Pirini Ilario 3^ EA Istituto tecnico I.I.S. Maserati

Indice:

o L’algebra di Booleo Applicazione dell’algebra di

Booleo Esercizi e testo Approfondimenti e curiosità

Chi era George Boole?

Boole George nasce il 2 novembre 1815 a

Lincolnshire in Gran Bretagna. Sviluppò

assieme ad Auguste De Morgan la logica

matematica moderna e il metodo

simbolico. Boole e De Morgan fondarono

l'algebra della logica o algebra booleana.

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L’ algebra BooleanaL’ algebra Booleana Contempla due costanti 00 e 11 (falsofalso e verovero) Corrispondono a due stati che si escludono a vicenda Possono descrivere lo stato di apertura o chiusura di un generico contatto o di un circuito a più contatti

Si definiscono delle operazioni fra i valori booleani:ANDAND, OROR, NOTNOT sono gli operatori fondamentali

0 1

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L’operazione diL’operazione di ANDAND

Si definisce l’operazione di prodotto logicoprodotto logico (AND):il valore del prodotto logico è il simbolo 1 se il valore di tutti gli operandi è il simbolo 1

00 = 001 = 010 = 011 = 1

11

11

01

10

10

01

00

00

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L’operazione di L’operazione di OROR

Si definisce l’operazione di somma logicasomma logica (OR):il valore della somma logica è il simbolo 1 se il valore di almeno uno degli addendi è il simbolo 1

0

0

0

1

0+0 0+1

0+0 = 00+1 = 11+0 = 11+1 = 1

1

1

1

0

1+0 1+1

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La negazioneLa negazione NOTNOT Si definisce l’operatore di negazionenegazione (NOT):

l’operatore inverte il valore della costante su cui opera

Dalla definizione…

0 = 11 = 0

0 = 01 = 1

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La tabella di veritàLa tabella di verità• Dalle otto combinazioni si ottiene la tabella di veritàtabella di verità della funzione logica

• Si può scrivere la funzione Y come somma logica di prodotti logicisomma logica di prodotti logici A B C Y0 0 0 00 0 1 10 1 0 10 1 1 01 0 0 11 0 1 01 1 0 01 1 1 1

Y = ABC + ABC + ABC + ABC

Una variabile y è una funzione delle n variabili indipendenti x1, x2,…, xn, se esiste un criterio che fa corrispondere in modo univoco ad ognuna delle 2n configurazioni delle xi un valore di y

Una rappresentazione esplicita di una funzione è la tabella di veritàtabella di verità, in cui si elencano tutte le possibili combinazioni di x1, x2, …, xn, con associato il valore di y

Funzioni logicheFunzioni logiche

y = F(x1,x2,…,xn)

x1 x2 y0 0 00 1 11 0 11 1 1

y = x1+x2

La forma canonica La forma canonica Date tre variabili booleane (A,B,C), si scriva la funzione Y

che vale 1 quando solo due di esse hanno valore 1

Si può scrivere la funzione come somma logica delle configurazioni corrispondenti agli 1

Y = ABC + ABC + ABC

A B C Y0 0 0 00 0 1 00 1 0 00 1 1 11 0 0 01 0 1 11 1 0 11 1 1 0

Forma canonica: somma di prodotti (OR di AND)Forma canonica: somma di prodotti (OR di AND) tutte le funzioni logiche si possono scrivere in questa forma

Variabili binarieVariabili binarie

Una variabile binaria indipendente può assumere uno dei due valori 0 e 1

Date n variabili binarie indipendenti, la loro somma logica (OR) è

x0

1

x1+ x2+ …+ xn =

1 se almeno una xi vale 1

0 se x1= x2= …= xn = 0

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ANDAND ee NOTNOT con variabili binariecon variabili binarie

x1 x2 … xn =

0 se almeno una xi vale 0

1 se x1= x2= …= xn = 1

Date n variabili binarie indipendenti, il loro prodotto logico (AND) è

La negazione di una variabile x è

x = 0 se x = 1x = 1 se x = 0

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Date n variabili binarie indipendenti x1, x2,…, xn, queste possono assumere 2n configurazioni distinte

Una configurazione specifica è individuata univocamente da un AND (a valore 1) di tutte le variabili, dove quelle corrispondenti ai valori 0 compaiono negate

Configurazioni delle variabiliConfigurazioni delle variabili

Ad esempio per n=3 si hanno 8 configurazioni

x1x2x3000 001 010 011100 101 110 111

x1x2x3010

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Minterm

Se in una configurazione una variabile compare con 1 si assume il valore diretto se invece compare con uno 0 si assume il valore negato.

Prendendo una funzione in esempio scriveremo:

y = x1x2x3 + x1x2x3 + x1x2x3

Ciascuno di questi prodotti si chiama MINTERM

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Minterm

La funzione conoscendo la sua tabella di verità, potrà essere espressa sotto forma di somme di prodotti dei termini minimi.

Se una funzione è direttamente espressa sotto forma di somme di minterm sarà possibile costruire la sua tabella di verità, mettendo 1 nelle configurazioni relative ai minterm, e 0 negli altri casi.

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Maxterm

Dalla tabella di verità si può affermare ogni maxterm è la somma di tutte le variabili dirette o negate a seconda che la configurazione contenga 1 o 0.

y = (x1+x2+x3)· (x1+x2+x°3)· (x1+x°2+x°3)· (x°1+x°2+x3)· (x°1+x°2+x°3)

ossia sotto forma di prodotto di somme.

Ciascuna delle somme chiama maxterm (termine massimo).

Applicazione dell’algebra di Boole ai

circuiti digitali In questa presentazione l'algebra di Boole

verrà utilizzata in un diagramma di flusso per rendere più intuitivo comprendere il funzionamento di quei semplici circuiti digitali che costituiscono la base dei computer.

"esco se è bel tempo ed è caldo.“ "esco se è bel tempo o se è caldo".

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Tenendo presente la seguente tabella possiamo verificare le due frasi

Quindi avremo:

•"esco se è bel tempo ed è caldo”= AND•"esco se è bel tempo o se è caldo“ = OR

Applicazione dell’algebra di Boole ai

circuiti digitali

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Applicazione dell’algebra di Boole ai circuiti digitali

Nel Primo caso la lampadina si accenderà quando:

A=0 B=0

YA

B

Nel secondo invece la lampadina si accenderà quando:

A=0 B=1

YA

B

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Un esercizioUn esercizio Progettare un circuito per accendere e spegnere una

lampada da uno qualsiasi di tre interruttori indipendenti

A B C

1 1 1

0 0 0

A B C

1 1

0

1

0 0

0 00

0 01

Cambia lostato di uninterruttorequalsiasi

Y = 0

Y = 1

Un circuito con due interruttoriUn circuito con due interruttori

I due interruttori corrispondono a due variabili (A,B) a valori booleani le variabili assumono i

due valori 0 e 1 che corrispondono alle due posizioni dell’interruttore

A B Y

0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1

Y = AB+ABA B

A B0

11

0

A=1 B=0

Y

A B

A B0

11

0

A=1 B=1

Y

A B

A B0

11

0

A=0 B=1

Y

A B

A B0

11

0

A=0 B=0

Y

Per gli operatori AND e OR valgono le seguenti proprietà:

Per l’operatore NOT si provano le seguenti identità:

Altre proprietàAltre proprietà

commutativacommutativa x1+x2 = x2+x1 x1 x2 = x2 x1

associativaassociativa x1+x2+x3 = x1+(x2+x3) x1 x2 x3 = x1(x2 x3)

distributiva deldistributiva del prodotto rispetto alla sommaprodotto rispetto alla somma x1 x2 + x1 x3 =

x1(x2+x3)

x + x = 1x x = 0

x = x

Mappe di KARNAUGH

Le mappe di Karnaugh sono delle tabelle che permettono in modo immediato la rappresentazione e la semplificazione di funzioni booleane fino 6 variabili.

Le Mappe di K. costituiscono un altro metodo per rappresentare una funzione booleana;

xy00 01 11 10

z

0 1 1 0 0

1 0 1 1 1

Rappresentazione con Mappa di K. di una funzione.

Analisi delle combinazioniAnalisi delle combinazioni Si considera cosa accade a partire dalla configurazione di

partenza, cambiando lo stato di un interruttore per volta

A B C

0 00

Y = 0

Y = 1A B C

0 10

A B C

0 01

Y = 1

A B C

1 00

Y = 1 Y = 0A B C

1 01

A B C

1 11

Y = 10 11

A B CY = 0

1 10

A B CY = 0