefinisikan sebagai
operasi perkalian, adalah suatu lapangan.
(𝑅, +,∙) adalah suatu ring komutatif, ini sudah dibuktikan dalam contoh 3.1.6.
Dari sifat-sifat perkalian bilangan real bilangan real didapat bahwa terdapat
elemen identitas yaitu 1 sehingga 𝑥 ∙ 1 = 1 ∙ 𝑥 = 𝑥 untuk semua 𝑥 ∈ 𝑅
sehingga 1 adalah elemen satuan dalam lapangan (𝑅, +,∙), dan untuk setiap
𝑥 ∈ 𝑅 kecuali 0 terdapat invers yaitu 1
𝑥 sedemikian sehingga 𝑥 ∙
1
𝑥=
1
𝑥∙ 𝑥 = 1.
Oleh karena itu, (𝑅, +,∙), dengan R adalah himpunan semua bilangan real dan
(+) didefinisikan sebagai operasi penjumlahan, dan (∙) didefinisikan sebagai
operasi perkalian, adalah suatu lapangan.
Setelah dibahas mengenai tentang grup, ring, dan lapangan kali ini akan
dibahas mengenai ruang linear, ruang metrik, dan ruang bernorma.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
65
Definisi 3.1.8
Diberikan suatu himpunan ℛ dan lapangan real 𝑅. Suatu ruang linear atas
lapangan real 𝑅 adalah suatu himpunan tak kosong yang dilengkapi dua buah
operasi. Operasi yang pertama yaitu operasi penjumlahan (+) yang
menghubungkan setiap elemen 𝑥,𝑦 ∈ ℛ dan dinotasikan 𝑥 + 𝑦. Operasi yang
kedua adalah operasi perkalian skalar yang menghubungkan 𝑥 ∈ ℛ dan setiap
𝛼 ∈ 𝑅 dan dinotasikan 𝛼𝑥. Kedua operasi tersebut memenuhi aksioma-
aksioma berikut:
1. Jika x dan y adalah elemen-elemen dalam ℛ, maka 𝑥 + 𝑦 berada dalam
ℛ (tertutup terhadap penjumlahan)
2. Untuk sembarang bilangan real ∝, jika 𝑥 ∈ ℛ maka ∝ 𝑥 ∈ ℛ
3. 𝑥 + 𝑦 = 𝑦 + 𝑥 ;
4. 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 𝑥 + (𝑦 + 𝑧) ;
5. Terdapat suatu elemen 0 sedemikian sehingga 𝑥 + 0 = 𝑥 untuk setiap
𝑥 ∈ ℛ ;
6. Untuk setiap 𝑥 ∈ ℛ terdapat suatu elemen – 𝑥 sedemikian sehingga
𝑥 + (−𝑥) = 0 ;
7. 1 ∙ 𝑥 = 𝑥 ;
8. 𝛼 𝛽𝑥 = 𝛼𝛽 𝑥 ;
9. 𝛼 + 𝛽 𝑥 = 𝛼𝑥 + 𝛽𝑥 ;
10. 𝛼 𝑥 + 𝑦 = 𝛼𝑥 + 𝛼𝑦.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
66
Contoh 3.1.8
Misal 𝐶 𝑎, 𝑏 adalah himpunan semua fungsi yang kontinu pada interval
𝑎, 𝑏 , dan diberikan lapangan real 𝑅. Didefinisikan (+) adalah operasi
penjumlahan fungsi dengan fungsi, yang didefinisikan dengan 𝑓 + 𝑔 𝑥 =
𝑓 𝑥 + 𝑔(𝑥), dan didefinisikan operasi perkalian bilangan real dengan suatu
fungsi, yaitu 𝛼𝑓 𝑥 = 𝛼𝑓(𝑥). Maka dari itu, 𝐶 𝑎, 𝑏 adalah ruang linear atas
lapangan real 𝑅.
Misal 𝑓 𝑥 ,𝑔 𝑥 , dan 𝑥 adalah sembarang fungsi kontinu anggota 𝐶 𝑎, 𝑏 .
Misal 𝛼,𝛽 adalah sembarang bilangan real dalam 𝑅.
1. 𝑓(𝑥) adalah sembarang fungsi kontinu dalam interval [𝑎, 𝑏], sehingga
)()(lim cfxfcx
, untuk setiap 𝑐 dalam [𝑎, 𝑏].
𝑔(𝑥) adalah sembarang fungsi kontinu dalam interval [𝑎, 𝑏], sehingga
)()(lim cgxgcx
, untuk setiap 𝑐 dalam [𝑎, 𝑏].
)(lim)(lim)()(lim xgxfxgxfcxcxcx
(menurut hukum penjumlahan
limit)
)()()()(lim cgcfxgxfcx
, untuk setiap 𝑐 dalam [𝑎, 𝑏].
))(())((lim cgfxgfcx
, untuk setiap 𝑐 dalam [𝑎, 𝑏]. (menurut
definisi penjumlahan fungsi).
Oleh karena itu, 𝑓 + 𝑔 (𝑥) kontinu pada interval [𝑎, 𝑏].
Jadi, 𝐶[𝑎, 𝑏] tertutup terhadap operasi penjumlahan.
2. 𝑓(𝑥) adalah sembarang fungsi kontinu dalam interval [𝑎, 𝑏], sehingga
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
67
)()(lim cfxfcx
, untuk setiap 𝑐 dalam [𝑎, 𝑏].
𝛼 adalah sembarang bilangan real dalam lapangan 𝑅.
)(lim)(lim xfxfcxcx
(menurut hukum perkalian konstanta pada
limit)
)()(lim cfxfcx
, untuk setiap 𝑐 dalam [𝑎, 𝑏].
))(()(lim cfxfcx
, untuk setiap 𝑐 dalam [𝑎, 𝑏]. (menurut definisi
perkalian bilangan real dengan fungsi)
Oleh karena itu, 𝛼𝑓 (𝑥) kontinu pada interval [𝑎, 𝑏].
Jadi, 𝛼𝑓 𝑥 = 𝛼𝑓(𝑥) ∈ 𝐶[𝑎, 𝑏].
3. 𝑓 𝑥 ,𝑔 𝑥 , dan 𝑥 adalah sembarang fungsi kontinu anggota
𝐶 𝑎, 𝑏 . Oleh karena itu, untuk setiap 𝑐 dalam [𝑎, 𝑏] , 𝑓 𝑐 ,𝑔 𝑐 ,(𝑐)
terdefinisi (dari definisi 2.3.1).
𝑓 𝑐 + 𝑔 𝑐 = 𝑔 𝑐 + 𝑓(𝑐), untuk setiap 𝑐 dalam [𝑎, 𝑏]. (menurut
sifat komutatif bilangan real).
Oleh karena itu, dapat ditulis 𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 = 𝑔 𝑥 + 𝑓(𝑥), untuk
setiap 𝑥 dalam [𝑎, 𝑏].
4. 𝑓 𝑐 + 𝑔 𝑐 + 𝑐 = 𝑓 𝑐 + (𝑔 𝑐 + 𝑐 ), untuk setiap 𝑐 dalam
[𝑎, 𝑏]. (menurut sifat asosiatif bilangan real)
Oleh karena itu, dapat ditulis 𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 + 𝑥 = 𝑓 𝑥 +
(𝑔 𝑥 + 𝑥 ), untuk setiap 𝑥 dalam [𝑎, 𝑏].
5. 𝑓(𝑥) adalah sembarang fungsi kontinu anggota 𝐶[𝑎, 𝑏].
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
68
Oleh karena itu, untuk setiap 𝑐 dalam [𝑎, 𝑏], 𝑓(𝑐) terdefinisi. (dari
definisi 2.3.1)
Terdapat fungsi 0, yaitu 𝑦 𝑥 = 0, untuk setiap 𝑥 dalam [𝑎, 𝑏].
(diketahui bahwa fungsi 𝑦 𝑥 = 0 adalah fungsi yang kontinu pada
𝑅 = (−∞,∞) sehingga 𝑦 𝑥 = 0 ada dalam 𝐶[𝑎, 𝑏]).
Oleh karena itu, didapat :
𝑦 𝑐 = 0 ,untuk setiap 𝑐 dalam [𝑎, 𝑏].
𝑓 𝑐 + 𝑦 𝑐 = 𝑓 𝑐 + 0 = 𝑓 𝑐 , untuk setiap 𝑐 dalam [𝑎, 𝑏]. (elemen
identitas dalam penjumlahan bilangan real)
Oleh karena itu, dapat ditulis 𝑓 𝑥 + 0 = 𝑓 𝑥 , untuk setiap 𝑥 dalam
[𝑎, 𝑏].
Fungsi 𝑦 𝑥 = 0 adalah elemen 0 dalam 𝐶[𝑎, 𝑏].
6. 𝑓(𝑥) adalah sembarang fungsi kontinu anggota 𝐶[𝑎, 𝑏].
Oleh karena itu, untuk setiap 𝑐 dalam [𝑎, 𝑏], 𝑓(𝑐) terdefinisi (dari
definisi 2.3.1)
𝑓 𝑐 + −𝑓 𝑐 = 0, untuk setiap 𝑐 dalam [𝑎, 𝑏]. (invers dalam
penjumlahan bilangan real)
Oleh karena itu, dapat ditulis 𝑓 𝑥 + −𝑓 𝑥 = 0, untuk setiap 𝑥
dalam [𝑎, 𝑏].
7. 𝑓(𝑥) adalah sembarang fungsi kontinu anggota 𝐶[𝑎, 𝑏].
Oleh karena itu, untuk setiap 𝑐 dalam [𝑎, 𝑏], 𝑓(𝑐) terdefinisi (dari
definisi 2.3.1)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
69
Terdapat fungsi 𝑗 𝑥 = 1, untuk setiap 𝑥 dalam [𝑎, 𝑏]. (diketahui
bahwa fungsi 𝑗 𝑥 = 1 adalah fungsi yang kontinu pada 𝑅 = (−∞,∞)
sehingga 𝑗 𝑥 = 1 ada dalam 𝐶[𝑎, 𝑏]).
Oleh karena itu, didapat :
𝑗 𝑐 = 1 ,untuk setiap 𝑐 dalam [𝑎, 𝑏].
𝑗 𝑐 .𝑓 𝑐 = 1 ∙ 𝑓 𝑐 = 𝑓(𝑐), untuk setiap 𝑐 dalam [𝑎, 𝑏]. (elemen
identitas dalam perkalian bilangan real)
Oleh karena itu, dapat ditulis 1 ∙ 𝑓 𝑥 = 𝑓(𝑥), untuk setiap 𝑥 dalam
[𝑎, 𝑏].
Fungsi 𝑗 𝑥 = 1 adalah elemen satuan dalam 𝐶[𝑎, 𝑏].
8. 𝑓(𝑥) adalah sembarang fungsi kontinu anggota 𝐶[𝑎, 𝑏].
Oleh karena itu, untuk setiap 𝑐 dalam [𝑎, 𝑏], 𝑓(𝑐) terdefinisi. (dari
definisi 2.3.1)
𝛼,𝛽 adalah sembarang bilangan real dalam lapangan 𝑅.
𝛼 𝛽𝑓(𝑐) = 𝛼𝛽 𝑓(𝑐), untuk setiap 𝑐 dalam [𝑎, 𝑏]. (menurut sifat
asosiatif perkalian bilangan real)
Oleh karena itu, dapat ditulis 𝛼 𝛽𝑓(𝑥) = 𝛼𝛽 𝑓(𝑥), untuk setiap 𝑥
dalam [𝑎, 𝑏].
9. 𝑓(𝑥) adalah sembarang fungsi kontinu anggota 𝐶[𝑎, 𝑏].
Oleh karena itu, untuk setiap 𝑐 dalam [𝑎, 𝑏], 𝑓(𝑐) terdefinisi. (dari
definisi 2.3.1)
𝛼,𝛽 adalah sembarang bilangan real dalam lapangan 𝑅.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
70
𝛼 + 𝛽 𝑓 𝑐 = 𝛼𝑓 𝑐 + 𝛽𝑓(𝑐), untuk setiap 𝑐 dalam [𝑎, 𝑏]. (menurut
sifat distributif kiri perkalian terhadap penjumlahan bilangan real)
Oleh karena itu, dapat ditulis 𝛼 + 𝛽 𝑓 𝑥 = 𝛼𝑓 𝑥 + 𝛽𝑓(𝑥), untuk
setiap 𝑥 dalam [𝑎, 𝑏].
10. 𝑓(𝑥), dan 𝑔(𝑥) adalah sembarang fungsi kontinu anggota 𝐶[𝑎, 𝑏].
Oleh karena itu, untuk setiap 𝑐 dalam [𝑎, 𝑏], 𝑓 𝑐 ,𝑔(𝑐) terdefinisi
(dari definisi 2.3.1)
𝛼 adalah sembarang bilangan real dalam lapangan 𝑅.
𝛼 𝑓 𝑐 + 𝑔(𝑐) = 𝛼𝑓 𝑐 + 𝛼𝑔(𝑐), untuk setiap 𝑐 dalam [𝑎, 𝑏].
(menurut sifat distributif kanan perkalian terhadap penjumlahan
bilangan real)
Oleh karena itu, dapat ditulis 𝛼 𝑓 𝑥 + 𝑔(𝑥) = 𝛼𝑓 𝑥 + 𝛼𝑔(𝑥),
untuk setiap 𝑥 dalam [𝑎, 𝑏].
Karena memenuhi kesepuluh aksioma, maka 𝐶 𝑎, 𝑏 adalah ruang
linear atas lapangan real 𝑅.
Definisi 3.1.9
Suatu metrik dalam himpunan S adalah suatu fungsi 𝑑: 𝑆 × 𝑆 → 𝑅 yang
memenuhi sifat-sifat berikut :
a) 𝑑(𝑥,𝑦) ≥ 0, untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑆
b) 𝑑 𝑥,𝑦 = 0, jika dan hanya jika 𝑥 = 𝑦
c) 𝑑 𝑥,𝑦 = 𝑑(𝑦, 𝑥), untuk setiap 𝑥,𝑦 ∈ 𝑆
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
71
d) 𝑑 𝑥,𝑦 ≤ 𝑑 𝑥, 𝑧 + 𝑑(𝑧,𝑦), untuk setiap 𝑥,𝑦 ∈ 𝑆
Definisi 3.1.10
Suatu ruang metrik (𝑆,𝑑) adalah suatu himpunan tak kosong S yang
dilengkapi dengan suatu metrik 𝑑 pada himpunan 𝑆.
Contoh 3.1.9
1. (𝑅,𝑑) dengan 𝑅 adalah himpunan semua bilangan real dan 𝑑 adalah
jarak antara dua elemen pada 𝑅 yaitu 𝑑 𝑥, 𝑦 : 𝑥 − 𝑦 , untuk setiap
𝑥,𝑦 ∈ 𝑅 adalah ruang metrik.
Buktinya adalah sebagai berikut :
a) 𝑥 − 𝑦 ≥ 0, untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑅. (menurut definisi nilai mutlak
bilangan real)
b) Jika diketahui 𝑥 − 𝑦 = 0, maka jika kita memisalkan 𝑥 − 𝑦 ≠ 0 akan
didapat – (𝑥 − 𝑦) ≠ 0.
Oleh karena itu, 𝑥 − 𝑦 ≠ 0. Ini bertentangan dengan yang diketahui
yaitu 𝑥 − 𝑦 = 0. Karena itu pemisalan 𝑥 − 𝑦 ≠ 0 adalah salah.
Oleh karena itu,
𝑥 − 𝑦 = 0
𝑥 = 𝑦
Jadi, jika 𝑥 − 𝑦 = 0 maka 𝑥 = 𝑦.
Kemudian, jika 𝑥 = 𝑦 maka didapat 𝑥 − 𝑦 = 0.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
72
Oleh karena itu, didapat 𝑥 − 𝑦 = 0. (dari definisi nilai mutlak
bilangan real)
Jadi, jika 𝑥 = 𝑦 maka 𝑥 − 𝑦 = 0.
c) 𝑥 − 𝑦 = 𝑦 − 𝑥 , untuk setiap 𝑥,𝑦 ∈ 𝑅.
d) 𝑥 − 𝑦 = 𝑥 − 𝑧 + (𝑧 − 𝑦) , untuk setiap 𝑥,𝑦, 𝑧 ∈ 𝑅.
≤ 𝑥 − 𝑧 + 𝑧 − 𝑦 , untuk setiap 𝑥,𝑦, 𝑧 ∈ 𝑅. (dari ketaksamaan
segitiga)
Karena memenuhi keempat aksioma maka (𝑅, 𝑑) dengan 𝑅 adalah
himpunan semua bilangan real dan 𝑑 adalah jarak antara dua elemen pada
𝑅 yaitu 𝑑 𝑥, 𝑦 : 𝑥 − 𝑦 , untuk setiap 𝑥,𝑦 ∈ 𝑅 adalah ruang metrik.
2. (𝐶 𝑎, 𝑏 ,𝑑) dengan 𝐶[𝑎, 𝑏] adalah himpunan semua fungsi yang
kontinu pada interval 𝑎, 𝑏 dan 𝑑 adalah jarak antara dua fungsi pada
𝐶[𝑎, 𝑏] yaitu 𝑑 𝑓,𝑔 : 𝑓 − 𝑔 = max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) , untuk
setiap 𝑓,𝑔 ∈ 𝐶[𝑎, 𝑏] adalah ruang metrik.
Misal 𝑓(𝑥) dan 𝑔(𝑥) adalah sembarang anggota 𝐶 𝑎, 𝑏 .
𝑓(𝑥) dan 𝑔(𝑥) adalah fungsi yang kontinu pada [𝑎, 𝑏], sehingga
𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 = 𝑓 − 𝑔 (𝑥) juga merupakan fungsi yang kontinu pada
[𝑎, 𝑏]. Oleh karena itu, menurut teorema 2.5.1, 𝑓 − 𝑔 (𝑥) akan
mencapai nilai maksimum mutlak 𝑓 − 𝑔 𝑐 = 𝑓 𝑐 − 𝑔(𝑐) pada
suatu bilangan 𝑐 dalam 𝑎, 𝑏 .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
73
Karena itu , untuk setiap 𝑓(𝑥),𝑔(𝑥) ∈ 𝐶[𝑎, 𝑏], 𝑓 − 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 −
𝑔(𝑥) akan mencapai nilai maksimum mutlak pada suatu bilangan 𝑥
dalam 𝑎, 𝑏 .
a) max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) ≥ 0 , untuk setiap 𝑓,𝑔 ∈ 𝐶[𝑎, 𝑏]. (dari
definisi nilai mutlak bilangan real)
b) Jika diketahui max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) = 0.
