Pitagorina Teorema - Dokazi
-
Upload
slavica-zivkovic -
Category
Documents
-
view
2.123 -
download
13
Transcript of Pitagorina Teorema - Dokazi
REGIONALNI CENTAR ZA TALENTE - BEOGRAD II - 2009
PITAGORINA TEOREMA - DOKAZI
PYTHAGORAS THEOREM - PROOFS
AUTOR LUKA ŽIVKOVIĆ VII6 OŠ Branko Ćopić Beograd
NASTAVNIK SLAĐANA KOSAČEVIĆ nastmat OŠ Branko Ćopić Beograd
MENTOR VESNA RAJŠIĆ prof matematike ETŠ Nikola Tesla Beograd
REZIME
Pitagorina teorema je pojam u geometriji koji definiše odnos između tri stranice
pravouglog trougla Ime je dobila po starogrčkom matematičaru Pitagori koji je živeo u 6
veku pne On je iskoristio saznanja mnogih naucnika koji su živeli pre njega i sažeto ih
izrazio u stavu Površina kvadrata nad hipotenuzom je jednaka zbiru površina nad
katetama a zatim je to matematičkim putem i dokazao Ova saznanja bila su poznata još
vavilonskim kineskim indijskim i egipatskim naučnicima mnogo vekova ranije Ipak
starogrčka matematika je bogatija i svestranija od dotadašnjih nauka jer je težila ka tome
da se sva saznanja dokažu i obrazlože na naučni način Prvi poznati pisani dokaz
Pitagorine teoreme nalazi se u Euklidovim Elementima Ova teorema je bila inspiracija
mnogim naučnicima kroz vekove sve do današnjih dana Na razne načine izvođeni su
dokazi koji su vodili ka novim korisnim i zanimljivim zaključcima
Ključne reči Pitagorina teorema pravougli trougao hipotenuza katete iracionalni
brojevi Pitagorine trojke Pitagorino drvo
SUMMARY
Pythagorean theorem is a concept in geometry which defines relationship between three
sides of a right triangle The name was given by ancient Greek mathematician Pythagora
who had lived in 6century BC He used knowledges of many scientists who lived before
him and summarized them pointed in proposition The square of the hypotenuse of a
right triangle is equal to the sum of the squares on the other two sides Theese findings
were known to Babylonian Chinese Indian Egyptian scientists meny centuries before
However mathematic of the ancient Greeks is more richfull and versatile from former
sciences because it was streaming for prooving all findings and scientificaly explaines
First known written proof of Pythagorean theorem was found in Euclids Elements
Theese theorem was inspiration for many scientists through centuries allthrough
nowadays Proofs were taken in many diferent ways which led to new useful and
interesting conclusions
Key words Pythagorean theorem right triangle hypotenuse catheti irrational numbers
Pythagorean triple Pythagoras tree
Sadržaj 1 Euklidov dokaz Pitagorine teoreme i obratna Pitagorina teorema
2 Leonardov dokaz i neki poznati dokazi
3 Primena Pitagorine teoreme
4 Konstrukcija iracionalnih brojeva
5 Pitagorine trojke
6 Pitagorino drvo
UVOD
Geometrija je oduvek bila sastavni deo života ljudi od davnina Veruje se da je još na
glinenim pločicama Vavilonaca zapisana Pitagorina teorema Odnos duže stranice prema
dvema kraćim u pravouglom trouglu mogli su izmeriti jednostavnim prebrojavanjem
kvadratića U starom Egiptu su se služili metodom vezivanja čvorova na užetu za
formiranje pravouglog trougla tako što su na kraćim stranicama imali dva odnosno tri a
na dužoj pet čvorova (Slika 1) Tek su starogrčki naučnici ovoj grani nauke dali pravu
dimenziju uvodeći u geometriju pojam dokaza Po mnogim istoričarima prvi grčki
naučnik filozof i matematičar koji je dao neku vrstu dokaza i potvrdio svoje teoreme bio
je Tales iz Mileta Tales je pomoću podudarnosti pravouglih trouglova posmatrajući brod
Slika 1
sa morske obale utvrdio njegovu udaljenost Visinu Keopsove piramide uspeo je da
odredi koristeći sličnost jednakokrakih pravouglih trouglova mereći senku uspravno
zabodenog štapa onda kada je senka štapa jednaka njegovoj visini
Jedan od njegovih najdarovitijih sledbenika i jedan od najpoznatijih starogrčkih filozofa i
matematičara bio je Pitagora iz Samosa Po nekim istoričarima su on i njegova Pitagorej-
ska škola uveli deduktivnu metodu u oblast matematikeTo je zapravo logičko zaključiva-
nje gde se do pojedinačnih zaključaka dolazi prikupljanjem opštih činjenica Pitagora se
posebno bavio geometrijom i teorijom brojeva Verovao je da se sve relacije i odnosi mo-
gu svesti na operacije sa brojevima Do tog zaključka su on i njegovi sledbenici Pitago-
rejci došli kroz mnoga opažanja u oblasti prvenstveno matematike ali i muzike i astro-
nomije Pitagora je zapazio da se harmonija u tonovima postiže kada su koeficijenti žica
na datom instrumentu celi brojevi Time je doprineo stvaranju matematičke teorije muzi-
ke Pitagorejci su izučavali problem nesamerljivih veličina jer su dokazali logičkim pu-
tem da postoje nesamerljive duži kojima ne odgovara nijedan do tada poznati broj Ono
što se danas najviše vezuje za njegovo ime jeste Pitagorina teorema Iz tog perioda nije
ostalo puno pisanih tragova ali se pretpostavlja da Pitagorejcima kvadrat nije označavao
množenje dužine stranice sa samom sobom već je označavao geometrijski lik odnosno
kvadrat koji je konstruisan na stranicama Pitagori se pripisuje osnovni deo sadržaja prve
dve knjige Euklidovih ˝Elemenata˝ koje se i do današnjih dana navode kao osnov za
izučavanje geometrije i matematike u celini
1 DOKAZ PITAGORINE TEOREME - PO EUKLIDU
Osnovni stavovi koje koristimo za dokazivanje Pitagorine teoreme su sledeća pravila o
Podudarnosti trouglova
Stav (SUS) Dva trougla su podudarna ako imaju jednake po dve odgovarajuće
stranice i njima zahvaćene uglove
Stav (USU) Trouglovi koji imaju po jednu stranicu i na njima nalegle jednake
odgovarajuće uglove jednake su podudarni
Stav (SSS) Ako su sve tri stranice jednog trougla jednake odgovarajućim
stranicama drugog trouglatada su oni podudarni
Stav (SSU) Ako su dve stranice i ugao naspram veće od njih jednog trougla
jednaki odgovarajućim stranicama i uglu tog trouglatada su ovi trouglovi
podudarni
Osna simetrija
Teorema U ravanskoj geometriji figura simetrična nekoj figuri F je njoj direktno
podudarna figura F`
Rotacija
Teorema Rotacija primenjena na figuru F daje direktno podudarnu figuru F`
11 Euklidov dokaz
Najsadržajniji prikaz Pitagorine teoreme dao je Euklid u svojim Elementima postavivši
je na posebno mesto u geometriji U prvoj knjizi u 47 stavu stoji sledeći iskaz
Kod pravouglih trouglova je kvadrat na strani naspram pravog ugla (na hipotenuzi)
jednak kvadratima na stranama koje obrazuju prav ugao (na katetama)
Neka je ABC pravougli trougao sa pravim uglom BAC Tvrdim da je kvadrat na BC
Jednak kvadratima na BA i AC(1)
Na osnovu 46 stava iste knjige na stranici BC konstruišimo kvadrat BDEC a na BA i
Slika 2
AC kvadrate kojima su dijagonale FB i GC Kroz tačku A povući ćemo pravu AH para-
lelnu svakoj od pravih BD i CE a zatim povući prave AD i IC (Slika 2) Pošto je svaki
od uglova BAC i BAF prav primenom 14 stava ove knjige znamo da prave AC AF
povučene nad pravom BA kroz istu njenu tačku A a sa raznih strana čine susedne ug-
love jednake dvema pravim uglovima pa su prave CA i AF u istoj pravoj Iz istog raz-
loga su i prave BA i AG u istoj pravoj Ugao DBC jednak je uglu IBA jer su oba prava
A kad dodamo svakom od njih ugao ABC biće ceo ugao DBA jednak celom uglu IBC
što se vidi iz 2 aksioma navedene knjige Pošto je strana DB jednaka strani BC a IB
strani BA to su dve strane DB i BA jednake stranama IB i BC i to odgovarajućim a
ugao DBA jednak uglu IBC a tada je i osnovica AD jednaka osnovici IC i trougao
ABD jednak trouglu IBC a prema stavu o dve jednake stranice i uglu između njih Ako
uzmemo u obzir stav 41 ove knjige paralelogram čija je dijagonala BH je dva puta veći
od trougla ABD jer imaju istu osnovicu BD i između su istih paralelnih BD i AH I kva-
drat FB je dva puta veći od trougla IBC jer i oni imaju istu osnovicu IB i između istih su
paralela IB i FC Prema tome je paralelogram BH jednak kvadratu FB Na sličan način
se pomoću povučenih pravih AE i BK može dokazati da je paralelogram CH jednak kva-
dratu GC Prema tome je ceo kvadrat BDEC jednak dvama kvadratima FB i GC Kvadrat
BDEC je konstruisan na BC a kvadrati FB GC na BA i AC Prema tome je kvadrat na
strani BC jednak kvadratima na stranama BA i AC
Dakle kod pravouglih trouglova je kvadrat na strani naspram pravog ugla ( na hipotenu-
zi) jednak kvadratima na stranama koje obrazuju prav ugao ( na katetama) A to je treba-
lo dokazati
U suštini se ovaj dokaz zasniva na tome da se iz podudarnosti trouglova IBC i ABD i
njihove jednakosti sa polovinama kvadrata FB i paralelograma BH zaključuje da je kva-
drat FB jednak paralelogramu BH
12 Obratna Pitagorina teorema
Koristeći prethodni dokaz stava 47 prve knjige Elemenata Euklid postavlja problem u
obrnutom smeru u završetku ove knjige u stavu 48 što još pouzdanije potvrđuje istini-
tost Pitagorine teoreme ( slika 3)
Ako je kod trougla kvadrat na jednoj strani jednak kvadratima na ostalim dvema stra-
nama onda je ugao koji obrazuju ove dve strane prav
U trouglu ABC kvadrat na jednoj njegovoj strani BC jednak je kvadratima na stranama
BA i AC Tvrdim da je ugao BAC prav(1)
Na veoma jednostavan način to je i dokazano Kroz tačku A povuče se prava AD upra-
vna na AC i prenese rastojanje AD jednako rastojanju AB zatim se spoje tačke D i C
Pošto je DA jednako AB onda je kvadrat na DA jednak kvadratu na AB Ako svakom
Slika 3
od njih dodamo kvadrat na AC onda će kvadrati na DA i AC biti jednaki kvadratima na
BA i AC Kvadrat na DC je jednak kvadratima na DA i AC jer je ugao DAC prav što
smo već zaključili u prethodnom stavu Pretpostavljeno je da je i kvadratima na BA i AC
jednak kvadrat na BC pa prema tome je i kvadrat na DC jednak kvadratu na BC Zato je i
strana DC jednaka strani BC Pošto je strana DA jednaka strani AB a AC zajednička
strana onda su i dve strane DA i AC jednake stranama BA i AC a i hipotenuza DC
jednaka je hipotenuzi BC -prema stavu I8 koji kaže da ako dva trougla imaju po dve
stranice jednake i jednake osnovice moraju biti i jednaki uglovi jednakih stranica pa
sledi da je ugao DAC koji je prav jednak uglu BAC koji je takođe prav
Dakle ako je kod trougla kvadrat na jednoj strani jednak kvadratima na ostalim dvema
stranama onda je ugao koji obrazuju ove dve strane prav A to je trebalo dokazati
2 NEKI POZNATI DOKAZI
21 Leonardov dokaz
Čuveni italijanski umetnik i naučnik Leonardo da Vinči izveo je dokaz Pitagorine teore-
me (3) uz pomoć simetrije i rotacije koju smo već definisali
Neka je ABC pravougli trougao čiji je prav ugao u temenu C Nad stranicama AB BC i
CA su konstruisani kvadrati AJHB BGFC i ACED Nad stranicom HJ konstruisan je tro-
ugao HJI koji je podudaran trouglu ABC odnosno zarotiran u odnosu na njega za 180˚ a
rotacijom smo dobili podudarnu figuru Šestougao AJIHBC je prepolovljen svojom dija-
gonalom CI Šestougao ABGFED je dobijen spajanjem tačaka E i F a prepolovljen je di-
jagonalom DG (slika 4) Pošto su trouglovi ABC i ECF simetrični u odnosu na dijago-
nalu DG samim tim su i direktno podudarni Tačke D C i G su kolinearne tj pripadaju
istoj pravoj Ako zarotiramo četvorougao DABG oko tačke A za 90˚ u smeru kretanja
kazaljke sata poklopiće se sa četvorouglom CAJI jer su im površine jednakeTo se za-
ključuje iz činjenice da su uglovi DAC i BAJ pravi tako da su i uglovi DAB i CAJ jed-
naki po aksiomu br 2 iz prve knjige Euklidovih Elemenata odnosno oba ugla su je-
dnaka zbiru pravog ugla i ugla CAB Takođe ugao AJI je jednak uglu ABG jer su oba
jednaka zbiru pravog ugla i ugla ABC To znači da duž AD prelazi u AC duž AB u AI
a duž BG u JI Ako se iz šestougla ABGFED izostave podudarni trouglovi ABC i ECF
njegova površina će biti jednaka zbiru površina kvadrata ACED i BCFG Ako iz površine
šestougla AJIHBC izostavimo površine podudarnih trouglova ABC i HJI shodno aksio-
mu br3 iste knjige ostaci će biti jednaki Dobićemo površinu koja je jednaka površini
kvadrata ABHJ pa dobijamo jednakost ACsup2 + BCsup2 = ABsup2
Slika 4
22 Garfildov dokaz
Suština ovog dokaza koji je izveo 20 predsednik SAD Džejms Garfild oko 1876 godi-
ne je jednostavna Na postojeći trougao se nadoveže njemu podudaran tako da se na is-
toj pravoj nalaze kraća kateta prvog i duža kateta drugog i da polaze iz istog temenaAko
spojimo druga dva temena koja pripadaju hipotenuzi dobićemo pravougli trapez sa dve
paralelne strane (leva je kateta b a desna je kateta a) Trapez sadrži osim prva dva tro-
ugla još jedan čije su katete stranice c (slika 5) Na jedan način površina trapeza se
može dobiti kao polovina proizvoda zbira stranice a i b Drugi način je da saberemo sve
tri površine trouglova na koje je podeljen
(a+b)sup2 = ab + ab + csup2 2 2 2 2odatle sledi asup2 + bsup2 = csup2
Slika 5
23 Dokaz Pitagorine teoreme pomoću sličnosti
Ovaj dokaz se izvodi na osnovu proporcionalnosti stranica odnosno na osnovu definicije
sličnosti
Preslikavanje kojim se jedna figura F preslikava u drugu figuru F1 naziva se sličnost
ako je razmera odgovarajućih duži isti broj i ako su odgovarajući uglovi jednaki
Neka su katete obeležene sa AB i AC a hipotenuza sa BC Iz uslova da je ugao A trougla
ABC prav sledi da je ABsup2 + ACsup2= BCsup2 Sa D ćemo obeležiti podnožje visine koja je
normalna na pravu BC Iz ovih uslova a uzimajući obzir VI knjigu stav 4 Euklidovih
Elemenata koji glasi
Kod trouglova sa jednakim uglovima su strane koje obrazuju jednake uglove propor-
cionalne i odgovaraju jedna drugoj one strane što leže naspram jednakih uglova(1)
Sledi da su trouglovi u sledećim odnosima
Trougao ABC je sličan trouglu DBA a trougao ABC je sličan trouglu DAC (Slika 6)
Tako da su zadovoljene sledeće relacije
ABBC = BDAB i ACBC = CD AC iz kojih sledi da je
ABsup2 = BC BD i ACsup2 = BC CD a iz ove dve jednakosti sledi da je
ABsup2 + ACsup2 = BC BD + BC CD = BC (BD + CD) = BCsup2
Slika 6
3 PRIMENA PITAGORINE TEOREME
31 Primena na trouglove
Poznata je njena primena na izračunavanje svih elemenata kod raznih vrsta trouglova i
ostalih geometrijskih tela kvadrata pravougaonika romba trapeza tako što uočimo pra-
vougli trougao u njima To pojednostavljuje računanje obima i površine tih figura
Pravougli
Jednakokraki
Jednakostranični
Nejednakostranični
O=a+b+cP= ab2 ili P= ch2 h=abcasup2+bsup2= csup2 Pitagorina teorema R =c2 r=(a+b-c)2 h=radicpq a=radicpc b=radicqc c=p+q
O=a+2bP= ah2hsup2+(a2)sup2 = bsup2
O=3a i P= (asup2radic3)4 h=(aradic3)2 ry=(13)h=(aradic3)6ro=(23)h=(aradic3)3
Kvadrat
Pravougaonik
Romb
32Primena na piramide
O=a+b+c P=ch2asup2=hsup2+qsup2bsup2=hsup2+psup2
P=asup2 O=4ad=aradic2 a=dradic2 a=(dradic2)2
dsup2=asup2+bsup2 P=abO=2a+2b
O=4a P=ah= (d1d2)2(d12)sup2 + (d22)sup2 = asup2
Pravilne piramide trostrana (sl7) četvorostrana (sl8) šestostrana (sl9)-
Slika 7 Slika 8 Slika 9
Uz pomoć Pitagorine teoreme izračunaćemo tražene elemente kod pravilnih piramida
trostranih četvorostranih šestostranih kao i kod ostalih geometrijskih tela tako što
ćemo uočiti u njima pravougle trouglove što nam pomaže u daljim proračunima
4 PITAGORINE TROJKE
Pitagorina trojka je uređena trojka prirodnih brojeva ab i c za koje važi jednakost
asup2+bsup2=csup2 Pitagorinu trojku čine celiobrojne dužine stranica pravouglog trougla Takav
trougao se naziva Pitagorin trougao Najmanja racionalna trojka je 3-4-5 Naravno to
nije jedina Pitagorina trojka Postoje još mnoge drugekao na primer 5-12-13 Još su
Vavilonci koji su živeli nekoliko hiljada godina pre ne na svojim glinenim pločama
zapisali Pitagorine trojke U starom Egiptu se koristio konopac sa zavezanim čvorovima
da bi se formirao pravougli trougao sa ovakvim stranicama (slika 1)
5 IRACIONALNI BROJEVI
P=B+MB=(asup2radic3)4M=3(ah2)V=(BH)3V=(asup2radic3H)12ssup2=hsup2+(a2)sup2ssup2=Rsup2+Hsup2R=(aradic3)3hsup2=rsup2+Hsup2r=(aradic3)6
P=B+M B=asup2M=4(ah2)==2ahV=BH3V=(asup2H)3ssup2=hsup2+(a2)sup2hsup2=Hsup2+(a2)sup2ssup2=(d2)sup2+Hsup2d=aradic2
P=B+MB=(6asup2radic3)4M=6(ah2)==3ahV=BH3V=(asup2radic3H)2ssup2=hsup2+(a2)sup2ssup2=asup2+Hsup2hsup2=Hsup2+(aradic32)sup2
Pretpostavlja se da su za otkriće iracionalnih brojeva zaslužni Pitagorejci ali nije poznato
da li su do toga došli proučavanjem geometrijske sredine ili razmatranjem dijagonale
kvadrata Pretpostavlja se da su logičkim putem dokazali da postoje nesamerljive duži
što je do tada bilo neshvatljivo Otkrili su postojanje iracionalnih brojeva tako što su do-
kazali nesamerljivost dijagonale kvadrata i njegove straniceDokazali su iracionalnost radic2
Iako se iracionalni brojevi ne mogu izraziti u obliku količnika dva cela broja mogu se
