PIkasle nº 5 - Septiembre Octubre 2012 / 2012ko Iraila Urria

2 Revista pikasle Aldizkaria

Aurkibidea ndiceAutorea Autor O. Pg.

Portada Josu Tonelli-Cueto 1Anuncios y Noticias Ricardo Grande, Vctor Manero, 3

y Josu Tonelli-CuetoFsica en el juzgado Aitziber Ibaez 5XIII Encuentro Nacional de Estudiantes de Matemticas Andrea Aresti y Josu Tonelli-Cueto 6Amazings Bilbao 2012, so amazing Jon Asier Brcena 9Resea: La rebelin de los nmeros Irene Llana 11Entrevista a Carlos Beltrn y Luis Miguel Pardo Josu Tonelli-Cueto y Ricardo Grande 12Sudokua. Bideo-jokoak baino famatuagoa? Irune Etxarri 17

eta Arantzazu ElorduizapatarietxePaul Erds Irune Gurrutxaga 19Txominen Sariketa El Concurso de Txomin Txomin Zukalaregi 22

Zenbaki honen kolaboratzaileak Las y los colaboradores de este nmero

Maitane AmorAndrea Aresti

Jon Asier Brcena

Arantzazu ElorduizapatarietxeIrune Etxarri

Irune Gurrutxaga

Aitziber IbaezIrene Llana

Txomin Zukalaregi

Haien laguntza eta lana gabe, ez zen posible izango zenbaki hau.Sin su ayuda y trabajo, este nmero no hubiera sido posible.

Batzorde Editoriala Comit EditorialRicardo Grande Josu Tonelli-Cueto

Aholkulari Batzordea Comit AsesorJulio Garca Marta Macho-Stadler Vctor Manero

Agradecimientos a Carlos Beltrn y Luis Miguel Pardo por la concesin de la entrevista.

pikasle aldizkariaren eduki bakoitzaren erantzukizuna eduki horren egilearena izango da, eta ez besterena.pikasle aldizkariak ez du bere gain hartuko eduki horietatik sor daitezkeen arazoen ardura.

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Bilbon editatuta eta argitaratua. Editado y publicado en Bilbao.

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Revista pikasle Aldizkaria www.pikasle.tk/ ISSN 2174-9027

Komunitatea eta berriak Comunidad y Noticias 3

Sobre la portada

La portada de este nmero est dedicada a los ma-temticos Luitzen Egbertus Jan Brouwer (a la izquier-da) y Errett Albert Bishop (a la derecha), los cuales sondestacados promotores del constructivismo en matem-ticas. Esperamos que esta portada de la revista pikasle,con la parte controvertida que acarrea, sea un homenajea la labor realizada por estos dos matemticos.

Una nueva asociacin estudiantil en la UPV/EHU

El da 5 de octubre, promovida por 23 estudiantes dematemticas de la Zientzia eta Teknologia Fakultatea-Facultad de Ciencia y Tecnologa de la UPV/EHU, fuecreada la Asociacin de Estudiantes de MatemticasEpsilon-Delta Matematika Ikasleen Elkartea. Esta aso-ciacin pretende agrupar a las y los estudiantes de ma-temticas de la UPV/EHU con diversos objetivos, entreellos el de realizar actividades de inters para todas ytodos ellos como un banco de documentos, ciclos deconferencias, cursos, seminarios. . .

Para ms informacin acerca de la asocia-cin o ponerse en contacto con ella escribir a:[email protected]

P vs. NP and related topics Seminar

Este seminario, a iniciativa de la Asociacin de Es-tudiantes de Matemticas Epsilon-Delta MatematikaIkasleen Elkartea, busca cultivar los fundamentos de lateora de la complejidad computacional entre el alum-nado de matemticas. As, el seminario se caracterizapor tratar un tema apartado de los temarios universita-rios de matemticas, como es la complejidad compu-tacional, y por ser desarrollado en ingls a partir de lasexposiciones preparadas por las propias y los propiosalumnos participantes.

13a Conferencia deDecanos y Directores de Matemticas

Del 18 al 20 de octubre tuvo lugar en la Univer-sidad de Cdiz (UCA) la decimotercera edicin de laConferencia de Decanos y Directores de Matemticas(CDM).

Figura 1: Cartel de la CDM 2012

Las actividades del viernes consistieron en dos me-sas redondas que giraron en torno a los estudios de Ma-temticas. La primera de ellas, centrada en los estudiosde grado, cont con la participacin del Director Gene-ral de la Universidad-Empresa de la UCA, Javier PrezFernndez, el Presidente de la Asociacin Nacional deEstudiantes de Matemticas (ANEM) Jaime SnchezFernndez y el Vicerrector de Poltica acadmica de laUniversidad de Salamanca, Jos ngel Domnguez P-rez.

En dicha mesa redonda se trataron temas como laincorporacin laboral y las prcticas en empresas. Ca-be destacar la intervencin de la ANEM en la cual sepusieron en evidencia el importante papel de las Olim-piadas Matemticas de cara a promocionar los estudiosen matemticas, as como la solicitud de la figura delalumno-tutor o la creacin de cursos cero.

La segunda mesa redonda se centr en los estudiosde postgrado y la investigacin. En esta intervencin semostr una clara preocupacin por los elevados preciosde los msteres pblicos. Esa misma tarde tuvo lugaruna visita al casco histrico de Cdiz.

El ltimo da se celebr la asamblea de la CDM.Debido a la preocupacin por los importes solicita-dos por cursar msteres, se convoc una asamblea ex-traordinaria para principios del prximo ao en Ma-drid. La prxima asamblea ordinaria tendr lugar en laUPV/EHU.

Para ms informacin: http://cddm2012.uca.es/resumenes.php

ISSN 2174-9027 www.pikasle.tk/ Revista pikasle Aldizkaria

4 Anuncios y Noticias

Clausura del Ao de GaloisEl 25 de octubre de 2011 se cumplieron 200 aos

desde el nacimiento del famoso matemtico varisteGalois. Para conmemorar esta fecha, el Departamentode Matemticas de la UPV/EHU organiz un denomi-nado Ao de Galois. Durante todo el ao, alumnadoy profesorado hemos tenido la oportunidad de asistir adiversas conferencias, seminarios y hasta una escuelainternacional avanzada sobre grupos de Galois.

Figura 2: Cartel del ao de Galois.

La conferencia de clausura que ofreci Peter M.Neumann el pasado 24 de octubre puso el punto finala este fantstico ao. Este matemtico britnico, profe-sor retirado de Oxford University, habl de la impor-tancia del trabajo de Galois, situndolo en su contextohistrico. Durante algo ms de una hora, comparti connosotros sus conocimientos e investigaciones, que fue-ron publicadas en un libro llamado The MathematicalWritings of variste Galois en octubre del ao pasado.

Figura 3: Peter M. Neumann en la clausura.

pikasle ha tenido la oportunidad de hablar con elprofesor Neumann; podris disfrutar de esta entrevistadentro de un par de nmeros.

Ellas hacen cienciaEl pasado jueves 8 de noviembre se dio inicio al

ciclo de conferencias Emakumeek zientzia egiten du-te / Ellas hacen ciencia. La charla de apertura estuvo acargo de Mara Luisa Maillard Garca, presidenta de laAsociacin Matritense de Mujeres Universitarias, y ha-bl sobre el trabajo y la vida de Rita Levi-Montalcini.

A lo largo de los jueves de este mes sern recorda-das cientficas tan importantes como aquellas privadasdel Premio Nobel, Mileva Maric y las mujeres en la in-formtica. Podis encontrar ms informacin sobre elprograma en el blog de la ZTF-FCT y estar al da de lasnovedades en su pgina de facebook.



Fsica en el juzgadoAitziber Ibaez

Querida lectora o lector, imagina que ests en me-dio de un juicio, no uno famoso, uno trivial, que pareceno atraer la atencin de nadie. Piensa ahora en el de-fendido, te lo imaginas como un abogado encorbatado,verdad?, soltando su verborrea llena de de palabrejasslo aptas para letrados y lengufilos, dando la vueltaa las leyes y a los hechos para parecer inocente. Y sicambiamos a este abogado por un fsico? Extrao, no?

Nuestro protagonista es el fsico Dmitri Krioukov[4], de la Universidad de California, que se bas en ar-gumentos fsicos para esquivar una multa de 400 dla-res con xito, segn cuenta en su artculo publicado enarXiv [1].

Figura 1: Imagen del artculo de Krioukov

Krioukov fue acusado de saltarse un Stop, pero lafirm que desde la posicin del observador, es decir,el oficial de polica, la vista poda llevar a engao, yaque ste no meda la velocidad lineal del vehculo, sinola angular, y adems el coche frenaba y aceleraba enun periodo muy corto de tiempo. Segn l, el policano poda saber a ciencia cierta si efectivamente se ha-ba saltado el stop, o se haba detenido, y esta falta decerteza convenci a la jueza.

Hay quien piensa que el artculo es una broma, porinusual y porque fue publicado el 1 de abril, el homlo-go del Da de los Inocentes en Estados Unidos y otrospases, as que quin sabe. Por otro lado, la jueza que

dictamin sentencia niega que fuera el argumento cien-tfico lo que determin su veredicto.[3] Slo queda aa-dir: visto para sentencia.

