PIRÂMIDES. Chama-se pirâmide o poliedro formado por todos os segmentos de reta cujas extremidades...
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PIRÂMIDES
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Chama-se pirâmide o poliedro formado por todos os segmentos de reta cujas extremidades são o ponto V e um ponto da região S.
Pirâmides
Vamos considerar um plano , uma região poligonal convexa S contida em e um ponto V fora de .
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Elementos de uma pirâmide
Considerando a pirâmide desenhada ao lado, temos: base: a região poligonal S; vértice da pirâmide: o ponto V; faces laterais: as superfícies triangulares AVB, BVC, ..., NVA; arestas da base: os segmentos AB, BC, ... , NA;arestas laterais: os segmentos VA, VB, VC, ... , VN;altura da pirâmide: a distância h entre o vértice V e o plano
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Classificação das pirâmidesConsideramos o número de arestas da base:
se a base tem 5 arestas pirâmide pentagonal,
e assim por diante.
se a base tem 3 arestas pirâmide triangular
se a base tem 4 arestas pirâmide quadrangular
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Uma pirâmide cuja base é uma superfície poligonal regular e cuja projeção ortogonal P do vértice sobre o plano da base coincide com o centro O do polígono de base é chamada de pirâmide regular.
Pirâmide regular
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Observações:
O centro de um polígono regular coincide com o centro da circunferência circunscrita a esse polígono.
As faces de uma pirâmide regular são determinadas por triângulos isósceles congruentes. Um importante exemplo desse tipo de pirâmide regular é o tetraedro regular.
Pirâmide regular
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Elementos das pirâmides regulares
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Relações métricas entre os elementos de uma pirâmide regular
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Relações métricas entre os elementos de uma pirâmide regular
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Base Figura Relação
Relação entre as medidas da aresta da base e as do apótema da base de algumas pirâmides regulares
Triângulo equilátero ou
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Base Figura Relação
Quadrado
Relação entre as medidas da aresta da base e as do apótema da base de algumas pirâmides regulares
ou
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Base Figura Relação
Relação entre as medidas da aresta da base e as do apótema da base de algumas pirâmides regulares
Hexágono regular ou
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1.Um tetraedro regular tem arestas medindo 10 cm. Calcular a medida do apótema da pirâmide (g), a medida do apótema da base (m) e a altura da pirâmide (h).
Exercícios
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Resolução
No ΔDMA, temos: Como a base é uma superfície triangular equilátera, vem:
Agora, no ΔDMO, temos:
Portanto, as medidas são:
cm, cm e cm
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Atotal = Alateral + Abase
Área da superfície de uma pirâmide
Área da base (Abase): área da superfície poligonal que forma a base;
Área lateral (Alateral): soma das áreas das faces laterais (superfícies triangulares);Área total (Atotal): soma da área lateral com a área da base, ou seja:
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Atotal =
Área da superfície de uma pirâmideObservação:Se a pirâmide for um tetraedro regular, sua área total, em função da medida ℓ da aresta, será dada por:
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Vpirâmide = área da base x altura
Volume de uma pirâmide qualquer
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2. A base de uma pirâmide é um quadrado de lado 5 cm. Sabendo-se que a pirâmide tem altura de 30 cm, calcular o volume dessa pirâmide.
Exercícios
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Exercícios3. (ITA - SP) Quanto mede a área lateral de uma pirâmide quadrangular regular
de altura 4 m e de área da base 64 m²?
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Resolução:Na questão, como a pirâmide é quadrangular, sua base é um quadrado, com área 64 m², já que a área do quadrado é L², e o lado será 8. Perceba que a altura que a questão fornece na pergunta é a altura da pirâmide, para a área lateral precisamos encontrar a altura da face, que é a apótema da pirâmide. Fazendo o teorema de Pitágoras entre a altura do triângulo, a apótema da base e a apótema da pirâmide, encontramos a altura dessa face:
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Exercícios4. (FUVEST – SP) Um telhado tem a forma da superfície lateral de uma pirâmide regular, de base quadrada. O lado da base mede 8m e a altura da pirâmide, 3m. As telhas para cobrir esse telhado são vendidas em lotes que cobrem 1m². Supondo que possa haver 10 lotes de telhas desperdiçadas (quebras e emendas), o número mínimo de lotes de telhas a ser comprado é:a) 90b) 100c) 110d) 120e) 130
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Resolução:
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Propriedades das pirâmides
1a propriedade: A razão entre a área S’ de uma secção transversal de uma pirâmide feita a uma altura h’ em relação ao vértice e a área S da base dessa pirâmide de altura h é:
2a propriedade: Se duas pirâmides têm mesma altura e mesma área de base, elas são equivalente, portanto têm o mesmo volume.
