Piano di Gauss, sfera di Riemann e disco di Poincaré · 2017. 6. 22. · Piano di Gauss, sfera di...

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Piano di Gauss, sfera di Riemanne disco di Poincaré

Enrico Vitali

Dipartimento di Matematica “F. Casorati”Università degli studi di Pavia

13-16 giugno 2017
1. Il campo C dei numeri complessi: il piano di Gauss

2. Funzioni complesse di variabile complessa: applicazioni conformi

3. L’inversione circolare

4. Cerchi o rette? La sfera di Riemann

5. Gruppi di trasformazioni in Ĉ

6. Un modello per la geometria iperbolica: il disco di Poincaré
Il campo C dei numeri complessi

Rivediamo alcuni risultati di base sui numeri complessi.Il campo C dei numeri complessi può essere visto come un’estensione delcampo R dei numeri reali:

a

Si tratta ora di definire le operazioni, in modo da estendere ai punti delpiano (piano di Gauss) quanto già valido in R.

Rivediamo alcuni risultati di base sui numeri complessi.

Il campo C dei numeri complessi può essere visto come un’estensione delcampo R dei numeri reali:

a



a



(a, 0)



a

z = (a, b)b



a

z = (a, b)b

I L’insieme e le operazioni

– (somma) (a, b) + (c , d) = (a + c , b + d)

Per chi conosce un po’ di vettori:

a

z = (a, b)b

c

dw = (c , d)

z + w

Osserviamo che z1 − z è rappresentato dal vettore che parte da z e arrivaa z1.

– (somma) (a, b) + (c , d) = (a + c , b + d)


a

z = (a, b)b

c

dw = (c , d)

z + w


– (somma) (a, b) + (c , d) = (a + c , b + d)


a

z = (a, b)b


– (somma) (a, b) + (c , d) = (a + c , b + d)


a

z = (a, b)b

c

dw = (c , d)


– (somma) (a, b) + (c , d) = (a + c , b + d)


a

z = (a, b)b

c

dw = (c , d)


– (somma) (a, b) + (c , d) = (a + c , b + d)


a

z = (a, b)b

c

dw = (c , d)

z + w


– (somma) (a, b) + (c , d) = (a + c , b + d)


a

z = (a, b)b

c

dw = (c , d)

z1 = z + w

w = z1 − z


– (somma) (a, b) + (c , d) = (a + c , b + d)


a

z = (a, b)b

c

dw = (c , d)

z1 = z + w

w = z1 − z

– (prodotto) per semplicità utilizziamo

a in luogo di (a, 0), e definiamo i = (0, 1)

Definiamo per ora

λ · i = (0, λ) per λ ∈ R.

Quindi se z = (a, b) possiamo scrivere

z = (a, b) = a + bi .
– (prodotto) per semplicità utilizziamo

a in luogo di (a, 0), e definiamo i = (0, 1)

Definiamo per ora

λ · i = (0, λ) per λ ∈ R.

Quindi se z = (a, b) possiamo scrivere

z = (a, b) = a + bi .
Se vogliamo che valgano le usuali regole del calcolo algebrico, deve essere

(a + bi)(c + id) = ac + bd i2 + (ad + bc)i .

Se scegliamo di definire i2 = −1 allora il prodotto è completamentedefinito:

(a + bi)(c + id) = ac − bd + (ad + bc)i .

Si dimostra che con tale definizione rimangono effettivamente valide leusuali regole di calcolo algebrico.
I Modulo, coniugato e reciproco

% = |z | =√

a2 + b2 (modulo)

z = a− bi (coniugato)

zz = |z |2

da cui

1

z=

z

|z |2

ϑ è l’argomento di z .Per chi conosce un po’di trigonometria:

a = % cosϑ, b = % sinϑ

Quindi anchez = %(cosϑ+ i sinϑ) = %exp(iϑ)

(forma trigonometrica-esponenziale del numero z).

% = |z | =√

a2 + b2 (modulo)


zz = |z |2

da cui

1

z=

z

|z |2



z = a + bi

a

b%



% = |z | =√

a2 + b2 (modulo)


zz = |z |2

da cui

1

z=

z

|z |2



z = a + bi

a

b

z = a− bi

%



% = |z | =√

a2 + b2 (modulo)


zz = |z |2 da cui

1

z=

z

|z |2



z = a + bi

a

b

z = a− bi

%



% = |z | =√

a2 + b2 (modulo)


zz = |z |2 da cui

1

z=

z

|z |2

ϑ è l’argomento di z .