Referencias

[1] D. Krioukov. The Proof of Innocence. arXiv. 2012.http://arxiv.org/pdf/1204.0162v1.pdf

[2] Physicist Uses Math to Beat Traffic Ticket. phy-sics central. http://www.physicscentral.com/buzz/blog/index.cfm?postid=

4656335810518469535

[3] L. Klimas. Court denies physicists infamous mathproblem is what got him out of traffic tickect. TheBlaze. http://www.theblaze.com/stories/court-denies-physicists-infamous-math-

problem-is-what-really-got-him-out-of-

traffic-ticket/

[4] Web personal de Dmitri Krioukov. http://www.caida.org/~dima/

[5] M. Macho. La demostracin de tu inocen-cia. . . o de como las matemticas te puedenayudar a evitar multas. ZTFNews. Mayo, 2012.http://ztfnews.wordpress.com/2012/04/

19/la-demostracion-de-tu-inocencia-

o-de-como-las-matematicas-te-pueden-

ayudar-a-evitar-multas/

Aitziber IbaezEstudiante de la Licenciatura en MatemticasUPV/EHU


6 Komunitatea eta berriak Comunidad y Noticias

XIII Encuentro Nacional de Estudiantes de MatemticasUna experiencia en Murcia.

Andrea Aresti y Josu Tonelli-Cueto2012ko uztailaren 23tik eta 29ra bitartean, XIII Encuentro Nacional de Estudiantes de Matemticasizan zen Murtzian. Topaketa horretan, Espainiako herrialde guztietako matematika-ikasleak bilduziren, matematika eta matematikari berriak ezagutzeko. Han egoteko aukerarik izan ez bazenu,artikulu hau irakurriz, topaketan gertatutakoen berri izango duzu.

Entre el 23 y el 29 de julio de este ao tuvimos elplacer de asistir al XIII Encuentro Nacional de Estu-diantes de Matemticas organizado por la AsociacinNacional de Estudiantes de Matemticas (ANEM) enMurcia. Durante este evento pudimos disfrutar tanto dever la presencia de las matemticas en lugares inespera-dos, como de momentos ms ldicos en los que hemospodido conocer mejor la provincia de Murcia y gozarde la compaa de las otras personas asistentes.

Figura 1: Conferencia del Dr. Maths.

El primer da, 23 de julio, llegamos en tren justoa tiempo para asistir a la inauguracin y escuchar laconferencia Paseo matemtico por los medios de co-municacin de nuestro profesor Ral Ibez acerca dela manipulacin meditica desde un punto de vista ma-temtico. Despus cenamos y conocimos a varias y va-rios de los participantes de esta edicin; adems de unpequeo espectculo cmico para terminar la noche.

El segundo da fue algo ms duro y estuvo cargadode conferencias de la mano del Comit Raising PublicAwareness of Mathematics de la European Mathema-tical Society (EMS) [2]. A la maana el profesor Ehr-hard Behrends nos mostr las diversas conexiones entrela msica y la matemtica en su conferencia Matem-ticas audibles, y despus la profesora Silvia Benvenutinos enseo que las matemticas pueden servir de ins-piracin en arquitectura en su charla Matemticas yArte.

La tarde fue ms participativa; por un lado, el pro-fesor Steve Humble (o Dr. Maths) nos mostr el ladomgico de las matemticas en su coloquio Magia!Barajando magia y matemticas y por otro lado, la ge-nuina profesora Franka Miriam Bruecker, que realizsu exposicin descalza, nos enseo la relacin entre lasmatemticas y la papiroflexia y la importancia de con-cienciar a la gente sobre ellas en su taller El mtodomatemtico austero para concienciar a la gente, parteuno: ahorra dinero, dobla papel!.

Durante este da fue de gran ayuda para todas laspersonas que no dominaban el ingls el apoyo de laalumna de la universidad de Oxford Ins Laura Daw-son, quien realiz traducciones simultneas desde el in-gls al castellano en todas estas conferencias.

Durante este mismo da, se nos present la Fede-racin Espaola de Sociedades de Profesores de Mate-mticas (FESPM) [3] y Rafael Crespo Graca discuticon todos acerca de la Real Sociedad Matemtica Es-paola (RSME) [4] en el coloquio Qu puede hacerla RSME por nosotros? Y nosotros por la RSME?, elcual sirvi adems para ultimar detalles de un eventualconvenio entre la ANEM y la RSME y se prolong msde lo esperado.

Figura 2: Foto-grupo en San Javier (Mar Menor).[8]

El tercer da fue de relax, y estuvimos disfrutandodel Mar Menor de Murcia en la localidad de San Javierrealizando diversas actividades ldicas como vela, pi-ragismo, deportes en la playa, y un paseo en barco porel Mar Menor. Y para cerrar el da tuvimos una compe-



ticin por equipos de Sing Star, en la que disfrutamoscantando en compaa del resto de las y los participan-tes.

El cuarto da estuvo dedicado a Murcia, en cuan-to que fueron profesores murcianos quienes nos delei-taron con sus exposiciones y que realizamos diversasincursiones tursticas en la ciudad de Murcia.

En lo que se refiere a la parte educativa, el profe-sor Antonio Jos Pallars Ruiz nos hablo de desigual-dades en Desigualdades ms o menos sencillas (alge-braicas, geomtricas, funcionales,. . . ) con algunas apli-caciones; el profesor Andrs Nortes Checa, represen-tando a la Sociedad Espaola de Investigacin en Edu-cacin Matemtica (SEIEM) [5], nos habl acerca dediversos juegos y mtodos para acercar los nmeros alalumnado en secundaria en Los nmeros dentro y fue-ra del aula; el profesor Jos Orihuela Calatayud noshabl acerca de la relacin entre las matemticas y laeconoma en La Matemtica de los Mercados Finan-cieros y, al final, el profesor Leandro Marn Muoznos ense la criptografa y su historia llena de mate-mticos durante la Segunda Guerra Mundial en el tallerLa Mquina Enigma y cmo los criptgrafos intervi-nieron de forma decisiva en la derrota alemana en laSegunda Guerra Mundial en la que adems realizamosdiversos ejercicios con una mquina Enigma simplifi-cada.

Y en lo que se refiere a conocer la ciudad de Murcia,visitamos el Museo Salzilllo de Murcia y ya a la noche,tras un da de conferencias, realizamos una visita noc-turna por la ciudad en la que adems de pasear al ladode la catedral, recorrimos diversas tascas murcianas.

Figura 3: Foto-grupo el foro romano de Cartagena.[8]

El quinto da fue da de turismo en el que a la ma-ana visitamos la Cueva del Puerto y realizamos el des-

censo de un tramo del ro Segura gracias al ayuntamien-to de Calasparra, y a la tarde disfrutamos de las locali-dades de Caravaca de la Cruz y Cehegn.

El sexto da fue un da mixto. As, a la maana visi-tamos la ciudad de Cartagena y su teatro romano; y yapor la tarde, el profesor Pablo Mira Carrillo nos delei-t con las matemticas que se esconden en el jabn enla conferencia Geometra tras una pelcula de jabny el profesor Victor Jmenez Lpez nos mostr cmo seesconden las matemticas en la literatura en la confe-rencia De OuLiPo, Berge y cmo resolver un crimenusando teora de grafos.

Para terminar el da, se celebr la Asamblea Gene-ral de la ANEM donde se decidieron los cargos de sujunta directiva y se debati acerca de la situacin y elfuturo de la asociacin. Adems, se recordo que el XIVENEM se celebrar en Mallorca y se decidi celebrarla XV edicin del ENEM en Mlaga.

Figura 4: Foto durante la Asamblea General.

Tras un periodo de reunin seria tocaba celebrar elltimo da en Murcia, y as, tras la ultima cena deeste ENEM, todas y todos los participantes fuimos acompartir y celebrar bajo la luna de Murcia ese da quequedaba antes del ltimo da.

Finalmente, el sptimo y ltimo da, 29 de julio,realizamos el acto de clausura y descubrimos numero-sas curiosidades matemticas de la mano de Miguel n-gel Morales Medina (o DiAmOnD) en la conferencia2012 curiosidades matemticas (o casi). El XIII En-cuentro Nacional de Estudiantes de Matemticas habaconcluido con muy buenas experiencias a las espaldas.

En definitiva, consideramos que el XIII ENEM esuna gran experiencia a ser vivida por cualquier estu-diante de matemticas en la que aprender algo de ma-temticas, har algo de turismo, disfrutar de momen-tos de diversin y, lo ms importante, conocer y serelacionar con distintas personas que son tambin es-tudiantes de matemticas.


8 XIII Encuentro Nacional de Estudiantes de Matemticas

Adems, un aspecto curioso de este encuentro esque las universidades del norte estaban menos repre-sentadas que las del sur. Este aspecto fue sealado en elpropio encuentro, y por ello, animamos a todas y todoslos estudiantes de universidades del norte a decidirse air al XIV ENEM.

Referencias

[1] Pgina web del 13ENEM. http://www.um.es/13enem/13-enem/

[2] Mathematics in Europe. EMS. http://www.mathematics-in-europe.eu/

[3] Pgina web de la FESPM. http://www.fespm.es/

[4] Pgina web de la RSME. http://www.rsme.es/

[5] Pgina web de la SEIEM. http://www.seiem.es/

[6] Celebrado el XIII ENEM en Murcia. Boletn de laRSME, nmero 325. Pg. 2. http://www.rsme.es/org/secret/Boletin325.pdf

[7] 13ENEM. Eulerianos. http://eulerianos.com/13enem/

[8] Fotografa de Luca Vzquez Rodrguez.