konstruisati uz pomoć lenjira i šestaraTako se radic2 koji se naziva Pitagorina konstanta
može dobiti kao hipotenuza pravouglog trougla čije katete iznose 1(slika 10)
Slika 10
6 PITAGORINO DRVO
Uz korišćenje Pitagorine teoreme konstruisanjem kvadrata nad katetama i hipotenuzom
mogu se dobiti razni geometrijski oblici - fraktali Fraktal je pojam kojim označavamo
geometrijski lik koji možemo da podelimo na beskonačan broj delova pri čemu će svaki
od njih biti isti ili sličan početnom liku Ime mu je dao Benoa Mendelbort 1975 godine
iz latinske reči fractus što znači - razlomljen Promenom vrednosti stranica možemo
dobiti razne simetrične (slika 11) i asimetrične figure( slika 12)
Slika 11 Pitagorino drvo
Slika 12Iskrivljeno Pitagorino drvo
ZAKLJUČAK
Značaj Pitagorine teoreme je prevazišao oblast geometrije tako da ima primenu u širim
naučnim disciplinama Njenim pravilnim formulisanjem Pitagora je ucrtao novu putanju
razvoja geometrije pa i celokupne matematike Širina primene je omogućena time što
većinu geometrijskih tela i figura možemo podeliti na pravougle trouglove i time olakšati
izračunavanje obima površine ili nekih drugih elemenata Smernice koje je Pitagora za-
jedno sa svojim sledbenicima Pitagorejcima dao pre dve hiljade godina i dalje su aktuelne
uprkos mnoštvu novih otkrića tokom vekova Njegova genijalnost da vidi stvari ispred
svog vremena je i dalje inspiracija naučnicima da proučavaju njegovu široku zaostavšti-
nu i da stalno uče iz nje
ZAHVALNOST
Zahvaljujem se svojoj nastavnici matematike Slađani Kosačević na pomoći i podršci
kao i svom mentoru profesorki matematike Vesni Rajšić na savetima u vezi ovog rada
KORIŠĆENI IZVORI I LITERATURA
(1) ABilimović - Prevod Euklidovih Elemenata u izdanju Matematičkog instituta Srpske akademije nauka
Između 1949 i 1957 godine
(2) Matematika -Opšta enciklopedija Larousse 1973 god
(3) http wwwcut-the-knotorgpythagorasindexshtml
(4) httpmathaboutcomodpythagoreansspythagdefhtm
(5) httpplanetmathorgencyclopediaProofOfPythagoreanTheoremhtml
(6) httpenwikipediaorgwikiPythagorean_theorem
(7) httpwwwsunsiteubccaDigitalMathArchiveEuclidjavahtmlbabylonhtml
REZIME
Pitagorina teorema je pojam u geometriji koji definiše odnos između tri stranice
pravouglog trougla Ime je dobila po starogrčkom matematičaru Pitagori koji je živeo u 6
veku pne On je iskoristio saznanja mnogih naucnika koji su živeli pre njega i sažeto ih
izrazio u stavu Površina kvadrata nad hipotenuzom je jednaka zbiru površina nad
katetama a zatim je to matematičkim putem i dokazao Ova saznanja bila su poznata još
vavilonskim kineskim indijskim i egipatskim naučnicima mnogo vekova ranije Ipak
starogrčka matematika je bogatija i svestranija od dotadašnjih nauka jer je težila ka tome
da se sva saznanja dokažu i obrazlože na naučni način Prvi poznati pisani dokaz
Pitagorine teoreme nalazi se u Euklidovim Elementima Ova teorema je bila inspiracija
mnogim naučnicima kroz vekove sve do današnjih dana Na razne načine izvođeni su
dokazi koji su vodili ka novim korisnim i zanimljivim zaključcima
Ključne reči Pitagorina teorema pravougli trougao hipotenuza katete iracionalni
brojevi Pitagorine trojke Pitagorino drvo
SUMMARY
Pythagorean theorem is a concept in geometry which defines relationship between three
sides of a right triangle The name was given by ancient Greek mathematician Pythagora
who had lived in 6century BC He used knowledges of many scientists who lived before
him and summarized them pointed in proposition The square of the hypotenuse of a
right triangle is equal to the sum of the squares on the other two sides Theese findings
were known to Babylonian Chinese Indian Egyptian scientists meny centuries before
However mathematic of the ancient Greeks is more richfull and versatile from former
sciences because it was streaming for prooving all findings and scientificaly explaines
First known written proof of Pythagorean theorem was found in Euclids Elements
Theese theorem was inspiration for many scientists through centuries allthrough
nowadays Proofs were taken in many diferent ways which led to new useful and
interesting conclusions
Key words Pythagorean theorem right triangle hypotenuse catheti irrational numbers
Pythagorean triple Pythagoras tree
Sadržaj 1 Euklidov dokaz Pitagorine teoreme i obratna Pitagorina teorema
2 Leonardov dokaz i neki poznati dokazi
3 Primena Pitagorine teoreme
4 Konstrukcija iracionalnih brojeva
5 Pitagorine trojke
6 Pitagorino drvo
UVOD
Geometrija je oduvek bila sastavni deo života ljudi od davnina Veruje se da je još na
glinenim pločicama Vavilonaca zapisana Pitagorina teorema Odnos duže stranice prema
dvema kraćim u pravouglom trouglu mogli su izmeriti jednostavnim prebrojavanjem
kvadratića U starom Egiptu su se služili metodom vezivanja čvorova na užetu za
formiranje pravouglog trougla tako što su na kraćim stranicama imali dva odnosno tri a
na dužoj pet čvorova (Slika 1) Tek su starogrčki naučnici ovoj grani nauke dali pravu
dimenziju uvodeći u geometriju pojam dokaza Po mnogim istoričarima prvi grčki
naučnik filozof i matematičar koji je dao neku vrstu dokaza i potvrdio svoje teoreme bio
je Tales iz Mileta Tales je pomoću podudarnosti pravouglih trouglova posmatrajući brod
Slika 1
sa morske obale utvrdio njegovu udaljenost Visinu Keopsove piramide uspeo je da
odredi koristeći sličnost jednakokrakih pravouglih trouglova mereći senku uspravno
zabodenog štapa onda kada je senka štapa jednaka njegovoj visini
Jedan od njegovih najdarovitijih sledbenika i jedan od najpoznatijih starogrčkih filozofa i
matematičara bio je Pitagora iz Samosa Po nekim istoričarima su on i njegova Pitagorej-
ska škola uveli deduktivnu metodu u oblast matematikeTo je zapravo logičko zaključiva-
nje gde se do pojedinačnih zaključaka dolazi prikupljanjem opštih činjenica Pitagora se
posebno bavio geometrijom i teorijom brojeva Verovao je da se sve relacije i odnosi mo-
gu svesti na operacije sa brojevima Do tog zaključka su on i njegovi sledbenici Pitago-
rejci došli kroz mnoga opažanja u oblasti prvenstveno matematike ali i muzike i astro-
nomije Pitagora je zapazio da se harmonija u tonovima postiže kada su koeficijenti žica
na datom instrumentu celi brojevi Time je doprineo stvaranju matematičke teorije muzi-
ke Pitagorejci su izučavali problem nesamerljivih veličina jer su dokazali logičkim pu-
tem da postoje nesamerljive duži kojima ne odgovara nijedan do tada poznati broj Ono
što se danas najviše vezuje za njegovo ime jeste Pitagorina teorema Iz tog perioda nije
ostalo puno pisanih tragova ali se pretpostavlja da Pitagorejcima kvadrat nije označavao
množenje dužine stranice sa samom sobom već je označavao geometrijski lik odnosno
kvadrat koji je konstruisan na stranicama Pitagori se pripisuje osnovni deo sadržaja prve
dve knjige Euklidovih ˝Elemenata˝ koje se i do današnjih dana navode kao osnov za
izučavanje geometrije i matematike u celini
1 DOKAZ PITAGORINE TEOREME - PO EUKLIDU
Osnovni stavovi koje koristimo za dokazivanje Pitagorine teoreme su sledeća pravila o
Podudarnosti trouglova
Stav (SUS) Dva trougla su podudarna ako imaju jednake po dve odgovarajuće
stranice i njima zahvaćene uglove
Stav (USU) Trouglovi koji imaju po jednu stranicu i na njima nalegle jednake
odgovarajuće uglove jednake su podudarni
Stav (SSS) Ako su sve tri stranice jednog trougla jednake odgovarajućim
stranicama drugog trouglatada su oni podudarni
Stav (SSU) Ako su dve stranice i ugao naspram veće od njih jednog trougla
jednaki odgovarajućim stranicama i uglu tog trouglatada su ovi trouglovi
podudarni
Osna simetrija
Teorema U ravanskoj geometriji figura simetrična nekoj figuri F je njoj direktno
podudarna figura F`
Rotacija
Teorema Rotacija primenjena na figuru F daje direktno podudarnu figuru F`
11 Euklidov dokaz
Najsadržajniji prikaz Pitagorine teoreme dao je Euklid u svojim Elementima postavivši
je na posebno mesto u geometriji U prvoj knjizi u 47 stavu stoji sledeći iskaz
Kod pravouglih trouglova je kvadrat na strani naspram pravog ugla (na hipotenuzi)
jednak kvadratima na stranama koje obrazuju prav ugao (na katetama)
Neka je ABC pravougli trougao sa pravim uglom BAC Tvrdim da je kvadrat na BC
Jednak kvadratima na BA i AC(1)
Na osnovu 46 stava iste knjige na stranici BC konstruišimo kvadrat BDEC a na BA i
Slika 2
AC kvadrate kojima su dijagonale FB i GC Kroz tačku A povući ćemo pravu AH para-
lelnu svakoj od pravih BD i CE a zatim povući prave AD i IC (Slika 2) Pošto je svaki
od uglova BAC i BAF prav primenom 14 stava ove knjige znamo da prave AC AF
povučene nad pravom BA kroz istu njenu tačku A a sa raznih strana čine susedne ug-
love jednake dvema pravim uglovima pa su prave CA i AF u istoj pravoj Iz istog raz-
loga su i prave BA i AG u istoj pravoj Ugao DBC jednak je uglu IBA jer su oba prava
A kad dodamo svakom od njih ugao ABC biće ceo ugao DBA jednak celom uglu IBC
što se vidi iz 2 aksioma navedene knjige Pošto je strana DB jednaka strani BC a IB
strani BA to su dve strane DB i BA jednake stranama IB i BC i to odgovarajućim a
ugao DBA jednak uglu IBC a tada je i osnovica AD jednaka osnovici IC i trougao
ABD jednak trouglu IBC a prema stavu o dve jednake stranice i uglu između njih Ako
uzmemo u obzir stav 41 ove knjige paralelogram čija je dijagonala BH je dva puta veći
od trougla ABD jer imaju istu osnovicu BD i između su istih paralelnih BD i AH I kva-
drat FB je dva puta veći od trougla IBC jer i oni imaju istu osnovicu IB i između istih su
paralela IB i FC Prema tome je paralelogram BH jednak kvadratu FB Na sličan način
se pomoću povučenih pravih AE i BK može dokazati da je paralelogram CH jednak kva-
dratu GC Prema tome je ceo kvadrat BDEC jednak dvama kvadratima FB i GC Kvadrat
BDEC je konstruisan na BC a kvadrati FB GC na BA i AC Prema tome je kvadrat na
strani BC jednak kvadratima na stranama BA i AC
Dakle kod pravouglih trouglova je kvadrat na strani naspram pravog ugla ( na hipotenu-
zi) jednak kvadratima na stranama koje obrazuju prav ugao ( na katetama) A to je treba-
lo dokazati
U suštini se ovaj dokaz zasniva na tome da se iz podudarnosti trouglova IBC i ABD i
njihove jednakosti sa polovinama kvadrata FB i paralelograma BH zaključuje da je kva-
drat FB jednak paralelogramu BH
12 Obratna Pitagorina teorema
Koristeći prethodni dokaz stava 47 prve knjige Elemenata Euklid postavlja problem u
obrnutom smeru u završetku ove knjige u stavu 48 što još pouzdanije potvrđuje istini-
tost Pitagorine teoreme ( slika 3)
Ako je kod trougla kvadrat na jednoj strani jednak kvadratima na ostalim dvema stra-
nama onda je ugao koji obrazuju ove dve strane prav
U trouglu ABC kvadrat na jednoj njegovoj strani BC jednak je kvadratima na stranama
BA i AC Tvrdim da je ugao BAC prav(1)
Na veoma jednostavan način to je i dokazano Kroz tačku A povuče se prava AD upra-
vna na AC i prenese rastojanje AD jednako rastojanju AB zatim se spoje tačke D i C
Pošto je DA jednako AB onda je kvadrat na DA jednak kvadratu na AB Ako svakom
Slika 3
od njih dodamo kvadrat na AC onda će kvadrati na DA i AC biti jednaki kvadratima na
BA i AC Kvadrat na DC je jednak kvadratima na DA i AC jer je ugao DAC prav što
smo već zaključili u prethodnom stavu Pretpostavljeno je da je i kvadratima na BA i AC
jednak kvadrat na BC pa prema tome je i kvadrat na DC jednak kvadratu na BC Zato je i
strana DC jednaka strani BC Pošto je strana DA jednaka strani AB a AC zajednička
strana onda su i dve strane DA i AC jednake stranama BA i AC a i hipotenuza DC
jednaka je hipotenuzi BC -prema stavu I8 koji kaže da ako dva trougla imaju po dve
stranice jednake i jednake osnovice moraju biti i jednaki uglovi jednakih stranica pa
sledi da je ugao DAC koji je prav jednak uglu BAC koji je takođe prav
Dakle ako je kod trougla kvadrat na jednoj strani jednak kvadratima na ostalim dvema
stranama onda je ugao koji obrazuju ove dve strane prav A to je trebalo dokazati
2 NEKI POZNATI DOKAZI
21 Leonardov dokaz
Čuveni italijanski umetnik i naučnik Leonardo da Vinči izveo je dokaz Pitagorine teore-
me (3) uz pomoć simetrije i rotacije koju smo već definisali
Neka je ABC pravougli trougao čiji je prav ugao u temenu C Nad stranicama AB BC i
CA su konstruisani kvadrati AJHB BGFC i ACED Nad stranicom HJ konstruisan je tro-
ugao HJI koji je podudaran trouglu ABC odnosno zarotiran u odnosu na njega za 180˚ a
rotacijom smo dobili podudarnu figuru Šestougao AJIHBC je prepolovljen svojom dija-
gonalom CI Šestougao ABGFED je dobijen spajanjem tačaka E i F a prepolovljen je di-
jagonalom DG (slika 4) Pošto su trouglovi ABC i ECF simetrični u odnosu na dijago-
nalu DG samim tim su i direktno podudarni Tačke D C i G su kolinearne tj pripadaju
istoj pravoj Ako zarotiramo četvorougao DABG oko tačke A za 90˚ u smeru kretanja
kazaljke sata poklopiće se sa četvorouglom CAJI jer su im površine jednakeTo se za-
ključuje iz činjenice da su uglovi DAC i BAJ pravi tako da su i uglovi DAB i CAJ jed-
naki po aksiomu br 2 iz prve knjige Euklidovih Elemenata odnosno oba ugla su je-
dnaka zbiru pravog ugla i ugla CAB Takođe ugao AJI je jednak uglu ABG jer su oba
jednaka zbiru pravog ugla i ugla ABC To znači da duž AD prelazi u AC duž AB u AI
a duž BG u JI Ako se iz šestougla ABGFED izostave podudarni trouglovi ABC i ECF
njegova površina će biti jednaka zbiru površina kvadrata ACED i BCFG Ako iz površine
šestougla AJIHBC izostavimo površine podudarnih trouglova ABC i HJI shodno aksio-
mu br3 iste knjige ostaci će biti jednaki Dobićemo površinu koja je jednaka površini
kvadrata ABHJ pa dobijamo jednakost ACsup2 + BCsup2 = ABsup2
Slika 4
22 Garfildov dokaz
Suština ovog dokaza koji je izveo 20 predsednik SAD Džejms Garfild oko 1876 godi-
ne je jednostavna Na postojeći trougao se nadoveže njemu podudaran tako da se na is-
toj pravoj nalaze kraća kateta prvog i duža kateta drugog i da polaze iz istog temenaAko
spojimo druga dva temena koja pripadaju hipotenuzi dobićemo pravougli trapez sa dve
paralelne strane (leva je kateta b a desna je kateta a) Trapez sadrži osim prva dva tro-
ugla još jedan čije su katete stranice c (slika 5) Na jedan način površina trapeza se
može dobiti kao polovina proizvoda zbira stranice a i b Drugi način je da saberemo sve
tri površine trouglova na koje je podeljen
(a+b)sup2 = ab + ab + csup2 2 2 2 2odatle sledi asup2 + bsup2 = csup2
Slika 5
23 Dokaz Pitagorine teoreme pomoću sličnosti
Ovaj dokaz se izvodi na osnovu proporcionalnosti stranica odnosno na osnovu definicije
sličnosti
Preslikavanje kojim se jedna figura F preslikava u drugu figuru F1 naziva se sličnost
ako je razmera odgovarajućih duži isti broj i ako su odgovarajući uglovi jednaki
Neka su katete obeležene sa AB i AC a hipotenuza sa BC Iz uslova da je ugao A trougla
ABC prav sledi da je ABsup2 + ACsup2= BCsup2 Sa D ćemo obeležiti podnožje visine koja je
normalna na pravu BC Iz ovih uslova a uzimajući obzir VI knjigu stav 4 Euklidovih
Elemenata koji glasi
Kod trouglova sa jednakim uglovima su strane koje obrazuju jednake uglove propor-
cionalne i odgovaraju jedna drugoj one strane što leže naspram jednakih uglova(1)
Sledi da su trouglovi u sledećim odnosima
Trougao ABC je sličan trouglu DBA a trougao ABC je sličan trouglu DAC (Slika 6)
Tako da su zadovoljene sledeće relacije
ABBC = BDAB i ACBC = CD AC iz kojih sledi da je
ABsup2 = BC BD i ACsup2 = BC CD a iz ove dve jednakosti sledi da je
ABsup2 + ACsup2 = BC BD + BC CD = BC (BD + CD) = BCsup2
Slika 6
3 PRIMENA PITAGORINE TEOREME
31 Primena na trouglove
Poznata je njena primena na izračunavanje svih elemenata kod raznih vrsta trouglova i
ostalih geometrijskih tela kvadrata pravougaonika romba trapeza tako što uočimo pra-
vougli trougao u njima To pojednostavljuje računanje obima i površine tih figura
Pravougli
Jednakokraki
Jednakostranični
Nejednakostranični
O=a+b+cP= ab2 ili P= ch2 h=abcasup2+bsup2= csup2 Pitagorina teorema R =c2 r=(a+b-c)2 h=radicpq a=radicpc b=radicqc c=p+q
O=a+2bP= ah2hsup2+(a2)sup2 = bsup2
O=3a i P= (asup2radic3)4 h=(aradic3)2 ry=(13)h=(aradic3)6ro=(23)h=(aradic3)3
Kvadrat
Pravougaonik
Romb
32Primena na piramide
O=a+b+c P=ch2asup2=hsup2+qsup2bsup2=hsup2+psup2
P=asup2 O=4ad=aradic2 a=dradic2 a=(dradic2)2
dsup2=asup2+bsup2 P=abO=2a+2b
O=4a P=ah= (d1d2)2(d12)sup2 + (d22)sup2 = asup2
Pravilne piramide trostrana (sl7) četvorostrana (sl8) šestostrana (sl9)-