Jika dimisalkan 𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) ≠ 0, untuk setiap 𝑥 dalam 𝑎, 𝑏 , maka
akan didapat – (𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)) ≠ 0, untuk setiap 𝑥 dalam [𝑎, 𝑏].
Oleh karena itu, didapat 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) ≠ 0, untuk setiap 𝑥 dalam
[𝑎, 𝑏], sehingga max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) ≠ 0.
Ini bertentangan dengan yang diketahui yaitu max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 𝑥 −
𝑔(𝑥) = 0 . Karena itu pemisalan 𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) ≠ 0 adalah salah.
Oleh karena itu,
𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 = 0
𝑓 𝑥 = 𝑔(𝑥)
Jadi, jika max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) = 0 maka 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥).
Kemudian, jika 𝑓 𝑥 = 𝑔(𝑥), untuk setiap 𝑥 dalam [𝑎, 𝑏] maka
𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 = 0, untuk setiap 𝑥 dalam [𝑎, 𝑏].
Oleh karena itu, didapat 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) = 0, untuk setiap 𝑥 dalam
[𝑎, 𝑏]. (dari definisi nilai mutlak bilangan real)
Oleh karena itu, max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) = 0.
Jadi, jika 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) maka max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) = 0.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
74
c) max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) = max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑔 𝑥 − 𝑓(𝑥) , untuk setiap
𝑓,𝑔 ∈ 𝐶[𝑎, 𝑏]. (dari definisi nilai mutlak bilangan real)
d) max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) = max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 𝑥 − 𝑥 + ( 𝑥 −
𝑔(𝑥) , untuk setiap 𝑓,𝑔, ∈ 𝐶[𝑎, 𝑏].
max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 𝑥 − 𝑥 + ( 𝑥 − 𝑔(𝑥) ≤ max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 𝑥 −
(𝑥) + max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑥 − 𝑔(𝑥) ,untuk setiap 𝑓,𝑔, ∈ 𝐶[𝑎, 𝑏]. (dari
ketaksamaan segitiga)
Oleh karena itu, max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) ≤ max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 𝑥 −
(𝑥) + max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑥 − 𝑔(𝑥) .
Karena memenuhi keempat aksioma, maka (𝐶 𝑎, 𝑏 ,𝑑) dengan
𝐶[𝑎, 𝑏] adalah himpunan semua fungsi yang kontinu pada interval 𝑎, 𝑏
dan 𝑑 adalah jarak antara dua fungsi pada 𝐶[𝑎, 𝑏] yaitu 𝑑 𝑓,𝑔 : 𝑓 −
𝑔 = max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) , untuk setiap 𝑓,𝑔 ∈ 𝐶[𝑎, 𝑏] adalah ruang
metrik.
Definisi 3.1.11
Andaikan (𝑆,𝑑) adalah suatu ruang metrik. Maka untuk 휀 > 0, persekitaran-휀
dari suatu titik 𝑥0 pada 𝑆 adalah himpunan 𝑉휀 𝑥0 = {𝑥 ∈ 𝑆:𝑑(𝑥0,𝑥) < 휀}.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
75
Definisi 3.1.12
Andaikan ℛ adalah ruang linear. Suatu pemetaan 𝑥 → 𝑥 dari ℛ ke 𝑅
disebut norma pada ℛ, jika untuk setiap elemen 𝑢 ∈ ℛ memenuhi sifat-sifat
berikut :
a) 𝑢 ≥ 0
b) 𝑢 = 0 ↔ 𝑢 = 0
c) 𝛼𝑢 = 𝛼 𝑢
d) 𝑢 + 𝑣 ≤ 𝑢 + 𝑣
Definisi 3.1.13
Andaikan ℛ adalah suatu ruang linear. Jika pada ℛ dapat didefinisikan suatu
norma, maka ℛ disebut ruang linear bernorma.
Contoh 3.1.10
Misal 𝐶[𝑎, 𝑏] adalah himpunan semua fungsi yang kontinu pada interval
[𝑎, 𝑏].
Didefinisikan suatu norma 𝑢 = max𝑎≤𝑥≤b 𝑢(𝑥) , untuk setiap 𝑢 ∈ 𝐶[𝑎, 𝑏].
Maka 𝐶[𝑎, 𝑏] adalah suatu ruang linear bernorma.
Misal 𝑢 𝑥 adalah sembarang anggota 𝐶[𝑎, 𝑏].
𝑢(𝑥) adalah fungsi yang kontinu pada [𝑎, 𝑏]. Oleh karena itu, menurut
teorema 2.5.1, 𝑢(𝑥) akan mencapai nilai maksimum mutlak 𝑢(𝑐) pada suatu
bilangan 𝑐 dalam 𝑎, 𝑏 .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
76
Karena itu, untuk setiap 𝑢(𝑥) ∈ 𝐶[𝑎, 𝑏], 𝑢(𝑥) akan mencapai nilai maksimum
mutlak pada suatu bilangan 𝑥 dalam 𝑎, 𝑏 .
a) u = max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑢(𝑥) ≥ 0 , untuk setiap 𝑓,𝑔 ∈ 𝐶[𝑎, 𝑏]. (dari
definisi nilai mutlak bilangan real)
b) Jika diketahui u = max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑢(𝑥) = 0.
Jika dimisalkan 𝑢(𝑥) ≠ 0, untuk setiap 𝑥 dalam [𝑎, 𝑏], maka akan
didapat – (𝑢(𝑥)) ≠ 0, untuk setiap 𝑥 dalam [𝑎, 𝑏].
Oleh karena itu, akan didapat 𝑢(𝑥) ≠ 0, untuk setiap 𝑥 dalam [𝑎, 𝑏],
sehingga max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑢(𝑥) ≠ 0.
Ini bertentangan dengan yang diketahui yaitu
u = max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑢(𝑥) = 0. Karena itu pemisalan 𝑢(𝑥) ≠ 0 adalah
salah.
Oleh karena itu, 𝑢(𝑥) = 0
Jadi, jika u = max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑢(𝑥) = 0 maka 𝑢 𝑥 = 0.
Kemudian, jika 𝑢 𝑥 = 0 untuk setiap 𝑥 dalam [𝑎, 𝑏] maka didapat
𝑢(𝑥) = 0, untuk setiap 𝑥 dalam [𝑎, 𝑏]. (dari definisi nilai mutlak
bilangan real)
Oleh karena itu, max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) = 0.
Jadi, jika 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) maka u = max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) = 0.
c) Misalkan 𝛼 adalah sembarang bilangan real.
𝛼𝑢 = max𝑎≤𝑥≤b ∝ 𝑢(𝑥) , untuk setiap 𝑢(𝑥) ∈ 𝐶[𝑎, 𝑏].
= 𝛼 max𝑎≤𝑥≤b
𝑢(𝑥) , untuk setiap 𝑢(𝑥) ∈ 𝐶[𝑎, 𝑏]. (dari sifat-sifat
nilai mutlak bilangan real)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
77
= 𝛼 𝑢 , untuk setiap 𝑢(𝑥) ∈ 𝐶[𝑎, 𝑏].
d) u + v = max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑢 𝑥 + 𝑣(𝑥) ≤ max𝑎≤𝑥≤𝑏( 𝑢 𝑥 + 𝑣(𝑥) ),
untuk setiap 𝑢 𝑥 ,𝑣(𝑥) ∈ 𝐶[𝑎, 𝑏]. (dari ketaksamaan segitiga)
max𝑎≤𝑥≤𝑏( 𝑢 𝑥 + 𝑣(𝑥) )= max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑢(𝑥) + max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑣(𝑥) ,
untuk setiap 𝑢 𝑥 ,𝑣(𝑥) ∈ 𝐶[𝑎, 𝑏].
Oleh karena itu,
u + v = max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑢 𝑥 + 𝑣(𝑥) ≤ max𝑎≤𝑥≤𝑏
𝑢(𝑥) +
max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑣(𝑥) , untuk setiap 𝑢 𝑥 ,𝑣(𝑥) ∈ 𝐶[𝑎, 𝑏].
Oleh karena itu,
u + v ≤ u + v , untuk setiap 𝑢 𝑥 , 𝑣(𝑥) ∈ 𝐶[𝑎, 𝑏].
Karena memenuhi keempat aksioma, maka 𝐶[𝑎, 𝑏] dengan norma yang
𝑢 = max𝑎≤𝑥≤b 𝑢(𝑥) , untuk setiap 𝑢 ∈ 𝐶[𝑎, 𝑏], adalah suatu ruang linear
bernorma.
Andaikan pada suatu ruang linear ℛ bernorma didefinisikan suatu jarak
yaitu 𝑑: 𝑢 − 𝑣 , maka dapat dibuktikan bahwa jarak tersebut adalah suatu
metrik.
Buktinya adalah sebagai berikut :
Karena ℛ merupakan ruang linear bernorma, maka ℛ juga ruang linear
sehingga untuk setiap 𝑥 ∈ ℛ terdapat suatu elemen – 𝑥 sedemikian sehingga
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
78
𝑥 + (−𝑥) = 0. Oleh karena itu, untuk sembarang 𝑢, 𝑣 ∈ ℛ didapat (𝑢 +
(−𝑣)) ∈ ℛ, oleh karena itu didapat (𝑢 − 𝑣) ∈ ℛ.
Karena ℛ adalah ruang linear bernorma maka didapat :
1. 𝑢 − 𝑣 ≥ 0
2. 𝑢 − 𝑣 = 0 ↔ (𝑢 − 𝑣) = 0, sehingga dapat ditulis :
𝑢 − 𝑣 = 0 ↔ 𝑢 = 𝑣
Karena (𝑢 − 𝑣) ∈ ℛ maka terdapat − 𝑢 − 𝑣 = (𝑣 − 𝑢) sehingga
𝑢 − 𝑣 + 𝑣 − 𝑢 = 0.
𝑣 − 𝑢 = −(𝑢 − 𝑣) ≥ 0
maka 𝑢 − 𝑣 = 𝑣 − 𝑢
Untuk sembarang 𝑢, 𝑣,𝑤 ∈ ℛ didapat (𝑢 − 𝑣) ∈ ℛ, (𝑢 − 𝑤) ∈ ℛ, (𝑤 − 𝑣) ∈
ℛ. Karena ℛ adalah ruang linear bernorma, maka didapat 𝑢 − 𝑣 ≥ 0,
𝑢 − 𝑤 ≥ 0, 𝑤 − 𝑣 ≥ 0.
Karena itu, akan berlaku kesamaan segitiga.
𝑢 − 𝑣 = 𝑢 − 𝑤 + (𝑤 − 𝑣) ≤ 𝑢 − 𝑤 + 𝑤 − 𝑣
Oleh karena itu, jika pada suatu ruang linear ℛ bernorma didefinisikan suatu
jarak yaitu 𝑑: 𝑢 − 𝑣 , maka jarak tersebut adalah suatu metrik.
Karena itu (ℛ,𝑑) juga meruipakan ruang metrik.
Definisi 3.1.14
Kelas 𝐶0 𝑎, 𝑏 adalah suatu himpunan yang terdiri dari semua fungsi 𝑦(𝑥)
yang terdefinisi dan kontinu di interval tertutup 𝑎, 𝑏 .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
79
Norma dari fungsi dalam kelas 𝐶0 𝑎, 𝑏 didefinisikan sebagai nilai maksimum
dari nilai mutlak 𝑦(𝑥) untuk 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, yakni
𝑦 0 = max𝑎≤𝑥≤𝑏
𝑦(𝑥)
Dalam kelas 𝐶0 𝑎, 𝑏 , jarak antara 𝑦(𝑥) dan 𝑧(𝑥) didefinisikan sebagai
berikut : 𝑦 − 𝑧 0 = max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑦 𝑥 − 𝑧(𝑥) .
Dalam kelas 𝐶0 𝑎, 𝑏 , jarak antara 𝑦 𝑥 dan 𝑧 𝑥 dekat satu sama lain, yakni
𝑧 𝑥 berada di persekitaran-휀 dari 𝑦 𝑥 sehingga 𝑦 − 𝑧 0 < 휀, maka
max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑦 𝑥 − 𝑧(𝑥) < 휀.
Jika digambarkan dalam grafik, maka grafik dari 𝑧(𝑥) dalam daerah berlebar
2휀 (dari arah vertikal) yang membatasi grafik fungsi 𝑦(𝑥), dengan kata lain
𝑧(𝑥) berada dalam daerah yang dibatasi grafik 𝑦 𝑥 + 휀 dan grafik 𝑦 𝑥 − 휀.
Oleh karena itu,
𝑦 𝑥 − 휀 < 𝑧 𝑥 < 𝑦 𝑥 + 휀 , untuk semua 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏.
−휀 < 𝑧 𝑥 − 𝑦 𝑥 < 휀, untuk semua 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏.
𝑧 𝑥 − 𝑦(𝑥) < 휀, untuk semua 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏.
𝑦 𝑥 − 𝑧(𝑥) < 휀 untuk semua 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏.
Contoh 3.1.11
1. Fungsi polinom dengan daerah asal 𝑅 = (−∞,∞) termasuk dalam
𝐶0[−3,8], karena fungsi polinom kontinu pada daerah asalnya yaitu
𝑅 = (−∞,∞). Interval [3,8] berada dalam daerah asal 𝑅 = (−∞,∞).
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
80
2. 𝑓 𝑥 = sin 𝑥 ,dengan daerah asal {𝑥|0 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋} termasuk dalam
𝐶0[0,2𝜋], karena 𝑓 𝑥 = sin 𝑥 kontinu pada daerah asalnya yaitu
[0,2𝜋].
3. 𝑓 𝑥 = 𝑥 ,dengan daerah asal {𝑥|𝑥 ≥ 0, 𝑥 ∈ 𝑅} termasuk dalam
𝐶0[0,10], karena 𝑓 𝑥 = 𝑥 kontinu pada daerah asalnya yaitu
{𝑥|𝑥 ≥ 0, 𝑥 ∈ 𝑅}. Interval [0,10] termasuk dalam daerah asal {𝑥|𝑥 ≥
0, 𝑥 ∈ 𝑅}.
Definisi 3.1.15
Kelas 𝐶1 𝑎, 𝑏 adalah suatu himpunan yang terdiri dari semua fungsi yang
terdefinisi di interval tertutup 𝑎, 𝑏 yang mana fungsi-fungsi tersebut kontinu
dan memiliki turunan pertama yang kontinu.
Norma dari fungsi dalam kelas 𝐶1 𝑎, 𝑏 didefinisikan dengan rumus :
𝑦 1 = max𝑎≤𝑥≤𝑏
𝑦(𝑥) + max𝑎≤𝑥≤𝑏
𝑦′(𝑥)
Dalam kelas 𝐶1 𝑎, 𝑏 , jarak antara 𝑦 𝑥 dan 𝑧(𝑥) didefinisikan sebagai
berikut:
𝑦 − 𝑧 1 = max𝑎≤𝑥≤𝑏
𝑦 𝑥 − 𝑧(𝑥) + max𝑎≤𝑥≤𝑏
𝑦′(𝑥) − 𝑧′(𝑥)
Dalam kelas 𝐶1 𝑎, 𝑏 , 2 fungsi dikatakan dekat satu sama lain (𝑧(𝑥) pada
persekitaran-휀 dari 𝑦(𝑥)) yakni 𝑦 − 𝑧 1 < 휀, jika kedua fungsi itu sendiri
dan turunan pertama dari kedua fungsi itu dekat satu sama lain. Ini berarti
bahwa 𝑦 𝑥 − 𝑧(𝑥) < 휀 , dan 𝑦′ 𝑥 − 𝑧′(𝑥) < 휀 untuk semua 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
81
Contoh 3.1.12
1. Fungsi polinom dengan daerah asal 𝑅 = (−∞,∞) termasuk dalam
𝐶1[−3,8], karena fungsi polinom terdifersialkan pada daerah asalnya
yaitu 𝑅 = (−∞,∞). Fungsi polinom juga memiliki turunan pertama
yang kontinu pada daerah asalnya. Interval [3,8] berada dalam daerah
asal 𝑅 = (−∞,∞).
2. 𝑓 𝑥 = sin 𝑥 ,dengan daerah asal {𝑥|0 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋} termasuk dalam
𝐶1[0,2𝜋], karena 𝑓 𝑥 = sin 𝑥 terdifirensialkan pada daerah asalnya
yaitu [0,2𝜋]. 𝑓 𝑥 = sin 𝑥 juga memiliki turunan pertama yang
kontinu pada [0,2𝜋], yaitu 𝑓′ 𝑥 = cos 𝑥.
3. 𝑓 𝑥 = 𝑥 ,dengan daerah asal {𝑥|𝑥 ≥ 0, 𝑥 ∈ 𝑅} termasuk dalam
𝐶1[1,10], karena 𝑓 𝑥 = 𝑥 terdiferensialkan pada {𝑥|𝑥 > 0, 𝑥 ∈ 𝑅} .
𝑓 𝑥 = 𝑥 juga memiliki turunan pertama yang kontinu pada
{𝑥|𝑥 > 0, 𝑥 ∈ 𝑅} yaitu 𝑓′ 𝑥 =1
2 𝑥. Interval [1,10] berada dalam
{𝑥|𝑥 > 0, 𝑥 ∈ 𝑅}.
4. 𝑓 𝑥 = 𝑥 ,dengan daerah asal {𝑥|𝑥 ≥ 0, 𝑥 ∈ 𝑅} tidak termasuk
dalam 𝐶1[0,10], karena 𝑓′ 𝑥 =1
2 𝑥 tidak terdefinisi pada 𝑥 = 0.
Oleh karena itu, 𝑓 𝑥 = 𝑥 ,dengan daerah asal {𝑥|𝑥 ≥ 0, 𝑥 ∈ 𝑅}
merupakan anggota dari 𝐶0[0,10], namun bukan anggota dari
𝐶1[0,10].
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
82
5. 𝑓 𝑥 =2
3 𝑥3 ,dengan daerah asal {𝑥|𝑥 ≥ 0, 𝑥 ∈ 𝑅} termasuk dalam
𝐶1[0,10], karena 𝑓 𝑥 =2
3 𝑥3 terdiferensialakan pada {𝑥|𝑥 ≥ 0, 𝑥 ∈
𝑅}.
