Physique 3 Vibrations et ondes mécaniques

Physique 3 Vibrations et ondes mécaniques

Leçon n°12 :

Oscillations de circuits électriques couplés

Plan de la leçon : Oscillations de circuits électriques couplés

• Rappel sur les analogies électromécaniques• Antirésonance électrique • Couplage par condensateur• Couplage par inductance• Couplage électromécanique, l’exemple du haut parleur

Analogies électromécaniques

• Le comportement des circuits RLC linéaires et celui des systèmes mécaniques (masse, ressort avec frottements visqueux) est représenté par des équations différentielles semblables.

• Il est possible de passer d’un circuit électrique à un système mécanique en assimilant :• Une masse avec une inductance• Un frottement visqueux avec une résistance linéaire• La raideur d’un ressort avec l’inverse d’une capacité.

• De même, il convient d’assimiler :• Une force avec une différence de potentiel• Un déplacement avec une quantité d’électricité (q)• Une vitesse de déplacement avec une intensité (i)

Analogie électromécanique, tableau de correspondance (1)

Systèmes mécanique Circuits électriquesForce-tension

Rotation Translation Analogie

Angle Déplacement x Charge q

Vitesse angulaire Vitesse Courant

Moment d’inertie J Masse m Inductance L

Constante de torsion kt Raideur k 1/C

Coefficient de frottement Résistance

R

Energie cinétique

2J2

1T 2xm

2

1T 2Li

2

1T

x iq


Energie potentielle

Fonction de dissipation

Lagrangien L=T-U

Equation de Lagrange

« Force généralisée » appliquée Q(t)

Moment appliquéQ(t)=M(t)

Force appliquéeQ(t)=F(t)

Tension appliquéeQ(t)=E(t)

2qC

1

2

1U 2c

2

1U 2kx

2

1U

2

2

1D 2x

2

1D 2Ri

2

1D

tQq

D

q

L

q

L

dt

di

iii


Nombre de degré de liberté Nombre de mailles

Elément de couplage Elément commun à deux mailles

Impédance

ttM

Z

tx

tFZ

tq

tFZ

Exemple 1 : correspondant électrique du système anti-résonant mécanique (1)

• on considère le système mécanique de la figure où F(t) est une force d’intensité sinusoïdale.

1- Ecrire les équation différentielles du système.

2- Ecrire les équations du circuit électrique analogue

3- Représenter le schéma de ce circuit.4- Calculer l’impédance d’entrée du circuit

électrique.


2. Equations du circuit électrique analogue :

3. Schéma du circuit électrique

0c

qqqqRqL

Vc

qqqqR

c

qqRqL

2

1212222

2

21212

1

11111

1. Les équations différentielles du système mécanique

0xxkxx

Fxxkxxxkxxm

212122

212212111111


4. Impédance d’entrée du circuit électrique : en supposant qi=Qiejt et V=V0ejt, on écrit :

en utilisant les courants I1(t) et I2(t), on trouve :

En écrivant I2 en fonction de I1 à partir de la deuxième équation et en substituant sa valeur dans la première équation et après quelques calculs, on trouve :

222

22

22

2212

1

112

11

1e cjRcL1

jLcLR

jc

CjRcL1

I

VZ

0qc

1jRq

c

1jRL

tVqc

1jRq

c

1

c

1RRjL

12

222

22

2

22

2121

212

1

0Ic

1jRI

c

1jRL

tVjIc

1jRI

c

1

c

1RRjL

12

222

22

2

22

2121

212

1

• Avec les impédances, le calcul est plus rapide, mais on n’étudie que le régime permanant. Nous obtenons une courbe Vc1(), fonction de la fréquence du signal dont le profil dépend de l’amortissement R/L et du rapport des inductances L2/L1. Pour L2=0, on obtient un simple circuit R1L1C1 excite en régime sinusoïdal dont le pic de résonance s’annule si on choisi L2 convenablement, c’est-à-dire à la fréquence :

Si c1=c2, L2/L1 doit être égal à 1. Ce qui nous donne une fréquence d’antirésonance