Slika 7 Slika 8 Slika 9
Uz pomoć Pitagorine teoreme izračunaćemo tražene elemente kod pravilnih piramida
trostranih četvorostranih šestostranih kao i kod ostalih geometrijskih tela tako što
ćemo uočiti u njima pravougle trouglove što nam pomaže u daljim proračunima
4 PITAGORINE TROJKE
Pitagorina trojka je uređena trojka prirodnih brojeva ab i c za koje važi jednakost
asup2+bsup2=csup2 Pitagorinu trojku čine celiobrojne dužine stranica pravouglog trougla Takav
trougao se naziva Pitagorin trougao Najmanja racionalna trojka je 3-4-5 Naravno to
nije jedina Pitagorina trojka Postoje još mnoge drugekao na primer 5-12-13 Još su
Vavilonci koji su živeli nekoliko hiljada godina pre ne na svojim glinenim pločama
zapisali Pitagorine trojke U starom Egiptu se koristio konopac sa zavezanim čvorovima
da bi se formirao pravougli trougao sa ovakvim stranicama (slika 1)
5 IRACIONALNI BROJEVI
P=B+MB=(asup2radic3)4M=3(ah2)V=(BH)3V=(asup2radic3H)12ssup2=hsup2+(a2)sup2ssup2=Rsup2+Hsup2R=(aradic3)3hsup2=rsup2+Hsup2r=(aradic3)6
P=B+M B=asup2M=4(ah2)==2ahV=BH3V=(asup2H)3ssup2=hsup2+(a2)sup2hsup2=Hsup2+(a2)sup2ssup2=(d2)sup2+Hsup2d=aradic2
P=B+MB=(6asup2radic3)4M=6(ah2)==3ahV=BH3V=(asup2radic3H)2ssup2=hsup2+(a2)sup2ssup2=asup2+Hsup2hsup2=Hsup2+(aradic32)sup2
Pretpostavlja se da su za otkriće iracionalnih brojeva zaslužni Pitagorejci ali nije poznato
da li su do toga došli proučavanjem geometrijske sredine ili razmatranjem dijagonale
kvadrata Pretpostavlja se da su logičkim putem dokazali da postoje nesamerljive duži
što je do tada bilo neshvatljivo Otkrili su postojanje iracionalnih brojeva tako što su do-
kazali nesamerljivost dijagonale kvadrata i njegove straniceDokazali su iracionalnost radic2
Iako se iracionalni brojevi ne mogu izraziti u obliku količnika dva cela broja mogu se
konstruisati uz pomoć lenjira i šestaraTako se radic2 koji se naziva Pitagorina konstanta
može dobiti kao hipotenuza pravouglog trougla čije katete iznose 1(slika 10)
Slika 10
6 PITAGORINO DRVO
Uz korišćenje Pitagorine teoreme konstruisanjem kvadrata nad katetama i hipotenuzom
mogu se dobiti razni geometrijski oblici - fraktali Fraktal je pojam kojim označavamo
geometrijski lik koji možemo da podelimo na beskonačan broj delova pri čemu će svaki
od njih biti isti ili sličan početnom liku Ime mu je dao Benoa Mendelbort 1975 godine
iz latinske reči fractus što znači - razlomljen Promenom vrednosti stranica možemo
dobiti razne simetrične (slika 11) i asimetrične figure( slika 12)
Slika 11 Pitagorino drvo
Slika 12Iskrivljeno Pitagorino drvo
ZAKLJUČAK
Značaj Pitagorine teoreme je prevazišao oblast geometrije tako da ima primenu u širim
naučnim disciplinama Njenim pravilnim formulisanjem Pitagora je ucrtao novu putanju
razvoja geometrije pa i celokupne matematike Širina primene je omogućena time što
većinu geometrijskih tela i figura možemo podeliti na pravougle trouglove i time olakšati
izračunavanje obima površine ili nekih drugih elemenata Smernice koje je Pitagora za-
jedno sa svojim sledbenicima Pitagorejcima dao pre dve hiljade godina i dalje su aktuelne
uprkos mnoštvu novih otkrića tokom vekova Njegova genijalnost da vidi stvari ispred
svog vremena je i dalje inspiracija naučnicima da proučavaju njegovu široku zaostavšti-
nu i da stalno uče iz nje
ZAHVALNOST
Zahvaljujem se svojoj nastavnici matematike Slađani Kosačević na pomoći i podršci
kao i svom mentoru profesorki matematike Vesni Rajšić na savetima u vezi ovog rada
KORIŠĆENI IZVORI I LITERATURA
(1) ABilimović - Prevod Euklidovih Elemenata u izdanju Matematičkog instituta Srpske akademije nauka
Između 1949 i 1957 godine
(2) Matematika -Opšta enciklopedija Larousse 1973 god
(3) http wwwcut-the-knotorgpythagorasindexshtml
(4) httpmathaboutcomodpythagoreansspythagdefhtm
(5) httpplanetmathorgencyclopediaProofOfPythagoreanTheoremhtml
(6) httpenwikipediaorgwikiPythagorean_theorem
(7) httpwwwsunsiteubccaDigitalMathArchiveEuclidjavahtmlbabylonhtml
Sadržaj 1 Euklidov dokaz Pitagorine teoreme i obratna Pitagorina teorema
2 Leonardov dokaz i neki poznati dokazi
3 Primena Pitagorine teoreme
4 Konstrukcija iracionalnih brojeva
5 Pitagorine trojke
6 Pitagorino drvo
UVOD
Geometrija je oduvek bila sastavni deo života ljudi od davnina Veruje se da je još na
glinenim pločicama Vavilonaca zapisana Pitagorina teorema Odnos duže stranice prema
dvema kraćim u pravouglom trouglu mogli su izmeriti jednostavnim prebrojavanjem
kvadratića U starom Egiptu su se služili metodom vezivanja čvorova na užetu za
formiranje pravouglog trougla tako što su na kraćim stranicama imali dva odnosno tri a
na dužoj pet čvorova (Slika 1) Tek su starogrčki naučnici ovoj grani nauke dali pravu
dimenziju uvodeći u geometriju pojam dokaza Po mnogim istoričarima prvi grčki
naučnik filozof i matematičar koji je dao neku vrstu dokaza i potvrdio svoje teoreme bio
je Tales iz Mileta Tales je pomoću podudarnosti pravouglih trouglova posmatrajući brod
Slika 1
sa morske obale utvrdio njegovu udaljenost Visinu Keopsove piramide uspeo je da
odredi koristeći sličnost jednakokrakih pravouglih trouglova mereći senku uspravno
zabodenog štapa onda kada je senka štapa jednaka njegovoj visini
Jedan od njegovih najdarovitijih sledbenika i jedan od najpoznatijih starogrčkih filozofa i
matematičara bio je Pitagora iz Samosa Po nekim istoričarima su on i njegova Pitagorej-
ska škola uveli deduktivnu metodu u oblast matematikeTo je zapravo logičko zaključiva-
nje gde se do pojedinačnih zaključaka dolazi prikupljanjem opštih činjenica Pitagora se
posebno bavio geometrijom i teorijom brojeva Verovao je da se sve relacije i odnosi mo-
gu svesti na operacije sa brojevima Do tog zaključka su on i njegovi sledbenici Pitago-
rejci došli kroz mnoga opažanja u oblasti prvenstveno matematike ali i muzike i astro-
nomije Pitagora je zapazio da se harmonija u tonovima postiže kada su koeficijenti žica
na datom instrumentu celi brojevi Time je doprineo stvaranju matematičke teorije muzi-
ke Pitagorejci su izučavali problem nesamerljivih veličina jer su dokazali logičkim pu-
tem da postoje nesamerljive duži kojima ne odgovara nijedan do tada poznati broj Ono
što se danas najviše vezuje za njegovo ime jeste Pitagorina teorema Iz tog perioda nije
ostalo puno pisanih tragova ali se pretpostavlja da Pitagorejcima kvadrat nije označavao
množenje dužine stranice sa samom sobom već je označavao geometrijski lik odnosno
kvadrat koji je konstruisan na stranicama Pitagori se pripisuje osnovni deo sadržaja prve
dve knjige Euklidovih ˝Elemenata˝ koje se i do današnjih dana navode kao osnov za
izučavanje geometrije i matematike u celini
1 DOKAZ PITAGORINE TEOREME - PO EUKLIDU
Osnovni stavovi koje koristimo za dokazivanje Pitagorine teoreme su sledeća pravila o
Podudarnosti trouglova
Stav (SUS) Dva trougla su podudarna ako imaju jednake po dve odgovarajuće
stranice i njima zahvaćene uglove
Stav (USU) Trouglovi koji imaju po jednu stranicu i na njima nalegle jednake
odgovarajuće uglove jednake su podudarni
Stav (SSS) Ako su sve tri stranice jednog trougla jednake odgovarajućim
stranicama drugog trouglatada su oni podudarni
Stav (SSU) Ako su dve stranice i ugao naspram veće od njih jednog trougla
jednaki odgovarajućim stranicama i uglu tog trouglatada su ovi trouglovi
podudarni
Osna simetrija
Teorema U ravanskoj geometriji figura simetrična nekoj figuri F je njoj direktno
podudarna figura F`
Rotacija
Teorema Rotacija primenjena na figuru F daje direktno podudarnu figuru F`
11 Euklidov dokaz
Najsadržajniji prikaz Pitagorine teoreme dao je Euklid u svojim Elementima postavivši
je na posebno mesto u geometriji U prvoj knjizi u 47 stavu stoji sledeći iskaz
Kod pravouglih trouglova je kvadrat na strani naspram pravog ugla (na hipotenuzi)
jednak kvadratima na stranama koje obrazuju prav ugao (na katetama)
Neka je ABC pravougli trougao sa pravim uglom BAC Tvrdim da je kvadrat na BC
Jednak kvadratima na BA i AC(1)
Na osnovu 46 stava iste knjige na stranici BC konstruišimo kvadrat BDEC a na BA i
Slika 2
AC kvadrate kojima su dijagonale FB i GC Kroz tačku A povući ćemo pravu AH para-
lelnu svakoj od pravih BD i CE a zatim povući prave AD i IC (Slika 2) Pošto je svaki
od uglova BAC i BAF prav primenom 14 stava ove knjige znamo da prave AC AF
povučene nad pravom BA kroz istu njenu tačku A a sa raznih strana čine susedne ug-
love jednake dvema pravim uglovima pa su prave CA i AF u istoj pravoj Iz istog raz-
loga su i prave BA i AG u istoj pravoj Ugao DBC jednak je uglu IBA jer su oba prava
A kad dodamo svakom od njih ugao ABC biće ceo ugao DBA jednak celom uglu IBC
što se vidi iz 2 aksioma navedene knjige Pošto je strana DB jednaka strani BC a IB
strani BA to su dve strane DB i BA jednake stranama IB i BC i to odgovarajućim a
ugao DBA jednak uglu IBC a tada je i osnovica AD jednaka osnovici IC i trougao
ABD jednak trouglu IBC a prema stavu o dve jednake stranice i uglu između njih Ako
uzmemo u obzir stav 41 ove knjige paralelogram čija je dijagonala BH je dva puta veći
od trougla ABD jer imaju istu osnovicu BD i između su istih paralelnih BD i AH I kva-
drat FB je dva puta veći od trougla IBC jer i oni imaju istu osnovicu IB i između istih su
paralela IB i FC Prema tome je paralelogram BH jednak kvadratu FB Na sličan način
se pomoću povučenih pravih AE i BK može dokazati da je paralelogram CH jednak kva-
dratu GC Prema tome je ceo kvadrat BDEC jednak dvama kvadratima FB i GC Kvadrat
BDEC je konstruisan na BC a kvadrati FB GC na BA i AC Prema tome je kvadrat na
strani BC jednak kvadratima na stranama BA i AC
Dakle kod pravouglih trouglova je kvadrat na strani naspram pravog ugla ( na hipotenu-
zi) jednak kvadratima na stranama koje obrazuju prav ugao ( na katetama) A to je treba-
lo dokazati
U suštini se ovaj dokaz zasniva na tome da se iz podudarnosti trouglova IBC i ABD i
njihove jednakosti sa polovinama kvadrata FB i paralelograma BH zaključuje da je kva-
drat FB jednak paralelogramu BH
12 Obratna Pitagorina teorema
Koristeći prethodni dokaz stava 47 prve knjige Elemenata Euklid postavlja problem u
obrnutom smeru u završetku ove knjige u stavu 48 što još pouzdanije potvrđuje istini-
tost Pitagorine teoreme ( slika 3)
Ako je kod trougla kvadrat na jednoj strani jednak kvadratima na ostalim dvema stra-
nama onda je ugao koji obrazuju ove dve strane prav
U trouglu ABC kvadrat na jednoj njegovoj strani BC jednak je kvadratima na stranama
BA i AC Tvrdim da je ugao BAC prav(1)
Na veoma jednostavan način to je i dokazano Kroz tačku A povuče se prava AD upra-
vna na AC i prenese rastojanje AD jednako rastojanju AB zatim se spoje tačke D i C
Pošto je DA jednako AB onda je kvadrat na DA jednak kvadratu na AB Ako svakom
Slika 3
od njih dodamo kvadrat na AC onda će kvadrati na DA i AC biti jednaki kvadratima na
BA i AC Kvadrat na DC je jednak kvadratima na DA i AC jer je ugao DAC prav što
smo već zaključili u prethodnom stavu Pretpostavljeno je da je i kvadratima na BA i AC
jednak kvadrat na BC pa prema tome je i kvadrat na DC jednak kvadratu na BC Zato je i
strana DC jednaka strani BC Pošto je strana DA jednaka strani AB a AC zajednička
strana onda su i dve strane DA i AC jednake stranama BA i AC a i hipotenuza DC
jednaka je hipotenuzi BC -prema stavu I8 koji kaže da ako dva trougla imaju po dve
stranice jednake i jednake osnovice moraju biti i jednaki uglovi jednakih stranica pa
sledi da je ugao DAC koji je prav jednak uglu BAC koji je takođe prav
Dakle ako je kod trougla kvadrat na jednoj strani jednak kvadratima na ostalim dvema
stranama onda je ugao koji obrazuju ove dve strane prav A to je trebalo dokazati
2 NEKI POZNATI DOKAZI
21 Leonardov dokaz
Čuveni italijanski umetnik i naučnik Leonardo da Vinči izveo je dokaz Pitagorine teore-
me (3) uz pomoć simetrije i rotacije koju smo već definisali
Neka je ABC pravougli trougao čiji je prav ugao u temenu C Nad stranicama AB BC i
CA su konstruisani kvadrati AJHB BGFC i ACED Nad stranicom HJ konstruisan je tro-
ugao HJI koji je podudaran trouglu ABC odnosno zarotiran u odnosu na njega za 180˚ a
rotacijom smo dobili podudarnu figuru Šestougao AJIHBC je prepolovljen svojom dija-
gonalom CI Šestougao ABGFED je dobijen spajanjem tačaka E i F a prepolovljen je di-
jagonalom DG (slika 4) Pošto su trouglovi ABC i ECF simetrični u odnosu na dijago-
nalu DG samim tim su i direktno podudarni Tačke D C i G su kolinearne tj pripadaju
istoj pravoj Ako zarotiramo četvorougao DABG oko tačke A za 90˚ u smeru kretanja
kazaljke sata poklopiće se sa četvorouglom CAJI jer su im površine jednakeTo se za-
ključuje iz činjenice da su uglovi DAC i BAJ pravi tako da su i uglovi DAB i CAJ jed-
naki po aksiomu br 2 iz prve knjige Euklidovih Elemenata odnosno oba ugla su je-
dnaka zbiru pravog ugla i ugla CAB Takođe ugao AJI je jednak uglu ABG jer su oba
jednaka zbiru pravog ugla i ugla ABC To znači da duž AD prelazi u AC duž AB u AI
a duž BG u JI Ako se iz šestougla ABGFED izostave podudarni trouglovi ABC i ECF
njegova površina će biti jednaka zbiru površina kvadrata ACED i BCFG Ako iz površine
šestougla AJIHBC izostavimo površine podudarnih trouglova ABC i HJI shodno aksio-
mu br3 iste knjige ostaci će biti jednaki Dobićemo površinu koja je jednaka površini
kvadrata ABHJ pa dobijamo jednakost ACsup2 + BCsup2 = ABsup2
Slika 4
22 Garfildov dokaz
Suština ovog dokaza koji je izveo 20 predsednik SAD Džejms Garfild oko 1876 godi-
ne je jednostavna Na postojeći trougao se nadoveže njemu podudaran tako da se na is-
toj pravoj nalaze kraća kateta prvog i duža kateta drugog i da polaze iz istog temenaAko
spojimo druga dva temena koja pripadaju hipotenuzi dobićemo pravougli trapez sa dve
paralelne strane (leva je kateta b a desna je kateta a) Trapez sadrži osim prva dva tro-
ugla još jedan čije su katete stranice c (slika 5) Na jedan način površina trapeza se
može dobiti kao polovina proizvoda zbira stranice a i b Drugi način je da saberemo sve
tri površine trouglova na koje je podeljen
(a+b)sup2 = ab + ab + csup2 2 2 2 2odatle sledi asup2 + bsup2 = csup2
Slika 5
23 Dokaz Pitagorine teoreme pomoću sličnosti
Ovaj dokaz se izvodi na osnovu proporcionalnosti stranica odnosno na osnovu definicije
sličnosti
Preslikavanje kojim se jedna figura F preslikava u drugu figuru F1 naziva se sličnost
ako je razmera odgovarajućih duži isti broj i ako su odgovarajući uglovi jednaki
Neka su katete obeležene sa AB i AC a hipotenuza sa BC Iz uslova da je ugao A trougla
ABC prav sledi da je ABsup2 + ACsup2= BCsup2 Sa D ćemo obeležiti podnožje visine koja je
normalna na pravu BC Iz ovih uslova a uzimajući obzir VI knjigu stav 4 Euklidovih
Elemenata koji glasi
Kod trouglova sa jednakim uglovima su strane koje obrazuju jednake uglove propor-
cionalne i odgovaraju jedna drugoj one strane što leže naspram jednakih uglova(1)
Sledi da su trouglovi u sledećim odnosima
Trougao ABC je sličan trouglu DBA a trougao ABC je sličan trouglu DAC (Slika 6)
Tako da su zadovoljene sledeće relacije
ABBC = BDAB i ACBC = CD AC iz kojih sledi da je
ABsup2 = BC BD i ACsup2 = BC CD a iz ove dve jednakosti sledi da je
ABsup2 + ACsup2 = BC BD + BC CD = BC (BD + CD) = BCsup2
Slika 6
3 PRIMENA PITAGORINE TEOREME
31 Primena na trouglove
Poznata je njena primena na izračunavanje svih elemenata kod raznih vrsta trouglova i
ostalih geometrijskih tela kvadrata pravougaonika romba trapeza tako što uočimo pra-
vougli trougao u njima To pojednostavljuje računanje obima i površine tih figura
Pravougli
Jednakokraki
Jednakostranični
Nejednakostranični
O=a+b+cP= ab2 ili P= ch2 h=abcasup2+bsup2= csup2 Pitagorina teorema R =c2 r=(a+b-c)2 h=radicpq a=radicpc b=radicqc c=p+q
O=a+2bP= ah2hsup2+(a2)sup2 = bsup2
O=3a i P= (asup2radic3)4 h=(aradic3)2 ry=(13)h=(aradic3)6ro=(23)h=(aradic3)3
Kvadrat
Pravougaonik
Romb
32Primena na piramide
O=a+b+c P=ch2asup2=hsup2+qsup2bsup2=hsup2+psup2
P=asup2 O=4ad=aradic2 a=dradic2 a=(dradic2)2
dsup2=asup2+bsup2 P=abO=2a+2b
O=4a P=ah= (d1d2)2(d12)sup2 + (d22)sup2 = asup2
Pravilne piramide trostrana (sl7) četvorostrana (sl8) šestostrana (sl9)-
Slika 7 Slika 8 Slika 9
Uz pomoć Pitagorine teoreme izračunaćemo tražene elemente kod pravilnih piramida
trostranih četvorostranih šestostranih kao i kod ostalih geometrijskih tela tako što
ćemo uočiti u njima pravougle trouglove što nam pomaže u daljim proračunima
4 PITAGORINE TROJKE
Pitagorina trojka je uređena trojka prirodnih brojeva ab i c za koje važi jednakost
