Physikpraktikum

Gruppenarbeit zum Thema:

Schwingkreis und Transformator

Von

Thomas Krienbühl

Manuel Mazenauer

Sarine Rauber

Dozent: Dr. O. Merlo

Studiengang: SBCH 10

Abgabedatum: 12.05.2011

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Inhaltsverzeichnis 1 Mechanische Resonanz ................................................................................................................................ 3

1.1 DGL ....................................................................................................................................................... 3

1.2 Resonanz und ∆ф .................................................................................................................................. 6

1.3 Messen der Amplitude der Schwingung .............................................................................................. 8

1.4 Bestimmen der Eigenfrequenz ω ....................................................................................................... 12

2 Transformator ............................................................................................................................................ 13

2.1 Primärspannungsform ........................................................................................................................ 13

2.2 Faraday’sches Gesetz ......................................................................................................................... 14

2.3 Abhängigkeit von Windungen und Stromstärke ................................................................................ 15

3 Fourierreihe ................................................................................................................................................ 16

3.1 Ungerade Funktionen ......................................................................................................................... 17

3.2 Die Konstanten A0, Ak und Bk .............................................................................................................. 18

3.3 Fourierkoeffizienten der Funktion f(x) = 5x2 + 4x – 3 ......................................................................... 20

3.4 Fourierkoeffizienten der Funktion f(x) = |x+1|-|x-1| ........................................................................ 25

3.5 Fourierkoeffizienten der Funktion f(x) = ...................................................... 28

4 Zentripetalkraft .......................................................................................................................................... 31

4.1 Geschwindigkeit und Beschleunigung ................................................................................................ 31

4.2 Zentripetalkraft .................................................................................................................................. 33

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1 Mechanische Resonanz

Betrachte eine Masse m, die an eine Feder angehängt ist und durch eine Wirbelstrombremse gebremst wird.

Die Kraft aufgrund des Wirbelstromes ist . Zusätzlich regen wir die Masse mit Hilfe eines

Elektromotors periodisch an .

1.1 DGL

Stellen Sie die Differentialgleichung für das obige System auf. Zeigen Sie, dass die homogene Lösung durch

, mit

und

gegeben ist.

Die resultierende Kraft setzt sich folgendermassen zusammen:

Wir wollen nun die homogene Gleichung in der obigen Gleichung bestätigen. Die homogene Gleichung

beschreibt das Schwingungsverhalten der Masse ohne die periodische Anregungsfrequenz des Motors,

deshalb wurde in der oberen Gleichung weggelassen.

Ausserdem wird auch die Gewichtskraft weggelassen, da sie nur eine Verschiebung des Mittelpunktes

verursachen würde.

Da FW mit negativ ist, ergibt sich:

Die Kräfte sind folgendermassen gegeben:

FRes = m*a

FFeder = –D*x

FW = –

In die obige Gleichung eingesetzt ergibt sich:

–

Die Geschwindigkeit v ist die Ableitung der Strecke nach der Zeit:

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Die Beschleunigung ist die Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit:

Dies ergibt folgende DGL:

–

Für x wird in der jeweiligen Ableitung eingesetzt. Deshalb wird nun abgeleitet:

( )

Alles einsetzen:

–

Nun wird die Gleichung vereinfacht indem weggekürzt und ausmultipliziert wird:

–

Falls diese Gleichung erfüllt ist stimmt die homogene Lösung. Dazu werden die Teile welche von c1 oder c2

und cos oder sin abhängen gleichgesetzt. Für jeden Teil muss die Gleichung erfüllt sein:

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c1cos(ωt):

c1cos(ωt) wegkürzen und für

und

eingesetzt:

(

)

c2cos(ωt):

–

–

–

– –

c2sin(ωt):

(

)

c1sin(ωt):

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Da alle Teile der Gleichung erfüllt sind, ist auch die gesamte Gleichung erfüllt, was bedeutet dass die

homogene Lösung der DGL gegeben ist durch:

–

1.2 Resonanz und ∆ф

Die Lösung der inhomogenen Gleichung aus Aufgabe 1.1 ist durch

√

gegeben. Die beiden Grössen ∆ф und sind hier durch die beiden folgenden Ausdrücke

und

gegeben. Beschreiben Sie was Resonanz ist und wie man dies mit der Lösung der DGL aus

Aufgabe 1.1 erklären kann und was bedeutet ∆ф.