Per chi conosce un po’di trigonometria:


z = a + bi

ϑa

b

z = a− bi

%



% = |z | =√

a2 + b2 (modulo)


zz = |z |2 da cui

1

z=

z

|z |2



z = a + bi

ϑa

b

z = a− bi

%



% = |z | =√

a2 + b2 (modulo)


zz = |z |2 da cui

1

z=

z

|z |2



z = a + bi

ϑa

b

z = a− bi

%


Sarà utile osservare che valgono le seguenti proprietà:

z1 ± z2 = z1 ± z2z1 · z2 = z1 · z2(

z1z2

)=

z1z2

(z) = z

z = z se e solo se z ∈ R
Sarà utile osservare che valgono le seguenti proprietà:

z1 ± z2 = z1 ± z2z1 · z2 = z1 · z2(

z1z2

)=

z1z2

(z) = z

z = z se e solo se z ∈ R
• Lavoriamo insieme

I Scivere nella forma a + ib i seguenti numeri complessi:

a) (3− 4i)(3 + 4i); b) (3− 4i)3; c) 1i

;

d)11 + 2i

2− i; e) i71

I Descrivere geometricamente l’insieme dei numeri complessiz = x + iy per i quali

a) |z − i | = 1; b) |z + 1| ≤ 1.

I Scivere nella forma a + ib i seguenti numeri complessi:

a) (3− 4i)(3 + 4i); b) (3− 4i)3; c) 1i

;

d)11 + 2i

2− i; e) i71

I Descrivere geometricamente l’insieme dei numeri complessiz = x + iy per i quali

a) |z − i | = 1; b) |z + 1| ≤ 1.
I Il prodotto come operazione geometrica

• Lavoriamo insiemePer congetturare eseguiamo i seguenti prodotti.Sia

w =

√3

2+

1

2i .

Calcolare il prodotto w · z nei casi:

z = ±1, z = ±i , z =√

3 + i , z = ±(1−√

3i)

e rappresentare i risultati nel piano complesso.

Come può essere descritta l’azione della funzione

z 7→ wz : C→ C ?

Per dimostrare si utilizzi la forma trigonometrica dei numeri complessi.
I Il prodotto come operazione geometrica

• Lavoriamo insiemePer congetturare eseguiamo i seguenti prodotti.Sia

w =

√3

2+

1

2i .

Calcolare il prodotto w · z nei casi:

z = ±1, z = ±i , z =√

3 + i , z = ±(1−√

3i)

e rappresentare i risultati nel piano complesso.

Come può essere descritta l’azione della funzione

z 7→ wz : C→ C ?

Per dimostrare si utilizzi la forma trigonometrica dei numeri complessi.
w

ϕr = 1

zzw

ϕ

I Come si scrive una rotazione di centro il punto z0?

z 7→ z0 + w(z − z0) (|w | = 1)

I Nel caso r = 1 si esprima az in forma algebrica in funzione dellaparte reale e immaginaria di z (z = x + yi). Si ottengono formulenote?


z 7→ z0 + w(z − z0) (|w | = 1)



z 7→ z0 + w(z − z0) (|w | = 1)

Funzioni complesse di variabile complessa:funzioni olomorfe e applicazioni conformi

Sfruttiamo quanto abbiamo appreso sulle operazioni con i numeri complessiper studiare funzioni un po’ più generali.

• Ricordiamo che, se indichiamo con w un fissato numero complesso, dimodulo r e argomento ϕ (cioè w = r exp(iϕ)), nel caso in cui r = |w | = 1,la funzione

z 7→ wz : C→ C

rappresenta una rotazione del piano di un angolo ϕ attorno all’origine.Se r 6= 1 si ha una roto-omotetia.



z 7→ wz : C→ C




z 7→ wz : C→ C

rappresenta una rotazione del piano di un angolo ϕ attorno all’origine.

Se r 6= 1 si ha una roto-omotetia.



z 7→ wz : C→ C

• In base a quanto visto, se z = % exp(iϑ) allora

2ϑ

ϑ

z

z2

%

%2

cioè, in formule:z2 = %2 exp(2ϑ).