asup2+bsup2=csup2 Pitagorinu trojku čine celiobrojne dužine stranica pravouglog trougla Takav
trougao se naziva Pitagorin trougao Najmanja racionalna trojka je 3-4-5 Naravno to
nije jedina Pitagorina trojka Postoje još mnoge drugekao na primer 5-12-13 Još su
Vavilonci koji su živeli nekoliko hiljada godina pre ne na svojim glinenim pločama
zapisali Pitagorine trojke U starom Egiptu se koristio konopac sa zavezanim čvorovima
da bi se formirao pravougli trougao sa ovakvim stranicama (slika 1)
5 IRACIONALNI BROJEVI
P=B+MB=(asup2radic3)4M=3(ah2)V=(BH)3V=(asup2radic3H)12ssup2=hsup2+(a2)sup2ssup2=Rsup2+Hsup2R=(aradic3)3hsup2=rsup2+Hsup2r=(aradic3)6
P=B+M B=asup2M=4(ah2)==2ahV=BH3V=(asup2H)3ssup2=hsup2+(a2)sup2hsup2=Hsup2+(a2)sup2ssup2=(d2)sup2+Hsup2d=aradic2
P=B+MB=(6asup2radic3)4M=6(ah2)==3ahV=BH3V=(asup2radic3H)2ssup2=hsup2+(a2)sup2ssup2=asup2+Hsup2hsup2=Hsup2+(aradic32)sup2
Pretpostavlja se da su za otkriće iracionalnih brojeva zaslužni Pitagorejci ali nije poznato
da li su do toga došli proučavanjem geometrijske sredine ili razmatranjem dijagonale
kvadrata Pretpostavlja se da su logičkim putem dokazali da postoje nesamerljive duži
što je do tada bilo neshvatljivo Otkrili su postojanje iracionalnih brojeva tako što su do-
kazali nesamerljivost dijagonale kvadrata i njegove straniceDokazali su iracionalnost radic2
Iako se iracionalni brojevi ne mogu izraziti u obliku količnika dva cela broja mogu se
konstruisati uz pomoć lenjira i šestaraTako se radic2 koji se naziva Pitagorina konstanta
može dobiti kao hipotenuza pravouglog trougla čije katete iznose 1(slika 10)
Slika 10
6 PITAGORINO DRVO
Uz korišćenje Pitagorine teoreme konstruisanjem kvadrata nad katetama i hipotenuzom
mogu se dobiti razni geometrijski oblici - fraktali Fraktal je pojam kojim označavamo
geometrijski lik koji možemo da podelimo na beskonačan broj delova pri čemu će svaki
od njih biti isti ili sličan početnom liku Ime mu je dao Benoa Mendelbort 1975 godine
iz latinske reči fractus što znači - razlomljen Promenom vrednosti stranica možemo
dobiti razne simetrične (slika 11) i asimetrične figure( slika 12)
Slika 11 Pitagorino drvo
Slika 12Iskrivljeno Pitagorino drvo
ZAKLJUČAK
Značaj Pitagorine teoreme je prevazišao oblast geometrije tako da ima primenu u širim
naučnim disciplinama Njenim pravilnim formulisanjem Pitagora je ucrtao novu putanju
razvoja geometrije pa i celokupne matematike Širina primene je omogućena time što
većinu geometrijskih tela i figura možemo podeliti na pravougle trouglove i time olakšati
izračunavanje obima površine ili nekih drugih elemenata Smernice koje je Pitagora za-
jedno sa svojim sledbenicima Pitagorejcima dao pre dve hiljade godina i dalje su aktuelne
uprkos mnoštvu novih otkrića tokom vekova Njegova genijalnost da vidi stvari ispred
svog vremena je i dalje inspiracija naučnicima da proučavaju njegovu široku zaostavšti-
nu i da stalno uče iz nje
ZAHVALNOST
Zahvaljujem se svojoj nastavnici matematike Slađani Kosačević na pomoći i podršci
kao i svom mentoru profesorki matematike Vesni Rajšić na savetima u vezi ovog rada
KORIŠĆENI IZVORI I LITERATURA
(1) ABilimović - Prevod Euklidovih Elemenata u izdanju Matematičkog instituta Srpske akademije nauka
Između 1949 i 1957 godine
(2) Matematika -Opšta enciklopedija Larousse 1973 god
(3) http wwwcut-the-knotorgpythagorasindexshtml
(4) httpmathaboutcomodpythagoreansspythagdefhtm
(5) httpplanetmathorgencyclopediaProofOfPythagoreanTheoremhtml
(6) httpenwikipediaorgwikiPythagorean_theorem
(7) httpwwwsunsiteubccaDigitalMathArchiveEuclidjavahtmlbabylonhtml
nje gde se do pojedinačnih zaključaka dolazi prikupljanjem opštih činjenica Pitagora se
posebno bavio geometrijom i teorijom brojeva Verovao je da se sve relacije i odnosi mo-
gu svesti na operacije sa brojevima Do tog zaključka su on i njegovi sledbenici Pitago-
rejci došli kroz mnoga opažanja u oblasti prvenstveno matematike ali i muzike i astro-
nomije Pitagora je zapazio da se harmonija u tonovima postiže kada su koeficijenti žica
na datom instrumentu celi brojevi Time je doprineo stvaranju matematičke teorije muzi-
ke Pitagorejci su izučavali problem nesamerljivih veličina jer su dokazali logičkim pu-
tem da postoje nesamerljive duži kojima ne odgovara nijedan do tada poznati broj Ono
što se danas najviše vezuje za njegovo ime jeste Pitagorina teorema Iz tog perioda nije
ostalo puno pisanih tragova ali se pretpostavlja da Pitagorejcima kvadrat nije označavao
množenje dužine stranice sa samom sobom već je označavao geometrijski lik odnosno
kvadrat koji je konstruisan na stranicama Pitagori se pripisuje osnovni deo sadržaja prve
dve knjige Euklidovih ˝Elemenata˝ koje se i do današnjih dana navode kao osnov za
izučavanje geometrije i matematike u celini
1 DOKAZ PITAGORINE TEOREME - PO EUKLIDU
Osnovni stavovi koje koristimo za dokazivanje Pitagorine teoreme su sledeća pravila o
Podudarnosti trouglova
Stav (SUS) Dva trougla su podudarna ako imaju jednake po dve odgovarajuće
stranice i njima zahvaćene uglove
Stav (USU) Trouglovi koji imaju po jednu stranicu i na njima nalegle jednake
odgovarajuće uglove jednake su podudarni
Stav (SSS) Ako su sve tri stranice jednog trougla jednake odgovarajućim
stranicama drugog trouglatada su oni podudarni
Stav (SSU) Ako su dve stranice i ugao naspram veće od njih jednog trougla
jednaki odgovarajućim stranicama i uglu tog trouglatada su ovi trouglovi
podudarni
Osna simetrija
Teorema U ravanskoj geometriji figura simetrična nekoj figuri F je njoj direktno
podudarna figura F`
Rotacija
Teorema Rotacija primenjena na figuru F daje direktno podudarnu figuru F`
11 Euklidov dokaz
Najsadržajniji prikaz Pitagorine teoreme dao je Euklid u svojim Elementima postavivši
je na posebno mesto u geometriji U prvoj knjizi u 47 stavu stoji sledeći iskaz
Kod pravouglih trouglova je kvadrat na strani naspram pravog ugla (na hipotenuzi)
jednak kvadratima na stranama koje obrazuju prav ugao (na katetama)
Neka je ABC pravougli trougao sa pravim uglom BAC Tvrdim da je kvadrat na BC
Jednak kvadratima na BA i AC(1)
Na osnovu 46 stava iste knjige na stranici BC konstruišimo kvadrat BDEC a na BA i
Slika 2
AC kvadrate kojima su dijagonale FB i GC Kroz tačku A povući ćemo pravu AH para-
lelnu svakoj od pravih BD i CE a zatim povući prave AD i IC (Slika 2) Pošto je svaki
od uglova BAC i BAF prav primenom 14 stava ove knjige znamo da prave AC AF
povučene nad pravom BA kroz istu njenu tačku A a sa raznih strana čine susedne ug-
love jednake dvema pravim uglovima pa su prave CA i AF u istoj pravoj Iz istog raz-
loga su i prave BA i AG u istoj pravoj Ugao DBC jednak je uglu IBA jer su oba prava
A kad dodamo svakom od njih ugao ABC biće ceo ugao DBA jednak celom uglu IBC
što se vidi iz 2 aksioma navedene knjige Pošto je strana DB jednaka strani BC a IB
strani BA to su dve strane DB i BA jednake stranama IB i BC i to odgovarajućim a
ugao DBA jednak uglu IBC a tada je i osnovica AD jednaka osnovici IC i trougao
ABD jednak trouglu IBC a prema stavu o dve jednake stranice i uglu između njih Ako
uzmemo u obzir stav 41 ove knjige paralelogram čija je dijagonala BH je dva puta veći
od trougla ABD jer imaju istu osnovicu BD i između su istih paralelnih BD i AH I kva-
drat FB je dva puta veći od trougla IBC jer i oni imaju istu osnovicu IB i između istih su
paralela IB i FC Prema tome je paralelogram BH jednak kvadratu FB Na sličan način
se pomoću povučenih pravih AE i BK može dokazati da je paralelogram CH jednak kva-
dratu GC Prema tome je ceo kvadrat BDEC jednak dvama kvadratima FB i GC Kvadrat
BDEC je konstruisan na BC a kvadrati FB GC na BA i AC Prema tome je kvadrat na
strani BC jednak kvadratima na stranama BA i AC
Dakle kod pravouglih trouglova je kvadrat na strani naspram pravog ugla ( na hipotenu-
zi) jednak kvadratima na stranama koje obrazuju prav ugao ( na katetama) A to je treba-
lo dokazati
U suštini se ovaj dokaz zasniva na tome da se iz podudarnosti trouglova IBC i ABD i
njihove jednakosti sa polovinama kvadrata FB i paralelograma BH zaključuje da je kva-
drat FB jednak paralelogramu BH
12 Obratna Pitagorina teorema
Koristeći prethodni dokaz stava 47 prve knjige Elemenata Euklid postavlja problem u
obrnutom smeru u završetku ove knjige u stavu 48 što još pouzdanije potvrđuje istini-
tost Pitagorine teoreme ( slika 3)
Ako je kod trougla kvadrat na jednoj strani jednak kvadratima na ostalim dvema stra-
nama onda je ugao koji obrazuju ove dve strane prav
U trouglu ABC kvadrat na jednoj njegovoj strani BC jednak je kvadratima na stranama
BA i AC Tvrdim da je ugao BAC prav(1)
Na veoma jednostavan način to je i dokazano Kroz tačku A povuče se prava AD upra-
vna na AC i prenese rastojanje AD jednako rastojanju AB zatim se spoje tačke D i C
Pošto je DA jednako AB onda je kvadrat na DA jednak kvadratu na AB Ako svakom
Slika 3
od njih dodamo kvadrat na AC onda će kvadrati na DA i AC biti jednaki kvadratima na
BA i AC Kvadrat na DC je jednak kvadratima na DA i AC jer je ugao DAC prav što
smo već zaključili u prethodnom stavu Pretpostavljeno je da je i kvadratima na BA i AC
jednak kvadrat na BC pa prema tome je i kvadrat na DC jednak kvadratu na BC Zato je i
strana DC jednaka strani BC Pošto je strana DA jednaka strani AB a AC zajednička
strana onda su i dve strane DA i AC jednake stranama BA i AC a i hipotenuza DC
jednaka je hipotenuzi BC -prema stavu I8 koji kaže da ako dva trougla imaju po dve
stranice jednake i jednake osnovice moraju biti i jednaki uglovi jednakih stranica pa
sledi da je ugao DAC koji je prav jednak uglu BAC koji je takođe prav
Dakle ako je kod trougla kvadrat na jednoj strani jednak kvadratima na ostalim dvema
stranama onda je ugao koji obrazuju ove dve strane prav A to je trebalo dokazati
2 NEKI POZNATI DOKAZI
21 Leonardov dokaz
Čuveni italijanski umetnik i naučnik Leonardo da Vinči izveo je dokaz Pitagorine teore-
me (3) uz pomoć simetrije i rotacije koju smo već definisali
Neka je ABC pravougli trougao čiji je prav ugao u temenu C Nad stranicama AB BC i
CA su konstruisani kvadrati AJHB BGFC i ACED Nad stranicom HJ konstruisan je tro-
ugao HJI koji je podudaran trouglu ABC odnosno zarotiran u odnosu na njega za 180˚ a
rotacijom smo dobili podudarnu figuru Šestougao AJIHBC je prepolovljen svojom dija-
gonalom CI Šestougao ABGFED je dobijen spajanjem tačaka E i F a prepolovljen je di-
jagonalom DG (slika 4) Pošto su trouglovi ABC i ECF simetrični u odnosu na dijago-
nalu DG samim tim su i direktno podudarni Tačke D C i G su kolinearne tj pripadaju
istoj pravoj Ako zarotiramo četvorougao DABG oko tačke A za 90˚ u smeru kretanja
kazaljke sata poklopiće se sa četvorouglom CAJI jer su im površine jednakeTo se za-
ključuje iz činjenice da su uglovi DAC i BAJ pravi tako da su i uglovi DAB i CAJ jed-
naki po aksiomu br 2 iz prve knjige Euklidovih Elemenata odnosno oba ugla su je-
dnaka zbiru pravog ugla i ugla CAB Takođe ugao AJI je jednak uglu ABG jer su oba
jednaka zbiru pravog ugla i ugla ABC To znači da duž AD prelazi u AC duž AB u AI
a duž BG u JI Ako se iz šestougla ABGFED izostave podudarni trouglovi ABC i ECF
njegova površina će biti jednaka zbiru površina kvadrata ACED i BCFG Ako iz površine
šestougla AJIHBC izostavimo površine podudarnih trouglova ABC i HJI shodno aksio-
mu br3 iste knjige ostaci će biti jednaki Dobićemo površinu koja je jednaka površini
kvadrata ABHJ pa dobijamo jednakost ACsup2 + BCsup2 = ABsup2
Slika 4
22 Garfildov dokaz
Suština ovog dokaza koji je izveo 20 predsednik SAD Džejms Garfild oko 1876 godi-
ne je jednostavna Na postojeći trougao se nadoveže njemu podudaran tako da se na is-
toj pravoj nalaze kraća kateta prvog i duža kateta drugog i da polaze iz istog temenaAko
spojimo druga dva temena koja pripadaju hipotenuzi dobićemo pravougli trapez sa dve
paralelne strane (leva je kateta b a desna je kateta a) Trapez sadrži osim prva dva tro-
ugla još jedan čije su katete stranice c (slika 5) Na jedan način površina trapeza se
može dobiti kao polovina proizvoda zbira stranice a i b Drugi način je da saberemo sve
tri površine trouglova na koje je podeljen
(a+b)sup2 = ab + ab + csup2 2 2 2 2odatle sledi asup2 + bsup2 = csup2
Slika 5
23 Dokaz Pitagorine teoreme pomoću sličnosti
Ovaj dokaz se izvodi na osnovu proporcionalnosti stranica odnosno na osnovu definicije
sličnosti
Preslikavanje kojim se jedna figura F preslikava u drugu figuru F1 naziva se sličnost
ako je razmera odgovarajućih duži isti broj i ako su odgovarajući uglovi jednaki
Neka su katete obeležene sa AB i AC a hipotenuza sa BC Iz uslova da je ugao A trougla
ABC prav sledi da je ABsup2 + ACsup2= BCsup2 Sa D ćemo obeležiti podnožje visine koja je
normalna na pravu BC Iz ovih uslova a uzimajući obzir VI knjigu stav 4 Euklidovih
Elemenata koji glasi
Kod trouglova sa jednakim uglovima su strane koje obrazuju jednake uglove propor-
cionalne i odgovaraju jedna drugoj one strane što leže naspram jednakih uglova(1)
Sledi da su trouglovi u sledećim odnosima
Trougao ABC je sličan trouglu DBA a trougao ABC je sličan trouglu DAC (Slika 6)
Tako da su zadovoljene sledeće relacije
ABBC = BDAB i ACBC = CD AC iz kojih sledi da je
ABsup2 = BC BD i ACsup2 = BC CD a iz ove dve jednakosti sledi da je
ABsup2 + ACsup2 = BC BD + BC CD = BC (BD + CD) = BCsup2
Slika 6
3 PRIMENA PITAGORINE TEOREME
31 Primena na trouglove
Poznata je njena primena na izračunavanje svih elemenata kod raznih vrsta trouglova i
ostalih geometrijskih tela kvadrata pravougaonika romba trapeza tako što uočimo pra-
vougli trougao u njima To pojednostavljuje računanje obima i površine tih figura
Pravougli
Jednakokraki
Jednakostranični
Nejednakostranični
O=a+b+cP= ab2 ili P= ch2 h=abcasup2+bsup2= csup2 Pitagorina teorema R =c2 r=(a+b-c)2 h=radicpq a=radicpc b=radicqc c=p+q
O=a+2bP= ah2hsup2+(a2)sup2 = bsup2
O=3a i P= (asup2radic3)4 h=(aradic3)2 ry=(13)h=(aradic3)6ro=(23)h=(aradic3)3
Kvadrat
Pravougaonik
Romb
32Primena na piramide
O=a+b+c P=ch2asup2=hsup2+qsup2bsup2=hsup2+psup2
P=asup2 O=4ad=aradic2 a=dradic2 a=(dradic2)2
dsup2=asup2+bsup2 P=abO=2a+2b
O=4a P=ah= (d1d2)2(d12)sup2 + (d22)sup2 = asup2
Pravilne piramide trostrana (sl7) četvorostrana (sl8) šestostrana (sl9)-
Slika 7 Slika 8 Slika 9
Uz pomoć Pitagorine teoreme izračunaćemo tražene elemente kod pravilnih piramida
trostranih četvorostranih šestostranih kao i kod ostalih geometrijskih tela tako što
ćemo uočiti u njima pravougle trouglove što nam pomaže u daljim proračunima
4 PITAGORINE TROJKE
Pitagorina trojka je uređena trojka prirodnih brojeva ab i c za koje važi jednakost
asup2+bsup2=csup2 Pitagorinu trojku čine celiobrojne dužine stranica pravouglog trougla Takav
trougao se naziva Pitagorin trougao Najmanja racionalna trojka je 3-4-5 Naravno to
nije jedina Pitagorina trojka Postoje još mnoge drugekao na primer 5-12-13 Još su
Vavilonci koji su živeli nekoliko hiljada godina pre ne na svojim glinenim pločama
zapisali Pitagorine trojke U starom Egiptu se koristio konopac sa zavezanim čvorovima
da bi se formirao pravougli trougao sa ovakvim stranicama (slika 1)
5 IRACIONALNI BROJEVI
P=B+MB=(asup2radic3)4M=3(ah2)V=(BH)3V=(asup2radic3H)12ssup2=hsup2+(a2)sup2ssup2=Rsup2+Hsup2R=(aradic3)3hsup2=rsup2+Hsup2r=(aradic3)6
P=B+M B=asup2M=4(ah2)==2ahV=BH3V=(asup2H)3ssup2=hsup2+(a2)sup2hsup2=Hsup2+(a2)sup2ssup2=(d2)sup2+Hsup2d=aradic2
P=B+MB=(6asup2radic3)4M=6(ah2)==3ahV=BH3V=(asup2radic3H)2ssup2=hsup2+(a2)sup2ssup2=asup2+Hsup2hsup2=Hsup2+(aradic32)sup2
Pretpostavlja se da su za otkriće iracionalnih brojeva zaslužni Pitagorejci ali nije poznato
da li su do toga došli proučavanjem geometrijske sredine ili razmatranjem dijagonale
kvadrata Pretpostavlja se da su logičkim putem dokazali da postoje nesamerljive duži
što je do tada bilo neshvatljivo Otkrili su postojanje iracionalnih brojeva tako što su do-
kazali nesamerljivost dijagonale kvadrata i njegove straniceDokazali su iracionalnost radic2
Iako se iracionalni brojevi ne mogu izraziti u obliku količnika dva cela broja mogu se
konstruisati uz pomoć lenjira i šestaraTako se radic2 koji se naziva Pitagorina konstanta
može dobiti kao hipotenuza pravouglog trougla čije katete iznose 1(slika 10)
Slika 10
6 PITAGORINO DRVO
Uz korišćenje Pitagorine teoreme konstruisanjem kvadrata nad katetama i hipotenuzom
mogu se dobiti razni geometrijski oblici - fraktali Fraktal je pojam kojim označavamo