𝑓 𝑥 =2
3 𝑥3 juga memiliki turunan pertama yang kontinu pada
{𝑥|𝑥 ≥ 0, 𝑥 ∈ 𝑅} yaitu 𝑓′ 𝑥 = 𝑥. Interval [0,10] berada dalam
{𝑥|𝑥 > 0, 𝑥 ∈ 𝑅}.
Definisi 3.1.16
Kelas 𝐶𝑘 𝑎, 𝑏 adalah suatu himpunan yang terdiri dari semua fungsi 𝑦(𝑥)
yang terdefinisi di interval tertutup 𝑎, 𝑏 yang mana fungsi-fungsi tersebut
kontinu dan memiliki turunan-turunan yang kontinu sampai pada turunan ke-
𝑘, dengan 𝑘 bilangan bulat tidak negatif.
Norma dari fungsi dalam kelas 𝐶𝑘 𝑎, 𝑏 didefinisikan dengan rumus :
𝑦 𝑘 = max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑦 𝑖 (𝑥) 𝑘
𝑖=0 ,
dimana 𝑦 𝑖 𝑥 = 𝑑
𝑑𝑥 𝑖
𝑦(𝑥) dan 𝑦 0 (𝑥) adalah fungsi 𝑦 𝑥 itu sendiri.
Dalam kelas 𝐶𝑘 𝑎, 𝑏 , jarak antara 𝑦(𝑥) dan 𝑧(𝑥) didefinisikan sebagai
berikut : 𝑦 − 𝑧 𝑘 = max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑦 𝑖 𝑥 − 𝑧 𝑖 (𝑥) 𝑘
𝑖=0 .
Dalam kelas 𝐶𝑘 𝑎, 𝑏 , 2 fungsi dikatakan dekat satu sama lain (𝑧(𝑥) pada
persekitaran-휀 dari 𝑦(𝑥)) ( yakni 𝑦 − 𝑧 𝑘 < 휀, jika fungsi-fungsi itu sendiri
dan semua turunan-turunannya sampai turunan ke-k dekat satu sama lain. Ini
berarti bahwa
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
83
𝑦 𝑥 − 𝑧(𝑥) < 휀 , 𝑦′ 𝑥 − 𝑧′(𝑥) < 휀 , 𝑦" 𝑥 − 𝑧"(𝑥) < 휀 , …, dan
𝑦(𝑘) 𝑥 − 𝑧(𝑘)(𝑥) < 휀 untuk semua 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏.
Contoh 3.1.13
1. Fungsi polinom dengan daerah asal 𝑅 = (−∞,∞) termasuk dalam
𝐶𝑘 [−3,8], dengan 𝑘 bilangan bulat tidak negatif. Karena fungsi
polinom terdifersialkan tak hingga kali pada daerah asalnya yaitu
𝑅 = (−∞,∞), sehingga turunan-turunan sampai turunan ke 𝑘 akan
kontinu.
2. 𝑓 𝑥 = 𝑥 ,dengan daerah asal {𝑥|𝑥 ≥ 0, 𝑥 ∈ 𝑅} tidak termasuk
dalam 𝐶𝑘 [0,10] (untuk 𝑘 > 0). Ini karena 𝑓′ 𝑥 =1
2 𝑥 tidak
terdefinisi pada 𝑥 = 0. Oleh karena itu, 𝑓′ 𝑥 =1
2 𝑥 tidak dapat
diturunkan.
3. 𝑓 𝑥 =2
3 𝑥3 ,dengan daerah asal {𝑥|𝑥 ≥ 0, 𝑥 ∈ 𝑅} tidak termasuk
dalam 𝐶𝑘 [0,10] (untuk 𝑘 > 1). Ini karena 𝑓′′ 𝑥 =1
2 𝑥 tidak
terdefinisi pada 𝑥 = 0. Sehingga 𝑓′′ 𝑥 =1
2 𝑥 tidak dapat diturunkan.
Oleh karena itu, 𝑓 𝑥 =2
3 𝑥3 ,dengan daerah asal {𝑥|𝑥 ≥ 0, 𝑥 ∈ 𝑅}
merupakan anggota dari 𝐶1[0,10], namun bukan anggota dari
𝐶𝑘 [0,10] (untuk 𝑘 > 1).
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
84
Contoh 3.1.14
𝑓 𝑥 = 𝑥, 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑥 ≥ 00, 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑥 < 0
𝑓(𝑥) termasuk dalam kelas 𝐶0[−6,6] tapi tidak termasuk dalam 𝐶1[−6,6].
Untuk 𝑥 < 0, 𝑓 𝑥 = 0 adalah fungsi kontinu yang terdifensialkan, dan
turunannya yaitu 𝑓 ′(𝑥) = 0 juga kontinu untuk 𝑥 < 0.
Untuk 𝑥 > 0, 𝑓 𝑥 = 𝑥 adalah fungsi kontinu yang terdiferensialkan, dan
turunannya yaitu 𝑓 ′(𝑥) = 1 juga kontinu untuk 𝑥 > 0.
Untuk 𝑥 = 0
h
fhff
h
)0()0(lim)0('
0
, asalkan limit ini ada. (menurut definisi 2.4.1)
Hitung limit kanan terlebih dahulu.
11limlim0)0(
lim)0()0(
lim0000
hhhh h
h
h
h
h
fhf
Sekarang kita hitung limit kiri
00lim0
lim00
lim)0()0(
lim0000
hhhh hhh
fhf
h
fhf
h
)0()0(lim
0 h
fhf
h
)0()0(lim
0
Oleh karena itu, h
fhf
h
)0()0(lim
0
tidak ada. Maka dari itu, 𝑓 𝑥 tidak
terdiferensialkan pada titik 𝑥 = 0.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
85
Untuk 𝑥 = 0, maka 𝑓 0 = 0, sehingga 𝑓 0 terdefinisi. (0 berada pada
daerah asal 𝑓(𝑥))
0lim)(lim00
xxf
xx
00lim)(lim00
xx
xf
)0(0)(lim)(lim00
fxfxfxx
Oleh karena itu,
)0()(lim0
fxfx
Maka dari itu , 𝑓 𝑥 kontinu pada 𝑥 = 0.
Karena itu, 𝑓(𝑥) termasuk dalam kelas 𝐶0[−6,6] tapi tidak termasuk dalam
𝐶1[−6,6].
Setiap anggota 𝐶1[𝑎, 𝑏] merupakan anggota dari 𝐶0[𝑎, 𝑏], karena setiap
anggota dari 𝐶1[𝑎, 𝑏] juga merupakan fungsi kontinu (dari teorema 2.4.1).
Oleh karena itu, 𝐶1[𝑎, 𝑏] ⊆ 𝐶0[𝑎, 𝑏].
Ada anggota 𝐶1[𝑎, 𝑏] yang bukan merupakan 𝐶0[𝑎, 𝑏] ( dari contoh
3.1.12, dan 3.1.14). Oleh karena itu, 𝐶1[𝑎, 𝑏] ⊂ 𝐶0[𝑎, 𝑏].
Setiap anggota 𝐶𝑘[𝑎, 𝑏] (dengan 𝑘 > 1) merupakan anggota dari
𝐶1[𝑎, 𝑏], karena setiap anggota dari 𝐶𝑘[𝑎, 𝑏] (dengan 𝑘 > 1) juga merupakan
fungsi yang kontinu dan memiliki turunan-turunan yang kontinu (dari
teorema 2.4.1). Oleh karena itu, 𝐶𝑘[𝑎, 𝑏] ⊆ 𝐶1[𝑎, 𝑏] (untuk 𝑘 > 1).
Ada anggota 𝐶𝑘 [𝑎, 𝑏] (dengan 𝑘 > 1) yang bukan merupakan 𝐶1[𝑎, 𝑏] (
dari contoh 3.1.13). Oleh karena itu, 𝐶𝑘 [𝑎, 𝑏] ⊂ 𝐶1[𝑎, 𝑏] (untuk 𝑘 > 1).
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
86
Maka dari itu, didapat : 𝐶𝑘[𝑎, 𝑏] ⊂ 𝐶1[𝑎, 𝑏] ⊂ 𝐶0[𝑎, 𝑏] (untuk 𝑘 > 1).
Sekarang, akan ditunjukkan bahwa kelas 𝐶𝑘 𝑎, 𝑏 (dengan 𝑘 bilangan
bulat tidak negatif) adalah ruang metrik. Untuk kelas 𝐶0[𝑎, 𝑏] sudah
dibuktikan pada contoh 3.1.9
Karena itu, sekarang akan dibuktikan bahwa (𝐶𝑘 𝑎, 𝑏 , 𝑑) untuk
𝑘 bilangan bulat lebih dari 0, dengan 𝑑 adalah jarak antara dua fungsi pada
𝐶𝑘 [𝑎, 𝑏] yaitu 𝑑 𝑓,𝑔 : 𝑓 − 𝑔 𝑘 = max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 𝑖 𝑥 − 𝑔 𝑖 (𝑥) 𝑘
𝑖=0 , untuk
setiap 𝑓,𝑔 ∈ 𝐶𝑘 [𝑎, 𝑏] adalah ruang metrik. (dimana 𝑓 𝑖 𝑥 = 𝑑
𝑑𝑥 𝑖
𝑓 𝑥 ,
𝑔 𝑖 𝑥 = 𝑑
𝑑𝑥 𝑖
𝑔 𝑥 , 𝑓 0 (𝑥) adalah fungsi 𝑓 𝑥 itu sendiri, dan 𝑔 0 (𝑥)
adalah fungsi 𝑔 𝑥 itu sendiri)
Buktinya adalah sebagai berikut :
Misal 𝑓(𝑥) dan 𝑔(𝑥) adalah sembarang fungsi anggota 𝐶𝑘 𝑎, 𝑏 (dengan 𝑘
bilangan bulat lebih dari 0).
𝑓(𝑥) dan 𝑔(𝑥) adalah fungsi yang kontinu pada [𝑎, 𝑏], sehingga 𝑓 𝑥 −
𝑔 𝑥 = 𝑓 − 𝑔 (𝑥) juga merupakan fungsi yang kontinu pada [𝑎, 𝑏]. Oleh
karena itu, menurut teorema 2.5.1, 𝑓 − 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) akan mencapai
nilai maksimum mutlak pada suatu bilangan 𝑥 dalam 𝑎, 𝑏 .
Karena itu , untuk setiap 𝑓(𝑥),𝑔(𝑥) ∈ 𝐶[𝑎, 𝑏], 𝑓 − 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥)
akan mencapai nilai maksimum mutlak pada suatu bilangan 𝑥 dalam 𝑎, 𝑏 .
𝑓(𝑥) dan 𝑔(𝑥) juga memiliki turunan-turunan yang kontinu pada [𝑎, 𝑏]
sampai turunan ke-𝑘 (dengan 𝑘 bilangan bulat lebih dari 0). Oleh karena itu,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
87
𝑓′(𝑥) dan 𝑔′(𝑥) adalah fungsi yang kontinu pada [𝑎, 𝑏], sehingga 𝑓′ 𝑥 −
𝑔′ 𝑥 = 𝑓 − 𝑔 ′(𝑥) juga merupakan fungsi yang kontinu pada [𝑎, 𝑏]. Oleh
karena itu, menurut teorema 2.5.1, 𝑓 − 𝑔 ′(𝑥) akan mencapai nilai
maksimum mutlak 𝑓 − 𝑔 ′ 𝑑 = 𝑓′ 𝑑 − 𝑔′(𝑑) pada suatu bilangan 𝑑
dalam 𝑎, 𝑏 .
Karena itu , untuk setiap 𝑓(𝑥),𝑔(𝑥) ∈ 𝐶1[𝑎, 𝑏], 𝑓 − 𝑔 ′ 𝑥 = 𝑓 ′ 𝑥 − 𝑔′(𝑥)
akan mencapai nilai maksimum mutlak pada suatu bilangan 𝑥 dalam 𝑎, 𝑏 .
Hal di atas terjadi untuk turunan-turunan dari 𝑓(𝑥) dan 𝑔(𝑥) sampai turunan
yang ke-𝑘.
a) max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) ≥ 0, untuk setiap 𝑓,𝑔 ∈ 𝐶[𝑎, 𝑏]. (dari
definisi nilai mutlak bilangan real)
max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓′ 𝑥 − 𝑔′(𝑥) ≥ 0, untuk setiap 𝑓,𝑔 ∈ 𝐶[𝑎, 𝑏]. (dari
definisi nilai mutlak bilangan real)
Hal di atas terjadi untuk turunan-turunan dari 𝑓(𝑥) dan 𝑔(𝑥)
sampai turunan yang ke-𝑘.
Oleh karena itu,
max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 𝑖 𝑥 − 𝑔 𝑖 (𝑥) 𝑘
𝑖=0 ≥ 0 , untuk setiap 𝑓,𝑔 ∈
𝐶[𝑎, 𝑏].
b) Jika diketahui max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 𝑖 𝑥 − 𝑔 𝑖 (𝑥) 𝑘
𝑖=0 = 0.
Karena itu, didapat max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) + max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓′(𝑥) −
𝑔′(𝑥) + ⋯+max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓(𝑘) 𝑥 − 𝑔 𝑘 (𝑥) = 0.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
88
Padahal max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) ≥ 0, max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓′ 𝑥 −
𝑔′(𝑥) ≥ 0,… max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓(𝑘) 𝑥 − 𝑔 𝑘 (𝑥) ≥ 0. (tidak mungkin
negatif)
Karena max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) + max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓′(𝑥) − 𝑔′(𝑥) +
⋯+max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓(𝑘) 𝑥 − 𝑔 𝑘 (𝑥) = 0.
(ruas kanan sama dengan nol)
Maka dari itu, max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) = max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓′ 𝑥 −
𝑔′(𝑥) = ⋯ = max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓(𝑘) 𝑥 − 𝑔 𝑘 (𝑥) = 0.
Karena itu, 𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 = (𝑓 ′ 𝑥 − 𝑔′ 𝑥 = ⋯ = (𝑓 𝑘 𝑥 −
𝑔 𝑘 (𝑥) = 0. (menurut contoh 3.1.10)
Jadi, jika max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 𝑖 𝑥 − 𝑔 𝑖 (𝑥) 𝑘
𝑖=0 = 0 maka 𝑓 𝑥 −
𝑔(𝑥) = 0.
Jika max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 𝑖 𝑥 − 𝑔 𝑖 (𝑥) 𝑘
𝑖=0 = 0 maka 𝑓 𝑥 = 𝑔(𝑥).
Kemudian, jika 𝑓 𝑥 = 𝑔(𝑥), untuk setiap 𝑥 dalam [𝑎, 𝑏] maka
𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 = 0, untuk setiap 𝑥 dalam [𝑎, 𝑏].
Karena itu, didapat 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) = 0, untuk setiap 𝑥 dalam
[𝑎, 𝑏]. (dari definisi nilai mutlak bilangan real)
Oleh karena itu, didapat max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) = 0.
𝑓 𝑥 = 𝑔(𝑥), untuk setiap 𝑥 dalam [𝑎, 𝑏] maka 𝑓′ 𝑥 = 𝑔′(𝑥).
Oleh karena itu, 𝑓 ′(𝑥) − 𝑔′(𝑥) = 𝑓 + 𝑔 ′(𝑥) = 0, untuk setiap 𝑥
dalam [𝑎, 𝑏].
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
89
Didapat 𝑓′(𝑥) − 𝑔′(𝑥) = 0, untuk setiap 𝑥 dalam [𝑎, 𝑏] (dari
definisi nilai mutlak bilangan real), sehingga max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓′ 𝑥 −
𝑔′(𝑥) = 0.
Hal di atas terjadi untuk turunan-turunan dari 𝑓(𝑥) dan 𝑔(𝑥)
sampai turunan yang ke-𝑘. Oleh karena itu,
max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 𝑖 𝑥 − 𝑔 𝑖 (𝑥) 𝑘
𝑖=0 = 0.
Jadi, jika 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) maka akan didapat
max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 𝑖 𝑥 − 𝑔 𝑖 (𝑥) 𝑘
𝑖=0 = 0.
c) max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) = max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑔 𝑥 − 𝑓(𝑥) , untuk setiap
𝑓,𝑔 ∈ 𝐶[𝑎, 𝑏]. (dari definisi nilai mutlak bilangan real)
max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓′ 𝑥 − 𝑔′(𝑥) = max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑔′ 𝑥 − 𝑓′(𝑥) , untuk
setiap 𝑓,𝑔 ∈ 𝐶[𝑎, 𝑏]. (dari definisi nilai mutlak bilangan real)
Hal di atas terjadi untuk turunan-turunan dari 𝑓(𝑥) dan 𝑔(𝑥)
sampai turunan yang ke-𝑘.
Oleh karena itu,
max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 𝑖 𝑥 − 𝑔 𝑖 𝑥 𝑘
𝑖=0 = max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑔 𝑖 𝑥 −𝑘
𝑖=0
𝑓 𝑖 𝑥 .
d) max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) = max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 𝑥 − 𝑥 + ( 𝑥 −
𝑔(𝑥) , untuk setiap 𝑓,𝑔, ∈ 𝐶[𝑎, 𝑏].
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
90
max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 𝑥 − 𝑥 + ( 𝑥 − 𝑔(𝑥) ≤ max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 𝑥 −
(𝑥) + max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑥 − 𝑔(𝑥) ,untuk setiap 𝑓,𝑔, ∈ 𝐶[𝑎, 𝑏].
(dari ketaksamaan segitiga)
Karena itu, max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) ≤ max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 𝑥 − (𝑥) +
max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑥 − 𝑔(𝑥) .
max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓′ 𝑥 − 𝑔′(𝑥) = max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓′ 𝑥 − ′ 𝑥 +
(′ 𝑥 − 𝑔′(𝑥) , untuk setiap 𝑓,𝑔, ∈ 𝐶[𝑎, 𝑏].
max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓′ 𝑥 − ′ 𝑥 + (′ 𝑥 − 𝑔′(𝑥) ≤
max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓′ 𝑥 − ′(𝑥) + max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑥 − 𝑔(𝑥) ,untuk setiap
𝑓,𝑔, ∈ 𝐶[𝑎, 𝑏]. (dari ketaksamaan segitiga)
Karena itu, max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓′ 𝑥 − 𝑔′(𝑥) ≤ max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓′ 𝑥 −
′(𝑥) + max𝑎≤𝑥≤𝑏 ′ 𝑥 − 𝑔′(𝑥) .