2ϑ

ϑ

z

z2

%

%2


2ϑ

ϑ

z

z2

%

%2

z 7→ z2

−1 −0.5 0 0.5 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

Si dicono conformi le funzioni che “conservano gli angoli” (compresol’orientamento) nel senso indicato da questo esempio.
z 7→ z2

−1 −0.5 0 0.5 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

z 7→ z2

−1 −0.5 0 0.5 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

z 7→ z2

−1 −0.5 0 0.5 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

z 7→ z2

−1 −0.5 0 0.5 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

• Lavoriamo insiemeSi “verifichi” che la funzione f : z 7→ z2 è conforme.[Si provi a calcolare la differenza (z0 + h)

2 − z20 con h “piccolo”.]

In modo analogo ci si può rendere conto che è conforme l’applicazione

z 7→ 1z,

e, più in generale, le funzioni polinomiali, fratte, ecc.

La proprietà di essere conforme è legata alla derivabilità insenso complesso e trova la sua naturale collocazione nella

teoria delle funzioni olomorfe.

Cerchiamo di vedere più da vicino le trasformazioni conformi del pianocomplesso in sé.Ma prima, un intermezzo . . .

2 − z20 con h “piccolo”.]In modo analogo ci si può rendere conto che è conforme l’applicazione

z 7→ 1z,






z 7→ 1z,






z 7→ 1z,






z 7→ 1z,




Cerchiamo di vedere più da vicino le trasformazioni conformi del pianocomplesso in sé.

Ma prima, un intermezzo . . .


z 7→ 1z,




L’inversione circolare

Prima di affrontare il tema della caratterizzazione delle trasformazioniconformi del piano complesso in sè, consideriamo una particolare tra-sformazione (che utilizzeremo in seguito) che conserva gli angoli (purinvertendo l’orientamento).
L’inversione circolare

Prima di affrontare il tema della caratterizzazione delle trasformazioniconformi del piano complesso in sè, consideriamo una particolare tra-sformazione (che utilizzeremo in seguito) che conserva gli angoli (purinvertendo l’orientamento).
I L’inversione circolare: il punto di vista geometrico

OP · OP ′ = r 2

L’inversione rispetto al cerchio associa al punto P il punto P ′ tale cheOP · OP ′ = r 2.
I L’inversione circolare: il punto di vista geometrico

OP · OP ′ = r 2

L’inversione rispetto al cerchio associa al punto P il punto P ′ tale cheOP · OP ′ = r 2.
• Costruzione e proprietàTeorema (della secante e della tangente)

Dimostrare che: OP · OP ′ = OT 2

[Si considerino i triangoli OTP e OTP ′ . . . ]

I L’inversione è involutoria.

I i punti della circonferenza di riferimento rimangono fissi.

I Se A 7→ A′ e B 7→ B ′, allora

OÂB = OB̂ ′A′,

OB̂A = OÂ′B ′
I L’inversione trasforma una retta r non passante per l’origine in unacirconferenza γ passante per l’origine (e avente in tale puntotangente parallela ad r).
I L’inversione trasforma una circonferenza γ non passante perl’origine in una circonferenza γ′ non passante per l’origine.

[La dimostrazione utilizza il Teorema dellle secanti.]
I Le circonferenze ortogonali al cerchio di riferimento sono unite, cioèvengono trasformate in sé stesse (che non significa che i punti sonouniti).
Esercizio Sia C una circonferenza e P un punto non appartenente a C .Allora tutte le circonferenze passanti per P e che tagliano ortogonalmenteC si intersecano in un secondo punto oltre a P.

Infine, enunicamo senza dimostrazione un’importante proprietà, cheriprenderemo in seguito:

I L’inversione conserva gli angoli.

Questa proprietà potrà essere ricavata più facilmente inquadrandol’inversione in C.

Infine, enunicamo senza dimostrazione un’importante proprietà, cheriprenderemo in seguito:

I L’inversione conserva gli angoli.

Questa proprietà potrà essere ricavata più facilmente inquadrandol’inversione in C.
I L’inversione circolare: il punto di vistaalgebrico

Abbiamo visto che il piano può essere “trattato algebricamente” comeinsieme di numeri: i numeri complessi. Pertanto le operazioni geometriche(come ad esempio l’inversione circolare) possono essere viste comerisultato dell’azione di una funzione, o trasformazione, da C in sé:

T : C→ C

Fissato un cerchio, per semplicità quello di centro l’origine e raggio 1,consideriamo la trasformazione T data dall’inversione circolare rispetto atale cerchio. Cerchiamo di esprimerla algebricamente e di ricavare alcunedelle proprietà già individuate.