geometrijski lik koji možemo da podelimo na beskonačan broj delova pri čemu će svaki
od njih biti isti ili sličan početnom liku Ime mu je dao Benoa Mendelbort 1975 godine
iz latinske reči fractus što znači - razlomljen Promenom vrednosti stranica možemo
dobiti razne simetrične (slika 11) i asimetrične figure( slika 12)
Slika 11 Pitagorino drvo
Slika 12Iskrivljeno Pitagorino drvo
ZAKLJUČAK
Značaj Pitagorine teoreme je prevazišao oblast geometrije tako da ima primenu u širim
naučnim disciplinama Njenim pravilnim formulisanjem Pitagora je ucrtao novu putanju
razvoja geometrije pa i celokupne matematike Širina primene je omogućena time što
većinu geometrijskih tela i figura možemo podeliti na pravougle trouglove i time olakšati
izračunavanje obima površine ili nekih drugih elemenata Smernice koje je Pitagora za-
jedno sa svojim sledbenicima Pitagorejcima dao pre dve hiljade godina i dalje su aktuelne
uprkos mnoštvu novih otkrića tokom vekova Njegova genijalnost da vidi stvari ispred
svog vremena je i dalje inspiracija naučnicima da proučavaju njegovu široku zaostavšti-
nu i da stalno uče iz nje
ZAHVALNOST
Zahvaljujem se svojoj nastavnici matematike Slađani Kosačević na pomoći i podršci
kao i svom mentoru profesorki matematike Vesni Rajšić na savetima u vezi ovog rada
KORIŠĆENI IZVORI I LITERATURA
(1) ABilimović - Prevod Euklidovih Elemenata u izdanju Matematičkog instituta Srpske akademije nauka
Između 1949 i 1957 godine
(2) Matematika -Opšta enciklopedija Larousse 1973 god
(3) http wwwcut-the-knotorgpythagorasindexshtml
(4) httpmathaboutcomodpythagoreansspythagdefhtm
(5) httpplanetmathorgencyclopediaProofOfPythagoreanTheoremhtml
(6) httpenwikipediaorgwikiPythagorean_theorem
(7) httpwwwsunsiteubccaDigitalMathArchiveEuclidjavahtmlbabylonhtml
Teorema Rotacija primenjena na figuru F daje direktno podudarnu figuru F`
11 Euklidov dokaz
Najsadržajniji prikaz Pitagorine teoreme dao je Euklid u svojim Elementima postavivši
je na posebno mesto u geometriji U prvoj knjizi u 47 stavu stoji sledeći iskaz
Kod pravouglih trouglova je kvadrat na strani naspram pravog ugla (na hipotenuzi)
jednak kvadratima na stranama koje obrazuju prav ugao (na katetama)
Neka je ABC pravougli trougao sa pravim uglom BAC Tvrdim da je kvadrat na BC
Jednak kvadratima na BA i AC(1)
Na osnovu 46 stava iste knjige na stranici BC konstruišimo kvadrat BDEC a na BA i
Slika 2
AC kvadrate kojima su dijagonale FB i GC Kroz tačku A povući ćemo pravu AH para-
lelnu svakoj od pravih BD i CE a zatim povući prave AD i IC (Slika 2) Pošto je svaki
od uglova BAC i BAF prav primenom 14 stava ove knjige znamo da prave AC AF
povučene nad pravom BA kroz istu njenu tačku A a sa raznih strana čine susedne ug-
love jednake dvema pravim uglovima pa su prave CA i AF u istoj pravoj Iz istog raz-
loga su i prave BA i AG u istoj pravoj Ugao DBC jednak je uglu IBA jer su oba prava
A kad dodamo svakom od njih ugao ABC biće ceo ugao DBA jednak celom uglu IBC
što se vidi iz 2 aksioma navedene knjige Pošto je strana DB jednaka strani BC a IB
strani BA to su dve strane DB i BA jednake stranama IB i BC i to odgovarajućim a
ugao DBA jednak uglu IBC a tada je i osnovica AD jednaka osnovici IC i trougao
ABD jednak trouglu IBC a prema stavu o dve jednake stranice i uglu između njih Ako
uzmemo u obzir stav 41 ove knjige paralelogram čija je dijagonala BH je dva puta veći
od trougla ABD jer imaju istu osnovicu BD i između su istih paralelnih BD i AH I kva-
drat FB je dva puta veći od trougla IBC jer i oni imaju istu osnovicu IB i između istih su
paralela IB i FC Prema tome je paralelogram BH jednak kvadratu FB Na sličan način
se pomoću povučenih pravih AE i BK može dokazati da je paralelogram CH jednak kva-
dratu GC Prema tome je ceo kvadrat BDEC jednak dvama kvadratima FB i GC Kvadrat
BDEC je konstruisan na BC a kvadrati FB GC na BA i AC Prema tome je kvadrat na
strani BC jednak kvadratima na stranama BA i AC
Dakle kod pravouglih trouglova je kvadrat na strani naspram pravog ugla ( na hipotenu-
zi) jednak kvadratima na stranama koje obrazuju prav ugao ( na katetama) A to je treba-
lo dokazati
U suštini se ovaj dokaz zasniva na tome da se iz podudarnosti trouglova IBC i ABD i
njihove jednakosti sa polovinama kvadrata FB i paralelograma BH zaključuje da je kva-
drat FB jednak paralelogramu BH
12 Obratna Pitagorina teorema
Koristeći prethodni dokaz stava 47 prve knjige Elemenata Euklid postavlja problem u
obrnutom smeru u završetku ove knjige u stavu 48 što još pouzdanije potvrđuje istini-
tost Pitagorine teoreme ( slika 3)
Ako je kod trougla kvadrat na jednoj strani jednak kvadratima na ostalim dvema stra-
nama onda je ugao koji obrazuju ove dve strane prav
U trouglu ABC kvadrat na jednoj njegovoj strani BC jednak je kvadratima na stranama
BA i AC Tvrdim da je ugao BAC prav(1)
Na veoma jednostavan način to je i dokazano Kroz tačku A povuče se prava AD upra-
vna na AC i prenese rastojanje AD jednako rastojanju AB zatim se spoje tačke D i C
Pošto je DA jednako AB onda je kvadrat na DA jednak kvadratu na AB Ako svakom
Slika 3
od njih dodamo kvadrat na AC onda će kvadrati na DA i AC biti jednaki kvadratima na
BA i AC Kvadrat na DC je jednak kvadratima na DA i AC jer je ugao DAC prav što
smo već zaključili u prethodnom stavu Pretpostavljeno je da je i kvadratima na BA i AC
jednak kvadrat na BC pa prema tome je i kvadrat na DC jednak kvadratu na BC Zato je i
strana DC jednaka strani BC Pošto je strana DA jednaka strani AB a AC zajednička
strana onda su i dve strane DA i AC jednake stranama BA i AC a i hipotenuza DC
jednaka je hipotenuzi BC -prema stavu I8 koji kaže da ako dva trougla imaju po dve
stranice jednake i jednake osnovice moraju biti i jednaki uglovi jednakih stranica pa
sledi da je ugao DAC koji je prav jednak uglu BAC koji je takođe prav
Dakle ako je kod trougla kvadrat na jednoj strani jednak kvadratima na ostalim dvema
stranama onda je ugao koji obrazuju ove dve strane prav A to je trebalo dokazati
2 NEKI POZNATI DOKAZI
21 Leonardov dokaz
Čuveni italijanski umetnik i naučnik Leonardo da Vinči izveo je dokaz Pitagorine teore-
me (3) uz pomoć simetrije i rotacije koju smo već definisali
Neka je ABC pravougli trougao čiji je prav ugao u temenu C Nad stranicama AB BC i
CA su konstruisani kvadrati AJHB BGFC i ACED Nad stranicom HJ konstruisan je tro-
ugao HJI koji je podudaran trouglu ABC odnosno zarotiran u odnosu na njega za 180˚ a
rotacijom smo dobili podudarnu figuru Šestougao AJIHBC je prepolovljen svojom dija-
gonalom CI Šestougao ABGFED je dobijen spajanjem tačaka E i F a prepolovljen je di-
jagonalom DG (slika 4) Pošto su trouglovi ABC i ECF simetrični u odnosu na dijago-
nalu DG samim tim su i direktno podudarni Tačke D C i G su kolinearne tj pripadaju
istoj pravoj Ako zarotiramo četvorougao DABG oko tačke A za 90˚ u smeru kretanja
kazaljke sata poklopiće se sa četvorouglom CAJI jer su im površine jednakeTo se za-
ključuje iz činjenice da su uglovi DAC i BAJ pravi tako da su i uglovi DAB i CAJ jed-
naki po aksiomu br 2 iz prve knjige Euklidovih Elemenata odnosno oba ugla su je-
dnaka zbiru pravog ugla i ugla CAB Takođe ugao AJI je jednak uglu ABG jer su oba
jednaka zbiru pravog ugla i ugla ABC To znači da duž AD prelazi u AC duž AB u AI
a duž BG u JI Ako se iz šestougla ABGFED izostave podudarni trouglovi ABC i ECF
njegova površina će biti jednaka zbiru površina kvadrata ACED i BCFG Ako iz površine
šestougla AJIHBC izostavimo površine podudarnih trouglova ABC i HJI shodno aksio-
mu br3 iste knjige ostaci će biti jednaki Dobićemo površinu koja je jednaka površini
kvadrata ABHJ pa dobijamo jednakost ACsup2 + BCsup2 = ABsup2
Slika 4
22 Garfildov dokaz
Suština ovog dokaza koji je izveo 20 predsednik SAD Džejms Garfild oko 1876 godi-
ne je jednostavna Na postojeći trougao se nadoveže njemu podudaran tako da se na is-
toj pravoj nalaze kraća kateta prvog i duža kateta drugog i da polaze iz istog temenaAko
spojimo druga dva temena koja pripadaju hipotenuzi dobićemo pravougli trapez sa dve
paralelne strane (leva je kateta b a desna je kateta a) Trapez sadrži osim prva dva tro-
ugla još jedan čije su katete stranice c (slika 5) Na jedan način površina trapeza se
može dobiti kao polovina proizvoda zbira stranice a i b Drugi način je da saberemo sve
tri površine trouglova na koje je podeljen
(a+b)sup2 = ab + ab + csup2 2 2 2 2odatle sledi asup2 + bsup2 = csup2
Slika 5
23 Dokaz Pitagorine teoreme pomoću sličnosti
Ovaj dokaz se izvodi na osnovu proporcionalnosti stranica odnosno na osnovu definicije
sličnosti
Preslikavanje kojim se jedna figura F preslikava u drugu figuru F1 naziva se sličnost
ako je razmera odgovarajućih duži isti broj i ako su odgovarajući uglovi jednaki
Neka su katete obeležene sa AB i AC a hipotenuza sa BC Iz uslova da je ugao A trougla
ABC prav sledi da je ABsup2 + ACsup2= BCsup2 Sa D ćemo obeležiti podnožje visine koja je
normalna na pravu BC Iz ovih uslova a uzimajući obzir VI knjigu stav 4 Euklidovih
Elemenata koji glasi
Kod trouglova sa jednakim uglovima su strane koje obrazuju jednake uglove propor-
cionalne i odgovaraju jedna drugoj one strane što leže naspram jednakih uglova(1)
Sledi da su trouglovi u sledećim odnosima
Trougao ABC je sličan trouglu DBA a trougao ABC je sličan trouglu DAC (Slika 6)
Tako da su zadovoljene sledeće relacije
ABBC = BDAB i ACBC = CD AC iz kojih sledi da je
ABsup2 = BC BD i ACsup2 = BC CD a iz ove dve jednakosti sledi da je
ABsup2 + ACsup2 = BC BD + BC CD = BC (BD + CD) = BCsup2
Slika 6
3 PRIMENA PITAGORINE TEOREME
31 Primena na trouglove
Poznata je njena primena na izračunavanje svih elemenata kod raznih vrsta trouglova i
ostalih geometrijskih tela kvadrata pravougaonika romba trapeza tako što uočimo pra-
vougli trougao u njima To pojednostavljuje računanje obima i površine tih figura
Pravougli
Jednakokraki
Jednakostranični
Nejednakostranični
O=a+b+cP= ab2 ili P= ch2 h=abcasup2+bsup2= csup2 Pitagorina teorema R =c2 r=(a+b-c)2 h=radicpq a=radicpc b=radicqc c=p+q
O=a+2bP= ah2hsup2+(a2)sup2 = bsup2
O=3a i P= (asup2radic3)4 h=(aradic3)2 ry=(13)h=(aradic3)6ro=(23)h=(aradic3)3
Kvadrat
Pravougaonik
Romb
32Primena na piramide
O=a+b+c P=ch2asup2=hsup2+qsup2bsup2=hsup2+psup2
P=asup2 O=4ad=aradic2 a=dradic2 a=(dradic2)2
dsup2=asup2+bsup2 P=abO=2a+2b
O=4a P=ah= (d1d2)2(d12)sup2 + (d22)sup2 = asup2
Pravilne piramide trostrana (sl7) četvorostrana (sl8) šestostrana (sl9)-
Slika 7 Slika 8 Slika 9
Uz pomoć Pitagorine teoreme izračunaćemo tražene elemente kod pravilnih piramida
trostranih četvorostranih šestostranih kao i kod ostalih geometrijskih tela tako što
ćemo uočiti u njima pravougle trouglove što nam pomaže u daljim proračunima
4 PITAGORINE TROJKE
Pitagorina trojka je uređena trojka prirodnih brojeva ab i c za koje važi jednakost
asup2+bsup2=csup2 Pitagorinu trojku čine celiobrojne dužine stranica pravouglog trougla Takav
trougao se naziva Pitagorin trougao Najmanja racionalna trojka je 3-4-5 Naravno to
nije jedina Pitagorina trojka Postoje još mnoge drugekao na primer 5-12-13 Još su
Vavilonci koji su živeli nekoliko hiljada godina pre ne na svojim glinenim pločama
zapisali Pitagorine trojke U starom Egiptu se koristio konopac sa zavezanim čvorovima
da bi se formirao pravougli trougao sa ovakvim stranicama (slika 1)
5 IRACIONALNI BROJEVI
P=B+MB=(asup2radic3)4M=3(ah2)V=(BH)3V=(asup2radic3H)12ssup2=hsup2+(a2)sup2ssup2=Rsup2+Hsup2R=(aradic3)3hsup2=rsup2+Hsup2r=(aradic3)6
P=B+M B=asup2M=4(ah2)==2ahV=BH3V=(asup2H)3ssup2=hsup2+(a2)sup2hsup2=Hsup2+(a2)sup2ssup2=(d2)sup2+Hsup2d=aradic2
P=B+MB=(6asup2radic3)4M=6(ah2)==3ahV=BH3V=(asup2radic3H)2ssup2=hsup2+(a2)sup2ssup2=asup2+Hsup2hsup2=Hsup2+(aradic32)sup2
Pretpostavlja se da su za otkriće iracionalnih brojeva zaslužni Pitagorejci ali nije poznato
da li su do toga došli proučavanjem geometrijske sredine ili razmatranjem dijagonale
kvadrata Pretpostavlja se da su logičkim putem dokazali da postoje nesamerljive duži
što je do tada bilo neshvatljivo Otkrili su postojanje iracionalnih brojeva tako što su do-
kazali nesamerljivost dijagonale kvadrata i njegove straniceDokazali su iracionalnost radic2
Iako se iracionalni brojevi ne mogu izraziti u obliku količnika dva cela broja mogu se
konstruisati uz pomoć lenjira i šestaraTako se radic2 koji se naziva Pitagorina konstanta
može dobiti kao hipotenuza pravouglog trougla čije katete iznose 1(slika 10)
Slika 10
6 PITAGORINO DRVO
Uz korišćenje Pitagorine teoreme konstruisanjem kvadrata nad katetama i hipotenuzom
mogu se dobiti razni geometrijski oblici - fraktali Fraktal je pojam kojim označavamo
geometrijski lik koji možemo da podelimo na beskonačan broj delova pri čemu će svaki
od njih biti isti ili sličan početnom liku Ime mu je dao Benoa Mendelbort 1975 godine
iz latinske reči fractus što znači - razlomljen Promenom vrednosti stranica možemo
dobiti razne simetrične (slika 11) i asimetrične figure( slika 12)
Slika 11 Pitagorino drvo
Slika 12Iskrivljeno Pitagorino drvo
ZAKLJUČAK
Značaj Pitagorine teoreme je prevazišao oblast geometrije tako da ima primenu u širim
naučnim disciplinama Njenim pravilnim formulisanjem Pitagora je ucrtao novu putanju
razvoja geometrije pa i celokupne matematike Širina primene je omogućena time što
većinu geometrijskih tela i figura možemo podeliti na pravougle trouglove i time olakšati
izračunavanje obima površine ili nekih drugih elemenata Smernice koje je Pitagora za-
jedno sa svojim sledbenicima Pitagorejcima dao pre dve hiljade godina i dalje su aktuelne
uprkos mnoštvu novih otkrića tokom vekova Njegova genijalnost da vidi stvari ispred
svog vremena je i dalje inspiracija naučnicima da proučavaju njegovu široku zaostavšti-
nu i da stalno uče iz nje
ZAHVALNOST
Zahvaljujem se svojoj nastavnici matematike Slađani Kosačević na pomoći i podršci
kao i svom mentoru profesorki matematike Vesni Rajšić na savetima u vezi ovog rada
KORIŠĆENI IZVORI I LITERATURA
(1) ABilimović - Prevod Euklidovih Elemenata u izdanju Matematičkog instituta Srpske akademije nauka
Između 1949 i 1957 godine
(2) Matematika -Opšta enciklopedija Larousse 1973 god
(3) http wwwcut-the-knotorgpythagorasindexshtml
(4) httpmathaboutcomodpythagoreansspythagdefhtm
(5) httpplanetmathorgencyclopediaProofOfPythagoreanTheoremhtml
(6) httpenwikipediaorgwikiPythagorean_theorem
(7) httpwwwsunsiteubccaDigitalMathArchiveEuclidjavahtmlbabylonhtml
uzmemo u obzir stav 41 ove knjige paralelogram čija je dijagonala BH je dva puta veći
od trougla ABD jer imaju istu osnovicu BD i između su istih paralelnih BD i AH I kva-
drat FB je dva puta veći od trougla IBC jer i oni imaju istu osnovicu IB i između istih su
paralela IB i FC Prema tome je paralelogram BH jednak kvadratu FB Na sličan način
se pomoću povučenih pravih AE i BK može dokazati da je paralelogram CH jednak kva-
dratu GC Prema tome je ceo kvadrat BDEC jednak dvama kvadratima FB i GC Kvadrat
BDEC je konstruisan na BC a kvadrati FB GC na BA i AC Prema tome je kvadrat na
strani BC jednak kvadratima na stranama BA i AC
Dakle kod pravouglih trouglova je kvadrat na strani naspram pravog ugla ( na hipotenu-
zi) jednak kvadratima na stranama koje obrazuju prav ugao ( na katetama) A to je treba-
lo dokazati
U suštini se ovaj dokaz zasniva na tome da se iz podudarnosti trouglova IBC i ABD i
njihove jednakosti sa polovinama kvadrata FB i paralelograma BH zaključuje da je kva-
drat FB jednak paralelogramu BH
12 Obratna Pitagorina teorema
Koristeći prethodni dokaz stava 47 prve knjige Elemenata Euklid postavlja problem u
obrnutom smeru u završetku ove knjige u stavu 48 što još pouzdanije potvrđuje istini-
tost Pitagorine teoreme ( slika 3)
Ako je kod trougla kvadrat na jednoj strani jednak kvadratima na ostalim dvema stra-
nama onda je ugao koji obrazuju ove dve strane prav
U trouglu ABC kvadrat na jednoj njegovoj strani BC jednak je kvadratima na stranama
BA i AC Tvrdim da je ugao BAC prav(1)
Na veoma jednostavan način to je i dokazano Kroz tačku A povuče se prava AD upra-
vna na AC i prenese rastojanje AD jednako rastojanju AB zatim se spoje tačke D i C
Pošto je DA jednako AB onda je kvadrat na DA jednak kvadratu na AB Ako svakom
Slika 3
od njih dodamo kvadrat na AC onda će kvadrati na DA i AC biti jednaki kvadratima na
BA i AC Kvadrat na DC je jednak kvadratima na DA i AC jer je ugao DAC prav što
smo već zaključili u prethodnom stavu Pretpostavljeno je da je i kvadratima na BA i AC