Agradecimientos

Queremos agradecer personalmente a la ANEM, yen particular a los organizadores de esta edicin delENEM: Jaime Snchez Fernandez, Pedro Vicente L-pez Baon, Mikel Gonzlez Merino y Eva Primo Trra-ga; la excelente labor de organizacin que nos ha per-mitido disfrutar de esta experiencia en Murcia.

Adems, la revista pikasle agradece a la UFI 11/52Matemticas y Aplicaciones la ayuda econmicaprestada para enviar un representante de la revista alXIII ENEM.

Andrea Aresti y Josu Tonelli-CuetoEstudiantes de la Licenciatura en MatemticasUPV/EHU



Amazings Bilbao 2012, so amazingJon Asier Brcena

Irailaren 28an eta 29an, Amazings aldizkariak [1]hitzaldi sorta bat antolatu zuen Bilbon: Amazings Bil-bao 2012. Aldizkari horretako artikuluak, gehienbat,zientziaren arlokoak dira, beti dibulgaziokoak eta, as-kotan, inoiz bururatuko ez zaizkizun gaiei buruzkoak.

Aurtengo edizioan, txostengile ugarik hartu zu-ten parte; [2] eskarmentu handikoak haiek guztiakdibulgazio-arloan. Hitzaldiek bi helburu zituzten: zer-bait berri irakastea eta barre-algarak eragitea. Eta guz-tiak bideoz jaso ziren: EITBn eskegita daude; beraz,hitzaldietara joaterik izan ez zutenek aukera dute haienbideoak ikusteko. [3] Nire gomendioa horixe da, bede-ren.

Ekitaldiei dagokienez, asko eta askotarikoak izanziren, eta ezinezkoa litzateke g uztiak artikulu honetanjasotzea. Hala ere, haiei buruzko ideia bat ematearren,hitzaldietako batzuk aipatuko ditut; ostiral goizeko etalarunbat arratsaldeko emanaldietako zenbait, hain zu-zen. Hitzaldi horiek lagin bat baizik ez dira; izan ere,oso zaila da hobea zein den erabakitzea.

Ostiral goizean, Francis Villatorik Los nmerosque no se puede calcular hitzaldia egin zuen, Alan Tu-ringi buruzkoa. Hartan, Alanen teoriak azaldu zituenhizlariak; baina ez zion ikuspegi komikorik eman hi-tzaldiari. Jose Antonio Prado Basak, bestalde, matema-tikan logikoak diruditen iruzurrei buruz hitz egin zigun.Besteak beste, zati zero ezkutuka egiteaz jardun zuen:

berdintza matematiko bat duzunean, ezin dezakezu zatizero egin, zeroak ez baitu inbertsorik. Zenbakiak era-biltzen direlarik, argi dago ez dela egiten zatiketa hori;letrak erabiltzen direnean, ordea, ahaztu egiten da ezinhori. Alegia, baldin a = b berdintza frogatu baduzu,eta 9(a b) = 3(a b) bada, ez duzu zilegi zati a begitea, zati zero egitea baita. Eta, eginez gero, absur-do batera ailegatzen da. Hitzaldi horren bideoa ikusteagomendatzen dut. Ostirala lan-eguna zen, eta jende gu-txiago bertaratu zen; halere, egun horretako hitzaldiakere kalitate onekoak izan ziren.

Larunbat arratsaldean, fisikariek eta biologoek bi-kain egin zuten. Quirantes, esaterako, hitzaldia atzekozaurrera, hots, bukaeratik hasierara ematen saiatu zen,ordena hori bat baitzetorren haren gaiarekin (nola erai-ki denbora-makina bat). Baliabide linguistikoak erabi-liz efektu hori lortu zuen. Biologoek, bestalde, azal-du zuten, besteak beste, marrazki bizidunetako anima-lien eta benetakoen arteko alderaketak modu pedagogi-ko batean erabili ote zitezkeen.

Matematikari bat ere mintzatu zen arratsalde har-tan: Miguel ngel Morales jauna. Matematikaren histo-riari buruz hitz egin zuen, eta, zehatz-mehatz, Fermatenazken teoremari buruz. Moralesek gezurtatu egin zuenFermatek bazekiela teorema horren froga; egia esan,1990eko hamarkada arte ez zen guztiz frogatu. AndrewWilesek coup-de-grce eman zuen, baina XIX. eta XX.mendeetako matematikari ugarik orduak, asteak eta ur-teak eman zituzten teorema horren frogapenaren bila,batzuk (hala nola Euler, Germain, Kummer, Cauchy)beste batzuk baino arrakasta handiagoz. Teorema ho-rrek matematikari askoren lan-bizitza kontsumitu zuen.Wilesek, frogapeneko akats bat zela eta, ez zuen Fieldsdomina eskuratu; izan ere, akats hori zuzendu zuenarren, zuzendu zuenerako, zaharregia zen: 42 urtebesterik ez zuen, baina domina hori jasotzeko, 40 ur-te baino gutxiago izan behar da. Hitzaldian argi geratuzen teorema horren frogapenean, hamaika matematika-rik parte hartu zutela: batzuek, Fermaten susmoa har-tuta, eta bestetzuek, zerbait gaineratu nahian.

Oro har, giro itzela egon zen. Hitzaldi gehienetan,guztiz bete zen gela, eta, haiek bukatuta, jendeak ahalbeste txalo egin zuen. Datorren urtean ere ekitaldi hauegiten bada, hartara joatea gomendatzen diot irakurlea-


10 Amazings Bilbao 2012, so amazing

ri, eta, bereziki, ahalik eta lasterren ailegatzea; izan ere,saioa hasteko hamabost minutu falta zirela, gela guztizbete zen, eta hitzaldiak proiektatuta ikusten ziren gelaia-ia.

Erreferentziak

[1] http://amazings.es/

[2] http://naukas.com/2012/08/07/amazingsbilbao2012programa/

[3] http://www.eitb.tv/es/#/video/1872461538001

Jon Asier BrcenaMatematikazko Graduko ikasleaUPV/EHU



Resea:La rebelin de los nmeros

Irene Llana

La rebelin de los nmeros es un libro que nos co-necta el mundo del teatro con el de las matemticas, enel que tenemos como guas del recorrido a La Pandade Los ltimos de la Clase, y por supuesto, a los N-meros. Est escrito por Antonio de la Fuente Arjona,que adems de la rebelin de los nmeros, ha escritootros tres libros de la coleccin Alba y Mayo Teatro deEdiciones De la Torre, que comparten el mismo obje-tivo: mostrar el teatro como una herramienta en la es-cuela.

La primera escena se nos presenta con una asam-blea donde participan los nmeros y los signos, y enella discuten sobre la importancia de cada uno de ellosy se quejan de lo mal que los y las estudiantes los tra-tan. Tras divertidas discusiones entre ellos, llegan a laconclusin de que tienen que tomar cartas en el asuntoy deciden raptar al profesor de matemticas. Para po-der rescatarlo, los estudiantes tendrn que entrar en el

misterioso mundo de los nmeros donde tendrn queresolver una serie de problemas.

El libro est distribuido en ocho escenas, y cada unade ellas va sobre el problema que La Panda tiene queresolver. En cada escena aparece un nuevo personajeque acta como llave para pasar a la siguiente prue-ba. Los desafos son enigmas matemticos relaciona-dos con el tiempo, clculo de cantidades, msica etc. yse anima a los lectores y lectoras a participar en ellasplanteando preguntas relacionadas con el tema o ani-mando a resolver el propio enigma.

Adems de los acertijos, La Panda se encuentracon diversos problemas, como por ejemplo que cadavez que alguno dice una frase en contra de las mate-mticas un nmero se ve sustituido por un sonido. As,poco a poco los y las protagonistas se van dando cuentade la importancia de las matemticas en su da a da ylo difcil que resultara la vida sin ellas.

De un modo divertido y lleno de aventuras, el autornos abre un camino de aprender las matemticas en lasaulas. Haciendo esa conexin con el mundo del teatro,la rebelin de los nmeros ayuda a romper esa barreraque hay entre las ciencias y las letras que en el fondotan relacionadas estn.

Si queris saber ms sobre Antonio y su proyecto,podis consultar su pgina web: [1]

Referencias

[1] http://delafuentearjona.viadomus.com/

Irene LlanaEstudiante de la Licenciatura en MatemticasUPV/EHU


12 Elkarrizketak Entrevistas

Entrevista a Carlos Beltrn y Luis Miguel PardoPor Josu Tonelli-Cueto y Ricardo Grande

En 1997, emulando a Hilbert y su lista de problemas, Stephen Smale publica una lista de18 problemas que considera que es importante resolver de cara al progreso de las matem-ticas. Uno de estos problemas, el 17, peda un algoritmo uniforme para resolver sistemas deecuaciones polinomiales y fue resuelto por dos matemticos espaoles: Carlos Beltrn y LuisMiguel Pardo. Desde pikasle nos acercamos a entrevistarlos y para que nos den su visinacerca de diversos aspectos de la matemtica actual.

Figura 1: Carlos Beltrn (C) y Luis Miguel Pardo (LM).