Hal di atas terjadi untuk turunan-turunan dari 𝑓(𝑥) dan 𝑔(𝑥)
sampai turunan yang ke-𝑘.
Oleh karena itu,
max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 𝑖 𝑥 − 𝑔 𝑖 𝑥 𝑘
𝑖=0 ≤ max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 𝑖 𝑥 −𝑘
𝑖=0
𝑖 𝑥 + max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑖 𝑥 − 𝑔 𝑖 𝑥 𝑘
𝑖=0
Karena memenuhi keempat aksioma, maka (𝐶𝑘 𝑎, 𝑏 ,𝑑) untuk 𝑘
adalah bilangan bulat lebih dari 0, dengan 𝑑 adalah jarak antara dua fungsi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
91
pada 𝐶[𝑎, 𝑏] yaitu 𝑑 𝑓,𝑔 : 𝑓 − 𝑔 𝑘 = max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 𝑖 𝑥 − 𝑔 𝑖 (𝑥) 𝑘
𝑖=0 ,
untuk setiap 𝑓,𝑔 ∈ 𝐶[𝑎, 𝑏] adalah ruang metrik.
Kali ini akan ditunjukkan bahwa 𝐶𝑘 𝑎, 𝑏 (dengan 𝑘 adalah bilangan
bulat tidak negatif) adalah ruang linear bernorma. Oleh akan ditunjukkan
bahwa 𝐶𝑘 𝑎, 𝑏 adalah ruang linear terlebih dahulu. Untuk kelas 𝐶0[𝑎, 𝑏]
merupakan ruang bernorma sudah dibuktikan pada contoh 3.1.10.
Karena itu, sekarang akan dibuktikan bahwa (𝐶𝑘 𝑎, 𝑏 , 𝑑) untuk
𝑘 bilangan bulat lebih dari 0, dan diberikan lapangan real 𝑅. Didefinisikan (+)
adalah operasi penjumlahan fungsi dengan fungsi, yang didefinisikan dengan
𝑓 + 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 + 𝑔(𝑥), dan didefinisikan operasi perkalian bilangan real
dengan suatu fungsi, yaitu 𝛼𝑓 𝑥 = 𝛼𝑓(𝑥). Maka dari itu, 𝐶𝑘 𝑎, 𝑏 , untuk
𝑘 bilangan bulat lebih dari 0 adalah ruang linear atas lapangan real 𝑅.
Buktinya adalah sebagai berikut :
Misal 𝑓(𝑥) dan 𝑔(𝑥) adalah sembarang fungsi anggota 𝐶𝑘 𝑎, 𝑏 (dengan 𝑘
bilangan bulat lebih dari 0).
𝑓(𝑥) dan 𝑔(𝑥) adalah fungsi-fungsi yang kontinu dan memiliki turunan-
turunan yang kontinu pada [𝑎, 𝑏] sampai turunan ke-𝑘 (dengan 𝑘 bilangan
bulat lebih dari 0).
Misal 𝛼,𝛽 adalah sembarang bilangan real dalam 𝑅
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
92
1. 𝑓(𝑥) adalah sembarang fungsi kontinu dan memiliki turunan-
turunan yang kontinu pada [𝑎, 𝑏] sampai turunan ke-𝑘 (dengan 𝑘
bilangan bulat lebih dari 0), sehingga
h
cfhcfcf
h
)()(lim)('
0
ada, untuk setiap 𝑐 dalam [𝑎, 𝑏]
h
cfhcfcf
h
)(')('lim)(''
0
ada, untuk setiap 𝑐 dalam [𝑎, 𝑏].
Hal di atas terjadi untuk turunan-turunan dari 𝑓(𝑥) sampai turunan
yang ke-𝑘 yaitu h
cfhcfcf
kk
h
k )()(lim)(
)1()1(
0
)(
ada, untuk
setiap 𝑐 dalam [𝑎, 𝑏].
Kekontinuan 𝑓 ′(𝑥),𝑓 ′′ (𝑥),…𝑓 𝑘−1 (𝑥) otomatis terjadi. (dari
teorema 2.4.1)
Karena 𝑓 𝑘 (𝑥) juga harus kontinu, maka )()(lim )()( cfxf kk
cx
,
untuk setiap 𝑐 dalam [𝑎, 𝑏].
𝑔(𝑥) adalah sembarang fungsi kontinu dan memiliki turunan-
turunan yang kontinu pada [𝑎, 𝑏] sampai turunan ke-𝑘 (dengan 𝑘
bilangan bulat lebih dari 0), sehingga
h
cghcgcg
h
)()(lim)('
0
ada, untuk setiap 𝑐 dalam [𝑎, 𝑏]
h
cghcgcg
h
)(')('lim)(''
0
ada, untuk setiap 𝑐 dalam [𝑎, 𝑏].
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
93
Hal di atas terjadi untuk turunan-turunan dari 𝑔(𝑥) sampai turunan
yang ke-𝑘 yaitu h
cghcgcg
kk
h
k )()(lim)(
)1()1(
0
)(
ada, untuk
setiap 𝑐 dalam [𝑎, 𝑏].
Kekontinuan 𝑔′(𝑥),𝑔′′ (𝑥),…𝑔 𝑘−1 (𝑥) otomatis terjadi. (dari
teorema 2.4.1)
Karena 𝑔 𝑘 (𝑥) juga harus kontinu, maka )()(lim )()( cgxg kk
cx
,
untuk setiap 𝑐 dalam [𝑎, 𝑏].
)(')(')()'( xgxfxgf (menurut aturan penjumlahan turunan)
h
cghcg
h
cfhcfxgf
hh
)()(lim
)()(lim)()'(
00, untuk
setiap 𝑐 dalam [𝑎, 𝑏].
h
cgcfhcghcfcgf
h
)]()([)]()([lim)()'(
0
, untuk setiap
𝑐 dalam [𝑎, 𝑏] . (menurut hukum penjumlahan limit)
h
cgfhcgfcgf
h
))(())((lim)()'(
0
, untuk setiap 𝑐 dalam
[𝑎, 𝑏]. (menurut definisi penjumlahan fungsi)
Oleh karena itu, (𝑓 + 𝑔)(𝑥) terdifensialkan.
)('')('')(')'( xgxfxgf (menurut aturan penjumlahan
turunan)
h
cghcg
h
cfhcfxgf
hh
)(')('lim
)(')('lim)(')'(
00,
untuk setiap 𝑐 dalam [𝑎, 𝑏].
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
94
h
cgcfhcghcfcgf
h
)](')('[)](')('[lim)(')'(
0
, untuk
setiap 𝑐 dalam [𝑎, 𝑏]. (menurut hukum penjumlahan limit)
h
cgfhcgfcgf
h
)()'()()'(lim)(')'(
0
, untuk setiap 𝑐
dalam [𝑎, 𝑏]. (menurut definisi penjumlahan fungsi)
Oleh karena itu, 𝑓 + 𝑔 ′(𝑥) terdiferensialkan.
Hal di atas terjadi untuk turunan-turunan dari 𝑓 + 𝑔 (𝑥) sampai
turunan yang ke-𝑘 .
Kekontinuan 𝑓 + 𝑔 ′ 𝑥 , 𝑓 + 𝑔 ′′ 𝑥 ,… (𝑓 + 𝑔) 𝑘−1 (𝑥)
otomatis terjadi. (dari teorema 2.4.1)
Karena 𝑓 𝑘 (𝑥), dan 𝑔 𝑘 (𝑥) kontinu, maka (𝑓 + 𝑔) 𝑘 (𝑥) kontinu
untuk setiap 𝑐 dalam [𝑎, 𝑏]. (dari aturan penjumlahan turunan dan
contoh 3.1.8)
Oleh karena itu, fungsi 𝑓 + 𝑔 𝑘 (𝑥), (dengan 𝑘 bilangan bulat
lebih dari 0) adalah fungsi kontinu dan memiliki turunan-turunan
yang kontinu pada [𝑎, 𝑏] sampai turunan ke-𝑘 (dengan 𝑘 bilangan
bulat lebih dari 0).
Jadi, 𝐶𝑘 [𝑎, 𝑏], dengan 𝑘 bilangan bulat lebih dari 0 tertutup
terhadap operasi penjumlahan.
2. 𝑓(𝑥) adalah sembarang fungsi kontinu dan memiliki turunan-
turunan yang kontinu pada [𝑎, 𝑏] sampai turunan ke-𝑘 (dengan 𝑘
bilangan bulat lebih dari 0), sehingga
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
95
h
cfhcfcf
h
)()(lim)('
0
ada, untuk setiap 𝑐 dalam [𝑎, 𝑏]
h
cfhcfcf
h
)(')('lim)(''
0
ada, untuk setiap 𝑐 dalam [𝑎, 𝑏].
Hal di atas terjadi untuk turunan-turunan dari 𝑓(𝑥) sampai turunan
yang ke-𝑘, yaitu h
cfhcfcf
kk
h
k )()(lim)(
)1()1(
0
)(
ada, untuk
setiap 𝑐 dalam [𝑎, 𝑏].
Kekontinuan 𝑓 ′(𝑥),𝑓 ′′ (𝑥),…𝑓 𝑘−1 (𝑥) otomatis terjadi. (dari
teorema 2.4.1)
Karena 𝑓 𝑘 (𝑥) juga harus kontinu, maka )()(lim )()( cfxf kk
cx
,
untuk setiap 𝑐 dalam [𝑎, 𝑏].
𝛼 adalah sembarang bilangan real dalam lapangan 𝑅.
𝛼𝑓 ′ 𝑥 = 𝛼𝑓′(𝑥) (menurut aturan perkalian konstanta turunan)
h
cfhcfxf
h
)()(lim)()'(
0
, untuk setiap 𝑐 dalam [𝑎, 𝑏].
h
cfhcfxf
h
)()(lim)()'(
0 , untuk setiap 𝑐 dalam [𝑎, 𝑏].
(menurut hukum perkalian konstanta pada limit)
h
cfhcfxf
h
))(())((lim)()'(
0
, untuk setiap 𝑐 dalam [𝑎, 𝑏].
(menurut definisi perkalian bilangan real dengan fungsi)
Oleh karena itu, ))(( xf terdiferensialkan.
𝛼𝑓 ′′ 𝑥 = 𝛼𝑓′′(𝑥) (menurut aturan perkalian konstanta turunan)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
96
h
cfhcfxf
h
)(')('lim)(')'(
0
, untuk setiap 𝑐 dalam [𝑎, 𝑏].
h
cfhcfxf
h
)(')('lim)(')'(
0 , untuk setiap 𝑐 dalam [𝑎, 𝑏].
(menurut hukum perkalian konstanta pada limit)
h
cfhcfxf
h
))('())('(lim)(')'(
0
, untuk setiap 𝑐 dalam [𝑎, 𝑏].
(menurut definisi perkalian bilangan real dengan fungsi)
Oleh karena itu, )()'( xf terdiferensialkan.
Hal di atas terjadi untuk turunan-turunan dari ∝ 𝑓 (𝑥) sampai
turunan yang ke-𝑘 .
Kekontinuan 𝛼𝑓 ′ 𝑥 , 𝛼𝑓 ′′ 𝑥 ,… (𝛼𝑓) 𝑘−1 (𝑥) otomatis terjadi.
(dari teorema 2.4.1)
Karena 𝑓 𝑘 (𝑥), dan 𝑔 𝑘 (𝑥) kontinu, maka (𝛼𝑓) 𝑘 (𝑥) kontinu
untuk setiap 𝑐 dalam [𝑎, 𝑏]. (dari aturan penjumlahan turunan dan
contoh 3.1.8)
Oleh karena itu, fungsi 𝛼𝑓 𝑘 (𝑥), (dengan 𝑘 bilangan bulat lebih
dari 0) adalah fungsi kontinu dan memiliki turunan-turunan yang
kontinu pada [𝑎, 𝑏] sampai turunan ke-𝑘 (dengan 𝑘 bilangan bulat
lebih dari 0).
Jadi,(𝛼𝑓)(𝑘) 𝑥 = 𝛼𝑓(𝑘)(𝑥) ∈ 𝐶[𝑎, 𝑏] .
3. 𝑓 𝑥 ,𝑔 𝑥 ,(𝑥) adalah sembarang fungsi kontinu dan memiliki
turunan-turunan yang kontinu pada [𝑎, 𝑏] sampai turunan ke-𝑘.
(dengan 𝑘 bilangan bulat lebih dari 0).
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
97
Oleh karena itu, untuk setiap 𝑐 dalam [𝑎, 𝑏] , 𝑓 𝑐 ,𝑔 𝑐 ,(𝑐)
terdefinisi. (dari definisi 2.3.1)
𝑓 𝑐 + 𝑔 𝑐 = 𝑔 𝑐 + 𝑓(𝑐), untuk setiap 𝑐 dalam [𝑎, 𝑏]. (menurut
sifat komutatif bilangan real)
Oleh karena itu, dapat ditulis 𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 = 𝑔 𝑥 + 𝑓(𝑥), untuk
setiap 𝑥 dalam [𝑎, 𝑏]
4. 𝑓 𝑐 + 𝑔 𝑐 + 𝑐 = 𝑓 𝑐 + (𝑔 𝑐 + 𝑐 ), untuk setiap 𝑐
dalam [𝑎, 𝑏]. (menurut sifat asosiatif bilangan real)
Oleh karena itu, dapat ditulis 𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 + 𝑥 = 𝑓 𝑥 +
(𝑔 𝑥 + 𝑥 ), untuk setiap 𝑥 dalam [𝑎, 𝑏].
5. 𝑓(𝑥) adalah sembarang fungsi anggota 𝐶𝑘[𝑎, 𝑏].
Karena 𝑓(𝑥) pasti kontinu, maka untuk setiap 𝑐 dalam [𝑎, 𝑏], 𝑓(𝑐)
terdefinisi. (dari definisi 2.3.1)
Terdapat fungsi 0, yaitu 𝑦 𝑥 = 0, untuk setiap 𝑥 dalam [𝑎, 𝑏].
(diketahui bahwa fungsi 𝑦 𝑥 = 0 adalah fungsi yang kontinu pada
𝑅 = (−∞,∞) dan 𝑦 𝑥 = 0 juga terdiferensialkan pada tingkat
berapapun, dan turunan-turunannya yaitu 𝑦′ 𝑥 = 𝑦′′ 𝑥 = ⋯ =
𝑦 𝑘 (𝑥) = 0 kontinu pada 𝑅 = (−∞,∞) sehingga 𝑦 𝑥 = 0 ada
dalam seluruh kelas 𝐶𝑘 [𝑎, 𝑏], untuk 𝑘 bilangan bulat tak negatif)
Oleh karena itu, didapat :
𝑦 𝑐 = 0 ,untuk setiap 𝑐 dalam [𝑎, 𝑏],
𝑓 𝑐 + 𝑦 𝑐 = 𝑓 𝑐 + 0 = 𝑓 𝑐 , untuk setiap 𝑐 dalam [𝑎, 𝑏].
(elemen identitas dalam penjumlahan bilangan real)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
98
Karena itu, dapat ditulis 𝑓 𝑥 + 0 = 𝑓 𝑥 , untuk setiap 𝑥 dalam
[𝑎, 𝑏].
Fungsi 𝑦 𝑥 = 0 adalah elemen 0 dalam 𝐶𝑘[𝑎, 𝑏].
6. 𝑓(𝑥) adalah sembarang fungsi anggota 𝐶𝑘[𝑎, 𝑏].
Karena 𝑓(𝑥) pasti kontinu, maka untuk setiap 𝑐 dalam [𝑎, 𝑏], 𝑓(𝑐)
terdefinisi. (dari definisi 2.3.1)
𝑓 𝑐 + −𝑓 𝑐 = 0, untuk setiap 𝑐 dalam [𝑎, 𝑏]. (invers dalam
penjumlahan bilangan real)
Karena itu, dapat ditulis 𝑓 𝑥 + −𝑓 𝑥 = 0, untuk setiap 𝑥
dalam [𝑎, 𝑏].
7. 𝑓(𝑥) adalah sembarang fungsi anggota 𝐶𝑘[𝑎, 𝑏].
Karena 𝑓(𝑥) pasti kontinu, maka untuk setiap 𝑐 dalam [𝑎, 𝑏], 𝑓(𝑐)
terdefinisi. (dari definisi 2.3.1)
Terdapat fungsi 𝑗 𝑥 = 1, untuk setiap 𝑥 dalam [𝑎, 𝑏]. (diketahui
bahwa fungsi 𝑗 𝑥 = 1 adalah fungsi yang kontinu pada 𝑅 =
(−∞,∞) dan 𝑗 𝑥 = 1 juga terdiferensialkan pada tingkat
berapapun, dan turunan-turunannya yaitu 𝑗′ 𝑥 = 𝑗′′ 𝑥 = ⋯ =
𝑗 𝑘 (𝑥) = 0 kontinu pada 𝑅 = (−∞,∞) sehingga 𝑗 𝑥 = 1 ada
dalam seluruh kelas 𝐶𝑘 [𝑎, 𝑏], untuk 𝑘 bilangan bulat tak negatif)
Oleh karena itu, didapat :
𝑗 𝑐 = 1 ,untuk setiap 𝑐 dalam [𝑎, 𝑏].
𝑗 𝑐 ∙ 𝑓 𝑐 = 1 ∙ 𝑓 𝑐 = 𝑓(𝑐), untuk setiap 𝑐 dalam [𝑎, 𝑏]. (elemen
identitas dalam perkalian bilangan real)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
99
Oleh karena itu, dapat ditulis 1 ∙ 𝑓 𝑥 = 𝑓(𝑥), untuk setiap 𝑥
dalam [𝑎, 𝑏]
Fungsi 𝑗 𝑥 = 1 adalah elemen satuan dalam 𝐶𝑘 [𝑎, 𝑏]
8. 𝑓(𝑥) adalah sembarang fungsi anggota 𝐶𝑘[𝑎, 𝑏].
Karena 𝑓(𝑥) pasti kontinu, maka untuk setiap 𝑐 dalam [𝑎, 𝑏], 𝑓(𝑐)
terdefinisi. (dari definisi 2.3.1)
𝛼,𝛽 adalah sembarang bilangan real dalam lapangan 𝑅.
𝛼 𝛽𝑓(𝑐) = 𝛼𝛽 𝑓(𝑐), untuk setiap 𝑐 dalam [𝑎, 𝑏]. (menurut sifat
asosiatif perkalian bilangan real)
Oleh karena itu, dapat ditulis 𝛼 𝛽𝑓(𝑥) = 𝛼𝛽 𝑓(𝑥), untuk setiap
𝑥 dalam [𝑎, 𝑏].