T : C→ C



T : C→ C


I Scrivere l’inversione circolare di centro z = 0 come trasformazioneT in C.

z 7→ 1z

I Verificare che T è involutoria, cioè T 2 := T ◦ T è l’identità).I Verificare che se r è una retta non passante per l’origine, allora

T (r) è una circonferenza C passante per l’origine. [si scriva laforma algebrica di T (x + iy) al variare di x + iy ∈ r tenendo contodella condizione analitica su x e y].

I Verificare che se C è una circonferenza non passante per l’origineallora T (C ) è una circonferenza (non passante per l’origine).

I Una retta passante per l’origine viene trasformata in sé stessa.


z 7→ 1z






z 7→ 1z






z 7→ 1z

I Verificare che T è involutoria, cioè T 2 := T ◦ T è l’identità).

I Verificare che se r è una retta non passante per l’origine, alloraT (r) è una circonferenza C passante per l’origine. [si scriva laforma algebrica di T (x + iy) al variare di x + iy ∈ r tenendo contodella condizione analitica su x e y].




z 7→ 1z






z 7→ 1z






z 7→ 1z




Cerchi o rette? Il piano complesso esteso Ĉ
Cerchi o rette? Il piano complesso esteso Ĉ
I punti del piano (quindi di C) vengono visti come punti della sfera S(sfera di Riemann) esculso il polo Nord N: l’aggiunta di N corrispondeall’aggiunta di un ‘punto all’infinito’ su C (retta proiettiva complessa).

Vedendo le rette come circonferenze passanti per il punto all’infinito eosservando che l’origine e il punto all’infinito si corrispondono mediantel’inversione circolare, le proprietà viste nell’esercizio precedente si unificanonell’affermazione che nell’inversione circolare

le circonferenze si trasformano in circonferenze.

Questi concetti trovano la loro naturale collocazione nell’ambito della

Geometria proiettiva e dello studio delle Superficie
Gruppi di trasformazioni in Ĉ

I gruppi di giocano un ruolo fondamentale nella geometria euclidea.

Più in generale ha interesse lo studio delle trasformazioni di un ‘oggettogeometrico’ in sè stesso dotate di caratteristiche ‘matematicamenterilevanti’.

Cerchiamo quindi di vedere più da vicino le trasformazioni conformi di C(o di un suo sottoinsieme) in sè stesso. Ne dedurremo un interessanterisvolto geometrico . . .

Iniziamo con una classe particolare di trasformazioni del piano complesso.

I gruppi di trasformazioni isometriche giocano un ruolo fondamentale nellageometria euclidea.




I gruppi di trasformazioni isometriche giocano un ruolo fondamentale nellageometria euclidea.Più in generale ha interesse lo studio delle trasformazioni di un ‘oggettogeometrico’ in sè stesso dotate di caratteristiche ‘matematicamenterilevanti’.


I Le trasformazioni di Möbius

Si tratta delle funzioni T della forma

T (z) =az + b

cz + d,

con a, b, c , d ∈ C e ad − bc 6= 0 (non è restrittivo richiedere la condizioneaggiuntiva ad − bc = 1).
I Le trasformazioni di Möbius

Si tratta delle funzioni T della forma

T (z) =az + b

cz + d,

con a, b, c , d ∈ C e ad − bc 6= 0 (non è restrittivo richiedere la condizioneaggiuntiva ad − bc = 1).
Alcuni casi che già conosciamo:

• (traslazioni) a = d = 1, c = 0

T (z) = z + b.

• (roto-omotetia) b = c = 0, d = 1

T (z) = az .

• a = d = 0, c = d = 1T (z) =

1

z

(coniugio di un’inversione circolare)

Osservazione: sono tutte funzioni conformi.


T (z) = z + b.


T (z) = az .

• a = d = 0, c = d = 1T (z) =

1

z




T (z) = z + b.


T (z) = az .

• a = d = 0, c = d = 1T (z) =

1

z




T (z) = z + b.


T (z) = az .

• a = d = 0, c = d = 1T (z) =

1

z




T (z) = z + b.


T (z) = az .

• a = d = 0, c = d = 1T (z) =

1

z




T (z) = z + b.


T (z) = az .

• a = d = 0, c = d = 1T (z) =

1

z


• Lavoriamo insiemeSi consideri la trasformazione

T (z) =z − iz + i

.

Poniamo

H = {x + iy : y > 0}, D = {z : |z | < 1}.

I Verificare che T (H) ⊆ D e T (C \H) ⊆ C \ D;I Decomporre T mediante traslazioni, rotazioni, dilatazioni, coniugio

e inversioni circolari.