En primer lugar nuestra felicitacin por el logro.C: Muchas gracias por vuestra felicitacin y graciastambin por el esfuerzo de venir a entrevistarnos.LM: Lo mismo digo.Para ir entrando en calor, en qu consiste el pro-blema 17 de Smale?C: Es una forma moderna de enunciar el problema cl-sico de la resolucin de sistemas de ecuaciones poli-nomiales, que aparece en muchas aplicaciones y apartees uno de los objetos matemticos elementales que unoquiere entender. La forma clsica de enfocarlo es tratarde resolver el sistema de una u otra manera, y la for-ma ms moderna es tratar de encontrar algoritmos queresuelvan el problema.Ahora que tenemos ordenadores, el problema de Smaleconsiste en ser capaces de resolver sistemas de ecuacio-nes polinomiales encontrando el valor de cada incgni-ta para que eso se haga cero. Habr mucha soluciones,el problema es encontrar una rpidamente y rpidamen-te aqu tiene un significado tcnico, no es simplementeuna forma de hablar. Significa que se haga en tiempopolinomial, que bsicamente es la forma de expresarcuando un algoritmo se considera eficiente.En eso consiste el problema.LM: En realidad, la motivacin de Smale nace de sustrabajos de los ochenta sobre equilibros en economa

y su descubrimiento de la ausencia de algoritmos paracalcularlos. Posteriormente sus ideas se desarrollan enuna secuencia de profundos trabajos que escribi conMike Shub, que quizs es la persona que ms nos hainfluido a los dos, en los aos noventa. Para resolver elsistema de ecuaciones polinomiales montaron una es-trategia enormemente compleja, con una enorme dosisde matemticas, para disear el algoritmo.Y llegaron a una cosa muy curiosa: la existencia de unpunto milagroso, que si lo conoces te permite resolverrealmente las ecuaciones; pero nadie saba encontrarpuntos milagrosos.Brevemente, cmo habis atacado el problema?LM: La idea que nosotros aportamos es una idea queviene bastante de atrs. Debe haber un punto milagro-so, nadie sabe encontrarlo, por qu tengo que buscar-lo? En lugar de eso, cambio la necesidad de encontrarlos puntos milagrosos por la necesidad de elegirlos alazar. Entonces el planteamiento del problema es desa-rrollar un algoritmo que hace eleccin al azar de puntosmilagrosos.Y ahora las partes duras son dos: demostrar que haymuchos, que si eliges al azar se encuentran razonable-mente bien; y que adems funcionan bien una vez ele-gidos. Estas son las tres ideas bsicas: pensar probabi-lsticamente, elegir el universo donde se pueden elegirbien al azar y demostrar que una vez elegidos funcio-nan como se espera. Y esa es nuestra nica aportacin.C: Que no es poco. A mi me gusta una analoga que seentiende fcilmente por cualquiera que haya estudia-do un poco de ecuaciones diferenciales. Cuando tienesuna ecuacin diferencial para conocer la solucin entiempo t, necesitas la ecuacin diferencial y lo que valeen t = 0. As, Shub y Smale, que son los dos grandestitanes de esto, realmente construyeron una gran mon-taa que es la ecuacin diferencial que permite llegar ala respuesta que t quieres, pero no saben encontrar elpunto inicial para ello.


Elkarrizketak Entrevistas 13

Y eso es lo que nosotros hicimos. Nos dimos cuentade que en efecto se puede elegir al azar uno que conalta probabilidad es bueno, y adems que la forma deelegirlo es razonable.LM: La idea, de hecho, no es nueva en algn sentido,es decir, la idea de algoritmos probabilistas es estndary existe desde los aos sesenta. Lo que ocurre es que eneste contexto no se haba pensado, por qu? Pues b-sicamente porque la tecnologa es completamente dis-tinta, es decir, aqu es un contexto continuo y siemprese haba utilizado un contexto discreto.Y en que consista ese trabajo previo de Shub ySmale?C: Desarrollaron un algoritmo, basado en una idea muysencilla: la homotopa, que es una cosa vieja y que seha usado mucho.Imagnate que ests hablando de resolver una ecuacincuadrtica. Ahora si yo muevo los coeficientes de mipolinomio, la frmula conocida se mueve tambin, pe-ro se mueve de una forma continua diferenciable casisiempre. Uno puede controlar cmo se mueve la so-lucin en funcin de cmo se mueve el polinomio, elchiste de la homotopa es que uno no necesita cono-cer la frmula para saber en qu direccin se mueve lasolucin. Y as puedes obtener la solucin a base dedeformar el sistema y seguirla.LM: Un punto importante es que, a pesar de que laidea de deformacin la trataba muchsima gente, sloa Shub y Smale se les ocurri que no haba que pensarslo en la deformacin, sino tambin en cuantificar qupasa cuando deformas, es decir, como vas siguiendo elcamino desde un lugar conocido a un lugar desconoci-do.Adems, Shub y Smale descubren que la manera de se-guir caminos est dominado por una cantidad que in-vent Turing y que se llama el condicionamiento. Queel condicionamiento, que toda la gente de anlisis nu-mrico siempre lo haba visto como un invariante dela estabilidad de los algoritmos, sea realmente el inva-riante que controla la complejidad de un proceso es lamayor idea, desde mi perspectiva, de su colaboracin.Eso fue un avance espectacular cientficamente en elcontexto en el que vivimos.Suponemos que no fue cosa de un da para otro de-cidir trabajar en este problema, qu fue lo que osllevo a pensar sobre l?LM: El porqu me he metido en este problema es mso menos as. Antes del 99, estaba trabajando en resol-

ver sistemas de ecuaciones polinomiales mediante lacomputacin simblica, que viene de la geometra al-gebraica efectiva, y que es famosa en una forma nadaeficiente, como son las bases de Groebner, las cualeshan dominado el espectro de la algortmica simblicadesde los aos 70-80.En los aos 90, Marc Giusti, Joos Heintz y yo nospropusimos hacer cosas completamente distintas en elmarco de un proyecto europeo que se llamaba PoSSo,Polynomial System Solver. Y acabamos desarrollandouna serie de mtodos, los mtodos Tera-Kronecker, queculminamos hacia los aos 97-98, y que son los ms efi-cientes posibles para resolver ecuaciones polinomialesen el mbito simblico y de la Geometra AlgebraicaEfectiva.Para completar la historia, son ancdotas de abueletes,debo hablar de un lugar encantador en Alemania, quese llama Schloss Dagstuhl y que he visitado mucho enlos aos 90. Este lugar es un castillo barroco, que ahoraes un centro internacional de encuentros matemticose informticos, y que es muy especial. La primera sor-presa es que al llegar te asignan tu habitacin y no tedan la llave, luego cuando vas a ella abres la puerta,dejas tus cosas y te vas, pero la habitacin no se cierranunca; porque se parte del principio de que las sesentapersonas que hay ah son cientficos reputados y muybuena gente.C: Esos son los ms peligrosos. (Remos.)LM: En este lugar, hay un concepto estupendo que esla bodeguilla, la cave. Es una pequea y maravillosabodega de vinos que estaban a tu acceso, donde t to-mabas la botella de vino, anotabas tu nombre y lo quedebas, y el da que te ibas lo pagabas. All estbamos, afinales de los 90, Marc Giusti, Mike Shub y yo, alrede-dor de una botella de Domaine Saint-Emilion, hablandode matemticas y de nuestros respectivos algoritmos.En un momento de la conversacin, Mike se pone chu-lo y dice: Pues nuestro algoritmo es, un 80% de lasveces, ms rpido que el vuestro. Y yo, que no habaestudiado su algoritmo, me qued as, con cara de noentender.A la vuelta de Dagstuhl, me leo sus artculos y me doycuenta de que no hay algoritmo. No lo entiendo, perode qu habla Mike? Y es justo en esa poca en la queaparece la famosa lista de problemas de Smale. No haynada ms divertido que te provoquen as. O sea, quete digan chulescamente lo nuestro es mejor y luegodescubras que no hay un nuestro. Y as me empiezo


14 Entrevista a Carlos Beltrn y Luis Miguel Pardo

a interesar por el problema.C: Yo dira que es cierto, Mike se equivocaba. No esun 80% de veces ms rpido su algoritmo, es un 99%de veces ms rpido. Slo que no estaba terminado, lesfaltaba esa piececita que nosotros pusimos. (Remos.)LM: Yo lo tengo muy claro: los diseadores de carro-ceras, como Lamborgini, hacen coches muy eficientesareodinmicamente, pero si no les pones ruedas y mo-tor no andan, y tienen que acudir a Maranello para queFerrari les preste motores y neumticos y fabricar au-tomviles verdaderamente eficientes. Mike quera decirotra cosa. (Remos.)C: Es verdad, dimos con esa piececita, en realidad pie-za. Porque cuando falta una pieza uno no sabe como degrande es. Puede ser grande, puede ser pequea, hastaque alguien la encuentra y sabe cmo es.Resolver o incluso intentar resolver un problema deestos debe ser toda una aventura; cmo ha sido esecamino hasta llegar a la solucin final? A qu tipode dificultades os tuvisteis que enfrentar?LM: La verdad, yo vena del mundo del lgebra y lageometra algebraica, y el anlisis numrico era otroplaneta para m, por lo que tengo que cambiar de pla-neta. Y eso cuesta tiempo, entonces empiezo a trabajarcon algunos de mis alumnos: David Castro, Jorge SanMartn, y, finalmente ya, Carlos. En las tesis se tratandistintas aproximaciones al problema. As, con Carloses con quien tenemos ya los medios para atacar el pro-blema.Pero, no es una flor de un da, es un camino de diezaos. Para Carlos son cuatro, para l es ms rpido,siempre es ms rpido para ellos. El asunto es que enese momento ya tenemos las posibilidades de empezarcon el problema, y ah es cuando surge la idea.C: As es, yo cuando entro a hacer la tesis ya est LuisMiguel metido en estas cosas. Me solt los artculosde Shub y Smale, y estuve mucho tiempo estudindo-los hasta que consigo ponerme un poco al nivel de loque va cocindose. Y a base de pensar muchas horas enese tema y en otros problemas relacionados, como elcondicionamiento de las matrices singulares, nos fui-mos metiendo en otros temas de condicionamiento nolineal y nos bamos aproximando al problema. No voya decir sin quererlo, porque obviamente sabamos queall estaba el problema y que haba algo gordo. Pero enun momento dado, de repente nos dimos cuenta de quehaba una camino al centro del mismo.LM: En realidad era una estrategia como los indios ro-