9. 𝑓(𝑥) adalah sembarang fungsi anggota 𝐶𝑘[𝑎, 𝑏].
Karena 𝑓(𝑥) pasti kontinu, maka untuk setiap 𝑐 dalam [𝑎, 𝑏], 𝑓(𝑐)
terdefinisi. (dari definisi 2.3.1)
𝛼,𝛽 adalah sembarang bilangan real dalam lapangan 𝑅.
𝛼 + 𝛽 𝑓 𝑐 = 𝛼𝑓 𝑐 + 𝛽𝑓(𝑐), untuk setiap 𝑐 dalam [𝑎, 𝑏].
(menurut sifat distributif kiri perkalian terhadap penjumlahan
bilangan real)
Oleh karena itu, dapat ditulis 𝛼 + 𝛽 𝑓 𝑥 = 𝛼𝑓 𝑥 + 𝛽𝑓(𝑥),
untuk setiap 𝑥 dalam [𝑎, 𝑏].
10. 𝑓(𝑥), dan 𝑔(𝑥) adalah sembarang fungsi kontinu dan memiliki
turunan-turunan yang kontinu pada [𝑎, 𝑏] sampai turunan ke-𝑘.
(dengan 𝑘 bilangan bulat lebih dari 0).
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
100
Oleh karena itu, untuk setiap 𝑐 dalam [𝑎, 𝑏] , 𝑓 𝑐 ,𝑔 𝑐 terdefinisi.
(dari definisi 2.3.1)
𝛼 adalah sembarang bilangan real dalam lapangan 𝑅.
𝛼 𝑓 𝑐 + 𝑔(𝑐) = 𝛼𝑓 𝑐 + 𝛼𝑔(𝑐), untuk setiap 𝑐 dalam [𝑎, 𝑏].
(menurut sifat distributif kanan perkalian terhadap penjumlahan
bilangan real)
Oleh karena itu, dapat ditulis 𝛼 𝑓 𝑥 + 𝑔(𝑥) = 𝛼𝑓 𝑥 + 𝛼𝑔(𝑥),
untuk setiap 𝑥 dalam [𝑎, 𝑏].
Karena memenuhi kesepuluh aksioma, maka 𝐶𝑘 𝑎, 𝑏 , dengan 𝑘 adalah
bilangan bulat lebih dari 0, adalah ruang linear atas lapangan real 𝑅.
Setelah ditunjukkan bahwa 𝐶𝑘 𝑎, 𝑏 , dengan 𝑘 adalah bilangan bulat
lebih dari 0, adalah ruang linear atas lapangan real 𝑅, kali ini akan dibuktikan
bahwa (𝐶𝑘 𝑎, 𝑏 , 𝑑) untuk 𝑘 bilangan bulat lebih dari 0, dengan norma pada
𝐶𝑘 [𝑎, 𝑏] yaitu 𝑓 𝑘 = max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 𝑖 (𝑥) 𝑘
𝑖=0 , untuk setiap 𝑓 ∈ 𝐶𝑘 [𝑎, 𝑏]
adalah ruang linear bernorma. (dimana 𝑓 𝑖 𝑥 = 𝑑
𝑑𝑥 𝑖
𝑓(𝑥) dan 𝑓 0 (𝑥)
adalah fungsi 𝑓 𝑥 itu sendiri)
Buktinya adalah sebagai berikut :
Misal 𝑓 𝑥 adalah sembarang anggota 𝐶𝑘[𝑎, 𝑏].
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
101
𝑓𝑥) adalah fungsi yang kontinu pada [𝑎, 𝑏], sehingga menurut teorema 2.5.1,
𝑓(𝑥) akan mencapai nilai maksimum mutlak 𝑓(𝑐) pada suatu bilangan 𝑐
dalam 𝑎, 𝑏 .
Karena itu, untuk setiap 𝑓(𝑥) ∈ 𝐶𝑘 [𝑎, 𝑏], 𝑓(𝑥) akan mencapai nilai
maksimum mutlak pada suatu bilangan 𝑥 dalam 𝑎, 𝑏 .
𝑓(𝑥) juga memiliki turunan-turunan yang kontinu pada [𝑎, 𝑏] sampai turunan
ke-𝑘 (dengan 𝑘 bilangan bulat lebih dari 0)
Oleh karena itu, menurut teorema 2.5.1, 𝑓′(𝑥) akan mencapai nilai maksimum
mutlak 𝑓′(𝑑) pada suatu bilangan 𝑑 dalam 𝑎, 𝑏 .
Karena itu, untuk setiap 𝑓(𝑥) ∈ 𝐶𝑘 [𝑎, 𝑏], 𝑓′(𝑥) akan mencapai nilai
maksimum mutlak pada suatu bilangan 𝑥 dalam 𝑎, 𝑏 .
Hal di atas terjadi untuk turunan-turunan dari 𝑓(𝑥) sampai turunan yang ke-𝑘
a) max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 𝑥 ≥ 0, untuk setiap 𝑓,𝑔 ∈ 𝐶[𝑎, 𝑏]. (dari definisi nilai
mutlak bilangan real)
max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓′ 𝑥 ≥ 0, untuk setiap 𝑓,𝑔 ∈ 𝐶[𝑎, 𝑏]. (dari definisi nilai
mutlak bilangan real)
Hal di atas terjadi untuk turunan-turunan dari 𝑓(𝑥) dan 𝑔(𝑥) sampai
turunan yang ke-𝑘.
Oleh karena itu,
𝑓 𝑘 = max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 𝑖 (𝑥) 𝑘
𝑖=0 ≥ 0, untuk setiap 𝑓,𝑔 ∈ 𝐶[𝑎, 𝑏] (dari
definisi nilai mutlak bilangan real)
b) Jika diketahui 𝑓 𝑘 = max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 𝑖 (𝑥) 𝑘
𝑖=0 = 0, maka
max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 𝑥 + max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓′ 𝑥 + ⋯+max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓(𝑘) 𝑥 = 0.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
102
Padahal max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 𝑥 ≥ 0, max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓′ 𝑥 ≥ 0,…
max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓(𝑘) 𝑥 ≥ 0 . (tidak mungkin negatif)
Karena max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 𝑥 + max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓′ 𝑥 + ⋯+max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓(𝑘) 𝑥 =
0 (ruas kanan sama dengan nol),
maka max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 𝑥 = max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓′ 𝑥 = ⋯ = max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓(𝑘) 𝑥 =
0.
Karena itu 𝑓 𝑥 = 𝑓 ′ 𝑥 = ⋯ = 𝑓(𝑘) 𝑥 = 0.
Jadi, jika max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 𝑖 𝑥 𝑘
𝑖=0 = 0 maka 𝑓 𝑥 = 0
Kemudian, jika 𝑓 𝑥 = 0, untuk setiap 𝑥 dalam [𝑎, 𝑏] maka 𝑓(𝑥) = 0,
untuk setiap 𝑥 dalam [𝑎, 𝑏]. (dari definisi nilai mutlak bilangan real)
Oleh karena itu, max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 𝑥 = 0.
𝑓 𝑥 = 0, maka 𝑓′ 𝑥 = 0, untuk setiap 𝑥 dalam [𝑎, 𝑏]. Karena itu,
didapat 𝑓′(𝑥) = 0, untuk setiap 𝑥 dalam [𝑎, 𝑏]. (dari definisi nilai
mutlak bilangan real)
Oleh karena itu, max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓′ 𝑥 = 0.
Hal di atas terjadi untuk turunan-turunan dari 𝑓(𝑥) sampai turunan yang
ke-𝑘.
Didapat 𝑓 𝑘 = max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 𝑖 𝑥 𝑘
𝑖=0 = 0.
Jadi, jika 𝑓(𝑥) = 0 maka 𝑓 𝑘 = max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 𝑖 𝑥 𝑘
𝑖=0 = 0.
c) Misalkan 𝛼 adalah sembarang bilangan real.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
103
𝛼𝑓(𝑥) = max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝛼𝑓 𝑖 𝑥 = max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝛼𝑓 𝑥 +𝑘
𝑖=0
max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝛼𝑓′ 𝑥 + ⋯+ max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝛼𝑓 𝑘 𝑥 , untuk setiap 𝑓(𝑥) ∈
𝐶𝑘 [𝑎, 𝑏].
= α max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 𝑥 + 𝛼 max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓′ 𝑥 + ⋯+
𝛼 max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 𝑘 𝑥 , untuk setiap 𝑓(𝑥) ∈ 𝐶𝑘 [𝑎, 𝑏].
(dari sifat-sifat nilai mutlak bilangan real)
= 𝛼 ( max𝑎≤𝑥≤𝑏
𝑓(𝑥) + max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓′ 𝑥 + ⋯+
max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 𝑘 𝑥 ), untuk setiap 𝑓(𝑥) ∈ 𝐶𝑘 [𝑎, 𝑏].
= 𝛼 ( max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 𝑖 𝑥 𝑘
𝑖=0 ), untuk setiap 𝑢(𝑥) ∈ 𝐶𝑘 [𝑎, 𝑏].
= 𝛼 𝑓 𝑘 , untuk setiap 𝑢(𝑥) ∈ 𝐶𝑘[𝑎, 𝑏].
d) max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 + 𝑔 𝑖 (𝑥) = max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 𝑖 𝑥 + 𝑔 𝑖 (𝑥) 𝑘
𝑖=0𝑘𝑖=0
(menurut aturan penjumlahan turunan)
max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 𝑥 + 𝑔(𝑥) ≤ max𝑎≤𝑥≤𝑏( 𝑓 𝑥 + 𝑔(𝑥) ), untuk setiap
𝑓 𝑥 ,𝑔(𝑥) ∈ 𝐶[𝑎, 𝑏]. (dari ketaksamaan segitiga)
max𝑎≤𝑥≤𝑏( 𝑓 𝑥 + 𝑔(𝑥) )= max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓(𝑥) + max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑔(𝑥) , untuk
setiap 𝑓 𝑥 ,𝑔(𝑥) ∈ 𝐶𝑘[𝑎, 𝑏].
Karena itu,
max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 𝑥 + 𝑔(𝑥) ≤ max𝑎≤𝑥≤𝑏
𝑓(𝑥) + max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑔(𝑥) , untuk setiap
𝑓 𝑥 ,𝑔(𝑥) ∈ 𝐶𝑘 [𝑎, 𝑏].
max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓′ 𝑥 + 𝑔′(𝑥) ≤ max𝑎≤𝑥≤𝑏( 𝑓′ 𝑥 + 𝑔′(𝑥) ), untuk setiap
𝑓 𝑥 ,𝑔(𝑥) ∈ 𝐶[𝑎, 𝑏]. (dari ketaksamaan segitiga)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
104
max𝑎≤𝑥≤𝑏( 𝑓′ 𝑥 + 𝑔′(𝑥) )= max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓′(𝑥) + max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑔′(𝑥) ,
untuk setiap 𝑓 𝑥 ,𝑔(𝑥) ∈ 𝐶𝑘 [𝑎, 𝑏].
Karena itu,
max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 𝑥 + 𝑔(𝑥) ≤ max𝑎≤𝑥≤𝑏
𝑓′(𝑥) + max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑔′(𝑥) , untuk setiap
𝑓 𝑥 ,𝑔(𝑥) ∈ 𝐶𝑘 [𝑎, 𝑏].
Hal di atas terjadi untuk turunan-turunan dari 𝑓(𝑥) sampai turunan yang
ke-𝑘.
Oleh karena itu,
max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 +𝑘𝑖=0
𝑔 𝑖 (𝑥) ≤ max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 𝑖 (𝑥) +𝑘
𝑖=0 max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑔 𝑖 (𝑥) 𝑘
𝑖=0 ,untuk
setiap 𝑓 𝑥 ,𝑔(𝑥) ∈ 𝐶𝑘[𝑎, 𝑏].
Didapat :
f + g k ≤ f k + g k , untuk setiap 𝑓 𝑥 ,𝑔(𝑥) ∈ 𝐶𝑘 [𝑎, 𝑏].
Karena memenuhi keempat aksioma, maka (𝐶𝑘 𝑎, 𝑏 ,𝑑) untuk
𝑘 bilangan bulat lebih dari 0, dengan norma pada 𝐶𝑘[𝑎, 𝑏] yaitu 𝑓 𝑘 =
max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 𝑖 (𝑥) 𝑘
𝑖=0 , untuk setiap 𝑓 ∈ 𝐶𝑘[𝑎, 𝑏] adalah ruang linear
bernorma.
B. Fungsional
Fungsional adalah salah satu jenis fungsi, di mana variabel bebasnya
merupakan fungsi (atau kurva), dengan kata lain fungsional merupakan fungsi
dari fungsi.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
105
Pada fungsi dengan tiga variabel bebas, daerah asal untuk fungsi tersebut
adalah himpunan titik-titik (𝑥,𝑦, 𝑧) dalam 𝑅3. Begitu juga untuk fungsional
dengan tiga variabel bebas, daerah asal untuk fungsional tersebut adalah
himpunan titik-titik (𝑥,𝑦, 𝑧) di 𝑅3 di mana 𝑥,𝑦, dan 𝑧 adalah fungsi-fungsi
dengan variabel bebas yang berbeda, yang telah dianggap sebagai titik. 𝑥,𝑦,
dan 𝑧 masing-masing adalah fungsi dalam ruang linear ℛ.
Pada fungsi dengan 𝑛 variabel bebas, daerah asal untuk fungsi tersebut
adalah himpunan titik-titik (𝑥1, 𝑥2 ,…𝑥𝑛) dalam 𝑅𝑛 . Begitu juga untuk
fungsional dengan 𝑛 variabel bebas, daerah asal untuk fungsional tersebut
adalah himpunan titik-titik (𝑥1, 𝑥2 ,…𝑥𝑛) di 𝑅𝑛 di mana 𝑥1, 𝑥2 ,… dan 𝑥𝑛
adalah fungsi-fungsi dengan variabel bebas yang berbeda, yang telah dianggap
sebagai titik. 𝑥1, 𝑥2 ,… dan 𝑥3 masing-masing adalah fungsi dalam ruang linear
ℛ.
Dalam fungsional domain adalah himpunan fungsi sedangkan kodomain
adalah himpunan bilangan Real.
Berikut ini adalah beberapa contoh fungsional.
Contoh 3.2.1
b
a
dxxyyJ )( , untuk 𝑦(𝑥) dalam 𝐶0 𝑎, 𝑏 didefinisikan sebagai suatu
fungsional.
𝐽 𝑦 :𝐶0 → 𝑅 , 𝐷 = 𝑦 𝑥 |𝑦(𝑥) ∈ 𝐶0 𝑎, 𝑏 . 𝑦(𝑥) kontinu di 𝑎, 𝑏 , karena itu
menurut Teorema Dasar Kalkulus bagian 2 akan didapat bilangan real untuk
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
106
setiap 𝑦(𝑥) dalam 𝐷. Karena itu, dari penjelasan tersebut didapat bahwa 𝐽 𝑦
adalah suatu fungsi, dan karena 𝑦(𝑥) juga merupakan fungsi maka 𝐽 𝑦 adalah
fungsional.
Contoh 3.2.2
b
a
dxxyyJ )(2, untuk 𝑦(𝑥) dalam 𝐶0[𝑎, 𝑏] didefinisikan sebagai suatu
fungsional.
𝐽 𝑦 :𝐶1 → 𝑅 , 𝐷 = 𝑦 𝑥 |𝑦(𝑥) ∈ 𝐶0 𝑎, 𝑏 . Fungsi kuadrat merupakan fungsi
polinom sehingga fungsi itu kontinu di mana saja (di R), karena itu menurut
Teorema 2.3.2 dan Teorema Dasar Kalkulus bagian 2 akan didapat bilangan
real untuk setiap 𝑦(𝑥) dalam D. Karena itu, dari penjelasan tersebut didapat
bahwa 𝐽 𝑦 adalah suatu fungsi, dan karena 𝑦(𝑥) juga merupakan fungsi maka
𝐽 𝑦 adalah fungsi dari fungsi.
Contoh 3.2.3
Jika F adalah fungsi yang kontinu di R, maka
b
a
dxxyFyJ ))(( , untuk 𝑦(𝑥) dalam 𝐶0 𝑎, 𝑏 didefinisikan sebagai suatu
fungsional.
𝐽 𝑦 :𝐶0 → 𝑅 , 𝐷 = 𝑦 𝑥 |𝑦(𝑥) ∈ 𝐶0 𝑎, 𝑏 . Fungsi 𝐹 kontinu di 𝑅, karena itu
menurut Teorema 2.3.2, ))(( xyF adalah fungsi kontinu di 𝑎, 𝑏 sehingga
menurut Teorema Dasar Kalkulus bagian 2 akan didapat bilangan real untuk
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
107
setiap 𝑦(𝑥) dalam 𝐷. Karena itu, dari penjelasan tersebut didapat bahwa 𝐽 𝑦
adalah suatu fungsi, dan karena 𝑦(𝑥) juga merupakan fungsi maka 𝐽 𝑦 adalah
fungsional.
Contoh 3.2.4
b
a
dxxyyJ 2)]('[ , untuk 𝑦(𝑥) dalam 𝐶1 𝑎, 𝑏 didefinisikan sebagai suatu
fungsional.
𝐽 𝑦 :𝐶1 → 𝑅 , 𝐷 = 𝑦 𝑥 |𝑦(𝑥) ∈ 𝐶1 𝑎, 𝑏 .
𝑦(𝑥) dalam 𝐶1 𝑎, 𝑏 sehingga 𝑦′ 𝑥 ada dan kontinu di [𝑎, 𝑏]. Fungsi kuadrat
merupakan fungsi polinom sehingga fungsi itu kontinu di 𝑅, karena itu
menurut Teorema 2.3.2, dan Teorema Dasar Kalkulus bagian 2 akan didapat
bilangan real untuk setiap 𝑦(𝑥) dalam D. Karena itu, dari penjelasan tersebut
didapat bahwa 𝐽 𝑦 adalah suatu fungsi, dan karena 𝑦(𝑥) juga merupakan
fungsi maka 𝐽 𝑦 adalah fungsional.
Contoh 3.2.5
b
a
dxxyyJ 2)]('[1 , untuk 𝑦(𝑥) dalam 𝐶1 𝑎, 𝑏 didefinisikan sebagai
suatu fungsional.