I Delineare il comportamento qualitativo della funzione T su Hmediante l’azione sui raggi uscenti dall’origine e sullesemicirconferenze di centro l’origine [vedi file Geogebra].

T (z) =z − iz + i

.

Poniamo

H = {x + iy : y > 0}, D = {z : |z | < 1}.




T (z) =z − iz + i

.

Poniamo

H = {x + iy : y > 0}, D = {z : |z | < 1}.

I Verificare che T (H) ⊆ D e T (C \H) ⊆ C \ D;

I Decomporre T mediante traslazioni, rotazioni, dilatazioni, coniugioe inversioni circolari.


T (z) =z − iz + i

.

Poniamo

H = {x + iy : y > 0}, D = {z : |z | < 1}.




T (z) =z − iz + i

.

Poniamo

H = {x + iy : y > 0}, D = {z : |z | < 1}.



Dalla decomposizione in trasformazioni elementari deduciamo subito che:

Teorema Le trasformazioni di Möbius mutano circonferenze incirconferenze.

Una semplice applicazione: mediante la trasformazionez − iz + i

di H in D sipuò ricavare in altro modo che:

Dalla decomposizione in trasformazioni elementari deduciamo subito che:

Teorema Le trasformazioni di Möbius mutano circonferenze incirconferenze.

Una semplice applicazione: mediante la trasformazionez − iz + i

di H in D sipuò ricavare in altro modo che:

T (z) =az + b

cz + d(ad − bc 6= 0)

Osservazione. Queste trasformazioni possono essere viste cometrasformazioni di Ĉ in sé con la convenzione:

T (∞) = ac

se c 6= 0,

T (∞) =∞ se c = 0 (in tal caso a 6= 0)

T (−d/c) =∞ se c 6= 0 (in tal caso a(−dc

) + b 6= 0),

Proiezione del filmato legato all’articolo:Douglas N. Arnold and Jonathan Rogness. Möbius transformationsrevealed. Notices Amer. Math. Soc., 55(10):12261231, 2008.
T (z) =az + b

cz + d(ad − bc 6= 0)

Osservazione. Queste trasformazioni possono essere viste cometrasformazioni di Ĉ in sé con la convenzione:

T (∞) = ac

se c 6= 0,

T (∞) =∞ se c = 0 (in tal caso a 6= 0)

T (−d/c) =∞ se c 6= 0 (in tal caso a(−dc

) + b 6= 0),

Proiezione del filmato legato all’articolo:Douglas N. Arnold and Jonathan Rogness. Möbius transformationsrevealed. Notices Amer. Math. Soc., 55(10):12261231, 2008.
I Automorfismi di Ĉ, H e D

Sia D ⊆ Ĉ un dominio (tecnicamente si tratta di un aperto connesso).

Definizione Indichiamo con Aut(D) l’insieme delle trasformazioni(applicazioni biunivoche) conformi D → D (i cosiddetti automorfismi diD).
È immediato verificare che le trasformazioni di Möbius sono iniettive.Quanto alla suriettività, si dimostra:

Teorema

◦ Aut(C) è l’insieme delle trasformazioni della forma

T (z) = az + b.

◦ Aut(Ĉ) è l’insieme delle trasformazioni di Möbius.

◦ Aut(D) è l’insieme delle trasformazioni della forma

T (Z ) =az + b

bz + a,

dove a, b ∈ C e |a|2 − |b|2 = 1.

Osservazione. In realtà si tratta di sottogruppi di trasformazioni. Lostudio di tali insiemi tocca la

Teoria dei gruppi
È immediato verificare che le trasformazioni di Möbius sono iniettive.Quanto alla suriettività, si dimostra:Teorema


T (z) = az + b.



T (Z ) =az + b

bz + a,

dove a, b ∈ C e |a|2 − |b|2 = 1.


Teoria dei gruppi


T (z) = az + b.



T (Z ) =az + b

bz + a,

dove a, b ∈ C e |a|2 − |b|2 = 1.


Teoria dei gruppi


T (z) = az + b.



T (Z ) =az + b

bz + a,

dove a, b ∈ C e |a|2 − |b|2 = 1.


Teoria dei gruppi


T (z) = az + b.



T (Z ) =az + b

bz + a,

dove a, b ∈ C e |a|2 − |b|2 = 1.


