5. METODE ANALIZA Proraun prijelaznih pojava u EES nije jednostavan, jer se EES sastoji od mree ije se karakteristike viestruko mijenjaju. Zrane linije i kabeli imaju parametre koji su po prirodi raspodijeljeni, za razliku od transformatora i generatora iji se parametri za razne svrhe mogu smatrati skoncentriranim. EES u uvjetima prijelaznih stanja moe biti podvrgnut naprezanjima uslijed napona i struja koji imaju irok frekventni spektar od industrijske frekvencije do frekvencija reda 100 kHz i vie. Pri ovakvim frekvencijama parametri sistema i zemlje kao povratnog puta, imaju vrijednosti koje se mijenjaju sa frekvencijom. Kao poslijedica, svaki metod prorauna treba biti sposoban da predstavlja jednako dobro skoncentrirane i raspodijeljene parametre na irokom frekventnom spektru i da ukljue efekte nelineariteta, kao to su MO odvodnici prenapona, magnetsko zasienje, korona, luk, otpor uzemljenja i dr. U praksi nije lahko postii takav metod i trenutni raspoloivi metodi predstavljaju kompromis u nekim pogledima, posebno se kompromis javlja kada su zahtjevi korisnika specifini. Poetkom primjene raunara, runi kalkulatori su bili dovoljni za proraune jednostavnijih mrea. Porastom mree i zahtjeva za proraunom, ukazala se potreba za sloenijim proraunima za koje su na raspolaganju bili analogni, a kasnije digitalni raunari. Analogne metode Tradicionalni metod prorauna prijelaznih pojava u EES je putem TNA (Transient Network Analyzer). Koriten je od 1939 i u osnovi se sastoji od formirane skale modela mree koritenjem skoncentriranih elemenata: induktiviteta, kapaciteta i otpora. Impedantno i frekventno skaliranje moe se primijeniti, a model se napaja sa niskonaponskog izvora, sklopne operacije se provode minijaturnim sklopkama i rezultirajue prijelazne pojave se registriraju na osciloskopu. TNA moe biti od posebne prednosti kada je nepoznat stvarni mehanizam prijelaznih pojava i gdje je rad istraivake prirode. Kombinacija TNA i digitalnih mogunosti suvremenih raunara moe biti vrlo moan i ta dva pristupa se trebaju posmatrati kao komplementarni a ne konkurentni jedan drugom. Sofistike TNA mogunosti su date u nizu radova [129-132] i u nekim sluajevima su blisko povezane sa digitalnim mogunostima [133-136]. Rijeenje diferencijalnih jednaina sistema skoncentriranih parametara Pri analizama prijelaznih pojava, uvijek se kompleksna mrea nastoji zamijeniti serijskim i paralelnim mreama u prvoj aproksimaciji. Za analize stacionarnih stanja (tokovi snaga), kada je frekvencija stalna i iznosi 50Hz, moe se uspjeno koristiti kompleksni proraun i fazori za predstavljanje napona i struja. Kod analize prijelaznih pojava koje ukljuuju frekvencije do reda MHz, kompleksni proraun i fazorsko predstavljanje nemogu se vie koristiti. Za nalize prijelaznih pojava koristi se rjeevanje diferencijalnih jednaina. Najjednostavniji elektrini krug je serijski spoj izvora elektrine energije i otpornika, slika 5.1a. Prilikom zatvaranja prekidaem, struja koja potee uvjetuje pad napona

UR=RI (5.1)

Slika 5.1 Elektrini krugovi

Slijedea dva vana elementa su induktivitet, L, slika 5.1b) i kapacitet, C, slika 5.1c). Pad napona kroz induktivitet, L, je

dtdILU L = (5.2)

a kroz kapacitet, C,

CQU C = (5.3)

Budui da je I(t)=dtdQ

, imamo

= tt

C dttICU

0

)(1 (5.4)

Prijelazne pojave u elektroenergetskom sistemu javljaju se kada se mrea mijenja iz jednog stacionarnog stanja u drugo. Veina prijelaznih pojava u sistemu je poslijedica sklapanja. Pri pojavi kratkog spoja u elektroenergetskom sistemu, struja kratkog spoja moe se smatrati stacionarnom i energija je uglavnom skoncentrirana u magnetskom polju. Poslije prekidanja struje kvara, sistem se transformira u drugo stacionarno stanje, kada se energija skoncentrira u elektrino polje. Ovaj prijelaz se manifestira prijelaznim oscilacijama struje i napona. Primjer je sklapanje R-L kruga (sklapanje kratkospojene linije ili kabela), slika 5.2. Budui da imamo linearne elemente mree, struja nakon uklopa je suma struje prijelaznog stanja i stacionarnog stanja.

Slika 5.2 R-L krug Primjenom Kirchhoff-ovog zakona imamo

)(tURIdtdIL =+ (5.5)

a) U=U0=const. Ope rjeenje izraza (5.5) je

t

LR

tt CeR

UCdteL

UetI +=

+= 00)( (5.6)

Kako vrijeme odmie ( t ), I(t) tei graninoj vrijednosti R

U 0 . Partikularno rjeenje za poetne

uvjete I(0)=0 je, slika 5.3a)

=

= L

tt

LR

eR

Ue

RU

tI 11)( 00 (5.7)

b) U=U(t)=U0sint Ope rjeenje jednaine (5.5) je

+= CtdteLUetI tt sin)( 0 (5.8) Integraljenjem dobivamo

)cossin()( 2220 tLtR

LRU

CetIt

LR

++=

(5.9)

Izraz se moe pisati u obliku, slika 5.3b)

)sin()(222

0 ++=

tLR

UCetI

tLR

gdje je RL arctan= (5.10)

Konstanta C moe se dobiti iz poetnih uvjeta I(0)=0.