𝐽 𝑦 :𝐶1 → 𝑅 , 𝐷 = 𝑦 𝑥 |𝑦(𝑥) ∈ 𝐶1 𝑎, 𝑏 .
𝑦(𝑥) dalam 𝐶1 𝑎, 𝑏 sehingga 𝑦 ′ 𝑥 ada dan kontinu di [𝑎, 𝑏]. Daerah asal
fungsi rasional dalam bentuk di atas adalah himpunan bilangan real; 𝑅. Oleh
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
108
karena itu, fungsi tersebut kontinu di 𝑅 (karena sembarang fungsi rasional
kontinu pada daerah asalnya). Karena itu, menurut teorema 2.3.2, dan
Teorema Dasar Kalkulus bagian 2 akan didapat bilangan real untuk setiap
𝑦(𝑥) dalam D. Oleh karena itu, dari penjelasan tersebut didapat bahwa 𝐽 𝑦
adalah suatu fungsi, dan karena 𝑦(𝑥) juga merupakan fungsi maka 𝐽 𝑦 adalah
fungsional.
Fungsional di atas merupakan rumus panjang kurva 𝑦 = 𝑦(𝑥) untuk 𝑎 ≤ 𝑥 ≤
𝑏.
Contoh 3.2.6
Jika fungsi F adalah suatu fungsi 3 variabel yang kontinu, maka
b
a
dxxyxyxFyJ )('),(,
untuk 𝑦(𝑥) dalam 𝐶1 𝑎, 𝑏 didefinisikan sebagai
suatu fungsional.
Pada contoh di atas 𝑥 adalah suatu variabel bebas, y’(x) tergantung pada y(x)
(keduannya memiliki variabel bebas yang sama yaitu x).
𝐽 𝑦 :𝐶1 → 𝑅 , daerah asal 𝐽 𝑦 adalah 𝐶1[𝑎, 𝑏] ( y’ ada dan kontinu
pada[𝑎, 𝑏]). Menurut teorema 2.7.2 dan Teorema Dasar Kalkulus bagian 2
akan didapat bilangan real untuk setiap 𝑦(𝑥). Oleh karena itu, dari penjelasan
tersebut didapat bahwa 𝐽 𝑦 adalah suatu fungsi, dan karena 𝑦(𝑥) juga
merupakan fungsi maka 𝐽 𝑦 adalah fungsi dari fungsi.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
109
Definisi 3.2.1
Fungsional 𝐽 𝑦 dikatakan kontinu pada titik 𝑦 ∈ ℛ jika untuk setiap 휀 > 0,
terdapat 𝛿 > 0 sedemikian sehingga 𝐽 𝑦 − 𝐽[𝑦 ] < 휀 bilamana 𝑦 − 𝑦 < 𝛿.
Definisi 3.2.2
Andaikan 𝑉,𝑊 adalah ruang-ruang linear atas lapangan yang sama 𝐹. Suatu
fungsi 𝑇:𝑉 → 𝑊 disebut suatu transformasi linear dari 𝑉 ke 𝑊 jika untuk
setiap 𝑥,𝑦 ∈ 𝑉, dan setiap 𝛼 ∈ 𝑅, berlaku :
a) 𝑇 𝑥 + 𝑦 = 𝑇 𝑥 + 𝑇(𝑦)
b) 𝑇 𝛼𝑥 = 𝛼𝑇(𝑥)
Untuk 𝑉 = 𝑊, transformasi linear 𝑇:𝑉 → 𝑉 disebut suatu operator linear pada
𝑉.
Definisi 3.2.3
Andaikan ℛ adalah suatu ruang linear. Fungsional linear adalah fungsi
𝑓:ℛ → 𝑅 sedemikian sehingga untuk setiap 𝑥,𝑦 ∈ ℛ, dan setiap 𝛼 ∈ 𝑅,
berlaku :
a) 𝑓 𝑥 + 𝑦 = 𝑓 𝑥 + 𝑓(𝑦)
b) 𝑓 𝛼𝑥 = 𝛼𝑓(𝑥)
Jika tidak memenuhi salah satu dari sifat-sifat di atas ataupun tidak memenuhi
kedua sifat tersebut, maka fungsional dikatakan fungsional tidak linear.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
110
Contoh 3.2.6
Akan ditunjukkan bahwa fungsional 1
0
)(3 dxxyyJ , untuk 𝑦(𝑥) dalam
ruang linear ℛ, adalah suatu fungsional linear.
Ambil sembarang 𝑓 𝑥 ,𝑔(𝑥) ∈ ℛ.
1
0
)]()([3 dxxgxfgfJ
1
0
)(3)(3 dxxgxfgfJ
1
0
1
0
)(3)(3 dxxgdxxfgfJ (menurut sifat penjumlahan integral tentu)
1
0
1
0
)(3)(3 dxxgdxxfgfJ
][][ gJfJgfJ
Ambil sembarang 𝑓 𝑥 ∈ ℛ dan sembarang bilanagan 𝛼 ∈ 𝑅.
1
0
)]([3 dxxffJ
1
0
)](3[ dxxffJ
1
0
)(3 dxxffJ (menurut sifat perkalian konstanta pada integral tentu)
][ fJfJ
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
111
Karena memenuhi kedua sifat fungsional linear, maka fungsional
1
0
)(3 dxxyyJ , untuk 𝑦(𝑥) dalam ruang linear ℛ, adalah suatu fungsional
linear.
Contoh 3.2.7
Akan ditunjukkan bahwa fungsional 1
0
2))((3 dxxyyJ , untuk 𝑦(𝑥) dalam
ruang linear ℛ, adalah fungsional tidak linear.
Ambil sembarang 𝑓 𝑥 ,𝑔(𝑥) ∈ ℛ.
1
0
2 ]))()([(3 dxxgxfgfJ
1
0
22 )]()()(2)([3 dxxgxgxfxfgfJ
1
0
22 )(3)()(6)(3 dxxgxgxfxfgfJ
1
0
1
0
1
0
)(3)()(6)(3 dxxgdxxgxfdxxfgfJ (menurut sifat penjumlahan
integral tentu)
1
0
1
0
1
0
)(3)()(6)(3 dxxgdxxgxfdxxfgfJ
][][ gJfJgfJ
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
112
Ambil sembarang 𝑓 𝑥 ∈ ℛ dan sembarang bilangan 𝛼 ∈ 𝑅.
1
0
2 ]))([(3 dxxffJ
1
0
22 )](3[ dxxffJ
1
0
22 )(3 dxxffJ (menurut sifat perkalian konstanta pada integral tentu)
][ fJfJ
Karena tidak memenuhi sifat-sifat fungsional linear, maka fungsional
1
0
2))((3 dxxyyJ , untuk 𝑦(𝑥) dalam ruang linear ℛ, merupakan fungsional
tidak linear.
Contoh 3.2.8
Akan ditunjukkan bahwa fungsional b
a
dxxhxhJ )(')( , untuk (𝑥)
dalam𝐶1[𝑎, 𝑏], dimana 𝛼(𝑥) adalah suatu fungsi tertentu pada 𝐶[𝑎, 𝑏] , adalah
suatu fungsional linear.
Ambil sembarang 𝑓 𝑥 ,𝑔(𝑥) ∈ 𝐶1[𝑎, 𝑏].
b
a
dxxgxfxgfJ ))'()(()(
b
a
dxxgxfxgfJ )(')(')(
(menurut aturan jumlah pada turunan)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
113
b
a
dxxgxxfxgfJ )(')()(')(
b
a
b
a
dxxgxdxxfxgfJ )(')()(')( (menurut sifat penjumlahan integral
tentu)
][][ gJfJgfJ
Ambil sembarang 𝑓 𝑥 ∈ ℛ dan sembarang bilangan 𝑟 ∈ 𝑅.
b
a
dxxrfxrfJ ]))'()[((
b
a
dxxrfxrfJ )](')[(
(menurut aturan perkalian konstanta pada turunan)
b
a
dxxfxrrfJ )](')([
b
a
dxxfxrrfJ )](')([
(menurut sifat perkalian konstanta pada integral
tentu)
][ frJrfJ
Karena memenuhi kedua sifat fungsional linear, maka Fungsional
b
a
dxxhxhJ )(')( , untuk (𝑥) dalam𝐶1[𝑎, 𝑏], dimana 𝛼(𝑥) adalah suatu
fungsi tertentu pada 𝐶[𝑎, 𝑏] , adalah suatu fungsional linear.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
114
Contoh 3.2.9
Akan ditunjukkan bahwa fungsional
b
a
n
n dxxhxxhxxhxhJ )()(...)(')()()( )(
10 , untuk (𝑥)
dalam𝐶𝑛 [𝑎, 𝑏], dimana 𝛼(𝑥) adalah suatu fungsi tertentu pada 𝐶[𝑎, 𝑏] , adalah
suatu fungsional linear.
Ambil sembarang 𝑓 𝑥 ,𝑔(𝑥) ∈ 𝐶𝑛[𝑎, 𝑏].
b
a
n
n dxxgxfxxgxfxxgxfxgfJ ]))()()[((...]))'()()[(()]()()[( )(
10
b
a
nn
n dxxgxfxxgxfxxgxfxgfJ )]()()[((...)](')(')[(()]()()[( )()(
10
(menurut aturan jumlah pada turunan)
b
a
n
n
n
n dxxgxfxxgxfxxgxfxgfJ )]()()([...)](')(')([)]()()([ )()(
1100
dxxgxgxgxxfxfxfxgfJ n
n
b
a
n
n )](...)()()([)](...)()()([ )(
10
)(
10
b
a
n
n
b
a
n
n dxxgxgxgxdxxfxfxfxgfJ )(...)()()()(...)()()( )(
10
)(
10
(menurut sifat penjumlahan integral tentu)
][][ gJfJgfJ
Ambil sembarang 𝑓 𝑥 ∈ ℛ dan sembarang bilangan 𝑟 ∈ 𝑅.
b
a
n
n dxxrfxxrfxxrfxrfJ )(
10 )]()[(...)]'()[()]()[(
b
a
n
n dxxrfxxrfxxrfxrfJ )]()[(...)](')[()]()[( )(
10
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
115
(menurut aturan perkalian konstanta pada turunan)
b
a
n
n dxxfxrxfxrxfxrrfJ )]()([...)](')([)]()([ )(
10
b
a
n
n dxxfxxfxxfxrrfJ )]()([...)](')([)]()([ )(
10
b
a
n
n dxxfxxfxxfxrrfJ )()(...)(')()()( )(
10
(menurut sifat perkalian konstanta pada integral tentu)
][ frJrfJ
Karena memenuhi kedua sifat fungsional linear, maka fungsional
b
a
n
n dxxhxxhxxhxhJ )()(...)(')()()( )(
10 , untuk (𝑥)
dalam𝐶𝑛 [𝑎, 𝑏], dimana 𝛼(𝑥) adalah suatu fungsi tertentu pada 𝐶[𝑎, 𝑏] , adalah
suatu fungsional linear.
Definisi 3.2.3
Diberikan suatu ruang linear bernorma ℛ, misalkan 𝜑[] adalah suatu
fungsional yang terdefinisi pada ℛ. Maka 𝜑[] disebut suatu fungsional linear
kontinu jika :
1. 𝜑 1 + 2 = 𝜑 1 + 𝜑(2), untuk setiap 1 ,2 ∈ ℛ
2. 𝜑 𝛼 = 𝛼𝜑(), untuk setiap ∈ ℛ, dan setiap 𝛼 ∈ 𝑅
3. 𝜑() kontinu, untuk setiap ∈ ℛ.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
116
Kedua lema di bawah ini akan membahas tentang fungsional linear contoh
3.2.8, dan contoh 3.2.9 jika 𝐽 lenyap (𝐽 = 0) untuk setiap (𝑥) anggota
suatu kelas fungsi.
Lema 3.2.1
Jika 𝛼(𝑥) adalah suatu fungsi kontinu pada [𝑎, 𝑏], dan jika
𝛼 𝑥 ′ 𝑥 𝑑𝑥 = 0
𝑏
𝑎
untuk setiap fungsi (𝑥) ∈ 𝐶1[𝑎, 𝑏] sedemikian sehingga 𝑎 = 𝑏 = 0,
maka 𝛼 𝑥 = 𝑐 untuk setiap 𝑥 dalam [𝑎, 𝑏], di mana 𝑐 adalah suatu konstanta.
Bukti :
𝛼 𝑥 ′ 𝑥 𝑑𝑥 = 0𝑏
𝑎, untuk 𝛼(𝑥) suatu fungsi tertentu yang kontinu pada
[𝑎, 𝑏].
Andaikan 𝑐 adalah suatu konstanta yang didefinisikan sebagai berikut :
b
a
dxcx 0)( , dan andaikan juga bahwa
x
a
dcxh )()( , sehingga
benar bahwa (𝑥) berada pada 𝐶1[𝑎, 𝑏] (menurut Teorema Dasar kalkulus
bagian 1) dan memenuhi syarat yaitu 𝑎 = 𝑏 = 0. Ini karena 𝑎 =
0)( a
a
dc , dan 𝑏 = 0)( b
a
dc . (dari syarat sebelumnya yaitu
b
a
dxcx 0)( )
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
117
𝛼 𝑥 − 𝑐 ′ 𝑥 𝑑𝑥 =
𝑏
𝑎
𝛼 𝑥 ′ 𝑥 − 𝑐′ 𝑥 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
= 𝛼 𝑥 ′ 𝑥 𝑑𝑥 − 𝑐′ 𝑥 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
𝑏
𝑎
= 𝛼 𝑥 ′ 𝑥 𝑑𝑥 − 𝑐 ′ 𝑥 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
𝑏
𝑎
= 𝛼 𝑥 ′ 𝑥 𝑑𝑥 − 𝑐 𝑏 − 𝑎
𝑏
𝑎
= 0 − 𝑐. 0 = 0
Oleh karena itu, 𝛼 𝑥 − 𝑐 ′ 𝑥 𝑑𝑥 =𝑏
𝑎0.
0])([)('])([ 2 b
a
b
a
dxcxdxxhcx
Oleh karena itu 0])([ 2 cx , sehingga cx )(
Lema 3.2.2
Jika 𝛼(𝑥) dan 𝛽(𝑥) adalah fungsi-fungsi kontinu pada [𝑎, 𝑏], dan jika
𝛼 𝑥 𝑥 + 𝛽 𝑥 ′(𝑥) 𝑑𝑥 = 0
𝑏
𝑎
untuk setiap fungsi (𝑥) ∈ 𝐶1[𝑎, 𝑏] sedemikian sehingga 𝑎 = 𝑏 = 0,
maka 𝛽(𝑥) terdiferensialkan , dan 𝛽′ 𝑥 = 𝛼(𝑥) untuk setiap 𝑥 dalam [𝑎, 𝑏].
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
118
Bukti :
Tetapkan x
dxA0
)()( , untuk setiap 𝑥 dalam [𝑎, 𝑏].
b
a
b
a
dxxxhdxxhx )()()()(
b
a
b
axdxhxAxAxh )()(')()()( (menurut rumus integral parsial)
b
a
b
axdxhxAxA )()(')()(0
b
a
xdxhxA )()(')(
Oleh karena itu,
𝛼 𝑥 𝑥 + 𝛽 𝑥 ′(𝑥) 𝑑𝑥 = −𝐴 𝑥 + 𝛽 𝑥 ′ 𝑥 𝑑𝑥 = 0
𝑏
𝑎
𝑏
𝑎
Menurut lema 3.2.1, akan didapat :
𝛽 𝑥 − 𝐴 𝑥 = 𝑐, dimana 𝑐 adalah konstan.
Karena itu, 𝛽 𝑥 + (−𝑐) = 𝐴 𝑥 .
Oleh karena itu, menurut definisi 𝐴(𝑥) akan didapat :
𝛽 𝑥 + (−𝑐) = x
d0
)(
𝛽′ 𝑥 = 𝛼′ 𝑥 , untuk setiap 𝑥 dalam [𝑎, 𝑏]. (menurut teorema dasar kalkulus
bagian 1)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
119
C. Nilai Ekstrim Fungsional Fungsi Satu Variabel Bebas
Kali ini, akan dibahas mengenai deferensial dan nilai ekstrim suatu
fungsional
Sebelum memulai pembahasan mengenai nilai ekstrim suatu fungsional,
akan dibahas tentang diferensial suatu fungsional terlebih dahulu. Andaikan
𝐽[𝑦] adalah suatu fungsional yang terdefinisi pada ruang linear bernorma, dan
andaikan ∆𝐽 = 𝐽 𝑦 + − 𝐽[𝑦] adalah inkremen-nya. Jika 𝑦 tertentu, ∆𝐽[]
adalah suatu fungsional dari . Misalkan ∆𝐽 = 𝜑 + 휀 , di mana 𝜑[]
adalah suatu fungsional linear, dan 휀 → 0 dan → 0, maka fungsional 𝐽[𝑦]
dikatakan dapat terdiferensialkan. Fungsional linear 𝜑[] tersebut mempunyai
selisih dari ∆𝐽[], yaitu suku-suku yang mempunyai orde lebih dari 1
(fungsional yang tidak linear), yang nilainya sangat kecil relatif terhadap .
Fungsional linear 𝜑[] tadi disebut sebagai diferensial dari 𝐽[] (karena 𝑦
sudah dianggap tertentu) dan dinotasikan dengan 𝛿𝐽[]. Kemudian, untuk
diferensial dari 𝐽[𝑦] (𝑦 tidak dibuat tertentu) adalah fungsional linear dengan
dua argumen 𝑦 dan yaitu 𝛿𝐽[𝑦;].
Kali ini, akan dimulai pembahasan tentang nilai ekstrim dari suatu
fungsional. Untuk fungsi dengan 𝑛-variabel, misalnya saja 𝐹(𝑥1,… , 𝑥𝑛). Maka
𝐹(𝑥1,… , 𝑥𝑛) dikatakan memiliki ekstrimum relatif pada titik (𝑥 1,… , 𝑥 𝑛)
apabila ∆𝐹 = 𝐹 𝑥1,… , 𝑥𝑛 − 𝐹(𝑥 1,… , 𝑥 𝑛) memiliki tanda (positif atau
negatif) yang sama untuk setiap titik (𝑥1,… , 𝑥𝑛) yang termasuk dalam suatu
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
120
persekitaran dari (𝑥 1,… , 𝑥 𝑛). Nilai ekstrim, yakni 𝐹(𝑥 1,… , 𝑥 𝑛) adalah suatu
nilai minimum apabila ∆𝐹 ≥ 0 dan suatu maksimum apabila ∆𝐹 ≤ 0.