Etude d’un circuit anti-résonant électrique (1)• Deux méthodes sont possibles pour analyser le

circuit excité en régime forcé par une tension V(), par exemple pour trouver la tension Vc1 aux bornes de la capacité c1 :

1- utiliser l’impédance complexe Ze() que nous venons de dériver :

2- Trouver les solutions q1(t) et q2(t) des équations différentielles couplées du circuit et utiliser :

11

20 cL

1

ieic IZV

1

1c c

tqtV

1

22

2

cL

1

Etude d’un circuit anti-résonant électrique (2)

• Avec les deux équations différentielles, leur intégration numérique, avec comme conditions initiales des condensateurs déchargés, nous donne le régime transitoire et le régime permanent. La courbe VC1(t) doit nous donner tous les détails, c’est-à-dire, les pics de résonances, l’amplitude nulle de VC1, pour la fréquence d’antirésonance et même les battements que l’on peut observer quand la fréquence d’excitation est voisine de la fréquence propre du circuit.

• Données pour l’animation :

ANIMATION 12-1

Hz919CL

1

2

1f,F1,0cc,H3,0L

11res211

Couplage par induction mutuelle, équations du circuit

• On considère deux circuit RLC série couplés par induction mutuelle. Les deux inductances et les deux résistances sont identiques. Le circuit de gauche est excité par une tension V(t) sinusoïdale.

• On étudie le courant dans chaque circuit. A chaque instant, on a les équations :

0dt

MdI

C

QRI

dt

dIL;tv

dt

MdI

C

QRI

dt

dIL 1

2

22

22

1

11

1

• On dérivant, on obtient :

0

dt

IMd

C

I

dt

dIR

dt

IdL;

dt

tdv

dt

IMd

C

I

dt

dIR

dt

IdL

21

2

2

2222

2

22

2

1

1121

2

Couplage par induction mutuelle, méthode de solution des équations du circuit

• Régime libre : On charge le condensateur C puis on ferme le circuit de gauche. Pour étudier le régime libre, on intègre numériquement le système d’équations. Le cas R=0 sera traité en exemple.

• Régime forcé permanent : on utilise les impédances complexes en posant :

1222

1122211

22

211

1

IZ/MZV;IjMIZ0;IjMIZV

mLM;jXRc

1LjRZ;jXR

c

1LjRZ

• On tire :

• La suite du calcul littéral est pénible. Le calcul numérique permet de cerner simplement les phénomènes.

2221

22221

21 MZZ

VjMI;

MZZ

VZI

Couplage par induction mutuelle, régime forcé : remarques

• Si les deux circuits sont identiques ; leur fréquence propre est

Pour chercher la valeur maximale de I2, on peut dans une première étape négliger les

résistances. on obtient : Z1=jX et Z2=jX ;

I2 est maximum si X=M soit :

• La relation V=(Z1+M22/Z2)I1 montre que la partie réelle du circuit de gauche est toujours plus grande que celle du même circuit non couplé : le couplage amorti le premier circuit.

• On peut montrer que pour les deux circuits couplés, la valeur de M que donne la valeur maximum de I2 est telle que M22=Z1Z2. Pour deux circuits identiques accordés, Z1=Z2=R ; le coefficient de couplage optimal vaut : m=R/L0=1/Q

LC/10

2222 MX

VjMI

m1mL

c

1L 0

Exemple 2 : Circuits couplés par inductance mutuelle, régime libre (1)

• Soient deux circuits L-C identiques, de résistance négligeable. Le couplage par inductance mutuelle M est caractérisé par le coefficient de couplage m=M/L.

On pose : LC/120

1- Ecrire les deux équations différentielles vérifiées par les charges q1(t) et q2(t) des condensateurs des circuits 1 et 2.

2- En déduire les équations différentielles vérifiées par la somme S(t)=q1+q2 et la différence D(t)=q1-q2 . Déterminer les pulsations propres ’ et ’’ de ce système couplé en fonction de 0 et k.

3- on admet le couplage lâche (m=M/L<<1). A l’instant t=0 où on ferme l’interrupteur, le condensateur (1) porte la charge q10 et celui du deuxième circuit est déchargé. Montrer que la charge du condensateur du premier circuit évolue au cours du temps suivant : q(t)=q10cos (t).cos(0t) où est exprimé en fonction de 0 et m. En déduire la loi d’évolution de la charge q2(t) du condensateur du deuxième circuit.