deando a los vaqueros, t vas dando vueltas y vueltashasta que por fin se gastan los vaqueros y entras. . . Engeneral suele pasar que t tienes un problema objetivo,pero no tienes ni las ideas ni las tcnicas para atacarlo.Lo que enfrentas son como problemas colaterales quete permitan entender lo que realmente vas a necesitar.Si los problemas colaterales ya te crean muchas dificul-tades para ser resueltos, entonces es que el camino ele-gido es malo. Parte de la situacin por aquel entoncesera esa, y ah fue cuando la colaboracin entre Carlos yyo fue como un empuje total porque empezaron a salircosas y los vaqueros se iban desgastando.Qu se siente al llegar a la solucin del problema?C T te acuerdas?LM: Yo me acuerdo de una cosa, a mi nunca se meocurri pensar que iba a salir tan pronto. (Remos.) Esotambin lo tengo muy claro.C: Es que en realidad, cuando estbamos haciendo co-sas cerca, pero tenamos miedo de tirar ms. Ahora, enun momento dado, de repente, sali el pez gordo...LM: En realidad fue una mala suerte. (Nos remos.)C: Ah, s?LM: Muchas veces en matemticas hay problemas quete permiten vivir toda una vida y no tienes que resolver-los. Eso es muy conveniente, porque en el mundo cien-tfico hay famosos problemas de los que muchos cient-ficos han hecho aportaciones muy relevantes sin haber-los resuelto y, justo por eso, pueden seguir trabajandoen ellos. Cuando t tienes un problema motivo/objetivoy lo resuelves es un desastre, porque ahora tienes quebuscar un problema nuevo para hacer investigacin. Yte surge una dificultad: con qu vas a ocupar tu tiempolibre?As que yo creo que fue un fallo, un fallo gravsimo.(Nos remos.) Esto es muy complicado de explicar, ylo estoy diciendo exageradamente. En general en ma-temticas hay montones de problemas para investigar,y para algunos de ellos, tras avanzar en algunas direc-ciones, alguien llega y dice que son difciles, que se hallegado a una barrera, que no se puede avanzar ms.Aqu, hay dos tipos de posturas. La postura estndar dela inmensa mayora de la gente: olvido el asunto y voya hacer otra cosa ms productiva en otro sitio, en otrombito. Y tambin existe la postura difcil y arriesga-da, la de la gente que trabaja en el entorno de cosas muyduras y que tiene un mrito especial: la cosa es difcil,pero el objetivo no es necesariamente resolverlo, sinointentarlo.


Elkarrizketak Entrevistas 15

Si resuelves un problema difcil se cae una importanteparte del pastel, porque claro, y ahora qu? Ya est, yahora? Esa situacin es muy parecida a la de una mi-na, donde ests buscando algn filn de mineral. Si loencuentras y lo agotas, y quieres seguir siendo minero,tienes que volver a empezar buscando un nuevo filn. Yeso es agotador. A veces, es ms conveniente sacar, depoco en poco, oro de tu mina de oro para ir rellenandolas nminas, y pagar tu hipoteca y tus gastos corrien-tes, que resolver el problema. En algn sentido es malasuerte, pero es idiota total lo que estoy diciendo. (Re-mos.)C: Es un buen chiste.LM: Pero tiene algo de verdad.C: Es cierto que, sobre todo en el sistema espaol, perotambin parcialmente en el resto del mundo, se mide lacalidad cientfica de los individuos un poco al peso, osea, tiene 58 artculos! y Bah. . . slo tiene diez. . . .No es radicalmente as, pero algo prximo, y claro mu-chas veces es conveniente para el currculum personalestar en problemas relativamente asequibles, que te per-mite un ritmo de publicaciones constante, y no enfren-tarte a un problema gordo de verdad que no sabes si vaa salir o no. Si, finalmente, resuelves tu problema obje-tivo duro consigues una super-publicacin, pero el deldespacho de al lado ha hecho 17 publicaciones, de lasllamadas de calidad, y al peso convencional te ma-chaca. Es arriesgado y, lo ms preocupante, el sistemaacadmico espaol no sabe bien como valorarlo. Y estoafecta especialmente a los jvenes investigadores queinician su carrera cientfica.Anteriormente habis hablado de la importante la-bor de Shub y Smale, por qu creis que no hay unShub y Smale espaoles?LM: Realmente, Shub y Smale han tenido en muchosmbitos cientficos una influencia que es espectacular.Respecto a Smale, yo creo que es uno, si no el quems, de los matemticos ms relevantes de los ltimoscincuenta aos. Habr gente que opinar distinto, pe-ro, viendo su obra, yo lo siento realmente as. Smalees posiblemente una de las cabezas ms brillantes deeste periodo de la historia y cuando se junta con su ex-alumno Mike Shub saltan chispas. No s que pensarCarlos que es ms cercano a Mike que yo.C: Con Mike, que es con el que ms cercano soy, saltanchispas sin necesidad de catalizadores. Realmente, songente muy muy brillante.LM: Aqu hay que sealar que tienen una ventaja frente

a investigadores espaoles. Yo no voy a quitar brillan-tez a los individuos, pero hay un aspecto muy impor-tante, que es una de las grandes carencias del sistemaespaol y que, desgraciadamente, no se insiste en ellocon suficiente fuerza.Una de las razones por las que somos cientficamentemenos competitivos, a pesar de que Espaa ha mejora-do mucho en matemtica internacionalmente, es la faltade Escuelas. Y, qu es una Escuela cientfica?. Es unlugar fsico donde confluyen gentes con cabezas muydiversas y pasan muchas horas discutiendo de cienciay creando ciencia nueva, conocimiento. Adems, todoel entorno de esas escuelas cientficas (la administra-cin, la docencia, la gestin, los fondos...) est a favorde que esa gente siga haciendo ciencia, no tenga quepreocuparse de otras cosas y, muy especialmente, quedispongan de la estabilidad a medio y largo plazo paraemprender objetivos de los considerados inalcanzables.En Espaa el concepto es el contrario, y eso es malo pa-ra la calidad cientfica del producto final. Se potencia elcurrculum individual, como elemento necesario parapoder encontrar puestos de trabajo, y se valoran aspec-tos que potencian la individualidad como la sombraproyectada por los co-autores, la direccin personalde proyectos de investigacin o la cantidad de publi-caciones de clase media, con lo que el individuo se veforzado a producir individualmente, mucho y de clasemedia para poder competir en el sistema.De algn modo se persigue inquisitorialmente el tra-bajo colaborativo y los grupos acaban segregndose.Mientras el cientfico necesita un entorno estable, cola-borativo y enriquecedor, en Espaa se potencia la com-petencia directa entre individuos lo que, a medio plazo,revienta la estabilidad de los grupos de investigacin,de las Escuelas cientficas, que funcionan muy bien acorto plazo, pero tienen dificultades de establecerse yperdurar ms all de una decena de aos.Por ejemplo, la escuela cientfica que monta Smale enBerkeley entorno a sistemas dinmicos y topologa. Enese grupo est Smale, est Mike Shub, est CharlesPugh, est John Franks, est Moe Hirsch, est JacobPalis, y est casi toda la gente que influye y desarro-lla los sistemas dinmicos y la topologa diferencial enla segunda mitad del siglo XX. Y justo cuando pasanlos aos y Smale se jubila en Berkeley, emprende otrascosas, empieza de nuevo otra vez, con Shub en la dis-tancia, a montar todo un colectivo de gente, toda unaescuela, cuyo centro est en Hong Kong, en torno a la


16 Entrevista a Carlos Beltrn y Luis Miguel Pardo

complejidad computacional. Pero esta escuela originalde Berkeley sigue activa y en expansin, cincuenta aosms tarde.Este hecho de facilitar la creacin de grupos colecti-vos de trabajo que no necesariamente estn todos a untiempo, pero que pueden trabajar juntos y que puedeninteractuar e influenciarse mutuamente es una cosa es-pectacular. Y eso les da una gran ventaja, la ventaja delgrupo de Smale y sus alumnos en Berkeley es incre-ble. No es igual aprender del ombligo del mundo cuan-do vives en l y, a la larga, tu aportacin cientfica, tucreacin, ser espectacularmente mejor por haber reci-bido ese impulso adicional desde el inicio. Das ms deti mismo.Nadie sabe si Smale habra podido desarrollar esos tra-bajos y esas investigaciones si se hubiera quedado ensu Michigan natal, en la pequea escuela cientifica de

Raoul Bott. En Berkeley le dieron la posibilidad demontar una escuela con, una libertad de accin, inima-ginable en el sistema espaol, y la estabilidad de casicuarenta aos, incluyendo los viajes a las Playas deRo, que le permitieron constituir una escuela cientfi-ca estable que an hoy perdura. Esto no es slo el genio,tambin es la estabilidad del entorno.De este modo, cambiar la dinmica no colaborativa ypoco estable del sistema acadmico espaol es esencialpara estar, en Matemticas, al nivel de Francia, Alema-nia o cualquiera de los pases emergentes como China.Sino ser como levantar una catedral, que comienzas aderribar tan pronto colocas la aguja en lo alto de la torredel campanario. Al final no habr catedral, a lo ms, untrozo de catedral nueva a medio camino de construirseo derribarse, segn el momento.Muchas gracias.