Untuk fungsional, dikatakan bahwa suatu fungsional 𝐽[𝑦] memiliki
ekstrimum relatif untuk 𝑦 = 𝑦 jika 𝐽 𝑦 − 𝐽[𝑦 ] memiliki tanda yang sama
(positif atau negatif) untuk setiap 𝑦 dalam persekitaran-휀 dari 𝑦 (𝑥); yakni
𝑦 − 𝑦 < 휀.
Karena suatu fungsi bisa berada pada 𝐶0[𝑎, 𝑏] atau di 𝐶1[𝑎, 𝑏] (ini karena
𝐶1[𝑎, 𝑏] ⊂ 𝐶0[𝑎, 𝑏]), maka kali ini akan dibahas tentang bagaimana norma
untuk fungsi tersebut.
Diketahui dari penjelasan di depan tentang kelas-kelas fungsi bahwa
pada kelas 𝐶0[𝑎, 𝑏] suatu norma didefinisikan sebagai berikut :
𝑦 0 = max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑦(𝑥) . Sedangkan untuk kelas 𝐶1[𝑎, 𝑏] suatu norma
didefinisikan sebagai berikut : 𝑦 1 = max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑦(𝑥) + max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑦′(𝑥) .
Oleh karena itu, akan didapat bahwa 𝑦 − 𝑦 1 < 휀 → 𝑦 − 𝑦 0 < 휀
Dikatakan bahwa 1 adalah suatu norma lemah dan 0 adalah norma
kuat.
Definisi 3.2.4
Suatu fungsional 𝐽[𝑦], ketika 𝑦 dianggap sebagai anggota 𝐶0[𝑎, 𝑏] atau ketika
𝑦 dianggap sebagai anggota 𝐶1[𝑎, 𝑏], mempunyai suatu ekstrimum lemah
pada 𝑦 jika terdapat 휀 > 0, sedemikian sehingga 𝐽 𝑦 − 𝐽[𝑦 ] memiliki tanda
yang sama untuk setiap 𝑦 dalam persekitaran-휀 dari 𝑦 (𝑥); yakni 𝑦 − 𝑦 1 <
휀.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
121
Definisi 3.2.5
Suatu fungsional 𝐽[𝑦], ketika 𝑦 dianggap sebagai anggota 𝐶0[𝑎, 𝑏] atau ketika
𝑦 dianggap sebagai anggota 𝐶1[𝑎, 𝑏], mempunyai suatu ekstrimum kuat pada
𝑦 jika terdapat 휀 > 0, sedemikian sehingga 𝐽 𝑦 − 𝐽[𝑦 ] memiliki tanda yang
sama untuk setiap 𝑦 dalam persekitaran-휀 dari 𝑦 (𝑥); yakni 𝑦 − 𝑦 0 < 휀.
Dari kedua definisi di atas, maka dapat dilihat bahwa suatu ekstrimum
kuat juga merupakan suatu ekstrimum lemah. Namun, suatu ekstrimum lemah
belum tentu merupakan suatu ekstrimum kuat.
Nilai ekstrim kuat pada fungsional adalah nilai ekstrim pada ruang yang
lebih besar (luas) atau dengan kata lain, ketika diambil definisi persekitaran
dari 𝑦 pada ruang yang lebih besar. Nilai ekstrim lemah pada fungsional
adalah nilai ekstrim pada ruang yang lebih kecil (sempit) atau dengan kata
lain, ketika diambil definisi persekitaran dari 𝑦 pada ruang yang lebih kecil.
Ruang yang lebih sempit itu adalah himpunan bagian sejati dari ruang yang
lebih besar. (𝐶𝑘[𝑎, 𝑏] ⊂ 𝐶1[𝑎, 𝑏] ⊂ 𝐶0[𝑎, 𝑏]) (untuk 𝑘 > 1)
Teorema 3.2.1
Syarat perlu untuk suatu fungsional yang terdiferensialkan 𝐽[𝑦] agar mencapai
titik ekstrim relatif untuk 𝑦 = 𝑦 adalah bahwa diferensial untuk 𝑦 = 𝑦 sama
dengan 0; yakni
𝛿𝐽 = 0
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
122
untuk 𝑦 = 𝑦 .
Bukti :
Pertama-tama akan dibuktikan untuk nilai maksimum terlebih dahulu.
Andaikan 𝐽[𝑦] mempunyai nilai maksimum relatif pada 𝑦 = 𝑦 sehingga
∆𝐽 = 𝐽 𝑦 − 𝐽[𝑦 ] ≤ 0, untuk 𝑦 pada persekitaran dari 𝑦 .
Menurut pengertian dari diferensial suatu fungsional di 𝑦 , didapat
∆𝐽 = 𝐽 𝑦 + − 𝐽[𝑦 ] sebagai suatu inkremen.
∆𝐽 = 𝛿𝐽 + 휀 , di mana 휀 → 0 dan → 0.
Karena 𝐽[𝑦] mempunyai nilai maksimum relatif pada 𝑦 = 𝑦 maka
∆𝐽 = 𝐽 𝑦 + − 𝐽[𝑦 ] ≤ 0
Misalkan 𝛿𝐽 ≠ 0, untuk 𝑦 = 𝑦 .
Ambil sembarang 0 ∈ 𝐷, dengan 𝐷 daerah asal fungsional 𝐽 sehingga
𝛿𝐽 0 ≠ 0.
Oleh karena itu, 𝛿𝐽 0 < 0 atau 𝛿𝐽 0 > 0.
Ambil 𝛿𝐽 0 > 0 sehingga ∆𝐽 0 = 𝛿𝐽 0 + 휀 0 > 0.
Karena diambil sembarang 0 ∈ 𝐷, dengan 𝐷 daerah asal fungsional 𝐽, maka
dapat dituliskan ∆𝐽 > 0.
Padahal ∆𝐽 = 𝐽 𝑦 + − 𝐽[𝑦 ] ≤ 0.
Terjadi kontradiksi sehingga pemisalan 𝛿𝐽 ≠ 0 adalah salah.
Oleh karena itu, 𝛿𝐽 = 0.
Kemudian, akan dibuktikan untuk nilai minimum.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
123
Andaikan 𝐽[𝑦] mempunyai nilai minimum relatif pada 𝑦 = 𝑦 sehingga
∆𝐽 = 𝐽 𝑦 − 𝐽[𝑦 ] ≥ 0, untuk 𝑦 pada persekitaran dari 𝑦 .
Menurut pengertian dari diferensial suatu fungsional di 𝑦 , didapat
∆𝐽 = 𝐽 𝑦 + − 𝐽[𝑦 ] sebagai suatu inkremen.
∆𝐽 = 𝛿𝐽 + 휀 , di mana 휀 → 0 dan → 0.
Karena 𝐽[𝑦] mempunyai nilai minimum relatif pada 𝑦 = 𝑦 maka
∆𝐽 = 𝐽 𝑦 + − 𝐽[𝑦 ] ≥ 0
Misalkan 𝛿𝐽 ≠ 0, untuk 𝑦 = 𝑦 .
Ambil sembarang 0 ∈ 𝐷, dengan 𝐷 daerah asal fungsional 𝐽 sehingga
𝛿𝐽 0 ≠ 0.
OLeh karena itu, 𝛿𝐽 0 < 0 atau 𝛿𝐽 0 > 0
Ambil 𝛿𝐽 0 < 0 sehingga ada kemungkinan bahwa ∆𝐽 0 = 𝛿𝐽 0 +
휀 0 < 0. (karena 휀 0 sangat kecil mendekati 0 )
Karena diambil sembarang 0 ∈ 𝐷, dengan 𝐷 daerah asal fungsional 𝐽, maka
dapat dituliskan ∆𝐽 < 0.
Padahal ∆𝐽 = 𝐽 𝑦 + − 𝐽[𝑦 ] ≥ 0.
Terjadi kontradiksi sehingga pemisalan 𝛿𝐽 ≠ 0 adalah salah.
Oleh karena itu, 𝛿𝐽 = 0.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
124
BAB IV
PERSAMAAN EULER
Persamaan Euler merupakan syarat perlu tercapainya titik ekstrim suatu
fungsional tertentu; yakni fungsional yang berberntuk 𝐽 𝑦 = 𝐹 𝑥,𝑦,𝑦′ 𝑑𝑥𝑏
𝑎 .
Jika suatu fungsional tersebut mencapai titik ekstrim pada suatu fungsi maka
fungsi itu akan memenuhi persamaan Euler.
Andaikan 𝐹(𝑥,𝑦, 𝑧) adalah suatu fungsi dengan derivatif parsial pertama
dan kedua-nya kontinu. Kemudian, di antara semua fungsi 𝑦(𝑥) yang termasuk
dalam 𝐶1[𝑎, 𝑏] dan memenuhi syarat batas yaitu 𝑦 𝑎 = 𝐴, 𝑦 𝑏 = 𝐵 (nilainya
tertentu di titik-titik ujung), akan ditemukan suatu fungsi, apabila fungsional
𝐽 𝑦 = 𝐹 𝑥, 𝑦,𝑦′ 𝑑𝑥𝑏
𝑎 memiliki suatu ekstrimum lemah.
Berikut ini adalah kurva-kurva yang memungkinkan untuk fungsi 𝑦(𝑥).
Gambar 4.1
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
125
Suatu fungsi yang membuat 𝐽[𝑦] memiliki nilai ekstrim, akan memenuhi suatu
persamaaan diferensial. Persamaan diferensial itu disebut persamaan Euler.
Teorema 4.1.1
Andaikan 𝐽 𝑦 adalah suatu fungsional dalam bentuk 𝐹 𝑥,𝑦, 𝑦′ 𝑑𝑥𝑏
𝑎, yang
terdefinisi untuk untuk semua fungsi 𝑦(𝑥) ∈ 𝐶1[𝑎, 𝑏] dan memenuhi syarat batas
yaitu 𝑦 𝑎 = 𝐴, 𝑦 𝑏 = 𝐵. Maka syarat perlu agar 𝐽 𝑦 memiliki suatu ekstrimum
pada fungsi 𝑦 = 𝑦 (𝑥) yaitu bahwa 𝑦 (𝑥) memenuhi persamaan Euler berikut ini
𝜕𝐹
𝜕𝑦 𝑥,𝑦 ,𝑦 ′ −
𝑑
𝑑𝑥 𝜕𝐹
𝜕𝑦 ′ 𝑥,𝑦 ,𝑦 ′ = 0.
Bukti :
Fungsional 𝐽[𝑦] terdefinisi pada domainnya yaitu 𝐷 = { 𝑦 𝑥 ∈ 𝐶1 𝑦 𝑎 =
𝐴,𝑦 𝑏 = 𝐵}.
Andaikan 𝑦(𝑥) diberikan suatu inkremen ℎ(𝑥), sehingga agar fungsi (𝑦 𝑥 +
ℎ 𝑥 ) tetap memenuhi syarat batas, maka harus dibuat ℎ 𝑎 = ℎ 𝑏 = 0.
𝐽 𝑦 memiliki suatu ekstrimum pada fungsi 𝑦 = 𝑦 (𝑥).
Pertama-tama cari 𝛿𝐽 untuk 𝑦 = 𝑦 (𝑥) terlebih dahulu.
∆𝐽 = 𝐽 𝑦 + ℎ − 𝐽 𝑦 = 𝐹 𝑥, (𝑦 + ℎ), (𝑦 ′ + ℎ′) 𝑑𝑥 − 𝐹 𝑥,𝑦 ,𝑦 ′ 𝑑𝑥𝑏
𝑎
𝑏
𝑎
= 𝐹 𝑥, (𝑦 + ℎ), (𝑦 ′ + ℎ′) − 𝐹(𝑥,𝑦 ,𝑦 ′) 𝑑𝑥𝑏
𝑎
Deret Taylor dari fungsi 𝐹(𝛼,𝛽, 𝛾) di sekitar (𝛼0,𝛽0, 𝛾0), yaitu
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
126
𝐹 𝛼,𝛽, 𝛾 = 𝐹 𝛼0 ,𝛽0 ,𝛾0
+ 𝛼 − 𝛼0 𝜕
𝜕𝛼𝐹 𝛼0 ,𝛽0 , 𝛾0 + 𝛽 − 𝛽0
𝜕
𝜕𝛽𝐹 𝛼0 ,𝛽0 ,𝛾0
+ 𝛾 − 𝛾0 𝜕
𝜕𝛾𝐹(𝛼0 ,𝛽0 ,𝛾0)
+1
2! 𝛼 − 𝛼0
𝜕
𝜕𝛼𝐹 𝛼0 ,𝛽0 ,𝛾0 + 𝛽 − 𝛽0
𝜕
𝜕𝛽𝐹 𝛼0 ,𝛽0 ,𝛾0
+ 𝛾 − 𝛾0 𝜕
𝜕𝛾𝐹(𝛼0 ,𝛽0 ,𝛾0)
2
+⋯
(Untuk bagian turunan parsial, pangkat dua di sini berarti turunan parsial kedua)
Deret Taylor dari fungsi 𝐹(𝑥, 𝑦 + ℎ , 𝑦 ′ + ℎ′ ) di sekitar (𝑥,𝑦 ,𝑦 ′) adalah
sebagai berikut :
𝐹 𝑥, 𝑦 + ℎ , 𝑦 ′ + ℎ′
= 𝐹 𝑥,𝑦 ,𝑦 ′
+ 𝑥 − 𝑥 𝜕
𝜕𝑥𝐹 𝑥,𝑦 ,𝑦 ′ + 𝑦 + ℎ − 𝑦
𝜕
𝜕 𝑦 + ℎ 𝐹 𝑥,𝑦 ,𝑦 ′
+ 𝑦 ′ + ℎ′ − 𝑦 ′ 𝜕
𝜕 𝑦 ′ + ℎ′ 𝐹 𝑥,𝑦 ,𝑦 ′
+1
2! 𝑥 − 𝑥
𝜕
𝜕𝑥𝐹 𝑥,𝑦 ,𝑦 ′ + 𝑦 + ℎ − 𝑦
𝜕
𝜕 𝑦 + ℎ 𝐹 𝑥,𝑦 ,𝑦 ′
+ 𝑦 ′ + ℎ′ − 𝑦 ′ 𝜕
𝜕 𝑦 ′ + ℎ′ 𝐹 𝑥,𝑦 ,𝑦 ′
2
+⋯
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
127
𝐹 𝑥, 𝑦 + ℎ , 𝑦 ′ + ℎ′
= 𝐹 𝑥,𝑦 ,𝑦 ′
+ ℎ𝜕
𝜕 𝑦 + ℎ 𝐹 𝑥,𝑦 ,𝑦 ′ + ℎ′
𝜕
𝜕 𝑦 ′ + ℎ′ 𝐹 𝑥,𝑦 ,𝑦 ′
+1
2! ℎ
𝜕
𝜕 𝑦 + ℎ 𝐹 𝑥,𝑦 ,𝑦 ′ + ℎ′
𝜕
𝜕 𝑦 ′ + ℎ′ 𝐹 𝑥,𝑦 ,𝑦 ′
2
+⋯
(Untuk bagian turunan parsial, pangkat dua di sini berarti turunan parsial kedua)
𝐹 𝑥, 𝑦 + ℎ , 𝑦 ′ + ℎ′
= 𝐹 𝑥,𝑦 ,𝑦 ′
+ ℎ𝜕
𝜕 𝑦 + ℎ 𝐹 𝑥,𝑦 ,𝑦 ′ + ℎ′
𝜕
𝜕 𝑦 ′ + ℎ′ 𝐹 𝑥,𝑦 ,𝑦 ′
+1
2! ℎ
𝜕
𝜕 𝑦 + ℎ 𝐹 𝑥,𝑦 ,𝑦 ′ + ℎ′
𝜕
𝜕 𝑦 ′ + ℎ′ 𝐹 𝑥,𝑦 ,𝑦 ′
2
+⋯
𝑇1 𝑥, 𝑦 + ℎ , 𝑦 ′ + ℎ′
= 𝐹 𝑥,𝑦 ,𝑦 ′
+ ℎ𝜕
𝜕 𝑦 + ℎ 𝐹 𝑥,𝑦 ,𝑦 ′ + ℎ′
𝜕
𝜕 𝑦 ′ + ℎ′ 𝐹 𝑥,𝑦 ,𝑦 ′
(polinom taylor berderajat 1 dari 𝐹)
Oleh karena itu,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
128
𝐹 𝑥, 𝑦 + ℎ , 𝑦 ′ + ℎ′ = 𝑇1 𝑥, 𝑦 + ℎ , 𝑦 ′ + ℎ′ + 𝑅1 𝑥, 𝑦 + ℎ , 𝑦 ′ + ℎ′
Dengan 𝑅1 𝑥, 𝑦 + ℎ , 𝑦 ′ + ℎ′ adalah suku sisa dari deret Taylor; yakni :
𝑅1 𝑥, 𝑦 + ℎ , 𝑦 ′ + ℎ′
=1
2! ℎ
𝜕
𝜕 𝑦 + ℎ 𝐹 𝑥,𝑦 ,𝑦 ′ + ℎ′
𝜕
𝜕 𝑦 ′ + ℎ′ 𝐹 𝑥,𝑦 ,𝑦 ′
2
+⋯
Menurut ketaksamaan taylor untuk 𝐹 fungsi dengan 3 variabel akan didapat :
𝑅1 𝑥, 𝑦 + ℎ , 𝑦 ′ + ℎ′ ≤𝑀
2!( 𝑦 + ℎ − 𝑦 + 𝑦 ′ + ℎ′ − 𝑦 ′ )2
𝑅1 𝑥, 𝑦 + ℎ , 𝑦 ′ + ℎ′ ≤𝑀
2!( ℎ + ℎ′ )2
Sekarang, hitung ∆𝐽 dengan mengaplikasikan deret Taylor dari fungsi
𝐹(𝑥, 𝑦 + ℎ , 𝑦 ′ + ℎ′ ) di sekitar (𝑥,𝑦 ,𝑦 ′)
Oleh karena itu, didapat :
∆𝐽 = 𝐹 𝑥, 𝑦 + ℎ , 𝑦 ′ + ℎ′ − 𝐹 𝑥,𝑦 ,𝑦 ′ 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
∆𝐽 = ℎ𝜕
𝜕(𝑦 + ℎ)𝐹 (𝑥,𝑦 ,𝑦 ′) + ℎ′
𝜕
𝜕(𝑦 ′ + ℎ′)𝐹(𝑥,𝑦 ,𝑦 ′)
𝑏
𝑎
+1
2! ℎ
𝜕
𝜕(𝑦 + ℎ)𝐹 (𝑥,𝑦 ,𝑦 ′) + ℎ′
𝜕
𝜕(𝑦 ′ + ℎ′)𝐹(𝑥, 𝑦 ,𝑦 ′)
2
+⋯ 𝑑𝑥
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
129
∆𝐽 = ℎ𝜕
𝜕(𝑦 + ℎ)𝐹 (𝑥,𝑦 ,𝑦 ′) + ℎ′
𝜕
𝜕(𝑦 ′ + ℎ′)𝐹(𝑥,𝑦 ,𝑦 ′) 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
+1
2! ℎ
𝜕
𝜕(𝑦 + ℎ)𝐹 (𝑥,𝑦 ,𝑦 ′)
𝑏
𝑎
+ ℎ′𝜕
𝜕(𝑦 ′ + ℎ′)𝐹(𝑥, 𝑦 ,𝑦 ′)
2
𝑑𝑥 +⋯
Padahal 𝑅1 𝑥, 𝑦 + ℎ , 𝑦 ′ + ℎ′ ≤𝑀
2!( ℎ + ℎ′ )2.