Mechanische Arbeit kann man zum Beispiel selbst an einer Schaukel verrichten, indem man durch Vor- und

Rückbewegung die Schaukel höher ausschlagen lässt. Dieser Effekt lässt sich physikalisch anhand der

Resonanz erklären: Energie wird durch geeignete Frequenzen in ein System überführt, welches die

Schwingungen miteinander koppelt, dies nennt man Resonanz. Das heisst, bei optimaler Frequenz kann viel

Energie in das System befördert werden. Dies macht sich durch seine grossen Amplituden bemerkbar. Durch

tiefere oder höhere Frequenzen kann man das System auch behindern. Resonanz ist ein Vorgang bei dem ein

schwingungsfähiges System mit seiner Eigenfrequenz durch Energiezufuhr Uind angeregt wird.

Die Resonanz ist durch yinhom gegeben, da yhom für grosse t wegfällt (geht gegen 0):

Abbildung 1 yhom fällt weg, wenn t grösser wird.

In der Praxis wird die Resonanz viel bei optischen Messverfahren wie bei UV/VIS- oder IR-Spektroskopie

angewendet. Dabei werden Molekülschwingungen durch das Licht in Schwingung versetzt. Diese

Energiezufuhr wird als Messsignal ausgewertet, um Aussagen über den Stoff machen zu können.

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Die yinhom beschreibt die erzwungene Schwingung auf den Oszillator mit . Die

Kreisfrequenz (Anregungsfrequenz) des Motors ist , die Amplitude ist und die Phasenverschiebung.

Wenn die Anregungsfrequnz und die Auslenkung des Oszillators gleich sind, unterscheiden sie sich in der

Phase um .

Wenn jedoch die Anregungsfrequenz gegen Null geht, geht auch

gegen Null.

Wenn die Anregungsfrequenz gleich gross wie die Eigenfrequenz ist (Resonanz), dann beträgt die

Phasenverschiebung 90 °, da der Nenner in

Null ergibt (nicht definiert, also 90°).

Wenn die Anregungsfrequenz viel höher als die Eigenfrequenz ist, so erhält man eine Phasenverschiebung

von etwa 180° (Die Gleichung

geht gegen Null). Die Anregungsfrequenz wird um ca. 180 °

nach hinten verschoben, wegen dem Minus.

Und je kleiner umso grösser muss die angehängte Masse sein, wegen:

.

Die induzierte Spannung ergibt sich aus der Änderung des magnetischen Flusses ∆ф

∆ф ist die Änderung des magnetischen Flusses. Bei einem Generator hängt ∆ф von der wirksamen Fläche ab,

also jenem Anteil, der die Feldlinien im rechten Winkel schneidet (fette Linie Abbildung 2AK∆ф):

Da sich die Spule mit konstanter Winkelgeschwindigkeit dreht (N Windungen), bedeutet das für den

magnetischen Fluss:

Wobei B das Magnetisches Feld ist.

Abbildung 3 Die wirksame Fläche wird von den Feldlinien im rechten Winkel geschnitten

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1.3 Messen der Amplitude der Schwingung

Messen Sie die Amplitude der Schwingung in Abhängigkeit der Anregungsfrequenz für die Masse m und eine

Dämpfung. Erklären Sie das Resultat des obigen Experiments mittels der Aufgaben 1.1 und 1.2 und zeigen

Sie, dass die Bewegung durch die erhaltene Lösung der DGL beschrieben wird.

Wir haben eine Feder mit einer Eigenfrequenz beim Schwingen. Wenn man die Feder nur kurz zum

Schwingen anregen würde, dann würde die Feder nach einer bestimmten Zeit nicht mehr schwingen. Das

heisst, dass eine Dämpfung wirken muss, weil die Feder am Schluss zum Stillstand kommt (Energie geht aus

dem System). Um das zu vermeiden, wird eine zusätzliche Schwingung durch einen Motor auf das System

gebracht. Der Motor hat eine eigene Anregungsfrequenz. Bei einer bestimmten Frequenz ist die Energie, die

aus dem System geht, gleich gross, wie die hinzugefügte Energie. Folglich schwingt die Feder gleichmässig

weiter. Die Amplitude bestimmt die Höhe der maximalen und minimalen Schwingung bei einer bestimmten

Frequenz.

Die Amplitude der Schwingung ist gegeben durch:

√

Die Dämpfung beträgt 9.8 Volt und 1.61 Ampere.

Es wurden folgende Daten gemessen für die Masse 78 g:

Periode τ = Schwingungen/Sekunde

Anregungsfrequenz ωA = 2 π/ τ

Zeit t [s] Schwingungen Periode

[Schw./s] ωA

[rad/s] Amplitude [m]

ωA2

[rad2/s2] 1/Amplitude2

[1/m]

4.7 10 2.13 2.95 0.050 8.72 400.00

3.8 10 2.63 2.39 0.020 5.70 2500.00

4.50 10 2.22 2.83 0.060 7.99 277.78

5.3 10 1.89 3.33 0.090 11.09 123.46

4.8 10 2.08 3.02 0.055 9.10 330.58

4.1 10 2.44 2.58 0.035 6.64 816.33

Danach wird die Amplitude und die Anregungsfrequenz ωA in einem Diagramm aufgetragen, um den

Zusammenhang zu sehen:

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Abbildung 4 Bei der Anregungsfrequenz 3.07 rad/s ist die Amplitude maximal.

Durch den quadratische Fit erkennt man die Beziehung zwischen Amplitude und Anregungsfrequenz und

kann die Koeffizienten a, b und c ermittelt. Um aufzuzeigen, wo die Amplitude maximal ist, muss die

Gleichung

√

folgendermassen umgeformt werden:

√

Für einsetzen.

(

) (

)

Die Funktion befindet sich nun in der allgemeinen Form für quadratische Gleichungen.

Mithilfe von a, b und c lassen sich nun die Parameter und bestimmen:

a = 128.87, b = -2523.7, c = 12383

y = 128.87x2 - 2523.7x + 12383 R² = 0.8757

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

0.0 2.0 4.0 6.0 8.0 10.0 12.0

1/A

mp

litu

de2

[m]

ωA2 [rad2/s2]

Amplitude in Abhängigkeit der Anregungsfrequenz

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Bestimmen von :

√

Bestimmen von :

√

Bestimmen von :

√

Bestimmen von D:

Mit diesen Parametern können wir die Amplitude

√

berechnen und gegen auftragen:

Tabelle 1 Berechnete Amplituden

ω0 [rad/s] λ *N/(m*kg )+ ωA [rad/s] [m] A [cm]

3.13 0.074 2.95 0.076 0.0090

3.13 0.074 2.39 0.021 0.0090

3.13 0.074 2.83 0.047 0.0090

3.13 0.074 3.33 0.064 0.0090

3.13 0.074 3.02 0.106 0.0090

3.13 0.074 2.58 0.028 0.0090

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Abbildung 5 Zeigt an, wo die Amplitude maximal wird.

Die grösste Amplitude von ca. 11 cm ist bei ca. 3.1 rad/s Anregungsfrequenz. Das Maximum dieser

erhaltenen Kurve beschreibt die optimalste Frequenz, welche die Masse maximal Ausschlagen lässt. Man

könnte das Maximum mit mehr Messungen noch besser grafisch nähern. Die Bewegung ist durch die

erhaltene Lösung der DGL beschrieben, da die gemessene Amplitude mit der berechneten in etwa

übereinstimmt.

0.000

0.020

0.040

0.060

0.080

0.100

0.120

0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00 3.50

A [m

]

ωA [rad/s]

Amplitude in Abhängigkeit der Anregungsfrequenz

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1.4 Bestimmen der Eigenfrequenz ω

Fixieren Sie anschliessend die Dämpfung und bestimmen Sie die Eigenfrequenz ω des Systems in

Abhängigkeit der angehängten Masse. Zeigen Sie, dass die erhaltene Relation aus Aufgabe 1.1 und 1.2 gilt.

Die Eigenfrequenz ω0 ist gleich der Anregungsfrequenz ωA und ist somit die Resonanz.

Es wurden die folgenden Daten ohne Dämpfung gemessen:

Periode τ = Schwingungen/Sekunde

Eigenfrequenz ω0 = 2 π/ τ Tabelle 2 Daten der Eigenfrequenzbestimmung

Spannung U [V] Umdrehung / 60 s Periode

[Schw./s] ω0

[rad/s] Masse

[g] [1/g] ω02[rad2/s2]

3.6 123 2.05 4.60 40 0.03 21.16

3.6 105 1.75 4.00 78 0.01 16.00

3.6 94.00 1.57 3.60 97 0.01 12.96

Nun wird ω02 gegen 1/Masse aufgetragen, damit es eine Gerade ergibt, welche durch 0 geht:

Abbildung 6 Es entsteht eine Gerade

Die Eigenfrequenz ω0 sinkt je höher die angehängte Masse ist:

Masse [g] ω0 [rad/s]

40 21.16

78 16.00

97 12.96

Je kleiner umso grösser muss die angehängte Masse sein, da die Relation aus Aufgabe 1.1 und 1.2 gilt:

y = 968.84x R² = 0.0977

0.00

5.00

10.00

15.00

20.00

25.00

30.00

0.00 0.01 0.01 0.02 0.02 0.03 0.03

ω0

2 [

rad

2/s

2]

1/Masse [1/g]

Eigenfrequenz in Abhängigkeit der Masse

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2 Transformator

Für die Transformatoraufgaben wurde eine Primärspule mit NP = 1200 Windungen und eine induzierte Spule

mit NI = 200 Windungen verwendet.

2.1 Primärspannungsform

Nehmen sie eine Spule mit einem Eisenkern und schliessen sie die Spule an den Funktionsgenerator an.

Anschliessend nehmt eine zweite Spule, welche nur an einen Widerstand angeschlossen ist. Schauen sie sich

auch die induzierte Spannung in Abhängigkeit der Form der Primärspannung (Sägezahn, Rechteck und Sinus)

an, was beobachten sie?

Für den Versuch wurde folgende Messanordnung aufgestellt:

Abbildung 7 Messanodnung des Versuchs

Beim Messen der verschiedenen Spannungsformen haben wir folgende Werte bekommen:

UP / mV UI / mV UP/UI

Sägezahn 272 26.4 10.3030303

Rechteck 1270 66.7 19.0404798

Sinus 376 32 11.75

Durch das Umstellen der Spannungsformen verändert sich auch die Spannung in der Primärspule und somit

auch in der induzierten Spannung.

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2.2 Faraday’sches Gesetz

Nehmen sie die 2. Spule und bewegen sie diese um die andere Spule herum. Wie ändert sich die induzierte

Spannung? Erklären sie möglichst genau was man beobachtet und erklären sie warum dies so ist.

Die induzierte Spule wird von der Primärspule entfernt. Dies führ dazu, dass die Spannung auf der

induzierten Spule kleiner wird, weil der Einfluss des elektromagnetischen Feldes kleiner wird, desto weiter

die induzierte Spule von der Primärspule entfernt ist. Wenn wir die induzierte Spule um die Primärspule

herum bewegen, wird die Spannung kleiner bis die Spulen parallel nebeneinander liegen. Danach wird die

induzierte Spannung wieder grösser. Dies lässt sich durch das Faraday’sche Induktionsgesetz erklären.

∫( )

Das Gesetz besagt, dass man den magnetischen Fluss auf zwei Arten ändern kann

1. Änderung der Leiterschleife (Form, Fluss oder Lage zum B-Feld)

2. Änderung des B-Feldes

Ein weiterer Effekt den man beobachten konnte, ist dass die induzierte Spannung kleiner wird, wenn man die

induzierte Spule um ihre eigene Achse dreht. Dabei ist das Minimum bei 90° erreicht. Dies lässt sich mittels

Vektorgeometrie erklären. Die beiden magnetischen Flüsse haben eine Richtung, die induzierte Spannung

wird dabei mit dem Skalarprodukt der beiden Flüsse. Ändert man also den Zwischenwinkel der Flüsse, ändert

man auch die induzierte Spannung. Schliesst man nun die Primärspule andersrum an. So ändert sich die

Funktion der induzierten Spannung im Vergleich zur Primärspannung um den Faktor -1. Das heisst, wenn

zuvor die Maxima der Funktion an der gleichen Stelle auf der Zeitachse waren, entspricht nach der

Manipulation ein Maxima bei der Primärspannung, einem Minima bei der induzierten Spannung. Dieses

Phänomen lässt sich ebenfalls mittels Vektorgeometrie erklären. Das „verkehrte“ Anschliessen der Spule

entspricht einer 180° Drehung um die eigene Achse. Das Skalarprodukt von 180° ist -1. Da die Primärspule als

Referenz fungiert scheint es so als ob die induzierte Spule um 180° gedreht wurde.

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2.3 Abhängigkeit von Windungen und Stromstärke

Stellen sie die 2. Spule in einem Abstand von ca. 5-10 cm von der 1. Spule auf. Messen sie nun die induzierte

Spannung UI in Abhängigkeit der Frequenz der Primärspannung UP. Testen sie die in der Literatur gefundene

Beziehung

mit der Anzahl Windungen der Primärspule NP und der Anzahl der Windungen der

Sekundärspule NI. Testen sie anschliessend auch die Abhängigkeit der induzierten Spannung vom fliessenden

Strom in der Primärspule.

Um die Beziehung

zu testen werden bei verschiedenen Frequenzen die primär und die induzierte

Spannung gemessen. Dabei kommen wir auf folgende Werte:

Frequenz / Hz UP / mV UI / mV UP/UI

56 4080 220 0.053

106 4960 240 0.048

234 5680 212 0.037

550 6000 144 0.024

1064 6240 100 0.016

Wie zu Beginn der Aufgabe erwähnt haben die Spulen 1200 bzw. 200 Windungen. Dies ergibt ein

Windungsverhältnis von

. Unsere Messwerte zeigen, dass weder die genaue Verhältniszahl noch ein

konstantes Verhältnis bei verschiedenen Frequenzen erreicht wird. Demnach handelt es sich bei dieser

Formel um eine eher theoretische Formel, die nur bei bestimmten Bedingung seine Richtigkeit hat.