Matematika Matemtica 17

SudokuaBideo-jokoak baino famatuagoa?

Irune Etxarri eta Arantzazu Elorduizapatarietxe

Nahiz eta teknologia berriek gero eta eragin handiagoa izan,denbora-pasak beti egongo dira gure bihotzean.

Uste denez, denbora-pasa honek Leonhard Eulermatematikari suitzarraren (1707-1783) lanak ditu oina-rri, eta lehen zenbakizko puzzleak XIX. mendean ager-tu ziren, Frantziako zenbait egunkaritan. Gaur egungosudokua, ordea, 1970etik 1990era bitarteko hamarka-detan sortu eta garatu zen. Prentsan, 2004ean agertu zi-ren lehen sudokuak (The Time egukarian, hain zuzen),eta 2005etik aurrera, Ingalaterrako egunkari askok sar-tu zuten debora-pasa hau bere orrialdeetan. Harrezke-ro, mundu osora zabaldu zen.

Jolasaren helburua 99 gelaxkako lauki bat zenba-kiz edo letraz betetzea da (laukia 33 gelaxkako azpi-laukitan banatua dago; kutxa edo eskualde deritze azpi-lauki horiei). Jolasaren hasieran, pista modura, gelaxkabatzuetan zenbaki bana ageri da, eta, egoera horretatikabiatuta, hutsik dauden gelaxkak bete behar dira, 1etik9rako zenbakiez.

Gelaxkak betetzeko, koloreak, letrak edota irudiakerabil daitezke; hala ere, argitasun handiagoa izateko-tan, zenbakiak erabiltzea da komenigarriena. Jolastekozernahi erabiltzen delarik ere, bederatzi elementu des-berdin izatea da garrantzitsua, eta elementu horiek ezindira zutabe, errenkada eta eskualde beretan errepikatu.Sudokua ongi planteatuta dago baldin ebazpen bakarrabadauka.

Irudia 1: Sudoku bat

1. Ebazteko irizpideak

Sudoku errazak ebazteko, ez da irizpide berezirikbehar, baina amarru batzuk jakin behar dira sudoku zai-lagoak egin nahi badira.

1.1. Hautagai zenbakiaren erabilera.

Irizpide hau gelaxka bakoitzaren goiko aldean hau-tagaiak idaztean datza, hau da, gelaxka bakoitzean po-sible diren zenbaki guztiak idaztean.

1.2. XY katea.

Kate bat osatzen da talde bereko (errenkada, zuta-be edo eskualde bereko) gelaxkez. Kate hori sortze-ko, batetik, gelaxkek bina hautagai eduki behar dituz-te; bestetik, errenkada edo zutabe berean diren gelax-kek hautagai bat izan behar dute komun, eta, azkenik,katearen hasierako gelaxkak eta bukaerakoak hautagaikomun bat izan behar dute, z deritzona. Horiek horre-la, baldin katetik kanpoko gelaxka batek z hautagai horibadauka eta katearen hasierako gelaxkaren eta bukaera-koaren talde berekoa bada, orduan z hautagaia ezabatuegin daiteke katetik kanpoko gelaxka horretatik.

Hona hemen adibide bat:Katea G4 gelaxkan hasten eta A6 gelaxkan bukatzenda. Hasierako gelaxakak (G4) hautagai komun bat duG9 gelaxkarekin (7); horrek, A9rekin (9), eta, azkenik,A6 eta A9 gelaxkek hautagai komun bera dute (2).Katearen muturrak G4 eta A6 gelaxkak dira, eta 5 hau-tagaia komun dute (horixe da, beraz, kasu honetan, zhautagia). A4 gelaxka, ostera, katetik kanpokoa da,baina G4ren errenkadan eta A6ren eskualdean dago(hots, gelaxka horien talde beretakoa da), eta, hala-ber, z hautagaia du (5); beraz, A4 gelaxka horretatik 5hautagaia ezaba daiteke.


18 Sudokua. Bideo-jokoak baino famatuagoa?

Irudia 2: Adibidea

2. Beste sudoku mota batzuk

2.1. Killer

Sudoku klasikoaren antzeko jolasa da. Ez ditugu,ordea, hasierako zenbakiak. Sudoku mota honetan,gelaxkak bloketan elkarturik daude punteaketa bidez(ikus irudia). Bloke horietako bakoitzak zenbaki txikibat dauka idatzirik izkina batean; zenbaki horrek blo-kea osatzen duten gelaxketako zenbakien batura adie-razten digu.

Irudia 3: Killer

2.2. Diagonala

Sudokuaren itxura berdina dauka, baina, batetik, bidiagonal nagusiak koloreztatuta daude, eta, bestetik,diagonalei ere aplikatzen zaizkie arauak, errenkadei etazutabei ez ezik.

Irudia 4: Diagonala

2.3. Kakuroa

Jolas honetan, zutabe eta errenkada bakoitzak zen-baki berezi bat dauka: zutabeetan, goiko aldean ager-tzen da zenbakia, eta errenkadetan, berriz, ezkerrekoaldean. Zenbaki berezi horrek zutabeko zenbakien edoerrenkadakoen batura adierazten digu, baina kontu han-diz egin behar da batura, ezin baitira zenbakiak errepi-katu zutabe eta errenkada bakoitzean.

Irudia 5: Kakuroa

Erreferentziak

[1] M. Merino. Sudokus y modelizacin. Un pa-seo por la geometra 2009-2010. R. Ibez yM. Macho (ed.). 2010. UPV/EHU. 21-39. 0r.http://divulgamat2.ehu.es/divulgamat15/

index.php?option=com_docman&task=doc_

download&gid=970&Itemid=

Webguneak

[2] Historia y Nacimiento del Sudoku. Publis-pain.com http://www.publispain.com/sudoku/historia_de_sudoku.html

[3] Como resolver sudokus. El reloj de are-na. http://www.publispain.com/sudoku/historia_de_sudoku.html

[4] Wikipedia, The Free Encyclopedia. http://www.wikipedia.org/

Irune Etxarri eta Arantzazu ElorduizapatarietxeMatematikazko LizenziatuakUPV/EHU


Un paseo por la historia 19

Paul Erds. . . el mago de Budapest

Irune Gurrutxaga

Estimadas y estimados pikaslianos, una vez ms,cogemos prestado un rincn de la revista para dar a co-nocer, o mejor dicho, para recordar a Paul Erds, ma-temtico que si bien era pequeo y escuchimizado, sehaca presente en infinidad de sitios, como luego vere-mos. Erds, que trabaj en infinidad de campos: teorade grafos, de nmeros, de conjuntos, de aproximacin,combinatoria y probabilidad, anlisis clsico, etc., peroque adems se hizo clebre por su excntrica persona-lidad, dej memorables ancdotas entre los numeros-simos colegas con los que form equipo a lo largo desu vida.

Figura 1: Paul Erds.

Paul Erds naci en Budapest (Hungra) el 26 demarzo de 1913 en el seno de una familia de origen ju-do. Pocos das antes de su nacimiento, sus pequeashermanas de apenas 3 y 5 aos moran de escarlatina,esa infecciosa enfermedad que aunque hoy da no tieneapenas incidencia en nuestra sociedad, en aquel tiempoera uno de los principales factores de mortalidad infan-til.

A este doloroso suceso, le acompa el estallido dela Primera Guerra Mundial cuando Paul apenas acaba-ba de cumplir un ao. Su padre Lajos, que haba si-do movilizado para servir al ejrcito austrohngaro, fuehecho prisionero por los rusos y llevado a Siberia y elpequeo Paul creci bajo cierta, y comprensible, so-breproteccin por parte de su madre Anna. De hechomantuvo a Paul alejado de la escuela hasta los 14 aosy le proporcion un tutor para que no tuviera que salirde casa.

Parece que desde pequeo a Paul le apasionaban las

matemticas tanto como a sus padres, que eran profe-sores de esta materia. Dicen que a la temprana edad de3 aos ya era capaz de sumar nmeros de tres cifras confacilidad. Con estos antecedentes no es de extraar quesemejante nio prodigio fuera reconocido en su madu-rez como el mago de Budapest por la elegancia desus mtodos de resolucin de problemas.

La vida de Paul se desarroll en un contexto his-trico europeo muy complicado para todos, pero espe-cialmente para los judos. De hecho, recin terminadala Gran Guerra, por el Tratado de Trianon, Hungra fuedesmembrada y perdi ms del 70% de su territorio.El sentimiento de humillacin y la mutilacin territo-rial fue aprovechado por partidos ultranacionalistas quefueron asumiendo el control del pas y promulgandounas leyes raciales antisemitas similares a las que treceaos ms tarde Hitler instaurara en Alemania.