Oleh karena itu, untuk ℎ ∈ 𝐷 sedemikian sehingga ℎ → 0,
suku-suku yang mempunyai orde lebih dari 1 nilainya sangat kecil relatif
terhadap ℎ .
(𝑦 + ℎ) dan (𝑦 ′ + ℎ′) adalah variabel bebas - variabel bebas dalam fungsional
ℎ𝜕
𝜕(𝑦 +ℎ)𝐹 (𝑥,𝑦 ,𝑦 ′) + ℎ′
𝜕
𝜕(𝑦 ′+ℎ ′ )𝐹(𝑥,𝑦 ,𝑦 ′) 𝑑𝑥
𝑏
𝑎, sehingga dapat dituliskan
𝑦 + ℎ = 𝑦 dan (𝑦 ′+ ℎ′) = 𝑦′. Oleh karena itu fungsional tersebut menjadi
ℎ𝜕
𝜕𝑦𝐹 (𝑥,𝑦 ,𝑦 ′) + ℎ′
𝜕
𝜕𝑦 ′𝐹(𝑥,𝑦 ,𝑦 ′) 𝑑𝑥
𝑏
𝑎. Fungsional ℎ
𝜕
𝜕𝑦𝐹 (𝑥,𝑦 ,𝑦 ′) +
𝑏
𝑎
ℎ′𝜕
𝜕𝑦 ′𝐹(𝑥,𝑦 ,𝑦 ′) 𝑑𝑥 adalah fungsional linear.
Oleh karena itu diferensial dari 𝐽[𝑦] untuk 𝑦 = 𝑦 (𝑥) adalah.
𝛿𝐽 = 𝜕𝐹
𝜕𝑦
𝑏
𝑎
𝑥,𝑦 ,𝑦 ′ ℎ +𝜕𝐹
𝜕𝑦′ 𝑥,𝑦 ,𝑦 ′ ℎ′ 𝑑𝑥
Menurut teorema 3.2.1 bahwa syarat perlu agar 𝐽[𝑦] memiliki suatu ekstrimum
pada 𝑦 = 𝑦(𝑥) adalah
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
130
𝛿𝐽 = 𝜕𝐹
𝜕𝑦
𝑏
𝑎
𝑥,𝑦 ,𝑦 ′ ℎ +𝜕𝐹
𝜕𝑦′ 𝑥,𝑦 ,𝑦 ′ ℎ′ 𝑑𝑥 = 0
Menurut lema 3.2.2, didapat :
𝜕𝐹
𝜕𝑦 𝑥,𝑦 ,𝑦 ′ −
𝑑
𝑑𝑥 𝜕𝐹
𝜕𝑦 ′ 𝑥,𝑦 ,𝑦 ′ = 0
Contoh 4.1.1
Andaikan 𝐷 = 𝑦 ∈ 𝐶1 0,1 | 𝑦 0 = 0,𝑦 1 = 1 . Diberikan suatu fungsi
𝐼:𝐷 → 𝑅, dengan bentuk 𝐼[𝑦] = 𝑦′ 𝑥 − 1 21
0𝑑𝑥.
Akan ditunjukkan bahwa 𝑦 𝑥 = 𝑥, 𝑥 ∈ [0,1], dengan 𝑦 ∈ 𝐷 akan membuat 𝐼[𝑦]
mencapai nilai minimum.
Andaikan 𝐹 𝑥,𝑦, 𝑦′ = 𝑦′ − 1 2, sehingga
𝜕𝐹
𝜕𝑦= 0 dan
𝜕𝐹
𝜕𝑦 ′= 2(𝑦′ − 1)
Sekarang, persamaan Euler-nya menjadi
𝜕𝐹
𝜕𝑦 𝑥,𝑦 ,𝑦 ′ −
𝑑
𝑑𝑥 𝜕𝐹
𝜕𝑦 ′ 𝑥,𝑦 ,𝑦 ′ = 0 −
𝑑
𝑑𝑥 2 𝑦 ′ − 1 = 0, sehingga
𝑑
𝑑𝑥 2 𝑦 ′(𝑥) − 1 = 0, untuk setiap 𝑥 ∈ [0,1]
Solusi persamaan diferensial di atas dapat dicari dengan mengintegralkan kedua
ruas.
𝑑
𝑑𝑥 2 𝑦 ′ − 1 = 0, sehingga
𝑑
𝑑𝑥 2 𝑦 ′ − 1 𝑑𝑥 = 0𝑑𝑥
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
131
2 𝑦 ′(𝑥) − 1 = 𝑐, dengan 𝑐 konstan
𝑦 ′ 𝑥 − 1 =𝑐
2
𝑦 ′ 𝑥 =𝑐
2+ 1
Andaikan 𝑐
2+ 1 = 𝐴 , sehingga
𝑦 ′ 𝑥 = 𝐴
𝑦 ′ 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐴𝑑𝑥
𝑦 𝑥 = 𝐴𝑥 + 𝐵, di mana 𝐴 dan 𝐵 adalah konstan
𝑦 ∈ 𝐷, sehingga 𝑦 memenuhi syarat batas yaitu : 𝑦 0 = 0, dan 𝑦 1 = 1
Oleh karena itu didapat :
𝐴(0) + 𝐵 = 0, dan
𝐴(1) + 𝐵 = 1
didapat : 𝐴 = 1 dan 𝐵 = 0
Oleh karena itu, solusi dari persamaan Euler tersebut adalah 𝑦 𝑥 = 𝑥, 𝑥 ∈ [0,1]
𝑦′ − 1 2 ≥ 0, untuk setiap 𝑥 ∈ [0,1], sehingga
𝐼 𝑦 = 𝑦′ 𝑥 − 1 21
0𝑑𝑥 ≥ 0, untuk semua 𝑦 ∈ 𝐶1[0,1] (menurut sifat
pembandingan integral tentu).
𝐼[𝑦 ] = 𝑦 ′ 𝑥 − 1 2
1
0
𝑑𝑥
= 1− 1 21
0𝑑𝑥
= 01
0𝑑𝑥
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
132
= 𝑐 − 𝑐 = 0
Karena ∆𝐼[𝑦] ≥ 0, untuk setiap 𝑦 ∈ 𝐷, maka 𝐼[𝑦] akan mencapai minimum
mutlak (minimum global) di 𝑦 𝑥 = 𝑥.
Contoh 4.1.2
Andaikan 𝐷 = 𝑦 ∈ 𝐶1 0,2 | 𝑦 0 = 1,𝑦 2 = 5 . Diberikan suatu fungsi
𝐽:𝐷 → 𝑅, dengan bentuk 𝐽[𝑦] = − 𝑦′ 𝑥 − 2 22
0𝑑𝑥.
Akan ditunjukkan bahwa 𝑦 𝑥 = 2𝑥 + 1, 𝑥 ∈ [0,2], dengan 𝑦 ∈ 𝐷 akan membuat
𝐽[𝑦] mencapai nilai maksimum.
Andaikan 𝐹 𝑥,𝑦, 𝑦′ = − 𝑦′ − 2 2, sehingga
𝜕𝐹
𝜕𝑦= 0 dan
𝜕𝐹
𝜕𝑦 ′= −2(𝑦′ − 2)
Sekarang, persamaan Euler-nya menjadi
𝜕𝐹
𝜕𝑦 𝑥,𝑦 ,𝑦 ′ −
𝑑
𝑑𝑥 𝜕𝐹
𝜕𝑦 ′ 𝑥,𝑦 ,𝑦 ′ = 0 −
𝑑
𝑑𝑥 −2 𝑦 ′ − 2 = 0, sehingga
𝑑
𝑑𝑥 −2 𝑦 ′(𝑥) − 2 = 0, untuk setiap 𝑥 ∈ [0,2]
Solusi persamaan diferensial di atas dapat dicari dengan mengintegralkan kedua
ruas.
𝑑
𝑑𝑥 −2 𝑦 ′ − 2 = 0, sehingga
𝑑
𝑑𝑥 −2 𝑦 ′ − 2 𝑑𝑥 = 0𝑑𝑥
−2 𝑦 ′(𝑥)− 2 = 𝑐, dengan 𝑐 konstan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
133
𝑦 ′ 𝑥 − 2 = −𝑐
2
𝑦 ′ 𝑥 = −𝑐
2+ 2
Andaikan −𝑐
2+ 2 = 𝐴 , sehingga
𝑦 ′ 𝑥 = 𝐴
𝑦 ′ 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐴𝑑𝑥
𝑦 𝑥 = 𝐴𝑥 + 𝐵, di mana 𝐴 dan 𝐵 adalah konstan
𝑦 ∈ 𝐷, sehingga 𝑦 memenuhi syarat batas yaitu : 𝑦 0 = 1, dan 𝑦 2 = 5
Oleh karena itu didapat :
𝐴(0) + 𝐵 = 1, dan
𝐴(2) + 𝐵 = 5
didapat : 𝐴 = 2 dan 𝐵 = 1
Oleh karena itu, solusi dari persamaan Euler tersebut adalah 𝑦 𝑥 = 2𝑥 + 1,
𝑥 ∈ [0,2]
𝑦′ − 2 2 ≥ 0, untuk setiap 𝑥 ∈ [0,2], sehingga
𝑦′ 𝑥 − 2 22
0𝑑𝑥 ≥ 0, untuk semua 𝑦 ∈ 𝐶1[0,2] (menurut sifat pembandingan
integral tentu).
𝐽 𝑦 = − 𝑦′(𝑥)− 2 22
0𝑑𝑥 = − 𝑦′ 𝑥 − 2 22
0𝑑𝑥
Oleh karena itu, 𝐽 𝑦 = − 𝑦′(𝑥) − 2 22
0𝑑𝑥 ≤ 0 , untuk semua 𝑦 ∈ 𝐶1[0,2].
𝐽[𝑦 ] = − 𝑦 ′ 𝑥 − 2 2
1
0
𝑑𝑥
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
134
= 2− 2 21
0𝑑𝑥
= 01
0𝑑𝑥
= 𝑐 − 𝑐 = 0
Karena ∆𝐽[𝑦] ≤ 0, untuk setiap 𝑦 ∈ 𝐷, maka 𝐽[𝑦] akan mencapai maksimum
mutlak di 𝑦 𝑥 = 2𝑥 + 1.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
135
BAB V
PENUTUP
A. Kesimpulan
Berdasarkan pembahasan, didapat kesimpulan sebagai berikut:
1. Suatu fungsional 𝐽[𝑦] memiliki ekstremum relatif untuk 𝑦 = 𝑦 jika
𝐽 𝑦 − 𝐽[𝑦 ] memiliki tanda yang sama (positif atau negatif) untuk setiap 𝑦
dalam persekitaran-휀 dari 𝑦 (𝑥); yakni 𝑦 − 𝑦 < 휀.
Nilai ekstrim kuat pada fungsional adalah nilai ekstrim pada ruang
yang lebih besar (luas) atau dengan kata lain, ketika diambil definisi
persekitaran dari 𝑦 pada ruang yang lebih besar. Nilai ekstrim lemah pada
fungsional adalah nilai ekstrim pada ruang yang lebih kecil (sempit) atau
dengan kata lain, ketika diambil definisi persekitaran dari 𝑦 pada ruang
yang lebih kecil. Ruang yang lebih sempit itu adalah himpunan bagian
sejati dari ruang yang lebih besar. (𝐶𝑘[𝑎, 𝑏] ⊂ 𝐶1[𝑎, 𝑏] ⊂ 𝐶0[𝑎, 𝑏]) (untuk
𝑘 > 1)
Misal, suatu fungsional 𝐽[𝑦], ketika 𝑦 dianggap sebagai anggota
𝐶0[𝑎, 𝑏] atau ketika 𝑦 dianggap sebagai anggota 𝐶1[𝑎, 𝑏].
Suatu fungsional 𝐽[𝑦], ketika ketika 𝑦 dianggap sebagai anggota
𝐶0[𝑎, 𝑏] atau ketika 𝑦 dianggap sebagai anggota 𝐶1[𝑎, 𝑏], mempunyai
suatu ekstrimum lemah pada 𝑦 jika terdapat 휀 > 0, sedemikian sehingga
𝐽 𝑦 − 𝐽[𝑦 ] memiliki tanda yang sama untuk setiap 𝑦 dalam persekitaran-휀
dari 𝑦 (𝑥); yakni 𝑦 − 𝑦 1 < 휀.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
136
Suatu fungsional 𝐽[𝑦], ketika 𝑦 dianggap sebagai anggota 𝐶0[𝑎, 𝑏]
atau ketika 𝑦 dianggap sebagai anggota 𝐶1[𝑎, 𝑏], mempunyai suatu
ekstrimum kuat pada 𝑦 jika terdapat 휀 > 0, sedemikian sehingga 𝐽 𝑦 −
𝐽[𝑦 ] memiliki tanda yang sama untuk setiap 𝑦 dalam persekitaran-휀 dari
𝑦 (𝑥); yakni 𝑦 − 𝑦 0 < 휀.
Berikut teorema mengenai nilai ekstrim suatu fungsional :
Syarat perlu untuk suatu fungsional yang terdiferensialkan 𝐽[𝑦] agar
mencapai titik ekstrim relatif untuk 𝑦 = 𝑦 adalah bahwa diferensial untuk
𝑦 = 𝑦 sama dengan 0; yakni
𝛿𝐽 ℎ = 0
untuk 𝑦 = 𝑦 .
Pembuktiannya dibagi dua bagian yang pertama yaitu untuk nilai
maksimum kemudian yang kedua untuk nilai minimum. Keduanya
memakai metode kontradiksi.
2. Persamaan Euler merupakan syarat perlu tercapainya titik ekstrim suatu
fungsional tertentu; yakni fungsional yang berberntuk 𝐽 𝑦 =
𝐹 𝑥, 𝑦,𝑦′ 𝑑𝑥𝑏
𝑎 . Jika suatu fungsional tersebut mencapai titik ekstrim
pada suatu fungsi maka fungsi itu akan memenuhi persamaan Euler.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
137
3. Berikut bunyi teorema tentang persamaan Euler :
Andaikan 𝐽 𝑦 adalah suatu fungsional dalam bentuk
𝐹 𝑥,𝑦,𝑦′ 𝑑𝑥𝑏
𝑎, yang terdefinisi untuk untuk semua fungsi 𝑦(𝑥) ∈
𝐶1[𝑎, 𝑏] dan memenuhi syarat batas yaitu 𝑦 𝑎 = 𝐴, 𝑦 𝑏 = 𝐵. Maka
syarat perlu agar 𝐽 𝑦 memiliki suatu ekstrimum pada fungsi 𝑦 = 𝑦 (𝑥)
yaitu bahwa 𝑦 (𝑥) memenuhi persamaan Euler berikut ini
𝜕𝐹
𝜕𝑦 𝑥, 𝑦 ,𝑦 ′ −
𝑑
𝑑𝑥 𝜕𝐹
𝜕𝑦 ′ 𝑥,𝑦 ,𝑦 ′ = 0.
Pembuktiannya, pertama dekati fungsi 𝐹 𝑥,𝑦,𝑦′ dengan deret
Taylor. Kemuadian cari diferensial dari fungsional 𝐽[𝑦]. Dengan
ketaksamaan Taylor, akan ditemukan fungsional linear 𝛿𝐽 sebagai
diferensialnya. Dengan menggunakan teorema tentang nilai ekstrim fungsi;
𝛿𝐽 = 0, akan ditemukan bentuk persamaan diferensial yang disebut
persamaan Euler.
B. Saran
Saran untuk penelitian lebih lanjut yaitu tentang bagaimana persamaan
Euler untuk fungsional dengan variabel bebas yaitu fungsi-fungsi beberapa
variabel.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
138
DAFTAR PUSTAKA
Gelfand, I,M. dan S.V. Fomin. 1963. Calculus of Variations. New Jersey :
Prentice-Hall, Inc.
Stewart, James. 2001. Kalkulus Edisi Keempat Jilid 1. Jakarta : Erlangga.
Stewart, James. 2003. Kalkulus Edisi Keempat Jilid 2. Jakarta : Erlangga.
Razali, Muhammad, Mahmud N. Siregar, dan Faridawaty Marpaung. 2010.
Kalkulus Diferensial. Bogor : Ghalia Indonesia.
Morgan, Frank. 2005. Real Analysis and Applications. USA : American
Mathematical Society.
Bartle, Robert G. dan Donald R. Sherbert. 2000. Introduction to Real Analysis
Third Edition. New York : John Wiley & Sons, Inc.
Waluya, S.B. 2006. Persamaan Diferensial. Yogyakarta : Graha Ilmu.
Nugroho, Didit Budi.2001. Persamaan Diferensial Biasa dan Aplikasinya.
Yogyakarta : Graha Ilmu.
Khuri, Andre I. Advanced Calculus with Applications in Statistics Second Edition.
USA : Wiley-Interscience.
Gozali, Sumanang Muhtar. 2010. Pengantar Analisis Fungsional. Bandung :
Universitas Pendidikan Indonesia.
Folland, G.B. . Higher-Order Derivatives and Taylor's Formula in
Several Variables. .
http://mathsci.kaist.ac.kr/~nipl/am621/lecturenotes/Euler-Lagrange_equation.pdf
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI