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Pirâmides:
Neste momento, continuaremos a estudar a geometria
espacial dos sólidos geométricos, enfatizando agora as
pirâmides. A seguir, algumas representações de
pirâmides:
Essa forma espacial é bastante conhecida, por isso torna-se difícil
não nos lembrarmos das pirâmides do Egito ao tratarmos deste
assunto. Uma dessas pirâmides é a de Quéops, também chamada
de Grande Pirâmide. Ela mede 250 metros de cada lado, na base, e
160 metros de altura. Foram utiliza- dos cerca de 2 milhões de
blocos de pedra, a maior parte deles com peso médio de 2,5
toneladas.
Definição:
Consideremos um plano α, uma região poligonal convexa
S e um ponto V fora de α. Pirâmide é a reunião de todos
os segmentos com uma extremidade em V e a outra na
região poligonal S.
Elementos:
• A região poligonal S é chamada base da
pirâmide.
• O vértice da pirâmide é V.
• A altura da pirâmide é a distância de V
ao plano da base.
• As arestas da base são os lados do
polígono da base.
• As arestas laterais são os segmentos
com extremidades em V e nos vértices do
polígono da base.
• As faces laterais são os triângulos
determinados pelo vértice V e cada uma
das arestas da base.
Nomenclatura:
Uma pirâmide é nomeada de acordo com a quantidade
de arestas na base. Exemplos:
Secção transversal de uma
pirâmide é a intersecção dessa
pirâmide com qualquer plano
paralelo à sua base.
Na figura a seguir, o polígono
ABCDE, em destaque, é a secção
obtida pela intersecção do plano β
com a pirâmide. O plano β é
paralelo ao plano α que contém a
base da pirâmide.
Secção transversal:
Pirâmides retas e pirâmides oblíquas:
Pirâmide reta é a que possui a projeção ortogonal do vértice
sobre o centro da base.
A pirâmide representada a seguir é reta e o ponto O é a projeção
ortogonal de seu vértice, o ponto V.
Quando uma pirâmide é reta, suas faces laterais são triângulos
isósceles congruentes, ou seja, todas as arestas laterais são
congruentes entre si.
Se a projeção ortogonal do vértice V não for sobre o centro da base,
dizemos que a pirâmide é oblíqua, como é o caso da pirâmide
representada a seguir, em que V' é a projeção ortogonal de seu
vértice.
Uma pirâmide reta que possui um polígono
regular na base é chamada de pirâmide
regular.
A seguir, como exemplo, representamos uma
pirâmide hexagonal regular e umas de suas
planificações. Neste exemplo, temos uma
pirâmide que cumpre as duas propriedades para
ser regular, ou seja, tem na sua base um
polígono regular e é reta.
Note que, por ser reta, os triângulos que
compõem sua superfície lateral são isósceles.
Pirâmides regular:
Elementos de uma pirâmide regular:
I. Apótema de uma pirâmide regular Chama-se
apótema de uma pirâmide regular a altura
(relativa ao lado da base) de uma face lateral.
Na figura a seguir, m é a medida do apótema da
pirâmide representada.
II. Apótema da base de uma pirâmide regular
Dá-se o nome de apótema da base de uma
pirâmide regular ao apótema do polígono regular
da base, que, na verdade, é a distância do
centro do polígono a cada um dos lados. Na
representação a seguir, a corresponde à medida
do apótema da base.
De modo geral, o teorema de Pitágoras tem aplicação na maioria
dos problemas que envolvem pirâmides. Reconhecer os triângulos
retângulos determinados pelos elementos das pirâmides torna-se
uma habilidade importantíssima. A seguir, teremos exemplos de
triângulos retângulos determinados pelos elementos das principais
pirâmides regulares.
Teorema de Pitágoras e as principais pirâmides regulares :
Pirâmide triangular regular :
Considere uma pirâmide triangular regular em que as arestas da
base medem l, altura H, apótema da base a e apótema da pirâmide
m, como representado a seguir:
Os apótemas da base e da pirâmide e a
altura determinam um triângulo retângulo,
tornando válida a relação:
Como a base da pirâmide é um triângulo equilátero de lado l, temos
que o ponto G é o baricentro desse triângulo e divide a mediana na
razão 2 : 1, portanto o apótema da base corresponde à terça parte
da mediana.
Sendo f a medida de uma aresta lateral, temos mais uma
possibilidade de destacar um triângulo retângulo, como representado
a seguir:
Pirâmide quadrangular regular :
Pirâmide hexagonal regular :