Um den Einfluss der Stromstärke auf die induzierte Spannung zu messen, müssen wir die Stromstärke

messen können. Dies Messen wir mittels Voltmeter, indem wir einen definierten Wiederstand (100 Ω) in den

Primärstromkreis einsetzen und die Spannung über dem Wiederstand messen. Nun können wir die

Stromstärke mit der Formel

berechnen.

Stromstärke / mA UP (Spule 1) / mV UI (2.Spule) / mV

2.16 216 8.2

4.24 424 10.2

6.24 624 11.5

8.4 840 12.5

10 1000 15.4

12.7 1270 16.5

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Abbildung 8 Induziert Spannung gegen die Stromstärke aufgetragen

Auf dem Diagramm kann man sehen, dass die induzierte Spannung linear mit der Stromstärke zunimmt. Die

Ausreisser lassen sich durch die starken Schwankungen beim Messen der induzierten Spannung erklären.

3 Fourierreihe

Jede periodische Funktion kann mittels einer Summe von Sinus und Cosinus Funktionen sehr gut angenähert

werden. Die einfachste Periode ist dabei 2π, im Intervall von [–π,π+. Die Summe lautet dabei:

∑

Das A0 ist dabei die Translation in y-Richtung, Ak und Bk (konstante, reelle Zahlen) die Amplitude der

Schwingung. Eine solche Summe wird Fourierreihe genannt.

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

0 2 4 6 8 10 12 14

Ind

uzi

ert

e S

pan

nu

ng

/ m

V

Stromstärke/ mA

Induzierte Spannung in Abhängigkeit der Stromstärke

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3.1 Ungerade Funktionen

Erklären sie warum eine ungerade Funktion eine Summe von Sinusfunktion sein muss.

Abbildung 9 Cosinus und Sinusschwingung

Eine ungerade Funktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung des Koordinatensystems, eine gerade

achsensymmetrisch zur y-Achse. Somit ist die Sinus-Funktion eine ungerade und die Cosinus Funktion eine

gerade Funktion.

Die Multiplikation zweier geraden oder ungeraden Funktionen ergibt eine gerade Funktion, dagegen ergibt

die Multiplikation einer geraden mit einer ungeraden Funktion eine ungerade. Als Beispiel den Sinus mit dem

Cosinus:

Abbildung 10 Multiplikation des Cosinus mit dem Sinus

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Integriert man eine ungerade Funktion von einem negativen bis zum gleichen positiven Wert (im Beispiel π)

so ergibt dies immer Null. Aus der Definition von Ak ergibt sich, dass alle Ak’s einer ungeraden Funktion für

das Intervall [-π,π] Null sein müssen:

∫

Da g(x) ungerade und cos(kx) gerade ist, ist die Funktion welche Integriert wird auch ungerade uns somit im

Intervall [-π,π] Null. Dies ergibt für die Fourierreihe eine Summe von Sinusfunktionen:

∑

3.2 Die Konstanten A0, Ak und Bk

Zeigen sie das die Funktionen f(x) = 2 und g(x) = cos(2x) exakt wiedergegeben werden.

∫

∫

∫

Zusätzlich wird für die Berechnung folgende Definition benötigt:

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f(x) = 2

Die Funktion f(x) ist gerade somit sind alle Bk’s gleich Null.

Als erstes werden die Konstanten A0 und Ak für die Funktion f(x) berechnet:

∫

( |

)

( )

∫

(

|

)

(

)

∫

Da der Sinus eine π-periodische Nullstelle hat sind alle Ak’s gleich Null. Somit lautet die Fourierannäherung

der Funktion f(x):

∑

∑

g(x) = cos(2x)

Die g(x) ist gerade somit sind wiederum alle Bk’s gleich Null.

Deshalb werden nur die Konstanten A0 und Ak für die Funktion g(x) berechnet:

∫

(

|

)

(

)

∫

∫ (

)

(

|

)

(

)

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∫

Da der Sinus eine π-periodische Nullstelle hat und für Null auch Null ist sind alle Ak’s gleich Null. Nur der Fall

wenn k gleich 2 ist muss gesondert betrachtet werden, da bei diesem Punkt eine Nulldivision vorliegt wird.