jednak kvadrat na BC pa prema tome je i kvadrat na DC jednak kvadratu na BC Zato je i
strana DC jednaka strani BC Pošto je strana DA jednaka strani AB a AC zajednička
strana onda su i dve strane DA i AC jednake stranama BA i AC a i hipotenuza DC
jednaka je hipotenuzi BC -prema stavu I8 koji kaže da ako dva trougla imaju po dve
stranice jednake i jednake osnovice moraju biti i jednaki uglovi jednakih stranica pa
sledi da je ugao DAC koji je prav jednak uglu BAC koji je takođe prav
Dakle ako je kod trougla kvadrat na jednoj strani jednak kvadratima na ostalim dvema
stranama onda je ugao koji obrazuju ove dve strane prav A to je trebalo dokazati
2 NEKI POZNATI DOKAZI
21 Leonardov dokaz
Čuveni italijanski umetnik i naučnik Leonardo da Vinči izveo je dokaz Pitagorine teore-
me (3) uz pomoć simetrije i rotacije koju smo već definisali
Neka je ABC pravougli trougao čiji je prav ugao u temenu C Nad stranicama AB BC i
CA su konstruisani kvadrati AJHB BGFC i ACED Nad stranicom HJ konstruisan je tro-
ugao HJI koji je podudaran trouglu ABC odnosno zarotiran u odnosu na njega za 180˚ a
rotacijom smo dobili podudarnu figuru Šestougao AJIHBC je prepolovljen svojom dija-
gonalom CI Šestougao ABGFED je dobijen spajanjem tačaka E i F a prepolovljen je di-
jagonalom DG (slika 4) Pošto su trouglovi ABC i ECF simetrični u odnosu na dijago-
nalu DG samim tim su i direktno podudarni Tačke D C i G su kolinearne tj pripadaju
istoj pravoj Ako zarotiramo četvorougao DABG oko tačke A za 90˚ u smeru kretanja
kazaljke sata poklopiće se sa četvorouglom CAJI jer su im površine jednakeTo se za-
ključuje iz činjenice da su uglovi DAC i BAJ pravi tako da su i uglovi DAB i CAJ jed-
naki po aksiomu br 2 iz prve knjige Euklidovih Elemenata odnosno oba ugla su je-
dnaka zbiru pravog ugla i ugla CAB Takođe ugao AJI je jednak uglu ABG jer su oba
jednaka zbiru pravog ugla i ugla ABC To znači da duž AD prelazi u AC duž AB u AI
a duž BG u JI Ako se iz šestougla ABGFED izostave podudarni trouglovi ABC i ECF
njegova površina će biti jednaka zbiru površina kvadrata ACED i BCFG Ako iz površine
šestougla AJIHBC izostavimo površine podudarnih trouglova ABC i HJI shodno aksio-
mu br3 iste knjige ostaci će biti jednaki Dobićemo površinu koja je jednaka površini
kvadrata ABHJ pa dobijamo jednakost ACsup2 + BCsup2 = ABsup2
Slika 4
22 Garfildov dokaz
Suština ovog dokaza koji je izveo 20 predsednik SAD Džejms Garfild oko 1876 godi-
ne je jednostavna Na postojeći trougao se nadoveže njemu podudaran tako da se na is-
toj pravoj nalaze kraća kateta prvog i duža kateta drugog i da polaze iz istog temenaAko
spojimo druga dva temena koja pripadaju hipotenuzi dobićemo pravougli trapez sa dve
paralelne strane (leva je kateta b a desna je kateta a) Trapez sadrži osim prva dva tro-
ugla još jedan čije su katete stranice c (slika 5) Na jedan način površina trapeza se
može dobiti kao polovina proizvoda zbira stranice a i b Drugi način je da saberemo sve
tri površine trouglova na koje je podeljen
(a+b)sup2 = ab + ab + csup2 2 2 2 2odatle sledi asup2 + bsup2 = csup2
Slika 5
23 Dokaz Pitagorine teoreme pomoću sličnosti
Ovaj dokaz se izvodi na osnovu proporcionalnosti stranica odnosno na osnovu definicije
sličnosti
Preslikavanje kojim se jedna figura F preslikava u drugu figuru F1 naziva se sličnost
ako je razmera odgovarajućih duži isti broj i ako su odgovarajući uglovi jednaki
Neka su katete obeležene sa AB i AC a hipotenuza sa BC Iz uslova da je ugao A trougla
ABC prav sledi da je ABsup2 + ACsup2= BCsup2 Sa D ćemo obeležiti podnožje visine koja je
normalna na pravu BC Iz ovih uslova a uzimajući obzir VI knjigu stav 4 Euklidovih
Elemenata koji glasi
Kod trouglova sa jednakim uglovima su strane koje obrazuju jednake uglove propor-
cionalne i odgovaraju jedna drugoj one strane što leže naspram jednakih uglova(1)
Sledi da su trouglovi u sledećim odnosima
Trougao ABC je sličan trouglu DBA a trougao ABC je sličan trouglu DAC (Slika 6)
Tako da su zadovoljene sledeće relacije
ABBC = BDAB i ACBC = CD AC iz kojih sledi da je
ABsup2 = BC BD i ACsup2 = BC CD a iz ove dve jednakosti sledi da je
ABsup2 + ACsup2 = BC BD + BC CD = BC (BD + CD) = BCsup2
Slika 6
3 PRIMENA PITAGORINE TEOREME
31 Primena na trouglove
Poznata je njena primena na izračunavanje svih elemenata kod raznih vrsta trouglova i
ostalih geometrijskih tela kvadrata pravougaonika romba trapeza tako što uočimo pra-
vougli trougao u njima To pojednostavljuje računanje obima i površine tih figura
Pravougli
Jednakokraki
Jednakostranični
Nejednakostranični
O=a+b+cP= ab2 ili P= ch2 h=abcasup2+bsup2= csup2 Pitagorina teorema R =c2 r=(a+b-c)2 h=radicpq a=radicpc b=radicqc c=p+q
O=a+2bP= ah2hsup2+(a2)sup2 = bsup2
O=3a i P= (asup2radic3)4 h=(aradic3)2 ry=(13)h=(aradic3)6ro=(23)h=(aradic3)3
Kvadrat
Pravougaonik
Romb
32Primena na piramide
O=a+b+c P=ch2asup2=hsup2+qsup2bsup2=hsup2+psup2
P=asup2 O=4ad=aradic2 a=dradic2 a=(dradic2)2
dsup2=asup2+bsup2 P=abO=2a+2b
O=4a P=ah= (d1d2)2(d12)sup2 + (d22)sup2 = asup2
Pravilne piramide trostrana (sl7) četvorostrana (sl8) šestostrana (sl9)-
Slika 7 Slika 8 Slika 9
Uz pomoć Pitagorine teoreme izračunaćemo tražene elemente kod pravilnih piramida
trostranih četvorostranih šestostranih kao i kod ostalih geometrijskih tela tako što
ćemo uočiti u njima pravougle trouglove što nam pomaže u daljim proračunima
4 PITAGORINE TROJKE
Pitagorina trojka je uređena trojka prirodnih brojeva ab i c za koje važi jednakost
asup2+bsup2=csup2 Pitagorinu trojku čine celiobrojne dužine stranica pravouglog trougla Takav
trougao se naziva Pitagorin trougao Najmanja racionalna trojka je 3-4-5 Naravno to
nije jedina Pitagorina trojka Postoje još mnoge drugekao na primer 5-12-13 Još su
Vavilonci koji su živeli nekoliko hiljada godina pre ne na svojim glinenim pločama
zapisali Pitagorine trojke U starom Egiptu se koristio konopac sa zavezanim čvorovima
da bi se formirao pravougli trougao sa ovakvim stranicama (slika 1)
5 IRACIONALNI BROJEVI
P=B+MB=(asup2radic3)4M=3(ah2)V=(BH)3V=(asup2radic3H)12ssup2=hsup2+(a2)sup2ssup2=Rsup2+Hsup2R=(aradic3)3hsup2=rsup2+Hsup2r=(aradic3)6
P=B+M B=asup2M=4(ah2)==2ahV=BH3V=(asup2H)3ssup2=hsup2+(a2)sup2hsup2=Hsup2+(a2)sup2ssup2=(d2)sup2+Hsup2d=aradic2
P=B+MB=(6asup2radic3)4M=6(ah2)==3ahV=BH3V=(asup2radic3H)2ssup2=hsup2+(a2)sup2ssup2=asup2+Hsup2hsup2=Hsup2+(aradic32)sup2
Pretpostavlja se da su za otkriće iracionalnih brojeva zaslužni Pitagorejci ali nije poznato
da li su do toga došli proučavanjem geometrijske sredine ili razmatranjem dijagonale
kvadrata Pretpostavlja se da su logičkim putem dokazali da postoje nesamerljive duži
što je do tada bilo neshvatljivo Otkrili su postojanje iracionalnih brojeva tako što su do-
kazali nesamerljivost dijagonale kvadrata i njegove straniceDokazali su iracionalnost radic2
Iako se iracionalni brojevi ne mogu izraziti u obliku količnika dva cela broja mogu se
konstruisati uz pomoć lenjira i šestaraTako se radic2 koji se naziva Pitagorina konstanta
može dobiti kao hipotenuza pravouglog trougla čije katete iznose 1(slika 10)
Slika 10
6 PITAGORINO DRVO
Uz korišćenje Pitagorine teoreme konstruisanjem kvadrata nad katetama i hipotenuzom
mogu se dobiti razni geometrijski oblici - fraktali Fraktal je pojam kojim označavamo
geometrijski lik koji možemo da podelimo na beskonačan broj delova pri čemu će svaki
od njih biti isti ili sličan početnom liku Ime mu je dao Benoa Mendelbort 1975 godine
iz latinske reči fractus što znači - razlomljen Promenom vrednosti stranica možemo
dobiti razne simetrične (slika 11) i asimetrične figure( slika 12)
Slika 11 Pitagorino drvo
Slika 12Iskrivljeno Pitagorino drvo
ZAKLJUČAK
Značaj Pitagorine teoreme je prevazišao oblast geometrije tako da ima primenu u širim
naučnim disciplinama Njenim pravilnim formulisanjem Pitagora je ucrtao novu putanju
razvoja geometrije pa i celokupne matematike Širina primene je omogućena time što
većinu geometrijskih tela i figura možemo podeliti na pravougle trouglove i time olakšati
izračunavanje obima površine ili nekih drugih elemenata Smernice koje je Pitagora za-
jedno sa svojim sledbenicima Pitagorejcima dao pre dve hiljade godina i dalje su aktuelne
uprkos mnoštvu novih otkrića tokom vekova Njegova genijalnost da vidi stvari ispred
svog vremena je i dalje inspiracija naučnicima da proučavaju njegovu široku zaostavšti-
nu i da stalno uče iz nje
ZAHVALNOST
Zahvaljujem se svojoj nastavnici matematike Slađani Kosačević na pomoći i podršci
kao i svom mentoru profesorki matematike Vesni Rajšić na savetima u vezi ovog rada
KORIŠĆENI IZVORI I LITERATURA
(1) ABilimović - Prevod Euklidovih Elemenata u izdanju Matematičkog instituta Srpske akademije nauka
Između 1949 i 1957 godine
(2) Matematika -Opšta enciklopedija Larousse 1973 god
(3) http wwwcut-the-knotorgpythagorasindexshtml
(4) httpmathaboutcomodpythagoreansspythagdefhtm
(5) httpplanetmathorgencyclopediaProofOfPythagoreanTheoremhtml
(6) httpenwikipediaorgwikiPythagorean_theorem
(7) httpwwwsunsiteubccaDigitalMathArchiveEuclidjavahtmlbabylonhtml
Slika 3
od njih dodamo kvadrat na AC onda će kvadrati na DA i AC biti jednaki kvadratima na
BA i AC Kvadrat na DC je jednak kvadratima na DA i AC jer je ugao DAC prav što
smo već zaključili u prethodnom stavu Pretpostavljeno je da je i kvadratima na BA i AC
jednak kvadrat na BC pa prema tome je i kvadrat na DC jednak kvadratu na BC Zato je i
strana DC jednaka strani BC Pošto je strana DA jednaka strani AB a AC zajednička
strana onda su i dve strane DA i AC jednake stranama BA i AC a i hipotenuza DC
jednaka je hipotenuzi BC -prema stavu I8 koji kaže da ako dva trougla imaju po dve
stranice jednake i jednake osnovice moraju biti i jednaki uglovi jednakih stranica pa
sledi da je ugao DAC koji je prav jednak uglu BAC koji je takođe prav
Dakle ako je kod trougla kvadrat na jednoj strani jednak kvadratima na ostalim dvema
stranama onda je ugao koji obrazuju ove dve strane prav A to je trebalo dokazati
2 NEKI POZNATI DOKAZI
21 Leonardov dokaz
Čuveni italijanski umetnik i naučnik Leonardo da Vinči izveo je dokaz Pitagorine teore-
me (3) uz pomoć simetrije i rotacije koju smo već definisali
Neka je ABC pravougli trougao čiji je prav ugao u temenu C Nad stranicama AB BC i
CA su konstruisani kvadrati AJHB BGFC i ACED Nad stranicom HJ konstruisan je tro-
ugao HJI koji je podudaran trouglu ABC odnosno zarotiran u odnosu na njega za 180˚ a
rotacijom smo dobili podudarnu figuru Šestougao AJIHBC je prepolovljen svojom dija-
gonalom CI Šestougao ABGFED je dobijen spajanjem tačaka E i F a prepolovljen je di-
jagonalom DG (slika 4) Pošto su trouglovi ABC i ECF simetrični u odnosu na dijago-
nalu DG samim tim su i direktno podudarni Tačke D C i G su kolinearne tj pripadaju
istoj pravoj Ako zarotiramo četvorougao DABG oko tačke A za 90˚ u smeru kretanja
kazaljke sata poklopiće se sa četvorouglom CAJI jer su im površine jednakeTo se za-
ključuje iz činjenice da su uglovi DAC i BAJ pravi tako da su i uglovi DAB i CAJ jed-
naki po aksiomu br 2 iz prve knjige Euklidovih Elemenata odnosno oba ugla su je-
dnaka zbiru pravog ugla i ugla CAB Takođe ugao AJI je jednak uglu ABG jer su oba
jednaka zbiru pravog ugla i ugla ABC To znači da duž AD prelazi u AC duž AB u AI
a duž BG u JI Ako se iz šestougla ABGFED izostave podudarni trouglovi ABC i ECF
njegova površina će biti jednaka zbiru površina kvadrata ACED i BCFG Ako iz površine
šestougla AJIHBC izostavimo površine podudarnih trouglova ABC i HJI shodno aksio-
mu br3 iste knjige ostaci će biti jednaki Dobićemo površinu koja je jednaka površini
kvadrata ABHJ pa dobijamo jednakost ACsup2 + BCsup2 = ABsup2
Slika 4
22 Garfildov dokaz
Suština ovog dokaza koji je izveo 20 predsednik SAD Džejms Garfild oko 1876 godi-
ne je jednostavna Na postojeći trougao se nadoveže njemu podudaran tako da se na is-
toj pravoj nalaze kraća kateta prvog i duža kateta drugog i da polaze iz istog temenaAko
spojimo druga dva temena koja pripadaju hipotenuzi dobićemo pravougli trapez sa dve
paralelne strane (leva je kateta b a desna je kateta a) Trapez sadrži osim prva dva tro-
ugla još jedan čije su katete stranice c (slika 5) Na jedan način površina trapeza se
može dobiti kao polovina proizvoda zbira stranice a i b Drugi način je da saberemo sve
tri površine trouglova na koje je podeljen
(a+b)sup2 = ab + ab + csup2 2 2 2 2odatle sledi asup2 + bsup2 = csup2
Slika 5
23 Dokaz Pitagorine teoreme pomoću sličnosti
Ovaj dokaz se izvodi na osnovu proporcionalnosti stranica odnosno na osnovu definicije
sličnosti
Preslikavanje kojim se jedna figura F preslikava u drugu figuru F1 naziva se sličnost
ako je razmera odgovarajućih duži isti broj i ako su odgovarajući uglovi jednaki
Neka su katete obeležene sa AB i AC a hipotenuza sa BC Iz uslova da je ugao A trougla
ABC prav sledi da je ABsup2 + ACsup2= BCsup2 Sa D ćemo obeležiti podnožje visine koja je
normalna na pravu BC Iz ovih uslova a uzimajući obzir VI knjigu stav 4 Euklidovih
Elemenata koji glasi
Kod trouglova sa jednakim uglovima su strane koje obrazuju jednake uglove propor-
cionalne i odgovaraju jedna drugoj one strane što leže naspram jednakih uglova(1)
Sledi da su trouglovi u sledećim odnosima
Trougao ABC je sličan trouglu DBA a trougao ABC je sličan trouglu DAC (Slika 6)
Tako da su zadovoljene sledeće relacije
ABBC = BDAB i ACBC = CD AC iz kojih sledi da je
ABsup2 = BC BD i ACsup2 = BC CD a iz ove dve jednakosti sledi da je
ABsup2 + ACsup2 = BC BD + BC CD = BC (BD + CD) = BCsup2
Slika 6
3 PRIMENA PITAGORINE TEOREME
31 Primena na trouglove
Poznata je njena primena na izračunavanje svih elemenata kod raznih vrsta trouglova i
ostalih geometrijskih tela kvadrata pravougaonika romba trapeza tako što uočimo pra-
vougli trougao u njima To pojednostavljuje računanje obima i površine tih figura
Pravougli
Jednakokraki
Jednakostranični
Nejednakostranični
O=a+b+cP= ab2 ili P= ch2 h=abcasup2+bsup2= csup2 Pitagorina teorema R =c2 r=(a+b-c)2 h=radicpq a=radicpc b=radicqc c=p+q
O=a+2bP= ah2hsup2+(a2)sup2 = bsup2
O=3a i P= (asup2radic3)4 h=(aradic3)2 ry=(13)h=(aradic3)6ro=(23)h=(aradic3)3
Kvadrat
Pravougaonik
Romb
32Primena na piramide
O=a+b+c P=ch2asup2=hsup2+qsup2bsup2=hsup2+psup2
P=asup2 O=4ad=aradic2 a=dradic2 a=(dradic2)2
dsup2=asup2+bsup2 P=abO=2a+2b
O=4a P=ah= (d1d2)2(d12)sup2 + (d22)sup2 = asup2
Pravilne piramide trostrana (sl7) četvorostrana (sl8) šestostrana (sl9)-
Slika 7 Slika 8 Slika 9
Uz pomoć Pitagorine teoreme izračunaćemo tražene elemente kod pravilnih piramida
trostranih četvorostranih šestostranih kao i kod ostalih geometrijskih tela tako što
ćemo uočiti u njima pravougle trouglove što nam pomaže u daljim proračunima
4 PITAGORINE TROJKE
Pitagorina trojka je uređena trojka prirodnih brojeva ab i c za koje važi jednakost
asup2+bsup2=csup2 Pitagorinu trojku čine celiobrojne dužine stranica pravouglog trougla Takav
trougao se naziva Pitagorin trougao Najmanja racionalna trojka je 3-4-5 Naravno to
nije jedina Pitagorina trojka Postoje još mnoge drugekao na primer 5-12-13 Još su
Vavilonci koji su živeli nekoliko hiljada godina pre ne na svojim glinenim pločama
zapisali Pitagorine trojke U starom Egiptu se koristio konopac sa zavezanim čvorovima
da bi se formirao pravougli trougao sa ovakvim stranicama (slika 1)
5 IRACIONALNI BROJEVI
P=B+MB=(asup2radic3)4M=3(ah2)V=(BH)3V=(asup2radic3H)12ssup2=hsup2+(a2)sup2ssup2=Rsup2+Hsup2R=(aradic3)3hsup2=rsup2+Hsup2r=(aradic3)6
P=B+M B=asup2M=4(ah2)==2ahV=BH3V=(asup2H)3ssup2=hsup2+(a2)sup2hsup2=Hsup2+(a2)sup2ssup2=(d2)sup2+Hsup2d=aradic2
P=B+MB=(6asup2radic3)4M=6(ah2)==3ahV=BH3V=(asup2radic3H)2ssup2=hsup2+(a2)sup2ssup2=asup2+Hsup2hsup2=Hsup2+(aradic32)sup2
Pretpostavlja se da su za otkriće iracionalnih brojeva zaslužni Pitagorejci ali nije poznato
da li su do toga došli proučavanjem geometrijske sredine ili razmatranjem dijagonale
kvadrata Pretpostavlja se da su logičkim putem dokazali da postoje nesamerljive duži
što je do tada bilo neshvatljivo Otkrili su postojanje iracionalnih brojeva tako što su do-
kazali nesamerljivost dijagonale kvadrata i njegove straniceDokazali su iracionalnost radic2
Iako se iracionalni brojevi ne mogu izraziti u obliku količnika dva cela broja mogu se
konstruisati uz pomoć lenjira i šestaraTako se radic2 koji se naziva Pitagorina konstanta
može dobiti kao hipotenuza pravouglog trougla čije katete iznose 1(slika 10)
Slika 10
6 PITAGORINO DRVO