Slika 5.3 Prijelazna struja R-L kruga pri uklopu a)U=U0=const,b)U=U0sint Prvi dio izraza (5.10) sadri eksponencijalni lan C

tLR

e

koji se priguuje (DC komponenta). Drugi dio izraza (5.10) je konstantan i ovisi o trenutku uklopa. Za =0 ili cjelobrojno , DC komponenta je nula i struja je trenutno u stacionarnom stanju. Kada prekida uklopi u 900 ranije ili kasnije, prijelazna struja e dostii maksimalnu amplitudu. Za sluaj sklapanja R-C kruga, slika 5.4, primjenom Kirchhoff-ova zakona vrijedi

=+ )(1 tUIdtCRI (5.11)

Slika 5.4 R-C krug Da bi se rijeili integrala, diferenciramo izraz (5.11) po t

dt

dUICdt

dIR =+ 1 (5.12) Ova diferencijalna jednaina ima ope rjeenje

+= CdtdtdUeRetI RC

tRCt 1)( (5.13)

a)U=U0=const. 0=dtdU

pa je rjeenje izraza (5.13)

RCt

CetI=)( (5.14)

Konstanta C moe se odrediti iz poetnih uvjeta.

b)U=U(t)=U0cost tUdtdU cos0=

Uvrtavanjem u izraz (5.13) i integraljenjem dobivamo

=+++=

)sin(cos)(1

)( 20 tRCtRC

CUCetI RCt

)sin()(1 2

0 ++=

t

RCCUCe RC

t

(5.15)

gdje je RC1tan = .

Prvi lan opada kontinuirano kako t raste, dok drugi lan predstavlja stacionarnu struju koja je sinusoidalna. Promjena struje u vremenu slina je onoj datoj na slici 5.3. Krug sa serijski spojenim L-C elementima predstavlja najjednostavniji krug sklapanja prekidaem kondenzatorske baterije ili kabelske mree. Zbog jednostavnosti, pretpostavlja se izvor DC napona koji se ukljuuje idealnim prekidaem, slika 5.5.

Slika 5.5 L-C krug Vidljivo je da su prisutne dvije komponente za uskladitenje energije-induktivitet magnetske i kapacitet elektrine energije. Nakon ukljuenja prekidaa, javit e se oscilacije u krugu uvjetovane razmjenom energije izmeu induktiviteta i kapaciteta uz odgovarajue frekvencije osciliranja. Primjenom Kirchhoff-ova zakona vrijedi,

= )(1 tUIdtCdtdIL (5.16) Za rjeenje diferencijalne jednaine potrebno ju je prebaciti u Laplace-ov domen, i uz poetni uvjet da

nema naboja na kondenzatoru u trenutku t=0 (UC=0) i da je LC12

0 = , dobijamo rjeenje u vremenskom domenu

tLCUtI 0sin)( = (5.17)

U izrazu (5.17) zapaaju se dvije vane osobine serijskog L-C kruga: -nakon zatvaranja prekidaa u trenutku t=0, zapoinje tei oscilatorna struja sa prirodnom frekvencijom LC=0 ; -karaktreristina impedansa,

CLZ =0 ,zajedno sa naponom izvora U odreuju vrnu vrijednost

oscilatorne struje. Kada je na kapacitetu prisutan poetni naboj, istim postupkom dobijamo napon kondenzatora [ ] )cos()0(.)( 0tUUUtU CC = (5.18) Na slici 5.6 date su vrijednosti napona kondenzatora za razliite poetne vrijednosti. Za UC(0)=0, napon ima (1-cos) oblik i moe dostii dvostruku vrijednost napona izvora. Za negativni poetni naboj, vrni napon prelazi ovu vrijednost i za sluaj malih vrijednosti karakteristine impedanse (sklapanje kondenzatorske baterije kada je C veliko a izvor jak i L maleno), ova vrna vrijednost struje moe dostii visoke vrijednosti.

Slika 5.6 Napon kondenzatora za tri vrijednosti poetnog naboja na kondenzatoru (DC izvor ima napon U=100V)

U praksi se, meutim, uvijek susreu krugovi sa komponentama priguenja to se predstavlja serijskim vezivanjem otpora R sa L, C komponentama, slika 5.7. Pretpostavimo da je izvor sinusoidalni napon U(t)=U0sint.