Hierzu wird A2 gesondert integriert:

∫ (

)

∫ (

)

((

) |

)

(

)

Anhand der Konstanten kann nun die Fourierannäherung der Funktion g(x) gezeigt werden, wobei in diesem

Fall k 2 ist:

∑

∑

Somit konnte gezeigt werden das konstante Funktionen und Schwingung exakt mit der Fourierreihe

wiedergegeben werden können.

3.3 Fourierkoeffizienten der Funktion f(x) = 5x2 + 4x – 3

Berechnet die Fourierkoeffizienten der Funktion f(x) = 5x2 + 4x – 3 für den Definitionsbereich

Df = [-π,π+ (für alle k’s). Zeigt anhand eines Graphen, dass die Fourierreihe die Funktion mit

wachsender Anzahl cos und sin Funktionen immer besser annähert. Was fällt dabei auf?

Hinweis: ∫

∫

Da die Funktion f(x) weder gerade noch ungerade ist müssen Ak und Bk berechnet werden.

Als erstes werden nun A0, Ak und Bk berechnet.

Seite 21 von 33

A0:

∫

((

) |

)

(

(

))

(

)

Ak:

∫

∫

Da der Cosinus eine gerade Funktion und 4x eine ungerade ist, fällt der Term 4xcos(kx) durch die Integration

heraus. Zusätzlich wird für die Integration kx substituiert:

∫(

)

((

) | )

Die Rücksubstitution ergibt:

((

) |

)

(

(

))

Seite 22 von 33

Bk:

∫

∫

Da der Sinus eine ungerade, 5x2 und 3 gerade Funktionen sind, fallen die Terme 5x2sin(kx) und 3sin(kx) durch

die Integration heraus. Zusätzlich wird für die Integration kx substituiert:

∫

((

) | )

Die Rücksubstitution ergibt:

((

) |

)

(

(

))

Somit lautet die Fourierreihe für die Funktion f(x) = 5x2 + 4x – 3 im Definitionsbereich Df = [-π,π]:

∑

∑(

)

Seite 23 von 33

Um nun graphisch zu zeigen, dass diese Funktion die Ausgangsfunktion mit wachsender Anzahl Sinus und

Cosinus Funktionen immer besser annähert, werden zuerst die Koeffizienten für k≤10 berechnet:

A0 = 13.44934

Tabelle 3 Fourierkoeffizienten k bis 10

k Ak Bk

1 -20.00 8.00

2 5.00 -4.00

3 -2.22 2.67

4 1.25 -2.00

5 -0.80 1.60

6 0.56 -1.33

7 -0.41 1.14

8 0.31 -1.00

9 -0.25 0.89

10 0.20 -0.80

Alle 10 Funktionen werden nun im Bereich von -4≤x≤4 aufgezeichnet:

Abbildung 11 Funktion im Bereich von -4 bis 4

Man erkennt, dass die Fourierreihe die Funktion annähert. Die Annäherung erfolgt jedoch nur in dem

Bereich, für welchen die Koeffizienten integriert wurden. Um jetzt zu sehen, dass die Annäherung mit

wachsendem k immer besser wird, betrachtet man nur den Scheitelpunkt der Parabel.

-10.00

0.00

10.00

20.00

30.00

40.00

50.00

60.00

-4 -2 0 2 4

Annäherung der Funktion

k=1

k=2

k=3

k=4

k=5

k=6

k=7

k=8

k=9

k=10

f(x)

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Abbildung 12 Scheitelpunkt der Funktion

Am Parabelscheitel erkennt man das k = 10 die beste Annäherung ist. k = 1 ist zwar eine schöne Parabel, hat

dafür eine zu grosse Amplitude. Mit grösserem k ist die Amplitude kleiner und die Annäherung schwingt

immer genauer um die Ausgangsparabel.

Im Vergleich zum Taylorpolynom ist die Annäherung der Fourierreihe schlecht und viel zu mühsam. Wie der

Name schon sagt sollten zur Annäherung eines Polynoms die Taylorreihe angewendet werden, da diese auch

mit einem Polynom annähert. Hingegen ist die Fourierreihe viel besser für Wellenfunktionen geeignet, da sie

einen ganzen Bereich annähern kann, das Taylorpolynom nur Punkte.

-5.00

-4.50

-4.00

-3.50

-3.00

-2.50

-2.00

-1.50

-1.00

-0.50

0.00

-1.6 -1.1 -0.6 -0.1 0.4

Betrachtung des Scheitelpunktes der Parabel

k=1

k=4

k=8

k=10

f(x)

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3.4 Fourierkoeffizienten der Funktion f(x) = |x+1|-|x-1|

Berechnet die Fourierkoeffizienten für die Funktion f(x) = |x+1|-|x-1|, wiederum mit der Annahme,

dass die Funktion 2π periodisch ist.