Uz korišćenje Pitagorine teoreme konstruisanjem kvadrata nad katetama i hipotenuzom
mogu se dobiti razni geometrijski oblici - fraktali Fraktal je pojam kojim označavamo
geometrijski lik koji možemo da podelimo na beskonačan broj delova pri čemu će svaki
od njih biti isti ili sličan početnom liku Ime mu je dao Benoa Mendelbort 1975 godine
iz latinske reči fractus što znači - razlomljen Promenom vrednosti stranica možemo
dobiti razne simetrične (slika 11) i asimetrične figure( slika 12)
Slika 11 Pitagorino drvo
Slika 12Iskrivljeno Pitagorino drvo
ZAKLJUČAK
Značaj Pitagorine teoreme je prevazišao oblast geometrije tako da ima primenu u širim
naučnim disciplinama Njenim pravilnim formulisanjem Pitagora je ucrtao novu putanju
razvoja geometrije pa i celokupne matematike Širina primene je omogućena time što
većinu geometrijskih tela i figura možemo podeliti na pravougle trouglove i time olakšati
izračunavanje obima površine ili nekih drugih elemenata Smernice koje je Pitagora za-
jedno sa svojim sledbenicima Pitagorejcima dao pre dve hiljade godina i dalje su aktuelne
uprkos mnoštvu novih otkrića tokom vekova Njegova genijalnost da vidi stvari ispred
svog vremena je i dalje inspiracija naučnicima da proučavaju njegovu široku zaostavšti-
nu i da stalno uče iz nje
ZAHVALNOST
Zahvaljujem se svojoj nastavnici matematike Slađani Kosačević na pomoći i podršci
kao i svom mentoru profesorki matematike Vesni Rajšić na savetima u vezi ovog rada
KORIŠĆENI IZVORI I LITERATURA
(1) ABilimović - Prevod Euklidovih Elemenata u izdanju Matematičkog instituta Srpske akademije nauka
Između 1949 i 1957 godine
(2) Matematika -Opšta enciklopedija Larousse 1973 god
(3) http wwwcut-the-knotorgpythagorasindexshtml
(4) httpmathaboutcomodpythagoreansspythagdefhtm
(5) httpplanetmathorgencyclopediaProofOfPythagoreanTheoremhtml
(6) httpenwikipediaorgwikiPythagorean_theorem
(7) httpwwwsunsiteubccaDigitalMathArchiveEuclidjavahtmlbabylonhtml
njegova površina će biti jednaka zbiru površina kvadrata ACED i BCFG Ako iz površine
šestougla AJIHBC izostavimo površine podudarnih trouglova ABC i HJI shodno aksio-
mu br3 iste knjige ostaci će biti jednaki Dobićemo površinu koja je jednaka površini
kvadrata ABHJ pa dobijamo jednakost ACsup2 + BCsup2 = ABsup2
Slika 4
22 Garfildov dokaz
Suština ovog dokaza koji je izveo 20 predsednik SAD Džejms Garfild oko 1876 godi-
ne je jednostavna Na postojeći trougao se nadoveže njemu podudaran tako da se na is-
toj pravoj nalaze kraća kateta prvog i duža kateta drugog i da polaze iz istog temenaAko
spojimo druga dva temena koja pripadaju hipotenuzi dobićemo pravougli trapez sa dve
paralelne strane (leva je kateta b a desna je kateta a) Trapez sadrži osim prva dva tro-
ugla još jedan čije su katete stranice c (slika 5) Na jedan način površina trapeza se
može dobiti kao polovina proizvoda zbira stranice a i b Drugi način je da saberemo sve
tri površine trouglova na koje je podeljen
(a+b)sup2 = ab + ab + csup2 2 2 2 2odatle sledi asup2 + bsup2 = csup2
Slika 5
23 Dokaz Pitagorine teoreme pomoću sličnosti
Ovaj dokaz se izvodi na osnovu proporcionalnosti stranica odnosno na osnovu definicije
sličnosti
Preslikavanje kojim se jedna figura F preslikava u drugu figuru F1 naziva se sličnost
ako je razmera odgovarajućih duži isti broj i ako su odgovarajući uglovi jednaki
Neka su katete obeležene sa AB i AC a hipotenuza sa BC Iz uslova da je ugao A trougla
ABC prav sledi da je ABsup2 + ACsup2= BCsup2 Sa D ćemo obeležiti podnožje visine koja je
normalna na pravu BC Iz ovih uslova a uzimajući obzir VI knjigu stav 4 Euklidovih
Elemenata koji glasi
Kod trouglova sa jednakim uglovima su strane koje obrazuju jednake uglove propor-
cionalne i odgovaraju jedna drugoj one strane što leže naspram jednakih uglova(1)
Sledi da su trouglovi u sledećim odnosima
Trougao ABC je sličan trouglu DBA a trougao ABC je sličan trouglu DAC (Slika 6)
Tako da su zadovoljene sledeće relacije
ABBC = BDAB i ACBC = CD AC iz kojih sledi da je
ABsup2 = BC BD i ACsup2 = BC CD a iz ove dve jednakosti sledi da je
ABsup2 + ACsup2 = BC BD + BC CD = BC (BD + CD) = BCsup2
Slika 6
3 PRIMENA PITAGORINE TEOREME
31 Primena na trouglove
Poznata je njena primena na izračunavanje svih elemenata kod raznih vrsta trouglova i
ostalih geometrijskih tela kvadrata pravougaonika romba trapeza tako što uočimo pra-
vougli trougao u njima To pojednostavljuje računanje obima i površine tih figura
Pravougli
Jednakokraki
Jednakostranični
Nejednakostranični
O=a+b+cP= ab2 ili P= ch2 h=abcasup2+bsup2= csup2 Pitagorina teorema R =c2 r=(a+b-c)2 h=radicpq a=radicpc b=radicqc c=p+q
O=a+2bP= ah2hsup2+(a2)sup2 = bsup2
O=3a i P= (asup2radic3)4 h=(aradic3)2 ry=(13)h=(aradic3)6ro=(23)h=(aradic3)3
Kvadrat
Pravougaonik
Romb
32Primena na piramide
O=a+b+c P=ch2asup2=hsup2+qsup2bsup2=hsup2+psup2
P=asup2 O=4ad=aradic2 a=dradic2 a=(dradic2)2
dsup2=asup2+bsup2 P=abO=2a+2b
O=4a P=ah= (d1d2)2(d12)sup2 + (d22)sup2 = asup2
Pravilne piramide trostrana (sl7) četvorostrana (sl8) šestostrana (sl9)-
Slika 7 Slika 8 Slika 9
Uz pomoć Pitagorine teoreme izračunaćemo tražene elemente kod pravilnih piramida
trostranih četvorostranih šestostranih kao i kod ostalih geometrijskih tela tako što
ćemo uočiti u njima pravougle trouglove što nam pomaže u daljim proračunima
4 PITAGORINE TROJKE
Pitagorina trojka je uređena trojka prirodnih brojeva ab i c za koje važi jednakost
asup2+bsup2=csup2 Pitagorinu trojku čine celiobrojne dužine stranica pravouglog trougla Takav
trougao se naziva Pitagorin trougao Najmanja racionalna trojka je 3-4-5 Naravno to
nije jedina Pitagorina trojka Postoje još mnoge drugekao na primer 5-12-13 Još su
Vavilonci koji su živeli nekoliko hiljada godina pre ne na svojim glinenim pločama
zapisali Pitagorine trojke U starom Egiptu se koristio konopac sa zavezanim čvorovima
da bi se formirao pravougli trougao sa ovakvim stranicama (slika 1)
5 IRACIONALNI BROJEVI
P=B+MB=(asup2radic3)4M=3(ah2)V=(BH)3V=(asup2radic3H)12ssup2=hsup2+(a2)sup2ssup2=Rsup2+Hsup2R=(aradic3)3hsup2=rsup2+Hsup2r=(aradic3)6
P=B+M B=asup2M=4(ah2)==2ahV=BH3V=(asup2H)3ssup2=hsup2+(a2)sup2hsup2=Hsup2+(a2)sup2ssup2=(d2)sup2+Hsup2d=aradic2
P=B+MB=(6asup2radic3)4M=6(ah2)==3ahV=BH3V=(asup2radic3H)2ssup2=hsup2+(a2)sup2ssup2=asup2+Hsup2hsup2=Hsup2+(aradic32)sup2
Pretpostavlja se da su za otkriće iracionalnih brojeva zaslužni Pitagorejci ali nije poznato
da li su do toga došli proučavanjem geometrijske sredine ili razmatranjem dijagonale
kvadrata Pretpostavlja se da su logičkim putem dokazali da postoje nesamerljive duži
što je do tada bilo neshvatljivo Otkrili su postojanje iracionalnih brojeva tako što su do-
kazali nesamerljivost dijagonale kvadrata i njegove straniceDokazali su iracionalnost radic2
Iako se iracionalni brojevi ne mogu izraziti u obliku količnika dva cela broja mogu se
konstruisati uz pomoć lenjira i šestaraTako se radic2 koji se naziva Pitagorina konstanta
može dobiti kao hipotenuza pravouglog trougla čije katete iznose 1(slika 10)
Slika 10
6 PITAGORINO DRVO
Uz korišćenje Pitagorine teoreme konstruisanjem kvadrata nad katetama i hipotenuzom
mogu se dobiti razni geometrijski oblici - fraktali Fraktal je pojam kojim označavamo
geometrijski lik koji možemo da podelimo na beskonačan broj delova pri čemu će svaki
od njih biti isti ili sličan početnom liku Ime mu je dao Benoa Mendelbort 1975 godine
iz latinske reči fractus što znači - razlomljen Promenom vrednosti stranica možemo
dobiti razne simetrične (slika 11) i asimetrične figure( slika 12)
Slika 11 Pitagorino drvo
Slika 12Iskrivljeno Pitagorino drvo
ZAKLJUČAK
Značaj Pitagorine teoreme je prevazišao oblast geometrije tako da ima primenu u širim
naučnim disciplinama Njenim pravilnim formulisanjem Pitagora je ucrtao novu putanju
razvoja geometrije pa i celokupne matematike Širina primene je omogućena time što
većinu geometrijskih tela i figura možemo podeliti na pravougle trouglove i time olakšati
izračunavanje obima površine ili nekih drugih elemenata Smernice koje je Pitagora za-
jedno sa svojim sledbenicima Pitagorejcima dao pre dve hiljade godina i dalje su aktuelne
uprkos mnoštvu novih otkrića tokom vekova Njegova genijalnost da vidi stvari ispred
svog vremena je i dalje inspiracija naučnicima da proučavaju njegovu široku zaostavšti-
nu i da stalno uče iz nje
ZAHVALNOST
Zahvaljujem se svojoj nastavnici matematike Slađani Kosačević na pomoći i podršci
kao i svom mentoru profesorki matematike Vesni Rajšić na savetima u vezi ovog rada
KORIŠĆENI IZVORI I LITERATURA
(1) ABilimović - Prevod Euklidovih Elemenata u izdanju Matematičkog instituta Srpske akademije nauka
Između 1949 i 1957 godine
(2) Matematika -Opšta enciklopedija Larousse 1973 god
(3) http wwwcut-the-knotorgpythagorasindexshtml
(4) httpmathaboutcomodpythagoreansspythagdefhtm
(5) httpplanetmathorgencyclopediaProofOfPythagoreanTheoremhtml
(6) httpenwikipediaorgwikiPythagorean_theorem
(7) httpwwwsunsiteubccaDigitalMathArchiveEuclidjavahtmlbabylonhtml
23 Dokaz Pitagorine teoreme pomoću sličnosti
Ovaj dokaz se izvodi na osnovu proporcionalnosti stranica odnosno na osnovu definicije
sličnosti
Preslikavanje kojim se jedna figura F preslikava u drugu figuru F1 naziva se sličnost
ako je razmera odgovarajućih duži isti broj i ako su odgovarajući uglovi jednaki
Neka su katete obeležene sa AB i AC a hipotenuza sa BC Iz uslova da je ugao A trougla
ABC prav sledi da je ABsup2 + ACsup2= BCsup2 Sa D ćemo obeležiti podnožje visine koja je
normalna na pravu BC Iz ovih uslova a uzimajući obzir VI knjigu stav 4 Euklidovih
Elemenata koji glasi
Kod trouglova sa jednakim uglovima su strane koje obrazuju jednake uglove propor-
cionalne i odgovaraju jedna drugoj one strane što leže naspram jednakih uglova(1)
Sledi da su trouglovi u sledećim odnosima
Trougao ABC je sličan trouglu DBA a trougao ABC je sličan trouglu DAC (Slika 6)
Tako da su zadovoljene sledeće relacije
ABBC = BDAB i ACBC = CD AC iz kojih sledi da je
ABsup2 = BC BD i ACsup2 = BC CD a iz ove dve jednakosti sledi da je
ABsup2 + ACsup2 = BC BD + BC CD = BC (BD + CD) = BCsup2
Slika 6
3 PRIMENA PITAGORINE TEOREME
31 Primena na trouglove
Poznata je njena primena na izračunavanje svih elemenata kod raznih vrsta trouglova i
ostalih geometrijskih tela kvadrata pravougaonika romba trapeza tako što uočimo pra-
vougli trougao u njima To pojednostavljuje računanje obima i površine tih figura
Pravougli
Jednakokraki
Jednakostranični
Nejednakostranični
O=a+b+cP= ab2 ili P= ch2 h=abcasup2+bsup2= csup2 Pitagorina teorema R =c2 r=(a+b-c)2 h=radicpq a=radicpc b=radicqc c=p+q
O=a+2bP= ah2hsup2+(a2)sup2 = bsup2
O=3a i P= (asup2radic3)4 h=(aradic3)2 ry=(13)h=(aradic3)6ro=(23)h=(aradic3)3
Kvadrat
Pravougaonik
Romb
32Primena na piramide
O=a+b+c P=ch2asup2=hsup2+qsup2bsup2=hsup2+psup2
P=asup2 O=4ad=aradic2 a=dradic2 a=(dradic2)2
dsup2=asup2+bsup2 P=abO=2a+2b
O=4a P=ah= (d1d2)2(d12)sup2 + (d22)sup2 = asup2
Pravilne piramide trostrana (sl7) četvorostrana (sl8) šestostrana (sl9)-
Slika 7 Slika 8 Slika 9
Uz pomoć Pitagorine teoreme izračunaćemo tražene elemente kod pravilnih piramida
trostranih četvorostranih šestostranih kao i kod ostalih geometrijskih tela tako što
ćemo uočiti u njima pravougle trouglove što nam pomaže u daljim proračunima
4 PITAGORINE TROJKE
Pitagorina trojka je uređena trojka prirodnih brojeva ab i c za koje važi jednakost
asup2+bsup2=csup2 Pitagorinu trojku čine celiobrojne dužine stranica pravouglog trougla Takav
trougao se naziva Pitagorin trougao Najmanja racionalna trojka je 3-4-5 Naravno to
nije jedina Pitagorina trojka Postoje još mnoge drugekao na primer 5-12-13 Još su
Vavilonci koji su živeli nekoliko hiljada godina pre ne na svojim glinenim pločama
zapisali Pitagorine trojke U starom Egiptu se koristio konopac sa zavezanim čvorovima
da bi se formirao pravougli trougao sa ovakvim stranicama (slika 1)
5 IRACIONALNI BROJEVI
P=B+MB=(asup2radic3)4M=3(ah2)V=(BH)3V=(asup2radic3H)12ssup2=hsup2+(a2)sup2ssup2=Rsup2+Hsup2R=(aradic3)3hsup2=rsup2+Hsup2r=(aradic3)6
P=B+M B=asup2M=4(ah2)==2ahV=BH3V=(asup2H)3ssup2=hsup2+(a2)sup2hsup2=Hsup2+(a2)sup2ssup2=(d2)sup2+Hsup2d=aradic2
P=B+MB=(6asup2radic3)4M=6(ah2)==3ahV=BH3V=(asup2radic3H)2ssup2=hsup2+(a2)sup2ssup2=asup2+Hsup2hsup2=Hsup2+(aradic32)sup2
Pretpostavlja se da su za otkriće iracionalnih brojeva zaslužni Pitagorejci ali nije poznato
da li su do toga došli proučavanjem geometrijske sredine ili razmatranjem dijagonale
kvadrata Pretpostavlja se da su logičkim putem dokazali da postoje nesamerljive duži
što je do tada bilo neshvatljivo Otkrili su postojanje iracionalnih brojeva tako što su do-
kazali nesamerljivost dijagonale kvadrata i njegove straniceDokazali su iracionalnost radic2
Iako se iracionalni brojevi ne mogu izraziti u obliku količnika dva cela broja mogu se
konstruisati uz pomoć lenjira i šestaraTako se radic2 koji se naziva Pitagorina konstanta
može dobiti kao hipotenuza pravouglog trougla čije katete iznose 1(slika 10)
Slika 10
6 PITAGORINO DRVO
Uz korišćenje Pitagorine teoreme konstruisanjem kvadrata nad katetama i hipotenuzom
mogu se dobiti razni geometrijski oblici - fraktali Fraktal je pojam kojim označavamo
geometrijski lik koji možemo da podelimo na beskonačan broj delova pri čemu će svaki
od njih biti isti ili sličan početnom liku Ime mu je dao Benoa Mendelbort 1975 godine
iz latinske reči fractus što znači - razlomljen Promenom vrednosti stranica možemo
dobiti razne simetrične (slika 11) i asimetrične figure( slika 12)
Slika 11 Pitagorino drvo
Slika 12Iskrivljeno Pitagorino drvo
ZAKLJUČAK
Značaj Pitagorine teoreme je prevazišao oblast geometrije tako da ima primenu u širim
naučnim disciplinama Njenim pravilnim formulisanjem Pitagora je ucrtao novu putanju
razvoja geometrije pa i celokupne matematike Širina primene je omogućena time što
većinu geometrijskih tela i figura možemo podeliti na pravougle trouglove i time olakšati
izračunavanje obima površine ili nekih drugih elemenata Smernice koje je Pitagora za-
jedno sa svojim sledbenicima Pitagorejcima dao pre dve hiljade godina i dalje su aktuelne
uprkos mnoštvu novih otkrića tokom vekova Njegova genijalnost da vidi stvari ispred
svog vremena je i dalje inspiracija naučnicima da proučavaju njegovu široku zaostavšti-
nu i da stalno uče iz nje
ZAHVALNOST
Zahvaljujem se svojoj nastavnici matematike Slađani Kosačević na pomoći i podršci
kao i svom mentoru profesorki matematike Vesni Rajšić na savetima u vezi ovog rada
KORIŠĆENI IZVORI I LITERATURA
(1) ABilimović - Prevod Euklidovih Elemenata u izdanju Matematičkog instituta Srpske akademije nauka
Između 1949 i 1957 godine
(2) Matematika -Opšta enciklopedija Larousse 1973 god
(3) http wwwcut-the-knotorgpythagorasindexshtml
(4) httpmathaboutcomodpythagoreansspythagdefhtm
(5) httpplanetmathorgencyclopediaProofOfPythagoreanTheoremhtml
(6) httpenwikipediaorgwikiPythagorean_theorem
(7) httpwwwsunsiteubccaDigitalMathArchiveEuclidjavahtmlbabylonhtml
vougli trougao u njima To pojednostavljuje računanje obima i površine tih figura
Pravougli
Jednakokraki
Jednakostranični
Nejednakostranični
O=a+b+cP= ab2 ili P= ch2 h=abcasup2+bsup2= csup2 Pitagorina teorema R =c2 r=(a+b-c)2 h=radicpq a=radicpc b=radicqc c=p+q
O=a+2bP= ah2hsup2+(a2)sup2 = bsup2
O=3a i P= (asup2radic3)4 h=(aradic3)2 ry=(13)h=(aradic3)6ro=(23)h=(aradic3)3
Kvadrat
Pravougaonik
Romb
32Primena na piramide
O=a+b+c P=ch2asup2=hsup2+qsup2bsup2=hsup2+psup2
P=asup2 O=4ad=aradic2 a=dradic2 a=(dradic2)2
dsup2=asup2+bsup2 P=abO=2a+2b
O=4a P=ah= (d1d2)2(d12)sup2 + (d22)sup2 = asup2
Pravilne piramide trostrana (sl7) četvorostrana (sl8) šestostrana (sl9)-
Slika 7 Slika 8 Slika 9
Uz pomoć Pitagorine teoreme izračunaćemo tražene elemente kod pravilnih piramida
trostranih četvorostranih šestostranih kao i kod ostalih geometrijskih tela tako što
ćemo uočiti u njima pravougle trouglove što nam pomaže u daljim proračunima
4 PITAGORINE TROJKE
Pitagorina trojka je uređena trojka prirodnih brojeva ab i c za koje važi jednakost
asup2+bsup2=csup2 Pitagorinu trojku čine celiobrojne dužine stranica pravouglog trougla Takav
trougao se naziva Pitagorin trougao Najmanja racionalna trojka je 3-4-5 Naravno to
nije jedina Pitagorina trojka Postoje još mnoge drugekao na primer 5-12-13 Još su
Vavilonci koji su živeli nekoliko hiljada godina pre ne na svojim glinenim pločama
zapisali Pitagorine trojke U starom Egiptu se koristio konopac sa zavezanim čvorovima