Slika 5.7 R-L-C krug Primjenom Kirchhoff-ova zakona imamo

==++ tUtUIdtCRIdtdIL sin)(1 0 (5.19) Diferenciranjem izraza (5.19) dobivamo

tUCI

dtdIR

dtIdL cos02

2

=++ (5.20) Za dobijanje prijelaznog odziva mree, mora se rijeiti homogena diferencijalna jednaina

022

=++CI

dtdIR

dtIdL (5.21)

Ope rjeenje homogene diferencijalne jednaine (5.21) je tth eCeCtI 21 21)(

+= (5.22) gdje su 1 i 2 korijeni karakteristine jednaine 012 =++

LCLR (5.23)

i jednaki

LCL

RL

R 122

2

2,1

= (5.24) Veliine induktiviteta, kapaciteta i otpora su pozitivne vrijednosti. Podkorijena vrijednost izraza je

manja od R/2L. Kada su te podkorijene vrijednosti pozitivne, tj. 012

2

>

LCL

R, korijeni 1 i 2 su

negativni. Kada je 012

2

1/LC, prijelazne oscilacije su jako priguene, pa izraz za struju poprima oblik

)sin()()(22

021 +++=

tSR

UeCeCetI ttt (5.30)

gdje je L

R2

= i 22 1

2

=LCL

R . 2) Kada je (R/2L)2=1/LC, korijeni karakteristine jednaine su jednaki i realni i prijelazne oscilacije su kritino priguene, pa izraz za struju ima oblik

)sin()()(22

021 +++= tSR

UCCetI t (5.31)

3) Kada je (R/2L)2

Priguenje prijenosne linije i izoblienje se moe predstaviti u obje metode i omoguuje predstavljanje frekventne ovisnosti parametara linije. Za sluaj metode dijagrama reetke, gubici prijenosne linije su ukljueni u proraun transformiranjem svih naponskih koraka, ukljuujui meusobno inducirane napone, uvodei liniju u modalni domen, gdje se oni priguuju i izobliuju prije no to su preneeni nazad u realni ili fazni domen kada oni dou do udaljenog kraja linije. Modalni domen je jedan od onih u kome nema meusobnih efekata, ime se omoguuje modalnim naponima da se izoblie neovisno jedan od drugoga u skladu sa modalnim step odzivom proraunatim prije glavnog prorauna. Dijagram reetke Do sada je razmatran spoj izmeu linija koje su razmatrane kao polubeskonane. Meutim, u realnim mreama oba kraja su odvojena konanim duinama sa ijih krajeva postoje odbijanja. U tom sluaju e odbijeni valovi sa jednog kraja doi do drugog, biti odbijeni nazad, inei na taj nain uzastopna odbijanja na zavrecima. Na svakom spoju, valovi e takoer biti ponovi preneeni kroz spoj na susjedne linije i, redom, proizvoditi e uzastopne refleksije na tim susjednim linijama. Takva viestruka odbijanja mogu formirati opasne prenapone u odreenim takama mree. Bewley [4] je razvio reetku ili prostorni dijagram koji pokazuje poloaj i smjer kretanja svakog upadnog vala, odbijanja i prenoenja na sistem u svakom trenutku vremena. Princip dijagrama reetke dat je na slici 5.9 [5], gdje su prikazane tri linije i dva spoja. Na homogenom vodu valne impedanse Z0, umetnut je odsjeak linije valne impedanse Z1

Izraunavanjem koeficijenata prelamanja pr i odbijanja od uz poznati narinuti naponski val U0, dobijaju se amplitude djeliminih impulsa u takama od interesa. Koeficijent prijenosa napona u taki x1 za upadni val je

pZZ

Zxpr

=+= 12

10

11

(5.33) Koeficijen prijenosa napona u taki x2 za upadni val iz take x1 je

pZZ

Zxpr

+=+= 12

01

02

(5.34) Koeficijent odbijanja napona u taki x2 za upadni val iz take x1 je

pZZZZ

xod=+

=10

102

(5.35) Koeficijent odbijanja napona u taki x1 za povratni val iz take x2 je

pZZZZ

xod=+

=10

101

itd. (5.36) Za zadani sluaj amplitude pojedinih dijelova impulsa, koje se javljaju na mjestu x2, formiraju lanove geometrijskog reda koji proizilaze jedan iz drugog mnoenjem pomou koeficijenta p. Granina vrijednost kojoj tei suma reda sa rastuim brojem lanova jednaka je stacionarnoj vrijednosti U2/U1=1. U metodi reetke, skoncentrirani se serijski reaktori i shunt kapaciteti zamjenjuju kratkim prijenosnim linijama. Takve linije imaju valnu impedansu Z0 i vrijeme puta ,

CLZ =0 ; CL = (5.37a,b)

gdje su L i C, induktivitet i kapacitet kratke linije. Da bi se predstavio induktor, induktivitet kratke linije se izjednai sa induktivitetom induktora L. Zamjenom za vrijednost C iz jednaine (5.37b) u jednainu (5.37a), dobije se

LZ =0 (5.38)

i kapacitet C kratke linije je,

0Z

C = (5.39) Za predstavljanje kondenzatora, kapacitet C kratke linije se izjednai sa kapacitetom C, pa se iz izraza za Z0 i na isti nain kao gore dobije,

C

Z =0 (5.40) i induktivitet 0ZL = (5.41) Nelinearni shunt otpornici ili MO odvodnici prenapona izmeu faze i zemlje predstavljaju se kao beskonane duge linije bez refleksija sa njihovih udaljenih krajeva. Za predstavljanje nelinearnog

otpornika, napon u taki u kojoj je nelinearni otpornik prikljuen izraunaje se za svaki vremenski interval, zanemarujui prisustvo otpornika. Ova taka se onda predstavi generatorom koji ima unutranji napon jednak onom koji je upravo sraunat, zanemarujui nelinearni otpor i unutranju impedansu jednaku valnoj impedansi mree viene sa sabirnica sa kojih je otklonjen nelinearni otpornik. Krug koji se sastoji od ovog generatora i nelinearnog otpornika tada se rjeava za struju otpornika. Razlika izmeu ove struje i one odreene za prethodni vremenski interval, predstavlja strujni prirast injektiran u mreu da bi se dobio napon kada je nelinearni otpornik u krugu. Karakteristika nelinearnog otpornika moe se predstaviti jednim brojem pravolinijskih odsjeaka ili njihovom nelinearnom jednainom, slika 5.10.