Eine Betragsfunktion kann nicht einfach integriert werden. Deshalb wird die Funktion graphisch betrachtet:

Abbildung 13 Graph der Funktion f(x) = |x+1|-|x-1|

Nun erkennt man das die Funktion ungerade ist somit sollten alle Ak Null sein. Zusätzlich kann die Funktion

im Intervall [-π,π] durch drei integrierbare Teile dargestellt werden:

{ | | |

Um zwei fourierangenäherte Funktionen zu addieren, können einfach ihre Koeffizienten addiert werden. Aus

diesem Grund werden die Koeffizienten einzeln für alle drei Teile bestimmt. Um die Cosinus und Sinus Terme

von kx integrieren zu können wird jeweils folgendermassen substituiert, wobei das 1/k vor das Integral

gezogen wird:

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f(x) = -2 |-π≤x≤-1:

∫

( |

)

∫

( |

)

∫

( |

)

f(x) = 2 |1≤x≤π:

∫

( |

)

∫

( |

)

∫

( |

)

f(x) = 2x |-1≤x≤1:

∫

( |

)

∫

Da 2x ungerade und der Cosinus gerade ist, ergibt die Integration des Produktes von -1 bis 1 null.

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∫

((

) |

)

(

(

))

(

)

Nun können die Fourierkoeffzienten der Funktion f(x) = |x+1|-|x-1| aus den Teilkoeffizienten addiert

werden:

(

) (

)

(

) (

)

(

)

(

)

(

)

(

)

Die Fourierreihe ergibt, wie erwartet eine Summe von Sinusfunktionen. Zur Kontrolle der Annäherung wir die

Funktion noch für k ≤ 10 aufgezeichnet:

∑

(

)

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Abbildung 14 Fourierannäherung der Funktion f(x)

Auch bei dieser Funktion ist klar ersichtlich, dass sie nur für das ausgewählte Intervall angenähert ist. Mit der

Fourierreihe ist es dafür möglich auch nicht differenzierbare Funktionen für einen gewissen Bereich gut

anzunähern. An diesem Problem scheitern Verfahren wie das Taylerpolynom, bei welchem die drei

Teilfunktionen nur als eigenständige Funktionen angenähert werden können.

3.5 Fourierkoeffizienten der Funktion f(x) =

Berechnet mit Hilfe eines eigenen Programms (Eulermethode) die ersten 10 Koeffizienten der

Fourierreihe der Funktion

.

Können sie eine Verbindung zu Licht und einem Spektrometer herstellen?

Das integrieren einer Funktion zwischen zwei Punkten ist nichts anderes als das Zählen der Fläche unter dem

Graphen. Dabei kann die Fläche auch negativ sein, wenn sich die Funktionswerte des Graphen im negativen

Bereich befinden.

Als Näherung der Fläche können Rechtecke unter der Kurve addiert werden. Die Fläche eines Rechtecks ist

das Produkt aus Länge mal Breite. Auf den Graphen betrachtet ist die Länge der Funktionswert für ein x und

die Breite ein Stück auf der x-Achse.

-3.00

-2.00

-1.00

0.00

1.00

2.00

3.00

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

Annäherung der Funktion

k=1

k=4

k=8

k=10

f(x)

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Dabei wird die Stecke von der Untergrenze bis zur Obergrenze in kleine Schritte dx unterteilt. Der erste x-

Wert ist die Untergrenze, der zweite x-Wert die Untergrenze + dx und so weiter bis der x-Wert gleich der

Obergrenze ist. Die Summe aller Rechtecksflächen entspricht dann der Fläche unter der Kurve. Es gilt je

kleiner dx desto besser die Näherung.

Auf diese Weise können nun A0, A1-10 und B1-10 für die Funktion f(x) berechnet werden. Für die Nummerische

Integration müssen A und B Konstanten sein die nicht von k abhängen, deshalb müssen alle A und B separat

gerechnet werden (siehe 3e.xlsm):

Tabelle 4 numerisch integrierte Koeffzienten

A0 k Ak Bk

4.427E-04 1 -3.284E-04 -9.778E-18

2 4.960E-03 2.943E-17

3 5.337E-02 4.130E-17

4 2.427E-01 7.557E-17

5 3.982E-01 6.758E-18

6 2.427E-01 2.630E-17

7 5.342E-02 2.735E-18

8 4.873E-03 -1.322E-17

9 -1.995E-04 2.787E-17

10 2.548E-04 6.501E-18

Anhand der Werte von B sieht man dass die Funktion eine Summe von Cosinusschwingungen ist. Der kleine

Wert kommt von der Ungenauigkeit der numerischen Integration.