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5. Determinar o volume de uma pirâmide regular hexagonal cuja aresta da base mede 12 cm e a aresta lateral mede 20 cm.
Exercícios
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Resolução
Primeiro, vamos calcular a medida g do apótema da pirâmide.
Agora, vamos determinar a medida m do apótema da base. Como a base é um hexágono regular, temos:
Cálculo da altura h da pirâmide:
Cálculo da área da base:Abase = Abase =
Cálculo do volume da pirâmide:Vpirâmide = Vpirâmide = Vpirâmide =
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Exercícios6. (VUNESP) O prefeito de uma cidade pretende colocar em frente à prefeitura um mastro com uma bandeira, que será apoiado sobre uma pirâmide de base quadrada feita de concreto maciço, como mostra a figura.Sabendo-se que a aresta da base da pirâmide terá 3 m e que a altura da pirâmide será de 4 m, o volume de concreto (em m³) necessário para a construção da pirâmide será:a) 36b) 27c) 18d) 12e) 4
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Resolução:
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7. (UFSC) Em uma pirâmide quadrangular regular a aresta lateral mede 5 cm e a altura mede 4 cm. O volume, em cm3, é:
Exercícios
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Resolução:
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Vamos considerar uma pirâmide de vértice V, altura H e base contida em um plano .
Tronco de pirâmide
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Seccionando essa pirâmide com um plano , paralelo a , essa figura é separada em dois sólidos, o que contém o vértice V, que é uma nova pirâmide de altura h e base contida no plano , e o que contém a base da pirâmide maior, denominado tronco de pirâmide, de bases paralelas.
Tronco de pirâmide
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Considerando o tronco de pirâmide da figura ao lado, temos: base maior: superfície poligonal ABCDEF; base menor: superfície poligonal A’B’C’D’E’F’; faces laterais: superfícies trapezoidais AA’B’B, BB’C’C etc.;altura do tronco (ht): distância entre a base
maior e a base menor (ht = H – h).
Elementos de um tronco de pirâmide
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Tronco de pirâmide regular
No tronco obtido de uma pirâmide regular, observamos que: as bases são superfícies poligonais regulares semelhantes; as faces laterais são superfícies trapezoidais isósceles e congruentes; a altura de uma face lateral é o apótema do tronco (de medida p).
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Atotal = Alateral + Ab + AB
Área total (Atotal): soma da área lateral com as áreas das bases menor e maior, ou seja:
Área da superfície de um tronco de pirâmide
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Vtronco =
Vtronco = VVABCDE – VVA’B’C’D’E’
Volume de um tronco de pirâmide
ou
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Razão de semelhança
Observação:Em geral, usa-se a letra k para representar a razão de semelhança entre dois segmentos.
= ... =
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8. Um tronco de pirâmide reta tem bases quadradas de lados 4 cm e 10 cm e altura de 6 cm. Calcular as áreas das bases e o volume do tronco. Resolução
AB = 102 = 100Logo: AB = 100 cm2 Ab = 42 = 16Logo: Ab = 16 cm2 Vtronco = Vtronco = 2(100 + 40 + 16) = 312 Logo, o volume do tronco é 312 cm3.
Exercícios
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9. Um tetraedro regular de 4 cm de altura tem 64 cm3 de volume. Calcular
o volume v da pirâmide obtida pela secção feita por um plano paralelo à
base e à altura de 2 cm.Resolução
Se duas pirâmides de alturas h e H são semelhantes na razão k, então a razão entre seus volumes é:
Logo, o volume da nova pirâmide é 8 cm3.
Exercícios
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10. Um tronco de pirâmide regular tem a aresta lateral medindo dm e bases quadradas cujos lados medem 4 dm e 10 dm. Calcular a área de cada base, a área lateral e o volume do tronco.
Exercícios
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Cálculo da área lateral:Para calcular a área lateral, precisamos da medida de M’M indicada na figura. Vamos destacar a face lateral BB’C’C.Pela figura ao lado, temos:A área de cada face lateral (trapézio BB’C’C) é: ABB’C’C =
Resolução
Cálculo da área de cada base: Ab = 42 = 16; logo: Ab = 16 dm2
AB = 102 = 100; logo: AB = 100 dm2
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A área lateral do tronco de pirâmide é: Alateral = 4 ⋅ 35 Alateral = 140; logo: Alateral = 140 dm2 Cálculo do volume do tronco:Para calcular o volume, precisamos determinar a altura do tronco de pirâmide. Observe o trapézio O’M’MO destacado: Pela figura, temos:ht + 32 = 52 ht = 4 2
Portanto: Vtronco =
Vtronco = 208Logo, o volume do tronco é 208 dm3.
Resolução