Slika 5.10 Ekvivalentna shema nelinearnog otpornika u krugu a); U-I nelinearna karakteristika MO odvodnika b); nelinearna promjena otpora sa vremenom c)

Odvodnik napona sa iskritem, predstavlja se kao nelinearni otpornik koji je prikljuen u krug kada napon premai vrijednost probojnog napona iskrita, a iskljuuje se iz kruga kada struja odvodnika padne ispod odreene vrijednosti struje odvodnika. Grafika metoda-metoda karakteristika Metod opisan od strane Schnyder-a i Bergerona [6,7], primjenjuje se za linije bez gubitaka za koje se moe pisati izraz putnih valova du linije (A,B), Sl. 5.11. U obliku napredujueg (vf, if) i reflektovanog (vr, ir) naponskog I strujnog vala,

rf

rf

iitxivvtxv

+=+=

),(

),( (5.42)

Sl. 5-11 Prostiranje vala du linije Karakteristina impedansa je,

r

r

f

f

iv

iv

Z ==0 . (5.43)

Sreivanjem gornjih izraza dobije se,

)(2)(

)(2)(

00

00

tvxviiZvviZvtvxviiZvviZv

rrfrf

frfrf

+=++==+++=+

(5.44)

gdje je

''

1CL

v = -brzina prostiranja valova,

''

0 CLZ = - karakteristina impedansa,

L-induktivitet po jedinici duine linije (nH/m), C-kapacitet po jedinici duine linije (pF/m), )( tvx -parametar kanjenja napredujuih valova (f) , )( tvx + - parametar kanjenja reflektovanih valova (r) . Ako se promatra kree sa napredujuim ili refektovanim valovima, Sl. 5-12 se primjenjuje za parametre kanjenja, Napredujui Reflektovani

x-vt=const. x+vt=const.

Sl. 5-12. Prostiranje vala

Ako su parametri kanjenja konstante, to se isto primjenjuje na njihove funkcije,

.)(

.)()(

0 constiZvtvxfconsttvxvtvxf f

=+===

napredujui

.)(

.)()(

0 constiZvtvxfconsttvxvtvxf f

==+=+=+

reflektovani

Prave linije funkcija su date na Sl. 5-13.

Sl. 5-13 Funkcija struje i napona

Konstante funkcija definiraju lokacije pravih linija i odreene su graninim uvjetima preijelaznih fenomena. Pri kretanju sa valom, sve vrijednosti struja i napona pravih linija se ukrtaju. Vrijednosti za struje i napone, na poetku i kraju linije, date su takama presjeka pravih linija sa karakteristikama zavretaka linija (karakteristike impedanse i generatora). Idealni naponski izvor Ukljuenje idealnog naponskog izvora na liniju otvorenog kraja Idealni naponski izvor, V0, (valna impedansa izvora=0) spojen je na liniju bez gubitaka sa karakteristinom impedansom, Z0, otvorenu na kraju, Sl. 5-14.

Sl. 5-14 Idealni naponski izvor spojen na liniju otvorenu na kraju

Za dobijanje napona na poetku i kraju linije, unesu se karakteristike generatora (paralelno sa I osom jer je impedansa izvora nula) i karakteristike zavretka linije (podudaraju se sa V osom jer je linija otvorena na kraju), Sl. 5-15. Za definiranje stanja prije sklapanja unesu se vrijednosti napona i struje na kraju linije u trenutku t

pravougaoni oblik. Napredujui i reflektovani valovi se pridodaju jedan drugom i formiraju dvostruke amplitude, Sl. 5-17.

a) Napon na poetku linije

b) Napon na kraju linije Sl. 5-17 Napon na poetku i kraju linije

Rezultirajui oblik napona je nepriguen pravougaoni oscilirajui napon na kraju linije sa amplitudom 2V0 i periodom 4. Ukljuenje idealnog naponskog izvora na liniju kratko-spojenu na kraju

Sl. 5-18 Idealni naponski izvor i kratko-spojena linija na kraju

Procedura je ista kao i za prethodni sluaj. Postavljaju se poetni uvjeti za taku A: vA(t=0)=V0 i za taku B: vB(t=0)=0. Prije trenutka uklopa, linija je bez napajanja, tako da je za t

Sl. 5-19 Bergeron-ov dijagram za kratko-spojenu liniju

a) Napon na poetku linije

c) Napon na kraju linije Sl. 5-20 Napon na poetku i kraju kratko-spojene linije

Sl. 5-21 Oblik struje na poetku i kraju kratko-spojene linije

Realni naponski izvor Uklop realnog naponskog izvora na liniju zavrenu teretom Prikaz realne linije dat je na Sl. 5-22

Sl. 5-22 Realni naponski izvor i optereena linija

U uvjetima stacionarnog stanja (t=) karakteristike linije nemaju efekta, jer je napon rezultat podjele napona od strane impedanse izvora i zavrne impedanse na kraju linije, Sl. 5-23.