Mit Hilfe der Taylorannäherung kann nun der Graph der Funktion f(x) gezeichnet werden:

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Abbildung 15 Annäherung des Graphen mittels Fourierreihe

Aus dem Graphen kann man sehen das die Amplitude der Hauptschwingung mit einer wachsenden Anzahl

Cosinus Termen zunimmt und die Störung durch die Seitenschwingungen abnimmt. In diesem Fall ist die

erhaltene Schwingung, ein mögliches Messsignal eines Spektrometers. Mit Hilfe der Fourierreihe wird das

Gesamtsignal nun wieder in seine verschiedenen Teilsignale zerlegt. Bestehen alle Teilsignale nur aus Sinus

und Cosinus Schwingungen können sie immer exakt wiedergegeben werden (siehe 3.2). Dabei sind die

Fourrierkoeffizienten die Amplituden der Ausgangsschwingungen, welche graphisch addiert wurden. Sind

sogenannte Störterme wie der e^-Term im Messsignal enthalten ist die Annäherung für k → ∞ sehr gut, aber

nicht exakt.

-0.60

-0.40

-0.20

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

f(x) = e(-x^2/2)cos(5x)

k=2

k=5

k=8

k=10

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Abbildung 16 Graphisch addierte Amplituden zweier Cosinusschwingungen

4 Zentripetalkraft

Falls man eine Masse m auf einer Kreisbahn mit Radius r und mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω

bewegt, muss die Zentripetalkraft aufgewendet werden um die Masse auf der Kreisbahn zu halten.

4.1 Geschwindigkeit und Beschleunigung

Gebe die Bahn der Masse m mit Hilfe des Radius r und der Winkelgeschwindigkeit ω an. Berechne

anschliessend die Geschwindigkeit und die Beschleunigung der Masse.

Kreisbahn:

r δ

Abbildung 17 Skizze der Kreisbahn

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Der Vektor ist gegeben durch die grössen x und y

( )

Dabei ist die x-Koordinate ist gegeben durch den Cosinus des Winkels der zurückgelegten Strecke

multipliziert mit dem Radius und die y-Koordinate durch den Sinus des selben Winkels multipliziert mit dem

Radius.

(

)

Der Winkel δ lässt sich mit der Winkelgeschwindigkeit und der Zeit ausdrücken. Das α addiert man dazu weil

man von einem beliebigen Punkt den Winkel nehmen kann.

(

) (

)

Geschwindigkeit:

Bei einer Bewegung von Punkt A nach Punkt B kann man die Geschwindigkeit errechnen, indem man die

Funktion der Strecke nach der Zeit ableitet in unserem System entspricht die Kreisbahn der Strecke. Leitet

man nun die Kreisbahn nach t ab, erhält man die Geschwindigkeit.

(

)

Beschleunigung:

Um die Beschleunigung zu erhalten müssen wir die Funktion der Geschwindigkeit nach der Zeit ableiten.

(

)

Aufgrund der Vektorrichtung wird die Beschleunigung in diesem Fall negativ definiert.

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4.2 Zentripetalkraft

Zeige dass die Geschwindigkeit senkrecht zum Radiusvektor und das die Beschleunigung entgegengesetzt

zum Radiusvektor ist. Zeige zum Schluss, dass der Betrag der Zentripetalkraft durch | |

gegeben ist.

Vektorausrichtung

Dass die Beschleunigung entgegengerichtet zum Radiusvektor zeigt, erkennt man schon dadurch, dass man

aus der zweiten Ableitung des Radiusvektors erhält.

Um zu beweisen, dass zu Rechtwinklig ist, müssen wir das Skalarprodukt verwenden.

| | | |

Wenn wir einen Winkel von 90° haben wissen dass der Cosinus davon 0 ergeben muss also

| | | |

Wenn wir nun die x- bzw. y-Koordinaten von r und v einfügen erhalten wir:

Dies beweist, dass der Radiusvektor und der Geschwindigkeitsvektor rechtwinklig zu einander sind.

Zentripetalkraft

Eine Kraft lässt sich durch Beschleunigung multipliziert mit der Masse ausdrücken. Aus der Definition der

Goniometrie lässt sich der Betrag der Beschleunigung berechnen:

| | | (

)| (√ ) √

| | | |

Die Winkelgeschwindigkeit ist die Geschwindigkeit dividiert durch den Radius. Fügt man dies in die Formel

ein so erhält man.

| |

v

a r

Abbildung 18 Vektorausrichtung