A pesar de las restricciones a los judos, Erds, porsu especial capacidad para las matemticas, consiguiingresar en la universidad de Budapest en 1930 y sedoctor con 21 aos. A medida que se extenda el anti-semitismo y el sistema autocrtico conservador co-mo defini a su gobierno el dictador Mikls Horthy,Paul, cumplidos 23 aos, se traslad a Manchester pararealizar estudios de postgrado. En 1938, ante el climapreblico que se respiraba en Europa, decidi estable-cerse en Estados Unidos, y fue en la Universidad dePrinceton donde, en colaboracin con Marc Kac, otrofamoso matemtico judo europeo exiliado, propuso sufamosa Teora Probabilstica de Nmeros llamadatambin Teorema de Erds-Kac [4].

Al cabo de un ao abandon Princeton comenzandosu extraordinario peregrinar profesional que le llevaraa recorrer numerosos pases portando la vieja maletacon cuatro libros y una bolsa de plstico de unos gran-des almacenes de Budapest como nicos enseres, quele caracterizara a lo largo de su vida. Y es que, comole gustaba decir, todo lo importante lo llevaba en su ca-beza.

Se dedicara en adelante a recorrer el mundo, deuniversidad en universidad, de casa en casa, llevandouna vida nada convencional, sin buscar honores ni pre-mios y sin importarle nada ms que las matemticas.


20 Paul Erds

Tampoco los convencionalismos sociales porque tenala mana de presentarse sin previo aviso, sin impor-tarle ni la hora ni el da, con la frase abre tu menteporque vengo a traerte la luz.

Este deambular no impidi a Erds publicar ms de1500 artculos, la mayora en coautora, en toda clasede revistas y desde todas las partes del mundo, tanto esas que se lleg a decir que aquel que no hubiera tenidoel honor de recibir la visita de Erds no era un verdade-ro matemtico. Y es que nuestro peculiar personaje noestaba hecho para las formalidades ni normas.

Paul Erds falleci el 20 de septiembre de 1996 ala edad de 83 aos, mientras asista a una conferenciaen Varsovia (Polonia). De un fallo del corazn, se dijo.Pero como veremos ms adelante a Erds si algo no lefall, en vida, adems de su mente, era su buen corazn.En el bolsillo de su chaqueta llevaba la documentacinque le acreditaba para su prxima conferencia en Li-tuania. Se puede afirmar que Erds muri como vivi,viajando de un pas a otro.

Tras su muerte, la comunidad matemtica estable-ci una curiosa numeracin llamada nmero de Er-ds, del cual os animamos a leer una interesante re-ferencia en Gaussianos. Mediante este nmero se esta-bleca la influencia de un matemtico en la comunidadcientfica. Paul Erds tena fijado, como no poda serde otro modo, el nmero de Erds igual a 0. Cualquierpersona que hubiera colaborado con l tendra asignadoel nmero de Erds igual a 1. Toda persona que hubieratrabajado con una persona que tuviera nmero de Erdsigual a 1 tendra asignado el nmero de Erds igual a 2y as sucesivamente.

Figura 2: El nmero de Erds.

Pero por qu se estableci este curioso nmero deErds? Puede entenderse si decimos que hay constan-cia de que Erds colabor con ms de 600 matemticosy matemticas de todas partes del mundo. Se comentaque en los selectos y exclusivos crculos matemticoses muy difcil encontrar a un matemtico o matemticaque tenga un nmero de Erds mayor a 8, precisamentepor la cantidad de colaboraciones y publicaciones quehizo nuestro singular personaje.

Por otro lado, tal fue la resonancia vital de Erdsque, en la St. Gregorys of Nysses, una iglesia episco-paliana de San Francisco, encontramos en un mural delbside a Paul bailando nada menos que entre Ghandiy Martn Lutero; y es que en esta extraordinaria iglesiase representa una procesin de 90 santos danzantesde diferentes religiones y distintas disciplinas.[5] Ahencontramos todo tipo de personas que han aportadosu conocimiento, inspiracin o arte en campos como lamsica, el cine, el deporte, la ciencia, la arquitectura,la religin, el pensamiento, etc. Para los fieles de estacongregacin estos santos y santas han sido bendeci-dos por el toque divino que les ha hecho destacar en suespecialidad, sin importar raza, sexo ni religin y porello se merecen un hueco en esta iglesia. Y ah mereceestar Erds.

Figura 3: El santo Erds danzando.

Para terminar esta aproximacin a Paul Erds, pro-cede relatar alguna de las ancdotas de la faceta frikide su carcter y personalidad que no dejaba a nadie in-diferente. Erds, nacido judo, deca de si mismo queera ateo y se refera a Dios como el Supremo Fascistaque se guardaba las demostraciones ms hermosas sincompartirlas con los humanos. En contraposicin a laTorah, a la Biblia o al Corn, Libros donde se recogenlas revelaciones divinas, para Erds El Libro verdadero,no era ninguno de aquellos, sino un libro imaginario enel cual Dios tena escritas esas hermosas pruebas de losteoremas matemticos y que seran adquiribles solo porel esfuerzo y la capacidad de razonamiento cientfico.

Erds tambin fue conocido por su humildad y porsu compasin, una prueba de ello es que cuando recibien 1984 el prestigioso premio Wolf en Matemticas, delos 50 000$ que recibi, solo se qued con 720$. Vayauno a saber por qu se qued exactamente con esa can-tidad pero era habitual en Erds, que casi todo el dinero


Un paseo por la historia 21

que ganaba lo dedicara, adems de ayudar econmica-mente a personas ms necesitadas, a los premios queel mismo otorgaba y que iban de 10$ por la resolucinelegante de un problema sencillo, hasta los 10.000$ porun problema sin esperanza como l sola llamarlos.

Y es que este bohemio de la ciencia, que no tuvo nimujer ni descendencia, slo necesitaba el capital estric-tamente necesario para proseguir su deambular y parti-cular viaje. Ah! y su vieja maleta con cuatro libros ysu bolsa de plstico casera. Todo lo dems lo llevabaconsigo siempre. En su cabeza.

Referencias

[1] Miguel ngel Morales Medina. El nmero de Er-ds. Gaussianos.http://gaussianos.com/el-numero-de-erdos/

[2] Biografa de Paul Erds. Sangakao. http://www.sangakoo.com/blog/erdos/

[3] Gonzalo Ugidos. Paul Erds. Vidas contadas.rtve.http://www.rtve.es/alacarta/audios/vidas-contadas/vidas-contadas-paul-

erdos-26-01-12/1304620/

[4] E.W. Weisstein. Erds-Kac Theorem. MathWorld.http://mathworld.wolfram.com/Erdos-

KacTheorem.html

[5] All saints company. Dancing saints.http://www.allsaintscompany.org/icons/

dancing-saints

[6] Wikipedia, The Free Encyclopedia. http://www.wikipedia.org/

Irune GurrutxagaEstudiante de la Licenciatura en MatemticasUPV/EHU


22 Txominen Sariketa El Concurso de Txomin

Txominen Sariketa

5. buruketaren ebazpena/Solucin del problema 5Irabazleak/Ganadores

1. Ebazpen dotoreena/Solucin ms elegante: Erik Ardeo (1o Mat.)

2. Ebazpen originalena/Solucin ms original: Jon Aldekoa (1o Fis.)

3. Hobekien idatzitako ebazpena/Solucin mejor redactada: Ivn Esteban (1o Fis.)

Zorionak! Joan zaitezte Marta Machoren bulegora (beheko pisua, eskuineko lehen atea)./Felicidades! Pasaos porel despacho de Marta Macho (planta baja, primera puerta a la derecha).Ebazpena/SolucinFijmonos, que necesariamente a es menor o igual que dos, dado que sino 4abcd no sera un nmero de cuatrocifras. Ahora, como a 6= 0, tenemos que a = 1 a = 2. Pero por otro lado, a es la ltima cifra de 4abcd y portanto debe ser par, y as, a = 2.

Bestalde, d = 8 edo d = 9, baina 4 9 azken zifra ez da 2; beraz, d = 8. Momentu honetan, zeren eta 4(2bc8) =8cb2 betetzen den, b 4c+3 azken zifra da, eta horregatik, b bakoitia da; baina, 4b-k bakarrik zifra bat izan dezake4 2 = 8 delako. Por ello, b 2, y al ser b impar, b = 1.

Finalmente, se ve que c = 7 es la nica posibilidad consistente. Y por ello, el nico nmero de cuatro cifrasque verifica la propiedad deseada es: 2178.

Txomin Zukalaregi


Buruketak Problemas 23

Estimadas y estimados alumnos de la Facultad de Ciencia y Tecnologa,Mi nombre es Txomin Zukalaregi, soy un matemtico de Euskadi no adscrito a la Universidad del Pas Vasco.Quizs me conoceis gracias al concurso que organic alguno de los cursos pasados. Este ao vuelve el concursode Txomin ms o menos como ya lo conociis del ao pasado. As, las nuevas bases son:

1. Puede participar en el concurso cualquier persona que se encuentre cursando los estudios de grado o licen-ciatura en la Facultad de Ciencia y Tecnologa de la Universidad del Pas Vasco.

2. Los problemas sern anunciados en el corcho, y publicados en la revista de estudiantes de matemticaspikasle.

3. Las soluciones han de ser entregadas a Marta Macho en su despacho, o enviadas a [email protected]

4. El plazo de entrega finalizar en la fecha que se indique.5. Se admite la participacin en grupos con un mximo de cuatro personas por grupo. En dicho caso, el premio

se otorgarn al grupo como ente indivual, y este decidir como repartirlo entre sus miembros.6. Las soluciones ganadoras sern anunciadas en el corcho y publicadas en el nmero pikasle, y se premiarn

las siguientes modalidades:

a) Solucin ms elegante.b) Solucin ms original.c) Solucin mejor redactada.