Sl. 5-23 Linija u stacionarnom stanju

U trenutku t

Sl. 5-25 Napon i struja linije otvorene na kraju

Kada je impedansa generatora R0 manja od karakteristine impedanse Z0, nastaje poveanje napona na kraju linije. Slike 5-25 i 5-26 prikazuju napone za sluaj optereene linije na kraju (R0

Sl. 5-27 Linija otvorena na kraju (R0

Efekti gubitaka su do sada bili zanemareni u analizama putujuih valova. Gubici uzrokuju priguenje i izoblienje putujueg vala za vrijeme njegovog puta linijom. Uzroci gubitaka su: -aktivni gubici u vodiu1, -gubici zemlje kao povratnog puta, -gubici u dielektriku visokonaponskih kabela, -gubici uslijed nastanka impulsne korone, -gubici uslijed skin efekta pri viim frekvencijama, -gubici uslijed struja odvoenja kroz izolatore. Da bi se ukljuili ti gubici u analize prenaponskih pojava, pretpostavljamo serijski otpor R i otonu odvodnost G ravnomjerno raspodijeljene du linije, kao i induktivitet L i kapacitet C. Uzimajui u obzir segment linije x, slika 6.1 , gubici u trenutku t0 iznose xGZRtxixGtxuxRtxiPg +=+= ))(,(),(),( 2002002002 (6.1)

Slika 6.1 Ekvivalentni krug segmenta linije x Kada x postaje beskonano malo, moe se pisati u obliku dx. Elektromagnetski val sa energijom P=i2(x0, t0)Z, koji ulazi u segment linije dx gubi snagu P=2i(x0, t0)diZ (diferenciranje snage P obzirom na struju i(x, t)) tokom putovanja tim segmentom linije. Gubici imaju negativan predznak budui da energija opada i rasipa se u R i G

ZditxidxGZRtxi =+ ),(2))(,( 0022002 (6.2)

Poopenjem izraza za svaki trenutak vremena imamo

dxZGZR

txidi

+= 5.0

),( ),(5.0 txiZG

ZR

dxdi

+= (6.3)

Rjeenje ove diferencijalne jednaine je

xZG

ZR

etxitxi

+= 5.000 ),(),( (6.4)

Kada strujni i naponski valovi putuju du linije sa gubicima, njihova amplituda opada eksponencijalno. Taj fenomen se naziva priguenje i karakteriziran je parametrima linije. Za zrane linije, G je vrlo malo tako da se izrazi za struju, i(x,t), i napon, u(x,t), mogu pojednostaviti

x

ZR

etxitxi 200 ),(),(= (6.5)

i

x

ZR

etxutxu 200 ),(),(= (6.6)

Priguenje je malo za linije sa malim otporom R i/ili velikom karakteristinom impedansom Z. Kada se serijski otpor R i otona vodljivost G mogu zanemariti, brzina prostiranja vala i karakteristina impedansa linije su konstantni i za liniju se kae da je linija bez gubitaka.

1 Efekat aktivnih gubitaka u vodiu je najmanji od navedenih i on e biti za sada zanemaren.

Za uvjet R/L=G/C, liniju nazivamo linijom bez izoblienja. Oblik strujnog i naponskog vala se ne mijenjaju i brzina prostiranja vala i karakteristina impedansa su konstantni, kao i kod linije bez gubitaka. Kada linija nije bez izoblienja, strmina ela vala e opadati tim vie to val due putuje linijom. Gubici u zemlji kao povratnom putu Vremenski-ovisna impedansa zemlje serijski je vezana sa induktansom linije, slika 6.2

Slika 6.2 Ekvivalentni krug serijske veze linije i zemlje Jednaine napona i struje su

[ ] [ ] [ ] [ ][ ]ItZ

ttIL

xtV

g )()()( +

=

[ ] [ ] [ ]

ttVC

xtI

=

)()( (6.7)

ili pisano u Laplace-ovoj transformaciji2

[ ] [ ] [ ]( ) [ ])()()( sIsZsL

xsV

g +=

, i (6.8)

[ ] [ ] [ ])()( sVsC

xsI =

(6.9)

gdje je [ ])(sZ g vremenski-ovisna impedansa zemlje, izraena u Laplace-ovoj transformaciji. Diferenciranjem izraza (6.8) obzirom na x, i eliminiranjem [I] dobivamo,

2 Laplaceova transformacija pretvara set diferencijalnih jednaina u set algebarskih jednaina u kojima se trai.rjeenje. Konano se rjeenje ponovo transformira u vremensku domenu i prostorne koordinate inverznom transformacijom. U veini sluajeva, relativno je jednostavno vratiti rjeenje s-domena u Laplaceovoj transformaciji. U nekim sluajevima, koriste se numerike tehnike. Na raspolaganju je inverzna rutina, INLAP, u IMSL software paketu []. Ako je funkcija f(t) definirana za sve t0, njeno mnoenje sa e-st i integraljenje obzirom na t od 0 do i ako postoji rezultirajui integral kao funkcija od s, F(s), vrijedi

=0

)( dtesF st

Funkcija F(s) naziva se Laplaceova transformacija originalne funkcije f(t) i oznaava se sa (t) =)(sF (t)=

0

dte st

Originalna funkcija f(t) naziva se inverzna transformacija ili inverzija od F(s) i oznaava se sa -1(F) F(t)=-1(F)