da bi se formirao pravougli trougao sa ovakvim stranicama (slika 1)
5 IRACIONALNI BROJEVI
P=B+MB=(asup2radic3)4M=3(ah2)V=(BH)3V=(asup2radic3H)12ssup2=hsup2+(a2)sup2ssup2=Rsup2+Hsup2R=(aradic3)3hsup2=rsup2+Hsup2r=(aradic3)6
P=B+M B=asup2M=4(ah2)==2ahV=BH3V=(asup2H)3ssup2=hsup2+(a2)sup2hsup2=Hsup2+(a2)sup2ssup2=(d2)sup2+Hsup2d=aradic2
P=B+MB=(6asup2radic3)4M=6(ah2)==3ahV=BH3V=(asup2radic3H)2ssup2=hsup2+(a2)sup2ssup2=asup2+Hsup2hsup2=Hsup2+(aradic32)sup2
Pretpostavlja se da su za otkriće iracionalnih brojeva zaslužni Pitagorejci ali nije poznato
da li su do toga došli proučavanjem geometrijske sredine ili razmatranjem dijagonale
kvadrata Pretpostavlja se da su logičkim putem dokazali da postoje nesamerljive duži
što je do tada bilo neshvatljivo Otkrili su postojanje iracionalnih brojeva tako što su do-
kazali nesamerljivost dijagonale kvadrata i njegove straniceDokazali su iracionalnost radic2
Iako se iracionalni brojevi ne mogu izraziti u obliku količnika dva cela broja mogu se
konstruisati uz pomoć lenjira i šestaraTako se radic2 koji se naziva Pitagorina konstanta
može dobiti kao hipotenuza pravouglog trougla čije katete iznose 1(slika 10)
Slika 10
6 PITAGORINO DRVO
Uz korišćenje Pitagorine teoreme konstruisanjem kvadrata nad katetama i hipotenuzom
mogu se dobiti razni geometrijski oblici - fraktali Fraktal je pojam kojim označavamo
geometrijski lik koji možemo da podelimo na beskonačan broj delova pri čemu će svaki
od njih biti isti ili sličan početnom liku Ime mu je dao Benoa Mendelbort 1975 godine
iz latinske reči fractus što znači - razlomljen Promenom vrednosti stranica možemo
dobiti razne simetrične (slika 11) i asimetrične figure( slika 12)
Slika 11 Pitagorino drvo
Slika 12Iskrivljeno Pitagorino drvo
ZAKLJUČAK
Značaj Pitagorine teoreme je prevazišao oblast geometrije tako da ima primenu u širim
naučnim disciplinama Njenim pravilnim formulisanjem Pitagora je ucrtao novu putanju
razvoja geometrije pa i celokupne matematike Širina primene je omogućena time što
većinu geometrijskih tela i figura možemo podeliti na pravougle trouglove i time olakšati
izračunavanje obima površine ili nekih drugih elemenata Smernice koje je Pitagora za-
jedno sa svojim sledbenicima Pitagorejcima dao pre dve hiljade godina i dalje su aktuelne
uprkos mnoštvu novih otkrića tokom vekova Njegova genijalnost da vidi stvari ispred
svog vremena je i dalje inspiracija naučnicima da proučavaju njegovu široku zaostavšti-
nu i da stalno uče iz nje
ZAHVALNOST
Zahvaljujem se svojoj nastavnici matematike Slađani Kosačević na pomoći i podršci
kao i svom mentoru profesorki matematike Vesni Rajšić na savetima u vezi ovog rada
KORIŠĆENI IZVORI I LITERATURA
(1) ABilimović - Prevod Euklidovih Elemenata u izdanju Matematičkog instituta Srpske akademije nauka
Između 1949 i 1957 godine
(2) Matematika -Opšta enciklopedija Larousse 1973 god
(3) http wwwcut-the-knotorgpythagorasindexshtml
(4) httpmathaboutcomodpythagoreansspythagdefhtm
(5) httpplanetmathorgencyclopediaProofOfPythagoreanTheoremhtml
(6) httpenwikipediaorgwikiPythagorean_theorem
(7) httpwwwsunsiteubccaDigitalMathArchiveEuclidjavahtmlbabylonhtml
Kvadrat
Pravougaonik
Romb
32Primena na piramide
O=a+b+c P=ch2asup2=hsup2+qsup2bsup2=hsup2+psup2
P=asup2 O=4ad=aradic2 a=dradic2 a=(dradic2)2
dsup2=asup2+bsup2 P=abO=2a+2b
O=4a P=ah= (d1d2)2(d12)sup2 + (d22)sup2 = asup2
Pravilne piramide trostrana (sl7) četvorostrana (sl8) šestostrana (sl9)-
Slika 7 Slika 8 Slika 9
Uz pomoć Pitagorine teoreme izračunaćemo tražene elemente kod pravilnih piramida
trostranih četvorostranih šestostranih kao i kod ostalih geometrijskih tela tako što
ćemo uočiti u njima pravougle trouglove što nam pomaže u daljim proračunima
4 PITAGORINE TROJKE
Pitagorina trojka je uređena trojka prirodnih brojeva ab i c za koje važi jednakost
asup2+bsup2=csup2 Pitagorinu trojku čine celiobrojne dužine stranica pravouglog trougla Takav
trougao se naziva Pitagorin trougao Najmanja racionalna trojka je 3-4-5 Naravno to
nije jedina Pitagorina trojka Postoje još mnoge drugekao na primer 5-12-13 Još su
Vavilonci koji su živeli nekoliko hiljada godina pre ne na svojim glinenim pločama
zapisali Pitagorine trojke U starom Egiptu se koristio konopac sa zavezanim čvorovima
da bi se formirao pravougli trougao sa ovakvim stranicama (slika 1)
5 IRACIONALNI BROJEVI
P=B+MB=(asup2radic3)4M=3(ah2)V=(BH)3V=(asup2radic3H)12ssup2=hsup2+(a2)sup2ssup2=Rsup2+Hsup2R=(aradic3)3hsup2=rsup2+Hsup2r=(aradic3)6
P=B+M B=asup2M=4(ah2)==2ahV=BH3V=(asup2H)3ssup2=hsup2+(a2)sup2hsup2=Hsup2+(a2)sup2ssup2=(d2)sup2+Hsup2d=aradic2
P=B+MB=(6asup2radic3)4M=6(ah2)==3ahV=BH3V=(asup2radic3H)2ssup2=hsup2+(a2)sup2ssup2=asup2+Hsup2hsup2=Hsup2+(aradic32)sup2
Pretpostavlja se da su za otkriće iracionalnih brojeva zaslužni Pitagorejci ali nije poznato
da li su do toga došli proučavanjem geometrijske sredine ili razmatranjem dijagonale
kvadrata Pretpostavlja se da su logičkim putem dokazali da postoje nesamerljive duži
što je do tada bilo neshvatljivo Otkrili su postojanje iracionalnih brojeva tako što su do-
kazali nesamerljivost dijagonale kvadrata i njegove straniceDokazali su iracionalnost radic2
Iako se iracionalni brojevi ne mogu izraziti u obliku količnika dva cela broja mogu se
konstruisati uz pomoć lenjira i šestaraTako se radic2 koji se naziva Pitagorina konstanta
može dobiti kao hipotenuza pravouglog trougla čije katete iznose 1(slika 10)
Slika 10
6 PITAGORINO DRVO
Uz korišćenje Pitagorine teoreme konstruisanjem kvadrata nad katetama i hipotenuzom
mogu se dobiti razni geometrijski oblici - fraktali Fraktal je pojam kojim označavamo
geometrijski lik koji možemo da podelimo na beskonačan broj delova pri čemu će svaki
od njih biti isti ili sličan početnom liku Ime mu je dao Benoa Mendelbort 1975 godine
iz latinske reči fractus što znači - razlomljen Promenom vrednosti stranica možemo
dobiti razne simetrične (slika 11) i asimetrične figure( slika 12)
Slika 11 Pitagorino drvo
Slika 12Iskrivljeno Pitagorino drvo
ZAKLJUČAK
Značaj Pitagorine teoreme je prevazišao oblast geometrije tako da ima primenu u širim
naučnim disciplinama Njenim pravilnim formulisanjem Pitagora je ucrtao novu putanju
razvoja geometrije pa i celokupne matematike Širina primene je omogućena time što
većinu geometrijskih tela i figura možemo podeliti na pravougle trouglove i time olakšati
izračunavanje obima površine ili nekih drugih elemenata Smernice koje je Pitagora za-
jedno sa svojim sledbenicima Pitagorejcima dao pre dve hiljade godina i dalje su aktuelne
uprkos mnoštvu novih otkrića tokom vekova Njegova genijalnost da vidi stvari ispred
svog vremena je i dalje inspiracija naučnicima da proučavaju njegovu široku zaostavšti-
nu i da stalno uče iz nje
ZAHVALNOST
Zahvaljujem se svojoj nastavnici matematike Slađani Kosačević na pomoći i podršci
kao i svom mentoru profesorki matematike Vesni Rajšić na savetima u vezi ovog rada
KORIŠĆENI IZVORI I LITERATURA
(1) ABilimović - Prevod Euklidovih Elemenata u izdanju Matematičkog instituta Srpske akademije nauka
Između 1949 i 1957 godine
(2) Matematika -Opšta enciklopedija Larousse 1973 god
(3) http wwwcut-the-knotorgpythagorasindexshtml
(4) httpmathaboutcomodpythagoreansspythagdefhtm
(5) httpplanetmathorgencyclopediaProofOfPythagoreanTheoremhtml
(6) httpenwikipediaorgwikiPythagorean_theorem
(7) httpwwwsunsiteubccaDigitalMathArchiveEuclidjavahtmlbabylonhtml
Pravilne piramide trostrana (sl7) četvorostrana (sl8) šestostrana (sl9)-
Slika 7 Slika 8 Slika 9
Uz pomoć Pitagorine teoreme izračunaćemo tražene elemente kod pravilnih piramida
trostranih četvorostranih šestostranih kao i kod ostalih geometrijskih tela tako što
ćemo uočiti u njima pravougle trouglove što nam pomaže u daljim proračunima
4 PITAGORINE TROJKE
Pitagorina trojka je uređena trojka prirodnih brojeva ab i c za koje važi jednakost
asup2+bsup2=csup2 Pitagorinu trojku čine celiobrojne dužine stranica pravouglog trougla Takav
trougao se naziva Pitagorin trougao Najmanja racionalna trojka je 3-4-5 Naravno to
nije jedina Pitagorina trojka Postoje još mnoge drugekao na primer 5-12-13 Još su
Vavilonci koji su živeli nekoliko hiljada godina pre ne na svojim glinenim pločama
zapisali Pitagorine trojke U starom Egiptu se koristio konopac sa zavezanim čvorovima
da bi se formirao pravougli trougao sa ovakvim stranicama (slika 1)
5 IRACIONALNI BROJEVI
P=B+MB=(asup2radic3)4M=3(ah2)V=(BH)3V=(asup2radic3H)12ssup2=hsup2+(a2)sup2ssup2=Rsup2+Hsup2R=(aradic3)3hsup2=rsup2+Hsup2r=(aradic3)6
P=B+M B=asup2M=4(ah2)==2ahV=BH3V=(asup2H)3ssup2=hsup2+(a2)sup2hsup2=Hsup2+(a2)sup2ssup2=(d2)sup2+Hsup2d=aradic2
P=B+MB=(6asup2radic3)4M=6(ah2)==3ahV=BH3V=(asup2radic3H)2ssup2=hsup2+(a2)sup2ssup2=asup2+Hsup2hsup2=Hsup2+(aradic32)sup2
Pretpostavlja se da su za otkriće iracionalnih brojeva zaslužni Pitagorejci ali nije poznato
da li su do toga došli proučavanjem geometrijske sredine ili razmatranjem dijagonale
kvadrata Pretpostavlja se da su logičkim putem dokazali da postoje nesamerljive duži
što je do tada bilo neshvatljivo Otkrili su postojanje iracionalnih brojeva tako što su do-
kazali nesamerljivost dijagonale kvadrata i njegove straniceDokazali su iracionalnost radic2
Iako se iracionalni brojevi ne mogu izraziti u obliku količnika dva cela broja mogu se
konstruisati uz pomoć lenjira i šestaraTako se radic2 koji se naziva Pitagorina konstanta
može dobiti kao hipotenuza pravouglog trougla čije katete iznose 1(slika 10)
Slika 10
6 PITAGORINO DRVO
Uz korišćenje Pitagorine teoreme konstruisanjem kvadrata nad katetama i hipotenuzom
mogu se dobiti razni geometrijski oblici - fraktali Fraktal je pojam kojim označavamo
geometrijski lik koji možemo da podelimo na beskonačan broj delova pri čemu će svaki
od njih biti isti ili sličan početnom liku Ime mu je dao Benoa Mendelbort 1975 godine
iz latinske reči fractus što znači - razlomljen Promenom vrednosti stranica možemo
dobiti razne simetrične (slika 11) i asimetrične figure( slika 12)
Slika 11 Pitagorino drvo
Slika 12Iskrivljeno Pitagorino drvo
ZAKLJUČAK
Značaj Pitagorine teoreme je prevazišao oblast geometrije tako da ima primenu u širim
naučnim disciplinama Njenim pravilnim formulisanjem Pitagora je ucrtao novu putanju
razvoja geometrije pa i celokupne matematike Širina primene je omogućena time što
većinu geometrijskih tela i figura možemo podeliti na pravougle trouglove i time olakšati
izračunavanje obima površine ili nekih drugih elemenata Smernice koje je Pitagora za-
jedno sa svojim sledbenicima Pitagorejcima dao pre dve hiljade godina i dalje su aktuelne
uprkos mnoštvu novih otkrića tokom vekova Njegova genijalnost da vidi stvari ispred
svog vremena je i dalje inspiracija naučnicima da proučavaju njegovu široku zaostavšti-
nu i da stalno uče iz nje
ZAHVALNOST
Zahvaljujem se svojoj nastavnici matematike Slađani Kosačević na pomoći i podršci
kao i svom mentoru profesorki matematike Vesni Rajšić na savetima u vezi ovog rada
KORIŠĆENI IZVORI I LITERATURA
(1) ABilimović - Prevod Euklidovih Elemenata u izdanju Matematičkog instituta Srpske akademije nauka
Između 1949 i 1957 godine
(2) Matematika -Opšta enciklopedija Larousse 1973 god
(3) http wwwcut-the-knotorgpythagorasindexshtml
(4) httpmathaboutcomodpythagoreansspythagdefhtm
(5) httpplanetmathorgencyclopediaProofOfPythagoreanTheoremhtml
(6) httpenwikipediaorgwikiPythagorean_theorem
(7) httpwwwsunsiteubccaDigitalMathArchiveEuclidjavahtmlbabylonhtml
Pretpostavlja se da su za otkriće iracionalnih brojeva zaslužni Pitagorejci ali nije poznato
da li su do toga došli proučavanjem geometrijske sredine ili razmatranjem dijagonale
kvadrata Pretpostavlja se da su logičkim putem dokazali da postoje nesamerljive duži
što je do tada bilo neshvatljivo Otkrili su postojanje iracionalnih brojeva tako što su do-
kazali nesamerljivost dijagonale kvadrata i njegove straniceDokazali su iracionalnost radic2
Iako se iracionalni brojevi ne mogu izraziti u obliku količnika dva cela broja mogu se
konstruisati uz pomoć lenjira i šestaraTako se radic2 koji se naziva Pitagorina konstanta
može dobiti kao hipotenuza pravouglog trougla čije katete iznose 1(slika 10)
Slika 10
6 PITAGORINO DRVO
Uz korišćenje Pitagorine teoreme konstruisanjem kvadrata nad katetama i hipotenuzom
mogu se dobiti razni geometrijski oblici - fraktali Fraktal je pojam kojim označavamo
geometrijski lik koji možemo da podelimo na beskonačan broj delova pri čemu će svaki
od njih biti isti ili sličan početnom liku Ime mu je dao Benoa Mendelbort 1975 godine
iz latinske reči fractus što znači - razlomljen Promenom vrednosti stranica možemo
dobiti razne simetrične (slika 11) i asimetrične figure( slika 12)
Slika 11 Pitagorino drvo
Slika 12Iskrivljeno Pitagorino drvo
ZAKLJUČAK
Značaj Pitagorine teoreme je prevazišao oblast geometrije tako da ima primenu u širim
naučnim disciplinama Njenim pravilnim formulisanjem Pitagora je ucrtao novu putanju
razvoja geometrije pa i celokupne matematike Širina primene je omogućena time što
većinu geometrijskih tela i figura možemo podeliti na pravougle trouglove i time olakšati
izračunavanje obima površine ili nekih drugih elemenata Smernice koje je Pitagora za-
jedno sa svojim sledbenicima Pitagorejcima dao pre dve hiljade godina i dalje su aktuelne
uprkos mnoštvu novih otkrića tokom vekova Njegova genijalnost da vidi stvari ispred
svog vremena je i dalje inspiracija naučnicima da proučavaju njegovu široku zaostavšti-
nu i da stalno uče iz nje
ZAHVALNOST
Zahvaljujem se svojoj nastavnici matematike Slađani Kosačević na pomoći i podršci
kao i svom mentoru profesorki matematike Vesni Rajšić na savetima u vezi ovog rada
KORIŠĆENI IZVORI I LITERATURA
(1) ABilimović - Prevod Euklidovih Elemenata u izdanju Matematičkog instituta Srpske akademije nauka
Između 1949 i 1957 godine
(2) Matematika -Opšta enciklopedija Larousse 1973 god
(3) http wwwcut-the-knotorgpythagorasindexshtml
(4) httpmathaboutcomodpythagoreansspythagdefhtm
(5) httpplanetmathorgencyclopediaProofOfPythagoreanTheoremhtml
(6) httpenwikipediaorgwikiPythagorean_theorem
(7) httpwwwsunsiteubccaDigitalMathArchiveEuclidjavahtmlbabylonhtml
Slika 11 Pitagorino drvo
Slika 12Iskrivljeno Pitagorino drvo
ZAKLJUČAK
Značaj Pitagorine teoreme je prevazišao oblast geometrije tako da ima primenu u širim
naučnim disciplinama Njenim pravilnim formulisanjem Pitagora je ucrtao novu putanju
razvoja geometrije pa i celokupne matematike Širina primene je omogućena time što
većinu geometrijskih tela i figura možemo podeliti na pravougle trouglove i time olakšati
izračunavanje obima površine ili nekih drugih elemenata Smernice koje je Pitagora za-
jedno sa svojim sledbenicima Pitagorejcima dao pre dve hiljade godina i dalje su aktuelne
uprkos mnoštvu novih otkrića tokom vekova Njegova genijalnost da vidi stvari ispred
svog vremena je i dalje inspiracija naučnicima da proučavaju njegovu široku zaostavšti-
nu i da stalno uče iz nje
ZAHVALNOST
Zahvaljujem se svojoj nastavnici matematike Slađani Kosačević na pomoći i podršci
kao i svom mentoru profesorki matematike Vesni Rajšić na savetima u vezi ovog rada
KORIŠĆENI IZVORI I LITERATURA
(1) ABilimović - Prevod Euklidovih Elemenata u izdanju Matematičkog instituta Srpske akademije nauka
Između 1949 i 1957 godine
(2) Matematika -Opšta enciklopedija Larousse 1973 god
(3) http wwwcut-the-knotorgpythagorasindexshtml
(4) httpmathaboutcomodpythagoreansspythagdefhtm
(5) httpplanetmathorgencyclopediaProofOfPythagoreanTheoremhtml
(6) httpenwikipediaorgwikiPythagorean_theorem
(7) httpwwwsunsiteubccaDigitalMathArchiveEuclidjavahtmlbabylonhtml
uprkos mnoštvu novih otkrića tokom vekova Njegova genijalnost da vidi stvari ispred
svog vremena je i dalje inspiracija naučnicima da proučavaju njegovu široku zaostavšti-
nu i da stalno uče iz nje
ZAHVALNOST
Zahvaljujem se svojoj nastavnici matematike Slađani Kosačević na pomoći i podršci
kao i svom mentoru profesorki matematike Vesni Rajšić na savetima u vezi ovog rada
KORIŠĆENI IZVORI I LITERATURA
(1) ABilimović - Prevod Euklidovih Elemenata u izdanju Matematičkog instituta Srpske akademije nauka
Između 1949 i 1957 godine
(2) Matematika -Opšta enciklopedija Larousse 1973 god
(3) http wwwcut-the-knotorgpythagorasindexshtml
(4) httpmathaboutcomodpythagoreansspythagdefhtm
(5) httpplanetmathorgencyclopediaProofOfPythagoreanTheoremhtml
(6) httpenwikipediaorgwikiPythagorean_theorem
(7) httpwwwsunsiteubccaDigitalMathArchiveEuclidjavahtmlbabylonhtml