7. Nadie podr ser premiado en ms de una modalidad. Podrn quedar modalidades sin premiados.8. Los premios sern repartidos por Marta Macho en su despacho.9. Se podrn presentar soluciones incompletas, que sern valoradas.

Espero que este ao os animis a participar ms gente.

Firmado,Txomin Zukalaregi.

PD: Quiero agradecer a pikasle que siga apoyando esta iniciativa, y en particular a Marta Macho-Stadler y JosuTonelli Cueto por sus donaciones de premios y a Julio Garca por su apoyo en el euskera.



Zientzia eta Teknologia Fakultateko ikasleok:Nire izena Txomin Zukalaregi da. Euskal Herriko Unibertsitatera adskribatu gabeko matematikaria naiz. Mate-matika ikasten baduzue, seguru asko ezagutzen nauzue, sariketa bat antolatu baitut aurreko ikasturte batzuetan.Aurten berriro itzuli da Txominen sariketa, iazko itxura bertsua duelarik.Sariketaren oinarri berriak hauexek dira:

1. Euskal Herriko Unibertsitateko Zientzia eta Teknologia Fakultatean gradu- edo lizentzia-ikasketak egitenari den edozein ikaslek har dezake parte.

2. Buruketak matematikako eta fisikako ikasgeletako informazio-oholetan iragarriko dira, eta pikasle aldiz-karian argitaratuko.

3. Ebazpenak Marta Macho irakasleari eman beharko zaizkio eskura, edo nire posta elektronikora bidali:[email protected]

4. Ebazpenak aurkezteko epea buruketa bakoitzean esaten duena izango da.5. Taldeek ere har dezakete parte; gehienez, lau kidekoak izango dira. Saria talde osoari emango zaio, pertsona

bakarra izango balitz bezala, eta taldeak erabakiko du saria kideen artean nola banatu.6. Irabazleen ebazpenak informazio-oholetan adieraziko dira, eta pikasle aldizkarian argitaratuko. Honako

modalitate hauek sarituko dira:

a) Ebazpen dotoreena.b) Ebazpen originalena.c) hobekien idatzitako ebazpena.

7. Inork ez du modalitate bat baino gehiagotan jasoko saria, eta irabazlerik gabe gera daitezke modalitateak.8. Sariak Marta Macho irakasleak banatuko ditu bere bulegoan.9. Bukatu gabeko ebazpenak ere aurkez daitezke; kontuan hartuko dira.

Aurten jende gehiago animatzea espero dut.

Sinatuta:Txomin Zukalaregi.

P.D.: pikasle-ri eskerrak eman nahi dizkiot ekimen honi laguntza ematen jarraitzeagatik, eta, bereziki, MartaMacho-Stadlerri eta Josu Tonelli Cuetori, sariak emateagatik, eta Julio Garciari, euskararekin laguntzeagatik.



1. buruketaEpearen bukaera: 2012-10-31Bi lagun euro bateko txanponak mahai zirkular batean ipiniz ari dira jolasten; baldintza da ez dutela txanponbat beste txanpon baten gainean jarri behar. Jokalari batek, txanponik ipini ezin duenean, galdu egingo du. Ba aldauka jokalariren batek estrategia irabazlerik? Eta mahaiak zulorik izango balu zentroan? Behar-beharrezkoa alda mahaia zirkularra izatea bi kasuetan?

Sariak:

1. Ebazpen dotoreena: 20 txikle eta matematikari buruzko dibulgazio-liburu bat.2. Ebazpen originalena: 20 txikle eta matematikari buruzko dibulgazio-liburu bat.3. Hobekien idatzitako ebazpena: 20 txikle eta Un paseo por la geometra hitzaldi sortaren pack bat, edo

beste opari bat.

Zorte on!Txomin Zukalaregi

Problema 1Fin de convocatoria: 31-10-2012Dos jugadoras/es juegan a poner monedas de un euro en una mesa circular bajo la condicin de que una monedano puede ir sobre otras monedas. Una/un jugadora/or pierde cuando ya no puede colocar monedas. Alguno/a delas/los dos jugadores/as tiene una estrategia ganadora? Y si la mesa tiene un agujero en el centro? Es esencialque la mesa tenga forma circular en cualquiera de los casos?

Premios:

1. Solucin ms elegante: 20 chicles y un libro de divulgacin matemtica.2. Solucin ms original: 20 chicles y un libro de divulgacin matemtica.3. Solucin mejor redactada: 20 chicles y un pack de Un paseo por la geometra u otra cosa.

Buena suerte!Txomin Zukalaregi



1. buruketaren ebazpena/Solucin del problema 1Irabazleak/Ganadores

1. Ebazpen dotoreena/Solucin ms elegante: Ivn Esteban (2o Fis.)

2. Ebazpen originalena/Solucin ms original: Imanol Prez (1o Mat.)

3. Hobekien idatzitako ebazpena/Solucin mejor redactada: Ander Garro (2o Fis.)

Zorionak! Joan zaitezte Marta Machoren bulegora (beheko pisua, eskuineko lehen atea)./Felicidades! Pasaos porel despacho de Marta Macho (planta baja, primera puerta a la derecha).Ebazpena/SolucinJolasaren edozein aldaeratan, jokalari irabazleak ziur izan behar du beste jokalariaren ostean ipin dezakeela txan-pon bat. Lehen aldaeran (mahaiak ez du zulorik erdian), lehen jokalariak dauka estrategia irabazlea. Horretarako,lehen txanpona mahaiaren zentroan jarri behar du, eta gainerako txanponak, beste jokalariak bereak ipintzendituen lekuaren simetriko kokatu behar ditu, mahaiaren zentroarekiko. Izan ere, bigarren jokalariak, mahaiarenzentroarekiko simetria dela bide, txanpona edozein lekutan ipinita, lehen jokalariari aukera ematen dio txanpo-na mahaiaren zentroarekiko leku horren simetriko jartzeko. Eta horregatik, azaldu den bezala, beti ipin dezaketxanpon bat lehen jokalariak bigarren jokalariak berea ipini eta gero.

Bigarren aldaeran (mahaiak zuloa du erdian), bigarren jokalariak irabazten du, lehen jokalariak lehen aldae-ran erabilitako estrategia bera baliatuz. Horretarako, bere txanpona lehen jokalariaren txanponaren simetriko ipinibehar du, mahaiaren zentroarekiko (gogoan izan lehen jokalariak ezin izan duela zentroan jarri bere lehen txan-pona, zulo bat baitago). Mahaiaren zentroarekiko simetria dela eta, lehen jokalariak txanpona edozein lekutanipinita, leku horren simetriko koka dezake bigarren jokalariak berea, mahaiaren zentroarekiko. Eta, modu horre-tan, bigarren jokalariak beti ipin dezake txanpon bat lehen jokalariak txanpona ipini eta gero.

Azkenik, azaldu diren bi aldaeretan (zuloduna edo zulorik gabea) ikusi ahal da mahaiak simetria zentralaedukitzea dela garrantzitsuena. Horrenbestez, simetria zentraldun edozein mahaitarako balio dute gure argudioek,haren itxura zeinahi delarik ere.

En cualquiera de las variantes, gana la o el jugador que pueda garantizar colocar moneda siempre que locoloque la otra y otro jugador.

En la primera variante, la o el primer jugador es quien tiene la estrategia ganadora. Para ello, debe colocar laprimera moneda en el centro de la mesa y despus cada una de las monedas en la posicin simtrica respecto alcentro de donde la coloque la o el segundo jugador, dado que de la simetra central hace que si la o el segundojugador puede colocar una moneda en un punto tambin se puede colocar en el punto simtrico. Y por ello la o elprimer jugador podr colocar siempre moneda despus de la o el segundo jugador como se ha indicado.

En la segunda variante, la o el segundo jugador es quien gana aplicando la misma estrategia de la o el primerjugador en la primera variante. Y esto funciona, dado que ahora la simetra central hace siempre que la o eljugador puede colocar una moneda en un punto tambin se puede colocar en el punto simtrico, obtenindose quede este modo la o el segundo jugador podr colocar la moneda como se indica despus de la o el primer jugador.

Finalmente, puede verse que lo esencial es la simetra respecto al centro en la mesa considerado -con o sinagujero-. Por ello, vale cualquier otra forma con esta condicin.

Txomin Zukalaregi



2. buruketaEpearen bukaera: 2013-1-1Zeintzuk zenbaki lehenentzat da 2p + p2 batura ere zenbaki lehen?

Sariak:

1. Ebazpen dotoreena: 20 txikle eta matematikari buruzko dibulgazio liburu bat.2. Ebazpen originalena: 20 txikle eta matematikari buruzko dibulgazio liburu bat.3. Hobekien idatzitako ebazpena: 20 txikle eta Un paseo por la geometra-ren pack bat edo beste opari bat.

Zorte on!Txomin Zukalaregi

Problema 2Fin de convocatoria: 1-1-2013Para qu primos es 2p + p2 primo?

Premios:

1. Solucin ms elegante: 20 chicles y un libro de divulgacin matemtica.2. Solucin ms original: 20 chicles y un libro de divulgacin matemtica.3. Solucin mejor redactada: 20 chicles y un pack de Un paseo por la geometra u otra cosa.

Buena suerte!Txomin Zukalaregi


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PIkasle nº 5 - Septiembre Octubre 2012 / 2012ko Iraila Urria

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