[ ] [ ][ ] [ ][ ]( ) [ ] [ ] [ ])()()()( 2222 sVksVsCsZsCLsVx g =+= (6.10) Rjeenje gornje jednaine je [ ] [ ] [ ])()( 0 sVesV xk= (6.11) Matrica [V0(s)] moe se procijeniti iz graninih uvjeta. Diferenciranjem izraza (6.11) po x, i izjednaavanjem sa (2.84) dobija se

[ ] [ ][ ] [ ] [ ]( )[ ])()()()( sIsZsLsVksVx g

+==

(6.12)

Iz izraza (6.12) slijedi [ ] [ ] [ ] [ ]( )[ ] [ ][ ])()()()()( 1 sIsZsIsZsLksV g =+= (6.13) gdje je Z(s) vremenski-ovisna matrica valne impedanse vievodike zrane linije. Rjeenje matrice [V(s)] moe se dobiti putem modalne analize transformiranjem (6.11) sa (x), pa je

[ ] [ ] [ ] [ ][ ][ ][ ])()()()( 12222 sVTCsZTssVvssVx mgmcm +=

(6.14)

gdje je

[ ] [ ][ ]CLvc

=21 (6.15)

[ ][ ]

=

nnn

n

gng

gng

g

CC

CC

sZsZ

sZsZCsZ

......

..

)(..)(....

)(..)()(

1

111

1

1

(6.16)

Za transponirane linije, Zg1(s)=Zg2(s)=..=Zgn(s)=Zg(s); takoer, svi dijagonalni elementi su jednaki, i svi izvandijagonalni elementi u C-matrici su jednaki. Jednaina (6.16) se tada pojednostavljuje [ ][ ] [ ]nnggg CsZCsZ 1)()( = (6.17) gdje je

=

=n

nmmng CC

1,, i (6.18)

[1nn] je nxn matrica sa svim njenim elementima jednakim 1. Jednaina (6.14) moe se preurediti kao

[ ] [ ] [ ] [ ][ ][ ] =+= )(1)()()( 12

2

2

2

sVTTCssZsVvssV

x mnnggmcm

[ ] [ ][ ])()()(22

sVCssZsVvs

mggmc

+= (6.19) gdje je [] materica vlastitih vrijednosti od [1nn], data sa

[ ]

=

n

r

...........0...0......0...0...0

2

1

(6.20)

Jednaina (6.19) sastavljena je od n nespregnutih jednaina koje se mogu rijeiti pojedinano kao sluaj jednog vodia. Naprimjer, n-ta jednaina je data sa

)()()()()( 2

2

2

2

2

sVksVCssZsVvs

xsV

mnnmnnggmnc

mn =+= (6.21)

gdje je

nggc

n CssZvsk )(2

22 += (6.22)

Rjeenje izraza (6.21) je

sCsZv

vsx

mnmn

ggcn

cesVsxV)(

0.1

0

2

)(),(+= (6.23)

gdje se Vmn0(s) moe odrediti iz graninih uvjeta za x=0. Da bi dobio vrijednost impedanse zemlje kao povratnog puta, Rudenberg je prvi predstavio model elektroenergetske linije iznad zemlje na visini h, postavivi u centar radijusa sfere h, vodi, slika, 6.3.

Slika 6.3 Rudenberg-ov model zrane linije iznad neidealne zemlje Izraz za raspodjelu struje u zemlji je

02

1 02

2

=

+

tJ

rJ

rrJ g

g

gg

(6.24)

gdje je r-rastojanje take polja od centra vodia (m), Jg- gustoa struje u zemlji (A/m2), g-otpornost zemlje (m), 0-permeabilitet vakuuma (H/m). Uzimajui Laplace-ovu transformaciju od (6.24), i pretpostavljajui poetne uvjete nultim, kao i gustou struje u zemlji nulom u beskonanosti, dobija se

)'()( )1(0 rjKAjHsJ g = (6.25)

gdje je K=g

s2

0 , s-Laplace-ov operator, )1(0H -Hankel-ova funkcija nultor reda , j=(-1). Konstanta A, u gornjem izrazu je odreena iz uvjeta da ukupna struja kroz zemlju mora biti jednaka i suprotna struji, I, u vodiu zrane linije. Primjenjujui ovaj uvjet, gustoa struje na povrini zemlje je

)()'()'('

)( )1(1

)1(0 sI

hjKhHhjKHjKsJ ge = (6.26)

Laplace-ova transformacija gradijenta napona, Eg, na povrini zemlje je )()( sJsE gegg = (6.27) Iz toga je funkcija impedancije (po m duine kruga zemlje povratnog puta) je

)()(

)(sIsE

sZ gg = (6.28) Kombiniranjem (6.26) i (6.28)

)'()'(

'2

)(1

0

hKKhKKhK

RsZ gg = (6.29)

gdje je 22

hR gg

= , K0-modificirana Besselova funkcija nultor reda i druge vrste, K1-modificirana Besselova funkcija nultor reda i druge vrste. Jednaine napona se mogu izraziti u vremenskom domenu pomou inverzne rutine pomou raunara, kao to su IMLAP rutina u IMSL softverskom paketu. Efekt impulsne korone Pri pojavi jakih elektrinih polja oko vodia, koji mogu biti uzrokovani atmosferskim prenaponima du vodia, nastaje intenzivna korona oko vodia koja ima za poslijedicu ioniziranje okolnog zraka. Ionizirani zrak oko vodia efektivno poveava dijametar vodia, a time i njegov kapacitet. Kako je

brzina putujueg vala LC

vc1= , intenzivna korona e smanjivati brzinu prostiranja vala. Kako je

korona intenzivnija za vie naponske nivoe, elementi naponskog vala e putovati razliitim brzinama, pri emu vii naponski nivoi putuju sporije. Vrh naponskog vala e se konstantno smanjivati i pomjerati ka zaelju vala. Budui da je pozitivna korona opasnija, priguenje i izoblienje vala pozitivnog polariteta e biti vee u odnosu na val negativnog polariteta. Na osnovi Peek-ove jednaine za gubitke korone i istraivanja Skillinga i Dykesa, Bewley je predloio izraz za brzinu vala du zranog voda u uvjetima impulsne korone