4- On donne C=2F ; L=0,5 H ; m=1/10 , q10=1 C. Tracer l’allure des graphes q1(t) et q2(t) ; calculer la pseudo période T, la période des battements TB et la période TA pour l’amplitude.


1- Les lois des mailles s’écrivent quand les deux mailles sont chacune traversées par les courants respectifs :

Circuit 1 :

Circuit 2 :

En utilisant le facteur de couplage m et la pulsation propre :

On peut écrire :

dt

dqiet

dt

dqi 2

21

1

0dt

diM

dt

diL

c

q 211

0dt

diM

dt

diL

c

q 122

Lc

10

0qmqqet0qmqq 1220221

201


2- En introduisant la somme S=q1+q2 et la différence D=q1-q2 des charges des deux circuits, il vient par addition et soustraction des deux équations :

Ces équations sont de la forme :

avec

Les solutions sont de la forme

où ’ et ’’ sont les pulsations des modes propres.

0Dm1

D;0Sm1

S20

20

0DD;0SS 22

m1et

m1

202

202

tsinDtcosDqqtD

tsinStcosSqqtS

2121

2121


3- Compte tenu des conditions initiales :

On en déduit :

Que nous donnent :

0DD00D

;0SS00S;Dq0D;Sq0S

22

22110110

tcosqqqtDett'cosqqqtS 1021110211

t2

'sin.t

2sin.qtcostcosq

2

1tDtS

2

1tq

t2

'cos.t

2cos.qtcostcosq

2

1tDtS

2

1tq

10102

10101


3- Suite Si le couplage est lâche (m<<1), il vient :

Ce qui donne :Les expressions de q1(t) et q2(t) deviennent :

Que l’on réécrit :

4- Numériquement, on trouve :

On obtient donc des battements.

2

m1

m1et

2

m1

m10

00

0

00 2etm'

tsin.t2

msin.qtqettcos.t

2

mcos.qtq 0

01020

0101

1010 s.rd50

2

mets.rd1000

LC

1

tsin.tsin.qtqettcos.tcos.qtq 01020101


• La pseudo période est

• La période des battements TB est telle que : , ce qui donne :

• La période TA pour l’amplitude : est :

c’est-à-dire

s3,61000

22T

0

2

m

2

'

2T

1 0

B

ms63m

2T

0B

t2

msinqA 0

10,

2

m2

T0

A

ms126T2m

4T B

0A

Exemple 3 : Circuits L-C couplés par inductance mutuelle, régime forcé (1)

Le circuit primaire de deux circuits L-C couplés par induction mutuelle est alimenté par un générateur sinusoïdal de f.e.m v(t)=Vcost.On étudie le circuit couplé en régime forcé permanent :

1- Exprimer, en régime forcé, les charges q1(t) et q2(t) sous la forme : q1(t)=Q1().cos(t) et q2(t)=Q2().cos(t) où on déterminera les amplitudes Q() et Q2() en Fonction de V, L, 0 et m.

2- a) Déterminer la pulsation A d’antirésonance pour laquelle Q1(A)=0 ; en déduire l’amplitude Q2(A). b) Tracer l’allure des graphes Q1() et Q2().


1- les équations des mailles s’écrivent en notation complexe :

circuit 1 :

circuit 2 :

En utilisant :

On trouve :

Ce système admet comme solutions q1(t)=Q().cost et q2(t)=Q2().cos t avec

et

tj211 e.Vdt

diM

dt

diL

c

q

0dt

diM

dt

diL

c

q 122

dt

dqi;

dt

dqi;

L

Mm;

LC

1 22

110

0qqm

tcosL

Vqmq

qq;

0qmqq

e.L

Vqmqq

222

012

22

122

0i

2i

12202

tj21

201

222220

220

1m

.L

VQ

22222

0

2

2m

m.