Teoria dei gruppi
Ricordando la trasformazione z 7→ z − iz + i

e il risultato precedente, non è

difficile dimostrare che

Teorema Aut(H) è il l’insieme delle trasformazioni di Möbius per lequali a, b, c , d ∈ R.
infine...la geometria iperbolica

Il semipiano H e il disco D sono stati utilizzati come modelli euclideidella geometria iperbolica, mediante opportune definizioni dei concettigeometrici, come la retta.

Nel modello del disco i punti sono i punti interni ad un cerchio fissato,mentre le rette sono diametri del disco oppure archi di circonferenzeortogonali al bordo del cerchio:
infine...la geometria iperbolica

Il semipiano H e il disco D sono stati utilizzati come modelli euclideidella geometria iperbolica, mediante opportune definizioni dei concettigeometrici, come la retta.Nel modello del disco i punti sono i punti interni ad un cerchio fissato,mentre le rette sono diametri del disco oppure archi di circonferenzeortogonali al bordo del cerchio:
Si verificano tutti gli assiomi usuali della geometria euclidea, ad eccezionedell’assioma dell’unicità della parallela condotta da un punto ad una rettadata.

Ad esempio, dati due punti è A e B è sempre possibile costruire la rettaper i due punti:

(Si consideri la circonferenza per A, B e il corrispondente di uno dei duepunti nell’inversione circolare . . . )
Si verificano tutti gli assiomi usuali della geometria euclidea, ad eccezionedell’assioma dell’unicità della parallela condotta da un punto ad una rettadata.Ad esempio, dati due punti è A e B è sempre possibile costruire la rettaper i due punti:

(Si consideri la circonferenza per A, B e il corrispondente di uno dei duepunti nell’inversione circolare . . . )
Vi sono due rette “parallele” alla retta r (in realtà va precisata la nozionedi parallelismo . . . ).
La verifica degli assiomi di congruenza è più delicata, in quanto si devedefinire opportunamente una nozione di congruenza fra segmenti.La nozione di congruenza si appoggia su quella di lunghezza; informalmen-te: segmenti ‘iperbolici’ congruenti ad un fissato segmento ma dispostilungo una retta ‘iperbolica’ devono necessariamente avere lunghezze‘euclidee’ progressivamente decrescenti mano a mano che ci si avvicina albordo del cerchio.

Ci aspetteremmo che segmenti ottenuti per “riflessione” abbiano la stessalunghezza. Limitiamoci al caso di segmenti su un diametro.
La verifica degli assiomi di congruenza è più delicata, in quanto si devedefinire opportunamente una nozione di congruenza fra segmenti.La nozione di congruenza si appoggia su quella di lunghezza; informalmen-te: segmenti ‘iperbolici’ congruenti ad un fissato segmento ma dispostilungo una retta ‘iperbolica’ devono necessariamente avere lunghezze‘euclidee’ progressivamente decrescenti mano a mano che ci si avvicina albordo del cerchio.Ci aspetteremmo che segmenti ottenuti per “riflessione” abbiano la stessalunghezza. Limitiamoci al caso di segmenti su un diametro.
La distanza iperbolica fra i punti x1 e x2 è data da:∣∣∣∣log(1 + x11− x1 · 1− x21 + x2 )∣∣∣∣

Tale formula è costruita a partire dalla nozione di birapporto.

Si verifica che i segmenti PQ e QP ′ della figura precedentehanno la stessa lunghezza iperbolica.
La distanza iperbolica fra i punti x1 e x2 è data da:∣∣∣∣log(1 + x11− x1 · 1− x21 + x2 )∣∣∣∣

Tale formula è costruita a partire dalla nozione di birapporto.

Si verifica che i segmenti PQ e QP ′ della figura precedentehanno la stessa lunghezza iperbolica.
La figura seguente accenna a una suddivisione del disco in triangoliiperbolici ottenuti per riflessioni successive; lungo alcuni diametri si notala riflessione dei punti come sopra osservata.
Le opere dell’artista olandese M. C. Escher della serie Circle Limit siispirano a questo tipo di tassellazioni (qui sotto Circle Limit III del 1959).
Un discorso analogo si può svolgere per il semipiano H.

Tale lunghezza definisce una distanza secondo la quale le rette ‘iperboliche’sono le linee geodetiche.

(Nel caso del modello H la distanza varia esattamente come la distanzadall’asse reale, quindi come la parte immaginaria).

Si può verificare che:

i gruppi di isometrie relativi a tale distanzasono proprio gli

automorfismi del disco studiati precedentemente.






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Piano di Gauss, sfera di Riemann e disco di Poincaré · 2017. 6. 22. · Piano di Gauss, sfera di...

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