VVV

Ck

vvc

cc +=

1

' (6.30)

gdje je vc-brzina vala ispod nivoa korone (m/s), V-amplituda napona, Vc-napon poetka korone, k-

energija korone u pola ciklusa po metru (iz Peekove jednaine)=hrk

20, k0=1,210-11 za pozitivne

valove i k0=0,5210-11 za negativne valove, r,h-radijus i visina vodia, C-kapacitet vodia(F/m). U trenutku

vxt = , slika 6.4 , taka na vrhu vala, V, zaostaje iza poetne pozicije za

==VV

Ck

vx

vx

vx c

ccc

1' (6.31)

Slika 6.4 Priguenje i izoblienje naponskog vala Svaka taka na elu vala kasni za sve do konane take presjecanja zaelja. Kako je funkcija od x i trenutnog napona V, to je vee rastojanje i to je vei trenutni napon, biti e izraajniji efekti zaostajanja. Napon poetka korone Vc, je

C

ErV cc= 02 (6.32)

gdje je r-radijus vodia, Ec-jaina elektrinog polja pri kojem zapoinje korona na povrini vodia, C-kapacitet vodia. Koristei jednainu Peeka za jaine elektrinog polja, Ec, pri kojem nastaje korona, dobija se izraz za napon poetka korone

rh

rmVc

2ln03.01103 3

+= (6.33)

gdje je m-faktor hrapavosti povrine vodia, -relativna gustoa zraka i h-visina vodia iznad zemlje. Peekova jednaina za gubitke korone pri naponu industrijske frekvencije nije primjenljiva za uvjete impulsne korone. Zbog toga su autori Wagner i Lloyd iznijeli stav da je izoblienje putujueg naponskog vala uzrokovano poveanjem kapaciteta vodia. Oni su sugerirali da se poveanje kapaciteta vodia moe procijeniti iz karakterstike naboj-napon (q-V) linije pri impulsnoj koroni. q-V karakteristika i raspodjela priguenja napona dati su na slici 6.5.

Slika 6.5 Izoblienje napona uslijed impulsne korone prema q-V karakteristici Naboj na vodiu vezan je sa naponom izrazom, q=CV, gdje je C-kapacitet vodia. Poveanjem napona od nule, naboj na vodiu raste linearno, oznaavajui da je kapacitet konstantna strmina q-V krive, slika 6.5 a). Taj kapacitet, Cn, naziva se prirodni ili geometrijski kapacitet linije dat sa

0

9

2ln18

10

rh

Cn

=

(6.34)

gdje je h-visina vodia iznad zemlje, r0-radijus vodia. Kako napon raste iznad napona poetka korone Vc, nagib krive q-V raste a time i kapacitet. Taj

kapacitet se naziva dinamiki kapacitet linije Cd, i jednak je dVdqCd = . Strmina krive raste do

dostignutog vrnog napona Vp, iz ega proizilazi da je dinamiki kapacitet Cd, promjenljiva veliina u funkciji narinutog napona iznad poetnog napona korone. Smanjivanjem napona, strmina q-V krive slina je onoj od predionizirajueg nivoa. Brzina prostiranja napona u predionizirajuem periodu je

n

c LCv 1= (6.35)

dok je brzina prostiranja naponskog vala iznad nivoa poetka korone,

d

d LCv 1= (6.36)

Kako je Cd>Cn, tada je i vd

gdje je B-empirijski parametar dat u tabeli 5. Tabela 5. Tip vodia

B

Pozitivni polaritet Negativni polaritet Jedan 0,22r+1,2 0,07r+1,12 Snop 1,52-0,15ln(n) 1,28-0,08ln(n) Na taj nain se izraunava dinamiki kapacitet iz izraza

1

=

B

cnd V

VBCC (6.39)

Wagner i Lloyd su zakljuili da je naboj na elu naponskog vala funkcija veliine napona, i da je neovisan o strmini. Meutim, Gary i dr. su ustvrdili da je Cd vie za strmija ela vala ak iako je efekat strmine malen i moe se zanemariti. Efekti polariteta i duine preenog puta dati su na slici 6.6.

Slika 6.6 Efekti polariteta i rastojanja na izoblienje vala uslijed impulsne korone Na slici 6.7 dat je model zrane linije pri impulsnoj koroni, pri emu je efekat korone simuliran kapacitetom C=Cd-Cn, u seriji sa diodom i naponskim izvorom Vc, koji predstavlja napon poetka korone. Ispod nivoa nastanka korone, C se sprijeava da se puni diodom, odravajui ukupni kapacitet linije jednakim Cn. Kada napon linije pree Vc, C je nabijen i ukupni kapacitet linije je Cd=Cn+C.