L

VQ


2- On obtiendra une charge q1 nulle (antirésonance) pour Q1(A)=0 pour la pulsation A=0 ;L’amplitude Q2 pour cette pulsation A=0 est :

Les charges Q1 et Q2 sont infinies aux résonances définies par donc pour les pulsations propres

On en déduit les graphes de Q1() et de Q2() :

m1et

m100

Cm

VQsoit,

m

1.

L

V0QQ 22

02A2

0m22222

0

Le haut parleur électrodynamique peut être schématisé comme étant composé d’un aimant permanent dont les pôles sont, l’un de la forme d’une couronne, l’autre celle d’un cylindre concentrique, de sorte qu’entre les deux règne un champ d’induction magnétique constant et radial.

Entre les deux pôles, une bobine solidaire d’une membrane de masse m peut se déplacer parallèlement à l’axe de symétrie OX.L’ensemble bobine-membrane est maintenu dans une position d’équilibre par un ressort k et subit un freinage, dû à l’air ambiant, de coefficient . La bobine en série avec une résistance R est reliée Électriquement à un générateur délivrant une tension e(t). Son inductance est L et la longueur de son fil ℓ.

ANIMATION 12-2

Etude d’un système électromécanique : le haut-parleur

B

• Lorsque le fil est parcouru par un courant i, il s’exerce sur lui la force de Laplace D’autre part, lorsque la bobine se déplace avec une vitesse , il apparaît à ses bornes une force électromotrice induite Cette tension induite doit avoir le signe moins (loi de Lentz) si on convient de prendre comme signe positif de i celui pour laquelle la force F(i) agit dans le sens positif de .

•Les équations du mouvement sont :

Le haut-parleur, équations du mouvement

.iBBiiF

x .xBxBxe

x

0iBkxxxm

texBidtC

1Ri

dt

diL

•Nous avons un système d’équations différentielles couplées en i et

• Les notions d’impédance en mécanique et électricité permettent d’écrire les deux équations différentielles sous une forme algébrique :

•En tirant de la 2ième équation et en reportant sa valeur dans la première équation, on peut écrire :

ce qui fait apparaître l’impédance électrique ZAB du système.

Le haut-parleur, solution des équations du mouvement (1)

x

x

0iBxk

mj

texBiC

1jR

tetik

mj

B

C

1LjR

22

• On peut mettre ZAB sous la forme ZAB =R+j

• la partie réelle comprend deux termes R et Rm, La partie imaginaire comprend aussi deux (L-1/C) et Xm où

S’appellent respectivement la résistance motionnelle et la réactance motionnelle qui sont les composantes de l’impédance motionnelle du haut parleur. On peut écrire :

Le haut-parleur, solution des équations du mouvement (2)

2

2

22

22

22

ABk

m

kmB

C

1Lj

km

BRZ

22

22

m22

22

mk

m

kmB

etk

m

BR

emotionnellelecmmmmAB ZZjRjRXXjRRjRZ

• On peut expérimentalement déterminer Rm et m en effectuant deux mesures :• On mesure l’impédance électrique entre les bornes A et B du générateur en

bloquant la partie mécanique ce qui nous donne R et de l’impédance électrique Zelec.

• On mesure l’impédance totale Z=R+j entre les bornes A et B entre les bornes A et B

En soustrayant les composantes -R=Rm et -x=Xm, on trouve directement Rm et Xm, composantes de l’impédance motionnelle.

• Si on ajoute les carrés de Rm et de Xm, on trouve un cercle que l’on appelle la boucle de Kennelly.

Le haut-parleur, Etude de l’impédance motionnelle

m

22

m2m

m

222m

2m

RB

RX

RB

XR

• La source e(t) doit fournir l’énergie Seule l’énergie Wm=Rmi2 est transformée en énergie mécanique. Le rendement du haut parleur est donc :

Celui-ci est maximum aux alentours de =0.

Remarque : Etude du microphone :

L’étude se fait de la même façon, on remplace e(t) par une résistance de charge R0 et on applique sur la masse mobile m, une force d’excitation F(t). On trouve :

Le haut-parleur, rendement

2m

2 iRRiW

m

mm

RR

RR

fournieEnergie

etransforméEnergie

tFiBxm

kmj

0xBiC

1LjR

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