Slika 6.7 Predstavljanje zrane linije pri impulsnoj koroni Izoblienje uslijed skin efekta U dobrim vodiima mogu se zanemariti struje pomaka, tako da se u sinusnom polju u vodiima sve pojave dogaaju istovremeno (nema retardacije elektrinog polja). To znai da je elektromagnetsko polje kvazistatino. Poznato je da se val koji polazi od povrine dobrog vodia i prostire u njegovu unutranjost, vrlo brzo prigui na beznaajnu vrijednost. Zato je u vodiima sinusno elektromagnetsko polje lokalizirano u tankom sloju uz povrinu. To ima za poslijedicu da su i sinusne vodljive struje

gustoe J=E, koje teku u vodiima kao poslijedica polja, potisnute prema povrini i skoncentrirane u tankom povrinskom sloju vodia. Dubina prodiranja sinusnog vala u dobrom vodiu je

2kd (6.40 )

Za praktine tehnike zadae, val se u vodiu prigui na priblino 5% od vrijednosti na povrini vodia na dubini 3dk ispod povrine vodia, slika 6.8 .

Slika 6.8 Potiskivanje struje i jaine magnetskog polja prema povrini vodia Kako je struja u vodiima koncentrirana uz povrinski sloj debljine 3dk, esto se govori o strujnom oblogu na povrini vodia. Debljina strujnog sloja u bakru i aluminiju data je u tabeli 5. Tabela 5. Dubina prodiranja i debljina strujnog sloja uz povrinu bakra i aluminija Frekvencija (Hz) Bakar Aluminij Dubina

prodiranja dk(mm)

Dubina strujnog sloja 3dk(mm)

Dubina prodiranja

dk(mm)

Dubina strujnog sloja 3dk(mm)

50 9.4 28.2 12 36 103 2.1 6.3 2.7 8.1 106 0.07 0.21 0.08 0.24

Zadae prorauna povrinskog efekta u vodiima mogu se rijeiti pomou jednaina raspodjele elektromagnetskog polja

0=

tEE

0=

tHH

0=

tJJ (6.41 a,b,c)

Za sinusne struje u vodiu, tj. sinusno promjenljiva elektromagnetska polja, pogodno je provesti raun u fazorskom obliku za uniformni ravni val koji putuje u +z smjeru 02 = EE 02 = HH 02 = JJ (6.42 a,b,c) To su temeljne diferencijalne jednaine za proraun raspodjele sinusoidalnih kvazistatinih elektromagnetskih polja i struja u dobrim vodiima iz kojih se vri proraun povrinskog efekta.

Rjeenje ove valne jednaine za sluaj direktnog putujueg vala elektrinog polja s ovisnou fazora polja samo o koordinati z je zjzzx eeEeEE

+ == 00 (6.43 ) gdje je )1(

2)1( jjj +=+== -valna konstanta

Vezano magnetsko polje zjzz

y eeZEeHH + == 00 (6.44 )

gdje je

Sk

Rjd

jjZ )1(1)1(2

)1( +=+=+=

() (6.45 ) povrinska impedansa vodia, a RS-povrinski otpor. Iz izraza za povrinski otpor vodia

k

S dR

12

== (6.46) vidi se objanjenje otpora vodia koji uzima u obzir potiskivanje izmjeninih struja prema povrini vodia, tj. povrinskog efekta. Oito je da su gubici u vodiu tim vei to je vei povrinski otpor vodia koji je proporcionalan kvadratnom korijenu frekvencije i permeabilnosti a obrnuto proporcionalan korijenu provodnosti vodljivog materijala. Veliina vektora elektrinog polja je zzjzx eEeeEE

+ == 00 (6.47 ) koja eksponencijalno opada u funkciji od z sa konstantom priguenja , slika 6.9.

Slika 6.9 Priguenje veliine +xE sa rastojanjem z. Skin dubina je vrijednost od z pri kojoj 1

0/+ = eEE x , ili z=s=1/

Priguenje elektromagnetskog vala ne ovisi samo od preenog puta, nego i od frekvencije, permeabilnosti medija i vodljivosti medija. Dijelovi elektromagnetskog vala vie frekvencije se priguuju vie nego dijelovi nie frekvencije. Kao poslijedica priguenja elektromagnetskog vala, smanjuje se strmina vala za vrijeme prostiranja du voda. Gubici u dielektriku visokonaponskih kabela Gubici u dielektriku visokonaponskih kabela iznose

tgfUCPd = 22 (6.48) gdje je U-nazivni napon (kV), C-kapacitet kabela (F), f-frekvencija (Hz), tg-tangens kuta dielektrinih gubitaka. Kapacitet kabela odreuje se iz izraza

1

2ln18dd

C r= (F/km) (6.49)

gdje je r-relativna permitivnost izolacije (XLPE=2.3, papir=3.3), d2-vanjski dijametar izolacije (m), d1-dijametar vodia ukljuivo ekran (m). Dielektrini gubici u kabelima karakterizirani su tangensom kuta dielektrinih gubitaka

)()(

'

''

=tg (6.50)

gdje su , i -realne veliine. Realna znaajka naziva se izmjenina dielektrinost, faktor dielektrinih gubitaka, a -kut dielektrinih gubitaka Pod dobrim izolatorom podrazumijeva se onaj materijal iji ostaje priblino konstantan za sve frekvencije i iji je , odnosno tg, vrlo malen.